广东省2019届高考百校联考理科数学试卷(含详解)
广东省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析

广东省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析绝密★启用前广东省2019年高考理科数学试卷注意事项:1.考生答卷前,必须在答题卡上填写姓名和准考证号。
2.回答选择题时,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x^2-x-6<0},则M∩N=()A。
{x|-4<x<3}B。
{x|-4<x<-2}C。
{x|-2<x<2}D。
{x|2<x<3}2.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A。
(x+1)^2+y^2=1B。
(x-1)^2+y^2=1C。
x^2+(y-1)^2=1D。
x^2+(y+1)^2=13.已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A。
a<b<cB。
a<c<bC。
c<a<bD。
b<c<a4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比约为0.618,称为黄金分割比例。
某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是()A。
165cmB。
175cmC。
185cmD。
190cm5.函数f(x)=在[-π,π]的图像大致为()A。
B。
C。
D。
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。
每一重卦由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ”,如图为一重卦。
在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A。
B。
C。
D。
7.已知非零向量,满足||=2||,且(-)⊥,则与的夹角为()A。
广东省2019届高三六校第一次联考理科数学试题(解析版)

广东省2019届高三六校第一次联考试题理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据形如的分式不等式的解法求集合A,根据指数函数的性质求集合B,再根据补集和交集的运算法则计算【详解】因为,由得,其与不等式为同解不等式,所以;则故选A.【点睛】本题主要考查了集合元素的属性,考查形如不等式的计算方法,即要遵循移项——通分——等效转化的原则进行.2.若复数满足,则的共轭复数的虚部为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件得,利用复数的除法运算化简,求出,则共轭复数的虚部可求.【详解】,,共轭复数的共轭复数的虚部1故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算,考查复数的基本概念. 复数除法的关键是分子分母同时乘以分母的共轭复数,解题中要注意把的幂写成最简形式.3.记为等差数列的前项和,若,,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方法一:基本法,将等差数列前项和公式和通项公式代入到已知条件中,联立方程组解得和,即可求得答案. 方法二:性质法,根据已知条件得,再根据,即可求得答案.【详解】方法一:基本法,数列等差数列,,,,整理得,解得方法二:性质法,,,,;;故选D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式,考查等差数列的性质与前项和计算的应用,解题时要认真审题,注意灵活运用数列的基本概念与性质.4.在区间上随机取两个实数,记向量,,则的概率为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系,确定实数所在平面区域,再根据数量积的运算,将转化为,根据面积比即可求出概率.【详解】分别以为横、纵轴建立直角坐标系,由题可知点满足,组成了边长为正方形区域,向量,,则,即,表示正方形内以坐标原点为圆心,为半径的圆以外的部分,如图所示.所以,概率.故选B.【点睛】本题考查了几何概型的概率求法,考查运算求解能力,考查数形结合思想,正确作出几何图形是解题关键.5.已知直线l的倾斜角为,直线与双曲线的左、右两支分别交于M、N两点,且都垂直于x轴(其中分别为双曲线C的左、右焦点),则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意设点,,则,又由直线的倾斜角为,得,结合点在双曲线上,即可求出离心率.【详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点,且、都垂直于轴,根据双曲线的对称性,设点,,则,即,且,又直线的倾斜角为,直线过坐标原点,,,整理得,即,解方程得,(舍)故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法,考查化简整理的运算能力和转化思想,属于中档题.圆锥曲线离心率的计算,常采用两种方法:1、通过已知条件构建关于的齐次方程,解出.根据题设条件(主要用到:方程思想,余弦定理,平面几何相似,直角三角形性质等)借助之间的关系,得到关于的一元方程,从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标,代入方程中,解出.根据题设条件,借助表示曲线某点坐标,代入曲线方程转化成关于的一元方程,从而解得离心率.6.在△中,为的中点,点满足,则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量共线的性质得,,再利用向量的三角形法则、即可得出结果.【详解】为的中点,点满足,,故选A.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线性质,属于基础题.向量的运算有两种方法,一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答,运算法则是:(1)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差);(2)三角形法则(两箭头间向量是差,箭头与箭尾间向量是和);二是坐标运算:建立坐标系转化为解析几何问题解答(求最值与范围问题,往往利用坐标运算比较简单).7.某几何体的三视图如图所示,数量单位为,它的体积是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图,可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥,根据棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】如图所示,三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥,故选C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积,解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.8.已知是函数的最大值,若存在实数使得对任意实数总有成立,则的最小值为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式化简函数,确定,再由题意可知,即可求得答案.【详解】,对任意实数总有成立.故选B.【点睛】本题考查三角函数的最值,考查三角函数的诱导公式、正弦型函数的图象和性质,考查逻辑推理能力和转化思想,着重考查正弦函数的图象和性质.9.定义在上的函数满足及,且在上有,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得函数为定义域内的奇函数,并可以求出函数的周期,利用函数的周期性和奇偶性将转换到范围内,即可求出答案.【详解】及,,函数为周期为4的奇函数.又在上有.故选D.【点睛】本题考查函数值的计算,考查抽象函数的周期性、对称性和奇偶性的关系,考查抽象函数有关的函数性质的应用,根据条件判断函数的周期性和奇偶性是解决本题的关键.10.抛物线上有一动弦,中点为,且弦的长度为,则点的纵坐标的最小值为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意设,,直线的方程为,代入抛物线方程,写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式,通过基本不等式确定最小值.【详解】由题意设,,,直线的方程为,联立方程,整理得,,,点M的纵坐标,弦的长度为,即,整理得,即根据基本不等式,,当且仅当,时取等,即,,点的纵坐标的最小值为.故选A.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系,考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为:(1)设,即设交点坐标和直线方程,注意考虑直线斜率是否存在;(2)联,即联立直线方程与圆锥曲线,消元;(3)判,即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断;(4)韦,即韦达定理,确定两根与系数的关系.(5)代,即根据已知条件,将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题,进而求解问题.11.已知三棱锥中,,,,,且二面角的大小为,则三棱锥外接球的表面积为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知,三棱锥外接球的球心在过外接圆圆心的法线上,设,由题设条件可知,外接球半径,由此解得,从而求出外接球的半径及表面积.【详解】如图,设中点为,过点作,,过点作垂足为,交于,则为外接圆的圆心,三棱锥外接球球心在直线上,设,,,且二面角的大小为,,,,,,,,在中,;在中,;外接球半径,,解得,外接球表面积故选D.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面的求法,涉及到棱锥的结构特征、二面角的平面角、直角三角形的性质、勾股定理和球的简单性质等知识点,解题时要认真审题,注意合理地转化空间几何问题.12.已知数列满足.设,为数列的前项和.若(常数),,则的最小值是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】当时,类比写出,两式相减整理得,当时,求得,从而求得数列和的通项公式.;再运用错位相减法求出,结合的性质,确定的最小值.【详解】①当时,类比写出②由①-②得,即.当时,,,③④③-④得,(常数),,的最小值是故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算方法,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的合理选用.1、已知数列的前项和与的关系式,求数列的通项公式的方法如下:(1)当时,用替换中的得到一个新的关系,利用便可求出当时的表达式;(2)当时,求出;(3)对时的结果进行检验,看是否符合时的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分与两段来写.2、错位相减法:若,其中是等差数列,是公比为的等比数列,那么这个数列的前项和即可用此法来求。
2019年高考真题——理科数学(广东卷)解析版

2019年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)逐题详解参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =++,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =( )A . {}0B .{}0,2C .{}2,0-D .{}2,0,2-【解析】D ;易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以M N ={}2,0,2-,故选D .2.定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B .3C .2D .1【解析】C ;考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C . 3.若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A . ()2,4B .()2,4-C .()4,2-D .()4,2【解析】C ;2442iz i i+==-对应的点的坐标是()4,2-,故选C . 4.已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 23 P35 310 110则X 的数学期望EX = ( )A . 32B .2C .52D .3【解析】A ;33115312351010102EX =⨯+⨯+⨯==,故选A . 5.某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A . 4B .143C .163D .6【解析】B ;由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故()2211412233V =⨯=,,故选B . 6.设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B .若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC .若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D .