li4功和能

a a
A1 A2 ...... An
★ 合力的功 ＝各分力沿同一路径所做功的代数和。 6. 功的单位：J（焦耳）
1J＝1N· m 1erg＝10－7 J 1eV＝1.6×10－19 J
例 一物体按规律x＝ct3在媒质中作直线 运动，式中c为常数，t为时间。设媒质对 物体的阻力正比于速率的平方，阻力系数 为k，试求物体由x＝0运动到x＝L时，阻 力所做的功。 解： dA F dr 2 cos F F摩 kv i 2 F kv L 3 6 c A 27kc t dt dr dx 0 7 cos 1 2 3
y
Fx dx Fy dy
0
F0 ydy 2F0 R
0
2R
2
R
x
例 质量为10kg的质点，在外力作用下做 2 平面曲线运动，速度为 v 4t i 16 j ，开始 时质点位于坐标原点，求在质点从y=16m 到y=32m的过程中，外力所做的功。
二、动能定理
3. 势能
只与系统内物体间相对位置有关的能量函数。
AAB E pA E pB E p
保守力做功 = 相关势能的减少量
= 初态势能-末态势能 势能零点
b a F
令 E pb 0
Aab
dr ( E pb E pa )
(0 E pa ) E pa
a a
F
Fs cos
4. 变力的功
r
a a a

A
b
a
b b b F dr Fx dx Fy dy Fz dz
5. 合力的功 b A F1 F2 ...... Fn dr
a

b
a
b b F1 dr F2 dr ...... Fn dr
四、机械能守恒定律 1. 功能原理
Aext Aint E KBi E KAi
1 1
n
n
（A非保int A保 int）
（ E PAi E PBi）
1 1 n n
Aext A非保int＝( E KBi E PBi ) ( E KAi E PAi )
E p
pb
E pa )
*弹性势能
Aab
E p kx
1 2
2
零点：平衡位置
1 1 2 2 ( kxb kxa ) 2 2
( E pb E pa ) E p
零点：无穷远
*万有引力势能
Ep
GMm r
GMm GMm Aab [( ) ( )] rb ra
定义：力在位移方向上的分量 与该位移大小的乘积。
r a
θ
r
F
b
o
dA：元功 质点从a运动到b时力做的功 b b A dA F dr
a a
讨论
A
b
a
F dr
1. 功是标量，但有正负。
2. 功是过程量，与运动路径有关。
3. 恒力沿直线的功 b b A F dr F cos dr
Fx E p x
E p y
E p z
Fl
dE p dl
Fy ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Fz
★ 保守力
F Fx i Fy j Fz k
E p E p E p ( i j k) x y z
E p
E p : 势能梯度
( E pb E pa )
E p
说明
(1) 由于势能零点可以任意选取，所以某一点的势能值是相对的。 (2) 保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取无关。 (3) 势能属于系统，是一种相互作用能。 (4) 只有保守力场才有势能。
★势能曲线
质点的势能与位置坐标的关系可以用图线表示出来。
例 在此过程中，动能增量为 24 J ，已知其中一恒 力 F1 12 i 3 j ( SI ) ，则另一恒力所作的功=？
一质点在二恒力作用下位移 r 3 i 8 j ( SI ) ，
例 质量M、半径R、有一面为1/4凹圆柱面的物体放置 在光滑水平面上，一质量m的小球从静止开始沿圆面 从顶端无摩擦下落（如图），小球从水平方向飞离大 物体时速度 v ，求在此过程中：1）重力所做的功；2） 内力所做的功。 解：（1）重力只对小球做功
1 1 1 1
n
n
n
n
定义机械能
E Ek E p
n 1 n 1
Aext A 非保int E Bi E Ai
质点系在运动过程中，它所受的外力的 功与系统内非保守内力的功的总和＝它的机 械能的增量。
2. 机械能守恒定律
条件： Aext A非保 int 0
对系统而言，只有保守内力做功
合外力对质点所做的功＝质点动能的增量
Ek 是状态量,
A 是过程量。
小结：过程量、状态量 过程量：
FΔt I
冲量矩 Mt
功 F dr A
状态量：
动量 P
角动量 L
动能 Ek
状态量是描写质点运动的物理量。 过程量引起状态量的变化，如：力对时间的积累，对 空间的积累等，仅仅与状态量的初、末状态有关。
2. 质点系： 内力和外力
把质点动能定理应用于质点系内所有质点
m1
并把所得方程相加有:
v2 m2 v4 m3 v3
v1 m4
Aext Aint E KBi E KAi
1 1
n
n
所有外力对质点系所做的功和内力对质点系所做的 功之和 ＝ 质点系总动能的增量 (1)内力和为零,内力功的和不一定为零。 (2)内力不改变系统的总动量，但能改变系统的总动能。
第四章 功和能 (Work and Energy)
★ 力对空间的累积效果
1．功和能； 2．动能定理及功能原理； 3．机械能守恒定律。
一、功 质点在力 F 作用下位移为 dr 时力做的功
dr
dA F dr cos F dr
功等于质点所受的力与它的位移的点积。
保守力沿闭合路径一周所做的功为零。
即

f dr 0
L
例如：重力、万有引力、弹性力都是保守力。 作功与路径有关的力称为非保守力（耗散力）。
例如: 摩擦力。
例 有一倔强系数为k的轻弹簧，原长为l0， 将它吊在天花板上。当它下端挂一托盘平衡 时，其长度变为l1 。然后在托盘中放一重物， 弹簧长度变为l2 。则由l1伸长至l2的过程中， 弹性力所做的功 A=？
dA F cos dr ma dr
dv m vdt mvdv dt
dr
1. 质点：
r a
θ
r
F
b
v2 1 2 1 2 A dA mvdv mv 2 mv 1 v1 2 2
1 定义：动能 Ek mv 2 2
o
AAB E KB E KA
m M R
A重力 mgs cos mgh
A重力 mg ds mgdh mgR
0 R
h
mg
s
（2）水平方向无外力，系统保持水平方向动量守恒。
mv MV
1 1 2 A重 力 A内 力 MV mv 2 2 2
1 mv 2 对M，内力所做的功 A内力1 MV 2 2M
2
2
对m，内力所做的功 A内 力2
1 2 mv mgR 2
三、保守力
势能
r1 r1
O
B1
B2
1.一对力的功
A f1 r1 f 2 r2 f 2 (r2 r1 ) f 2 r21
系统内力总是成对出现
f1
E pa
0
a
F dr
质点在保守力场中某点的势能，等于把质点从该点 移动至势能零点 的过程中保守力所做的功。 ★ 注意： 只有在规定了势能零点的情况下，某一点 的势能才有确定的意义。
*重力势能
E p mgy
零点：地面
Aab ( mgy b mgy a ) ( E
守恒定律的意义
1. 不究过程细节，而得状态结论。
2. 更广泛的适用范围。
3. 和自然界的对称性相关联： 动量守恒——空间平移对称性。 角动量守恒——空间转动对称性。 能量守恒——时间平移对称性。 4. 现代理论：
对称性
守恒定律
牛顿定律
例 P 76 例2.2 P183 例4.4 P203 例4.6
0
F
xb
xa
xb xa
x
F kx
Aab
xb xa Fdx

kxdx
1 1 2 2 ( kxb kxa ) 2 2 (a)弹性力的功等于弹簧劲度系数乘以质点始末位置弹 簧形变量平方之差的一半。 (b)弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经 的路径无关。 (c) 弹簧的变形减小时，弹性力作正功；弹簧的变形 增大时，弹性力作负功。
例 光滑水平桌面上有一轻质短弹簧，其一端 O点固定，另一端挂一m＝2kg的物块绕O点做 匀速圆周运动，半径为r。已知弹簧的弹性力 F＝3r，系统总能量为12J，求物块的运动速 率v，半径r。
例 一轻弹簧的劲度系数为k =90N/m，一端固 定在墙上，另一端固定一质量 mA =0.1 kg 的物 块A，用手推物块A把弹簧压缩到离平衡位置为 x =0.10m处, 然后在其平衡位置处放一质量mB =0.2kg的物块B，如图所示。放手碰撞后，物 块A还能把弹簧压缩多大距离？
★ 几种常见力的功：
(1) 重力的功
y
b yb
Aab ( mgyb mgya )
0
a
mg
ya
x
(a)重力所作的功等于重力的大小乘以质点起始位置
与末了位置的高度差。
(b)重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经 的路径无关。 (c)质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作 正功。
(2) 弹力的功
f2
A1
r2
m2 A2
m1
r21 r2
dA f 2 dr21
或
dA f1 dr12
一对力所做的功＝其中一个质点所受的力沿着该质 点相对于另一质点所移动的路径所做的功。 一对力所做的功只决定于两质点的相对路径，因而也 就和确定两质点的位置时所选的参考系无关。
EP
O
EP
O
EP
r
z
重力势能
O 弹性势能
x
万有引力势能
4. 由势能求保守力 B AAB保 F d r cos E PA E PB
A
F d r cos dE P
dr dl
dF cos Fl
Fl
dE p dl
保守力沿任一给定的l方向的分量等于与 此保守力相应的势能函数沿l方向的空间变化 率的负值。
(3) 万有引力的功
mM F G 2 r2 r r2 mM GmM GmM M A G 2 dr ( ) r1 ( L ) r r2 r1
b
F

dr
r1
m
a
(a) 万有引力的功，也是只与始、末位置有关，而 与质点所行经的路径无关。 (b) 质点移近质点时，万有引力作正功；质点A远离 质点O时，万有引力作负功。
(4)摩擦力的功
摩擦力F在这个过程中所作的功为
A
M2
M1 L
F cos ds
F mg
M1
F
v
M2
摩擦力方向始终与质点速度方向相反
A mgs
摩擦力的功，不仅与始、末位置有关，而且与质点 所行经的路径有关。
2.保守力
如果力所做的功与路径无关，而只决定于物体的始末 相对位置，这样的力称为保守力。
3
v
dx
dt

27 7
kc 3 L
例 一质点在 xy 坐标平面内作圆周运动， 有一力 F F0 ( x i y j ) 作用在质点上。在 该质点从坐标原点运动到(0，2R)位置过 程中，力对它所做的功为多少？
解： A

B A 0
Fx dx Fy dy Fz dz
2R 0
E
1
n
Bi
E Ai 常量
1
n
能量守恒定律
能量不能消失，也不能创造，只能从一种形式转换为 另一种形式。对一个封闭系统来说，不论发生何种变化， 各种形式的能量可以互相转换，但它们总和是一个常量。 这一结论称为能量转换和守恒定律。
讨论 1. 能量守恒定律可以适用于任何变化过程。 2. 功是能量交换或转换的一种度量。 3. 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围 内的体现。