江苏省徐州市2021届高三9月月考模拟测试数学试题
2021年高三上学期9月月考数学试题含答案
（第6题图）2021年高三上学期9月月考数学试题含答案参考公式样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑nx i ．锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1. 已知集合，，则集合中元素的个数为 ▲ .2. 若复数z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝ ▲ .3. 命题“”的否定是 ▲ .4. 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为 ▲ .5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ .6．如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k 值为 ▲ . 7. 如右f (x )＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，ϕ∈[0，2π) )图象的一部分，则f (0)的值为 ▲ .8. 对于直线l，m ，平面α，m ⊂α，则“l ⊥m ”是“l ⊥α”成立的 ▲ 条件．（在“充（第7题图）注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。
本试卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。
分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）．9. 已知一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则该圆柱的体积为 ▲ . 10. 已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1，若函数f (x )在(1，2)上有极值，则实数的取值范围为▲ .11. 已知平行四边形ABCD 中，AD ＝2，∠BAD ＝60°．若E 为DC 中点，且，则的值为 ▲ .12．设为实常数，是定义在R 上的奇函数，且当时，．若对一切成立，则的取值范围是 ▲ .13．已知函数，当时，，则实数的取值范围是 ▲ .14. 已知函数与轴相切若直线与分别交的图象于四点且四边形的面积为25则正实数的值为 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15.（本小题满分14分）已知,. (1)若,求的值；(2)若, 的三个内角对应的三条边分别为、、,且,,,求.16（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 为侧棱P A 的中点． （1）求证：PC // 平面BDE ；（2）若PC ⊥P A ，PD ＝AD ，求证：平面BDE ⊥平面P AB ．17. （本小题满分14分）设，()()2cos sin cos cos 2f x x a x x x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭满足， P ABCDE（第16题图）(Ⅰ)求函数的单调递增区间；（Ⅱ）设三内角所对边分别为且，求在上的值域．18. （本小题满分16分）已知二次函数满足条件，且方程有等根.（1）求得解析式；（2）是否存在实数，使得定义域和值域分别为和？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.19. （本小题满分16分）某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的游客约为120万人. 某数学兴趣小组综合各种因素预测：①该景点每年的游客人数会逐年增加；②该景点每年的游客都达不到130万人. 该兴趣小组想找一个函数来拟合该景点对外开放的第年与当年的游客人数（单位：万人）之间的关系.（1）根据上述两点预测，请用数学语言描述．．．．．．．函数所具有的性质；（2）若=，试确定的值，并考察该函数是否符合上述两点预测；（3）若=，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定的取值范围．20. （本小题满分16分）已知函数．(1)求函数在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)若存在，使得(是自然对数的底数)，求实数的取值范围．淮安市淮海中学xx 届高三数学周练试题数学参考答案及评分标准 xx.09说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 5 2. 2 3. 4. 5. 6. 5 7.3228. 必要不充分 9. 10. (32，4) 11. 3 12. 13. [] 14.4二、解答题：本大题共6小题，共90分．15. 解:(1) …………………3分 …………………6分 (2)==…………………8分 (9)分 (10)分 …………………11分 由余弦定理可知: …………………12分7cos cos 2AB AC AB AC A bc A ∴⋅===(其它方法酌情给分) ……………14分 16．证明：（1）连结AC ，交BD 于O ，连结OE ．因为ABCD 是平行四边形，所以OA ＝OC ． ……………2分 因为 E 为侧棱PA 的中点，所以OE ∥PC ． ………4分 因为PC /⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以PC // 平面BDE ． ………6分（2）因为E 为PA 中点，PD ＝AD ，所以PA ⊥DE ．…8分PABCDEO因为PC ⊥P A ，OE ∥PC ，所以P A ⊥OE ．因为OE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，OE ∩DE ＝E ， 所以P A ⊥平面BDE ． …………………12分 因为P A ⊂平面P AB ，所以平面BDE ⊥平面P AB ． …………………14分 17. 解：(Ⅰ)由1()(0)1,322a f f a π-=+=-=得解得 …………………3分因此()2cos 22sin(2).6f x x x x π=-=-令得故函数的单调递增区间 …………………7分（Ⅱ）由余弦定理知：c a cC b B c C ab B ac cb a bc a -===-+-+2cos cos cos 2cos 2222222，即， 又由正弦定理知：()A C B C B B C B A sin sin cos sin cos sin cos sin 2=+=+=， 即,所以 …………………10分 当时，，，故在上的值域为 …………………14分 18.解：（1）由可知，函数图像的对称轴为○1 又方程有等根,即有等根. ,代入○1可得.. ………………… ………6分 (2)221111()(1)2222f x x x x =-+=--+≤,函数存在实数,使得定义域和值域分别为和,则有即是方程的两根,且. ……… ………10分 由得存在这样的实数, …………………………16分19.解：（1）预测①：在上单调递增；预测②：对恒成立； …………………3分 （2）将（1，100）、（2，120）代入到中，得，解得. 因为所以，故在上单调递增，符合预测①； 又当时，所以此时不符合预测②. …………………8分（3）由，解得.因为要想符合预测①，则即，从而或. …………………10分 （i ）当时，，此时符合预测①，但由，解得，即当时，，所以此时不符合预测②； …………………12分（ii ）当，此时符合预测①，又由知，所以；从而欲也符合预测②，则，即又，解得.综上所述，的取值范围是 …………………16分 20.[解] (1)∵函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a (a >0，且a ≠1)，∴f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ，∴f ′(0)＝0.又f (0)＝1，∴函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. …………………………4分(2)由(1)知，f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x －1)ln a .∵当a >0，且a ≠1时，总有f ′(x )在R 上是增函数． 又f ′(0)＝0，∴不等式f ′(x )>0的解集为(0，＋∞)，故函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)．………………………10分(3)∵存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1成立， 当x ∈[－1,1]时，|f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ， ∴只要f (x )max －f (x )min ≥e －1即可．又当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示∴f (x )在[－∴当x ∈[－1,1]时，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝1，f (x )的最大值f (x )max 为f (－1)和f (1)中的最大值． …………………………12分∵f (1)－f (－1)＝(a ＋1－ln a )－⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋ln a ＝a －1a －2ln a ， 令g (a )＝a －1a －2ln a (a >0)，而g ′(a )＝1＋1a 2－2a ＝⎝⎛⎭⎫1－1a 2≥0， ∴g (a )＝a －1a －2ln a 在(0，＋∞)上是增函数， …………………………13分又g (1)＝0，∴当a >1时，g (a )>0，即f (1)>f (－1)； 当0<a <1时，g (a )<0，即f (1)<f (－1)．∴当a >1时，f (1)－f (0)≥e －1，即a －ln a ≥e －1，又函数y ＝a －ln a 在(1，＋∞)上是增函数， …………………………14分 ∴解得a ≥e ；当0<a <1时，f (－1)－f (0)≥e －1，即1a ＋ln a ≥e －1，又函数y ＝1a ＋ln a 在(0,1)上是减函数，∴解得0<a ≤1e.综上可知，实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，1e ∪[e ，＋∞)． …………………………16分23886 5D4E 嵎31838 7C5E 籞+30414 76CE 盎36388 8E24 踤+34433 8681 蚁H33540 8304 茄28266 6E6A 湪\'26480 6770 杰38536 9688 隈。
江苏省徐州市铜山区大许中学2021届高三数学上学期9月月考试题【含答案】
4
恒成立，求
m
的取值范围．(7
分)
22. (本小题满分 12 分)已知函数 f (x) 4x a 2x1 1 ．
（1）若函数
f
x 在
x
0,
2 上有最大值
8
，求实数
a
的值；(6
分)
（2）若方程 f x 0 在 x 1, 2上有解，求实数 a 的取值范围．(6 分)
数学答案
1.由题意可得 M x 2 x 3， N x x 0，所以 M N x x 0，故选 A．
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写 在本试卷上无效。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分。
1．设集合 M {x | x2 5x 6 0} ，集合 N x x 0 , 则 M N （ ）.
5
2
c f ( 5), （ ） 2
A． a b c B． b a c C． c b a D． c a b
6.已知函数 f ( x) ex ex （e 为自然对数的底数），若 a 0.70.5 ， b log0.5 0.7 ，
c log0.7 5 ，则 （ ） A． f (b) f (a) f (c)
1, x 0
15.已知 f (x) x2 2x 4, g(x) ax (a 0 且a 1) ，若对任意的 x1 [1, 2]，都存在
x2 [1, 2] ，使得 f (x1) g(x2 ) 成立，则实数 a 的取值范围是
.
16.偶函数
f
x 满足
f
x 1
f
2021届江苏省徐州市市区部分学校高三上学期9月学情调研考试数学试题教师版
绝密★启用前2021届江苏省徐州市市区部分学校高三上学期9月学情调研考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}1,2,3A =，{220B x x x =--<且}x Z ∈，则AB =（）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1,2,3,D ．{}1,0,1,2,3-答案：A先求解出一元二次不等式的解集为集合B ，然后根据交集运算直接求解出A B 的结果. 解：由题意{}{}12,0,1B x x x Z =-<<∈=，所以{}1A B ⋂=， 故选：A. 点评：本题考查集合的交集运算，其中涉及到一元二次不等式的解法，难度较易.2．某大学4名大学生利用假期到3个山村参加基层扶贫工作，每名大学生只去1个山村，每个山村至少有1人去，则不同的分配方案共有（） A ．6种 B ．24种 C ．36种 D ．72种答案：C由题意可知先从4名大学生中选出两名作伴，再分配到每个山村，得到结果. 解：根据题意有两个人是分到同一个地方的， 先选出两人作伴，之后再进行全排，则由分步计数原理有234336C A ⋅=（种），故选：C. 点评：该题考查的是有关排列组合的问题，涉及到的知识点有分步乘法计数原理，属于基础题目.3．甲、乙、丙、丁四位同学被问到谁去过长城时，甲说：“我没去过”，乙说：“丁去过”，丙说：“乙去过”，丁说：“我没去过”，假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是（） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁答案：B由题设可得乙和丁说的话矛盾，从而可得二人中必有一个人的话为假话，从而可判断其余的人为真话，故可得正确的选项. 解：由题意可知乙与丁说的话矛盾，故说假话的人必然在他们二人之中，再由题意只有一个人说的话为假话，则丙必定说了真话，则可判断一定去过长城的是乙， 故选：B. 点评：本题考查推理与论证，注意利用矛盾律来帮助推理，本题属于容易题.4．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus ，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..M R Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()1221 2.5lg lg m m E E -=-.其中星等为i m 的星的亮度为()1,2i E i =.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四”的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是(当x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++)A ．1.24B ．1.25C ．1.26D ．1.27答案：C根据题意，代值计算，即可得r ，再结合参考公式，即可估算出结果. 解：根据题意可得：()211 1.25 2.5lgE lgE -=-可得12110E lgE =，解得1110210E r E ==，根据参考公式可得111 2.3 2.7 1.25710100r ≈+⨯+⨯=， 故与r 最接近的是1.26. 故选：C. 点评：本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.5．设,,a b c 为单位向量，且0a b ⋅=，则()()a cbc -⋅-的最小值为（） A ．－2 B2C ．－1D ．1答案：D先根据条件计算出a b +的值，然后将()()a cbc -⋅-展开计算，根据余弦函数的取值范围求解出()()a cbc -⋅-的最小值. 解：由题意可知0a b ⋅=，所以2222a b a a b b +=+⋅+=，所以()()()21cos ,a c b c a b a b c c a b c a b c -⋅-=⋅-+⋅+=-+⋅⋅<+>，所以()()12cos ,12a c b c a b c -⋅-=-⋅<+>≥-,a c b +同向，所以()()a c b c -⋅-的最小值为1故选：D. 点评：本题考查根据向量的数量积运算求解最小值，难度一般.求解和向量有关的最值问题时，可以借助向量夹角的余弦值的“有界性”去分析问题.6．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为n π，那么用圆的内接正2n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值加2n π可表示成（）A ．360sinnnπ︒B ．360cosnnπ︒ C ．180cosnnπ︒ D ．90cosnnπ︒ 答案：C设圆的半径为r ，由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：180180sincosn n n nπ⨯=⨯，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：2180sinn n nπ⨯=，问题得解. 解：设圆的半径为r ，将内接正n 边形分成n 个小三角形， 由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：221360sin2r n r n π≈⨯⨯，整理得：1360sin 2n nπ≈⨯⨯， 此时1360sin 2n n n π⨯⨯=，即：180180sin cosn n n nπ⨯=⨯ 同理，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：2213602sin22r n r n π≈⨯⨯，整理得：13601802sin sin 22n n n nπ≈⨯⨯=⨯ 此时2180sinn n nπ⨯= 所以2180sin180cos nn n nnππ==⨯ 故选C 点评：本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公式，考查计算能力，属于中档题．7．用一平面截正方体，所得截面的面积最大时，截面的几何形状为（） A ．正六边形 B ．五边形C ．矩形D ．三角形答案：C 1 解：由题意用一平面截正方体，所得截面可以为正六边形、五边形、矩形、三角形，而当截面为矩形时，为体对角线为长、正方体棱长为宽的矩形，可知该截面为最大面积. 故答案选C.8．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若∀x ∈R ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2，则使x 2f (x )－f (1)＜x 2－1成立的实数x 的取值范围是（） A ．{x |x ≠±1} B ．(－1，0)∪(0，1) C ．(－1，1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案：D根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出0x <的取值范围． 解：解：当0x >时，由2()()20f x xf x +'-<可知：两边同乘以x 得：22()()20xf x x f x x +'-< 设：22()()g x x f x x =-则2()2()()20g x xf x x f x x '=+'-<，恒成立：()g x ∴在(0,)+∞单调递减，由()()21x f x f -21x <-()()2211x f x x f ∴-<-即()()1g x g < 即1x >；当0x <时，函数是偶函数，同理得：1x <-综上可知：实数x 的取值范围为(-∞，1)(1-⋃，)+∞， 故选：D ． 点评：主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，属于中档题． 二、多选题9．若01,1c a b <<>>，则（） A ．log log a b c c > B ．c c ab ba > C ．log log b a a c b c>D ．()()a b c b a c ->-答案：AB由对数函数的知识可判断A 、C ，由幂函数的知识可判断B ，根据不等式的性质可判断D.解：因为01,1c a b <<>>，所以由对数函数得单调性得log log 0c c a b <<， 则由换底公式有110log log c c a b>>，即0log log a b c c >>，则选项A 正确；由题意1c y x-=为减函数，所以11c c b a -->，且0ab >，则由不等式的基本性质得c c ab ba >，则选项B 正确；由题意0log log a b c c >>，又a ＞b ＞1，则log log b a a c b c <，则选项C 错误； 由题意,ac bc ac bc >-<-，所以ab ac ab bc -<-，即()()a b c b a c -<-，则选项D 错误； 故选：AB 点评：本题考查的是对数函数、幂函数和不等式的性质，考查了学生的基础知识水平，较综合. 10．下列四个命题中，真命题为（） A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ C ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z =答案：AB利用特值法依次判断选项即可得到答案. 