人教版高中数学必修二期末考试模拟试卷
人教版高中数学必修二期末考试试题
人教版高中数学必修二期末考试试题一、选择题1. 若函数 $f(x)=x^3-3x^2+bx+c$ 的图像过点 $(1,5)$，则$b=$（）A．$-1$ B．$-2$ C．$-3$ D．$-4$2. 函数 $y=\frac{x+1}{x-1}$ 的图象关于直线 $y=-x$ 对称。
3. 从集合 $\{1,2,3,4,5,6\}$ 中取两个不同的元素组成一个二元组，则其中不含 $3$ 的二元组的数目为（）。
A．$20$ B．$10$ C．$15$ D．$18$4. 已知集合$A=\{x\mid 2x-1\in \mathbb{N}\}$，则$A=$（）。
A．$\bigl\{\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2},\cdots\bigr\}$ B ．$\bigl\{\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2},\cdots,b\bigr\}$C．$\bigl\{1,2,3,\cdots\bigr\}$ D．$\bigl\{\cdots,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2},\cdots\bigr\}$5. 如图所示，大三角形的三个点坐标分别为 $A(-2,0)$，$B(0,2)$，$C(2,-4)$，以 $C$ 为顶点小三角形顶点的坐标为（）。
A．$(-\frac{7}{5},-\frac{14}{5})$ B．$(\frac{7}{5},\frac{6}{5})$C．$(\frac{2}{5},-\frac{18}{5})$ D．$(\frac{6}{5},-\frac{4}{5})$二、填空题6. 下列各组数中互为相反数的是（）。
$${1\over3},-{1\over3};\qquad {\sqrt{10}},-\sqrt{10};\qquad -3,3\sqrt{2}$$7. 容量为 $500 \rm mL$ 的杯中盛满水，再加进糖水搅拌，这时每 $100 \rm mL$ 的液体中含糖 $10\%$。
新高中必修二数学下期末模拟试题附答案
新高中必修二数学下期末模拟试题附答案一、选择题1．ABC 中，已知sin cos cos a b cA B C==，则ABC 为（ ） A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形 2．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．1B ．4C ．1或4D ．2或43．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,54．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A ．53B ．103C ．56D ．1165．(2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛6．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x （cm ）174176176176178儿子身高y （cm ）175175176177177则y 对x 的线性回归方程为 A ．y = x-1B ．y = x+1C ．y =88+12x D ．y = 1767．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A ．12尺 B ．815尺 C ．1629尺 D ．1631尺 8．已知函数()y f x =为R 上的偶函数，当0x ≥时，函数()()210216()122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[]()2()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．51,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．1111,,2448⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,28⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 9．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )A．2π B ．C ．D ．3π 10．与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22112x y -++=D ．()()22114x y +++=11．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12-B ．10-C ．10D ．1212．如图，在△ABC 中, 13AN NC =,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为( )A ．B ．C ．19D ．二、填空题13．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a ⋅=，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式12019113n T ->成立的最大正整数n 的值是_______． 14．已知数列{}n a 满足1121,2n n a a a n +==+，则na n的最小值为_______. 15．若x ，y 满足约束条件10,{30,30,x y x y x -+≥+-≥-≤则z=x−2y 的最小值为__________.16．关于函数()sin sin f x x x =+有如下四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；③()f x 最大值为2；④()f x 在[],ππ-上有四个零点，其中正确命题的序号是_______．17．已知四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则①棱AB 与PD 所在直线垂直；②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△PAB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号) 18．在ABC ∆中，120B =，1BC =，且ABC ∆的面积为3，则AC =__________． 19．设,x y 满足约束条件210,{0,0,0,x y x y x y --≤-≥≥≥若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为1,则14a b+的最小值为_________．20．已知复数z x yi =+，且23z -=，则yx的最大值为__________． 三、解答题21．某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,n 表示购机的同时购买的易损零件数. （Ⅰ）若n =19,求y 与x 的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5,求n 的最小值； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？22．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，且2AE EB =，M 是线段CE 上一动点. （1）若M 是线段CE 的中点，AM mAB nAD =+，求m n +的值； （2）若9,43AB CA CE =⋅=，求()2MA MB MC +⋅的最小值.23．记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值及对应n 的大小.24．已知向量(3,2)a =-，(2,1)=b ，(3,1)c =-，,m t ∈R . （1）求||a tb +的最小值及相应的t 的值； （2）若a mb -与c 共线，求实数m .25．已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .26．已知ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若()20a c cosB bcosC --=. (1)求角B 的大小；(2)若2b =，求a c +的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为sin cos cos a b c A B C==，所以sin sin sin sin cos cos 4A B C B C A B C π==∴== , 即ABC 为等腰直角三角形.故选：B .2．C解析：C 【解析】设扇形的半径为r ，弧长为 l ，则121282l r S lr +===，， ∴解得28r l ==， 或44r l ==，41lrα==或， 故选C ．3．C【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C4．A解析：A 【解析】 【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，可得345127()a a a a a ++=+，5100S =，求出3a ，根据等差数列的通项公式，得到关于d 关系式，即可求出结论.【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ， 依题意可得，15535()51002a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.5．B解析：B 【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，所以163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式6．C解析：C 【解析】 【分析】试题分析：由已知可得176,176x y ==∴中心点为()176,176， 代入回归方程验证可知，只有方程y =88+12x 成立，故选C 7．C解析：C 【解析】试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为，,求公差，，解得：尺，故选C.考点：等差数列8．B解析：B 【解析】 【分析】作出函数()y f x =的图像，设()f x t =，从而可化条件为方程20t at b ++=有两个根，利用数形结合可得114t =，2104t <<，根据韦达定理即可求出实数a 的取值范围. 【详解】由题意，作出函数()y f x =的图像如下，由图像可得，10()(2)4f x f ≤≤=关于x 的方程[]()2()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根， 设()f x t =，20t at b ∴++=有两个根，不妨设为12,t t ；且114t =，2104t << 又12a t t -=+11,24a ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围，考查学生运用数形结合思想解决问题的能力，属于中档题.9．A解析：A 【解析】 【分析】由题意设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2，构造直角三角形A 2BM ，解直角三角形求出BM ，利用勾股定理求出A 2M ，从而求解． 【详解】设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角， 在△A 2BM 中，22252()2a A B a BM a ==+=，，222313()2a A M a =+=，222222,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=， ． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．10．C解析：C 【解析】圆22220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-2，过圆心()1,1-与直线40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上，又圆心()1,1-到直线40x y --=322=2，设所求圆的圆心为(),a b ，且圆心在直线40x y --=422a b --=0a b +=，解得1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为()()22112x y -++=.故选C ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．11．B解析：B 【解析】分析：首先设出等差数列{}n a 的公差为d ，利用等差数列的求和公式，得到公差d 所满足的等量关系式，从而求得结果3d =-，之后应用等差数列的通项公式求得51421210a a d =+=-=-，从而求得正确结果.详解：设该等差数列的公差为d ， 根据题中的条件可得32433(32)224222d d d ⨯⨯⨯+⋅=⨯++⨯+⋅， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差d 的值，之后利用等差数列的通项公式得到5a 与1a d 和的关系，从而求得结果.12．C解析：C 【解析】 【分析】先根据共线关系用基底AB AC→→，表示AP→，再根据平面向量基本定理得方程组解得实数m的值. 【详解】如下图，∵,,B P N 三点共线，∴，∴，即,∴①,又∵13AN NC =，∴，∴28=99AP m AB AC m AB AC →→→→→=++②，对比①，②，由平面向量基本定理可得：．【点睛】本题考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.二、填空题13．6【解析】【分析】设等比数列{an}的公比q 由于是正项的递增等比数列可得q ＞1由a1+a5=82a2•a4=81=a1a5∴a1a5是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根解得a1a5利用通解析：6 【解析】 【分析】设等比数列{a n }的公比q ，由于是正项的递增等比数列，可得q ＞1．由a 1+a 5=82，a 2•a 4=81=a 1a 5，∴a 1，a 5，是一元二次方程x 2﹣82x+81=0的两个实数根，解得a 1，a 5，利用通项公式可得q ，a n ．利用等比数列的求和公式可得数列{2na }的前n 项和为T n ．代入不等式2019|13T n ﹣1|＞1，化简即可得出． 【详解】数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，a 2•a 4=81=a 1a 5， 即15158281a a a a +=⎧⎨⋅=⎩解得15181a a =⎧⎨=⎩，则公比3q =，∴13n n a -=，则2122221333n n T -=++++ 11132311313n n -⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭-， ∴12019113n T ->，即1201913n ⨯>，得32019n <，此时正整数n 的最大值为6. 故答案为6. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．【解析】【分析】根据递推公式和累加法可求得数列的通项公式代入中由数列中的性质结合数列的单调性即可求得最小值【详解】因为所以从而…累加可得而所以则因为在递减在递增当时当时所以时取得最小值最小值为故答案解析：415. 【解析】 【分析】根据递推公式和累加法可求得数列{}n a 的通项公式.代入na n中,由数列中*n N ∈的性质,结合数列的单调性即可求得最小值. 【详解】因为12n n a a n +=+,所以12n n a a n +-=, 从而12(1)(2)n n a a n n --=-≥ …,3222a a -=⨯ 2121a a -=⨯,累加可得12[12(1)]n a a n -=⨯++⋅⋅⋅+-,2(1)22n nn n -=⨯=- 而121,a =所以221n a n n =-+,则221211n a n n n n n n-+==+-, 因为21()1f n n n=+-在(0,4]递减,在[5,)+∞递增 当4n =时,338.254n a n ==, 当5n =时,418.25n a n ==, 所以5n =时n a n 取得最小值,最小值为415. 故答案为:415【点睛】本题考查了利用递推公式及累加法求数列通项公式的方法,数列单调性及自变量取值的特征,属于中档题.15．【解析】【分析】【详解】试题分析：由得记为点；由得记为点；由得记为点分别将ABC 的坐标代入得所以的最小值为【考点】简单的线性规划【名师点睛】利用线性规划求最值一般用图解法求解其步骤是：（1）在平面直 解析：5-【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：由10{30x y x y -+=+-=得12x y =⎧⎨=⎩，记为点()1,2A ；由10{30x y x -+=-=得34x y =⎧⎨=⎩，记为点()3,4Β；由30{30x x y -=+-=得3x y =⎧⎨=⎩，记为点()3,0C .分别将A ，B ，C 的坐标代入2z x y =-，得1223Αz =-⨯=-，3245Βz =-⨯=-，3203C z =-⨯=，所以2z x y =-的最小值为5-．【考点】 简单的线性规划 【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： （1）在平面直角坐标系内作出可行域；（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； （4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．16．①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性可判断出命题①的正误；在时去绝对值化简函数的解析式可判断函数在区间上的单调性可判断命题②的正误；由以及可判断出命题③的正误；化简函数在区间上的解析解析：①③ 【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数()y f x =的奇偶性，可判断出命题①的正误；在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，去绝对值，化简函数()y f x =的解析式，可判断函数()y f x =在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性，可判断命题②的正误；由22f π⎛⎫=⎪⎝⎭以及()2f x ≤可判断出命题③的正误；化简函数()y f x =在区间[],ππ-上的解析式，求出该函数的零点，即可判断命题④的正误. 【详解】对于命题①，函数()sin sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，且()()()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x f x -=-+-=+-=+=，该函数为偶函数，命题①正确； 对于命题②，当2x ππ<<时，sin 0x >，则()sin sin 2sin f x x x x =+=，则函数()y f x =在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，命题②错误；对于命题③，sin 1x ∴≤，sin 1x ≤，()2f x ∴≤，又22f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =的最大值为2，命题③正确；对于命题④，当0πx <<时，sin 0x >，()sin sin 2sin 0f x x x x =+=>， 由于该函数为偶函数，当0x π-<<时，()0f x >， 又()()()00f f f ππ=-==，所以，该函数在区间[],ππ-上有且只有三个零点.因此，正确命题的序号为①③. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查与三角函数相关命题真假的判断，涉及三角函数的奇偶性、单调性、最值以及零点的判断，解题的关键就是将三角函数的解析式化简，考查推理能力，属于中等题.17．①③【解析】由条件可得AB ⊥平面PAD ∴AB ⊥PD 故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD 由PB ⊥BC 得PB ⊥平面ABCD 从而PA ∥PB 这是不可能的故②错；S △PCD ＝CD·PDS △PAB ＝AB·PA 由 解析：①③ 【解析】由条件可得AB ⊥平面PAD ， ∴AB ⊥PD ，故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD ，由PB ⊥BC ，得PB ⊥平面ABCD ，从而PA ∥PB ，这是不可能的，故②错；S △PCD ＝12CD ·PD ，S △PAB ＝12AB ·PA ， 由AB ＝CD ，PD >PA 知③正确； 由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点， 可得EF ∥CD ，又AB ∥CD ， ∴EF ∥AB ，故AE 与BF 共面，④错．18．【解析】【分析】根据三角形面积公式得到再由余弦定理得到AC 长【详解】在中且的面积为由正弦定理的面积公式得到：再由余弦定理得到故得到故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解【解析】 【分析】根据三角形面积公式得到11 2.2S AB AB =⨯⨯=⇒=再由余弦定理得到AC 长. 【详解】在ABC ∆中，120B =，1BC =，且ABC ∆到：11 2.222S AB AB =⨯⨯⨯=⇒= 再由余弦定理得到22202cos1207AC AB BC AB BC =+-⨯⨯⨯=故得到AC =.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.19．【解析】【分析】【详解】试题分析：试题分析：由得平移直线由图象可知当过时目标函数的最大值为即则当且仅当即时取等号故的最小值为考点：1利用可行域求线性目标函数的最值；2利用基本不等式求最值【方法点晴】 解析：9【解析】 【分析】 【详解】试题分析：试题分析： 由()0,0z ax by a b =+>>得a zy x b b=-+，平移直线,a z y x b b =-+由图象可知，当a zy x b b=-+过()1,1A 时目标函数的最大值为1，即1z a b =+=，则1414()a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭441452549b a b aa b a b=+++≥+⋅=+=，当且仅当4b a a b =，即122b a ==时，取等号，故14a b+的最小值为9．考点：1、利用可行域求线性目标函数的最值；2、利用基本不等式求最值． 【方法点晴】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题．含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键．20．【解析】【分析】根据复数z 的几何意义以及的几何意义由图象得出最大值【详解】复数且复数z 的几何意义是复平面内以点为圆心为半径的圆的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：即的最大值为故答案为： 解析：【解析】 【分析】根据复数z 的几何意义以及yx的几何意义，由图象得出最大值. 【详解】复数z x yi =+且23z -=z 的几何意义是复平面内以点(2,0)3为半径的圆22(2)3x y -+=.yx的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：max331y x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 即yx的最大值为3. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，属于中档题.三、解答题21．(1)()3800,19,y 5005700,19,x x N x x ≤⎧=∈⎨->⎩;(2)19;(3) 购买1台机器的同时应购买19个易损零件. 【解析】试题分析：（Ⅰ）分x ≤19及x ＞19，分别求解析式；（Ⅱ）通过频率大小进行比较；（Ⅲ）分别求出n=19，n=20时所需费用的平均数来确定. 试题解析：（Ⅰ）当时，3800y =；当时，3800500(19)5005700y x x =+-=-，所以与的函数解析式为3800,19,{()5005700,19,x y x N x x ≤=∈->.（Ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故的最小值为19.（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300，10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(380070430020480010)4000100⨯⨯+⨯+⨯=. 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000，10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(400090450010)4050100⨯⨯+⨯=. 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件. 【考点】函数解析式、概率与统计【名师点睛】本题把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大,求解的关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题. 22．（1）43；（2）754- 【解析】 【分析】 【详解】（1）因为M 是线段CE 的中点， 所以()11112222AM AC AE AD AB AE =+=++ 112151223262AB AB AD AB AD =+⋅+=+， 故514623m n +=+=. （2）1,3CA AB AD CE CB BE AD AB =--=+=--22114()333CA CE AB AD AD AB AB AB AD AD ⎛⎫⋅=--⋅--=+⋅+ ⎪⎝⎭2213AB AD =+ 22221194333AB AD AD +=⨯+= ||4, 4AD AD BC =⇒==故5CE =；设ME t =，则()505MC t t =-≤≤，()()222MA MB MC ME EA ME EM MC +⋅=+++⋅()()33535ME MC t t t t =⋅=--=-为二次函数开口向上，故最小值在对称轴处取得，即52t =时，()7524MA MB MC +⋅=-. 所以()2MA MB MC +⋅的最小值为754-.23．（1）*(2)10n a n n ∈=-N （2）当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【解析】 【分析】（1）将已知条件转化为1,a d 的形式列方程，由此解得1,a d ，进而求得{}n a 的通项公式. （2）根据等差数列前n 项和公式求得n S ，利用配方法，结合二次函数的性质求得n S 的最大值及对应n 的大小. 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，且0d ≠．由2219a a =，得140a d +=，由618S =，得1532a d +=， 于是18a =,2d =-．所以{}n a 的通项公式为*(2)10n a n n ∈=-N ．（2）由（1）得(1)8(2)2n n n S n -=+⨯- 29n n =-+2981()24n =--+因为*n ∈N ， 所以当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式基本量的计算，考查等差数列前n 项和的最值的求法，属于基础题.24．（1）45t =；（2）35. 【解析】 【分析】(1)利用向量的模长公式计算出||a tb +的表达式然后求最值.(2)先求出a mb -的坐标，利用向量平行的公式得到关于m 的方程，可解得答案. 【详解】（1）∵(23,2)a tb t t +=-+，∴||(2a tb t +=-==当45t =时，||a tb +取得最小值755. （2）(32,2)a mb m m -=---.∵a mb -与c 共线，∴32630m m +-+=，则35m =. 【点睛】本题考查向量的模长的计算以及其最值和根据向量平行求参数的值，属于基础题.25．（1）2nn a =（*n N ∈）；（2）()16232n n T n +=+-．【解析】 【分析】（1）根据等比数列通项的性质求出34,a a 的表达式，利用等差中项列方程求得公比，然后求得数列的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得数列{}n n a b 的前n 项和n T 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公比为，因为24a =，所以34a q =，244a q =．因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+． 即()224244q q +=+，化简得220q q -=．因为公比0q ≠，所以2q ．所以222422n n n n a a q--==⨯=（*n N ∈）． （2）因为2nn a =，所以22log 121n n b a n =-=-．()212n n n a b n =-．则()()231123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，①()()23412123252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-.②①－②得，()2312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--()()()11141222212623212n n n n n -++-=+⨯--=----，所以()16232n n T n +=+-．【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，等比数列通项公式的求解，考查等差中项的性质，考查错位相减求和法求数列的前n 项和，属于中档题. 26．（1）3B π=；（2）(]2,4.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简()20a c cosB bcosC --=得：() 2sinA sinC cosB sinBcosC -=，再由正弦两角和差公式和化为：()2sinAcosB sinBcosC cosBsinC sin B C =+=+，再由()sin B C sinA +=得出cos B的值即可；（2）由sin 3b B =得出a A =，3c C =，得到sin 33a c A C +=+，进而得到sin 6a c A π+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据角的范围得到sin 6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭+的范围即可.【详解】 (1)由()20a c cosB bcosC --=，可得：() 2sinA sinC cosB sinBcosC -=，2sinAcosB sinBcosC cosBsinC ∴=+，可得：()2sinAcosB sin B C sinA =+=，(0,)A π∈，0sinA >，∴可得12cosB =， 又由(0,)B π∈得：3B π=，(2)sin 3b B =，a A =，3c C =， 23A C π+=，]sin sin sin()333a c A C A A B ∴+=+=++1sin sin()sin sin 32A A A A A π⎤⎤=++=+⎥⎥⎣⎦⎣⎦14sin cos 4sin()226A A A π⎤=+=+⎢⎥⎣⎦，203A π<<，5666A πππ<+<， 可得：1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，∴a c +的取值范围(]2,4.【点睛】本题主要考查解三角形，侧重考查正弦定理的应用，考查辅助角公式的运用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.。
