2019年辽宁省营口市中考数学试卷

2019年辽宁省营口市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣5的相反数为（ ） A ．−1
5
B ．5
C ．1
5
D ．﹣5
2．（3分）如图所示几何体的俯视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（3分）下列计算正确的是（ ） A ．x 8÷x 2＝x 4 B ．（x +2）（x ﹣2）＝x 2﹣2
C ．5y 3•3y 5＝15y 8
D ．6a ﹣3a ＝3
4．（3分）如图，AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，AD ∥BC ，∠B ＝32°，则∠C 的度数是（ ）
A ．64°
B ．32°
C ．30°
D ．40°
5．（3分）反比例函数y =−4
x （x ＞0）的图象位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 6．（3分）如图，在△ABC 中，D
E ∥BC ，
AD AB
=2
3，则
S △ADE S 四边形DBCE
的值是（ ）
A ．4
5
B ．1
C ．2
3
D ．4
9
7．（3分）如图，BC 是⊙O 的直径，A ，D 是⊙O 上的两点，连接AB ，AD ，BD ，若∠ADB ＝70°，则∠ABC 的度数是（ ）
A ．20°
B ．70°
C ．30°
D ．90°
8．（3分）若关于x 的方程kx 2﹣x −34
=0有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ＝0
B ．k ≥−1
3且k ≠0
C ．k ≥−1
3
D ．k ＞−1
3
9．（3分）如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，BC =1
2AD ，AC 与BD 交于点E ，AC ⊥BD ，则tan ∠BAC 的值是（ ）
A ．1
4
B ．
√2
4
C ．
√22
D ．1
3
10．（3分）如图，A ，B 是反比例函数y =k
x （k ＞0，x ＞0）图象上的两点，过点A ，B 分别作x 轴的平行线交y 轴于点C ，D ，直线AB 交y 轴正半轴于点E ．若点B 的横坐标为5，CD ＝3AC ，cos ∠BED =3
5，则k 的值为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．
154
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）因式分解：x 3y ﹣xy ＝ ．
12．（3分）2018年国家级经济开发区成为经济发展重要增长点，实现进口总额62000亿元，用科学记数法表示为 元．
13．（3分）一个长方形的长和宽分别为√10和2√2，则这个长方形的面积为 ．
14．（3分）在一次青年歌手演唱比赛中，10位评委给某位歌手的打分分别是：9.5，9.8，9.4，
9.5，9.6，9.3，9.6，9.4，9.3，9.4，则这组数据的众数是．
15．（3分）圆锥侧面展开图的圆心角的度数为216°，母线长为5，该圆锥的底面半径为．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AD向点D运动，同时点F从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB 向点B运动，当点E到达点D时，点E，F同时停止运动．连接BE，EF，设点E运动的时间为t，若△BEF是以BE为底的等腰三角形，则t的值为．
17．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，BD=1
2DC＝2，以点D为
顶点作正方形DEFG，且DE＝BC，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=√3x+√3与x轴交于点A1，与y轴交
于点A2，过点A1作x轴的垂线交直线l2：y=√3
3x于点B1，过点A1作A1B1的垂线交y 轴于点B2，此时点B2与原点O重合，连接A2B1交x轴于点C1，得到第1个△C1B1B2；过点A2作y轴的垂线交l2于点B3，过点B3作y轴的平行线交l1于点A3，连接A3B2与A2B3交于点C2，得到第2个△C2B2B3……按照此规律进行下去，则第2019个△C2019B2019B2020的面积是．
三、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）先化简，再求值：（8
a+3+a﹣3）÷a
2+2a+1
a+3，其中a为不等式组{
a−1＜2
2a+12＞3
的
整数解．
20．（10分）一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数﹣1，2，﹣3，4．
（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率为．（2）摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率．
