江苏省2020学年高一数学模拟选课调考试题
【数学】江苏南京市、盐城市2020届高三上学期第一次模拟考试 数学
盐城市、南京市2020届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题2020．01(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝(0，+∞)，全集U ＝R ，则U A ð＝ ． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅＝ ．3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ． 4．命题“ θ∀∈R ，cos θ＋sin θ＞1 ”的否定是 命题（填“真”或“假”）． 5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ．6．已知样本7，8，9，，y 的平均数是9，且y ＝110，则此样本的方差 是 ．7．在平面直角坐标系Oy 中，抛物线y 2＝4上的点P 到其焦点的距离为 3，则点P 到点O 的距离为 ．8．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，则21a a 的值为 ． 9．在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点P 是棱CC 1上一点，记三棱柱ABC —A 1B 1C 1与四棱锥P —ABB 1A 1的体积分别为V 1与V 2，则21V V ＝ ． 10．设函数()sin()f x x ωϕ=+ (ω＞0，0＜ϕ＜2π)的图象与y 轴交点的纵坐标为32， y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为 ． 第5题11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），11AH AB AC 42=+u u u r u u u r u u u r，则 cos ∠BAC的值为 ．12．若无穷数列{}cos()n ω(ω∈R)是等差数列，则其前10项的和为 ．13．已知集合P ＝{}()16x y x x y y +=，，集合Q ＝{}12()x y kx b y kx b +≤≤+，，若P ⊆Q ，则1221b b k -+的最小值为 ．14．若对任意实数x ∈(-∞，1]，都有2121xe x ax ≤-+成立，则实数a 的值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知△ABC 满足sin(B )2cos B 6π+=．（1）若cosC ＝63，AC ＝3，求AB ； （2）若A ∈(0，3π)，且cos(B ﹣A)＝45，求sinA ．16．（本题满分14分）如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱CC 1上的一点． （1）若A 1C//平面PBD ，求1PC PC的值； （2）求证：BD ⊥A 1P ．17．（本题满分14分）如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O 中剪裁出两块全等的圆形铁皮⊙P 与⊙Q 做圆柱的底面，剪裁出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点A ，B 在⊙O 上，点P ，Q 在⊙O 的一条直径上，AB ∥PQ ，⊙P ，⊙Q 分别与直线BC 、AD 相切，都与⊙O 内切．（1）求圆形铁皮⊙P 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P 与⊙Q 半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）18．（本题满分16分）设椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率是e ，动点P(0x ，0y ) 在椭圆C 上运动．当PF 2⊥轴时，0x ＝1，0y ＝e ．（1）求椭圆C 的方程；（2）延长PF 1，PF 2分别交椭圆于点A ，B （A ，B 不重合）．设11AF FP λ=u u u r u u u r ，22BF F P μ=u u u r u u u r，求λμ+的最小值．19．（本题满分16分）定义：若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“M(q )数列”．设数列{}n b 中11b =，37b =．（1）若2b ＝4，且数列{}n b 是“M(q )数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为“M(q )数列”，并说明理由；（3）若数列{}n b 是“M(2)数列”，是否存在正整数m ，n ，使得4039404020192019m n b b <<？若存在，请求出所有满足条件的正整数m ，n ；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）若函数()xxf x e aemx -=--(m ∈R)为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x ．（1）求实数a 的值； （2）求实数m 的取值范围； （3）若02()f x e≥-恒成立，求实数m 的取值范围．附加题，共40分21．【选做题】本题包括A ，B ， C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知圆C 经矩阵M ＝ 33 2a ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦变换后得到圆C ′：2213x y +=，求实数a 的值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线cos 2sin m ρθρθ+=被曲线4sin ρθ=截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值．C ．选修4—5：不等式选讲已知正实数 a ，b ，c 满足1231a b c++=，求23a b c ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，AA 1，BB 1是圆柱的两条母线，A 1B 1，AB 分别经过上下底面的圆心O 1，O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，CD ＝2．（1）若AA 1＝3，求异面直线A 1C 与B 1D 所成角的余弦值； （2）若二面角A 1—CD —B 1的大小为3π，求母线AA 1的长．23．（本小题满分10分）设22201221(12)nin n i x a a x a x a x =-=++++∑L (n N *∈)，记0242n n S a a a a =++++L ．（1）求n S ；（2）记123123(1)nnn n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L ，求证：36n T n ≥恒成立．盐城市、南京市2020届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题2020．01(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝(0，+∞)，全集U ＝R ，则U A ð＝ ． 答案：(-∞，0] 考点：集合及其补集解析：∵集合A ＝(0，+∞)，全集U ＝R ，则U A ð＝(-∞，0]． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅＝ ． 答案：5 考点：复数解析：∵2z i =+，∴2(2)(2)45z z i i i ⋅=+-=-=．3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ． 答案：23考点：等可能事件的概率解析：所有基本事件数为3，包含甲的基本事件数为2，所以概率为23． 4．命题“θ∀∈R ，cos θ＋sin θ＞1 ”的否定是 命题（填“真”或“假”）． 答案：真 考点：命题的否定解析：当θπ=-时，cos θ＋sin θ＝﹣1＜1，所以原命题为假命题，故其否定为真命题．5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ． 答案：6考点：算法（伪代码）解析：第一遍循环 S ＝0，I ＝1，第二轮循环S ＝1，I ＝2 ，第三轮循环S ＝3，I ＝3，第四轮循环S＝6，I ＝4，第五轮循环S ＝10，I ＝5，第六轮循环S ＝15，I ＝6，所以输出的 I ＝6． 6．已知样本7，8，9，，y 的平均数是9，且y ＝110，则此样本的方差是 ． 答案：2考点：平均数，方差解析：依题可得＋y ＝21，不妨设＜y ，解得＝10，y ＝11，所以方差为22222210(1)(2)5+++-+-＝2．7．在平面直角坐标系Oy 中，抛物线y 2＝4上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ．答案：考点：抛物线及其性质解析：抛物线的准线为＝−1，所以P 横坐标为2，带入抛物线方程可得P(2，±)，所以OP＝8．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，则21a a 的值为 ． 答案：3考点：等差中项，等差数列的通项公式 解析：∵ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，∴2152a a a =，故2111(4)()a a d a d +=+，又公差不为0，解得12d a =，∴21111133a a d a a a a +===． 9．在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点P 是棱CC 1上一点，记三棱柱ABC —A 1B 1C 1与四棱锥P —ABB 1A 1的体积分别为V 1与V 2，则21V V ＝ ． 答案：23考点：棱柱棱锥的体积解析：1111121123C ABB A C A B C V V V V V ==-=——，所以2123V V =．10．设函数()sin()f x x ωϕ=+ (ω＞0，0＜ϕ＜2π)的图象与yy 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为 ． 答案：7考点：三角函数的图像与性质解析：∵()f x 的图象与y轴交点的纵坐标为2，∴sin 2ϕ=，又0＜ϕ＜2π，∴3πϕ=， ∵y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π， ∴3632ππωπ+=，解得ω＝7． 11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），11AH AB AC 42=+u u u r u u u r u u u r，则 cos ∠BAC的值为 ．答案：3考点：平面向量解析：∵H 是△ABC 的垂心，∴AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，∵11AH AB AC 42=+u u u r u u u r u u u r，∴1131BH AH AB AB AC AB AB AC 4242=-=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r则11AH BC (AB AC)(AC AB)042⋅=+⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，31BH AC (AB AC)AC 042⋅=-+⋅=u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r ，即22111AC AB AC AB 0244--⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，231AC AB AC 042-⋅+=u u ur u u u r u u u r ，化简得：22111cos BAC 0244b c bc --∠=，231cos BAC+042bc b -∠=则2222cos BAC 3b c bbc c-∠==，得2b c =，从而cos BAC 3∠=． 12．若无穷数列{}cos()n ω(ω∈R)是等差数列，则其前10项的和为 ． 答案：10 考点：等差数列解析：若等差数列公差为d ，则cos()cos (1)n d n ωω=+-，若d ＞0，则当1cos 1n d ω->+时，cos()1n ω>， 若d ＜0，则当1cos 1n dω-->+时，cos()1n ω<-， ∴d ＝0，可得cos2cos ωω=，解得cos 1ω=或1cos 2ω=-（舍去）， ∴其前10项的和为10．13．已知集合P ＝{}()16x y x x y y +=，，集合Q ＝{}12()x y kx b y kx b +≤≤+，，若P ⊆Q ，则1221b b k -+的最小值为 ．答案： 4考点：解析几何之直线与圆、双曲线的问题解析：画出集合P 的图象如图所示，第一象限为四分之一圆，第二象限，第四象限均为双曲线的一部分，且渐近线均为y x =-，所以＝−1，所求式为两直线之间的距离的最小值，所以10b =， 2y kx b =+与圆相切时最小，此时两直线间距离为圆半径 4，所以最小值为 4．14．若对任意实数x ∈(-∞，1]，都有2121xe x ax ≤-+成立，则实数a 的值为 ．答案：12-考点：函数与不等式，绝对值函数解析：题目可以转化为：对任意实数x ∈(-∞，1]，都有2211xx ax e -+≥成立，令221()x x ax f x e -+=，则(1)[(21)]()xx x a f x e --+'=，当211a +≥时，()0f x '≤，故()f x 在(-∞，1]单调递减，若(1)0f ≤，则()f x 最小值为0，与()1f x ≥恒成立矛盾；若(1)0f >，要使()1f x ≥恒成立，则(1)f =121ae-≥，解得12ea ≤-与211a +≥矛盾． 当211a +<时，此时()f x 在(-∞，21a +)单调递减，在(21a +，1)单调递增，此时min ()(21)f x f a =+，若(21)0f a +≤，则()f x 最小值为0，与()1f x ≥恒成立矛盾；若(21)0f a +>，要使()1f x ≥恒成立，则min 2122()(21)a a f x f a e++=+=1≥．接下令211a t +=<，不等式21221a a e++≥可转化为10te t --≤， 设()1tg t e t =--，则()1tg t e '=-，则()g t 在(-∞，0)单调递减，在(0，1)单调递增，当t＝0时，()g t 有最小值为0，即()0g t ≥，又我们要解的不等式是()0g t ≤，故()0g t =，此时210a +=，∴12a =-． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知△ABC 满足sin(B )2cos B 6π+=．（1）若cosC ＝6，AC ＝3，求AB ； （2）若A ∈(0，3π)，且cos(B ﹣A)＝45，求sinA ． 解：16．（本题满分14分）如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱CC 1上的一点．（1）若A 1C//平面PBD ，求1PC PC的值； （2）求证：BD ⊥A 1P ．证明：17．（本题满分14分）如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O 中剪裁出两块全等的圆形铁皮⊙P 与⊙Q 做圆柱的底面，剪裁出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点A ，B 在⊙O 上，点P ，Q 在⊙O 的一条直径上，AB ∥PQ ，⊙P ，⊙Q 分别与直线BC 、AD 相切，都与⊙O 内切．（1）求圆形铁皮⊙P 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P 与⊙Q 半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）解：18．（本题满分16分）设椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率是e ，动点P(0x ，0y ) 在椭圆C 上运动．当PF 2⊥轴时，0x ＝1，0y ＝e ．（1）求椭圆C 的方程；（2）延长PF 1，PF 2分别交椭圆于点A ，B （A ，B 不重合）．设11AF FP λ=u u u r u u u r ，22BF F P μ=u u u r u u u r，求λμ+的最小值．解：19．（本题满分16分）定义：若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“M(q )数列”．设数列{}n b 中11b =，37b =．（1）若2b ＝4，且数列{}n b 是“M(q )数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为“M(q )数列”，并说明理由；（3）若数列{}n b 是“M(2)数列”，是否存在正整数m ，n ，使得4039404020192019m n b b <<？若存在，请求出所有满足条件的正整数m ，n ；若不存在，请说明理由． 解：20．（本题满分16分）若函数()xxf x e aemx -=--(m ∈R)为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x ．（1）求实数a 的值；（2）求实数m的取值范围；（3）若02()f xe≥-恒成立，求实数m的取值范围．解：附加题，共40分21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知圆C 经矩阵M ＝ 33 2a ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦变换后得到圆C ′：2213x y +=，求实数a 的值． 解：B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线cos 2sin m ρθρθ+=被曲线4sin ρθ=截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值． 解：C ．选修4—5：不等式选讲已知正实数 a ，b ，c 满足1231a b c++=，求23a b c ++的最小值． 解：【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，AA 1，BB 1是圆柱的两条母线，A 1B 1，AB 分别经过上下底面的圆心O 1，O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，CD ＝2．（1）若AA 1＝3，求异面直线A 1C 与B 1D 所成角的余弦值； （2）若二面角A 1—CD —B 1的大小为3π，求母线AA 1的长．解：23．（本小题满分10分）设22201221(12)nin n i x a a x a x a x =-=++++∑L (n N *∈)，记0242n n S a a a a =++++L ．（1）求n S ；（2）记123123(1)nnn n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L ，求证：36n T n ≥恒成立． 解：。
江苏省2019-2020年高一模拟选课调考数学试卷 Word版含答案
高一年级模拟选课调考数学一 选择题（每题 5 分，共 60 分）1. 若集合 M1,2，N2,3, 4，则M ∩ N 等于()A ． 1,2, 3, 4B ．2C ．2,3D ．1,3, 42. cos 2 x 的最小正周期为()4A ． 2π0 3. tan 420A ． 3B ． π等于()B ． 3πC ． 2C ．33D ． 4πD ．3 34. 已知函数 f2x 4x 21，则 f2的值为()A ．5B ．8C ．10D ．16 uuu r uuur5．已知 A3,0,B2,1,C1,4，则AC BC 的值为()A ．10B ．14C ． 10D ． 146.求值： sin 24 0 cos54 0cos24 0 sin54 0等于()A ．B ．C ．D ． 22232 uu ur uuu r uuu r7. 三角形 ABC 中， D 为边 BC 上一点，且满足 BD 2D C ,则 AD 等于( ) uu r uuu r uu r uuu r uu r uuu r uu r uuu r A ． AB AC B ． AB AC C ． AB AC D ． AB AC3 3 3 3 3 3 2 28. 化简 12sin 35 0 cos35 0的结果是()A ． sin35 0cos350 B ． sin35 0cos35C ． cos35 0sin35D ． cos35 0 sin359. 已知 a1,3，bm,4，若a 与 b 的夹角为锐角，则实数 m 的取值范围是( )A ． ,12B ．12,3 34 44 4 3 310. 函数 f ( x ) sin x 3 cos x ， x 0，π的单调减区间为(511156 6665566π131 12 2 1 1 2 11C ． 12, ，D ． 12, ，+ + A ． 2k π π, 2k π π , k Z B ． 2k π π, 2k π π, k Z C ． 0, π D ． π, π)11.若,均为钝角，且s in ,sin ，则等于()510357πA．B．πC．πD．π444412.若函数f x 是定义在2,2上的减函数，且f(1a)f (3a 1),则实数a的取值范围是()A．,B．1,0C．0,13D．0,二填空题（每题5分，共20分）13.函数f x x 1的定义域是▲.14.已知角的终边经过点3,4，则tan ▲.15.设为锐角，若cos =，则sin 2+的值为▲653.16.在平行四边形ABCD中，A3，边AB、A D的长分别为2,2，若M、N分别是线段BC、CD上的点，且满足BM CNBC CDuuu r uuu r，则AM AN的最大值为▲.三解答题（共70分）17.设集合A x|a 1≤x≤2a 1，集合B x|x 0或x 5，全集U R.（1）若a 5，求C A；U（2）若a 2，求A B.18.已知tan 2.（1）求tan 的值；4（2）求sin cos2sin cos的值.510π4ππ19.已知向量a (1,m)，b (2,n)．（1）若m 3，n 1，且a (a b)，求实数的值；，求实数n的值．（2）若m 1，且a与b的夹角为420.已知向量a (sin x,cos x)，b (1,3)．（1）若a∥b，求tan x的值；（2）设函数f(x)a b，将f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），再将所有点向左平移个单位长度，，得到函数g(x)的图象，若g(x)的图0π象关于y轴对称，求的值；21.如图，某生态农庄内有一块半径为150米，圆心角为的扇形空地，现准备对该空地进行3开发，规划如下：在弧AB上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在O A上，点M,N在O B上，设BOP .（1）试将PN,MN分别用表示；（2）现计划将△PMN开发为草莓种植基地，进行亲子采摘活动，预计每平方米获利7元，将△PMQ开发为垂钓中心，预计每平方米获利5元，试问：当角为何值时，这两项的收益之和最大？并求出最大值.AQ PO M N B22.设函数f(x)x2x 2k(x x 1)，k R．（1）若函数f( x)为偶函数，求k的值；（2）若k 0，求证：函数f(x)在区间(1，)上是单调增函数；（3）若函数g(x)f( x )在区间1，k 上的最大值为2，求k的取值范围．π参考答案1 5: B B A C B6 10: C A C D D 11 12: D B13. 1,，4 24 32516. 4 217.解：（1）当 a 5 时，集合 Ax|4 ≤ x ≤ 11…………2 分则 C Ax|x 4 或 x 11；…………5 分U（2）当 a 2 时， Ax|1≤ x ≤ 5， …………7 分 所以 A Bx|x 0 或 x ≥ 1.…………10 分18. 解：（1） tan4tantan1 tan tanπ 3；…………6 分π 1 24（2）sincos tan 1 2sin cos 2 tan 11 ； …………12 分19. 解：（1）当 m 3 ， n1时， a (1,3) ，又 b (2, 1) ，所以 ab (1,3)(2, 1) (12,3 )， …………3 分若 a (ab ) ，则 a (ab ) = 0 ，即 (12)3(3)0 ，解得 10 ．…………6 分（2）因为 a (1,1)， b (2, n ) ，所以 a b = 2 n ，①…………8 分又因为 a 与 b 的夹角为4 π 2，所以 a b = a b cos 2 n 2 4 ，② …………10 分4 2由①②可得： 2 nn 24 ，14. ， 15. ，π42 120.解：（1）因为a∥b，所以3sin x cos x 0，解得tan x33…………4分（2）f(x)sin x 3cos x 2sin x ，…………6分311π则g(x)sin x ，因为g(x)图象关于y223轴对称，所以g(x)为偶函数…………8分1πππ所以kπ,k Z，解得2kπ,k Z，2323又因为0π，所以π3…………12分21.解：（1）在△R t PON中，sinOP，所以PN 150sin ，…………2分同理可得ON 150cos.因为四边形PNMQ为矩形，所以M Q PN 150sin ，因为AOB ，所以3在Rt△QOM中，O MMQtan3503sin ，所以MN ON OM 150cos 503sin .…………4分综上：PN 150sin ，MN 150cos 503sin …………5分（2）设草莓种植基地和垂钓中心的收益之和为y元，则有y 5SPMN 7SPQM，…………6分SPMN =SPQMPN MN 150sin22150cos503sin ，y 5S 7S 121150sin 150cos503sinPMN PQM 2化简得：y 2250023sin 2225003，…………9分6又因为0,，所以时，收益最大，最大值为225003元.…………11分36答：当时，收益最大，最大值为225003元.6…………12分πPNππ11…………7分ππππ22.解：（1）因为函数f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)对任意的x R 恒成立，所以(x)2(x)2k(x x 1) x2x 2k(x x 1)．即k(x x 1)0对任意的x R恒成立，所以k 0．…………3分（2）当k 0时，f(x)x2x 2．对任意的x，x (1，)，且x x，1 2 1 2f( x)1f(x )2x 2x 2x x22 1 1 2 2x 2x211x2x2x xx x 1111 2 1 2 xx121x x1 2…………5分因为1x x，所以x x 0，10，x x 0，101 2 1 2 x x 1 2 x x12 1 2所以f(x)f(x)0，即f(x)f(x )，1 2 1 2所以函数f(x)为(1，)上的单调增函数．…………7分（3）令t x x 1，x 1，k ．，则t x x1在区间1，k 上是增函数，故t 0，k1k．令h(t)t2kt 2，则当t 0时，h(0)2．由题意k 1，所以k 1或k 1．…………9分①当k 1时，h(t)在t 0，k 上是增函数，k故在t 0，k 上h(t)≥2，不符合题意．k②当k 1时，令(t )t2kt 2，t 0，k ，k因为对称轴为t ，所以(0)(k)，而k ＜k，故g k 2，2k k121 211111k11- 7 -（i ）k 28 ≤ 0 ，即 2 2 ≤ k1，在 t 0 ，k 上 h (t ) ≤ 2 恒成立，k所以 2 2 ≤ k1 符合题意．（ii ）k 2 8 0 ，即 k2 2 时，因为 k0 ，k 22k只需≤ 2 ，即 2 ≤ 2 ，解得 4≤ k ≤ 4 ， 2 4 2所以 4≤ k2 2 ．综上 4≤ k 1． …………12 分1 1kk 2 k 2。
