二项式定理高考常见题型及其解法

第二讲 二项式定理高考常见题型及解法

二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，虽解法灵活但较易掌握.二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系.二项式定理在每年的高考中基本上都有考查，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现. 本讲将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用. 【知识要点】

1、二项式定理：∑=-∈=

+n

k k

k

n k n

n

n b a

C

b a 0

*)()(N

2、二项展开式的通项： )0(1n r b a C T r r n r n r ≤≤=-+它是展开式的第r +1项.

3、二项式系数：).0(n r C r n ≤≤

4、二项式系数的性质： ⑴ ).0(n k C C k n n k n ≤≤=-

⑵ ).10(11

1-≤≤+=---n k C C C k n k n k n ⑶ 若n 是偶数，有n n

n n

n n n

n C C

C C C >>><<<-1

210

，即中间一项的二项式系数2n

n C 最大.

若n 是奇数，有n n

n n

n n n n n

n

C C C C C C >>>=<<<-+-121

21

10 ，

即中项二项的二项式系数21

2+n n n

n C C 和相等且最大.

⑷ 各二项式系数和：0122n r n

n n n n n C C C C C =++++++

⑸在二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和

即:021312n n n n n C C C C -++=++=

【典型考题】

一、求二项展开式：

1．“（a +b ）n

”型的展开式

例1．求4

)13(x x +的展开式.

解：原式=4

)13(

x

x +=

2

4

)

13(x

x +

=])3()3()3()3([144

3

4

2

2

4

3

1

4

4

42

C

C

C

C

C x x x x x ++++

=

)112548481(12

3

4

2

++++x x x x x

=5411284812

2

++

+

+x

x

x x

小结：这类题目直接考查二项式定理掌握，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简再展

开”的思想在高考题目中会有体现的. 2． “（a -b ）n ”型的展开式

例2．求4

)13(x

x -的展开式.

分析：解决此题，只需要把4)13(x x -改写成4

)]1(3[x

x -+的形式然后按照二项展开式的格式展开

即可.本题主要考察了学生的“问题转化”能力. 3．二项式展开式的“逆用”

例3．计算c

C C C n n

n

n

n n n 3

)1( (279313)

2

1

-++-+-；

解：原式=n

n

n

n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3

3

3

2

2

1

1

-=-=-++-+-+-+

小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质. 二、通项公式的应用：

1．确定二项式中的有关元素 例4．已知9)2

(

x x

a -的展开式中x 3

的系数为4

9，常数a 的值为

解：9

2

3

92

9

99

12

)1()2

()

(---

-+⋅⋅⋅-=-

=r r

r r

r r

r r r x a

C x x a

C T

令

392

3=-r ，即8=r ，依题意，得4

92

)1(8

948

8

9=⋅⋅---a

C ，解得1-=a

2．确定二项展开式的常数项

例5．10

3

)1(x x -展开式中的常数项是

解：r

r r

r r

r r x

C

x

x C T 6

5510

3

1010

1)1()1

()

(-

-+⋅-=-

= ，令06

55=-

r ，即6=r .

所以常数项是210)1(6

106=-C

小结：可以讲2011陕西高考题—例1⑴ 3．求单一二项式指定幂的系数 例6．（03全国）92

)21(x

x -展开式中x 9

的系数是 .

解：29191()()

2r

r r

r T x x

C -+=-

=182911

()()2

r

r r r x x

C --=18391

()2

r

r x x C --

令,9318=-x 则3=r ，从而可以得到9x 的系数为：3

39121()2

2

C -=-

，∴填212

-

三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数

例7．5432)1()1()1()1()1(-+---+---x x x x x 的展开式中，x 2的系数等于 解：2x 的系数是四个二项展开式中4个含2x 的，则有

20)()1()1()1()1(3

5241302335224113002-=+++-=-+---+--C C C C C C C C

例8．（02全国）72)2)(1-+x x （的展开式中，x 3

项的系数是 . 解：在展开式中，3x 的来源有：

⑴第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为6

6

7)2(-C ； ⑵第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x ，其系数为4

4

7)2(-C

3

x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(4

4

76

6

7C C 填1008.

四、利用二项式定理的性质解题 1、求中间项

例9．求10

1的展开式的中间项；

解：,)1()(

3

10101r r r r x

x T C -=-+ ∴展开式的中间项为5

55

5610(252x C =-.

小结： 当n 为奇数时，n

b a )(+的展开式的中间项是2

1

2121

-+-n n n n b

a

C 和2

1

2

121

+-+n n n n b

a

C ；

当n 为偶数时，n

b a )(+的展开式的中间项是222n

n

n

n

b a C . 2、求有理项 例10．求10

3

)1

(x

x -

的展开式中有理项共有 项；