系统差分方程
信号与系统求差分方程
信号与系统求差分方程
信号与系统是电子工程中的重要学科，它研究的是信号的传输和处理以及系统的特性与性能。
在这个领域中，差分方程是一种常用的数学工具，用于描述离散时间系统中的信号和系统行为。
差分方程是一种离散时间系统的数学模型，描述了系统的输入和输出之间的关系。
它可以用于分析和预测系统的行为，以及设计合适的控制算法。
差分方程的形式通常是这样的：
y[n] = a*y[n-1] + b*x[n-1]
其中，y[n]表示系统的输出信号，x[n]表示系统的输入信号，y[n-1]和x[n-1]分别表示前一时刻的输出和输入信号，a和b是差分方程中的常数系数。
通过差分方程，我们可以推导出系统的响应和稳定性等重要性能指标。
对于给定的输入信号，我们可以使用差分方程来计算系统的输出，并通过比较输出信号与期望信号来评估系统的性能。
差分方程的求解通常需要使用离散时间系统的特定方法，比如Z变换等。
通过这些方法，我们可以将差分方程转化为代数方程，从而得到系统的解析解或数值解。
在信号与系统的研究中，差分方程是一个非常重要的工具。
它帮助我们理解和分析离散时间系统的行为，从而为系统设计和控制提供
了理论基础。
通过差分方程的应用，我们可以更好地理解和利用信号与系统的原理，提高系统的性能和稳定性。
差分方程是信号与系统中的重要工具，用于描述离散时间系统的行为和性能。
它的应用可以帮助我们理解和分析系统，从而提高系统的性能和稳定性。
希望通过学习差分方程，能够更好地应用信号与系统的知识，解决实际工程问题。
因果系统的差分方程
因果系统的差分方程因果系统是指系统的输出仅取决于过去和当前的输入，而与未来的输入无关。
因果系统的数学模型可以用差分方程来描述。
差分方程是一种离散时间系统的数学表示方法，用来描述差分方程的离散时间系统称为差分系统。
差分方程的一般形式如下：y[n] = f(x[n], x[n-1], ..., x[n-k], y[n-1], ..., y[n-m]) 其中，y[n]是系统的输出，x[n]是系统的输入，k和m分别表示系统的输入和输出的延迟阶数，f是差分方程的非线性函数。
在因果系统中，当前的输出只与过去的输入和输出有关，与未来的输入无关。
因此，差分方程可以用递推关系来表示：y[n] = f(y[n-1], y[n-2], ..., y[n-m], x[n-k], x[n-k-1], ..., x[n])递推关系表示系统当前的输出与过去的输出和输入之间的关系。
在差分方程中，输入和输出之间的关系可以是非线性的，因此差分方程可以用来描述各种复杂的因果系统。
差分方程的求解可以通过迭代的方式进行。
给定初始条件，可以根据递推关系依次计算出系统的输出。
在每一步迭代中，根据系统的输入和当前的输出，可以计算出系统的下一个输出。
通过不断迭代，可以逐步计算出系统的输出序列。
差分方程的求解可以使用各种数值方法，如欧拉法、龙格-库塔法等。
这些数值方法可以通过逐步逼近的方式求解差分方程，得到系统的输出。
差分方程在实际应用中有广泛的应用。
在控制系统中，差分方程可以用来描述离散时间控制系统的动态行为。
在信号处理中，差分方程可以用来描述离散时间信号的滤波特性。
在金融工程中，差分方程可以用来描述离散时间的金融模型。
在图像处理中，差分方程可以用来描述离散时间图像的处理和分析方法。
总之，差分方程是描述因果系统的一种数学模型，可以用来描述系统的输入和输出之间的关系。
通过差分方程的求解，可以得到系统的输出序列。
差分方程在实际应用中有广泛的应用，是研究因果系统的重要工具。
4离散时间系统的差分方程描述
7
如果把幅度为A的阶跃序列[ x(n) Au(n) ]作为系 统的输入，并且用初始值 y(1) 作为Ａ的估计值， 则系统的响应 y(n) 随着n的增大就会不断地逼近 于 A。 不需要确切的初始条件，粗略的估计就可以。
例：令A 2, y (1) 1, 则可得： y (0) 3 / 2, y (1) 1.4166667, y (2) 1.4142157。 类似地，对于y (1) 1.5，可得： y (0) 1.416667，y (1) 1.4142157。 他们和 2的值差1.414236不多。
k
卷积公式不仅给出了任何线性时不变系统输入输出之间 的关系,而且给出了系统的实现方法。FIR系统可按卷积 和直接实现,但IIR系统用这种方法实现是不可能的。 除了卷积和方法外，能不能用其他方法实现IIR 系统呢? 卷积公式仅以输入信号明确地表示了LTI的输出。在IIR 系统中，离散时间系统更方便用差分方程来表示。 这类系统在包括数字滤波器的实现和一些物理现象及物 理系统的建模在内的许多实际应用中是非常有用的。
则这样的系统称为非递归的。 用卷积公式描述的因果线性时不变FIR系统称为非递归系统
y ( n) h( k ) x ( n k ) h(0) x(n) h(1) x(n 1) h( M ) x(n M ) F[ x(n), x(n 1), , x(n M )]
2.4 离散时间系统的差分方程描述
1 2 3 4 递归离散时间系统和非递归离散时间系统 线性时不变系统的常系数差分方程描述 线性常系数差分方程的解 线性时不变递归系统的冲激响应
差分方程的定义
差分方程的定义差分方程的定义差分方程是一种数学方程，用于描述离散化的动态系统。