新高中必修二数学下期末模拟试题及答案
新高中必修二数学下期末模拟试题及答案一、选择题1．已知向量()cos ,sin a θθ=，()1,2b =，若a 与b 的夹角为6π，则a b +=（ ） A ．2B ．7C ．2D ．12．如图，在ABC ∆中，已知5AB =，6AC =，12BD DC =，4AD AC ⋅=，则AB BC ⋅=A ．-45B ．13C ．-13D ．-373．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为34．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 A ．k ＞4? B ．k ＞5? C ．k ＞6?D ．k ＞7?5．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，()()1AQ AC λλ=-∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A ．12B ．122± C ．1102± D ．3222± 6．已知集合 ，则A ．B ．C ．D ．7．若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件8．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x =f +x -，若(1)2f =，则(1)(2)f +f (3)(2020)f f +++=（ ）A ．50B ．2C ．0D ．50-9．已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-10．已知0,0a b >>，并且111,,2a b成等差数列，则4a b +的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．5D ．911．函数2ln ||y x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．在ABC ∆中，2cos (,b,22A b c a c c+=分别为角,,A B C 的对边)，则ABC ∆的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形二、填空题13．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，若22nn n S a =-，则n S =__________．14．设a ＞0，b ＞03a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值是__．15．已知函数())cos(2)(||)2f x x x πϕϕϕ=---<的图象关于y 轴对称,则()f x 在区[6π-,5]12π上的最大值为__. 16．对于函数()f x ，()g x ，设(){}0m x f x ∈=，(){}0n x g x ∈=，若存在m ，n 使得1m n -<，则称()f x 与()g x 互为“近邻函数”.已知函数()()13log 2exf x x -=+-与()1422x x g x a +=⋅-+互为“近邻函数”，则实数a 的取值范围是______.（e 是自然对数的底数）17．函数()f x 的定义域是__________． 18．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．19．在四面体ABCD 中，=2,60,90AB AD BAD BCD =∠=︒∠=︒，二面角A BD C --的大小为150︒，则四面体ABCD 外接球的半径为__________． 20．若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则tan α=____________. 三、解答题21．已知关于x 的不等式2320,08kx kx k +-<≠ （1）若不等式的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，求k 的值． （2）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围． 22．已知函数()f x =│x +1│–│x –2│. （1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x ≥x 2–x +m 的解集非空，求实数m 的取值范围.23．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率； （Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率.24．如图所示，一座小岛A 距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一城镇B .一年青人从小岛A 出发，先驾驶小船到海岸线上的某点C 处，再沿海岸线步行到城镇B .若PAC θ∠=，假设该年青人驾驶小船的平均速度为2/km h ，步行速度为4/km h .（1）试将该年青人从小岛A 到城镇B 的时间t 表示成角θ的函数； （2）该年青人欲使从小岛A 到城镇B 的时间t 最小，请你告诉他角θ的值. 25．已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （23,4m m +） （1）求证：AB BC ⊥； (2) //AD BC ，求实数m 的值.26．某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量 [)0,0.1 [)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6 [)0.6,0.7频数132 49 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [)0,0.1[)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6频数151310 16 5（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m 的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】先计算a 与b 的模，再根据向量数量积的性质22()a b a b +=+即可计算求值. 【详解】因为()cos ,sin a θθ=，()1,2b =， 所以||1a =，||3b =.又222222()2||2||||cos||6a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π+ 31337=++=，所以7a b +=，故选B. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.2．D解析：D 【解析】 【分析】先用AB 和AC 表示出2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-， 再根据，12BD DC =用用AB 和AC 表示出AD ，再根据4AD AC ⋅=求出A AB C ⋅的值，最后将A AB C ⋅的值代入2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-，，从而得出答案． 【详解】()2A =A AB BC AB C AB AB C AB ⋅=⋅-⋅-，∵12BD DC =， ∴111B C ?C B 222AD A A AD AD A AD A -=-=-+（）， 整理可得：12AB 33AD AC +＝， 221A A 433AD AC AB C C ∴⋅⋅+=＝∴ A =-12AB C ⋅，∴2=A =122537AB BC AB C AB ⋅⋅---=-．， 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．3．D解析：D 【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差4．A解析：A 【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行112,224k S =+==+=，第二次运行213,8311k S =+==+=，第三次运行314,22426k S =+==+=，第四次运行4154,52557k S =+=>=+=，输出57S =，所以判断框内为4?k >，故选C.考点：程序框图.5．A解析：A 【解析】 【分析】运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，再根据向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】∵BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，∴()()BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ⋅=+⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅()()2211AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅()()232441212222λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴12λ=.故选：A. 6．D解析：D 【解析】 试题分析：由得，所以，因为，所以，故选D.【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.7．B解析：B 【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ． 考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系． 8．C解析：C【解析】 【分析】利用()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数可得：()()f x f x -=-且()00f =，结合(1)(1)f x =f +x -可得：函数()f x 的周期为4；再利用赋值法可求得：()20f =，()32f =-，()40f =，问题得解.【详解】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数， 所以()()f x f x -=-且()00f = 又(1)(1)f x =f +x -所以()()()()()21111f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=-=-⎣⎦⎣⎦ 所以()()()()()4222f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=--=⎣⎦⎣⎦ 所以函数()f x 的周期为4，在(1)(1)f x =f +x -中，令1x =，可得：()()200f f ==在(1)(1)f x =f +x -中，令2x =，可得：()()()3112f f f =-=-=- 在(1)(1)f x =f +x -中，令3x =，可得：()()()4220f f f =-=-= 所以(1)(2)f +f ()()()()2020(3)(2020)12344f f f f f f ⎡⎤+++=⨯+++⎣⎦ 50500=⨯=故选C 【点睛】本题主要考查了奇函数的性质及函数的周期性应用，还考查了赋值法及计算能力、分析能力，属于中档题．9．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1， x >1时,()()21,10a af x x f x x x=++'=-在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．10．D解析：D 【解析】 ∵111,,2a b成等差数列， ()111141445529a b a a b a b a b a b b a b ⎛⎫∴+=∴+=++=+++⋅= ⎪⎝⎭，， 当且仅当a =2b 即33,2a b ==时“=“成立， 本题选择D 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．11．A解析：A 【解析】 【分析】先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。
人教版数学必修2期末模拟试题及答案
人教版数学必修2期末模拟试题及答案期末测试题考试时间：90分钟 试卷满分：100分一、选择题1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )． A ．21B ．23C ．22D ．223 2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )． A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝D ．x ＋2y －1＝03．下列直线中与直线2x ＋y ＋1＝0垂直的一条是( )． A ．2x ―y ―1＝0 B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋21y －1＝0 4．已知圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0，那么通过圆心的一条直线方程是( )．A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y ＋1＝C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y －1＝05．如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )．A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台6．直线3x ＋4y －5＝0与圆2x 2＋2y 2―4x ―2y ＋1＝0的位置关系是( )． A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心7．过点P (a ，5)作圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝4的切线，切线长为32，则a 等于( )．A ．－1B ．－2C ．－3D ．08．圆A : x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0与圆B : x 2＋y 2―2x ―6y ＋1＝0的位置关系是( )．A ．相交B ．相离C ．相切D ．内含9．已知点A (2，3，5)，B (－2，1，3)，则|AB |＝( )．（4（3（1（2A ．6B ．26 C ．2D ．2210．如果一个正四面体的体积为9 dm 3，则其表面积S 的值为( )．A ．183dm 2B ．18 dm 2C ．123dm 2D ．12 dm 211．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成角余弦值是( )．A ．515 B ．22 C ．510D ．012．正六棱锥底面边长为a ，体积为23a 3，则侧棱与底面所成的角为( )． A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°13．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的23，此梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体表面积为(5＋2)π，则旋转体的体积为( )．A ．2πB ．32＋ 4π C ．32＋ 5πD ．37π (第11题)14．在棱长均为2的正四棱锥P －ABCD 中，点E 为PC 的中点，则下列命题正确的是( )．A ．BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PAD 的距离为3B ．BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PAD 的距离为362C ．BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角大于30° D ．BE 与平面P AD 不平行，且BE 与平面P AD 所成的角小于30°二、填空题15．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是______________．16．若圆B : x 2＋y 2＋b ＝0与圆C : x 2＋y 2－6x ＋8y ＋16＝0没有公共点，则b 的取值范围是________________．17．已知△P 1P 2P 3的三顶点坐标分别为P 1(1，2)，P 2(4，3)和P 3(3，－1)，则这个三角形的最大边边长是__________，最小边边长是_________．18．已知三条直线ax ＋2y ＋8＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数a 的值为____________．19．若圆C : x 2＋y 2－4x ＋2y ＋m ＝0与y 轴交于A ，B 两点，且∠ACB ＝90º，则实数m 的值为__________．三、解答题20．求斜率为43，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程．PA B CDE (第14题)21．如图所示，正四棱锥P －ABCD 中，O 为底面正方形的中心，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为26． (1)求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小；(2)若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值； (3)问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由．22．求半径为4，与圆x 2＋y 2―4x ―2y ―4＝0相切，且和直线y ＝0相切的圆的方程．(第21题)BP参考答案一、选择题 1．D2．A 3．B 4．B 5．C 6．D 7．B 8．C 9．B10．A 11．D 12．B 13．D 14．D 二、填空题15．y ＝3x －6或y ＝―3x ―6． 16．－4＜b ＜0或b ＜－64． 17．17，10． 18．－1． 19．－3． 三、解答题20．解：设所求直线的方程为y ＝43x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－34b ，由已知，得21 34 － ⎪⎭⎫ ⎝⎛b b ·＝6，即32b 2＝6， 解得b ＝±3．故所求的直线方程是y ＝43x ±3，即3x －4y ±12＝0． 21．解：(1)取AD 中点M ，连接MO ，PM ， 依条件可知AD ⊥MO ，AD ⊥PO ，则∠PMO 为所求二面角P －AD －O 的平面角．∵ PO ⊥面ABCD ，∴∠PAO 为侧棱PA 与底面ABCD 所成的角．MBCO EP(第21题(1))∴tan ∠PAO ＝26．设AB ＝a ，AO ＝22a ，∴ PO ＝AO ·tan ∠POA ＝23a ，tan ∠PMO ＝MOPO＝3． ∴∠PMO ＝60°．(2)连接AE ，OE ， ∵OE ∥PD ， ∴∠OEA 为异面直线PD 与AE 所成的角．∵AO ⊥BD ，AO ⊥PO ，∴AO ⊥平面PBD ．又OE 平面PBD ，∴AO ⊥OE ．∵OE ＝21PD ＝2122 ＋ DO PO ＝45a ， ∴tan ∠AEO ＝EOAO ＝5102．(3)延长MO 交BC 于N ，取PN 中点G ，连BG ，EG ，MG ． ∵BC ⊥MN ，BC ⊥PN ，∴BC ⊥平面PMN ．∴平面PMN ⊥平面PBC ．又PM ＝PN ，∠PMN ＝60°，∴△PMN 为正三角形．∴MG ⊥PN ．又平面PMN ∩平面PBC ＝PN ，∴MG ⊥平面PBC ．取AM 中点F ，∵EG ∥MF ，∴MF ＝21MA ＝EG ，∴EF ∥MG ． ∴EF ⊥平面PBC ．点F 为AD 的四等分点．22．解：由题意，所求圆与直线y ＝0相切，且半径为4， 则圆心坐标为O 1(a ，4)，O 1(a ，－4)．又已知圆x 2＋y 2―4x ―2y ―4＝0的圆心为O 2(2，1)，半径为3， ①若两圆内切，则|O 1O 2|＝4－3＝1．即(a －2)2＋(4－1)2＝12，或(a －2)2＋(－4－1)2＝12． 显然两方程都无解．MDBAC O EP(第21题(2))M BC O EPN GF(第21题(3))②若两圆外切，则|O1O2|＝4＋3＝7．即(a－2)2＋(4－1)2＝72，或(a－2)2＋(－4－1)2＝72．解得a＝2±210，或a＝2±26．∴所求圆的方程为(x―2―210)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝16；或(x―2―26)2＋(y＋4)2＝16或(x―2＋26)2＋(y＋4)2＝16．。
人教版高中数学必修二期末测试卷及答案详解
人教版高中数学必修二期末检测卷一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.如图，在正方体EFGH−E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A. 平面E1FG1与平面EGH1B. 平面FHG1与平面F1H1GC. 平面F1H1H与平面FHE1D. 平面E1HG1与平面EH1G2.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：①若α⊥β，α∩β=m，n⊂a，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α//β；③若α⊥β，m⊥β，m⊄α.则m//α；④若α⊥β，m//α，则m⊥β．其中正确命题的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 43.如果直线l，m与平面α，β，γ之间满足：l=β∩γ，l//α，m⊂α和m⊥γ，那么()A. α⊥γ且l⊥mB. α⊥γ，且m//βC. m//β且l⊥mD. α//β且α⊥γ4.著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：√(x−a)2+(y −b)2可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合上述观点，可得f(x)=√x2+4x+20+√x2+2x+10的最小值为()A. 2√5B. 5√2C. 4D. 85.已知直线l1：ax+(a+2)y+2=0与l2：x+ay+1=0平行，则实数a的值为()A. −1或2B. 0或2C. 2D. −16.已知两直线的方程分别为l1：x+ay+b=0，l2：x+cy+d=0，它们在坐标系中的位置如图所示，则()A. b>0，d<0，a<cB. b>0，d<0，a>c1C. b <0，d >0，a >cD. b <0，d >0，a <c7. 对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”;若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”;否则称为“平行相交”.已知直线l 1:ax +3y +6=0，l 2:2x +(a +1)y +6=0，圆C:x 2+y 2+2x =b 2−1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则b 的取值范围为 ( )A. (√2,3√22)B. (0,√2)C. (0,3√22)D. (√2,3√22)∪(3√22,+∞) 8. 直线y =kx +3与圆(x −3)2+(y −2)2=4相交于M ，N 两点，若|MN|=2√3，则k 的值是( )A. −34B. 0C. 0或−34D. 34 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）9. 如图所示，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为 ．10. 过两圆x 2+y 2−2y −4=0与x 2+y 2−4x +2y =0的交点，且圆心在直线l ：2x +4y −1=0上的圆的方程是_________________．11. 与直线x +y −2=0和曲线x 2+y 2−12x −12y +54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是_____________．12. 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，则截面的面积为 ．13. 已知点M 是点P(4,5)关于直线y =3x −3的对称点，则过点M 且平行于直线y =3x −3的直线的方程是________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）14. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，O 为AB 的中点，CA =CB ，AB =AA 1，∠BAA 1=60∘．(1)证明：AB⊥平面A1OC;(2)若AB=CB=2，OA1⊥OC，求三棱锥A1−ABC的体积．15.已知直线m:(a−1)x+(2a+3)y−a+6=0，n:x−2y+3=0．(1)当a=0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程;(2)若坐标原点O到直线m的距离为√5，判断m与n的位置关系．16.求过点P(4,−1)且与直线3x−4y+6=0垂直的直线方程．317.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A(0,3)，设圆C的半径为1，圆心C(a,b)在直线l：y=2x−4上．(1)若圆心C也在直线y=−x+5上，求圆C的方程；(2)在上述的条件下，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(3)若圆C上存在点M，使|MA|=|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：(1)A1B1//平面DEC1；(2)BE⊥C1E.19.已知ΔABC的顶点B(3,4)，AB边上的高所在的直线方程为x+y−3=0，E为BC的中点，且AE所在的直线方程为x+3y−7=0．(Ⅰ)求顶点A的坐标；(Ⅱ)求过E点且在x轴、y轴上的截距相等的直线l的方程．20.已知直线l：x−ay+1=0与圆C：x2+y2−4x−2y+1=0交于A，B两点，|AB|=2√3．(1)求a的值；(2)求与直线l平行的圆C的切线方程．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了线面平行的判定，面面平行的判定，属于中档题．根据几何体中的线段特征确定平行关系，再确定线面的平行关系，E1G1//面EGH1，E1F//面EGH1，即可得出确定的平行平面．【解答】解：如图：在正方体EFGH−E1F1G1H1中，连接EG，E1F，E1G1，H1E，H1G，∵EG//E1G1，EG⊂面EGH1，E1G1⊄面EGH1，∴E1G1//面EGH1，∵E1F//H1G，H1G⊂面EGH1，E1F⊄面EGH1，∴E1F//面EGH1，∵E1G1∩E1F=E1，E1G1，E1F⊂面E1FG1，∴面EGH1//面E1FG1，故选A．2.【答案】B【解析】【分析】本题以命题的真假判断为载体，考查了空间直线与平面的位置关系及平面与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．根据空间线面平行和垂直的几何特征及判定方法，逐一分析四个命题的真假，最后综合讨论5结果，可得答案．【解答】解：根据面面垂直的性质，故①正确；由α⊥γ，β⊥γ，得到α//β或相交，故②错误;由α⊥β，且m⊥β，得到m与α可能平行，也可能m在平面面α内，又m⊄α，则m//α，故③正确；若α⊥β，m//α，则m与β可能平行，可能相交，也可能线在面内，故④错误；其中正确命题的个数为2．故选B．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查空间直线与平面之间的位置关系，画出图形，帮助分析，考查逻辑思维能力和分析判断能力，属于基础题．m⊂α和m⊥γ⇒α⊥γ，l=β∩γ，l⊂γ.然后推出l⊥m，得到结果．【解答】解：∵m⊂α且m⊥γ，∴α⊥γ，∵l=β∩γ，∴l⊂γ．又∵m⊥γ，∴l⊥m，即α⊥γ且l⊥m，故选A．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查利用函数的几何意义求函数的最值，考查两点之间的距离公式的运用，属于中档题．