有关分数指数幂的几个问题
分数指数幂的证明
分数指数幂的证明一切的开始都从分数指数幂的概念开始。
什么是分数指数幂？简单来说，它是一种表达式，用来表示一个数的乘方。
这些表达式可以用来计算许多数学问题，如多项式求和，求根，幂函数求值等等。
要证明分数指数幂的正确性，我们首先要了解其定义。
一个数字的分数指数幂是指它的指数是一个有理数，而不是一个整数。
例如，一个数的5/3 次方就是一个分数指数幂，而它的 5 次方就不是分数指数幂。
因此，当我们证明分数指数幂的正确性时，我们需要首先确定分数指数幂的定义，即指数是一个有理数，而不是一个整数。
一旦我们确定了分数指数幂的定义，我们就可以开始证明它的正确性。
首先，我们要证明分数指数幂的乘法法则，即：(a^m)(a^n)=(a^(m+n))例如，我们要证明 (2^(3/2))(2^(1/2))=(2^2)=4首先，我们要将分数指数幂转换成整数指数，即：2^(3/2)=2^1.5=2^3/2可以将分数指数幂转换成整数指数，即：2^(3/2)=2^1.5=(2^3)(2^(-1/2))同样，我们将另一个分数指数也转换成整数指数，即：2^(1/2)=(2^2)(2^(-1))现在，我们可以把两个分数指数幂的乘积表示为整数指数的乘积，即：(2^1.5)(2^0.5)=(2^3)(2^(-1/2))(2^2)(2^(-1))= (2^3)(2^2)(2^(-3/2))= (2^5)(2^(-3/2))= 2^2= 4这就证明了分数指数幂的乘法法则，即 (2^(3/2))(2^(1/2))=(2^2)=4。
接下来，我们要证明分数指数幂的除法法则，即：(a^m)/(a^n)=(a^(m-n))例如，我们要证明 (2^2)/(2^(-1))=(2^3)同样，我们将分数指数幂转换成整数指数，即：2^2=2^3/22^(-1)=2^(-2/2)将两个分数指数幂的除法表示成整数指数的除法，即：(2^2)/(2^(-1))=(2^3/2)/(2^(-2/2))=(2^3)(2^(2/2))/(2^(-2/2))= (2^5)/(2^(-2/2))= 2^3这就证明了分数指数幂的除法法则，即 (2^2)/(2^(-1))=(2^3)。
分数指数幂
又 a ＋a
1 2
1 －2
3 ＝2 2，
1 9 得 a＋a＋2＝2， 即 2a2－5a＋2＝0. 1 8 32 ∴a＝2 或2，所以代入原式＝－3或 3 .
1．在根式的化简与运算中，一般是先将根式化成 分数指数幂，再进行运算．
2．幂的运算中，结果不能同时含有根号和分数指
数幂，也不能同时含有分母和负分数指数幂，若无特殊 说明，结果一般用分数指数幂的形式表示． 3．对条件求值问题，要弄清已知与未知的联系， 采用“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．
1 2 2 3
＝a
1 2－ 2
－ ＝a ＝ a5.
2 3
5 6
6
[一点通]
对于既含有分数指数幂，又含有根式的式
子，一般把根式统一化成分数指数幂的形式，以便于计 算．如果根式中的根指数不同，也应化成分数指数幂的形 式．
1．若 2<a<3，则化简 2－a ＋ 3－a4的结果是 ( A．5－2a C．1 解析：由于2<a<3， B．2a－5 D．－1 )
答案：B
7．已知x－3＋1＝a(a为常数)，求a2－2ax－3＋x－6的值． 解：∵x－3＋1＝a， ∴x－3＝a－1，
又∵x－6＝(x－3)2，
∴x－6＝(a－1)2， ∴a2－2ax－3＋x－6 ＝a2－2a(a－1)＋(a－1)2 ＝a2－(2a2－2a)＋(a2－2a＋1)＝1.
8．如果 a ＋a
2 4＋ 3
4 3
1 2
1 4
) ＝3
1 4
14 1 3 ×4
＝3 ＝3 3；
7 6
6
(3)原式＝(5 ＝5 ÷ 5 ＝5 ＝
2 1 － 3 4 2 3
4第四讲 分数指数幂
第四讲 分数指数幂【要点梳理】 一、分数指数幂把指数的取值扩大到分数，我们规定()0m na a =≥，()0m naa -=>，其中m n 、为正整数，1n >. 上面规定中的m na 和m na-叫做分数指数幂，a 是底数.整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂. 要点诠释：（1）当m 与n 互素时，如果n 为奇数，那么分数指数幂中的底数a 可为负数.（2）指数的取值范围扩大到有理数后，方根就可以表示为幂的形式，开方运算可以转化为乘方形式的运算.二、有理数指数幂的运算性质设00a b p q >>，，、为有理数，那么 （1）pqp qp q p q a a a a a a +-=÷=，.（2）()qp pq aa =.（3）()pp pp p p a a ab a b b b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，.例1、 把下列方根化为幂的形式：（1 （2； （3（4例20a > ，m n 、为正整数，n ＞1）用分数指数幂可表示为（ ）A.n ma B.mna C. n ma-D. m na-例3、 口算：（1）1216；（2）1327；（3）12144；（4）14256.例4、口算：（1）1481-；（2）14116⎛⎫⎪⎝⎭；（3）1236.例5、计算：（1）()1 3827⨯；（2）4112235⎛⎫⨯⎪⎝⎭；（3）3422335⎛⎫⨯⎪⎝⎭；（4）6113223⎛⎫÷⎪⎝⎭【巩固练习】一.选择题1.下列运算正确的是（）A.1393= B.1393=± C.1293= D.1293=±2. 根式（0a>，m n、为正整数，n＞1）用分数指数幂可表示为（）A.nma B.mna- C.nma-- D.mna--3. ）A.237 B.237- C.327- D.3274. ）A.100B.10C.3245⨯ D.2345⨯二.填空题5.=_________.6. _______.7.计算：()1 38-=_________.8.计算：141681-⎛⎫⎪⎝⎭=________.9.计算：11231627258⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=________. 10.计算：()2111332232323-⎛⎫⨯÷⨯ ⎪⎝⎭=________.11.计算：3213346-⎛⎫÷ ⎪⎝⎭=_________.12.计算：133324525-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=_________.三.解答题13.计算（结果表示为含幂的式子）：（1）213455⨯； （2）1377÷； （3）12435-⎛⎫ ⎪⎝⎭； （4）()1336122⨯.14.计算（结果表示为含幂的形式）：（1）213481-⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）()155332⨯； （3）112266-⨯； （4）2112223-⎛⎫÷ ⎪⎝⎭.《实数》全章复习与巩固例1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（ ） A.2个 B.3 个 C.4 个 D.5个例2、下列运算正确的是（ ）ABD ．例32431024-的5次方根是＝_________.2=±=2=-|2|2--=例4＝若，，则 例5、把下列各数填入相应的集合：－1、、π、－3.14、、、、． （1）有理数集合｛ ｝；（2）无理数集合｛ ｝； （3）正实数集合｛ ｝； （4）负实数集合｛ ｝．例6、计算（1）（2）（3） (4)例7、（1）已知：（a+6）2+=0，则2b 2﹣4b ﹣a 的值为 ．（2）实数a 、b 在数轴上所对应的点的位置如图所示： 化简＋∣a －b ∣＝ .（3）实数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系是： ；例8、用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数.(1)0.0198 (精确到0.001)； (2)0.34082(精确到千分位)； (3)64.49 (精确到个位)；10.1=7160.03670.03=542.1670.33=_____________3673=3926-22-7.0 233)32(1000216-++23)451(12726-+-32)131)(951()31(--+()223323)3()21()4()4(2--⨯-+-⨯-2a a 2,1,,a aa a -【家庭作业】一.选择题1. 下列说法正确的是（ ）A ．数轴上任一点表示唯一的有理数B ．数轴上任一点表示唯一的无理数C ．两个无理数之和一定是无理数D ．数轴上任意两点之间都有无数个点 2. 的算术平方根是（ ）A ．2B ．±2C ．D ．±3．已知a 、b 是实数，下列命题结论正确的是（ ）A ．若a ＞b ，则＞B ．若a ＞｜b ｜，则＞C ．若｜a ｜＞b ，则＞D ．若＞，则＞4. ，则的值是（ ） A.B. C. D. 5.若式子有意义,则的取值范围是 ( ). A. B. C. D. 以上答案都不对. 6. 下列说法中错误的是（ ）A.中的可以是正数、负数或零.B.中的不可能是负数.C. 数的平方根有两个.D.数的立方根有一个. 7. 数轴上A ，B 两点表示实数a ，b ，则下列选择正确的是（ ）A. B. 0ab > C.0a b -> D.||||0a b ->8. 估算的值在 （ ）A. 5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间二.填空题9. 的整数部分是，则其小数部分用表示为 ． 10．当 .2a 2b2a 2b 2a 2b 3a 3b 2a 2b 3387=-a a 8787-87±512343-3112x x -+-x 21≥x 1≤x 121≤≤x 3a a a a a a 0>+b a 219+a a x11. .12. 若是225的算术平方根，则的立方根是 . 13. 12234-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝_________ .14.﹣64的立方根与的平方根之和是 ．15. ，，16. 数轴上离原点距离是的点表示的数是 .三.解答题17. 一个正数x 的平方根是与，则是多少？18.已知x ﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x 2+y 2的平方根．19. 已知：表示、两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简20. 阅读题：阅读下面的文字，解答问题.大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用－1表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗?事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.请解答：已知：10＋＝，其中是整数，且,求的相反数.=--32)125.0(12-x x 1--2233532-a a -5a a b ()2b a b a ++-222223y x +x 10<<y y x -。
1高中 必修一分数指数幂 知识点+例题 全面
学科教师辅导教案―分数指数幂(n aa a aa 个2、分数指数幂观察：(25)2=21051022= 2101022=(1)正数的正分数指数幂的意义是：nm a ＝na m (a >0，m 、n ∈N *，且n>1)； (2)正数的负分数指数幂的意义是：nm a-＝nm a1 (a >0，m 、n ∈N *，且n>1)；(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．注意：不要轻易对nm 进行约分，否则有时会改变a 的取值范围导致出错，若.0,;,41482≥=∈a a a R a a[例1]求下列各式的值：（1）2125-（2）5)21(- （3）43)8116(- （4）0421)127(-+[巩固]计算求值： （1） 021231)1627()21(8---+++（2）214)425()15(4)21(25.0----÷--⨯[例2] 将下列分数指数幂化为根式 （1）_______534=（2）_______221=-（3）_______23=a （4）_______25=-a[巩固] 用分数指数幂表示下列各式：（1）_____2=（2）_____)0(32=>a a （3）_____)(57=-b a （4）_____)()(224322=≥-b a b a3、有理数指数幂的运算性质(1)a t a s ＝a t ＋s (a >0，t 、s ∈Q )； (2)(a t )s ＝a ts (a >0，t 、s ∈Q )； (3)(ab )t ＝a t b t (a >0，b >0，t ∈Q )．[例1]化简精典例题透析精典例题透析。