它可以被视为微分方程的离散版本，通常用于模拟和预测离散时间下的自然现象和工程问题。
一、差分方程的基本概念1.1 差分方程的定义差分方程是一种数学方程，描述一个序列在相邻时间点之间如何变化。
它通常采用递推公式表示，其中当前时刻的值是前一时刻值和其他参数的函数。
1.2 差分方程的分类根据差分方程中所涉及到变量的类型，可以将其分类为一阶差分方程、二阶差分方程等。
此外，还可以根据其递推公式中所包含的项数进行分类。
1.3 差分运算符在差分方程中，通常使用差分运算符来表示序列在相邻时间点之间发生了什么变化。
最常见的两个运算符是前向差分运算符和后向差分运算符。
二、解差分方程2.1 差分方程求解方法求解差分方程需要使用递推法或转换法等方法。
其中递推法是最基本也是最常见的方法，它通过逐个计算序列中每个时间点的值来得到整个序列的解。
2.2 初始条件和边界条件在求解差分方程时，需要给出初始条件和边界条件。
初始条件是指序列在起始时刻的值，而边界条件则是指序列在某些时间点上的限制。
三、应用领域3.1 差分方程在物理学中的应用差分方程广泛应用于物理学中，例如描述运动物体的速度、加速度等问题。
此外，在热力学和电磁学等领域也有广泛的应用。
3.2 差分方程在经济学中的应用差分方程在经济学中也有广泛的应用，例如描述市场需求和供给之间的关系、货币政策对通货膨胀率的影响等问题。
3.3 差分方程在工程学中的应用差分方程在工程学中也有广泛的应用，例如描述机器人运动轨迹、控制系统稳定性等问题。
四、总结差分方程是一种重要的数学工具，在模拟和预测离散时间下自然现象和工程问题时具有重要作用。
其基本概念包括差分方程定义、分类以及差分运算符等。
求解差分方程需要使用递推法或转换法等方法，并给出初始条件和边界条件。
差分方程在物理学、经济学和工程学等领域都有广泛的应用。
系统差分方程式与系统函数
系统差分方程式与系统函数系统差分方程式与系统函数是常用于分析复杂系统动态行为的两个重要概念。
系统差分方程式是一种对复杂系统建模的方法，它用数学公式描述一个系统的行为趋势。
系统函数是描述系统输出的一种编程技术，通过输入输出的计算来模拟系统的行为特性。
下面就系统差分方程式和系统函数有关的知识点与应用给大家进行一个详细的介绍。
一、系统差分方程式的概念系统差分方程式是一种描述复杂系统的一种方法，其用数学文字表达描述一个系统的行为趋势。
差分方程式用一系列的微分方程式组成，它们涉及多个不同维度的state variables，如量和变换量，它们描述了如何协调这些维度使得它们彼此同步变化。
二、系统差分方程式的应用1.差分方程式可以应用于几乎所有的科学领域，如控制系统、动力学系统、智能体系统、生物系统、化学系统、气象系统等；2.它可以用来模拟复杂系统的真实行为；3.它可以用于模拟系统内部变量的关系；4.它可以用于模拟系统输入输出和系统响应；5.也可以用来识别系统内部微分调节过程；6.还可以用来预测系统变量的行为趋势；7.它甚至可以用于控制具有多输入多输出的复杂系统；三、系统函数的概念系统函数是一种编程技术，可用来模拟每一种动态系统的输出行为。
其原理是将输入的信息和系统的状态变量转为一个可被计算的数学表达式，这些表达式方便以数学形式描述出系统的动态行为，通过输入输出的计算来生成模型，用以预测系统的行为特性。
四、系统函数的应用1.系统函数可以模拟一个系统当前状态下不加任何控制信号时，会依据系统变量进行规划，从而产生输出；2.它可应用于模拟复杂系统的行为，如转动惯量和外扭矩；3.它还可以实现复杂的数学模型；4.它还可以用来运用智能算法组合事实，得出更精准的结论；5.系统函数也可以用于虚拟仿真，模拟解决协作和对抗等难题；6.它可用于运用模型预测、智能软件开发，也可以用于运用计算机视觉等技术；7.它也可以用于控制复杂的传感技术和通信网络；8.它也可以用于实现复杂的系统控制从而获得最佳控制性能；9.它还可应用于优化非线性系统的行为，克服非线性的干扰；总的来说，系统差分方程式与系统函数以概念和应用在今天的社会中起到着重要的作用。
信号与系统3-8 差分方程系统的特征
y(n) 1 y(n 1) x(n) 4
的强迫响应。已知输入序列 x(n) (1 2)n u(n) 。
3-8-2 强迫响应
解：在例3-20-6中已经求出该系统的全解为
y(n)
yc (n)
y p (n)
2
1 2
n
c1
1 4
n
,
n0
但该例与例3-20-6的不同之处在于初始条件，这里求 c1是通过
的自然响应。已知初始条件 y(1) 8
3-8-1 自然响应
解：系统差分方程的齐次方程是 y(n) 1 y(n 1) 0
4
它的特征方程为r1
1 4
0，特征根
r1
1 4
。
显然，系统的齐次解
yc (n)
c1r1n
c1
1 4
n
如果方程满足
初始条件，则必有
yc
(1)
c1
1 4
1
8
即 c1 2 。因此，系统
的自然响应为
yn
(n)
c1
n
2
1 4
n
,
n 1
内容安排
3-8-1 自然响应 3-8-2 强迫响应 3-8-3 线性和时不变性
3-8-4 零输入响应和零状态响应
3-8-2 强迫响应
差分方程系统的强迫响应（Forced Response）是系统初 始条件为零，完全由输入序列 x(n) 产生的响应或者输出序 列。由于强迫响应假设了零初始条件的约束，故其解在形式 上就与差分方程的完全解相同。注意，初始条件为零是指系 统处于零状态，这也就意味着系统中没有储能或过去的存储 值。强迫响应直接给出了当系统处于零状态时系统输入序列 施加的影响。
信号与系统 差分方程
信号与系统差分方程
差分方程是一种描述离散时间系统的数学工具，用于描述系统的输入和输出之间的关系。
在信号与系统领域，差分方程常用于描述离散时间信号和系统的行为。
差分方程的一般形式是：
y[n] = a[n] + b[n-1] + c[n-2] + ...
其中，y[n]表示系统的输出，n表示离散时间变量，a[n]、b[n-1]、c[n-2]等表示系统的输入。
差分方程通过将当前时刻的输入和之前时刻的输出加权求和来计算当前时刻的输出。
差分方程可以通过Z变换进行分析和求解。
Z变换是一种将离散时间信号和系统转换为复频率域的方法，类似于连续时间信号和系统的拉普拉斯变换。
通过对差分方程进行Z变换，可以得到系统的传递函数，从而分析系统的频率响应和稳定性等性质。
差分方程在实际应用中广泛使用，包括数字滤波器、数字控制系统、数字信号处理等领域。
通过差分方程，可以对离散时间系统进行建模和分析，从而实现信号的处理和控制。
差分方程_精品文档
程）法。本节主要讲述前3种方法，后2种方法将在后续章节中讲
解。
一、差分方程的初值问题（边界条件）
二、差分方程的解法（前3种方法）
三、传输算子的概念
返回
一、差分方程的初值问题（边界条件）
相应于连续时间系统中的起始条件和初始条件, 在离散时间系统中存在着起始样值与初始样值。
起始样值即在激励信号加入之前系统已具有的 一组样值, 以符号y-(n)表示。
返回
例7-4-6 已知 y(n)+2y(n-1) =5u(n), 且y(-1) =1,
求完全解。
特征方程 a +2=0 a = -2
齐次解
yhn C1 2n
特解
因为x(n)=5u(n), n³0时为5（常数）
所以 yp(n) =D
代入原方程求特解 D+2D =5 (n 0)
完全解
所以 D 5
“E”表示将序列超前一个单位时间的运算。 E也称为移
序算子，利用移序算子可y(n写-1)出= 1: y(n)
对y于(n差+分1方)=程Eyy((nn)+1)
-
ay(n)
E
=x(n)
可改写为: （E - a）y(n) =x(n)
对于二例，可以引入
传输算子 HE 1
于是有：
Ea
而对于方程式 y(n) - ay(n-1) =x(n -1)
N
akCa nk 0
k 0
消去常数C，逐项除以a n-N 并化简得:
a0a N+a1a N-1+……+ aN-1a + aN=0
该式称为差分方程的特征方程，特征方程的根a1. a2 、……、 aN称为差分方程的特征根。
(完整word版)设系统分别用下面的差分方程描述
第三套1. 设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性时不变的。
(1) y(n)=2x(n)+3 (2) y(n)= 0()nm x m =∑解：(1) 令：输入为x(n-0n )，输出为'0()2()3y n x n n =-+，因为 '00()2()3()y n n x n n y n -=-+=故该系统是时不变的。
又因为1212[()()]2()2()3T ax n bx n ax n bx n +=++ 11[()]2()3T ax n ax n =+，22[()]2()3T bx n bx n =+ 1212[()()][()][()]T ax n bx n aT x n bT x n +≠+ 故该系统是非线性系统。
(2) 令：输入为x(n-0n )，输出为'()()nm y n x m n ==-∑，因为0'00()()()n n m y n n x m y n -=-=≠∑故系统是时变系统。
又因为1212120[()()](()())[()][()]nm T ax n bx n ax m bx m aT x n bT x n =+=+=+∑故系统是线性系统。
2. 如果时域离散线性时不变系统的单位脉冲响应为h(n),输入x(n)是以N 为周期的周期序列，试证明其输出y(n)亦是以N 为周期的周期序列。
证明：y(n)=h(n)*x(n)=()()m h m x n m ∞=-∞-∑y(n+kN)=()()m h m x n kN m ∞=-∞+-∑, k 为整数因为x(n)以N 为周期，所以：()()x n kN m x n m +-=-()()()()m y n kN h m x n m y n ∞=-∞+=-=∑即y(n)也是周期序列，且周期为N 。