解：对选项A ，若复数z 满足z R ∈，设z a =，其中a R ∈，则z R ∈，则选项A 正确； 对选项B ，若复数z 满足1R z ∈，设1a z=，其中a R ∈，且0a ≠， 则1z R a=∈，则选项B 正确； 对选项C ，若复数z 满足2z ∈R ，设z i ，则21z R =-∈，但z i R =∉，则选项C 错误；对选项D ，若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，设1z i =，2z i =，则121z z ⋅=-∈R ， 而21z i z =-≠，则选项D 错误； 故答案选：AB 点评：本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.11．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则（） A ．C 的准线方程为y ＝1 B ．线段PQ 长度的最小值为4 C ．M 的坐标可能为(3，2) D ．OP OQ ＝－3答案：BCD根据条件可得出2p =，易得A 、B 的正误，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x =my +1，联立x =my +1，y 2＝2px ，算出12121212,,,x x x x y y y y ++即可得出C 、D 的正误. 解：焦点F 到准线的距离为p =2，所以抛物线C 的焦点为(1，0)，准线方程为x=－1，则选项A 错误；当PQ 垂直于x 轴时长度最小，此时P (1，2)，Q (1，－2)，所以|PQ|=4，则选项B 正确； 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x =my +1，联立x =my +1，y 2＝2px ， 消去y 可得x 2－(4m 2+2)x+1=0，消去x 可得y 2－4my －4=0，所以x 1+x 2=4m 2+2，y 1+y 2=4m ， 当m =1时，可得M (3，2)，则选项C 正确；又x 1x 2=1，y 1y 2=－4，所以OP OQ ＝x 1x 2+y 1y 2=－3，则选项D 正确； 故选：BCD 点评：本题考查的是直线与抛物线的位置关系，考查了学生的分析能力，属于中档题. 12．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N)，则（）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0 答案：ABD对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1，可得a n －12＝a n －1a n －2－a n －1a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 解： 由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1，可得a n －12＝a n －1a n －2－a n －1a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误； 由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 点评：此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题 三、填空题13．某公司的广告费支出x (单位：万元)与营业额y (单位：万元)之间呈线性相关关系，收集到的数据如下表：由最小二乘法求得回归直线方程为0.67y x a =+，则a 的值为__________． 答案：54.9算出x 、y 后可求a 的值. 解：由线性回归方程的定义及表数据可得x =30，y =75，所以a =54.9． 故答案为：54.9 点评：本题考查线性回归方程的性质，注意回归直线必定经过样本中心(),x y ，本题属于基础题.14．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m n ⊥；②αβ⊥；③n β⊥；④m α⊥.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______. 答案：①③④⇒②（或②③④⇒①）m α⊥，n β⊥，αβ⊥，由面面垂直的性质定理得m n ⊥；m n ⊥，m α⊥，n β⊥，由面面垂直的判定定理得αβ⊥． 解：∵α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同的直线， 若①m n ⊥，③n β⊥，则m β. 又∵④m α⊥， ∴②αβ⊥. 即①③④⇒②.若②αβ⊥，③n β⊥，则n α. 又∵④m α⊥， ∴①m n ⊥.即②③④⇒①.故答案为：①③④⇒②（或②③④⇒①） 点评：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，属于中档题．15．已知P 是直线3x ＋4y －10＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为________． 答案：22圆的标准方程为()()22121x y -++=，则圆心为()12C -，，半径为1，则直线与圆相离，如图：PACB PACPBCS SS=+四边形，而1122PACSPA CA PA =⋅=，1122PBCS PB CB PB =⋅=，又21PA PC =-21PB PC =-PC 取最小值时，PA PB =取最小值，即PACPBC SS=取最小值，此时CP l ⊥，2232410153534CP -⨯-===+，则23122PA =-=122122PACPBCSS==⨯=PACB 面积的最小值是22故答案为22四、双空题16．在ABC 中，()sin sin sin A B C B -=-，则cos A =__________；点D 是BC 上靠近点B 的一个三等分点，记sin sin ABDBADλ∠=∠，则当λ取最大值时，tan ACD ∠=__________．答案：122 根据题意，由三角恒等变换将原式化简，即可求出1cos 2A =；设BD x =，BAD θ∠=，πθ0,3，则2DC x =，sin sin B t =θ，根据正弦定理，得到AD x =λ，sin sin23Cπλθ，求出cos cos 3B ⎛⎫=+⎪⎝⎭πλθ，得到222222sin cos sin cos 13B B ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭πλθλθ，表示出2221sin cos 3=⎛⎫++ ⎪⎝⎭λπθθ，求出最值，即可得出结果.解：因为()sin sin sin A B C B -=-，所以()sin sin sin B C A B =--， 即()()sin sin sin 2cos sin B A B A B A B =+--=， 又因为sin 0B ≠，所以1cos 2A =； 设BD x =，BAD θ∠=，πθ0,3， 则2DC x =，sin sin B =λθ， 由正弦定理可得AD x =λ，sin sin sin23AD DACCDCπθλ，又313sin sincos sin cos sin 222223C B B BB λθπ，由sin sin 2223B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭λλπθθ，得cos cos 3B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πλθ．因为222222sin cos sin cos 13B B ⎛⎫+=++=⎪⎝⎭πλθλθ， 所以222122sin cos 1cos 21cos 233==⎛⎫⎛⎫++-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭λππθθθθ2226=⎛⎫-⎪⎝⎭πθ，因为πθ0,3，所以2,662πππθ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，所以当206πθ-=时，λ1，此时)sin1B==，所以4Bπ=，tan tan234ACD⎛⎫∠=--=+⎪⎝⎭πππ答案为：12；2.点评：本题主要考查由三角恒等变换求函数值，考查三角函数的性质，考查正弦定理的应用，属于常考题型.五、解答题17．记S n为等比数列{}n a的前n项和，已知S2=2，S3=-6.（1）求{}n a的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．答案：（1）(2)nna=-；（2）见解析.试题分析：（1）由等比数列通项公式解得2q=-，12a=-即可求解；（2）利用等差中项证明S n+1，S n，S n+2成等差数列．试题解析：（1）设{}n a的公比为q.由题设可得()()1211216a qa q q⎧+=⎪⎨++=-⎪⎩，解得2q=-，12a=-.故{}n a的通项公式为()2nna=-.（2）由（1）可得()()111221133n nnna qSq+-==-+--.由于()()321214222212123333n n nn nn n nS S S+++++⎡⎤-+=-+-=-+-=⎢⎥⎣⎦，故1nS+，n S，2n S+成等差数列.点睛:等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．18(3，4)；②一条准线方程为x ＝4，且焦距为2．这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线l 存在，求出l 的方程；若问题中的直线l 不存在，说明理由．问题：已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1(m ，n ≠0)的焦点在x 轴上，____________，是否存在过点P (－1，1)的直线l ，与曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点？ 注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 答案：答案见解析先根据所选的条件求解出曲线C 的方程，根据直线的斜率是否存在作分类讨论；当直线的斜率不存在时直接进行求解并判断，当直线的斜率存在时，联立直线方程与曲线方程，并利用根的判别式以及坐标特点判断出结果. 解：选条件①：由题设得曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线，设21m a =，21n b =-(a ＞0，b ＞0)，所以C 的方程为22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，由题设得229161a b =⎪-=⎪⎩，解得a 2＝1，b 2＝2，所以C 的方程为2212y x -=，1°当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，与曲线C 有且仅有一个交点(－1，0)，不符合题意；2°当直线l 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，即y ＝k (x ＋1)＋1，代入2212y x -=得(2－k 2)x 2－2k (k ＋1)x －(k 2＋2k ＋3)＝0()，若220k -=，即k =±时，方程()有且仅有一解，不符合题意；若22k -≠0，即k ≠±时，其判别式Δ＝[2k (k ＋1)]2－4(k 2－2)(k 2＋2k ＋3)＝8(2k＋3)＞0，则32k >-，所以方程()有两个不同实数解时，32k >-且k≠ 于是1222(1)2(1)22k k x x k -++=-=⋅-=--，解得k ＝－2，与32k >-且k ±≠所以不存在直线l ，与曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点． 选条件②：由题设得曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，设21m a =，21n b =(a ＞b ＞0)，所以C 的方程为22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，由题设得242⎧==⎩，解得a 2＝4，b 2＝3，所以C 的方程为22143x y+=，1°当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，代入22143x y +=得32y =±，P (－1，1)不是线段AB 的中点，不符合题意；2°当直线l 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，即y ＝k (x ＋1)＋1，代入22143x y +=得(3＋4k 2)x 2＋8k (k ＋1)x ＋4(k 2＋2k －2)＝0，其判别式Δ＝[8k (k ＋1)]2－4·(3＋4k 2)·4(k 2＋2k －2)＝16(5k 2－6k ＋6)＞0， 于是1228(1)2(1)234k k x x k ++=-=⋅-=-+，解得34k =，故337(1)1444y x x =++=+，即3x －4y ＋7＝0，所以存在直线l ：3x －4y ＋7＝0，与曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点． 点评：本题考查圆锥曲线的综合应用，其中涉及到圆锥曲线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，难度一般.19．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量m =(2sin(x －A )，sin A )，n =(cos x ，1)，f (x )＝m n ⋅，且对任意x ∈R ，都有f (x )≤512f π⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求f (x )的单调递增区间； （2）若a＝sin B ＋sin C＝2△ABC 的面积． 答案：（1）π5ππ,π1212⎡⎤''-+⎢⎥⎣⎦k k (k ′∈Z)；（2. （1）根据向量的数量积并借助三角恒等变换的知识化简()f x ，再根据条件求解出()f x 的具体表达式，最后利用整体代换法求解出()f x 的单调递增区间；（2）先根据正弦定理求解出b c +的值，然后再根据余弦定理求解出bc 的值，最后利用三角形的面积公式求解出三角形面积. 解：（1）由题意得f (x )＝m n ⋅＝2sin(x －A )·cos x ＋sin A ＝2(sin x ·cos A －cos x ·sin A )·cos x ＋sin A ＝2sin x ·cos x ·cos A －2cos 2x ·sin A ＋sin A ＝2sin x ·cos x ·cos A －(2cos 2x －1)·sin A ＝sin2x ·cos A －cos2x ·sin A ＝sin(2x －A )， 由题意知5π5π()sin()1126f A =-=，所以5ππ2π62A k -=+(k ∈Z)， 因为A ∈(0，π)，所以5ππ5π(,)666A -∈-，所以5ππ62A -=，即π3A =， 所以π()sin(2)3f x x =-，令πππ2π22π232k x k ''--+≤≤(k ′∈Z)，解得π5πππ1212k x k ''-≤≤+(k ′∈Z)， 所以f (x )的单调递增区间为π5ππ,π1212⎡⎤''-+⎢⎥⎣⎦k k (k ′∈Z)． （2）在△ABC 中由正弦定理得sin sin sin a b c A B C==sin sin sin 3b cB C+==+解得b c +=22224b c bc ++=，在△ABC 中由余弦定理得2222cos b c a bc A +-=，于是2212b c bc +-=，解得bc ＝4，所以△ABC的面积为11sin 422bc C =⋅=点评：本题考查三角函数的图象与性质、解三角形基本应用，要求学生能熟练的掌握的公式以及利用三角恒等变换进行化简，难度较易.20．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是圆内接四边形，1CB CD CE ===，AB AD AE ===，EC BD ⊥.(1)求证：平面BED ⊥平面ABCD ；(2)若点P 在平面ABE 内运动，且//DP 平面BEC ，求直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值.答案：（1）证明见解析；（2）427（1）连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，先通过证明OE BD ⊥，EO AC ⊥得出EO ⊥平面ABCD ，再根据面面垂直的判定定理由EO ⊂平面BED 证明平面BED ⊥平面ABCD 即可；（2）取AE 的中点M ，AB 的中点N ，先通过平面DMN //平面EBC 得出点P 在线段MN 上，然后建立空间直角坐标系并设()01MP MN λλ=≤≤，从而求出平面ABE 的法向量n 及DP 的坐标，设直线DP 与平面ABE 所成的角为θ，则sin n DP n DPθ⋅=，最后根据01λ≤≤即可求出sin θ的最大值.解：(1)证明：如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，因为AD AB =，CD CB =，AC AC =， 所以ADC ABC ∆≅∆，易得ADO ABO ∆≅∆， 所以90AOD AOB ∠=∠=︒， 所以AC BD ⊥.又EC BD ⊥，EC AC C ⋂=，所以BD ⊥平面AEC ， 又EO ⊂平面AEC ，所以OE BD ⊥. 又底面ABCD 是圆内接四边形，因为90ADC ABC ∠=∠=︒， 在Rt ADC ∆中，由3AD =，1CD=，可得2AC =，32AO =， 所以90AEC ∠=︒，32AE AO AC AF ==， 易得AEO ∆与ACE ∆相似，所以90AOE AEC ∠=∠=︒， 即EO AC ⊥.又AC 、BD ⊂平面ABCD ，AC BD O =，所以EO ⊥平面ABCD ，又EO ⊂平面BED ，所以平面BED ⊥平面ABCD .(2)解：如图，取AE 的中点M ，AB 的中点N ，连接MN ，ND ，DM ， 则//MN BE ，由(1)知，30DAC BAC ∠=∠=︒，即60DAB ∠=︒，所以ABD ∆为正三角形，所以DN AB ⊥，又BC AB ⊥， 所以平面DMN //平面EBC ， 所以点P 在线段MN 上.以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则3,0,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，3B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3E ⎛ ⎝⎭，334M ⎛ ⎝⎭，30,D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，33,44N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 所以33,,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，33,0,22⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭AE ， 333,424DM ⎛= ⎝⎭，330,,44MN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面ABE 的法向量(),,n x y z =，则00AB n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即3030x y x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，则(1,3,n =， 设()01MP MN λλ=≤≤，可得3,,42444DP DM MP λ⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线DP 与平面ABE 所成的角为θ，则sin 42n DP n DPθ⋅==，因为01λ≤≤，所以当0λ=时，sin θ.故直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值为7. 点评：本题第一问主要考查由线线垂直证明线面垂直，再由面面垂直的判定定理证明面面垂直，第二问先确定点P 在线段MN 上，然后建立空间直角坐标系并求出平面的法向量及直线的方向向量的坐标即可研究线面角的正弦值的最值问题，本题综合性强、计算量大，属中等难度题. 21．已知()ln af x x x x x=-+，其中a ∈R ． （1）讨论f (x )的极值点的个数；（2）当n ∈N 时，证明：2222341ln 2lnln ln 2324n n n n ++++⋅⋅⋅++＞． 答案：（1）答案见解析；（2）答案见解析.（1）f (x )的定义域为(0，＋∞)，求导得到22()ln 11ln a af x x x x x '=+--=-，再令2()ln a g x x x =-，x ＞0，用导数法研究其不等零点，求导233122()a x ag x x x x+'=+=，然后分0a =、0a >和0a <三种情况讨论求解.（2）根据（1）a ＝0时，f (x )≥f (1)＝－1，即1ln 1x x -≥，进而有221ln (1)x x-≥，然后令1n x n+=得到22111111ln ()11212n n n n n n n +⋅=-+++++≥＞求解.