5数列(教师版)

第五讲：数列

1．已知等差数列中，

，则（ ）

A. B. C. D.

【答案】D 【

解

析

】

由题设及等差数列的通项公式可得

，则

，应选答案D 。

2．等差数列 {}n a 中， 67S S <， 78S S >，真命题有 ()（写出所有满足条件的序号）

①前七项递增，后面的项递减；② 96S S <；③ 1a 是最大项；④ 7S 是 n S 的最大项

A. ②④

B. ①②④

C. ②③④

D. ①②③④ 【答案】C

【解析】由题意可得a 7=S 7−S 6>0,a 8=S 8−S 7<0， ∴d =a 8−a 7<0{a n }单调递减,a 1最大,S 7最大， 故①错误，③④正确， ∵S 9−S 6=a 7+a 8+a 0=3a 8<0， ∴S 9

3．等差数列{}n a 中的32017,a a 分别是函数()3

2

641f x x x x =--＋的两个不同极值点,则110104

log a 为（ ）

A. -2

B. -12

C. 2

D. 12

【答案】B

【解析】()2

32017'3124,

,f x x x a a =-+ 是函数()32641f x x x x =-+- 的极值点， 32017,a a ∴ 是方程

231240x x -+= 的两个实数根，则320174a a += ，而{}n a 为等差数列， 3201710102a a a ∴+= ，即20102a = ，从

而1201014

4

1

log log 22

a ==-

，故选B. 4．已知数列{}n a ，若点(),n n a （*n N ∈）在经过点()10,6的定直线上，则数列{}n a 的前19项和19S 的值为（ ） A. 190 B. 114 C. 60 D. 120 【答案】B

【解析】∵点(),n n a (n ∈N ∗)在经过点(10,6)的定直线上， ∴a n −6=k (n −10),可得a 10=6,且数列{}n a 为等差数列。 则数列{}n a 的前19项和()

191019a1a19191142

S a +===.

故答案为：114.

5．已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若150S >， 160S <，则n S 最大值是 ( ) A. 1S B. 7S C. 8S D. 15S

【答案】C

【解析】由等差数列的前n 项和的公式可得： 1581689150,8()0S a S a a =>=+<故890,0a a ><则980d a a =-<，故在数列{}n a 中，当9n <时， 0n a >，当9,0n n a ≥<，所以8n =时， n S 达到最大值

点睛：本题考察等差数列的求和公式的性质，要求出前n 项和的最大值即要找出数列有多少项正数项即可 6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3613S S =，则612

S

S 的值为 ( ) A.

103 B. 310 C. 43 D. 3

4

【答案】B

【解析】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以36396129S S S S S S S ---、、、仍然成等差数列，又

361

3

S S =，

()6363333S S S S S S ⇒=⇒--=,()96633633S S S S S S S ⇒-=-+==,()12996334S S S S S S ⇒-=-+=,所以

()()1299612637S S S S S S S -+-=-=,

所以： 1263333=+7=3710S S S S S S +=,所以63123331010

S S S S == 点睛：通过等差数列和的性质可得36396129S S S S S S S ---、、、仍然成等差数列，此结论比较重要也是解题的关键.

7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中1551

2

a a S +=，且1120a =，则13S =（ ）

A. 130

B. 60

C. 160

D. 26 【答案】A

【解析】

()11111524510,10205,22

a d a d a d a d +=

++=∴=-= 因此()1315

1378135781302

S a d =+=⨯-+⨯= ,选A.

点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 8．已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，且125,,a a a 成等比数列，则8S =（ ） A. 36 B. 49 C. 64 D. 81 【答案】C

【解析】12522,6a a a a =-=+ , ()()2

2152226a a a a a ∴==-+ , 解得21887

3,1,82642

a a S ⨯===+

⨯= ，故选C.

9

的等比数列{}n a 中，若()142

sin 5

a a =，则()25cos a a 的值是( ) A. 75-

B. 1725

C. 75

D. 725

【答案】B

【解析】由等比数列的通项公式可知： 25a a =14a a （）q 2=214a a （），()25cos a a = ()2

214217

12sin 12525a a ⎛⎫-=-⨯= ⎪⎝⎭

故选B.

【思路点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：

①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素1a 和q ，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解． ②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解． ③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．

④化基本量求和．直接将基本量代入前n 项和公式求解或利用等比数列的性质求解． 10．等比数列{}n a 各项均为正数且568a a =,则2122210log log log a a a +++= ( )

A. 10

B. 12

C. 15

D. 24log 5+ 【答案】C 【解析

】

等比数列

{}

n a 各项均为正数，

561108...8a a a a ∴====，则

2122210log log ...log a a a ++=55212102562log (...)log ()log 815a a a a a ===

点睛：利用等比数列性质若m n p q +=+则m n p q a a a a =

11．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a 、3a 、4a 成等比数列，则6a 等于（ ） A. －2 B. －4 C. 2 D. 0 【答案】C

【解析】由题知2

314a a a =，即()()2

11123a d a a d +=+，又2d =，解得18a =-，则6158522a a d =+=-+⨯=．故

本题答案选C ．