江苏省苏北地区2019～2020学年度高一第1学期学情调研数学试题及参考答案解析
江苏省苏北县2019～2020学年度高一第一学期学情调研数学试题一、选择题(本大题共12小题)1.已知集合3,5,,4,,则A. B.C. D.2,3,4,5,2.若,则A. B. C.8 D.93.已知幂函数的图象经过点,则此幂函数的解析式为A. B. C. D.4.下列函数中图象相同的是A.与B.与C.与D.与5.函数的定义域为A. B.C. D.6.若函数在区间内递减,那么实数a的取值范围为A. B. C. D.7.已知函数,则A. B. C.2 D.8.指数函数是R上的减函数,则a的取值范围是A. B. C. D.9.函数的单调增区间为A. B.C. D.10.设函数是定义在R上的奇函数,当时,,则A. B. C. D.411.设函数是R上的单调增函数,则实数b的取值范围为A. B. C. D.12.已知函数,则不等式的解集为A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题)13.已知函数的图象恒过定点A,则A的坐标为______.14.计算______.15.计算：的值为______.16.若函数是定义在实数集R上的偶函数,且在上是单调增函数,,则不等式的解集为______.三、解答题(本大题共6小题)17.计算；.18.已知集合,.求,；若,求实数a的取值范围.19.函数是定义在上的奇函数.求实数a的值；判断在上的单调性,并用定义证明你的结论；20.已知函数是二次函数,且满足,.求的解析式；求函数,的最小值若,试将的最小值表示成关于t的函数.21.近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资160万元,根据行业规定,每个城市至少要投资30万元,由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入单位：万元满足,乙城市收益Q与投入单位：万元满足,设甲城市的投入为单位：万元,两个城市的总收益为单位：万元.写出两个城市的总收益万元关于甲城市的投入万元的函数解析式,并求出当甲城市投资72万元时公司的总收益；试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大？22.设函数且x,.判断的奇偶性,并用定义证明；若不等式在上恒成立,试求实数a的取值范围；的值域为函数在上的最大值为M,最小值为m,若成立,求正数a的取值范围.答案和解析1.【参考答案】B【试题分析】解：集合3,5,,4,,.故选：B.利用交集定义直接求解.本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.2.【参考答案】A【试题分析】解：,.故选：A.把对数式化为指数式即可得出.本题考查了对数式化为指数式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3.【参考答案】A【试题分析】解：依题意,设,则,解得,,故选：A.根据幂函数的概念,设出函数解析式,待定系数求解即可.本题考查了用待定系数法求函数解析式的问题,考查计算能力,是基础题.4.【参考答案】D【试题分析】解：对于A,函数,与函数的对应关系不同,不是同一函数,图象不同；对于B,函数,与函数的定义域不同,不是同一函数,图象不同；对于C,函数,与函数的定义域不同,对应关系也不同,不是同一函数,图象不同；对于D,函数,与函数的定义域相同,对应关系也相同,是同一函数,图象相同.故选：D.根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,判断是同一函数,得出图象相同.本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题,是基础题.5.【参考答案】D【试题分析】解：要使原函数有意义,则,解得,原函数的定义域为.故选：D.可看出,要使得原函数有意义,需满足,解出x的范围即可.本题考查了函数定义域的定义及求法,对数函数的定义域,考查了计算能力,属于基础题.6.【参考答案】D【试题分析】解：函数的对称轴为,要使函数在区间内递减,即,实数a的取值范围是,故选：D.根据二次函数单调性和对称轴之间的关系,建立条件关系即可.本题主要考查二次函数的图象和性质,根据二次函数单调性和对称轴之间的关系是解决本题的关键. 7.【参考答案】B【试题分析】解：函数,.当时,.,故选：B.由已知条件利用分段函数的性质求解.本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题.8.【参考答案】C【试题分析】解：由指数函数的性质可得,当底数位于区间时指数函数为减函数,据此可得实数a的不等式：,解得：,即实数a的取值范围是.故选：C.利用指数函数的单调性得到关于实数a的不等式,求解不等式即可求得最终结果.本题考查指数函数的单调性,不等式的解法等,重点考查学生对基础概念的理解和计算能力,属于基础题.9.【参考答案】B【试题分析】解：函数的定义域为,且内层函数在上单调递增,而外层函数是增函数,函数的单调增区间为.故选：B.由对数函数的真数大于0求得函数定义域,在求出内层函数的增区间得答案.本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法.对应复合函数的单调性,一要注意先确定函数的定义域,二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断,判断的依据是“同增异减”,是基础题.10.【参考答案】C【试题分析】解：根据题意,当时,,则,又由函数为奇函数,则；故选：C.根据题意,由函数的解析式可得的值,结合函数的奇偶性分析可得答案.本题考查函数的奇偶性的性质以及应用,涉及函数值的计算,属于基础题.11.【参考答案】C【试题分析】解：因为每一段单调递增,所以只需：.故选：C.直接根据每一段都递增,且前一段的最大值小于等于后一段的最小值求解即可.等于后一段的最小值.12.【参考答案】D【试题分析】解：根据题意,函数,则有,解可得,即函数的定义域为,关于原点对称,又由,即函数为奇函数,设,则,,在上为减函数,而在上为增函数,故在区间上为减函数,,解可得：,即不等式的解集为；故选：D.根据题意,分析函数的奇偶性以及单调性,据此可得,解可得x的取值范围,即可得答案.本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,涉及函数的定义域,不等式的解法,属于基础题.13.【参考答案】【试题分析】解：令指数可得：,且：,据此可得函数恒过定点,即A的坐标为.故选：B.首先令指数等于0,然后求解类指数函数所过的定点即可.本题考查了指数函数的性质,函数恒过定点问题等,重点考查学生对基础概念的理解和计算能力,属于基础题.14.【参考答案】【试题分析】解：原式.故答案为：.利用指数与对数运算性质即可得出.本题考查了指数与对数运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.15.【参考答案】10【试题分析】解：原式故答案为：10.先把根式化成分数指数幂,然后进行分数指数幂的运算即可.本题考查了根式和分数指数幂的转化,分数指数幂的运算,考查了计算能力,属于基础题.16.【参考答案】【试题分析】解：根据题意,函数是定义在实数集R上的偶函数,且,则,又由在上是单调增函数,则原不等式等价于,即,解可得,即不等式的解集为；故答案为：.根据题意,由函数的奇偶性以及特殊值可得,结合函数的单调性分析可得,解可得x的取值范围,即可得答案. 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,涉及不等式的解法,属于基础题.17.【参考答案】解：..【试题分析】利用指数运算性质即可得出.利用对数运算性质即可得出.本题考查了指数与对数运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.18.【参考答案】解：由题意集合,集合,所以,所以,所以；因为,所以；由,解得；所以实数a的取值范围是.【试题分析】化简集合A、集合B,根据补集与并集、并集的定义,计算即可；由得,由此列不等式组求出a的取值范围.本题考查了集合的定义与运算问题,是基础题.19.【参考答案】解：根据题意,是奇函数,则,即,变形可得；故；在上为增函数.根据题意,设,则,又,则,则有,所以在上是单调增函数.【试题分析】根据题意,由奇函数的定义可得,即,变形分析可得答案；根据题意,由作差法分析可得结论.本题考查函数的奇偶性与单调性的判定,关键是求出a的值,属于基础题. 20.【参考答案】解：设函数的解析式为,因为,所以,又,所以,解得,.所以.令,,则,,所以当即时.,,当时在上单调递减,所以的时候有最小值,当时,在上单调递减,在上单调递增,所以时,有最小值,即此时,综上所述：.【试题分析】因为是二次函数,可设,因为,再根据,所以,解得a,从而得出的解析式；用换元法令,,则,,求出最小值即可.分两种情况讨论当时,当时,单调性及最小值,即可得出答案.本题考查二次函数的图象和性质及最值,属于基础题.21.【参考答案】解：由题知,甲城市投资x万元,乙城市投资万元,所以,依题意得,解得,故,,当时,此时甲城市投资72万元,乙城市投资88万元,所以总收益.,令,则.所以,当,即万元时,y的最大值为68万元,故当甲城市投资128万元,乙城市投资32万元时,总收益最大,且最大收益为68万元.【试题分析】由题知,甲城市投资x万元,乙城市投资万元,求出函数的解析式,利用当甲城市投资72万元时公司的总收益；,,令,则.,然后求解函数的最值即可.本题考查实际问题的应用,二次函数的性质以及换元法的应用,考查转化思想以及计算能力,是中档题. 22.【参考答案】解：的定义域为,且,为奇函数；若不等式在上恒成立,即在上恒成立,即在上恒成立,令,则,,当,即时,函数取最小值,故；是上的减函数,在上的值域为,在区间上,恒有,时,在上单调递增,,,,解得,不满足；时,在上是增函数,,,不满足题意；时,在上单调递减,在上单调递增,,即时,在上是增函数,,,,解得；,即时,在上单调递减,,,,解得；,即时,在上单调递减,在上单调递增,,,当,即时,,解得,,综上,a的取值范围是.【试题分析】可看出是奇函数,根据奇函数的定义证明即可；由题意可得出在上恒成立,然后令,,从而得出,配方即可求出y的最小值为,从而得出；容易求出,从而得出时,,可讨论a：容易得出时,不符合题意；时,可知在上是减函数,在上是增函数,从而可讨论,和,然后分别求出在上的最小值和最大值,根据求出a的范围即可.本题考查了奇函数的定义及证明,指数函数的单调性,配方求二次函数最值的方法,换元法求函数最值的方法,函数的单调性,根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法,考查了计算和推理能力,属于中档题.。
2020-2021学年江苏省如皋市第一中学高一上学期学校调研测试1数学试题(解析版)
江苏省如皋市第一中学2020至2021学年度第一学期高一校调研数学测试一一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)1.给出下列四个关系式：①7∈R ；②Z ∈Q ；③0∈∅；④∅⊆{0}，其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3D.42.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1<x <4}，集合B ＝{x |2≤x <5}，则A ∩(∁U B )＝( ) A.{x |1≤x <2} B.{x |x <2} C.{x |x ≥5}D.{x |1<x <2}3.已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.下列命题中的假命题是( ) A.∀x ∈R ，|x |＋1>0 B.∀x ∈N ＋，(x －1)2>0 C.∃x ∈R ，|x |<1D.∃x ∈R ，1|x |＋1＝2 5.对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理.如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于______．A.425 B.45C.225D.25 6.已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝1，若不等式2a ＋b ≥3m 恒成立，则m 的最大值为( )A.1B.2C.3D.77．不等式x (x －a ＋1)＞a 的解集是{x |x ＜－1或x ＞a }，则( )A ．a ≥1B ．a ＜－1C．a＞－1 D．a∈R8.设P＝{1，2，3，4}，Q＝{4，5，6，7，8}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q中元素的个数为()A.4B.5C.19D.20二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)9.已知集合M＝{－2，3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则满足条件的实数x 可能为()A.2B.－2C.－3D.110.若1a<1b<0，则下列不等式中，正确的不等式有()A.a＋b<abB.|a|>|b|C.a<bD.ba＋ab>211.若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式恒成立的是()A.ab≤1B.a＋b≤ 2C.a2＋b2≥2D.1a＋1b≥212.下列命题是假命题的是()A.不等式1x>1的解集为{x|x<1}B.函数y＝x2－2x－8的零点是(－2，0)和(4，0)C.若x∈R，则函数y＝x2＋4＋1x2＋4的最小值为2D.x2－3x＋2<0是x<2成立的充分不必要条件三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为________.14.命题“对任意x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是_____________________. 16.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨，和最小值为________(本题第一空2分，第二空3分).四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分8分)解下列不等式(组)：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2）>0，x 2<1； (2)6－2x ≤x 2－3x <18.18.(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }，B ＝{x |x ≤1，或x ≥4}. (1)当a ＝3时，求A ∩B ；(2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围.19．(本小题满分12分)已知P ＝{x |1≤x ≤2}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充分条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由；(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分8分)已知a >0，b >0且1a ＋2b ＝1.(1)求ab 的最小值； (2)求a ＋b 的最小值．21．南康某服装厂拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用()04x x ≤≤万元满足131m x =-+.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数； （2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？22.(本小题满分12分)已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a，b的值；(2)m为何值时，ax2＋m x＋3≥0的解集为R.(3)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.江苏省如皋市第一中学2020至2021学年度第一学期高一校调研测试一一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)1.给出下列四个关系式：①7∈R；②Z∈Q；③0∈∅；④∅⊆{0}，其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4解析①④正确；对于②，Z与Q的关系是集合间的包含关系，不是元素与集合的关系；对于③，∅是不含任何元素的集合，故0∉∅，选B.答案 B2.设全集U＝R，集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|2≤x<5}，则A∩(∁U B)＝()A.{x|1≤x<2}B.{x|x<2}C.{x|x≥5}D.{x|1<x<2}解析∁U B＝{x|x<2或x≥5}，A∩(∁U B)＝{x|1<x<2}.答案 D3.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析∵a＝3⇒A⊆B，而A⊆B a＝3，∴“a＝3”是“A⊆B的充分不必要条件”.答案 B4.下列命题中的假命题是()A.∀x∈R，|x|＋1>0B.∀x∈N＋，(x－1)2>0C.∃x ∈R ，|x |<1D.∃x ∈R ，1|x |＋1＝2解析 A 中命题是全称量词命题，易知|x |＋1>0恒成立，故是真命题；B 中命题是全称量词命题，当x ＝1时，(x －1)2＝0，故是假命题；C 中命题是存在量词命题，当x ＝0时，|x |＝0，故是真命题；D 中命题是存在量词命题，当x ＝±1时，1|x |＋1＝2，故是真命题. 答案 B5.对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理.如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于______．A.425 B.45C.225D.25 答案 A6.已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝1，若不等式2a ＋b ≥3m 恒成立，则m 的最大值为( )A.1B.2C.3D.7解析 ∵2a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2a b ＋2b a ≥5＋4＝9(当且仅当a ＝b 时，取等号).∴3m ≤9，即m ≤3. 答案 C7．不等式x (x －a ＋1)＞a 的解集是{x |x ＜－1或x ＞a }，则( )A ．a ≥1B ．a ＜－1C ．a ＞－1D ．a ∈R解析：选C x (x －a ＋1)＞a ⇔(x ＋1)(x －a )＞0， ∵解集为{x |x ＜－1或x ＞a }，∴a ＞－1.8.设P ＝{1，2，3，4}，Q ＝{4，5，6，7，8}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b }，则P *Q 中元素的个数为( ) A.4 B.5 C.19D.20解析由题意知集合P*Q的元素为点，当a＝1时，集合P*Q的元素为：(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)共5个元素.同样当a＝2，3时集合P*Q的元素个数都为5个.当a＝4时，集合P*Q中元素为：(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)共4个.因此P*Q中元素的个数为19个，故选C.答案 C二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)9.已知集合M＝{－2，3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则满足条件的实数x 可能为()A.2B.－2C.－3D.1解析由题意得，2＝3x2＋3x－4或2＝x2＋x－4.若2＝3x2＋3x－4，即x2＋x－2＝0，∴x＝－2或x＝1，检验：当x＝－2时，x2＋x－4＝－2，与元素互异性矛盾，舍去；当x＝1时，x2＋x－4＝－2，与元素互异性矛盾，舍去.若2＝x2＋x －4，即x2＋x－6＝0，∴x＝2或x＝－3，经验证x＝2或x＝－3为满足条件的实数x.故选AC.答案AC10.若1a<1b<0，则下列不等式中，正确的不等式有()A.a＋b<abB.|a|>|b|C.a<bD.ba＋ab>2解析∵1a<1b<0，∴b<a<0，∴a＋b<0<ab，故A正确；∴－b>－a>0，则|b|>|a|，故B错误；C显然错误；由于ba>0，ab>0，∴ba＋ab>2ba·ab＝2，故D正确.故选AD.答案AD11.若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式恒成立的是()A.ab≤1B.a＋b≤ 2C.a 2＋b 2≥2D.1a ＋1b ≥2解析 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，所以A 正确；因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤2＋a ＋b ＝4，故B 不正确；a 2＋b 2≥（a ＋b ）22＝2，所以C 正确；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ≥2，所以D 正确. 答案 ACD12.下列命题是假命题的是( ) A.不等式1x >1的解集为{x |x <1}B.函数y ＝x 2－2x －8的零点是(－2，0)和(4，0)C.若x ∈R ，则函数y ＝x 2＋4＋1x 2＋4的最小值为2 D.x 2－3x ＋2<0是x <2成立的充分不必要条件解析 由1x >1得x －1x <0，∴解集为(0，1)，故A 错误；二次函数的零点是指其图象与x 轴交点的横坐标，应为－2和4，故B 错误；C 中，x 2＋4≥2，故y ＝x 2＋4＋1x 2＋4≥2.等号成立的条件为x 2＋4＝1，无解，故C 错误；D 中，由x 2－3x ＋2<0得1<x <2，能够推出x <2，但反之不成立，所以是充分不必要条件. 答案 ABC三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上) 13.设全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{1，2，3，5}，B ＝{2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为________.解析 全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{1，2，3，5}，B ＝{2，4，6}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(∁U A )∩B ，∵∁U A ＝{4，6，7，8}，∴(∁U A )∩B ＝{4，6}.答案 {4，6}14.命题“对任意x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是_____________________. 解析 由定义知命题的否定为“存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤3”. 答案 存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤315．若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2的最小值为________．答案：4716.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨，和最小值为________(本题第一空2分，第二空3分).解析 设一年总费用为y 万元，每年购买次数为400x 次，则y ＝400x ·4＋4x ＝1 600x＋4x ≥2 1 600x ·4x ＝160(万元)，当且仅当1 600x ＝4x ，即x ＝20时等号成立，故x ＝20. 