《分数指数幂时》课件
分数指数幂的除法运算
总结词
详细描述
总结词
详细描述
掌握分数指数幂的除法运算规 则
分数指数幂的除法运算规则是 底数相除，指数相减。例如， a^(m/n) / a^(n/p) = a^((m/n) - (n/p))。
理解分数指数幂除法运算的几 何意义
分数指数幂的除法运算可以理 解为将一个图形进行缩放后再 与另一个图形进行比较，底数 相除相当于将两个图形分开， 指数相减则表示将其中一个图 形进行缩放。
对数函数的性质和运算法则可以应用 于分数指数幂的计算中，如换底公式 、对数的运算法则等。
分数指数幂与三角函数的关系
分数指数幂可以用于表示三角函数的幂次，如sin^α、 cos^α等。
三角函数的性质和运算法则可以应用于分数指数幂的计算中 ，如三角函数的和差化积、积化和差等公式。
CHAPTER 05
好地理解材料的物理特性。
在电子工程中，分数指数幂可以用来描述电路中的电 流和电压等电气参数，帮助工程师更好地设计电子设
备。
分数指数幂在物理和工程中也有广泛的应用， 例如在材料科学、机械工程和电子工程等领域 。
在机械工程中，分数指数幂可以用来描述机械系 统的动态行为，例如振动和噪音等。
CHAPTER 04
中等难度题目解析
总结词
掌握分数指数幂的运 算技巧和复杂表达式 的化简
题目1
求 $frac{a^{m+n}}{b^ m}$的值
解析
根据分数指数幂的运 算规则， $frac{a^{m+n}}{b^ m} = a^n cdot (frac{a}{b})^m$
题目2
求$(a^m)^n cdot (b^n)^m$的值
《分数指数幂》ppt课 件
分数指数幂计算题
分数指数幂计算题摘要：一、分数指数幂的定义二、分数指数幂的运算规则1.分数指数幂的乘法规则2.分数指数幂的除法规则3.分数指数幂的幂运算规则三、分数指数幂的应用举例1.计算分数的幂2.计算指数函数的值3.解决实际问题正文：分数指数幂是指数函数中的一种形式，它表示为a^(m/n)，其中a是底数，m和n是正整数。
在数学中，分数指数幂的运算规则相对复杂，但只要掌握了其规律，就能轻松进行计算。
首先，我们来看分数指数幂的定义。
分数指数幂表示为a^(m/n)，其中a 是底数，m和n是正整数。
这意味着a需要被乘以自身m次，然后再除以自身n次。
例如，2^(3/2)表示2乘以自身3次，然后再除以自身2次，结果为2×2×2÷2÷2=2。
其次，我们来看分数指数幂的运算规则。
1.分数指数幂的乘法规则：若a^(m/n)和a^(p/q)相乘，则结果为a^((m+p)/(n+q))。
例如，2^(3/2)×2^(1/3)=2^(3/2+1/3)=2^(5/6)。
2.分数指数幂的除法规则：若a^(m/n)除以a^(p/q)，则结果为a^((m-p)/(n-q))。
例如，2^(3/2)÷2^(1/3)=2^(3/2-1/3)=2^(5/6)。
3.分数指数幂的幂运算规则：若a^(m/n)的幂为a^(k)，则结果为a^((km)/(n^k))。
例如，(2^(3/2))^2=2^(3/2×2)=2^(6/2)=2^3。
最后，我们来看分数指数幂在实际问题中的应用。
1.计算分数的幂：例如，计算2^(3/2)的平方，根据分数指数幂的幂运算规则，结果为2^(3/2×2)=2^3=8。
2.计算指数函数的值：例如，计算f(x)=2^x的导数，根据指数函数的导数公式，结果为f"(x)=2^x * ln(2)。
3.解决实际问题：例如，根据分数指数幂的定义，可以解决与化学反应速率、生物学种群增长等有关的问题。
初中数学分数指数幂练习题(含解析)
分数指数幂1．下列命题中，正确命题的个数是__________． ①n a n ＝a ②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1 ③3x 4＋y 3＝x 43＋y ④3－5＝6(－5)22．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的序号是__________． ①－x ＝(－x)12(x ≠0) ②x x ＝x 34 ③x －13＝－3x ④3x·4x ＝x 112⑤(x y )－34＝4(y x )3(xy ≠0) ⑥6y 2＝y 13(y<0)3．若a ＝2，b ＝3，c ＝－2，则(a c )b ＝__________.4．根式a a 的分数指数幂形式为__________．5.4(－25)2＝__________.6．2－(2k ＋1)－2－(2k －1)＋2－2k 的化简结果是__________．7．(1)设α，β是方程2x 2＋3x ＋1＝0的两个根，则(14)α＋β＝__________.(2)若10x ＝3,10y ＝4，则10x －12y ＝__________.8．(1)求下列各式的值：①2723②(614)12③(49)－32(2)解方程：①x －3＝18②x ＝914.(1)(0.027)23＋(12527)13－(279)0.5(2)(13)12＋3·(3－2)－1－(11764)14－(333)34－(13)－1.10．已知a 12＋a －12＝4，求a ＋a －1的值．(1)5x －23y 12(－14x －1y 12)(－56x 13y －16)(2)m ＋m －1＋2m －12＋m 12.12．[(－2)2]－12的值是__________．13．化简(36a 9)4·(63a 9)4的结果是__________．14．以下各式，化简正确的个数是__________．①a 25a －13a －115＝1②(a 6b －9)－23＝a －4b 6 ③(－x 14y －13)(x －12y 23)(－x 14y 23)＝y④－15a 12b 13c －3425a －12b 13c 54＝－35ac15．(2010山东德州模拟，4改编)如果a 3＝3，a 10＝384，则a 3[(a 10a 3)17]n 等于__________．16．化简3(a －b )3＋(a －2b )2的结果是__________．17．下列结论中，正确的序号是__________．①当a<0时，(a 2)32＝a 3 ②n a n ＝|a|(n>1且n ∈N *)③函数y ＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是(2，＋∞)④若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b ＝118．(1)若a ＝(2＋3)－1，b ＝(2－3)－1，则(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2的值是__________．(2)若x ＞0，y ＞0，且x(x ＋y)＝3y(x ＋5y)，则2x ＋2xy ＋3y x －xy ＋y的值是__________．19．已知a ＝2 0091n －2 009－1n2(n ∈N *)，则(a 2＋1＋a)n 的值是__________．20．若S ＝(1＋2－132)(1＋2－116)(1＋2－18)(1＋2－14)(1＋2－12)，那么S 等于__________．21．先化简，再求值： (1)a 2·5a 310a 7·a ，其中a ＝8－53；(2)a 3x ＋a －3xa x ＋a－x ，其中a 2x ＝5.22.(易错题)计算：(1)(235)0＋2－2·(214)－12－(0.01)0.5(2)(279)0.5＋0.1－2＋(21027)－23－3π0＋3748(3)(0.008 1)－14－[3×(78)0]－1×[81－0.25＋(338)－13]－12－10×0.02713.23．已知x 12＋x－12＝3，求x32＋x－32＋2x2＋x－2＋3的值．24．化简下列各式：(1)x －2＋y －2x －23＋y －23－x －2－y －2x －23－y －23(2)a 43－8a 13b a 23＋23ab ＋4b 23÷(1－23b a )×3a.答案与解析基础巩固1．1 ∵n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，当n 为奇数时，|a|，当n 为偶数时，∴①不正确； ∵a ∈R ，且a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≠0，∴②正确； ∵x 4＋y 3为多项式，∴③不正确；④中左边为负，右边为正显然不正确．∴只有②正确．2.②⑤ ①－x ＝－x 12，∴①错； ②x x ＝(x x)12＝(x·x 12)12＝(x 32)12＝x 34，∴②对； ③x －13＝1x 13＝13x ，∴③错； ④3x·4x ＝x 13·x 14＝x 13＋14＝x 712， ∴④错；⑤(x y )－34＝(y x )34＝4(y x)3， ∴⑤对；⑥6y 2＝|y|13＝－y 13(y<0)，∴⑥错． ∴②⑤正确．3.164 (a c )b ＝a bc ＝23×(－2)＝2－6＝126＝164. 4．a 32 a a ＝a·a 12＝a1＋12＝a 32. 5．54(－25)2＝4252＝454＝5. 6．－2－(2k ＋1)∵2－(2k ＋1)－2－(2k －1)＋2－2k ＝2－2k ·2－1－2－2k ·21＋2－2k ＝(12－2＋1)·2－2k ＝－12·2－2k ＝－2－(2k ＋1)． 7．(1)8 (2)32 (1)由根与系数的关系，得α＋β＝－32，∴(14)α＋β＝(14)－32＝(2－2)－32＝23＝8. (2)∵10x ＝3,10y ＝4，∴10x －12y ＝10x ÷1012y ＝10x ÷(10y )12＝3÷412＝32. 8．解：(1)①2723＝(33)23＝33×23＝32＝9. ②(614)12＝(254)12＝[(52)2]12＝(52)2×12＝52. ③(49)－32＝(23)2×(－32)＝(23)－3＝(32)3＝278. (2)①∵x －3＝18＝2－3，∴x ＝2. ②∵x ＝914，∴(x)2＝(914)2＝912.∴x ＝(32)12＝3. 9．解：(1)原式＝(0.33)23＋(12527)13－(259)12＝9100＋53－53＝9100. (2)原式＝3－12＋33－2－(8164)14－(3－23)34－31 ＝33＋3(3＋2)－[4(34)4]14－3－12－3 ＝33＋3＋6－2·34－33－3 ＝6－342. 10．解：∵a 12＋a －12＝4.∴两边平方，得a ＋a －1＋2＝16.∴a ＋a －1＝14. 11．解：(1)原式＝245×5×x －23＋1－13×y 12－12＋16＝24x 0y 16＝24y 16； (2)原式＝(m 12)2＋2m 12·m －12＋(m －12)2m －12＋m 12＝(m 12＋m －12)2m 12＋m －12＝m 12＋m －12. 能力提升12.22 原式＝2－12＝12＝22. 13．a 4 原式＝(3a 96)4·(6a 93)4＝(a 32×13)4·(a3×16)4＝(a 12)4·(a 12)4＝a 2·a 2＝a 4. 14．3 由分数指数幂的运算法则知①②③正确；对④，∵左边＝－35a 12＋12b 13－13c －34－54＝－35a 1b 0c －2＝－35ac －2≠右边，∴④错误． 15．3·2n 原式＝3·[(3843)17]n ＝3·[(128)17]n ＝3·(27×17)n ＝3·2n . 16．b 或2a －3b 原式＝a －b ＋|a －2b|＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋2b －a ，a ＜2b a －b ＋a －2b ，a ≥2b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ＜2b ，2a －3b ，a ≥2b.17．