高中物理竞赛辅导课件第一讲 ：静电场 31张ppt

E
n
.
(3)电容器: 电容定义
C q U1 U 2
平板电容器: 球形电容器:
C
S
d
C 4R1R2 R1 R2
2.电场对电介质的作用:
电介质分类: 两类,分别由有极分子和无极分子组成
电介质极化:
电介质在外电场作用下发生某种变化(出现电荷
分布等),并反过来影响电场的现象
自由电荷 束缚电荷 极化电荷
Ei Eiy Ei cos , Ei// Eix Ei sin
E Ei 0, (对称性）
Ex Eix Ei sin
E
Ex i
k
2 R
i
l i sin k R2
k
y
R2
k
2 R
k
1 4 0
,
E
2 0R
i
例3: 试证弯成如图所示形
状的无限长均匀带电细线在
圆心处的场强为零. (AB弧是
的等E效感P替' 代E法q'P或' 电k 像qr''r3法' .
因此,
k qr ' r'3
,
式中
r'为M’点到P’
点的矢径。（A、B 两面上感应电荷如何？分布?）
(3) 导体不接地且带电荷Q时, 设A, B面各带电为 QA和QB , 则 Q =QA+QB, 静电平衡时, 必有 EP=EAP+EBP+EqP=0, 又设 QA=QA1+QA2 , QA1=QB (均匀分布), QA2=q”= -q （q”为q的像电荷, 由电场线可知，等于1, 2情形下A 面上的感应电荷, 非均匀分布）
解: (1) 静电平衡时, 导体内处处有E=0,
由场强叠加原理, P点的场强应等于点
电荷q的场与感应电荷的场的叠加, 即
而
EqP
EP
k qr
r3
的矢径，所以
EqP E感P 0
，其中r为M点到P点
E感P
k
qr r3
k
q" r r3
,即A面上感应电
荷在导体内产生的电场可用位于M点的像q”(=-q)的场
增量的负值, 即 A W ，所以
E
Q
R
2 0
8 0R2
(2) 小面元△S上电荷所受的电场力为
F
S
ER
2 2 0
S
因此，球面上单位面积所受的力
F 2 S 2 0
5. 归纳法(不完全):
在求解某些物理问题时，会遇到多次（有限但次数 很大）或无限次反复进行的过程，处理这类问题的 方法就是先分析前几个反复过程，推断出一般规律， 由于这种方法与数学中常用数学归纳法相似，但不 及它严谨，故称为不完全归纳法
解的, 只要细心分析、挖掘题目隐含的条件、作出适 当近似, 就能获得较符合题意的解. 近似方法也是处 理许多真实系统常用的方法.
例6: 质量为m, 带电q的小球在一均匀带电圆环(R,
Q)的环心附近沿轴线作微振动, 不计重力, 试求小球
的振动频率.
解:
建立坐标如图, E k (R2
P点处的场强为
Q x x2 )3 / 2
四. 虚位移法
在一系统已处于平衡状态, 需求力、力矩或压强 等量时, 可假设物体的位置、角度或体积发生一微小 变化, 则相应的作用量就会作一虚功, 系统的能量也 发生一虚的变化, 利用三者间的关系, 求得相应的作 用量. 由于这里的位移等都是虚拟的, 这种方法可称 为虚位移法.
例7: 试根据能量密度公式计算均匀带电球面(R,Q)上 的场强以及球面上单位面积所受的力.
图中无限长带电直线A’AA’’在O点的场等于半圆CAC’
在O点的场, 再由例2的结果, 得
E
k
2
R
, (或 E
)
2 0R
且方向垂直直线.
推广二:距均匀带电直线R处的场强等效于以场 点为心, R为半径的圆环被直线两端点到圆心 连线所截部分的场, 两者电荷线密度相等, 即, A’AA’’在O点的场等于BAB’在O点的场。
穿过电场中某一曲面的电场线的数目,
e
N
E S
E
nS
Ecos
S
n
E
S
由电荷Q发出的场线总数△N正比于Q,
即
e
N
Q 0
三、电势
1.电势能W: 量值上等于将试探电荷
从场点移至参考点, 静电场力所做的功
2.电势:
U WP P q0
APP 0 q0
P0是零电势参考点
点电荷的电势:
U
Q
4 0r
电势差, 电势能差与做功的关系:
第一讲: 静电场
一. 实验定律
1、 电荷及电荷守恒定律:
a. 两种电荷: 正电荷和负电荷 b. 相互作用:同性相斥, 异性相吸 c. 基本电荷: 质子所带电荷e＝1.6×10–19库仑 d. 电荷守恒定律
实验证明, 在任何物理过程中, 一个孤立 (与外界不发生电荷交换的)系统的电荷代数 和总是保持不变的。
解: (1) 对于带电球面, 其球内外的场强分布由高斯定律 易求得，也是学生很熟悉的,
球内 r<R, E内 =0,
球外 r>R,
E外
Q 40r 2
Q 4 0 R 2
0
E附 (表面附近)
但在球面上无法用高斯定理求场强 ER, 因此, 我们利
用电场能量密度公式
we
1 2
0
E
2
和虚功原理来求ER.
