对数及其运算

第3讲：对数及其运算

【复习要求】

1、理解对数的意义，会熟练地将指数式与对数式互化；

2、初步学会换底公式的基本运用；

3、掌握积、商、幂的对数性质。会用计算器求对数。

【知识要点】

1、对数的定义：如果(01)a a a >≠且的b 次幂等于N ，那么b 称为以a 为底N 的对数，记作：log a b N =，其中a 称为底数，N 称为真数。

2、指数式与对数式的互化：log b a a N N b =⇔=；

3、对数恒等式：N a

N

a =log （0,01N a a >>≠且）。

4、换底公式及衍生性质：

()1 log log log m a m N

N a

= (0a >,1a ≠，0m > , 1m ≠,0N >)

()2a b b a log 1log =

，()3c c b a b a log log log =⋅， ()4b n

m b a m

a n log log =

5、对数的运算性质：如果0,1,0,0a a N M >≠>>有

log ()log log a a a MN M N =+； log log log a

a a M

M N N

=-； log log n a a M n M =；

1

log log a a M n

=

【基础训练】

1、如果2

(0,1)a b b b =>≠，则有 （ D ） （A ）2log a b = （B ）2log b a = （C ）log 2a b = （D ）log 2b a = 2、若2521

log 3log 3

m =

+，则有 （ B ） （A ）12m << （B ）23m << （C ）34m << （D ）45m << 3、已知：25lg m =，则lg 2= 1

12

m -

（用m 表示）

4、计算：（1）lg 4lg9++= 2 （2）2234

1222

3log (8log 16)log log +-= 60

5、若2log 1a <，则正数a 的取值范围是 02a <<

【典型例题】

类型1、对数与指数的互换

例1、将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

（1）71

2128

-=

； （2）327a =； （3）1100.1-=； （4）12

log 325=-； （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606.

例2、（1）设log 2a m =，log 3a n =，求2m n a +的值.

（2）设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =，且A B =，求a 的值.

类型2、对数的四则运算

例3、若*

01,0,a a x y n N ≠∈＞，＞＞，则下列各式：

①(log )log n a a x n x =；②(log )log n n a a x x =；③1

log

log a a x x =-；④log log log a a a x x y

y

=； 1log a x n =

；⑥log log a a x

n =log log n

n a a x x =；⑧log log a a x y x y x y x y

-+=-+-；

其中成立的有_____________；

答案：③⑥⑦⑧

例

4、化简与求值： （1）log log a b

b c

a

⋅；

（2）2log -； （3）2

22

lg

5lg8lg 5lg 20(lg 2)3

+

+⨯+ （4

答案（1）c ；（2）

12；（3）3；（4）12

【补充练习】计算（1

）2log =

3

2

（2）3

3

lg 2lg 53lg 2lg5++= 1 例5、若[][]345435log log (log )log log (log )0a b ==，则

a

b

=__________； 答案：43

5;55a a b b

==⇒

= 例6、已知函数()f x 满足“当4x ≥时，1()2x

f x ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，当4x ＜时，()(1)f x f x =+”，

则2(2log 3)f +=_________； 答案：

124

例7、（1）方程lg lg(3)1x x ++=的解x =________；

（2）设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 .

例8、已知lg lg 2lg(2)a b a b +=-，求4

log a

b

的值； 答案：先求出：a b =（舍）或4a b =，从而4log 1a

b

=

类型3、对数的恒等式与换底公式的应用

例9、若83log 3,log 5p q ==，则lg 5=________； 答案：3333log 5113log 8log 2lg 53log 1013pq

p p pq

=

⇒=⇒==+； 例10、已知18log 9a =，185b

=，试将36log 45用,a b 表示；

【解】方法一、利用指数对数互换转化为指数式：189;1854518a b a b

+==⇒=

令36log 45x =从而1818

364518

36()1833

x

a b

x x a b ++⇒==⇒=⋅=亦即218189x a b x +=⋅

(18)1818a x a b ax a b +++=⋅=22a b x ax a b x a

+⇒=++⇒=-；

方法二、换成对数式，然后利用换底公式，换成18为底的对数计算问题； 方法三、化成10为底的形式；