④ ①中，当a ＜0时，(a 2)32＝[(a 2)12]3＝(|a|)3＝(－a)3＝－a 3， ∴①不正确；当a ＜0，n 为奇数时，n a n ＝a ， ∴②不正确；③中，有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，3x －7≠0，即x ≥2且x ≠73，故定义域为[2，73)∪(73，＋∞)， ∴③不正确；④中，∵100a ＝5,10b ＝2，∴102a ＝5,10b ＝2,102a ×10b ＝10.∴2a ＋b ＝1.∴④正确．18．(1)23 (2)3 (1)a ＝12＋3＝2－3，b ＝12－3＝2＋3， ∴(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2＝(3－3)－2＋(3＋3)－2＝1(3－3)2＋1(3＋3)2＝(3＋3)2＋(3－3)2(3－3)2·(3＋3)2 ＝32＋2·3·3＋3＋32－2·3·3＋3[(3－3)(3＋3)]2＝2×9＋6(9－3)2＝2436＝23. (2)由已知条件，可得(x)2－2xy －15(y)2＝0，∴x ＋3y ＝0或x －5y ＝0.∵x ＞0，y ＞0，∴x ＝5y ，x ＝25y.∴原式＝50y ＋225y 2＋3y 25y －25y 2＋y ＝50y ＋10y ＋3y 25y －5y ＋y ＝63y 21y＝3. 19．2 009 ∵a ＝2 0091n －2 009－1n 2，∴a 2＋1＝1＋2 0092n ＋2 009－2n －24＝(2 0091n )2＋2＋(2 009－1n )24＝(2 0091n ＋2 009－1n 2)2.∴a 2＋1＋a ＝2 0091n ＋2 009－1n 2＋2 0091n －2 009－1n 2＝2 0091n. ∴(a 2＋1＋a)n ＝(2 0091n)n ＝2 009. 20.12(1－2－132)－1 原式＝(1－2－132)(1＋2－132)(1＋2－116)(1＋2－18)(1＋2－14)(1＋2－12)1－2－132＝(1－2－116)(1＋2－116)(1＋2－18)(1＋2－14)(1＋2－12)1－2－132＝(1－2－18)(1＋2－18)(1＋2－14)(1＋2－12)1－2－132＝(1－2－14)(1＋2－14)(1＋2－12)1－2－132＝(1－2－12)(1＋2－12)1－2－132＝1－2－11－2－132＝12(1－2－132)－1. 21．解：(1)原式＝a2＋35－710－12＝a 75＝(8－53)75＝8－73＝(23)－73＝2－7＝1128. (2)原式＝(a x )3＋(a －x )3a x ＋a －x ＝(a x ＋a －x )(a 2x －a x ·a －x ＋a －2x )a x ＋a －x＝a 2x －1＋a －2x ＝5－1＋15＝415. 22．解：(1)原式＝1＋14·(49)12－(1100)12＝1＋14×23－(110)2×12＝1＋16－110＝1115. (2)原式＝(259)12＋(110)－2＋(6427)－23－3×1＋3748＝53＋100＋(43)－2－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (3)原式＝[(0.3)4]－14－3－1×[(34)－14＋(278)－13]－12－10×[(0.3)3]13＝0.3－1－13[3－1＋(32)－1]－12－10×0.3＝103－13(13＋23)－12－3＝103－13－3＝0.23．解：∵x 12＋x －12＝3，∴(x 12＋x －12)2＝9.∴x ＋x －1＝7. ∴原式＝(x 12)3＋(x －12)3＋2x 2＋x －2＋3＝(x 12＋x －12)(x －1＋x －1)＋2(x ＋x －1)2－2＋3＝3×(7－1)＋272－2＋3＝25.- 11 -拓展探究24．解：(1)原式＝(x －23)3＋(y －23)3x －23＋y －23－(x －23)3－(y －23)3x －23－y －23＝(x －23)2－x －23·y －23＋(y －23)2－(x －23)2－x －23·y －23－(y －23)2＝－2(xy)－23. (2)原式＝a 13[(a 13)3－(2b 13)3]a 23＋2a 13b 13＋(2b 13)2÷(1－2b 13a 13)×a 13 ＝a 13(a 13－2b 13)[a 23＋2a 13b 13＋(2b 13)2]a 23＋2a 13b 13＋(2b 13)2÷a 13－2b 13a 13×a 13＝a 13(a 13－2b 13)·11×a 13a 13－2b 13×a 13＝a 13·a 13·a 13＝a.。
新高考数学复习考点知识与题型专题讲解15---n次方根与分数指数幂(解析版)
新高考数学复习考点知识与题型专题讲解15 n 次方根与分数指数幂1．根式的概念一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的，其中n >1，且n ∈N *.(1)当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号 表示．(2)当n 是偶数时，正数a 的n 次方根有两个，记为，负数没有偶次方根．(3)0的任何次方根都是0，记作.式子na 叫做根式，其中n (n >1，且n ∈N *)叫做根指数，a 叫做被开方数．2．根式的性质根据n 次方根的意义，可以得到： (1)(na )n ＝.(2)当n 是奇数时，n a n ＝a ；当n 是偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.注意：(n a )n 中当n 为奇数时，a ∈R ；n 为偶数时，a ≥0，而(na n )中a ∈R . 答案：n 次方根n a ±n a n0＝0a题型一 指数与指数幂的运算1．已知4230.2,0.3,0.4a b c ===，则（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．a b c << 【答案】B【解析】∵40.20.0016a ==，20.30.09b ==，30.40.064c ==， ∴b c a >>， 故选B ．题型二 根式、指数幂的化简、求值2．若0xy ≠=- A ．0x >，0y >B ．0x >，0y < C ．0x <，0y >D ．0x <，0y < 【答案】C【解析】0xy ≠，0x ∴≠，0y ≠．由 23000x y xy y ⎧>⎪->⎨⎪>⎩，得 00x y <⎧⎨>⎩.故选C.3．已知函数()22333xxf x =+，则12100101101101f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________.【答案】50【解析】()()119999939119393939399339x xxx x xxx xx xf x f x --+-=+=+=+=++++++， 设12100101101101S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，110029950512101101101101101101S ff f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦1100100=⨯=. 因此，1210050101101101f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：50.题型三 根数指数幂与根式的互化4．若()3432x --有意义，则实数x 的取值范围是 A ．(),-∞+∞B ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】要使34(32)x -=-需使320x ->，解得32x <，表示为区间形式即3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故选C.1 ）A ．．C 【答案】A【解析】由题意，可知0a ≥，()11111116363623a a a a a a +=-⋅=-⋅=-=-=故选：A.2．把(a -(1)a -移到根号内等于（ ）A ．．【答案】C 【解析】解：由101a-，得1a <，则10a -<，(a ∴-故选：C ．32，结果是（ ）A ．6x ―6B ．―6x +6C ．―4D ．4 【答案】D【解析】2，∴29610350x x x ⎧-+≥⎨-≥⎩，∴53x ≥，22=31(35)4x x =---= 故选：D.4．某工厂一年中第十二个月的产量是第一个月产量的a 倍，那么该工厂这一年的月平均增长率是（ ）A ．11a B ．12aC ．1D 1 【答案】D【解析】设月平均增长率为x ，据条件可知：()111x a +=，所以1x +=1x =， 故选：D.5．已知a =，则21211a a a a-+-化简求值的结果是（ ）A ．0B ．1．1 【答案】B【解析】由已知，01a <<22121(1)1111(1)a a a a a a a a a a-+--=----- 1111a a a a=-+-=-,代入2a ==原式211== 故选：B6．下列各式中成立的是（ ）A ．7177n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．C32()x y +D 3π=- 【答案】D【解析】对于A ，777n n m m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B =B 错误； 对于C ，显然不成立，故C 错误；对于D 33ππ=-=-，故D 正确. 故选：D.7________． 【答案】1-202x x -≥⇒≤．|2||3|(2)(3)1x x x x =---=---=-． 故答案为：1-8．已知m 、n 是方程2530x x ++=的两根，则______．【答案】-【解析】对于方程2530x x ++=，2543130∆=-⨯=>，由韦达定理可得53m n mn +=-⎧⎨=⎩，0m ∴<，0n <，因此，==-=-故答案为：-9．化简：（1（2|3)x <【答案】（11；（2）22(31),4(13).x x x ---<<⎧⎨-≤<⎩ .【解析】（1）原式(11=+(111=++1111=+=.（2）原式=13x x =--+()()13,3113,13x x x x x x ⎧----<<⎪=⎨---≤<⎪⎩，22(31),4(13).x x x ---<<⎧=⎨-≤<⎩ 10．化简下列各式． （Ⅰ）计算：10.25021116()()812-+--；（Ⅱ）若为a ，b 正数，化简(-÷． 【答案】（Ⅰ）6；（Ⅱ）24b .【解析】（1）原式40.254(3)16--=+-=；（2）原式()()12211133342423424a b a b a b b ----⎛⎫=⨯-⨯-÷= ⎪⎝⎭．。
浅谈关于分数指数幂的几点见解
m
p
还有如下情 况 : r < 0 , s < 0 ; r < 0, s > 0; r , s 有一 为 0 . 仿照 ( 1) , ( 2) , 均可证 明 ar ∋ as = ar + s . 性质 2 &、 3&的证法类似 . 教学中不一 定要 论证 这些性 质 , 但值 得注 意 的是 , 证明中必 须利 用根 式的一 些性 质 , 所以 条 理上应 是先 有 根式 的 性质 , 后 有 幂运 算 的性 质 . 而有些 教材 恰 好相 反 , 给 出幂 运 算的 性 质以 后 , 才得到一些根式的 性质 . 譬如教 材说 : 由 幂的 运 算性质可得 ( ab) n = a n∋ b n , ( a n ) m = a m n , %, 按照分数指数幂的意 义 , 可把 这些 式子表 成根 式 的形式 , 即 ab = a ∋ b , a= a, %. 这 样 处理 , 就是因果倒置了 . 3 分数指数幂的底可以是负数吗 m n m 设 a < 0 , 考虑 正分数 , 看 a n = a m 是 否 n m 唯一确定 , 并且 满足运 算性质 1 & ~ 3&. 不妨 设 n 是既约分数 , 它代表与它相等的一类分数 .