设带电球面缓慢向外膨胀R→R+△R, 每个小面
例1: 计算均匀带电圆环(R, Q)在其轴线上一点处的
场强和电势.
解: (1) 在环上同一直径的两
端取△Qi和△Qi’=△Qi, 则利用点 电荷场强公式, 它们在P点的场强
方向如图所示, 其量值为
Ei
Ei'
k
qi r2
k
qi R2 x2
△Ei和△Ei’在垂直于x轴的分量相抵消, 而平行x轴的分
量等值, 为
显然, QA1和QA2在导体内的场分别与QB和q的场抵消,
故可得到
QA=(Q-q)/2,
QB=(Q+q)/2
（此种情形下导体板右边空间的电场如何计算？）
例5: 半径为a的接地导体球外, 距球心h处有一点 电荷q, 求球外空间的电势.
解: 取球心为原点, 球心到q的方向为z轴,
则由电像法可知, 点电荷q 关于导体球面
Eix
Ei'x
Ei
cos
k
x qi (R2 x2 )3/ 2
将环如上分割, 每对电荷在该点的场强都有上述特征,
所以
E
x qi
xQ
E k k ix
(R2 x2 )3/ 2
(R2 x2 )3/ 2
考虑方向后, 有
Qx
E k (R2 x2 )3/ 2
(2) 类似地, 在环上取△Qi, 则利用点电荷电势公式,
元△S上电荷所受的电场力为F qER S ER ,
方向沿径向向外,电场力对整个球面所做的功为
A R qER R S球面ER 4 ER R2R
膨胀前后电场能量的变化仅发生在R<r<R+△R的
区域内, 所以 We W后 W前 weV
1 2
0
E
2
4
R
2R
2
2
R
2R
/
0
由功能原理可知，电场力做功应等于电场能量的
k qQ
m
mR3
所以, 振动频率为
2
1 2
k qQ mR3
讨论:
(1) q与Q同号, q初始不在环心, 则受斥力而更远离环心 (2) 振幅较大时不再是简谐振动 (近似处理不适用) (3) 以其它对称分布的带电体系替代此环也可能得到相似的 结果, 如等边三角形三顶角上分别放有相同的点电荷 (4)带电环的轴线上两边分布对称电荷且同号, 环也会作类似 振动
有
qi
Q
U U k k i
(R2 x2 )1/ 2
(R2 x2 )1/ 2
讨论: 环心处, x=0, 有
E0 0,
U0
k
Q R
例2: 求均匀带电的半圆环[R,Q,η=Q/(πR)]
在环心的场强.
解: 类似地采用小量分析法,
在环上取△Qi =η△li, 则由点电
荷的场强公式, 有
Ei
k li R2
的像q’ 在距球心h’处, 即球面上感应电荷
在球外的场可由q的像电荷q’的场等效替
代。因此,
UP
UqP
U q'P
k
(
q r
)q'
r'
r
(r02
h2
2hr0
cos
)
1 2
,
r'
(r02
h'2
2h' r0
cos
)
1 2
其中q’和h’量值可由导体等势且电势为0来确定, 即
U k( ) 0 q
q'
cos
R r
,
E2
k k k l2 r2
l2' r 2 cos
R
E1
而
E1
和
E2
的方向相反,
即任意一对△Q1和△Q2
在圆心处的场强正好抵消, 所以图中带电体系在圆心处
的场强为零.
推广一: 距无限长均匀带电
直线R处的场强为E=2kη/R,
方向垂直直线.
证: 由例3可知AA’和BB’
在圆心的场分别等于AC和BC在圆心的场. 因此, 在上
Aa →b= Wa - Wb = q (Ua - Ub)
3.电势叠加原理: Qi
Ui
Qi
40 ri
,
U
Ui
四、电场对物质的作用
1. 电场对导体的作用:
(1)静电平衡条件(必要) :
导体内场强处处为零,表面处E垂直导体表面
(2)导体静电性质:
导体(表面)是等势体(面), 电荷只能分布于导体表面,
导体外、表面附近
2.静电场的基本性质:有散性和有势性(无旋性)
3.电场强度E :
(N/C)
定义E
F q0
, 单位: 牛顿/库仑
4.场强叠加原理:
点电荷的场强
点电荷组的场强
E
4
Q
0
r3 r
Qi Ei , E
Ei
Qi r 4 0ri3 i
5.电场线:
E线与E大小方向的关系, E线的性质,
6.电通量:
等效替代.
