云南省昆明市高一数学上学期期末考试试题
云南省高一上学期期末学业水平考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ） {}2,3,4A ={}1,3,5B =A B = A ． B ．C ．D ．∅{}3{2,4}{1,2,3,4,5}【答案】B【分析】利用交集的定义直接求解即可.【详解】∵集合，，∴. {}2,3,4A ={}1,3,5B ={}3A B ⋂=故选：B ．2．设，则“”是“”的（ ） x ∈R 1x >2x x >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解不等式得的范围，依据小范围推出大范围的原则判定充分必要条件. 2x x >x 【详解】由，解得或，2x x >0x <1x >故由能够推出；由不能够推出， 1x >2x x >2x x >1x >故“”是“”的充分不必要条件， 1x >2x x >故选：A ．3．已知则（ ） ()()πcos ,2422,2x x f x f x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩()3f =A ．BCD ．【答案】C【分析】根据自变量应用分段函数,再由特殊角求解函数值即可. 【详解】 ()()π3212cos 24f f ====故选:C.4．设，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） a = 1.12b =2log 3c =A ． B ． b a c >>c b a >>C ． D ．b c a >>a b c >>【答案】A【分析】根据指数对数函数单调性计算，，，得到答案. 2a =2b >2c <【详解】，，，故.2a == 1.122b =>22log 3log 42c =<=b a c >>故选：A5．已知集合，集合，下列图象能建立从集合A 到集合B 的函数关{}04A x x =≤≤{}02B x x =≤≤系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】存在点使一个与两个对应，A 错误；当时，没有与之对应的，B 错误；x y 24x <≤y y 的范围超出了集合的范围，C 错误；选项D 满足函数关系的条件，正确，得到答案. B 【详解】对选项A ：存在点使一个与两个对应，不符合，排除； x y 对选项B ：当时，没有与之对应的，不符合，排除； 24x <≤y 对选项C ：的范围超出了集合的范围，不符合，排除； y B 对选项D ：满足函数关系的条件，正确. 故选：D6．在中，已知（ ）ABC A πsin 4A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭πcos 4A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A B ． C ．D 【答案】A 【分析】由结合诱导公式求解即可. 2πππ=44A A ⎛⎫++- ⎪⎝⎭【详解】. ππππcos cos sin 4244A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=--=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：A.7．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单()y f x =e x y =y x =()243y f x x =-+调递增区间为（ ）A ．B ．C ．D ．(),1-∞(),2-∞()2,+∞()3,+∞【答案】D【分析】由题意，函数与互为反函数，求得，然后根据复合函数单调性的性质()y f x =e x y =()f x 得出答案.【详解】由题意，函数与互为反函数，则，()y f x =e x y =()ln f x x =所以，()()2243ln 43y f x x x x =-+=-+由，解得或，即函数的定义域为或， 2430x x -+>1x <3x >{|1x x <3}x >令，243u x x =-+当时，单调递减；当时，单调递增， 1x <u 3x >u 又在上单调递增，ln y u =(0,)+∞所以的单调递增区间为.()243y f x x =-+()3,+∞故选：D.8．数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构､建筑物､国旗､绘画､优选法等美的共性与黄金分割相关，古希腊的毕达哥拉斯学派发现了黄金分割常数约0.618，该值也可用三角函数2sin18m =︒（ ）=A ．2 B ．C ．D ．122-12-【答案】C【分析】根据同角三角函数关系和诱导公式,二倍角公式化简求值即可.sin2162sin182cos18==︒⨯︒︒. ()2sin216sin 12sin362sin362sin36380sin 636︒︒︒===︒+-︒︒=-︒故选：C.二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．若点在第三象限，则α是第二象限角()tan ,cos P ααB ．角θ的终边与圆心在原点､半径为r 的圆的交点为()cos ,sin r r θθC （其中r 为半径）2π3r D ．钟表时针走过2小时，则时针转过的角的弧度数为3π【答案】ABC【分析】由三角函数在各象限的符号可判断A ；由三角函数的定义可判断B ；由弧长公式可判断C ；由任意角的概念可判断D.【详解】若点在第三象限，则，则α是第二象限角，故A 正确； ()tan ,cos P ααtan 0,cos 0αα<<设角θ的终边与圆心在原点､半径为r 的圆的交点坐标为，由三角函数的定义可知，(),x y ，则，即交点坐标为，故B 正确； cos ,sin y xr rθθ==cos ,sin x r y r θθ==()cos ,sin r r θθ，则弧长为，故C 正确； 2π32π3r 钟表时针走过2小时，则时针转过的角的弧度数为，故D 错误.π3-故选：ABC.10．已知a ，，且，则下列不等式成立的是（ ） R b ∈0ab >A ．B ．C ．D ．2a b+≥222a b ab +≤2b aa b+≥22ab a ba b +≤+【答案】BC【分析】根据不等式的性质结合基本不等式判断各选项即可确定正误.【详解】对于A ，因为，故当时，不等式不成立，故A 不正确； 0ab >0,0a b <<2a b+≥对于B ，因为，所以恒成立，当且仅当时，等号成立，故B 正确；0ab >222a b ab +≤a b =对于C ，因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，故0ab >0,0a b b a >>2b a a b +≥=a b =C 正确；对于D ，因为，所以，当时满足，但，此时222a b ab +≥()24a b ab +≥0,0a b <<0ab >0a b +<，故D 不正确. 22a b aba b+≤+故选：BC.11．将函数的图象向左平移个单位长度，得函数的图())2sin sin 1f x xx x ωωω=+-π4ω()g x 象，若在区间内恰有两个最值（即最大值和最小值），则ω可能的取值为（ ）()g x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．1B ．C ．D ．7653136【答案】CD【分析】化简，然后根据图像变换得出，根据()π2sin 26f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()π2sin 23x g x ω⎛⎫+ ⎪=⎝⎭得出，最后根据正弦函数性质得出，通过计算得π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πππ2,π333x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭3ππ22π5π3ω<+≤出范围，判断即可. ω【详解】())2sin sin 12cos 2f xx x xx x ωωωωω-=+-=， 1π22cos 22sin 226x x x ωωω⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭向左平移个单位长度，得到函数， π4ω()πππ2sin 22sin 2463x x g x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝=⎭⎝⎭⎣⎦因为，所以，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πππ2,π333x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭因为在内恰有两个最值，()g x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭所以，解得，故C 、D 满足. 3ππ22π5π3ω<+≤71366ω<≤故选：CD.12．德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始人，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为，狄利克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数有以下四个命题，其中()D x 真命题是（ ） A ．函数是奇函数 B ．， ()D x ,R ∃∈x y ()()()D xy D x D y =+C ．函数是偶函数 D ．，，()()D D x R x ∀∈Q a ∈()()D a x D a x +=-【答案】BCD【分析】选项A ：若是有理数，可得，可知不是奇函数；选项B ：当x ()()2D x D x +-=()D xC ：分两种情况讨论得，由偶函数的定义判x y ==R,(())1x D D x ∀∈=断；选项D ：分两种情况讨论，若是有理数，得；若是无理数，得x ()()1D a x D a x +=-=x .()()0D a x D a x +=-=【详解】若是有理数，则也是有理数，可得，则不是奇函数，故x x -()()112D x D x +-=+=()D x A 错误；当，，，此x y =()0D xy D D ===()0D x D ==()0D D y ==时，故B 正确；()()()D xy D x D y =+若是有理数，则；若是无理数，，则x ()1,(())(1)1D x D D x D ===x ()0,(())(0)1D x D D x D ===，又，则，因此，所以函数是R,(())1x D D x ∀∈=R x -∈(())1D D x -=(())(())D D x D D x -=()()D D x 偶函数，故C 正确；若是有理数，，则均是有理数，故；若是无理数，x Q a ∈,a x a x +-()()1D a x D a x +=-=x Q a ∈，则均是无理数，故，所以，，,a x a x +-()()0D a x D a x +=-=R x ∀∈Q a ∈()()D a x D a x +=-，故D 正确． 故选：BCD.三、填空题13．定义：角与都是任意角，若满足，则称α与β“广义互余”，已知，若αβπ2αβ+=1sin 2θ=-角与角 “广义互余”，则角___________.（写出满足条件的一个角的值即可） ϕθϕ=ϕ【答案】（答案不唯一） 2π3【分析】根据“广义互余”定义及特殊角三角函数值,求解即可. 【详解】因为,所以或， 1sin 2θ=-π2π6k θ=-+7π2π,Z 6k k θ=+∈根据“广义互余”定义, , π2θϕ+= 所以或， 2π2π3k ϕ=-()2π2πZ 3k k ϕ=--∈可取等,答案不唯一. 2π3ϕ=故答案为：. 2π314．已知是定义在上的奇函数，当时，，则___________.()f x R 0x >()12f x x -=()4f -=【答案】##－0.512-【分析】根据奇函数的定义，结合已知函数解析式求解即可. 【详解】因为为定义在上的奇函数， ()f x R 所以.()()1214442f f --=-=-=-故答案为：.12-15．小明在学习在二分法后，利用二分法研究方程在（1，3）上的近似解，经过两次3410x x -+=二分后，可确定近似解所在的区间为___________. 0x 【答案】3,22⎛⎫⎪⎝⎭【分析】设，计算，，，，得到答案.()341f x x x =-+()10f <()30f >()20f >302f ⎛⎫< ⎪⎝⎭【详解】设，则，，()341f x x x =-+()114120f =-+=-<()333431160f =-⨯+=>，；，， 1322+=()288110f =-+=>12322+=32713610288f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭故近似解所在的区间为.0x 3,22⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：3,22⎛⎫⎪⎝⎭四、双空题 16．已知是定义在区间的函数，则函数的零点是___________；若方()1610f x x x=+-()0,∞+()f x 程有四个不相等的实数根，，，，则___________. ()()0f x m m =>1x 2x 3x 4x 1234x x x x +++=【答案】 2，8 20 【分析】解方程，即可求得函数的零点；将方程四16()100f x x x=+-=()y f x =()()0f x m m =>个不相等的实数根问题转化为利用二次方程根与系数的关系，可得结论； 【详解】由题意可知，令，即，解得或， 16()100f x x x=+-=210160x x -+=2x =8x =故函数在内的零点为和；()0,∞+28方程有四个不相等的实数根，， ()()0f x m m =>123,,x x x 4x 即为与的四个交点的横坐标， ()()0,,y f x x ∞=∈+y m =方程即，，即， ()()0f x m m =>|0|161x m x+-=()0,x ∈+∞2|1016|x x mx -+=当即时，方程可转化为即； ()0f x ≥210160x x -+≥21016x x mx -+=2(10)160x m x -++=当时，方程可转化为即； 210160x x -+<21016x x mx -+=-2(10)160x m x --+=故要有四个实数根，则两种情况都有两个不同的实数根， 不妨设为的两根，则，14,x x 2(10)160x m x -++=1410x x m +=+则为的两根，则， 23,x x 2(10)160x m x --+=2310x x m +=-则； 1234101020x x x x m m +++=-++=故答案为: 2，8; 20.五、解答题17．从①，②，③，这三个条件中任选101x A xx ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭11222xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭{}2log (1)1A x x =+<一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答．问题：已知集合___________，集合． {}221B x a x a =-≤≤+(1)当时，求，；12a =-A B ⋃()R A B ð(2)若，求实数a 的取值范围．A B B ⋃=【答案】(1)，.512A B x x ⎧⎫⋃=-≤<⎨⎬⎩⎭(){}R 01A B x x ⋂=<<ð(2) []0,1【分析】（1）若选①：先根据分式不等式的解法求解出集合，代入的值求解出集合，然后根A a B 据集合的运算求解；若选②：先根据指数函数的单调性求解出集合，代入的值求解出集合，A a B 然后根据集合的运算求解；若选③：先根据对数函数的单调性求解出集合，代入的值求解出集A a 合，然后根据集合的运算求解；B （2）根据得到，由此列出关于的不等式组，求解出的取值范围．A B B ⋃=A B ⊆a a 【详解】（1）若选①：因为， ()(){}{}10110111x A xx x x x x x ⎧⎫-=<=+-<=-<<⎨⎬+⎩⎭当时，，12a =-502B x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭因为，所以，{}11A x x =-<<512A B x x ⎧⎫⋃=-≤<⎨⎬⎩⎭又因为或，所以.R {B x x =<ð52-0}x >(){}R 01A B x x ⋂=<<ð若选②：，{}11111121122222x x A x x x x -⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<<=<<=-<<⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭当时，，12a =-502B x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭因为，所以，{}11A x x =-<<512A B x x ⎧⎫⋃=-≤<⎨⎬⎩⎭又因为或，所以.R {B x x =<ð52-0}x >(){}R 01A B x x ⋂=<<ð若选③：，{}{}{}{}222log (1)1log (1)log 201211A x x x x x x x x =+<=+<=<+<=-<<当时，，12a =-502B x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭因为，所以，{}11A x x =-<<512A B x x ⎧⎫⋃=-≤<⎨⎬⎩⎭又因为或，所以.R {B x x =<ð52-0}x >(){}R 01A B x x ⋂=<<ð（2）由（1）可知，， {}11A x x =-<<因为，所以，故，A B B ⋃=A B ⊆B ≠∅所以，解得：，21211221a a a a -≤-⎧⎪+≥⎨⎪-≤+⎩01a ≤≤故实数的取值范围为．a []0,118．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：()11,A x y ()22,B x y ()1212,d A B xx y y =-+-()cos ,A B =()1cos ,A B -(1)若，，求A ，B 之间的曼哈顿距离和余弦距离；()1,2A -34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭(),d A B (2)已知，，，若，，()sin ,cos M αα()sin ,cos N ββ()sin ,cos Q ββ-()1cos ,5M N =()2cos ,5M Q =求的值tan tan αβ【答案】(1)，1451(2) 3-【分析】（1）根据公式直接计算即可.（2）根据公式得到，，计算得到答案.1sin sin cos cos 5αβαβ+=2sin sin cos cos 5αβαβ-=【详解】（1）， ()3414,12555d A B =--+-=，故余弦距离等于 ()34cos ,55A B ==()1cos ,1A B -=（2）()cos ,M N =；1sin sin cos cos 5αβαβ=+=()cos ,M Q =+2sin sin cos cos 5αβαβ=-=故，，则. 3sin sin 10αβ=1cos cos 10αβ=-sin sin tan tan 3cos cos αβαβαβ==-19．给定函数，，.()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()241g x x x =-++x ∈R (1)在同一直角坐标系中画出函数和的图象；()f x ()g x(2)，用表示，中的最大者，记为，试判断x ∀∈R ()M x ()f x ()g x ()()(){}max ,M x f x g x =()M x 在区间的单调性. (],a -∞【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据指数函数与一元二次函数的图像得出答案；（2）根据图像结合的定义得出其单调性，即可分类讨论的范围得出答案.()M x a 【详解】（1），图象如图所示，()f x ()g x（2）由（1）及的定义得，在单调递减，在单调递增，在单调递()M x ()M x (],0-∞[]0,2[)2,+∞减所以当时，在单调递减，0a ≤()M x (],a -∞当时，在单调递减，在单调递增，02a <≤()M x (],0-∞[]0,a 当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减.2a >()M x (],0-∞[]0,2[]2,a 20．小美同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭表并填入了部分数据，如下表.x ωϕ+0 2π π 32π 2πx 3π56π ()sin A x ωϕ+0 3 -3 0(1)请将上表数据补充完整并求出函数的解析式；()f x (2)若，求函数的单调递增区间： ()16g x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=()g x(3)若，求不等式成立的x 的取值集合. ()16g x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=()52g x ≥【答案】(1)表格答案见解析， ()π3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)单调递增区间为， ,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z (3) 3x k x k k πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ，【分析】（1）根据五点法列式求得解析式参数； （2）写出解析式，由整体法求单调区间；()g x （3）由整体法解不等式.【详解】（1）根据表中已知数据可得，由得，再由解得3A =12π5ππ263ω⨯=-2ω=ππ232ϕ⨯+=，所以. π6ϕ=-()π3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭表格数据补全如下：x ωϕ+0 2π π 32π 2πx 12π3π712π 56π 1312π ()sin A x ωϕ+0 3 0 -3 0（2）由题意， ()13sin 2166g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，，解得，，222262k x k πππππ-+≤+≤+k ∈Z 36k x k ππππ-+≤≤+k ∈Z 所以函数的单调递增区间为，， ()g x ,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z （3）由，即， ()53sin 2162g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭≥1sin 262x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭所以，解得，， 5222666k x k πππππ+++≤≤3k x k πππ≤≤+k ∈Z 所以不等式成立的x 的取值集合为. 3x k x k k πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ，21．2022年10月31日下午，长征五号B 运载火箭点火起飞，成功将中国空间站的第二个实验舱“梦天实验舱”送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．作为“空间站舱段运输专列”，长征五号B 运载火箭是我国目前近地轨道运载能力最大的火箭，具有强大的“爆发力”和“带货能力”．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v （单位：）可用公式进行计算，其中（单km/s 0ln M v v m=0v 位：）是喷流相对速度，m （单位；吨）是火箭（除推进剂外）的质量，M （单位；吨）是推km/s 进剂和火箭质量的总和，称为总质比．已知X 型火箭的喷流相对速度为2. M mkm/s (1)已知X 型火箭的质量约为115吨，推进剂的质量约为736吨，利用给出的参考数据求X 型火箭的最大速度； (2)经过材料更新和技术改进，X 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍，总质比变为原来的14，若要使火箭的最大速度至少增加1，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值. km/s 参考数据：，，.ln 6.4 1.86≈ln 7.42≈0.51.64e 1.65<<【答案】(1)4km/s (2)27【分析】（1）将，，代入计算即可；02v =115m =115736851M =+=（2）由题意，经过材料更新和技术改进后，X 型火箭的喷流相对速度为4，总质比为，km/s 4M m 要使火箭的最大速度至少增加1，则需，解不等式即可. km/s 4ln 2ln 14M M m m-≥【详解】（1）由题意，，，，02v =115m =115736851M =+=所以， 0851ln 2ln 2ln 7.44115M v v m ===≈所以X 型火箭的最大速度约为4.km/s （2）由题意，经过材料更新和技术改进后，X 型火箭的喷流相对速度为4，总质比为， km/s 4M m 要使火箭的最大速度至少增加1，则需， km/s 4ln 2ln 14M M m m -≥所以，整理得， 22ln ln 14M M m m ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥2ln 116M m ≥所以，则， 0.5e 16M m ≥0.516e M m≥由参考数据知，，所以，0.51.64e 1.65<<0.526.2416e 26.4<<所以材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为27.22．设是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是A ()y f x =0x A ∈()00f x x =0x 的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点，例如的“不动点”满足()f x ()f x A ()21g x x =-，即的“不动点”是.设函数，.()00021g x x x =-=()g x 01x =()()12log 426x x f x a -=+⋅-[]1,2x ∈(1)若，求函数的不动点；2a =()f x (2)若函数在上不存在不动点，求实数的取值范围.()f x []1,2a 【答案】(1)4log 6(2)()4,+∞【分析】（1）根据不动点的定义求解方程即可得函数的不动点；()f x （2）若函数在上不存在不动点，则转化为方程在上无解，整体换()f x []1,214262x x x a -+⋅-=[]1,2元再进行参变分离即可列不等式得实数的取值范围，再检验其是否满足对数函数的定义域即可.a 【详解】（1）根据题目给出的“不动点”的定义，可知：当时，，2a =()()12log 4226x x f x x -=+⋅-=得，所以，所以，4262x x x +-=46x =[]4log 61,2x =∈所以函数在上的不动点为.()f x []1,2x ∈4log 6（2）根据已知，得在区间上无解，()12log 426x x a x -+⋅-=[]1,2所以在上无解，14262x x x a -+⋅-=[]1,2令，，所以， 2x t =[]2,4t ∈262a t t t +-=即在区间上无解， 21602a t t ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭[]2,4所以在区间上无解， 612a t t-=-[]2,4设，所以在区间上单调递增， ()6g t t t=-()g t []2,4故 ()51,2g t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以或，所以或， 5122a ->112a -<-3a <-4a >又因为在区间上恒成立，14260x x a -+⋅->[]1,2所以在区间上恒成立， 2226x x a -<-[]1,2所以，则12a-<-2a >综上，实数a 的取值范围是.()4,+∞。
云南省昆明市西山区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷
云南省昆明市西山区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．B ．C ．D ．7．如图，为满足居民健身需求，某小区计划在一块直角三角形空地中建一个内接矩形健身广场（阴影部分），则健身广场的最大面积为（ ）A ．232.5mB ．236mC ．237.5m D ．240m 8．设函数()2e 1,32,x x tf x x x x tì->=í++£î，若()f x 恰有两个零点，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(0,2)B ．(,1)[1,2)-¥-UC．[2,1]U--+¥-D．[2,1)[0,)四、解答题17．已知全集U =R ，集合{}{}2|123,|230A x a x a B x x x =-<<+=--£．(1)当2a =时，求()UA B U ð；(2)若A B Í，求实数a 的取值范围．18．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x <时，()22f x x x =+．【详解】作出函数e 1x y =-以及232y x x =++的图象，e 1x y =-的零点为0，232y x x =++的零点为1,2--，由于函数()2e 1,32,x x tf x x x x tì->=í++£î恰有两个零点，结合图象可知，当0t ³时，x t >时，()e 1x f x =-无零点，当x t £时，()232f x x x =++有零点为1,2--，此时()2e 1,32,x x tf x x x x t ì->=í++£î恰有两个零点，符合题意；当10t -£<时，x t >时，()e 1x f x =-有零点0，当x t £时，()232f x x x =++有零点为1,2--，此时()2e 1,32,x x tf x x x x tì->=í++£î恰有三个零点，不符合题意；当21t -£<-时，x t >时，()e 1x f x =-有零点0，当x t £时，()232f x x x =++有零点为2-，此时()2e 1,32,x x tf x x x x tì->=í++£î恰有两个零点，符合题意；则{}|17A B x x È=-£<；又U =R ，所以{()|1UA B x x È=<-ð或}7x ³.（2）若A B Í，当A =Æ，即123a a -³+，即4a £-；当A ¹Æ时，应满足11233123a a a a -³-ìï+£íï-<+î，解得0a =；综上知，实数a 的取值范围是(]{},40-¥-È.18．(1)图象见解析(2)()222,00,02,0x x x f x x x x x ì-+>ï==íï+<î；()f x 的值域为R ；单调递增区间为：[1,1]-；递减区间为：(,1],[1,)-¥-+¥.【分析】（1）根据函数的奇偶性以及0x <时的解析式，即可作出函数图象；（2）根据函数的奇偶性以及0x <时的解析式，即可求得其解析式；数形结合，可求得其值域以及单调区间.【详解】（1）作出函数图象如图：（2）由题意知定义在R上的奇函数()f x，当则0x=时，(0)0f=；结合求解．。
云南省昆明市高一上学期数学期末考试试卷
云南省昆明市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2017高二下·西城期末) 设集合A={x|x2＞x}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A . {0，2}B . {0，1}C . {﹣1，2}D . {1，2}2. （1分）已知幂函数f(x)过点，则函数f(x)的表达式为（）A .B .C .D .3. （1分） (2016高一下·黄陵开学考) 已知f（x）=ax5+bx﹣ +2，f （2）=4，则 f（﹣2）=（）A . 0B . 1C . 2D . 34. （1分） (2016高一下·郑州期中) 设cos（α+π）= （π＜α＜），那么sin（2π﹣α）的值为（）A .B .C . ﹣D . ﹣5. （1分） (2016高一上·绵阳期中) 若a= ，b= ，则a+b的值为（）A . 1B . 5C . ﹣1D . 2π﹣56. （1分）若命题“使得”为假命题，则实数m的取值范围是（）A .B .C .D .7. （1分）若sinx﹣2cosx=，则tanx=（）A . -B .C . 2D . -28. （1分） (2016高一下·太谷期中) α，β都是锐角，且，，则sinβ的值是（）A .B .C .D .9. （1分）设集合，集合B={x|x2+（a+2）x+2a＞0}，若A⊆B，则a的取值范围（）A . a≥1B . 1≤a≤2C . a≥2D . 1≤a＜210. （1分）将函数y＝f(x)·sinx的图象向右平移个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到函数y＝1－2sin2x的图象，则f(x)可以是（）．A . sinxB . cosxC . 2sinxD . 2cosx11. （1分）已知函数是R上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，＞0，则的值（）A . 恒为正数B . 恒为负数C . 恒为0D . 可正可负12. （1分）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则满足的x的值是（）A . 2nB . 2n-1C . 4n+1D . 4n-1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高三上·泰州期中) sin20°cos10°+cos20°sin10°=________．14. （1分） (2020高三上·黄浦期末) 已知函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，若f（x）＝x+log2（2x+2），则满足f（x）＞log23＞g（x）的x的取值范围是________.15. （1分）若锐角的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于________ 。
2023昆明市数学高一上册期末试卷
2023昆明市数学高一上册期末试卷一、选择题1．设集合A ＝{x |﹣2＜x ＜4}，B ＝{2，3，4，5}，则()A B =R （ ）A ．{2}B ．{4，5}C ．{3，4}D ．{2，3}2．函数11lg x x y =+-的定义域是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(1,)+∞C ．()0,11(),⋃+∞D ．[)0,11(),⋃+∞3．若sin 0α<，且cos 0α>，则角α是（ ）A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角4．在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()3,4P -，那么sin 2cos θθ+=（ ）A ．15B ．15-C ．25-D ．255．若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ） A ．01a <<B ．11a e<<C ．111a e-<<D ．111a e+<<6．中国的5G 技术领先世界，5G 技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C 取决于信道带宽W ，经科学研究表明：C 与W 满足2log (1)SC W N=+，其中S 是信道内信号的平均功率，N 是信道内部的高斯噪声功率，SN为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ）(附：lg 20.3010≈) A ．10%B ．20%C ．30%D ．40%7．已知函数(32()log 31xf x x =-+，若()2(21)22f a f a -+-≤-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,2]B ．[0,2]C ．[3,1]-D ．[4,1]-8．已知函数221,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩，若函数()y f x k =-有三个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．(2,1]--B ．[2,1]--C ．[1,2]D ．[1,2)二、填空题9．已知函数()2121x x f x -=+，下面说法正确的有（ ）A ．()f x 的图像关于原点对称B ．()f x 的图像关于y 轴对称C ．()f x 的值域为()1,1-D ．12,x x R ∀∈，且()()121212,0f x f x x x x x -≠>-10．命题“[]1,3x ∀∈，20x a -≤”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．8a ≥B ．9a ≥C ．10a ≥D ．11a ≥11．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2c b a b =+，则以下结论正确的是（ ） A ．c b >B ．2C B =C ．a c >D ．04B π<<12．关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（ ）．A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值为三、多选题13．已知集合{}2,3A =，{}1B x ax ==，若A B B =，则实数a 的所有可能的取值组成的集合为_________.14．函数()2xf x =和()3g x x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点()11,A x y ，()22,B x y ，且12x x <．若[]1,1x a a ∈+，[]2,1x b b ∈+，且a ，{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12b ∈，则a b +=__________．15．对于函数()f x ，()g x ，设(){}0m x f x ∈=，(){}0n x g x ∈=，若存在m ，n 使得1m n -<，则称()f x 与()g x 互为“近邻函数”.已知函数()()13log 2e x f x x -=+-与()1422x x g x a +=⋅-+互为“近邻函数”，则实数a 的取值范围是______.（e 是自然对数的底数）16．已知函数()1()lg 2xf x m -=+，m R ∈.任取12,[,2]x x t t ∈+，若不等式()()12||1f x f x -<对任意[2,1]t ∈--恒成立，则实数m 的取值范围是________.四、解答题17．已知集合{}()(23)0A x x m x m =+-+<，其中m ∈R ，集合203x B xx ⎧⎫-=>⎨⎬+⎩⎭. （1）当1m =-时，求A B ；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.18．函数()πsin 16f x A x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，（0A >，0>ω）的最大值为3．其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2．（1）求函数()f x 的解析式； （2）当π4x =时，求()f x 的值．19．已知定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x >时，()1213xx f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．20．已知某海滨天然浴场的海浪高度y (单位：米)是时间t (单位：小时，0≤t ≤24)的函数，记作y =f (x ).如下表是某口各时段的浪高数据：（）从,,,0,0()y at b y at bt c y Acos t b A ωω=+=++=+>>中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；（2）依据规定，当海浪高度高于1.25米时才对冲浪爱好者，若海滨浴场全天二十四小时营业，对游客，请依据（1）的结论求出一天内共有多长时间可供冲浪爱好者进行活动.21．已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）.（1）证明：()()()1212222f x f x f x x +≥+；（2）若()12f x =，()23f x =，()128f x x =，求a 的值； （3）x ∀∈R ，()212xx f x -+≤恒成立，求a 的取值范围.22．已知函数()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数()13log g x x =.（1）若函数()22y g mx mx =++的定义域为R ，求实数m 的取值范围； （2）是否存在非负实数,m n ，使得函数()2y g f x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为[],m n ，值域为[]2,2m n ，若存在，求出,m n 的值；若不存在，则说明理由；（3）当[]1,1x ∈-时，求函数()()223y f x af x =-+⎡⎤⎣⎦的最小值()h a .【参考答案】一、选择题 1．B 【分析】首先根据题意得到{|2R A x x =≤-或}4x ≥，再求()R A B ⋂即可. 【详解】{}|24A x x =-<<，所以{|2R A x x =≤-或}4x ≥. 所以(){}4,5R A B =2．C 【分析】根据对数式的真数大于零、分式的分母不为零，求解出x 的取值范围即为定义域. 【详解】因为010x x >⎧⎨-≠⎩，所以01x <<或1x >，所以函数的定义域为：()()0,11,+∞，故选：C. 【点睛】结论点睛：常见函数的定义域分析： （1）偶次根式下被开方数大于等于零； （2）分式分母不为零； （3）对数式的真数大于零； （4）0y x =中{}0x x ≠. 3．D 【分析】根据任意角的三角函数的定义判断即可； 【详解】解：因为sin 0α<，且cos 0α>，所以角α是第四象限的角 故选：D 4．C 【分析】由三角函数的定义得43sin ,cos 55αα==-,进而得sin 2cos θθ+=25-【详解】解：由三角函数的定义得5r ==，所以43sin ,cos 55αα==-，所以sin 2cos θθ+=25-.故选：C. 5．C先利用导数判断出函数()f x 在区间()1,e 上为增函数，再解不等式(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e=-+>，即得解.【详解】 由题得211()0f x x x '=+>在区间()1,e 上恒成立， 所以函数1()ln f x x a x=-+在区间()1,e 上为增函数， 所以(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e=-+>，可得111a e-<<.故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6．B 【分析】 先计算1000S N =和4000SN=时的最大数据传输速率1C 和2C ，再计算增大的百分比211C C C -即可. 【详解】 当1000SN=时，122log 1001log 1000C W W =≈； 当4000SN=时，222log 4001log 4000C W W =≈. 所以增大的百分比为：2122112log 4000lg 4000lg 4lg10001111log 1000lg1000lg1000C C C W C C W -+=-=-=-=-lg 42lg 220.30100.220%lg100033⨯==≈≈=. 故选：B. 7．C 【分析】先证明()()2f x f x +-=-，可得[]()1()1f x f x +=--+，构造函数()()1g x f x =+可得()()1g x f x =+是奇函数，根据复合函数的性质可判断()()1g x f x =+在R 上单调递增，所解不等式等价于()()2212g a g a -≤-，可得2212a a -≤-，即可求解.【详解】((3322()()log log 3131xx f x f x x x -+-=-+--++ (322log 3131xxx x -=---++()3231223log 102311331x xx xx +⨯=--=-=-+++ 即()()2f x f x +-=-，所以[]()1()1()1f x f x f x +=---=--+， 设()()1g x f x =+，则()()g x g x =--， 可得()()1g x f x =+是奇函数.因为3log y t =和t x =(3log y x =为增函数，因为31x y =+单调递增，所以231x y =-+在R 上单调递增，所以函数(32()log 31x f x x =+-+，在R 上单调递增， 所以()()1g x f x =+在R 上单调递增，由()2(21)22f a f a -+-≤-可得()()22(21)12121f a f a f a ⎡⎤-+≤---=--+⎣⎦，即()()()222122g a g a g a -≤--=-，所以2212a a -≤-，整理得：2230a a +-≤，解得：31x -≤≤ ， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是计算出()()2f x f x +-=-，构造函数()()1g x f x =+是R 上的奇函数且是增函数，原不等式等价于()()2212g a g a -≤-，根据奇偶性和单调性脱掉f 即可求解.8．A 【分析】做出函数()f x 的图像，根据图像即可求解. 【详解】函数()y f x k =-有三个零点， 即()y f x =与y k =有三个交点，()f x 的图像如下：由图像可得21k -<≤- .故选:A【点睛】本题考查函数的零点，利用数形结合转化为两个函数的交点，属于基础题.二、填空题9．ACD 【分析】判断()f x 的奇偶性即可判断选项AB ，求()f x 的值域可判断C ，证明()f x 的单调性可判断选项D ，即可得正确选项. 【详解】21()21x x f x 的定义域为R 关于原点对称, 2122112()()2112212x x x x xxxxf x f x ，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故选项A 正确，选项B 不正确；212122()1212121x x x x x f x +--===-+++，因为20x >，所以211x +>，所以10121x<<+， 22021x--<<+，所以211121x -<-<+，可得()f x 的值域为()1,1-，故选项C 正确； 设任意的12x x <， 则12122112122222222()()1(1)212121212121x x x x x x x x f x f x ，因为1210x +>，2210x +>，12220x x -<，所以()()()121222202121x x x x -<++，即12())0(f x f x -<，所以()()12120f x f x x x ->-，故选项D 正确；故选：ACD 【点睛】利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差12()()f x f x -的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值---作差----变形----定号----下结论. 10．CD 【分析】把命题“[]1,3x ∀∈，20x a -≤”是真命题，转化为2a x ≥在[]1,3x ∈上恒成立，求得9a ≥， 结合选项，即可求解. 【详解】由题意，命题“[]1,3x ∀∈，20x a -≤”是真命题，即20x a -≤在[]1,3x ∈上恒成立，即2a x ≥在[]1,3x ∈上恒成立，又由22()39man x ==，即9a ≥，结合选项，命题为真命题的一个充分不必要条件为C 、D. 故选：CD. 【点睛】充分、必要条件求解参数的取值范围问题的方法及注意点：1、把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合间关系列出关于参数的不等式（组）求解；2、要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解得现象. 11．AB 【分析】对A,由两边之和大于第三边可得2c bc >，再进一步用不等式的性质即可判断； 对B ，由余弦定理可知cos 2cB b=，再用正弦定理可知sin 2sin cos C B B =，进一步化简可得B ,C 的关系，进而可以得到a ,b 的关系； 对C ，结合B 代特值即可判断；对D ，结合B ，可以得到A ,B 的关系，进而可以判断. 【详解】因为()2c b a b bc =+>，所以c b >，故A 正确；由余弦定理得，222222cos 22a c b a ab a b cac ac B c b +-++====，所以2cos c b B =， 由正弦定理得，sin sin c C b B=，所以sin cos 2sin CB B =，即sin 2sin cosC B B =，所以sin sin 2C B =，所以2C B =或2C B π+=，因为A B C π++=，若2C B π+=，可得A B =，所以a b =， 又2()c b a b =+，所以222c a b =+，此时2C π=，4A B π==，满足2C B =，故B 正确；当4A B π==，2C π=时，a c <，故C 错误；由B 选项可知2C B =，故()()20A B C B B ππ=-+=-+>，即3B π<，故D 错误．故选：AB. 【点睛】本题的难点在于B 答案，对于“()2222=c b a b ab b ab c b =++⇒=-”这样的结构已经和余弦定理比较接近了，可以用余弦定理得到：2cos c b B =，由于是求角故而应该是边化角，最后“2sinC sin B =”应当注意，答案一般是两组“相等型”和“互补型”，切记不要遗漏答案. 12．ACD 【分析】先根据二倍角公式、诱导公式及辅助角公式将函数解析式进行化简，然后结合正弦函数的性质分别检验各选项即可判断． 【详解】解：2()2cos cos 21cos 2sin 2224f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,对选项A ：2y x =的图象向左平移8π个单位，得28y x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以选项A 正确；对选项B ：()f x 在0,8π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，,82ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以选项B 错误；对选项C ：由()204f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得24x k ππ+=,k Z ∈,解得28k x ππ=-, 在[0，]π上有2个零点38π和78π，所以选项C 正确； 对选项D ：由,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，得432,44x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，)4x π⎡⎤+∈⎣⎦，即()f x 的最小值，所以选项D 正确． 故选：ACD ．三、多选题 13．110,,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】由条件可知B A ⊆，则B =∅或{}2B =或{}3B =，然后再求解a 的值. 【详解】由A B B =得B A ⊆，则B =∅或{}2B =或{}3B = 当B =∅时，0a =，当{}2B =时，12a =，得12a =或13a =，得13a =， 所以实数a 的所有可能的取值组成的集合为110,,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 故答案为：110,,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭14．10【分析】根据解析式与图像,判断12,C C 分别对应的解析式.根据零点存在定理,可判断两个交点所在的整数区间,即可求得,a b 的值,进而求得+a b . 【详解】根据函数()2x f x =过定点0,1,所以2C 对应函数()2xf x =;函数()3g x x =过()0,0,所以1C 对应函数()3g x x =因为()()()(),2211g f g f <> 所以由图像可知[]11,2x ∈,故1a = 因为()()()()9900,11g f g f >< 所以由图像可知[]29,10x ∈,故9b = 所以10a b += 故答案为:10 【点睛】本题考查了指数函数与幂函数的图像与性质应用,数形结合思想的应用,函数零点存在定理的应用, 15．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【分析】先求出()0f x =的根，利用等价转换的思想，得到()0g x =在1m n -<有解，并且使用分离参数方法，可得结果 【详解】由()()13log 2e xf x x -=+-，令()0f x = 所以1x =，又已知函数()()13log 2exf x x -=+-与()1422x x g x a +=⋅-+互为“近邻函数”据题意可知：()0g x =在11x -<有解，则()0g x =在02x <<有解 即1224x xa +-=在02x <<有解，令()1224x xh x +-=，又令2x t =，()1,4t ∈，11,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以2222111222t y t t -⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭当112t =时max 12y =当11t =时0y = 所以10,2y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦所以()10,2h x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为：10,2⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查对新定义的理解，以及分离参数方法的应用，属中档题.16．23m >-【分析】先将问题转化为()()12max ||1f x f x -<对任意[2,1]t ∈--恒成立，再结合不等式恒成立问题，可将问题转化为392tm ->对任意[2,1]t ∈--恒成立，然后求最值即可得解. 【详解】解：由不等式()()12||1f x f x -<对任意[2,1]t ∈--恒成立， 即()()12max ||1f x f x -<对任意[2,1]t ∈--恒成立， 又()()12max max min ||()()f x f x f x f x -=-，又函数()1()lg 2xf x m -=+在[,2]x t t ∈+为减函数， 即()()1112max ||lg(2)lg(2)t tf x f x m m ----=+-+，即11lg(2)lg(2)1t t m m ---+-+<对任意[2,1]t ∈--恒成立，即392tm ->对任意[2,1]t ∈--恒成立， 即max 39(),2tm ->[2,1]t ∈--， 即23m >-，故答案为：23m >-.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，重点考查了函数的单调性的应用，属中档题.四、解答题17．（1）{}52x x -<<；（2）(,2][3,)-∞-⋃+∞ 【分析】（1）先分别求出集合,A B ，再根据集合间的运算即可求解； （2）由B A ⊆知：A ≠∅，对m 进行讨论即可求解. 【详解】 解：（1）由203xx ->+， 解得：32x -<<，故{}20323x B x x x x ⎧⎫-=>=-<<⎨⎬+⎩⎭∣， 当1m =-时，()(23)0x m x m +-+<可化为：(5)(1)0x x +-<， 解得：51x -<<，∴集合{}51A x x =-<<，故{}52A B x x ⋃=-<<； （2）显然A ≠∅，即1m ≠， 当23m m -<-，即1m 时，{}23A x m x m =-<<-， 又B A ⊆，13232m m m >⎧⎪∴-≤-⎨⎪-≥⎩， 解得：3m ≥； 当23m m ->-，即1m <时，{}23A x m x m =-<<-， 又B A ⊆，12332m m m <⎧⎪∴-≤-⎨⎪-≥⎩， 解得：2m ≤-，综上所述：实数m 的取值范围为(,2][3,)-∞-⋃+∞. 