答案 20 160四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分8分)解下列不等式(组)：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2）>0，x 2<1；(2)6－2x ≤x 2－3x <18.解：(1)原不等式组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－2或x >0，－1<x <1，即0<x <1，所以原不等式组的解集为{x |0<x <1}．(2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧6－2x ≤x 2－3x ，x 2－3x <18，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≥0，x 2－3x －18<0，因式分解，得⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）（x ＋2）≥0，（x －6）（x ＋3）<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2或x ≥3，－3<x <6，所以－3<x ≤－2或3≤x <6.所以不等式的解集为{x |－3<x ≤－2或3≤x <6}．18.(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }，B ＝{x |x ≤1，或x ≥4}. (1)当a ＝3时，求A ∩B ；(2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＝3时，A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |x ≤1，或x ≥4}，∴A ∩B ＝{x |－1≤x ≤1，或4≤x ≤5}.(2)①若A ＝∅，此时2－a >2＋a ， ∴a <0，满足A ∩B ＝∅.②当a ≥0时，A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }≠∅， ∵A ∩B ＝∅，∴⎩⎨⎧2－a >1，2＋a <4，∴0≤a <1.综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，1).19．(本小题满分12分)已知P ＝{x |1≤x ≤2}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充分条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由；(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)要使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，需使P ＝S ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝1，1＋m ＝2，此方程组无解，故不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．(2)要使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，需使S ⊆P . 当S ＝∅时，1－m >1＋m ，解得m <0，满足题意； 当S ≠∅时，1－m ≤1＋m ，解得m ≥0，要使S ⊆P ，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥1，1＋m ≤2，解得m ≤0，所以m ＝0. 综上可得，当实数m ≤0时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件． 20．(本小题满分8分)已知a >0，b >0且1a ＋2b ＝1.(1)求ab 的最小值； (2)求a ＋b 的最小值．解：(1)因为a >0，b >0且1a ＋2b ＝1，所以1a ＋2b≥21a ·2b＝22ab，则22ab≤1， 即ab ≥8，当且仅当⎩⎨⎧1a ＋2b ＝1，1a ＝2b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4时取等号，所以ab 的最小值是8. (2)因为a >0，b >0且1a ＋2b ＝1，所以a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b (a ＋b ) ＝3＋b a ＋2ab≥3＋2b a ·2ab＝3＋22， 当且仅当⎩⎨⎧1a ＋2b＝1，b a ＝2ab ，即⎩⎨⎧a ＝1＋2，b ＝2＋2时取等号， 所以a ＋b 的最小值是3＋2 2.21．南康某服装厂拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用()04x x ≤≤万元满足131m x =-+.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数； （2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？ （1）由题意知：每件产品的销售价格为8162mm+⨯， 解()816116281681681635611m y m m x m x x x m x x +⎛⎫∴=⋅⨯-++=+-=+--=-- ⎪++⎝⎭[]()0,4x ∈；（2）由()161656571574911y x x x x ⎡⎤=--=-++≤-=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当1611x x =++，即3x =时取等号. 答：该服装厂2020年的促销费用投入3万元时，利润最大.22.(本小题满分12分)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }. (1)求a ，b 的值；(2)m 为何值时，ax 2＋m x ＋3≥0的解集为R .11 (3)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解 (1)由题意知，1和b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两根， 则⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝1＋b ，2a ＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.(2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即为x 2－(c ＋2)x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.①当c >2时，原不等式的解集为{x |2<x <c }；②当c <2时，原不等式的解集为{x |c <x <2}；③当c ＝2时，原不等式无解.综上知，当c >2时，原不等式的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，原不等式的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，原不等式的解集为∅.。
2020年江苏省高考数学模拟试卷含答案解析
2020年江苏省高考数学模拟试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁U B）=．2．已知复数，则z的共轭复数的模为．3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为．6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为．7．若函数是偶函数，则实数a的值为．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为．9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是．12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是．13．若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为．14．若b m为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．（1）求的值，（2）求的值．16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角．（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1﹣3S n=1．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．求函数的最大值．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．26．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？2020年江苏省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁U B）=（﹣1，0] ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合B中的一元二次不等式的解集，确定出集合B，由全集R，求出集合B的补集，求出集合A与集合B的补集的交集即可【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），B={x|x2﹣2x＜0}=（0，2），∴C u B=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴A∩∁U B=（﹣1，0]，故答案为：（﹣1，0]．2．已知复数，则z的共轭复数的模为．【考点】复数求模．【分析】根据复数与它的共轭复数的模相等，即可求出结果．【解答】解：复数，则z的共轭复数的模为||=|z|====．故答案为：．3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．【考点】等可能事件的概率．【分析】求出所有基本事件，两数之积为偶数的基本事件，即可求两数之积为偶数的概率．【解答】解：从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，基本事件共有4×4=16个，∵两数之积为偶数，∴两数中至少有一个是偶数，A中取偶数，B中有4种取法；A中取奇数，B中必须取偶数，故基本事件共有2×4+2×2=12个，∴两数之积为偶数的概率是=．故答案为：．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．【考点】伪代码．【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，用裂项法即可求值得解．【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，所以S=S=++…+=×（1﹣+﹣…+﹣）=（1﹣）=．故答案为：．5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为﹣=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得已知双曲线的渐近线方程，设出所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求出渐近线方程和准线方程，由题意可得=，=，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±x，设所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），渐近线方程为y=±x，准线方程为y=±，由题意可得=，=，又a2+b2=c2，解得a=2，b=，即有所求双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为﹣2．【考点】函数恒成立问题．【分析】由题意可得a≤f（x）的最小值，运用单调性，可得f（0）取得最小值，即可得到a的范围，进而得到a的最大值．【解答】解：由，可得0≤x≤4，由f（x）=﹣，其中y=在[0，4]递增，y=﹣在[0，4]递增，可得f（x）在[0，4]递增，可得f（0）取得最小值﹣2，可得a≤﹣2，即a的最大值为﹣2．故答案为：﹣2．7．若函数是偶函数，则实数a的值为﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由题意可得，f（﹣）=f（），从而可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣）=f（），即﹣=a，∴a=﹣．故答案为：﹣．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为20．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出底面中心到边的距离，棱锥的高，然后求解棱锥的体积．【解答】解：设正五棱锥高为h，底面正五边形的角为108°，底面正五边形中心到边距离为：tan54°，h=，则此正五棱锥体积为：×=20．故答案为：20．9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是（1，3）．【考点】分段函数的应用．【分析】判断f（x）在R上递增，由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解不等式即可得到所求解集．【解答】解：当x＜3时，f（x）=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，即有f（x）递增；故f（x）在R上单调递增．由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解得或，即为1＜x≤或＜x＜3，即1＜x＜3．即有解集为（1，3）．故答案为：（1，3）．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为[，1）．【考点】余弦定理．【分析】设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣，=﹣=﹣．由于⊥，可得•=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．利用函数的单调性即可得出．【解答】解：设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣，=﹣=﹣．∴•=（t﹣）•（﹣）=﹣t2+（+1）•﹣2．∵⊥，∴•=﹣t2+（+1）•﹣2=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．由于f（t）是[0，1]是的单调递增函数，∴f（0）≤f（t）≤f（1），即：≤f（t）≤，即：≤cosA≤，∵A∈（0，π），∴cosA＜1，∴cosA的取值范围是：[，1）．故答案为：[，1）．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（0，1）∪[3，+∞）．【考点】简单线性规划的应用．【分析】由题意作平面区域，从而结合图象可知y=a x的图象过点（3，1）时为临界值a=3，从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，y=a x的图象过点（3，1）时为临界值a=3，且当0＜a＜1时，一定成立；故答案为：（0，1）∪[3，+∞）．12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是{a|a≤﹣4或a≥0} ．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点⇔函数f（x）在（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（01，）内恒成立．再利用导数的运算法则、分离参数法、函数的单调性即可得出．【解答】解：函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值⇔函数f（x）=x2+2x+alnx 在区间（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（0，1）内恒成立．由f′（x）=2x+2≥0在（0，1）内恒成立⇔a≥（﹣2x﹣2x2）max，x∈（0，1）．即a≥0，由f′（x）=2x+2≤0在（0，1）内恒成立⇔a≤（﹣2x﹣2x2）min，x∈（0，1）．即a≤﹣4，故答案为：a≤﹣4或a≥0．故答案为：{a|a≤﹣4或a≥0}．13．若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为（2，4）．【考点】全称命题；特称命题．【分析】由①可得当x≤﹣1时，g（x）＜0，根据②可得g（1）=a（1﹣a+3）＞0，由此解得实数a的取值范围．【解答】解：∵已知函数，根据①∀x∈R，f（x）＜0，或g（x）＜0，即函数f（x）和函数g（x）不能同时取非负值．由f（x）≥0，求得x≤﹣1，即当x≤﹣1时，g（x）＜0恒成立，故，解得：a＞2；根据②∃x∈（﹣1，1），使f（x）•g（x）＜0成立，∴g（1）=a（1﹣a+3）＞0，解得：0＜a＜4，综上可得：a∈（2，4），故答案为：（2，4）14．若b m为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为64或65．【考点】数列递推式．【分析】由题意可得：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，则2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得d＜4，d为正整数，得出d=1，2，3，分类讨论后求得满足条件的正整数A的值．【解答】解：依题意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，∴2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得：2t≤A＜2t+1，2t+d﹣3≤A＜2t+d﹣2，，故max{}≤A＜min{}，由以下关系：2t+d﹣3＜2t+1，，得d＜4，∵d为正整数，∴d=1，2，3．当d=1时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；当d=2时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；当d=3时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＞2t，适合题意．此时2t≤A＜，b1=t，b2=t+3，b5=t+6，∴t+3≤b3≤t+6．∵b3=10，∴4≤t≤7，∵t为整数，∴t=4，t=5，t=6或t=7．∵f（3）=27A，b3=10，∴210≤27A＜211，∴≤A＜．当t=4时，24≤A＜，∴无解．当t=5时，25≤A＜，∴无解．当t=6时，26≤A＜，∴64≤A＜．当t=7时，27≤A＜，∴无解．则26≤A＜．∵A∈N*，∴A=64或A=65．综上：A=64或65．故答案为：64或65．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．（1）求的值，（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】（1）利用已知条件求出sin（）与cos（），然后利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．（2）求出正切函数的二倍角的值，利用两角和的正切函数化简求解即可．【解答】解：（1）角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，可得sin（）=，cos（）=，sin（2）=2sin（）cos（）==，cos（2）=2×=．=sin（2﹣）=sin（2）cos﹣sin cos（2）==．（2）∵，∴tan（2α+2β）===．sin（2）=，cos（2）=．tan（2）=．tan（2α+2β）=tan[（）+（2）]==，解得=．16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角．（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知得PA⊥AB，PA⊥AD，从而BD⊥PA，由四边形ABCD是菱形，得AC ⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC．（2）由四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，得CD与AB有交点P，从而直线l∩平面ABCD=P，由此得到直线l不能与平面ABCD平行．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D一个平面角，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，∵BD⊥PA，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．解：（2）直线l不能与平面ABCD平行．理由如下：∵四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，∴CD与AB有交点P，∴P∈l，∴直线l∩平面ABCD=P，∴直线l不能与平面ABCD平行．17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设P（x，y），由题意可得k PD•k PE=﹣，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求轨迹方程；（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理，点满足直线方程，再由过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，求得M，N的坐标，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到直线AM与直线BN斜率之和为定值0．【解答】解：（1）设P（x，y），由题意可得k PD•k PE=﹣，即有•=﹣，化为+=1；（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，可得（2+m2）y2+2my﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有y1+y2=﹣，y1y2=﹣，x1=my1+，x2=my2+，由题意可得，过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，解得M（﹣，），N（，﹣），可得k AM+k BN=+，通分后的分子=x2y1﹣x2﹣y1+x1y2+x1+y2+=2my1y2+（y1+y2）+（x1﹣x2）+（y2﹣y1）+=﹣﹣+（y1﹣y2）+（y2﹣y1）+=0．即有直线AM与直线BN斜率之和为定值0．18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）根据面积得出圆锥的底面半径，利用勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式即可；（2）利用基本不等式得出体积的最值及取得最值得条件；（3）求出圆锥内切球的半径，与0.5比较大小．【解答】解：（1）由题意知圆锥的母线l=3，设圆锥的底面半径为r，则2πr=3α，∴r=，∴圆锥的高h===．∴V==．（2）V==≤=2．当且仅当4π2﹣α2=即α=时，取等号．∴当α=时，体积V取得最大值．（3）当圆锥体积最大时，圆锥的底面半径r=．设圆锥轴截面△ABC的内切圆⊙O半径为R，如图所示，则OD=R，CD=CE=，AC=3，∴AE=，AD=3﹣．由△AOD∽△ACE得，∴，解得R=3≈0.8．∵0.8＞0.5，∴容积最大的圆锥形容器能完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球．19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1﹣3S n=1．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；等比关系的确定．=1作差可知a n+1=3a n（n≥2），进而可知数列{a n}【分析】（1）通过S n+1﹣3S n=1与S n﹣3S n﹣1是首项为1、公比为3的等比数列；（2）通过（1）可知a n=3n﹣1、S n=（3n﹣1），假设存在满足题意的项a k，则3k﹣1=S r+t﹣S t，进而化简可知不存在r满足3r﹣x﹣=2，进而可得结论；（3）通过（1）可知b n=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列，通过化简可知q=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），利用当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0可知当p≥3时不满足题意，进而验证当p=2时是否满足题意即可．