高中圆锥曲线最经典的5道题(带详细答案)

2015高考圆锥曲线专项训练（内部资料，不得外传）

1.已知椭圆2

2

21(01)y x b b

+=<<的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B ．过F 、

B 、

C 作⊙P ，其中圆心P 的坐标为（m ，n ）．

（Ⅰ）当m ＋n >0时，求椭圆离心率的范围； （Ⅱ）直线AB 与⊙P 能否相切？证明你的结论．

2.有如下结论：“圆222r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为200r y y y x =+”，类比

也有结论：“椭圆),()0(10022

22y x P b a b

y a x 上一点>>=+处的切线方程为

12

020=+b

y y a x x ”，过椭圆C ：142

2=+y x 的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的两条切线，切点为 A 、B.

（1）求证：直线AB 恒过一定点；（2）当点M 在的纵坐标为1时，求△ABM 的面积

3.已知点P （4，4），圆C ：22

()5(3)x m y m -+=<与椭圆E ：22221(0)x y a b a b

+=>>有一个

公共点A （3，1），F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．

（Ⅰ）求m 的值与椭圆E 的方程； （Ⅱ）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP AQ ⋅的取值范围．

4.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为)2,0(A ，右焦点F 与点(2,2)B 的距离为2。

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在斜率0≠k 的直线l ：2-=kx y ，使直线l 与椭圆相交于不同的两点N

M ,满足||||AN AM =，若存在，求直线l 的倾斜角α；若不存在，说明理由。

5.椭圆方程为)0(12222>>=+b a b

y a x 的一个顶点为)2,0(A ，离心率36

=e 。

（1）求椭圆的方程；

（2）直线l ：2-=kx y (0)k ≠与椭圆相交于不同的两点N M ,满足

0,=⋅=MN AP PN MP ，求k 。

标准答案详解：

1. 解：（Ⅰ）设F 、B 、C 的坐标分别为（－c ，0），（0，b ），（1，0），则FC 、BC 的中垂线分别为

12c x -=，11()22b y x b -=-．联立方程组，解出21,2

.

2c x b c y b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩

21022c b c

m n b

--+=+>，即20b bc b c -+->，即（1＋b ）

（b －c ）>0，∴ b >c ． 从而22b c >即有222a c >，∴21

2

e <

．又0e >，∴0e <<22．

（Ⅱ）直线AB 与⊙P 不能相切．由AB k b =，22102

PB

b c

b b k

c --

=

--

＝2(1)b c b c +-． 如果直线AB 与⊙P 相切，则b ·2(1)

b c

b c +-＝－1．

解出c ＝0或2，与0＜c ＜1矛盾，所以直线AB 与⊙P 不能相切．

2.【解】（1）设M 14),,(),(),)(,33

4(

11221,1=+∈y y x x MA y x B y x A R t t 的方程为则 ∵点M 在MA 上∴13311=+ty x ① 同理可得13

3

22=+ty x ②

由①②知AB 的方程为)1(3,13

3

ty x ty x -==+即

易知右焦点F （0,3）满足③式，故AB 恒过椭圆C 的右焦点F （0,3）

（2）把AB 的方程0167,14

)1(322

=--=+-=y y y x y x 化简得代入 ∴716

7283631||=+⋅+=AB 又M 到AB 的距离3323

1|

334|=

+=d ∴△ABM 的面积21

3

16||21=

⋅⋅=

d AB S 3. 【解】（Ⅰ）点A 代入圆C 方程， 得2

(3)15m -+=．∵m ＜3，∴m ＝1． 圆C ：22(1)5x y -+=．设直线PF 1的斜率为k ， 则PF 1：(4)4y k x =-+，即440kx y k --+=．

Q

P

O

y

x

F 1

A C F 2

∵直线PF 1与圆C 相切，∴

2

|044|

51

k k k --+=+．

解得111,22

k k ==或． 当k ＝112

时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去．

当k ＝

1

2

时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4，∴c ＝4．F 1（－4，0），F 2（4，0）． 2a ＝AF 1＋AF 2＝52262+=，32a =，a 2

＝18，b 2

＝2．椭圆E 的方程为：22

1182

x y +=．

（Ⅱ）(1,3)AP =，设Q （x ，y ），(3,1)A Q x y =--，(3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-．

∵22

1182

x y +

=，即22(3)18x y +=，而22(3)2|||3|x y x y +⋅≥，∴－18≤6xy ≤18． 则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[0，36]．3x y +的取值范围是[－6，6]．

∴36AP AQ x y ⋅=+-的取值范围是[－12，0]．

4.【解】（1）依题意，设椭圆方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x ，则其右焦点坐标为

22,)0,(b a c c F -= ，由=||FB 2，得22(2)(02)2c -+-=，

即2(2)24c -+=，解得22=c 。

又 ∵2=b ，∴ 12222=+=b c a ，即椭圆方程为14

122

2=+y x 。 （2）由||||AN AM =知点A 在线段MN 的垂直平分线上，

由⎪⎩⎪⎨⎧=+

-=14

122

2

2y x kx y 消去y 得12)2(322=-+kx x 即012)31(22=-+kx x k （*） 由0≠k ，得方程（*）的0144)12(2

2>=-=∆k k ，即方程（*）有两个不相等的实数根。

设),(11y x M 、),(22y x N ，线段MN 的中点),(00y x P ， 则2213112k k x x +=

+，∴2

210

3162k k

x x x +=+=，