18．（1）π2sin 216y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（21． 【分析】（1）通过函数的最大值求出A ，通过对称轴求出周期，求出ω，得到函数的解析式；（2）π4x =代入即可求得结果． 【详解】解：（1）∵函数的最大值为3 ∴13A +=即2A =又∵函数图像相邻的两条对称轴之间距离为π2∴函数的最小正周期为π∴2π2πω== ∴函数的解析式为π2sin 216y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． （2）由（1）知函数的解析式为π2sin 216y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∴当π4x =时，ππ2sin 2146y ⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭1=即π14f ⎛⎫⎪⎝⎭．19．（1）()()()()121,030,0131,02xxxx x f x x x ⎧⎛⎫-->⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-++< ⎪⎪⎝⎭⎩（2）（﹣∞，﹣13）．【分析】（1）定义域为R 的奇函数f （x ），则f （0）＝0，当x ＞0时，()1213xx f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据奇函数的性质即可求解x ＜0的解析式，可得f （x ）的解析式； （2）从条件可知()f x 单调递减，由单调性和奇偶性脱去“f”，转化为求解二次不等式恒成立的问题，从而求解实数k 的取值范围． 【详解】解：（1）定义域为R 的奇函数f （x ），则f （0）＝0，当x ＞0时，()1213xx f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当x ＜0时，﹣x ＞0，则()11213132xxx x f x --⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵f （x ）是奇函数，∴()1312xxf x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即()1312xx f x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭．∴f （x ）的解析式为： ()()()()121,030,0131,02xxxx x f x x x ⎧⎛⎫-->⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-++< ⎪⎪⎝⎭⎩．（2）当x ＞0时，()1213xx f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭单调递减，且()()100f x f <-<=，则()f x 在R 上单调递减，若不等式f （t 2﹣2t ）+f （2t 2﹣k ）＜0恒成立， 即f （t 2﹣2t ）＜﹣f （2t 2﹣k ） ∴t 2﹣2t ＞k ﹣2t 2， 即3t 2﹣2t ＞k ，可得3（t ﹣13）2﹣13＞k 对任意的t ∈R ．∴k ＜﹣13．故得实数k 的取值范围是（﹣∞，﹣13）．【点睛】思路点睛：对于已知函数大小关系解不等式的问题，常应用函数的奇偶性和单调性去掉外层函数，构造内层函数的不等关系，解不等式即可.20．（1）应选择的函数模型为：cos()y A t b ωϕ=++，0.5cos 16y t π=+，(024t ≤≤)；（2）一天之间有8小时可供冲浪爱好者进行活动. 【分析】（1）表中数据可知，应选择的函数模型为：cos()y A t b ωϕ=++，根据函数的最值求出A 和b ，根据周期求出ω，根据0的函数值求出ϕ可得函数解析式； （2）由0.5cos 1 1.256t π+>，解不等式可得结果.【详解】（1）由表中数据可知，应选择的函数模型为：cos()y A t b ωϕ=++. 则 1.5(1.5)0.52A -==， 1.50.512b +==，212π=ω，6π=ω. ∴0.5cos 16y t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又当0x =时， 1.5y =，∴0.5cos 1 1.5ϕ+=，得cos 1ϕ=，则2k ϕ=π，k Z ∈.∴0.5cos 210.5cos 166y t k t πππ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，(024t ≤≤).（2）由0.5cos 1 1.256t π+>，得1cos62t π>， ∴22363k t k πππππ-<<+，即122122k t k -<<+，k Z ∈.又024t ≤≤，∴02t <<，或1014t <<，或2224t <<. 故一天之间有8小时可供冲浪爱好者进行活动. 【点睛】关键点点睛：利用表格中的数据求出函数解析式是解题关键.21．（1）见详解；（23）(]1,11,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据函数解析式，直接作差比较()()1222f x f x +与()122f x x +的大小，即可证明结论成立；（2）根据题中条件，由指数幂运算性质，直接计算，即可得出结果； （3）先由不等式恒成立，得到x ∀∈R ，212x xx a -+≤恒成立；不等式两边同时取对数，得到x ∀∈R ，22log 1x a x x ≤-+恒成立，讨论0x =，0x >，0x <三种情况，分别求出对应的a 的范围，再求交集，即可得出结果.【详解】（1）因为()xf x a =，所以()()()()111222222121222220x x x x x x f x f x f x x a a a a a ++-+=+-=-≥显然恒成立， 所以()()()1212222f x f x f x x +≥+；（2）由()12f x =，()23f x =得1223x x a a ⎧=⎨=⎩，所以()212122x x x x x a a ==，又()1221228x x xf x x a ===，所以23x =，则233x a a ==，因此a =（3）若x ∀∈R ，()212xx f x -+≤恒成立，即x ∀∈R ，212x xx a -+≤恒成立；则x ∀∈R ，2122log log 2x xx a -+≤恒成立，即x ∀∈R ，22log 1x a x x ≤-+恒成立，当0x =时，不等式可化为01<，显然恒成立；所以0a >，且1a ≠；当0x >时，不等式可化为21log 1a x x ≤+-，而1111y x x =+-≥=在0x >上恒成立，当且仅当1x =时，取等号；所以只需2log 1a ≤，解得12a <≤或01a <<； 当0x <时，不等式可化为21log 1a x x≥+-，而()111113y x x x x ⎡⎤⎛⎫=+-=--+--≤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在0x <上恒成立，当且仅当1x =-时，取等号；所以只需2log 3a ≥-，解得118a ≤<或1a >，综上，118a ≤<或12a <≤，即a 的取值范围是(]1,11,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】 关键点点睛：求解本题第三问的关键在于将不等式两边同时取对数，化为22log 1x a x x ≤-+恒成立，再对x 分段讨论，求解a 的范围，即可得解.22．（1）08m ≤<；（2）存在，0,2m n ==；（3）答案不唯一，见解析. 【分析】（1）根据函数定义域为R ，转化为220mx mx ++>恒成立，分类讨论求解；（2）根据二次函数单调性可得2222m mn n ⎧=⎨=⎩，求解即可；（3）换元，令11,333xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，分类讨论求二次函数的最小值即可.【详解】（1）∵定义域为R ，即220mx mx ++>恒成立∴0m =， 或0m >⎧⎨∆<⎩得08m <<综上得08m ≤< （2）2yx 的定义域为[],m n ，值域为[]2,2m n∴222(0)2m mm n n n ⎧=≤<⎨=⎩，解得0,2m n ==. （3）令11,333xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则223y t at =-+若13a ≤，则228()39a h a =-+；若133a <<，则2()3h a a =-； 若3a ≥，则()612h a a =-+； 【点睛】关键点点睛：涉及指数型复合函数的单调性最值问题，多采用换元法，能够使问题简捷，突出问题本质，大多转化为二次函数，利用二次函数的图象和性质，体现转化思想，属于中档题.。
云南省高一上学期期末教学质量统一监测数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则集合中的子集个数为（ ） {}31A x x =∈-<<Z {0,1,3}B =A B ⋂A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】根据题意，将集合化简，然后根据交集的运算即可得到结果. A 【详解】因为集合，且， {}{}312,1,0A x x =∈-<<=--Z {0,1,3}B =则，所以其子集为空集与其本身. {}0A B ⋂=故选:B2．下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ）A ．B ．C ．D ． y =21y x =22y x =1y x x=+【答案】A【分析】利用幂函数及函数的奇偶性的定义，结合各选项进行判断即可.【详解】对于A ，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,13y x ==()f x R，所以是奇函数，符合题意；故A 正确；()()f x f x -===-()f x 对于B ，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,221y x x -==()f x ()(),00,∞-+∞U ，所以是偶函数，不符合题意；故B 错误； ()2211()()f f x x x x -==-=()f x 对于C ，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故C 错误； 22y x =对于D ，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故D 错误； 1y x x=+故选：A.3．已知角的终边过点，则的值为（ ） α()()3,40P a a a -<()tan 45α+︒A ．B ．C ．D ．743-17-17【答案】B【分析】根据正切函数的定义得到，再由正切的和差角公式，即可得到结果. tan α【详解】因为角的终边过点，则， α()()3,40P a a a -<44tan 33a a α-==-所以. ()41tan tan 4513tan 4541tan tan 457113ααα-++︒+︒===--+︒⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭故选:B4．下列不等式成立的是（ ） A ．B ．0.30.51.7sin1log 1.1>>0.30.51.7log 1.1sin1>>C ． D ．0.30.5log 1.1sin1 1.7>>0.30.5sin1log 1.1 1.7>>【答案】A【解析】分别与0和1比较后可得．【详解】，，，所以． 0.31.71>0sin11<<0.5log 1.10<0.30.5log 1.1sin1 1.7<<故选：A ．【点睛】思路点睛：本题考查幂、对数、三角函数值的大小比较，对于同一类型的数可以利用函数的单调性的利用单调性产，对不同类型，或不能应用单调性珠可以借助中间值如0，1等进行比较，然后得出结论．5．已知，则等于（ ）sin(360)cos(180)m αα---= sin(180)cos(180)αα+- A A ．B ．C ．D ． 212m +212m -212m -212m +-【答案】B【分析】利用诱导公式先化简，然后结合完全平方公式化简即可. 【详解】因为， sin(360)cos(180)m αα---= 所以， sin cos m αα+=所以，()22221sin cos 2sin cos 1sin cos 2m m m αααααα-+=⇒=-⇒=所以，()()21sin(180)cos(180)sin cos sin cos 2m αααααα-+⋅-=-⋅-==故选：B.6．函数在上的图象大致为（ ）2||2||()e x x x f x -=[4,4]-A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】定义法判断函数的奇偶性排除C ，求函数的零点排除A ，再取特殊点进行判断. 【详解】因为，()()()2222eexxx xx x f x f x ------===所以函数是定义在上的偶函数，排除选项C ； ()f x [4,4]-令可得，所以或或， ()0f x =22||0x x -=2x =-0x =2x =所以函数的零点有，排除A ； ()f x 2,0,2-当时，，排除选项B ； 4x =()416840e f -=>选项D 符合以上特征，即数在上的图象大致为选项D 中的图象. ()f x [4,4]-故选：D ．7．设函数，则下列结论错误的是 （ ）cos π()(3f x x =+A ．的一个周期为−2πB ．()f x π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．的一个零点为D ．在上单调递减(π)f x +π6x =()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据周期的定义判断A ，利用两角和余弦公式求，判断B ，根据零点的定义判断π4f ⎛⎫⎪⎝⎭C ，根据余弦函数的单调性求函数的单调区间，判断D. ()f x 【详解】因为，()ππ(2π)cos 2πcos 33f x x x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以是函数的一个周期， A 正确；2π-()f xf ＝cos B 正确；π4⎛⎫ ⎪⎝⎭ππππππcos cos cos sin sin 343434⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭因为，πππππcos cos 06632f ⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以的一个零点为，故C 正确；(π)f x +π6x =由，可得， π2π2ππ,Z 3k x k k ≤+≤+∈π2π2π2π,Z 33k x k k -≤≤+∈所以在上单调递减，()f x π2π2π,2π,Z 33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦取可得在上单调递减，0k =()f x π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦由，可得， π2ππ2π,Z 3k x k k -≤+≤∈4ππ2π2π,Z 33k x k k -≤≤-∈所以在上单调递增，()f x 4ππ2π,2π,Z 33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦取可得在上单调递增，故D 错误．1k =()f x 2π5π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：D.8．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”源于《增广贤文》，《增广贤文》是勉励人们专心学习的，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把式子中的看作是每天365(11%)+1%的“进步”率，一年后的值是；而把式子中的看作是每天的“退步”率，一年后的3651.01365(11%)-1%值是．照此计算，大约经过多少天“进步”后的值是“退步”后的值的10倍？ （ ）（参考数3650.99据：，） lg1.010.00432≈lg 0.990.00436≈-A ．100天 B ．108天 C ．115天 D ．124天【答案】C【分析】根据题意，列出方程，然后由指数，对数的运算，即可得到结果. 【详解】假设经过天，“进步”后的值是“退步”后的值的10倍， n 则可得，()()11%1011%nn+=-所以，所以， 1.01100.99n⎛⎫= ⎪⎝⎭()11115lg1.01lg 0.990.004320.00436n =≈≈---即经过天，“进步”后的值是“退步”后的值的10倍， 115故选:C二、多选题9．已知a ,b ,c ,d 均为实数,下列命题正确的有（ ） A ．若,,则 B ．若,,则 a b >c d >ac cd >0ab >0bc ad ->0c da b->C ．若,,则 D ．,,则a b >c d >a d b c ->-a b >0c d >>a b d c>【答案】BC【分析】对于AD 利用反例判断正误,对于B 可以通分后根据条件证明,C 可利用不等式的性质进行证明.【详解】对于A,令,满足,但,即A 错误. 2,1,2,3a b c d ===-=-,a b c d >>ac cd <对于B,, c d bc ad a b ab--=,,0ab >0bc ad ->,即B 正确. ∴0c da b->对于C,, c d >,且,d c ∴->-a b >,即C 正确.∴a d b c ->-对于D,令,满足,,但,即D 错误. 1,2,4,2a b c d =-=-==a b >0c d >>a bd c=故选:BC.10．已知定义在上的函数满足：对任意的，当时，都有，若不R ()f x 12,R x x ∈12x x >12()()f x f x >等式恒成立，则实数m 的可能取值为（ ）(1)(2)f m f m +>A ．B ．C ．0D ．113-13【答案】ABC【分析】首先判断的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，即可求出参数的取值()f x m 范围，即可判断.【详解】因为对任意的，当时，都有， 12,R x x ∈12x x >12()()f x f x >所以在上单调递增，()f x R 又不等式恒成立，即，解得， (1)(2)f m f m +>12m m +>1m <所以符合题意的有A 、B 、C. 故选：ABC11．下列结论中正确的是（ ）A ．终边经过点的角的集合是；()(),0m m m >2,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是；3πC ．若是第三象限角，则是第二象限角，为第一或第二象限角；α2α2αD ．，，则 {}4590,M x x k k Z ==︒+⋅︒∈{}9045,N y y k k Z ==︒+⋅︒∈M N ⊆【答案】ABD【分析】直接以角的表示方法，象限角的概念，集合间的关系求出结果.【详解】A.终边经过点的角的终边在第一象限平分线上，故角的集合是()(),0m m m >，所以A 正确；2,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B. 将表的分针拨慢10分钟，按逆时针旋转，则分针转过的角度为，对应弧度数是，所以B60︒3π正确；C.因为是第三象限角，即，所以，当为α322,2k k k αππ+π<<π+∈Z 3,224k k k απππ+<<π+∈Z k 奇数时，是第四象限角，当为偶数时，是第二象限角；，所2αk 2α42243,k k k Z ππαππ+<<+∈以的终边位置在第一或第二象限或轴非负半轴，所以C 错误； 2αy D. ，{}{}4590,(21)45,M x x k k Z x x k k Z ==︒+⋅︒∈==+⋅︒∈，易知，所以D 正确；{}{}9045,(2)45,N y y k k Z y y k k Z ==︒+⋅︒∈==+⋅︒∈M N ⊆故选：ABD.12．已知是定义域为的奇函数，且为偶函数，若当时，()y f x =R ()2y f x =+[]0,2x ∈，下列结论正确的是（ ） ()()231log 2f x x a =+A ． B ． 1a =()()13f f =C ． D ．()()26f f =()120222f =-【答案】BD【分析】确定函数的周期性，然后由周期性、奇偶性求值．()f x 【详解】是偶函数，即图象关于轴对称，所以的图象关于直线对称， (2)y f x =+y ()y f x =2x =又是奇函数，()f x 所以， (4)[2(2)][2(2)]f x f x f x +=++=-+()()f x f x =-=-所以，所以是周期为8的周期函数， (8)(4)()f x f x f x +=-+=()f x ，所以，，A 错； 231(0)log 02f a ==21a =1a =±，B 正确； (1)(21)(21)(3)f f f f =-=+=，而，所以，C 错； (6)(2)(2)f f f =-=-311(2)log (21)022f =+=≠(6)(2)f f ≠，D 正确．(2022)(25286)f f =⨯+1(6)(2)(2)2f f f ==-=-=-故选：BD ．三、填空题13．___________.4log 2log 2-=【答案】12【解析】根据根式的运算，对数的运算法则求解．【详解】原式＝． 431log 222331log 31)(4)122+-==故答案为：．1214．已知函数，则________．32,0()ln(),0x x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩((1))=f f 【答案】0【解析】先求，进而得出的值．()1f ((1))f f 【详解】，． (1)121f =-=- ((1))f f ∴=(1)ln10f -==故答案为：015．若命题“，使得”是真命题，则实数a 的取值范围是_______．R x ∃∈()2110x a x +-+<【答案】()(),13,-∞-⋃+∞【分析】根据题意由即可求出.Δ0>【详解】，使得，R x ∃∈ ()2110x a x +-+<，解得或，即实数a 的取值范围是.2Δ(1)40a ∴=-->1a <-3a >()(),13,-∞-⋃+∞故答案为：. ()()13-∞-⋃+∞，，16．已知函数（，，是常数，，）．若在区间上()()sin f x A x ωϕ=+A ωϕ0A >0ω>()f x π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦具有单调性，且，则的值为_________．3π11ππ4124f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ω【答案】##1.5 32【分析】由在区间上具有单调性，得函数最小正周期，从而可由()f x π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦πT ≥得出其一条对称轴方程和一个对称中心，然后可求得周期，再由周期公3π11ππ4124f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭式求的值．ω【详解】因为在区间上具有单调性，()f x π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦则，所以，又，，故， 3ππ1442T -≤πT ≥0ω>2ππω≥0<2ω≤由可知函数的一条对称轴为，3π11π412f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 3π11π5π41226x +==又，则有对称中心，3ππ44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭从而，即，5ππ4π4623T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2π4π3ω=所以. 32ω=故答案为：． 32四、解答题17．已知集合，集合． {|522}A x x x x =-<<-{|231}B x m x m =+≤≤+(1)当时，求；4m =-()R A B ⋃ð(2)当B 为非空集合时，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． x B ∈x A ∈m 【答案】(1)或 ()R {|5A B x x ⋃=<-ð2}x -≥(2) {|43}m m <-<-【分析】（1）分别求出集合，然后计算，最后； ,A B A B ⋃()R A B ⋃ð（2）由题意知集合是集合的真子集，建立不等式组求解即可. B A 【详解】（1）∵ ， {|522}A x x x x =-<<-∴ ．{|52}A x x =-<<-当时，． 4m =-{|53}B x x =-≤≤-∴，{|52}A B x x =-≤<- 所以，或．()R {|5A B x x ⋃=<-ð2}x -≥（2）∵为非空集合，是的充分不必要条件， B x B ∈x A ∈则集合是集合的真子集，B A ∴ ， 23123512m m m m +≤+⎧⎪+>-⎨⎪+<-⎩解得：，243m m m ≤-⎧⎪>-⎨⎪<-⎩∴m 的取值范围是．{|43}m m <-<-18．已知二次函数．()()2214f x x a x =--+(1)若，求在上的最值；2a =()f x []2,3-(2)若在区间是减函数，求实数的取值范围． ()f x (],2-∞a 【答案】(1)， ()min 3f x =()max 12f x =(2) [)3,+∞【分析】（1）根据二次函数的单调性可求得最值； （2）由对称轴方程和单调性可构造不等式求得结果.【详解】（1）当时，，则为开口方向向上，对称轴为的抛物线，2a =()224f x x x =-+()f x 1x =在上单调递减，在上单调递增，()f x \[)2,1-(]1,3，.()()min 13f x f ∴==()()max 212f x f =-=（2）为开口方向向上，对称轴为的抛物线，()()2214f x x a x =--+ 1x a =-又在区间上为减函数，()f x (],2-∞，解得：，即实数的取值范围为.12a ∴-≥3a ≥a [)3,+∞19．已知函数的部分图象如图所示．()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式；()f x (2)若在区间上的值域为，求的取值范围．()f x [0,]m 2]m【答案】(1)；()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2),63m ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）结合图象，直接求出，求得周期得到，再代入点求出即可；A ωϕ（2）由（1）知，结合正弦函数的性质求得的取值范围即可.()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭m 【详解】（1）由函数图象，可得，，∴，∵，可得()f x 2A =3734632T πππ=+=2T π=0ω>，∴， 21Tπω==()2sin()f x x ϕ=+又∵图象过点，∴，即，∴，，解得()f x ,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭2sin 03πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭sin 03πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭3πφk π-+=Z k ∈，，3k πϕπ=+Z k ∈又∵，∴，故函数解析式；02πϕ<<3πϕ=()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由（1）知，∵，则，又∵的值域为()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[0,]x m ∈,333x m πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦()f x 2]， ∴，且，故，即；2233m πππ≤+≤0m >63m ππ≤≤,63m ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦20．