配方法与换元法
8常用数学方法-配方法、待定系数法、换元法
第8讲 高考中常用数学的方法 ------配方法、待定系数法、换元法一、知识整合 配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法.配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决.待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数.换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化.二、例题解析例1．已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为( ).(A )32(B )14(C )5(D )6分析及解：设长方体三条棱长分别为x ,y ,z ,则依条件得：2(xy +yz +zx )=11,4(x +y +z )=24.而欲求的对角线长为222z y x ++,因此需将对称式222z y x ++写成基本对称式x +y +z 及xy +yz +zx 的组合形式,完成这种组合的常用手段是配方法.故)(2)(2222xz yz xy z y x z y x ++-++=++=62-11=25 ∴ 5222=++z y x ,应选C .例2．设F 1和F 2为双曲线1422=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90°,则ΔF 1PF 2的面积是( ).(A )1(B )25 (C )2 (D )5分析及解：欲求||||212121PF PF S F PF ⋅=∆ (1),而由已知能得到什么呢？由∠F 1PF 2=90°,得20||||2221=+PF PF(2),又根据双曲线的定义得|PF 1|-|PF 2|=4 (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即16||||2||||||||||212221221=⋅-+=-PF PF PF PF PF PF ,故2421)16|||(|21||||222121=⨯=-+=⋅PF PF PF PF ∴1||||212121=⋅=∆PF PF S F PF ,∴ 选(A ). 注：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化.例3．设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于x 轴,离心率为25,已知点P (0,5)到该双曲线上的点的最近距离是2,求双曲线方程.分析及解：由题意可设双曲线方程为12222=-bx a y ,∵25=e ,∴a =2b ,因此所求双曲线方程可写成：2224a x y =- (1),故只需求出a 可求解.设双曲线上点Q 的坐标为(x ,y ),则|PQ |=22)5(-+y x (2),∵点Q (x ,y )在双曲线上,∴(x ,y )满足(1)式,代入(2)得|PQ |=222)5(44-+-y a y (3),此时|PQ |2表示为变量y 的二次函数,利用配方法求出其最小值即可求解.由(3)式有45)4(45||222a y PQ -+-=(y ≥a 或y ≤-a ).二次曲线的对称轴为y =4,而函数的定义域y ≥a 或y ≤-a ,因此,需对a ≤4与a >4分类讨论.(1)当a ≤4时,如图(1)可知函数在y =4处取得最小值,∴令4452=-a ,得a 2=4 ∴所求双曲线方程为1422=-x y . (2)当a >4时,如图(2)可知函数在y =a 处取得最小值,∴令445)4(4522=-+-a a ,得a 2=49, ∴所求双曲线方程为14944922=-x y . 注：此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函数的最值问题,由于二次函数的定义域与参数a 有关,因此需对字母a 的取值分类讨论,从而得到两个解,同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题.例4．设f (x )是一次函数,且其在定义域内是增函数,又124)]([11-=--x x f f ,试求f (x )的表达式.分析及解：因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式.设一次函数y =f (x )=ax +b (a >0),可知 )(1)(1b x ax f -=-,∴124)(11])(1[1)]([2211-=+-=--=--x b ab ax a b b x a a x f f .比较系数可知： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+>=)2(12)(1)1()0(4122b ab a a a且解此方程组,得 21=a ,b =2,∴所求f (x )=221+x . 例5．如图,已知在矩形ABCD 中,C (4,4),点A 在曲线922=+y x (x >0,y >0)上移动,且AB ,BC 两边始终分别平行于x 轴,y 轴,求使矩形ABCD 的面积为最小时点A 的坐标.分析及解：设A (x ,y ),如图所示,则=ABCD S (4-x )(4-y ) (1)此时S 表示为变量x ,y 的函数,如何将S 表示为一个变量x (或y )的函数呢？有的同学想到由已知得x 2+y 2=9,如何利用此条件？是从等式中解出x (或y ),再代入(1)式,因为表达式有开方,显然此方法不好.如果我们将(1)式继续变形,会得到S =16-4(x +y )+xy (2) 这时我们可联想到x 2+y 2与x +y 、xy 间的关系,即(x +y )2=9+2xy .因此,只需设t =x +y ,则xy =292-t ,代入(2)式得S =16-4t +27)4(212922+-=-t t (3)S 表示为变量t 的二次函数, ∵0<x <3,0<y <3,∴3<t <23,∴当t =4时,S ABCD 的最小值为27. 此时⎪⎩⎪⎨⎧==+,27,4xy y x )222,222()222,222(-++-或的坐标为得A 注：换元前后新旧变量的取值范围是不同的,这样才能防止出现不必要的错误. 例6．设方程x 2+2kx +4=0的两实根为x 1,x 2,若212221)()(x xx x +≥3,求k 的取值范围.解：∵2]2)([2)()()(22122121221212221--+=-+=+x x x x x x x x x x x x ≥3, 以k x x 221-=+,421=x x 代入整理得(k 2-2)2≥5,又∵Δ=4k 2-16≥0,∴⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-045|2|22k k 解得k ∈(-52,+-∞)∪[52+,+∞].例7．点P (x ,y )在椭圆1422=+y x 上移动时,求函数u =x 2+2xy +4y 2+x +2y 的最大值.解：∵点P (x ,y )在椭圆1422=+y x 上移动, ∴可设⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x 于是 y x y xy x u 24222++++==θθθθθθsin 2cos 2sin 4cos sin 4cos 422++++ =]1sin cos )sin [(cos 22++++θθθθ令t =+θθsin cos , ∵)4sin(2cos sin πθθθ+=+,∴|t |≤2. 于是u =23)21(2)1(222++=++t t t ,(|t |≤2).当t =2,即1)4sin(=+πθ时,u 有最大值.∴θ=2k π+4π(k ∈Z )时,226max +=u . 例8．过坐标原点的直线l 与椭圆126)3(22=+-y x 相交于A ,B 两点,若以AB 为直径的圆恰好通过椭圆的左焦点F ,求直线l 的倾斜角.解：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)直线l 的方程为y =kx ,将它代入椭圆方程整理得 036)31(22=+-+x x k (*) 由韦达定理,221316k x x +=+(1),221313k x x +=(2) 又F (1,0)且AF ⊥BF ,∴1-=⋅BF AF k k , 即1112211-=-⋅-x yx y , 将11kx y =,22kx y =代入上式整理得 1)1(21212-+=⋅+x x x x k,将(1)式,(2)式代入,解得 312=k . 故直线l 的倾斜角为6π或65π. 注：本题设交点坐标为参数,“设而不求”,以这些参数为桥梁建立斜率为k 的方程求解.例9．设集合A ={R x a x x x ∈=+-+,024|1}(1)若A 中有且只有一个元素,求实数a 的取值集合B ；(2)当a ∈B 时,不等式x 2-5x -6<a (x -4)恒成立,求x 的取值范围.解：(1)令t =2x ,则t >0且方程0241=+-+a x x 化为t 2-2t +a =0 (*),A 中有且只有一个元素等价于方程(*)有且只有一个正根,再令f (t )=t 2-2t +a ,则Δ=0 或⎩⎨⎧≤>∆0)0(0f 即a =1或a ≤0,从而B =(-∞,0]∪{1}.(2)当a =1时,113-<x <3+11,当a ≤0,令g (a )=a (x -4)-(x 2-5x -6),则当a ≤0时不等式 )4(652-<+-x a x x 恒成立,即当a ≤0时,g (a )>0恒成立,故 x x g <-⇒⎩⎨⎧≤->1040)0(≤4. 综上讨论,x 的取值范围是(113-,4).。
中考数学专题复习1 配方法与换元法
考数学二轮专题复习之一：配方法与换元法
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．
所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
【范例讲析】：
例1： 填空题：
1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 。
2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是 。
3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。
例 2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为 。
例3.解方程：422740x x --=
【闯关夺冠】
1.已知13x x +=．则221x x
+的值为__________． 2．若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2 –2ab+b 2 –c 2的值 （ ）
A 大于零
B 等于零
C 小于零
D 不能确定
3已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－
b 1的值。
4. 解方程：211(
)65()11
x x +=--。
十大数学思想方法
十大数学思想方法数学（mathematics或maths，来自希腊语，“máthēma”；经常被缩写为“math”），是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。
下面请欣赏店铺为大家带来的十大数学思想方法，希望对大家有所帮助~1、配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c∈R，a≠0）根的判别式△=b2—4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程（组），解不等式，研究函数乃至解析几何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
因式分解(五)-添拆项-配方法,
因式分解—配方法、换元法、添拆项法【知识要点】1. 配方法：配成完全平方公式，平方差公式，立方和公式，立方差公式等；2. 换元法：将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母替代它，从而简化运算过程，分解后要注意将新字母还原；3. 添拆项法：将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个符号相反的项，使得便于用分组分解法进行分解因式。
【典型例题】配方法：例1． 若实数,,a b c 满足2226344210a b c ab bc c ++---+=，求,,a b c 的值。
例2．已知,,a b c 满足2221346a b c ab bc ++=+，求235532a b c a b c++++的值。
配方法练习：（1）、求证：无论x 、y 为何值，3530912422+++-y y x x 的值恒为正。
（2）已知19952=+y x ，53=+y x 时，求229123y xy x ++的值。
换元法：例1、22224()(2)12x xy y x xy y y ++++- 例2、 44(1)(3)272x x +++-例3、2(61)(21)(31)(1)x x x x x ----+ 例4、42242(1)(3)x x x x +-++-例5、22222()4()x xy y xy x y ++-+ 例6、2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++换元法练习： （把下列各式分解因式）1、 222(231)22331x x x x -+-+- 2、2200020063997*20011997*1999*2002*2003-+2（）（2000）添拆项法：把下列各式分解因式：例1.（1）3292624x x x +++ （2）32332a a a +++例2、 (1) 6424936x x x --+ (2) 32374a a +-例3、22223345a b c ab ac bc +++++添拆项法练习：（把下列各式因式分解）1、3221215a a a +-+2、343115x x -+3、444()x y x y +++4、()()a b c ab ac bc abc ++++-5、求多项式2059416178222+--+-=b a b ab a P 的最小值，并求P 最小时b a ,的值．【作业】1、分解因式 ：4322321x x x x ++++2、分解因式：33221a b ab a b -+++3、分解因式：326116x x x +++4、已知22524x y x y ++=+，求y x x y +的值。
函数值域的十五种求法
1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1. 求函数的值域。
解：∵∴显然函数的值域是：2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例2. 求函数的值域。
解：将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例3. 求函数的值域。
解：两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵∴∴代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例4. 求函数值域。
解：由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例5. 求函数的值域。
解：由原函数式可得：，可化为：即∵∴即解得：故函数的值域为6. 函数单调性法例6. 求函数的值域。
解：令则在[2，10]上都是增函数所以在[2，10]上是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为：例7. 求函数的值域。
解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然y>0，故原函数的值域为7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作例8. 求函数的值域。
配方法与换元法
配方法与换元法
以下是查字典数学网为您推荐的配方法与换元法，希望本篇文章对您学习有所帮助。
配方法与换元法
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法.
所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
【范例讲析】：
例1：填空题：
1).将二次三项式x2+2x-2进行配方，其结果为。
2).方程x2+y2+4x-2y+5=0的解是。
3).已知M=x2-8x+22，N=-x2+6x-3，则M、N的大小关系为。
例2.已知△ABC的三边分别为a、b、c，且
a2+b2+c2=ab+bc+ac，则△ABC的形状为。
例3.解方程：
【闯关夺冠】
1.已知 .则的值为__________.
2.若a、b、c是三角形的三边长，则代数式a2 2ab+b2 c2
的值 ( )
A 大于零
B 等于零
C 小于零
D 不能确定
3已知：a、b为实数，且a2+4b2-2a+4b+2=0，求4a2- 的值。
4. 解方程： 77
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数学因式分解的方法
数学因式分解的方法数学因式分解的方法要想能在综合性较强的几何题目中能灵活应用，就必须要熟记啦。
因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
店铺为大家整理了数学公式：因式分解的方法，希望能够对大家有所帮助！一、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。
注意:换元后勿忘还元.【例】在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x^2+x+5)(x^2+x-2)=(x^2+x+5)(x+2)(x-1).二、运用公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。
① 平方差公式：a-b=(a+b)(a-b);② 完全平方公式：a±2ab+b=(a±b) ;注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
③ 立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a-ab+b);④ 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a+ab+b);⑤ 完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.【例】a+4ab+4b =(a+2b)三、分组分解法把一个多项式适当分组后，再进行分解因式的方法叫做分组分解法。
用分组分解法时，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此选择合理选择分组的方法，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。
【例】m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n = (m-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n).四、拆项、补项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。
常用的数学思想方法有哪些
常用的数学思想方法有哪些数学思想较之于数学基础知识及常用数学方法又处于更高层次，它来源于数学基础知识及常用的数学方法, 在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的地位。
<一>常用的数学方法：配方法，换元法，消元法，待定系数法；<二>常用的数学思想：数形结合思想，方程与函数思想，分类讨论思想和化归与转化思想等。
<三>数学思想方法主要来源于：观察与实验，概括与抽象，类比，归纳和演绎等一、常用的数学思想（数学中的四大思想）1.函数与方程的思想用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想。
函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法。
深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础。
运用方程思想解题可归纳为三个步骤：①将所面临的问题转化为方程问题；②解这个方程或讨论这个方程，得出相关的结论；③将所得出的结论再返回到原问题中去。
2．数形结合思想在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。
3．分类讨论思想在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异。
分各种不同情况予以考察，这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略 。
引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论。
分类讨论的解题步骤一般是：（1）确定讨论的对象以及被讨论对象的全体；（2）合理分类，统一标准，做到既无遗漏又无重复 ；（3）逐步讨论，分级进行；（4）归纳总结作出整个题目的结论。
4.等价转化思想等价转化是指同一命题的等价形式.可以通过变量问题的条件和结论，或通过适当的代换转化问题的形式，或利用互为逆否命题的等价关系来实现。
因式分解常用的六种方法详解
因式分解常用的六种方法详解因式分解常用的六种方法详解因式分解是代数式变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学中，并成为解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
本文将介绍因式分解的方法、技巧和应用。
1.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；2) $a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$；3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；4) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。
下面再补充几个常用的公式：5) $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$；6) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$；7) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为正整数；8) $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…+ab^{n-2}-b^{n-1})$，其中$n$为偶数；9) $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…-ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为奇数。
在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。
例如，分解因式：1) $-2x^{5n-1}y^n+4x^{3n-1}y^n+2-2x^{n-1}y^n+4$原式=$-2x^{n-1}y^n(x^{4n-2}-2x^{2n}y^2+y^4)$2x^{n-1}y^n[(x^{2n})^2-2x^{2n}y^2+(y^2)^2]$2x^{n-1}y^n(x^{2n}-y^2)^2$2x^{n-1}y^n(x^n-y)^2(x^n+y)^2$。
初一数学常用的解题方法汇编
初一数学常用的解题方法汇编各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
它是中学数学中常用的方法之一。
6、构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。
大学数学解题方法及步骤
大学数学解题方法及步骤一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成"完全平方")的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用"裂项"与"添项"、"配"与"凑"的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为"凑配法"。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
三、待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
因式分解法的四种方法
因式分解法的四种方法因式分解是代数学中的一个重要概念，它在解决多项式的因式分解、求根和化简等问题中起着至关重要的作用。
因式分解法有多种方法，本文将介绍其中的四种常用方法，提公因式法、分组分解法、配方法和换元法。
首先，提公因式法是一种常用的因式分解方法。
当多项式中的各项有一个公因式时，可以利用提公因式法进行因式分解。
例如，对于多项式$2x^2+6x$，可以提取公因式2x，得到$2x(x+3)$，从而完成因式分解。
其次，分组分解法是另一种常见的因式分解方法。
当多项式中的项可以分成两组，每组分别提取一个公因式时，可以利用分组分解法进行因式分解。
例如，对于多项式$xy+2x+y+2$，可以将其分成两组$x(y+2)$和$1(y+2)$，然后提取公因式得到$(x+1)(y+2)$，完成因式分解。
除了提公因式法和分组分解法，配方法也是一种常用的因式分解方法。
当多项式可以通过配方法化简成完全平方时，可以利用配方法进行因式分解。
例如，对于多项式$x^2+6x+9$，可以通过配方法化简成$(x+3)^2$，完成因式分解。
最后，换元法是一种较为灵活的因式分解方法。
当多项式中存在较为复杂的因式时，可以通过适当的换元变换，将多项式化简成较为简单的形式，然后进行因式分解。
例如，对于多项式$x^3+8$，可以通过换元$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$，完成因式分解。
综上所述，提公因式法、分组分解法、配方法和换元法是常用的因式分解方法。
在解决多项式的因式分解问题时，可以根据具体情况选择合适的方法进行处理，以便更加高效地完成因式分解。
希望本文介绍的四种方法能够帮助读者更好地理解和掌握因式分解的技巧，提高代数学习的效率和水平。
求值域的方法
求值域的方法如何求函数的值域一、配方法将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。
二、常数分离这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。
三、逆求法对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。
四、换元法对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解。
五、单调性可先求出函数的单调性(注意先求定义域)，根据单调性在定义域上求出函数的值域。
六、基本不等式根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。
七、数形结合可根据函数给出的式子，画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域。
八、求导法求出函数的导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值，就可得到值域了。
函数的值域是什么函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。
f：A→B中，值域是集合B的子集。
如：f(x)=x，那么f(x)的取值范围就是函数f(x)的值域。
常见函数值域：y=kx+b （k≠0）的值域为Ry=k/x 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)y=√x的值域为x≥0y=ax^2+bx+c 当a>0时，值域为 [4ac-b^2/4a,+∞) ；当a<0时，值域为（-∞，4ac-b^2/4a]y=a^x 的值域为 (0,+∞)y=lgx的值域为R。
求函数值域的四种方法
求函数值域的四种方法一、观察法。
1.1 这种方法就像是我们用眼睛去打量一个人，直观又简单。
对于一些简单的函数，我们可以直接通过观察函数的性质来确定值域。
比如说一次函数y = 2x + 1，x 可以取任意实数，那随着x的变化，y也会相应地在实数范围内变化，所以这个一次函数的值域就是全体实数。
这就好比我们看一个一目了然的事情，不用费太多周折。
1.2 再看函数y = x²，因为任何实数的平方都大于等于0，所以这个函数的值域就是[0，+∞)。
这就像我们知道太阳总是从东边升起一样确定，一眼就能看出来这个函数值的范围。
二、配方法。
2.1 配方法就像是给函数做个“美容整形”。
拿二次函数y = x² 2x + 3来说，我们可以把它配方成y = (x 1)²+ 2。
因为(x 1)²大于等于0，所以y就大于等于2。
这就好比我们把一个有点杂乱的东西整理得井井有条，然后就能清楚地看到它的价值范围了。
2.2 还有函数y = -x²+ 4x 1，配方后得到y = -(x 2)²+ 3。
由于-(x 2)²小于等于0，所以这个函数的值域就是(-∞，3]。
这就像我们把一个原本模糊不清的东西，通过自己的巧手整理，让它的界限清晰起来。
2.3 配方法就像是一个神奇的魔法，能把复杂的二次函数变得简单易懂，让我们轻松地找出值域这个“宝藏”。
三、换元法。
3.1 换元法有点像“偷梁换柱”。
例如函数y = 2x + √(x 1)，我们可以设t = √(x 1)（t≥0），那么x = t²+ 1。
这样原函数就变成了y = 2(t²+ 1)+ t = 2t²+ t + 2。
这就把原来带根号的复杂函数转化成了一个二次函数，然后我们就可以用配方法或者观察法来求值域了。
这就像我们在一个迷宫里，找到了一条新的通道，一下子豁然开朗。
3.2 再比如函数y = x + √(1 x²)，我们设x = sinθ（-π/2≤θ≤π/2），那么原函数就变成了y = sinθ+ cosθ。
「1配方法与换元法」
「1配方法与换元法」1、1配方法在微积分中，常常需要对一些复杂的函数进行积分运算。
然而，对于一些函数来说，直接对其进行积分是非常困难的。
这时，我们可以使用1配方法来简化积分运算，使其更易处理。
1配方法是利用恒等式1=1来配方的一种方法。
具体步骤如下：（1）将被积函数中的二次项进行配方，使其变为完全平方形式。
如果被积函数中不含二次项，则直接进行下一步。
（2）利用1=1对配方后的二次项进行替换，使其化简为一个更简单的式子。
（3）根据配方后的结果，对原函数进行拆分，将其化为两个可以处理的函数之和。
（4）对两个分解后的函数进行单独的积分运算。
（5）将单独积分的结果相加，得到最终的积分结果。
例如，考虑如下的被积函数：∫(x^2 + 2x + 1)/(x^2 + 3x + 2) dx首先，对分子进行配方，得到：∫[(x+1)^2/(x^2 + 3x + 2)] dx然后，根据1=1，对配方后的式子进行替换：∫[(x+1)^2/(x^2 + 3x + 2)] * (1/1) dx进一步化简得：∫[(x+1)^2/(x+1)(x+2)] dx将分数进行拆分：∫[(x+1)/(x+2)] + ∫[1/(x+2)] dx然后，对拆分后的两个函数分别进行积分：∫[(x+1)/(x+2)] dx = ln，x+2， + C1 其中，C1为常数∫[1/(x+2)] dx = ln，x+2， + C2 其中，C2为常数将两个积分结果相加，得到最终的积分结果：∫(x^2 + 2x + 1)/(x^2 + 3x + 2) dx = ln，x+2， + C3 其中，C3为常数通过1配方法，我们成功地将原函数进行了简化，使得积分运算变得更加容易进行。
2、换元法换元法是微积分中常用的一种积分方法，通过变量替换的方式，将复杂的函数转换成简单的形式，从而使积分运算更加容易处理。
换元法的基本思想是，通过引入新的变量，使得被积函数具有更简单的形式。
因式分解方法
因式分解方法因式分解是代数学中的一个重要概念，它在解决多项式的因式和根的问题中起着至关重要的作用。
因式分解方法有多种，包括提公因式法、分组分解法、配方法、换元法等。
本文将介绍其中几种常见的因式分解方法，并通过实例进行详细说明。
首先，我们来介绍提公因式法。
提公因式法是指先找出多项式中的公因式，然后进行因式分解的方法。
例如，对于多项式3x+6y，我们可以先提出公因式3，得到3(x+2y)，然后再进行进一步的因式分解。
这种方法适用于多项式中存在公因式的情况，可以大大简化因式分解的过程。
其次，我们来介绍分组分解法。
分组分解法适用于四项式的因式分解，其基本思想是将四项式中的项进行分组，然后利用因式分解的方法进行简化。
例如，对于四项式x^2+2xy+2x+4y，我们可以将其分为两组，得到x(x+2y)+2(x+2y)，然后再提取公因式(x+2y)，得到(x+2y)(x+2)。
通过这种方法，我们可以较为快速地进行因式分解，尤其适用于较为复杂的四项式。
另外，配方法也是一种常见的因式分解方法。
配方法适用于一些特殊的多项式，其基本思想是通过配方来将多项式进行因式分解。
例如，对于多项式x^2+6x+9，我们可以通过配方得到(x+3)^2，进而进行因式分解。
这种方法在解决一些特殊形式的多项式时非常有效，可以大大简化因式分解的过程。
最后，我们来介绍换元法。
换元法是指通过变量替换的方法来进行因式分解。
例如，对于多项式x^3+8，我们可以将其看作是一个立方和的形式，然后通过换元法将其进行因式分解。
这种方法在解决一些特殊形式的多项式时非常有效，可以将复杂的多项式简化为易于处理的形式。
综上所述，因式分解是代数学中的一个重要概念，其方法多种多样。
提公因式法、分组分解法、配方法、换元法等都是常见的因式分解方法，它们在解决多项式的因式和根的问题中起着至关重要的作用。
通过掌握这些方法，并进行大量的练习，我们可以更加熟练地进行因式分解，从而更好地解决代数问题。
求值域的方法
函数值域的求解函数值域的求法主要有以下10种方法：（1）观察法：根据各种非负数的特点及函数的图像、性质、简单的计算、推理，评观察能直接得到一些简单的复合函数的值域.（2）配方法：对于形如()20y ax bx c a=++≠的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义域求出函数的值域.（3）几何法：根据所给数学式子的特征，构造合适的集合模型.（4）均值不等式法.（5）换元法：分为三角换元法与整体换元法，对于形如y ax b=++问题可通过换元将原问题转化为二次型.（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化而便于分析.（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的一元二次方程，利用一元二次方程的跟的判别式求值域.一般地，形如y Ax=+22ax bx cydx ex f++=++的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围须为实数集R）.（8）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如y=y ax b=+0ac>时可利用单调性法.（9）有界限法：利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y的表达式的过程，故我们又常称此种方法为“反解有界性法”. （10）导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域.一、观察法函数值的集合叫做函数的值域，根据定义，由函数的映射法则和定义域，直接求出函数的值域。
例题1 已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。
解：因为{}2,1,0,1-∈x ，而()()331==-f f ，()()020==f f ，()11-=f 所以：{}3,0,1-∈y ，注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该例的定义域为R x ∈，则函数的值域为{}1|-≥y y 。
请体会两者的区别。
例题2求函数1y =的值域.解析：0≥，所以函数的值域为[)1,+∞.变式1 函数()221x y x R x =∈+的值域是________.二、配方法对解析式配方，然后求函数的值域。
因式分解的12种方法的详细解析
因式分解的12种方法的详细解析因式分解是将一个多项式写成几个较简单的乘积的形式。
在数学中，因式分解是一项重要的基础技能，常用于求解方程、化简表达式和研究多项式的性质等方面。
以下是因式分解的12种常见方法的详细解析。
1.提取公因式法：当多项式的各项中存在公共因子时，可以提取出这个公因式，例如，对于多项式2x+6，可以提取出公因式2，得到2(x+3)。
这种方法常用于求解关系式和化简分式等问题。
2.公式法：利用一些常用的公式进行因式分解。
例如，二次平方差公式(x^2-y^2)=(x+y)(x-y)，互补公式a^2-b^2=(a+b)(a-b)等。
这种方法常用于解决关于二次方程、三角函数等问题。
3.配方法：对于二次型的多项式，可以利用配方法进行因式分解。
例如，对于多项式x^2+3x+2，可以进行配方法得到(x+1)(x+2)。
这种方法需要将多项式转化为二次型形式，然后利用配方法进行分解。
4.求因子法：当多项式为多个因子的乘积时，可以用求因子的方法进行因式分解。
例如，对于多项式x^3-8，可以将8进行因式分解为2^3，然后利用立方差公式进行因式分解，即x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)。
5.幂的分解法：当多项式中有幂函数时，可以利用幂的分解法进行因式分解。
例如，对于多项式x^3-y^3，可以利用立方差公式进行因式分解，即x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)。
6.多项式整除法：当多项式可以被另一个多项式整除时，可以利用多项式整除法进行因式分解。
例如，对于多项式x^3-1，可以利用x-1整除得到(x-1)(x^2+x+1)。
7.韦达定理：韦达定理是将多项式表示为二次型的形式，然后利用二次型进行因式分解。
例如，对于多项式x^3+y^3+z^3-3xyz，可以将其表示为(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)。
8.根的关系法：利用多项式的根的关系进行因式分解。
例如，对于一元二次多项式ax^2+bx+c，可以利用二次方程求根公式进行因式分解，即ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为多项式的根。
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中考数学复习专题：配方法与换元法一、配方法与换元法的特点：把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．配方法与换元法是初中数学中的重要方法，近几年的中考题中常常涉及。
有时题中指定用配方法或换元法求解，而更多的则是隐含在题目当中，在分析题意的基础上，由考生自己确定选用配方法或换元法，把代数式配成完全平方式的形式，利用完全平方式的特性去求解，以达到快速解题的目的，这是种快捷也是很有效的方法，在初中代数中，占有很重要的地位和份量。
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
二、配方法与换元法的方法：配方法与换元法主要依据完全平方公式，由公式a 2±2ab+b 2=(a±b)2可知，如果一个多项式能够表达成“两个数的平方和，加上或减去这两个数的积的2倍，则这个多项式就可以写成这两个数的和或差的平方。
”由完全平方式的性质可知，任何一个实数的平方都是非负数，即(a-b)2≥0，当a=b 时，(a-b)2=0。
利用这条性质，并可以解决很多与之有联系的数学问题。
配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．而配方法一般有两种形式，一是根据第一项和第二项的系数特点，确定第三项系数或常数项。
如二次三项式4 x 2+6x+k 是完全平方式，试确定k 值。
这一类的问题只有一解。
而更多的是由第一项和第三项的系数特点，确定第二项的系数。
如二次三项式4x 2+kxy+25 y 2是完全平方式，试确定k 值。
这一类问题一定要考虑正、负值两种情况，结果应为两解才为正确，这一点为不少考生所忽视，一定要考虑周到方可取得好成绩。
三、例题精讲： 热身： 填空题：1．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 。
2．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是 。
3．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。
4．用配方法把二次函数y=2x 2+3x+1写成y=a(x+m)2+k 的形式 。
5．设方程x 2+2x －1=0的两实根为x 1，x 2，则（x 1－x 2）2= 。
6．已知方程x 2－kx+k=0的两根平方和为3，则k 的值为 。
7．若x 、y 为实数，且11),32(332+-+-=-+x y x y x 则的值等于 。
【例1】 分解因式：（1）a 2b 2-a 2+4ab-b 2+1 ；（2）（x 2+2x ＋4）（x 2+2x+6）-8【例2】已知a ，b ∈R ，则不等式①a 2+3>2a ，②a 2+b 2≥2(a －b －1)，③a 2+b 2>a b 中一定成立的有_______．【例3】已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b 1的值。
【例4】求证：不论m 、n 为任何实数，关于x 的一元二次方程mx 2＋(m ＋2n)x+2n=0总有两个实数根。
【例5】（技巧题）甲、乙两人同时从A 到B ，甲前一半路程用速度a ，后一半路程用速度b ；乙前一半时间用速度a ，后一半时间用速度b ，问哪个先到？【例6】⑴已知M 为△ABC 的边AB 上的点，且AM 2+BM 2+CM 2=2AM+2BM+2CM －3，则AC 2+BC 2= 。