若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥【解析】D ;ABC 是典型错误命题,选D .正视图俯视图侧视图第5题图7.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( )A .214x = B .22145x y -= C .22125x y -=D .212x = 【解析】B ;依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B . 8.设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B .(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C .(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D .(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈【解析】B ;特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===,1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S =∈,故选B .如果利用直接法:因为(),,x y z S ∈,(),,z w x S ∈,所以x y z <<…①,y z x <<…②,z x y <<…③三个式子中恰有一个成立;z w x <<…④,w x z <<…⑤,x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况:第一种:①⑤成立,此时w x y z <<<,于是(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈;第二种:①⑥成立,此时x y z w <<<,于是(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈;第三种:②④成立,此时y z w x <<<,于是(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈;第四种:③④成立,此时z w x y <<<,于是(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈.综合上述四种情况,可得(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈.二、填空题:本题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,共30分 (一)必做题(9~13题)9.不等式220x x +-<的解集为___________.【解析】()2,1-;易得不等式220x x +-<的解集为()2,1-. 10.若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.【解析】1-;求导得1y k x '=+,依题意10k +=,所以1k =-.11.执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为【解析】7;第一次循环后:1,2s i ==;第二次循环后:2,3s i ==;第三次循环后:4,4s i ==;第四次循环后:7,5s i ==;故输出7. 12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.【解析】20;依题意12910a d +=,所以()571113346a a a d a d +=+++. AE D CBO第15题图或:()57383220a a a a +=+=13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定条不同的直线.【解析】6;画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最小值时的整点为(0,1,取得最大值时的整点为()0,4,()1,3,()2,2,()3,1及()4,0共5个整点.故可确定516+=条不同的直线.(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分)14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程为x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________. 【解析】sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭;曲线C 的普通方程为222x y +=,其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=,对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC =_________. 【解析】ABC CDE ∆∆,所以AB BCCD DE=,又 BC CD =,所以212BC AB DE =⋅=,从而BC =.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值; (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【解析】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; (Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1 7 92 0 1 53 0第17题图'A因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---=⎪⎝⎭. 17.(本小题满分12分)某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值;(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人;(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀 工人的概率.【解析】(Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==;(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A =1148212C C C 1633=.18.(本小题满分14分)如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=.(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ;(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值..CO BDEA CDOBE'A图1图2【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===连结,OD OE,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD==由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥, 理可证A O OE '⊥, 又ODOE O =,所以A O '⊥平面BCDE .(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.结合图1可知,H 为AC 中点,故OH =,从而A H '== 所以cos OH A HO A H '∠=='所以二面角A CD B '--. 向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '=,(1,DA '=- 设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,3n OA n OA n OA '⋅'===',即二面角A CD B '--的平面角的余弦值19.(本小题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值;(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =;(Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---, ()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111na n n n=+-⨯=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<;当2n =时,12111571444a a +=+=<;当3n ≥时,()21111111n a n n n n n =<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 20.(本小题满分14分)已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PAPB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值. 【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,结合0c >, 解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '=设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.。
2019年全国高考广东省数学(理)试卷及答案【精校版】

2019年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分. 1.已知集合{1,0,1}M =-,{0,1,2}N =,则M N =A. {0,1}B. {1,0,2}-C. {1,0,1,2}-D. {1,0,1}-2.已知复数Z 满足(34)25i z +=,则Z=A. 34i -+B. 34i --C. 34i +D. 34i -3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值A.5B.6C.7D.84.若实数k 满足09k <<,则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等5.已知向量()1,0,1a =-,则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示,A.200,20B.100,20C.200,10D.100,107.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ,满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥,则 A.14l l ⊥ B.14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行 D.14,l l 的位置关系不确定8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=,那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9~13题)9.不等式521≥++-x x 的解集为 。
10.曲线25+=-xe y 在点)3,0(处的切线方程为 。
广东省2019届高三六校第一次联考理科数学(解析版)

9.答案:D
)
1
B.
4
9 C.
4
1 D.
4
解析:由 f (x) f (2 x) 可知函数 f (x) 关于直线 x 1 对称,由 f (x) f (x) 可知函数 f (x) 关于原点
(0, 0) 对称,所以函数 f (x) 是双对称函数,所以是周期函数,周期T 4 ,
1 7 1 1 1 所以 f 2019 f f f .
1.答案:A
2
2
x 1
解析:由 ≤1 ,得: 1≤ 0, ≥ 0 ,解得 x ≥1或 x 1,即 A (, 1) [1, ) ,
x 1
x 1
x 1
则 R A [1,1) .由 2x 1,得 x 0 ,即 B (, 0) ,所以 R A B [1, 0) .
2.若复数 z 满足 zi 1 2i ,则 z 的共轭复数的虚部为( )
2
O
1
P' 2
A T
Q2
4 ax2 bx 满足 f (1 x) f (1 x) 22 0 ,则 f (x) 的单调递减区间是
.
16.答案: (1,3) (注意:写闭区间也给分) 知识点:①若 f (x) 关于点 (a,b) 对称,则 f (a x) f (a x) 2b ;
x
15.已知点 P(1, 2) 及圆 (x 3)2 ( y 4)2 4 ,一光线从点 P 出发,经 x 轴上一点 Q 反射后与圆相切于
点T ,则 PQ QT 的值为
.
15.答案: 4 3
解析:点 P 关于 x 轴的对称点为 P(1, 2) ,如图,连接 PP, PQ ,由对称性可知,PQ 与圆相切于点T ,
n 3n
14
广东省2019届高三六校第一次联考理科数学试题