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会，据某市场调查，当每套丛书的售价定为元时，销售量可达到万套现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套x ()150.1x -.丛书的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分其中固定价格为元，浮动价格（单位：元）与.30销售量（单位：万套）成反比，比例系数为.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润售价10=-供货价格求：.(1)每套丛书的售价定为元时，书商所获得的总利润． 100(2)每套丛书的售价定为多少元时，单套丛书的利润最大. 【答案】(1)万元；340(2)每套丛书售价定为元时，单套丛书的利润最大，为元. 140100【分析】（1）根据给定条件，依次列式计算作答.（2）求出售价的范围，再列出单套丛书利润的函数关系，借助均值不等式求解作答. x 【详解】（1）每套丛书售价定为元时，销售量为万套， 100150.11005(-⨯=)于是得每套丛书的供货价格为元， 103032(5+=)所以书商所获得的总利润为万元．()510032340(⨯-=)（2）每套丛书售价定为元，由得，设单套丛书的利润为元， x 150.100x x ->⎧⎨>⎩0150x <<P 则， 10100100(30)30[(150)]120150.1150150P x x x x x x=-+=--=--++---，当且仅当，即时等号成立， 120100≤-=100150150x x -=-140x =即当时，， 140x =max 100P =所以每套丛书售价定为元时，单套丛书的利润最大，为元．14010021．已知函数． ()2cos cos 444x x f x x =+(1)求的单调递减区间及最小正周期；()f x (2)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，讨论函数在()y f x =2π3()y g x =()y g x k =-上的零点个数． 7π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】(1)单调递减区间为，最小正周期为 ()2π8π4π,4π33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 4π(2)答案见解析【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简得到，利用整体代入法可求得的单调递减区()f x ()f x 间；由正弦型函数最小正周期的求法可得最小正周期；（2）根据三角函数平移变换原则可得，分别在、的情况下，得()g x πππ,2662x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ππ,π262x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦到的单调性和值域，通过分析最值可确定不同取值范围时，的零点个数.()y g x k =-k ()y g x k =-【详解】（1）， ()11π1cos sin 2222262x x x f x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭令，解得：， ()ππ3π2π2π2262x k k k +≤+≤+∈Z ()2π8π4π4π33k x k k +≤≤+∈Z 的单调递减区间为，最小正周期. ()f x \()2π8π4π,4π33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 2π4π12T ==（2）由题意得：； ()2πππ1π1sin sin 32362262x x g x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当时，， 7π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ,π266x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦当，即时，单调递增，值域为； ∴πππ,2662x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦4π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()y g x k =-3,2k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦当，即时，单调递减，值域为； ππ,π262x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦4π7π,33x ⎡⎤∈⎢⎣⎦()y g x k =-13,22k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦则当，即时，无零点；0k ->(),0k ∈-∞()y g x k =-当，即时，有且仅有一个零点；0k -=0k =()y g x k =-当，即时，有两个不同零点； 13022k k -≤<-13,22k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()y g x k =-当，即时，有且仅有一个零点； 102k k ->>-10,2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()y g x k =-当，即时，有且仅有一个零点；； 302k -=32k =()y g x k =-当，即时，无零点； 302k -<3,2k ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()y g x k =-综上所述：当时，无零点；当时，有()3,0,2k ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭ ()y g x k =-130,22k ⎡⎫⎧⎫∈⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭()y g x k =-且仅有一个零点；当时，有两个不同零点. 13,22k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()y g x k =-22．已知函数.44()log (2)log (4)f x x x =++-（1）求的定义域；()f x （2）若函数，且对任意的，，恒成立，求实1()42x x g x a a +=⋅--1[5,6]x ∈2[1,2]x ∈()()12f x g x <数a 的取值范围.【答案】（1）.（2）（2，+∞）.(4,)+∞【解析】（1）使对数式有意义，即得定义域；（2）命题等价于，如其中一个不易求得，如不易求，则转化为max min ()()f x g x <min ()g x 恒成立，再由其它方法如分离参数法求解或由二次不等式恒成立问题求解．max ()()f x g x <【详解】（1）由题可知且，20x +>40x ->所以.>4x 所以的定义域为.()f x (4,)+∞（2）由题易知在其定义域上单调递增.()f x 所以在上的最大值为，()f x [5,6]x ∈4(6)log 162f ==对任意的恒成立等价于恒成立.1[5,6],x ∈2[1,2],x ∈()()12f x g x <max ()2()f x g x =<由题得. ()2()222x x g x a a =⋅-⋅-令，则恒成立.2([2,4])x t t =∈2()22h t a t t a =⋅-->当时，，不满足题意.0a =1t <-当时，， a<022242482a a a a ⎧⋅-->⎨⋅-->⎩解得，因为，所以舍去.2a >a<0当时，对称轴为， 0a >1t a =当，即时，，所以； 12a<12a >2242a a ⋅-->2a >当，即时，，无解，舍去； 124a ≤≤1142a ≤≤2122a a a a⎛⎫⋅--> ⎪⎝⎭当，即时，，所以，舍去. 14a >10a 4<<2482a a ⋅-->23a >综上所述，实数a 的取值范围为（2，+∞）.【点睛】本题考查求对数型复合函数的定义域，不等式恒成立问题．解题时注意转化与化归思想的应用．。
云南省昆明市实验中学高一数学理上学期期末试卷含解析
云南省昆明市实验中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数就是“同族函数”．下列有四个函数：①；②；③；④；可用来构造同族函数的有_ ▲参考答案：①②2. 在等差数列｛｝中，＋3＋＝120 ，则3－的值为（）A.6B. 12C. 24D.48参考答案：解析：由＋3＋＝120得5＝120，＝24.∴3－＝3（＋8d）－（＋10d）（d为公差）＝2＋14d＝2（＋7d）＝2＝48.故选D.3. 不等式的解集为（）A. {x|x＜0}B. {x|x＞9}C. {x|x＞9或x＜0}D. {x|0＜x＜9}参考答案：D【分析】解一元二次不等式求得不等式的解集.【详解】由，得，解得，故选D.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题.4. 若函数与函数在区间上都是减函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：D略5. 已知是定义在上的偶函数, 那么的值是A. B. C. D. 参考答案：B略6. 已知点M（x，1）在角θ的终边上，且cosθ=x，则x=（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．﹣1或0或1参考答案：D【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义，建立方程，即可求出x的值．【解答】解：由题意，cosθ==x，∴x=﹣1或0或1，故选D．【点评】本题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，比较基础．7. 下列函数中，在（0，2）上为增函数的是( )A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】证明题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】根据增函数的定义对A、B、C、D四个选项进行一一判断；【解答】解：A、y=在（﹣1，+∞）是减函数，故A错误，B、∵y=log2t为增函数，t=在（1，+∞）为增函数，在（﹣∞，﹣1）为减函数，∴log2在（1，+∞）为增函数，在（﹣∞，﹣1）为减函数，故B错误，C、∵y=log2，当x＞0，为减函数，故C错误；D、∵y=log0.2t为减函数，t=4﹣x2在（﹣2，﹣0）为增函数，在（0，2）为减函数，∴y=log0.2（4﹣x2）在（﹣2，﹣0）为减函数，在（0，2）为增函数，故D正确．故选：D．【点评】此题主要考查函数的单调性的判断与证明，此题考查的函数都比较简单，是一道基础题．8. 设平面向量=(－2，1)，=(λ，－1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（）A、 B、C、 D、参考答案：答案：A点评：易误选C，错因：忽视与反向的情况。
2022-2023学年云南省昆明市嵩明县高一上学期期末数学测试题(解析版)
2022-2023学年云南省昆明市嵩明县高一上学期期末数学测试题一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}02B x x =≤≤，则A B =（ ） A ．{}1,1- B ．{}1,0,1- C ．{}0,1,2 D ．{}2,1,0,1,2--【答案】C【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，{0,1,2}A B ⋂=. 故选：C 2．已知3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则cos α的值为． A．BC． D【答案】A【解析】根据角的范围可知sin 0α<，cos 0α<；利用同角三角函数的平方关系和商数关系构造方程可求得结果. 【详解】由3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可知：sin 0α<，cos 0α<由22sin tan 2cos sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩得：cos α=本题正确选项：A【点睛】本题考查同角三角函数值的求解，关键是能够熟练掌握同角三角函数的平方关系和商数关系，易错点是忽略角的范围造成函数值符号错误. 3．下列函数中与函数y ＝x 表示同一个函数的是（ ） A ．y ＝|x | B ．2x y x=C．2y =D．3y =【答案】D【分析】利用函数概念，分析函数的三要素是否相同即可求解.【详解】对于选项A ,值域与函数y x =不同，所以不是同一个函数，故排除A ； 对于选项B ，函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故排除B ； 对于选项C ，函数定义域不同，所以不是同一个函数，故排除C ；对于选项D ，因为函数()33y x x==与函数y x =是同一个函数，故D 正确，故选：D .4．图中U 是全集，A ，B 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．()UA BB ．()U A B ⋂C ．()UA B ⋂D ．()()U U A B ⋂【答案】D【分析】由阴影部分的元素特点可直接得到结果.【详解】由Venn 图知，阴影部分的元素既不属于集合A ，也不属于集合B ， 所以阴影部分表示的集合是U U U ()()()A B A B =. 故选：D5．已知命题[):0,p x ∃∈+∞，220x x +->，则p ⌝（ ） A ．[)0,x ∞∀∈+，220x x +-≤ B ．(),0x ∀∈-∞，220x x +-≤ C ．[)0,x ∃∈+∞，220x x +-≤ D ．(),0x ∃∈-∞，220x x +-≤【答案】A【分析】利用特称命题的否定形式即可判断选项.【详解】解：命题p 的否定为：[0,)x ∀∈+∞，220x x +-≤. 故选：A ．6．“24x =”是“2x =”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】由题24x =得2x =或2x =-，进而得答案． 【详解】解：由24x =得2x =或2x =-， 则“24x =”是“2x =”成立的必要不充分条件， 故选B ．【点睛】本题考查充要条件，属于基础题．7．已知0x π≤≤，且tan 1x ≥，则x 的取值范围是（ ） A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．30,,424πππ⎡⎤⎛⎤⋃ ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦D ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎤⋃⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦【答案】B【分析】将tan 1x ≥转化为tan 1x ≥或tan 1x ≤-，利用数形结合法求解. 【详解】解：tan 1x ≥等价于tan 1x ≥或tan 1x ≤-， 如图所示：由正切函数图象知πππ3π[,)(,]4224x ∈， 故选：B ．8．已知定义在实数集上的函数()f x 是偶函数，且在()0,∞+上单调递增，(1)0f =，则不等式()0xf x >的解集为 （ ） A ．()(),11,-∞-+∞ B ．()(1,01,)-+∞ C ．()1,0(0,1)-⋃ D ．(),1(0,1)-∞-⋃【答案】B【分析】根据函数()f x 是偶函数，且在()0,∞+上单调递增，可得函数在(),0∞-上单调递减，从而可得不等式()0xf x >等价于()00x f x >⎧⎨>⎩或()00x f x <⎧⎨<⎩，从而可得出答案.【详解】解：因为函数()f x 是偶函数，且在()0,∞+上单调递增， 所以函数在(),0∞-上单调递减，又因(1)0f =，所以(1)0f -=，不等式()0xf x >等价于()00x f x >⎧⎨>⎩或()00x f x <⎧⎨<⎩，即()()01x f x f >⎧⎨>⎩或()()01x f x f <⎧⎨<-⎩，所以10x -<<或1x >，即不等式()0xf x >的解集为()(1,01,)-+∞. 故选：B.二、多选题9．πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．5πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．3πcos 4α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．7πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】利用诱导公式确定正确答案. 【详解】5πππsin()sin[π()]sin()444ααα+=++=-+，A 错误； ππππsin()sin[()]cos()4244ααα-=-+=+，B 正确； 3πππcos cos πcos 444ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 错误；7πππcos cos 2πcos 444ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，D 正确. 故选：BD10．已知0x >，0y >，221x y +=，当且仅当22x y时，则下列结论正确的是（ ） A ．xy 取得最大值为12 B ．xy 取得最小值为12C ．x y +D ．x y +【答案】AC【分析】利用基本不等式的变形应用和不等式成立的条件逐一判断选项即可得出答案. 【详解】解：因为0x >，0y >，故222x y xy +≥，所以12xy ≤，当且仅当22x y时，等号成立，所以xy 取得最大值为12，A 正确，显然B 错误；因为2x y+，所以x y +≤22x y时，等号成立，所以x y +，C 正确，D 错误． 故选：AC ．11．已知函数()()ππsin 222f x x θθ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭的图象经过点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．π03f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．()f x 的图象关于直线7π6x =对称 D ．()f x 的一个单调递增区间为π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】ABD【分析】根据函数过点π,06⎛⎫⎪⎝⎭求出θ的值，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一分析即可.【详解】解：函数()f x 的图象经过点π(,0)6，则π2π6k θ⨯+=，Z k ∈，即ππ3k θ=-()k ∈Z ，因为ππ22θ-≤≤，所以π3θ=-，故函数表达式为π()sin(2)3f x x =-．因为2π2ππ2ω==，所以()f x 的最小正周期为π，故A 正确； πππ()sin[2()]sin(π)0333f -=⨯--=-=，故B 正确； 7π7ππ()sin(2)sin 2π0663f =⨯-==，显然C 不正确； 令πππ2π22π232k x k -≤-≤+（Z k ∈），解得π5πππ1212k x k -≤≤+（Z k ∈）， 当0k =时，函数()f x 的一个单调递增区间为π5π[,]1212-，故D 正确.故选：ABD ．12．已知a ∈R ，则关于x 的方程20x ax a ++=下列结论正确的是（ ） A ．若(],0a ∈-∞，则方程20x ax a ++=有实数解 B ．若方程20x ax a ++=有实数解，则(],0a ∈-∞C ．若41,32a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，则方程20x ax a ++=在[]1,2上有实数解D ．若方程20x ax a ++=在[]1,2上有实数解，则41,32a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦【答案】ACD【分析】由0∆≥解得方程20x ax a ++=有实数解时a 的范围，然后可判断AB ；将方程20x ax a ++=有解转化为函数(1)y a x =+与2y x =-的图象有交点，数形结合可判断CD.【详解】方程20x ax a ++=有实数解，则240a a ∆=-≥，解得0a ≤或4a ≥，故A 正确，B 错误； 将方程变形得2(1)a x x +=-，构造函数(1)y a x =+，2y x =-，要方程20x ax a ++=在[1,2]上有实数解， 即要函数(1)y a x =+与2y x =-的图象在区间[1,2]上有公共点，当1x =时，2y x =-经过点(1,1)-， 当2x =时，2y x =-经过点(2,4)-，将点(1,1)-代入(1)y a x =+，解得12a =-，将点(2,4)-代入(1)y a x =+，解得43a =-，所以41[,]32a ∈--时，函数(1)y a x =+与2y x =-的图象在[1,2]x ∈上有公共点，反之成立，故CD 正确. 故选：ACD ．三、填空题13．计算：312log 211ln 2ln 324--⎛⎫+++= ⎪⎝⎭______．【答案】52【分析】利用对数运算、指数运算求得正确答案. 【详解】312log 211ln 2ln 324--⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ 131log 212ln 2ln 234--=+++15ln 2ln 2222=-++=. 故答案为：5214．[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3.53=，则[][]22log 5log 50+=______． 【答案】7【分析】根据对数函数以及新定义运算等知识求得正确答案. 【详解】2222log 4log 5log 83=<<=，所以2[log 5]2=；2225log 32log 50log 646=<<=，所以2[log 50]5=，故22[log 5][log 50]257+=+=． 故答案为：7四、双空题15．一个单摆作简谐振动位移-时间图象如图所示，S 表示离开O 的位移（单位：cm ），t 表示振动的时间（单位：s ），则该简谐振动的振幅为______cm ，振动的最小正周期为______s ．【答案】 6 4【分析】根据图象求得振幅以及最小正周期.【详解】单摆作简谐振动的位移-时间图符合正弦型函数， 由图可知振幅为6，最小正周期为()2314⨯-=． 故答案为：6；4五、填空题16．已知0a >，0b >，若214ab a b ++=，则a b +的最小值为______． 【答案】5【分析】构造积为定值(1)(2)16a b ++=，然后由基本不等式可得.【详解】由214ab a b ++=得(1)(2)16a b ++=，则(1)(2)(1)(2)8a b a b +++≥++， 所以5a b +≥，当且仅当124a b +=+=，即3a =，2b =时，a b +取得最小值为5． 故答案为：5六、解答题17．已知函数()()01xf x a b a =+<<的图象经过点()0,1-．(1)求实数b ；(2)若()()223f x x f -<，求x 的取值集合．【答案】(1)2b =- (2)(,1)(3,)-∞-⋃+∞【分析】（1）代入点即可求得参数； （2）根据指数函数的单调性解不等式.【详解】（1）函数()x f x a b =+经过点(0,1)-，则01a b -=+（01a <<）， 所以2b =-．（2）因为01a <<，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，又因为2(2)(3)f x x f -<，所以223x x ->，即(3)(1)0x x -+>，解得1x <-或3x >， 所以x 的取值集合为(,1)(3,)-∞-⋃+∞． 18．计算下列各式的值： (1)22cos 15sin 15︒-︒； (2)1tan151tan15+︒-︒；(3)22sin 10cos 55cos55︒+︒︒︒．【答案】(3)12【分析】（1）利用二倍角公式求得正确答案. （2）利用两角和的正切公式求得正确答案.（3）利用两角和的余弦公式、二倍角公式、降次公式、诱导公式等知识求得正确答案.【详解】（1）22cos 15sin 15cos30︒-︒=︒=（2）()1tan15tan 45tan15tan 45151tan151tan 45tan15+︒︒+︒==︒+︒=-︒-︒︒（3）22sin 10cos 55cos55︒+︒︒︒()21cos110sin 102sin10cos 45102+︒=︒++︒︒+︒ ()()21cos 9020sin 102sin10cos 45cos10sin 45sin102+︒+︒=︒++︒︒︒-︒︒21sin 2022sin 102sin10cos10sin10222⎛⎫-︒=︒++︒︒-︒ ⎪ ⎪⎝⎭ 221sin 20sin 10sin10cos10sin 102-︒=︒++︒︒-︒ 1sin 2011sin 20222-︒=+︒=. 19．要得到函数π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以从正弦函数sin y x =图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到．(1)由sin y x =图象变换得到函数π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，写出变换的步骤和函数；(2)用“五点法”画出函数π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的简图．【答案】(1)答案见解析 (2)作图见解析【分析】（1）根据三角函数图象变换的知识求得正确答案. （2）利用“五点法”画出图象.【详解】（1）步骤1：把sin y x =图象上所有点向右平移π3个单位长度，得到函数πsin()3y x =-的图象；步骤2：把πsin()3y x =-图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），得到函数πsin(2)3y x =-的图象；步骤3：最后把函数πsin(2)3y x =-的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数π2sin(2)3y x =-的图象．（2）列表： π23x -π2 π3π2 2π xπ65π122π311π127π6y2 02-20．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且对x ∀，0y >，都有()()()f x f y f xy +=． (1)求()1f ，并证明：()()x f x f y f y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；(2)若当1x >，有()0f x >，给出两个论断：①当01x <<时，()0f x <；②()f x 在()0,∞+上单调递增；请选择其中一个证明． 【答案】(1)(1)0f =，证明见解析 (2)答案见解析【分析】（1）先用赋值法求()1f ,用xy代替条件中的x 可证； （2）选①：令（1）中1x =，结合条件可证；选②：设1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，令（1）中21,x x y x ==可证. 【详解】（1）令1x =,则()()()1f f y f y +=,所以()10f =因为()()()f x f y f xy +=，所以()()()xxf f y f y y y +=⋅，即()()()xf f y f x y +=，所以()()()xf x f y f y -=．（2）选①当01x <<时，()0f x <；证明：因为(1)0f =，()()()x f x f y f y -=，令1x =，则1()()f f y y=-． 当01x <<，则11x>，所以1()0f x >，又1()()0f f x x =->，所以()0f x <． 选②()f x 在(0,)+∞上单调递增；证明：设1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，则211x x >，所以21()0x f x >． 