第二章随机误差

误差的分布；正确求解极限误差。
重点和难点
3- 3
随机 误差 产生 的原 因
随机 误差 的本 质特 征
算术 平均 值
贝塞 尔公 式
试验 标准 差
测量 结果 的最 佳估 计
置信 区间
主要内容
产生原因、随机误差特 性、随机误差处理的基 本原则。
极限误差：极限误差的 定义、单次测量的极限 误差、算术平均值的极 限误差。
1 f ( ) 2a 0
当|δ|≤a 当|δ|＞a
它的数学期望为： 它的方差为：
E（δ ）＝ 0

2
a2 3
它的标准偏差为：

a
3
三、三角分布
313
三角分布的概率密度函数为：
a a2 f ( ) a a2
当 a 0 当0＜ a
x0 x0
第三节 算术平均值原理
一、算术平均值
在等权测量条件下，对某被测量进 行多次重复测量，得到一系列测量 x1 , x2 ,..., xn 值 ,常取算术平均值
1 n x xi n i 1
作为测量结果的最佳估计。
算术平均值原理
若测量次数无限增多，且无系统误差下， 由概率论的大数定律知，算术平均值以概率 为1趋近于真值
数学期望： 它的方差为：
E（δ ）＝ 0 2 a 2 6
它的标准偏差为：

a 6
四、反正弦分布
314
它的概率密度为：
1 f ( ) e 2 2 0
e e
数学期望：
E（δ ）＝ 0
e2 2
2
方差为：
标准偏差为：

e
2
五、χ23分布
测量的标准偏差：单次测量 的标准偏差、贝塞尔公式、 算术平均值的标准偏差、标 准差的其它估计方法。
随机误差的分布： 正态分布、非正 态分布。
算术平均值原理： 算术平均值原理、 残余误差。
第一节 随机误差概述
一、随机误差的定义
随机误差系指测量结果与在重复条件下，对同一 被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。 随机误差等于误差减去系统误差。因为测量只能 进行有限次数，故可能确定的只是随机误差的估 计值。
单峰性，即绝对值小的误差出现的次数多于绝对值大的误差出现的次数。
第二节 随机误差的分布
一、正态分布 随机误差概率分布密度函 数表达式为：
f ( ) 1
2
e
2 2ห้องสมุดไป่ตู้2

图2－4
数学期望 E（δ ）＝0 方 差 D（δ ）＝σ2 标准偏差

D( )
二、均匀分布
均匀分布又称等概率分布， 其概率密度函数为：
15
设随机变量X1，X2，…，Xυ相互独立，且都服从
标准正态分布N（0，1），则随机变量 2 2 的概率密度为 2 X 12 X 2 X
x 1 1 2 2 x e f x 2 2 ( ) 2 0
x0 x0
三、随机误差的本质特征
1、具有随机性：测量过程中误差的大小 和符号以不可预知形式的形式出现。
2、产生在测量过程之中：影响随机误差的因 素在测量开始之后体现出来。
3、与测量次数有关系：增加测量次数可 以减小随机误差对测量结果的影响。
四、随机误差的处理原则
随机误差性质上属随机变量，其处理方法 的理论依据是概率论与数理统计。具体参量可 用随机变量的数学期望（算术平均值）、方差 （标准偏差）和置信概率等三个特征量来描述。
)

1
2

t分布的主要分布特征量为：

0

2




2



2
七、F分布
317
设随机变量 X 与 Y 相互独立，分别服
从自由度为与的χ2分布，则随机变量
X
的概率密度为

1 2
Y
1 2 1 1 ( ) 2 1 2 x 2 1 2 2 2 1 2 2 f x 1 ( ) ( ) (1 x 2 ) 2 2 2 0
第一节 随机误差概述
二、随机误差产生的原因
随机误差是由人们不能掌握，不能控制，不 能调节，更不能消除的微小因素造成。这些因素 中，有的是尚未掌握其影响测量准确的规律；有 的是在测量过程中对其难以完全控制的微小变化， 而这些微小变化又给测量带来误差。
例
题
举例：用测长机测量1m长的钢杆制件，测量温度的允 许范围为（20±2）℃。为此，测量在恒温室内进行， 恒温室温度控制能力达到（20±0.5）℃，满足测量要 求。但在测量时，恒温室的温度必然处在不断地变化 中，围绕平均温度20℃有微小的波动，温度时高时低， 变化速度时快时慢。温度的微小变化引起钢杆制件长 度和测量仪器示值的微小变化，且它们受温度的影响 又不一致，有快慢之别，大小之分。这种影响又无法 确定，因此造成随机误差。
特征量为：


2


2


2
六、t分布
316
设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布
N（0，1），Y服从自由度为的χ2分布，则随机变 X t 量 Y / 的概率密度
f x
(
1
2
（2－32） （2－33）
)
( )
2
(1
x
2

服从正态分布随机误差的特征
310
有界性 随机误差总是有界限的，不可能出现无限大的随机误差。在一 定测量条件下的有限次测量结果中，随机误差的绝对值不会超过某一界 限。 对称性 在一定测量条件下的有限次测量结果，其绝对值相等的正误差 与负误差出现的次数大致相等。
抵偿性 由随机误差的对称性知，在有限次测量中，绝对值相同的正负 误差出现的次数大致相同。因此，取这些误差的算术平均值时，绝对 值相同的正负误差产生相互抵消现象，从而导致了随机误差的第三个 特性——抵偿性。
第二章 随机误差
教学目的和要求
通过本章内容的教学，使学生对误差的概念有一个感
性的了解。要求学生清楚为什么所有的测量均存在误
差 ,了解误差公理，明确学习本课程的目的和意义。
通过本章内容的教学，使学生对随机误差的产生原因、 特点及处理方法有一个整体的认识。要求学生清楚随 机误差的产生原因、特征，服从正态分布随机误差的 特征；掌握随机误差 特征值的确定方法；了解随机