3. 已知x(n)又傅立叶变换()jw X e ，用()jw X e 表示下列信号的傅立叶变换：(1) *1()()()2x n x n x n -+=(2) 22()(1)()x n n x n =- 解：(1) 因为DTFT[*()x n -]=*()jw X e ，所以DTFT[1()x n ]=*()()2jw jw X e X e +=Re[()jw X e ](2) 因为()()jwjwnn X e x n e∞-=-∞=∑，所以()()()jw jwn n dX e jn x n e dw ∞-=-∞=-∑ 即DTFT[nx(n)]= ()()()jw jw dX e dX e j j dw dw=-同理DTFT[12211()((1)()),n nh n a u n a u n a a =--+-]=()()jw d jdX e j dw dw =22()jw d X e dw- 而22()()2()()x n n x n nx n x n =-+，所以：DTFT[2()x n ]=DTFT[2()n x n ]-2DTFT[()nx n ]+DTFT[x(n)]=22()()2()jw jw jw d X e dX e j X e dw dw--+ 4. 研究一个输入为x(n)和输出为y(n)的时域线性离散移不变系统，已知它满足10(1)()(1)()3y n y n y n x n --++=，并已知系统是稳定的。
离散系统的差分方程
实验报告实验课程：数字信号处理实验内容：实验2离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析院（系）：计算机学院专业：通信工程班级：111班2013年6 月3 日一、实验目的：加深对离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析方法的理解。
二、实验原理：离散系统其输入、输出关系可用以下差分方程描述：∑=∑=-=-M k k N k k k n x p k n y d 00][][输入信号分解为冲激信号，∑-=∞-∞=m m n m x n x ][][][δ。
记系统单位冲激响应 ][][n h n →δ，则系统响应为如下的卷积计算式：∑∞-∞=-=*=m m n h m x n h n x n y ][][][][][ 当N k d k ,...2,1,0==时，h[n]是有限长度的（n ：[0，M]），称系统为FIR 系统；反之，称系统为IIR 系统。
在MATLAB 中，可以用函数y=Filter(p,d,x) 求解差分方程，也可以用函数y=Conv(x,h)计算卷积。
三、实验内容及步骤：1、实验内容：分别在x （n ）=δ(n)和x （n ）=cos(2π*0.47*n)的输入下，编制程序分别用上述两种方法求解下列两个系统的响应，并得出系统零极点分布图，绘出其图形。
]1[][]2[125.0]1[75.0][--=-+-+n x n x n y n y n y ⑴]}4[]3[]2[]1[{25.0][-+-+-+-=n x n x n x n x n y ⑵2、实验代码及结果]1[][]2[125.0]1[75.0][--=-+-+n x n x n y n y n y ⑴程序代码：% (1) 用impz()函数求冲激响应：M=50;num=[1 -1 0];den=[1 0.75 0.125];y=impz(num,den,M);subplot(3,2,1);stem(y);xlabel('时间');ylabel('振幅');title('单位冲激响应：impz()函数方法')% (2) 用filter()函数求冲激响应：n=0:50;x=[1 zeros(1,50)];num=[1 -1 0];den=[1 0.75 0.125];y=filter(num,den,x); %filter函数给出的点数与输入的x序列点数一样，所以为了不漏点，输入序列的点数尽量多补0，但用此函数求冲激响应不好subplot(3,2,2);stem(n,y);xlabel('时间');ylabel('振幅');title('单位冲激响应：filter()函数方法')% (3) 用filter()函数求余弦输入响应：n=0:50;x=cos(2*pi*0.47*n);num=[1 -1 0];den=[1 0.75 0.125];y=filter(num,den,x); %注意：“>>”后加一个空格再写指令，这样就可以直接COPY到MATLAB的命令窗执行，%是注释符号subplot(3,2,3);stem(n,y)xlabel('时间');ylabel('振幅');title('余弦输入响应: filter()函数方法')% (4) 用conv()函数求余弦响应：n=0:50;x1=cos(2*pi*0.47*n);x2=[1 zeros(1,50)];num=[1 -1 0];den=[1 0.75 0.125];y=filter(num,den,x2);z=conv(x1,y); % z的点数为x1的加上y(也即X2的)的再减1subplot(3,2,4);m=0:100;stem(m,z); % conv()可以显示201点，而用filter()仅显示101点axis([0 50 -10 10]); % 为了便于比较两种方法的值，减小本方法的横坐标尺度与filter()方法匹配xlabel('时间');ylabel('振幅');title('余弦输入响应：conv()函数方法')% (5) 系统零极点分布图：num=[1 -1 0];den=[1 0.75 0.125];subplot(3,2,5);zplane(num,den);grid图形如下：xn=n++x-ny⑵nxxn--+]2]3[]}4[[]]1.0[-[{25程序如下：M=50;num=[0 0.25 0.25 0.25 0.25];den=[1 0 0 0 0];y=impz(num,den,M);subplot(3,2,1);stem(y);xlabel('时间');ylabel('振幅');title('单位冲击响应：impz()函数方法');n=0:50;x=[1 zeros(1,50)];num=[0 0.25 0.25 0.25 0.25];den=[1 0 0 0 0];y=filter(num,den,x);subplot(3,2,2);stem(n,y)xlabel('时间');ylabel('振幅');title('单位冲激响应：filter()函数方法');n=0:50;x=cos(2*pi*0.47*n);num=[0 0.25 0.25 0.25 0.25];den=[1 0 0 0 0];y=filter(num,den,x);subplot(3,2,3);stem(n,y);xlabel('时间');ylabel('振幅');title('余弦输入响应: filter()函数方法');num=[0 0.25 0.25 0.25 0.25];den=[1 0 0 0 0];subplot(3,2,4);zplane(num,den);grid;图形如下：四、实验总结与分析：通过这次实验，基本学会了用MATLAB软件编程求离散系统的单位脉冲响应和单位冲击响应，对解离散系统差分方程有了进一步学习。
离散系统差分方程计算
1.设离散控制系统差分方程为y n=x n+3x n−1+x n−2采样周期T。
试求：（1）系统的脉冲传递函数。
（2）系统的频率特性表达式。
解：差分方程两边取Z变换，得Y z=1+3z−1+z−2X z脉冲传递函数G z=Y zX z=1+3z−1+z−2频率特性H e jωT=1+3e−jωT+e−2jωT2.假设离散系统差分方程为y n+712y n−1+112y n−2=x n。
其中;y−1=0，y−2=0，x n=1，n≥0。
试求:(1)分析系统的稳定性。
（2）y0，y1，y2。
解：（1）对差分方程两边取Z变换，得1+712z−1+112z−2Y z=X zG z=Y zX z =11+712z−1+112z−2=12z212z2+7z+1特征方程：12z2+7z+1=0解得：z1=−13；z2=−14由于z i<1，即系统稳定。
（2）n=0时，y0+712y−1+112y−2=1∴y0=1n=1时，y1+712y0+112y−1=1∴y1=512n=2时，y2+712y1+112y0=1∴y2=971443.某离散控制系统的差分方程为y n+2+0.06y n+1+0.08y n=1，其中：y0=0，y1=1，u k=1，k=0，1，2，⋯。
试求：（1）y2，y3。
（2）分析稳定性。
解：（1）对差分方程两边Z变换，得z2+0.6z+0.08Y z=X zG z=1z2+0.6z+0.08特征方程：z2+0.6z+0.08=0解得：z1=−0.4；z2=−0.2由于z i<1，所以系统稳定。
（2）n=0时，y2+0.6y1+0.08y0=1∴y2=0.4n=1时。
y3+0.6y2+0.08y1=1∴y3=0.684.离散控制系统的差分方程为：y n+34y n−1+18y n−2=u n，其中y−1=0，y−2=0，t≥0时u n=1，t<0时u n=0。
试求：(1)y0，y1，y2。
采样系统的差分方程
采样系统的差分方程
一、差分方程的基本概念
差分方程是一种描述线性时不变系统的微分方程。
它由输入信号和输出信号之间的关系组成。
通常情况下，我们用拉普拉斯变换将差分方程转化为代数方程，然后再通过数值方法求解。
二、采样系统的差分方程
采样系统的差分方程是指在采样过程中对连续时间信号进行离散化处理所得到的微分方程。
具体来说，采样系统的差分方程包括以下两个方面：
1.采样定理：对于一个连续时间信号x（t），如果它的频率低于采样频率f，那么可以通过有限个采样点来逼近该信号。
这个过程可以用下面的公式表示：
x∞=∑n=−∞↑xnTn+1Tn
其中，x∞表示采样后的离散化信号，Tn表示采样间隔时间，Tn+1表示下一次采样的时间点。
2.量化误差：由于采样过程中存在舍入误差，因此采样后的离散化信号与原始连续时间信号之间会存在一定的差异。
这种差异就是量化误差。
为了减小量化误差的影响，我们通常会对采样后的信号进行滤波处理。
常用的滤波方法有低通滤波、高通滤波、带通滤波等。
三、采样系统的差分方程的应用价值
采样系统的差分方程在实际应用中有广泛的价值。
例如，在通信系统中，我们可以使用差分方程来设计数字调制解调器；在控制系统中，我们可以使用差分方程来设计控制器；在图像处理中，我们可以使用差分方程来实现图像压缩等。
此外，采样系统的差分方程还是许多数学工具的基础，如傅里叶变换、拉普拉斯变换等。
采样系统的差分方程是现代科技中不可或缺的一部分。
它为我们提供了一种有效的方法来处理连续时间信号，并在实际应用中发挥着重要的作用。
复习系统差分方程
N
M
ak yn k br xn r
k 0
r0
M
N
或y(n) br xn r ak yn k , a0 1
r0
k 1
式中，x(n)和y(n)分别是系统的输入序列和输出序列，ai和bi均 为常数，式中y(n-i)和x(n-i)项只有一次幂，也没有相互交叉项，故 称为线性常系数差分方程。
因果稳定系统
离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对可和。
hn
n
收敛域包括单位圆
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
因果系统的单位抽样响应为因果序列，其收敛域在圆外，且包括∞
因此，一个因果稳定系统的系统函数H(z)收敛域必须从单位圆到 ∞的整个z域内收敛，即
1 z
也就是说H(z)的全部极点应落在单位圆之内。
差分方程
一个N阶线性常系数差分方程用下式表示：
y(n)=ay(n-1)+x(n)
y(n) ay(n 1) x(n),
当x(n) (n), y(n) h(n),故 h(n) ah(n 1) (n),因此 h(0) ah(1) (0) 0 1 1 h(1) ah(0) (1) a 1 0 a h(2) ah(1) (2) a2 0 a2
h(n) ah(n 1) (n) an 0 an
an , n 0 h(n)
0, n 0
a 1是稳定系统
因果稳定系统
显然，既满足稳定条件又满足因果条件的系统，即稳定的因果系 统是最主要的系统。
这种线性时不变系统的单位脉冲响应应该既是因果的（单边的）
又是绝对可和的， 即：
h(n)
h(n)
0
| h(n) |
n
n 0
系统状态方程写为差分方程
系统状态方程写为差分方程
差分方程是一种在数学中研究系统变化的重要方法，它可以用来解释系统的行为和变化趋势以及预测未来的状态。
它通常利用时间序列中不同时刻的变量之间的差分运算，来研究系统单元随其内部及外部参数变化而变化的情况。
在互联网领域，差分方程可以应用于用户网络行为和行为趋势的分析，可以用来模拟用户行为的演变趋势，从而给行业提供有价值的数据和结论，实现社交网络结构演变的有效预测。
例如，研究者可以利用差分方程来模拟社交网站中互动社群的发展态势，并预测会员的活跃度，以及各类网络活动之间的关系，从而为用户提供针对性意见和建议。
另外，差分方程也经常用于互联网技术研究，例如衡量计算机网络的传输速率和损害程庎，从而确定最佳的传输路径，提高网络传输的稳定性和安全性。
此外，差分方程还可以用于解决网络负载平衡问题，评估不同规模的网络利用率，提高网络速度，提升用户体验。
总之，差分方程是互联网研究领域中一种非常重要的数学技术工具，不仅可以保障网络的可靠性和安全性，还可以模拟用户行为和趋势，为用户提供针对性建议和意见，从而实现智能互联网的发展。
系统函数与差分方程
幅度部分 6
4
幅度
2 0 0
0.5
1 相位部分
1.5
2
100 50
相位
0 -50 -100
0
0.5
1 以pi为单位的频率
1.5
2
5.8 离散系统的频域分析 1、系统函数 可以用单位脉冲响应 hn 表示 LTI离散系统的输入输出
关系
yn T xn xn hn
对应的z变换为 X z H z Y z
定义LTI离散系统输出z变换与输入z变换之比为系统函数
Y z H z X z
j ImZ
d1
c C
d2
D1 D2
1
1
2
ReZ
例5-25已知
1 H z 1 az 1
za
a 1
求 H e j 并作
H e j ~ 、 ~ 图。
解：由已知条件可知系统是因果稳定系统
z H z za
零点 极点
z0 0
dk
在单位圆上 H e j 出现谐振。
谷点越明显，ck 在单位圆上 H e j 0 幅值为零。
(3)原点处的零、极点对 H e j 无影响，只有一线性 相位分量。
在零点ck 附近形成谷点，ck 越靠近单位圆，
(4) 在零、极点附近相位变化较快（与实轴夹角有 的变化）。
a 0 .1
幅度部分 1.15 1.1
幅度
1.05 1 0.95 0.9 0 0.5 1 相位部分 10 5 1.5 2
相位
0 -5 -10
0
0.5
1 以pi为单位的频率
1.5
已知因果系统的差分方程y
已知因果系统的差分方程y
因果系统的差分方程是描述其输入和输出之间的关系的数学表达式。
在这个方程中，输入信号的当前值与过去的值相关，而输出信号的当前值
则取决于输入信号的当前值和过去的值。
一个典型的因果系统的差分方程可以写成以下的形式：
y[n] = b0*x[n] + b1*x[n-1] + b2*x[n-2] + ... + bk*x[n-k] -
a1*y[n-1] - a2*y[n-2] - ... - an*y[n-k]
其中，y[n]是输出信号的当前值，x[n]是输入信号的当前值，b0、b1、b2、..、bk是输入信号的权重系数，a1、a2、..、an是输出信号的权重
系数，k是滞后阶数。
这个差分方程的含义是，当前时刻的输出值等于输入信号当前值与过
去的几个输入信号值的加权和，再减去输出信号当前值与过去的几个输出
信号值的加权和。
第一个例子是一个简单的滞后系统，它的差分方程可以写成：
y[n]=x[n-1]
这个方程的含义是，当前时刻的输出值等于输入信号上一个时刻的值。
这个系统只有一个滞后阶数，没有权重系数。
它的输出信号直接取决于输
入信号的过去值。
第二个例子是一个带有权重系数的差分方程，它可以写成：
y[n]=0.5*x[n]+0.3*x[n-1]+0.2*x[n-2]-0.6*y[n-1]-0.7*y[n-2]
这个方程的含义是，当前时刻的输出值等于输入信号当前值和过去两个输入信号值的加权和，再减去输出信号过去两个时刻的值的加权和。
输入信号的权重系数为0.5、0.3和0.2，输出信号的权重系数为-0.6和-0.7、这个系统的输入和输出信号都有两个滞后阶数。
给定下述系统的差分方程
第四套1. 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果、稳定系统，并说明理由。
(1) 11()()N k y n x n k N-==-∑(2) ()()(1)y n x n x n =++ (3) ()()x n y n e =解：（1）只要N ≥1，该系统就是因果系统，因为输出只与n 时刻的和n 时刻以前的输入有关。
如果|()|x n M ≤，则|()|y n M ≤，因此系统是稳定系统。
（2）该系统是非因果系统，因为n 时刻的输出还和n 时刻以后（（n+1）时间）的输入有关。
如果|()|x n M ≤，则|()||()||(1)|2y n x n x n M ≤++≤，因此系统是稳定的。
（3）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。
如果|()|x n M≤，则()|()||()|||x n x n My n eee =≤≤，因此系统是稳定的。
2. 工程实际中，经常采用数字滤波器对模拟信号进行滤波处理，处理系统框图如图所示。
图中T 为采样周期，假设T 满足采样定理（无频率混叠失真）。
把从()a x t 到y(t)的整个系统等效成一个模拟滤波器。
(a)如果数字滤波器h(n)的截止频率为8c w ra dπ=，1T=10 kHz ，求整个等效系统的截止频率c Ω。
(b)对于1T=20 kHz ，重复(a)。
解：(a) 对采样数字滤波器，w T =Ω，所以8c c w T π=Ω= 8c c w T TπΩ==最后一级理想低通滤波器的截止频率为Tπrad/s ，因此整个系统截止频率由8c TπΩ=rad/s 确定。
11000062521616c c f TπΩ==== Hz(b) 当1/T=20 Hz 时，与(a)同样道理得： 12000012501616c f T=== Hz3. 求以下序列x(n)的频谱()jw X e(1)1()()|1jwjw ajwz e X e X z e e--===-(2) ()an e u n - 解：（1）00()[()][()]n X z Z x n Z n n z δ-==-=()()|jwjn w jw z e X e X z e -===（2）11()[()]1an aX z Z e u n ez---==- 1()()|1jwjw ajwz e X e X z e e--===-4. 设h(n)为一个LSI 系统的单位采样响应，h(n)= 21()(2)3n u n +-,求其频率响应。
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2.1 信号的采样与恢复
信息输入
模拟 信号
采样器
A/D
信息处理
计算机
信息输出
D/A
保持器
模拟 信号
连续 模拟
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
离散 模拟
离散 数字
离散 数字
离散 模拟
连续 模拟
时间上连续 幅值上连续取值 一般用十进制数表示
计算机输入和输出的信息转换
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2.1 信号的采样与恢复
信息输入
采样频率与采样周期的关系为：
s
2f s
2
T
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2.1 信号的采样与恢复
2.1.1 连续信号的采样和量化
采样定理
在实际中，采样频率通常取
fs
(5
~
10
)
f
m
a
，或者更高。
x
对于工业过程，人们在实践中总结如下经验数据可供参考：
变化速度快，信号频率相对较高
温度 10~20s
~
f
m
范围
ax
内变化的采样信号 f *(t) 通过字长为 n 的A/D转换器，变换
成 0 ~ 2n 1 范围内的某个数字量。
量化单位定义为：
q
f max f min 2n 1
q是二进制数的最低有效位对应的整量单位 整量化方法：“只舍不入”和“有舍有入”
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2.1 信号的采样与恢复
权脉冲序列：
f *(t) f (0) (t) f (T ) (t T ) f (2T ) (t 2T )
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f (kT ) (t kT ) k 0 (t)
单位脉冲函数
t0
t t0 dt
1
t
0
t t0 t t0
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2.1 信号的采样与恢复
2.1.1 连续信号的采样和量化 采样定理