由()()()x f x f y f y -=得2211()()()0x f x f x f x -=>，所以12()()f x f x <， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增21．牛顿冷却定律是研究温度高于周围环境的物体向周围传递热量逐渐冷却时所遵循的规律，是牛顿在1701年用实验确定的，是传热学的基本定律之一．牛顿冷却定律为()010e kt θθθθ-=+-，其中t 为时间，单位分钟，0θ为环境温度，1θ为物体初始温度，θ为冷却后温度，k 为常数．茶水在室温下逐渐冷却的现象满足牛顿冷却定律，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．某研究人员在20℃室温下测量茶水温度，得到下表一组数据．（结果保留0.1，参考数据：ln 20.7≈，ln3 1.1≈）(1)根据以上数据求常数k ；(2)该茶水温度降至40℃时饮用，可以产生最佳口感，大约经过多少分钟水温降为40℃？【答案】(1)0.2k =(2)7分钟【分析】（1）将020θ=C ︒，1100θ=C ︒，5min t =时50θ=C ︒，代入牛顿冷却定律010()e kt θθθθ-=+-求解；（2）由010()e kt θθθθ-=+-，得到14020ln 0.210020t -=--求解. 【详解】（1）解：由题意得020θ=C ︒，1100θ=C ︒，5min t =对应的50θ=C ︒，将以上数据代入牛顿冷却定律010()e kt θθθθ-=+-，得55020(10020)e k -=+-．则53e 8k -=，所以53ln e ln 8k -=，所以ln8ln330.7 1.10.255k -⨯-=≈=． （2）由010()e kt θθθθ-=+-，可得0101ln t k θθθθ-=--， 则140201ln =5ln 10ln 270.2100204t -=--=≈-（min ）． 答：大约经过7分钟水温降为40C ︒．22．乐音中包含着正弦函数，平时我们听到的乐音是许多个音的结合，称为复合音，复合音的产生是因为发声体在全段震动，产生基音的同时，其余各部分，如二分之一部分也在震动．某乐音的函数是()1sin sin 22f x x x =+，该函数我们可以看作是函数sin y x =与1sin 22y x =相加，利用这两个函数的性质，我们可以探究()f x 的函数性质．(1)求出()f x 的最小正周期并写出()f x 的所有对称中心；(2)求使()0f x ≥成立的x 的取值集合；(3)判断[]2π,2πx ∈-，函数()()14g x f x =-零点的个数，并说明理由． 【答案】(1)最小正周期为2π；所有对称中心为(0),k π，Z k ∈(2){}|2ππ2πx k x k ≤≤+，Z k ∈(3)零点的个数为4，理由见解析【分析】（1）结合图象以及三角函数的周期性、对称中心等知识求得正确答案.（2）解三角不等式求得正确答案.（3）根据图象，结合三角函数的单调性、周期性、对称性等知识求得正确答案.【详解】（1）因为sin y x =的最小正周期为2π，1sin 22y x =的最小正周期为π， ()1sin sin 22f x x x =+，()()()()112πsin 2πsin 24πsin sin 222f x x x x x f x +=+++=+=， 而()()()()11πsin πsin 22πsin sin 222f x x x x x f x +=+++=-+≠， 所以()f x 的最小正周期为2π．由图象可知，函数sin y x =与1sin 22y x =图象关于点(0,0)，(π,0)对称，而函数()f x 是奇函数，()()()()112πsin 2πsin 4π2sin sin 2022f x f x x x x x -+=-+-++=，因此()()0,0,π,0是()f x 图象的对称中心，所以()f x 的对称中心为(0),k π，Z k ∈．（2）要使()0f x ≥，即1sin sin 2sin (1cos )02x x x x +=+≥，又因为1cos 0x +≥恒成立， 故()0f x ≥成立的x 的取值集合与sin 0x ≥成立的x 的取值集合一致，故()0f x ≥成立的x 的取值集合为{}|2ππ2πx k x k ≤≤+，Z k ∈．（3）观察给定的图象，可以判断()f x 图象在[0,π]上先增后减，且max ()1f x >，由（2）知当[0,π]x ∈时，()0f x ≥，故在[0,π]上函数()y f x =与函数14y =有两个交点． 因为()f x 的最小正周期为2π，故在[2π,π]--上函数()y f x =与函数14y =也有两个交点． 又因为函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，故在[π,0]-，[π,2π]上函数()y f x =与函数14y =图象无交点． 综上所述，[2π,2π]x ∈-，函数1()()4g x f x =-零点的个数为4． 【点睛】思路点睛：求解函数周期性有关的问题，可利用周期函数的定义来判断，即：f x T f x ，则()f x 是周期为T 的周期函数.求解三角函数对称中心有关问题，可利用()0f x =来进行求解.。
2022-2023学年云南省昆明市高一年级上册学期期末考试数学试题【含答案】
昆明2022-2023学年度上学期期末考试高一数学一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 命题“，”的否定是（ ）00x ∃>200430x x -+<A. ， B. ，0x ∀≤2430x x -+<00x ∃≤200430x x -+<C. ， D. ，0x ∀>2430x x -+≥00x ∃>200430x x -+≥【答案】C 【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断，同时要注意既要否定结论，也要转化量词.【详解】因为命题“，.00x ∃>20430x x -+<根据命题的否定的定义所以该命题的否定是，0x ∀>2430x x -+≥故选：C【点睛】本题主要考查了命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2. 设全集，集合，集合，则（）U =R {}20A x x =-≤{}lg 0B x x =>A B = A.B.C.D.{}2{}0,2()0,2(]1,2【答案】D 【解析】【分析】求出集合中的不等式的解集，确定出集合，利用对数函数的图像与性质及对数的运算性质，A A 求出集合中不等式的解集，确定出集合，找出两集合的公共部分，即可得到两集合的交集.B B 【详解】由集合中的不等式，解得，A 20x -≤2x ≤集合，∴(],2A =-∞由集合中的不等式，解得，B lg 0lg1x >=1x >集合，∴()1,B =+∞则.(]1,2A B = 故选：D.3. 已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少．已知1克碳14经过5730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量可放射消耗到0.125克（ ）A. 5730B. 11460C. 17190D. 22920【答案】B 【解析】【分析】根据由题意可知再经过2个半衰期可消耗到0.125克.【详解】由题意可得：碳14的半衰期为5730年，则再过5730年后，质量从0.5克消耗到0.25克，过11460年后，质量可消耗到0.125克．故选：B.【点睛】本题考查指数函数的应用，属于基础题.4. 不等式的解集为，则实数的取值范围是（）()()2242120a x a x -+--<R a A.B.C.D.{}12a a -≤<{}12a a -<≤{}21a a -<<{}12a a -≤≤【答案】B 【解析】【分析】由题意列不等式组求解【详解】当即时，恒成立，满足题意，20a -=2a =120-<当时，由题意得，解得，20a -≠220Δ16(2)48(2)0a a a -<⎧⎨=-+-<⎩1a 2-<<综上，的取值范围是，a {}12a a -<≤故选：B5. 在中，若，则的形状为（）ABC ()sin sin sin 2C B A A+-=ABC A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式和两角和差的正弦公式、正弦的二倍角公式化简已知条件，再结合角的范围即可求解.【详解】因为，()()sin sin πsin C A B A B =-+=+⎡⎤⎣⎦由可得：，()sin sin sin 2C B A A +-=()()sin sin sin 2A B B A A++-=即，sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos A B A B B A B A A A ++-=所以，sin cos sin cos B A A A =所以，()cos sin sin 0A AB -=所以或，cos 0A =sin sin A B =因为，，0πA <<0πB <<所以或，π2B =A B =所以的形状为等腰三角形或直角三角形，ABC 故选：D.6. 若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（ ）210x ax ++≥10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦a A. 0 B. C. D. 2-52-3-【答案】C 【解析】【分析】采用分离参数将问题转化为“对一切恒成立”，再利用基本不等式求解出的1a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦1x x +最小值，由此求解出的取值范围.a 【详解】因为不等式对于一切恒成立，210x ax ++≥10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦所以对一切恒成立，1a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦所以，max 110,2a x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎤≥-+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦⎝⎭又因为在上单调递减，所以，()1f x x x =+10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦()min 1522f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以，所以的最小值为，52a ≥-a 52-故选：C.【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值，涉及不等式在给定区间上的恒成立问题，难度一般.不等式在给定区间上恒成立求解参数范围的两种方法：参变分离法、分类讨论法.7. 已知函数，则下列关于函数的说法正确的是．141()2x x f x +-=()f x A. 为奇函数且在上为增函数 B. 为偶函数且在上为增函数R R C. 为奇函数且在上为减函数 D. 为偶函数且在上为减函数R R 【答案】A 【解析】【详解】函数，其定义域为，∵()14111(2222x x x x f x +-==-R ，∴为奇函数，∵在上单调递增，∴()()11122(2)222x x x x f x f x --=-=--=-（）()f x 2xy =R 在上单调递减，∴在上单调递增，∴函数在上单调递增，综上可知：为奇12x y =R 12x y =-R ()f x R 函数且在上为增函数，故选A.R 8. 已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围是（ ）()2sin f x x ω=,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2-ωA. B.9,[6,)2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦93,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C. D.(,2][6,)-∞-+∞ 3(,2],2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】分讨论，求出的范围，根据在范围内建立不等式求解即可.0,0ωω><x ω2π-【详解】当时，，0ω>34x ππωωω-≤≤由题意知，，即，32ππω-≤-32ω≥当时，，0ω<43x ππωωω≤≤-由题意知，，即，42ππω≤-2ω≤-的取值范围是，ω∴3(,2],2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列四组函数中，表示同一函数的是( )A.， B.y x=u =y =2s =C. ，D.，y x=s=y =y =【答案】AC 【解析】【分析】两函数定义域相同，对应关系相同，则它们是同一函数，据此逐项分析即可.【详解】A ：，，两函数定义域均为R ，对应关系相同，故两个函数为同一函数；y x=u v==B ：定义域为R ，的定义域为，故两函数不为同一函数；y =2s =[)0,∞+C ：，，两函数定义域均为R ，对应关系相同，故两个函数为同一函数；y x =sx ==D：定义域满足，即[1，＋∞)；，即y =1010x x +≥⎧⎨-≥⎩y =210x -≥(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故两函数不为同一函数.故选：AC.10. 已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（）,R a b ∈0ab >A.B. 2a b+≥222a b ab+≥C. D. 2b a a b+≥114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD 【解析】【分析】利用特殊值判断A ，利用基本不等式判断B 、C 、D.【详解】解：对于A ：当时，满足，但是，故A 错误；1a b ==-0ab >112a b+=-<=对于B ：因为，所以，当且仅当时取等号，故B 正确；()2a b -≥222a b ab +≥a b =对于C ：因为，所以，，所以，当且仅当，即时取等0ab >0b a >0a b >2b a a b +≥=b a a b =a b =号，故C 正确；对于C ：因为，所以，，0ab >0b a >0a b >1ab>所以，1114a b a b ab a b b a ab ⎛⎫⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时取等号，故D 正确；1a b ==±故选：BCD 11. 设函数，给出如下命题，其中正确的是（ ）()f x x x bx c =++A. 时，是奇函数0c =()y f x =B. ，时，方程只有一个实数根0b =0c >()0f x =C.的图象关于点对称()y f x =()0,c D. 方程最多有两个实数根()0f x =【答案】ABC 【解析】【分析】利用函数的解析式，结合奇偶性和对称性，以及利用特值法，依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，当时，，0c =()f x x x bx=+此时，故为奇函数，A 正确；()()f x f x -=-()f x 对选项B ，当，时，，0b =0c >()f x x x c=+若，无解，若，有一解B 正确；0x ≥()0f x =0x <()0f x =x =对选项C ，因为为奇函数，图象关于对称，()g x x x bx=+()0,0所以图象关于对称，故C 正确，()f x x x bx c=++()0,c 对选项D ，当，时，，1b =-0c =()f x x x x=-方程，即，解得，，，()0f x =0x x x -=11x =-20x =31x =故D 错误.故选：ABC 12. 已知函数对任意都有，若函数的图象关于对称，()f x x ∈R ()()2f x f x +=-()1y f x =-1x =若，则下列结论正确的是（）()20f -=A. 是偶函数 B.()f x ()20220f =C.的图象关于点对称D.()f x ()1,0()()21f f ->-【答案】ABC 【解析】【分析】由，得到，(2)()f x f x +=-()4()f x f x +=得出是周期为4的周期函数.根据函数的图象变换，()f x 得到函数的关于对称，得出函数为偶函数.()f x 0x =()f x 结合，根据.(2)0f -=(2022)(2)0f f ==进而求得，得到函数关于中心对称，即可判断.(2)()0f x f x ++-=()f x (1,0)【详解】对于选项A ：由函数的图像关于对称，根据函数的图象变换，(1)f x +=1x -可得函数的图象关于对称，所以函数为偶函数，所以A 正确；()f x 0x =()f x 对于选项B ：由函数对任意都有，可得，()f x x R ∈(2)()f x f x +=-()2(()4)f x f x f x -+=+=所以函数是周期为4的周期函数，()f x 因为，可得，(2)0f -=(2)0f =则，所以B 正确；(2022)(50542)(2)0f f f =⨯+==又因为函数为偶函数，即，所以，()f x ()()f x f x -=(2)()()f x f x f x +=-=--可得，所以函数关于中心对称，所以C 正确；(2)()0f x f x ++-=()f x (1,0)所以，所以，所以D 错误.(1)(1)0f f -==()()21f f -=-故选：ABC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 设函数，则的值为________.()2,01,0x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩()()1f f -【答案】2【解析】【分析】先求出，再由求出结果.()11f -=()()1(1)f f f -=【详解】首先，，所以.()11f -=()12f =()()1(1)2f f f -==故答案为：2【点睛】本题考查分段函数求函数值，属于基础题.14. 若，则=_____.()cos cos 2f x x=()sin15f ︒【答案】【解析】【分析】由诱导公式可知，所以，再根据诱导公式，sin15cos 75︒=︒()()sin15cos 75cos150f f ︒=︒=︒即可求出结果.【详解】()()()sin15cos 75cos150cos 18030cos30f f ︒=︒=︒=︒-︒=-︒=故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题.15. 已知，则______．tan 2x =πtan 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】17-【解析】【分析】结合正切函数的和差公式及二倍角公式即可运算.【详解】，222tan 224tan21tan 123x x x ⨯===---∴．41π1tan213tan 2441tan2713x x x -+⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭+故答案为：.17-16. 已知只有一个零点，则____________．11()2x xf x e e a --=++=a 【答案】1-【解析】【分析】由函数只有一个零点，转化为方程有唯一的实数解，11()2x xf x e e a --=++112x x e e a --+=-结合基本不等式，求得，得到，即可求解.112x x ee --+≥=22a -=【详解】由题意，函数只有一个零点，11()2x xf x e e a --=++即有唯一的实数根，即方程有唯一的实数解，()0f x =112x x ee a --+=-令()11x xg x e e --=+因为，所以，110,0x xe e -->>()112x x g x e e --≥+==当且仅当时，即等号成立，11x x ee --=1x =因为方程有唯一的实数解，所以，即.112x xe e a --+=-22a -=1a =-故答案为：.1-【点睛】本题主要考查了根据函数的零点公式求解参数问题，以及基本不等式的应用，其中解答中把函数的零点个数转化为方程解得个数，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 化简求值（1）；33641162-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭（2）.ln 2145log 22lg 4lg 8e +++【答案】（1）109；（2）.52【解析】【分析】（1）利用指数幂运算和分数指数幂与根式的转化，化简求值即可；（2）利用对数运算性质化简求值即可.【详解】解：（1）原式；()611334233242122381823109⎛⎫=+-+⨯=+-+⨯= ⎪⎝⎭（2）原式.2ln 222log 25155lg 4lg lg 16218282log 4e ⎛⎫=+++=-+⨯+= ⎪⎝⎭18. 设，已知函数过点，且函数的对称轴为.()26f x mx nx =++()1,32x =（1）求函数的表达式；（2）若，函数的最大值为，最小值为，求的值.[]13,x ∈-M N M N +【答案】（1）()246f x x x =-+（2）13【解析】【分析】根据函数过点及二次函数的对称轴，得到方程组，解得、即可求出函数解析式；()1,3m n （2）将函数配成顶点式，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最值.【小问1详解】解：依题意，解得，所以；6322m n n m ++=⎧⎪⎨-=⎪⎩41n m =-⎧⎨=⎩()246f x x x =-+【小问2详解】解：由（1）可得，()()224622f x x x x =-+=-+所以在上单调递减，在上单调递增，()f x []1,2-(]2,3又，，，()111f -=()33f =()22f =所以，，()()max 111f x f =-=()()min 22f x f ==即、，所以.11M =2N =13M N +=19. 已知.35π3πsin 2,,542αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭（1）求的值cos α（2）求的值.πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】（1）（2）12-【解析】【分析】（2）由平方关系求得，再根据二倍角得余弦公式即可得解；cos 2α（2）由（1）求得，再根据两角差得正切公式即可得解.tan α【小问1详解】解：因为，所以，5π3π,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭5π2,3π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，4cos 25α==-又因为，2cos 22cos 1αα=-所以；cos α=【小问2详解】解：由（1）得，sin α==所以，tan 3α=所以.π131tan 41132α-⎛⎫-==- ⎪+⨯⎝⎭20. 已知函数.()2()cos sin cos f x a x x x b =++（1）当时，求的单调递增区间；0a >()f x （2）当且时，的值域是，求，的值.a<00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x [3,4]a b 【答案】（1）；（2）3,,88k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦24a b =-=【解析】【分析】（1）首先利用三角恒等变形公式将函数化为的形()f x ()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>式，再由，解出x 的范围，可得函数的单调递增区间；2222k x k πππωϕπ-≤+≤+（2）由，得到，进而得到，从而由（1）所得式子，02x π≤≤52444x πππ≤+≤sin 214x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭可用a 、b 将函数的最小值及最大值，取立得方程组，解之即可求得a 、b 的值.【详解】（1）()1cos 21sin 222242x a f x a a x b x b π+⎛⎫=⋅+⋅+=+++ ⎪⎝⎭令，则，222242k x k πππππ-≤+≤+388k x k ππππ-≤≤+的单调递增区间；∴()f x 3,,88k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2），，，02x π≤≤52444xπππ∴≤+≤sin 214x π⎛⎫≤+≤⎪⎝⎭，，()min 3f x b ∴=+=()max 4f x b ==∴.24a b =-=【点睛】本题重点考查了三角函数的图象和性质，属于基础题.21. 已知函数为奇函数．()121log 1kx f x x -=-（1）求常数的值；k （2）当时，判断的单调性；1x >()f x （3）若函数，且在区间上没有零点，求实数的取值范围．()()12x g x f x m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()g x []3,4m 【答案】（1）1k =-（2）单调递增 （3）2159,log ,1638⎛⎫⎛⎫-∞++∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】【分析】（1）根据奇函数及对数函数的性质求参数值；（2）令，结合对数函数的性质判断的大小关系即可.121x x >>12(),()f x f x （3）将问题转化为在区间上无解，根据右侧函数的单调性求值域，即可确定m 1211log 21x x m x -+⎛⎫= ⎪-⎝⎭[3,4]的范围.【小问1详解】由，即，()()f x f x -=-11122211log log log 1111kx kx x x x kx -+-=-=----所以，故，则，1111kx x kx x +=----22211k x x -=-1k =±当时，显然不成立，经验证：符合题意；1k =111x x -=--1k =-所以；1k =-【小问2详解】单调递增()f x 由（1）知：，若，121()log 1x f x x +=-121x x >>则，1212121212111112121212222211(1)(1)1()()log log log log 11(1)(1)1x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x +++--+--=-==---++--而，即，1212121211x x x x x x x x -+-<+--12121212111x x x x x x x x -+-<+--所以，故单调递增.12())0(f x f x ->()f x 【小问3详解】由，令，1211()log 12x x g x m x +⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭()0g x =所以，由（2）知：在上递增，而在上递减，1211log 21x x m x -+⎛⎫= ⎪-⎝⎭()f x [3,4]12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭[3,4]所以在上递减，则.1211()log 21x x h x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭-[3,4]2159()[log ,]1638h x ∈+又在区间上无解，故()m h x =[3,4]2159(,log )(,)1638m ∈-∞+⋃+∞22. “金山银山，不如绿水青山，而且绿水青山就是金山银山”.某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为：树木的高度（单位：米）与生()f x 长年限（单位：年）满足关系，树木栽种时的高度为米；1年后，树木的高度x ()()41=013kx b f x x +≥+12达到米.4128（1）求的解析式；()f x （2）问从种植起，第几年树木生长最快？【答案】（1）；（2）第3年与第4年.()441()013x f x x -+=≥+【解析】【分析】（1）由已知得，即，解方程即可求的值，即可求解.1(0)241(1)28f f ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩41113241411328b k b +⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,k b（2）树木第年的增长量为：整理之后利用基本不等式求x ()()344141()11313x x g x f x f x -+-+=+-=-++最大值即可.【详解】（1）由已知得，即，1(0)241(1)28f f ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩41113241411328b k b +⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩所以，解得，，381327b k b +⎧=⎨=⎩1k =-4b =所以，.()441()013x f x x -+=≥+（2）令，.x ∈N ()()()()334344141823()113131313x x x x x g x f x f x -+-+-+-+-+⋅=+-=-=++++问题化为，当时，求函数的最大值.x ∈N ()g x 而()3273782382()1343133427x x x x x g x -+-+-+-⋅==+⋅+++.(412≤=-当且仅当，即，上式取等号，但，，733x x -=72x =x ∈N ()()41344g g ==故种植之日起，第3年与第4年树木生长最快.【点睛】关键点点睛：求第几年树木生长最快关键是构造函数()()()1g x f x f x =+-表示第年的增长量的增长量，经过变形可以利用基本不等式求最值，即可求出取3441411313x x -+-+=-++x 得最值时的值，本题也可以采用换元法令，则x 33x t -+=通分后分子分母同时除以，再利用基本不()()3441414141()11313113x x g x f x f x t t -+-+=+-=-=-++++t 等式求最值.。