【解答】（1）证明：∵S n+1﹣3S n=1，=1，∴当n≥2时，S n﹣3S n﹣1两式相减得：a n+1=3a n，又∵S n+1﹣3S n=1，a1=1，∴a2=S2﹣S1=2a1+1=3满足上式，∴数列{a n}是首项为1、公比为3的等比数列；（2）解：结论：不存在满足题意的项a k；理由如下：由（1）可知a n=3n﹣1，S n==（3n﹣1），假设数列{a n}中存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和，则3k﹣1=S r+t﹣S t=（3r+t﹣1）﹣（3t﹣1）=（3r+t﹣3t）=•3t（3r﹣1），于是（3r﹣1）=3x（其中x为大于1的自然数），整理得：3r﹣x﹣=2，显然r无解，故假设不成立，于是不存在满足题意的项a k；（3）解：结论：存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意；理由如下：由（1）可知b n=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列，则2b p=b1+b q，即2=+，整理得：2p•3q﹣p=3q﹣1+q，∴q=2p•3q﹣p﹣3q﹣1=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），∵当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0，∴当p≥3时不满足题意，当p=2时，2=+即为：=+，整理得：=，解得：q=3，综上所述，存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意．20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，（2）先求出当直线和y=lnx相切时a的取值，然后进行讨论求解即可．【解答】解：（1）若ax＞lnx恒成立，则a＞，在x＞0时恒成立，设h（x）=，则h′（x）==，由h′（x）＞0得1﹣lnx＞0，即lnx＜1，得0＜x＜e，由h′（x）＜0得1﹣lnx＜0，即lnx＞1，得x＞e，即当x=e时，函数h（x）取得极大值同时也是最大值h（e）==．即a＞．（2）设f（x）=lnx，g（x）=ax，（x＞0），则f′（x）=，当g（x）与f（x）相切时，设切点为（m，lnm），则切线斜率k=，则过原点且与f（x）相切的切线方程为y﹣lnm=（x﹣m）=x﹣1，即y=x﹣1+lnm，∵g（x）=ax，∴，得m=e，a=．即当a＞时，ax＞lnx恒成立．当a=时，当x0≥时，要使ax＞lnx恒成立．得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．当0＜a＜时，f（x）与g（x）有两个不同的交点，不妨设较大的根为x1，当x0≥x1时，当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．∴∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连结OD、AD，证出△ADB≌△ODC，得到AB=CO，从而证出结论．【解答】证明：如图示：，连结OD、AD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，AB=2AO，∵DC是⊙O的切线，∴∠CDO=90°，∵DB=DC，∴∠B=∠C，∴△ADB≌△ODC，∴AB=CO，即2OA=OA+CA，∴CA=AO．B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】设矩阵A﹣1=，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论．【解答】解：设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故a=﹣1，b=0，c=0，d=，从而A﹣1=，∴A﹣1B==．C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】求出点A，B的直角坐标，利用点斜式方程得出直线l的直角坐标方程，再求出曲线C的普通方程，求出圆心和半径，利用d=r构建出a的方程，解出a的值．【解答】解：由直线l过点，可得A，B的直角坐标为A（，），B（0，3），直线AB的斜率k==，即有直线l的方程为：y﹣3=x，即y=x+3，由曲线C：ρ=asinθ（a＞0），可得曲线C的普通方程为x2+y2﹣ay=0，即有圆心C（0，），r==，直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点即直线和圆相切，可得，解得a=2或﹣6，由a＞0，可得a=2．D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．求函数的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据条件利用平方关系结合一元二次函数的性质进行求解即可．【解答】解：由得，即5≤x≤7，由平方得y2=x﹣5+7﹣x+2=2+2，∵5≤x≤7，∴当x=6时，函数y2=2+2取得最大值为y2=2+2=4，当x=5或7时，函数y2=2+2取得最小值为y2=2，即2≤y2≤4，则≤y≤2，即函数的最大值为2．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC与BD所成角的余弦值．（2）求出平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出钝二面角B﹣PC﹣D的大小．【解答】解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设AP=AB=AD=2BC=2，则P（0，0，2），C（2，1，0），B（2，0，0），D（0，2，0），=（2，1，﹣2），=（﹣2，2，0），设异面直线PC与BD所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线PC与BD所成角的余弦值为．（2）=（2，0，﹣2），=（2，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（1，2，2），设钝二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ，cosθ=﹣|cos＜＞|=﹣||=﹣，∴θ=135°，∴钝二面角B﹣PC﹣D的大小为135°．26．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？【考点】归纳推理．【分析】（1）若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得a7，a10中一个为1，一个为0，进而得到答案；（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，且a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，进而得到答案．【解答】解：（1）若第二层的两个数为0或1，则a1=a2+a3，由a1为奇数，可得第二层的两个数有2种不同的取法；若第三层的三个数为0或1，则a1=a4+2a5+a6，由a1为奇数，可得第三层的三个数有4种不同的取法；若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得第四层的四个数有8种不同的取法；（2）根据（1）中结论，若第十一层十一个数为0或1，则a1=a56+2（a57+a58+…+a65）+a66，若a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，即a57，a58，…，a65中有2个1或2个0，则第十一层十一个数共有=144种不同取法．2020年8月12日。
2020届江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟考试(1月) 数学(理)(PDF版)【附参考答案】
南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数 学 理 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：V Sh =，锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合(0,)A =+∞，全集U R =，则 U A= ▲ ． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅= ▲ ．3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ▲ ． 4．命题“R θ∀∈，cos sin 1θθ+>”的否定是 ▲ 命题.(填“真”或“假”)5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ▲ ．6．已知样本y x ,,9,8,7的平均数是9，且110=xy ，则此样本的方差是▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线24y x =上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ▲ ．0 101 S I While S S S I I I End ForPrint I←←≤←+←+(第5题图)8．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，1ln a 、2ln a 、5ln a 成等差数列，则21a a 的值为 ▲ ． 9．在三棱柱111ABC A B C -中，点P 是棱1CC 上一点，记三棱柱111ABC A B C -与四棱锥11P ABB A -的体积分别为1V 与2V ，则21V V = ▲ ． 10．设函数()sin()f x x ωϕ=+（0,02πωϕ><<）的图象与y轴交点的纵坐标为2， y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为 ▲ ． 11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），1142AH AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则cos BAC ∠的值为 ▲ .12．若无穷数列{}cos()n ω()R ω∈是等差数列，则其前10项的和为 ▲ ． 13．已知集合{(,)16}P x y x x y y =+=，集合12{(,)}Q x y kx b y kx b =+≤≤+，若P Q ⊆的最小值为 ▲ ．14．若对任意实数]1,(-∞∈x ，都有1122≤+-ax x e x成立，则实数a 的值为 ▲ . 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分) 已知ABC ∆满足sin()2cos 6B B π+=．（1）若cos 3C =，3AC =，求AB ； （2）若0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()4cos 5B A -=，求sin A ．如图，长方体1111D C B A ABCD -中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱1CC 上的一点．（1）若1AC //平面PBD ，求PCPC 1的值； （2）求证：P A BD 1⊥．(第16题图)17．(本小题满分14分)如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从O e 中裁剪出两块全等的圆形铁皮P e 与Q e ，做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点A 、B 在O e 上，点P 、Q 在O e 的一条直径上，P e 、Q e 分别与直线BC 、AD 相切，都与O e 内切． （1）求圆形铁皮P e 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮P e 与Q e 半径的值，使得油桶的体积最大．(不取近似值)(第17题图)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率是e ，动点00(,)P x y 在椭圆C 上运动，当2PF x ⊥轴时，01x =，0y e =． （1）求椭圆C 的方程；（2）延长12,PF PF 分别交椭圆C 于点,A B （,A B 不重合），设11AF F P λ=u u u r u u u r，22BF F P μ=u u u u r u u u u r，求λμ+的最小值．(第18题图)19．(本小题满分16分)定义:若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“()M q 数列”．设数列{}n b 中11b =，37b =．（1）若24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为 “()M q 数列”，并说明理由；（3）若数列{}n b 是“()2M 数列”，是否存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<?若存在，请求出所有满足条件的正整数,m n ;若不存在，请说明理由．20．(本小题满分16分)若函数()xxf x e aemx -=--()m R ∈为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x ．（1）求实数a 的值；（2）求实数m 的取值范围； （3）若02()f x e≥-恒成立，求实数m 的取值范围．y南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 三个小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） A .（选修4-2：矩阵与变换）已知圆C 经矩阵332a M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦变换后得到圆22:13C x y '+=，求实数a 的值.B ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos 2sin m ρθρθ+=被曲线4sin ρθ=截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值.C ．(选修4-5：不等式选讲）已知正实数,,a b c 满足1231a b c++=，求23a b c ++的最小值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，1AA 、1BB 是圆柱的两条母线， 11A B 、AB 分别经过上下底面圆的圆心1O 、O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，2CD =.（1）若13AA =，求异面直线1A C 与1B D 所成角的余弦值； （2）若二面角11A CD B --的大小为3π，求母线1AA 的长.23．（本小题满分10分）设22201221(12)nin n i x a a x a x a x =-=++++∑L (n N *∈)，记0242n n S a a a a =++++L .（1）求n S ；（2）记123123(1)nnn n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L ，求证：3||6n T n ≥恒成立.南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．(,0]-∞ 2．5 3．234．真 5．6 6．27．8．3 9．2310．7 11 12．10 13．4 14．12- 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由sin()2cos 6B B π+=可知B B B cos 2cos 21sin 23=+， 移项可得3tan =B ，又),0(π∈B ，故3π=B ， (2)分又由cos 3C =，),0(π∈C 可知33cos 1sin 2=-=C C ， ……………………………4分故在A B C ∆中，由正弦定理C c B b sin sin =可得 C AB AC sin 3sin =π，所以2=AB . ………………7分（2）由（1）知3π=B ，所以0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，)3,0(3ππ∈-A ，由()4cos 5B A -=即54)3cos(=-A π可得53)3(cos 1)3sin(2=--=-A A ππ ， ……………10分 ∴1033453215423)3sin(3cos )3cos(3sin ))3(3sin(sin -=⋅-⋅=---=--=A A A A ππππππ.…14分16．（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结OP ， 又因为1//AC 平面PBD ，⊂1AC 平面1ACC平面1ACC I 平面OP BDP =，所以1//AC OP ……………3分 因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ， 所以点O 是AC 的中点，所以AO OC =，所以在1ACC ∆中，11PC AOPC OC==. ……………6分 （2）证明：连结11AC .因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．…………………………………………………………………8分 因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥． ……………………………………………………10分又1AC CC C =I ，AC ⊂面11ACC A ， 1CC ⊂面11ACC A ，所以BD ⊥面11ACC A . ……………………………………… …………………………………………12分 又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，又因为111A ACC A ∈面， 所以A 1P ⊂面ACC 1A 1,所以1BD A P ⊥． ………………………………………………14分17．解：（1）设P e 半径为r ，则)2(4r AB -=，所以P e 的周长2)2(41622r BC r --≤=π， ………………………………………………4分 解得4162+≤πr ，故Pe 半径的取值范围为]416,0(2+π. ……………………………………………6分 （2）在（1）的条件下，油桶的体积)2(422r r AB r V -=⋅=ππ， ……………………………………8分设函数),2()(2x x x f -=]416,0(2+∈πx ， 所以234)(x x x f -='，由于 344162<+π， 所以()0f x '>在定义域上恒成立，故()f x 在定义域上单调递增， 即当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………………………………13分答：P e 半径的取值范围为]416,0(2+π，当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………14分18.解：（1）由当2PF x ⊥轴时01x =，可知1c =， …………………………………………………2分将01x =，0y e =代入椭圆方程得22211e a b+=（※），而1c e a a ==，22221b a c a =-=-，代入（※）式得222111(1)a a a +=-，解得22a =，故21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y += (4)分（2）方法一：设11(,)A x y ，由11AF F P λ=u u u r u u u r 得10101(1)x x y y λλ--=+⎧⎨-=⎩，故10101x x y y λλλ=---⎧⎨=-⎩，代入椭圆的方程得2200(1)()12x y λλλ---+-=（＃）， ………………………………………………8分又由220012x y +=得220012x y =-，代入（＃）式得222001(1)2(1)22x x λλλ+++-=，化简得203212(1)0x λλλλ+-++=，即0(1)(312)0x λλλ+-+=，显然10λ+≠，∴03120x λλ-+=，故0132x λ=+.……………………………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--， 当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. (16)分方法二：由点A ，B 不重合可知直线PA 与x 轴不重合，故可设直线PA 的方程为1x my =-，联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得22(2)210m y my +--=（☆），设11(,)A x y ，则1y 与0y 为方程（☆）的两个实根，由求根公式可得0,122m y m =+，故01212y y m -=+，则121(2)y m y -=+，……………………8分将点00(,)P x y 代入椭圆的方程得220012x y +=，代入直线PA 的方程得001x my =-，∴001x m y +=，由11AF F P λ=u u u r u u u r 得10y y λ-=，故10y y λ=-2222000111(2)[()2]x m y y y ==+++ 2222000001111(1)232(1)2(1)2x y x x x ===+++++-.…………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--， 当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. (16)分注：（1）也可设,sin )P θθ得λ=.（2）也可由116λμ+=运用基本不等式求解λμ+的最小值.19．解：（1）∵24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”， ∴322174141b b q b b --===--，∴111n n n n b bb b +--=-，∴11n n n n b b b b +--=-， (2)分故数列{}n b 是等差数列，公差为213b b -=，故通项公式为1(1)3n b n =+-⨯，即32n b n =-. ………………………………………………4分（2）由1122n n b S n λ+=-+得232b λ=+，3437b λ=+=，故1λ=. 方法一：由11212n n b S n +=-+得2112(1)12n n b S n ++=-++，两式作差得211122n n n b b b +++-=-，即21132n n b b ++=-，又252b =，∴21132b b =-，∴1132n n b b +=-对n N *∈恒成立，……………………6分 则1113()44n n b b +-=-，而113044b -=≠，∴104n b -≠，∴114314n n b b +-=-， ∴1{}4n b -是等比数列， ………………………………………………………………………………8分∴1111(1)33444n n n b --=-⨯=⨯，∴11344n n b =⨯+，∴2121111111(3)(3)444431111(3)(3)4444n n n n n n n nb b b b ++++++⨯+-⨯+-==-⨯+-⨯+， ∴{}1n n b b +-是公比为3的等比数列，故数列{}n b 是“()M q 数列” (10)分方法二：同方法一得1132n n b b +=-对n N *∈恒成立， 则21132n n b b ++=-，两式作差得2113()n n n n b b b b +++-=-，而21302b b -=≠， ∴10n n b b +-≠，∴2113n n n nb b b b +++-=-，以下同方法一. ……………………………………10分（3）由数列{}n b 是“()2M 数列”得1121()2n n n b b b b -+-=-⨯，又32212b b b b -=-，∴22721b b -=-，∴23b =，∴212b b -=，∴12n n n b b +-=，∴当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L12222121n n n --=++++=-L ，当1n =时上式也成立，故21nn b =-， (12)分假设存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<，则40392140402019212019m n -<<-， 由2140391212019m n->>-可知2121m n ->-，∴m n >，又,m n 为正整数，∴1m n -≥，又212(21)2121404022121212019m m n n m n m n m n n nn ------+--==+<---， ∴4040232019m n-<<，∴1m n -=，∴21122121m n n -=+--，∴40391404022019212019n <+<-， ∴2020222021<<n ，∴10n =，∴11m =，故存在满足条件的正整数,m n ，11m =，10n =. ……………………………………16分20．