解：（1）f (x )的定义域为(0，＋∞)，则22()ln 11ln a af x x x x x '=+--=-， 令2()ln a g x x x =-，x ＞0，则233122()a x ag x x x x +'=+=，①当0a =时，()ln f x x '=，令()0f x '=，则1x =， 当0＜x ＜1时，()0f x '<，f (x )单调递减， 当x ＞1时，()0f x '>，f (x )单调递增， 所以f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个极值点．②当0a >时，()0g x '>，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又(1)0g a =-<，221(e )(1)0e e aa aa g a a =-=-> 所以g (x )在(1，e a )上存在唯一零点，记为x 0，列表：所以f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个极值点． ③当0a <时，令()0g x '=，得x =当0＜x时，()0g x '<，g (x )单调递减，当x ()0g x '>，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g )＝12， 当a ≤12e-时，g (x )min ≥0，故f′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 所以f(x )在(0，＋∞)上无极值点， 当12e-＜a ＜0时，g (x )min ＝g ＝12＜0，又(1)0g a =->，021a <-<，下面证1(2)ln(2)04g a a a-=-->， 令1()ln(2)4a a a ϕ=--(12e -＜a ＜0)，222212141e ()02444a a a a a a ϕ--+'=+=>>-， 所以()a ϕ在(12e-，0)上单调递增，所以11e e(2)()()ln 102e e 22g a a ϕϕ-=>-=+=->，所以g (x )在(0，＋∞)上有且仅有两个零点，记为,()αβαβ<，列表：所以f (x )在(0，＋∞)上有且仅有两个极值点． 综上所述，当a ≤12e-时，f (x )无极值点； 当12e-＜a ＜0时，f (x )有两个极值点； 当a ≥0时，f (x )有一个极值点．（2）由（1）知，当a ＝0时，f (x )≥f (1)＝－1， 所以ln 1x x x -≥，即1ln 1x x-≥， 所以221ln (1)x x-≥，令1n x n+=得 故22111111ln ()11212n n n n n n n +⋅=-+++++≥＞，所以2222341ln 2ln ln ln 23n n ++++⋅⋅⋅+＞111111233412n n -+-+⋅⋅⋅+-++，112224n n n =-=++． 点评：本题主要考查函数的极值点与导数、构造不等式放缩证明，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于较难题.22．某中学开展劳动实习，学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子元件．已知学生加工出的每个电子元件正常工作的概率都是p (0＜p ＜1)，且各个电子元件正常工作的事件相互独立．现要检测k (k ∈N)个这样的电子元件，并将它们串联成元件组进行筛选检测，若检测出元件组正常工作，则认为这k 个电子元件均正常工作；若检测出元件组不能正常工作，则认为这k 个电子元件中必有一个或多个电子元件不能正常工作，须再对这k 个电子元件进行逐一检测．（1）记对电子元件总的检测次数为X ，求X 的概率分布和数学期望；（2）若p ＝0.99，利用(1－α)β(0＜α<<1，β∈N)的二项展开式的特点，估算当k 为何值时，每个电子元件的检测次数最小，并估算此时总的检测次数；（3）若不对生产出的电子元件进行筛选检测，将它们随机组装入电子系统中，不考虑组装时带来的影响．已知该系统配置有2n －1(n ∈N)个电子元件，如果系统中有多于一半的电子元件正常工作，该系统就能正常工作．将系统正常工作的概率称为系统的可靠性，现为了改善该系统的性能，拟向系统中增加两个电子元件．试分析当p 满足什么条件时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性？答案：（1）答案见解析；（2）k ＝10；2；（3）p ＞12. （1）根据题意，分析出X 可能的取值为1，k ＋1，求得其概率，得到分布列，进而求得其期望；（2）根据题意，列出式子，结合基本不等式求得最值；（3）列出式子，利用作差比较法，求得结果.解：（1）X 可能的取值为1，k ＋1，P (X ＝1)＝p k ，P (X ＝k ＋1)＝1－p k ，X 的概率分布为：所以X 的数学期望E (X )＝1·p k ＋(k ＋1)(1－p k )＝k ＋1－kp k ． （2）根据(1－α)β(0＜α<<1，β∈N)的二项展开式的特点，可知(1)1βααβ--≈， 记每个电子元件的检测次数为Y ，p ＝0.99＝1－0.01，所以()111111(10.01)110.01k k k E Xk kp Y p k k k k k k +-===+-=+--+-+≈ 10.010.2k k =+≥，当且仅当10.01k k =，即k ＝10时取等， 故当k ＝10时每个电子元件的检测次数最小，此时总的检测次数kY ＝10×0.2＝2． （3）记当系统配置有2n －1(n ∈N)个电子元件时，系统正常工作的概率为21n P -， 当系统配置有2n ＋1(n ∈N)个电子元件时，系统正常工作的概率为21n P +，若前2n －1个电子元件中恰有n －1个正常工作，此时后两个元件必须同时正常工作； 若前2n －1个电子元件中恰有n 个正常工作，此时后两个元件至少须有1个正常工作； 若前2n －1个电子元件中恰有n ＋1个正常工作，此时系统必定正常工作；可以求得：112121121212122121[C ][C ][C (1)][C ](1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n P p p P p p p p p p p p ----+----=⋅⋅+-+--+--故11121212121212C C [C (1)1](1)(1)n n n n n n n n n n P P p p pp p p p -+-+----=⋅+---+- 21C (21)(1)nn n n p p p -=--， 令21210n n P P +-- ＞，得2p －1＞0，即p ＞12， 所以当p ＞12时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性．点评：该题考查的是有关随机变量的概率问题，有期望、分布列、二项式综合应用，属于较难题目.。
江苏省徐州市铜山区大许中学2021届高三数学9月联考试题2
江苏省徐州市铜山区大许中学2021届高三数学9月联考试题(考试时间：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|x2－4x－12≤0}，B＝{x|4x－4>0}，则A∩B＝A.{x|1<x≤2}B.{x|x≥－2}C.{x|1<x≤6}D.{x|x≥－6}2.已知复数z＝1ii，则z＝A.12＋12i B.12－12i C.－12＋12i D.－12－12i3.某年1月25日至2月12日某旅游景区A及其里面的特色景点a累计参观人次的折线图如图所示，则下列判断正确的是A.1月29日景区A累计参观人次中特色景点a占比超过了1 3B.2月4日至2月10日特色景点a累计参观人次增加了9700人次C.2月6日至2月8日景区A累计参观人次的增长率大于特色景点a累计参观人次的增长率D.2月8日至2月10日景区A 累计参观人次的增长率小于2月6日到2月8日的增长率 4.“3sin 2α－sin αcos α－2＝0”是“tan α＝2”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.函数()22sin x 1f x x-=的部分图象是6.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为CD ，BC 的中点，则AE ＝A.31AD AF 42+B.11AD AF 22+C.13AD AF 24+D.1AD AF 2+ 7.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD 内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”，若从该“数学风车”的八个顶点中任取两点，则该两点取自同一片“风叶”的概率为A.37B.47C.314D.11148.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，P 为双曲线右支上一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等边三角形，则双曲线C 的离心率为3331+3＋1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省徐州市(市区部分学校)2021届高三9月学情调研考试数学试题(WORD版含解析)
徐州市2021届高三学情调研考试数学徐州市高考研究中心命制2020.9.29一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2－x－2＜0且x∈Z}，则A∩B＝A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3} 2．某大学4名大学生利用假期到3个山村参加基层扶贫工作，每名大学生只去1个山村，每个山村至少有1人去，则不同的分配方案共有A．6种B．24种C．36种D．72种3．甲、乙、丙、丁四位同学被问到谁去过长城时，甲说：“我没去过”，乙说：“丁去过”，丙说：“乙去过”，丁说：“我没去过”，假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是A．甲B．乙C．丙D．丁4．天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，天体就越亮；星等的数值越大，天体就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（M.R.Pogson）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 1－m 2＝2.5(lg E 2－lg E 1)，其中星等为m i 的的星的亮度为E i (i ＝1，2)．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25．“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则r 的近似值为（当|x |较小时，10x ≈1＋2.3x ＋2.7x 2） A ．1.23B ．1.26C ．1.51D ．1.575．设a ，b ，c 为单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为 A ．－2B ．2－2C ．－1D ．1－ 26．我国古代数学家刘徽于公元263年在《九章算术注》中提出“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率．如果用圆的内接正n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为πn ，那么用圆的内接正2n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值π2n 可以表示为A ．π180cosnn ︒ B ．π360cosnn ︒ C ．π180sinnn ︒ D ．π90sinnn︒ 7．用一平面截正方体，所得截面的面积最大时，截面的几何形状为A ．正六边形B ．五边形C ．矩形D ．三角形8．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若∀x ∈R ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2，则使x 2f (x )－f (1)＜x 2－1成立的实数x 的取值范围是 A ．{x |x ≠±1} B ．(－1，0)∪(0，1) C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省徐州市铜山区大许中学2021届高三数学上学期9月学情调研试题【含答案】
试题
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知集合 A＝ x x2 x 2 0 ，B＝ x 1 x 3 ，则 A B＝
综上，a≤0，b＝﹣1，因此 a＋b( ，﹣1]．
四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
已知向量 m ＝(2cosx，﹣1)， n ＝( 3 sinx，2cos2x)，xR，设函
数 f (x) mn 1．
C．a＞c＞b
3
解析：∵9＞8，∴3＞ 22
，故 log2
3
log2
3
22
3 2
，
D．c＞a＞b
从而有
a
log4
9
log2
3
3 2
c
1
21.2
b
，故选
C．
7．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 A： (x 1)2 y2 1，点 B(3，0)，过动点 P 引圆 A 的
切线，切点为 T．若 PT＝ 2 PB，则动点 P 的轨迹方程为
当 a＝0 时， f (x) 在( ，0)递增，(0， )递减， f (x) f (0) 符合题意，
a＜0 时， f (x) 在( ， 1 2a )递减，( 1 2a ，0)递增，(0， )递减
a
a
x＜ 1 2a ， ax2 x 1 0 f (x) 0 ，故 f (x) f (0) 符合题意， a
江苏省徐州市丰县中学2021年高三数学理月考试卷含解析
江苏省徐州市丰县中学2021年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在平面直角坐标系中，定义之间的“折线距离”，在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0；④到两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中真命题有A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案：C2. 已知实数x，y满足约束条件且目标函数z=2x+y的最大值是6，最小值是1，则的值是( )A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数的最值，作用平面区域即可得到结论．．【解答】解：由题意得：作出目标函数2x+y=6，和2x+y=1，则对应的平面区域如图：则B，C在直线ax+by+c=0上，由，解得，即C（1，﹣1），由，解得，即B（2，2），则B，C在直线在直线ax+by+c=0上，∴BC的方程为3x﹣y﹣4=0，即a=3，b=﹣1，c=﹣4，则=4，故选：D【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法．3. 已知全集U为实数集R，集合N＝{x||x|≤1}，则下图阴影部分表示的集合是()．A．[－1,1] B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞) D．(－3，－1)参考答案：D略4. 已知点在直线上移动，当取最小值时，过点引圆C：的切线，则此切线长等于A. B. C. D.参考答案：D5. 如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在处有一棵树与两墙的距离分别是米、4米，不考虑树的粗细．现在想用米长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃．设此矩形花圃的面积为平方米，的最大值为，若将这棵树围在花圃内，则函数的图象大致是（）参考答案：C6. 下列命题：①若是定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上是增函数，，则；②若锐角、满足则; ③在中，“”是“”成立的充要条件;④要得到的图象,只需将的图象向左平移个单位.其中真命题的个数有（）A．1 B．2 C．3 D． 4参考答案：B 略7. （文）现有四个函数：①y=x?sinx；②y=x?cosx；③y=x|cosx|；④y=x?2x的图象（部分）如图：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A．①④③②B．③④②①C．④①②③D．①④②③参考答案：D【考点】函数的图象．【专题】作图题；函数的性质及应用．【分析】函数与函数图象对应题一般用排除法，首先发现只有①是偶函数，故第一个图象对应①；从而排除B、C；注意到③y=x|cosx|，当x＜0时，y≤0，当x＞0时，y≥0；故③对应第四个图象．从而解得．【解答】解：四个函数：①y=x?sinx；②y=x?cosx；③y=x|cosx|；④y=x?2x中，只有①是偶函数，故第一个图象对应①；故排除B、C；故焦点在第三，四个图象与②③的对应上，注意到③y=x|cosx|，当x＜0时，y≤0，当x＞0时，y≥0；故③对应第四个图象，故排除A，故选D．【点评】本题考查了函数的图象的应用，函数与函数图象对应题一般用排除法比较好，属于中档题．8. 若函数，则等于（）A．4 B．3C．2 D．1参考答案：B 略9. 曲线在点（1,1）处切线的斜率等于 （ ） A ．B ．C ．2D ．1参考答案：C10. 已知集合，，则集合等于（ ）A.B.C.D.参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图所示的程序是计算函数函数值的程序，若输出的值为4，则输入的值是.参考答案：-4,0,412. 如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ．参考答案：略13. 是虚数单位，= ▲ .参考答案：14. 已知两圆的方程分别为和，则这两圆公共弦的长等于__________.参考答案：考点：两圆的位置关系．【名师点睛】1．两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到． 2．处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形．15. 已知集合，，若，则实数的取值范围是 ．参考答案：16. 已知正项数列的首项，前n 项和为，若以为坐标的点在曲线上，则数列的通项公式为 ．参考答案：17. 右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（），则等于，．参考答案：由题意可知第一列首项为，公差，第二列的首项为，公差，所以，，所以第5行的公比为，所以。
2021届江苏省徐州市(市区部分学校)高三9月学情调研考试数学试题
4．作答选择题（第1题～第12题），必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
问题：已知曲线C：mx2＋ny2＝1(m，n≠0)的焦点在x轴上，____________，是否存在过点P(－1，1)的直线l，与曲线C交于A，B两点，且P为线段AB的中点？
注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
19．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m＝(2sin(x－A)，sinA)，n＝
由题设得 ，解得a2＝4，b2＝3，所以C的方程为 ，…………4分
1°当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，代入 得 ，P(－1，1)不是线段AB的中点，不符合题意；…………………………………………………6分
2°当直线l的斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y－1＝k(x＋1)，即y＝k(x＋1)＋1，代入 得(3＋4k2)x2＋8k(k＋1)x＋4(k2＋2k－2)＝0，
(cosx，1)，f(x)＝m·n，且对任意x∈R，都有f(x)≤f( )．
（1）求f(x)的单调递增区间；
（2）若a＝2 ，sinB＋sinC＝ ，求△ABC的面积．
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是圆内接四边形，CB＝CD＝CE＝1，AB＝AD＝AE＝ ，EC⊥BD．
A． B． 面的面积最大时，截面的几何形状为
A．正六边形B．五边形C．矩形D．三角形
江苏省徐州市铜山区大许中学2021届高三9月月考数学试卷含答案
D． x 0, .x3 x 0
） B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4.已知 A x x2 a , B x x 2 , 若 A B A,则a 的取值范围是（ ）
A． (0,4]
B． (0,4)
C． (,4]
D． (,4)
5. 已 知 f (x) 是 周 期 为 2 的 奇 函 数 ， 当 0 x 1 时 ， f (x) lg x. 设
x2 [1, 2] ，使得 f (x1) g(x2 ) 成立，则实数 a 的取值范围是
.
16.偶函数 f x 满足 f x 1 f x 1 ，且当 x 0,1 时， f x x ，则
f
4 3
__________，则若在区间 1,3 内，函数
g x
f
x kx k
有
4
个零点，则实
（1）求 a 、 b 的值；(5 分)
-3-
（2）求函数 f x 在区间 3,3 上的最小值和最大值．(7 分)
20.(本小题满分
12
分)已知
f(x)=
px2 2 3x q
奇函数，且
f
(2)
5 3
．
（1）求实数 p ,q 的值．(5 分)
（2）判断函数 f（x）在 (, 1) 上的单调性，并证明．(7 分)
A x a x a ，又 A B ，所以 0 a 20 a 4 ，综上可知 a 的取值范围是
(,4] ，故选 C.
