1.2简单多面体电子教案
2022年高中数学新北师大版精品教案《1.2简单多面体》
简单多面体教学设计南昌市外国语学校谢川2021年11月10日课题内容：简单多面体教材选择：北师大版必修二第一章第一节设计和授课人：谢川一、教学理念新课程标准明确指出：“数学是人类文化的重要组成局部，构成了公民所必须具备的一种根本素质。
〞因此，本节课力图创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流，充分启发学生的思维，实现教学方式、学习方式的转变。
二、教材分析培养学生的空间观念是数学教育的主要目标之一。
?立体几何初步?是几何学的重要组成局部，承当着立体几何定性局部的学习。
?简单几何体?是本章的第一节，为后续学习提供了全部的模型，学生将先从空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；进而能用数学语言表述有关平行、垂直的判定和性质，同时还将学习一些简单几何体的外表积和体积的计算方法。
本节也是新课程立体几何局部的起始课、入门课，对空间观念的形成有着重要影响。
学生对简单几何体结构特征的认知是以后对空间体进行结构分解和运用的关键。
本节课宜强化几何直观的教学，适当进行思辨论证，在教师的引导下，依次学习棱柱、棱锥、棱台的概念，这是本课时的重点。
难点是几何体结构特征的认识及空间观念的开展，以及概念形成过程中学生的抽象概括能力。
依据?课标?，根据本节课内容和学生的实际，我确定如下教学目标：三、教学目标1.知识与技能：感知并认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征，并能运用这些特征描述生活着简单物体的结构。
2.过程与方法：充分利用模型、教具、课件，让学生亲身体验，直观感知，团队合作；用问题启发式教学贯穿始终，培养学生从立体到平面、从平面到空间的转化能力，逐步形成空间想象力。
3.情感态度和价值观：以学生开展为本，让学生参与教学的全过程，多方面培养学生思维的创造性和灵活性。
重视讨论、交流和合作，重视探究问题的习惯的培养和养成。
高中数学北师大版必修2第一章《1.2简单多面体》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学北师大版必修2第一章《1.2简单多面体》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学北师大版必修2第一章《1.2简单多面体》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
通过对简单旋转体和简单多面体的图形和实物进行观察、比较、分析,了解简单旋转体和简单多面体的结构特征
2教材分析
本节课“简单几何体”的教学要求是认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征并能应用这些特征描述现实生活中简单物体的结构,发展几何直观能力。
通过观察现实世界中实物及模型、图片,引导学生进行归纳、分类、抽象、概括得出柱体、锥体、台体的结构特征。
本节内容在义务教育数学课程“空间与图形”中有所涉及,但要求不同,素材更为丰富,即区别在于学习的深度和概括的程度。
3重点难点
重点: 了解简单旋转体和简单多面体的结构特征
难点:概括棱柱、棱锥、棱台的结构特征并认识它们的区别
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】创设问题情境，激趣导入
我们的生活空间中,存在着各种各样的几何体。
请大家回忆下我们学习了哪些几何体?
学生回答,教师点评
(多媒体展示图片)
活动2【讲授】提出问题
图片中这些几何体的形状有什么特征?按几何体的形状你能分成几种类型?
活动3【讲授】简单旋转体
球、圆柱、圆锥、圆台都是简单旋转体(图中1、2、3、4)。
用教具或多媒体演示球面形成过程。
北师大版高中数学必修二第1章立体几何初步1.1.2简单多面体课件
(2)表示:用表示底面各顶点的字母表示棱台.如上图中的棱台可 记作:四棱台ABCD-A'B'C'D'. (3)分类:按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台……
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1.2 简单多面体
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
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1.2 简单多面体
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UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
(2)表示:通常用底面各顶点的字母表示棱柱.如上图中的棱柱可 记作:五棱柱ABCDE-A'B'C'D'E'. (3)分类:按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (4)特殊的棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱,底面是正多 边形的直棱柱叫作正棱柱.
(5)棱柱的性质有: ①侧棱互相平行且相等,侧面都是平行四边形. ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形,如图①所示. ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形,如图②所示.
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1.2 简单多面体
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名师点拨四棱柱是一种常见的棱柱,它的侧棱与底面的变化会产 生一系列特殊的四棱柱.
四棱柱 面体 正方体. 长方体
平行六面体 正四棱柱
直平行六
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112简单多面体教案(北师版必修2).docx
第二课时1.1.2简单多面体一、教学目标：1・知识与技能：（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述棱柱、棱锥、棱台、简单组合体的结构特征。
（4）会表示有关于儿何体以及柱、锥、台的分类。
2.过程与方法：（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出棱柱、棱锥、棱台、简单组合体的结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3.情感态度与价值观：（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时捉高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出棱柱、棱锥、棱台、简单组合体的结构特征。
难点：棱柱、棱锥、棱台、简单组合体的结构特征的概括。
三、教学方法（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。
（2）教法：探析讨论法。
四、教学过程：（一）、新课导入：复习：1、简单儿何体都有哪些类型？2、概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。
（二）探究简单多面体的结构特征1.探究棱柱、棱锥的结构特征：①提问：举例生活屮有哪些实例给我们以两个曲平行的形象？②讨论：给一个长方体模型，经过上、下两个底而用刀垂直切，得到的儿何体有哪些公共特征？把这些儿何体用水平力推斜后，仍然有哪些公共特征？知识探究（1）：棱柱的结构特征思考1：我们把卜•面的多面体取名为棱柱，你能说一说棱柱的结构有那些特征吗？据此你能给棱柱下一个定义吗？思考2：为了研究方便，我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱 柱的侧面，相邻侧血的公共边叫做棱柱的侧棱，狈恤与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.你 思考3：下列多面体都是棱柱吗？如何在名称上区分这些棱柱？如何用符兮表示?③ 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相E能指出上面棱柱的底而、侧面、侧棱、顶点吗?侧面平行，山这些而所围成的儿何体叫棱柱.f 列举生活中的棱柱实例(三棱镜、方砖、六角螺帽).结合图形认识：底血、侧血、侧棱、顶点、高、対角血、对角线.思考4：棱柱上、下两个底面的形状人小如何？各侧面的形状如何？答案：两底面是全等的多边形，各侧面都是平行四边形思考5：冇两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗?思考6： —个棱柱至少有几个侧面？ 一个N 棱柱分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱? 有多少个顶点？④ 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等.表示：梭柱 ABCDE-A' B' C' D' E'知识探究(2)：棱锥的结构特征思考1：我们把下面的多面体取名为棱锥，你能说一说棱锥的结构有那些特征吗？据此你能 给棱锥下一个定义吗?① 定义：有一个而是多边形，其余各而都是有一个公共顶点的三角形，山这些而所围成的儿 何体叫棱锥. 结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高.- -＞讨论：棱锥如何分类及表示? / W 侧面侧棱底面SB思考2：参照棱柱的说法,棱锥的底面.侧面、侧棱、顶点分别是什么含义?s顶点 /K思考4：一个棱锥至少冇几个面？一个N棱锥冇分别冇多少个底面和侧面？