绝密★启用前广东省2019届高三六校第一次联考试题理科数学命题学校:深圳实验学校本试卷共6页,23小题,满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时,选项出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目定区域内相应位置上;如需要改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合2|11A x x ,{|21}xBx ,则(?A R )BA .[1,0)B .(1,0)C .(,0)D .(,1)2.若复数z 满足i 12i z ,则z 的共轭复数的虚部为A .2iB .iC .1D .23.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若542S S ,248a a ,则5a A .6B .7C .8D .104.在区间[π,π]上随机取两个实数,a b ,记向量(,4)OA a b ,(4,)OB a b ,则24πOA OB的概率为A .π18B .π14C .π12D .3π145.已知直线l 的倾斜角为45,直线l 与双曲线2222:1x y C ab(0,0ab)的左、右两支分别交于M 、N 两点,且1MF 、2NF 都垂直于x 轴(其中1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点),则该双曲线的离心率为A .3B .5C .51D .5126.在△ABC 中,D 为AB 的中点,点E 满足4EB EC ,则ED A .5463AB AC B .4536AB AC C .5463ABACD .4536ABAC7.某几何体的三视图如右图所示,数量单位为cm ,它的体积是A .3273cm 2B .39cm2C .393cm2D .327cm28.已知A 是函数()sin 2018cos 201863f x xx的最大值,若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有12()()()f x f x f x 成立,则12||A x x 的最小值为A .π2018B .π1009C .2π1009D .π40369.定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x 及()()f x f x ,且在[0,1]上有2()f x x ,则1(2019)2f A .94B .14C .94D .1410.抛物线22yx 上有一动弦AB ,中点为M ,且弦AB 的长度为3,则点M 的纵坐标的最小值为A .118B .54C .32D .111.已知三棱锥PABC 中,AB BC ,22AB,3BC ,32PA PB ,且二面角PA BC 的大小为150,则三棱锥PABC 外接球的表面积为A .100πB .108πC .110πD .111π12.已知数列}{n a 满足12323(21)3nna a a na n .设4nnn b a ,n S 为数列{}n b 的前n 项和.若n S (常数),*nN ,则的最小值是A .32B .94C .3112D .3118二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
广东省2019届高三六校第一次联考理科数学试题(解析版)

广东省2019届高三六校第一次联考试题理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据形如的分式不等式的解法求集合A,根据指数函数的性质求集合B,再根据补集和交集的运算法则计算【详解】因为,由得,其与不等式为同解不等式,所以;则故选A.【点睛】本题主要考查了集合元素的属性,考查形如不等式的计算方法,即要遵循移项——通分——等效转化的原则进行.2.若复数满足,则的共轭复数的虚部为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件得,利用复数的除法运算化简,求出,则共轭复数的虚部可求.【详解】,,共轭复数的共轭复数的虚部1故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算,考查复数的基本概念. 复数除法的关键是分子分母同时乘以分母的共轭复数,解题中要注意把的幂写成最简形式.3.记为等差数列的前项和,若,,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方法一:基本法,将等差数列前项和公式和通项公式代入到已知条件中,联立方程组解得和,即可求得答案.方法二:性质法,根据已知条件得,再根据,即可求得答案.【详解】方法一:基本法,数列等差数列,,,,整理得,解得方法二:性质法,,,,;;故选D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式,考查等差数列的性质与前项和计算的应用,解题时要认真审题,注意灵活运用数列的基本概念与性质.4.在区间上随机取两个实数,记向量,,则的概率为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系,确定实数所在平面区域,再根据数量积的运算,将转化为,根据面积比即可求出概率.【详解】分别以为横、纵轴建立直角坐标系,由题可知点满足,组成了边长为正方形区域,向量,,则,即,表示正方形内以坐标原点为圆心,为半径的圆以外的部分,如图所示.所以,概率.故选B.【点睛】本题考查了几何概型的概率求法,考查运算求解能力,考查数形结合思想,正确作出几何图形是解题关键.5.已知直线l的倾斜角为,直线与双曲线的左、右两支分别交于M、N两点,且都垂直于x轴(其中分别为双曲线C的左、右焦点),则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意设点,,则,又由直线的倾斜角为,得,结合点在双曲线上,即可求出离心率.【详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点,且、都垂直于轴,根据双曲线的对称性,设点,,则,即,且,又直线的倾斜角为,直线过坐标原点,,,整理得,即,解方程得,(舍)故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法,考查化简整理的运算能力和转化思想,属于中档题.圆锥曲线离心率的计算,常采用两种方法:1、通过已知条件构建关于的齐次方程,解出.根据题设条件(主要用到:方程思想,余弦定理,平面几何相似,直角三角形性质等)借助之间的关系,得到关于的一元方程,从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标,代入方程中,解出.根据题设条件,借助表示曲线某点坐标,代入曲线方程转化成关于的一元方程,从而解得离心率. 6.在△中,为的中点,点满足,则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量共线的性质得,,再利用向量的三角形法则、即可得出结果.【详解】为的中点,点满足,,故选A.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线性质,属于基础题.向量的运算有两种方法,一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答,运算法则是:(1)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差);(2)三角形法则(两箭头间向量是差,箭头与箭尾间向量是和);二是坐标运算:建立坐标系转化为解析几何问题解答(求最值与范围问题,往往利用坐标运算比较简单).7.某几何体的三视图如图所示,数量单位为,它的体积是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图,可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥,根据棱锥的体积公式即可求出结果. 【详解】如图所示,三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥,故选C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积,解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.8.已知是函数的最大值,若存在实数使得对任意实数总有成立,则的最小值为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式化简函数,确定,再由题意可知,即可求得答案.【详解】,对任意实数总有成立.故选B.【点睛】本题考查三角函数的最值,考查三角函数的诱导公式、正弦型函数的图象和性质,考查逻辑推理能力和转化思想,着重考查正弦函数的图象和性质.9.定义在上的函数满足及,且在上有,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得函数为定义域内的奇函数,并可以求出函数的周期,利用函数的周期性和奇偶性将转换到范围内,即可求出答案.【详解】及,,函数为周期为4的奇函数.又在上有.故选D.【点睛】本题考查函数值的计算,考查抽象函数的周期性、对称性和奇偶性的关系,考查抽象函数有关的函数性质的应用,根据条件判断函数的周期性和奇偶性是解决本题的关键.10.抛物线上有一动弦,中点为,且弦的长度为,则点的纵坐标的最小值为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意设,,直线的方程为,代入抛物线方程,写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式,通过基本不等式确定最小值.【详解】由题意设,,,直线的方程为,联立方程,整理得,,,点M的纵坐标,弦的长度为,即,整理得,即根据基本不等式,,当且仅当,时取等,即,,点的纵坐标的最小值为.故选A.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系,考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为:(1)设,即设交点坐标和直线方程,注意考虑直线斜率是否存在;(2)联,即联立直线方程与圆锥曲线,消元;(3)判,即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断;(4)韦,即韦达定理,确定两根与系数的关系.(5)代,即根据已知条件,将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题,进而求解问题.11.已知三棱锥中,,,,,且二面角的大小为,则三棱锥外接球的表面积为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知,三棱锥外接球的球心在过外接圆圆心的法线上,设,由题设条件可知,外接球半径,由此解得,从而求出外接球的半径及表面积.【详解】如图,设中点为,过点作,,过点作垂足为,交于,则为外接圆的圆心,三棱锥外接球球心在直线上,设,,,且二面角的大小为,,,,,,,,在中,;在中,;外接球半径,,解得,外接球表面积故选D.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面的求法,涉及到棱锥的结构特征、二面角的平面角、直角三角形的性质、勾股定理和球的简单性质等知识点,解题时要认真审题,注意合理地转化空间几何问题.12.已知数列满足.设,为数列的前项和.若(常数),,则的最小值是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】当时,类比写出,两式相减整理得,当时,求得,从而求得数列和的通项公式.;再运用错位相减法求出,结合的性质,确定的最小值. 【详解】①当时,类比写出②由①-②得,即.当时,,,③④③-④得,(常数),,的最小值是故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算方法,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的合理选用.1、已知数列的前项和与的关系式,求数列的通项公式的方法如下:(1)当时,用替换中的得到一个新的关系,利用便可求出当时的表达式;(2)当时,求出;(3)对时的结果进行检验,看是否符合时的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分与两段来写.2、错位相减法:若,其中是等差数列,是公比为的等比数列,那么这个数列的前项和即可用此法来求。
广东省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析

绝密★启用前广东省2019年高考理科数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)已知集合M={x|﹣4<x<2},N={x|x2﹣x﹣6<0},则M∩N=()A.{x|﹣4<x<3}B.{x|﹣4<x<﹣2}C.{x|﹣2<x<2}D.{x|2<x<3} 2.(5分)设复数z满足|z﹣i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x﹣1)2+y2=1C.x2+(y﹣1)2=1D.x2+(y+1)2=13.(5分)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a4.(5分)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是()A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm5.(5分)函数f(x)=在[﹣π,π]的图象大致为()A.B.C.D.6.(5分)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A.B.C.D.7.(5分)已知非零向量,满足||=2||,且(﹣)⊥,则与的夹角为()A.B.C.D.8.(5分)如图是求的程序框图,图中空白框中应填入()A.A=B.A=2+C.A=D.A=1+9.(5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.a n=2n﹣5B.a n=3n﹣10C.S n=2n2﹣8n D.S n=n2﹣2n 10.(5分)已知椭圆C的焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=111.(5分)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:①f(x)是偶函数②f(x)在区间(,π)单调递增③f(x)在[﹣π,π]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A.①②④B.②④C.①④D.①③12.(5分)已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上,P A=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是P A,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为()A.8πB.4πC.2πD.π二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