由题意得到f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(−2,4)与B(−1,3)的距离，即要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|+|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|+|MB|=|MA′|+|MB|≥|A′B|即可求解．【解答】解：∵f(x)=√x2+4x+20+√x2+2x+10=√(x+2)2+(0−4)2+√(x+1)2+(0−3)2，∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(−2,4)与B(−1,3)的距离之和．设点A(−2,4)关于x轴的对称点为A′，则A′的坐标为(−2,−4)．要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|+|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|+|MB|=|MA′|+|MB|≥|A′B|=√(−1+2)2+(3+4)2=5√2，即f(x)=√x2+4x+20+√x2+2x+10的最小值为5√2．故选B．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由a·a−(a+2)=0，即a2−a−2=0，解得a.经过验证即可得出．【解答】解：由题意知a⋅a−(a+2)=0，即a2−a−2=0，解得a=2或−1．经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．∴a=−1．故选D．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查直线的一般式向斜截式转化，属于基础题．将直线转化成斜截式，根据图象得两直线斜率、截距的不等关系，解不等式即可得解．【解答】解：l1 :y=−1a x−ba，l2 : y=−1cx−dc，由图象知：①−1a >−1c>0,②−ba<0,③−dc>0，，故选C．77.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系及应用，属于中档题．结合新定义，求出圆心到直线的距离，根据相离相切的条件求出b 的范围，进而求出平行相交时b 的范围．【解答】解：圆C 的标准方程为(x +1)2+y 2=b 2，由两直线平行得a(a +1)−6=0，解得a =2或a =−3．又当a =2时，直线l 1，l 2重合，应舍去，∴两平行线的方程分别为x −y −2=0和x −y +3=0．由直线x −y −2=0与圆(x +1)2+y 2=b 2相切，得b =√2=3√22; 由直线x −y +3=0与圆相切，得b =√2=√2．当两直线与圆都相离时，b <√2．∴“平行相交”时，b 满足{b >√2,b ≠3√22, ∴b 的取值范围是(√2,3√22)∪(3√22,+∞)． 故选D ． 8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题． 由点到直线距离公式可得弦心距d =√k 2+1，再由弦长，半径，弦心距之间关系列出关于k 的等式，由此解得k 的值．【解答】解：圆心(3,2)到直线y =kx +3的距离d =√k 2+1，则|MN|=2 √4−(3k+1)2k 2+1=2√3，解得k =0或k =−34． 故选C ．9.【答案】√105．【解析】【分析】本题主要考查直线与平面所成的角、线面垂直的判定，属于中档题．根据正方形条件得到线线垂直，再由线面垂直得到线线垂直，进而证明线面垂直找到点C1在面BB1D1D上的射影O，即线面角∠OBC1，进一步利用锐角三角形求解．【解答】解：如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，连接A1C1、B1D1，交于O点，连接OB，由已知四边形A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1，又∵BB1⊥平面A1B1C1D1，OC1⊂平面A1B1C1D1，∴OC1⊥BB1，而BB1∩B1D1=B1，∴OC1⊥平面BB1D1D.∴OB是BC1在平面BB1D1D内的射影．∴∠C1BO是BC1与平面BB1D1D所成的角．在正方形A1B1C1D1中，OC1=12A1C1=12√22+22=√2．在矩形BB1C1C中，BC1=√BC2+CC12=√4+1=√5．9∴sin∠C1BO=OC1BC1=√2√5=√105．故答案为√105．10.【答案】x2+y2−3x+y−1=0【解析】【分析】本题考查求圆的一般方程，圆系方程及其应用，属于中档题．可设新圆方程为x2+y2−4x+2y+λ(x2+y2−2y−4)=0(λ≠−1)，通过整理，不难表示出新圆的圆心坐标，接下来根据新圆的圆心在直线l上，将所得圆心坐标代入，解方程即可得解．【解答】解：设所求圆的方程为x2+y2−4x+2y+λ(x2+y2−2y−4)=0(λ≠−1)．整理得x2+y2+−41+λx+2−2λ1+λy−4λ1+λ=0，所以圆心坐标为(21+λ,λ−11+λ)，因为圆心在直线2x+4y=1上，故41+λ+4(λ−1)1+λ=1，解得λ=13．所以所求圆的方程为x2+y2−3x+y−1=0．故答案为x2+y2−3x+y−1=0．11.【答案】(x−2)2+(y−2)2=2【解析】【试题解析】【分析】本题考查直线与圆相切的性质的应用，求圆的标准方程，难度一般．先求出圆心C1(6,6)到直线x+y−2=0的距离为d=√2=5√2.再求过点C1且垂直于x+ y−2=0的直线y=x，所求的最小圆的圆心C2在直线y=x上，圆心C2到直线x+y−2=0的距离为5√2−3√22=√2，则圆C2的半径长为√2.设C2的坐标为(x0,x0)，则00√2=√2，解得x0=2(x0=0舍去)，所以圆心坐标为(2,2)，即可求出所求．【解答】解：曲线化为(x−6)2+(y−6)2=18，=5√2．其圆心C1(6,6)到直线x+y−2=0的距离为d=|6+6−2|√2过点C1且垂直于x+y−2=0的直线为y−6=x−6，即y=x，所以所求的最小圆的圆心C2在直线y=x上，如图所示，=√2，圆心C2到直线x+y−2=0的距离为5√2−3√22则圆C2的半径长为√2．设C2的坐标为(x0,x0)，=√2，解得x0=2(x0=0舍去)，则00√2所以圆心坐标为(2,2)，所以所求圆的标准方程为(x−2)2+(y−2)2=2．故答案为(x−2)2+(y−2)2=2．12.【答案】2√6【解析】【分析】本题考查截面面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．取AB、C1D1的中点M、N，连结A1M、MC、CN、NA1.由已知得四边形A1MCN是平行四边形，连接MN，作A1H⊥MN于H，由题意能求出截面的面积．【解答】解：分别取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1，11∵A1N//PC1//MC，且A1N=PC1=MC，∴四边形A1MCN是平行四边形．又∵A1N//PC1，A1N⊄平面PBC1，PC1⊂平面PBC1，∴A1N//平面PBC1，同理可证A1M//平面PBC1，∵A1N∩A1M=A1，且A1N，A1M⊂平面A1MCN，∴平面A1MCN//平面PBC1,因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形A1MCN，连接MN，作A1H⊥MN于点H，∵A1M=A1N=√5，MN=2√2，∴△A1MN为等腰三角形．∴A1H=√3，∴S△A1MN =12×2√2×√3=√6．故S▱A1MCN =2S△A1MN=2√6．故答案为2√6．13.【答案】3x−y+1=0【解析】【分析】本题考查了点关于直线的对称点的求法，考查了直线方程的点斜式，是基础题．设出M的坐标，利用点到直线的距离以及两平行线间的距离公式求解．【解答】解：因为点M是点P(4,5)关于直线y=3x−3的对称点，所以两点到直线y=3x−3的距离相等，所以过点M且平行于直线y=3x−3的直线与y=3x−3之间的距离等于点P到直线y=3x−3的距离．点P(4,5)到直线3x−y−3=0距离为√12+32=√10．设过点M且与直线y=3x−3平行的直线的方程为3x−y+c=0，13所以由两平行线间的距离公式有√12+32=√10，即|c +3|=4，解得c =1或c =−7， 即所求直线的方程为3x −y −7=0或3x −y +1=0．由于点P(4,5)在直线3x −y −7=0上，故过M 点且平行于直线y =3x −3的直线方程是3x −y +1=0．14.【答案】(1)证明：∵CA =CB ，O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ．∵AB =AA 1，∠BAA 1=60∘，∴△AA 1B 为等边三角形，∴OA 1⊥AB ，又OC ∩OA 1=O ，∴AB ⊥平面A 1OC ．(2)解：∵AB =CB =2，∴△ABC 为边长是2的等边三角形，则S △ABC =12×2×√3=√3．∵OA 1⊥AB ，OA 1⊥OC ，AB ∩OC =O ，∴OA 1⊥平面ABC ，即OA 1是三棱锥A 1−ABC 的高，又OA 1=√3，∴三棱锥A 1−ABC 的体积V =13×√3×√3=1．【解析】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出CO ⊥AB ，A 1O ⊥AB ，由此能证明AB ⊥平面A 1OC ．(2)推导出A 1O ⊥平面ABC ，由此能求出三棱锥A 1−ABC 的体积．15.【答案】解：(1)当a =0时，直线m:x −3y −6=0，由{x −3y −6=0x −2y +3=0，解得{x =−21y =−9， 即m 与n 的交点为(−21,−9)．当直线l 过原点时，直线l 的方程为3x −7y =0; 当直线l 不过原点时，设l 的方程为x b +y −b =1，将(−21,−9)代入得b =−12，所以直线l 的方程为x −y +12=0．故满足条件的直线l 的方程为3x −7y =0或x −y +12=0．(2)设原点O 到直线m 的距离为d ，则d =√(a−1)2+(2a+3)2=√5，解得a =−14或a =−73，当a =−14时，直线m 的方程为x −2y −5=0，此时m//n;当a =−73时，直线m 的方程为2x +y −5=0，此时m ⊥n.【解析】本题主要考查了直线的截距式方程，两条直线平行与垂直的判定，点到直线的距离公式，属于中档题．(1)当a =0时，由题意可求出x 与y ，可求出m 与n 的交点，当直线l 过原点时，直线l 的方程为3x −7y =0，当直线l 不过原点时，设l 的方程为x b +y −b =1，将(−21,−9)代入即可求解．(2)求出原点O 到直线m 的距离d ，求出a ，当a =−14时，证明m//n ，当a =−73时，证明m ⊥n. 16.【答案】解：∵所求直线与直线3x −4y +6=0垂直，∴设其为4x +3y +m =0．∵该直线过点P(4,−1)，∴4×4+3×(−1)+m =0，解得m =−13．故所求直线方程为4x +3y −13=0．【解析】考查对于直线方程的求解问题，利用垂直性质求解，属于基础．17.【答案】解：(1)由{y =2x −4y =−x +5 得圆心C 为(3,2)，∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为：(x −3)2+(y −2)2=1；(2)由题意知切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y =kx +3，即kx −y +3=0，∴√k 2+1=1，∴|3k +1|=√k 2+1，∴2k(4k +3)=0，∴k =0或者k =−34，∴所求圆C 的切线方程为：y =3或者y =−34x +3，即y =3或者3x +4y −12=0；(3)设M 为(x,y)，由√x 2+(y −3)2=√x 2+y 215整理得直线m ：y =32， ∴点M 应该既在圆C 上又在直线m 上，即：圆C 和直线m 有公共点，∴|2a −4−32|≤1，∴94≤a ≤134，终上所述，a 的取值范围为：[94,134]．【解析】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．(1)联立直线l 与直线y =−x +5，求出方程组的解得到圆心C 坐标，可得圆C 的方程；(2)根据A 坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k 的方程，求出方程的解得到k 的值，确定出切线方程即可；(3)设M(x,y)，由|MA|=|MO|，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M 的轨迹为直线y =32，由M 在圆C 上，得到圆C 与直线相交，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a 的范围．18.【答案】证明：(1)∵在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，∴DE//AB ，AB//A 1B 1，∴DE//A 1B 1，∵DE ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，∴A 1B 1//平面DEC 1．解：(2)∵在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E 是AC 的中点，AB =BC ．∴BE ⊥AA 1，BE ⊥AC ，又AA 1∩AC =A ，∴BE ⊥平面ACC 1A 1，∵C 1E ⊂平面ACC 1A 1，∴BE ⊥C 1E .【解析】(1)推导出DE//AB ，AB//A 1B 1，从而DE//A 1B 1，由此能证明A 1B 1//平面DEC 1．(2)推导出BE ⊥AA 1，BE ⊥AC ，从而BE ⊥平面ACC 1A 1，由此能证明BE ⊥C 1E .本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：(1)AB 边上的高所在的直线方程为x +y −3=0，∴k AB =−1−1=1． ∴直线AB 方程为：y −4=x −3，化为：x −y +1=0，联立{x −y +1=0x +3y −7=0，解得x =1，y =2．∴A(1,2)．(2)设E(a,b)，则C(2a −3,2b −4)．联立{(2a −3)+(2b −4)−3=0a +3b −7=0，解得a =4，b =1.∴E(4,1)． 由直线l 与x 轴、y 轴截距相等，①当直线l 经过原点时，设直线l 的方程为：y =kx ．把E 的坐标代入可得：1=4k ，解得k =14．∴直线l 的方程为：y =14x.②当直线l 不经过原点时，设直线l 的方程为：x +y =m ．把E 的坐标代入可得：m =5．∴直线l 的方程为：x +y =5．综上直线l 的方程为：x −4y =0或x +y −5=0．【解析】本题考查了直线的方程、直线的交点、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(1)AB 边上的高所在的直线方程为x +y −3=0，可得k AB =1.把直线AB 方程与AE 的方程联立解得A 的坐标．(2)设E(a,b)，则C(2a −3,2b −4).联立{(2a −3)+(2b −4)−3=0a +3b −7=0，解得E 坐标．由直线l 与x 轴、y 轴截距相等，对截距分类讨论即可得出．20.【答案】解：(1)∵圆C ：(x −2)2+(y −1)2=4，∴圆心为(2,1)，半径r =2，∴圆心到直线x −ay +1=0的距离为：d =√12+a 2=√r 2−(√3)2=√4−3=1， 解得a =43，(2)由(1)知直线l ：3x −4y +3=0，因为切线与直线l 平行，所以设所求的切线方程为3x −4y +D =0．因为直线与圆相切，所以圆心到切线的距离d =√32+(−4)2=|2+D |5=2．所以D =8或D =−12．所以所求切线方程为3x −4y +8=0或3x −4y −12=0．【解析】本题主要考查了点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，属于基础题．(1)首先确定圆心和半径，然后利用点到直线的距离公式可以列出等式，由此求出a的值．(2)由(1)知直线l：3x−4y+3=0，依题意，设所求切线方程为3x−4y+D=0，则圆心到=2.求解即可得结果切线的距离d=|2+D|517。
人教版高中数学必修二期末测试题(附参考答案)
高一数学必修二期末测试题考试时间：90分钟试卷满分：100分一、选择题1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是()．A ．21B ．23C ．22D ．2232．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是()．A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．下列直线中与直线2x ＋y ＋1＝0垂直的一条是()．A ．2x ―y ―1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋21y －1＝04．已知圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0，那么通过圆心的一条直线方程是()．A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y ＋1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y －1＝05．如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为()．A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台6．直线3x ＋4y －5＝0与圆2x 2＋2y 2―4x ―2y ＋1＝0的位置关系是()．A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心7．过点P (a ，5)作圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝4的切线，切线长为32，则a 等于()．A ．－1B ．－2C ．－3D ．0（4）（3）（1）（2）8．圆A :x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0与圆B :x 2＋y 2―2x ―6y ＋1＝0的位置关系是()．A ．相交B ．相离C ．相切D ．内含9．已知点A (2，3，5)，B (－2，1，3)，则|AB |＝()．A ．6B ．26C ．2D ．2210．如果一个正四面体的体积为9dm 3，则其表面积S 的值为()．A ．183dm 2B ．18dm 2C ．123dm 2D ．12dm 211．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成角余弦值是()．A ．515B ．22C ．510D ．012．正六棱锥底面边长为a ，体积为23a 3，则侧棱与底面所成的角为()．A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°13．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的23，此梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体表面积为(5＋2)π，则旋转体的体积为()．A ．2πB ．32＋ 4πC ．32＋ 5πD ．37π14．在棱长均为2的正四棱锥P －ABCD 中，点E 为PC 的中点，则下列命题正确的是()．A ．BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PAD 的距离为3B ．BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PAD 的距离为362C ．BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角大于30°D ．BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角小于30°PABCDE (第14题)(第11题)二、填空题15．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是______________．16．若圆B :x 2＋y 2＋b ＝0与圆C :x 2＋y 2－6x ＋8y ＋16＝0没有公共点，则b 的取值范围是________________．17．已知△P 1P 2P 3的三顶点坐标分别为P 1(1，2)，P 2(4，3)和P 3(3，－1)，则这个三角形的最大边边长是__________，最小边边长是_________．18．已知三条直线ax ＋2y ＋8＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数a 的值为____________．19．若圆C :x 2＋y 2－4x ＋2y ＋m ＝0与y 轴交于A ，B 两点，且∠ACB ＝90º，则实数m 的值为__________．三、解答题20．求斜率为43，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程．21．如图所示，正四棱锥P －ABCD 中，O 为底面正方形的中心，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为26．(1)求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小；(2)若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；(3)问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由．22．求半径为4，与圆x 2＋y 2―4x ―2y ―4＝0相切，且和直线y ＝0相切的圆的方程．(第21题)DBACOEP参考答案一、选择题1．D 2．A 3．B 4．B 5．C 6．D7．B8．C9．B10．A11．D12．B13．D14．D二、填空题15．y ＝3x －6或y ＝―3x ―6．16．－4＜b ＜0或b ＜－64．17．17，10．18．－1．19．－3．三、解答题20．解：设所求直线的方程为y ＝43x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－34b ，由已知，得21 34 － ⎪⎭⎫⎝⎛b b ·＝6，即32b 2＝6，解得b ＝±3．故所求的直线方程是y ＝43x ±3，即3x －4y ±12＝0．21．解：(1)取AD 中点M ，连接MO ，PM ，依条件可知AD ⊥MO ，AD ⊥PO ，则∠PMO 为所求二面角P －AD －O 的平面角．∵PO ⊥面ABCD ，∴∠PAO 为侧棱PA 与底面ABCD 所成的角．∴tan ∠PAO ＝26．设AB ＝a ，AO ＝22a ，∴PO ＝AO ·tan ∠POA ＝23a ，tan ∠PMO ＝MOPO＝3．∴∠PMO ＝60°．MDBACO EP(第21题(1))(2)连接AE ，OE ，∵OE ∥PD ，∴∠OEA 为异面直线PD 与AE 所成的角．∵AO ⊥BD ，AO ⊥PO ，∴AO ⊥平面PBD ．又OE 平面PBD ，∴AO ⊥OE ．∵OE ＝21PD ＝2122 ＋ DO PO ＝45a ，∴tan ∠AEO ＝EOAO＝5102．(3)延长MO 交BC 于N ，取PN 中点G ，连BG ，EG ，MG ．∵BC ⊥MN ，BC ⊥PN ，∴BC ⊥平面PMN ．∴平面PMN ⊥平面PBC ．又PM ＝PN ，∠PMN ＝60°，∴△PMN 为正三角形．∴MG ⊥PN ．又平面PMN ∩平面PBC ＝PN ，∴MG ⊥平面PBC ．取AM 中点F ，∵EG ∥MF ，∴MF ＝21MA ＝EG ，∴EF ∥MG ．∴EF ⊥平面PBC ．点F 为AD 的四等分点．22．解：由题意，所求圆与直线y ＝0相切，且半径为4，则圆心坐标为O 1(a ，4)，O 1(a ，－4)．又已知圆x 2＋y 2―4x ―2y ―4＝0的圆心为O 2(2，1)，半径为3，①若两圆内切，则|O 1O 2|＝4－3＝1．即(a －2)2＋(4－1)2＝12，或(a －2)2＋(－4－1)2＝12．显然两方程都无解．②若两圆外切，则|O 1O 2|＝4＋3＝7．即(a －2)2＋(4－1)2＝72，或(a －2)2＋(－4－1)2＝72．解得a ＝2±210，或a ＝2±26．∴所求圆的方程为(x ―2―210)2＋(y －4)2＝16或(x －2＋210)2＋(y －4)2＝16；或(x ―2―26)2＋(y ＋4)2＝16或(x ―2＋26)2＋(y ＋4)2＝16．MDBAC OEP(第21题(2))MDBACO EPN G F(第21题(3))。
2023-2024学年高一数学真题汇编((人教A版2019必修第二册)下学期期末模拟卷(一)解析版
高一期末模拟卷（一）一、单选题1．设x ∈R ，则“1x =”是“复数()()211i z x x =-++为纯虚数”的（）A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【详解】因为复数z 为纯虚数，所以21010x x ⎧-=⎨+≠⎩，解得1x =，所以1x =是复数z 为纯虚数的充要条件.故选：A.2．设向量a ，b 的夹角的余弦值为13-，2a = ，3b = ，则()23a b b +⋅= （）A ．-23B ．23C ．-27D ．273．如图所示，2,4BC AD DC DH ==，则BH =（）A ．3748BA BC + B ．2335BA BC + C．3548BA BC + D ．3546BA BC +4．样本数据12,11,7,15,9,10,12,8的中位数是（）A ．12B ．11C ．10D ．10.55．忻城县高级中学有1100名高一学生，1000名高二学生，1200名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用分层抽样的方法在全校抽取33名学生进行某项调查，则下列说法正确的是（）A ．高三每一个学生被抽到的概率最大B ．高三每一个学生被抽到的概率最小C ．高一每一个学生被抽到的概率最大D ．每位学生被抽到的概率相等6．设,αβ是两个平面，,m l 是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A ．若,,m l αβαβ⊥∥∥，则m l⊥B ．若,,m l m l αβ⊂⊂∥，则αβ∥C ．若,,m l l αβαβ= ∥∥，则m l∥D ．若,,m l m l αβ⊥⊥∥，则αβ⊥【答案】C【详解】对于A ，如图，若,,m l αβαβ⊥∥∥，但直线平行，A 错误；对于B ，如图，若,,m l m l αβ⊂⊂∥，但是平面不平行，B 错误；对于C ：如图，若α C 正确；对于D，如图，若,m l α⊥⊥故选：C.7．ABC 中，2AB =，4ACB ∠=，O 是ABC 外接圆圆心，是OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值为（）A ．1B ．1C ．3D ．5【答案】C8．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一补四脚帐篷的示意图，其中曲线AOC 和BOD AOC 和平面BOD 均垂直于平面ABCD ，用任意平行于帐篷底面ABCD 的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（）A ．3B ．3C ．83D ．323【答案】A【详解】设截面与底面的距离为h ，在帐篷中的截面为A B C D ''''，设截面截正四棱柱得四边形为1111D C B A ，截正四棱锥得四边形为底面中心O 与截面2222A B C D 中心2O 之间的距离为2OO在正四棱柱中，底面正方形边长为2，高为2，AO 所以45AOA COC ∠=∠=︒，所以90,A OC A OC ∠=︒ 二、多选题9．已知i 为虚数单位，复数13i z =-，2i z =，则下列说法正确的是（）A ．12=z z B ．12z z 的共轭复数为13i -C ．2z z 的虚部为310D ．在复平面内，复数122z z -对应的点位于第二象限，故10．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A ．图（1）的平均数=中位数=众数B ．图（2）的平均数<众数<中位数C ．图（2）的众数<中位数<平均数D ．图（3）的平均数<中位数<众数11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，,,,,E F G H I 均为所在棱的中点，P 是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（）A ．//HI 平面EFGB ．三棱锥1A EFG -的体积为12C ．过,,E F G三点的平面截正方体所得截面的面积为D ．若2AP =，则点P 的轨迹长度为3π选项B ，如图，因为面1A FG 正方形1A B 中111A FG ABB A S S = 则三棱锥1A EFG -的体积为选项C ，由选项A 知过,E F 为33，选项D ，由2AP =知点P 轨迹为由正方体棱长2得，交线为三段半径为故选：BCD.三、填空题12．若用长度分别为1，2，a 的三支木棒拼成一个钝角三角形，则a 的取值范围为.显然角B 为锐角，当2A π>时，由余弦定理得5a ⇒-<或5a >，故13．三棱锥-P ABC 中，2PA PB PC ===，且,,PA PB PC 两两垂直．设三棱锥-P ABC 的外接球和内切球的表面积分别为S 外和S 内，则S S -=外内．14．九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，,,,,a b c d e这5个数字未知，且,b d为奇数，则5+>的概率为.a b9a7b c d4e5四、解答题15．在ABC 中，2221sin sin cos sin sin A B B A C +=-+.(1)求角C 的大小；(2)若D 在边AB 上，DC CB ⊥，且1AC AD ==，求ABC 的面积S .因为DC CB ⊥，所以ACD ∠16．某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下频率分布直方图：80,90,90,100两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人；(1)用分层随机抽样的方法从[)[](2)根据样本频率分布直方图估计样本的平均数；(3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线．（精确到1）17．春节过后，某大学四年级的5名大学生相约去人才市场应聘，其中小红、小东学的是建筑专业，小军、小英学的是通讯专业，小青学的是电气工程专业.(1)若从这5人中随机采访3人，求3人中至少有1人是通讯专业的概率；(2)若小红应聘成功的概率是12，小军应聘成功的概率是34，小青应聘成功的概率是23，这3名大学生的应聘结果相互独立，求这3人中至少有2人应聘成功的概率.18．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是菱形，60,DAB PA PD ∠=︒=，E ，F 分别为PC 和BD 的中点.(1)求证：//EF 平面PAD ；(2)在AD 上是否存在一点M ，使得平面PMB ⊥平面PAD ？若存在请证明，若不存在请说明理由.【答案】(1)证明见详解(2)存在，证明见详解【详解】（1）连接AC ，因为底面ABCD 是菱形，F 为BD 的中点，所以F 在AC 上且为AC 的中点，又因为E 是AC 的中点，//EF PA ∴，又EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，//EF ∴平面PAD ；（2）存在，证明如下：取AD 中点M ，连接PM ，BM ，,PA PD PM AD =∴⊥ ，又ABCD 是菱形，60,DAB ADB ∠=︒∴ 是等边三角形，BM AD∴⊥而,,PM BM M PM BM =⊂ 平面PMB ，AD ∴⊥平面PMB ，AD ⊂平面PAD ，∴平面PMB ⊥平面PAD .19．定义向量(),OM a b = 的“伴随函数”为.()sin cos f x a x b x =+；函数.()sin cos f x a x b x =+的“伴随向量”为(),.OM a b = (1)在OAB 中，已知()()6,33,3OA OB =-=- ，，点M 为边AB 上的点，且13OM OA OB λ=+ ，求出向量OM 的“伴随函数”()f x ，并直接写出()f x 的最大值M ；(2)已知向量22sin ,2,12sin 222x x x a b ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，函数()f x a b =⋅ ，求函数()f x 的“伴随向量”OM 的坐标；(3)已知1OM ON == ，向量OM ON 、的“伴随函数”分别为()f x 、()g x ，设()0,0OP OM ON λμλμ=+>> 且OP 的“伴随函数”为()h x ，其最大值为m .求证：向量OM ON = 的充要条件为.m λμ=+。
