2017年“迎春杯”数学花园探秘决赛试卷(小中组A卷)

2017年“迎春杯”数学花园探秘决赛试卷（小中组A卷）
一、解答题（共11小题，满分0分）
1．算式67×67﹣34×34+67+34的计算结果是．
2．在横式×+C×D=2017中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，若等式成立，那么代表的两位数是．
3．如图中共有个平行四边形．
4．小兔与蜘蛛共50名学员参加舞蹈训练营，小兔学员走了一半，蜘蛛学员增加了一倍，但老师发现学员的脚既没有增加也没有减少，那么原有小兔只．（注：蜘蛛有8只脚）
5．一组有两位数组成的偶数项等差数列，所有奇数项的和为100，若从第1项开始，将每个奇数项与它后面相邻的偶数项不改变次序地合并成一个四位数，形成一个新的数列，那么新数列的和与原数列的和相差．
6．最常见的骰子是六面骰，它是一个正方体，6个面上分别有1到6个点，其相对两面点数的和都等于7，现在从空间一点看一个骰子，能看到所有点数之和最小是1，最大是15（15=4+5+6），那么在1～15中，不可能看到的点数和是．
7．一排格子不到100个，一开始仅有两端的格子内各放有一枚棋子，几名同学依次轮流向格子中放棋子．每人每次只放一枚且必须放在相邻两个棋子正中间的格子中（如从左到右第3格，第7格中有棋子，第4、5、6格中没棋子，则可以在第5格中放一枚棋子；但第4格，第7格中有棋子，第5、6格没棋子，则第5、6格都不能放）．这几名同学每人都放了9次棋子，使得每个格子中都恰好放了一枚棋子，那么共有名同学．
8．蕾蕾买了一些山羊和绵羊，如果她多买2只山羊，那么每只羊的平均价格会增加60元，如果她少买2只山羊，那么每只羊的平均价格会减少90元．蕾
蕾一共买了只羊．
9．现有A、B、C、D、E五名诚实的安保在2016年12月1日～5日各值班三天，每天将有3名安保值班，每位安保值班安排5天一循环．今天（2017年1月1日周日），关于他们在上个月的值班情况，5人进行了如下对话：
A：我和B在周末（周六、周日）值班的日子比其他3人都多；
B：我与其余4人在这个月都一起值过班；
C：12月3日本来我休息，但那天恰逢数学花园探秘初赛，于是我也来帮忙，可惜不算值班；
D：E每次都和我安排在一起；
E：圣诞节（12月25日）那天我和A都值班了．
那么，安保A在12月份中第2次、第6次、第10次值班日期顺次排列组成的五位数是．
（如果第2次、第6次、第10次值班分别在12月3日、12月17日，则答案为，31217）
10．如图中每个小正三角形的面积是12平方厘米，那么大正三角形的面积为平方厘米．
11．如图，圆圈表示房间，实线表示地上通道，虚线表示地下通道，开始时，一个警察和一个小偷在两个不同房间中，每一次警察从所在房间的地上通道转移到相邻的房间；同时，小偷从所在房间沿着地下通道转移到相邻的房间，如果警察和小偷转移了3次都没有在任何房间相遇，那么他们有种不同的走法．
2017年“迎春杯”数学花园探秘决赛试卷（小中组A卷）
参考答案与试题解析
一、解答题（共11小题，满分0分）
1．算式67×67﹣34×34+67+34的计算结果是3434 ．
【分析】根据乘法的分配律简算即可．
【解答】解：67×67﹣34×34+67+34
=67×（67+1）﹣34×34+34
=67×2×34﹣34×34+34
=101×34
=3434
故答案为：3434．
【点评】此题重点考查了学生对运算定律的掌握与运用情况，要结合数据的特征，灵活选择简算方法．
2．在横式×+C×D=2017中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，若等式成立，那么代表的两位数是14 ．