在计算机控制系统中对连续信号进行采样， 用抽取的离散信号序列代表相应的连续信号来参 与控制运算。所以，采集到的离散信号序列必须 能够表达相应连续信号的基本特征。这个问题和 采样周期的选取是密切相关的。
变化速度慢
流量 1~5s
压力 3~10s
液面 6~8s
成分 15~20s
变化速度慢，信号频率相对较低
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2.1 信号的采样与恢复
2.1.1 连续信号的采样和量化
信号的量化
将时间上离散、幅值上连续变化的离散模拟信号 f *(t)
用一组二进制数码来逼近的过程称为信号的量化。
执行量化动作的装置是A/D转换器，把在 fmin
2.1.2 信号的恢复与采样保持器
信号的恢复是指将采样信号恢复到原连续信号，它是 采样过程的逆过程。将数字信号序列恢复成连续信号的装 置称为采样保持器。
信号的理想恢复需要具备3个条件：
① 原连续信号的频谱具有有限带宽，即 max
② 满足采样定理
③ 具有理想的低通滤波器
H(
j)
T , ０，
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2.1 信号的采样与恢复
2.1.1 连续信号的采样和量化
信号的采样过程
采样开关输入的原信号 f (t)为连续信号。当采样开关
的闭合时间很短时，采样信号f *(t) 就可以认为是原信号在
开关闭合瞬时的值f (kT ) ，可以看作是一个权重为f (kT ) 的
脉冲函数f (kT) t kT 。整个采样信号就可看作是一个加
模拟 信号
采样器
A/D
信息处理
计算机
信息输出
D/A
保持器
模拟 信号
连续 模拟
离散 模拟
离散 数字
离散 数字
离散 模拟
连续 模拟
时间上不连续 幅值上连续取值
脉冲序列信号 采样信号
计算机输入和输出的信息转换
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2.1 信号的采样与恢复
信息输入
模拟 信号
采样器
A/D
信息处理
计算机
信息输出
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2.1 信号的采样与恢复
计算机只能接收、处理和输出数字信号。对 于计算机控制系统这种模拟器件和数字器件共存 的混合系统，信号变换装置A/D和D/A是必不可少。
从现场检测的连续信号必须经过采样、A/D转 换等量化处理变换为数字信号，才能由计算机进 行计算处理；同理，计算机输出的离散的数字量 也必须经过D/A转换器和保持器形成连续信号，才 能作用于被控对象。
本章的基本内容
首先从计算机控制系统的信号出发，介绍信 号的采样和恢复，然后讲述线性离散系统的基本 概念和分析方法，包括离散系统数学模型的建立 和离散系统稳定性、过渡过程特性和稳定精度分 析，为后续章节的学习奠定基础。
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本章的基本内容
2.1 信号的采样与恢复 2.2 Z变换 2.3 离散控制系统的数学描述 2.4 离散控制系统稳定性分析 2.5 计算机控制系统的过渡过程分析 2.6 离散控制系统的稳态误差分析
s s
/2 /2
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2.1 信号的采样与恢复
2.1.2 信号的恢复与采样保持器
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采样周期对采样效果的影响
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2.1 信号的采样与恢复
2.1.1 连续信号的采样和量化
采样定理 香农（Shannon）采样定理指出：
对于一个具有有限频谱 max的连续信号进行采样 时，采样信号 f *(t) 唯一地复现原信号 f (t)所需的最低采样 角频率 s必须满足 s 2max或 T 2 /max的条件。其中，max 是原信号频率的最高角频率：
D/A
保持器
模拟 信号
连续 模拟
离散 模拟
离散 数字
离散 数字
离散 模拟
连续 模拟
时间上不连续 幅值上不连续取值 用二进制代码形式表示 计算机处理的信号
计算机输入和输出的信息转换
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2.1 信号的采样与恢复
2.1.1 连续信号的采样和量化 信号的采样过程
在计算机控制系统中，信号是以脉冲序列或 数字序列的方式传递的，按一定的时间间隔T（采 样周期），把时间和幅值上连续的模拟信号变成 在0、T、2T、……、KT时刻的一连串脉冲输出信 号的集合的过程叫做采样过程。实现采样动作的 装置叫采样开关或采样器。
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f (t)
T
f * (t )
(a) 采样开关
f (t)
f * T f T f *(t)
开关闭合时间 0 T
0 1T 2T 3T 4T 5T t
(b) 连续信号
0 1T 2T 3T 4T 5T t
(c) 采样信号
开关打开时间
模拟信号的采样过程