高考广东省数学理试卷及答案精校

2019年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分. 1.已知集合{1,0,1}M =-,{0,1,2}N =,则M N =U A. {0,1}B. {1,0,2}-C. {1,0,1,2}-D. {1,0,1}- 2.已知复数Z 满足(34)25i z +=,则Z= A. 34i -+ B. 34i -- C. 34i +D. 34i -3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值A.5B.6C.7D.84.若实数k 满足09k <<,则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等 5.已知向量()1,0,1a =-,则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示,71234,,,l l l l C.14,l l8)5{1,0,1i x x ∈-53≤二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9~13题)9.不等式521≥++-x x 的解集为 。
10.曲线25+=-xey 在点)3,0(处的切线方程为 。
11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为 。
12.在ABC ∆中,角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,,已知b B c C b 2cos cos =+,则=ba。
13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,(二)选做题(14~15题,考生从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________.15.(几何证明选讲选做题)如图3,在平行四边形ABCD 中, 点E 在AB 上且AE EB 2=,AC 与DE 交于点F ,则三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. CABFD小学 初中 高中 年级 O16.(本小题满分12分)已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π,且23)125(=πf , (1)求A 的值; (2)若23)()(=-+θθf f ,)2,0(πθ∈,求)43(θπ-f 。
广东省高考理科数学试题答案解析

2019年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)参考公式:柱体的体积公式V Sh =,其中S 为柱体的底面积,h 为柱体的高. 圆锥的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高.一、选择题1.(复数)设i 为虚数单位,则复数56ii-=( ) A .65i +B .65i -C .65i -+D .65i --解析:D .56i65i i-=--. 2.(集合)设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,2,4M =,则U C M =( ) A .UB .{}1,3,5C .{}3,5,6D .{}2,4,6解析:C .{}3,5,6U C M =.3.(向量)若向量()2,3BA =,()4,7CA =,则BC =( ) A .()2,4--B .()2,4C .()6,10D .()6,10--解析:A .()2,4BC BA CA =-=--.4.(函数)下列函数中,在区间()0,+∞上为增函数的是( ) A .()ln 2y x =+B.y =C .12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D .1y x x=+解析:A .()ln 2y x =+在()2,-+∞上是增函数.5.已知变量x 、y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则3z x y =+的最大值为( )A .12B .11C .3D .1-解析:B .画出可行域,可知当代表直线过点A 时,取到最大值.联立21y y x =⎧⎨=-⎩,解得32x y =⎧⎨=⎩,所以3z x y =+的最大值为11.6.(立体几何)某几何体的三视图如图1所示,它的体积为( )A .12πB .45πC .57πD .81π解析:C .该几何体下部分是半径为3,高为5的圆柱,体积为23545V ππ=⨯⨯=,上部分是半径为3,高为4的圆锥,体积为2134123V ππ=⨯⨯⨯=,所以体积为57π.7.(概率)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是( )A .49B .13C .29D .19解析:D .两位数共有90个,其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个,个位数为0的有5个,所以概率为51459=. 8.对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则=a b ( )A .12B .1C .32D .52解析:C .⋅==⋅a a b a b b b b 1cos 2k θ=,=b b a a 2cos 2k θ=,两式相乘,可得212cos 4k kθ=.因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以1k 、2k 都是正整数,于是2121cos 124k k θ<=<,即1224k k <<,所以123k k =.而0≥>a b ,所以13k =,21k =,于是32=a b . 二、填空题(一)必做题(9—13题)9.(不等式)不等式21x x +-≤的解集为__________________.解析:1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.2x x +-的几何意义是x 到2-的距离与x 到0的距离的差,画出数轴,先找出临界“21x x +-=的解为12x =-”,然后可得解集为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.10.(二项式定理)621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为_________.(用数字作答)解析:20.621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()621231661kk k k kk T C x C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,令1233k -=,解得3k =,所以621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为3620C =. 11.(数列)已知递增的等差数列{}n a 满足11a =,2324a a =-,则n a =______________.解析:21n -.设公差为d (0d >),则有()21214d d +=+-,解得2d =,所以21n a n =-.12.曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为___________________.解析:210x y -+=.21|3112x y ='=⨯-=,所以切线方程为()321y x -=-,即210x y -+=. 13.(算法)执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为8,则输出s 的值为______.解析:8.第一次循环,()11221s =⨯⨯=,4i =,2k =;第二次循环,()12442s =⨯⨯=,6i =,3k =;第三次循环,()14683s =⨯⨯=,8i =,4k =.此时退出循环,输出s 的值为8.(二)选做题(14—15题)14.(坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C 的参数方程分别为x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩t 为参数)和x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数),则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.解析:()1,1.法1:曲线1C 的普通方程是2y x =(0y ≥),曲线2C 的普通方程是222x y +=,联立解得11x y =⎧⎨=⎩,所以交点坐标为()1,1.法2:联立t θθ⎧=⎪=22sin θθ=,即22cos 20θθ+-=,解得cos2θ=cos θ=(舍去),所以11t =⎧⎪=,交点坐标为()1,1.15.(几何证明选讲)如图3,圆O 的半径为1,A 、B 、C 是圆周上的三点,满足30ABC ∠=︒,过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ,则PA =__________..连接OA ,则60AOC ∠=︒,90OAP ∠=︒,因为1OA =,所以PA 三、解答题16.(三角函数)(本小题满分12分)已知函数()2cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(其中0ω>x ∈R )的最小正周期为10π.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,56535f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,5165617f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求()cos αβ+的值.解析:(Ⅰ)210T ππω==,所以15ω=. (Ⅱ)515652cos 52cos 2sin 353625f ππαπαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以3s i n 5α=.5151652cos 52cos 656617f πβπβπβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以8cos 17β=.因为α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以4c o s i n 5α,15sin 17β=,所以()4831513cos cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-.17.(概率统计)(本小题满分13分) 某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100.(Ⅰ)求图中x 的值;(Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的数学期望.解析:(Ⅰ)由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯=,解得0.018x =.(Ⅱ)分数在[)80,90、[]90,100的人数分别是500.018109⨯⨯=人、500.006103⨯⨯=人.所以ξ的取值为0、1、2.()023921236606611C C P C ξ====,()113921227916622C C P C ξ====,()20392123126622C C P C ξ====,所以ξ的数学期望是691111012112222222E ξ=⨯+⨯+⨯==.18.(立体几何)(本小题满分13分)如图5所示,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,点E 在线段PC 上,PC ⊥平面BDE .(Ⅰ)证明:BD ⊥平面PAC ;(Ⅱ)若1PA =,2AD =,求二面角B PC A --的正切值.解析:(Ⅰ)因为PC ⊥平面BDE ,BD ⊂平面BDE ,所以PC BD ⊥.又因为PA ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以PA BD ⊥.而PC PA P =,PC ⊂平面PAC ,PA ⊂平面PAC ,所以BD ⊥平面PAC .(Ⅱ)由(Ⅰ)可知BD ⊥平面PAC ,而AC ⊂平面PAC ,所以BD AC ⊥,而ABCD 为矩形,所以ABCD 为正方形,于是2AB AD ==.法1:以A 点为原点,AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系A BDP -.则()0,0,1P 、()2,2,0C 、()2,0,0B 、()0,2,0D ,于是()0,2,0BC =,()2,0,1PB =-.