四、解答题（本大题共2小题，共24分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）21．（12分）为了了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，课题小组随机选取该校部分学生进行了问卷调査（问卷调査表如图1所示），并根据调查结果绘制了图2、图3两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答下列问题．
（1）本次接受问卷调查的学生有名．
（2）补全条形统计图．
（3）扇形统计图中B类节目对应扇形的圆心角的度数为．
（4）该校共有2000名学生，根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生人数．
22．（12分）如图，A，B两市相距150km，国家级风景区中心C位于A市北偏东60°方向上，位于B市北偏西45°方向上．已知风景区是以点C为圆心、50km为半径的圆形区
域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A，B两市的高速公路，高速公路AB是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：√3≈1.73）
五、解答题（本大题共2小题，共24分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）23．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点F，连接BF交⊙O于点G，连接EG．
（1）求证：CD＝AD+CE．
（2）若AD＝4CE，求tan∠EGF的值．
24．（12分）某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量y（kg）与时间第t天之间的函数关系式为y＝2t+100（1≤t ≤80，t为整数），销售单价p（元/kg）与时间第t天之间满足一次函数关系如下表：时间第t天123 (80)
销售单价p/（元/kg）49.54948.5 (10)
（1）直接写出销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式．
（2）在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
六、解答题（本大题共1小题，共14分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）25．（14分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点M是AB的中点，连接MC，点P是线段BC延长线上一点，且PC＜BC，连接MP交AC于点H．将射线MP 绕点M逆时针旋转60°交线段CA的延长线于点D．
（1）找出与∠AMP相等的角，并说明理由．
（2）如图2，CP=1
2BC，求
AD
BC
的值．
（3）在（2）的条件下，若MD=√13
3，求线段AB的长．
七、解答题（本大题共1小题，共14分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）26．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y 轴交于点C，连接AC，BC，将△OBC沿BC所在的直线翻折，得到△DBC，连接OD．（1）用含a的代数式表示点C的坐标．
（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．
（3）设△OBD的面积为S1，△OAC的面积为S2，若S1
S2
=
2
3
，求a的值．
2019年辽宁省营口市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣5的相反数为（）
A．−1
5B．5C．
1
5
D．﹣5
【解答】解：﹣5的相反数是5，
故选：B．
2．（3分）如图所示几何体的俯视图是（）
A．B．C．D．
【解答】解：根据俯视图的特征，应选B．
故选：B．
3．（3分）下列计算正确的是（）
A．x8÷x2＝x4B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣2
C．5y3•3y5＝15y8D．6a﹣3a＝3
【解答】解：∵x8÷x2＝x6，故选项A错误；
∵（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，故选项C错误；
∵5y3•3y5＝15y8，故选项C正确；
∵6a﹣3a＝3a，故选项D错误；
故选：C．
4．（3分）如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝32°，则∠C的度数是（）
A．64°B．32°C．30°D．40°
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B＝32°，
∵AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线， ∴∠EAC ＝2∠EAD ＝64°， ∵∠EAC 是△ABC 的外角，
∴∠C ＝∠EAC ﹣∠B ＝64°﹣32°＝32°， 故选：B ．
5．（3分）反比例函数y =−4x