5. 解 ： 已 知 f (x) 是 周 期 为 2 的 奇 函 数 ， 当 0 x 1 时 ， f (x) lg x. 设
a f (6) f ( 4) f ( 4) ， b f ( 3) f ( 1) f (1) ， c f ( 5 ) f ( 1 ) <0 ，
江苏省徐州市(市区部分学校)2021届高三9月学情调研考试数学试题
7．用一平面截正方体，所得截面的面积最大时，截面的几何形状为
A．正六边形
B．五边形
C．矩形
D．三角形
8．定义在 R 上的偶函数 f(x)的导函数为 f ′(x)，若∀x∈R，都有 2f(x)＋xf ′(x)＜2，则使
x2f(x)－f(1)＜x2－1 成立的实数 x 的取值范围是
A．{x|x≠±1}
体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 m1－m2＝2.5(lg
E2－lg E1)，其中星等为 mi 的的星的亮度为 Ei (i＝1，2)．已知“心宿二”的星等是 1.00，
“天津四”的星等是 1.25．“心宿二”的亮度是“天津四”的 r 倍，则 r 的近似值为（当|x|
较小时，10x≈1＋2.3x＋2.7x2）
12 （1）求 f(x)的单调递增区间； （2）若 a＝2 3，sin B＋sin C＝ 6，求△ABC 的面积．
2
20．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 E－ABCD 中，底面 ABCD 是圆内接四边
形，CB＝CD＝CE＝1，AB＝AD＝AE＝ 3，EC⊥BD． （1）证明：平面 BED⊥平面 ABCD； （2）若点 P 在侧面 ABE 内运动，且 DP∥平面 BEC，求直线 DP 与平面 ABE 所成角的正弦值的最大值．
的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____________________． 15．已知 P 是直线 3x＋4y－10＝0 上的动点，PA，PB 是圆 x2＋y2－2x＋4y＋4＝0 的两
条切线，C 为圆心，A，B 为切点，则四边形 PACB 的面积的最小值为__________． 16．在△ABC 中，sin (A－B)＝sin C－sin B，则 cos A＝__________；点 D 是 BC 上靠近
2021年高三上学期9月月考数学试卷含解析
2021年高三上学期9月月考数学试卷含解析一、填空题：（每题5分，共计70分）1．已知A={﹣1，0，2}，B={﹣1，1}，则A∪B= ．2．已知复数z=，（i为虚数单位）则复数z的实部为．3．写出命题：“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题：．4．一位篮球运动员在最近的5场比赛中得分的茎叶图如图，则他在这5场比赛中得分的方差是．5．如图所示的流程图，输出的n= ．6．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为．7．若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为．8．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为．9．在等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，若a3=8，S3=20，则S5= ．10．将y=sin2x的图象向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图象仍过点（），则φ的最小值为．11．若直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，则a= ．12．已知函数f（x）=，为奇函数，则不等式f（x）＜4的解集为．13．在三角形ABC中，已知AB=3，A=120°，△ABC的面积为，则•的值= ．14．设点P，M，N分别在函数y=2x+2，y=，y=x+3的图象上，且=2，则点P横坐标的取值范围为．二、解答题：（满分90分，作答请写出必要的解答过程）15．已知f（x）=sinx+acosx，（1）若a=，求f（x）的最大值及对应的x的值．（2）若f（）=0，f（x）=（0＜x＜π），求tanx的值．16．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为PB中点，E为PC的中点，（1）求证：BC∥平面ADE；（2）求证：平面AED⊥平面PAB．17．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若点B在椭圆上，点D在y轴上，且=2，求直线AB方程．19．已知数列{a n}满足a1=1，a2=a＞0，数列{b n}满足b n=a n•a n+1（1）若{a n}为等比数列，求{b n}的前n项的和s n；（2）若b n=3n，求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=n+2，求证：++…+＞2﹣3．20．已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，（1）求证：f（x）≥x+1；（2）设x0＞1，求证：存在唯一的x0使得g（x）图象在点A（x0，g（x0））处的切线l与y=f（x）图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得|﹣1|＜a成立．xx学年江苏省淮安市淮阴中学高三（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每题5分，共计70分）1．已知A={﹣1，0，2}，B={﹣1，1}，则A∪B= {﹣1，0，1，2} ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：利用并集的性质求解．解答：解：∵A={﹣1，0，2}，B={﹣1，1}，∴A∪B{﹣1，0，1，2}，故答案为：{﹣1，0，1，2}．点评：本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题．2．已知复数z=，（i为虚数单位）则复数z的实部为 1 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．解答：解：∵复数z===i+1．∴复数z的实部为1．故答案为：1．点评：本题考查了复数的运算法则、实部的定义，属于基础题．3．写出命题：“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题：“若x≠3则x2﹣2x﹣3≠0”．考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：若原命题的形式是“若p，则q”，它的否命题是“若非p，则非q”，然后再通过方程根的有关结论，验证它们的真假即可．解答：解：原命题的形式是“若p，则q”，它的否命题是“若非p，则非q”，∴命题：“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3则x2﹣2x﹣3≠0”．故答案为：“若x≠3则x2﹣2x﹣3≠0”．点评：写四种命题时应先分清原命题的题设和结论，在写出原命题的否命题、逆命题、逆否命题，属于基础知识．4．一位篮球运动员在最近的5场比赛中得分的茎叶图如图，则他在这5场比赛中得分的方差是 2 ．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：先求得数据的平均数，再利用方差计算公式计算．解答：解：==10，∴方差Dx=×（4+1+0+1+4）=2．故答案为：2．点评：本题考查了由茎叶图求数据的方差，熟练掌握方差的计算公式是解题的关键．5．如图所示的流程图，输出的n= 4 ．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：当n=1时，S=1，不满足退出循环的条件，故n=2，S=4；当S=4，不满足退出循环的条件，故n=3，S=9；当S=9，不满足退出循环的条件，故n=4，S=16；当S=16，满足退出循环的条件，故输出的n值为4，故答案为：4点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程，算出它的焦点为F（2，0），即为双曲线的右焦点，由此建立关于a的等式并解出a值，进而可得此双曲线的渐近线方程．解答：解：∵抛物线方程为y2=8x，∴2p=8，=2，可得抛物线的焦点为F（2，0）．∵抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，∴双曲线的右焦点为（2，0），可得c==2，解得a2=1，因此双曲线的方程为，可得a=1且b=，∴双曲线的渐近线方程为y=x，即．故答案为：点评：本题给出双曲线的右焦点与已知抛物线的焦点相同，求双曲线的渐近线方程．着重考查了抛物线的简单性质、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．7．若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为 6 ．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组对应的平面区域如图，将直线l：z=x+2y进行平移，并观察它在轴上截距的变化，可得当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值．由此求出A点坐标，不难得到本题的答案．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如右图，是位于△ABO及其内部的阴影部分．将直线l：z=x+2y进行平移，可知越向上平移，z的值越大，当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值由解得A（2，2）∴z max=F（2，2）=2+2×2=6故答案为：6点评：本题给出线性约束条件，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单线性规划等知识点，属于基础题．8．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为6π．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由圆柱的轴截面是边长为2的正方形可得圆柱底面圆的直径长为2，高为2．解答：解：∵圆柱的轴截面是边长为2的正方形，∴圆柱底面圆的直径长为2，高为2．则圆柱的表面积S=2•π•2+2•π•12=6π．故答案为6π．点评：考查了学生的空间想象力．9．在等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，若a3=8，S3=20，则S5= 40 ．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等差数列的首项和公差，由已知列式求出首项和公差，则答案可求．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由若a3=8，S3=20，得，解得：．∴．故答案为：40．点评：本题考查了等差数列的前n项和，考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．10．将y=sin2x的图象向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图象仍过点（），则φ的最小值为．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：利用正弦函数的函数值相等，结合三角函数的图象的平移，判断平移的最小值即可．解答：解：因为y=sin2×=sin=，所以函数y=sin2x的图象向右平移单位，得到的图象仍过点（），所以φ的最小值为．故答案为：．点评：本题考查三角函数的值与函数的图象的平移，考查计算能力．11．若直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，则a= ﹣2 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由圆的方程，得到圆心与半径，根据直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，可得直线l：y=x+a过圆心，即可求出a的值．解答：解：∵圆（x﹣2）2+y2=1，∴圆心为：（2，0），半径为：1∵直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，∴直线l：y=x+a过圆心，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题主要考查直与圆的位置关系及其方程的应用，是常考题型，属中档题．12．已知函数f（x）=，为奇函数，则不等式f（x）＜4的解集为（﹣∞，4）．考点：其他不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义，求出a，b，即可得到结论．解答：解：若x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）=bx2+3x，∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即bx2+3x=﹣x2﹣ax，则b=﹣1，a=﹣3，即f（x）=，若x≥0，则不等式f（x）＜4等价x2﹣3x＜4，即x2﹣3x﹣4＜0，解得﹣1＜x＜4，此时0≤x＜4，若x＜0，不等式f（x）＜4等价﹣x2﹣3x＜4，即x2+3x+4＞0，此时不等式恒成立，综上x＜4．即不等式的解集为（﹣∞，4）．点评：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．13．在三角形ABC中，已知AB=3，A=120°，△ABC的面积为，则•的值= ．考点：平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：利用三角形面积公式列出关系式，将c，sinA及已知面积代入求出b的值，再利用余弦定理列出关系式，把b，c，cosA的值代入计算即可求出a的值，然后利用余弦定理求cosB，结合数量积的定义求•的值．解答：解：∵AB=c=3，A=120°，△ABC的面积为，∴S△ABC=bcsinA=b=，即b=5，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=25+9+15=49，则BC=a=7．由余弦定理得cosB=•=accosB=7×3×=．点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式以及向量的数量积的运算，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．14．设点P，M，N分别在函数y=2x+2，y=，y=x+3的图象上，且=2，则点P横坐标的取值范围为．．考点：向量数乘的运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，由=2，可得点P是线段MN的中点．设M（x1，y1），P（x，y），N（x2，y2）．可得，，，（0≤x1≤4），y2=x2+3，y=2x+2．化为2x=﹣1﹣x1（0≤x1≤4）．令f（t）=（0≤t≤4）．利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出．解答：解：如图所示，∵=2，∴点P是线段MN的中点．设M（x1，y1），P（x，y），N（x2，y2）．∴，，，（0≤x1≤4），y2=x2+3，y=2x+2．化为2x=﹣1﹣x1（0≤x1≤4）．令f（t）=（0≤t≤4）．f′（t）=﹣1，当2≤t≤4时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．当0≤t＜2时，f′（t）=0，解得，则当时，函数f（t）单调递增；当时，函数f（t）单调递减．而极大值即最大值=﹣3，又f（0）=﹣1，f（4）=﹣5．∴点P横坐标的取值范围为．故答案为：．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、向量的共线、分类讨论思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、解答题：（满分90分，作答请写出必要的解答过程）15．（14分）（xx秋•泗洪县校级期中）已知f（x）=sinx+acosx，（1）若a=，求f（x）的最大值及对应的x的值．（2）若f（）=0，f（x）=（0＜x＜π），求tanx的值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数线．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）a=时，利用两角和的正弦值化简f（x），求出x取何值时f（x）有最大值；（2）由f（）=0求出a的值，再由f（x）=，求出cosx、sinx的值，从而求出tanx的值．解答：解：（1）a=时，f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），…（2分）当sin（x+）=1，即x+=+2kπ（k∈Z），∴x=+2kπ（k∈Z）时，f（x）有最大值2；…（6分）（2）∵f（）=sin+acos=+a=0，∴a=﹣1；…（8分）∴f（x）=sinx﹣cosx=，∴，∴，即（cosx+）cosx=；整理得，25cos2x+5cosx﹣12=0，解得，cosx=，或cosx=﹣；当cosx=时，sinx=，当cosx=﹣时，sinx=﹣；又∵x∈（0，π）∴取；∴tanx=．…（14分）点评：本题考查了三角恒等变换的应用问题以及三角函数求值的问题，也考查了一定的计算能力，是较基础题．16．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为PB中点，E为PC的中点，（1）求证：BC∥平面ADE；（2）求证：平面AED⊥平面PAB．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）由中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（2）由线面垂直的性质和判定定理，以及通过面面垂直的判定定理，即可得证．解答：（1）证明：∵PE=EC，PD=DB，∴DE∥BC，∵DE⊂平面ADE，BC⊄平面ADE，∴BC∥平面ADE；（2）证明：∵PA⊥平面PAC，BC⊂平面PAC，∴PA⊥CB，∵AB⊥CB，AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB，∵DE∥BC∴DE⊥平面PAB，又∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面PAB．点评：本题考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定定理，注意定理的条件的全面，属于基础题．17．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）求出第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；（2）利用利润=累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．解答：解：（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y=25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50=﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N）由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出，∴二手车出售后，小张的年平均利润为=19﹣（x+）≤19﹣10=9当且仅当x=5时，等号成立∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若点B在椭圆上，点D在y轴上，且=2，求直线AB方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知得，，由此能求出椭圆方程．（2）设B（x0，y0），D（0，m），则，，由此能求出直线方程．解答：解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（1，），∴，∴a=2c，…（2分）∴b2=a2﹣c2=3c2设椭圆方程为：，∴∴椭圆方程为：…（7分）（2）设B（x0，y0），D（0，m），则，，∴﹣x0=2，m﹣y0=3﹣2m，即x0=﹣2，y0=3m﹣3，代入椭圆方程得m=1，∴D（0，1），…（14分）∴．…（16分）点评：本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线与椭圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．19．已知数列{a n}满足a1=1，a2=a＞0，数列{b n}满足b n=a n•a n+1（1）若{a n}为等比数列，求{b n}的前n项的和s n；（2）若b n=3n，求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=n+2，求证：++…+＞2﹣3．考点：数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）分a=1和a≠1求出等比数列{a n}的通项公式，进一步求得{b n}是等比数列，则其前n项和s n可求；（2）把b n=3n代入b n=a n•a n+1，然后分n为奇数和偶数得到数列{a n}的偶数项和奇数项为等比数列，由等比数列的通项公式得答案；（3）由b n=n+2得到a n a n+1=n+2，进一步得到，代入++…+整理后利用基本不等式证得结论．解答：（1）解：由a1=1，a2=a＞0，若{a n}为等比数列，则，∴．当a=1时，b n=1，则s n=n；当a≠1时，．（2）解：∵3n=a n•a n+1，∴3n﹣1=a n﹣1•a n（n≥2，n∈N），∴．当n=2k+1（k∈N*）时，∴；当n=2k，（k∈N*）时，∴．∴．（3）证明：∵a n a n+1=n+2 ①，∴a n﹣1a n=n+1（n≥2）②，①﹣②得∴=（a3﹣a1）+（a4﹣a2）+…+（a n+1﹣a n﹣1）=a n+a n+1﹣a1﹣a2∴=．∵，∴＞﹣3．点评：本题是数列与不等式综合题，考查了等比关系的确定，考查了首项转化思想方法，训练了放缩法证明数列不等式，是压轴题．20．已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，（1）求证：f（x）≥x+1；（2）设x0＞1，求证：存在唯一的x0使得g（x）图象在点A（x0，g（x0））处的切线l与y=f（x）图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得|﹣1|＜a成立．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．分析：（1）构造函数F（x）=e x﹣x﹣1，求函数的导数即可证明f（x）≥x+1；（2）求函数的导数，利用导数的几何意义即可证明存在唯一的x0使得g（x）图象在点A （x0，g（x0））处的切线l与y=f（x）图象也相切；（3）求函数的导数，利用导数和不等式之间的关系即可证明对任意给定的正数a，总存在正数x，使得|﹣1|＜a成立．解答：解：（1）令F（x）=e x﹣x﹣1，x∈R，∵F'（x）=e x﹣1=0得x=0，∴当x＞0时F'（x）＞0，F（x）递增；当x＜0时F'（x）＜0，F（x）递减；∴F（x）min=F（0）=0，由最小值定义得F（x）≥F（x）min=0即e x≥x+1．（2）g（x）在x=x0处切线方程为①设直线l与y=e x图象相切于点，则l：②，由①②得，∴⑤下证x0在（1，+∞）上存在且唯一．令，，∴G（x）在（1，+∞）上递增．又，G（x）图象连续，∴存在唯一x0∈（1，+∞）使⑤式成立，从而由③④可确立x1．故得证．（1）由（1）知即证当a＞0时不等式e x﹣1﹣x＜ax即e x﹣ax﹣x﹣1＜0在（0，+∞）上有解．令H（x）=e x﹣ax﹣x﹣1，即证H（x）min＜0，由H'（x）=e x﹣a﹣1=0得x=ln（a+1）＞0．当0＜x＜ln（a+1）时，H'（x）＜0，H（x）递减，当x＞ln（a+1）时，H'（x）＞0，H（x）递增．∴H（x）min=H（ln（a+1））=a+1﹣aln（a+1）﹣ln（a+1）﹣1．令V（x）=x﹣xlnx﹣1，其中x=a+1＞1则V'（x）=1﹣（1+lnx）=﹣lnx＜0，∴V（x）递减，∴V（x）＜V（1）=0．综上得证．点评：本题主要考查导数的综合应用，综合性较强，运算量较大．25479 6387 掇36279 8DB7 趷h31814 7C46 籆31899 7C9B 粛c>37172 9134 鄴638874 97DA 韚21629 547D 命Q23777 5CE1 峡。