冇多少条侧棱？有多少个顶点？【至少有4个面；1个底面，N个侧面，N条侧棱，1个顶点.】思考5：用一个平行于棱锥底而的平而去截棱锥，截而与底而的形状关系如何？【相似多边形】②讨论：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？有什么共同的性质？棱柱：两底血是对应边平行的全等多边形；侧面、対角血都是平行四边形；侧棱平行且和等; 平行于底面的截面是与底面全等的多边形棱锥：侧面、对如曲都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.2、探究棱台的结构特征：①讨论：用一个平行于底面的平而去截柱体和锥体，所得几何体有何特征？②定义：用一个平行于棱锥底面的平而去截棱锥，截面和底面Z间的部分叫做棱台；―列举生活中的实例结合图形认识：上下底面、侧面、侧棱（母线）、顶点、高.讨论：棱台的分类及表示？③讨论：棱台具有一些什么几何性质？棱台：两底而所在平而互相平行；两底而是对应边互相平行的相似多边形；侧而是梯形; 侧棱的延长线相交于一点.④讨论：棱、圆与柱、锥、台的纽合得到6个儿何体.棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥有什么关系？（以台体的上底血变化为线索）⑤讨论：棱台•棱柱、棱锥有什么共性？（多面体）4.练习：圆锥底面半径为1 cm,高为＞/2 cm,其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.（补充平行线分线段成比例定理）5.小结：学习了柱、锥、台、球的定义、表示；性质；分类.（三）、巩固练习：课本P8 A组1〜4题.（卩4）、小结：木课学习了柱、锥、台、球的定义、表示；性质；分类.要求大家理解和掌握（1）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
2020_2021学年高中数学第一章立体几何初步1.1.2简单多面体学案含解析北师大版必修
1．2 简单多面体知识点一多面体与棱柱[填一填]1．多面体我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台都是简单多面体．2．棱柱(1)棱柱的有关概念两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫作棱柱．两个互相平行的面叫作棱柱的底面，其余各面叫作棱柱的侧面，棱柱的侧面是平行四边形．两个面的公共边叫作棱柱的棱，其中两个侧面的公共边叫作棱柱的侧棱，底面多边形与侧面的公共顶点叫作棱柱的顶点，与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长叫作棱柱的高．(2)棱柱的分类①按底面多边形的边数：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……我们把这样的棱柱分别叫作三棱柱、四棱柱、五棱柱…….②按侧棱与底面是否垂直：[答一答]1．有人说：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．你认为这种说法对吗？提示：这种说法不对．棱柱有两个本质特征：(1)有两个面互相平行；(2)其余各面每相邻两个面的公共边相互平行．正是由于这两个特征，使棱柱的各侧面都是平行四边形，但是有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体未必是棱柱．反例如图．知识点二棱锥[填一填](1)定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥．这个多边形叫作棱锥的底面，其余各面叫作棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫作棱锥的侧棱，各侧面的公共点叫作棱锥的顶点，过顶点作底面的垂线，顶点与垂足间的线段长叫作棱锥的高．(2)正棱锥如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面全等，就称作正棱锥．(3)分类按底面多边形的边数分：底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫作三棱锥、四棱锥、五棱锥…….[答一答]2．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？为什么？提示：不一定，判断一个几何体是否是棱锥，关键是紧扣棱锥的三个本质特征：(1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是三角形；(3)这些三角形有一个公共顶点．这三个特征缺一不可，显然，这种说法不满足(3). 反例如图．知识点三棱台[填一填](1)定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台．原棱锥的底面和截面叫作棱台的下底面和上底面，其他各面叫作棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫作棱台的侧棱，与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长叫作棱台的高．(2)正棱台用正棱锥截得的棱台叫作正棱台，正棱台的侧面是全等的等腰梯形，它的高叫作正棱台的斜高．(3)分类按底面多边形的边数分：底面是三角形、四边形、五边形……的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台…….[答一答]3．棱台的各侧棱是什么关系？各侧面是什么样的多边形？两个底面是什么关系？提示：棱台的各侧棱延长后交于一点，各侧面是梯形，两个底面是相似的多边形．4．观察下面的几何体，思考问题：图①是棱台吗？图②用任意一个平面去截棱锥，一定能得到棱台吗？提示：图①不是棱台，因为各侧棱延长后不交于一点，图②中只有用平行于底面的平面去截才能得到棱台．1．对于多面体概念的理解，注意以下两个方面(1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面．(2)多面体是一个“封闭”的几何体．2．对于棱柱的定义注意以下三个方面(1)有两个面平行，各侧棱都平行，各侧面都是平行四边形．(2)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱．(3)从运动的观点看，棱柱可以看成是一个平面多边形，从一个位置沿一条不与其共面的直线运动到另一位置时，形成的几何体．3．对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形．4．棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台.类型一概念的理解与应用【例1】下列关于多面体的说法正确的个数为________．①所有的面都是平行四边形的几何体为棱柱；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③底面是正三角形，且侧棱相等的三棱锥是正三棱锥；④棱台的各条侧棱延长后一定相交于一点；⑤棱柱的每一个面都不会是三角形．【解析】①中两个四棱柱放在一起，如图所示，能保证每个面都是平行四边形，但并不是棱柱．故①错．②中棱台的侧面一定是梯形，不可能为平行四边形，②正确．根据棱锥的概念知③正确．根据棱台的概念知④正确．棱柱的底面可以是三角形，故⑤不正确．正确的个数为3.【答案】 3规律方法有关棱柱、棱锥、棱台结构特征的判断方法(1)举反例法：结合棱柱、棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点下面属于多面体的是①②.(将正确答案的序号填在横线上)①建筑用的方砖；②埃及的金字塔；③茶杯；④球．解析：①②属于多面体；③④属于旋转体．类型二棱柱的结构特征【例2】如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由．【思路探究】判断一个几何体是否是棱柱，关键是验证几何体是否满足棱柱的定义．如果是棱柱，一是要找到两个面平行，二是要判定其余各个面的公共边平行；如果不是棱柱，则需指出不满足定义或举出反例．【解】(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面都是四边形，其余各面都是矩形，矩形当然是平行四边形，并且几何体的四条侧棱互相平行．(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面．规律方法棱柱的两个主要结构特征：(1)有两个面互相平行；(2)各侧棱都互相平行，各侧面都是平行四边形．通俗地讲，就是棱柱“两头一样平，上下一样粗”．下列说法中，正确的是( C ) A ．底面是正多边形的棱柱是正棱柱B ．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面C ．棱柱的各个面中，至少有两个面互相平行D ．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形解析：正棱柱是底面是正多边形且侧棱垂直于底面的棱柱，故A 错误；棱柱中可以有两个侧面互相平行，不一定是底面，同时底面可以是平行四边形，故B ，D 错；由棱柱的概念知C 正确．故正确答案为C.类型三 棱锥的几何特征【例3】 已知正三棱锥V －ABC 的底面边长为6，高VO ＝4，D 为AB 的中点，过点V ，C ，D 作截面，试求该截面的周长和面积．【思路探究】 依据题意画出图形，利用高与侧棱、底面等边三角形相应的外接圆半径，高与斜高、底面等边三角形相应边心距构成的直角三角形进行计算．【解】 由题意画出图形，如图所示，其中VO ＝4，AB ＝BC ＝CA ＝6，∵△ABC 是等边三角形，O 是中心，∴OC ＝23，OD ＝3，在Rt △VOC 和Rt △VOD 中，由勾股定理，得VC ＝42＋(23)2＝27，VD ＝42＋(3)2＝19，∴截面△VCD 的周长为VC ＋CD ＋VD ＝27＋33＋19，面积为12CD ·VO ＝12×33×4＝6 3.