(2) 接地导体电势为零, 由面上任一C点的电势为0和叠
加原理得 U C U qC U 感C 0
而
U qC
k
q b
U 感C U qC
，所以
k
q b
k
q' b
即感应电荷的作用(场)可用导体内(A面
左边M’点，距离亦为a)的一个假想电荷q’
(又称为像电荷)的作用(场)替代——这种方法又称为场
电介质对电容器电容的影响: 使电容变大
3. 电场对带电粒子的作用:
带电粒子在外电场 E中所受的电场力为:
F qE
结合运动学和动力学讨论带电粒子的运动规律
五、例题
1.小量分析法
尽管中物竞赛不允许用微积分的方法, 但应要求 参加竞赛者掌握微(小量), 积(求和)的概念或思想, 这有助于绕过微积分达到求解的目的.
(见例1)
小球所受的静电力为
F k qQ x (R2 x2 )3 / 2
已知小球作振动, 则F必与x反向, qQ<0,
微振动意味着R>>x,
所以
F
k
qQ x R3
K
x
小球受合力遵循胡克定律,
K k
qQ R3
,
则小球作简谐振动, 由简谐振动的运动学特征, 得
a
F m
K m
x
2
x,
K
(1)导体等势; (2) 导体所带总电荷为0. 因
此，有两个像电荷, q’在h’处, -q’在球心处
故
U
' P
U qP
Uq'P
Uq'P
k
(
q r
q' r'
) q'
r0
k( ) q r02 h2 2hr0 cos
qa
q
(hr0 )2 a4 2a2hr0 cos r0
3. 近似法:
在中物竞赛中有许多问题是无法或不必精确求
0
r1
3 2
为点电荷q2对点电荷q1的位矢，k是比例系数,
12 ε0是真空介
电常数.
3.叠加原理: 利用力的叠加原理将库仑定律推
广,用以处理一定形状带电体间的相互作用.
二. 电场
1.电场是一种特殊的物质
既与实物相同: 具有质量、动量、能量(前二者电动力 学中可证明)等物质属性;
又区别于实物: 不同电荷产生的电场可共存于同一空间 ——具有叠加性
2. 库仑定律:
F21
q1
r12
q2 F12
真空中两个静止的点电荷q1和q2之间的作用力的大小与它 们所带电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比；作
用力的方向沿着它们的连线；同号电荷相斥，异号电荷相吸。
q1q2
q1q2
F F k r r 式中r12
12
21
r1
3 2
12
4
2.等效替代法(电像法)
在处理静电场中导体相关问题时, 由于电荷与场的分布相
互制约相互影响, 通常二者都是未知待求, 学生会感到比较棘
手. 利用对称性、导体静电平衡的条件和静电性质以及场的等
效替代原理, 可使许多问题迎刃而解. 例4: 厚度为d, 面积很大的导体平板, 其 外到板面距离为a的M点有一点电 荷q, 问: （1）导体接地时, 板上感应电荷在 导体内P点(与M点相距r)的场强为何值? （2）仍接地, 板上感应电荷在导体外P’点 (与P点关于导体A表面对称)的场强大小如何? （3）导体不接地, 且带总电荷Q, 这些电荷应如何分布才可达到 平衡?
半径为R的半圆周,AA’和BB’
是平行的半无限长直线, 电荷线密度为η)
证: 如图过圆心作夹角很小的两条直线分别截圆弧
和直线上的微小线段△l1和△l2, 它们在圆心的场强分别
为
E1
k
Q1 R2
k l1 R2
k
R
E2
k
Q2 r2
k l2 r2
由图中几何关系, 可得:
l2
l2'
cos
,
l
' 2
r ,
球面
a2 h2 2hacos
a2 h'2 2h'a cos
解得
q
'
qa h
,
h'
a2 h
(或q’= -q, h’=h, 在球外, 舍去)
最终得球外电势为 U k( q
qa
)
r02 h2 2hr0 cos
(hr0 )2 a4 2a2hr0 பைடு நூலகம்os
讨论: 如果不接地结果如何?
借助上述方法处理, 但要满足两条件: