对数及其运算
高中数学对数的运算
对数函数专题对数及对数运算【要点梳理】要点一、对数概念 1．对数的概念如果()01b a N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b ．其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．要点诠释：对数式log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R ． 2．对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即0N >； （2）1的对数为0，即log 10a =； （3）底的对数等于1，即log 1a a =．3．两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作．以e （e 是一个无理数， 2.7182e =⋅⋅⋅）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作． 4．对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 要点二、对数的运算法则 已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、 （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； ()log log log a a a MN M N =+ 推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>、、、（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；log log log a a a M M N N=-（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； log log a a M M αα=要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log 2（-3）（-5）=log 2（-3）+log 2（-5）是不成立的，因为虽然log 2（-3）（-5）是存在的，但log 2（-3）与log 2（-5）是不存在的．（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：log a （M ±N ）=log a M ±log a N ， log a （M ·N ）=log a M ·log a N ，log a N M N M a a log log =． 要点三、对数公式 1．对数恒等式：log log a b Na a N a N Nb ⎫=⇒=⎬=⎭2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有:（1）)(log log R n M M n a a n ∈=令 log a M=b ， 则有a b =M ， （a b ）n =M n ，即n b n M a =)(， 即n a M b n log =，即:n a a M M n log log =．（2）)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a ，令log a M=b ， 则有a b =M ， 则有)1,0(log log ≠>=c c M a c b c即M a b c c log log =⋅， 即a M b c c log log =，即)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论:)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a ．【典型例题】类型一、对数的概念例1．求下列各式中x 的取值范围： （1）2log (5)x -；（2）(1)log (2)x x -+；（3）2(1)log (1)x x +-． 【答案】（1）5x >；（2）1,2x x >≠且；（3）1x >-且0,1x x ≠≠ 【解析】（1）由题意50x ->，5x ∴>，即为所求．（2）由题意20,10,11,x x x +>⎧⎨->-≠⎩且即2,1,2,x x x >-⎧⎨>≠⎩且1,2x x ∴>≠且． （3）由题意2(1)0,10,11,x x x ⎧->⎨+>+≠⎩且解得1x >-且0,1x x ≠≠．【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1．举一反三：【变式1】函数21log (2)x y x -=+的定义域为 ．【答案】1|12x x x ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且类型二、指数式与对数式互化及其应用 例2．将下列指数式与对数式互化： （1）2log 164=；（2）13log 273=-；（3）3x =；（4）35125=；（5）1122-=；（6）2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭．【解析】运用对数的定义进行互化．（1）4216=；（2）31273-⎛⎫= ⎪⎝⎭；（33x =；（4）5log 1253=；（5）21log 12=-；（6）13log 92=-．【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段．举一反三：【变式1】求下列各式中x 的值：（1）161log 2x =- （2）log 86x = （3）lg1000=x （4）2-2ln e x =【答案】（1）14；（2；（3）3；（4）-4．【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x ．（1）1112()212221(16)(4)444x --⋅--=====；（2）111166366628()(8)(2)2x x x ======，所以 （3）10x =1000=103，于是x=3；（4）由22222ln ln 42x x e x e e e x --=-===-，得，即所以．例3．（2014 广东湛江期中）不用计算器计算：7log 203log lg25lg47(9.8)+++- 【答案】132【解析】原式323log 3lg(254)21=+⨯++23lg1032=++3132322=++=【总结升华】对数恒等式log a N a N =中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数．举一反三：【变式1】求log log log a b c b c N a ⋅⋅的值（a ，b ，c ∈R +，且不等于1，N>0） 【答案】N【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算．log log log log log log log log log ()()c a b c a b b c c Nb c N b cc N N a a b c N ⋅⋅⎡⎤====⎣⎦类型四、积、商、幂的对数例4． z y x a a a log ,log ,log 用表示下列各式35(1)log ;(2)log ();(3)log a a a a xy x y z 【解析】（1）log log log log aa a a xyx y z z=+-； （2）3535log ()log log 3log 5log a a a a a x y x y x y =+=+；（3）1log log log ()log log log 2a a a a a a yz x y z yz ==--；（4）log a211log ()log 2log log log 23a a a a a x y x y z -=+-．(有错误） 【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．举一反三： 【变式1】求值（1）1log 864log 325log 21025-+ （2）lg2·lg50+（lg5）2 （3）lg25+lg2·lg50+（lg2）2【答案】（1）22；（2）1；（3）2． 【解析】（1）1log 864log 325log 21025-+.220184082log 35log 26225=-+=⨯-+⋅=（2）原式=lg2（1+lg5）+（lg5）2=lg2+lg2lg5+（lg5）2=lg2+lg5（lg2+lg5）=lg2+lg5=1（3）原式=2lg5+lg2（1+lg5）+（lg2）2=2lg5+lg2+lg2lg5+（lg2）2=1+lg5+lg2（lg5+lg2）=1+lg5+lg2=2． 类型五、换底公式的运用例5．已知18log 9,185b a ==，求36log 45．【答案】2a ba+- 【解析】解法一：18log 9,185b a ==，18log 5b ∴=，于是181818183618181818log 45log (95)log 9log 5log 4518log 36log (182)1log 221log 9a b a ba ⨯+++=====⨯+-+． 【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．（3）解决这类问题要注意隐含条件“log 1a a =”的灵活运用． 【变式1】求值：（1）)2log 2)(log 3log 3(log 9384++；【解析】（1）)2log 2)(log 3log 3(log 9384++452log 233log 65)22log 2)(log 33log 23log ()9log 2log 2)(log 8log 3log 4log 3log (3233223332222=⋅⋅=++=++=类型六、对数运算法则的应用例6．求值（1）91log 81log 251log 32log 53264⋅⋅⋅（2）7lg142lg lg 7lg183-+-【解析】（1）原式=103log 2log 5log 2log 253322526-=---（2）原式=2lg(27)2(lg 7lg 3)lg 7lg(32)⨯--+-⨯ =lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20+-++--=举一反三：【变式1】计算下列各式的值 （1）()222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++【解析】（1）原式=()22lg52lg 2lg5(2lg 2lg5)lg 2++++=22lg10(lg 5lg 2)++=2+1=3；【巩固练习】一、选择题1. 有以下四个结论：①lg （lg10）=0；②ln （lne ）=0；③若10=lg x ，则x =10；④若e =ln x ，则x =e 2，其中正确的是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④ 【答案】C【解析】由log 1,log 10a a a ==知①②正确．2. 下列等式成立的有（ ）①1lg 2100=-；②33log 2=；③2log 525=；④ln 1e e =；⑤lg 333=；A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．①②③④⑤ 【答案】B【解析】21lg lg102100-==-；3. 对数式2log (5)a a b --=中，实数a 的取值范围是（ ）A ．(),5-∞B ． ()2,5C ．()()2,33,5D ．()2,+∞【答案】C【解析】由对数的定义可知50,20,21,a a a ->⎧⎪->⎨⎪-≠⎩所以25a <<且3a ≠，故选C ．4. 若0,1a a >≠，则下列说法正确的是（ ）①若M N =，则log log a a M N =；②log log a a M N =，则M N =； ③22log log a a M N =，则M N =；④若M N =，则22log log a a M N =． A ．①③ B ．②④ C ．② D ．①②③④ 【答案】C【解析】注意使log log a a M N =成立的条件是M 、N 必须为正数，所以①③④不正确，而②是正确的，故选C ．5. 若56789log 6log 7log 8log 9log 10y =⋅⋅⋅⋅，则（ ）A ．(0,1)y ∈B ．(1,2)y ∈C ．(2,3)y ∈D ．(3,4)y ∈ 【答案】B 【解析】55lg 6lg 7lg8lg9lg10log 101log 2lg5lg 6lg 7lg8lg9y =⨯⨯⨯⨯==+，因为50log 21<<，所以12y <<，故选B ．6. （2014江西三县月考）计算662log 3log 4+的结果是（）A ．6log 2B ． 2C ． 6log 3D ． 3【答案】B【解析】666662log 3log 4log 9log 4log 362+=+==．故选：B ． 二、填空题1. 若312log 19x-=，则x = ．【答案】-13【解析】 由指数式与对数式互化，可得1239x-=，解得13x =-． 2. 若2log 2,log 3,m n a a m n a +=== ；【答案】12【解析】 2log 2log 3log 4log 34312a a a a a a a +=⋅=⨯=．3. 若2510a b ==，则11a b+= ．【答案】1【解析】因为210,a =所以21log 10lg 2a ==，又因为510,b =所以51log 10lg 5b ==，所以原式=lg 2lg51+=．。
对数函数的运算法则
对数函数的运算法则对数函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，具有许多重要的运算法则。
在本文中，将详细介绍对数函数的运算法则，包括对数的乘法法则、对数的除法法则、对数的幂法法则以及对数的换底法则。
1.对数的乘法法则：对数的乘法法则是指，在相同底数下，两个数的对数的和等于这两个数的乘积的对数。
具体表达式为：log_a(x * y) = log_a(x) + log_a(y)。
例如，log_2(4 * 8) = log_2(4) + log_2(8) = 2 + 3 = 52.对数的除法法则：对数的除法法则是指，在相同底数下，两个数的对数的差等于这两个数的商的对数。
具体表达式为：log_a(x / y) = log_a(x) - log_a(y)。
例如，log_2(16 / 4) = log_2(16) - log_2(4) = 4 - 2 = 23.对数的幂法法则：对数的幂法法则是指，在相同底数下，一个数的对数与这个数的幂之间存在关系。
具体表达式为：log_a(x^b) = b * log_a(x)。
例如，log_3(4^2) = 2 * log_3(4)。
4.对数的换底法则：对数的换底法则是指，可以通过换底公式将一个底数为a的对数转化为底数为b的对数。
具体表达式为：log_a(x) = log_b(x) / log_b(a)。
例如，log_2(16) = log_10(16) / log_10(2)。
通过运用以上的对数函数的运算法则，可以简化对数函数的运算和求解过程。
对数函数的运算法则在数学的各个领域中都有广泛的应用，特别是在解决指数增长、复利计算、数据压缩等问题中具有重要作用。
此外，还有一些其他的对数函数的运算法则值得注意，包括：- 对数的对数法则：log_a(log_a(x)) = 1，即对数的反函数是指数函数。
-对数函数的性质：对数函数的图像为一条增长缓慢的曲线，且在定义域内满足单调性和有界性。
对数函数的运算公式.
对数函数的运算公式.对数函数的运算公式有以下几种：1.乘法公式：loga(xy) = loga(x) + loga(y)2.除法公式：loga(x/y) = loga(x) - loga(y)3.指数公式：loga(x^n) = n*loga(x)4.同底数对数之积：loga(x) * logb(x) = logc(x) (c是常数)5.同底数对数之商：loga(x) / logb(x) = logc(x) (c是常数)注意：上述公式中的log是以a为底的对数。
对数函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，对数函数的运算公式是我们理解和使用对数函数的基础。
乘法公式：loga(xy) = loga(x) + loga(y) 乘法公式告诉我们，如果我们要计算两个数的对数的乘积，我们可以把它们的对数相加。
这个公式在处理复杂的数学公式时特别有用，能够简化计算过程。
除法公式：loga(x/y) = loga(x) - loga(y) 除法公式告诉我们，如果我们要计算两个数的对数的商，我们可以把除数的对数从被除数的对数中减去。
这个公式在处理分数时特别有用。
指数公式：loga(x^n) = n*loga(x) 指数公式告诉我们，如果我们要计算一个数的对数的n次方，我们可以把n乘上这个数的对数。
这个公式在处理指数函数时特别有用，能够简化计算过程。
同底数对数之积：loga(x) * logb(x) = logc(x) (c是常数) 同底数对数之积公式告诉我们，如果我们要计算两个数的对数的乘积，我们可以将它们同时乘上一个常数c，c=loga(b)。
这个公式在转换不同底数的对数的时候特别有用。
同底数对数之商：loga(x) / logb(x) = logc(x) (c是常数) 同底数对数之商公式告诉我们，如果我们要计算两个数的对数的商，我们可以将它们同时除上一个常数c, c=loga(b)。
这个公式在转换不同底数的对数的时候特别有用。
对数函数运算公式大全
对数函数运算公式大全对数函数是指以常数为底的对数函数。
对数函数运算公式如下：1. 对数函数定义：对数函数的定义为 y = logₐ(x)，其中 a 为底数，x 为实数。
2.换底公式：- logₐ(x) = logₑ(x) / logₑ(a)，其中 logₑ表示以自然对数为底的对数。
- logₐ(x) = 1 / logₐ(a)。
- logₐ(b) = logₐ(c) / logₐ(b)，其中 b、c 为任意正数。
3.对数函数的性质：- logₐ(1) = 0，对于任意正数 a。
- logₐ(a) = 1，对于任意正数 a。
- logₐ(a^m) = m，对于任意正数 a 和整数 m。
- logₐ(m * n) = logₐ(m) + logₐ(n)，对于任意正数 a、m 和 n。
- logₐ(m / n) = logₐ(m) - logₐ(n)，对于任意正数 a、m 和 n。
- logₐ(m^n) = n * logₐ(m)，对于任意正数 a、m，并且 n 为任意实数。
- a^logₐ(x) = x，对于任意正数 a 和实数 x。
4.常用对数函数：- 以底数 10 的对数函数称为常用对数函数，记为 log(x) 或 lg(x)。
- log(x) 的运算规则与对数函数相同。
5.自然对数函数：- 以底数 e(自然常数) 的对数函数称为自然对数函数，记为 ln(x)。
- ln(x) 的运算规则与对数函数相同。
6.对数函数的图像及性质：-对数函数的图像是一个以点(1,0)为对称轴的增函数，即随着x的增大，y也增大。
- 当 x > 1 时，logₐ(x) > 0；当 0 < x < 1 时，logₐ(x) < 0；当 x = 1 时，logₐ(x) = 0。
-当a>1时，对数函数呈现上凸形状；当0<a<1时，对数函数呈现下凸形状。
以上是对数函数运算公式的大致内容，其中包含了对数函数的定义、换底公式、性质以及常用对数函数和自然对数函数的特点。
对数及其运算基础知识及例题
对数及其运算基础知识及例题1、定义：对数是指用一个数b（b>0且不等于1）作为底数，将一个正数a表示成幂b的指数的形式，即a=b^x（x为实数），则x称为以b为底a的对数，记作logb a。
2、性质：①logb 1=0（b>0且不等于1）②logb b=1（b>0且不等于1）③logb (mn)=logb m+logb n（m>0，n>0，b>0且不等于1）④logb (m/n)=logb m-logb n（m>0，n>0，b>0且不等于1）⑤logb m^k=klogb m（m>0，b>0且不等于1，k为任意实数）3、对数的运算性质：①logb (mn)=logb m+logb n②logb (m/n)=logb m-logb n③logb m^k=klogb m④logb (a^k)=klogb a⑤logb a=logc a/logc b（b>0，且不等于1，c>0，且不等于1）4、换底公式：XXX b（b>0，且不等于1，c>0，且不等于1）5、对数的其他运算性质：①logb a=logb c，则a=c②logb a=logc a/logc b=logd a/logd b6、常用对数和自然对数：常用对数：以10为底数的对数，记作XXX。
自然对数：以自然常数e（e≈2.）为底数的对数，记作ln。
典型例题】类型一、对数的概念例1.求下列各式中x的取值范围：1）log2(x-5)≥0；（2）log(x-1)-log(x+2)0.改写为：1）x≥5；2）x>1且x<2；3）x>1且x1且x>1.类型二、指数式与对数式互化及其应用例2.将下列指数式与对数式互化：1)log2 16=4；(2)log1/27=-3；(3)log3 1/2= -1/log2 3；(4)53=125；(5)2^-1=1/2；(6)(1/3)^x=9.改写为：1)2^4=16；2)1/27=3^-3；3)3^-1/2=2/log2 3；4)5^3=125；5)2^-1=1/2；6)x=log(1/3)9/log(1/3)2.类型三、利用对数恒等式化简求值1+log5 77=log5 500.类型四、积、商、幂的对数例4.用loga x,loga y,loga z表示下列各式：1)loga (xy/z)=loga x+loga y-loga z；2)loga (xy)=loga x+loga y；3)loga (x^2/y^3z)=2loga x-3loga y-loga z；4)loga (x^2y^3/z)=2loga x+3loga y-loga z。
对数的运算法则及公式换底
对数的运算法则及公式换底
对数是一种数学运算，用来描述幂运算的指数。
对数运算有一些特殊的法则和公式，其中包括换底公式。
以下是对数的运算法则和公式：
1. 对数的定义
对数是指一个数在某个基数下的指数。
例如，2的以10为底的对数是0.30103，这意味着10的0.30103次方等于2。
2. 对数的性质
对数具有以下几个性质：
a. 对数是一个实数。
b. 对于任何正实数a和b，loga(ab) = loga a + loga b。
c. 对于任何正实数a、b和c，loga (b/c) = loga b - loga c。
d. 对于任何正实数a、b和c，loga b^c = c loga b。
e. 对于任何正实数a和b，loga b = ln b/ln a，其中ln表示以e为底的自然对数。
3. 换底公式
换底公式是指将一个对数的底数改变为另一个底数时使用的公式。
换底公式如下：
loga b = logc b / logc a
其中a、b、c都是正实数，且a、c不等于1。
这个公式可以用于计算任何底数的对数。
例如，要计算以2为底数的对数，可以使用换底公式将其转换为以10为底数的对数计算。
以上是对数的运算法则及公式换底的相关内容。
对数是数学中的基础概念，掌握好对数的性质和运算法则，对于解决数学问题会有很大的帮助。
log运算法则公式14个
log运算法则公式14个log运算法则是一种经典的数学运算，在各种高等数学课程中都有涉及。
log运算法则主要用于计算幂和对数。
它们可以帮助我们快速计算出幂和对数。
log运算法则一共有14个，如下：1、对数的乘法法则：loga(mn) = loga m + loga n；2、对数的除法法则：loga(m/n) = loga m - loga n；3、对数的乘方法则：loga(m^n) = nloga m；4、对数的开方法则：loga(m^(1/n)) = loga m / n；5、乘方的乘法法则：(m^n)(m^p) = m^(n+p)；6、乘方的除法法则：(m^n)/(m^p) = m^(n-p)；7、乘方的乘方法则：(m^n)^p = m^(np)；8、乘方的开方法则：(m^n)^(1/p) = m^(n/p)；9、对数的加法法则：loga(m + n) = loga m + loga n；10、对数的减法法则：loga(m - n) = loga m - loga n；11、乘方的加法法则：(m + n)^p = m^p + n^p；12、乘方的减法法则：(m - n)^p = m^p - n^p；13、乘方的乘积法则：(m*n)^p = m^p * n^p；14、乘方和开方的混合法则：(m^n)^(1/p) = m^(n/p)。
log运算法则在数学中有着重要的地位，它可以把复杂的问题简化，帮助我们更快更有效地进行计算。
14个法则就是由它而来，它们可以帮助我们快速计算出幂和对数。
由于log 运算法则可以把复杂的问题变得更加容易理解，所以在研究数学的过程中，应该充分利用它们，努力掌握log运算法则，从而更好地掌握数学知识。
对数函数的运算法则
练习：证明
②
log M a
N
log M log N
a
a
2、应用举例：
例1、用 logax , log表ay ,示lo下gaz列各式：
xy
x2 y
(1) log z a
(2) log 3 z a
解：
xy
(1) log z log( xy) log z
a
a
a
log x log y log z
2 1、运算公式：a>0, a≠1, M>0;N>0 则：
(lg 2) lg 2（1 lg 2） lg 2 2（1 lg 2） 例1、用
表示下列各式：
∴M∙N=ap∙aq=aq+p
x-y>0)
2
练习：计算
(1) lg 25 2 lg8 lg 5 lg 20 (lg 2) 2 3
(2) log 2
例1、用
表示下列各式：
(4)(lg 2)2 lg 2 lg 50 lg 25
解：原式 (其中x>0,y>0,z>0 (lg 2)2 lg 2 (lg 510) lg 52
注： 负数和零没有对数 ∴M∙N=ap∙aq=aq+p
2 注： 负数和零没有对数 (lg 2) lg 2(lg 5 1) 2 lg 5 1、运算公式：a>0, a≠1, M>0;N>0 则：
对数函数的运算法则
一、对数的定义：
真数
ab N logaN b 对数
loga 1 0
底数 loga a 1
loga ab b
a loga N N (N>0)
注： 负数和零没有对数
二、对数运算法则 1、运算公式：a>0, a≠1, M>0;N>0 则：
对数与对数运算
8
3 2
,则
x的值为
3、已知4a 2, lg x a,则x
4、已知a2 m, a3 n,求2 loga m loga n
2.三个结论 (1)负数和零没有对数
(2) loga 1 0, loga a 1
(3)aloga N N
1、解方程：
(1) log2 log5 x 0;(2) log3 (lg x) 1
积的对数等于对 数的和;商的对数
等于对数的差
下列各式成立吗？
(1) lg(MN) lg M lg N
错
（2）lg M lg M
错
N lg N
(3)lg(M N) lg Mlg N
错
(4) lg M lg N lg M lg N
错
例1.计算：
(1) log3 (92 35 );
1
(2)lg 1005.
lgab
lg lg
b a
lg lg
a b
的值。
6、关于x的方程lg x2 lg 2 lg 3lg x lg 2 lg 3 0的两根为
x1, x2 , 求x1 x2的值
三、换底公式
一般地，logb
N
loga N loga b
lg N lg b
ln N ln b
,
其中b 0且b 1, N 0, a 0且a 1。
1 16
(9) log3
27 lg 25 lg 4 7log7 2
8
1 3
27
(10)2 log3
2
log3
32 9
log3
8
5log5 3
(11) log2 1 2 3 log2 1 2 3
对数与对数运算知识点
对数与对数运算1.对数：如果a x=N(a>0,且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作x=log a N，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2.对数的性质:(1)1的对数等于0 ;(2)底数的对数等于1;(3)零和负数没有对数3.以10为底的对数叫做常用对数,log 10N 记作lg N.4.以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数，logeN 记作ln N5.对数的运算性质：如果a>0，且a ≠1，M>0;N>0，那么：（1）log a (MN)=log a M +log a N ；log a (N1N2…Nk )=log a N1+log a N2+…log a N3；（2）log a (M ／N)=log a M -log a N ；（3）log a M n =nlog a M6.对数换底公式：log aN=abN bloglog ；7.对数运算中的三个常用结论：N aNa =log ,log aa =1,log a 1=08.两个常用的推论：a ，b ＞0且均不为1,m,n,为正整数（1）logab ×log b a=1；log ab ×log bc ×log c a=1；（2） b a b a m n nm log log =；ba b anm n m log log =；9.指数和对数的关系：a x =N ⇔log a N=x比较指数式、根式、对数式：几个对数运算公式的证明证明下列公式：（1）对数的运算性质:log a (M ／N)=log a M -log a N（2）对数的运算性质:log a M n =nlog a M（3）对数的换底公式：log ab=ab c c log log（4）对数运算中的常用结论：N a Na log（5）a ，b ＞0且均不为1,log a b×log b a=1 （6）a ，b ＞0且均不为1,m 为正整数,mmb alog =log a b（7）a ，b ＞0且均不为1,m,n 为正整数, n mb a log =m n log a b证明：（1）设a x =M ，a y=N ，则N M =y x aa =a x-y ．∴x-y=log a NM，∵x=log a M ，y=log a N，∴x-y= log a M - log a N ，∴log a N M = log a M - log a N（2）设a x=M ，则x=log a M，∴nx=nlog a M．∵（a x ）n=M n ，∴a xn =M n，∴xn=log a M n ，∴log a M n = nlog a M（3）设log a b =x ，则a x =b ．∴log c a x =log c b x ，∴xlog c a =log c b ，∴x=log c b÷log ca ，∴logab =ab c c log log（4）设log a N =x ，则a x=N ．∵log a a x=x ，∴xaa alog =a x，∴xaa a log =N（5）∵log a b =ab lg lg ，log b a =ba lg lg ，∴log ab ×log b a=a b lg lg ×ba lg lg =1（6）设mabm log =x ，则（a m）x=b m，∴a mx=b m，∴ mxa alog =log a b m ，∴mxlog a a=mlog ab，∴x=log ab ，∴mmb a log =log a b（7）设n a b mlog =x ，则（am）x=b n ，∴mxa alog =log a b n ，∴mxlog a a=nlogab，∴x=mnlog ab ，∴nmb alog =mn log a b。
对数及其运算
对数及其运算第3讲：对数及其运算【复习要求】1、理解对数的意义，会熟练地将指数式与对数式互化；2、初步学会换底公式的基本运用；3、掌握积、商、幂的对数性质。
会用计算器求对数。
【知识要点】1、对数的定义：如果(01)a a a >≠且的b 次幂等于N ，那么b 称为以a 为底N 的对数，记作：log a b N =，其中a 称为底数，N 称为真数。
2、指数式与对数式的互化：log b a a N N b =?=；3、对数恒等式：N aNa =log （0,01N a a >>≠且）。
4、换底公式及衍生性质：()1 log log log m a m NN a= (0a >,1a ≠，0m > , 1m ≠,0N >)()2ab b a log 1log =，()3c c b a b a log log log =?， ()4b n m b a ma nl o g l o g = 5、对数的运算性质：如果0,1,0,0a a N M >≠>>有log ()log log a a a MN M N =+； l o g l o g l o g aa a MM N N=-；log log n a a M n M =； 1log log n a a M M n= 【基础训练】1、如果2(0,1)a b b b =>≠，则有（ D ）（A ）2log a b = （B ）2log b a = （C ）log 2a b = （D ）log 2b a = 2、若2521log 3log 3m =+，则有（ B ）（A ）12m << （B ）23m << （C ）34m << （D ）45m << 3、已知：25lg m =，则lg 2= 112m -（用m 表示） 4、计算：（1）2lg 4lg 92lg 6lg 361++-+= 2（2）223412223log (8log 16)log log +-= 605、若2log 1a <，则正数a 的取值范围是 02a <<【典型例题】类型1、对数与指数的互换例1、将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）712128-=；（2）327a =；（3）1100.1-=；（4）12log 325=-；（5）lg 0.0013=-；（6）ln100=4.606.例2、（1）设log 2a m =，log 3a n =，求2m n a +的值.（2）设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =，且A B =，求a 的值.类型2、对数的四则运算例3、若*01,0,a a x y n N ≠∈＞，＞＞，则下列各式：①(log )log n a a x n x =；②(log )log n n a a x x =；③1log log a a x x =-；④log log log a a a x x y y=；⑤1log log n a a x x n =；⑥log log n a a xx n =；⑦log log nn a a x x =；⑧log log a a x y x y x y x y-+=-+-；其中成立的有_____________；答案：③⑥⑦⑧例4、化简与求值：（1）log log a b b ca；（2）2log (4747)+--；（3）222lg 5lg8lg 5lg 20(lg 2)3++?+ （4）lg 2lg 3lg 10lg1.8+-；答案（1）c ；（2）12；（3）3；（4）12【补充练习】计算（1）2log (642642)+--=32（2）33lg 2lg 53lg2lg5++= 1 例5、若[][]345435log log (log )log log (log )0a b ==，则ab=__________；答案：435;55a a b b==?= 例6、已知函数()f x 满足“当4x ≥时，1()2xf x ??=，当4x ＜时，()(1)f x f x =+”，则2(2log 3)f +=_________；答案：124例7、（1）方程lg lg(3)1x x ++=的解x =________；（2）设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 .例8、已知lg lg 2lg(2)a b a b +=-，求4log ab的值；答案：先求出：a b =（舍）或4a b =，从而4log 1ab=类型3、对数的恒等式与换底公式的应用例9、若83log 3,log 5p q ==，则lg 5=________；答案：3333log 5113log 8log 2lg 53log 1013pqp p pq==?==+；例10、已知18log 9a =，185b=，试将36log 45用,a b 表示；【解】方法一、利用指数对数互换转化为指数式：189;1854518a b a b+==?=令36log 45x =从而181836451836()1833xa bx x a b ++?==?=?=亦即218189x a b x +=?(18)1818a x a b ax a b +++=?=22a b x ax a b x a+?=++?=-；方法二、换成对数式，然后利用换底公式，换成18为底的对数计算问题；方法三、化成10为底的形式；方法二略简单例11、若78log 2,log 14k =求的值。
对数及其运算之对数运算
27
(3) log4 8 log1 3 log
9
2
1 4
4 3
-2
(4)（lg5)2 lg 2lg50
1
(5) lg 27 lg8 3lg 10
3
lg1.2
2
例3 已知 log 312 a，求 log 3 24的值.
3a 1 2
例4 设 3a 5b m ，已知 1 1 2 ,
x2
3
y z
.
例2 求下列各式的值：
(1) log2（47×25）；
(2) lg5 100
；
31log3 2
(3) log318 -log32 ；
3 (4) 1log3 2
.
例3 计算：
2log 52 log 53
log
5
10
1 2
log
5
0.36
1 3
log
5
8
知识探究（三）:换底公式
同底数的两个对数能够实行加、减运 算，能够实行乘、除运算吗？
思考3: (loga M )(loga N) 可变形为什么？
理论迁移
例1 计算：
(1) log 8 9 log 27 32 ;
(2)（log2125＋log425＋log85)· （log52＋log254＋log1258）
理论迁移
例2 求下列各式的值:
(1) 2 log5 10 log 50.25
loga M loga N loga (M N)
loga
M
loga
N
loga
M N
知识探究（二）:幂的对数
③幂的对数等于幂指数乘以底数 的对数．（倍数关系）
对数函数及其运算
对数函数及其运算2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算1) 对数的定义如果 $a=N(a>0$ 且 $a\neq 1)$，则 $x$ 叫做以 $a$ 为底$N$ 的对数，记作 $x=log_aN$，其中 $a$ 叫做底数，$N$ 叫做真数。
负数和零没有对数。
对数式与指数式的互化：$x=log_aN \Leftrightarrowa=N(a>0,a\neq 1,N>0)$。
2) 几个重要的对数恒等式log_a1=0$，$log_aa=1$，$log_ab=b$。
3) 常用对数与自然对数常用对数：$lgN$，即 $log_{10}N$；自然对数：$lnN$，即 $log_eN$（其中$e=2.…$）。
4) 对数的运算性质如果 $a>0,a\neq 1,M>0,N>0$，那么：加法：$log_aM+log_aN=log_a(MN)$。
减法：$log_aM-log_aN=log_a(\frac{M}{N})$。
数乘：$nlog_aM=log_a(M^n)$，其中 $n\in R$。
log_aN=N^a$。
log_{ab}M=\frac{log_aM}{log_ab}$，其中 $b\neq 0,n\in R$。
5) 换底公式：$log_aN=\frac{log_bN}{log_ba}$。
2.2.2 对数函数及其性质1) 对数函数函数名称：对数函数。
定义：函数 $y=log_ax(a>1,a\neq 1)$ 叫做对数函数。
图象：图象过定点 $(1,0)$，即当 $x=1$ 时，$y=0$。
定义域：$(0,+\infty)$。
值域：$(-\infty,+\infty)$。
过定点：图象过定点 $(1,0)$。
奇偶性：非奇非偶。
单调性：在 $(0,+\infty)$ 上是增函数，在 $(0,1)$ 上是减函数。
函数值的变化情况：当 $x>1$ 时，$y=log_ax>0$，$y$ 随 $x$ 增大而增大。
3.2.1对数及其运算
2.不查表,求值. 不查表,求值 不查表
(1).(log 4 3 + log8 3)(log 3 2 + log 9 2) log 1 2
2 5 4
5 — 2
(2). lg 5. log
10
20 + lg 2
4 — 3
(
2
) 3
2
log 3 2 1
能力拓展
(1)已知 log16 3 = m,试用m表示 log 9 16.
2
( 2 ) log 2 128 = 7
1 = 16 2 2 7 = 128
1 2 = 4 1 4 3 = 81
2
4
1 (3) log 2 = 2 4 1 ( 4 ) log 3 = 4 81
求下列各式的值: 例3 求下列各式的值
(1) log264; (2) log3 9 .
1 ___
=4/3 =3
(3)(log 2 125 + log 4 25 + log8 5) (log125 8 + log 25 4 + log 5 2)
=13
例10
已知 log18 2 = a,试用a表示 log 3 2
log 3 2 log 3 2 = 解: 由 log18 2 = log 3 (2 × 9) log 3 18
a (1 + 8%) x = 2a a1.08 x = 2a 即:. 08 x = 2 x = ?? 1
?
1.对数的概念 1.对数的概念
对于实数集R 在指数函数y=a 中,对于实数集R内的 每一个值x,在正实数集内都有唯一确定的值y x,在正实数集内都有唯一确定的值 每一个值x,在正实数集内都有唯一确定的值y 和它对应; 和它对应;
对数四则运算公式
对数四则运算公式
1.对数加法：logaM+logaN=loga(MN)。
即同底数下对数相加，等于对数所代表的数的乘积的对数。
2. 对数减法：logaM - logaN = loga(M/N)。
即同底数下对数相减，等于对数所代表的数的商的对数。
3. 对数乘法：logaM × logaN = loga(MN)。
即不同底数下对数相乘，等于对数所代表的数的乘积的对数，底数取其中任意一个。
4. 对数除法：logaM / logaN = loga(M/N)。
即不同底数下对数相除，等于对数所代表的数的商的对数，底数取其中任意一个。
对数四则运算可以简化计算，也能够将对数运算转化为数字运算，使得对数运算变得更加方便和高效。
- 1 -。
对数与对数运算
1 2
1 log 4 2 2
log10 0.01 2
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
x a N x loga N. 当a＞0，a≠1时，
由指数与对数的这个关系，可以得到关于对数 的如下结论：
负数和零没有对数：
loga 1 0, loga a 1.
例1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指 数式：
lg 2 lg 2
3
3 lg 2 lg 2
=3
例4.用
loga x, loga y, loga z 表示下列各式：
(2) loga x2 y
3
xy (1)log ; a z
z
xy log a ( xy ) log a z 解： (1) log a z
loga x loga y loga z
于是 x＝－2.
巩固练习：（教材P74 练习1﹑2﹑3﹑4）
对数的运算 如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
（ 1 ） loga (M N) loga M loga N M （2） loga loga M loga N N n （3） loga M n loga M(n R)
1.求下列各式的值： （1）log2 6 log2 3 （2）lg 5 lg 2
1
1
1 0 （3）log 5 3 log 5 3
（4）log3 5 log3 15 1
2.用lgｘ，lgｙ，lgｚ表示下列各式： （1） lg( xyz) ＝lgｘ＋lgｙ＋lgｚ；
xy （2） lg z 3 xy （3） lg z
2
＝lgｘ＋２lgｙ－lgｚ；
对数的运算规律
对数的运算规律对数的运算规律：在数学中，对数的运算有着特定的规律。
若有两个正数 M 和 N，以 a 为底数，那么对数的加法运算规律为：logₐ(M×N) = logₐM + logₐN；对数的减法运算规律为：logₐ(M÷N) = logₐM - logₐN；对数的幂运算规律为：logₐMⁿ = n×logₐM 。
咱们来想象一下，对数就像是一个神奇的密码箱。
这个密码箱里藏着数的秘密，而对数的运算规律就是打开这些秘密的钥匙。
先来说说加法运算规律，logₐ(M×N) = logₐM + logₐN 。
咱们把 M 和N 想象成两个小伙伴，M 带着自己的小秘密进入了密码箱，N 也带着自己的小秘密进去了。
这时候，要想知道他俩合起来的秘密，就等于分别知道 M 的秘密和 N 的秘密然后加起来。
是不是有点像两个小伙伴各自有一袋糖果，要知道他俩糖果总数，就是把各自的糖果数加起来一样。
再看看减法运算规律，logₐ(M÷N) = logₐM - logₐN 。
这就好比 M 和N 这两个小伙伴一起去分一堆宝贝，M 先拿到了一部分，N 又拿走了一部分，那 M 比 N 多出来的宝贝数量，就是 M 的宝贝秘密减去 N 的宝贝秘密。
还有幂运算规律，logₐMⁿ = n×logₐM 。
这就好像 M 这个小伙伴有 n 把同样的钥匙，每把钥匙能打开的秘密都是一样的，那总的秘密数量就是一把钥匙能打开的秘密数量乘以钥匙的数量。
给您举个例子吧。
假设我们要计算log₂(8×16)，根据加法运算规律，log₂(8×16) = log₂8 + log₂16 。
因为 8 = 2³，16 = 2⁴，所以 log₂8 = 3，log₂16 = 4，那么 log₂(8×16) = 3 + 4 = 7 ，而实际上 8×16 = 128 ，log₂128 也正好等于 7 。
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第3讲：对数及其运算【复习要求】1、理解对数的意义，会熟练地将指数式与对数式互化；2、初步学会换底公式的基本运用；3、掌握积、商、幂的对数性质。
会用计算器求对数。
【知识要点】1、对数的定义：如果(01)a a a >≠且的b 次幂等于N ，那么b 称为以a 为底N 的对数，记作：log a b N =，其中a 称为底数，N 称为真数。
2、指数式与对数式的互化：log b a a N N b =⇔=；3、对数恒等式：N aNa =log （0,01N a a >>≠且）。
4、换底公式及衍生性质：()1 log log log m a m NN a= (0a >,1a ≠，0m > , 1m ≠,0N >)()2a b b a log 1log =，()3c c b a b a log log log =⋅， ()4b nm b a ma n log log =5、对数的运算性质：如果0,1,0,0a a N M >≠>>有log ()log log a a a MN M N =+； log log log aa a MM N N=-； log log n a a M n M =；1log log a a M n=【基础训练】1、如果2(0,1)a b b b =>≠，则有 （ D ） （A ）2log a b = （B ）2log b a = （C ）log 2a b = （D ）log 2b a = 2、若2521log 3log 3m =+，则有 （ B ） （A ）12m << （B ）23m << （C ）34m << （D ）45m << 3、已知：25lg m =，则lg 2= 112m -（用m 表示）4、计算：（1）lg 4lg9++= 2 （2）223412223log (8log 16)log log +-= 605、若2log 1a <，则正数a 的取值范围是 02a <<【典型例题】类型1、对数与指数的互换例1、将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）712128-=； （2）327a =； （3）1100.1-=； （4）12log 325=-； （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606.