解：（1）由函数)(x f 为奇函数，得0)()(=-+x f x f 在定义域上恒成立， 所以 0=+-+----mx ae e mx ae e x x x x ，化简可得 0)()1(=+⋅--xxe e a ，所以1=a . (3)分（2）法一：由（1）可得mx ee xf xx--=-)(，所以xx x xxeme e m e e x f 1)(2+-=-+='-， 其中当2≤m 时，由于012≥+-x x me e 恒成立，即0)(≥'x f 恒成立，故不存在极小值. (5)分当2>m 时，方程012=+-mt t 有两个不等的正根)(,2121t t t t <， 故可知函数mx ee xf xx--=-)(在),(ln ),ln ,(21+∞-∞t t 上单调递增，在)ln ,(ln 21t t 上单调递减，即在2ln t 处取到极小值，所以，m 的取值范围是),2(+∞. (9)分法二：由（1）可得mx e e x f xx --=-)(，令m ee xf xg xx-+='=-)()(，则xx xxee e e x g 1)(2-=-='-， 故当0≥x 时，0)(≥'x g ；当0<x 时，0)(<'x g ， (5)分故)(x g 在)0,(-∞上递减，在),0(+∞上递增， ∴m g x g -==2)0()(min ，若02≥-m ，则0)(≥x g 恒成立，)(x f 单调递增，无极值点；所以02)0(<-=m g ，解得2>m ，取m t ln =，则01)(>=mt g ， 又函数)(x g 的图象在区间],0[t 上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间),0(t 上，存在0x 为函数)(x g 的零点，)(0x f 为)(x f 极小值.所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分（3）由0x 满足m e e x x =+-00， 代入mx ee xf xx--=-)(，消去m 可得00)1()1()(000x x e x e x x f -+--=，……………………………………11分构造函数xxex e x x h -+--=)1()1()(，所以)()(xxe e x x h -='-，当0≥x 时，012≤-=--xxxxee e e ， 所以当0≥x 时，0)(≤'x h 恒成立，故h (x )在[0，+∞)上为单调减函数，其中eh 2)1(-=， ……13分则02()f x e≥-可转化为0()(1)h x h ≥， 故10≤x ，由m e e x x =+-00，设xx e e y -+=，可得当0≥x 时，0≥-='-xxee y ，x x e e y -+=在]1,0(上递增，故ee m 1+≤，综上，m 的取值范围是]1,2(ee + . (16)分附加题答案21.（A ）解：设圆C 上一点(,)x y ，经矩阵M 变换后得到圆C '上一点(,)x y ''，所以332a x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以332ax y x x y y '+=⎧⎨'-=⎩，………………………………………………………5分又圆22:13C x y '+=，所以圆C 的方程为22(3)(32)13ax y x y ++-=， 化简得222(9)(612)1313a x a xy y ++-+=，所以29136120a a ⎧+=⎨-=⎩，解得2a =. ………………………………………………………10分21.（B ）解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系， 由直线cos 2sin m ρθρθ+=，可得直角坐标方程为20x y m +-=，又曲线4sin ρθ=，所以24sin ρρθ=，其直角坐标方程为22(2)4x y +-=， ………………5分所以曲线4sin ρθ=是以(0,2)为圆心，2为半径的圆，为使直线被曲线（圆）截得的弦AB 最长，所以直线过圆心(0,2)，于是0220m +⋅-=，解得4m =. ……………………………………………………10分21.（C ）解：因1231a b c ++=，所以149123a b c++=， 由柯西不等式得214923(23)()(123)23a b c a b c a b c++=++++≥++，即2336a b c ++≥， …………………………………………………………………………………5分当且仅当1492323a b c a b c==，即a b c ==时取等号，解得6a b c ===，所以当且仅当6a b c ===时，23a b c ++取最小值36. ……………………………………10分22．解：（1）以CD ，AB ，1OO 所在直线建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，由2CD =，13AA =，所以(0,1,0)A -，(0,1,0)B ，(1,0,0)C -，(1,0,0)D ，1(0,1,3)A -，1(0,1,3)B ，从而1(1,1,3)AC =--u u u u r ，1(1,1,3)B D =--u u u u r，所以117cos ,11AC B D <>==u u u u r u u u u r ， 所以异面直线1A C与1B D所成角的余弦值为711. …………………………………………4分 （2）设10AA m =>，则1(0,1,)A m -，1(0,1,)B m ，所以1(1,1,)AC m =--u u u u r ，1(1,1,)B D m =--u u u u r ，(2,0,0)CD =u u u r ，设平面1A CD 的一个法向量1111(,,)n x y z =u u r，所以1111111200n CD x n A C x y mz ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u u r， 所以10x =，令11z =，则1y m =，所以平面1A CD 的一个法向量1(0,,1)n m =u u r，同理可得平面1B CD 的一个法向量2(0,,1)n m =-u u r，因为二面角11A CD B --的大小为3π，所以121cos ,2n n <>=u u r u u r ，解得m =3m =， 由图形可知当二面角11A CDB --的大小为3π时,m . …………………………………10分注：用传统方法也可，请参照评分.23．解：（1）令1=x 得01220n a a a a ++++=L ，令1-=x 得12201232123333(91)2nn n n a a a a a a --+-+-+=+++=-L L ， 两式相加得024232()(91)2nn a a a a ++++=-L ，∴3(91)4n n S =-.…………………………………3分（2）123123(1)n nn n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L{}1122331233[999(1)9][(1)]4n n n n nn n n n n n n n C C C C C C C C =-+-++---+-++-L L {}0011223301233[9999(1)9][(1)]4n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C =-+-++---+-++-L L 001122333[9999(1)9]4n n n n n n n n C C C C C =-+-++-L 0011223[(9)(9)(9)(9)]4n n n n n n C C C C =-+-+-++-L 33[1(9)](8)44n n =+-=⨯-…………………………………………………………………………………7分 要证3||6n T n ≥，即证384n ⨯36n ≥，只需证明138n n -≥，即证12n n -≥，当1,2n =时，12n n -≥显然成立；当3n ≥时，1011011111121(1)n n n n n n n C C C C C n n -------=+++≥+=+-=L ，即12n n -≥，∴12n n -≥对*n N ∈恒成立.综上，3||6n T n ≥恒成立.……………………………………………………………………………………10分 注：用数学归纳法或数列的单调性也可证明12n n -≥恒成立，请参照评分.。
2020年江苏省南京师范大学附属实验学校高中数学第二学期模拟试卷人教版选修一
江苏省南京师范大学附属实验学校2020第二学期模拟数学试卷一．填空题（每题5分，共70分）1．若(bia+)i (RbRa∈∈,)是实数,则=a．2．命题“对任意Rx∈，都有12+x≥x2”的否定是．3．设集合}32|),{(=-=yxyxA，}42|),{(=+=yxyxB，则满足BAM I⊆的集合M的个数是．4.若平面向量ba与)1,1(-=的夹角是180°，且bb则,22||=等于 .5．某校有教师200人,男学生1300人,女学生1200人,现用分层抽样的方法从所有师生中取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n的值为 .6．已知函数3110log)2(2-=xxf，则(5)f的值是 .7.一个正三棱柱的三视图如右图所示，则这个正三棱柱的表面积是．8.下列程序运算后的结果是 .第7题图第8题9.若,6sin)(xxfπ=则=++++)2009()5()3()1(ffffΛ .10.在数列{}na中，如果对任意*n N∈都有211n nn na aka a+++-=-（k为常数），则称{}na为等差比数列，k称为公差比，现给出下列命题：⑴等差比数列的公差比一定不为0；⑵等差数列一定是等差比数列；⑶若32nna=-+,则数列{}na是等差比数列；⑷若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比. 其中正确的命题的序号为______________. 11.已知f (x )、g (x )都是奇函数，f (x )＞0的解集是(a 2，b )，g (x )＞0的解集是(22a ，2b)，且b>2a 2,则f (x )·g (x )＞0的解集是____ _____.12．设点O 在△ABC 的内部且满足:04=++OC OB OA ，现将一粒豆子随机撒在△ABC 中，则豆子落在△OBC 中的概率是______________13.对于非零的自然数n,抛物线1)12()(22++-+=x n x n n y 与x 轴相交于n n B A ,两点,若以|n n B A |表示这两点间的距离,则|11B A |+|22B A |+|33B A |+ ┅ +|20092009B A | 的值 等于______ ______ 14．如图所示，已知D 是面积为1的△ABC 的边AB 的中点，E 是 边AC 上任一点，连结DE ，F 是线段DE 上一点，连结BF ，设，1λ=DEDF ，2λ=AC AE ，且2121=+λλ，记△BDF 的面积为S ＝f (,,21λλ)， 则S 的最大值是解: 因为△ABC 的面积为1, 2λ=ACAE ,所以,△ABE 的面积为2λ,因为D 是AB 的中点,所以, △BDE 的面积为22λ,因为1λ=DEDF ,所以△BDF 的面积为321)2(212122121=+≤λλλλ,当且仅当21λλ=时,取得最大值.做到这二、解答题：15. 如图A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆与x 轴正半轴的交 点，A 点的坐标为)54,53(，三角形AOB 为正三角形．（Ⅰ）求COA ∠sin ；（Ⅱ）求2||BC 的值．（14分）OxyBA C34(,55ED OCBA16.下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面.(14分)（1）请画出四棱锥S-ABCD 的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；（2）若SA ⊥面ABCD ，E 为AB 中点，求证⊥SEC 面面SCD17. 如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，（15分） （1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ （2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积．a a a a a aa 2a2a 第15题图ABC DMNP18.已知圆C ：224x y +=.（15分）（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||AB =l 的方程； （2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+u u u r u u u u r u u u r，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.19. 设()2ln q f x px x x=--，（e 为自然对数的底数）且f （e ）= qe －pe －2（ 16分） （1）求p 与q 的关系；（2）若()f x 在其定义域内为单调递增函数，求p 的取值范围； （3）设()2eg x x=且0p >，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得()()00f x g x >成立，求实数p 的取值范围。
2020-2021学年江苏省镇江市高一(上)学情调查数学试卷(10月份)及答案
2020-2021学年江苏省镇江市高一（上）学情调查数学试卷（10月份）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．（5分）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{﹣2，﹣1，0}，B＝{0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0}B．{﹣2，﹣1}C．{1，2}D．{0，1，2} 2．（5分）已知集合A＝{x|（x﹣1）（x+2）≤0}，B＝{x∈Z|﹣3＜2x﹣1＜3}，则集合A∩B ＝（）A．{1}B．（﹣1，1]C．[﹣2，2）D．{0，1}3．（5分）已知集合A＝{x|1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∩B＝A，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜2B．1＜a≤2C．a＜2D．a≤24．（5分）已知集合A＝{x|x＝3k，k∈N}，B＝{x|x＝6z，z∈N}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）集合论是德国数学家康托尔（G．Cantor）于19世纪末创立的．在他的集合理论中，用card（A）表示有限集合中元素的个数，例如：A＝{a，b，c}，则card（A）＝3．若对于任意两个有限集合A，B，有card（A∪B）＝card（A）+card（B）﹣card（A∩B）．某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（）A．28B．23C．18D．166．（5分）设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（）A．a＜b＜＜B．a＜＜＜bC．a＜＜b＜D．＜a＜＜b7．（5分）若x＞0，则恒成立的一个充分条件是（）A．a＞80B．a＜80C．a＞100D．a＜1008．（5分）我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫做集合A与B的差集，记作A﹣B．设A＝M∪N，B＝M∩N，若M＝[﹣1，3]，N＝（0，4），则差集A﹣B是（）A．[﹣1，0]B．（3，4）C．[﹣1，0]∪（3，4）D．（﹣1，0）∪[3，4]二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．（5分）下列命题为真命题的是（）A．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣dB．若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＞bdC．若a＞b＞0，则D．若a＞b＞c＞0，则10．（5分）下列命题为真命题的是（）A．点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在圆O外的充要条件B．两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件C．A∩B＝B是B⊆A的必要不充分条件D．x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件11．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则下列结论正确的是（）A．不等式ax2﹣bx+c＞0的解集是{x|﹣4＜x＜﹣3}B．不等式cx2﹣bx+a＞0的解集是C．不等式cx2﹣bx+a＞0的解集是{x|x＜﹣或x＞﹣}D．不等式cx2+bx+a＞0的解集是12．（5分）某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则下列说法正确的是（）A．x＝10时最小值B．x＝45时最小值C．最小值为850万元D．最小值为360万元三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．（5分）若“∀x∈R，x2+ax+1＞0”是假命题，则a的取值范围为．14．（5分）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2000本．要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为．15．（5分）已知集合A，B，定义集合A与B的一样运算A⊗B，其结果如表所示：A{1，2，3，4}{﹣1，1}{﹣1，3}{﹣1，0，1}B{2，3，5}{﹣1，1}{﹣2，﹣1，0，2}{﹣2，﹣1，0，1}A⊗B{1，4，5}∅{﹣2，0，2，3}{﹣2}按照上述定义，若M＝[﹣1，1]，N＝（0，2），则M⊗N＝．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}．（1）求A∩B，（∁U A）∩（∁U B）；（2）集合C满足（A∩B）⊆C⊆（A∪B），请写出所有满足条件的集合C．17．（12分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}．（1）命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围；（2）若∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，求实数m的取值范围．18．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（1，0）和（2，0），与y轴交于点（0，2）．（1）求二次函数的解析式；（2）若x∈[1，+∞）时，y≤2x2﹣（t+3）x+6恒成立，求实数t的取值范围．19．（12分）要设计一张矩形广告，该广告含有左、右全等的两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为200，四周空白的宽度为2，两栏之间的中缝空白的宽度为4．请设计广告的长与宽的尺寸，使矩形广告面积最小，并求出最小值．20．（12分）在①A∪B＝B，②A∩B≠∅，③B⊆∁R A这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．问题：已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣a）＜0，x∈R}，B＝，是否存在实数a，使得_____成立．21．（12分）汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料．某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240km的平坦高速路段进行测试，经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F（单位：L）与速度v（单位：km/h）（0≤v≤120）的下列数据：v0406080120F01020为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，经计算机拟合，选用函数模型F＝av3+bv2+cv．（1）求函数解析式；（2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？2020-2021学年江苏省镇江市高一（上）学情调查数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．（5分）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{﹣2，﹣1，0}，B＝{0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0}B．{﹣2，﹣1}C．{1，2}D．{0，1，2}【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（∁U A）∩B，根据集合的运算求解即可．【解答】解：由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（∁U A）∩B，∵∁U A＝{1，2}，∴（∁U A）∩B＝{l，2}．故选：C．【点评】本小题主要考查V enn图表达集合的关系及运算、V enn图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．2．（5分）已知集合A＝{x|（x﹣1）（x+2）≤0}，B＝{x∈Z|﹣3＜2x﹣1＜3}，则集合A∩B ＝（）A．{1}B．（﹣1，1]C．[﹣2，2）D．{0，1}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣2≤x≤1}，B＝{x∈Z|﹣1＜x＜2}＝{0，1}，∴A∩B＝{0，1}．故选：D．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．3．（5分）已知集合A＝{x|1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∩B＝A，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜2B．1＜a≤2C．a＜2D．a≤2【分析】根据A∩B＝A可得出A⊆B，从而可讨论A：A＝∅时，a≤1；A≠∅时，1＜a≤2，从而可得出a的取值范围．【解答】解：∵A∩B＝A，∴A⊆B，①A＝∅时，a≤1；②A≠∅时，，即1＜a≤2；综上得，实数a的取值范围是：a≤2．故选：D．【点评】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．4．（5分）已知集合A＝{x|x＝3k，k∈N}，B＝{x|x＝6z，z∈N}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】变形集合B＝{x|x＝6z，z∈N}＝{x|x＝3•2z，z∈N}，即可判断出集合A，B的关系．【解答】解：∵集合B＝{x|x＝6z，z∈N}＝{x|x＝3•2z，z∈N}，集合A＝{x|x＝3k，k∈N}，∴B⫋A．∴“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了集合之间的关系、数的整除，考查了计算能力，属于基础题．5．（5分）集合论是德国数学家康托尔（G．Cantor）于19世纪末创立的．在他的集合理论中，用card（A）表示有限集合中元素的个数，例如：A＝{a，b，c}，则card（A）＝3．若对于任意两个有限集合A，B，有card（A∪B）＝card（A）+card（B）﹣card（A∩B）．某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（）A．28B．23C．18D．16【分析】直接根据定义即可得到结论．【解答】解：∵参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，∴高一（1）班参加本次运动会的人数共有：14+9﹣5＝18，故选：C．【点评】本题主要考查集合中元素个数的计算，比较基础．6．（5分）设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（）A．a＜b＜＜B．a＜＜＜bC．a＜＜b＜D．＜a＜＜b【分析】举特值计算，排除选项可得．【解答】解：取a＝1且b＝4，计算可得＝2，＝，选项A、B、D均矛盾，B符合题意，故选：B．【点评】本题考查特值法比较式子的大小，属基础题．7．（5分）若x＞0，则恒成立的一个充分条件是（）A．a＞80B．a＜80C．a＞100D．a＜100【分析】直接利用基本不等式的应用求出结果．【解答】解：由于x＞0，≈88，故当a＜80时，恒成立．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．（5分）我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫做集合A与B的差集，记作A﹣B．设A＝M∪N，B＝M∩N，若M＝[﹣1，3]，N＝（0，4），则差集A﹣B是（）A．[﹣1，0]B．（3，4）C．[﹣1，0]∪（3，4）D．（﹣1，0）∪[3，4]【分析】根据差集的定义知，差集中的元素是集合A中的元素并且不能属于集合B，即A 中去掉B中的元素．【解答】解：∵M＝[﹣1，3]，N＝（0，4），∴A＝M∪N＝[﹣1，4），B＝M∩N＝（0，3]，∴差集A﹣B＝[﹣1，0]∪（3，4）．故选：C．【点评】本题考查了新定义的集合运算的运用，关键抓住定义的本质，即元素的性质进行求解，考查了分析和解决问题的能力．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．（5分）下列命题为真命题的是（）A．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣dB．若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＞bdC．若a＞b＞0，则D．若a＞b＞c＞0，则【分析】A、若a＞b，c＜d，则﹣c＞﹣d，由可加性得，a﹣c＞b﹣d；B、若a＞b＞0，c＜d＜0，同向同正才能相乘，则﹣c＞﹣d＞0，才能得出﹣ac＞﹣bd，即ac＜bd；C、若a＞b＞0，则0＜＜，由同向同正可乘方性即可得出；D、若a＞b＞c＞0，则0＜＜，由于c为正数，则．