2021届江苏省徐州市市区部分学校高三上学期9月学情调研考试数学试题(解析版)
2021届江苏省徐州市市区部分学校高三上学期9月学情调研考试数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3A =，{220B x x x =--<且}x Z ∈，则AB =（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1,2,3,D ．{}1,0,1,2,3-【答案】A【解析】先求解出一元二次不等式的解集为集合B ，然后根据交集运算直接求解出A B 的结果.【详解】由题意{}{}12,0,1B x x x Z =-<<∈=，所以{}1A B ⋂=， 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集运算，其中涉及到一元二次不等式的解法，难度较易.2．某大学4名大学生利用假期到3个山村参加基层扶贫工作，每名大学生只去1个山村，每个山村至少有1人去，则不同的分配方案共有（ ） A ．6种 B ．24种 C ．36种 D ．72种【答案】C【解析】由题意可知先从4名大学生中选出两名作伴，再分配到每个山村，得到结果. 【详解】根据题意有两个人是分到同一个地方的， 先选出两人作伴，之后再进行全排，则由分步计数原理有234336C A ⋅=（种），故选：C. 【点睛】该题考查的是有关排列组合的问题，涉及到的知识点有分步乘法计数原理，属于基础题目.3．甲、乙、丙、丁四位同学被问到谁去过长城时，甲说：“我没去过”，乙说：“丁去过”，丙说：“乙去过”，丁说：“我没去过”，假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【解析】由题设可得乙和丁说的话矛盾，从而可得二人中必有一个人的话为假话，从而可判断其余的人为真话，故可得正确的选项. 【详解】由题意可知乙与丁说的话矛盾，故说假话的人必然在他们二人之中，再由题意只有一个人说的话为假话，则丙必定说了真话，则可判断一定去过长城的是乙， 故选：B. 【点睛】本题考查推理与论证，注意利用矛盾律来帮助推理，本题属于容易题.4．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus ，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..M R Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()1221 2.5lg lg m m E E -=-.其中星等为i m 的星的亮度为()1,2i E i =.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是(当x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++)A ．1.24B ．1.25C ．1.26D ．1.27【答案】C【解析】根据题意，代值计算，即可得r ，再结合参考公式，即可估算出结果. 【详解】 根据题意可得：()211 1.25 2.5lgE lgE -=-可得12110E lgE =，解得1110210E r E ==， 根据参考公式可得111 2.3 2.7 1.25710100r ≈+⨯+⨯=， 故与r 最接近的是1.26.故选：C. 【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.5．设,,a b c 为单位向量，且0a b ⋅=，则()()a cbc -⋅-的最小值为（ ） A ．－2 B2C ．－1D ．1【答案】D【解析】先根据条件计算出a b +的值，然后将()()a cbc -⋅-展开计算，根据余弦函数的取值范围求解出()()a cbc -⋅-的最小值. 【详解】由题意可知0a b ⋅=，所以2222a b a a b b +=+⋅+=，所以()()()21cos ,a c b c a b a b c c a b c a b c -⋅-=⋅-+⋅+=-+⋅⋅<+>，所以()()12cos ,12a c b c a b c -⋅-=-⋅<+>≥-,a c b +同向，所以()()a c b c -⋅-的最小值为1故选：D. 【点睛】本题考查根据向量的数量积运算求解最小值，难度一般.求解和向量有关的最值问题时，可以借助向量夹角的余弦值的 “有界性”去分析问题.6．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为n π，那么用圆的内接正2n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值加2n π可表示成（ ）A ．360sinnnπ︒B ．360cosnnπ︒ C ．180cosnnπ︒ D ．90cosnnπ︒ 【答案】C【解析】设圆的半径为r ，由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：180180sincosn n n nπ⨯=⨯，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：2180sinn n nπ⨯=，问题得解. 【详解】设圆的半径为r ，将内接正n 边形分成n 个小三角形， 由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：221360sin2r n r n π≈⨯⨯，整理得：1360sin 2n nπ≈⨯⨯， 此时1360sin 2n n n π⨯⨯=，即：180180sin cosn n n nπ⨯=⨯ 同理，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：2213602sin22r n r n π≈⨯⨯，整理得：13601802sin sin 22n n n nπ≈⨯⨯=⨯ 此时2180sinn n nπ⨯= 所以2180sin180cosnn n nnππ==⨯ 故选C 【点睛】本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公式，考查计算能力，属于中档题．7．用一平面截正方体，所得截面的面积最大时，截面的几何形状为（ ） A ．正六边形 B ．五边形C ．矩形D ．三角形【答案】C 【解析】1 【详解】由题意用一平面截正方体，所得截面可以为正六边形、五边形、矩形、三角形，而当截面为矩形时，为体对角线为长、正方体棱长为宽的矩形，可知该截面为最大面积. 故答案选C.8．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若∀x ∈R ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2，则使x 2f (x )－f (1)＜x 2－1成立的实数x 的取值范围是（ ） A ．{x |x ≠±1}B ．(－1，0)∪(0，1)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【答案】D【解析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出0x <的取值范围． 【详解】解：当0x >时，由2()()20f x xf x +'-<可知：两边同乘以x 得：22()()20xf x x f x x +'-< 设：22()()g x x f x x =-则2()2()()20g x xf x x f x x '=+'-<，恒成立：()g x ∴在(0,)+∞单调递减，由()()21x f x f -21x <-()()2211x f x x f ∴-<-即()()1g x g < 即1x >；当0x <时，函数是偶函数，同理得：1x <-综上可知：实数x 的取值范围为(-∞，1)(1-⋃，)+∞， 故选：D ． 【点睛】主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，属于中档题．二、多选题9．若01,1c a b <<>>，则（ ） A ．log log a b c c > B ．c c ab ba >C ．log log b a a c b c>D ．()()a b c b a c ->-【答案】AB【解析】由对数函数的知识可判断A 、C ，由幂函数的知识可判断B ，根据不等式的性质可判断D. 【详解】因为01,1c a b <<>>，所以由对数函数得单调性得log log 0c c a b <<， 则由换底公式有110log log c c a b>>，即0log log a b c c >>，则选项A 正确；由题意1c y x-=为减函数，所以11c c b a -->，且0ab >，则由不等式的基本性质得c c ab ba >，则选项B 正确；由题意0log log a b c c >>，又a ＞b ＞1，则log log b a a c b c <，则选项C 错误； 由题意,ac bc ac bc >-<-，所以ab ac ab bc -<-，即()()a b c b a c -<-，则选项D 错误； 故选：AB 【点睛】本题考查的是对数函数、幂函数和不等式的性质，考查了学生的基础知识水平，较综合. 10．下列四个命题中，真命题为（ ） A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ C ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z =【答案】AB【解析】利用特值法依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项A ，若复数z 满足z R ∈，设z a =，其中a R ∈，则z R ∈，则选项A 正确； 对选项B ，若复数z 满足1R z ∈，设1a z=，其中a R ∈，且0a ≠， 则1z R a=∈，则选项B 正确； 对选项C ，若复数z 满足2z ∈R ，设z i ，则21z R =-∈，但z i R =∉，则选项C 错误；对选项D ，若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，设1z i =，2z i =，则121z z ⋅=-∈R ， 而21z i z =-≠，则选项D 错误； 故答案选：AB 【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.11．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则（ ） A ．C 的准线方程为y ＝1 B ．线段PQ 长度的最小值为4 C ．M 的坐标可能为(3，2) D ．OP OQ ＝－3【答案】BCD【解析】根据条件可得出2p =，易得A 、B 的正误，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x =my +1，联立x =my +1，y 2＝2px ，算出12121212,,,x x x x y y y y ++即可得出C 、D 的正误. 【详解】焦点F 到准线的距离为p =2，所以抛物线C 的焦点为(1，0)，准线方程为x=－1，则选项A 错误；当PQ 垂直于x 轴时长度最小，此时P (1，2)，Q (1，－2)，所以|PQ|=4，则选项B 正确； 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x =my +1，联立x =my +1，y 2＝2px ， 消去y 可得x 2－(4m 2+2)x+1=0，消去x 可得y 2－4my －4=0，所以x 1+x 2=4m 2+2，y 1+y 2=4m ， 当m =1时，可得M (3，2)，则选项C 正确；又x 1x 2=1，y 1y 2=－4，所以OP OQ ＝x 1x 2+y 1y 2=－3，则选项D 正确； 故选：BCD 【点睛】本题考查的是直线与抛物线的位置关系，考查了学生的分析能力，属于中档题. 12．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021 B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1 C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021 D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0【答案】ABD【解析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】 由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误； 由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题三、填空题13．某公司的广告费支出x (单位：万元)与营业额y (单位：万元)之间呈线性相关关系，收集到的数据如下表：由最小二乘法求得回归直线方程为0.67y x a =+，则a 的值为__________． 【答案】54.9【解析】算出x 、y 后可求a 的值. 【详解】由线性回归方程的定义及表数据可得x =30，y =75，所以a =54.9． 故答案为：54.9 【点睛】本题考查线性回归方程的性质，注意回归直线必定经过样本中心(),x y ，本题属于基础题.14．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m n ⊥；②αβ⊥；③n β⊥；④m α⊥.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______. 【答案】①③④⇒②（或②③④⇒①）【解析】m α⊥，n β⊥，αβ⊥，由面面垂直的性质定理得m n ⊥；m n ⊥，m α⊥，n β⊥，由面面垂直的判定定理得αβ⊥．【详解】∵α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同的直线， 若①m n ⊥，③n β⊥，则m β. 又∵④m α⊥， ∴②αβ⊥. 即①③④⇒②.若②αβ⊥，③n β⊥，则n α.又∵④m α⊥， ∴①m n ⊥. 即②③④⇒①.故答案为：①③④⇒②（或②③④⇒①） 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，属于中档题．15．已知P 是直线3x ＋4y －10＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为________． 【答案】22【解析】圆的标准方程为()()22121x y -++=，则圆心为()12C -，，半径为1，则直线与圆相离，如图：PACB PACPBCS SS=+四边形，而1122PACSPA CA PA =⋅=，1122PBCS PB CB PB =⋅=，又21PA PC =-21PB PC =-PC 取最小值时，PA PB =取最小值，即PACPBC SS=取最小值，此时CP l ⊥，2232410153534CP -⨯-===+，则23122PA =-=122122PACPBCSS==⨯=PACB 面积的最小值是22故答案为22四、双空题16．在ABC 中，()sin sin sin A B C B -=-，则cos A =__________；点D 是BC 上靠近点B 的一个三等分点，记sin sin ABDBADλ∠=∠，则当λ取最大值时，tan ACD ∠=__________．【答案】122+ 【解析】根据题意，由三角恒等变换将原式化简，即可求出1cos 2A =；设BD x =，BAD θ∠=，πθ0,3，则2DC x =，sin sin B t =θ，根据正弦定理，得到AD x =λ，sin sin23Cπλθ，求出cos cos 3B ⎛⎫=+⎪⎝⎭πλθ，得到222222sin cos sin cos 13B B ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭πλθλθ，表示出2221sin cos 3=⎛⎫++ ⎪⎝⎭λπθθ，求出最值，即可得出结果.【详解】因为()sin sin sin A B C B -=-，所以()sin sin sin B C A B =--， 即()()sin sin sin 2cos sin B A B A B A B =+--=， 又因为sin 0B ≠，所以1cos 2A =； 设BD x =，BAD θ∠=，πθ0,3， 则2DC x =，sin sin B =λθ， 由正弦定理可得AD x =λ，sin sin sin23AD DACCDCπθλ，又313sin sincos sin cos sin 222223C B B BB λθπ，由sin sin 2223B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭λλπθθ，得cos cos 3B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πλθ．因为222222sin cos sin cos 13B B ⎛⎫+=++=⎪⎝⎭πλθλθ， 所以222122sin cos 1cos 21cos 233==⎛⎫⎛⎫++-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭λππθθθθ2226=⎛⎫-⎪⎝⎭πθ，因为πθ0,3，所以2,662πππθ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，所以当206πθ-=时，λ1，此时)sin142B⨯==，所以4Bπ=，tan tan234ACD⎛⎫∠=--=+⎪⎝⎭πππ答案为：12；2.【点睛】本题主要考查由三角恒等变换求函数值，考查三角函数的性质，考查正弦定理的应用，属于常考题型.五、解答题17．记S n为等比数列{}n a的前n项和，已知S2=2，S3=-6.（1）求{}n a的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【答案】（1）(2)nna=-；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由等比数列通项公式解得2q=-，12a=-即可求解；（2）利用等差中项证明S n+1，S n，S n+2成等差数列．试题解析：（1）设{}n a的公比为q.由题设可得()()1211216a qa q q⎧+=⎪⎨++=-⎪⎩，解得2q=-，12a=-.故{}n a的通项公式为()2nna=-.（2）由（1）可得()()111221133n nnna qSq+-==-+--.由于()()321214222212123333n n n n n n n n S S S +++++⎡⎤-+=-+-=-+-=⎢⎥⎣⎦，故1n S +，n S ，2n S +成等差数列.点睛:等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．18，且经过点(3，4)；②一条准线方程为x ＝4，且焦距为2．这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线l 存在，求出l 的方程；若问题中的直线l 不存在，说明理由．问题：已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1(m ，n ≠0)的焦点在x 轴上，____________，是否存在过点P (－1，1)的直线l ，与曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点？ 注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】答案见解析【解析】先根据所选的条件求解出曲线C 的方程，根据直线的斜率是否存在作分类讨论；当直线的斜率不存在时直接进行求解并判断，当直线的斜率存在时，联立直线方程与曲线方程，并利用根的判别式以及坐标特点判断出结果. 