2023-2024学年高一数学真题汇编(人教A版2019必修第二册)下学期期末模拟卷(二)解析版
高一期末模拟卷（二）一、单选题1．方程240x x k -+=有一个根为12i +，则k 的值为（）A ．5B ．3C ．4D ．2【答案】A【详解】方程240x x k -+=有一个根为12i +，则方程240x x k -+=的另一个根为12i -，故()()12i 12i 5k +-==．故选：A ．2．设α，β是两个不同的平面，m ，l 是两条不同的直线，且l αβ= 则“//m l ”是“//m β且//m α”的（）A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三年级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若小组的每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（）A ．甲组中位数为3，极差为5B ．乙组平均数为2，众数为2C ．丙组平均数为2，方差为3D ．丁组平均数为2，第85百分位数为7【答案】C【详解】A 选项，假设存在选手失分超过7分，失8分，根据极差为5，得到最低失分为3分，此时中位数为3，故假设可以成立，故A 错误；B 选项，假设乙组的失分情况为0,0,1,1,2,2,2,2,2,8，满足平均数为2，众数为2，但该组不为“优秀小组”，B 错误；C 选项，丙组的失分情况从小到大排列依次为1210,,,x x x ，4．某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（）A ．恰有1名女生和恰有2名女生B ．至少有1名男生和至少有1名女生C ．至少有1名女生和全是女生D ．至少有1名女生和至多有1名男生5．已知OA OB OC ==，且0AB AC OA ++=，则BA 在OA 上的投影向量为（）A ．12OA B ．12OA - C ．14OA D ．OA【答案】A【详解】如图，依题意可得点O 为ABC 的外心，因为0AB AC OA ++= 所以AB CO =，则四边形设AO BC M ⋂=，则AO 因为AO BC ⊥，所以BA 6．某地开展植树造林活动，拟测量某座山的高．勘探队员在山脚A 测得山顶B 的仰角为45︒，他沿着坡角为15︒的斜坡向上走了100米后到达C ，在C 处测得山顶B 的仰角为60 ．设山高为BD ，若,,,A B C D 在同一铅垂面，且在该铅垂面上,A C 位于直线BD 的同侧，则BD =（）A ．米B ．C ．-D ．由正弦定理得sin AB ACB ∠()sin15sin 6045=-= 故选：B7．如图，棱锥P ABCD -的高3PO =，截面A B C D ''''平行于底面,ABCD PO 与截面交于点O '，且2OO '=.若四边形ABCD 的面积为36，则四边形A B C D ''''的面积为（）A ．12B ．16C ．4D ．88．给定一个正整数(3)n n ≥，从集合{1,2,3,,}n Ω= 中随机抽取一个数，记事件A =“这个数为偶数”，事件B =“这个数为3的倍数”.下列说法正确的是（）A ．若6n k =，*k ∈N ，则至少存在一个n ，使事件A 和事件B 不独立B ．若6n k ≠，*k ∈N ，则存在无穷多个n ，使事件A 和事件B 独立C ．若n 为奇数，则至少存在一个n ，使事件A 和事件B 独立D ．若n 为偶数，则对任意的n ，事件A 和事件B 独立,二、多选题9．连续地掷一枚质地均匀的股子两次，记录每次的点数，记事件A为“第一次出现2点”，事件B为“第二次的点数小于等于4点”，事件C为“两次点数之和为奇数”，事件D为“两次点数之和为9"，则下列说法正确的是（）A．A与B不是互斥事件B．B与D相互独立C．A与B相互独立D．A与C相互独立10．关于复数z，下面是真命题的是（）A ．若zz∈R ，则z ∈R B ．若2z ∈R ，则z ∈R C ．若22z z =，则z ∈R D ．若z ∈R ，则z ∈R11．四棱台1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，,E F 是直线1DD 上的两个动点，两个底面是正方形，3AB =，111A B =，12AA =，1EF =，则下列叙述正确的是（）A ．侧棱1BB 的长是B ．侧面11CDD C 是直角梯形C ．该棱台的全面积是18+D ．三棱锥B EFC -的体积是定值平面三、填空题12．如图，A B C ''' 是斜二测画法画出的水平放置的ABC 的直观图，D ¢是B C ''的中点，且//A D y '''轴，//B C x '''轴，1A D ''=，2B C ''=，则ABC 的面积为．【答案】2【详解】根据斜二测画法的规则，可得水平放置的ABC 的直观图，如图所示，因为//A D y '''轴，//B C x '''轴，且1A D ''=，2B C ''=，13．已知正四面体A BCD -，O 是底面BCD 的中心，以OA 为旋转轴，将正四面体旋转180︒后，与原四面体的公共部分的体积为2，则正四面体A BCD -外接球的体积为．设正四面体的棱长为a ，而33BO a =，则正六边形EFGHIJ 的边长133a EF BD ==因此公共部分的体积13A EFGHIJ EFGHIJ V S -=显然正四面体的外接球球心O '在AO 上，所以正四面体A BCD -外接球的体积V =276π14．费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于3时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为2π3．已知点P 为ABC 的费马点，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，若tan (2)tan b A c b B =-，3b =，BC 边上的中线长为72，则PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅ 的值为．由tan (2)tan b A c b B =-，则因为,,(0,π)A B C ∈，故sin sin A 四、解答题15．已知复数53i 12iz =+-+．(1)求||z ；(2)若复数z 是关于x 的实系数方程20x mx n ++=的一个根，求m n +的值．16．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c cos 2sin cos C a B B =-.(1)求角B 的大小；(2)若c b >，1b =，求ABC 周长的取值范围.17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，1BB ⊥平面ABC ，2AB BC ==，AB BC ⊥，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点.(1)求证：//MN 平面11BCC B ；(2)求直线MN 与平面11AAC C 所成角的正弦值.（2）在三棱柱ABC A -则1AA ⊥平面ABC ，即于是1AA MQ ⊥，11AC 直线MN 与平面11AAC C18．在某社区举办的《“环保我参与”有奖问答比赛》活动中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是14．若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中恰有2个家庭回答正确这道题的概率．19．作为一种新的出游方式，近郊露营在疫情之后成为市民休闲度假的“新风尚”.我市城市规划管理局拟将近郊的一直角三角形区域按如图所示规划成三个功能区：BNC 区域为自由活动区，MNC 区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓，CMA 区域规划供游客餐饮休息用.为安全起见，预在鱼塘MNC 四周围筑护栏.已知20m AC =，BC =，AC BC ⊥，30MCN ∠=︒.(1)若10m AM =时，求护栏的长度（MNC 的周长）；(2)若鱼塘MNC 的面积是“餐饮休息区”CMA 的面积的2倍，求ACM ∠；(3)当ACM ∠为何值时，鱼塘MNC 的面积最小，最小面积是多少？。
【典型题】高中必修二数学下期末第一次模拟试卷(及答案)
【典型题】高中必修二数学下期末第一次模拟试卷(及答案)一、选择题1．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，前n 项和是n S ，若9810S S S <<，则（ ）A ．0d >，170S >B ．0d <，170S <C ．0d >，180S <D ．0d >，180S >2．设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，//m β，则//αβ C ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥ D ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥3．已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥4．已知()()()sin cos ,02f x x x πωϕωϕωϕ=+++＞，＜，()f x 是奇函数，直线2y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则（ ） A ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 5．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A ．12尺 B ．815尺 C ．1629尺 D ．1631尺 7．已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=（ ）A ．68B ．67C ．61D ．608．函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．58-B ．58C ．78-D ．7810．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( ) A ．－3或7 B ．－2或8 C ．0或10D ．1或1111．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④12．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，7b =，8c =，则A C +=A ．90︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆C 1 : x 2 + y 2＝8与圆C 2 : x 2+y 2+2x +y -a ＝0相交于A ，B 两点.若圆C 1上存在点P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为______.14．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值是__． 15．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.16．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,则不等式()()1ln f f x <的解集是________.17．如图，在矩形中，为边的中点，1AB =，2BC =，分别以A 、D 为圆心，1为半径作圆弧EB 、EC （在线段AD 上）.由两圆弧EB 、EC 及边所围成的平面图形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .18．关于函数()sin sin f x x x =+有如下四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；③()f x 最大值为2；④()f x 在[],ππ-上有四个零点，其中正确命题的序号是_______．19．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为_____．20．已知()()2,3,4,3A B -，点P 在直线AB 上，且32AP PB =，则点P 的坐标为________三、解答题21．某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[)70,80,[)80,90,[)90,100,[)90,100，[)100,110，[)110,120.()1求图中m 的值；()2根据频率分布直方图,估计这200名学生的平均分；()3若这200名学生的数学成绩中,某些分数段的人数x 与英语成绩相应分数段的人数y 之比如表所示,求英语成绩在[)90,120的人数.分数段[)90,100[)100,110[)110,120:x y6:51:21:122．已知23()sin cos 3cos f x x x x =+- （1）求函数()f x 的对称轴方程；（2）求函数()f x 在[0，]π上的单调递增区间.23．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；24．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455--，）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 25．已知平面向量()3,4a =，()9,b x =，()4,c y =，且//a b ，a c ⊥. （1）求b 和c ；（2）若2m a b =-，n a c =+，求向量m 与向量n 的夹角的大小. 26．已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列{}n a 的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论. 【详解】9810S S S <<，90a ∴<，9100a a +>，100a ∴>，0d >. 179017S a =<∴，()1891090S a a =+>.故选：D. 【点睛】本题考查利用等差数列的前n 项和判断数列的单调性以及不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.2．C解析：C 【解析】 【分析】根据空间线面关系、面面关系及其平行、垂直的性质定理进行判断． 【详解】对于A 选项，若//m α，//n α，则m 与n 平行、相交、异面都可以，位置关系不确定； 对于B 选项，若l αβ=，且//m l ，m α⊄，m β⊄，根据直线与平面平行的判定定理知，//m α，//m β，但α与β不平行；对于C 选项，若//m n ，n α⊥，在平面α内可找到两条相交直线a 、b 使得n a ⊥，n b ⊥，于是可得出m a ⊥，m b ⊥，根据直线与平面垂直的判定定理可得m α⊥； 对于D 选项，若αβ⊥，在平面α内可找到一条直线a 与两平面的交线垂直，根据平面与平面垂直的性质定理得知a β⊥，只有当//m a 时，m 才与平面β垂直． 故选C ． 【点睛】本题考查空间线面关系以及面面关系有关命题的判断，判断时要根据空间线面、面面平行与垂直的判定与性质定理来进行，考查逻辑推理能力，属于中等题．3．B解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.4．A解析：A 【解析】 【分析】首先整理函数的解析式为()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数为奇函数可得4πϕ=-，由最小正周期公式可得4ω=，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可. 【详解】由函数的解析式可得：()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 函数为奇函数，则当0x =时：()4k k Z πϕπ+=∈.令0k =可得4πϕ=-.因为直线y =与函数()f x 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π结合最小正周期公式可得：22ππω=，解得：4ω=.故函数的解析式为：()4f x x =.当3,88x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，34,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数在所给区间内单调递减； 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()40,x π∈，函数在所给区间内不具有单调性； 据此可知，只有选项A 的说法正确. 故选A . 【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，考查了三角函数的周期性、单调性，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.6．C解析：C 【解析】试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为，,求公差，，解得：尺，故选C.考点：等差数列7．B解析：B 【解析】 【分析】首先运用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可得到答案． 【详解】当1n =时，112S a ==-；当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦，故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩；所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S +++=-+++++=-=-⨯-=.故选：B ． 【点睛】本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.8．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 9．C解析：C 【解析】 由题意可得：1sin sin cos 32664ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则217cos 2cos 22cos 121366168πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 本题选择C 选项.10．A解析：A 【解析】试题分析：根据直线平移的规律，由直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值．解：把圆的方程化为标准式方程得（x+1）2+（y ﹣2）2=5，圆心坐标为（﹣1，2），半径为，直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2（x+1）﹣y+λ=0， 因为该直线与圆相切，则圆心（﹣1，2）到直线的距离d==r=，化简得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5， 解得λ=﹣3或7 故选A考点：直线与圆的位置关系．11．C解析：C 【解析】 【分析】用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性. 【详解】对于①，连接AC 如图所示，由于//,//MN AC NP BC ，根据面面平行的性质定理可知平面//MNP 平面ACB ，所以//AB 平面MNP .对于②，连接BC 交MP 于D ，由于N 是AC 的中点，D 不是BC 的中点，所以在平面ABC 内AB 与DN 相交，所以直线AB 与平面MNP 相交.对于③，连接CD ，则//AB CD ，而CD 与PN 相交，即CD 与平面PMN 相交，所以AB 与平面MNP 相交.对于④，连接CD ，则////AB CD NP ，由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .综上所述，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④. 故选：C 【点睛】本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.12．B解析：B 【解析】 【分析】由已知三边，利用余弦定理可得1cos 2B =，结合b c <，B 为锐角，可得B ，利用三角形内角和定理即可求AC +的值． 【详解】 在ABC ∆中，5a =，7b =，8c =，∴由余弦定理可得：2222564491cos 22582a cb B ac +-+-===⨯⨯，b c <，故B 为锐角，可得60B =︒，18060120A C ∴+=︒-︒=︒，故选B ． 【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．二、填空题13．【解析】【分析】先求得直线为：再分别讨论或和的情况根据几何性质求解即可【详解】由题则直线为：当或时设到的距离为因为等腰直角三角形所以即所以所以解得当时经过圆心则即故答案为：【点睛】本题考查圆与圆的位 解析：{}8,825,825-+【解析】 【分析】先求得直线AB 为：280x y a ++-=,再分别讨论90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒和90APB ∠=︒的情况,根据几何性质求解即可 【详解】由题,则直线AB 为：280x y a ++-=,当90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒时,设1C 到AB 的距离为d , 因为ABP △等腰直角三角形, 所以12d AB =,即2182d d =-,所以2d =, 所以228221a d -==+,解得825a =±,当90APB ∠=︒时,AB 经过圆心1C ,则80a -=,即8a =, 故答案为：{}8,825,825-+ 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用,考查分类讨论思想和数形结合思想14．【解析】由已知是与的等比中项则则当且仅当时等号成立故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质等比数列的性质其中熟练应用乘1法是解题的关键 解析：【解析】由已知0,0a b >>, 3是3a 与b 的等比中项，则()233,1a b ab =⋅∴=则111111122ab a b ab a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立 故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．15．2米【解析】【分析】【详解】如图建立直角坐标系设抛物线方程为将A （2-2）代入得m=-2∴代入B 得故水面宽为米故答案为米考点：抛物线的应用解析：26米 【解析】 【分析】 【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2x my =，将A （2，-2）代入2x my =， 得m=-2，∴22x y =-，代入B ()0,3x -得06x =，故水面宽为26米，故答案为26米． 考点：抛物线的应用16．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为解析：()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【解析】由定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,可得函数()f x 在区间()0+∞，上是增函数,所以由不等式()()1ln f f x <得ln 1x >,即ln 1x >或ln 1x <-,解得x e >或10e x <<,即不等式()()1ln f f x <的解集是()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭;故答案为()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭. 17．【解析】由题意可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中圆柱的底面半径为1母线长为2；体积为；两个半球的半径都为1则两个半球的体积为；则所求几何体的体积为考点：旋转体的组合体 解析：【解析】由题意，可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中，圆柱的底面半径为1，母线长为2；体积为；两个半球的半径都为1，则两个半球的体积为；则所求几何体的体积为 .考点：旋转体的组合体.18．①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性可判断出命题①的正误；在时去绝对值化简函数的解析式可判断函数在区间上的单调性可判断命题②的正误；由以及可判断出命题③的正误；化简函数在区间上的解析解析：①③ 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义判定函数()y f x =的奇偶性，可判断出命题①的正误；在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，去绝对值，化简函数()y f x =的解析式，可判断函数()y f x =在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性，可判断命题②的正误；由22f π⎛⎫=⎪⎝⎭以及()2f x ≤可判断出命题③的正误；化简函数()y f x =在区间[],ππ-上的解析式，求出该函数的零点，即可判断命题④的正误. 【详解】对于命题①，函数()sin sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，且()()()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x f x -=-+-=+-=+=，该函数为偶函数，命题①正确； 对于命题②，当2x ππ<<时，sin 0x >，则()sin sin 2sin f x x x x =+=，则函数()y f x =在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，命题②错误；对于命题③，sin 1x ∴≤，sin 1x ≤，()2f x ∴≤，又22f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =的最大值为2，命题③正确；对于命题④，当0πx <<时，sin 0x >，()sin sin 2sin 0f x x x x =+=>， 由于该函数为偶函数，当0x π-<<时，()0f x >， 又()()()00f f f ππ=-==，所以，该函数在区间[],ππ-上有且只有三个零点.因此，正确命题的序号为①③. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查与三角函数相关命题真假的判断，涉及三角函数的奇偶性、单调性、最值以及零点的判断，解题的关键就是将三角函数的解析式化简，考查推理能力，属于中等题.19．2x ﹣4y+3＝0【解析】【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大此时直线l 与直线垂直即可算出的斜率求得直线l 的方程【详解】由题得当∠ACB 最小时直线l 与直线垂直此时又故又直线l 过点解析：2x ﹣4y +3＝0 【解析】 【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程. 【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==-- ,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+= . 故答案为：2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.20．