（x ＞0）的图象位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【解答】解：∵反比例函数y =−4
x
（x ＞0），k ＝﹣4＜0， ∴该函数图象在第四象限， 故选：D ．
6．（3分）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，
AD AB
=2
3
，则
S △ADE
S 四边形DBCE
的值是（ ）
A ．4
5
B ．1
C ．2
3
D ．4
9
【解答】解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC
=（
AD AB
）2=4
9，
∴
S △ADE
S 四边形DBCE
=45
，
故选：A ．
7．（3分）如图，BC 是⊙O 的直径，A ，D 是⊙O 上的两点，连接AB ，AD ，BD ，若∠ADB ＝70°，则∠ABC 的度数是（ ）
A ．20°
B ．70°
C ．30°
D ．90°
【解答】解：连接AC ，如图， ∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BAC ＝90°， ∵∠ACB ＝∠ADB ＝70°， ∴∠ABC ＝90°﹣70°＝20°． 故答案为20°． 故选：A ．
8．（3分）若关于x 的方程kx 2﹣x −3
4
=0有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ＝0
B ．k ≥−13且k ≠0
C ．k ≥−1
3
D ．k ＞−1
3
【解答】解：当k ≠0时，△＝1+4k ×3
4
=1+3k ≥0， ∴k ≥−13
， ∴k ≥−13且k ≠0， 当k ＝0时，
此时方程为﹣x −34
=0，满足题意， 故选：C ．
9．（3分）如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，BC =1
2AD ，AC 与BD 交于点E ，AC ⊥BD ，则tan ∠BAC 的值是（ ）
A ．1
4
B ．
√2
4
C ．
√22
D ．1
3
【解答】解：∵AD ∥BC ，∠DAB ＝90°，
∴∠ABC ＝180°﹣∠DAB ＝90°，∠BAC +∠EAD ＝90°，
∵AC ⊥BD ， ∴∠AED ＝90°， ∴∠ADB +∠EAD ＝90°， ∴∠BAC ＝∠ADB ， ∴△ABC ∽△DAB ， ∴
AB DA
=
BC AB
，
∵BC =1
2AD ， ∴AD ＝2BC ，
∴AB 2＝BC ×AD ＝BC ×2BC ＝2BC 2， ∴AB =√2BC ，
在Rt △ABC 中，tan ∠BAC =BC
AB =√2BC
=√22； 故选：C ．
10．（3分）如图，A ，B 是反比例函数y =k x
（k ＞0，x ＞0）图象上的两点，过点A ，B 分别作x 轴的平行线交y 轴于点C ，D ，直线AB 交y 轴正半轴于点E ．若点B 的横坐标为5，CD ＝3AC ，cos ∠BED =3
5
，则k 的值为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．
154
【解答】解：∵BD ∥x 轴， ∴∠EDB ＝90°， ∵cos ∠BED =ED EB =3
5， ∴设DE ＝3a ，BE ＝5a ，
∴BD =√BE 2−DE 2=√(5a)2−(3a)2=4a ， ∵点B 的横坐标为5，
∴4a ＝5，则a =54
， ∴DE =15
4，
设AC ＝b ，则CD ＝3b ， ∵AC ∥BD ， ∴
AC EC
=
BD ED
=
4a 3a
=4
3
，
∴EC =3
4b ， ∴ED ＝3b +34
b =15b
4
， ∴
15b 4
=
154
，则b ＝1，
∴AC ＝1，CD ＝3， 设B 点的纵坐标为n ， ∴OD ＝n ，则OC ＝3+n ， ∵A （1，3+n ），B （5，n ），
∴A ，B 是反比例函数y =k
x （k ＞0，x ＞0）图象上的两点， ∴k ＝1×（3+n ）＝5n ， 解得k =
15
4
， 故选：D ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）因式分解：x 3y ﹣xy ＝ xy （x ﹣1）（x +1） ． 【解答】解：x 3y ﹣xy ，
＝xy （x 2﹣1）…（提取公因式） ＝xy （x +1）（x ﹣1）．…（平方差公式） 故答案为：xy （x +1）（x ﹣1）．
12．（3分）2018年国家级经济开发区成为经济发展重要增长点，实现进口总额62000亿元，用科学记数法表示为 6.2×1012 元．
【解答】解：62000亿元＝6200000000000元＝6.2×1012元， 故答案为：6.2×1012．
13．（3分）一个长方形的长和宽分别为√10和2√2，则这个长方形的面积为 4√5 ．
【解答】解：∵长方形的长和宽分别为√10和2√2
∴这个长方形的面积为：√10×2√2=2√20=4√5
故答案为：4√5
14．（3分）在一次青年歌手演唱比赛中，10位评委给某位歌手的打分分别是：9.5，9.8，9.4，
9.5，9.6，9.3，9.6，9.4，9.3，9.4，则这组数据的众数是9.4．
【解答】解：数据9.4出现了三次最多为众数．
故答案为：9.4．
15．（3分）圆锥侧面展开图的圆心角的度数为216°，母线长为5，该圆锥的底面半径为3．【解答】解：设该圆锥的底面半径为r，