规律方法 1.如图，在正三棱锥的计算中，常要研究基本量：底面边长AB 、侧棱长PC 、高PO 、斜高PD 、边心距OD 、底面外接圆半径OC 等．2．含有这些基本量的直角三角形有Rt △POD 、Rt △POC 、Rt △PDB 、Rt △AOD 等． 3．通过解这些直角三角形可求出基本量，进而完成解题． 4．记住一些结论可提高解题速度．如若AB ＝a ，则OC ＝33a ，OD ＝36a ，CD ＝32a 等．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( D ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中取四棱锥A 1－ABCD ，则此四棱锥的四个侧面全为直角三角形．故正确答案为D.类型四 棱台的几何特征【例4】 已知四棱台的上底面、下底面分别是边长为4,8的正方形，各侧棱长均为17，求四棱台的高．【思路探究】 思路一：用“补形法”，将棱台还原为棱锥，结合平面几何知识求解；思路二：依题意，作出棱台的对角面，化为平面几何的计算问题．【解】解法一：如图所示，设O 1，O 分别为正方形A 1B 1C 1D 1和正方形ABCD 的中心，则P ，O 1，O 三点共线．A 1O 1＝12A 1C 1＝12×42＝22，AO ＝12AC ＝12×82＝4 2.∵△P A 1O 1∽△P AO ，∴A 1O 1AO ＝P A 1P A ，即P A 1P A ＝12.又∵P A ＝P A 1＋A 1A ＝2P A 1，∴P A 1＝A 1A ＝17， 在Rt △PO 1A 1中， PO 1＝P A 21－A 1O 21＝(17)2－(22)2＝3.又∵PO 1PO ＝A 1O 1AO ，∴PO ＝6，∴OO 1＝3.∴四棱台的高为3.解法二：如图所示，在截面ACC 1A 1中，A 1A ＝CC 1＝17，A 1C 1＝42，AC ＝82，过A 1作A 1E ⊥AC 交AC 于点E ，则A 1E 就是四棱台的高．在Rt △A 1EA 中，AE ＝12×(82－42)＝22，A 1A ＝17，∴A 1E ＝A 1A 2－AE 2＝(17)2－(22)2＝3，即四棱台的高为3. 规律方法 正棱台的计算 1．将正棱台补成棱锥(1)大、小棱锥中用解直角三角形方法求解；(2)两棱锥之间运用“对应高之比等于相似比”及相似形知识求解． 2．在正棱台中作直角梯形，进而化为矩形和直角三角形求解．下列几何体是棱台的是④(填序号)．解析：①③都不是由棱锥截得的，不符合棱台的定义，故①③不满足题意，②中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故②不满足题意，④符合棱台的定义，故填④.——多维探究系列—— 几何体的侧面或表面展开图问题展开图问题是转化思想的体现，是把立体几何问题转化为平面几何问题的重要手段之一，所以要重视这种问题的应用．【例5】如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？【思路分析】图①中，有5个平行四边形，而且还有2个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且有共同的顶点，还有1个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，还有2个相似的三角形，符合棱台的特点．【精解详析】由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．【解后反思】(1)解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．(2)若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．(3)若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推．某城市中心广场主题建筑为一三棱锥，且所有边长均为10 m，如图所示，其中E，F分别为AD，BC的中点．(1)画出该几何体的表面展开图，并注明字母；(2)为迎接国庆，城管部门拟对该建筑实施亮化工程，现预备从底边BC中点F处分别过AC，AB上某点向AD中点E处架设LED灯管，所用灯管长度最短为多少？解：(1)该几何体的表面展开图为(2)由该几何体的展开图知，四边形ACBD为菱形，四边形ABCD为菱形．若使由F向E 所架设灯管长度最短，可由其展开图中连接线段EF.这两条线段均为10，故所用灯管最短为20 m.一、选择题1．下列几何体中棱柱有(D)A．5个B．4个C．3个D．2个2．在四面体SABC中，能作为棱锥底面的三角形的个数是(D)A．1 B．2 C．3 D．4解析：四面体的四个三角形都能作为底面．二、填空题3．一个棱台至少有五个面，面数最少的棱台有六个顶点，有九条棱．4．在下面4个平面图形中，哪几个是各侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是①②.(把你认为正确的序号都填上)解析：把每个平面图形折起来试一试，只有①②可以折成三棱锥．三、解答题5．下列多面体都是棱柱吗？如何在名称上区分这些棱柱？如何用符号表示？解：(1)是棱柱，可记为五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1.(2)不是棱柱，不满足棱柱的结构特征．(3)是棱柱，可记为三棱柱ABC-A1B1C1.(4)是棱柱，可记为四棱柱ABCD-A1B1C1D1.。
1.1.2简单多面体 课件(北师大版必修2)
答
有两个面是互相平行的相似多边形，其余各面都是梯形，
每相邻两个梯形的公共腰的延长线共点． 问题 2 类比棱柱的说法，棱台的底面、侧面、侧棱、顶点分别
是什么含义？ 答 如下图：原棱锥的底面和截面分别叫作棱台的下底面、上
底面，其余各面叫作棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫作棱台 的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫作棱台的顶点．
棱锥、四棱锥、五棱锥„„
本 课 时 栏 目 开 关
问题 6 类比正棱柱的概念，如何定义正棱锥？
答 问题 7 如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面全等，就称作正 正棱锥与棱锥相比较，有什么特殊的性质？ 棱锥．
答
正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形
底边上的高都相等，叫作棱锥的斜高．
研一研·问题探究、课堂更高效
1.2
1.2
[学习要求]
简单多面体
1．认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征；
本 课 时 栏 目 开 关
2．掌握其定义及性质． [学法指导] 通过直观感受空间物体，从实物中概括出棱柱、棱锥、 棱台的几何结构特征，提高观察、讨论、归纳、概括的 能力；感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学习 的积极性，培养空间想象能力．
问题 5 棱柱上、下两个底面的形状大小如何？各侧面的形状 如何？ 答 两底面是全等的多边形，各侧面都是平行四边形．
研一研·问题探究、课堂更高效
1.2
问题 6 有两个面互相平行， 其余各面都是平行四边形的多面
本 课 时 栏 目 开 关
体一定是棱柱吗？
答 不是，因为棱柱定义中还有每相邻两个四边 形的公共边都互相平行的条件．如下图虽然有两 个面互相平行，其余各面都是平行四边形但不是 棱柱．
1.2简单多面体ppt课件
❖ 一个棱锥至少有四个面，所以三棱锥也叫四 面体．
31
❖ 1．下列说法正确的是( ) ❖ A．三棱柱有三个侧面、三条侧棱和三
个顶点 ❖ B．四面体有四个面、六条棱和四个顶
点 ❖ C．六棱锥有七个顶点 ❖ D．棱柱的各条侧棱可以不相等
32
❖ 解析：对于A，三棱柱有六个顶点；对于C， 各侧面的公共顶点叫棱锥的顶点，只有1个； 对于D，棱柱的各侧棱相等．
§1. 简单几何体
亳州一中高一数学备课时
1
§1.2:简单多面体
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§1.2:简单多面体
国家游泳中心又被称为“水立方”(Water Cube)，位于 北京奥林匹克公园内，是北京为2008年夏季奥运会修建的 主游泳馆，也是2008年北京奥运会标志性建筑物之一．其 与国家体育场(俗称“鸟巢”)分列于北京城市中轴线北端 的两侧，共同形成相对完整的北京历史文化名城形象．
顶点
棱台的性质：棱台的上下底面平行，侧棱的延长线交于一点
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2、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱 锥…截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台， 五棱台…
3、棱台的表示法：棱台用表示上、下底面各
顶点的字母来表示，如图棱台ABCD-A1B1C1D1 。
A1 D1
C B1 1
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❖ 探究1：多面体与旋转体的主要区别是什么？ ❖ 提示：多面体是由多个平面多边形围成的
几何体，旋转体是由平面图形绕轴旋转而 形成的几何体．
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❖ 探究2：有两个面互相平行，其余各面都是平 行四边形的几何体一定是棱柱吗？
提示：不一定是棱柱．
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❖ 探究3：棱锥最少有几个面和几条棱？ ❖ 提示：面数最少的棱锥是三棱锥，它具有四
个面，六条棱． ❖ 探究4：棱台的各个侧面是什么图形？ ❖ 提示：梯形且两侧棱为梯形的两腰.
