第4讲 随机数的生成及随机变量抽样

P ( X = n) = 1 6
v
选取均匀随机数u，如
n −1 n <u≤ 6 6
v
则
XF = n
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u=unifrnd(0,1,1,10000);Randnum=zeros(1,10000); for i=1:10000 if u(i)<=1/6 Randnum(i)=1; else if u(i)<=2/6 Randnum(i)=2; else if u(i)<=3/6 Randnum(i)=3; else if u(i)<=4/6 Randnum(i)=4; else if u(i)<=5/6 Randnum(i)=5; else Randnum(i)=6; end end end end end end cdfplot(Randnum)
= P( X ≤ u, Y ≤ u ) = P( X ≤ u ) P(Y ≤ u )
= FX (u ) FY (u ) FN (v) = P(min{ X , Y } ≤ v) = 1 − P (min{X , Y } > v)
= 1 − P ( X > v, Y > v) = 1 − P ( X > v) P (Y > v)
由 U (0 ,1)抽取 u ， −1 (u ) 计算 x = F
v
v
v
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v
v
1) 离散型分布的直接抽样方法
xi < x
对于任意离散型分布： F ( x) =
∑ pi
v
其中 x1 ， x2 ， … 为离散型 分布函数的 跳跃 点， p1 ， p2 ， … 为相应 的概率， 根据前述 直接 抽 样 法，有离散型分布的直接抽样方法如下：
设随机变量 X 的分布函数为F(x)，定义 F-1(y)=inf{x:F(x)≥y}, 0≤y ≤ 1 定理 设随机变量U服从(0,1)上的均匀分布， 则X=F-1(U)的分布函数为F(x) 。 因此，要产生来自F(x)的随机数，只要先产生 来自U(0,1)的随机数，然后计算F-1(u) 即可。 其步骤为
v
因为1－u也是(0,1)上均匀随机数，可将上式简化为
1 xF = − ln u λ
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function zsfb(a) U=unifrnd(0,1,1,10000); Randnum=-1/a*log(U); cdfplot(Randnum)
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例5 5设X分布函数为F(X)，X1,…,Xn独立且与同 分布，试 生成Y = min{X 1 , X 2 ,L, X n }的随机数 * 设X ~ FX (x), Y ~ FY (y),且相互独立, M=max{X ,Y} N = min{X ,Y },求 M ,N 的分布函数. FM (u ) = P(max{ X , Y } ≤ u )
i =1
n
= 1 − e − nλ x
1 rand X = − log(1 − u ) nλ
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X F = xI , 当 ∑ pi < u ≤
i＝ 1 I－1 i＝ 1
∑ pi
I
v
该结果表明 ， 为了 实现 由任意离散型 分布的 随机抽样，直接抽样方法是非常理想的。
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v
v
例1. 掷骰子点数的抽样 掷骰子点数X=n的概率为：
例4 指数分布
v
指数分布为连续型分布，其一般形式如下：
f ( x ) = λ ⋅ e − λx , x ≥ 0
v
其分布函数为：
F ( x ) = 1 − e − λx , x ≥ 0
则
F ( xF ) = u , 1 − e − λx F = ln(1 − u )
− λx F
= u， 1 xF = − ln(1 − u ) λ
= 1 − (1 − FX (v))(1 − FY (v))
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推广至相互独立的 n 个随机变量的情形： 设 X 1 , X 2 ,L, X n 相互独立，且 X i ~ Fi ( xi ), i = 1,2,L, n
例2
x p 1 2 3 4 0.1 5 0.6 6 0.1
0.05 0.05 0.1
抽取10000个随机数并画经验分布图
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mm=10000;Randnum=unifrnd(0,1,1,mm);xRandnum=zeros(1,mm); for ii=1:mm if Randnum(1,ii)<=0.05 xRandnum(1,ii)=1; else if Randnum(1,ii)<=0.1 xRandnum(1,ii)=2; else if Randnum(1,ii)<=0.2 xRandnum(1,ii)=3; else if Randnum(1,ii)<=0.3 xRandnum(1,ii)=4; else if Randnum(1,ii)<=0.9 xRandnum(1,ii)=5; else xRandnum(1,ii)=6; end end end end end end cdfplot(xRandnum)
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function jyfb(a,b) U=unifrnd(0,1,1,10000); Randnum=a+(b-a)*U; cdfplot(Randnum)
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(1)
X = min{ X 1 , X 2 ,L, X n } e −λx , x > 0, 1 − FX ( x) = x≤0 1,
i
FX ( x) = 1 − ∏ (1 − FX i ( x))
当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数 F(x)时，有 FM(z)=[F(z)] n FN(z)=1-[1-F(z)] n
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需要指出的是，当X1,…,Xn相互独立且 具有相同分布函数F(x)时, 常称 M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn) 为极值 . 由于一些灾害性的自然现象，如地震、 洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要 的意义和实用价值.
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U=unifrnd(0,1,1,10000); Randnum=floor(6*U)+1; cdfplot(Randnum)
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v
随机数的产生方法
v 基本方法有如下三种： v v v
逆变换法 合成法 筛选法
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v
v
逆变换法(直接抽样方法)
随机数的生成及随机变量抽样
实验目的 学习主要的随机变量抽样方法 实验内容 1、均匀分布随机数的产生 2、其他分布随机数的产生方法 3、随机数生成实例 4、 实验作业
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v
v
随机数的生成
随机数的产生是实现MC计算的先决条件。而 大多数概率分布的随机数的产生都是基于均匀 分布U(0,1)的随机数。
在以上 2 种组成方式下，生成系统 L 的寿命 X 的随机数.
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解
λe−λx , x > 0 f Xi (x ) = 其它 0,
1−e−λx , x > 0 FXi (x ) = 其它 0,
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例5续 设系统 L 由相互独立的 n 个元件组成，连 接方式为 (1) 串联； 并联； 如果 n 个元件的寿命分别为 X 1 , X 2 ,L, X n 且
λe−λx , x > 0 f Xi ( x) = , i = 1,...,n 其它 0,
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v 例1. 掷骰子点数的抽样
•
掷骰子点数X=n的概率为：
P ( X = n) = 1 6
• •
选取均匀随机数u，如
n −1 n <u≤ 6 6
则
XF = n
也可使用如下更简单的方法
6u为整数 6 ⋅ u, XF = [6 ⋅ u ] + 1, 6u不为整数
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