⑵已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为 。
【例7】、解方程：126222=+-+xx x x【例8】已知：△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程23)32(22=++++-k kx k x 的两个实数根，第三边BC 的长为5．（1）k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形？ （2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？并求△ABC 的周长．【例9】已知二次函数y = ( k －1)x 2－2kx +k +2，（1）当k 为何值时，图象的顶点在坐标轴上？（2）当k 为何值时，图象与x 轴的两交点间的距离为2 ？【例10】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高出售价格，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价一元，其销售量将减少10件，问他将出售价定为多少元时，才能使每天所获利润最大?并且求出最大利润是多少?四、闯关夺冠：1．已知x 2+y 2+4x －2y+5=0，则3x-2y -2的值是 。
2．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。
3、已知13x x +=．则221x x +的值为__________．4、把代数式a 2+16加上一个单项式，使它能成为一个完全平方式，则所有符合条件的单项式是__________．5．用配方法把二次函数y=2x 2+3x+1写成y=a(x+m)2+k 的形式 。
6．设方程x 2+2x －1=0的两实根为x 1，x 2，则（x 1－x 2）2= 。
7．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 最小值为 8、（08上海中考）用换元法解分式方程2x-1/x-x/2x-1=2时，如果设2x-1/x=y ，并将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个方程为_____________。
9．已知方程x 2－kx+k=0的两根平方和为3，则k 的值为 。
10．代数式a 2+5b 2-4ab+2b+100的最小值为——————————。
11．若x 、y 为实数，且11),32(332+-+-=-+x y x y x 则的值等于 。
12、13、如果a 、b 、c 为互不相等的实数，且满足关系式14162222++=+a a c b 与542--=a a bc ，那么a 的取值范围范围是 ．13、不论m 、n 为何值，代数式m 2+n 2-2m+4n+5的值总是 （ ）A 非负数B 正数C 负数D 014、已知关于x 的方程022222=+-+-a a ax x 的两个实数根满足2221x x +=2，则a 的值为 （ ）A ．－3B .－3，1 C.3，－1 D.1 15、已知一个四边形ABCD 的边长分别为a 、b 、c 、d ，其中a 、c 为对边，且a 2+b 2+c 2+d 2=2ac+2bd ，则四边形是 （ ）A 任意四边形；B 梯形；C 平行四边形；D 对角线互相垂直的四边形；16、对于分式1/x 2-2x+m ，不论x 取何实数都有意义，则m 的取值范围为 （ ）A m≥1，B m≤1，C m ＞1，D m ＜117、若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2 –2ab+b 2 –c 2的值 （ ）A 大于零B 等于零C 小于零D 不能确定18、若2x2－kx+9是一个完全平方式，求k的值.19、已知：菱形的两条对角线长之和为2 ，菱形的面积为2 ，求菱形的周长。
20、解方程：（1）2x2-6x+3=0(配方法) （2）4x1xx1x22=-+-+21、已知抛物线经过点A（2，4）和点B（－1，－8），且在x轴上截得的线段长为3，求抛物线的解析式。
22、已知a=2008x+2004，b=2008x+2006，c=2008x+2008，求代数式a2+b2+c2-ac-bc-ca的值。
23、试判断2005×2006×2007×2008+1是否是一个完全平方数。
24、已知：△ABC的三这分别为a、b、c，且满足等式3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2，试说明该三角形是等边三角形。
25、已知x1、x2是关于x的方程x2-6x+k=0的两个实数根，且x12x22-x1-x2=115，（1）求k的值；（2）求x12+x22+8的值.26、已知抛物线y=(1－m)x2+4x－3开口向下，与x轴交于A(x1,0)和B(x2,0)两点，其中xl<x2．(1)求m的取值范围；(2)若x12+ x22=10，求抛物线的解析式；(3)设(2)中的抛物线与y轴于点C,在y轴上是否存在点P，使以P、0、B为顶点的三角形与△AOC相似?若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．27、观察下列各式的特点，并回答下列问题：（1）用＞、=、＜填空： 32+42————2×3×4，（-1）2+82————2×（-1）×8，（-3）2+（-5）2—————2×（-3）×（-5），（-6）2+（-6）2——————2×（-6）×（-6）（2）若a、b为实数，则a2+b2、2ab的大小关系为a2+b2_______2ab，并证明其正确性。
28、已知二次函数图象经过A（-1， 3）．对称轴为x=1，抛物线与x轴两交点距离为4，求这个二次函数的解析式？29．关于x的一元二次方程x2+(k+1)x－k－3=0(1)求证：该方程一定有两个不相等的实数根；(2)若该方程的一根为2，求另一根的值．30、(06南通中考)已知A=a+2，B=a2－2a+5，C=a2+5a－19，其中a>0．(1)求证：B－A>0，并指出A与B的大小关系；(2)指出A与C哪个大，并说明理由．31、已知抛物线经过点A（2，4）和点B（－1，－8），且在x轴上截得的线段长为3，求抛物线的解析式。