2016北师大版数学必修而教学设计：1.1.2简单多面体
课题：§1.1.2简单多面体教材依据本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学2（必修》》第一章§1.1.2简单多面体教学导图教学目标(1) 通过实物操作，让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括棱柱、棱锥与棱台的几何结构特征，增强学生的直观感知。
(2) 会用语言概述简单多面体的定义及结构特征，能根据几何结构特征对简单多面体的形成过程加以理解，让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
教学重点让学生感受大量空间实物及模型、概括出棱柱、棱锥、棱台的结构特征。
教学难点棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括。
教学设计教学过程（一）创设情境，引入概念图片展示（多媒体）在我们生活周围中的有特色的建筑物。
问题1：这些建筑的几何结构特征如何？你能举出一些例子吗？所举的建筑物基本上都是由若干个平面多面体围成的几何体。
（展示具有棱柱、棱锥、棱台结构特征的空间物体），我们把若干个平面多面体围成的几何体叫作多面体,其中棱柱、棱锥、棱台叫作简单多面体.引出课题§1.1.2简单多面体问题2：你能通过观察,根据某种标准对这些简单多面体进行分类吗？这就是我们本节所要学习的内容。
[设计意图]尽可能地将数学的“双基”镶嵌在现实生活的情境之中，创设贴近学生实际的问题情境，鼓励学生发现数学的规律，经历知识形成的过程，激发学生的学习动机.（二）问题引入，建构概念简单多面体有棱柱、棱锥、棱台, 引导学生观察物体,思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辨棱柱、圆柱、棱锥。
并引导学生探究它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？学生合作探究1问题1.棱柱有什么样的结构特征?探究结论棱柱的主要结构特征有（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两个四边形的公共边互相平行。
棱柱的概念有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,并且每相邻两个四边形的公共边互相平行,这些面围成的几何体叫作棱柱.学生合作探究2P,回答什么是棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点？棱柱如何表示？问题2请同学们阅读课本4学生合作探究3问题3 棱柱的任何两个平行平面都可以作为棱柱的底面吗？棱柱的哪些面能作为底面，此时侧面是什么？哪些平行的平面不能作为底面？学生合作探究4问题4 各种各样的棱柱，主要有什么不同？你认为棱柱怎样分类？得出棱柱的分类标准,借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括直棱柱、正棱柱的联系及区别。
1.1.2简单多面体 课件(北师大必修2)
• (2)棱柱的分类 • ①按底面多边形的边数：棱柱的底面可以是 三棱柱 三角形、四边形、五边形„„我们把这样的 四棱柱 五棱柱 ____________、________、 棱柱分别叫作 ________„„. 多边形 • ②按侧棱与底面是否垂直：
垂直
不垂直
• 3．棱锥 • (1)定义 多边形 公共顶点 • 有一个面是________，其余各面是有一个 __________的三角形，这些面围成的几何体 底面 侧面 叫作棱锥．这个多边形叫作棱锥的________， 侧棱 顶点 其余各面叫作棱锥的________，相邻侧面的 公共边叫作棱锥的________，各侧面的公共 高 点叫作棱锥的 ________，过顶点作底面的垂 线，顶点与垂足间的线段长叫作棱锥的 ________．
• 棱台不一定具有的性质是( ) • A．两底面相似 B．侧面都是梯 形 • C．侧棱长都相等 D．侧棱延长后交于一点 • [答案] C • [解析] 棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱 锥得到的，因此棱台的两底面相似，侧面都 是梯形，侧棱延长后一定交于一点，故选C.
• 几何体的结构特征
如图所示，长方体 ABCD－A1B1C1D1.
• 4．棱台 • (1)定义 平行于 • 用一个________棱锥底面的平面去截棱锥， 下底面 底面与截面之间的部分叫作棱台．原棱锥的 上底面 侧面 底面和截面叫作棱台的________和 侧棱 ________，其他各面叫作棱台的________， 高 相邻侧面的公共边叫作棱台的________，与 两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段 长叫作棱台的________．
• [规律总结] 1.棱锥的性质 • (1)底面与平行于底面的截面是相似的多边 形． • (2)三棱锥由四个三角形面围成，是面数最少 的多面体，又叫四面体．
高中数学第一章立体几何初步1.2简单多面体学案北师大版必修2
1.2 简单多面体[学习目标] 1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征． 2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征解决简单多面体的有关计算.【主干自填】1．几种常见的简单多面体13简2．我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台是□单多面体．【即时小测】1．思考下列问题(1)如下图中的几何体，哪些是旋转体？哪些是多面体？提示：观察图中的几何体，其中②是圆柱，③是圆锥，④是半球，⑥是圆台，都是旋转体；①和⑤都是由若干个平面多边形围成的几何体，都是多面体．(2)棱锥有哪些作为棱锥集合的特征性质？如何利用棱锥的特征性质给棱锥下一个定义？提示：通过观察，我们可以得到棱锥的主要特征性质：棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形．有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥．2．若正棱锥的底面边长和侧棱长相等，则该棱锥一定不是( )A．三棱锥 B．四棱锥C．五棱锥 D．六棱锥提示：D 六棱锥的所有棱长不能都相等．3．棱台不一定具有的性质是( )A．两底面相似 B．侧面都是梯形C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点提示：C 只有正棱台的侧棱都相等．例1 下列说法正确的是( )A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形[解析]由棱柱的定义可判断A、B、C均错，故选D.[答案] D类题通法棱柱结构特征问题的解题策略(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征．三个条件缺一不可．(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．[变式训练1]下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是________．答案③④解析三棱柱的两底面都是三角形，所以①②错误．③显然正确．对于④若用平行于底面的平面截棱柱，则截成的两部分都是棱柱，故④正确.例2 下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②棱锥的侧面只能是三角形；③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．[解析]因为棱台的侧棱延长后必交于一点所以侧面一定不会是平行四边形，故①正确，②③显然也正确．对于④一个四棱锥沿顶点与底面对角线切开是两个三棱锥，故④错误．[答案]①②③类题通法棱锥、棱台结构特征问题的判断方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法[变式训练2]判断如图所示的几何体是不是棱台，为什么？答案图①，②，③都不是棱台．解析因为图①和图③都不是由棱锥所截得的，故图①，③都不是棱台，虽然图②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台.例3 一个棱柱是正四棱柱的条件是( )A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是正方形，相邻的两个侧面是矩形D．每个侧面都是全等的矩形[解析]将正方体ABCD－A1B1C1D1的下底面ABCD水平移动一段距离(上底面A1B1C1D1不动)，形成新的几何体，如下图所示．新的几何体底面ABCD为正方形，侧面B1BCC1与A1ADD1是矩形，且侧面ABB1A1，侧面CDD1C1与底面的垂直关系未发生变化，但它是斜四棱柱，故A、B错；对于D选项，底面是菱形的直四棱柱每个侧面都是全等的矩形，但它不是正四棱柱．故选C.[答案] C类题通法几种四棱柱之间关系是判断基础四棱柱是一种非常重要的棱柱，平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)、直平行六面体(侧棱垂直于底面的平行六面体)、长方体、正方体、正四棱柱等都是一些特殊的四棱柱，它们之间的关系如下图所示：[变式训练3]用一个平面去截正方体，所得截面不可能是( )A．六边形B．菱形C．梯形D．直角三角形答案 D解析用一个平面去截正方体，当截面为三角形时，可能为锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能为直角三角形．易错点⊳概念理解不透判断易错[典例] 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，由这些面围成的几何体是棱柱吗？[错解] 因为棱柱的两个底面平行，其余各面都是平行四边形，所以所围成的几何体是棱柱．[错因分析] 棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫作棱柱．显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．定义都是非常严格的，只要不满足所有的条件就会有特殊的例子出现．这提醒我们必须严格按照定义判定．[正解]满足题目条件的几何体不一定是棱柱，如图所示．课堂小结1.棱柱、棱锥、棱台的关系棱柱、棱锥、棱台的关系如下图所示.2.棱柱、棱锥、棱台的共性棱柱、棱锥、棱台的各面都是平面多边形，因此可以看作是由平面多边形所围成的几何体，即多面体．所谓多面体就是由平面多边形所围成的几何体，它还含有除棱柱、棱锥、棱台之外的几何体.1．在三棱锥A－BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 D解析三棱锥的四个面都是三角形都可以作为棱锥的底面．2．下列几何体中棱柱有( )A．5个 B．4个 C．3个 D．2个答案 D解析由棱柱的定义可知，只有①③两个满足棱柱的定义，故选D.3．下面三个命题，其中正确的有( )①用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分一定是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案 A解析本题主要考查棱台有关的概念．关键利用棱台的定义和特殊的几何体加以说明．命题①中的平面不一定平行于底面，故①错；命题②③可用举反例说明不成立，如图所示，故②③不对．4．已知集合I＝{四棱柱}，M＝{平行六面体}，N＝{直平行六面体}，P＝{正四棱柱}，Q＝{长方体}，R＝{直四棱柱}，S＝{正方体}，则下列关系中不正确的是( )答案 C解析各个集合中的元素首先都是四棱柱，所以选项D中的关系是正确的；正方体是侧棱与底面边长都相等的正四棱柱，而正方形是矩形的特例，所以正四棱柱是特殊的长方体，再由长方体的定义知选项A中的关系是正确的；同理选项B的关系也正确；而M∩R＝N，且直平行六面体的底面不一定是矩形，所以选项C的关系不正确．。