设平面PBC 的一个法向量为=1n (),,x y z ,则00BC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11n n ,从而2020y x z =⎧⎨-=⎩,令1x =,得()1,0,2=1n .而平面PAC 的一个法向量为=2n ()2,2,0BD =-.所以二面角B PC A --的余弦值为cos ,⋅<>==121212=n n n n n n ,于是二面角B PC A --的正切值为3.法2:设AC 与BD 交于点O ,连接OE .因为PC ⊥平面BDE ,OE ⊂平面BDE ,BE ⊂平面BDE ,所以PC OE ⊥,PC BE ⊥,于是OEB ∠就是二面角B PC A --的平面角.又因为BD ⊥平面PAC ,OE ⊂平面PAC ,所以OEB ∆是直角三角形.由OEC ∆∽PAC ∆可得O E P AO C P C=,而2A B A D ==,所以AC =,OC 1PA =,所以3PC =,于是133PA OE OC PC =⨯==,而OB ,于是二面角B PC A --的正切值为3OBOE=.19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足11221n n n S a ++=-+,n ∈*N ,且1a 、25a +、3a 成等差数列.(Ⅰ)求1a 的值;(Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数n ,有1211132n a a a +++<. 解析:(Ⅰ)由()()12123213232725a a a a a a a a ⎧=-⎪+=-⎨⎪+=+⎩,解得11a =.(Ⅱ)由11221n n n S a ++=-+可得1221n n n S a -=-+(2n≥),两式相减,可得122n n n n a a a +=--,即132n n n a a +=+,即()11232n nn n a a +++=+,所以数列{}2n na +(2n ≥)是一个以24a +为首项,3为公比的等比数列.由1223a a =-可得,25a =,所以2293n n n a -+=⨯,即32n n n a =-(2n ≥),当1n =时,11a =,也满足该式子,所以数列{}n a 的通项公式是32n n n a =-.(Ⅲ)因为1113323222n n n n n ----=⋅≥⋅=,所以1323n n n --≥,所以1113n n a -≤,于是112111111131331113323213nnn n a a a -⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭+++≤+++==-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-.点评:上述证法实质上是证明了一个加强命题1211131123nn a a a ⎡⎤⎛⎫+++≤-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,该加强命题的思考过程如下.考虑构造一个公比为q 的等比数列{}n b ,其前n 项和为()111n n b q T q-=-,希望能得到()1121111312nn b q a a a q -+++≤<-,考虑到()11111n b q b q q-<--,所以令1312b q =-即可.由n a 的通项公式的形式可大胆尝试令13q =,则11b =,于是113n n b -=,此时只需证明1113n n n b a -≤=就可以了.当然,q 的选取并不唯一,也可令12q =,此时134b =,132n n b +=,与选取13q =不同的地方在于,当1n =时,1n nb a >,当2n ≥时,1n n b a <,所以此时我们不能从第一项就开始放缩,应该保留前几项,之后的再放缩,下面给出其证法.当1n =时,11312a =<;当2n =时,121113152a a +=+<;当3n =时,12311111315192a a a ++=++<.当4n ≥时,1n nb a <,所以 31231132211111113311151951916212n n a a a -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+++<+++<+++<-.综上所述,命题获证.下面再给出1211132n a a a +++<的两个证法. 法1:(数学归纳法) ①当1n =时,左边111a ==,右边32=,命题成立. ②假设当n k =(2k ≥,k ∈N )时成立,即113322ki ii =<-∑成立.为了证明当1n k =+时命题也成立,我们首先证明不等式:1111132332i i i i++<⋅--(1i ≥,i ∈N ). 要证1111132332i i i i++<⋅--,只需证1111132332i i i i+++<--⋅,只需证11132332i i i i +++->-⋅,只需证1232i i +->-⋅,只需证23->-,该式子明显成立,所以1111132332i i i i++<⋅--. 于是当1n k =+时,111211111113311323232332322k k k i i i i i i i i i ++====+<+<+⨯=----∑∑∑,所以命题在1n k =+时也成立.综合①②,由数学归纳法可得,对一切正整数n ,有1211132n a a a +++<. 备注:不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的,其实这是一个错误的认识.法2:(裂项相消法)(南海中学钱耀周提供) 当1n =时,11312a =<显然成立.当2n =时,121113152a a +=+<显然成立. 当3n ≥时,()32122nn n n n a =-=+-12211122222n n n n nn n C C C --=+⋅+⋅++⋅+-()12211221222221n n n n n n C C C C n n --=+⋅+⋅++⋅>⋅=-,又因为()252221a =>⨯⨯-,所以()21n a n n >-(2n ≥),所以()111112121n a n n n n ⎛⎫<=- ⎪--⎝⎭(2n ≥),所以 123111111111111311112234122n a a a a n n n ⎛⎫⎛⎫++++<+-+-++-=+-<⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. 综上所述,命题获证.20.(解析几何)(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的离心率e 且椭圆C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)在椭圆C 上,是否存在点(),M m n ,使得直线l :1mx ny +=与圆O :221x y +=相交于不同的两点A 、B ,且O A B ∆的面积最大?若存在,求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积;若不存在,请说明理由.解析:(Ⅰ)因为e =2223c a =,于是223a b =.设椭圆C 上任一点(),P x y ,则()()2222222222122443y PQ x y a y y y b b⎛⎫=+-=-+-=--++ ⎪⎝⎭(b y b -≤≤). 当01b <<时,2PQ 在y b =-时取到最大值,且最大值为244b b ++,由2449b b ++=解得1b =,与假设01b <<不符合,舍去.当1b≥时,2PQ 在1y =-时取到最大值,且最大值为236b +,由2369b +=解得21b =.于是23a =,椭圆C 的方程是2213x y +=.(Ⅱ)圆心到直线l 的距离为d =,弦长AB =OAB ∆的面积为12S AB d =⋅=,于是()2222211124S d d d ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭.而(),M m n 是椭圆上的点,所以2213m n +=,即2233m n =-,于是22221132d m n n ==+-,而11n -≤≤,所以201n ≤≤,21323n ≤-≤,所以2113d ≤≤,于是当212d =时,2S 取到最大值14,此时S 取到最大值12,此时212n =,232m =.综上所述,椭圆上存在四个点⎝⎭、⎛⎝⎭、⎝⎭、⎛ ⎝⎭,使得直线与圆相交于不同的两点A 、B ,且OAB ∆的面积最大,且最大值为12. 点评:此题与2019年南海区高三8月摸底考试的试题相似度极高.(2019年南海区高三8月摸底考试)已知椭圆C 的两焦点为()11,0F -、()21,0F ,并且经过点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)已知圆O :221x y +=,直线l :1mx ny +=,证明:当点(),P m n 在椭圆C 上运动时,直线l 与圆O 恒相交;并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围.21.(不等式、导数)(本小题满分14分)设1a <,集合{}0A x R x =∈>,(){}223160B x R x a x a =∈-++>,D A B =.(Ⅰ)求集合D (用区间表示);(Ⅱ)求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 解析:(Ⅰ)考虑不等式()223160x a x a -++>的解.因为()()()2314263331a a a a ∆=⎡-+⎤-⨯⨯=--⎣⎦,且1a <,所以可分以下三种情况: ①当113a <<时,0∆<,此时B =R ,()0,D A ==+∞.②当13a =时,0∆=,此时{}1B x x =≠,()()0,11,D =+∞. ③当13a <时,0∆>,此时()223160x a x a -++=有两根,设为1x 、2x ,且12x x <,则1x =2x =,于是{}12B x x x x x =<>或.当103a <<时,()123102x x a +=+>,1230x x a =>,所以210x x >>,此时()()120,,D x x =+∞;当0a ≤时,1230x x a =≤,所以10x ≤,20x >,此时()2,D x =+∞.综上所述,当113a <<时,()0,D A ==+∞;当13a =时,()()0,11,D =+∞;当103a <<时,()()120,,D x x =+∞;当0a ≤时,()2,D x =+∞.其中1x =2x .(Ⅱ)()()26616f x x a x a '=-++,令()0f x '=可得()()10x a x --=.因为1a <,所以()0f x '=有两根1m a =和21m =,且12m m <.①当113a <<时,()0,D A ==+∞,此时()0f x '=在D 内有两根1m a =和21m =,列表可得所以()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a . ②当13a =时,()()0,11,D =+∞,此时()0f x '=在D 内只有一根113m a ==,列表可得所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点. ③当103a <<时,()()120,,D x x =+∞,此时1201a x x <<<<(可用分析法证明),于是()0f x '=在D 内只有一根1m a =,列表可得所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.④当0a ≤时,()2,D x =+∞,此时21x >,于是()f x '在D 内恒大于0,()f x 在D 内没有极值点.综上所述,当113a <<时,()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a ;当103a <≤时,()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.当0a ≤时,()f x 在D 内没有极值点.。
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2019年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分. 1.已知集合{1,0,1}M =-,{0,1,2}N =,则M N =U A. {0,1} B.{1,0,2}- C.{1,0,1,2}- D. {1,0,1}- 2.已知复数Z 满足(34)25i z +=,则Z=A. 34i -+B. 34i --C. 34i +D. 34i -3.若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值A.5B.6C.7D.84.若实数k 满足09k <<,则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等5.已知向量()1,0,1a =-,则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示,71234,,,l l l l 14,l l 8)5{1,0,1},i x x ∈-53≤6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9~13题) 9.不等式521≥++-x x 的解集为 。
10.曲线25+=-xe y 在点)3,0(处的切线方程为 。
11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为 。
12.在ABC ∆中,角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,,已知b B c C b 2cos cos =+,则=ba。
13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,(二)选做题(14~15题,考生从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线1C 和2C 的方程分别为2sincos ρθθ=和sin 1ρθ=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________.15.(几何证明选讲选做题)如图3,在平行四边形ABCD 中, 点E 在AB 上且AE EB 2=,AC 与DE 交于点F ,则CEABFD 小学 初中 高中 年级O三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π,且23)125(=πf , (1)求A 的值; (2)若23)()(=-+θθf f ,)2,0(πθ∈,求)43(θπ-f 。
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2019年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分. 1.已知集合{1,0,1}M =-,{0,1,2}N =,则M N =U A. {0,1}B. {1,0,2}-C. {1,0,1,2}-D. {1,0,1}- 2.已知复数Z 满足(34)25i z +=,则Z= A. 34i -+ B. 34i -- C. 34i +D. 34i -3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值A.5B.6C.7D.84.若实数k 满足09k <<,则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等 5.已知向量()1,0,1a =-,则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示,71234,,,l l l l C.14,l l8)5{1,0,1i x x ∈-53≤二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9~13题)9.不等式521≥++-x x 的解集为 。
10.曲线25+=-xey 在点)3,0(处的切线方程为 。
11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为 。
12.在ABC ∆中,角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,,已知b B c C b 2cos cos =+,则=ba。
13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,(二)选做题(14~15题,考生从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________.15.(几何证明选讲选做题)如图3,在平行四边形ABCD 中, 点E 在AB 上且AE EB 2=,AC 与DE 交于点F ,则三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π,且23)125(=πf ,(1)求A 的值;CA F D小学 初中 高中 年级 O(2)若23)()(=-+θθf f ,)2,0(πθ∈,求)43(θπ-f 。
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高三数学考试(理科)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合2{|321},{|320}A x x B x x x =-<=-≥,则A B =( )A .(1,2]B .91,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C .31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D .(1,)+∞2.已知复数z 满足(3)(1i)64i z +-=-(i 为虚数单位),则z 的共轭复数所对应的点在( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.已知72sin cos ,2sin cos 55αααα+=--=-,则cos2α=( ) A .725B .725-C .1625D .1625-4.如图1为某省2018年1~4月快递义务量统计图,图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图,下列对统计图理解错误..的是( )A .2018年1~4月的业务量,3月最高,2月最低,差值接近2000万件B .2018年1~4月的业务量同比增长率超过50%,在3月最高C .从两图来看,2018年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D .从1~4月来看,该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长 5.在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若,4,24ABC C a S π===△,则232sin 3sin sin a c bA C B+-=+- ( )A 5B .25C .27D .136.已知平面向量,a b 满足2,1a b ==,且()()432a b a b -⋅+=,则向量,a b 的夹角θ为( ) A .6π B .3π C .2π D .23π 7.为了得到2cos 2y x =-的图象,只需把函数32cos 2y x x =-的图象( )A .向左平移3π个单位长度 B .向右平移3π个单位长度C .向左平移6π个单位长度 D .向右平移6π个单位长度 8.已知抛物线21:2(0)C x py y =>的焦点为1F ,抛物线22:(42)C y p x =+的焦点为2F ,点01(,)2P x 在1C 上,且134PF =,则直线12F F 的斜率为( ) A .12-B .14-C .13-D .15-9.如图,B 是AC 上一点,分别以,,AB BC AC 为直径作半圆.从B 作BD AC ⊥,与半圆相交于D .6,22AC BD ==,在整个图形中随机取一点,则此点取自图中阴影部分的概率是( )A .29B .13C .49D .2310.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的各条棱中,最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为( ) A 5B 6C 7D .2252111.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2,12,F F 分别是双曲线的左、右焦点,点(,0)M a -,(0,)N b ,点P 为线段MN 上的动点,当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时,12PF F △的面积分别为12,S S ,则12S S =( ) A .4B .8C .23D .312.已知函数()ln (0,1)x xf x a e x a a a =+->≠,对任意12,[0,1]x x ∈,不等式21()()2f x f x a --≤恒成立,则a 的取值范围为( ) A .21,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .[,)ee +∞C .1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D .2[,]ee e二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.在42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,含2x -的项的系数是 .14.已知实数,x y 满足12,3321,14,2y x y x y x ⎧-+⎪⎪--⎨⎪⎪+⎩≥≤≤ 则目标函数3z x y =-的最大值为 .15.已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,且(0)0g =,当0x ≥时,()()f x g x -=222x x x b +++(b 为常数),则(1)(1)f g -+-= .16.在四面体A BCD -中,2AB AC AD BC BD =====,若四面体A BCD -的外接球的体积3V =,则CD = . CABDMN O三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(12分) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足11S =,且对任意正整数n ,都有111n n n S n S S n +++=-+. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若2nn n a b =,求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.(12分)某中学为了解中学生的课外阅读时间,决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生,对他们的课外阅读时间进行问卷调查.现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类:A 类(不参加课外阅读),B 类(参加课外阅读,但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时),C 类(参加课外阅读,且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时).调查结果如下表:(1)求出表中x ,y (2(3)从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况,记X 为抽取的这3名女生中A 类人数和C类人数差的绝对值,求X 的数学期望.附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.19.(12分)如图,在五面体ABCDFE 中,底面ABCD 为矩形,//EF AB ,BC FD ⊥,过BC 的平面交棱FD 于P ,交棱FA 于Q .(1)证明://PQ 平面ABCD ;(2)若,,2,CD BE EF EC CD EF BC tEF ⊥===,求平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角的大小.ABCDEF PQ20.(12分)已知F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点,点(2,3)P 在C 上,且PF x ⊥轴.(1)求C 的方程;(2)过F 的直线l 交C 于,A B 两点,交直线8x =于点M .判定直线,,PA PM PB 的斜率是否依次构成等差数列?请说明理由.21.(12分)设函数()(1)1xxf x xe a e =+-+. (1)求函数()f x 的单调区间;(2)若函数()f x 在(0,)+∞上存在零点,证明:2a >. 22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为5cos 55sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数).M 是曲线1C 上的动点,将线段OM 绕O 点顺时针旋转90︒得到线段ON ,设点N 的轨迹为曲线2C .以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线12,C C 的极坐标方程; (2)在(1)的条件下,若射线(0)3πθρ=≥与曲线12,C C 分别交于,A B 两点(除极点外),且有定点(4,0)T ,求TAB △的面积.23.[选修4—5:不等式选讲](10分) 已知函数()22(0)f x x m x m m =+-->. (1)当12m =时,求不等式1()2f x ≥的解集; (2)对于任意的实数x ,存在实数t ,使得不等式()34f x t t +-<+成立,求实数m 的取值范围.高三数学考试(理科)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合2{|321},{|320}A x x B x x x =-<=-≥,则A B =( )A .(1,2]B .91,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C .31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D .(1,)+∞1.答案:C解析:因为3{|1},02A x x B x x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭≤≤,所以312AB x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭≤.2.已知复数z 满足(3)(1i)64i z +-=-(i 为虚数单位),则z 的共轭复数所对应的点在( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.答案:D解析:因为64i32i 1iz -=-=+-,所以2i z =-. 3.已知72sin cos ,2sin cos 55αααα+=--=-,则cos2α=( )A .725B .725-C .1625D .1625-3.答案:A解析:因为7sin cos 522sin cos 5αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩,所以3sin 5α=-,从而27cos 212sin 25αα=-=.4.如图1为某省2018年1~4月快递义务量统计图,图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图,下列对统计图理解错误..的是( )A .2018年1~4月的业务量,3月最高,2月最低,差值接近2000万件B .2018年1~4月的业务量同比增长率超过50%,在3月最高C .从两图来看,2018年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D .从1~4月来看,该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长 4.答案:D解析:选项A ,B 显然正确;对于选项C ,2月份业务量同比增长率为53%,而收入的同比增长率为30%,所以C 是正确的;对于选项D ,1,2,3,4月收入的同比增长率分别为55%,30%,60%,42%,并不是逐月增长,D 错误.5.在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若,4,24ABC C a S π===△,则232sin 3sin sin a c bA C B+-=+- ( )A 5B .25C .27D .135.答案:B 解析:112,4,sin 424222ABC C a S ab C b π====⨯⨯⨯=△,得2b = 2222cos 10c a b ab C =+-=,即10c =232252sin 3sin sin sin a c b cR A C B C+-===+-.6.已知平面向量,a b 满足2,1a b ==,且()()432a b a b -⋅+=,则向量,a b 的夹角θ为( )A .6π B .3π C .2π D .23π 6.答案:D解析:因为()()224343112,2,1a b a b a b a b a b -⋅+=-+⋅===,所以1a b ⋅=-, 由cos 2cos 1a b a b θθ⋅=⋅==-,得1cos 2θ=-,所以23πθ=. 7.为了得到2cos 2y x =-的图象,只需把函数3sin 2cos 2y x x =-的图象( )A .向左平移3π个单位长度 B .向右平移3π个单位长度 C .向左平移6π个单位长度D .向右平移6π个单位长度7.答案:D解析:因为3sin 2cos 22cos 22cos 236y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,要得到函数2cos 2y x =-,只需将3sin 2cos 2y x x =-的图象向右平移6π个单位长度即可. 8.已知抛物线21:2(0)C x py y =>的焦点为1F ,抛物线22:(42)C y p x =+的焦点为2F ,点01(,)2P x 在1C 上,且134PF =,则直线12F F 的斜率为( ) A .12-B .14-C .13-D .15-8.答案:B 解析:因为134PF =,所以13224p +=,解得22121211.:,:4,(0,),(1,0)24p C x y C y x F F ===,所以直线12F F 的斜率为114014=--.9.如图,B 是AC 上一点,分别以,,AB BC AC 为直径作半圆.从B 作BD AC ⊥,与半圆相交于D .6,22AC BD ==,在整个图形中随机取一点,则此点取自图中阴影部分的概率是( )A .29B .13C .49D .239.答案:C解析:连接,AD CD ,可知ACD △是直角三角形,又BD AC ⊥,所以2BD AB BC =⋅,设(06)AB x x =<<,则有8(6)x x =-,得2x =,所以2,4AB BC ==,由此可得图中阴影部分的面积等于2223122222ππππ⎛⎫⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭,故概率241992P ππ==⨯. 10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的各条棱中,最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为( ) ABCD.10.答案:C解析:如图,可知最长的棱为长方体的体对角线AC =1BD =,异面直线AC 与BD 所成的角为ACE∠,由三视图中的线段长度可得,1,AB BD CE CD AE =====,tan ACE ∠=ABCD E11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2,12,F F 分别是双曲线的左、右焦点,点(,0)M a -,(0,)N b ,点P 为线段MN 上的动点,当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时,12PF F △的面积分别为12,S S ,则12S S =( )A .4B .8C .23D .4311.答案:A 解析:由2ce a==,得2,3c a b a ==,故线段MN 所在直线的方程为3()y x a =+,又点P 在线段MN 上,可设(,33)P m m a +,其中[,0]m a ∈-,由于12(,0),(,0)F c F c -,即12(2,0),(2,0)F a F a -,得12(2,33),(2,33)PF a m m a PF a m m a =----=---,所以221246PF PF m ma a ⋅=+-223134()44m a a =+-.由于[,0]m a ∈-,可知当34m a =-时,12PF PF ⋅取得最小值,此时34P y a =, 当0m =时,12PF PF ⋅取得最大值,此时3P y a =,则213434S aS a ==. 12.已知函数()ln (0,1)x xf x a e x a a a =+->≠,对任意12,[0,1]x x ∈,不等式21()()2f x f x a --≤恒成立,则a 的取值范围为( ) A .21,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .[,)ee +∞C .1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D .2[,]ee e12.答案:B解析:因为()ln xxf x a e x a =+-,所以()ln ln (1)ln xxxxf x a a e a a a e '=+-=-+.当1a >时,对任意的[0,1]x ∈,10,ln 0x a a ->≥,恒有()0f x '>;当01a <<时,10,ln 0xa a -<≤,恒有()0f x '>,所以()f x 在[0,1]x ∈是单调递增的.那么对任意的12,[0,1]x x ∈,不等式21()()f x f x -2a -≤恒成立,只要max min ()()2f x f x a --≤,max ()(1)ln f x f a e a ==+-,min ()(0)112f x f ==+=,所以2ln 2a a e a -+--≥,即ln ,e a e a e ≥≥.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.在42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,含2x -的项的系数是 .13.答案:32解析:44214422rr r rr r r T C x C x x --+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭,令422r -=-,得3r =,所以含2x -的项的系数为334232C ⋅= 14.已知实数,x y 满足12,3321,14,2y x y x y x ⎧-+⎪⎪--⎨⎪⎪+⎩≥≤≤ 则目标函数3z x y =-的最大值为 .14.答案:4-解析:作可行域如图所示,由图可知,当3z x y =- 过点(1,1)B -时,z 取得最大值4-.15.已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,且(0)0g =,当0x ≥时,()()f x g x -=222x x x b +++(b 为常数),则(1)(1)f g -+-= .15.答案:4-解析:由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =,所以0(0)(0)20f g b -=+=,得1b =-, 所以(1)(1)4f g -=,于是(1)(1)(1)(1)[(1)(1)]4f g f g f g -+-=-+=--=-.16.在四面体A BCD -中,2AB AC AD BC BD =====,若四面体A BCD -的外接球的体积3V =,则CD = . 16.答案:解析:设CD 的中点为M ,AB 的中点为N ,则四面体A BCD -的外接球球心O 在线段MN 上,设四面体A BCD -的外接球半径为r,由343V r π==,得r =2CD x =,在Rt OAN △中,1ON ===,在Rt ADN △中,DN ==Rt DMN △中,MN1OM MN ON =-,在Rt ODM △中,222OM OD DM =-,由221)2x =-,解得x =CD =CABDMN O三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分. 17.(12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足11S =,且对任意正整数n ,都有111n n n S n S S n +++=-+. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若2nn n a b =,求数列{}n b 的前n 项和n T . 17.解析:(1)由11S =,得11a =.……………………………………………………………………1分又对任意正整数n , 111n n n S n S S n +++=-+都成立,即11(1)(1)(1)n n n S n n n S n S ++++=+-+, 所以1(1)(1)n n nS n S n n +-+=+,所以111n n S Sn n+-=+,………………………………………………3分即数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差,1为首项的等差数列.……………………………………………………4分 所以nS n n=,即2n S n =,得121(2)n n n a S S n n -=-=-≥,………………………………………5分 又由11a =,所以21()n a n n N *=-∈.…………………………………………………………………6分解法2:由1111n n n n S n S S a n ++++=-=+,可得11(1)(1)n n S n n n a ++++=+, 当2n ≥时,(1)n n S n n na +-=,两式相减,得112(1)n n n a n n a na +++=+-,整理得12n n a a +-=, 在111n n S n a n +++=+中,令2n =,得2212Sa +=,即22122a a ++=,解得23a =,212a a ∴-=, 所以数列{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列,12(1)21n a n n ∴=+-=-.(2)由(1)可得2122n n n n a n b -==,……………………………………………………………………7分 所以231135232122222n n nn n T ---=+++++, ①……………………………………………………8分则234111352321222222n nn n n T +--=+++++, ②……………………………………………………9分 -①②,得2341112222212222222n n n n T +-=+++++-,……………………………………………10分整理得1113221323222222n n n n n n T ++-+=--=-,…………………………………………………………11分所以2332n nn T +=-.……………………………………………………………………………………12分 18.(12分)某中学为了解中学生的课外阅读时间,决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生,对他们的课外阅读时间进行问卷调查.现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类:A 类(不参加课外阅读),B 类(参加课外阅读,但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时),C 类(参加课外阅读,且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时).调查结果如下表:(1)求出表中x ,y (2(3)从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况,记X 为抽取的这3名女生中A 类人数和C 类人数差的绝对值,求X 的数学期望.附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.18.解析:(1)设抽取的20人中,男、女生人数分别为12,n n ,则122012001220002080082000n n ⨯⎧==⎪⎪⎨⨯⎪==⎪⎩,……1分所以12534x =--=,………………………………………………………………………………2分8332y =--=.………………………………………………………………………………………3分(2)列联表如下:5分2K 的观测值220(4628)100.159 2.70612814663k ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯, 所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关.