根据题意得2πr=216⋅π⋅5
180，解得r＝3．
故答案为3．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AD向点D运动，同时点F从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB 向点B运动，当点E到达点D时，点E，F同时停止运动．连接BE，EF，设点E运动
的时间为t，若△BEF是以BE为底的等腰三角形，则t的值为5±√7
4
．
【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC于G，
∴四边形ABGE是矩形，
∴AB＝EG＝3，AE＝BG＝2t，
∵BF＝EF＝5﹣t，FG＝|2t﹣（5﹣t）|＝|3t﹣5|，∴EF2＝FG2+EG2，
∴（5﹣t）2＝（3t﹣5）2+9，
∴t=5±√7 4
故答案为：
5±√74
．
17．（3分）如图，△ABC 是等边三角形，点D 为BC 边上一点，BD =12
DC ＝2，以点D 为顶点作正方形DEFG ，且DE ＝BC ，连接AE ，AG ．若将正方形DEFG 绕点D 旋转一周，当AE 取最小值时，AG 的长为 8 ．
【解答】解：过点A 作AM ⊥BC 于M ， ∵BD =1
2DC ＝2， ∴DC ＝4，
∴BC ＝BD +DC ＝2+4＝6， ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝AC ＝BC ＝6， ∵AM ⊥BC ，
∴BM =1
2BC =1
2×6＝3， ∴DM ＝BM ﹣BD ＝3﹣2＝1，
在Rt △ABM 中，AM =√AB 2−BM 2=√62−32=3√3，
当正方形DEFG 绕点D 旋转到点E 、A 、D 在同一条直线上时，AD +AE ＝DE ， 即此时AE 取最小值，
在Rt △ADM 中，AD =√DM 2+AM 2=√12+(3√3)2=2√7， ∴在Rt △ADG 中，AG =√AD 2+DG 2=√(2√7)2+62=8； 故答案为：8．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y =√3x +√3与x 轴交于点A 1，与y 轴交
于点A 2，过点A 1作x 轴的垂线交直线l 2：y =
√3
3
x 于点B 1，过点A 1作A 1B 1的垂线交y
轴于点B 2，此时点B 2与原点O 重合，连接A 2B 1交x 轴于点C 1，得到第1个△C 1B 1B 2；过点A 2作y 轴的垂线交l 2于点B 3，过点B 3作y 轴的平行线交l 1于点A 3，连接A 3B 2与A 2B 3交于点C 2，得到第2个△C 2B 2B 3……按照此规律进行下去，则第2019个△C 2019B 2019B 2020的面积是
340368
√3
．
【解答】解：∵y =√3x +√3与x 轴交于点A 1，与y 轴交于点A 2， ∴A 1(−1，0)，A 2(0，√3)，
在y =√3
3x 中，当x ＝﹣1时，y =−√3
3， ∴B 1(−1，−√3
3)，
设直线A 2B 1的解析式为：y ＝kx +b ， 可得：{
b =√3
−k +b =−√33
， 解得：{k =4√3
3b =√3
，
∴直线A 2B 1的解析式为：y =4√3
3
x +√3， 令y ＝0，可得：x =−34
， ∴C 2（−3
4，0）， ∴S △C 1B 1B 2
=12B 2C 1⋅A 1B 1=12×34×√33=√38=90
√3
8，
∵△A 1B 1B 2∽△A 2B 2B 3， ∴△C 1B 1B 2∽△C 2B 2B 3， ∴
S △C 2B 2B 3S △C 1B 1B 2
=(
B 2B 3B 1B 2
)2
=(
A 2
B 2A 1B 1
)2
=
√3)2
(√33
)=9，
∴S △C 2B 2B 3=9S △C 1B 1B 2=9
8√3，
同理可得：S △C 3B 3B 4=9S △C 2B 2B 3=9
2
8
√3⋯， ∴△C 2019B 2019B 2020的面积=9
2018
8
√3=
3
4036
8
√3，
故答案为：
340368
√3．
三、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）先化简，再求值：（8
a+3
+a ﹣3）÷
a 2+2a+1
a+3，其中a 为不等式组{a −1＜22a +12
＞3
的整数解．
【解答】解：原式=8+(a−3)(a+3)a+3•a+3
(a+1)2
=
(a+1)(a−1)(a+1)2
=a−1
a+1， 解不等式得
54
＜a ＜3，
∴不等式组的整数解为a ＝2， 当a ＝2时， 原式=
2−12+1=1
3
． 20．（10分）一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数﹣1，2，﹣3，4．
（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率为
12
．
（2）摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率．
【解答】解：（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率=2
4=1
2； 故答案为1
2；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数为8，