2019-2020高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.2 简单多面体学案 北师大版必修2
1.2 简单多面体学习目标 1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征(重点)；2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征解决简单多面体的有关计算(重、难点).知识点一多面体我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体.其中棱柱、棱锥、棱台都是简单多面体. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)多面体至少四个面.(√)(2)多面体的面都是平的，多面体没有曲面.(√)知识点二棱柱的结构特征定义图形及表示相关概念分类两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫作棱柱.如图可记作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′底面：两个互相平行的面.侧面：其余各面.侧棱：两个侧面的公共边.顶点：底面多边形与侧面的公共顶点.按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、……棱柱的侧面一定是平行四边形吗？提示根据棱柱的概念侧棱平行、底面平行可知，棱柱的侧面一定是平行四边形.知识点三棱锥的结构特征定义图形及表示相关概念分类有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥.如图可记作，棱锥S－ABCD底面：多边形面.侧面：有公共顶点的各个三角形面.侧棱：相邻侧面的公共边.顶点：各侧面的公共顶点.按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、……(1)五棱锥共有五个面.(×)(2)三棱锥也叫四面体.(√)(3)棱锥的侧棱长都相等.(×)知识点四棱台的结构特征定义图形及表示相关概念分类用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台.如图可记作：棱台ABCD－A′B′C′D′上底面：原棱锥的截面.下底面：原棱锥的底面.侧面：其余各面.侧棱：相邻侧面的公共边.顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点.由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？提示根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点.题型一棱柱的结构特征【例1】下列说法中，正确的是( )A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点B.棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形解析A选项不符合棱柱的特点；B选项中，如图①，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，如图②，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的特点.故选D.答案 D规律方法棱柱的结构特征：(1)两个面互相平行；(2)其余各面都是四边形；(3)每相邻两个四边形的公共边都互相平行.求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征.【训练1】根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体.(2)由8个面围成，其中两个面是平行且全等的六边形，其余6个面都是平行四边形.解(1)这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱.(2)该几何体是六棱柱.题型二棱锥、棱台的结构特征【例2】下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是________.解析①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.答案①②规律方法判断棱锥、棱台形状的两个方法：(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确. (2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点A.三棱锥B.四棱锥C.三棱台D.四棱柱解析剩余部分是四棱锥A′－BB′C′C.答案 B【探究1】画出如图所示的几何体的表面展开图.解表面展开图如图所示：【探究2】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由).解点F，G，H的位置如图所示.【探究3】如图所示，已知三棱锥P－ABC的底面是正三角形且三条侧棱两两成30°角，侧棱长为18 cm，从点A引一条丝带绕侧面一周回到A点，设D，E分别为丝带经过PC，PB 时的交点，则△ADE周长的最小值为多少？解把三棱锥P－ABC的侧面沿侧棱PA剪开，并展开在平面上，得到平面图形PABCA′，如图所示，则当A，E，D，A′四点共线时，△ADE的周长取得最小值，即线段AA′的长度.∵∠APB＝∠BPC＝∠CPA′＝30°，∴∠APA′＝90°.又AP＝A′P＝18 cm，∴AA′＝18 2 cm.则△ADE周长的最小值为18 2 cm.【探究4】长方体中，a，b，c为棱长，且a>b>c，求沿长方体表面从P到Q的最小距离(其中P，Q是长方体对角线的两个端点).解将长方体展开，有三种情况(如图).d1＝a2＋（b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2bc，d2＝c2＋（a＋b）2＝a2＋b2＋c2＋2ab，d3＝b2＋（a＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ac，因为a>b>c，故d min＝d1＝a2＋（b＋c）2.规律方法多面体表面展开图问题的解题策略：(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图.(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图.课堂达标1.下列说法错误的是( )A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形解析由于三棱柱的侧面为平行四边形，故选项D错.答案 D2.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A.棱柱B.棱台C.棱柱与棱锥的组合体D.不能确定解析形成的几何体前后两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，符合棱柱的定义.答案 A3.下列三个命题：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是菱形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中，正确的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个解析①中的平面不一定平行于底面，故①错；②中侧面是菱形，所以侧棱互相平行，延长后无交点，故②错；③用反例验证(如图)，故③错.答案 A4.对棱柱而言，下列说法正确的序号是________.①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形.②所有的棱长都相等.③棱柱中至少有2个面的形状完全相同.④相邻两个面的交线叫作侧棱.解析①正确，根据棱柱的定义可知；②错误，因为侧棱与底面上棱长不一定相等；③正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，即棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱.答案①③5.如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？解 由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以(1)为五棱柱；(2)为五棱锥；(3)为三棱台.课堂小结1.棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例).2.(1)各种棱柱之间的关系 ①棱柱的分类棱柱⎩⎪⎨⎪⎧直棱柱⎩⎪⎨⎪⎧正棱柱一般的直棱柱斜棱柱②常见的几种四棱柱之间的转化关系(2)棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表： 名称 底面 侧面侧棱高平行于底面的截面 棱柱斜棱柱 平行且全等的两个多边形平行四边形 平行且相等与底面全等直棱柱平行且全等的两个多边形矩形平行、相等且垂直于底面等于侧棱与底面全等正棱柱平行且全等的两个正多边形全等的矩形平行、相等且垂直于底面等于侧棱与底面全等棱锥正棱锥一个正多边形全等的等腰三角形有一个公共顶点且相等过底面中心与底面相似其他棱锥一个多边形三角形有一个公共顶点与底面相似棱台正棱台平行且相似的两个正多边形全等的等腰梯形相等且延长后交于一点与底面相似其他棱台平行且相似的两个多边形梯形延长后交于一点与底面相似基础过关1.