【分析】由于0＜C×D＜100，所以1900＜×＜2017，根据130×13=1690，140×14=1960，150×15=2250，即可得出结论．
【解答】解：由于0＜C×D＜100，所以1900＜×＜2017，
因为130×13=1690，140×14=1960，150×15=2250，
所以=14，
进一步可得C×（14+D）=57，C=3，D=5．
故答案为14．
【点评】本题考查位值原则，考查学生的计算能力，确定1900＜×＜2017是关键．
3．如图中共有15 个平行四边形．
【分析】
把图中的平行四边形分三类计数：①单个的（红色）；②两个组成的（蓝色）；③6部分组成的（黄色）．
【解答】解：根据分析可得，
①单个的（红色）有：4个；
②两个组成的（蓝色）有8个；
③6部分组成的（黄色）有：3个；
共有：4+8+3=15（个）；
答：图中共有 15个平行四边形．
故答案为：15．
【点评】本题要注意按顺序分类计数，防止遗漏．
4．小兔与蜘蛛共50名学员参加舞蹈训练营，小兔学员走了一半，蜘蛛学员增加了一倍，但老师发现学员的脚既没有增加也没有减少，那么原有小兔40 只．（注：蜘蛛有8只脚）
【分析】每走一只小兔，总腿数少了4，每增加一只蜘蛛，总腿数多了8，由此要总腿数不变，减少的兔子数量应该是增加蜘蛛数量的两倍，从而可得原有动物共5份，即可得出结论．
【解答】解：每走一只小兔，总腿数少了4，每增加一只蜘蛛，总腿数多了8，由此要总腿数不变，减少的兔子数量应该是增加蜘蛛数量的两倍，把增加的蜘蛛当作1份，那么原蜘蛛数量也是1份，走了的兔子数量是2份，原有兔
子数量为4份，则原有动物共5份，是50只，1份有10只，所以原有兔子4×10=40只．
故答案为40．
【点评】本题考查差倍问题，考查学生转化问题的能力，确定要总腿数不变，减少的兔子数量应该是增加蜘蛛数量的两倍是关键．
5．一组有两位数组成的偶数项等差数列，所有奇数项的和为100，若从第1项开始，将每个奇数项与它后面相邻的偶数项不改变次序地合并成一个四位数，形成一个新的数列，那么新数列的和与原数列的和相差9900 ．
【分析】将每个奇数项与后面相邻的偶数项合并，由于每一项都是两位数，所以合并后的四位数列和与原数列的和相差所有奇数项的和的99倍，即可得出结论．
【解答】解：设这个等差数列的奇数项分别为a
1，a
3
，a
5
，…，公差为d，那么
将每个奇数项与后面相邻的偶数项合并，由于每一项都是两位数，所以合并
后的四位数列可以表示为a
1×100+a
1
+d，a
2
×100+a
2
+d，…，
所以新数列的和与原数列的和相差99×（a
1+a
3
+a
5
+…），
由于奇数项的和为100，所以99×（a
1+a
3
+a
5
+…）=99×100=9900，
故答案为9900．
【点评】本题考查等差数列，考查学生的计算能力，确定合并后的四位数列和与原数列的和相差所有奇数项的和的99倍是关键．
6．最常见的骰子是六面骰，它是一个正方体，6个面上分别有1到6个点，其相对两面点数的和都等于7，现在从空间一点看一个骰子，能看到所有点数之和最小是1，最大是15（15=4+5+6），那么在1～15中，不可能看到的点数和是13 ．
【分析】骰子上相对的两面点数分别为（1，6），（2，5），（3，4），从空间一点看一个骰子，可能只看到骰子的一个面，也可以看到相邻的两个面，还可以
看到相邻的三个面，在1～15中，点数1～6显然可以看到，7～15进行分拆，即可得出结论．
【解答】解：骰子上相对的两面点数分别为（1，6），（2，5），（3，4），从空间一点看一个骰子，可能只看到骰子的一个面，也可以看到相邻的两个面，还可以看到相邻的三个面，在1～15中，点数1～6显然可以看到，7=1+2+7，8=6+2，9=6+3，10=6+4，11=6+5，12=6+2+4，14=6+5+3，15=4+5+6，13无法拆出，即在1～15中，不可能看到的点数和是13．