浅谈关于分数指数幂的几点见解
余炯沛
( 北京师大数学系 100875 )
分数指数幂是整 数指数 幂的 推广 , 它 又是 进 一步建立无理数指数幂的依据 . 其定义如下 : an= 1) ; am n= m
n
张鸿菊
( 北京师大二附中)
数 , n > 1) . 1 定义的合理性问题 在使用定义 时 , 通 常都把 分数 指数幂 中的 指 数理解为有理数 . 由于 一个有 理数 可以用 一类 相 等的分数中任何一 个来代 表 , 例如 0 6 可 以表 为 3 3 6 9 分数 , , , % 中 任 一 个, 就 会 问: a 5 , 5 10 15
高中数学分数指数幂练习题(带答案)
高中数学分数指数幂练习题（带答案）数学必修1(苏教版)2.2 指数函数2．2.1 分数指数幂在初中我们已经知道：若x2＝a，则x叫做a的平方根，同理，若x3＝a，则x叫做a的立方根．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为2，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如－8的立方根为－2；零的平方根、立方根均为零，那么类比平方根、立方根的概念，n次方根的概念是什么呢？基础巩固1．下列各式中，对xR，nN*恒成立的是()A.nxn＝xB.n|x|n＝xC．(nx)n＝x D.2nx2n＝|x|解析：nxn＝x，n为奇数|x|，n为偶数.答案：D2．设a＝424，b＝312，c＝6，则a，b，c的大小关系是() A．ac B．baC．ba D．ac解析：将根指数化为相同，再比较被开方数．答案：D3．式子3＋5＋3－5的化简结果为()A．1 B．10 C．100 D.10解析：3＋5＋3－5＝6＋252＋6－252＝5＋122＋5－122＝10.答案：D4.614－3338＋40.0625－(3＋)0的值是()A．0 B.12 C．1 D.32解析：原式＝52－32＋0.5－1＝12.答案：B5．已知x2＋x－2＝22且x1，则x2－x－2的值为()A．2或－2 B．－2 C．2 D.6解析：(x2＋x－2)2＝(22)2，即x4＋x－4＋2＝8，即x4＋x －4＝6，而(x2－x－2)2＝x4＋x－4－2＝4，又∵x1，x2x－2，故x2－x－2＝2.解析：C6．计算：2＋25－52＋15－1＝________.解析：5－5＝－5(5－1)，2＋2＝2(2＋1)．答案：－107．若4a2－4a＋1＝31－2a3，则a的取值范围是________．解析：∵2a－12＝|2a－1|＝1－2a，2a－10，即a12.答案：－，128.5＋26＋5－26＝________.解析：原式＝3＋2＋3－2＝23.答案：239．化简：（－＋1）（＋＋1）（x－＋1）＝________. 解析：原式＝[( ＋1)2－( )2](x－＋1)＝(x＋1＋ )(x－＋1)＝(x＋1)2－( )2＝x2＋x＋1.答案：x2＋x＋110.36a9463a94的结果是________．解析：[ ]4[ ]4＝＝a2＋2＝a4.答案：a411．用分数指数幂表示4a3aa＝________.解析：原式＝＝答案：12．若m＝(2＋3)－1，n＝(2－3)－1，则(m＋1)－2＋(n＋1)－2＝________.解析：∵m＝2－3，n＝2＋3，原式＝13－32＋13＋32＝112－63＋112＋63＝＝162＋3＋2－3＝46＝23.答案：2313．（）（－）6（－）＝________.解析：原式＝－2－3 ＝ .答案：14．计算： 33yx3x2y(x0)．解析：原式＝能力提升15.82＋122＋124＋128＋1＋1＝________.解析：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(28－1)(28＋1)＋1＝216－1＋1＝216.原式＝22＝4.答案：416．化简：a3b23ab2a14b1243ba(a，b0)的结果是________．解析：原式＝＝＝＝ab.答案：ab17．x12，2，则4x2－4x＋1＋2x2－4x＋4＝________.解析：原式＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝2x－1＋4－2x＝3.答案：318．已知a＝ (nN*)，求(a2＋1＋a)n的值．解析：∵a＝，a2＋1＝＋1a2＋1＋a＝＋ .(a2＋1＋a)n＝2019.19．已知a2x＝2＋1，求a3x＋a－3xax＋a－x的值．解析：原式＝＝a2x＋a－2x－1＝2＋1＋12＋1－1＝2＋2－1＝22－1. xKb 1. Com20．设x＝3a＋a2＋b3＋3a－a2＋b3，求x3＋3bx－2a的值．解析：设u＝3a＋a2＋b3，v＝3a－a2＋b3，则x＝u＋v，u3＋v3＝2a，uv＝3a2－a2＋b3＝－b.x3＝(u＋v)3＝u3＋u3＋3uv(u＋v)＝2a－3bx，x3＋3bx－2a＝0.21．化简：－ .解析：原式＝－＝－2 ＝－23xyxy.22．化简：＋－ .解析：原式看上去比较复杂，不易发现项与项之间、分子与分母之间的关系，如令b＝，式子就变得简单些了．令b＝，即a＝b3，原式＝b3－1b2＋b＋1＋b3＋1b＋1－b3－bb－1＝＋－＝b－1＋b2－b＋1－b2－b＝－b＝－ .。
(完整版)分数指数幂练习题.docx
分数指数幂1．下列命题中，正确命题的个数是．① n n ＝ a 2 0＝ 1 a ② 若 a ∈R ，则 (a －a ＋ 1) ③ 3 x ＋ y ＝ x ＋ y ④ 3 － 5＝6－ 5243432．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的序号是．1(x ≠ 0) ②x x ＝ x 3③ x － 1 ＝－ 3341x )－ 3 ＝ ① － x ＝ (－ x)4 3 x④ x · x ＝ x12 ⑤ ( 42y 4y 3⑥621(xy ≠ 0)y ＝y (y<0)x3c b3．若 a ＝ 2， b ＝ 3， c ＝－ 2，则 (a ) ＝ __________. 4．根式 aa 的分数指数幂形式为．4 25.－ 25 ＝ __________.－ (2k ＋1)－(2k － 1)－2k6． 2－ 2 ＋ 2 的化简结果是． 7． (1)设 α， β是方程 2x 21 ＋ ＋3x ＋ 1＝ 0 的两个根，则 ( ) α β＝ __________.4 x y 1 (2)若 10 ＝ 3,10 ＝ 4，则 10x － 2y ＝ __________. 8． (1)求下列各式的值： 2 1 14 3 ① 27 ； ②(6 ) ； ③ ( )－ .3 4 29 2 －31 1 (2)解方程： ① x＝8；② x ＝ 94.9．求下列各式的值：2125 1 7 0.5(1)(0.027) 3＋ ( 27 )3－ (29) ；1 117 13－ 1 3 3 1 －1 (2)(3)2＋3·( 3－2) － (164)4－ (3 )4－ (3) .11－110．已知 a2＋a－2＝ 4，求 a＋ a的值．11．化简下列各式：2 15x－3y2(1)1 －1 1 5 1 1；－4x y2－6 x3y－6m＋ m －1＋ 2(2)1 1 . m－2＋m 2.2112． [(－ 2) ] －2的值是．36369494的结果是．13．化简 ( a ) ·( a )14．以下各式，化简正确的个数是．211①a5a－3 a－15＝ 16－ 92－46②(a b)－＝ a b3111212③(－ x4y－3)(x－2 y3)(－ x4y3)＝ y 1 1 3－15a 2b3c－43④1 1 5＝－5ac25a － b c2 3 415． (2010 山东德州模拟， 4 改编 )如果 a3＝ 3， a10＝384 ，则 a3[(a101 n．a) ] 等于316．化简3a－ b3a－ 2b2．＋的结果是17．下列结论中，正确的序号是．233①当 a<0 时， (a ) ＝ a2②na n＝ |a|(n>1 且 n∈ N * )10③函数 y＝ (x－2)－ (3x－ 7) 的定义域是 (2，＋∞ )2④若 100a＝ 5,10b＝ 2，则 2a＋ b ＝118． (1) 若 a＝ (2＋－ 1－1－ 2＋ (b＋ 1)－ 2．3) ， b ＝ (2－3)，则 (a＋ 1)的值是.(2)若 x＞ 0， y＞ 0，且 x(x＋y)＝ 3y( x＋ 5y)，则2x＋ 2xy＋ 3y的值是．x－ xy＋ y112 009 n－ 2 009 －n*2＋1 ＋a)n．19．已知 a＝(n∈ N )，则 ( a的值是21111120．若 S＝ (1＋2－32 )(1＋ 2－16)(1＋ 2－8)(1＋ 2－4)(1＋ 2－2)，那么 S 等于．21．先化简，再求值：2535a · a(1)，其中 a＝8 －3；107a · a3x－ 3xa ＋ a2xx－ x22.(易错题 )计算：3 0－ 2 1 10.5(1)(25) ＋ 2 ·(24)－2－ (0.01)；7 0.5－ 210 2037 (2)(29) ＋ 0.1＋ (227)－3－ 3π＋48；17 0－1[81－ 0.253111(3)(0.008 1) －－[3× ( ) ]×＋ (3 )－ ]－－ 10×0.027 .4883233311x2＋ x－2＋ 223．已知 x2＋x－2＝ 3，求x2＋x－2＋3的值．24．化简下列各式：x－ 2－ 2－ 2－ 2＋ yx－ y(1)22－22；x － 3＋ y － 3 x － 3－ y － 341(2)a 3－8a 3b3 b3 a.÷(1－ 2)× 23 2aa ＋ 2 ab ＋ 4b 33答案与解析基础巩固nna ，当 n 为奇数时， 1． 1 ∵ a ＝|a|，当 n 为偶数时，∴① 不正确；21 23∵a ∈ R ，且 a － a ＋ 1＝ (a － ) ＋ ≠0 ，∴② 正确；4 3∵ x ＋ y 为多项式， ∴③ 不正确； ④中左边为负，右边为正显然不正确． ∴只有 ② 正确．12.②⑤ ① － x ＝－ x 2， ∴① 错；1 1 1 3 1 3② x x ＝ (x x) ＝ (x ·x ) ＝ (x ) ＝ x ， ∴② 对；2 2 2 2 2 41 1 1 ③ x －3＝ 1＝， ∴③ 错；x 3 3x④ 34 1 1 1 1 7x · x ＝ x ·x 4＝ x ＋ ＝ x ，3 3412∴④ 错；x3 y 3＝ 4y 3⑤( )－ ＝ ( )x ，y4 x 4∴⑤ 对；⑥ 6211y ＝ |y|3 ＝－ y 3(y<0) ， ∴⑥ 错．∴②⑤ 正确．3. 1c bbc3×(－ 2)－ 61 1(a ) ＝ a＝2 ＝ 2 ＝ 6＝.642 643 11 34． a 2 a a ＝ a ·a 2＝ a1＋2＝ a 2.5． 5 － 25 ＝ 4 25 ＝ 45 ＝ 5.4 2 2 46．－ 2－ (2k ＋ 1)－ (2k ＋ 1)－ (2k － 1)－2k －2k －1－ 2k1－2k1 － 2k1 － 2k∵ 2－ 2＋2＝ 2·2 － 2 ·2 ＋ 2 ＝( － 2 ＋ 1)·2 ＝－2 ·22＝－ 2 －(2k ＋ 1)．337． (1)8(2)2 (1)由根与系数的关系，得 α＋ β＝－ 2 ，1 ＋1 3 － 23 3∴( ) α β)－ ＝ 2 ＝8.