【解析】【分析】设点得出向量代入坐标运算即得的坐标得到关于的方程从而可得结果【详解】设点因为点在直线且或即或解得或;即点的坐标是【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的坐标表示以及平面向量的共线问题意解析：(8,-15)， 163,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】设点(),P x y ,得出向量33,22AP BP AP BP ==-,代入坐标运算即得P 的坐标，得到关于,x y 的方程，从而可得结果.【详解】 设点(),P x y ,因为点P 在直线,且3||||2AP PB =, 33,22AP BP AP BP ∴==-, 3(2,3)(4,3)2x y x y ∴--=-+或, 3(2,3)(4,3)2x y x y ∴--=--+，即243122639x x y y -=-⎧⎨-=+⎩或243122639x x y y -=-+⎧⎨-=--⎩,解得815x y =⎧⎨=-⎩或16535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩; 即点P 的坐标是(8,-15)，163,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的坐标表示以及平面向量的共线问题,意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.三、解答题21．（1）0.005m =（2）平均数为93（3）140人 【解析】 【分析】(1)根据面积之和为1列等式解得.(2)频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数, (3)先计算出各分数段上的成绩,再根据比值计算出相应分数段上的英语成绩人数相加即可. 【详解】解：()1由()1020.020.030.041m ⨯+++=, 解得0.005m =.()2频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数,即估计平均数为0.05750.4850.3950.21050.0511593⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.()3由频率分布直方图可求出这200名学生的数学成绩在[)90,100,[)100,110,[)110,120的分别有60人,40人,10人,按照表中给的比例,则英语成绩在[)90,100,[)100,110,[)110,120的分别有50人,80人,10人,所以英语成绩在[)90,120的有140人. 【点睛】本题考查了频率分布直方图,属中档题. 22．（1）对称轴方程为()212k x k Z ππ=+∈（2）单调递增区间为[0，]12π和7[,]12ππ【解析】 【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式对函数进行整理，可得()sin(2)3f x x π=+，令2()32x k k Z πππ+=+∈即可求出对称轴.（2）由（1）知，令222()232k x k k Z πππππ-+++∈，即可求出函数的单调递增区间，令0k =和1可求得函数在[0，]π上的单调递增区间. 【详解】解：（1）已知2()sin cos f x x x x =+1sin 2cos 2)2x x =+ sin(2)3x π=+，令2()32x k k Z πππ+=+∈，解得：()212k x k Z ππ=+∈， 所以函数()f x 的对称轴方程为()212k x k Z ππ=+∈. （2）由（1）得：令：222()232k x k k Z πππππ-+++∈，整理得：5()1212k x k k Z ππππ-++∈，当0k =和1时， 函数在[0，]π上的单调递增区间为[0，]12π和7[,]12ππ. 【点睛】本题考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了三角函数的对称轴求解，考查了三角函数单调区间的求解.本题的关键是对函数解析式的化简.本题的易错点是在求单调区间时，解不等式求错.23．（1）见解析；（2）见解析； 【解析】 【分析】（1）要证BD⊥平面PAC ，只需在平面PAC 上找到两条直线跟BD 垂直即证，显然AC BD ⊥，从PA ⊥平面ABCD 中可证PA BD ⊥，即证. (2)要证明平面PAB⊥平面PAE,可证 A E ⊥平面PAB 即可. 【详解】（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA BD ⊥； 因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥; 因为PA AC A ⋂=,,PA AC ⊂平面PAC ,所以BD ⊥平面PAC .（2）证明：因为底面ABCD 是菱形且60ABC ∠=︒，所以ACD ∆为正三角形，所以AE CD ⊥,因为//AB CD ,所以AE AB ⊥；因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD , 所以AE PA ⊥； 因为PA AB A ⋂= 所以AE ⊥平面PAB ，AE ⊂平面PAE ,所以平面PAB ⊥平面PAE .【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 24．（Ⅰ）45；（Ⅱ）5665- 或1665. 【解析】 【分析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得sin α，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得cos α，再根据同角三角函数关系得()cos αβ+，最后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式求结果. 【详解】详解：（Ⅰ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得4sin 5α=-， 所以()4sin πsin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得3cos 5α=-， 由()5sin 13αβ+=得()12cos 13αβ+=±. 由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=. 点睛：三角函数求值的两种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 25．（1）()9,12b =，()4,3c =-；（2）34π. 【解析】 【分析】（1）利用共线向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示并结合条件//a b ，a c ⊥，列方程求出x 、y 的值，可得出向量b 和c 的坐标；（2）求出m 、n 的坐标，利用向量数量积的坐标运算计算出向量m 与向量n 夹角的余弦值，由夹角的取值范围可求出这两个向量夹角的值. 【详解】（1）()3,4a =，()9,b x =，()4,c y =，且//a b ，a c ⊥，3493440x y =⨯⎧∴⎨⨯+=⎩， 解得123x y =⎧⎨=-⎩，因此，()9,12b =，()4,3c =-；（2）()()()223,49,123,4m a b =-=⨯-=--，()()()3,44,37,1n a c =+=+-=，则374125m n ⋅=-⨯-⨯=-，()()22345m ∴=-+-=，227152n =+=，设m 与n 的夹角为θ，2cos ,2552m n m n m n⋅∴===-⨯⋅，0θπ≤≤，则34πθ=. 因此，向量m 与向量n 的夹角为34π. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及共线向量、向量垂直以及利用坐标计算向量的夹角，解题的关键就是将问题转化为向量的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.26．（1）2nn a =（*n N ∈）；（2）()16232n n T n +=+-．【解析】 【分析】（1）根据等比数列通项的性质求出34,a a 的表达式，利用等差中项列方程求得公比，然后求得数列的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得数列{}n n a b 的前n 项和n T 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公比为，因为24a =，所以34a q =，244a q =．因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+． 即()224244q q +=+，化简得220q q -=．因为公比0q ≠，所以2q ．所以222422n n n n a a q--==⨯=（*n N ∈）． （2）因为2nn a =，所以22log 121n n b a n =-=-．()212n n n a b n =-．则()()231123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，①()()23412123252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-.②①－②得，()2312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--()()()11141222212623212n n n n n -++-=+⨯--=----，所以()16232n n T n +=+-．【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，等比数列通项公式的求解，考查等差中项的性质，考查错位相减求和法求数列的前n 项和，属于中档题.。
新高中必修二数学下期末模拟试卷(附答案)
新高中必修二数学下期末模拟试卷(附答案)一、选择题1．已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为33．已知()()()sin cos ,02f x x x πωϕωϕωϕ=+++＞，＜，()f x 是奇函数，直线2y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则（ ） A ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 4．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A ．53B ．103C ．56D ．1165．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π6．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，//m α，则//l m7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A ．12尺 B ．815尺 C ．1629尺 D ．1631尺 8．函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若函数()sin cos f x x x ωω=-(0)>ω在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值不可能为（ ） A ．14B ．15C ．12D ．3410．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x =-，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面1ACC A 所成角的大小为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．9012．在ABC ∆中，2cos (,b,22A b ca c c+=分别为角,,A B C 的对边)，则ABC ∆的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形二、填空题13．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为______．14．设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.233a b c-=，则222a cb ac+-的取值范围为______. 15．已知a 0>，b 0>，且111a b +=，则b3a 2b a++的最小值等于______． 16．若直线1x y -=与直线(3)80m x my ++-=平行，则m =______________．17．已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为__________．18．已知数列{}n a 满足1121,2n n a a a n +==+，则na n的最小值为_______. 19．如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN 的最小值是_____.20．设a ，b 是非零实数，且满足sincos1077tan 21cos sin 77a b a b πππππ+=-，则b a ＝_______．三、解答题21．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围. 22．已知23()sin cos 32f x x x x =+- （1）求函数()f x 的对称轴方程；（2）求函数()f x 在[0，]π上的单调递增区间. 23．将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象．（1）若()f x 为偶函数，求()fϕ的值；（2）若()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数，求ϕ的取值范围．24．已知平面向量()3,4a =，()9,b x =，()4,c y =，且//a b ，a c ⊥. （1）求b 和c ；（2）若2m a b =-，n a c =+，求向量m 与向量n 的夹角的大小. 25．已知数列{}n a 满足()*112112n n n n na a a n Nb a a +==∈=+，，，． ()1证明数列{}n b 为等差数列；()2求数列{}n a 的通项公式．26．已知函数f(x)＝log 4(4x ＋1)＋kx(k ∈R)是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g(x)＝log 44•23xa a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．D解析：D 【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差3．A解析：A 【解析】 【分析】首先整理函数的解析式为()24f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数为奇函数可得4πϕ=-，由最小正周期公式可得4ω=，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可. 【详解】由函数的解析式可得：()24f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数为奇函数，则当0x =时：()4k k Z πϕπ+=∈.令0k =可得4πϕ=-.因为直线y =与函数()f x 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π 结合最小正周期公式可得：22ππω=，解得：4ω=.故函数的解析式为：()4f x x =.当3,88x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，34,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数在所给区间内单调递减； 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()40,x π∈，函数在所给区间内不具有单调性； 据此可知，只有选项A 的说法正确. 故选A . 【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，考查了三角函数的周期性、单调性，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．A解析：A 【解析】 【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，可得345127()a a a a a ++=+，5100S =，求出3a ，根据等差数列的通项公式，得到关于d 关系式，即可求出结论.【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ， 依题意可得，15535()51002a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.5．C解析：C 【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．考点：三视图与表面积．6．B解析：B 【解析】 【分析】利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D . 【详解】l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.7．C解析：C 【解析】试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为，,求公差，，解得：尺，故选C.考点：等差数列8．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 9．D解析：D 【解析】∵()sin cos 2sin (0)4f x x x x πωωωω⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭∴令22,242k x k k Z ππππωπ-+≤-≤+∈，即232,44k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈ ∵()sin cos (0)f x x x ωωω=->在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增∴42ππω-≤-且342ππω≥ ∴102ω<≤故选D. 10．A 解析：A 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得()f x 的图象，据此分析可得答案. 【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以它的图象关于原点对称，且()00f =， 已知当0x >时，()32f x x =-， 作出函数图象如图所示， 从图象知：33022f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则不等式()0f x >的解集为33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，考查数形结合思想.11．A解析：A【解析】 【分析】由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ，求得1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，在1BC O ∆中，即可求解． 【详解】由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ,因为正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1， 所以1,BO AC BOAA ⊥⊥，因为1AC AA A ⋂=，所以BO ⊥平面11ACC A ， 所以1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角， 因为222113131(),(2)()2222BO C O =-==+=， 所以11332tan 332BO BC O OC ∠===， 所以0130BC O ∠=，1BC 与侧面11ACC A 所成的角030．【点睛】本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中空间几何体的线面位置关系，得到1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化与化归思想，属于中档试题．12．A解析：A 【解析】 【分析】 根据正弦定理得到1cos sin sin 22sin A B C C ++=，化简得到sin cos 0A C =，得到2C π=，得到答案. 【详解】2cos 22A b c c +=，则1cos sin sin 22sin A B C C++=， 即sin cos sin sin cos cos sin sin C A C A C A C C +=++，即sin cos 0A C =，sin 0A ≠，故cos 0C =，2C π=.故选：A . 【点睛】本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题13．36π【解析】三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上SC 是球O 的直径若平面SCA ⊥平面SCBSA=ACSB=BC 三棱锥S−ABC 的体积为9可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形设球的半解析：36π 【解析】三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径， 若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S−ABC 的体积为9， 可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为r ， 可得112932r r r ⨯⨯⨯⨯= ，解得r=3. 球O 的表面积为：2436r ππ= .点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.14．【解析】【分析】把已知式用正弦定理化边为角由两角和的正弦公式和诱导公式化简可求得即角从而得角的范围注意由余弦定理可得结论【详解】因为所以所以即又所以则因为所以而故故答案为：【点睛】本题考查正弦与余弦解析：()()0,2【解析】 【分析】把已知式用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求得cos C ，即C 角，从而得B 角的范围，注意2B π≠，由余弦定理可得结论．【详解】=，所以()()2cos cos cos cos 0a C B B C =⋅≠，所以()2sin cos cos A B C C B =，即()2sin cos A C C B A +=，又sin 0A >，所以cos 2C =， 则6C π=，因为cos 0B ≠，所以50,,226B πππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而2222cos a c b B ac +-=，故()()2220,2a c b ac+-∈.故答案为：()()0,2．【点睛】本题考查正弦与余弦定理的应用，考查运算求解能力.本题是一个易错题，学生容易忽略cos B 不能等于0.15．11【解析】分析：构造基本不等式模型化简整理应用基本不等式即可得出答案详解：当且仅当时取等号的最小值等于11故答案为11点睛：本题考查基本不等式的性质与应用同时考查了整体思想与转化思想的运用解析：11 【解析】分析：构造基本不等式模型1132()(32)b ba b a b a a b a++=+++，化简整理，应用基本不等式，即可得出答案. 详解：111a b+=， ∴1132()(32)53()b b b a a b a b a a b a a b++=+++=++ 0a >，0b >，∴0ba >，0ab>， ∴2b aa b+≥，当且仅当2a b ==时取等号. 325611ba b a++≥+=. ∴32ba b a++的最小值等于11.故答案为11. 点睛：本题考查基本不等式的性质与应用，同时考查了整体思想与转化思想的运用.16．【解析】【分析】由题意得到关于m 的方程解方程即可求得最终结果【详解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：解得：此时两直线方程分别为：两直线不重合据此可知：【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件解析：32-【解析】 【分析】由题意得到关于m 的方程，解方程即可求得最终结果. 【详解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：()()1130m m ⨯--⨯+=， 解得：32m =-，此时两直线方程分别为：1x y -=，338022x y --=， 两直线不重合，据此可知：32m =-. 【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．2【解析】抛物线的准线为与圆相切则解析：2 【解析】抛物线的准线为2px =-，与圆相切，则342p +=，2p =． 18．【解析】【分析】根据递推公式和累加法可求得数列的通项公式代入中由数列中的性质结合数列的单调性即可求得最小值【详解】因为所以从而…累加可得而所以则因为在递减在递增当时当时所以时取得最小值最小值为故答案解析：415. 【解析】 【分析】根据递推公式和累加法可求得数列{}n a 的通项公式.代入na n中,由数列中*n N ∈的性质,结合数列的单调性即可求得最小值. 【详解】因为12n n a a n +=+,所以12n n a a n +-=, 从而12(1)(2)n n a a n n --=-≥ …,3222a a -=⨯ 2121a a -=⨯,累加可得12[12(1)]n a a n -=⨯++⋅⋅⋅+-,2(1)22n nn n -=⨯=-而121,a =所以221n a n n =-+,则221211n a n n n n n n-+==+-, 因为21()1f n n n=+-在(0,4]递减,在[5,)+∞递增 当4n =时,338.254n a n ==, 当5n =时,418.25n a n ==, 所以5n =时n a n 取得最小值,最小值为415. 故答案为:415【点睛】本题考查了利用递推公式及累加法求数列通项公式的方法,数列单调性及自变量取值的特征,属于中档题.19．【解析】【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数 解析：77【解析】 【分析】根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出,AM AN .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2MN ,结合二次函数性质即可求得最小值. 【详解】根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=- 线段EF BC 、的中点分别为M N 、则()()1122AM AE AF AB AC λμ=+=+ ()12AN AB AC =+ 由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2211112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭因为(),0,1λμ∈ 所以当17μ=时, 2MN 取得最小值17因而minMN==故答案为: 7【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.20．【解析】【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出即可求得结论【详解】因为（tanθ）∴∴tanθ＝tan （kπ）∴故答案为【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用考查了两角和的正切公式【解析】 【分析】先把已知条件转化为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-．利用正切函数的周期性求出3k πθπ=+，即可求得结论．【详解】因为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-，（tanθb a =） ∴10721k ππθπ+=+ ∴3k πθπ=+．tanθ＝tan （k π3π+）=∴ba=． 【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，考查了两角和的正切公式，属于中档题．三、解答题21．(1) 3C π=.(2) .【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理求得1cos 2C =，即可求解C 角的值； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin 6a b A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据ABC ∆为锐角三角形，求得62A ππ<<，利用三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=，由余弦定理可知，222cos 122a b c C ab +-==，又∵(0,)C π∈，∴3C π=.（2）由正弦定理可知，2sin sin sin 3a b A Bπ===，即,a A b B ==∴sin )a b A B +=+2sin sin 3A A π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦2cos A A =+4sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，即，则2363A πππ<+<，所以4sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，综上+a b的取值范围为. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 22．（1）对称轴方程为()212k x k Z ππ=+∈（2）单调递增区间为[0，]12π和7[,]12ππ【解析】 【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式对函数进行整理，可得()sin(2)3f x x π=+，令2()32x k k Z πππ+=+∈即可求出对称轴.