一般棱台不具有的性质是( )A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点解析当棱台是斜棱台时其侧棱不全相等.答案 C2.下列关于棱柱的说法错误的是( )A.所有的棱柱两个底面都平行B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行C.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱D.棱柱至少有五个面解析对于A、B、D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫作棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误.答案 C3.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶1解析由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积比为对应边之比的平方，故选B.答案 B4.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.解析因棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为605＝12 cm.答案125.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ABC＝________.解析如图所示，将平面图折成正方体.很明显点A，B，C是上底面正方形的三个顶点，则∠ABC＝90°.答案90°6.如图所示为长方体ABCD－A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱.解截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义.它是三棱柱BEB′－CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面，EF，B′C′，BC是侧棱.截面BCFE左侧部分也是棱柱.它是四棱柱ABEA′－DCFD′.其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面，A′D′，EF，BC，AD为侧棱.7.如图所示，有12个小正方体，每个正方体6个面上分别写着数字1，9，9，8，4，5，用这12个小正方体拼成一个长方体，那么图中看不见的那些小正方体的面有多少个，并求这些面上的数字和.解这12个小正方体，共有6×12＝72个面，图中看得见的面共有3＋4×4＝19个，故图中看不见的面有72－19＝53个，12个小正方体各个面的数字的和为(1＋9＋9＋8＋4＋5)×12＝432.而图中看得见的数字的和为131，所以看不见的那些小正方体的面上的数字的和为432－131＝301.能力提升8.如图所示，不是正四面体的展开图的是( )A.①③B.②④C.③④D.①②解析可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.答案 C9.下列命题中，真命题是( )A.顶点在底面上的投影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥B.底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥C.顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心的三棱锥是正三棱锥D.底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥解析对于选项A，到三角形各顶点距离相等的点为三角形外心，该三角形不一定为正三角形，故该命题是假命题；对于选项B，如图所示，△ABC为正三角形，若PA＝PB＝AB＝BC＝AC≠PC，△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，但它不是正三棱锥，故该命题是假命题；对于选项C，顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心，底面为任意三角形皆可，故该命题是假命题；对于选项D，顶点在底面上的正投影是底面三角形的外心，又因为底面三角形为正三角形，所以外心即为中心，故该命题是真命题.答案 D10.如图所示，在所有棱长为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________.解析 将三棱柱沿AA 1展开如图所示，则线段AD 1即为最短路线，即AD 1＝AD 2＋DD 21＝10.答案 1011.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体或几何图形的4个顶点，这些几何体或几何图形是________(写出所有正确结论的编号).①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体. 解析 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体或几何图形的4个顶点，这些几何体或几何图形是：①矩形，如四边形ACC 1A 1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A －A 1BD ；④每个面都是等边三角形的四面体，如A －CB 1D 1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A －A 1DC ，所以填①③④⑤. 答案 ①③④⑤12.如图，在边长为2a 的正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A 、B 、C 重合，重合后记为点P .问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？解 (1)如图，折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF 为等腰三角形，△PEF 为等腰直角三角形，△DPE 和△DPF 均为直角三角形.(3)S △PEF ＝12a 2， S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2，S △DEF ＝S 正方形ABCD －S △PEF －S △DPF －S △DPE＝(2a )2－12a 2－a 2－a 2＝32a 2. 13.(选做题)已知正四棱锥V －ABCD 如图所示，底面面积为16，侧棱长为211，求它的高和斜高.解 如图所示，设VO 为正四棱锥V －ABCD 的高，作VM ⊥BC 于点M ，则M 为BC 的中点.连接OB 、OM ，则VO ⊥OM ，VO ⊥OB .因为底面正方形ABCD 的面积为16，所以BC ＝4，所以BM ＝CM ＝OM ＝2，所以OB ＝BM 2＋OM 2＝22＋22＝2 2.又因为VB ＝211，所以在R t△VOB 中，VO ＝VB 2－OB 2＝（211）2－（22）2＝6，在Rt△VOM (或Rt△VBM )中，VM ＝62＋22＝210(或VM ＝（211）2－22＝210).即正四棱锥的高为6，斜高为210.。
2021-2022数学北师大版必修2课件：第一章1.2简单多面体 (42张)
[解] (1)长方体 ABCD-A1B1C1D1 是棱柱，且是四棱柱．因为 平面 ABCD 与平面 A1B1C1D1 平行，且其余各面都是四边形， 且 AA1，BB1，CC1，DD1 互相平行． (2)用平面 BCNM 把这个长方体分成两部分，其中一部分有两 个平行的平面 BB1M 与平面 CC1N，其余各面都是四边形，并 且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所 以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱 BB1MCC1N；另一部分 有两个平行的平面 ABMA1 与平面 DCND1，其余各面都是四边 形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定 义，所以是四棱柱，可用符号表示为四棱柱 ABMA1DCND1.
第一章 立体几何初步
1．2 简单多面体
1．问题导航 (1)“有两个面是互相平行且全等的多边形，其余各面都是平 行四边形的多面体是棱柱”这一说法对吗？为什么？ (2)棱锥所有的面可以都是三角形吗？ (3)如何判断一个多面体是不是棱台？
2．例题导读 P5知识点二“棱锥、棱台”．通过本知识点的学习，理解棱 锥、棱台的基本概念及两几何体之间的关系，特别需注意的 是正棱锥的概念，不仅棱锥的底面是正多边形，而且各侧面 要全等．
分类
三棱台 四棱台 五棱台
… n棱台
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)棱柱的侧面都是平行四边形．( √ ) (2)棱锥的侧面都是三角形．( √ ) (3)多面体只有棱柱、棱锥、棱台三类，没有其他情况．( × )
2．如图，观察四个几何体，其中判断正确的是( C )
A．(1)是棱台 C．(3)是棱锥
B．(2)是圆台 D．(4)不是棱柱
解析：图(1)不是由棱锥截来的，所以(1)不是棱台；图(2)上下 两个面不平行，所以(2)不是圆台；图(4)前后两个面平行，其 他面是四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以(4) 是棱柱；很明显(3)是棱锥．
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.2 简单多面体课件2高一数学课件
（1）)．侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体(下 图(2)(3)(4))．底面是矩形的直平行六面体是长方体(下图 (3)(4)．棱长都相等的长方体是正方体(下图(4))．
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Ⅱ、棱锥
有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,
如(l果éng棱zhuī锥) 的底面是…正…多边形,且各侧面全等,就称作
正棱锥,正棱锥的侧面是全等的等腰三角形.
特殊(tèshū)的三棱锥：
三棱锥也叫做四面体
正三棱锥 SAB底面C A为B正C三角形其
余(qíyú)侧面为等腰三角形;
正四面体 SA每B个C面均为正三角形
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这些面围成的几何体叫作棱锥.