＝ ( )－ ＝ (244 22xy1x1 xy 11 3(2)∵ 10 ＝ 3,10 ＝ 4， ∴ 10x － 2y ＝ 10 ÷102y ＝10 ÷(10 )2＝ 3÷42＝ 2.2 3 2 2 28．解： (1)① 273＝ (3 )3＝ 33×3 ＝ 3 ＝ 9.1 1 25 1② (64 )2 ＝( 4 )25 2 15 15 ＝ [( 2) ]2 ＝ (2)2× 2＝ 2.432 3③ (9)－ 2＝ (3)2× (－ 2)2 － 33 327 ＝(3) ＝ (2) ＝ 8 . － 3 1 － 3(2)①∵ x ＝ 8＝ 2 ， ∴x ＝ 2.②∵ x ＝ 9 1 ， 4∴( 2 1 21 x) ＝ (9 ) ＝ 9 .42 2 1∴ x ＝(3 )2＝ 3.9．解：32 125 125 1 95 5 9(1)原式＝ (0.3 ) ＋ (27 ) － (9 ) ＝＋ － ＝.332100331001 381 12 31(2)原式＝ 3－2 ＋ 3－ 2 － (64)4－(3－ 3)4－ 333 4 1 1＝ 3 ＋3( 3＋ 2)－ [4(4) ]4 －3 －2－ 333 3＝3 ＋ 3＋ 6－ 2 ·－ － 34 36 32.＝ －41 110．解： ∵a 2＋ a － 2＝ 4.∴两边平方，得 a ＋ a －1＋ 2＝ 16.∴a ＋ a －1＝ 14.11．解： (1)原式＝24 2 1 1 1 1 01 1 × 5× x －＋ 1－ × y － ＋ ＝ 24xy ＝ 24y ；53322 666(2)原式1 2111 2m 2 ＋ 2m 2·m － 2＋ m － 2＝11m － 2＋ m 2 11 2m 2＋ m － 211＝1 1 ＝ m 2＋ m － 2. m 2＋m － 2能力提升21 1 212. 2原式＝ 2－ 2＝ 2 ＝ 2 .439 4 69 43 1 41 4 1 4 1 42 2 4原式＝ ( 13． aa ) ·(a) ＝(a ×) ·(a3× 6 ) ＝ (a ) ·(a ) ＝a ·a ＝ a .632 32214． 3 由分数指数幂的运算法则知 ①②③ 正确；对④ ， ∵ 左边＝－3 1 1 1 13 53 1 0 － 2 3－ 25 a ＋ b－ c － － ＝－a b c ＝－ ac ≠ 右边， ∴④ 错误．2 23 344 55n384 1 n 1 n1 nn15． 3·2原式＝ 3·[( 3 )7] ＝ 3·[(128) 7] ＝3 ·(27× 7) ＝ 3·2 .16． b 或 2a － 3ba －b ＋ 2b － a ， a ＜ 2bb ， a ＜2b ，原式＝ a － b ＋ |a － 2b| ＝＝ 2a － 3b ， a ≥ 2b.a －b ＋ a － 2b ， a ≥ 2b2321 333 317． ④ ①中，当 a ＜ 0 时， (a )2 ＝[(a )2] ＝(|a|) ＝ (－ a) ＝－ a ，∴① 不正确；当 a ＜ 0， n 为奇数时， nna ＝ a ，∴② 不正确；x － 2≥ 0， ③中，有3x － 7≠ 0，7即 x ≥ 2 且 x ≠ 3，7 7故定义域为 [2， 3)∪ (3 ，＋ ∞ )，∴③ 不正确；④中， ∵ 100a ＝ 5,10b ＝2 ，∴ 102a ＝5,10 b ＝ 2,102a × 10b ＝ 10.∴ 2a ＋ b ＝1.∴④ 正确．21118． (1) 3 (2)3(1)a ＝ 2 ＋ 3 ＝2 － 3， b ＝ 2－ 3 ＝ 2＋ 3 ，∴(a ＋ 1) －2 ＋ (b ＋ 1) －2 ＝ (3 － 3 ) －2 ＋ (3 ＋ 3 ) －2＝1 2 ＋ 1 2 ＝3 － 3 3＋ 33 ＋ 3 2＋ 3－ 323－ 3 22·3＋ 3223 ＋ 2·3 · 3＋ 3＋ 3 － 2·3· 3＋ 3＝ [ 3 － 3 3＋ 23 ]2 × 9＋ 6 24 2 ＝9－ 3 2＝36 ＝ 3.(2)由已知条件，可得( x)2－ 2 xy －15(y)2＝ 0，∴ x ＋ 3 y ＝ 0 或 x －5 y ＝ 0.∵ x ＞0， y ＞ 0，∴ x ＝ 5 y ， x ＝25y.50y ＋ 2 25y 2＋ 3y∴原式＝2＋ y25y － 25y 50y ＋ 10y ＋ 3y 63y＝ ＝ ＝ 3.25y － 5y ＋ y 21y1 12 009 n － 2 009－ n19． 2 009 ∵ a ＝2，22∴ a 2＋ 1＝ 1＋2 009n ＋2 009 － n －241 21 22 009n ＋2＋ 2 009 － n＝411 2 009n＋ 2 009 －n2＝() .2∴2a ＋ 1＋ a1111 2 009 n＋ 2 009－n 2 009 n－ 2 009 －n＝2＋21＝2 009 n .2n 1 n∴( a＋ 1＋ a) ＝ (2 009n) ＝ 2 009.11 －120.2(1－ 2－32)原式＝111111 1－ 2－32 1＋ 2－32 1＋ 2 －16 1＋ 2－81＋ 2－41＋ 2－211 － 2－32111111－ 2－16 1＋ 2－16 1＋ 2－8 1＋ 2－4 1＋ 2－2＝11－ 2－3211111－ 2－81＋ 2－8 1 ＋2 －4 1 ＋2 －2＝11－ 2－321111－ 2－41＋ 2－4 1 ＋2 －2＝11 －2 －32111－ 2－21＋ 2－2＝11－ 2－32－11 － 21 1 －1＝1＝2(1－ 2－32) .1－ 2－323 7121．解： (1)原式＝ a2 ＋5－10－27 5 7＝a5＝(8－3)5737－ 71＝8 －3＝ (2 )－3＝ 2＝128.x 3－x 3a ＋ a(2)原式＝ x － xa ＋ ax － x2x x －x－ 2xa ＋ aa － a ·a＋a＝x－ xa ＋ a2x－2x1 1＝a － 1＋ a ＝ 5－ 1 ＋ ＝ 4 .5 51 4 1 －( 1 1 12 1 1 1 1 122．解： (1)原式＝ 1 ＋ ·( ) 100 ) ＝ 1＋ × － ( )2× ＝ 1＋ － 10 ＝ 1 .4 9 2 2 4 3 10 2 6 15 25 1 1 － 2 64 2 37(2)原式＝ ( 9 )2＋ (10) ＋(27)－ 3－ 3× 1＋ 485 4 － 2 37＝ 3 ＋ 100＋ (3 ) － 3＋ 4859 37 ＝ 3 ＋ 100＋ 16－ 3＋48＝ 100.(3)原式＝ [(0.3)41－ 1 41 27 1 1 31]－ － 3 × [(3 )－ ＋ (8)－ ]－ － 10× [(0.3) ]44323－ 11 － 13 －11＝0.3 － 3[3 ＋(2) ]－ 2－ 10× 0.310 1 1 2 1 10 1＝ 3 － 3(3＋3 )－2 －3 ＝ 3 － 3－ 3＝ 0.1123．解： ∵x 2 ＋x － 2＝ 3， ∴ (x 1＋ x － 1)2＝ 9.22 ∴ x ＋x －1＝ 7.1 31 3∴原式＝ x 2 ＋ x －2 ＋ 22－ 2x ＋ x ＋ 31 1 －1 ＋ x － x － 1＋ x ＋ 2x 2 2 ＝－ 1 2x ＋ x － 2＋ 3 3 × 7－ 1 ＋ 2 2 ＝72－ 2＋ 3 ＝ 5.拓展探究2 32 32 3 2 3x － 3＋ y － 3x － 3 － y － 32 22 2 2 224．解： (1)原式＝2 2 －22＝(x － 3) － x －3 ·y － 3＋ (y － 3) － (x －x －3 ＋ y － 3 x －3 －y － 32 22 22 22 3) － x － 3·y －3－ (y － 3) ＝－ 2(xy)－3 .11 3 131a 3[ a 3 － 2b 3 ]b 31(2)原式＝ 21 11 2÷(1－2 1 )× a 3a 3 ＋2a 3b 3＋ 2b 3 a 31 1 12 1 1a 3 a 3 －2b 3 [a 3＋ 2a 3b 3＋＝ 2 1 11 2a 3＋ 2a 3b 3＋ 2b 31 1 1a 3·a 3 ·a 3＝ a.1 2 1 1 1 1 1 12b 3 ] a 3－ 2b 3 1 a 3 a 3－ 2b 3 ·1a 31÷ 1 ×a ＝ 1 × 1× a ＝313a 3a 3－ 2b 3。
分数指数幂
问题2：分数(有理数)指数幂怎么定义？无理数指数幂如何定 义？
问题3：分数指数幂（实数指数幂）的运算还满足整数指数 幂运算性质吗？
新课讲授
一、根式
1.n次方根的定义：
x为a的n次方根 x a(n 1, n N )
n
试回答下列问题：
（1）1的3次方根是多少？-8的3次方根是多少？ 32的5次方根是多少？
0的负分数指数幂无意义
3.无理数指数幂的定义
一般的，当a>0且x是一个无理数时， 是一个确定的数；
a
x
三、指数幂的运算性质
（）a a a 1
r s
r
r s
(a 0, r, s R)
a r s （2） s a (a 0, r , s R) a
（3） ) a (a
(a 0, m, n N , n 1)
2分数（有理数）指数幂的定义：
一般的，我们规定：
(1)a
m n
a (a 0, m, n N , n 1)
n m
（2）a
m n
1
n
a
m
(a 0, m, n N , n 1)
注意： 0的正分数指数幂等于0
作业：
• 课本P63
1，2，5，6，7
（3） m )n amn (a 0, m, n Z ) （4） )n a nbn (a, b 0, n Z ) (a (ab
2.平方根，立方根的概 念：
x为a的平方根（ 次方根） x a 2
2
x为a的立方根（ 次方根） x a 3
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高中数学分数指数幂专题含答案
高中数学分数指数幂专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知m >0，则√m 12√m 52√m 化为( )A.m 54 B.m 32C.mD.12. 用分数指数幂表示√a 12√a 12√a(a >0)其结果是（ ）A.aB.a 12C.a 14D.a 163. 化简(√√a 963)4⋅(√√a 936)4的结果等于( ) A.a 16 B.a 8 C.a 4 D.a 24. √a ⋅√a ⋅√a 3的分数指数幂表示为（ ）A.a 32 B.a 3C.a 34D.都不对5. 将√223化成分数指数幂为（ ） A.232 B.2−12C.213D.2236. 下列等式成立的是( ) A.(−2)−2=4 B.2a −3=12a 3(a >0) C.(−2)0=−1D.(a −14)4=1a (a >0)7. 若a =(12)34，b =(34)12，c =log 23，则a ，b ，c 大小关系是（ ） A.B.C.D.8. 已知a =(−2)13，b =416，c =(12)−14，d =8113，则a ，b ，c ，d 之间的大小关系为( )A.d <c <b <aB.a <d <c <bC.d <a <c <bD.a <c <d <b9. 已知x 12−x −12=√5，则x +1x 的值为( ) A.7 B.3√5 C.±3√5 D.2710. 下列各式正确的是( ) A.a −35=√a53B.√x 23=x 32C.a 12⋅a 14⋅a −18=a 12×14×(−18) D.2x −13(12x 13−2x −23)=1−4x11. (112)0−(1−0.5−2)÷(278)23的值为( ) A.−13B.13C.43D.7312. 