【详解】选条件①：由题设得曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线，设21m a =，21n b =-(a ＞0，b ＞0)，所以C 的方程为22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，由题设得229161a b =⎪-=⎪⎩，解得a 2＝1，b 2＝2，所以C 的方程为2212y x -=，1° 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，与曲线C 有且仅有一个交点(－1，0)，不符合题意；2° 当直线l 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，即y ＝k (x ＋1)＋1，代入2212y x -=得(2－k 2)x 2－2k (k ＋1)x －(k 2＋2k ＋3)＝0 ()，若220k -=，即k =±时，方程()有且仅有一解，不符合题意；若22k -≠0，即k ≠±时，其判别式Δ＝[2k (k ＋1)]2－4(k 2－2)(k 2＋2k ＋3)＝8(2k＋3)＞0，则32k >-， 所以方程()有两个不同实数解时，32k >-且k≠ 于是1222(1)2(1)22k k x x k -++=-=⋅-=--，解得k ＝－2，与32k >-且k ±≠所以不存在直线l ，与曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点． 选条件②：由题设得曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，设21m a =，21n b =(a ＞b ＞0)，所以C 的方程为22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，由题设得242==⎩，解得a 2＝4，b 2＝3，所以C 的方程为22143x y +=，1° 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，代入22143x y +=得32y =±，P (－1，1)不是线段AB 的中点，不符合题意；2° 当直线l 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，即y ＝k (x ＋1)＋1，代入22143x y +=得(3＋4k 2)x 2＋8k (k ＋1)x ＋4(k 2＋2k －2)＝0，其判别式Δ＝[8k (k ＋1)]2－4·(3＋4k 2)·4(k 2＋2k －2)＝16(5k 2－6k ＋6)＞0， 于是1228(1)2(1)234k k x x k ++=-=⋅-=-+，解得34k =，故337(1)1444y x x =++=+，即3x －4y ＋7＝0，所以存在直线l ：3x －4y ＋7＝0，与曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点． 【点睛】本题考查圆锥曲线的综合应用，其中涉及到圆锥曲线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，难度一般.19．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量m =(2sin (x －A )，sin A )，n =(cos x ，1)，f (x )＝m n ⋅，且对任意x ∈R ，都有f (x )≤512f π⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求f (x )的单调递增区间； （2）若a＝sin B ＋sin C＝2△ABC 的面积．【答案】（1）π5ππ,π1212⎡⎤''-+⎢⎥⎣⎦k k (k ′∈Z)；（2【解析】（1）根据向量的数量积并借助三角恒等变换的知识化简()f x ，再根据条件求解出()f x 的具体表达式，最后利用整体代换法求解出()f x 的单调递增区间； （2）先根据正弦定理求解出b c +的值，然后再根据余弦定理求解出bc 的值，最后利用三角形的面积公式求解出三角形面积. 【详解】（1）由题意得f (x )＝m n ⋅＝2sin (x －A )·cos x ＋sin A ＝2(sin x ·cos A －cos x ·sin A )·cos x ＋sin A ＝2sin x ·cos x ·cos A －2cos 2x ·sin A ＋sin A ＝2sin x ·cos x ·cos A －(2cos 2x －1)·sin A ＝sin 2x ·cos A －cos 2x ·sin A ＝sin (2x －A )， 由题意知5π5π()sin()1126f A =-=，所以5ππ2π62A k -=+(k ∈Z)， 因为A ∈ (0，π)，所以5ππ5π(,)666A -∈-，所以5ππ62A -=，即π3A =， 所以π()sin(2)3f x x =-，令πππ2π22π232k x k ''--+≤≤(k ′∈Z)，解得π5πππ1212k x k ''-≤≤+(k ′∈Z)， 所以f (x )的单调递增区间为π5ππ,π1212⎡⎤''-+⎢⎥⎣⎦k k (k ′∈Z)． （2）在△ABC 中由正弦定理得sin sin sin a b c A B C==sin sin sin 3b cB C+==+解得b c +=22224b c bc ++=，在△ABC 中由余弦定理得2222cos b c a bc A +-=，于是2212b c bc +-=，解得bc ＝4，所以△ABC的面积为11sin 422bc C =⋅=【点睛】本题考查三角函数的图象与性质、解三角形基本应用，要求学生能熟练的掌握的公式以及利用三角恒等变换进行化简，难度较易.20．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是圆内接四边形，1CB CD CE ===，AB AD AE ===，EC BD ⊥.(1)求证：平面BED ⊥平面ABCD ；(2)若点P 在平面ABE 内运动，且//DP 平面BEC ，求直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）427【解析】（1）连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，先通过证明OE BD ⊥，EO AC ⊥得出EO ⊥平面ABCD ，再根据面面垂直的判定定理由EO ⊂平面BED 证明平面BED ⊥平面ABCD 即可；（2）取AE 的中点M ，AB 的中点N ，先通过平面DMN //平面EBC 得出点P 在线段MN 上，然后建立空间直角坐标系并设()01MP MN λλ=≤≤，从而求出平面ABE 的法向量n 及DP 的坐标，设直线DP 与平面ABE 所成的角为θ，则sin n DP n DPθ⋅=，最后根据01λ≤≤即可求出sin θ的最大值. 【详解】(1)证明：如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，因为AD AB =，CD CB =，AC AC =， 所以ADC ABC ∆≅∆，易得ADO ABO ∆≅∆， 所以90AOD AOB ∠=∠=︒， 所以AC BD ⊥.又EC BD ⊥，EC AC C ⋂=，所以BD ⊥平面AEC ， 又EO ⊂平面AEC ，所以OE BD ⊥.又底面ABCD 是圆内接四边形， 因为90ADC ABC ∠=∠=︒， 在Rt ADC ∆中，由3AD =，1CD =，可得2AC =，32AO =， 所以90AEC ∠=︒，32AE AO AC AF ==， 易得AEO ∆与ACE ∆相似，所以90AOE AEC ∠=∠=︒， 即EO AC ⊥.又AC 、BD ⊂平面ABCD ，AC BD O =，所以EO ⊥平面ABCD ，又EO ⊂平面BED ，所以平面BED ⊥平面ABCD .(2)解：如图，取AE 的中点M ，AB 的中点N ，连接MN ，ND ，DM ， 则//MN BE ，由(1)知，30DAC BAC ∠=∠=︒，即60DAB ∠=︒，所以ABD ∆为正三角形，所以DN AB ⊥，又BC AB ⊥， 所以平面DMN //平面EBC ， 所以点P 在线段MN 上.以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则3,0,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，32B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,0,2E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，33,0,44M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，33,44N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以33,,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，332⎛=- ⎝⎭AE ， 3334DM ⎛= ⎝⎭，33MN ⎛= ⎝⎭， 设平面ABE 的法向量(),,n x y z =，则00AB n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，则(1,3,n =， 设()01MP MN λλ=≤≤，可得3,,42444DP DM MP λ⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭， 设直线DP 与平面ABE 所成的角为θ，则sin 42n DP n DPθ⋅==，因为01λ≤≤，所以当0λ=时，sin θ取得最大值7. 故直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值为7. 【点睛】本题第一问主要考查由线线垂直证明线面垂直，再由面面垂直的判定定理证明面面垂直，第二问先确定点P 在线段MN 上，然后建立空间直角坐标系并求出平面的法向量及直线的方向向量的坐标即可研究线面角的正弦值的最值问题，本题综合性强、计算量大，属中等难度题. 21．已知()ln af x x x x x=-+，其中a ∈R ． （1）讨论f (x )的极值点的个数；（2）当n ∈N 时，证明：2222341ln 2lnln ln 2324n n n n ++++⋅⋅⋅++＞． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）f (x )的定义域为(0，＋∞)，求导得到22()ln 11ln a af x x x x x '=+--=-，再令2()ln ag x x x =-，x ＞0，用导数法研究其不等零点，求导233122()a x ag x x x x +'=+=，然后分0a =、0a >和0a <三种情况讨论求解.（2）根据（1）a ＝0时，f (x )≥f (1)＝－1，即1ln 1x x -≥，进而有221ln (1)x x-≥，然后令1n x n+=得到22111111ln ()11212n n n n n n n +⋅=-+++++≥＞求解.【详解】（1）f (x )的定义域为(0，＋∞)，则22()ln 11ln a a f x x x x x '=+--=-， 令2()ln a g x x x =-，x ＞0，则233122()a x ag x x x x+'=+=， ①当0a =时，()ln f x x '=，令()0f x '=，则1x =， 当0＜x ＜1时，()0f x '<，f (x )单调递减， 当x ＞1时，()0f x '>，f (x )单调递增， 所以f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个极值点．②当0a >时，()0g x '>，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又(1)0g a =-<，221(e )(1)0e eaa a a g a a =-=-> 所以g (x )在(1，e a )上存在唯一零点，记为x 0，列表：所以f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个极值点． ③当0a <时，令()0g x '=，得x =当0＜x时，()0g x '<，g (x )单调递减，当x ()0g x '>，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g )＝12， 当a ≤12e-时，g (x )min ≥0，故f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(0，＋∞)上无极值点， 当12e-＜a ＜0时，g (x )min ＝g ＝12＜0，又(1)0g a =->，021a <-<，下面证1(2)ln(2)04g a a a-=-->， 令1()ln(2)4a a a ϕ=--(12e -＜a ＜0)，222212141e ()02444a a a a a a ϕ--+'=+=>>-， 所以()a ϕ在(12e-，0)上单调递增，所以11e e(2)()()ln 102e e 22g a a ϕϕ-=>-=+=->，所以g (x )在(0，＋∞)上有且仅有两个零点，记为,()αβαβ<，列表：所以f (x )在(0，＋∞)上有且仅有两个极值点． 综上所述，当a ≤12e-时，f (x )无极值点； 当12e-＜a ＜0时，f (x )有两个极值点； 当a ≥0时，f (x )有一个极值点．（2）由（1）知，当a ＝0时，f (x )≥f (1)＝－1， 所以ln 1x x x -≥，即1ln 1x x-≥， 所以221ln (1)x x-≥，令1n x n+=得 故22111111ln ()11212n n n n n n n +⋅=-+++++≥＞，所以2222341ln 2ln ln ln 23n n ++++⋅⋅⋅+＞111111233412n n -+-+⋅⋅⋅+-++，112224nn n =-=++． 【点睛】本题主要考查函数的极值点与导数、构造不等式放缩证明，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于较难题.22．某中学开展劳动实习，学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子元件．已知学生加工出的每个电子元件正常工作的概率都是p (0＜p ＜1)，且各个电子元件正常工作的事件相互独立．现要检测k (k ∈N)个这样的电子元件，并将它们串联成元件组进行筛选检测，若检测出元件组正常工作，则认为这k 个电子元件均正常工作；若检测出元件组不能正常工作，则认为这k 个电子元件中必有一个或多个电子元件不能正常工作，须再对这k 个电子元件进行逐一检测．（1）记对电子元件总的检测次数为X ，求X 的概率分布和数学期望；（2）若p ＝0.99，利用(1－α)β (0＜α <<1，β∈N)的二项展开式的特点，估算当k 为何值时，每个电子元件的检测次数最小，并估算此时总的检测次数；（3）若不对生产出的电子元件进行筛选检测，将它们随机组装入电子系统中，不考虑组装时带来的影响．已知该系统配置有2n －1(n ∈N)个电子元件，如果系统中有多于一半的电子元件正常工作，该系统就能正常工作．将系统正常工作的概率称为系统的可靠性，现为了改善该系统的性能，拟向系统中增加两个电子元件．试分析当p 满足什么条件时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性？【答案】（1）答案见解析；（2）k ＝10；2；（3）p ＞12. 【解析】（1）根据题意，分析出X 可能的取值为1，k ＋1，求得其概率，得到分布列，进而求得其期望；（2）根据题意，列出式子，结合基本不等式求得最值；（3）列出式子，利用作差比较法，求得结果.【详解】（1）X 可能的取值为1，k ＋1，P (X ＝1)＝p k ，P (X ＝k ＋1)＝1－p k ，X 的概率分布为：所以X 的数学期望E (X )＝1·p k ＋(k ＋1)(1－p k )＝k ＋1－kp k ． （2）根据(1－α)β (0＜α <<1，β∈N)的二项展开式的特点，可知(1)1βααβ--≈， 记每个电子元件的检测次数为Y ，p ＝0.99＝1－0.01，所以()111111(10.01)110.01k k k E X k kp Y p k k k k k k +-===+-=+--+-+≈10.010.2k k =+≥，当且仅当10.01k k =，即k ＝10时取等， 故当k ＝10时每个电子元件的检测次数最小，此时总的检测次数kY ＝10×0.2＝2． （3）记当系统配置有2n －1(n ∈N)个电子元件时，系统正常工作的概率为21n P -， 当系统配置有2n ＋1(n ∈N)个电子元件时，系统正常工作的概率为21n P +，若前2n －1个电子元件中恰有n －1个正常工作，此时后两个元件必须同时正常工作； 若前2n －1个电子元件中恰有n 个正常工作，此时后两个元件至少须有1个正常工作； 若前2n －1个电子元件中恰有n ＋1个正常工作，此时系统必定正常工作；可以求得：112121121212122121[C ][C ][C (1)][C ](1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n P p p P p p p p p p p p ----+----=⋅⋅+-+--+--故11121212121212C C [C (1)1](1)(1)n n n n n n n n n n P P p p pp p p p -+-+----=⋅+---+-21C (21)(1)nn n n p p p -=--，令21210n n P P +-- ＞，得2p －1＞0，即p ＞12， 所以当p ＞12时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性． 【点睛】 该题考查的是有关随机变量的概率问题，有期望、分布列、二项式综合应用，属于较难题目.。
江苏省徐州市沛县歌风中学2021年高三数学理月考试卷含解析
江苏省徐州市沛县歌风中学2021年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z的共轭复数( )A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i参考答案：B考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则其共轭复数可求．解答：解：由（1﹣i）z=2i，得=，∴．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2. 在等差数列{a n}中，a3=5，a4+a8=22，则{}的前20项和为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知列式求出等差数列的首项和公差，得到等差数列的通项公式，再由裂项相消法求得{}的前20项和．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a4+a8=22，得2a6=22，a6=11．又a3=5，得d=，∴a1=a3﹣2d=5﹣4=1．{}的前20项和为：==．故选：B．3. 函数的零点一定位于下列哪个区间A. B. C. D.参考答案：A4. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位，则得到的新函数图象的解析式为（）A. B.C. D.参考答案：A5.参考答案：A略6. 右图是计算的值的程序框图，其中在判断框中应填入的条件是（）A．B．C．D．参考答案：C7. 如图点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+）2=1上，那么|PQ|的最小值为（）A．﹣1 B．﹣1 C．2﹣1 D．﹣1参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】作图题；对应思想；数形结合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，画出圆，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线x﹣2y+1=0的距离，则|PQ|的最小值可求．【解答】解：由题意画出图形如图：圆x2+（y+）2=1的圆心（0，）到直线x﹣2y+1=0的距离为d=，∴|PQ|的最小值为．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8. 若复数（a∈R）为纯虚数，其中i为虚数单位，则a=（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，又根据复数（a∈R）为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案．【解答】解： ==，∵复数（a∈R）为纯虚数，∴，解得：a=﹣2．故选：B．9. （5分）（2015?济宁一模）已知i是虚数单位，复数z=，则|z﹣2|=（）A． 2 B． 2 C． D． 1参考答案：C【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的公式求模．解：∵z﹣2=﹣2=，∴|z﹣2|=．故选：C．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．10. 某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（）A．2日和5日B．5日和6日C．6日和11日D．2日和11日参考答案：C【考点】进行简单的合情推理；分析法和综合法．【专题】综合题；推理和证明．【分析】确定三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，即可确定丙必定值班的日期．【解答】解：由题意，1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，故选：C．【点评】本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 给出下列几个命题：①若函数的定义域为，则一定是偶函数；②若函数是定义域为的奇函数，对于任意的都有，则函数的图象关于直线对称；③已知是函数定义域内的两个值，当时，，则是减函数；④设函数的最大值和最小值分别为和，则；⑤若是定义域为的奇函数，且也为奇函数，则是以4为周期的周期函数．其中正确的命题序号是．（写出所有正确命题的序号）参考答案：略12. 已知数列{a n}满足：对任意的n∈N*均有a n+1=ka n+2k﹣2，其中k为不等于0与1的常数，若a i∈{﹣272，﹣32，﹣2，8，88，888}，i=2、3、4、5，则满足条件的a1所有可能值的和为．参考答案：【考点】数列递推式．【分析】依题意，可得a n+1+2=k（a n+2），再对a1=﹣2与a1≠﹣2讨论，特别是a1≠﹣2时对公比k分|k|＞1与|k|＜1，即可求得a1所有可能值，从而可得答案．【解答】解：∵a n+1=ka n+2k﹣2，∴a n+1+2=k（a n+2），∴①若a1=﹣2，则a1+1+2=k（a1+2）=0，a2=﹣2，同理可得，a3=a4=a5=﹣2，即a1=﹣2复合题意；②若a 1≠﹣2，k 为不等于0与1的常数，则数列{a n +2}是以k 为公比的等比数列， ∵a i ∈{﹣272，﹣32，﹣2，8，88，888}，i=2，3，4，5， a n +2可以取﹣270，﹣30，10，90，∴若公比|k|＞1，则k=﹣3，由a 2+2=10=﹣3（a 1+2）得：a 1=﹣；若公比|k|＜1，则k=﹣，由a 2+2=﹣270=﹣（a 1+2）得：a 1=808． 综上所述，满足条件的a 1所有可能值为﹣2，﹣，808．∴a 1所有可能值的和为：﹣2=．故答案为：．13. 已知向量,，若，则等于.参考答案： 2 略14. 已知函数，则，则a 的取值范围是 。