2023-2024学年云南省昆明市高一上册期末教学测评数学试题(含解析)
2023-2024学年云南省昆明市高一上册期末教学测评数学试题一、单选题1．设集合{}24xM x =≤，{}2430N x Z x x =∈-+≤，则M N ⋂=（）A ．[]1,2B ．()1,3-C ．{}1D ．{}1,2【正确答案】D【分析】解集合M 和集合N 中的不等式，求两集合的交集.【详解】{}2M x x =≤，{}{}Z 131,2,3N x x =∈≤≤=，所以{}1,2M N = .故选：D ．2．cos 12π=（）A ．4B ．4C ．4D ．4-【正确答案】A 【分析】由1234πππ=-及余弦差公式求值.【详解】1cos cos 1234222πππ⎛⎫=-=⨯+= ⎪⎝⎭故选：A ．3．如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高（长）的中位数散点图，下列可近似刻画身高y 随年龄x 变化规律的函数模型是（）A ．()0y mx n m =+>B ．()0y n m =+>C ．()0,1xy ma n m a =+>>D ．4log 0,1y m x nm a =+>>【正确答案】B【分析】根据图象是否是线性增长，指数函数的图象与性质，对数函数的性质判断ACD ，再由选项B 中函数的性质判断后可得．【详解】A 选项，由散点图知身高y 随时间x 变化不是线性增长，故A 错误；C 选项，指数函数模型中y 随x 增长越来越快，与图象不符合；D 选项，对数函数模型在0x =时没有意义；B 选项符合散点图中y 随x 增长越来越慢，且在0x =时有意义，故选：B ．4．在正三角形△ABC 中，2AB =，M ，N 分别为AB ，AC 的中点，则AM BN ⋅=（）A ．32-B ．CD ．32【正确答案】A【分析】由题可知，向量AM ，BN的夹角为150°，再由平面向量数量积的定义即可得出答案.【详解】由题知，1AM = ，BN =uuu r AM ，BN的夹角为150°，所以cos150AM BN AM BN ⋅=︒= 312⎛=- ⎝⎭.故选：A ．5．某扇形的圆心角为2，弧长为4，则该扇形的面积为（）A ．1B ．2C ．4D ．8【正确答案】C【分析】根据扇形的面积公式即可求解.【详解】由弧度制定义，该扇形的半径为422r ==，所以该扇形的面积为14242⨯⨯=，故选：C ．6．设向量()1,cos a θ= ，()sin 2cos ,b θθ=- ，则“a b ⊥ ”是“1tan 2θ=”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【正确答案】B【分析】由向量垂直的坐标表示结合充分必要条件的定义判断.【详解】22sin 2cos 02sin cos cos 02sin cos a b θθθθθθθ⊥⇔-=⇔-=⇔=或1cos 0tan 2θθ=⇔=或cos 0θ=，故选：B ．7．已知点π,012A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，π,24B m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3π,8C m ⎛⎫- ⎪⎝⎭在函数()()sin f x x ωϕ=+的一个周期的图像上，其三个点的位置如图所示，则函数()f x 的单调递减区间为（）A ．π7π2π,2π2424k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈ZB ．ππ2π,2π124k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈ZC ．ππ7ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z D ．ππππ,12242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z【正确答案】C【分析】点B ，点C 关于点D 中心对称，求出点D 坐标，AD 为函数的半个周期，求出ω，由点π,012A ⎛⎫- ⎪⎝⎭在函数图像上得到函数解析式，利用整体代入法求单调递减区间.【详解】由图，点B ，点C 关于点D 中心对称，π3ππ24826-+=，故点π,06D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，AD 为函数的半个周期，所以2T πππ6124⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，π2T =，故4ω=，点π,012A ⎛⎫- ⎪⎝⎭在函数图像上，依题意有函数sin 4y x =的图像向左平移π12个单位得到()f x 的图像，故()ππsin 4sin 4123f x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()ππ3π2π42π232k k x k +≤+≤+∈Z ，解得()ππ7ππ242242k k x k +≤≤+∈Z ，所以()f x 单调递减区间为7,242242k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，故选：C ．8．已知()f x 是R 上的偶函数，且()()20f x f x ++=，当01x ≤≤时，()21f x x =-，则()2023.5f =（）A ．－0.75B ．－0.25C ．0.25D ．0.75【正确答案】D【分析】由条件可得()f x 是周期为4的函数，又()f x 是偶函数，所以()()()2023.50.50.5f f f =-=，代入已知解析式即可求解.【详解】由()()20f x f x ++=得()()2f x f x +=-，()()42f x f x +=-+，故()()4f x f x +=，所以4是()f x 的一个周期，故()()()()22023.5 3.50.50.510.50.75f f f f ==-==-=，故选：D ．二、多选题9．关于函数()tan f x x =，下列选项正确的是（）A ．()f x 的定义域为ππ,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭B ．()f x 是奇函数C ．()f x 的最小正周期是πD ．3π6π55f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】AC【分析】根据正切函数的性质判断A ，画出函数图象，结合图象判断B 、C ，根据奇偶性与单调性判断D.【详解】解：函数()f x 的定义域与tan y x =的定义域相同，即为ππ,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故A正确；由()()tan f x x f x -==及()f x 的定义域知()f x 是偶函数，故B 错误；作出的图象如图所示，由图可知函数的最小正周期为π，故C 正确；由于3π2π55f f ⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，6ππ55f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且根据图象知()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以2ππ55f f⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3π6π55f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误.故选：AC ．10．已知正实数x ，y 满足4x y +=，则下列选项正确的是（）A ．e e +x y 的最小值为22eB ．lg lg x y +的最大值为lg 4C ．22xy +的最小值为8D ．()4x y +的最大值为16【正确答案】ABC【分析】对A 、B 、C ：结合基本不等式分析判断；对D ：由()4,0,4y x x =-∈代换，结合二次函数分析判断.【详解】对A ：由于2e e 2e x y +≥==，当且仅当e e x y =，即2x y ==时取等号，故A 正确；对B ：由基本不等式得242x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，故()lg lg lg lg 4x y xy +=≤，当且仅当2x y ==时取等号，故B 正确；对C ：22x y +=()221628x y xy xy +-=-≥，当且仅当2x y ==时取等号，故C 正确；对D ：由正实数x ，y 满足4x y +=，得()4,0,4y x x =-∈，故()()()()2484160,16x y x x x +=-=--+∈，故D 错误.故选：ABC ．11．设a ，b是互相垂直的单位向量，2AB a b λ=+ ，()1AC a b λ=+- ，下列选项正确的是（）A ．若点C 在线段AB 上，则2λ=B ．若AB AC ⊥，则23λ=C ．当1λ=时，与AB+ D ．当1λ=-时，a 在AC 上的投影向量为1255a b-【正确答案】ABD【分析】对A ：根据向量共线分析运算；对B ：根据向量垂直运算求解；对C ：根据单位向量分析运算；对D ：根据投影向量分析运算.【详解】由题意可得：221,0a b a b ==⋅=r r r r，对A ：若点C 在线段AB 上，则[),1,AB k AC k =∈+∞uu u r uuu r，则()()211a b k a b ka k b λλλ⎡⎤+=+-=+-⎣⎦r r r r r r ，可得()12k k λλ=⎧⎨-=⎩，解得2k λ==或1k λ==-（舍去），故A 正确；对B ：由AB AC ⊥，可得()()()()22221221320AB AC a b a b a a b b λλλλλλλ⎡⎤⋅=+⋅+-=+-+⋅+-=-=⎣⎦uu u r uuu r r r r r r r r r ，解得23λ=，故B 正确；对C ：当1λ=时，则2AB a b =+===uu u r r r与AB共线的单位向量是⎫=±⎪⎪⎝⎭，故C 错误；对D ：当1λ=-时，可得()22221,a AC a a b a a b AC ⋅=⋅-=-⋅====r uuu r r r r r r r uuu r 则a 在AC上的投影向量为()2112cos ,555AC a AC AC a AC a a AC a AC AC a bAC a ACAC AC⋅⋅<>====-uuu r r uuu ruuu r r uuu rr r uuu r r uuur uuu r r ruuu r r uuu ruuu r uuu r ，故D 正确.故选：ABD ．12．已知函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π2π,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上只存在两个实数12,x x 满足()()121f x f x =-，则下列结论正确的是（）A ．12min8π15x x -=B ．12max2π3x x -=C ．()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在π2π,23⎡⎤-⎢⎣⎦上有且仅有两个零点【正确答案】BD【分析】由题意得1x x =，2x x =是函数()f x 图象的相邻两条对称轴，结合正弦函数的对称性确定函数的周期的范围从而判断AB ，由正弦函数的单调性判断C ，由正弦函数的性质判断D ．【详解】由题意，1x x =，2x x =是函数()f x 相邻的两条对称轴，当π3π42x ω+=-，解得7π4x ω=-，当ππ42x ω+=-，解得34πx ω=-，由题意7ππ3π424ωω-<--≤，解得3722ω<≤，当42ππx ω+≤，解得π4x ω=，当342ππx ω+=，解得5π4x ω=，由题意25434πππωω<≤，解得31588ω<≤，故31528ω<≤，故164153T ππ<≤，所以821523T ππ<≤，故A 错误，B 正确；当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，315,28ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故9,4416x πππω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，9,,41622ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Ø，故C 错误；当0x >时，20,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，315,28ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故3,442x πππω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，sin 0π=，故()f x 在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，当0x <时，,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，315,28ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故11,4164x πππω⎛⎫+∈-⎪⎝⎭，sin 00=，故()f x 在,02π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上有且仅有一个零点，所以()f x 在2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，故D 正确，故选：BD ．三、填空题13．已知函数()321f x x x =--在区间()1,2内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值，其参考数据（函数值均保留四位小数）如下：()1.50.6250f =-()1.750.8594f =()1.6250.0410f =()1.56250.3103f =-()1.593750.1393f =-()1.6093750.0503f =-()1.61718750.0050f =-()1.621093750.0180f =则这个零点的近似值为________．（保留两位小数）【正确答案】1.62【分析】根据题意，由二分法分析可得函数()321f x x x =--在()1.6171875,1.62109375内存在零点，从而可得答案.【详解】由表可知，()1.61718750.00500f =-<，()1.621093750.01800f =>所以函数()321f x x x =--在区间()1.6171875,1.62109375内存在零点，这个零点保留两位小数后的近似值为1.62．故1.6214．在△ABC 中，点D 满足3BD DC =，若AC xAB y AD =+ ，则xy =________．【正确答案】49-【分析】由平面向量基本定理结合3BD DC = 可得1433AC AB AD =-+，即可求出,x y 的值，即可求出答案.【详解】由3BD DC = ，得4BC CD =-，所以()4AC AB AD AC -=-- ，即414AB AD AC -=- ，所以1433AC AB AD =-+ ，所以13x =-，43y =，故49xy =-．故答案为.49-15．函数()()()cos 20πf x x ϕϕ=+<<的图象向左平移π6个单位后与函数cos 2x y =-的图象重合，则ϕ=_________．【正确答案】2π3##2π3【分析】由三角函数图象的平移变换求出π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由平移后图象重合，可得ππ2π,Z 3k k ϕ+=+∈，再结合0πϕ<<即可得出答案.【详解】()cos 2cos 2πx x -=+，πππcos 2cos 2663f x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为平移后图象重合，故ππ2π,Z 3k k ϕ+=+∈，因为0πϕ<<，故23ϕπ=．故答案为.2π316．若函数()()()2πln sin cos 2f x x x a x x a ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭R 有唯一零点，则=a _____．【正确答案】π4【分析】令()2πln 2g x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()sin cos h x a x x =-+，()f x 有唯一零点等价于()g x ，()h x 图象有唯一交点，分别求出()g x 和()h x 单调性和对称性，结合图象求解即可.【详解】()2πln 2g x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()sin cos h x a x x =-+，则()f x 有唯一零点等价于()g x ，()h x 图象有唯一交点,因为()f x 的定义域为π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()g x 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，其最大值为2πππln2ln 4164g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．由于22ππln 416g x x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，ππ44g x g x ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故()g x 的图象关于π4x =对称．而()()πsin cos sin 4h x a x x x ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，()h x 的图象也关于π4x =对称，结合如图所示的()g x ，()h x 图象可知，仅当π2ln 4=，即π4a =时，()g x ，()h x 图象有唯一交点，故π4a =．故答案为.π4四、解答题17．已知4tan 3θ=-．(1)若角θ的终边过点()6,P y -，求()sin sin 2πθπθ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭的值；(2)若将角θ的终边顺时针旋转4π得到角ϕ的终边，求sin cos sin cos ϕϕϕϕ+-的值．【正确答案】(1)15(2)43【分析】（1）由任意角的三角函数的定义求出8y =，再结合诱导公式化简()sin sin 2πθπθ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，代入即可得得出答案.（2）由题意求出tan 7ϕ=，然后sin cos sin cos ϕϕϕϕ+-的分子分母同除cos ϕ，化简代入即可得出答案.【详解】（1）由三角函数的定义得4tan 63y θ==--，解得8y =，所以()2263cos 10568θ==-=--+，()2284sin 10568θ===-+，故()341sin sin cos sin 2555πθπθθθ⎛⎫+-+=+=-+= ⎪⎝⎭．（2）由题得4πϕθ=-，故tan 1tan tan 741tan πθϕθθ-⎛⎫=-== ⎪+⎝⎭，所以sin cos tan 1714sin cos tan 1713ϕϕϕϕϕϕ+++===---．18．已知向量()2,a t t = ，()3,2b =- ，()3,1c =- ．(1)求a b + 的最小值及相应t 的值；(2)若b a - 与c 共线，求a 与c 的夹角．【正确答案】(1)45t =(2)4π【分析】（1）求出向量a b + 的坐标，再由向量的模长公式求出a b + ，根据二次函数求最值，即可得出答案.（2）由b a - 与c 共线可求出t ，再由向量的夹角公式即可得出答案.【详解】（1）因为()2,a t t = ，()3,2b =- ，所以()23,2a b t t +=-+ ，所以a b +===≥= 当且仅当45t =取“＝”，即a b +，此时45t =．（2）因为()32,2b a t t -=--- ，()3,1c =- ，所以由b a - 与c 共线得()()()033212t t ⨯---⨯-=-，解得35t =，此时63,55a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，设a ，c 的夹角为θ，则()633155cos 2a c a c θ⨯+⨯-⋅== ，又[]0,πθ∈,故a 与c 的夹角为4π．19．设函数()()222sin cos sin f x x x x =--．(1)求()f x 的最小正周期及对称轴方程；(2)若()f x 在[],a a -上单调递增，求a 的最大值．【正确答案】(1)最小正周期T π=，对称轴方程为382k x ππ=+，k ∈Z (2)8π【分析】（1）由三角恒等变换化简解析式，由整体法求对称轴方程，由公式求得周期；（2）判断0a >，由整体法，结合函数单调区间建立不等式组求解即可.【详解】（1）()()221cos 22sin cos sin 21sin 2sin 2cos 2224x f x x x x x x x x π-⎛⎫=--=⋅-+=-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期22T ππ==，由242x k πππ-=+，k ∈Z 得382k x ππ=+，k ∈Z ．所以()f x 的对称轴方程为382k x ππ=+，k ∈Z ；（2）由题意0a >，因为[],x a a ∈-，故22,2444x a a πππ⎡⎤-∈---⎢⎥⎣⎦，则有22422242a k a k ππππππ⎧--≥-+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，k ∈Z ，解得838a k a k ππππ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，因为0a >，故0k =，所以08a π<≤.故a 的最大值为8π．20．已知函数()31log 1f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)求()f x 的定义域D ，并证明：x D ∀∈，都有1x D -∈，且()()1f x f x +-为定值；(2)若不等式()0f x m -≥在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)证明见解析(2)(],1-∞【分析】（1）根据对数函数的性质，建立不等式，求得定义域；根据对数运算，可得答案；（2）根据复合函数的单调性，结合反比例函数以及对数函数的单调性，可得函数()f x 的单调性，从而求得最值，由题意，建立不等式，可得答案.【详解】（1）由110x->，解得01x <<，故()f x 的定义域D 为()0,1．当()0,1x ∈时，()1,0x -∈-，故()10,1x -∈，且()()333331111log 1log 1log log log 1011x x f x f x x x x x -⎛⎫⎛⎫+-=-+-=+== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．（2）令11u x =-，则()f x 可以看做函数11u x=-与3log y u =复合而成．因为11u x =-在11,42⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减，3log y u =在()0,∞+上单调递增，所以()f x 在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．故()3max 1log 314f f x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．而不等式()0f x m -≥在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解等价于()max 1m f x =≤，所以实数m 的取值范围为(],1-∞．21．数学与音乐之间有着密切联系，如在一首乐曲中常常会有一段音符反复出现，这就是它的主旋律，从数学上看，乐曲的主旋律就是通过周期性表达的，可以用三角函数来表示．某乐曲的一个音量y （单位：分贝）关于时间x （单位：秒）的函数模型为1240sin 40sin y x x ωω=+，它可以看做是由纯音140sin y x ω=与240sin y x ω=合成的．(1)已知在一个周期内，正的最强音出现一次．若1πω=，22πω=，则在三分钟内出现了几次正的最强音？(2)当弹奏两个频率很接近的纯音时，合成出来的音听上去时有时无，好像某人在以一个固定的频率调大和调小音量，这种现象叫做差拍，我们可以利用三角函数中的和差化积公式解释它，1240sin 40sin x x ωω+=121280sin cos 22x x ωωωω+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此我们可以认为是对声音1240sin 2y x ωω+⎛⎫= ⎪⎝⎭的周期性放缩，故缩倍数为()122cos 2g x x ωω-⎛⎫= ⎪⎝⎭．若1x =秒时放缩倍数与2x =秒时放缩倍数相同（假设放缩倍数为正数），1π3ω=，2π02ω<<，则2x =秒时音量为多少分贝？【正确答案】(1)90次(2)【分析】（1）根据2为函数40sin πy x =的一个周期，1为函数40sin 2πy x =的一个周期，可得2为函数40sin π40sin 2πy x x =+的一个周期，再设T 是函数的一个周期，02T <<，从而可求得T ，进而可得出答案；（2）由题意，()()12g g =，设12cos 2t ωω-⎛⎫= ⎪⎝⎭，求出t ，从而可求得2ω，从而可得出答案.【详解】（1）因为2为函数40sin πy x =的一个周期，1为函数40sin 2πy x =的一个周期，所以2为函数40sin π40sin 2πy x x =+的一个周期，令()40sin π40sin 2πf x x x =+，设T 是()f x 的一个周期，02T <<，则由()()()()011f T f f T f ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得40sin π40sin 2π040sin π40sin 2π0T T T T +=⎧⎨-+=⎩，故sin π0T =，解得1T =，但()()140sin π40sin 2πf x x x f x +=-+≠，故1T =不是()f x 的周期，所以2是()f x 的最小正周期，由于在一个周期内，正的最强音出现一次，360902⨯=，所以在三分钟内出现了90次正的最强音；（2）由题意，()()12g g =，故()12122cos 2cos 2ωωωω-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以21212cos 2cos 122ωωωω--⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设12cos 2t ωω-⎛⎫= ⎪⎝⎭，12t <≤，故2210t t --=，解得1t =，12t =-（舍），所以12cos 12ωω-⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为1π3ω=，2π02ω<<，故1202ωω-=，所以2π3ω=，2π2π40sin sin33⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2x =秒时音量为22．设函数()1421x x f x a +=-⋅+，a ∈R ．(1)当0a =时，证明：方程()12log f x x =在()0,1上有唯一实根；(2)是否存在实数a ，满足：对于任意[]12,1,2x x ∈，都有()()121f x f x -≤？若存在，求出所有满足条件的a ；若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)证明见解析(2)存在，3a =【分析】（1）问题转化，构造函数24log 1x y x =++，由函数单调性结合零点存在定理证明；（2）分类讨论求得()f x 在[1,2]是最大值和最小值，由最大值与最小值的差不大于1可得．【详解】（1）当0a =时，()41x f x =+，方程()12log f x x =在()0,1上有唯一实根等价于函数24log 1x y x =++在()0,1上有唯一零点．令()24log 1x g x x =++，()0,1x ∈，因为11842114log 122088g ⎛⎫=++=-< ⎪⎝⎭，()150g =>，所以()g x 在1,18⎛⎫ ⎪⎝⎭存在零点．又()24log 1x g x x =++在()0,1上单调递增，所以()g x 在()0,1上有唯一零点，故方程()12log f x x =在()0,1上有唯一实根．（2）对于任意，[]12,1,2x x ∈，都有()()121f x f x -≤的充要条件是()()max min 1f x f x -≤，令2x t =，则原函数可化为221y t at =-+，[]2,4t ∈，记()221h t t at =-+，[]2,4t ∈，则()h t 开口向上，对称轴为x a =，①当2a ≤时，2()21h t t at =-+在[]2,4t ∈上是增函数，所以()()max 4178f x h a ==-，()()min 254f x h a ==-，故()()178541a a ---≤，解得114a ≥，这种情况无解；②当4a ≥时，2()21h t t at =-+在[]2,4t ∈上是减函数，所以()()max 254f x h a ==-，()()min 4178f x h a ==-，故()()541781a a ---≤，解得134a ≤，这种情况也无解；③当24a <<时，2()21h t t at =-+在[2,]a 上单调递减，在[,4]a 上单调递增，所以()()(){}{}max max 2,4max 54,178f x h h a a ==--，()()2min 1f x h a a ==-，故()()25411a a ---≤且()()217811a a ---≤，解得13a ≤≤且35a ≤≤，故3a =；综上，存在实数3a =，满足：对于任意[]12,1,2x x ∈，都有()()121f x f x -≤．。