基本概念： 底面：除去棱锥的侧面余下的那个多边形． 侧面：除底面外的其余三角形面． 侧棱：两个侧面的公共边． 顶点：侧面的公共顶点． 高：顶点到地面的距离 斜高：侧面三角形的高
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分类：
三棱锥(léSngzhuīA) BC 四棱S锥ABCD
§1.2 简单 页，共十六页。
学 1.通过实物观察,增强学生的直观感知. 习 2.能说出棱柱、棱锥、棱台的定义,记住相关的概 目 念,知道棱柱、棱锥、棱台的分类. 标 3.会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
重 重点:明确棱柱、棱锥、棱台的定义、结构特征 点 及其分类. 难 难点:棱柱、棱锥、棱台的结构特征.疑点:棱柱、 点 棱锥、棱台的结构特征的理解.
4、一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么
它的三个侧面(cèmiàn)( D) A.必定都不是直角三角形
§1.2简单多面体(教案).PPT
§1.2 简单多面体
一、教学目标
1．知识与技能
（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述棱柱、棱锥、棱台等简单多面体的结构特征。
（4）会表示棱柱、棱锥、棱台等简单多面体并分类。
2．过程与方法
（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出棱柱、棱锥、棱台的结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感、态度与价值观
（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教材分析
重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出棱柱、棱锥、棱台的结构特征。
难点：棱柱、棱锥、棱台结构特征的概括。
三、教学方法
探析讨论法
四、教学过程
(一)、复习导入
1。
〖2021年整理〗《学案1.1-1.2简单多面体棱柱、棱锥和棱台》优秀教案
§1基本立体图形构成空间几何体的基本元素简单多面体——棱柱、棱锥和棱台学习目标核心素养1通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征．重点2．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型．重点、难点1通过对多面体结构特征的学习，培养学生直观想象素养．2．借助于与多面体侧面展开图相关的计算，培养学生数学运算素养1 空间几何体的基本元素1空间几何体的基本元素：任意一个几何体都是由点、线、面构成的，点、线、面是构成几何体的基本元素．2平面：①平面的画法：一般地，用平行四边形表示平面，当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°，横边长画成邻边长的两倍当两个平面相交时，把被遮挡部分画成虚线或不画用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ用表示平行四边形的四个顶点的字母表示，如平面ABCD．用表示平行四边形顶点的两个相对顶点的字母表示，如平面AC．2 多面体及相关概念由平面多边形围成的几何体称为多面体．这些多边形称为多面体的面，两个相邻面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点．3．棱柱定义有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，由这些面所围成的几何体称为棱柱图形及表示如图可记作：棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1或棱柱AC1相关概念底面底：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点对角线：既不在同一底面上也不在同一个侧面上的两个顶点的连线高：过上底面上一点O1作下底面的垂线，这点和垂足O间的距离OO1称为点O1到下底面的距离，也是两底面间的距离，即棱柱的高性质1侧棱都相等2两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形3过不相邻两条侧棱的截面都是平行四边形分类1按侧面形状分类：侧面平行四边形都是矩形的棱柱称为直棱柱，其他的棱柱称为斜棱柱，底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱2按底面形状分类：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……特殊的四棱柱底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体；底面是矩形的直平行六面体是长方体；棱长都相等的长方体是正方体定义有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体称为棱锥图形及表示如图可记作：棱锥S－ABCDEF或棱锥S－AC相关概念底面底：多边形ABCDEF侧面：其余各面顶点：各个侧面的公共点侧棱：相邻两个侧面的公共边高：顶点到底面的距离性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似分类1分类：棱锥的底面可能是三角形、四边形、五边形……这样的棱锥分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥……三棱锥也叫作四面体2正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，那么这个棱锥称为正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形．这些等腰三角形底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高5棱台定义用一个平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分称为棱台图形及表示如图可记作：棱台ABC－A1B1C1或棱台AC1相关概念底面：原棱锥的底面和截面分别称为棱台的下底面和上底面侧面：其余各面侧棱：相邻两个侧面的公共边高：上下两底面之间的距离分类1分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……所截得的棱台，分别称为三棱台、四棱台、五棱台……2正棱台：由正棱锥截得的棱台称为正棱台．正棱台各侧面都是全等的等腰梯形．这些等腰梯形的高称为正棱台的斜高思考：1有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体是棱锥吗？提示：不一定是．只有当这些三角形有公共的顶点时才是棱锥．2．棱台的各侧棱延长线一定相交于一点吗？提示：因为棱台是由棱锥截得的，所以棱台的各侧棱延长线一定相交于一点1．下列棱锥有6个面的是A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥[答案]C2．有两个面平行的多面体不可能是A．棱柱B．棱锥C．棱台D．以上都错B[棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行．]3．关于棱柱，下列说法正确的有________填序号．1有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；2棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形；3各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．2[1不正确，反例如图所示．2正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形．3不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体．]棱柱的结构特征【例1】下列命题中，正确的是A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形D[A选项不符合棱柱的侧棱平行的特点；对于B选项，如下图1，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知面ABB1A1∥面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；选项C中，如下图2，底面ABCD可以是平行四边形；D选项说明了棱柱的特点，故选D．]1 2有关棱柱的结构特征问题的解题策略1紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析①两个面互相平行；②其余各面是平行四边形；③每相邻两个四边形的公共边互相平行求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征2多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除错误!1．下列关于棱柱的说法中，错误的是A．三棱柱的底面为三角形B．一个棱柱至少有五个面C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形C[显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，所以C错误；D 正确，所以选C．]棱锥和棱台的结构特征①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个2下列说法正确的有________个．①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．②正棱锥的侧面是等边三角形．③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．1A2021由五个面围成的多面体还可能是三棱台、三棱柱等，故①错；三棱柱是只有两个面平行的五面体，故②错．如图，可知③④错误．2①不正确．棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的．如图所示的几何体满足此说法，但它不是棱锥，理由是△ADE和△BCF无公共顶点．②错误．正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形．③错误．由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥．如图所示的三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD．满足底面△BCD为等边三角形．三个侧面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定，三个侧面不一定全等．]判断棱锥、棱台形状的两个方法1举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．2直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点错误!2．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥D[由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．]多面体的平面展开图问题[探究问题]1 如何把一个多面体的侧面展开？