（2）由（1）知，令222()232k x k k Z πππππ-+++∈，即可求出函数的单调递增区间，令0k =和1可求得函数在[0，]π上的单调递增区间. 【详解】解：（1）已知2()sin cos2f x x x x =+-1sin 2cos 2)222x x =++-， sin(2)3x π=+，令2()32x k k Z πππ+=+∈，解得：()212k x k Z ππ=+∈， 所以函数()f x 的对称轴方程为()212k x k Z ππ=+∈. （2）由（1）得：令：222()232k x k k Z πππππ-+++∈，整理得：5()1212k x k k Z ππππ-++∈，当0k =和1时， 函数在[0，]π上的单调递增区间为[0，]12π和7[,]12ππ. 【点睛】本题考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了三角函数的对称轴求解，考查了三角函数单调区间的求解.本题的关键是对函数解析式的化简.本题的易错点是在求单调区间时，解不等式求错. 23．（1）0；（2）,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】 【分析】（1）首先化简()g x 解析式，然后求得左移ϕ个单位后函数()f x 的解析式，根据()f x 的奇偶性求得ϕ的值，进而求得()fϕ的值.（2）根据（1）中求得的()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，求得226x πϕ++的取值范围，根据ϕ的取值范围，求得22πϕ+的取值范围，根据()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数，以及正弦型函数的单调性列不等式，解不等式求得ϕ的取值范围. 【详解】（1）()()14sin sin 21cos 22g x x x x x x ⎫=-=--⎪⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()2sin 2216f x x πϕ⎛⎫∴=++- ⎪⎝⎭，又()f x 为偶函数，则262k ϕππ+=+π（k Z ∈），02πϕ<≤，6πϕ∴=．()06f f πϕ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭．（2）7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫∴++∈++++⎪⎝⎭， 02πϕ<≤，72,666πππϕ⎛⎤∴+∈ ⎥⎝⎦，32,222πππϕ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦， ()f x 在7,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数．262ππϕ∴+≥且02πϕ<≤． ,62ππϕ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦．【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查根据三角函数的奇偶性求参数，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间有关问题的求解，考查运算求解能力，属于中档题. 24．（1）()9,12b =，()4,3c =-；（2）34π.【解析】 【分析】（1）利用共线向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示并结合条件//a b ，a c ⊥，列方程求出x 、y 的值，可得出向量b 和c 的坐标；（2）求出m 、n 的坐标，利用向量数量积的坐标运算计算出向量m 与向量n 夹角的余弦值，由夹角的取值范围可求出这两个向量夹角的值. 【详解】 （1）()3,4a =，()9,b x =，()4,c y =，且//a b ，a c ⊥，3493440x y =⨯⎧∴⎨⨯+=⎩， 解得123x y =⎧⎨=-⎩，因此，()9,12b =，()4,3c =-；（2）()()()223,49,123,4m a b =-=⨯-=--，()()()3,44,37,1n a c =+=+-=，则374125m n ⋅=-⨯-⨯=-，()(35m ∴=-+-=，271n =+=设m 与n 的夹角为θ，cos ,255m n m n m n⋅∴===-⨯⋅，0θπ≤≤，则34πθ=. 因此，向量m 与向量n 的夹角为34π. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及共线向量、向量垂直以及利用坐标计算向量的夹角，解题的关键就是将问题转化为向量的坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 25．（1）见解析；（2）21n a n =+ 【解析】 【分析】（1）已知递推关系取倒数，利用等差数列的定义，即可证明.（2）由（1）可知数列{}n b 为等差数列，确定数列{}n b 的通项公式，即可求出数列{}n a 的通项公式． 【详解】()1证明：10a ≠，且有122nn n a a a +=+， ∴()*0n a n N ≠∈，又1n nb a =，∴1121111222n n n n n n a b b a a a +++===+=+，即()*112n n b b n N +-=∈，且1111b a ==， ∴{}n b 是首项为1，公差为12的等差数列． ()2解：由()1知()111111222n n n b b n -+=+-⨯=+=，即112nn a +=， 所以21n a n =+． 【点睛】本题考查数列递推关系、等差数列的判断方法，考查了运用取倒数法求数列的通项公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题. 26．（1）k ＝－12.（2）{－3}∪(1，＋∞)． 【解析】(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，∴log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx.log 44141x x －＋＋＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－12.(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 44•23xa a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－有且只有一个实根，化简得方程2x ＋12x＝a·2x－43a 有且只有一个实根．令t ＝2x >0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根． ①a ＝1t ＝－34，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a ＝34或－3.若a ＝34t ＝－2，不合题意，若a ＝－3t ＝12；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即11a --<0a>1. 综上，实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．。
【典型题】高中必修二数学下期末模拟试卷(含答案)
【典型题】高中必修二数学下期末模拟试卷(含答案)一、选择题1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =A ．5B ．7C ．9D ．112．已知向量()cos ,sin a θθ=v ，()1,2b =v ，若a v 与b v 的夹角为6π，则a b +=v v （ ）A ．2B ．7C ．2D ．13．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l m D ．若//l α，//m α，则//l m5．函数()23sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 6．C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a r ，b r 满足2a AB =u u u r r ，C 2a b A =+u u u r r r ，则下列结论正确的是（ ）A ．1b =rB ．a b ⊥r rC ．1a b ⋅=r rD ．()4C a b +⊥B u u u r r r7．若||1OA =u u u v ，||3OB u u u v 0OA OB ⋅=u u u v u u u v，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOBu u u v u u u v u u u v =+(,)m n R ∈，则mn的值为（ ） A ．13B ．3C ．33D 38．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A ．1B ．2C ．3D ．49．若函数()sin cos f x x x ωω=-(0)>ω在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值不可能为（ ） A ．14B ．15C ．12D ．3410．若tan()24πα+=，则sin cos sin cos αααα-=+（ ）A ．12B ．2C ．2-D ．12-11．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．412．若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ．14．奇函数()f x 对任意实数x 都有(2)()f x f x +=-成立，且01x 剟时，()21x f x =-，则()2log 11f =______.15．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________． 16．若(2,1)x ∃∈--，使不等式()24210x xm m -++>成立，则实数m 的取值范围为________. 17．()()()()()1tan11tan 21tan31tan 441tan 45︒︒︒︒︒+++++L =__________．18．设，则________19．函数sin 3y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到．20．某三棱锥的三视图如下图所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 ．三、解答题21．某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．组号分组频数频率160,16550.050第1组[)165,170①0.350第2组[)170,17530②第3组[)175,180200.200第4组[)180,185100.100第5组[)①②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；（1）请先求出频率分布表中,（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．f x=│x+1│–│x–2│.22．已知函数()（1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x ≥x 2–x +m 的解集非空，求实数m 的取值范围.23．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为18万元，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元， （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？24．已知圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=. （1）当a 为何值时，直线与圆C 相切.（2）当直线与圆C 相交于A 、B 两点，且AB =时，求直线的方程. 25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，38522a a a +=+． （1）求n a ； （2）设数列1{}n S 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．26．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A =，b =c =（1）求a ；（2）求cos()B A -的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】1353333,1a a a a a ++===，5153355()25522S a a a a =+=⨯==，选A. 2．B解析：B 【解析】 【分析】先计算a r 与b r的模，再根据向量数量积的性质22()a b a b +=+r r r r 即可计算求值.【详解】因为()cos ,sin a θθ=r，()1,2b =r ，所以||1a =r ，||3b =r. 又222222()2||2||||cos ||6a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π+r r r r r r r r r r r r312337=+⨯+=， 所以7a b +=r r，故选B.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.3．D解析：D 【解析】试题分析：，且，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．4．B解析：B 【解析】 【分析】利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D . 【详解】l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.5．A解析：A 【解析】 【分析】首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可. 【详解】 函数的解析式即：()223sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其单调增区间满足：()23222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得：()7131212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A . 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D解析：D 【解析】试题分析：2,2AB a AC a b ==+u u u r u u u r r Q rr ,AC AB b ∴=+u u u r u u u r r ,b AC AB BC ∴=-=u u u r u u u r u u u r r ．由题意知12,cos1201212b a b a b ⎛⎫=⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭or r r r r ．()()2422a b BC AB BC BC AB BC BC∴+⋅=+⋅=⋅+u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r 212cos1202222402AB BC ⎛⎫=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭o u u u r u u u r ．()4a b BC ∴+⊥u u u r r r ．故D 正确．考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直．7．B解析：B 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算即可算出． 【详解】解：30AOC ︒∠=Qcos ,2OC OA ∴<>=u u u r u u u rOC OA OC OA⋅∴=u u u r u u u r u u u r u u u r()2mOA nOB OA mOA nOBOA+⋅∴=+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r=1OA =Q，OB =，0OA OB ⋅=2=229m n ∴=又C Q 在AB 上0m ∴>，0n > 3m n∴= 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用．8．B解析：B 【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值. 详解：结合流程图运行程序如下： 首先初始化数据：20,2,0N i T ===，20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =. 本题选择B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．9．D解析：D 【解析】∵()sin cos (0)4f x x x x πωωωω⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭∴令22,242k x k k Z ππππωπ-+≤-≤+∈，即232,44k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈ ∵()sin cos (0)f x x x ωωω=->在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 ∴42ππω-≤-且342ππω≥ ∴102ω<≤故选D. 10．D 解析：D 【解析】由tan()24πα+=有tan 112,tan 1tan 3ααα+==-，所以11sin cos tan 1131sin cos tan 1213αααααα---===-+++，选D.点睛：本题主要考查两角和的正切公式以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题。
2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册期末模拟试题含答案
2022-2023学年高一第二学期期末模拟考试（新人教A 版）数学试题2023.61、满分为 150 分， 考试用时 120 分钟。
2．考试内容：必修第二册：第六章《平面向量及其应用 》，第七章《复数》，第八章《立体几何初步》，第九章《统计》，第十章《概率》 一、单项选择题（每小题5分，共40分）1、若(1)12(i z i +=−i 为虚数单位），则||(z =)A B C ．52D 2、若夹角为3π的非零向量a，b 满足||1a = 且()a a b ⊥− ，则||(b = )A ．1B C ．2D ．33、若m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是()A ．若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m nB ．若//m α，m β⊥，则αβ⊥C ．若αβ⊥，m αβ= ，m n ⊥，则n β⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，m β⊥，则//n β4、掷一枚质地均匀的骰子，记事件A =“出现的点数不超过3”，事件B =“出现的点数是3或6”．则事件A 与B 的关系为（ ）A ．事件A 与B 互斥 B ．事件A 与B 对立 C ．事件A 与B 独立D ．事件A 包含于B5、如图所示，BC 是一条水平的靠山公路，测绘人员在山顶A 处测得B ，C 两点的俯角分别为30°，60°，若山顶到公路所在水平面的距离AD =，120BDC ∠=°，则BC =（ ）m ．A 、B 、C 、D 、6、若向量(1,1)a − ，向量(4,3)b = ，则向量a在向量b 上的投影向量为()A ．43(,)2525−B ．43(,)2525−−C ．11(,)22−D ．43(,)55−−7、如图：已知正四面体ABCD 中E 在棱CD 上，2EC DE =，G 为ABC 的重心，则异面直线EG 与BD 所成角为（ ）A.30B.45°C.60°D.90°8、平面四边形PABC 中，2,2,3APC AB AC AC AB π∠⊥，则AP AB ⋅ 最小值（）A.2−B.1− C.− D.二、多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9、水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮。
人教版数学必修2期末模拟试题及答案
期末测试题考试时间： 90 分钟试卷满分： 100 分一、选择题1．点 ( 1，－ 1) 到直线 x－y＋ 1＝ 0 的距离是 ( ) ．A．1B ．3C． 2 D．3 2 2 2 2 22．过点 ( 1， 0) 且与直线 x－ 2y－ 2＝0 平行的直线方程是 ( ) ．A． x－ 2y－1＝ 0 B ． x－ 2y＋ 1＝ 0 C．2x＋ y－ 2＝0 D ．x＋ 2y－1＝ 0 3．以下直线中与直线2x＋ y＋ 1＝0 垂直的一条是 ( ) ．A． 2x― y―1＝ 0 B．x－ 2y＋ 1＝0C． x＋ 2y＋ 1＝0 D． x＋1y－ 1＝ 0 24．已知圆的方程为x2＋ y2－ 2x＋ 6y＋ 8＝ 0，那么经过圆心的一条直线方程是( ) ．A． 2x－ y－1＝ 0 B．2x＋ y＋ 1＝0C． 2x－ y＋ 1＝0 D． 2x＋ y－ 1＝ 05．如图 ( 1) 、( 2) 、( 3) 、( 4) 为四个几何体的三视图，依据三视图能够判断这四个几何体挨次分别为() ．（1）（2）（3）（4）A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台6．直线 3x＋ 4y－ 5＝ 0 与圆 2x2＋ 2y2― 4x― 2y＋ 1＝ 0 的地点关系是 ( ) ．A．相离B．相切C．订交但直线可是圆心D．订交且直线过圆心7．过点 P( a，5) 作圆 ( x＋ 2) 2＋ ( y－1) 2＝4 的切线，切线长为 2 3 ，则 a 等于 ( ) ．A．－ 1 B．－ 2 C．－ 3 D ． 08．圆 A : x2＋ y2＋ 4x＋2y＋ 1＝ 0 与圆 B : x2＋ y2― 2x―6y＋ 1＝ 0 的地点关系是 ( ) ．A．订交 B ．相离C．相切 D ．内含9．已知点 A( 2， 3， 5) ， B( －2， 1， 3) ，则 | AB| ＝ ( ) ．A． 6 B ． 2 6 C． 2 D．2 210．假如一个正四周体的体积为9 dm3，则其表面积S的值为 ( ) ．A． 18 3 dm2 B ． 18 dm2 C．12 3 dm2 D ． 12 dm211．如图，长方体ABCD － A1B1C1D 1中，AA1＝ AB＝ 2，AD＝ 1，E，F ，G 分别是 DD 1，AB ，CC1的中点，则异面直线A1E 与 GF 所成角余弦值是() ．( 第 11题)15B ．2C．10D ． 0A．2 5512．正六棱锥底面边长为a，体积为 3 a3，则侧棱与底面所成的角为( ) ．2A． 30°B．45°C．60°D．75°13．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的3 ，此梯形绕下底所在直线旋转2一周所成的旋转体表面积为( 5＋ 2 ) ，则旋转体的体积为 ( ) ．A． 2 B．4＋ 2 C．5＋ 2 D ．73 3 314．在棱长均为 2 的正四棱锥 P－ ABCD 中，点 E 为 PC 的中点，则以下命题正确的是 ( ) ．P A． BE∥平面 PAD ，且 BE 到平面 PAD 的距离为 3 E2 6 DB． BE∥平面 PAD ，且 BE 到平面 PAD 的距离为3 A CC． BE 与平面 PAD 不平行，且 BE 与平面 PAD 所成的角大于 30° BD．BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角小于 30°(第 14题)二、填空题15．在 y 轴上的截距为－6，且与 y 轴订交成30°角的直线方程是______________．16．若圆 B : x2＋ y2＋ b＝ 0 与圆 C : x2＋ y2－ 6x＋8y＋ 16＝ 0 没有公共点，则 b 的取值范围是 ________________ ．17．已知△ P1P2P3的三极点坐标分别为P1( 1，2) ，P2( 4，3) 和 P3( 3，－ 1) ，则这个三角形的最大边边长是__________，最小边边长是_________ ．18．已知三条直线ax＋ 2y＋ 8＝ 0，4x＋3y＝ 10 和 2x－ y＝ 10 中没有任何两条平行，但它们不可以组成三角形的三边，则实数 a 的值为 ____________．19．若圆 C : x2＋ y2－ 4x＋ 2y＋ m＝0 与 y 轴交于 A，B 两点，且∠ ACB＝ 90o，则实数 m的值为 __________ ．三、解答题20．求斜率为 3 ，且与坐标轴所围成的三角形的面积是 6 的直线方程．421．如下图，正四棱锥P－ ABCD 中，O 为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为 6 ．2( 1) 求侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角的大小；( 2) 若 E 是 PB 的中点，求异面直线PD 与 AE 所成角的正切值；( 3) 问在棱 AD 上能否存在一点 F ，使 EF ⊥侧面 PBC，若存在，试确立点 F 的地点；若不存在，说明原因．PEC BOD A(第 21题) 22．求半径为4，与圆 x2＋y2― 4x― 2y― 4＝ 0 相切，且和直线y＝ 0 相切的圆的方程．参照答案一、选择题1．D2．A 3． B 4．B 5．C 6．D 7．B 8．C 9．B10．A11． D12．B13．D14．D二、填空题15． y ＝ 3 x －6 或 y ＝―3 x ― 6．16．－ 4＜ b ＜ 0 或 b ＜－ 64． 17． 17， 10．18．－ 1．19．－ 3．三、解答题20．解： 设所求直线的方程为y ＝ 3 x ＋ b ，令 x ＝ 0，得 y ＝ b ；令 y ＝ 0，得 x ＝－ 4b ，4 3由已知，得12b · － 4 b ＝ 6，即 2b 2＝ 6， 解得 b ＝± 3．33故所求的直线方程是 y ＝ 3x ± 3，即 3x － 4y ±12＝ 0．4 21．解： ( 1) 取 AD 中点 M ，连结 MO ，PM ，依条件可知 AD ⊥MO ， AD ⊥PO ，则∠ PMO 为所求二面角 P － AD －O 的平面角．P∵ PO ⊥面 ABCD ，E∴∠ PAO 为侧棱 PA 与底面 ABCD 所成的角．∴ tan ∠ PAO ＝ 6．22a ，CB设 AB ＝ a ， AO ＝O2DMA∴ PO ＝ AO · tan ∠ POA ＝3a ，(第 21 题(1))2tan ∠ PMO ＝ PO＝ 3 ．MO ∴∠ PMO ＝60°．( 2) 连结 AE ， OE ， ∵OE ∥ PD ， P∴∠ OEA 为异面直线 PD 与 AE 所成的角．∵ AO ⊥BD ， AO ⊥ PO ，∴ AO ⊥平面 PBD ．又EOE 平面 PBD ，∴ AO ⊥OE ． ∵OE ＝ 1 PD ＝ 1CBPO2 ＋ DO 2 ＝ 5 a ，O 2 24MA∴ tan ∠ AEO ＝AO＝2D10 ．(第21 题( 2))EO5( 3) 延伸 MO 交 BC 于 N ，取 PN 中点 G ，连 BG ， EG ， MG ． ∵ BC ⊥ MN ， BC ⊥ PN ，∴ BC ⊥平面 PMN ．P∴平面 PMN ⊥平面 PBC ．又 PM ＝ PN ，∠ PMN ＝ 60°，∴△ PMN 为正三 EG角形．∴ MG ⊥ PN ．又平面 PMN ∩平面 PBC ＝ PN ，∴ MG ⊥平面 PBC ．CNB取 AM 中点 F ，∵ EG ∥MF ，∴ MF ＝ 1MA ＝O 2DMFAEG ，∴ EF ∥ MG ．(第 21 题(3))∴ EF ⊥平面 PBC ．点 F 为 AD 的四平分点． 22．解：由题意，所求圆与直线y ＝ 0 相切，且半径为 4，则圆心坐标为 O 1( a ， 4) ， O 1 ( a ，－ 4) ．又已知圆 x 2＋ y 2― 4x ― 2y ― 4＝ 0 的圆心为 O 2( 2， 1) ，半径为3，①若两圆内切，则 | O 1O 2| ＝ 4－3＝ 1．即 ( a －2) 2＋ ( 4－1) 2 ＝12，或 ( a －2) 2＋ ( － 4－1) 2＝ 12．明显双方程都无解．②若两圆外切，则 | O 1O 2| ＝ 4＋3＝ 7．即 ( a －2) 2＋ ( 4－1) 2 ＝72，或 ( a －2) 2＋ ( － 4－1) 2＝ 72．解得 a ＝ 2± 2 10 ，或 a ＝ 2± 2 6 ．∴所求圆的方程为( x ― 2― 2 10 ) 2＋( y － 4) 2＝ 16 或 ( x － 2＋ 2 10 ) 2＋ ( y －4) 2＝ 16；或 ( x ―2― 2 6 ) 2＋ ( y ＋ 4) 2＝ 16 或 ( x ― 2＋ 26 ) 2＋ ( y ＋4) 2＝ 16．。
新高中必修二数学下期末模拟试卷含答案