【解答】解：A、若a＞b，c＜d，则﹣c＞﹣d，由可加性得，a﹣c＞b﹣d；故A正确；B、若a＞b＞0，c＜d＜0，同向同正才能相乘，则﹣c＞﹣d＞0，才能得出﹣ac＞﹣bd，即ac＜bd；故B错误；C、若a＞b＞0，则0＜＜，由同向同正可乘方性即可得出；故C正确；D、若a＞b＞c＞0，则0＜＜，由于c为正数，则，故D正确．故选：ACD．【点评】考查了不等式的基本性质，可乘性，可加性，可乘方性，需注意不等式成立适用的条件，属于基础题．10．（5分）下列命题为真命题的是（）A．点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在圆O外的充要条件B．两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件C．A∩B＝B是B⊆A的必要不充分条件D．x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义判断各命题是否为真命题．【解答】解：对于A，根据点与圆的位置关系可知A是真命题；对于B，两个三角形面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件，故B为假命题；对于C，A∩B＝B是B⊆A的充要条件，故C为假命题；对于D，若x为有理数或y为有理数，则xy不一定是有理数，例如x＝1，y＝，若xy为有理数，x，y可得都不是有理数，例如x＝，y＝，故x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件，故D为真命题，故选：AD．【点评】本题考查了充分必要条件的判断，属于基础题．11．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则下列结论正确的是（）A．不等式ax2﹣bx+c＞0的解集是{x|﹣4＜x＜﹣3}B．不等式cx2﹣bx+a＞0的解集是C．不等式cx2﹣bx+a＞0的解集是{x|x＜﹣或x＞﹣}D．不等式cx2+bx+a＞0的解集是【分析】由不等式ax2+bx+c＞0的解集求出a＜0且b＝﹣7a，c＝12a；分别代入选项中，求对应不等式的解集即可．【解答】解：不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|3＜x＜4}，所以方程ax2+bx+c＝0的解是3和4，且a＜0；所以，解得b＝﹣7a，c＝12a，且a＜0；对于A，不等式ax2﹣bx+c＞0化为ax2+7ax+12a＞0，即x2+7x+12＜0，解得﹣4＜x＜﹣3，所以不等式的解集是{x|﹣4＜x＜﹣3}，A正确；对于B和C，不等式cx2﹣bx+a＞0化为12ax2+7ax+a＞0，即12x2+7x+1＜0，解得﹣＜x＜﹣，所以不等式的解集是{x|﹣＜x＜﹣}，B正确、C错误；对于D，不等式cx2+bx+a＞0化为12ax2﹣7ax+a＞0，即12x2﹣7x+1＜0，解得＜x＜，所以不等式的解集是{x|＜x＜}，D正确．故选：ABD．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．12．（5分）某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则下列说法正确的是（）A．x＝10时最小值B．x＝45时最小值C．最小值为850万元D．最小值为360万元【分析】根据题意列出总费用之和等于4x+，然后利用基本不等式求出最小值，核对四个选项得答案．【解答】解：由题知一年总运费为；一年的总运费与总存储费用之和为4x+≥2＝360，当且仅当4x＝，即x＝45时，等号成立，∴当x＝45时一年的总费用与总存储费用之和最小，为360万元．故选：BD．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．（5分）若“∀x∈R，x2+ax+1＞0”是假命题，则a的取值范围为{a|a≥2或a≤﹣2}．【分析】根据全称命题的性质即可得到结论．【解答】解：若“∀x∈R，x2+ax+1＞0”是假命题，∴判别式△＝a2﹣4≥0，解得a≥2或a≤﹣2，故{a|a≥2或a≤﹣2}故答案为：{a|a≥2或a≤﹣2}【点评】本题主要考查全称命题的应用，根据一元二次不等式恒成立是解决本题的关键．14．（5分）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2000本．要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为4．【分析】设提价后的杂志每本x元，则由题意可得，解出不等式的解集，即可求出定价的最大值．【解答】解：设提价后的杂志每本x元，则，即2x2﹣13x+20≤0，解得：2.5≤x≤4，所以定价的最大值为4，故答案为：4．【点评】本题考查了函数的实际应用的运用，考查学生的计算能力，比较基础．15．（5分）已知集合A，B，定义集合A与B的一样运算A⊗B，其结果如表所示：A{1，2，3，4}{﹣1，1}{﹣1，3}{﹣1，0，1}B{2，3，5}{﹣1，1}{﹣2，﹣1，0，2}{﹣2，﹣1，0，1}A⊗B{1，4，5}∅{﹣2，0，2，3}{﹣2}按照上述定义，若M＝[﹣1，1]，N＝（0，2），则M⊗N＝[﹣1，0]∪（1，2）．【分析】由给出的定义可知A⊗B＝{x|x∈A且x∉B或x∈B且x∉A}，从而求出M⊗N．【解答】解：由给出的定义可知集合A⊗B的元素是由所有属于集合A但不属于集合B 和属于集合B但不属于集合A的元素构成，即A⊗B＝{x|x∈A且x∉B或x∈B且x∉A}，因为M＝[﹣1，1]，N＝（0，2），所有M⊗N＝[﹣1，0]∪（1，2），故答案为：[﹣1，0]∪（1，2）．【点评】本题主要考查了简单的合情推理，考查了新定义问题，是基础题．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}．（1）求A∩B，（∁U A）∩（∁U B）；（2）集合C满足（A∩B）⊆C⊆（A∪B），请写出所有满足条件的集合C．【分析】（1）结合集合的交集，补集的定义分别进行求解即可．（2）直接根据集合子集的定义求解即可．【解答】解：（1）∵全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}．∴A∩B＝{1，3}，A∪B＝{1，2，3，4}，（∁U A）∩（∁U B）＝∁U（A∪B）＝{0，5，6，7}；（2）∵（A∩B）⊆C⊆（A∪B），A∩B＝{1，3}，A∪B＝{1，2，3，4}，∴C＝{1，3}，{1，2，3}，{1，3，4}，{1，2，3，4}．【点评】本题主要考查集合的基本运算，结合集合补集，交集，并集的定义是解决本题的关键．17．（12分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}．（1）命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围；（2）若∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，求实数m的取值范围．【分析】（1）求出集合B的取值范围，根据p是q的必要非充分条件，即可求得m的取值范围，（2）由若∀x∈A，得不等式的定义域，解关于m的不等式，即可求得m的取值范围．【解答】解：（1）B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}＝{x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0}⇒{x|m﹣1≤x≤m+1}．由p是q的必要非充分条件知：B⫋A，∴，解得0≤m≤1．（2）由∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，得m≥﹣x2+3x+4，x∈[﹣1，2]，令y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，x∈[﹣1，2]，∴当x＝时，y取最大值为，∴m≥．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．18．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（1，0）和（2，0），与y轴交于点（0，2）．（1）求二次函数的解析式；（2）若x∈[1，+∞）时，y≤2x2﹣（t+3）x+6恒成立，求实数t的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求出a，b，c的值，即可得到二次函数的解析式；（2）由题意可知t≤＝x+对任意x∈[1，+∞）恒成立，再利用基本不等式求出x+的最小值，从而得到t的取值范围．【解答】解：（1）因为二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（1，0）和（2，0），与y轴交于点（0，2），所以，解得a＝1，b＝﹣3，c＝2，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x+2．（2）因为x∈[1，+∞）时，y≤2x2+4恒成立，即t≤＝x+对任意x∈[1，+∞）恒成立，∵x+≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号，∴t≤4，∴实数t的取值范围是（﹣∞，4]．【点评】本题主要考查了二次函数的解析式，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．19．（12分）要设计一张矩形广告，该广告含有左、右全等的两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为200，四周空白的宽度为2，两栏之间的中缝空白的宽度为4．请设计广告的长与宽的尺寸，使矩形广告面积最小，并求出最小值．【分析】设这个矩形栏目的长为x，广告的面积为S，则宽为，根据题意广告的面积S＝（2x+8）（），再利用基本不等式即可求出S的最小值，以及S取最小值时x 的值．【解答】解：设这个矩形栏目的长为x，广告的面积为S，由两栏的面积之和为200，得宽为，广告的长为2x+8，宽为，其中x＞0，广告的面积S＝（2x+8）（）＝232+8（x+）≥232+8×2＝392，当且仅当x＝即x＝10时，等号成立，此时广告的宽为2x+8＝28，高为＝14，S取得最小值392，所以广告的长为28，长为14时，可使广告的面积最小，最小值为392．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．20．（12分）在①A∪B＝B，②A∩B≠∅，③B⊆∁R A这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．问题：已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣a）＜0，x∈R}，B＝，是否存在实数a，使得_____成立．【分析】分析题目，首先解出集合A和集合B，从而找出A和B两者之间的关系．题目不难，主要是三个条件需分开作答，易混淆条件．【解答】解：B＝{x|≤0}＝[﹣2，2），A＝{x|（x+2）（x﹣a）＜0，x∈R}．当a＞﹣2时，A＝（2，a）．当a＝﹣2时，A＝∅．当a＜﹣2时，A＝（2，a）．若选择①A∪B＝B，则A⊆B．当a＞﹣2时，A＝（﹣2，a）⊆[﹣2，2 ），则a≤2，所以﹣2＜a≤2．当a＝﹣2时，A＝∅，满足题意．当a＜﹣2时，A＝（﹣2，a），不满足题意．所以选择①，则实数a的取值范围是[2，2]．若选择②A∩B≠∅．当a＞﹣2时，A＝（﹣2，a），B＝[﹣2，2），满足题意．当a＝﹣2时，A＝∅，不满足题意．当a＜﹣2时，A＝（a，﹣2），B＝[﹣2，2），不满足题意．所以选择②，则实数a的取值范围是（﹣2，+∞）．若选择③B⊆∁R A．当a＞﹣2时，A＝（﹣2，a），∁R A＝（﹣∞，2]∪[a，+∞），而B＝[﹣2，2），不满足题意．当a＝﹣2时，A＝∅，∁R A＝R，而B＝[﹣2，2），满足题意．当a＜﹣2时，A＝（a，﹣2），∁R A＝（﹣∞，a]∪[﹣2，+∞），而B＝[﹣2，2），满足题意．所以选择③，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．【点评】遇见集合问题时，首先判断集合的表达形式能否简化．无参数的集合应先解出来；有参数的集合，在用参数表达集合解集时，一定要注意参数的可能结果，并对参数进行分类讨论．21．（12分）汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料．某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240km的平坦高速路段进行测试，经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F（单位：L）与速度v（单位：km/h）（0≤v≤120）的下列数据：v0406080120F01020为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，经计算机拟合，选用函数模型F＝av3+bv2+cv．（1）求函数解析式；（2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？【分析】（1）根据题目数据，列出方程组，解出a，b，c的值，从而得出函数解析式；（2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为y，行驶时间为t，由题意得：y＝F•t＝（）＝，再利用二次函数的性质即可算出结果．【解答】解：（1）由已知数据得：，解得：，所以F＝（0≤v≤120）；（2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为y，行驶时间为t，由题意得：y＝F•t＝（）＝＝，因为0≤v≤120，所以当v＝80时，y有最小值为30，所以这辆车在该测试路段上以80km/h速度行驶时总耗油量最少，最少为30L．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，以及二次函数的性质，是中档题．。
【数学10份汇总】江苏省苏州市2020年高一数学(上)期末模拟调研测试题
高一数学期末模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题1．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，7b =，8c =，则A C += A ．90︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒2．已知实数,x y 满足2050370x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则z x y =-+的最大值是A ．53-B ．1-C ．3D ．5 3．已知函数的零点是和（均为锐角），则（ ）A.B.C.D.4．已知锐角三角形的边长分别为1，3，，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.5．已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -的最小值为（ ）A. B.10D.86．在△ABC 中，∠A=30°，a=4，b=5，那么满足条件的△ABC （ ）A ．无解B ．有一个解C ．有两个解D ．不能确定7．已知0a >，0b >，且21a b ab +=-，则2+a b 的最小值为 A．5+B．C ．5D ．98．一几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是半径为2的半圆，俯视图为圆内接一个正方形，则该几何体的体积为（）A.3283π- B.328π- C.1616π-D.16163π- 9( )A.sin 2cos2+B.cos2sin 2-C.sin 2cos2-D.cos2sin 2±-10．在棱长为1的正方体中1111ABCD A B C D -，点P 在线段1AD 上运动，则下列命题错误的是 （ ）A ．异面直线1C P 和1CB 所成的角为定值 B ．直线CD 和平面1BPC 平行C ．三棱锥1D BPC -的体积为定值D ．直线CP 和平面11ABC D 所成的角为定值11．设函数()()()f x asin πx αbcos πx β4(=++++其中a ，b ，α，β为非零实数)，若()f 20015=，则()f 2018的值是( )A.5B.3C.8D.不能确定12．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-13．在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意,R a b ∈，a b *为唯一确定的实数，且具有性质： （1）对任意R a ∈，0a a *=； （2）对任意,R a b ∈，(0)(0)a b ab a b *=+*+*. 则函数1()()xxf x e e =*的最小值为 A ．2B ．3C ．6D ．814．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（ ） A.1B.1∶9C.1∶ D.1∶1)15．把函数y ＝sin x(x ∈R)的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )． A ．sin 2,3y x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭B ．sin ,26x y x R π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭ C ．sin 2+,3y x x R π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭D ．2sin 2+,3y x x R π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭二、填空题16．已知函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则A =______；ϕ=______．17．给出下列说法，正确的有__________. ①与共线单位向量的坐标是；②集合与集合是相等集合；③函数的图象与的图象恰有3个公共点；④函数的图象是由函数的图象水平向右平移一个单位后，将所得图象在轴右侧部分沿轴翻折到轴左侧替代轴左侧部分图象，并保留右侧部分而得到.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()*121N n n a a n n ++=+∈，则21S 的值为_______．19．过点A(4，1)的圆C 与直线相切于点B(2，1)，则圆C 的方程为_________．三、解答题 20．设全集为，集合,.（1）；（2）已知，若，求实数的取值范围.21．面对拥堵难题，济南治堵不舍昼夜.轨道交通1号线已于2019年元旦通车试运行，比原定工期提前8个月，其他各条地铁线路的建设也正在如火如荼的进行中，完工投入运行后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔为（单位：分钟），并且.经市场调研测算，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时，地铁为满载状态，载客量为450人；当时，载客量会减少，减少的人数．．．．．与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为258人，记地铁载客量为（单位：人）. （1）求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，地铁的载客量；（2）若该线路每分钟的利润为（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的利润最大.22．已知()212cos ,2f x x x x R =+-∈. （1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值； （2）若()0015,,3612f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0sin 2x 的值.23．已知函数()(sin )(cos )=+-f x x x x x . （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若06()5f x =，0[0,]2x π∈，求0cos2x 的值． 24．某车间的一台机床生产出一批零件，现从中抽取8件，将其编为1X ，2X ，…，8X ，测量其长度（单位：cm），得到下表中数据：1.48,1.52内的零件为一等品.其中长度在区间[]（1）从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（2）从一等品零件中，随机抽取2个.①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；②求这2个零件长度相等的概率.25．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知. (Ⅰ)求B；（Ⅱ）若.【参考答案】一、选择题1．B2．C3．B4．B5．D6．C7．A8．D9．C10．D11．B12．A13．B14．D15．C二、填空题π16．317．②④18．23119．(x－3)2＋y2＝2三、解答题20．（1）或；（2）.21．（1）,人；（2）当发车时间间隔分钟时，该线路每分钟的利润最大，最大值为80元.22．(1)π，23．（1）7[,]()1212k k k Z ππππ--∈；（2）410+． 24．（1）58；（2）①略；②35.25．(I) （II ），高一数学期末模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2020学年末高一数学调研测试卷 苏教版
2020学年末高一数学调研测试卷（满分160分，考试时间120分钟）本试卷共4页，包含选择题（第1题～第10题，共10题）、填空题（第11题～第16题，共6题）、解答题（第17题～第21题，共5题）三部分。
本次考试时间为120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每一小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．直线50x ++=的倾斜角是 A ．30oB ．120oC ．60oD ．150o2．已知集合2{|430}A x x x =-+>，{}|02x B x x =≤-，那么集合A B I 等于A ．{}12x x <<B ．{}123x x x <<>或C ．{}01x x ≤<D ．{}013x x x ≤<>或3．在ABC ∆中，已知cos cos a A b B =，则ABC ∆的形状是 A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形4．直线3430x y +-=与直线620x my m ++=平行，则它们之间的距离是 A ．1 B ．75C ．4D ．17105．在等差数列{}n a 中，37108a a a +-=，1144a a -=，则13S 等于 A ．152B ．154C ．156D ．1586．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若41S =，84S =，则13141516a a a a +++= A ．7 B ．27 C ．16 D ．647．设m , n 是两条不同的直线，α,β,γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ②若αγ⊥，βγ⊥，则α∥β ；③若m α⊥，n ∥α，则m n ⊥； ④若α∥β，β∥γ，m α⊥，则m γ⊥. 其中正确命题的序号是A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④ 8．下列结论正确的是 A ．函数1y x x=+的最小值是2 B ．函数2y 的最小值是4 C ．当02x <≤时，函数1y x x=-无最大值 D ．函数1541()454y x x x =-+<-的最大值是29．在直角坐标系中，已知两点(4,2)M ，(1,3)N -，沿x 轴把直角坐标平面折成直二面角后，M 、N 两点的距离为A ．38B ．34C ．22D ．1010．正三棱锥S ABC -的侧棱长为a ，E 、F 分别是SA 、SC 上的动点，则当BEF ∆的周长的时，侧棱SA 与SC 的夹角为A ．30oB ．60oC ．20oD ．90o二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 不需写出解答过程．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 11．已知实数x 、y 满足20,40,250,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则3z x y =+的最大值是 ▲ ．12．若点(1,2)M 在直线l 上的射影是(1,4)-，则直线l 的方程是 ▲ ． 13．在ABC ∆中，已知()()a b c b c a bc +++-=，则A 的度数为 ▲ ． 14．如果关于x 的不等式210mx mx --≥的解集是∅，则实数m 的取值范围是 ▲ ．15．某空间图形的三视图如右图所示，是三个全等的等腰直角三角形，腰长为2，则该空间图形的表面积为 ▲ . 16．以正六边形的6个顶点及正六边形内的2020个定点为顶点作三角形，恰好将这个正六边形完全分割成若干个三角形区域(无任何重叠)，则这样的三角形区域最多有 ▲ 个．三、解答题：本大题共5小题，共80分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分16分）已知2y x =是ABC ∆中C ∠的内角平分线所在直线的方程，若(4,2)A -，(3,1)B . ⑴求点A 关于2y x =的对称点P 的坐标； ⑵求直线BC 的方程； ⑶判断ABC ∆的形状．18．（本小题满分16分）AB ECDA 1B 1C 1D 1APQ如图，已知A ∠为定角，P 、Q 分别在A ∠的两条边上，PQ 为定长，当P 、Q 处于什么位置时，APQ ∆的面积最大？19．（本小题满分16分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，2AB =，14AA =，60DAB ∠=o ，点E 是BC 的中点.⑴求证：1D B ∥平面1C DE ； ⑵求证：平面1C DE ⊥平 面BB 1C 1C ； ⑶求三棱锥11B C DE -的体积V ．20．（本小题满分16分）某工厂用7万元购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年保险的费用均为2千元，每年的保养费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即逐年增加1千元。