例2、（1）设log 2a m =，log 3a n =，求2m n a +的值.（2）设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =，且A B =，求a 的值.类型2、对数的四则运算例3、若*01,0,a a x y n N ≠∈＞，＞＞，则下列各式：①(log )log n a a x n x =；②(log )log n n a a x x =；③1loglog a a x x =-；④log log log a a a x x yy=； 1log a x n =；⑥log log a a xn =log log nn a a x x =；⑧log log a a x y x y x y x y-+=-+-；其中成立的有_____________；答案：③⑥⑦⑧例4、化简与求值： （1）log log a bb ca⋅；（2）2log -； （3）222lg5lg8lg 5lg 20(lg 2)3++⨯+ （4答案（1）c ；（2）12；（3）3；（4）12【补充练习】计算（1）2log =32（2）33lg 2lg 53lg 2lg5++= 1 例5、若[][]345435log log (log )log log (log )0a b ==，则ab=__________； 答案：435;55a a b b==⇒= 例6、已知函数()f x 满足“当4x ≥时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当4x ＜时，()(1)f x f x =+”，则2(2log 3)f +=_________； 答案：124例7、（1）方程lg lg(3)1x x ++=的解x =________；（2）设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 .例8、已知lg lg 2lg(2)a b a b +=-，求4log ab的值； 答案：先求出：a b =（舍）或4a b =，从而4log 1ab=类型3、对数的恒等式与换底公式的应用例9、若83log 3,log 5p q ==，则lg 5=________； 答案：3333log 5113log 8log 2lg 53log 1013pqp p pq=⇒=⇒==+； 例10、已知18log 9a =，185b=，试将36log 45用,a b 表示；【解】方法一、利用指数对数互换转化为指数式：189;1854518a b a b+==⇒=令36log 45x =从而181836451836()1833xa bx x a b ++⇒==⇒=⋅=亦即218189x a b x +=⋅(18)1818a x a b ax a b +++=⋅=22a b x ax a b x a+⇒=++⇒=-；方法二、换成对数式，然后利用换底公式，换成18为底的对数计算问题； 方法三、化成10为底的形式；方法二略简单例11、若78log 2,log 14k =求的值。
(kk 31+) 变式练习：（1）设276log 12,log 16a =求的值。
(13412+-a a )（2）若14log 7,145b a ==，求35log 28的值。
(ba a+-2) 例13、若2510a b ==，则11a b+= .例14、（1）化简：532111log 7log 7log 7++； （2）设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅=，求实数m 的值.【变式练习】1、 如果方程2lg (lg 5lg 7)lg lg 5lg 70x x +++=的两根是αβ、，求αβ的值。
(351) 2、 若221,1,log log 64a b a b >>⋅=，求2log ()ab 的最小值.(16) 3、 设y y x y x y x 333log )3(log )3(log 2,03++=->>，求xy的值。
(8) 类型4、有关对数的混合运算的综合应用例15、解下列方程： （1）11(lg lg 3)lg 5lg(10)22x x -=--； （2）221log (231)1x x x --+=； （3）1331log (31)log (3)23x x --⋅-=； （4）23(lg )12lg 0.4 6.25x x +-=；答案：（1）15x =；（2）2x =；（3）13234log 10;log 3x x ==；（4）510;10x x ==【课后练习】A 组1．）.A. 1B. －1C. 2D. －22．25log ()a -（a ≠0）化简得结果是（ ）.A. －aB. a 2C. ｜a ｜D. a3．化简3log 1的结果是（ ）.A.12B. 1C. 2 4．已知32()log f x x =, 则(8)f 的值等于（ ）.A. 1B. 2C. 8D. 12 5．化简3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅的结果是 （ ）.A .1 B.32C. 2D.3 6．计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ . 7．若3a ＝2，则log 38－2log 36＝ .8．（1）已知18log 9a =，185b =，试用a 、b 表示18log 45的值；（2）已知1414log 7log 5a b ==，，用a 、b 表示35log 28.9．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(/)v m s 和燃料的质量()M kg 、火箭（除燃料外）的质量()m kg 的关系是2000ln(1)Mv m=+. 当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达到10/km s ？B 组1、计算：（1）50.5551log 352log log log 1450+-= 2（2）1)log (3+＝ -2（3）711log 14227)-=2、已知正数x y z 、、满足：234342423log [log (log )]log [log (log )]log [log (log )]0x y z ===，则x y z ++= 893、设lg ,lg a b 是方程22410x x -+=的两个实数根，则2(lg )a b的值为 2 4、已知集合{}22,,log ()A a b ab =和集合{}0,,B a b =相等，求实数a b 、的值。
(-1,-1) 5、（1）已知25log 3,log 2a b ==，试用a b 、表示30log 12。
（21b abb ab +++）（2）由3436a b==，求21a b+值。
（1） 6、若方程2lg(3)lg(3)(0,3)x x m x x -+-=-∈在内有唯一解，求实数m 的取值范围。
(3,0]{1}-。