所以两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率=8
12
=23．
四、解答题（本大题共2小题，共24分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）21．（12分）为了了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，课题小组随机选取该校部分学生进行了问卷调査（问卷调査表如图1所示），并根据调查结果绘制了图2、图3两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答下列问题．
（1）本次接受问卷调查的学生有100名．
（2）补全条形统计图．
（3）扇形统计图中B类节目对应扇形的圆心角的度数为72°．
（4）该校共有2000名学生，根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生人数．
【解答】解：（1）本次接受问卷调查的学生有：36÷36%═100（名），
故答案为：100；
（2）喜爱C的有：100﹣8﹣20﹣36﹣6＝30（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）扇形统计图中B类节目对应扇形的圆心角的度数为：360°×20
100
=72°，
故答案为：72°；
（4）2000×
8
100
=160（人），
答：该校最喜爱新闻节目的学生有160人．
22．（12分）如图，A，B两市相距150km，国家级风景区中心C位于A市北偏东60°方向上，位于B市北偏西45°方向上．已知风景区是以点C为圆心、50km为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A，B两市的高速公路，高速公路AB是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：√3≈1.73）
【解答】解：高速公路AB不穿过风景区．
过点C作CH⊥AB于点H，如图所示．
根据题意，得：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，
在Rt△CHB中，∵tan∠CBH=CH
HB
=1，
∴CH＝BH．
设BH＝tkm，则CH＝tkm，
在Rt△CAH中，∵tan∠CAH=CH
AH
=√33，
∴AH=√3tkm．
∵AB＝150km，
∴√3t+t＝150，
∴t＝75√3−75≈75×1.73﹣75＝54.75．
∵54.75＞50，
∴高速公路AB不穿过风景区．
五、解答题（本大题共2小题，共24分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）23．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点F，连接BF交⊙O于点G，连接EG．
（1）求证：CD＝AD+CE．
（2）若AD＝4CE，求tan∠EGF的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∵AE⊥BC，
∴AD⊥OA，
∵AO是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线，
又∵DF是⊙O的切线，
∴AD＝DF，
同理可得CE＝CF，
∵CD＝DF+CF，
∴CD＝AD+CE．
（2）解：连接OD，AF相交于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC．
∵AD＝4CE，
∴设CE＝t，则AD＝4t，
∴BE＝3t，AB＝CD＝5t，
∴在Rt△ABE中，AE=√(5t)2−(3t)2=4t，
∴OA＝OE＝2t，
∵DA，DF是⊙O的两条切线，
∴∠ODA ＝∠ODF ，
∵DA ＝DF ，∠ODA ＝∠ODF ， ∴AF ⊥OD ，
∴在Rt △OAD 中，tan ∠ODA =AO
AD =2t
4t =1
2， ∵∠OAD ＝∠AMD ＝90°， ∴∠EAF ＝∠ODA ， ∵EF
̂=EF ̂， ∴∠EGF ＝∠EAF ， ∴∠ODA ＝∠EGF ， ∴tan ∠EGF =1
2．
24．（12分）某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量y （kg ）与时间第t 天之间的函数关系式为y ＝2t +100（1≤t ≤80，t 为整数），销售单价p （元/kg ）与时间第t 天之间满足一次函数关系如下表：
时间第t 天 1 2 3 … 80 销售单价p /（元/kg ）
49.5
49
48.5
…
10
（1）直接写出销售单价p （元/kg ）与时间第t 天之间的函数关系式．
（2）在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）设销售单价p （元/kg ）与时间第t 天之间的函数关系式为：p ＝kt +b ， 将（1，49.5），（2，49）代入得，{k +b =49.52k +b =49，
解得：{k =−1
2b =50
，
∴销售单价p （元/kg ）与时间第t 天之间的函数关系式为：p =−1
2
t +50； （2）设每天获得的利润为w 元，