江苏省【最新】高三9月月考数学试卷(附答案)
江苏省 高三9月月考数学试卷参考公式样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑nx i ．锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1. 已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A Y 中元素的个数为 ▲ . 2. 若复数z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝ ▲ . 3. 命题“024,02>+->∃x x x ”的否定是 ▲ .4. 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为 ▲ .5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ .6．如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k 值为 ▲.A sin(ωx7. 如右f (x )＝（第7题图）注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。
本试卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用的0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸上的规定位置。
3.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，ϕ∈[0，2π) )图象的一部分，则f (0)的 值为 ▲ .8. 对于直线l ，m ，平面α，m ⊂α，则“l ⊥m ”是“l ⊥α”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）．9. 已知一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则该圆柱的体积为 ▲ .10. 已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1，若函数f (x )在(1，2)上有极值，则实数a 的取值范围为 ▲ .11. 已知平行四边形ABCD 中，AD ＝2，∠BAD ＝60°．若E 为DC 中点，且1AE BD ⋅=u u u r u u u r ，则BD BE⋅u u u r u u u r的值为 ▲ .12．设a 为实常数，=y f x （）是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()97a f x x x=++．若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围是 ▲ .13．已知函数[](]3,0,1()93,1,322x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩，当[]0,1t ∈时，[](())0,1f f t ∈，则实数t 的取值范围是 ▲ .14. 已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈与x 轴相切,若直线y c =与5y c =+分别交()f x 的图象于,,,A B C D 四点,且四边形ABCD 的面积为25,则正实数c 的值为 ▲ . 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15.（本小题满分14分）已知(sin ,cos )a θθ=r ,3,1)b =r.(1)若//a b r r,求tan θ的值；(2)若()f a b θ=+r r, ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的三条边分别为a 、b 、c ,且(0)a f =,()6b f π=-,()3c f π=,求AB AC ⋅u u u r u u u r.16（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 为侧棱P A 的中点． （1）求证：PC // 平面BDE ；（2）若PC ⊥P A ，PD ＝AD ，求证：平面BDE ⊥平面P AB ．17. （本小题满分14分）设a R ∈，()()2cos sin cos cos 2f x x a x x x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭满足()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， (Ⅰ)求函数)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）设ABC ∆三内角C B A ,,所对边分别为c b a ,,且ca cc b a b c a -=-+-+2222222， 求)(x f 在(]B ,0上的值域．18. （本小题满分16分）已知二次函数2()(,0)f x ax bx a b a =+≠为常数且满足条件(3)(5)f x f x -=-，且方程()f x x =有等根.（1）求()f x 得解析式；（2）是否存在实数,()m n m n <，使()f x 得定义域和值域分别为[],m n 和[]3,3m n ？如果存在，求出,m n 的值；如果不存在，请说明理由.19. （本小题满分16分）某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的游客约为120万人. 某数P ABCDE（第16题图）学兴趣小组综合各种因素预测：①该景点每年的游客人数会逐年增加；②该景点每年的游客都达不到130万人. 该兴趣小组想找一个函数()y f x =来拟合该景点对外开放的第x (1)x ≥年与当年的游客人数y （单位：万人）之间的关系.（1）根据上述两点预测，请用数学语言描述．．．．．．．函数()y f x =所具有的性质； （2）若()f x =mn x+，试确定,m n 的值，并考察该函数是否符合上述两点预测； （3）若()f x =(0,1)xa b c b b ⋅+>≠，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定b 的取值范围．20. （本小题满分16分）已知函数2()ln (01)xf x a x x a a a =+->≠且． (1)求函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)若存在[]12,1,1x x ∈-，使得12()()1f x f x e -≥- (e 是自然对数的底数)，求实数a 的取值范围．数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 52. 23. 20,420x x x ∀>-+≤ 4.53 5. 566. 57. 3228. 必要不充分 9. 2π10. (32，4) 11. 3 12. 87a ≤- 13. [37log ,13] 14.4二、解答题：本大题共6小题，共90分．15. 解:(1)//,sin 0a b θθ∴=r rQ …………………3分sin tan θθθ∴=⇒= …………………6分(2)(sin 1)a b θθ+=++r rQa b ∴+=r r== …………………8分(0)a f ∴===…………………9分()6b f π∴=-== …………………10分()33c f π∴=== …………………11分由余弦定理可知:222cos 2b c a A bc +-== …………………12分7cos cos 2AB AC AB AC A bc A ∴⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r (其它方法酌情给分) ……………14分16．证明：（1）连结AC ，交BD 于O ，连结OE ．因为ABCD 是平行四边形，所以OA ＝OC ． ……………2分 因为 E 为侧棱PA 的中点，所以OE ∥PC ． ………4分 因为PC /⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以PC // 平面BDE ． ………6分（2）因为E 为PA 中点，PD ＝AD ，所以PA ⊥DE ．…8分因为PC ⊥P A ，OE ∥PC ，所以P A ⊥OE ．因为OE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，OE ∩DE ＝E ，所以P A ⊥平面BDE ． …………………12分 因为P A ⊂平面P AB ，所以平面BDE ⊥平面P AB ． …………………14分 17. 解：(Ⅰ)22()sin cos cos sin f x a x x x x =-+sin 2cos 2.2ax x =- 由31()(0)1,2 3.322a f f a π-=-⋅+=-=得解得 …………………3分因此()3sin 2cos 22sin(2).6f x x x x π=-=-令Z k k x k ∈+≤-≤+-,226222πππππ得Z k k x k ∈+≤≤+-,36ππππ故函数)(x f 的单调递增区间)(3,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ …………………7分（Ⅱ）由余弦定理知：c a cC b B c C ab B ac cb a bc a -===-+-+2cos cos cos 2cos 2222222，即C b B c B a cos cos cos 2=-，又由正弦定理知：()A C B C B B C B A sin sin cos sin cos sin cos sin 2=+=+=，即21cos =B ,所以3π=B …………………10分当⎥⎦⎤⎝⎛∈3,0πx 时，⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈-2,662πππx ，()(]2,1-∈x f ，故)(x f 在(]B ,0上的值域为(]2,1- …………………14分18.解：（1）由(3)(5)f x f x -=-可知，函数()f x 图像的对称轴为1,12bx a=-=即○1 又方程()f x x =有等根,即2(1)0ax b x +-=有等根.PABCDEO10, b=1b ∴-=故,代入○1可得12a =-.21()2f x x x ∴=-+. ………………… ………6分(2)221111()(1)2222f x x x x =-+=--+≤Q ,113. 1.26n m n ∴≤∴<≤<∴函数存在实数,()m n m n <,使()f x 得定义域和值域分别为[],m n 和[]3,3m n ,则有()3,()3,f m m f n n =⎧⎨=⎩即,m n 是方程()3f x x =的两根,且16m n <≤. ……… ………10分由()3f x x =得124,0,4,0.x x m n =-=∴=-=∴存在这样的实数,m n ,4,0.m n =-= …………………………16分19.解：（1）预测①：()f x 在[)1,+∞上单调递增；预测②：()130f x <对[)1,x ∈+∞恒成立； …………………3分（2）将（1，100）、（2，120）代入到m y n x =+中，得1001202m nmn =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得40140m n =-⎧⎨=⎩. 因为40()140,f x x =-+所以240()0f x x'=>，故()f x 在[)1,+∞上单调递增，符合预测①；又当4x ≥时，40()140130,f x x=-+≥所以此时()f x 不符合预测②. …………………8分（3）由2100120ab c ab c =+⎧⎨=+⎩，解得20(1)201001a b b c b ⎧=⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩.因为()ln ,xf x a b b '=⋅⋅要想符合预测①，则()0,f x '>即ln 0a b ⋅>，从而01a b >⎧⎨>⎩或001a b <⎧⎨<<⎩. …………………10分（i ）当1b >时，200(1)a b b =>-，此时符合预测①，但由()130f x ≥，解得23log 22b b x b ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥，即当23log 22b b x b ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥时，()130f x ≥，所以此时()f x 不符合预测②； …………………12分（ii ）当2001,0(1)b a b b <<=<-，此时符合预测①，又由1,x ≥知(]0,x b b ∈，所以[),0x a b ab ⋅∈；从而[)(),.f x ab c c ∈+欲()f x 也符合预测②，则130c ≤，即20100130,1b --≤又01b <<，解得103b <≤.综上所述，b的取值范围是10,3⎛⎤⎥⎝⎦…………………16分 20.[解] (1)∵函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a (a >0，且a ≠1)，∴f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ， ∴f ′(0)＝0.又f (0)＝1，∴函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. …………………………4分(2)由(1)知，f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x －1)ln a .∵当a >0，且a ≠1时，总有f ′(x )在R 上是增函数． 又f ′(0)＝0，∴不等式f ′(x )>0的解集为(0，＋∞)，故函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)．………………………10分(3)∵存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1成立， 当x ∈[－1,1]时，|f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ， ∴只要f (x )max －f (x )min ≥e －1即可．又当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示∴f (x )在[－1,0]∴当x ∈[－1,1]时，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝1，f (x )的最大值f (x )max 为f (－1)和f (1)中的最大值． …………………………12分∵f (1)－f (－1)＝(a ＋1－ln a )－⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋ln a ＝a －1a －2ln a ， 令g (a )＝a －1a －2ln a (a >0)，而g ′(a )＝1＋1a 2－2a ＝⎝⎛⎭⎫1－1a 2≥0，∴g (a )＝a －1a －2ln a 在(0，＋∞)上是增函数， …………………………13分又g (1)＝0，∴当a >1时，g (a )>0，即f (1)>f (－1)； 当0<a <1时，g (a )<0，即f (1)<f (－1)．∴当a >1时，f (1)－f (0)≥e －1，即a －ln a ≥e －1，又函数y ＝a －ln a 在(1，＋∞)上是增函数， …………………………14分 ∴解得a ≥e ；当0<a <1时，f (－1)－f (0)≥e －1，即1a ＋ln a ≥e －1，又函数y ＝1a ＋ln a 在(0,1)上是减函数，∴解得0<a ≤1e.综上可知，实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，1e ∪[e ，＋∞)． …………………………16分。
2021年高三上学期第一次月考9月数学试题(文)含答案
2021年高三上学期第一次月考9月数学试题（文）含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求． 1．复数，则对应的点所在的象限为 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若集合，，则 A ．B ．C ．D ．3. 设p ：x<3，q ：-1<x<3，则p 是q 成立的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．设f （x ）＝，则f （f （－2））＝A ．－1B ．C ．D ．5. 设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为A ．7B ．8C ．9D ．146．设为抛物线上一点，为抛物线的焦点，若以为圆心，为半径的圆和抛物线的准线相交，则的取值范围是 ( ) A. B. C. D.7. 执行如图的程序框图，则输出的值为 ( ) A. xx B. 2 C. D.8.设是等差数列的前项和，, 则的值为（ ） A. B. C. D.9. 将奇函数()()sin 0,0,22f x A x A x ππωφω⎛⎫=+≠>-<< ⎪⎝⎭的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以为( ) A.6 B.3 C.4 D.210.设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式x2•f（x）＞0的解集为（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）11．已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点且，则双曲线离心率的取值范围是（）A. (1,2]B. D. [3，+)12．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上)13．右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ____________14.已知向量与的夹角为，且，则的最小值为_________15.在中，AB=AC=2,BC=,D在BC边上，求AD的长为____________16.在数列中，已知，记为数列的前项和，则 .三：解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.（本小题满分12分）在ΔABC中，内角所对的边分别为. 若－.（1）求角C的大小；（2）已知，ΔABC的面积为. 求边长的值.18. （本小题满分12分）某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．寿命（天）频数频率10307060合计200（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b，c的值；（Ⅱ）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不．是次品的概率；（Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等．．．．级分层抽样．．．．．所得的结果相同，求n的最小值．19.（本小题满分14分）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，PA= PD，，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．（Ⅰ）求证：AD平面PBE；（Ⅱ）若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ;（Ⅲ）若，试求的值．20．（本小题满分12分）已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，△APB面积的最大值为2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线AP的倾斜角为，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．21．（本小题满分12分）已知函数f（x）=ax+xlnx（a为常数，e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=3x﹣e．（1）求f（x）的单调区间；（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞1都成立，求k的最大值．请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．22.（本小题满分10分）选修4─1：几何证明选讲．如图，已知圆O和圆M相交于两点，为圆M的直径，直线交圆O于点，点为弧中点，连结分别交圆O、于点连结．（1）求证：（2）求证：.23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．已知直线为参数), 曲线（为参数）.(I)设与相交于两点,求；(II)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．设不等式的解集是，．（I）试比较与的大小；（II）设表示数集的最大数．,求证：．xx届山东省滕州市第一中学高三9月月考数学试卷参考答案一、选择题CACCC, ABDAB, CB二、填空题13， 14， 15， 16，-1006三、解答题17. 