……………………………………………7分(3)X 的可能取值为0,1,2,3,则311132333819(0)56C C C C P X C +===,……………………………………………………………………8分 3121122133322323383(1)7C C C C C C C C P X C +++===,………………………………………………………9分 21212333383(2)14C C C C P X C +===,………………………………………………………………………10分33381(3)56C P X C ===,……………………………………………………………………………………11分所以193131510123567145656EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.………………………………………………………12分 19.(12分)如图,在五面体ABCDFE 中,底面ABCD 为矩形,//EF AB ,BC FD ⊥,过BC 的平面交棱FD 于P ,交棱FA 于Q .(1)证明://PQ 平面ABCD ;(2)若,,2,CD BE EF EC CD EF BC tEF ⊥===,求平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角的大小.ABCDEF PQ19.(1)证明:因为底面ABCD 为矩形,所以//AD BC ,又因为AD ⊂平面ADF ,BC ⊄平面ADF ,所以//BC 平面ADF ,……………………………………………………………………………………2分 又因为BC ⊂平面BCPQ ,平面BCPQ平面ADF PQ =,所以//BC PQ ,…………………………4分又因为PQ ⊄平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,所以//PQ 平面ABCD .…………………………6分 (2)解:,,CD BE CD CB BE CB B ⊥⊥=,CD ∴⊥平面BCE ,又因为CE ⊂平面BCE ,所以CD CE ⊥;因为,,BC CD BC FD CD FD D ⊥⊥=,所以BC ⊥平面CDFE ,所以BC CE ⊥,以C 为坐标原点,,,CD CB CE 所在方向为,,x y z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系C xyz -,设1EF CE ==,则(2,,0),(2,0,0),(1,0,1)A t D F ,所以(0,,0),(1,,1)AD t AF t =-=--…………7分设平面ADF 的一个法向量为(,,)n x y z =,则0n AD ty n AF x ty z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩,令1x =,得(1,0,1)n =…9分易知平面BCE 的一个法向量为(1,0,0)m =,…………………………………………………………10分 设平面ADF 与平面BCE 所成的锐二面角为θ,则2cos 2n m n mθ⋅==⋅,……………………………11分 所以4πθ=,故平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角为4π.20.(12分)已知F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点,点(2,3)P 在C 上,且PF x ⊥轴.(1)求C 的方程;(2)过F 的直线l 交C 于,A B 两点,交直线8x =于点M .判定直线,,PA PM PB 的斜率是否依次构成等差数列?请说明理由.20.解:(1)因为点(2,3)P 在C 上,且PF x ⊥轴,所以2c =………………………………………1分由22224914a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩,得221612a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,…………………………………………………………………………4分 故椭圆C 的方程为2211612x y +=.…………………………………………………………………………5分 (2)由题意可知直线l 的斜率存在,设直线l 的的方程为(2)y k x =-,令8x =,得M 的坐标为(8,6)k .……………………………………………………………………6分由2211612(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,得2222(43)1616(3)0k x k x k +-+-=.…………………………………………7分 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有221212221616(3),4343k k x x x x k k -+==++.①…………………………8分设直线,,PA PM PB 的斜率分别为123,,k k k , 从而121231233631,,22822y y k k k k k x x ---====----.……………………………………………………9分 因为直线AB 的方程为(2)y k x =-,所以1122(2),(2)y k x y k x =-=-,所以12121212121233113222122y y y y k k x x x x x x ⎛⎫--+=+=+-+ ⎪------⎝⎭1212124232()4x x k x x x x +-=-⨯-++. ②……………………………………………………………………10分把①代入②,得2212222216443232116(3)3244343k k k k k k k k k k -++=-⨯=---+++.………………………………11分 又312k k =-,所以1232k k k +=,故直线,,PA PM PB 的斜率成等差数列.…………………………12分21.(12分)设函数()(1)1xxf x xe a e =+-+. (1)求函数()f x 的单调区间;(2)若函数()f x 在(0,)+∞上存在零点,证明:2a >.21.(1)解:函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞,…………………………………………………………1分 因为()(1)1xxf x xe a e =+-+,所以()(1)xf x x a e '=+-.…………………………………………2分 所以当1x a >-时,()0f x '>,()f x 在(1,)a -+∞上是增函数;当1x a <-时,()0f x '<,()f x 在(,1)a -∞-上是减函数.……………………………………4分 所以()f x 在(1,)a -+∞上是增函数,在(,1)a -∞-上是减函数.…………………………………5分 (2)证明:由题意可得,当0x >时,()0f x =有解,即1(1)11111x x x x x xe x e x x a x e e e +-+-+===+---有解.………………………………………………6分 令1()1x x g x x e +=+-,则221(2)()1(1)(1)x x x x x xe e e x g x e e ----'=+=--.…………………………………………7分 设函数()2,()10xxh x e x h x e '=--=->,所以()h x 在(0,)+∞上单调递增.又2(1)30,(2)20h e h e =-<=->,所以()h x 在(0,)+∞上存在唯一的零点.………………………8分 故()g x '在(0,)+∞上存在唯一的零点.设此零点为k ,则(1,2)k ∈.………………………………9分 当(0,)x k ∈时,()0g x '<;当(,)x k ∈+∞时,()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞上的最小值为()g k .………………………………………………………………10分又由()0g k '=,可得2ke k =+,所以1()1(2,3)1kk g k k k e +=+=+∈-,…………………………11分 因为()a g x =在(0,)+∞上有解,所以()2a g k >≥,即2a >.………………………………12分解法2:(2)证明:由题意可得,当0x >时,()0f x =有解,由(1)可知()f x 在(1,)a -+∞上是增函数,在(,1)a -∞-上是减函数,且(0)1f =.①当10a -<,即1a <时,()f x 在(0,)+∞上单调递增,所以当0x >时,()(1)1f x f >=,不符合题意; ②当10a ->,即1a >时,()f x 在(0,1)a -上单调递减,在(1,)a -+∞上单调递增,所以当1x a =-时,()f x 取得最小值(1)f a -,由题意可知111(1)(1)(1)110≤a a a f a a e a e a e ----=-+-+=-+,设1()1(1)x g x x ex -=-+>,则1()10x g x e -'=-<,所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递减,又(2)30g e =->,而()≤0g a ,所以2a >.(二)选考题:共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为5cos 55sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数).M 是曲线1C 上的动点,将线段OM 绕O 点顺时针旋转90︒得到线段ON ,设点N 的轨迹为曲线2C .以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线12,C C 的极坐标方程; (2)在(1)的条件下,若射线(0)3πθρ=≥与曲线12,C C 分别交于,A B 两点(除极点外),且有定点(4,0)T ,求TAB △的面积.22.解:(1)由题设,得1C 的直角坐标方程为22(5)25x y +-=,即22100x y y +-=,…………2分 故1C 的极坐标方程为210sin 0ρρθ-=,即10sin ρθ=.………………………………………………3分 设点(,)(0)N ρθρ≠,则由已知得,2M πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭,代入1C 的极坐标方程得10sin()2πρθ=+,即10cos (0)ρθρ=≠.……………………………………………………………………………………5分(2)将3πθ=代入12,C C 的极坐标方程得,5,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,………………………………7分 又因为(4,0)T ,所以1sin 1523TOA S OA OT π=⋅=△,………………………………………………8分 1sin 23TOB S OB OT π=⋅=△,……………………………………………………………………9分所以15TAB TOA TOB S S S =-=-△△△10分 23.[选修4—5:不等式选讲](10分) 已知函数()22(0)f x x m x m m =+-->. (1)当12m =时,求不等式1()2f x ≥的解集; (2)对于任意的实数x ,存在实数t ,使得不等式()34f x t t +-<+成立,求实数m 的取值范围.23.解:因为0m >,所以3,()223,3,x m x mf x x m x m x m m x m x m x m --⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-+⎩≤≥.……………………1分(1)当12m =时,31,22111()3,,22231,22x x f x x x x x ⎧--⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+⎪⎩≤≥ …………………………………………………………2分所以由1()2f x ≥,可得31,2212x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≥≤或113,221122x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩≥ 或312212x x ⎧-+⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≥,…………………………3分解得1132x <≤或112x ≤≤,………………………………………………………………………………4分 故原不等式的解集为113xx ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤.………………………………………………………………………5分 (2)因为()34()43f x t t f x t t +-<+⇔+--≤,令()43g t t t =+--,则由题设可得max max ()()≤f x g t .…………………………………………6分由3,()3,3,x m x mf x x m m x m x m x m --⎧⎪=--<<⎨⎪-+⎩≤≥,得max ()()2f x f m m ==.……………………………………7分因为43(4)(3)7t t t t +--+--=≤,所以7()7g t -≤≤.……………………………………8分 故max ()7g t =,从而27m <,即72m <,………………………………………………………………9分 又已知0m >,故实数m 的取值范围是70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.…………………………………………………………10分。