故答案为13．
【点评】本题考查筛选与枚举，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是从空间一点看一个骰子，可能只看到骰子的一个面，也可以看到相邻的两个面，还可以看到相邻的三个面．
7．一排格子不到100个，一开始仅有两端的格子内各放有一枚棋子，几名同学依次轮流向格子中放棋子．每人每次只放一枚且必须放在相邻两个棋子正中间的格子中（如从左到右第3格，第7格中有棋子，第4、5、6格中没棋子，则可以在第5格中放一枚棋子；但第4格，第7格中有棋子，第5、6格没棋子，则第5、6格都不能放）．这几名同学每人都放了9次棋子，使得每个格子中都恰好放了一枚棋子，那么共有7 名同学．
【分析】由题意可得，若相邻两枚棋子之间有偶数个空格子，则无法再往其中放棋子，那么若想要在每个格子中都放上棋子，每次放完相邻两棋子间空格数应为奇数．进而推出总共放下的棋子个数应该为等比数列1，2，4，8，…的和，而由于每人都放9次，因此这个和为9的倍数，且该和不能超过100，枚举可得1+2+4+8+16+32=63，满足条件，则共有63÷9=7名同学．
【解答】解：由题意可得，若相邻两枚棋子之间有偶数个空格子，则无法再往其中放棋子，那么若想要在每个格子中都放上棋子，每次放完相邻两棋子间空格数应为奇数．
第一轮只能在最中间放1枚棋子，此时将格子分为前半部分和后半部分，那么第二轮在每一部分的中间，都可以放1枚棋子，总共可以放2枚，此时将格子
分成了4，第三轮在每一部分的中间，都可以放1枚棋子，总共可以放4枚，以此类推，总共放下的棋子个数应该为等比数列1，2，4，8，…的和，而由于每人都放9次，因此这个和为9的倍数，且该和不能超过100，枚举可得1+2+4+8+16+32=63，满足条件，则共有63÷9=7名同学，棋子分布依次为：1，65
1，33，65
1，17，33，49，65
1，9，17，25，33，41，49，57，65，
…
故答案为7．
【点评】本题考查找规律，考查枚举与筛选，解题的关键是若想要在每个格子中都放上棋子，每次放完相邻两棋子间空格数应为奇数．
8．蕾蕾买了一些山羊和绵羊，如果她多买2只山羊，那么每只羊的平均价格会增加60元，如果她少买2只山羊，那么每只羊的平均价格会减少90元．蕾蕾一共买了10 只羊．
【分析】如果她多买2只山羊，那么每只羊的平均价格会增加60元，如果她少买2只山羊，那么每只羊的平均价格会减少90元，两次变化都是两只山羊的价钱，变化的总价格应该相等，即可得出结论．
【解答】解：假设蕾蕾买了x只羊，原平均价格为a元，买2只山羊，每只羊的平均价格会增加60元，总价格增加60x+2（a+60）元；
少买2只山羊，那么每只羊的平均价格会减少90元，总价格减少90x+2（a﹣90）元，
两次变化都是两只山羊的价钱，应该相等，
所以60x+2（a+60）=90x+2（a﹣90），解得x=10，
故答案为10．
【点评】本题考查等量关系与方程，考查学生分析解决问题的能力，正确建立等量关系是关键．
9．现有A、B、C、D、E五名诚实的安保在2016年12月1日～5日各值班三天，每天将有3名安保值班，每位安保值班安排5天一循环．今天（2017年1月1日周日），关于他们在上个月的值班情况，5人进行了如下对话：
A：我和B在周末（周六、周日）值班的日子比其他3人都多；
B：我与其余4人在这个月都一起值过班；
C：12月3日本来我休息，但那天恰逢数学花园探秘初赛，于是我也来帮忙，可惜不算值班；
D：E每次都和我安排在一起；
E：圣诞节（12月25日）那天我和A都值班了．