2023-2024学年云南省昆明市五华区高一上册期末学业质量监测数学试题(含解析)
2023-2024学年云南省昆明市五华区高一上册期末学业质量监测数学试题一、单选题1．已知集合{}37A x x =≤≤，{}210B x x =<≤，则A B = （）A ．(]2,7B ．(]2,10C ．[]3,7D ．[)3,10【正确答案】C【分析】由交集运算求解.【详解】{}{}{}[]37210373,7A B x x x x x x ⋂=≤≤⋂<≤=≤≤=故选：C2．在平面直角坐标系中，若角α的始边为x轴的非负半轴，其终边经过点1,2P ⎛ ⎝⎭，则sin α=（）A．BC ．12D ．12-【正确答案】A【分析】由三角函数的定义求解.【详解】因为其终边经过点1,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以s in α==.故选：A3．下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（）A ．()()30f x x x =≥，()()3N g x x x =∈B ．()2f x =，()g x x=C ．()()ln 1e x f x +=，()211x g x x -=-D ．()211x f x x +=+，()121g x x =-+【正确答案】D【分析】判断()f x 与()g x 的定义域、对应关系，从而得出答案.【详解】对于A ：()f x 与()g x 的定义域不一致，故A 错误；对于B ：()f x 的定义域为{}0x x ≥，()g x 的定义域为R ，定义域不一致，故B 错误；对于C ：()f x 的定义域为{}1x x >-，()g x 的定义域为{}1x x ≠，定义域不一致，故C 错误；对于D ：()f x 与()g x 的定义域都为{}1x x ≠-，且()211211x f x x x +==-++，即()f x 与()g x 为同一函数，故D 正确；故选：D4．若0a >，0b >，且6a b +=，则ab 的最大值为（）A ．5B ．6C ．8D ．9【正确答案】D【分析】根据22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可求解.【详解】因为0a >，0b >，且6a b +=，所以292a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当3a b ==时等号成立，所以ab 的最大值为9.故选:D.5．已知tan 3α=，则sin cos αα=（）A ．10B ．310C ．10D ．310±【正确答案】B【分析】化为关于sin ,cos αα的二次齐次式，然后弦化切代入计算．【详解】tan 3α=，则2222sin cos tan 33sin cos sin cos tan 13110αααααααα====+++，故选：B ．6．函数()()2,R axf x a b x b=∈+的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】由奇偶性排除AC ；讨论0b >和0b <两种情况，结合函数by x x=+的单调性判断BD.【详解】当0b ≤时，函数()f x 的定义域为{x x ≠，当0b >时，函数()f x 的定义域为R ，其定义域都关于原点对称，()()2axf x f x x b-=-=-+，即函数()f x 为奇函数，其图像关于原点对称，故AC 错误；由选项图可知，都是讨论0a ≠的情况，当0b >时，()af x b x x =+，对勾函数by x x=+在(上单调递减，在)+∞上单调递增，若0a >，则()f x 在(上单调递增，在)+∞上单调递减，且当0x >时，()0f x >，故B 正确；对于D 选项，由图可知，0b <.函数by x x=+在(和)+∞上单调递增，若0a >，()f x 在(和)+∞上单调递减，若a<0，()f x 在(和)+∞上单调递增，故D 错误；故选：B7．某同学完成假期作业后，离开学还有10天时间决定去某公司体验生活，公司给出的薪资有三种方案；方案①；每天50元；方案②：第一天10元，以后每天比前一天多10元；方案③：第一天1元，以后每天比前一天翻一番，为了使体坛生活期间的薪资最多，下列方案选择错误的是（）A ．若体验7天，则选择方案①B ．若体验8天，则选择方案②C ．若体验9天，则选择方案③D ．若体验10天，则选择方案③【正确答案】B【分析】根据等差数列与等比数列求和公式得出各天各方案的薪资，比较大小即可对选项一一判断.【详解】对于A ：体验7天，方案①需：507350⨯=元，方案②需：10203040506070280++++++=元，方案③需：1248163264127++++++=元；故若体验7天，则选择方案①薪资最多，故A 正确；对于B ：体验8天，方案①需：508400⨯=元，方案②需：1020304050607080360+++++++=元，方案③需：1248163264128255+++++++=元；故若体验8天，则选择方案①薪资最多，故B 错误；对于C ：体验9天，方案①需：509450⨯=元，方案②需：102030405060708090450++++++++=元，方案③需：1248163264128256511++++++++=元；故若体验9天，则选择方案③薪资最多，故C正确；对于D ：体验10天，方案①需：5010500⨯=元，方案②需：102030405060708090100550+++++++++=元，方案③需：12481632641282565121023+++++++++=元；故若体验10天，则选择方案③薪资最多，故D 正确；故选：B.8．已知2log a ππ=，2e log e b =，1ln 24c =，则（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c b a<<D ．c a b<<【正确答案】C【分析】根据对数与指数运算得到11log 2a π=+，11ln 2b =+，ln 214c =，再根据对数与指数比较大小的应用结合不等式的性质应用得出111121ln 21log 2π<<<++，ln 21142<，即可得出答案.【详解】21log 1log 2a πππ==+，2e 1log e=1ln 2b =+，1ln 2ln 2144c ==，0log 2ln 21π<<< ，111121ln 21log 2π∴<<<++，1ln 22442>= ，1ln 2ln 211442c ==<∴，c b a ∴<<，故选：C.二、多选题9．已知,,a b c 为实数，则（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，则a c b c +>+C ．若0a b c >>>，则a a c b b c+>+D ．若0a b c >>>，则b ca b a c>--【正确答案】BCD【分析】根据不等式性质判断，可用作差法证明不等式成立．【详解】当0c =时，22ac bc =，A 错误；a b >，则()()0a c b c a b +-+=->，即a c b c +>+，B 正确；0a b c >>>，则0a b ->，0b c +>，∴()()()0()()a a c a b c b a c c a b b b c b b c b b c ++-+--==>+++，∴a a c b b c+>+，C 正确；0a b c >>>，则0a b ->，0a c ->，0b c ->，∴()()()0()()()()b c b a c c a b a b c a b a c a b a c a b a c -----==>------，即b ca b a c>--，D 正确．故选：BCD ．10．已知欧拉函数()()x x ϕ*∈N 的函数值等于所有不超过正整数x ，且与x 互素的正整数的个数，例如：()11ϕ=，()42ϕ=，则（）A ．()x ϕ是单调递增函数B ．当8x ≤时，()x ϕ的最大值为()7ϕC ．当x 为素数时，()1x x ϕ=-D ．当x 为偶数时，()2xx ϕ=【正确答案】BC【分析】写出()x ϕ的前8项，可判断ABD ；当x 为素数时，x 与前1x -个数均互素，从而可判断C.【详解】由题意知，()11ϕ=，()21ϕ=，()32ϕ=，()42ϕ=，()54ϕ=，()62ϕ=，()76ϕ=，()84ϕ=，对于A ，()x ϕ不是单调递增函数，故A 错误；对于B ，当8x ≤时，()x ϕ的最大值为()7ϕ，故B 正确；对于C ，当x 为素数时，x 与前1x -个数均互素，所以()1x x ϕ=-，故C 正确；对于D ，当6x =时，()6622ϕ=≠,故D 错误.故选:BC.11．下列各式中，与22ππcos sin 66-相等的是（）A ．2tan 22.51tan 22.5︒-︒B ．ππsincos 1212C ．()()()()cos 35cos 25sin 35sin 25αααα-︒︒++-︒︒+D 2【正确答案】ACD【分析】由二倍角的余弦公式可得22ππ1cossin 662-=，由二倍角的正切公式可判断A ；由二倍角的正弦公式可判断B ；由两角差的余弦公式可判断C ；由同角三角函数的基本关系、诱导公式及二倍角的余弦公式可判断D.【详解】22πππ1cos sin cos 6632-==，对于A ，()22tan 22.512tan 22.5111tan 222.5tan 451tan 22.521tan 22.5222︒︒=⨯=⨯⨯︒=⨯︒=-︒-︒，故A 正确；对于B ，ππ1π1sincos sin 1212264==，故B 错误；对于C ，()()()()cos 35cos 25sin 35sin 25αααα-︒︒++-︒︒+()()()1cos 3525cos 602αα=-︒-︒+=-︒=⎡⎤⎣⎦，故C 正确；对于D22=2222sin 1012sin 102︒===︒，故D 正确.故选:ACD.12．设函数()ln 2ln 2f x x x =+--，则（）A ．()f x 的定义域为()(),22,∞∞--⋃+B ．()f x 的值域为RC ．()f x 在(,2)-∞-单调递增D ．()f x 在(2,)+∞单调递减【正确答案】BD【分析】根据函数解析式可确定其定义域和值域，判断A ，B ；根据复合函数的单调性的判断方法，可判断C ，D.【详解】由()ln 2ln 2f x x x =+--可得20,20,2x x x +≠-≠∴≠±，即()f x 的定义域为()(),2(2,2)2,∞∞---+ ，A 错误；又2()ln 2ln 2ln ||2x f x x x x +=+--=-，由于2||02x x +>-，故()f x 的值域为R ，B 正确；当(,2)x ∈-∞-时，2()ln 2ln 2ln 2x f x x x x +=+--=-，由于24122x x x +=+--在(,2)-∞-上单调递减，故()f x 在(,2)-∞-单调递减，C 错误；当(2,)x ∈+∞时，2()ln 2ln 2ln 2x f x x x x +=+--=-，由于24122x x x +=+--在(2,)+∞上单调递减，故()f x 在(2,)+∞单调递减，D 正确；故选：BD三、填空题13．一个扇形的弧长和面积都为1，则此扇形的圆心角的弧度数为________.【正确答案】12##0.5【分析】由扇形的面积公式以及弧长公式得出圆心角的弧度数.【详解】设此扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为r ，弧长为l ，则21121r l r θ⎧=⎪⎨⎪==⎩，解得1,22r θ==.故1214．使命题“x ∀∈R ，210kx kx ++>”为真命题的一个充分条件是________.【正确答案】[)0,4∈k （答案不唯一，k 取[)0,4内任意一个实数都可以）【分析】根据含参一元二次不等式恒成立的解法得出答案.【详解】命题“x ∀∈R ，210kx kx ++>”为真命题当0k =时，10>恒成立，符合题意，当0k ≠时，则2Δ40k k k >⎧⎨=-<⎩，解得04k <<，综上所述，实数k 的范围为[)0,4，则使命题“x ∀∈R ，210kx kx ++>”为真命题的一个充分条件为[)0,4∈k ，故[)0,4∈k （答案不唯一，k 取[)0,4内任意一个实数都可以）.15．函数()2412log log 28x x f x ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为________.【正确答案】2516##1.5625【分析】根据对数的运算可得()()221log log 32f x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,配方，根据二次函数的性质即可求最大值.【详解】()()22414411222log log log log 2log log 828x x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22221725log log 3log 2416x x x ⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当27log 4x =时，()max 2516f x =.故答案为:2516.16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意()12,,0x x ∈-∞且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，若()10f =，则不等式()0xf x <的解集为________.【正确答案】()(),11,-∞-⋃+∞【分析】根据函数为奇函数又已知得函数()f x 在(),0∞-上单调递减，可得函数()f x 在()0,∞+上单调递减，又()()110f f -=-=，可得函数大致图象，结合图象解不等式()0xf x <即可得解集.【详解】解：已知()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x =--，且()00f =又对任意()12,,0x x ∈-∞且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，不妨设120x x <<，则120x x -<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在(),0∞-上单调递减，则函数()f x 在()0,∞+上单调递减，又()10f =，所以()()110f f -=-=，则函数()f x 的大致图象如下图：根据图象可得不等式()0xf x <的解集为.()(),11,-∞-⋃+∞故答案为.()(),11,-∞-⋃+∞四、解答题17．化简求值：(1)312log 14lg 2lg 529-⎛⎫++- ⎪⎝⎭；(2)71113sin cos tan 634πππ++.【正确答案】(1)32(2)1【分析】（1）由对数和指数的运算求解；（2）由诱导公式求解即可.【详解】（1）原式()1220233lg 25211322-⎡⎤⎛⎫=+⨯-=+-=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）原式πππsin πcos 4πtan2ππ634⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππsincos tan π634⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭11πtan 1224=-++=18．已知函数()22,23,2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩.(1)在所给坐标系中作出()y f x =的简图；(2)解不等式()12f x <.【正确答案】(1)图像见解析(2)(),4,22⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）直接画出对应二次函数和反比例函数的图像即可；（2）分段函数分段解不等式即可.【详解】（1）()y f x =的简图如下：；（2）由已知得2122x x ⎧<⎪⎨⎪≥⎩或21322x x ⎧-<⎪⎨⎪<⎩，解得4x >或22x -<<，即不等式()12f x <的解集为()4,⎛+∞ ⎝⎭ ．19．已知α是钝角，β是锐角，π1cos 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()4sin 5αβ+=.(1)求sin2α的值；(2)求πsin 4β⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)79-；(2)415+.【分析】（1）根据诱导公式可得πsin 2cos 24αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由二倍角的余弦公式即可求解；（2）根据同角三角函数的基本关系分别求出()cos αβ+，πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭，由()ππsin sin 44βαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦及两角差的正弦公式即可求解.【详解】（1）22ππ17sin 2cos 22cos 1214439ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）因为α是钝角，β是锐角，()4sin 5αβ+=，所以πππ,022αβ<<<<，π3π22αβ<+<，ππ3π444α<-<，所以()3cos 5αβ+==-，πsin 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭.所以()ππsin sin 44βαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()ππsin cos cos sin 44αβααβα⎛⎫⎛⎫=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4134535315+⎛⎫=⨯--⨯ ⎪⎝⎭,20．已知函数()()22sin cos 1f x x x x =++-.(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)将函数()y f x =12倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若方程()0g x m -=有两个不等的实根，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)π；(2)[)0,2.【分析】（1）由三角恒等变换可得()π2sin 23f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故可求最小正周期；（2）由三角函数的图象变换可得()π2sin 43g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令[]π40,π3t x =+∈，可转化为y m =与2sin y t =的图象在[]0,πt ∈上有两个交点,画出2sin y t =在[]0,πt ∈上的图象，由图象即可求实数m 的取值范围.【详解】（1）()()22sin cos 1f x x x x =++-1cos 22sin cos 2x x x +=πsin 222sin 23x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭故函数()f x 的最小正周期为2ππ2=.（2）将函数()y f x =π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再把横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到()π2sin 43g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.当ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，[]π40,π3x +∈，令[]π40,π3t x =+∈,当ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,方程()0g x m -=有两个不等的实根，即y m =与2sin y t =的图象在[]0,πt ∈上有两个交点,画出2sin y t =在[]0,πt ∈上的图象如图所示：由图可得02m ≤<，故实数m 的取值范围为[)0,2.21．已知函数()1122x x f x a +-=+是奇函数.(1)求a 的值，并求()f x 的定义域；(2)已知实数t 满足()()222210f t t f t -+-<，求t 的取值范围.【正确答案】(1)2a =，R (2)()()1,1,3-∞-⋃+∞【分析】（1）根据奇函数的定义得出11121222x x x x a a --++--=-++，解得2a =，则()11222xx f x +-=+，根据具体函数定义域的求法得出其定义域；（2）根据复合函数的单调性得出函数()f x 是减函数，即可结合已知得出22212t t t ->-，即可根据一元二次不等式的解法得出答案.【详解】（1） 函数()1122x x f x a +-=+是奇函数，()()f x f x ∴-=-，即11121222x x x x a a --++--=-++，1222x x a a +∴⋅+=+，解得：2a =，则()11222xx f x +-=+，其定义域为R ；（2）()11212122221x x x f x +-⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭，2x y = 在定义域上为增函数，21y x =+在(),1-∞-与()1,-+∞上为减函数，()f x \在其定义域R 上为减函数，()()222210f t t f t -+-< ，即()()22221f t t f t -<--，函数()f x 是奇函数，()()22212f t t f t -<-∴，22212t t t ->-∴，即()()1310t t -+>，解得1t >或13t <-，即t 的取值范围为()()1,1,3-∞-⋃+∞.22．利用“函数零点存在定理”，解决以下问题.(1)求方程51211313x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的根；(2)设函数()1e x f x x =-，若()00f x =，求证.()012,32f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【正确答案】(1)2；(2)证明见解析.【分析】（1）构造函数()51211313x x f x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用函数零点存在定理转化求解即可；（2）由题意可得001e x x =，根据零点存在定理可得01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而可证明.【详解】（1）方程51211313x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的根就是函数()51211313x x f x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的零点，因为函数()f x 是连续的递减函数，且()()434410,30132197f f =>=-<，所以函数()f x 的零点在()1,3内.因为()22512211313f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的零点为2，即方程51211313x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的根为2.（2）若()00f x =，所以001e 0x x -=，即001e x x =.因为()1e x f x x=-在()0,∞+上单调递增，且1202f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()1e 10f =->，所以01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.()022200000111111e 224216x x x x x x f ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭=，因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()011,2x ∈，所以01137,444x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭.所以2011949,41616x ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以201111,34162x ⎛⎫⎛⎫--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故()012,32f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.。
2022-2023学年云南省昆明市西山区高一年级上册学期2月期末考试数学试题【含答案】