新高中必修二数学下期末模拟试卷含答案一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =A ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 3．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．73B ．8π3- C ．83D ．7π3- 4．在ABC ∆中，2AB =，2AC =，E 是边BC 的中点.O 为ABC ∆所在平面内一点且满足222OA OB OC ==，则·AE AO 的值为（ ） A ．12B ．1C ．22D ．325．已知D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，则xy 的取值范围是( )A ．14,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．(2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛 8．当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．[)0,+∞C ．[)0,4D ．（0，4）9．函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．10．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x =-，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，7b =，8c =，则A C +=A ．90︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒二、填空题13．在ABC △ 中，若223a b bc -= ，sin 23C B = ，则A 等于__________． 14．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____.15．已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为__________．16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1DD 、DC 上靠近点D 的三等分点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______.17．若x ，y 满足约束条件10,{30,30,x y x y x -+≥+-≥-≤则z=x−2y 的最小值为__________.18．已知圆的方程为x 2+y 2﹣6x ﹣8y ＝0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为19．关于函数()sin sin f x x x =+有如下四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；③()f x 最大值为2；④()f x 在[],ππ-上有四个零点，其中正确命题的序号是_______．20．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（−∞，0）上单调递增.若实数a 满足f（2|a-1|）＞f （2-），则a 的取值范围是______.三、解答题21．已知函数31()log 1a m xf x x -=-（0a >，且1a ≠）的图象关于坐标原点对称．（1）求实数m 的值；（2）比较()2f 与()3f 的大小，并请说明理由． 22．解关于x 的不等式2(1)10()ax a x a R -++>∈.23．记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值及对应n 的大小.24．已知(1,2),(2,1)(2)()a b m a t b n ka tb k R ==-=++=+∈，，． （1）若1t =，且m n ，求k 的值； （2）若t R ∈，且5m n =，求证：k 2≤．25．已知ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若()20a c cosB bcosC --=. (1)求角B 的大小；(2)若2b =，求a c +的取值范围.26．已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为()4,2A --，()4,2B ，()13C ，． （1）求边AB 上的高所在直线的一般式方程； （2）求边AB 上的中线所在直线的一般式方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可知，()min 19a x y x y ⎡⎤⎛⎫++≥⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦，将代数式()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于a 的不等式，解出即可. 【详解】()11a ax yx y a x y y x⎛⎫++=+++⎪⎝⎭. 若0xy <，则0yx<，从而1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意；若0xy >，则0yx>，0x y >.①当0a <时，1ax ya y x+++无最小值，不合乎题意； ②当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥不恒成立； ③当0a >时，())211111a ax y x y a a a x y y x⎛⎫++=+++≥+=+=⎪⎝⎭，当且仅当=y 时，等号成立.所以，)219≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.故选：C. 【点睛】本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.3．B解析：B 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为21118222123233ππ-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=.故选B. 【点睛】本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.4．D解析：D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可知()12AE AB AC =+，将所求数量积化为1122AB AO AC AO ⋅+⋅；由模长的等量关系可知AOB ∆和AOC ∆为等腰三角形，根据三线合一的特点可将AB AO ⋅和AC AO ⋅化为212AB 和212AC ，代入可求得结果.【详解】E 为BC 中点 ()12AE AB AC ∴=+ ()111222AE AO AB AC AO AB AO AC AO ∴⋅=+⋅=⋅+⋅ 222OA OB OC == AOB ∴∆和AOC ∆为等腰三角形211cos 22AB AO AB AO OAB AB AB AB ∴⋅=∠=⋅=，同理可得：212AC AO AC ⋅=22111314422AE AO AB AC ∴⋅=+=+= 本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.5．D解析：D 【解析】 【分析】利用已知条件推出x +y ＝1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值． 【详解】解：D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，可得x y 1+=，x ，12y ,33⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2x y 1xy ()24+≤=，当且仅当1x y 2==时取等号，并且()2xy x 1x x x =-=-，函数的开口向下， 对称轴为：1x 2=，当1x 3=或2x 3=时，取最小值，xy 的最小值为：29．则xy 的取值范围是：21,.94⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选D ． 【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．6．B解析：B 【解析】 【分析】计算函数()y f x =的表达式，对比图像得到答案. 【详解】 根据题意知：cos cos OM OP x x ==M 到直线OP 的距离为：sin cos sin OM x x x =1()cos sin sin 22f x x x x ==对应图像为B 故答案选B 【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.7．B解析：B 【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，所以163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式8．C解析：C 【解析】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点，则240k k k >⎧⎨=-<⎩解得：04k <<，综上k 的取值范围是[)0,4，故选C. 9．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 10．C解析：C 【解析】 【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.11．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得()f x 的图象，据此分析可得答案. 【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以它的图象关于原点对称，且()00f =， 已知当0x >时，()32f x x =-， 作出函数图象如图所示， 从图象知：33022f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则不等式()0f x >的解集为33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，考查数形结合思想.12．B解析：B 【解析】 【分析】由已知三边，利用余弦定理可得1cos 2B =，结合b c <，B 为锐角，可得B ，利用三角形内角和定理即可求A C +的值． 【详解】 在ABC ∆中，5a =，7b =，8c =，∴由余弦定理可得：2222564491cos 22582a cb B ac +-+-===⨯⨯，b c <，故B 为锐角，可得60B =︒，18060120A C ∴+=︒-︒=︒，故选B ． 【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．二、填空题13．【解析】由得所以即则又所以故答案为 解析：6π【解析】由sinC = 得c =， 所以222a b -==，即227a b =， 则2222222b c a cosA bc +-===，又0A π∈（，）， 所以6A π=． 故答案为6π. 14．【解析】设正方体边长为则外接球直径为【考点】球【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时可恢复为长方体利用长方体的体对角线为外接球的直径求出球的半径；（2）直棱 解析：92π 【解析】设正方体边长为a ，则226183a a =⇒= ，外接球直径为34427923,πππ3382R V R ====⨯=. 【考点】 球【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.15．2【解析】抛物线的准线为与圆相切则解析：2 【解析】抛物线的准线为2px =-，与圆相切，则342p +=，2p =． 16．【解析】【分析】连接可得出证明出四边形为平行四边形可得可得出异面直线与所成角为或其补角分析的形状即可得出的大小即可得出答案【详解】连接在正方体中所以四边形为平行四边形所以异面直线与所成的角为易知为等 解析：60【解析】 【分析】连接1CD ，可得出1//EF CD ，证明出四边形11A BCD 为平行四边形，可得11//A B CD ，可得出异面直线EF 与11A C 所成角为11BA C ∠或其补角，分析11A BC ∆的形状，即可得出11BA C ∠的大小，即可得出答案.【详解】连接1CD 、1A B 、1BC ，113DE DF DD DC ==，1//EF CD ∴， 在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D AD ，//AD BC ，11//A D BC ∴， 所以，四边形11A BCD 为平行四边形，11//A B CD ∴， 所以，异面直线EF 与11A C 所成的角为11BA C ∠. 易知11A BC ∆为等边三角形，1160BA C ∴∠=.故答案为：60. 【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线法，选择合适的三角形求解，考查计算能力，属于中等题.17．【解析】【分析】【详解】试题分析：由得记为点；由得记为点；由得记为点分别将ABC 的坐标代入得所以的最小值为【考点】简单的线性规划【名师点睛】利用线性规划求最值一般用图解法求解其步骤是：（1）在平面直 解析：5-【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：由10{30x y x y -+=+-=得12x y =⎧⎨=⎩，记为点()1,2A ；由10{30x y x -+=-=得34x y =⎧⎨=⎩，记为点()3,4Β；由30{30x x y -=+-=得3x y =⎧⎨=⎩，记为点()3,0C .分别将A ，B ，C 的坐标代入2z x y =-，得1223Αz =-⨯=-，3245Βz =-⨯=-，3203C z =-⨯=，所以2z x y =-的最小值为5-．【考点】 简单的线性规划 【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： （1）在平面直角坐标系内作出可行域；（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； （4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．18．20【解析】【分析】根据题意可知过（35）的最长弦为直径最短弦为过（35）且垂直于该直径的弦分别求出两个量然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可【详解】解：圆的标准方程为（x ﹣解析：6 【解析】 【分析】根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可． 【详解】解：圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝52， 由题意得最长的弦|AC |＝2×5＝10，根据勾股定理得最短的弦|BD |＝=，且AC ⊥BD ，四边形ABCD 的面积S ＝|12AC |•|BD |12=⨯10×=．故答案为． 【点评】考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半．19．①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性可判断出命题①的正误；在时去绝对值化简函数的解析式可判断函数在区间上的单调性可判断命题②的正误；由以及可判断出命题③的正误；化简函数在区间上的解析解析：①③ 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义判定函数()y f x =的奇偶性，可判断出命题①的正误；在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，去绝对值，化简函数()y f x =的解析式，可判断函数()y f x =在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性，可判断命题②的正误；由22f π⎛⎫=⎪⎝⎭以及()2f x ≤可判断出命题③的正误；化简函数()y f x =在区间[],ππ-上的解析式，求出该函数的零点，即可判断命题④的正误. 【详解】对于命题①，函数()sin sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，且()()()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x f x -=-+-=+-=+=，该函数为偶函数，命题①正确； 对于命题②，当2x ππ<<时，sin 0x >，则()sin sin 2sin f x x x x =+=，则函数()y f x =在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，命题②错误；对于命题③，sin 1x ∴≤，sin 1x ≤，()2f x ∴≤，又22f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =的最大值为2，命题③正确；对于命题④，当0πx <<时，sin 0x >，()sin sin 2sin 0f x x x x =+=>， 由于该函数为偶函数，当0x π-<<时，()0f x >， 又()()()00f f f ππ=-==，所以，该函数在区间[],ππ-上有且只有三个零点.因此，正确命题的序号为①③. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查与三角函数相关命题真假的判断，涉及三角函数的奇偶性、单调性、最值以及零点的判断，解题的关键就是将三角函数的解析式化简，考查推理能力，属于中等题.20．【解析】【分析】【详解】由题意在上单调递减又是偶函数则不等式可化为则解得解析：13(,)22【解析】 【分析】 【详解】由题意()f x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 是偶函数，则不等式1(2)(a f f ->可化为1(2)a f f ->，则12a -<112a -<，解得1322a <<． 三、解答题21．（1）1m =-；（2）当1a >时， ()()23f f >；当01a <<时， ()()23f f <，理由见解析 【解析】 【分析】（1）将图象关于坐标原点对称转化为函数为奇函数，从而有()()f x f x -=-在函数的定义域内恒成立，进而求得m 的值，再进行检验； （2）根所在（1）中求得的m 值，得到1()log 1ax f x x +=-，再求得()()2,3f f 的值，对 a 分两种情况讨论，从而得到()()2,3f f 的大小关系.【详解】 解：（1）31()log 1am x f x x -=-，31()()log 1a m x f x x -⋅-∴-=--． 又函数()f x 的图象关于坐标原点对称，()f x ∴为奇函数，()()f x f x ∴-=-在函数的定义域内恒成立，331()1log log 11a am x m xx x -⋅--∴=----， 331()1111m x m xx x -⋅--∴⋅=---，()6210m x ∴-=在函数的定义域内恒成立，1m ∴=-或1m =．当1m =时，函数的真数为1-，不成立，1m ∴=-．（2）据（1）求解知，1()log 1ax f x x +=-， (2)log 3a f ∴=，(3)log 2a f =．当1a >时，函数()log a g x x =在(0,)+∞上单调递增，23<，log 2log 3(3)(2)a a f f ∴<⇒<；当01a <<时，函数()log a g x x =在(0,)+∞上单调递减，23<，log 2log 3(3)(2)a a f f ∴>⇒>．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解析式中参数值、对数函数的单调性比较大小，考查数形结合思想、分类讨论思想的运用，在比较大小时，注意对a 分1a >和01a <<两种情况讨论.22．a ＜0时，不等式的解集是（1a，1）； a ＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）； 1a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠.01a <<时，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（1a，+∞）；a ＞1时，不等式的解集是（﹣∞，1a）∪（1，+∞）．【解析】 【分析】讨论a 与0的大小，将不等式进行因式分解，然后讨论两根的大小，即可求出不等式的解集． 【详解】当0a =时，原不等式可化为10x -+>，所以原不等式的解集为{|1}x x <. 当0a ≠时，判别式()()22141a a a ∆=+-=-.（1）当1a =时，判别式0∆=，原不等式可化为2210x x -+>， 即()210x ->，所以原不等式的解集为{|1}x x ≠.（2）当0a <时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，此时11a<，所以原不等式的解集为1{|1}x x a <<.（3）当01a <<时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，此时11a >，所以原不等式的解集为1{|1}x x x a或. （4）当1a >时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，此时11a<， 所以原不等式的解集为1{|1}x xx a或. 综上，a ＜0时，不等式的解集是（1a，1）； a ＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）； 1a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠.01a <<时，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（1a，+∞）；a ＞1时，不等式的解集是（﹣∞，1a）∪（1，+∞）．【点睛】本题主要考查了含有字母系数的不等式求解问题，解题的关键是确定讨论的标准，属于中档题．23．（1）*(2)10n a n n ∈=-N （2）当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【解析】 【分析】（1）将已知条件转化为1,a d 的形式列方程，由此解得1,a d ，进而求得{}n a 的通项公式. （2）根据等差数列前n 项和公式求得n S ，利用配方法，结合二次函数的性质求得n S 的最大值及对应n 的大小. 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，且0d ≠．由2219a a =，得140a d +=，由618S =，得1532a d +=， 于是18a =,2d =-．所以{}n a 的通项公式为*(2)10n a n n ∈=-N ．（2）由（1）得(1)8(2)2n n n S n -=+⨯-29n n =-+2981()24n =--+因为*n ∈N ， 所以当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式基本量的计算，考查等差数列前n 项和的最值的求法，属于基础题. 24．（1）13k =；（2）见解析； 【解析】 【分析】（1）根据向量共线定理即可求出k 的值.（2）根据向量的数量积和向量的垂直可得221k t t =--+，根据二次函数的性质即可证明。
【必考题】高中必修二数学下期末模拟试卷(含答案)
【必考题】高中必修二数学下期末模拟试卷(含答案)一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =A ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．24．函数()23sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x （cm ）174176176176178儿子身高y （cm ）175175176177177则y 对x 的线性回归方程为A ．y = x-1B ．y = x+1C ．y =88+12x D ．y = 176 6．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2b C a c ⋅=+，若3b =，则ABC ∆的外接圆面积为（ ）A ．48π B ．12πC ．12πD ．3π7．若||1OA =，||3OB =0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则mn的值为（ ） A ．13B ．3C ．3D 38．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．20B ．10C ．30D ．609．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 10．函数2ln ||y x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线12．在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面1ACC A 所成角的大小为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．90二、填空题13．在ABC △ 中，若223a b bc -= ，sin 23sin C B = ，则A 等于__________． 14．奇函数()f x 对任意实数x 都有(2)()f x f x +=-成立，且01x 时，()21x f x =-，则()2log 11f =______.15．已知函数32()21f x x x ax =+-+在区间上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围是____________16．函数sin 232y x x =的图象可由函数sin 232y x x =+的图象至少向右平移_______个长度单位得到。
2020-2021学年高一数学下学期期末考试仿真模拟卷(人教版2019必修第二册)(三)(教师版)
2020-2021学年高一数学下学期期末考试仿真模拟卷（人教版2019必修第二册）（三）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.ABC 中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，c =6B π=，则b =（ ）A ．B ． D 【答案】C【解析】由余弦定理得2222cos 93233b a c ac B =+-=+-⨯=，b ∴=:C ．2.在某次测量中得到的A 样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都减5后所得数据，则A 、B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A. 平均数 B. 标准差C. 众数D. 中位数【答案】B【解析】A 样本数据为：42,43,46,52,42,50，其平均数为：42434652425027566+++++=，众数为：42，中位数为：43468922+=， 由题可得，B 样本数据为：34,35,38,44，34,42，其平均数为：34353844344222766+++++=，众数,34，中位数：35387322+=， 所以A 、B 两样本的下列数字特征：平均数，众数，中位数都不同. 故选:B. 3.已知向量(1,),(4,2)b a x ==，且//a b ，则x ＝（ ）A. 2-B. 12-C.12D. 2【答案】C【解析】由向量(1,),(4,2)b a x ==，由//a b ，可得1240x ⨯-=，所以12x =, 故选：C 4.已知圆锥全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ） A. 120 B. 150C. 180D. 240【答案】C【解析】圆锥的表面积是其侧面积与底面积之和,根据题意有侧面积是底面积的2倍.又因为圆锥的侧面展开图是扇形,其圆心角0α>,半径为,且其弧长等于圆锥底面周长,所以,根据扇形面积公式有22122R r απ=,代入,得.即圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为180，故选：C.5.大数学家欧拉发现了一个公式：e cos sin ix x i x =+，i 是虚数单位，e 为自然对数的底数．此公式被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，2022ππcos sin 44i ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -【答案】D【解析】因为20222022101142ππ10111011cos sin cossin 4422i i i e ei ππππ⎛⎫⎛⎫+===+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 20223333cos 504sin 504cos sin 2ππcos sin 42224i i i i ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，故选：D ．6.已知棱长为233O 的球面上，则球O 的体积为（ ） A.43π B.823πC.323πD. 43π【答案】A232332=， 所以球O 的半径为212=，所以球O 的体积为344133ππ⨯=.故选：A.7.平行四边形ABCD 中，已知4AB =，3AD =，60BAD ∠=︒，点E ，F 分别满足AE ED λ=，DF FC =，若6AF BE ⋅=-，则λ等于（ ） A.23B.13C. 1D. 2【答案】D【解析】由题意4AB =，3AD =，60BAD ∠=︒216AB ∴=，29AD =，43cos606AB AD ⋅=⨯⋅=由图知12AF AD DF AD AB =+=+AE ED λ=1AE AD λλ∴=+1BE BA AE AB AD λλ∴=+=-++则121AF BE AB AD AB AD λλ⎛⎫⎛⎫⋅=+-+⎪⎪+⎝⎭⎝⎭()221262121AB AD AB AD λλλλ--=-++⋅=-++代入，得()92866121λλλλ+-+-⋅=-++ 解得2λ= 故选：D8.三棱锥A BCD -中，60ABC CBD DBA ∠=∠=∠=︒，2BC BD ==，ACD △11，则此三棱锥外接球的体积为（ ） A. 16π B. 4πC.163π D.323π 【答案】D 【解析】2BC BD ==，60CBD ∠=︒，2CD ∴=，又,60,AB AB ABC DBA BC BD ====，ABC ABD ∴≅，则AC AD =， 取CD 中点E ，连接AE ，又由ACD △11，可得ACD △的高11AE = 则可得23AC AD ==，在ABC 中，由余弦定理2222cos60AC AB BC AB BC ⋅⋅-=+，21124222AB AB ∴=+-⨯⨯⨯，解得4AB =，则222AC BC AB +=，可得90ACB ∠=，90ADB ∴∠=，,AC BC AD BD ∴⊥⊥，根据球的性质可得AB 为三棱锥外接球的直径，则半径为2， 故外接球的体积为3432233ππ⨯=. 故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列命题中正确的是（ ）A ．若x ，y R ∈，22x yi i +=+，则2x y ==B ．若复数1z ，2z 满足22120z z +=，则120z z == C ．若复数z 为纯虚数，则22z z =D ．若复数z 满足12z -=，则z i +的最大值为22【答案】AD【解析】A ：由复数相等知：22x yi i +=+，有2x y ==，故A 正确；B ：若121,z z i ==，有22120z z +=，故B 错误； C ：若zi 时，2211z z =≠=-，故C 错误；D ：令z x yi =+，则12z -=为圆O ：22(1)4x y -+=，而max z i +表示圆O 上的点到(0,1)A -的最大距离，所以max 2||22z i OA +=+=，故D 正确. 