江苏南京市、盐城市2020届高三上学期第一次模拟考试数学试题 Word版含解析
盐城市、南京市2020届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题2020．01(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝(0，+∞)，全集U ＝R ，则U A ð＝ ． 答案：(-∞，0] 考点：集合及其补集解析：∵集合A ＝(0，+∞)，全集U ＝R ，则U A ð＝(-∞，0]． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅＝ ． 答案：5 考点：复数解析：∵2z i =+，∴2(2)(2)45z z i i i ⋅=+-=-=．3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ． 答案：23考点：等可能事件的概率解析：所有基本事件数为3，包含甲的基本事件数为2，所以概率为23． 4．命题“θ∀∈R ，cos θ＋sin θ＞1 ”的否定是 命题（填“真”或“假”）． 答案：真 考点：命题的否定解析：当θπ=-时，cos θ＋sin θ＝﹣1＜1，所以原命题为假命题，故其否定为真命题． 5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ．答案：6考点：算法（伪代码）解析：第一遍循环 S ＝0，I ＝1，第二轮循环S ＝1，I ＝2 ，第三轮循环S ＝3，I ＝3，第四轮循环S ＝6，I ＝4，第五轮循环S ＝10，I ＝5，第六轮循环S ＝15，I ＝6，所以输出的 I ＝6．6．已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是9，且xy ＝110，则此样本的方差是 ． 答案：2考点：平均数，方差解析：依题可得x ＋y ＝21，不妨设x ＜y ，解得x ＝10，y ＝11，所以方差为22222210(1)(2)5+++-+-＝2．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ． 答案：23考点：抛物线及其性质解析：抛物线的准线为x ＝−1，所以P 横坐标为2，带入抛物线方程可得P(2，22±)，所以OP ＝38．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，则21a a 的值为 ． 答案：3考点：等差中项，等差数列的通项公式 解析：∵ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，∴2152a a a =，故2111(4)()a a d a d +=+，又公差不为0，解得12d a =，∴21111133a a d a a a a +===． 9．在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点P 是棱CC 1上一点，记三棱柱ABC —A 1B 1C 1与四棱锥P —ABB 1A 1的体积分别为V 1与V 2，则21V V ＝ ． 答案：23考点：棱柱棱锥的体积解析：1111121123C ABB A C A B C V V V V V ==-=——，所以2123V V =．10．设函数()sin()f x x ωϕ=+ (ω＞0，0＜ϕ＜2π)的图象与y， y轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为 ． 答案：7考点：三角函数的图像与性质解析：∵()f x 的图象与y，∴sin 2ϕ=，又0＜ϕ＜2π，∴3πϕ=， ∵y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π， ∴3632ππωπ+=，解得ω＝7． 11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），11AH AB AC 42=+u u u r u u u r u u u r，则cos ∠BAC 的值为 ．考点：平面向量解析：∵H 是△ABC 的垂心， ∴AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，∵11AH AB AC 42=+u u u r u u u r u u u r，∴1131BH AH AB AB AC AB AB AC 4242=-=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r则11AH BC (AB AC)(AC AB)042⋅=+⋅-=u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ，31BH AC (AB AC)AC 042⋅=-+⋅=u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r ，即22111AC AB AC AB 0244--⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，231AC AB AC 042-⋅+=u u ur u u u r u u u r ，化简得：22111cos BAC 0244b c bc --∠=，231cos BAC+042bc b -∠=则2222cos BAC 3b c bbc c-∠==，得b =，从而cos BAC ∠=． 12．若无穷数列{}cos()n ω(ω∈R)是等差数列，则其前10项的和为 ． 答案：10 考点：等差数列解析：若等差数列公差为d ，则cos()cos (1)n d n ωω=+-，若d ＞0，则当1cos 1n dω->+时，cos()1n ω>， 若d ＜0，则当1cos 1n dω-->+时，cos()1n ω<-， ∴d ＝0，可得cos2cos ωω=，解得cos 1ω=或1cos 2ω=-（舍去）， ∴其前10项的和为10．13．已知集合P ＝{}()16x y x x y y +=，，集合Q ＝{}12()x y kx b y kx b +≤≤+，，若P ⊆Q的最小值为 ．答案：4考点：解析几何之直线与圆、双曲线的问题解析：画出集合P 的图象如图所示，第一象限为四分之一圆，第二象限，第四象限均为双曲线的一部分，且渐近线均为y x =-，所以k ＝−1，所求式为两直线之间的距离的最小值，所以10b =， 2y kx b =+与圆相切时最小，此时两直线间距离为圆半径 4，所以最小值为 4．14．若对任意实数x ∈(-∞，1]，都有2121xe x ax ≤-+成立，则实数a 的值为 ．答案：12-考点：函数与不等式，绝对值函数解析：题目可以转化为：对任意实数x ∈(-∞，1]，都有2211xx ax e-+≥成立， 令221()x x ax f x e -+=，则(1)[(21)]()xx x a f x e --+'=，当211a +≥时，()0f x '≤，故()f x 在(-∞，1]单调递减，若(1)0f ≤，则()f x 最小值为0，与()1f x ≥恒成立矛盾；若(1)0f >，要使()1f x ≥恒成立，则(1)f =121a e-≥，解得12ea ≤-与211a +≥矛盾．当211a +<时，此时()f x 在(-∞，21a +)单调递减，在(21a +，1)单调递增，此时min ()(21)f x f a =+，若(21)0f a +≤，则()f x 最小值为0，与()1f x ≥恒成立矛盾；若(21)0f a +>，要使()1f x ≥恒成立，则min 2122()(21)a a f x f a e++=+=1≥． 接下来令211a t +=<，不等式21221a a e++≥可转化为10te t --≤，设()1tg t e t =--，则()1tg t e '=-，则()g t 在(-∞，0)单调递减，在(0，1)单调递增，当t ＝0时，()g t 有最小值为0，即()0g t ≥，又我们要解的不等式是()0g t ≤，故()0g t =，此时210a +=，∴12a =-． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分）已知△ABC 满足sin(B )2cos B 6π+=．（1）若cosC ＝63，AC ＝3，求AB ； （2）若A ∈(0，3π)，且cos(B ﹣A)＝45，求sinA ． 解：16．（本题满分14分）如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱CC 1上的一点．（1）若A 1C//平面PBD ，求1PC PC的值； （2）求证：BD ⊥A 1P ．证明：17．（本题满分14分）如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O中剪裁出两块全等的圆形铁皮⊙P与⊙Q做圆柱的底面，剪裁出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB为圆柱的一条母线，点A，B在⊙O上，点P，Q在⊙O的一条直径上，AB∥PQ，⊙P，⊙Q分别与直线BC、AD相切，都与⊙O内切．（1）求圆形铁皮⊙P半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P与⊙Q半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）解：18．（本题满分16分）设椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率是e ，动点P(0x ，0y ) 在椭圆C 上运动．当PF 2⊥x 轴时，0x ＝1，0y ＝e ．（1）求椭圆C 的方程；（2）延长PF 1，PF 2分别交椭圆于点A ，B （A ，B 不重合）．设11AF FP λ=u u u r u u u r ，22BF F P μ=u u u r u u u r，求λμ+的最小值．解：19．（本题满分16分）定义：若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“M(q )数列”．设数列{}n b 中11b =，37b =．（1）若2b ＝4，且数列{}n b 是“M(q )数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为“M(q )数列”，并说明理由；（3）若数列{}n b 是“M(2)数列”，是否存在正整数m ，n ，使得4039404020192019m n b b <<？若存在，请求出所有满足条件的正整数m ，n ；若不存在，请说明理由． 解：20．（本题满分16分）若函数()xxf x e aemx -=--(m ∈R)为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x ．（1）求实数a 的值； （2）求实数m 的取值范围；（3）若02()f xe≥-恒成立，求实数m的取值范围．解：附加题，共40分21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换已知圆C 经矩阵M ＝ 33 2a ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦变换后得到圆C ′：2213x y +=，求实数a 的值． 解：B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线cos 2sin m ρθρθ+=被曲线4sin ρθ=截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值．解：C ．选修4—5：不等式选讲已知正实数 a ，b ，c 满足1231a b c++=，求23a b c ++的最小值． 解：【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，AA 1，BB 1是圆柱的两条母线，A 1B 1，AB 分别经过上下底面的圆心O 1，O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，CD ＝2．（1）若AA 1＝3，求异面直线A 1C 与B 1D 所成角的余弦值；（2）若二面角A 1—CD —B 1的大小为3，求母线AA 1的长．解：23．（本小题满分10分）设22201221(12)n i n n i x a a x a x a x =-=++++∑L (n N *∈)，记0242n n S a a a a =++++L ．（1）求n S ；（2）记123123(1)n nn n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L ，求证：36n T n ≥恒成立． 解：。
江苏省南通市2020学年度第二学期高一数学期末调研(模拟)测试卷苏教版
江苏省南通市 2020 学年度第二学期高一数学期末调研(模拟)测试卷全卷满分 160 分，考试时间 120 分钟 ;本试卷分试题卷和答题卷两部分，试题卷第1～2 页，答题卷第3～4 页参照公式 ： S 球面4 R 2, V 锥体1Sh .3第 I 卷( 选择题，共 50分)一、选择题：本大题共有10 小题，每题 5 分，共 50 分．在每题给出的四个选项中，有且 只有一项为哪一项切合题目要求的．1．等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 21, a 3 3, 则S 4＝A. 12B. 10C. 8D. 62．在等比数列 { a } 中，若 a 1， 1 ，则该数列的前 10 项和为a 4n181B ． 21C ． 211A ． 229210D ． 2282113．已知锐角三角形的边长分别是3、 x 、 5，则 x 的取值范围是A. (2,8)B.(4, 34)C.( 34,16)D.(4,34)4．到直线 x y10 的距离为2，且在x y 1 0 表示的平面地区内的点是2xy 1 0A ． (11)，B． ( 11)，C． (1， 1)D． ( 1，1)5．已知 m ， n 为两条不一样的直线， ， 为两个不一样的平面，则以下命题必定正确的选项是A ． m，n，m//，n////B．m，mnn //C ．// ， m， nm // nD． n // m ，nm6．在ABC 中，若A(2, 4) B(1,2) C(1,0) ，点 P(x, y) 在 ABC 的内部及其界限上运动，则 z y x 的取值范围为A. [3, 1]B.[ 3,1]C.[ 1,3]D.[1,3]7．一个水平搁置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为450 ，腰和上底均为 1的等腰梯形，则该平面图形 OABC 的实质面积是y ′A ． 12B． 2 2C ′B ′C ．12D．22x ′22O ′A ′8．直线 l 1 : ax 3 y 9 0 与直线 l 2 : x 3 y b 0 对于原点 (0,0) 对称，则 a 、b 的值是A．a1, C．a1,bb9B． a－1,－ 9D． a－1,bb9－99．在以下图的表格中，每格填上一个数字后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则 a b c 的值为A．1B． 2C．3D． 410．某个几何体的三视图以下，依据图中标出的尺寸（单位：cm），可得该几何体的体积是Ａ． 4000 cm3320Ｂ． 8000 cm33Ｃ． 2000cm32020正视图侧视图Ｄ． 4000cm3101020俯视图第 II卷(非选择题，共110 分 )二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．将答案填在题中的横线上．11．已知x0, y 0 且191，则x y 的最小值为. x y12．直线l1: x 2ay 1 0与直线 l2 : (a1)x ay 10平行，则 a 的值为.13．已知数列{ a n}的前n项和S n n29n ，第k项知足 5a k8 ，则k.14．一个长方体的各极点均在同一球的球面上，且一个极点上的三条棱的长分别为1，2， 3，则此球的表面积为.15．在ABC中 , 假如边长a、b、 c 知足(a b c)(b c a)3bc ;角A、B、C知足sin A2sin B cosC ,那么 ABC 的形状是.16 ．如图，ABCD A1B1C1D1为正方体，下边结论错误的序号是.．．① BD ∥平面CB1D1；② AC1BD ；③AC1⊥平面 CB1D1；④异面直线 AD 与CB1所成角为60°.三、解答题：本大题共 5 小题，共80 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17． ( 本小题满分15 分)如图，丈量河对岸的塔高AB 时，能够选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点C与D,现测得 BCD， BDC， CD s ，并在点C测得塔顶 A 的仰角为，求塔高AB ．D1C1A1B1MD CA OB18． ( 本小题满分16 分)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD 的中心，M是线段A1B 的中点．求证：（ 1）平面A1BD A1 ACC1平面；（2）OM //平面 B1BCC1.19． ( 本小题满分15 分)本企业计划 2020年在甲、乙两个电视台做总时间不超出300 分钟的广告，广告总花费不超出 9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500 元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该企业所做的每分钟广告，能给企业事来的利润分别为0.3 万元和 0.2万元．问该企业怎样分派在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使企业的利润最大，最大利润是多少万元？20． ( 本小题满分16 分 )如图 ( 见答题卷 ) ，过点M (2,4)的直线l与x轴, y轴的正半轴分别交于点P( p,0), Q (0, q) ，过点 M (2,4) 作两条相互垂直的直线l1 ,l2分别交 x 轴, y轴的正半轴于A( a,0), B(0, b) 两点.（ 1）求POQ 面积的最小值；（ 2）若直线AB 均分四边形 OAMB 的面积，求直线的方程．21． ( 本小题满分18 分)设 { a n } 是公比大于 1 的等比数列，S n为数列 { a n } 的前 n 项和．已知S3 7，且a1 3，3a2，a34组成等差数列．（ 1）求数列{ a n}的通项公式 ;（ 2）令b n ln a3n1， n 1，2，L ，求证数列 { b n} 是等差数列;（ 3）求数列2n1的前 n 项和 T n．a n[ 参照答案 ]一、选择题：本大题共有10 小题，每题5 分，共 50 分．在每题给出的四个选项中，有且只有一项为哪一项切合题目要求的．题号12345678910答案C B B D D C A D A B二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共30 分．将答案填在题中的横线上．11、1612、 013、814、1415、正三角形16、④三、解答题：本大题共 5 小题，共80 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17、解：在BCD 中，CBD 2 分由正弦定理得BC CD5 分sin BDC sin CBDBC CD sin BDC ssin10 分sin CBD sin()在Rt ABC 中，AB BC tan ACB s tan sin15 分sin()18、证明：（ 1）∵底面ABCD是正方形，∴ BD⊥AC． 2分∵C 1C⊥底面ABCD， BD 底面ABCD，∴ BD⊥C1C． 4分∵AC 平面 A1ACC1， C1C 平面 A1ACC1，且 AC∩ C1C＝ C，∴ BD⊥平面 A1ACC1． 6分∵BD 平面 A1BD，∴平面 A1BD （ 2）连B1C．平面A1ACC1． 8分9分在△ A1BD中，∵O是BD的中点，M是BA1的中点，∴MO//A1D11分∵A1 B1∥ DC，且 A1 B1＝ DC，∴四边形 A1 DC B1为平行四边形．∴ A1D // B1C13 分∴MO∥B1C，1，MO平面 B1BCC1，又 B C 平面B1BCC1∴MO// 平面B1BCC1．19、解：设企业在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为元，x y300，由题意得 500 x200 y90000，x0， y 0.目标函数为 z3000 x2000 y ．lx y 300，二元一次不等式组等价于5x 2 y900，x0， y0.14 分16 分x分钟和 y 分钟，总利润为zy2 分5004005分300200M7分1000100200 300x作出二元一次不等式组所表示的平面地区，即可行域．9分如图：作直线 l :3000 x2000 y0 ，即 3x 2 y 0 ．10 分平移直线 l ，从图中可知，当直线 l 过 M 点时，目标函数获得最大值．12分，y 300100， y200 ．13分联立解得 x5x 2y900.点 M 的坐标为(100，200)．z max 3000 x2000 y700000 （元）14 分答：该企业在甲电视台做100 分钟广告，在乙电视台做200 分钟广告，企业的利润最大，最大利润是 70 万元．15 分20、解：（ 1）由题意得l的方程为：xy1( p0, q0) ， 1 分p q∵点 M (2,4) 在l上,∴241( p0, q0) 2 分p q248∴ pq32 , 4 分由基本不等式得 : 12,p q pq故MAB 的面积 S1pq16 , 当且仅当 24 , 即 p 4, q8 时, 取” =”.2p q故 MAB 的面积最小值为 16.6 分（ 2）由题意得AB 的方程为：xy 1(a 0, b0) ，7 分a b∵，因此44 b 1.即．9 分2 a2 0∵直线的一般式方程为bxay ab 0 ，∴点到直线的距离为 d| 2b 4a ab | ，11 分a 2b 2∴MAB 的面积∵，因此 b 28b 20(b4) 2 40,故 S 1 b 2 8b 20.13 分而 OAB 的面积 S 21ab1(102b)b 5b b 2 .14 分22∵直线均分四边形 OAMB 的面积，∴S 1S 2 ，进而 b 2 8b 205b b 2 ，即，得 b4 或 b5 ，15 分2∴当 b4 时， a2, 故直线的方程为 2 x y 4 0 ；5时， a 5 ，故直线的方程为 x 2 y 5 0 ．16 分当 b2a 1a 2 a 3 ，721、解：（ 1）由已知得 : (a3) (a4)解得 a 22 ．2 分133a 2 .2设数列 { a n } 的公比为 q ，由 a 2 2 ，可得 a 12， a 3 2q ．q又 S 37 ，可知 2 2 2q7 ，即 2q 2 5q 2 0 ，4 分qq12， q21q1， q2 2a11{ a n}a n2n121a3n 123n,b n ln 23 n3n ln 2b n1b n 3ln 2n{ b n }3T35L2n32n11n21222n22n 12T n5L2n32n12 32n 3n 222T n2222L22n1222n 2n 12222111L12n12222n22n1112n1222n1112n1262n32n15791113151718。
徐州市2020年1月高三年级第一次调研考数学试卷附答案解析