已知a =243，b =425，c =2513，则（ ） A.b <a <c B.a <b <c C.b <c <a D.c <a <b13. 若√a 2−4a +46=√2−a 3，则实数a 的取值范围是（ ） A.a ∈R B.a =2C.a >2D.a ≤214. 计算：________.15. 若，且满足，则的最小值为________.16. 已知：y =√x−2+√2−x2+3，则x y =________．17. 式子a2⋅√a（其中a>0）用分数指数幂表示为________．18. 方程21−x=132的解为________.19. 已知x+x−1=3,则x2+x−2=________；x12+x−12=________.20. 计算813+(12)−2+(27−1+16−2)0=________．21. 化为分数指数幂的形式：3√b√ab3=________．22. 方程3x+1=19的解是________．23. 已知a+b=5，ab=3，则代数式a3b−2a2b2+ab3的值为________．24. 化简或求值（1）；（2）．25. 计算：0.16−12+(−59)+[(−2)3]43+16−0.75+|−0.001|13．26. 计算：(1+2−18)(1+2−14)(1+2−12)27. 用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）；（1）√a6b5；（2）√m 23；（3）√(m −n)3(m >n)；（4）√a ⋅√a 3；（5）√a √a √a ． 28. (1)计算：(278)−23−(499)0.5+(0.008)−23×225；(2)已知集合A ={x|2x−3≥1}，B ={x|a +1≤x <2a −1}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围． 29. 解答.(1)求值：√(−27)23+√(2−π)2+√(4−π)44；(2)计算：2x −13(12x 13+x −23)x ；(3)计算：(x 12+2y 14)(x 12−2y 14)÷y −12.30. 化简求值： （1）0.125−13−(98)0+[(−2)2]32+(√2×√33)6；（2）(5116)0.5+√(−10)2−2√3×√276−4π0÷(34)−131. 已知x 12+x −12=3，求x 32+x−32−3x 2+x −2−2的值.参考答案与试题解析高中数学分数指数幂专题含答案一、选择题（本题共计 13 小题，每题 3 分，共计39分）1.【答案】C【考点】分数指数幂【解析】此题暂无解析【解答】解：m>0，√m12√m52√m=√m12√m52⋅m12=√m12√m3=√m12⋅m32=√m2=m．故选C．2.【答案】B【考点】分数指数幂【解析】利用分数指数幂与根式的互化公式直接求解．【解答】解：∵a>0，∴√a12√a12√a=√a 12√a12a12=√a 12√a=√a 12a12=√a=a12．故选B．3.【答案】C【考点】分数指数幂【解析】本题主要考查根式的化简及分数指数幂的运算. 【解答】解：因为(√√a 963)4=(((a 9)16)13)4=a 9×16×13×4=a 2， (√√a 936)4=a 9×13×16×4=a 2，所以((√√a 963)4⋅(√√a 936)4=a 2⋅a 2=a 4. 故选C . 4. 【答案】 C【考点】 分数指数幂 【解析】从内到外依次将根号写成分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算性质化简． 【解答】解：√a ⋅√a ⋅√a 3=√a ⋅√a 323=√a ⋅a 12=√a 32=a 34．故选C ． 5.【答案】 D【考点】 分数指数幂 【解析】直接化根式为分数指数幂得答案． 【解答】 解：√223=223．故选：D ． 6.【答案】 D【考点】 分数指数幂 【解析】本题考查负数指数幂、分数指数幂的运算，属于基础题. 利用运算性质，逐项验证，即可求出结果. 【解答】解：A ，(−2)−2=14，故A 错误； B ，2a −3=2a 3(a >0)，故B 错误；C ，(−2)0=1，故C 错误；D ，(a −14)4=a −1=1a (a >0)，故D 正确.故选D . 7. 【答案】 A【考点】对数值大小的比较 分数指数幂【解析】根据题干，首先对a 1分别进行四次方，判断出a 1b 的大小，再和1进行比较得出． 【解答】根据题干条件知道，a =(12)2,a =18 b =(34)12b 4=916>a 4=0<a <b <b <1而c =log 23>1 故a <b <c故答案为：A ． 8. 【答案】 B【考点】指数函数的单调性与特殊点 分数指数幂 【解析】 无【解答】解：因为a =(−2)13<0， b =416=213，c =214，d =2313， 因为313<14<13，而函数y =2x 在R 上单调递增， 所以0<d <c <b ， 所以a <d <c <b ． 故选B ． 9.【答案】 A【考点】有理数指数幂的化简求值 分数指数幂 【解析】把x 12+x−12=3两边平方化简即可得出．【解答】解：∵x 12−x−12=√5，∴(x12−x−12)2=x+1x−2=5，∴x+1x=7．故选A.10.【答案】D【考点】分数指数幂【解析】此题暂无解析【解答】解：A，a−35=1a35=√a35，故此选项错误；B，√x23=x23，故此选项错误；C，a12⋅a14⋅a−18=a12+14−18=a58，故此选项错误；D，2x−13(12x13−2x−23)=1−4x−1=1−4x，故此选项正确.故选D.11.【答案】D【考点】分数指数幂【解析】此题暂无解析【解答】解：原式=1−(1−10.52)÷(32)2=1−(1−10.25)÷(32)2=1−(1−4)×4 9=1−(−3)×4 9=1+43=73．故选D．12.A【考点】 分数指数幂指数式、对数式的综合比较 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 13. 【答案】 D【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 有理数指数幂 分数指数幂【解析】由偶次根式的性质求a 的范围． 【解答】√a 2−4a +44=√a −2)23≥0 √2−a 3≥0即2−a ≥0,a ≤2故答案为：D ． 二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 14.【答案】加加2√2−3【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 顺序结构的应用 分数指数幂【解析】根据指数的运算公式和根式转化指数形式，即可得到答案 【解答】 2−12(−4)0√21√2−1−√(1−√5)0⋅823=1√21√2+√2+1−1×23=2√2+1−4=2√2−3 故答案为：2√2−3．I =…睛】本题考查指数式的运算，熟悉根式的性质、指数运算性质是解题的关键，考查计算能力． 15. 【答案】加加3+2√2【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 基本不等式 分数指数幂r 加加(2a +b )⋅(1a +1b )=2+2a b +b a +1=3+2a b +b a ≥3+2√b b ⋅bb =3+2√2【解答】由题则(2a +b )⋅(1a +1b )=2+2a b+b a +1=3+2a b+b a ≥3+2√2a b ⋅ba =3+2√2当且仅当2a b=ba．即a =1+√22,b =√2+1时，等号成立2a +b 的最小值为3+2√216. 【答案】 8【考点】 分数指数幂 【解析】 由函数y =√x−2+√2−x2+3的定义域求得x =2，进一步得到y =3，则答案可求．【解答】解：由{x −2≥02−x ≥0，解得x =2，∴ y =3，则x y =23=8． 故答案为：8． 17. 【答案】a 52【考点】 分数指数幂 【解析】根据根式与分数指数幂之间的关系进行化简即可． 【解答】 解∵ ∵ a >0∴ 根据根式与分数指数幂之间的关系可得a 2⋅√a =a 2⋅a 12=a 5故答案为：a 2518.【答案】 6【考点】 分数指数幂 【解析】分数化为以2为底的指数，指数相等即可解出x ． 【解答】21−x =132=2−5 1−x =−5 ，解得x =6故答案为：6 19. 【答案】7,√5【考点】有理数指数幂的化简求值根式与分数指数幂的互化及其化简运算分数指数幂【解析】此题暂无解析【解答】解：因为x+x−1=3，所以(x+x−1)2=9，即x2+x−2+2=9，所以x2+x−2=7；∵(x12+x−12)2=x+2+x−1=5，∴x12+x−12=√5.故答案为：7；√5.20.【答案】7【考点】分数指数幂【解析】直接利用分数指数幂的运算法则求解即可．【解答】解：813+(12)−2+(27−1+16−2)0=2+4+1=7．故答案为：7．21.【答案】a 52b−1【考点】分数指数幂【解析】根据分数指数幂的定义√a mn=a m n进行化简．【解答】解：3√b√ab3=a3b12a12b32=a52b−1，故答案为：a 52b−1．22.【答案】x=−3【考点】 分数指数幂 【解析】由题意，将方程变为3x+1=19=3−2，再由同底数幂相等得到方程x +1=−2解出x 的值【解答】解：∵ 3x+1=19=3−2 ∴ x +1=−2，解得x =−3 故答案为x =−3 23.【答案】 39【考点】 分数指数幂 【解析】a 3b −2a 2b 2+ab 3=ab(a 2−2ab +b 2)=ab(a −b)2=ab[(a +b)2−4ab]，由此能求出代数式a 3b −2a 2b 2+ab 3的值． 【解答】解：∵ a +b =5，ab =3，∴ a 3b −2a 2b 2+ab 3=ab(a 2−2ab +b 2) =ab(a −b)2=ab[(a +b)2−4ab] =3(25−12) =39．故答案为：39．三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，每题 10 分 ，共计80分 ） 24.【答案】 （1）a 58,−7 （2）101【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 有理数指数幂的化简求值 分数指数幂【解析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出． 【解答】 （1）原式=√ab 3b √ab=a ⋅a 13⋅b 13b ⋅a 12⋅122=a 12−73（2）原zx ¯=(94)12+(110)−2−[32)−13+1=32+100−32+1 =101【点．2青】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题． 25. 【答案】解：0.16−12+(−59)0+[(−2)3]43+16−0.75+|−0.001|13=2.5+1+116+18+110=30380【考点】分数指数幂 【解析】根据分数指数幂与根式之间的关系及指数的运算性质，我们分别计算出各项的值，代入即可得到答案． 【解答】 此题暂无解答 26. 