那么，安保A在12月份中第2次、第6次、第10次值班日期顺次排列组成的五位数是41016 ．
（如果第2次、第6次、第10次值班分别在12月3日、12月17日，则答案为，31217）
【分析】画出12月份值班表，分析A在12月份中第2，6，10次值班日期依次为4，10，16，即可得出结论．
【解答】解：12月份值班表如下：
由E说的话可知，25日A和E都值班，又由D的话可知D和E永远在一起，那么可以判断5日这一竖列值班人为A，D，E．
由C的话可知，3日他不值班，由于每天必须有3人值班，所以D，E中必须有一个，
又因为D，E在一起，所以3日这一竖列，D，E都值班．
通过A的话判断，A，B在周末值班的日子比C，D，E多，统计出每一列中的周末数量，为2，1，2，2，2，每人都要在三列中值班，若要A，B比其他人多，那么1那一列必须是C，D，E值班，每天都要有3人值班，D，E现在已经排满，因此第1，4列为A，B，C值班．还剩第3列没有排完，B要跟每个人都搭配过，因此此处为B．
A在12月份中第2，6，10次值班日期依次为4，10，16，
故五位数为41016．
故答案为41016．
【点评】本题考查逻辑推理，考查学生分析解决问题的能力，确定A在12月份中第2，6，10次值班日期依次为4，10，16是关键．
10．如图中每个小正三角形的面积是12平方厘米，那么大正三角形的面积为84 平方厘米．
【分析】如图所示，补出右边的一些小等边三角形，则△ABC被分为面积相等的三个钝角三角形△AMB，△BNC，△APC，以及一个小正三角形△PMN，其中△AMB面积是所在的平行四边形ADBM的一半，即可得出结论．
【解答】解：如图所示，补出右边的一些小等边三角形，则△ABC被分为面积相等的三个钝角三角形△AMB，△BNC，△APC，以及一个小正三角形△PMN，其中△AMB面积是所在的平行四边形ADBM的一半为12×4÷2=24平方厘米，
那么△ABC面积为3×24+12=84平方厘米．
故答案为84．
【点评】本题考查面积的计算，考查补形方法的运用，正确补形是关键．
11．如图，圆圈表示房间，实线表示地上通道，虚线表示地下通道，开始时，一个警察和一个小偷在两个不同房间中，每一次警察从所在房间的地上通道转移到相邻的房间；同时，小偷从所在房间沿着地下通道转移到相邻的房间，如果警察和小偷转移了3次都没有在任何房间相遇，那么他们有1476 种不同的走法．
【分析】考虑起始时，警察与小偷所在房间有三类关系相邻、相隔、相对，分别求出各种情况的不同的走法，即可得出结论．
【解答】解：考虑起始时，警察与小偷所在房间有三类关系相邻、相隔、相对．相邻：如1与2，那么下一步都顺时针走，可变为2与3，都逆时针走，变为6与1，一个顺时针，一个逆时针变为2与1或6与3，都有3种可能相邻，1种可能相对；
相隔：如1与3，那么下一步可能变为2与4，6与2，6与4，都有3种可能相邻；
相对：如1与4，那么下一步可能变为2与3，6与5，6与3，2与5，即有2种相邻的可能和2种相对的可能．
假设警察初始房间为1，小偷与其相邻可能为2或6，那么3次之后不相遇的走
法有2×（27+9+6+6+6+2+4+4）=128种
相隔⇌3相隔⇌9相隔⇌27相隔．
假设警察初始房间为1，小偷与其相邻可能为3或5，那么3次之后不相遇的走法有2×27=54种，
假设警察初始房间为1，小偷与其相对为4，那么3次之后不相遇的走法有18+6+4+4+12+4+8+8=64种，
综上所述，警察若初始位置为1，满足题目条件的走法有128+54+64+246种，那么警察初始位置还能选择2～6，因此共有246×6=1476种走法．
故答案为1476．
【点评】本题考查排列组合知识的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类讨论是关键．。