几个常见的三角替换及其在解题中的应用

几个常见的三角替换及其在解题中的应用

广东顺德李兆基中学 唐秋生 （5283000）

《高中数学必修四》三角函数的平方关系为1cos sin 22=+x x ，这个等式结果简单，学生也容易掌握，但教师在教学中要善于研究和发现它的灵活运用则不那么简单，在高三复习中，强调知识的综合性，我们完全可以把这个问题进行拓展和引申。这里不凡称之为三角替换换，下面仅介绍几个常见的替换，并谈谈它在几个典型问题中的应用，以供教学中参考。

[替换模型一] 222R y x =+，则可作替换

[替换模型二]0,0,0,>>>=+c b a c b a ，则可作替换

⎪⎩⎪⎨⎧==θθ

2

2

sin cos c b c a )2,0(πθ∈

[替换模型三] 21x y -=，可作替换

θcos =x ，],0[πθ∈ θsin =x 或 ，]2

,2[π

πθ-∈

一、利用三角代换研究有理函数的最值

[例1].已知y x 、满足122=+y x ，求)1)(1(xy xy w +-=的最值

解：由条件可作替换： 则：2)(1)1)(1(xy xy xy w -=+-=2)cos sin 2(4

11θθ-=

2)2(s i n 4

11θ-= 显然1)2(s i n 02≤≤θ

⇒]1,4

3[∈w

θcos =x θsin =y )2,0[πθ∈ θcos R x = θsin R y = )2,0[πθ∈

[例2].已知4422=+y x ，求y x y xy x M 24222++++=的最值

解：由条件可作替换：

则：y x y xy x M 24222++++=

θθθθθθsin 2cos 2sin 4cos sin 4cos 422++++= 2)cos (sin 2)cos (sin 22++++=θθθθ

再令]2,2[cos sin -∈+=θθt

则2

3

)21(22++=t M

如图，由于]2,2[-∈t

所以，当21

-=t 时，2

3min =M

当2=t 时，226m a x +=M

[例3].求函数3

cos 1

sin ++=

θθy 的值域

解：设

则u v 、满足方程122=+u v ，即动点),(u v P 在单位圆122=+u v 上 所以 3

cos 1

sin ++=

θθy ⇔ )3()1(----=

v u y 设点)1,3(--M ，),(u v P 则MP k v u y =----=

)

3()

1(，如图，由平面几何知识

容易求得︒=∠60AMB ⇒]3,0[∈k

[例4].已知122=+y x （0≥y ），求y x +的最大值和最小值 法1：(三角化)由条件可作替换

则)4

sin(2cos sin π

θθθ+

⋅=+=+y x ，

θcos 2=x θsin =y )2,0[πθ∈

θcos =v

θsin =u )2,0[πθ∈

θcos =x θsin =y ],0[πθ∈

而 ]45,4[4πππ

θ∈+

， 所以]1,2

2[)4sin(-∈+πθ 所以]2,1[-∈+y x

法2：（几何化）122=+y x （0≥y ）的图象是 上半圆，如图所示，令b y x =+，即b x y +-= 它表示斜率为1-的平行直线系 当直线与半圆有公共点时， 易求得]2,1[-∈b

[例5].已知实数y x 、满足032222=-++y x y x （1）求22y x +的最大值和最小值 （2）求y x +的最大值和最小值 法1：（三角化）原方程化为：

4)3()1(22=-++y x

作替换：

则2222

)3sin 2()1cos 2(

++-=+θθy x

4sin 34cos 4)cos (sin 422++-+=θθθθ )sin 2

3

cos 21(88θθ--= )3

cos(

88θπ

+-=

)2,0[πθ∈⇒

)37,3[3ππθπ

∈+ ]1,1[)3

cos(-∈+θπ 所以]16,0[22∈+y x

13)cos (sin 2-++=+θθy x

当)2,0[πθ∈时，]2,2[cos sin -∈+θθ

所以]1223,1223[-+--∈+y x

法2：（几何化）如图，作圆)3()1(22=-++y x （1） 设),(y x P 是圆上任意一点 则2

2

||y x PO += 当P 落在愿点时， 0||min =PO 即0)(m in 22=+y x

θcos 21+-=x θsin 23+=x

)2,0[πθ∈

当P 落在D 点时， 42||m ax ==R PO

即16)(m ax 22=+y x

（2）令b y x =+

作直线系b x y +-=，设直线系中有两条 切圆于B A 、两点，由

22

|

31|=-+-b ⇒2213±=+-b

即1223-±=b

所以 ]1223,1223[-+--∈+y x

[例6].设0,0>>y x ，b a 、是正的常数，且1=+y

b

x a ，求y x +的最小值 法1：（用1代换）因为

1=+y b

x a ，0,0>>y x ，b a 、是正的常数，所以 )())((x

ay

y bx b a y b x a y x y x +++=++=+ ab b a 2++≥

法2：因为1=+y

b

x a ，0,0>>y x ，b a 、是正的常数，

所以可作替换：

则θθθ

θ2

22

2csc sec sin cos b a b a y x +=+=

+ )c o t 1()t a n 1(22

θθ+++=b a

)c o t t a n (22θθ⋅+⋅++=b a b a ab b a 2++≥

二、 利用三角代换研究相等与不等关系

[例7].已知0>>b a ，求证：b a b a -<-

证明：由0)(>=+-a b b a 可作替换：

θ2cos =x a θ2

sin =y

b

)2

,0(π

θ∈ θ

2

cos a b a =-θ2sin a b =

)2,0(πθ∈