连云港市2020届高三第一学期期末调研考试数学I 参考答案与评分标准一、填空题：1．{12}x x -<<2．2i -3．454．205．[4,+)¥6．127．48．149．13510．π211．22(2)8x y ++=12．313．4714．34二、解答题：15．（1）在PBC △中，因为M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，所以MN //BC ．………………………………3分又MN Ì平面AMN ，BC Ë平面AMN ，所以BC //平面AMN ．…………………………6分（2）在PAB △中，因为AP AB =，M 为棱PB 的中点，所以AM PB ^．………………………………8分又因为平面P AB ⊥平面PBC ，平面PAB 平面PBC PB =，AM Ì平面P AB ，所以AM ^平面PBC ．…………………………………………………………12分又AM Ì平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PBC ．…………………………14分16．（1）在ABC △中，由余弦定理2222cos b c bc A a +-=得，220225b +-´=，即2450b b --=，…………………………4分解得5b =或1b =-（舍），所以5b =．………………………………………6分（2）由cos A =及0A <<p得，sin A ===，…8分所以cos cos(())cos()sin )4C A B A A A p =p -+=-+=-，又因为0C <<p，所以sin C ===，从而sin tan 3cos C C C ===，………………………………………………12分所以222tan 233tan 21tan 134C C C ´===---．………………………………………14分17．（1）在SAO △中，4SO ==，…………………………2分A PNM C B由1SNO △∽SAO △可知，1SO r SO R =，所以143SO r =，……………………4分所以1443OO r =-，所以223144()π(4)π(3),03339V r r r r r r =-=-<<．…7分（2）由（1）得234()π(3),039V r r r r =-<<，所以24()π(63)9V r r r ¢=-，令()0V r ¢=，得2r =，………………………9分当(0,2)r Î时，()0V r ¢>，所以()V r 在(0,2)上单调递增；当(2,3)r Î时，()0V r ¢<，所以()V r 在(2,3)上单调递减．所以当2r =时，()V r 取得最大值16π(2)9V =．答：小圆锥的体积V 的最大值为16π9．………………………………………14分18．（1）直线l 的方程为)(a x k y -=，即0=--ak y kx ，因为直线l 与圆222b y x O =+：相切，所以b k ak =+-12，故2222b a b k -=．所以椭圆C的离心率e ==………………………………4分（2）设椭圆C 的焦距为2c ，则右准线方程为2a x c=，由ïîïíì=-=c a x a x k y 2)(得c ac a k a c a k y -=-=22)(，所以))(,(22c ac a k c a Q -，…6分由ïîïíì-==+)(12222a x k y b y a x 得02)(2224232222=-+-+b a k a x k a x k a b ，解得222223k a b ab k a x p +-=，则22222222232)(k a b k ab a k a b ab k a k y p +-=-+-=，所以)2-2222222223ka b k ab k a b ab k a P ++-，（，……………………………………………10分因为0=×OQ OP ，所以02)(222222222232=+-×-++-×ka b k ab c ac a k k a b ab k a c a ，即)(2)(22222c a k b b k a a -=-，………………………………………………12分由（1）知，2222b a b k -=，所以22422222)(2)(b ac a b b b a b a a --=--，所以c a a 22-=，即c a 2=，所以21=a c ，故椭圆C 的离心率为21．……16分19．（1）()2111()ln f x x a x x x ¢=+-，因为曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，所以(1)11f a ¢=-=-，得0a =．……………………………………………2分（2）因为21ln ()ax x f x x-+¢=存在两个不相等的零点．所以()1ln g x ax x =-+存在两个不相等的零点，则1()g x a x ¢=+．①当0a ≥时，()0g x ¢>，所以()g x 单调递增，至多有一个零点．……4分②当0a <时，因为当1(0)x aÎ-，时，()0g x ¢>，()g x 单调递增，当1(+)x aÎ-¥，时，()0g x ¢<，()g x 单调递减，所以1x a =-时，max 11()()ln()2g x g a a=-=--．…………………………6分因为()g x 存在两个零点，所以1ln()20a-->，解得2e 0a --<<．………7分因为2e 0a --<<，所以21e 1a->>．因为(1)10g a =-<，所以()g x 在1(0)a-，上存在一个零点．…………8分因为2e 0a --<<，所以211()a a->-．因为22111[()]ln()1g a a a -=-+-，设1t a=-，则22ln 1(e )y t t t =-->，因为20t y t-¢=<，所以22ln 1(e )y t t t =-->单调递减，所以()2222ln e e 13e 0y <--=-<，所以22111[()]ln()10g a a a-=-+-<，所以()g x 在1()a-+¥，上存在一个零点．综上可知，实数a 的取值范围为2(e ,0)--．…………………………………10分（3）当2a =时，1()(2)ln f x x x =-，()2211121ln ()ln 2x x f x x x x x x -+¢=+-=，设()21ln g x x x =-+，则1()20g x x¢=+>．所以()g x 单调递增，且11()ln 022g =<，(1)10g =>，所以存在01(1)2x Î，使得0()0g x =，……12分因为当0(0)x x Î，时，()0g x <，即()0f x ¢<，所以()f x 单调递减；当0(+)x x Î¥，时，()0g x >，即()0f x ¢>，所以()f x 单调递增，所以0x x =时，()f x 取得极小值，也是最小值，此时()0000000111()(2)ln (2)12(4)4f x x x x x x x =-=--=-++，……………14分因为01(1)2x Î，，所以0()(10)f x Î-，，因为()f x l ≥，且l 为整数，所以1l -≤，即l 的最大值为1-．………16分20．（1）由11n n a ka +=-，13a =可知，231a k =-，2331a k k =--，因为{1}n a -为等比数列，所以2213(1)(1)(1)a a a -=--，即22(32)2(32)k k k -=´--，即231080k k -+=，解得2k =或43k =，…2分当43k =时，143(3)3n n a a +-=-，所以3n a =，则12n a -=，所以数列{1}n a -的公比为1，不符合题意；当2k =时，112(1)n n a a +-=-，所以数列{1}n a -的公比1121n n a q a +-==-，所以实数k 的值为2．…………………………………………………………4分（2）由（1）知12n n a -=，所以4n n n n b n - ,ìï=í2,ïî为奇数,为偶数,则22(41)4(43)4[4(21)]4mm S m =-++-+++--+2(41)(43)[4(21)]444m m =-+-++--++++144(4)3m m m +-=-+，……………………………………………………6分则212244(4)3m m m m S S b m m --=-=-+，因为22+1324m m m b b m +=-+，又222+322+1()()3420m m m m m b b b b ++-+=´->，且2350b b +=>，130b =>，所以210m S ->，则20m S >，设2210,m t m S b t S -=>Î*N ，…………………………………………………………8分则1,3t =或t 为偶数，因为31b =不可能，所以1t =或t 为偶数，①当2121=m m S b S -时，144(4)3344(4)3m m m m m m +--+=--+，化简得2624844m m m -+=--≤，即242m m -+≤0，所以m 可取值为1，2，3，验证624135787,3,323S S S S S S ===得，当2m =时，413S b S =成立．…………………12分②当t 为偶数时，1222144(4)331443124(4)134m mm m mm m S S m m m m +---+==+--+--++，设231244m m m m c -+-=，则211942214m m m m m c c ++-+-=，由①知3m >，当4m =时，545304c c --=<；当4m >时，10m m c c +->，所以456c c c ><<，所以m c 的最小值为5191024c -=，所以22130151911024m m S S -<<+<-+，令22214m m S b S -==，则2314312414mm m +=-+-+，即231240m m -+-=，无整数解．综上，正整数m 的值2．………………………………………………………16分数学Ⅱ参考答案与评分标准21．A ．矩阵M 的特征多项式为23()(2)(1)31f t t l l l l l --==-----．…………2分因为矩阵M 的一个特征值为4，所以(4)630f t =-=，所以2t =．…………5分所以2321éù=êúëûM ，所以11313213221324422112132213222--éùéù-êúêú´-´´-´==êúêú--êúêú´-´´-´ëûëûM ．……10分B ．由:cos sin 120l r q r j +-=，及cos x r q =，sin y r q =，所以l 的直角坐标方程为120x y +-=．………………………………………2分在曲线C上取点()2sin M j j ，，则点M 到l的距离124sin 3d j p-+===，…………6分（第22题）当6j p =时，d取最小值…………………………………………………8分此时点M 的坐标为()3,1．………………………………………………………10分C ．因为x y z ，，都为正数，且1x y z ++=，所以由柯西不等式得，1113()222x y y z z x+++++111()[(2)(2)(2)]222x y y z z x x y y z z x =++×++++++++ (5)分29=≥，当且仅当13x y z ===时等号成立，所以111222x y y z z x+++++的最小值为3．…………………………………10分22．（1）因为四边形11AA B B 为正方形，所以1AB BB ^，因为平面11AA B B ^平面11BB C C ，平面11AA BB平面111BB C C BB =，AB Ì平面11AA B B ，所以AB ^平面11BB C C .……………………………2分以点B 为坐标原点，分别以BA ,1BB 所在的直线为x ,y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.不妨设正方形11AA B B 的边长为2，则()2 0 0A ，，，()10 2 0B ，，．在菱形11BB C C 中，因为1160BB C Ð=°，所以1(0 1 C ，，所以1( 2 1 AC =-，因为平面11AA B B 的法向量为()0 0 1=，，n ，设直线1AC 与平面11AA B B 所成角为a ，则1sin |cos ,|AC a =<>=n ，即直线1AC 与平面11AA B B．………………………6分（2）由（1）可知，(0 1 C -，，所以()10 2 0CC =，，．设平面1ACC 的一个法向量为()1111x y z =，，n ，因为11110,0,AC CC ì×=ïí×=ïîn n 即()(()()111111 2 1 0 0 2 00x y z x y z ì×-=ïí×=ïî，，，，，，，，取1x ，10y =，11z =，即1 0 1ö=÷ø，，n ．设平面1ABC 的一个法向量为()2222x y z =，，n ，因为()2 0 0BA =，，，(10 1 BC =，，所以()()()(222222 2 0 00 0 1 0x y z x y z ×=ìïí×=ïî，，，，，，，，取()20 1=-，n ．…………8分设二面角1B AC C --的平面角为q ，则121212cos cos q ×=-<>=-==×，n n n n n n 所以二面角1B AC C --．…………………………………10分23．（1）因为4n =，所以0404216C ()=381a =，1314232C ()=327a =．……………………2分（2）当13x =时，21C ()()33k k n k k k n a x -=，又因为11!(1)!C C !()!(1)!()!k k n n n n k kn n k n k k n k ---===---，………………………4分当1n =时，011022()C ()33nk k k n k a x =-==å；…………………………………5分当2n ≥时，0021()()C ()()33nnkk n k kk nk k n k a x n k -==-=-åå012121C ()()C ()()3333nn k n k k k n k k nn k k n k --===-åå1112121()C ()()3333n n k n k kn k n n ---==+-å1111121C ()()333n k n k k n k n n ----==-å1121()333n n n -=-+23n =，当1n =时，也符合．所以0()nk k k n k a x =-å的值为23n ．………………………………………………10分。
江苏省苏州市阳山实验中学2020年高一数学理模拟试题含解析
江苏省苏州市阳山实验中学2020年高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是（）参考答案：A2. 已知，则函数的解析式为（）C3. 已知是直线的倾斜角，则. . ..参考答案：B4. 已知，且，则（）A. B. C. 或D. 或参考答案：C5. 已知为锐角，，则=A. B. C.7 D. -7参考答案：D6. 设函数的图像过点，其反函数的图像过点，则等于（）.A 3B 4C 5D 6参考答案：B7. 圆心为（1，2）且过原点的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=2 B．（x+1）2+（y+2）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 D．（x+1）2+（y+2）2=5C【考点】圆的标准方程．【分析】由题意求出圆的半径，代入圆的标准方程得答案．【解答】解：由题意可知，圆的半径为r=．∴圆心为（1，2）且过原点的圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．故选：C．8. 若函数在处取得最小值，则（）A．B．C．3 D．4参考答案：C9. 设，，，则（）A． B． C．D．参考答案：A10. （5分）已知函数f（x）=，若f（﹣x）＞f（x），则x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）参考答案：C考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：注意讨论x的正负，代入f（﹣x）＞f（x）化简求解．解答：①当x＞0时，f（﹣x）＞f（x）可化为x＞log2x；解得，x∈（0，1）；②当x＜0时，f（﹣x）＞f（x）可化为log2（﹣x）＞（﹣x）；解得，﹣x∈（1，+∞）；故x∈（﹣∞，﹣1）；综上所述，x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；故选C．点评：本题考查了分段函数的求解与应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. △ABC中，,则＝▲ .1612. 在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别参考答案：31，2613. 在△ABC中，已知，且bcosA=3a cosB，则c=----______参考答案：4略14. 已知向量的夹角为，，则___________．参考答案：试题分析：，，所以，提醒：．考点：平面向量数量积的应用之一：求模．15. 若函数是奇函数，则略16. 若向量，则实数参考答案：-617. 若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是．参考答案：0＜b＜2【考点】函数的零点．【分析】由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围【解答】解：由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件，故答案为：0＜b＜2三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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江苏省高一年级模拟选课调考数 学一 选择题（每题5分，共60分）1. 若集合{}1,2M =，{}2,3,4N =，则M ∩N 等于( )A ．{}1,2,3,4B ．{}2C ．{}2,3D ．{}1,3,4 2. ()πcos 24x +的最小正周期为( )A ．2πB ．πC ．π2D ．4π3. 0tan 420等于( )A ． D ．4. 已知函数()2241f x x -=+，则()2f 的值为( ) A ．5B ．8C ．10D ．16 5．已知()()()3,0,2,1,1,4A B C ，则AC BC ⋅uuu r uu u r的值为( )A ．10B ．14C ．10-D ．14- 6. 求值：0000sin 24cos54cos24sin54-等于( )A ．12BC ．12-D ．7. 三角形ABC 中，D 为边BC 上一点，且满足2BD DC =uu u r uuu r,则AD u u u r 等于( )A ． 1233AB AC +uu u r uuu r B ．2133AB AC +uu u r uuu r C ．1233AB AC -uu u r uuu rD ．1122AB AC +uuu r uuu r8. ( )A ．00sin35cos35+B ．00sin35cos35-C ．00cos35sin35-D ．00cos35sin35--9. 已知a ()1,3=，b (),4m =，若a 与b 的夹角为锐角，则实数m 的取值范围是( )A ．(),12-∞-B ．()12,-+∞C ．()()3312,+44-⋃∞，D ．()()4412,+33-⋃∞，10. 函数()sin f x x x =-，[]0πx ∈，的单调减区间为( ) A ．5112ππ,2ππ,66k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z B ．152ππ,2ππ,66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZC ．50,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦11. 若,αβ均为钝角，且sin sin αβαβ+等于( )A ．π4B ．3π4C ．5π4D ．7π412. 若函数()f x 是定义在[]2,2-上的减函数，且)13()1(+<+a f a f ,则实数a 的取值范围是( )A ． (),0-∞B ．[)1,0-C ． (10,3⎤⎥⎦ D ．()0,+∞二 填空题（每题5分，共20分）13. 函数()f x =的定义域是 ▲ .14. 已知角α的终边经过点()3,4，则tan α= ▲ .15. 设α为锐角，若()π4cos =65α+，则()πsin 2+3α的值为 ▲ .16. 在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边AB 、AD 的长分别为2,M 、N 分别是线段BC CD 、上的点，且满足BM CNBC CD=，则AM AN ⋅uuu r uuu r 的最大值为 ▲ . 三 解答题（共70分）17. 设集合{}|121A x a x a =-+≤≤，集合{|0B x x =<或}5x >，全集U =R . （1）若5a =，求U C A ；（2）若2a =，求A B ⋃.18. 已知tan 2α=. （1）求()πtan 4α+的值；（2）求sin cos 2sin cos αααα+-的值.19. 已知向量(1,)m =a ，(2,)n =b ．（1）若3m =，1n =-，且()λ⊥+a a b ，求实数λ的值； （2）若1m =，且a 与b 的夹角为4π，求实数n 的值．20. 已知向量(sin ,cos )x x =a ，=b ． （1）若∥a b ，求tan x 的值；（2）设函数()f x =⋅a b ，将()f x 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），再将所有点向左平移ϕ个单位长度，()0πϕ<<，得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于y 轴对称，求ϕ的值；21. 如图，某生态农庄内有一块半径为150米，圆心角为π3的扇形空地，现准备对该空地进行开发，规划如下：在弧AB 上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点,M N 在OB 上，设BOP θ∠=. （1）试将,PN MN 分别用θ表示；（2）现计划将△PMN 开发为草莓种植基地，进行亲子采摘活动，预计每平方米获利7元，将△PMQ 开发为垂钓中心，预计每平方米获利5元，试问：当角θ为何值时，这两项的收益之和最大？并求出最大值.22. 设函数221()()f x x x k x x --=++-，k ∈R ． （1）若函数()f x 为偶函数，求k 的值；（2）若0k =，求证：函数()f x 在区间(1)+∞，上是单调增函数；（3）若函数()()g x f x =在区间1k ⎡⎤⎣⎦，上的最大值为2，求k 的取值范围．M参考答案15:B B A C B - 610:C A C D D - 1112:D B - 13. [)1,+∞， 14. 43， 15. 2425，16. 417.解：（1）当5a =时，集合{}|411A x x =≤≤ …………2分则{}|411U C A x x x =<>或； …………5分（2）当2a =时，{}|15A x x =≤≤， …………7分所以{|0A B x x ⋃=<或}1x ≥. …………10分18. 解：（1）()πtan tan π214tan 34π121tan tan 4ααα+++===---；…………6分（2）sin cos tan 112sin cos 2tan 1αααααα++==--； …………12分19. 解：（1）当3m =，1n =-时，(1,3)=a ，又(2,1)=-b ，所以(1,3)(2,1)(12,3)λλλλ+=+-=+-a b ， …………3分 若(λ⊥+)a a b ，则(0λ⋅+)=a a b ，即(12)3(3)0λλ++-=，解得10λ=． …………6分（2）因为(1,1)=a ，(2,)n =b ，所以2n ⋅+a b =，① …………8分又因为a 与b 的夹角为4π，所以cos 4⋅=πa b =a b …………10分由①②可得：2n +=解得：0n =. …………12分20. 解：（1）因为∥a bcos 0x x -=，解得tan x =…………4分 （2）()f x=πsin 2sin 3x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， …………6分则11π()sin 223g x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为()g x 图象关于y 轴对称，所以()g x 为偶函数 …………8分所以1πππ,232k k ϕ+=+∈Z ，解得π2π,3k k ϕ=+∈Z ，又因为0πϕ<<，所以π3ϕ=…………12分21. 解：（1）在Rt PON △中，sin PN OPθ=，所以150sin PN θ=， …………2分同理可得150cos ON θ=. 因为四边形PNMQ 为矩形，所以150sin MQ PN θ==，因为π3AOB ∠=，所以在Rt QOM △中，πtan 3MQOM θ==，所以150cos MN ON OM θθ=-=-. …………4分 综上：150sin PN θ=，150cos MN θθ=- …………5分（2）设草莓种植基地和垂钓中心的收益之和为y 元，则有57PMN PQM y S S ∆∆=+， …………6分 11=150sin 22PMN PQM S S PN MN θ∆∆=⋅=⨯()150cos θθ-，57PMN PQM y S S ∆∆=+=112150sin 2θ⨯⨯()150cos θθ- …………7分化简得：()π2250026y θ=⨯+-， …………9分又因为()π0,3θ∈，所以π6θ=时，收益最大，最大值为. …………11分答：当π6θ=时，收益最大，最大值为. …………12分22. 解：（1）因为函数()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=对任意的x ∈R 恒成立， 所以221()()()x x k x x ---+-+-+221()x x k x x --=++-．即1()0k x x --=对任意的x ∈R 恒成立，所以0k =． …………3分 （2）当0k =时，22()f x x x -=+．对任意的12(1)x x ∈+∞，，，且12x x <， ()2222121122()()f x f x x x x x ---=+-+()()2212221211x x x x=--()()()()121212121111x x x x x x x x =-+-+ …………5分因为121x x <<，所以1212121211010010x x x x x x x x +>->-<+>，，，， 所以12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数()f x 为(1)+∞，上的单调增函数． …………7分 （3）令1t x x -=-，x ∈1k ⎡⎤⎣⎦，．则1t x x -=-在区间1k ⎡⎤⎣⎦，上是增函数，故10t k k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，． 令2()2h t t kt =++，则当0t =时，(0)2h =． 由题意1k >，所以11k k ><-或． …………9分 ① 当1k >时，()h t 在10t k k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，故在10t k k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，上()2h t ≥，不符合题意．② 当1k <-时，令2()2t t kt ϕ=++，10t k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，，因为对称轴为2k t =-，所以(0)()k ϕϕ=-，而1k k k -+-＜，故()12g k k -+<，（i ）280k ∆=-≤，即1k -<-，在10t k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，上()2h t ≤恒成立，所以1k -<-≤符合题意．（ii ）280k ∆=->，即k <-()211022k k k k k--+--=>， 只需()22k ϕ--≤，即()222242k k --+≤，解得44k -≤≤，所以4k -<-≤．综上41k -<-≤． …………12分。