【答案】 解：原式=(1−2−18)(1+218)(1+214)(1+212)1−2−18=(1−2−14)(1+214)(1+212)1−2−18=(1−2−12)(1+212)1−2−18=1−2−11−2−18=2−√278【考点】 分数指数幂 【解析】利用分数指数幂的运算法则即可得出． 【解答】 此题暂无解答 27.【答案】 解：（1）∵ a >0，b >0， ∴ √a 6b 5=a 3b 2√b =a 3b 52． （2）∵ m >0，∴ √m 23=m 23．（3）∵ m >n >0，∴ √(m −n)3=(m −1)32． （4）∵ a >0，∴ √a ⋅√a 3=a 12⋅a 13=a 56．（5）∵ a >0，∴ √a √a √a =√a ⋅√a ⋅a 12=√a ⋅a 34=a 78．【考点】 分数指数幂 【解析】 结合公式am n=√a m n ，利用分数指数幂的性质和运算法则求解．【解答】 解：（1）∵ a >0，b >0， ∴ √a 6b 5=a 3b 2√b =a 3b 52．（2）∵ m >0，∴ √m 23=m 23．（3）∵ m >n >0，∴ √(m −n)3=(m −1)32． （4）∵ a >0，∴ √a ⋅√a 3=a 12⋅a 13=a 56．（5）∵ a >0，∴ √a √a √a =√a ⋅√a ⋅a 12=√a ⋅a 34=a 78． 28. 【答案】 解：(1)(278)−23−(499)0.5+(0.008)−23×225=[(32)3]−23−[(73)2]12+[(0.2)3]−23×225=49−73+25×225=19.(2)因为2x−3≥1，即2x−3−x−3x−3≥0，所以5−x x−3≥0等价于{(5−x )(x −3)≥0,x −3≠0,解得3<x ≤5， 所以A ={x|2x−3≥1}={x|3<x ≤5}．因为B ={x|a +1≤x <2a −1}，B ⊆A ， 当B =⌀时，a +1≥2a −1，解得a ≤2； 当B ≠⌀时，{2a −1≤5,a +1>3,解得2<a ≤3.综上可得a ≤3．【考点】 分数指数幂集合关系中的参数取值问题 【解析】无 无 【解答】 解：(1)(278)−23−(499)0.5+(0.008)−23×225=[(32)3]−23−[(73)2]12+[(0.2)3]−23×225=49−73+25×225=19. (2)因为2x−3≥1，即2x−3−x−3x−3≥0，所以5−xx−3≥0等价于{(5−x )(x −3)≥0,x −3≠0,解得3<x ≤5，所以A ={x|2x−3≥1}={x|3<x ≤5}． 因为B ={x|a +1≤x <2a −1}，B ⊆A ， 当B =⌀时，a +1≥2a −1，解得a ≤2； 当B ≠⌀时，{2a −1≤5,a +1>3,解得2<a ≤3.综上可得a ≤3． 29. 【答案】解：(1)√(−27)23+√(2−π)2+√(4−π)44=32+π−2+4−π=9−2+4=11.(2)2x −13(12x 13+x −23)x=(1+2x −1)x =x +2. (3)(x 12+2y 14)(x 12−2y 14)÷y −12 =(x−4y 12)y 12=x √y −4y.【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 分数指数幂 【解析】解：（1）√(−27)23+√(2−π)2+√(4−π)24=32+π−2+4−π=9−2+4=11（2)2x−13(12x 13+x −23)x =(1+2x −1)x =x +2.（3）(x 12+2y 14)(x 12−2y 14)÷y−12=(x −4y 12)y 12=x √y −4y.【解答】解：(1)√(−27)23+√(2−π)2+√(4−π)44=32+π−2+4−π=9−2+4=11.(2)2x −13(12x 13+x −23)x=(1+2x −1)x =x +2. (3)(x 12+2y 14)(x 12−2y 14)÷y −12 =(x −4y 12)y 12=x √y −4y.30.【答案】解：根据指数幂与根式的运算,化简可得0.125−13−(98)0+[(−2)2]32+(√2×√33)6 =[(2)−3]−13−(98)0+[22]32+(212×313)6 =2−1+8+(212)6(313)6=2−1+8+8×9=81解：由分数指数幂及根式的运算,化简可得(5116)0.5+√(−10)2−2√3×√276−4π0÷(34)−1=[(32)4]0.5+10−2√3×(33)16−4×34=94+10−2√3×√3−3 =94+10−6−3=134【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 有理数指数幂的化简求值 分数指数幂【解析】（1）根据指数幂与根式的运算，化简即可得解 （2）由分数指数幂及根式的运算，化简即可求解． 【解答】 此题暂无解答 31. 【答案】解：∵ x 12+x −12=3，∴ x +2+x −1=9，∴ x +x −1=7， ∴ x 2+2+x −2=49，∴ x 2+x −2=47，∴x32+x−32−3x2+x−2−2=(x12+x−12)(x−1+x−1)−347−2=3×(7−1)−345=1545=13【考点】有理数指数幂的化简求值分数指数幂【解析】通过平方将目标式与已知式联系，代入求值．【解答】此题暂无解答。
幂函数性质例题以及课后题
幂函数性质例题以及课后题幂函数性质、例题以及课后题幂函数分数指数幂正分数指数幂的意义就是：（，、，且）正数分数指数幂的意义就是：（，、，且）幂函数的图像与性质幂函数随着的相同，定义域、值域都会发生变化，可以实行按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握，当的图像和性质，列表如下．从中可以概括出来以下结论：它们都过点，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．时，幂函数图像过原点且在上就是增函数．时，幂函数图像不过原点且在上就是减至函数．任何两个幂函数最多存有三个公共点．奇函数偶函数非奇非偶函数幂函数基本性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都存有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，就是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上就是减至函数.规律总结1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化成根式形式，负整指数幂化成分式形式再回去展开探讨；2．对于幂函数y＝，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的边线，即为所在象限，其次确认曲线的类型，即为＜0，0＜＜1和＞1三种情况下曲线的基本形状，还要特别注意＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀去记忆：“正抛负双，大竖大斜”，即为＞0（≠1）时图象就是抛物线型；＜0时图象就是双曲线型；＞1时图象就是直角抛物线型；0＜＜1时图象就是横躺抛物线型．幂函数的应用幂函数（、，且、互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有（）、为奇数且为偶数，为奇数，且为偶数，为奇数，且奇数，为偶数，且右图为幂函数在第一象限的图像，则的大小关系就是（）求解：挑，由图像所述：，，高文瑞．比较下列各组数的大小：（1），，；（2），，；（3），，．解：（1）底数不同，指数相同的数比大小，可以转变为同一幂函数，相同函数值的大小问题．∵在上单调递减，且，∴．（2）底数均为负数，可以将其转化为，，．∵在上单调递增，且，∴，即，∴．（3）先将指数统一，底数化为正数．，，．∵在上单调递减，且，∴，即：．评测：比较幂形式的两个数的大小，通常的思路就是：（1）若能够化成同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能够化成同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．若，谋实数的值域范围．分析：若，则有三种情况，或．解：根据幂函数的性质，存有三种可能将：或或，Champsaur：．例3．已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值．解：∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，∴，∴；∵，∴，又函数图象关于原点等距，∴就是奇数，∴或．例4、设函数f（x）＝x3，（1）求它的反函数；（2）分别算出f－1（x）＝f（x），f－1（x）＞f（x），f－1（x）＜f（x）的实数x的范围．解析：（1）由y＝x3两边同时开三次方得x＝，∴f－1（x）＝x．（2）∵函数f（x）＝x3和f－1（x）＝x的图象都经过点（0，0）和（1，1）．∴f －1（x）＝f（x）时，x＝±1及0；在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知f－1（x）＞f（x）时，x＜－1或0＜x＜1；f－1（x）＜f（x）时，x＞1或－1＜x＜0．点评：本题在确定x的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为麻烦．例5、求函数y＝＋2x＋4（x≥－32）值域．解析：设t＝x，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3．当t＝－1时，ymin＝3．∴函数y＝＋2x＋4（x≥－32）的值域为［3，＋）．点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．【同步练习】1.以下函数中不是幂函数的就是（）ａ．ｂ．ｃ．ｄ．答案：ｃ2.下列函数在上为减函数的是（）ａ．ｂ．ｃ．ｄ．答案：ｂ3.以下幂函数中定义域为的是（）ａ．ｂ．ｃ．ｄ．答案：ｄ4．函数y＝（x2－2x）的定义域是（）a．{x|x≠0或x≠2}b．（－∞，0）（2，＋∞）c．（－∞，0）］［2，＋∞］d．（0，2）解析：函数可以化成根式形式，即可得定义域．答案：b5．函数y＝（1－x2）的值域是（）a．［0，＋∞］b．（0，1）c．（0，1）d．［0，1］解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t＝1－x2，则y＝．∵－1≤x≤1，∴0≤t≤1，∴0≤y≤1．答案：d6．函数y＝的单调递增区间为（）a．（－∞，1）b．（－∞，0）c．［0，＋∞］d．（－∞，＋∞）解析：函数y＝就是偶函数，且在［0，＋∞）上单调递减，由对称性所述挑选b．答案：b7．若a＜a，则a的取值范围是（）a．a≥1b．a＞0c．1＞a＞0d．1≥a≥0解析：运用指数函数的性质，挑选c．答案：c8．函数y＝的定义域是。
分数指数幂
a ： 用分数指数幂表示下列各式： 2、用分数指数幂表示下列各式
4
a
1 5
(2)
a
3
3 4
(3)
3 − 5
(4)
a
2 − 3
(a + b) (a + b > 0)
.