提示：在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．2．如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？①②③提示：图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点．把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．【例3】长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线长．[思路点拨]错误!→错误!→错误!→错误![解]沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展开在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：1若将C1D1剪开，使面AB1与面A1C1共面，可求得AC1＝错误!＝错误!＝4错误! 2若将AD剪开，使面AC与面BC1共面，可求得AC1＝错误!＝错误!＝3错误!3若将CC1剪开，使面BC1与面AB1共面，可求得AC1＝错误!＝错误!相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为错误!把例3的条件换为：如图所示，棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱CC1的中点为M，蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点M，求蚂蚁爬行的最短路线长．[解]由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm，故两点之间的距离是错误!1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是错误!错误!cm求几何体表面上两点间的距离的方法：求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体沿某条棱剪开，使两点展开在一个平面上，转化为求平面上两点间的最短距离问题1．棱柱、棱锥定义的关注点1棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：①有两个平面底面互相平行；②其余各面侧面每相邻两个面的公共边侧棱都互相平行．2棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：①有一个面底面是多边形；②其余各面侧面是有一个公共顶点的三角形．2．棱柱、棱台、棱锥关系图1．思考辨析正确的画“√”，错误的画“×”1用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台．2棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面．3棱台的底面是两个相似的正方形．4棱台的侧棱延长后必交于一点．[提示]1错误．只有用平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台．2错误．反例：长方体的相对的侧面也相互平行．3错误．棱台的底面是两个相似的多边形，不一定是正方形．4正确．因为棱台是由棱锥用平行于底面的平面截得的，所以棱台的侧棱延长后必交于一点．[答案]1×2×3×4√2．下面图形中，为棱锥的是A．①③B．①③④C．①②④D．①②C[根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C．] 3．下列说法中正确的是A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行B．棱柱中任意两个侧面都不可能互相平行C．棱柱的侧棱就是棱柱的高D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形A[棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面如正方体，故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C 错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错．]4．下列图形中，不能折成三棱柱的是A B C DC[C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折成三棱柱．]。
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❖ 2．五棱锥是由多少个面围成的( )
❖ A．5个
B．7个
❖ C．6个
D．11个
❖ 解析：五棱锥由五个侧面和一个底面，即六 个面围成．
❖ 答案：C
❖ 3．棱台不具有的性质是( ) ❖ A．两底面相似 ❖ B．侧面都是梯形 ❖ C．侧棱都平行 ❖ D．侧棱延长后都交于一点
❖ 【错解】 ①③④⑥
❖ 【错因分析】 没有准确把握棱柱的结构特 征．
❖ 【正解】 根据棱柱的结构特征：①有 两个面互相平等，②各侧棱都平行，各 侧面都是平行四边形，知①③正确．
❖ 易错补练 棱柱的侧棱最少有________条， 棱柱的侧棱长之间的大小关系是________．
❖ 答案：三 相等
1.2简单多面体
§1.2:简单多面体
国家游泳中心又被称为“水立方”(Water Cube)，位于 北京奥林匹克公园内，是北京为2008年夏季奥运会修建的 主游泳馆，也是2008年北京奥运会标志性建筑物之一．其 与国家体育场(俗称“鸟巢”)分列于北京城市中轴线北端 的两侧，共同形成相对完整的北京历史文化名城形象．
D
棱锥的侧面
E A
C 棱锥的底面
B
❖ 一个特殊的棱锥：正棱锥 把底面为正多形，侧面是全等的三角形的棱锥叫作 正棱锥
❖ 正棱锥的性质：正棱锥的侧棱长相等；侧面是全等 的等腰三角形；
S
A
BC
D
2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可 以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、……
3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的 字母表示。如四棱锥S-ABCD。
两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其 余各面叫做棱柱的侧面。
相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。
侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点。
底面
侧面 侧棱 顶点
底面
2. 观察下列几何体并思考：棱柱（1)，（3） 与棱柱（2)的不同之处？
(1)
(2)
(3)
❖ 两个特殊的棱柱：直棱柱与正棱柱 把侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱； 把底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱；
二、观察下列几何体,有什么相同点？
1、棱锥的概念
有一个面是多边形，其余各面是有一个公 共顶点的三角形， 由这些面所围成的几何体 叫做棱锥。
这个多边形面叫做棱锥的底面。
有公共顶点的各个三角形叫做棱锥 的侧面。 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。
相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
S
棱锥的顶点
棱锥的侧棱
个面的公共边叫作多面体的棱，棱与棱的公共点叫作多 面体的顶点； ❖ 连结不在同一个面内的两个顶点的线段叫作多面体的对 角线。 ❖ 多面体按照它的面数的多少，可以分为：四面体、五面 体、六面体、、、、、
棱
面
面 棱 顶点
面
一、 观察下列几何体并思考： 它们具有哪些性质?
1、定义：有两个面互相平行，其余各面都 是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
❖ 水立方的外观是什么形状？它有什么结构特 征呢？
❖ 水立方的外观是一个长方体，它的结构特征 是：它由六个矩形围成，而且相对的面是互 相平行的，这就符合本节要学习的棱柱的结 构特征.
多面体的定义：把由若干个平面多边形围成的空间图
形叫做多面体。 ❖ 自然界有很多的物体都呈多面体的形状 ❖ 其中：把围成多面体的各个多边形叫作多面体的面;两
❖ 2．棱锥是多面体中重要的一种，它有两个本 质特征：(1)有一个面是多边形；(2)其余各面 是有一个公共顶点的三角形．二者缺一不 可．因此棱锥有一个面是多边形，其余各面 都是三角形．但是要注意“有一个面是多边 形，其余各面都是三角形”的几何体未必是 棱锥，如图，此多面体有一面是四边形，其 余各面都是三角形，但它不是棱锥．
2、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱 锥…截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台， 五棱台…
3、棱台的表示法：棱台用表示上、下底面各
顶点的字母来表示，如图棱台ABCD-A1B1C1D1 。
A1 D1
C B1 1
❖ 探究1：多面体与旋转体的主要区别是什么？
❖ 提示：多面体是由多个平面多边形围成的 几何体，旋转体是由平面图形绕轴旋转而 形成的几何体．
❖ 一个棱锥至少有四个面，所以三棱锥也叫四 面体．
❖ 1．下列说法正确的是( ) ❖ A．三棱柱有三个侧面、三条侧棱和三
个顶点
❖ B．四面体有四个面、六条棱和四个顶 点
❖ C．六棱锥有七个顶点 ❖ D．棱柱的各条侧棱可以不相等
❖ 解析：对于A，三棱柱有六个顶点；对于C， 各侧面的公共顶点叫棱锥的顶点，只有1个； 对于D，棱柱的各侧棱相等．
❖ 直棱柱的性质：直棱柱的侧面都是矩形； ❖ 正棱柱的性质：正棱柱的侧面是全等的矩
形；
2、棱柱的分类：棱柱的底面可以是三角形、四 边形、五边形、 …… 我们把棱柱按照底面多边 形边数的多少，可分三棱柱、四棱柱、五棱 柱、……
三棱柱
四棱柱
五棱柱
3、棱柱的表示法(下图)
棱柱用表示两底面多边形的顶点的字母表 示棱柱,如：棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1 。
❖ 1．棱柱是多面体中最简单的一种，对 棱柱的概念应正确理解，准确把握，它 有两个本质特征：(1)有两个面(底面)互 相平行；(2)其余各面(侧面)每相邻两个 面的公共边(侧棱)都互相平行．因此， 棱柱有两个面互相平行，其余各面都是 平行四边形．但是要注意“有两个面互 相平行，其余各面都是平行四边形的几 何体”不一定是棱柱．
❖ 探究2：有两个面互相平行，其余各面都是平 行四边形的几何体一定是棱柱吗？
提示：不一定是棱柱．
❖ 探究3：棱锥最少有几个面和几条棱？ ❖ 提示：面数最少的棱锥是三棱锥，它具有四
个面，六条棱．
❖ 探究4：棱台的各个侧面是什么图形？ ❖ 提示：梯形且两侧棱为梯形的两腰.
❖ 典例 如图所示，下列几何体中，哪些是 棱柱？
思考题：用一个平行于棱锥底面的平面 去截棱锥，那么所得截面与棱锥底面 之间的几何体会是怎样的一个几何体 呢？
A1
D1 B1C1
A1 D1
C B1
1
三、棱台的结构特征
1、棱台的概念：用一个平行于棱锥底面
的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分
叫做棱台。
A1 D1
C B1 1
上底面Байду номын сангаас侧面
侧棱
下底面
顶点
棱台的性质：棱台的上下底面平行，侧棱的延长线交于一点