解析：（１）由条件得=2（2）即==……2分化简得 , …4分∵∴又∴＝…6分（２）由已知及正弦定理得………8分又 SΔABC=8，C= ∴12，得………10分由余弦定理得 . …12分··ABCDGEFOM18．（Ⅰ）解：，，．………… 4分（Ⅱ）解：设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件．由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个，所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为．…………… 8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为．所以按分层抽样法，购买灯泡数，所以的最小值为．……………… 12分19. （Ⅰ）证明：由E是AD的中点，PA=PD，所以AD⊥PE；………2分又底面ABCD是菱形，∠BAD=60所以AB=BD，又因为E是AD的中点，所以AD⊥BE，又PE∩BE=E所以AD⊥平面PBE. ……………… 4分（Ⅱ）证明：连接AC交BD于点O，连OQ；因为O是AC的中点，Q是PC的中点，所以OQ//PA，又PA平面BDQ，OQ平面BDQ，所以PA//平面BDQ. ……………… 8分（Ⅲ）解：设四棱锥P-BCDE，Q-A BCD的高分别为.所以， ,又因为，且底面积，所以. ……… 12分20. 解：（Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为，．由题意知解得. ………2分故椭圆的方程为. ………4分（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切．证明如下：由题意可知，，，直线的方程为.则点坐标为，中点的坐标为，圆的半径………6分由得．设点的坐标为，则………8分因为点坐标为，直线的斜率为，直线的方程为：点到直线的距离．………10分所以．故以为直径的圆与直线相切．………12分21．解：（1）求导数可得f′（x）=a+lnx+1，∵函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1，∴f（x）=x+xlnx，f′（x）=lnx+2，由f′（x）＞0得x＞，由f′（x）＜0得0＜x＜．∴f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）．（2）当x＞1时，令g（x）==，则g′（x）=，设h（x）=x﹣2﹣lnx，则h′（x）=1﹣=＞0，h（x）在（1，+∞）上为增函数，∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，∴∃x0∈（3，4），且h（x0）=0，当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）在（1，x0）上单调递减；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）在（x0，+∞）上单调递增．∴g（x）min=g（x0）=，∵h（x0）=x0﹣2﹣lnx0=0，∴x0﹣1=1+lnx0，g（x0）=x0，∴k＜x0∈（3，4），∴k的最大值为3．22证明：（1）连结，，22.证明：（1）连结，，∵为圆的直径，∴，∴为圆的直径, ∴,∵，∴,∵为弧中点，∴，∵,∴,∴∽，∴，（2）由（1）知，,∴∽,∴,由（1）知，∴ ．23.解.（I）的普通方程为的普通方程为联立方程组解得与的交点为,,则. ………………5分（II ）的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是]2)4sin(2[432|3sin 23cos 23|+-=--=πθθθd ,由此当时,取得最小值,且最小值为.…………10分24.解：由|21|11211,0 1.x x x -<-<-<<<得解得所以（I ）由，得，所以故………………5分（II ）由，得，，所以8)(42222223≥+=⋅+⋅≥ab b a bab b a ah 故.………………10分e38854 97C6 韆33050 811A脚 40363 9DAB 鶫#+29562 737A 獺922057 5629 嘩@on26883 6903 椃35367 8A27 訧。
江苏省徐州市2021届高三9月月考模拟测试数学试题
江苏省徐州市2021届高三月考模拟测试数学试题2020.9一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足(23)13i z +=，则复平面内表示z 的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2．已知集合2{log (1)0}A x x =-<，则R C A =（ ）A.(,1]-∞B.[2,)+∞C.(,1)(2,)-∞+∞D.(,1][2,)-∞+∞3．函数4||ln ||()x x f x x=的图象大致为（ ） A. B. C. D.4．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，外接圆半径为R ，若1sin sin sin 2b B a A a C -=，且ABC ∆的面积为22sin (1cos 2)R B A -，则cos B =（ ） A.14 B.13C.12D.345．在ABC ∆中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D 为BC 边上一点，且D 为BC 边上靠近C 的三等分点，则AB AD ⋅=（ ） A.8B.6C.4D.26．已知252(231)(1)ax x x++-的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（ ） A ．10-B ．7-C ．10D ．97．已知函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，且()()11f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()3f x x =，则关于x 的方程()cos πf x x =在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有实数解之和为（ ）A ．1B ．3C ．6D ．78．已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点，60ABC ∠=︒，2AC =，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥P ABC -的体积为1V ，三棱锥O ABC -的体积为2V ，若12V V 的最大值为3，则球O 的表面积为（ ）A ．16π9B ．64π9C ．3π2D ．6π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省徐州市新沂王楼中学2021年高三数学理模拟试卷含解析
江苏省徐州市新沂王楼中学2020-2021学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列4个命题:（1）若，则；（2）“”是“对任意的实数，成立”的充要条件；（3）命题“，”的否定是：“，”；（4）函数的值域为.其中正确的命题个数是（）A、1B、2C、3 D、0参考答案：A2. 如图,在正六边形ABCDEF内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（）A．B． C. D．参考答案：D本题考查几何概型,考查运算求解能力和应用意识.设正六边形的边长为2,与的交点为G,易知,,所以,所求的概率为.3. 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是(A) (B) (C) (D) 8,8参考答案：B4. 已知函数是偶函数，的图象过点，则对应的图象大致是参考答案：B依题意易得（）因函数的图象关于y轴对称，可得（）,选B.5. 有命题m：“?x0∈（0，），（）＜log x0”，n：“?x0∈（0，+∞），（）=log x0＞x0”，则在命题p1：m∨n，p2：m∧n，p3：（￢m）∨n和p4：m∧（￢n）中，真命题是（）A．p1，p2，p3 B．p2，p3，p4 C．p1，p3 D．p2，p4参考答案：A【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】命题m：利用指数函数与对数函数的大小与1比较即可得出大小关系；命题n：利用指数函数与对数函数的图象与单调性即可得出大小关系．再利用复合命题真假的判定方法即可判断出．【解答】解：命题m：“?x0∈（0，），（）＜1＜log x0”，因此是真命题；命题n：“?x0∈（0，+∞），（）=log x0＞x0”，如图所示，因此是真命题．则在命题p1：m∨n，p2：m∧n，p3：（￢m）∨n和p4：m∧（￢n）中，真命题是p11，p2，p3是真命题，p4是假命题．故选：A．【点评】本题考查了简易逻辑的判定、指数函数与对数函数的性质，考查了数形结合的方法、推理能力与计算能力，属于中档题．6. 函数的零点所在的区间是(A)() (B)() (C)() (D)()参考答案：A，，，当时，，所以答案选A. 7. 已知x＞y，则下列不等式一定成立的是（）A．B．log2（x﹣y）＞0 C．x3＜y3 D．参考答案：D【考点】不等式的基本性质．【分析】根据特殊值代入判断A、B、C，根据指数函数的性质判断D．【解答】解：对于A，令x=1，y=﹣1，显然不成立，对于B，由x＞y，得x﹣y＞0，log2（x﹣y）有意义，当x﹣y＜1时，不成立；对于C，令x=2，y=1，显然不成立，对于D，由＜，得2﹣x＜2﹣y，即﹣x＜﹣y，即x＞y，故D成立，故选：D．8. 执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为（A）0，0 （B）1，1 （C）0，1 （D）1，0参考答案：D第一次；第二次，选D.9. 定义在上的函数的单调增区间为，若方程恰有4个不同的实根，则实数的值为（）A． B． C．1 D．-1参考答案：B 略10. 设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是 A ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α B ．若m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β D ．若α⊥β，n α，则n ⊥β参考答案： C 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数,则函数的图象在点处的切线方程是 .参考答案：4x-y-8=0 略12. 给出下列3个命题：①若，则；②若，则；③若且，则，其中真命题的序号为▲ ．参考答案：13. 某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形和，点是边上的一个动点，设，则. 请你参考这些信息，推知函数的极值点是 ；函数的值域是 .参考答案：；14. 计算C n 1+2C n 2+3C n 3+…+nC n n ，可以采用以下方法：构造等式：C n 0+C n 1x+C n 2x 2+…+C n n x n =（1+x ）n ，两边对x 求导，得C n 1+2C n 2x+3C n 3x 2+…+nC n n x n ﹣1=n （1+x ）n ﹣1，在上式中令x=1，得C n 1+2C n 2+3C n 3+…+nC n n =n?2n ﹣1．类比上述计算方法，计算C n 1+22C n 2+32C n 3+…+n 2C n n = ．参考答案：n （n+1）?2n ﹣2【考点】二项式定理的应用． 【专题】计算题；二项式定理．【分析】构造等式：C n 1x+2C n 2x 2+3C n 3x 3+…+nC n n x n =n （1+x ）n ﹣1，两边对x 求导，两边同乘以x ，再两边求导后赋值即可．【解答】解：构造等式：C n 1x+2C n 2x 2+3C n 3x 3+…+nC n n x n =n （1+x ）n ﹣1， 两边对x 求导，得C n 1+2C n 2x+3C n 3x 2+…+nC n n x n ﹣1=n （1+x ）n ﹣1，两边同乘以x ，得xC n 1+2C n 2x 2+3C n 3x 3+…+nC n n x n =nx （1+x ）n ﹣1，再两边求导，得C n 1+22C n 2x 2+32C n 3x 3+…+n 2C n n x n =n[（1+x ）n ﹣1+（n ﹣1）x （1+x ）n ﹣2] 令x=1，得C n 1+22C n 2x 2+32C n 3x 3+…+n 2C n n x n =n （n+1）?2n ﹣2，故答案为：n （n+1）?2n ﹣2．【点评】本题主要考查二项式系数及利用组合数的关系应用倒序相加法求代数式的值．15. 函数的定义域为__________.参考答案：要使函数有意义，则有。
高三上学期九月月考文科数学试卷.9.8届江苏地区高考数学模拟试
智才艺州攀枝花市创界学校五烈镇2021届高三上学期九月月考(文科)数学试卷2021一．选择题(本大题一一共12题,每一小题5分,一共60分)〔〕1．集合2{|47},{|60},R Mx x N x x x M C N =-≤≤=--<⋂则为A ．}7324|{≤<-<≤-x x x 或B ．{|4237}x x x -≤≤-≤≤或C ．}32|{>-≤x x x 或D ．}32|{≥-<x x x 或 〔〕2．曲线y=x 2e x 在点(1,e)处的切线方程为A3ex-y-2e=0B2ex-y+3e=0 C3ex+y-2e=0D2ex+y+3e=0〔〕3．方程2x+x －4＝0的解所在区间是 A 〔0,1〕B 〔1,2〕C 〔2,3〕D 〔3,4〕()4．设函数f(x)是减函数，且f(x)>0，以下函数中为增函数的是 A 1()y f x =-By=2 f(x)C 12log ()y f x =Dy=[f(x)]2〔〕5．函数,93)(23-++=x ax x x f 3)(-=x x f 在时获得极值，那么a =A ．2B ．3C ．4D ．5 ()6.在场价风格控中，某种商品去年比前年的售价上涨了25%，欲到达今年与前年相比只上涨10%的要求，那么今年比去年应降低A ．15%B ．12%C ．10%D ．5%〔〕7．()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-。
那么()f x 在R 上的解析式是A ．(2)y x x =-B ．(||2)y x x =-C ．||(2)y x x =-D ．||(||2)y x x =-〔〕8．集合M ＝{y|y=x 2+1,x R ∈}，N ＝{y|y=x+1,x R ∈}，那么M N =A(0,1),(1,2)B{(0,1),(1,2)}C{y|y=1或者y ＝－1}D{y|y ≥1}〔〕9．假设方程2210ax x --=在(0,1)x ∈内恰有一解，那么a 的取值范围是A ．a<1B ．a>1C ．-1<a<1D ．01a ≤<〔〕10．函数()y f x =在〔－3,0〕上是减函数，又(3)y f x =-是偶函数，那么以下结论正确的选项是A ．37()()(5)22f f f -<-<-B ．73(5)()()22f f f -<-<- C ．37(5)()()22f f f -<-<-D ．73()()(5)22f f f -<-<- 二．填空题(本大题一一共6小题,每一小题5分,一共30分)11.假设f(x)=2x -2-xlga 为奇函数，那么实数a=___________ 12．方程2(2)50xa x a --+-=的两根都大于2，那么实数a ∈＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 13．函数()lg(1)f x ax =+的定义域为M ，假设(,1)M ⊆-∞，那么a 的范围是＿＿＿14．设函数y=a|x+1|-1(a>0,a ≠1)，那么函数恒过定点_______，它的图象关于直线_________对称 15．(3,4)a =-，那么与a 方向相反的单位向量是__________16．“－4＜k ＜0”是“函数21y kx kx =--的值恒为负值〞的＿＿＿＿＿条件。
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的图像交于
P
，Q
两点，则线段 PQ 长的最小值是
．
16．已知直线 l : y kx t 与圆 x2 ( y 1)2 1相切且与抛物线 C : x2 4 y 交于不同的两
点 M , N ,则实数 t 6 小题，共 70 分。请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答。解答时应写出文字说
21．(本小题满分 12 分)
如图，某广场中间有一块边长为 2 百米的菱形状绿化区 ABCD ，其中 BMN 是半径为 1 百 米的扇形，ABC 2 ． 管理部门欲在该地从 M 到 D 修建小路：在弧 MN 上选一点 P
3 （异于 M , N 两点），过点 P 修建与 BC 平行的小路 PQ ．问：点 P 选择在何处时，才能使
x2 a2
y2 b2
1 (a 0,b 0) 交于不同的两点
A, B ， O 为坐标
原点．
（1）若 k 1, | OA || OB | ，求证：曲线 C 是一个圆；
（2）若曲线 C :
y2
x2
1，是否存在一定点 Q ，使得 QA QB 为定值？若存在，求
4
出定点 Q 和定值；若不存在，请说明理由．
0，则该展开式的常数项是（
）
A． 1 0
B． 7
C．10
D． 9
7．已知函数 f x 是定义域在 R 上的偶函数，且 f x 1 f x 1 ，当 x 0,1 时，f x x3 ，
则关于
x 的方程
f
x
cos πx
在
1, 2
5 2
上所有实数解之和为（
）
A．1
B．3
C．6
D．7
8．已知 A ， B ， C 为球 O 的球面上的三个定点， ABC 60 ， AC 2 ， P 为球 O 的球面
江苏省徐州市 2021 届高三月考模拟测试
数学试题
2020.9 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．若复数 z 满足 (23i)z 13，则复平面内表示 z 的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
2．已知集合 A {x log 2 ( x 1) 0} ，则 CR A （ ）
如图，在三棱柱 ADE-BCF 中，侧面 ABCD 是为菱形， E 在平面 ABCD 内的射影 O 恰
为线段 BD 的中点． （1）求证：AC⊥CF；
E
F
（2）若∠BAD=60º，AE=AB，求二面角 E-BC-F 的平
D
C
面角的余弦值．
O
A
B
20．(本小题满分 12 分)
已知直线 l :
y
kx 1 与曲线 C :
)
A．
M
的最小值为
16 5
C． M 的最小值为
4 5
B．当 M 最小时，
x2
14 5
D．当
M
最小时
x2
12 5
12．已知符号函数
下列说法正确的是（ ）
A．函数 C．函数
是奇函数（ ） B．对任意的
的值域为
D．对任意的
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答．题．卡．相．应． 位．置．上．。
9．关于函数
下列结论正确的是（ ）
A．图像关于 轴对称
C．在
上单调递增
B．图像关于原点对称
D．
恒大于 0
10．已知下列四个条件，能推出 1 1 成立的有 ab
A．b＞0＞a
B．0＞a＞b
C．a＞0＞b
D．a＞b＞0
11．已知 ln x1 x1 y1 2 0 ，x2 2 y2 2 ln 2 6 0 ，记 M (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ，则(
A. (,1] B.[2,) C. (,1) (2, )
3．函数
f
(x)
|
x | ln x4
|
x|
的图象大致为（
）
D.第四象限
D. (,1][2,)
A.
B.
C.
D.
4．在 ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，外接圆半径为 R ，若
b sin B a sin A 1 a sin C ，且 ABC 的面积为 2R2 sin B(1 cos 2A) ，则 cos B （ ） 2
13．已知向量 a，b 的夹角为 45º，若 a=(1，1)，|b|=2，则|2a+b|=________．
14．已知函数
f
(x)
log
2
f (x
x， x 3)，x
1， 则
1，
f
(2) =________．
15．在平面直角坐标系 xOy
中，过点 (1,
0) 的一条直线与函数
f (x)
x
3 1
上的动点，记三棱锥
P
ABC
的体积为V1 ，三棱锥 O
ABC
的体积为 V2
，若
V1 V2
的最大值为
3，则球 O 的表面积为（ ）
A． 16π 9
B． 64π 9
C． 3π 2
D． 6π
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
（1）求证：数列an 是等比数列，并求其通项公式；
（2）设直线 x an 与函数 f x x2 的图象交于点 An ，与函数 g(x) log2 x 的图象交
于点 Bn ，记 bn OAn OBn （其中 O 为坐标原点），求数列 bn 的前 n 项和 Tn.
19．(本小题满分 12 分)
得修建的小路 MP 与 PQ 及 QD 的总长最小？并说明理由．
22．(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) sin x ． x
（1）求曲线 y f (x) 在 ( π , f ( π )) 处的切线方程； 22
（2）求证： f (x) 1 x2 ； 6
（3）求证：当 0 x 1.1时， f (x) ln(1 x) ． x
1
1
1
3
A.
B.
C.
D.
4
3
2
4
5．在 ABC 中， AB 4 ， AC 2 ， BAC 60 ，点 D 为 BC 边上一点，且 D 为 BC
uuur uuur 边上靠近 C 的三等分点，则 AB AD （ ）
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
6．已知 (2 x2
3
x
1)(
a x2
1)5
的展开式中各项系数之和为
明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分 10 分)
已知△ABC 中， C 为钝角，而且 AB 8 ， BC 3，AB 边上的高为 3 3 ． 2
（1）求 B 的大小； （2）求 AC cos A 3cos B 的值．
18．(本小题满分 12 分)
设数列an 的前 n 项和为 Sn ，点 an , Sn n N * 在直线 2x y 1 0 上．