3
(m−n) (m> n)
2
(m− n) (m > n)
4
p ⋅ q ( p > 0, q > 0)
6 5
例1：求下列各式的值。 求下列各式的值。 2
(1)100 (3)9
3 − 2
1 2
( 2 )8
3
(5)2 3 × 1.5 × 12 (6)[(0.027 ) ] −[256
1 2 3 −2.5 5 0.125
3
6
+ (−32) + 0.1 ]
3 5
1 −1 2
例2：用分数指数幂的形式表示下列各 式（a>0)
(1) a
2
a a
(2) a
例3：化简下列各式（a>0,b>0) 化简下列各式（
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
=
1 a
m n
0 的正分数指数幂等于 0 ； 0 的 负分数指数幂没有意义
有理指数幂的运算性 a>0,b>0,r,s∈Q
（1 ）a r×a
r )s （2）(a
s
= a
r + s
= a = a
rs
r （3）(ab)
r ×b r
1、用根式表示下列各式 ( a ＞ 0 ) 、用根式表示下列各式: (1)
(1 ) a a
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7 几点体会
笔者细读了有关分数指数幂的几篇文章, 又
作了如上具体分析, 有如下几点体会供商讨:
1° 数学对象的“确定性”(或唯一性) 是不可
动摇的原则, 不能仅当做权宜之计; 反之,“存在
性”倒是可以扩充的Ζ 在数的扩张过程中, 应该使
中学生逐步明确这种思想Ζ
某些式子,
如
0 0
,
0°始
终不能扩充, 正是因为不能唯一扩充! 文[ 1 ]正是
不合理的, 应坚决地改; 合理的, 则应尊重历史、尊 重习惯, 不要随意改动, 以免“牵一发而动全身”! 应该如《通报》编者按所言, 开展广泛的、实事求是 的讨论, 意见分歧是不难解决的Ζ
参考资料
1 陈重穆.
函数 y =
x
m n
定义域的商榷.
数学通报, 1996,
10.
2 余炯沛等. 浅谈关于分数指数幂的几点见解. 数学通
从这种思想高度提出了一个被忽略的重要问题!
2° “数”的本质在于“运算”,“不能直接参与
运算”的“数”, 意义不大, 若又造成矛盾, 就应排
除Ζ
文[ 2 ]正是从这种思想的高度, 对 a<
0
时,
m
an
定义的合理性作了严格剖析, 这对我们大家都深
有启发!
3° 数学定义, 特别是一般教材中的定义, 应
该尊重历史和教育规律, 还应注意在后续课程中
其次, 第 2、4 两步也应该不成问题, 根据是分
数或正整指数幂已经明确的性质及等量替换原理Ζ
那么, 问题就在第 1、3 两步, 根源就在分数指
数幂的定义 (即与根式互化的条件) Ζ
2 两种定义及其比较
为避免上述矛盾出现, 事实上存在两种方案Ζ
即否定第 3 或第 1 步而采用定义 1 或 2Ζ
定义 1 当且仅当mn 是既约分数时,
“求”出来的! 即使是“数学解析表达式”的“存在
域”, 也是人们事先约定的! 这里只有“怎样更好”
的问题, 而不存在“应该怎样”的问题! 本文赞成文
[ 2 ]的观点, y =
x
1 3
的定义域勿须多说;
y=
x3
的定
义域倒是值得讨论的!
实际上, x 3 有两种理解: 狭义为乘方运算 (x 3
= x ·x ·x ) , 其定义域为 (- ∞, + ∞) ; 广义为分
为奇数、n 为偶数时为〔0, + ∞) , 可与前者视为同
一函数, 其它情形定义域为 (- ∞, + ∞) , 与前者
不是同一函数Ζ 两者相区别, 没有什么可奇怪的!
而且相补益彰、各得其所Ζ 从现代的观点看, 实函
数 f (x ) 就是从实数集 A 到 R 的映射, 定义域 A
是由实际问题或人们根据需要事先给定的, 不是
出版社. 1986 年, p. 299.
把定义改得简单些, 变成“有两个面互相平行, 其
余各面都是平行四边形, 由这些面围成的多面体
叫做棱柱”? 这一质疑表面看来很有道理, 估计具
有普遍性, 因此有必要在全体学生面前加以澄清.
面对学生的质疑, 魏老师举了一个反例图形
( 图 1). 但我们觉得这个反例不妥, 顺便指出, 在
一些文中也都用此反例, 也有澄清的必要.
建议改为如下的反例. 取两个全等的正四棱台 (使它们较大底面重 合 A 1B 1C 1D 1 - A B CD - A 2B 2C 2D 2 ( 图 2) , 过 B 1, B 2 和 D 1, D 2 分别作对角面 A 1A 2C 2C 1 的平行平 面, 得到两个截面 B 1EB 2F 2 和 D 1GD 2H , 这两个 截面均为平行四边形. 事实上, 根据“两平行平面 都 与第三平面相交, 所得的两交线平行”可知, B 1E = ∥ A A 1 = ∥ D 1H = ∥ CC 2 = ∥ B 2F = ∥ D 2G , B 1F = ∥ CC 1 = ∥ D 1G = ∥ D 2H = ∥ A A 2 = ∥ B 2E , 故两个截 面 B 1EB 2F 和 D 1GD 2H 均为平行四边形, 由此切 割得到一个十二面体, 这个几何体中有两个面 A 1B 1C 1D 1 和面 A 2B 2C 2D 2 互相平行, 其余各面均 为平行四边形 (但每相邻两个四边形的交线不互 相平行) , 这个凸多面体显然不是棱柱.
故 (-
1)
6 2
、(
-
1
)
12 4
等
或者
看做
(
-
1) 3 的同义式、
或者看做无意义, 即或有时误用也无妨 (文[ 2 ]中
三条运算性质应慎用,
本文暂不讨论)
Ζ 因此
x
m 2n-
1
的定义域约定为 x ∈ (- ∞, + ∞) 亦无妨Ζ 或说,
仅当m
n
为既约分数,
且
n
为偶数时,
m
xn
的定义域
为 x ∈〔0, + ∞) Ζ
若lim n→∞
rn
=
Α, 则 aΑ=
lim a rn
n→∞
一般大学教材基本上采用该定义或类似定义[ 4 ] Ζ
对于中学生由指数函数 ax 的单调性 (配合图象)
亦不难作直观说明Ζ
5 关于复数的分数指数幂的一点意见
值得指出 (3) 式在复数域内已不成立Ζ因为一
般说 n am 有 n 个根, 而np am p 有 np 个根, 而且也难
的普遍适用性或扩张功能Ζ 例如分数指数幂的定
义: 定义 1 不仅有诸多问题, 而且在复数域中不成
立; 定义 2 不仅简便, 而且在复数域中容易转换为
定义 4; 而定义 4 就更便于推广到复数域Ζ
总之, 一般教材中的定义应全面、慎重考虑Ζ
1999 年 第 1 期 数学通报
41
对一道反例的商榷
徐玉卿 ( 苏州市十中) 张小寅 (苏州市三元中学) 张斑竹 ( 苏州市四中)
学数学教学都有好处”Ζ
1 问题的根源究竟在哪里?
方根的存在性与多值性是中学教学的一个难
点Ζ 学生常因疏忽而陷入矛盾, 老师也常出一些
“诡辩”题考察学生Ζ 如
3-
①
2= (-
1②
2) 3 = (-
2③
2) 6 =
6 (-
④
2) 2 =
6 22
⑤
= 32
(1)
(-
1) 3=
(-
3
1) 1 =
(-
6
1) 2 =
数指数幂即乘方开方混合运算 (x 3 =
3
x1=
6
x2=
…) , 其定义域为〔0, + ∞) Ζ 初看起来似乎有点奇
怪, 但仔细想来, 数学也和文学一样, 难免一词多
40
义, 实际上, 和、差、积、商、幂的概念都在不断发
展, 复函数中 ez 也有单值和多值两种理解[3]. 是
否也应该将
x
3
与
x
3 1
报, 1998, 5.
3 钟玉泉. 复变函数论. 高等教育出版社. 1988 年第二 版, p. 75.
4 [ 前苏 ]Г. M . 菲赫金哥尔茨著, 叶彦谦等译. 微积分学 教程, 一卷一分册. 高等教育出版社. 1959 年第二版,
p. 27. 5 [ 美 ]H 1 伊夫斯著, 欧阳绛译. 数学史概论. 山西人民
贵刊 1998 年第 1 期魏诗明老师的文章《浅论
数学课堂教学信息反馈与调控》, 读后得益匪浅,
但其中 312 节“及时辨明是非”中举了一个教例:
在棱柱教学中, 教师按照课本讲述棱柱定义“有两
个面互相平行, 其余各面都是四边形, 且每相邻两
个四边形的公共边也都平行, 由这些面所围成的
几何体叫做棱柱”时, 有的学生提出质疑, 能不能
能直接参与运算”, [2] 换句话说, 又是产生新的矛
盾的根源Ζ 如
(-
1) 3=
(-
1)
4 5
= ×15 4
(-
4
1) 5
15
4=
4
(1) 5
15 4
=
1
4 5
×15 4
=
13
(5)
如果仅仅为了表示简单, 不如记
n am = am n
(6)
并强调仅当 a ≥0 时, m
n=
m n
才是真正的分数,
这样还不至于造成混淆或矛盾Ζ
总之, 按定义 1“作为根式的代表符号保留
m
an
,
是没有什么必要的”, [2 ]
简言之,
麻烦、无益且
引起矛盾Ζ
定义 2 可以说简单明确, 从根本上杜绝了矛
盾Ζ 而 a< 0 时, 按照方根的定义, 自然有
n
a m=
a
m
n ,m
为偶数时,
n am =
-
n a m= -
a
m n
以统一约定同一主值Ζ 这样定义 2 将失去“确定
性”, 即使从值集的观点看Ζ但复根式仍有与 (3) 式
类似的性质:
定理 对任意复数 a 及自然数m 、n、p , 有
( np a ) m p = ( n a ) m
(8)
证 设 a= reiΗ( r≥0, 0≤Η< 2Π) , 则
( ) = a np
n
个
不同的值Ζ 从集合的观点看 (8) 式成立Ζ
由此可引入复数的分数指数幂:
定义 4 对任意复数 a 及自然数 m 、n、p , 规
定 amn = ( n a ) m
(9)
显然,
由
(9)
式约定的