由题意得，w ＝（2t +100）（50﹣0.5t ）﹣6（2t +100） ＝﹣t 2+38t +4400＝﹣（t ﹣19）2+4761， ∵a ＝﹣1＜0 ∴w 有最大值，
当t ＝19时，w 最大，此时，w 最大＝4761，
答：第19天的日销售利润最大，最大利润是4761元．
六、解答题（本大题共1小题，共14分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）25．（14分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点M是AB的中点，连接MC，点P是线段BC延长线上一点，且PC＜BC，连接MP交AC于点H．将射线MP 绕点M逆时针旋转60°交线段CA的延长线于点D．
（1）找出与∠AMP相等的角，并说明理由．
（2）如图2，CP=1
2BC，求
AD
BC
的值．
（3）在（2）的条件下，若MD=√13
3，求线段AB的长．
【解答】解：（1）∠D＝∠AMP．
理由如下：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°．
∴∠D+∠DMA＝60°．
由旋转的性质知，∠DMA+∠AMP＝60°．
∴∠D＝∠AMP；
（2）如图，过点C作CG∥BA交MP于点G．∴∠GCP＝∠B＝30°，∠BCG＝150°．
∵∠ACB＝90°，点M是AB的中点，
∴CM=1
2AB＝BM＝AM．
∴∠MCB＝∠B＝30°．
∴∠MCG＝120°．
∵∠MAD＝180°﹣60°＝120°．
∴∠MAD＝∠MCG．
∵∠DMG﹣∠AMG＝∠AMC﹣∠AMG，∴∠DMA＝∠GMC．
在△MDA与△MGC中，
{∠MAD =∠MCG AM =CM ∠DMA =∠GMC
∴△MDA ≌△MGC （ASA ）．
∴AD ＝CG ．
∵CP =12BC ．
∴CP =13BP ．
∵CG ∥BM ，
∴△CGP ∽△BMP ．
∴CG BM =CP BP =13． 设CG ＝AD ＝t ，则BM ＝3t ，AB ＝6t ．
在Rt △ABC 中，cos B =BC AB =√32．
∴BC ＝3√3t ．
∴AD BC =3√3t =√39；
（3）如图，由（2）知△CGP ∽△BMP ．则MD ＝MG =
√133． ∵CG ∥MA ．
∴∠CGH ＝∠AMH ．
∵∠GHC ＝∠MHA ，
∴△GHC ∽△MHA ．
∴HG MH =
CH AH =CG AM =13． ∴HG =14MG =14×√133=√1312． ∴MH =√133−√1312=√134．
由（2）知，CG ＝AD ＝t ，则BM ＝AM ＝CA ＝3t ． ∴CH =34t ，AH =9
4t ．
∵∠MHA ＝∠DHM ，∠HMA ＝∠D ．
∴△MHA ∽△DMH ．
∴MH DH =AH MH ．
∴MH 2＝AH •DH ，即（
√134）2=94t ⋅134t ． 解得t 1=13，t 2=−13（舍去）．
∴AB ＝6t ＝2．
七、解答题（本大题共1小题，共14分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
26．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 过点A （﹣1，0），B （3，0），与y
轴交于点C ，连接AC ，BC ，将△OBC 沿BC 所在的直线翻折，得到△DBC ，连接OD ．
（1）用含a 的代数式表示点C 的坐标．
（2）如图1，若点D 落在抛物线的对称轴上，且在x 轴上方，求抛物线的解析式．
（3）设△OBD 的面积为S 1，△OAC 的面积为S 2，若S 1
S 2=23，求a 的值．
【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y ＝a （x +1）（x ﹣3）＝a （x 2﹣2x ﹣3），
即c ＝﹣3a ，
则点C （0，﹣3a ）；
（2）过点B 作y 轴的平行线BQ ，过点D 作x 轴的平行线交y 轴于点P 、交BQ 于点Q ， ∵∠CDP +∠PDC ＝90°，∠PDC +∠QDB ＝90°，
∴∠QDB ＝∠DCP ，
设：D （1，n ），点C （0，﹣3a ），
∠CPD ＝∠BQD ＝90°，
∴△CPD ∽△DQB ，
∴CP DQ =PD BQ =CD BD ，
其中：CP ＝n +3a ，DQ ＝3﹣1＝2，PD ＝1，BQ ＝n ，CD ＝﹣3a ，BD ＝3， 将以上数值代入比例式并解得：a ＝±
√55， ∵a ＜0，故a =−√55，
故抛物线的表达式为：y =−
√55x 2+2√55x +3√55
；
（3）如图2，连接OD 交BC 于点H ，则DO ⊥BC ，
过点H 、D 分别作x 轴的垂线交于点N 、M ，
设：OC ＝m ＝﹣3a ，
S 1＝S △OBD =12×OB ×DM =32
DM ， S 2＝S △OAC =12×1×m ，而S 1
S 2
=23， 则DM =2m 9，HN =12DM =m 9=19OC ，
∴BN =19BO =13，则ON ＝3−13=83，
则DO⊥BC，HN⊥OB，
则∠BHN＝∠HON，则tan∠BHN＝tan∠HON，
则HN2＝ON×BN=8
9
=（
m
9
）2，
解得：m＝±6√2（舍去正值），
CO＝|﹣3a|＝6√2，
解得：a＝﹣2√2（不合题意值已舍去），故：a＝﹣2√2．。