故选：AD. 10.已知a 、b 、c 是三个非零向量，则下列结论正确的有（ ） A. 若a b a b ⋅=⋅，则//a b B. 若//a b ，//b c ，则//a c C 若a c b c ⋅=⋅，则a b =D. 若a b a b +=-，则a b ⊥【解析】对于选项A ，设a 与b 的夹角为θ，则cos a b a b a b θ⋅=⋅=⋅，则cos 1θ=，0θ∴=， 则a 与b 同向，所以//a b ，故A 正确；对于选项B ，由于a 、b 、c 是三个非零向量，且//a b ，//b c ，则存在非零实数λ、μ，使得λab ，bc μ=，()()a b c c λλμλμ∴===，//a c ∴，故B 正确；对于选项C ，a c b c ⋅=⋅，则()0a c b c a b c ⋅-⋅=-⋅=，即()a b c -⊥，所以，a 与b 在c 方向上的投影相等，故C 错误；对于选项D ，在等式a b a b +=-两边平方得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，整理得0a b ⋅=，则a b ⊥，故D 正确.故选：ABD.11.已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，下列说法中正确的是（ ） A. 若m ⊥α，m ⊥n ，n ∥β，则α⊥β B. 若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥βC. 若α∥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ∥nD. 若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n【答案】BC【解析】若m ⊥α，m ⊥n ，n ∥β，则平面α，β平行或相交，所以选项A 错误； 若m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥α，因为n ⊂β，所以α⊥β，因此选项B 正确；若α∥β，m ⊥α，则m ⊥β，因为n ⊥β，所以m ∥n ，因此选项 C 正确； 若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ，n 平行或异面，所以选项D 错误； 故选：BC ．12.下列结论正确的是（ ）A. 在ABC 中，若A B >，则sin sin A B >B. 在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立C. 若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形D. 在ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S =【解析】ABC 中，A B a b >⇔>，由sin sin a b A B=得sin sin A B >，故A 正确； 锐角三角形ABC 中，222cos 02b c a A bc+-=>，∴2220b c a +->，故B 正确；ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，ABC 为等腰三角形或直角三角形，故C 错误；ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S =11sin 3sin 6022S bc A c ==⨯︒=，4c =，∴2222cos 13a b c bc A =+-=，a =，∴2sin sin 603a R A ===︒，3R =D 错误． 故选：AB ． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.《生活垃圾分类管理条例》将城市生活垃圾分为“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”和“其他垃圾”四类．某社区为了分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况，对辖区内的居民进行分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、900人、700人，若在老年人中的抽样人数是35，则在青年人中的抽样人数是____________ 【答案】40【解析】设青年人中抽了x 人，由题可知：35700800=x所以40x =，故答案为：40 14.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按0.5 km 计算，则该沙田的面积为______km 2.【答案】21【解析】设在ABC 中BC =13里，AC =14里，AB =15里，2221314155cos 2131413C +-∴==⨯⨯，12sin 13C ∴=，故ABC 的面积为()2211213140.521213km ⨯⨯⨯⨯=.故答案为：2115.某班科技兴趣小组研究在学校的图书馆顶上安装太阳能板的发电量问题，要测量顶部的面积，将图书馆看成是一个长方体与一个等底的正四棱锥组合而成，经测量长方体的底面正方形的的边长为26米，高为9米，当正四棱锥的顶点在阳光照射下的影子恰好落在底面正方形的对角线的延长线上时，测的光线与底面夹角为030，正四棱锥顶点的影子到长方体下底面最近顶点的距离为11.8米，则图书馆顶部的面积大约为_____________平方米（注：2 1.43 1.723315.2≈≈≈，，）【答案】790【解析】如图1，根据题意得：30PSO ∠=，19CC = 111.8SC =，26AB =， 所以113218.2C O =≈，故1111.818.230SO SC C O =+=+=， 故在Rt PSO △中，设PO x =，则2PS x =，30SO =，所以222SO OP SP +=，即：229004x x +=，解得10317x =≈ 所以如图2，在正四棱锥P ABCD -中，'1798PO =-=，26AB =， 取BC 中点E ，连接,'EP EO ，所以'13EO =由正四棱锥的性质得PEO 为直角三角形，故22222''138233PE PO O E =+=+=，所以23315.2PE =≈，所以正四棱锥P ABCD -的侧面积为14415.226790.47902PBC S S =⨯=⨯⨯⨯=≈△. 故答案为：79016.如图，在平面四边形ABCD 中，AB AD ⊥，23AB BC ==，3ABC π∠=，且12AD AC ⋅=，则AD=___________，若M是线段AB上的一个动点，则DM CM⋅的取值范围是___________.【答案】445[,18]4【解析】因为23AB BC==，3ABCπ∠=，所以ABC为正三角形，所以23AC=3BACπ∠=，因为AB AD⊥，所以6π∠=CAD，因为12AD AC⋅=，所以|||cos6AD ACπ⋅12=，所以||43232AD==⨯.因为M是线段AB上的一个动点，所以可设(01)AM t AB t=≤≤，所以DM CM⋅()()AM AD AM AC=-⋅-()()t AB AD t AB AC=-⋅-22t AB t AB AC t AB AD AD AC=-⋅-⋅+⋅(2212323230122t t=-⋅-+212612t t=-+214512()44t=-+，因为01t≤≤，所以14t=时，214512()44t-+取得最小值454，当1t=时，214512()44t-+取得最大值18，所以DM CM⋅的取值范围是45[,18]4. 故答案为：4；45[,18]4四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设t为实数，已知向量()()1,2,1,.a b t==-（1）若t = 3，求a b+和a b-的值；（2）若向量a b+与3a b-所成角为 135°，求t值．【答案】（1）a b+= 5，5a b-=；（2）t = 2；【解析】（1）当 t = 3时，()1,3b =-,()0,5a b +=,()2,1a b -=- 所以a b += 5，5a b -=；（2）()0,2a b t +=+,()34,23a b t -=-,()()()232232cos135321623a b a b t t a b a bt t +⋅-+-===-+⋅-++-, 平方化简得：23440t t --=，解得1222,.3t t ==- 经检验，当23t =-时，夹角为 45° 舍去，故 t = 2． 18.为了贯彻落实中央､省､市关于新型冠状病毒肺炎疫情防控工作要求，积极应对新型冠状病毒疫情，切实做好2020年春季开学工作，保障校园安全稳定，普及防控知识，确保师生生命安全和身体健康.某校开学前，组织高三年级800名学生参加了“疫情防控”网络知识竞赛(满分150分).已知这800名学生的成绩均不低于90分，将这800名学生的成绩分组如下：第一组[)90,100，第二组[)100,110，第三组[)110,120，第四组[)120130,，第五组[)130140,，第六组[]140,150，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求a 的值并估计这800名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；（2）该校“群防群控”督查组为更好地督促高三学生的“个人防控”，准备从这800名学生中取2名学生参与督查工作，其取办法是：先在第二组､第五组､第六组中用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生.记这2名学生的竞赛成绩分别为x ､y .求事件20x y -≤的概率.【答案】（1）0.035a =，120；（2）715【解析】（1）由频率分布直方图可知0.01020.0250.0150.00511)0(a ⨯++++⨯=， 解得0.035a =，这800名学生数学成绩的平均数为：950.010101050.010101150.02510⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯1250.035101350.015101450.00510120+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；（2）由题意可知：第二组抽取2名学生，其成绩记为A ，B ，则100A ≤，110B <； 第五组抽取3名学生，其成绩记为C ，D ，E ，则130140，，C D E ≤<； 第六组抽取1名学生，其成绩记为F ，则140150F ≤≤； 现从这6名学生中抽取2名学生的成绩的基本事件为：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ， (),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共15个.其中事件20x y -≤包含的基本事件为：(),A B ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共7个；记“这2名学生的竞赛成绩分别为x ､y ，其中20x y -≤”为事件M ，则()715P M =. 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD .（1）求证：AD PC ⊥；（2）若E 是BC 的中点，F 在PC 上，//PA 平面DEF ，求PFFC的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】（1）因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥. 因为四边形ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥，因为PD CD D ⋂=，所以AD ⊥平面PCD ，所以AD PC ⊥.（2）连接AC 交DE 于M ，连接FM .由于//PA 平面DEF ，平面PAC平面DEF FM =，所以//PA FM . 所以PF AM FC MC =， 由于//AD BC 且E 是BC 的中点，所以2AM AD MC EC ==， 所以2PF FC=.20.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，过中心O 的直线l 与两边AB CD 、分别交于交于点M N 、.（1）求BD DC →→⋅的值； （2）若Q 是BC 的中点，求QM QN ⋅的取值范围；（3）若P 是平面上一点，且满足()21OP OB OC λλ=+-，求PM PN⋅最小值. 【答案】（1）4-；（2）[]1,0-；（3）最小值为74-.【解析】(1)由题意可得：24BC CD DC CD BD DC →→→→→→⎛⎫⋅=+⋅=-=- ⎪⎝⎭； (2) 在正方形ABCD 中，过中心O 的直线l 与两边AB CD 、分别交于交于点M N 、.∴点O 为线段MN 的中点∴22QO OM QO ON QM QN QO OM →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 又正方形ABCD 的边长为2，Q 是BC 的中点1QO ∴=，12OM ≤≤10QM QN ∴-≤⋅≤.即QM QN ⋅的取值范围为[]1,0-.(3)由题可得22PO OM PO ON PM PN PO OM →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令2OT OP →→=，由()21OT OP OB OC λλ→→→→==+-，可知点T 在BC 上， 1OT ∴≥.从而1.2OP →≥1OM →≤≤2217244PM PN PO OM ⋅=-≥-=-. ∴PM PN ⋅的最小值为74-. 21.在①cos 0b A c -=，②cos cos a B b A =，③cos 0a C b +=这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b =4c =，满足______． （1）请写出你的选择，并求出角A 的值；（2）在（1）的结论下，已知点D 在线段BC 上，且3π4ADB ∠=，求CD 长． 【答案】（1）条件③，π4A =；（2）5.【解析】（1）若选择条件①，得cos 221c A b ==>，不符合题意： 若选择条件②，由余弦定理知22222222a c b b ca ab ac bc+-+-⋅=⋅，化简得a b =， 所以224a b +=<，不符合题意：若选择条件③，由余弦定理得22202a b c a b ab+-⋅+=， 所以22230a b c +-=，所以222316610a c b =-=-=，所以2222cos 22224b c a A bc +-===⨯⨯， 因为()0,πA ∈，所以π4A =． （2）由（1）知2225cos 252210b ac C ab +-===-⨯⨯， 因为()0,πC ∈，所以225sin 1cos C C =-=． 所以3π3π3π10sin sin sin cos cos sin 444CAD C C C ⎛⎫∠=-=-=⎪⎝⎭． 在ACD △中，因为sin sin AC CD ADC CAD=∠∠， 所以102sin 1010sin 2AC CAD CD ADC ⨯⋅∠===∠．22.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是棱长为2的正方形，侧面PAD 为正三角形，且面PAD ⊥面ABCD ，E ，F 分别为棱AB ，PC 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求二面角P EC D --正切值；（3）求三棱锥B EFC -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）15；（3）36. 【解析】（1）证明：取PD 中点G ，连结GF 、AG∵GF 为PDC △的中位线，∴//GF CD 且12GF CD =， 又//AE CD 且12AE CD =，∴//GF AE 且GF AE =， ∴EFGA 是平行四边形，则//EF AG ，又EF ⊄面PAD ，AG ⊂面PAD ，∴//EF 面PAD ；（2）解：取AD 中点O ，连结PO ，∵PAD △为正三角形，∴PO AD ⊥又∵面PAD ⊥面ABCD ，面PAD 面ABCD AD =，PO ⊂面PAD ，∴PO ⊥面ABCD ， 连OB 交CE 于M ，由正方形ABCD ，可得Rt EBC Rt OAB ≌，∴MEB AOB ∠=∠，则90MEB MBE ︒∠+∠=，即OM EC ⊥连PM ，由∴PO ⊥面ABCD ，EC ⊂面ABCD 得PO EC ⊥，又OM PO O =，,OM PO ⊂面POM ，所以EC ⊥平面POM ， 又PM ⊂面POM ，所以PM EC ⊥，所以PMO ∠是二面角P EC D --的平面角，由正三角形PAD ，2AD =得PO =，在Rt EBC 中，5BE BC BM CE ⋅==，5OM OB BM =-=∴tan PO PMO OM ∠==，即二面角P EC D --（3）因为B EFC F BEC V V --=，连接OC ，由（2）知PO ⊥面ABCDPO ⊂面POC所以面POC ⊥面ABCD ，过F 作FH OC ⊥于H ．因为面POC 面ABCD OC =所以FH ⊥面ABCD ，即FH ⊥面EBC ，所以FH 为三棱锥F BEC -的底面BEC 上的高，因PO ⊥面ABCD ，FH ⊥面ABCD ，所以PO //FH ，又F 为PC 的中点，所以H 为OC 的中点，所以2FH =，又112EBC S EB BC =⨯⨯=，所以136B EFC F BEC EBC V V S FH --==⨯=。
新高中必修二数学下期末模拟试卷(及答案)
新高中必修二数学下期末模拟试卷(及答案)一、选择题1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =A ．5B ．7C ．9D ．112．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．73 B ．8π3- C ．83D ．7π3- 4．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，//m α，则//l m5．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，那么它的通项公式是（ ）A ．21n a n =-B ．21n a n =+C ．41n a n =-D ．41n a n =+6．若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7．当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．[)0,+∞C ．[)0,4D ．（0，4） 8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数21(1)()2(1)a x x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1- 10．函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．011．已知二项式2(*)nx n N x ⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A ．14B ．14-C ．240D ．240-12．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．4二、填空题13．已知a 0>，b 0>，且111a b +=，则b3a 2b a++的最小值等于______． 14．函数sin 232y x x =的图象可由函数sin 232y x x =+的图象至少向右平移_______个长度单位得到。
(完整)人教版高中数学必修二期末测试题一及答案(20200814125816)
高中数学必修二期末测试题一1、下图(1)所示的圆锥的俯视图为2、直线l ：-、3x y 3 0的倾斜角D 、 150 o3、边长为a 正四面体的表面积是D 、 、，3a 2。
4、对于直线l:3x y 6 0的截距，下列说法正确的是距是6；C 、在x 轴上的截距是3；D 、在y 轴上的截、选择题(本大题共2道小题，每小题5分，共60分。
)A 、30；；60：； 120 ；B 、込 a 3 ；12C 、刍；4A 、在y 轴上的截距是6；B 、在x 轴上的截距是35、已知a// ,b ，则直线a与直线b的位置关系是（）A、平行；B、相交或异面；C、异面；D、平行或异面。
6、已知两条直线|「x 2ay 1 0,l2：x 4y 0，且W，则满足条件a的值为（）1 1A、；B、；C、2 ；2 2D、2。
7、在空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB, BC, CD, DA的中点。
若AC BD a，且AC与BD所成的角为60：，贝卩四边形EFGH的面积为（）3 2 3 2 3 2A、 a ；B、 a ；C、 a ；8 4 2D、■-/3a。
8已知圆C:x2 y2 2x 6y 0 ,则圆心P及半径r分别为（）A、圆心P 1,3，半径r 10 ；B、圆心P 1,3 ,半径r ；C、圆心P 1, 3，半径r 10 ;D、圆心P 1, 3 ,半径r J0。
9、下列叙述中错误的是（）A、若P 口且口l，则PI ；B、三点A,B,C确定一个平面；C、若直线ap|b A，则直线a与b能够确定一个平面;D、若 A I,B I 且 A ,B ，贝卩I 。
10、两条不平行的直线，其平行投影不可能是( )A、两条平行直线；B、一点和一条直线;C、两条相交直线；D、两个点。
11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为4、5,且它的8个顶3、点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )C 、125A、25 ；B、50 ；；D、都不对。
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优秀学习资料 欢迎下载高 中 数 学 必 修 二 复 习 卷(满分 ：100分 时间：90分钟）一、选择题 （每题3分，共14题，总分42分） 1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )． A ．21 B ．23 C ．22D ．223 2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )． A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．下列直线中与直线2x ＋y ＋1＝0垂直的一条是( )． A ．2x ―y ―1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋21y －1＝0 4．已知圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0，那么通过圆心的一条直线方程是( )． A ．2x －y －1＝0 B ．2x ＋y ＋1＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y －1＝05．如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )．A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台6．直线3x ＋4y －5＝0与圆2x 2＋2y 2―4x ―2y ＋1＝0的位置关系是( )． A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心7．过点P (a ，5)作圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝4的切线，切线长为32，则a 等于( )． A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．08．圆A : x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0与圆B : x 2＋y 2―2x ―6y ＋1＝0的位置关系是( )． A ．相交B ．相离C ．相切D ．内含9．已知点A (2，3，5)，B (－2，1，3)，则|AB |＝( )． A ．6B ．26C ．2D ．2210．如果一个正四面体的体积为9 dm 3，则其表面积S 的值为( )． A ．183dm 2B ．18 dm 2C ．123dm 2D ．12 dm 211．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成角余弦值是( )．A ．515 B ．22 C ．510 D ．012．正六棱锥底面边长为a ，体积为23a 3，则侧棱与底面所成的角为( )． A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°13．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的23，此梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体表面积为(5＋2)π，则旋转体的体积为( )．A ．2πB ．32＋ 4π C ．32＋ 5π D ．37π 14．在棱长均为2的正四棱锥P －ABCD 中，点E 为PC 的中点，则下列命题正确的是( )． A ．BE ∥平面P AD ，且BE 到平面P AD 的距离为3 B ．BE ∥平面P AD ，且BE 到平面P AD 的距离为362 C ．BE 与平面P AD 不平行，且BE 与平面P AD所成的角大于30° D ．BE 与平面P AD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角小于30° 二、填空题（每题4分，共5题，总分20分）15．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是______________． 16．若圆B : x 2＋y 2＋b ＝0与圆C : x 2＋y 2－6x ＋8y ＋16＝0没有公共点，则b 的取值范围是________________．17．已知△P 1P 2P 3的三顶点坐标分别为P 1(1，2)，P 2(4，3)和P 3(3，－1)，则这个三角形的最大边边长是__________，最小边边长是_________．18．已知三条直线ax ＋2y ＋8＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数a 的值为____________．19．若圆C : x 2＋y 2－4x ＋2y ＋m ＝0与y 轴交于A ，B 两点，且∠ACB ＝90º，则实数m 的值为__________．学校 _______________________ 年级 ______________________ 授课教师 姓名 ______________________ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 密 封 线 内 不 要 答 题（4）（3）（1）（2）PA BCDE (第14题)(第11题)三、解答题（共3题，总分38分） 20（10分）求斜率为43，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程．21（14分）如图所示，正四棱锥P －ABCD 中，O 为底面正方形的中心，侧棱P A 与底面ABCD 所成的角的正切值为26． (1)求侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角的大小；(2)若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；(3)问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由．22（14分）求半径为4，与圆x 2＋y 2―4x ―2y ―4＝0相切，且和直线y ＝0相切的圆的方程．(第21题)DBACOEP参考答案一、选择题 1．D2．A3．B4．B5．C6．D7．B8．C9．B10．A 11．D 12．B 13．D 14．D 二、填空题15．y ＝3x －6或y ＝―3x ―6． 16．－4＜b ＜0或b ＜－64． 17．17，10． 18．－1． 19．－3． 三、解答题20．解：设所求直线的方程为y ＝43x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－34b ，由已知，得21 34 － ⎪⎭⎫⎝⎛b b ·＝6，即32b 2＝6， 解得b ＝±3． 故所求的直线方程是y ＝43x ±3，即3x －4y ±12＝0．21．解：(1)取AD 中点M ，连接MO ，PM ， 依条件可知AD ⊥MO ，AD ⊥PO ，则∠PMO 为所求二面角P －AD －O 的平面角． ∵ PO ⊥面ABCD ，∴∠P AO 为侧棱P A 与底面ABCD 所成的角． ∴tan ∠P AO ＝26． 设AB ＝a ，AO ＝22a ， ∴ PO ＝AO ·tan ∠POA ＝23a ， tan ∠PMO ＝MOPO＝3． ∴∠PMO ＝60°．(2)连接AE ，OE ， ∵OE ∥PD ，∴∠OEA 为异面直线PD 与AE 所成的角．∵AO ⊥BD ，AO ⊥PO ，∴AO ⊥平面PBD ．又OE ⊂平面PBD ，∴AO ⊥OE ．∵OE ＝21PD ＝2122 ＋ DO PO ＝45a ， ∴tan ∠AEO ＝EOAO ＝5102．(3)延长MO 交BC 于N ，取PN 中点G ，连BG ，EG ，MG ． ∵BC ⊥MN ，BC ⊥PN ，∴BC ⊥平面PMN ． ∴平面PMN ⊥平面PBC ．又PM ＝PN ，∠PMN ＝60°，∴△PMN 为正三角形．∴MG ⊥PN ．又平面PMN ∩平面PBC ＝PN ，∴MG ⊥平面PBC ．取AM 中点F ，∵EG ∥MF ，∴MF ＝21MA ＝EG ，∴EF ∥MG ． ∴EF ⊥平面PBC ．点F 为AD 的四等分点．22．解：由题意，所求圆与直线y ＝0相切，且半径为4， 则圆心坐标为O 1(a ，4)，O 1(a ，－4)．又已知圆x 2＋y 2―4x ―2y ―4＝0的圆心为O 2(2，1)，半径为3， ①若两圆内切，则|O 1O 2|＝4－3＝1．即(a －2)2＋(4－1)2＝12，或(a －2)2＋(－4－1)2＝12． 显然两方程都无解．②若两圆外切，则|O 1O 2|＝4＋3＝7．即(a －2)2＋(4－1)2＝72，或(a －2)2＋(－4－1)2＝72． 解得a ＝2±210，或a ＝2±26．∴所求圆的方程为(x ―2―210)2＋(y －4)2＝16或(x －2＋210)2＋(y －4)2＝16；或(x ―2―26)2＋(y ＋4)2＝16或(x ―2＋26)2＋(y ＋4)2＝16．MDBACOEP(第21题(1))MDBACO EP(第21题(2))M DBACO E PN G F(第21题(3))。