2022-2023学年云南省昆明市西山区高一上学期2月期末考试数学试题一、单选题1．设集合，，则（ ）{|1}A x x =≥{}2|20B x x x =--<A B ⋃=A ．B ．C ．D ．{|1}x x >-{|1}x x ≥{|11}x x -<<{|12}x x ≤<【答案】A 【分析】解出集合，根据并集的运算法则求得结果.{}|12=-<<B x x 【详解】由，220x x --<得，得(2)(1)0x x -+<12x -<<即，{}|12=-<<B x x 则A B ⋃={|1}x x >-故选：A.2．已知命题p ：，，则为（ ）(0,)2πα∀∈tan sin αα>p ⌝A ．，B ．，(0,)2πα∀∈tan sin αα≤(0,2πα∀∉tan sin αα≤C ．，D ．，(0,)2πα∃∈tan sin αα≤(0,2πα∃∉tan sin αα≤【答案】C【分析】全称命题的否定定义可得.【详解】根据全称命题的否定，：，.p ⌝(0,)2πα∃∈tan sin αα≤故选：C.3． （ ）cos 600=A ．B ．CD ．1212-【答案】B【分析】利用诱导公式化简求值.【详解】.1cos 600cos(360240)cos 240cos(18060)cos 602=+==+=-=-故选：B【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．下列函数表示同一函数的是（ ）A ．和1y x =+211x y x -=-B ．y =y C．y =1y x =+D ．和πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5πsin 26y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据同一函数的标准，定义域相同，对应法则一致，来逐项进行判断.【详解】因为的定义域为，而的定义域为全体实数，所以A 不符合题意；211x y x -=-{}1x x ≠1y x =+，的定义域为，所以B 不符合题意；y =(][),10,-∞-⋃+∞y =[)0,∞+显然不是同一函数，所以C 不符合题意；y =1y x =+，所以D 符合题意.5πππsin 2sin 2πsin 2666y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：D.5．为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin y x =①向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的；π412②向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的；π812③每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度；12π8④每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度．12π8A ．①④B ．①③C ．②④D ．②③【答案】A【分析】利用三角函数图象的平移变换、周期变换进行判断.【详解】因为，ππsin 2sin 248y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于①，函数的图象向左平移个单位长度，得到，sin y x =π4πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再将每个点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，故①正确；12πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于②，函数的图象向右平移个单位长度，得到，sin y x =π8πsin 8y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭再将每个点的横坐标缩短为原来的，得到，故②错误；12πsin 28y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于③，将函数的图象每个点的横坐标缩短为原来的，得到，sin y x =12sin 2y x =再向右平移个单位长度，得到，故③错误；π4ππsin 2sin 284y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于④，将函数的图象每个点的横坐标缩短为原来的，得到，sin y x =12sin 2y x =再向左平移个单位长度，得到，故④正确．故B ，C ，D 错误.π8ππsin 2sin 284y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：A.6．函数的部分图像大致为（ ）()cos 1xf x x =+A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】先判断函数的奇偶性，再利用特殊值排除可得答案.【详解】因为，所以，()cos 1x f x x =+()()cos cos ()11x xf x f x x x --===-++即函数为偶函数，排除C,D ；因为，所以排除A ；(0)1f =故选：B.7．函数，若，，，则（ ）()3e 2x f x x =+-a f=(b f =()tan 2c f =A ．B ．a b c >>a c b >>C ．D ．b a c >>c a b>>【答案】A【分析】先判断函数在，从而可解.()f x R 10tan 2>>>>【详解】在上单调递增，又在上单调递增，3y x = R e xy = R 函数在上单调递增.∴()3e 2xf x x =+-R，10tan 2>>>>则，即,(tan 2)f f f >>a b c >>故选：A8．已知函数M ，最小值为m ，则（ ）(f x M m +=A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】A【分析】求得定义域为 ，从而化简函数为奇函数，进而有(1,1)-()f x =()f x ，即可求解.max min ()()0f x f x +=【详解】由题意可得 ，所以 ，210x ->11x -<<即函数的定义域为 ，(1,1)-所以()f x ===则，所以 为奇函数，()()f x f x -==-()f x 所以，即.max min ()()0f x f x +=0M m +=故选：A二、多选题9．关于函数的零点，下列选项说法正确的是（ ）()321f x x x =-+A ．是的一个零点()1,0()f x B ．在区间内存在零点()f x ()2,1--C ．至少有2零点()f x D ．的零点个数与的解的个数相等()f x 3210x x -+=【答案】BCD【分析】根据零点的定义和零点存在定理，结合选项逐个判断.【详解】因为，所以是的一个零点，A 不正确；()3112110f =-⨯+=1x =()f x 因为，，()()3(2)222130f -=--⨯-+=-<()()3(1)121120f -=--⨯-+=>所以在区间内存在零点，B 正确；()f x ()2,1--令，得，()0f x =()()322221110x x x x x x x -+-+=-+-=因为方程的判别式，且不是的根，210x x +-=0∆>1210x x +-=所以有3个零点，C 正确；()f x 由零点的定义可知D 也是正确的.故选：BCD.10．角终边上一点的坐标为，且，关于下列结论正确的有（ ）α(),1P x -cos 2xα=tan αA ．若，则0x ≠tan sin αα>B ．当时，不存在0x =tan αC ．若为第三象限角，则αtan α=D ．若为第四象限角，则αtan α=【答案】BC 【分析】先根据和求出，然后结合选项逐个判定.(),1P x -cos 2xα=x 【详解】因为角终边上一点的坐标为，且，α(),1P x -cos 2x α=所以，解得或cos 2xα==0x =x =当时，若，此时；0x ≠x =1tan 2αα==-tan sin αα<若，此时；所以A 不正确.x =1tan 2αα==-tan sin αα>当时，不存在，B 正确.0x =tan α若为第三象限角，则，C 正确.αx =tan α=若为第四象限角，则D 不正确.αx =tan α=故选：BC.11．若函数是奇函数，下列选项正确的是（ ）()()221x x f x a +∈+=R A ．1a =-B ．是单调递增函数()f x C ．是单调递减函数()f x D ．不等式的解为()()2150f t f t ++-≤43≥t 【答案】ACD【分析】先根据奇函数求出参数，根据的单调性可得的单调性，根据奇偶性和单a 21xy =+()f x 调性可求的解.()()2150f t f t ++-≤【详解】因为是奇函数，所以；()()221xx f x a +∈+=R ()()0f x f x -+=即，解得，A 正确；2221221x x a -++=++1a =-因为为增函数，且，所以为减函数，所以是单调递减函数，B21xy =+211xy =+>221x y =+()f x 不正确，C 正确；因为是奇函数，所以不等式等价于不等式，()f x ()()2150f t f t ++-≤()()215f t f t +≤-因为是单调递减函数，所以，解得，D 正确.()f x 215t t +≥-43≥t 故选：ACD.12．如图，在等边三角形中，.动点从点出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到ABC 6AB =P A 点，记运动的路程为，点到此三角形中心距离的平方为，给出下列结论正确的有A P x P O ()f x （ ）A ．函数的最大值为12；()f xB ．函数的最小值为6；()f x C ．关于的方程最多有6个实数根；x ()3f x kx =+D ．当时能取得最大值.3x =()f x 【答案】AC【分析】写出分别在上运动时的函数解析式，利用分段函数图象可解.P ,,AB BC CA 2()f x OP=【详解】分别在上运动时的函数解析式，，P AB ()22()33f x OP x ==+-()06x ≤≤分别在上运动时的函数解析式，，P BC ()22()39f x OP x ==+-()612x ≤≤分别在上运动时的函数解析式，，P CA ()22()315f x OP x ==+-()1218x ≤≤，22223(3),(06)()3(9),(612)3(15),(1218)x x f x OP x x x x ⎧+-≤≤⎪==+-≤≤⎨⎪+-≤≤⎩由图象可得，方程最多有6个实数根，函数的最大值为12，最小值为3，当()3f x kx =+()f x 时能取得最小值3x =()f x 故选：AC.三、填空题13．写出一个的充分条件________．11x >【答案】（答案不唯一）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】解不等式得，只要找的一个子集即可.11x >01x <<01x <<【详解】等价于，即，11x >110x ->10x x ->则，解得，(1)0x x -<01x <<所以的一个充分条件是，01x <<10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：（答案不唯一）.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭14．，，且，则ab 的最小值为________．0a >0b >9ab a b =+【答案】36【分析】利用基本不等式以及不等式的性质求解.【详解】因为，，所以0a >0b >9ab a b =+≥=即，ab ≥36ab ≥当且仅当时，即时，取等号.9a b =2,18a b ==故答案为：36.15．已知函数是周期为2的函数，当时，，则________．()f x []0,1x ∈()221x f x x =+-()2023f =【答案】2【分析】根据周期可得，从而可求.(2023)(110112)(1)f f f =+⨯=【详解】根据题意，函数是周期为2的函数，()f x 则，(2023)(110112)(1)f f f =+⨯=当时，，[0,1]x ∈2()21xf x x =+-则，(1)1212f =+-=故.(2023)2f =故答案为：216．若，是第三象限角，则________．π3cos 25θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭θ1tan21tan 2θθ-=+【答案】2-【分析】先化简，得到，再利用同角三角函数的基本关系求得，再π3cos 25θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭3sin 5θ=-cos θ把所求的式子切化弦，利用二倍角公式，求得结果．【详解】因为，所以，π3cos 25θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭33sin,sin 55θθ-==-因为是第三象限角，所以，θ4cos 5θ==-所以sin211tan cos cos sin 22221tan sin cossin22221cos2θθθθθθθθθθ---==+++222224cos sin cos sin cos sin cos 2222522231sin cos sin 2cos sin 1cos sin 2222522θθθθθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=====-+⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭故答案为：2-四、解答题17．已知集合或或，全集.{}|20A x x =-≤≤{1B x x =<-}4x >U =R (1)求，，；A B ⋂A B ⋃U B (2)求.()(),U U U A B A B 【答案】(1),或，{}21A B x x ⋂=-≤<-{0A B x x ⋃=≤}4x >{}14U B x x =-≤≤ (2)，(){}24U A B x x ⋃=-≤≤ ()(){}04U U A B x x ⋂=<≤ 【分析】对集合分别求出其补集，再根据题意进行集合间的基本运算从而可求得结果.,A B 【详解】（1），或，{}20A x x =-≤≤{|1B x x =<-}4x >，或，;∴{}21A B x x ⋂=-≤<-{0A B x x ⋃=≤}4x >{}14U B x x =-≤≤ （2），则，{}14U B x x =-≤≤ (){}24U A B x x ⋃=-≤≤ ，或，{}20A x x =-≤≤∴{|2U A x x =<- }0x >.∴()(){}04U U A B x x ⋂=<≤ 18．计算下列两个小题：(1)；ln31e lg15lg3++(2)．0.25608π+【答案】(1)4(2)75【分析】（1）利用对数的运算规则进行求解；（2）利用指数的运算规则进行求解.【详解】（1）.ln3111e lg15lg 3lg 2lg15lg 3lg 2154333⎛⎫+++=+++=+⨯⨯= ⎪⎝⎭（2）.660.750.2650.25085221289π17=⨯+⨯+=+⨯=++19．已知函数在一个周期内的图象如图所示．()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式和最小正周期；()f x (2)求函数在R 上的单调增区间．()f x 【答案】(1)；最小正周期；π()3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πT =(2).πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦【分析】（1）根据最大值可得A ，根据周期可得ω，根据五点作图法中的第三个关键点的横坐标可得φ；（2）令，，求解即可.πππ2π22π262k x k -≤+≤+Z k ∈【详解】（1）根据函数 在一个周期内的图象，()sin()f x A x ωϕ=+π0,0,||2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭可得12π5ππ3,,221212A ωω=⨯=+∴=由五点作图法中的第三个关键点可知，5π2π2π,Z 12k k ϕ⨯+=+∈，又，π2π,Z 6k k ϕ∴=+∈ππ,26ϕϕ<∴= 所以，它的最小正周期为.π()3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2ππ2T ==（2）令，，πππ2π22π262k x k -≤+≤+Z k ∈可得, ，ππππ36k x k -≤≤+Z k ∈故函数的递增区间为.()f x πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦20．已知二次函数的图像过点和原点，对于任意，都有()()20f x ax bx c a =++≠()2,0-R x ∈．()2f x x≥(1)求函数的表达式；()f x (2)设，求函数在区间上的最小值．()()2g x f x mx =+()g x []0,1【答案】(1)()22f x x x=+(2)2min32,2()(1),210,1m m g x m m m +≤-⎧⎪=-+-<<-⎨⎪≥-⎩【分析】（1）由题意得，得，从而恒成立，得0420c a b c =⎧⎨-+=⎩2()2f x ax ax =+22(1)0ax a x +-≥，即可求解；20Δ4(1)0a a >⎧⎨=-≤⎩（2）依题意可得，即可得到对称轴，再对对称轴所在位置分类讨2()()2(22)g x f x mx x m x =+=++论，即可求出函数的最小值.【详解】（1）由题意得 ，所以，0420c a b c =⎧⎨-+=⎩22,0,()2b a c f x ax ax ===+因为对于任意，都有，即恒成立，R x ∈()2f x x ≥22(1)0ax a x +-≥故，解得，.20Δ4(1)0a a >⎧⎨=-≤⎩1a =2b ∴=所以；2()2f x x x =+（2），2()()2(22)g x f x mx x m x =+=++则的对称轴为，()g x 1x m =--当，即, 函数在上单调递增，10m --≤1m ≥-[]0,1故在上的最小值为；()g x []0,1(0)0g =当，即时，函数在上单调递减，11m --≥2m ≤-[]0,1故在的最小值为；()g x []0,1(1)32g m =+当，即时,011m <--<21m -<<-函数在上单调递减，在上单调递增，[)0,1m --(]1,1m --故在上的最小值为.()g x []0,12(1)(1)g m m --=-+综上, .2min 32,2()(1),210,1m m g x m m m +≤-⎧⎪=-+-<<-⎨⎪≥-⎩21．目前，我国汽车工业迎来了巨大的革命时代，确保汽车产业可持续发展，国内汽车市场正由传统燃油车向新能源、智能网联汽车升级转型.某汽车企业决定生产一种智能网联新型汽车，生产这种新型汽车的月成本为400（万元），每生产x 台这种汽车，另需投入成本（万元），当月产量()p x 不足40台时，（万元）；当月产量不小于40台时，（万元）．若()4p x x =()1000021900p x x x =+-每台汽车售价为20（万元），且该车型供不应求．(1)求月利润y （万元）关于月产量x （台）的函数关系式；(2)月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润?并求出最大月利润．【答案】(1)，；1640010000500x y x x -⎧⎪=⎨⎛⎫-++ ⎪⎪⎝⎭⎩*x ∈N (2)月产量为100台时，该企业能获得最大月利润，最大月利润为300万元．【分析】（1）利用利润等于总收入减去总成本，分段表示月利润y （万元）关于月产量x （台）的函数关系式；（2）根据分段函数的解析式，利用一次函数的性质和基本不等式逐段求解最大值即可.【详解】（1）当时，040x <<，，20440016400y x x x =--=-*x ∈N 当时，40x ≥100002021900400y x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，，10000500x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭*x ∈N 所以月利润y （万元）关于月产量x （台）的函数关系式为，；1640010000500x y x x -⎧⎪=⎨⎛⎫-++ ⎪⎪⎝⎭⎩*x ∈N （2）当，时，040x <<*x ∈N ，时，该函数取最大值为224，16400y x =-39x =当，时，40x ≥*x ∈N，10000500500300y x x ⎛⎫=-++≤-+= ⎪⎝⎭当且仅当时，等号成立，100x =综上所述，月产量为100台时，该企业能获得最大月利润，最大月利润为300万元．22．中，已知．设角，记．ABC ()1cos 2B C +=-B x =()4sin sin f x B C =⋅(1)求角A 的大小；(2)求；()f x (3)求的值域．()f x 【答案】(1)π3(2)()π2sin(2)16f x x =-+(3)(]0,3【分析】（1）根据，再结合，即可求解；1cos cos()2A B C =-+=(0,π)A ∈（2）由可得，代入，再结合降幂公式和辅助角公式π,3B x A ==ππ3C x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()4sin sin f x B C =⋅即可化简得到；（3）由可得再结合正弦函数的性质即可求解.2π(0,)3B x =∈ππ7π2(,),666x -∈-【详解】（1）中，，， ABC πA B C ++=1cos cos()2A B C ∴=-+=.π(0,π),3A A ∈∴= （2），π,,3B x A == ππ3C x ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭π1()4sin sin 4sin sin 4sin (sin )32f x B C x x x x x ⎛⎫∴=⋅=+= ⎪⎝⎭π2sin sin cos 2cos 212sin(2)16x x x x x x x =⋅+-+=-+（3）2πππ7π(0,2(,3666B x x =∈∴-∈- ，.π1sin(2,162x ⎛⎤∴-∈- ⎥⎝⎦(]()0,3f x ∴∈所以的值域为.()f x (]0,3。
云南省昆明市明兴学校高一数学理上学期期末试卷含解析
云南省昆明市明兴学校高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 正方体-中，与平面ABCD所成角的余弦值为( )A． B.C. D.参考答案：D2. 在数列{a n}中，若a1=﹣2，且对任意的n∈N*有2a n+1﹣2a n=1，则数列{a n}前15项的和为( )A．B．30 C．5 D．参考答案：A考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：易得数列{a n}是首项为﹣2公差为的等差数列，代入求和公式计算可得．解答：解：∵在数列{a n}中，若a1=﹣2，且对任意的n∈N*有2a n+1﹣2a n=1，∴a n+1﹣a n=，∴数列{a n}是首项为﹣2公差为的等差数列，∴数列{a n}前15项的和S15=15×（﹣2）+×=故选：A点评：本题考查等差数列的判定和求和公式，属基础题．3. 下列函数中，在上单调递增的是（）A B C D参考答案：C4. 从某鱼池中捕得120条鱼，做了记号之后，再放回池中，经过适当的时间后，再从池中捕得100条鱼，计算其中有记号的鱼为10条，试估计鱼池中共有鱼的条数为( ).A. 1000B. 1200C. 130D.1300参考答案：B略5. 已知幂函数f（x）=xα的图象过点，则函数g（x）=（x﹣2）f（x）在区间上的最小值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4参考答案：C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】求出幂函数f（x）的解析式，从而求出g（x）的解析式，根据函数的单调性求出g（x）在闭区间上的最小值即可．【解答】解：∵幂函数f（x）=xα的图象过点，∴2α=，解得：α=﹣1，故g（x）==1﹣，而g（x）在[，1]递增，故g（x）min=g（）=﹣3，故选：C．【点评】本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性、最值问题，是一道基础题．6. 下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是A.(1)(2)B.（2）（3）C.(3)(4)D.(1)(4)参考答案：D7. 设函数，则的表达式是（）A． B． C． D．参考答案：B略8. 设函数f（x）=|x|，g（x）=lg（ax2﹣4x+1），若对任意x1∈R，都存在在x2∈R，使f（x1）=g （x2），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．（0，4] C．（﹣4，0] D．[0，+∞）参考答案：D 【考点】函数的值域；函数的图象．【分析】由题意求出f（x）的值域，再把对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f（x1）=g（x2）转化为函数g（x）的值域包含f（x）的值域，进一步转化为关于a的不等式组求解．【解答】解：?x1∈R，f（x）=|x|∈[0，+∞），∵?x2∈R，使f（x1）=g（x2），∴g（x）=lg（ax2﹣4x+1）的值域包含[0，+∞），当a=0时，g（x）=lg（﹣4x+1），显然成立；当a≠0时，要使g（x）=lg（ax2﹣4x+1）的值域包含[0，+∞），则ax2﹣4x+1的最小值小于等于1，∴，即a＞0．综上，a≥0．∴实数a的取值范围是[0，+∞）．故选：D．9. 若、是异面直线，、是异面直线，则、的位置关系是（）Ａ．相交、平行或异面Ｂ．相交或平行Ｃ．异面Ｄ．平行或异面[来源:高&考%资(源#网wxc]参考答案：A10. 已知角的终边过点，且，那么等于（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 下列各式：（1）;（2）已知，则；（3）函数的图象与函数的图象关于原点对称； （4）函数=的定义域是，则的取值范围是;（5）函数的递增区间为.正确的有 （把你认为正确的序号全部写上）参考答案：（3）（1） ，所以错误；（2） ，当时，恒成立；当时，，综上，或，所以错误； （3）函数 上任取一点，则点落在函数上，所以两个函数关于原点对称，正确；（4）定义域为R ，当时，成立；当时，，得，综上，，所以错误；（5）定义域为，由复合函数的单调性性质可知，所求增区间为，所以错误；所以正确的有（3）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
云南省昆明市黄冈实验学校2017-2018学年高一数学上学期期末考
试试题
高一数学；考试时间：120分钟；总分：150分
评卷人得分
一、选择题（共60分）
1、(本题5分)设全集，集合，，则
（）
A． B． C． D．
2、(本题5分)函数y=+的定义域为（）
A．[，+∞） B．（-∞，3）∪（3，+∞）
C．[，3）∪（3，+∞） D．（3，+∞）
3、(本题5分)已知，则（）
A．3 B．-3 C． D．
4、(本题5分)（）
A． B． C． D．
5、(本题5分)函数的周期为,则（）
A． B． C． D．
6、(本题5分)下列函数，既有偶函数，又是上的减函数的是（）
A． B． C． D．
7、(本题5分)若，且为锐角，则的值等于（）
A． B． C． D．
8、(本题5分)三个数的大小顺序为（）
A．B．
C． D．
9、(本题5分)为了得到函数的图像,可以将函数的图像（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
10、(本题5分)化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为
A． B． C．－ D．－
11、(本题5分)已知点，向量，则向量（）
A． B． C． D．
12、(本题5分)下列函数中，既是偶函数又有零点的是
A． B． C． D．
13、(本题5分)已知集合，则的子集个数为__________．
14、(本题5分)函数的最小正周期为________.
15、(本题5分)化简:__________．
16、(本题5分)已知向量，，若向量，的夹角为，则实数
__________．
评卷人得分
三、解答题（共70分，解题时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17、(本题10分)已知集合，.
求，，.
18、（本小题满分12分）已知幂函数为偶函数.
⑴求的值；
⑵若，求实数的值．
19、(本题12分)已知函数f（x=．
（1）求f（﹣4）、f（3）、f（f（﹣2））的值；
（2）若f（a）=10，求a的值．
20、(本题12分)已知.
（1）求的坐标；
（2）当为何值时，与共线.
21、(本题12分)已知．
（1）化简；
（2）若，且是第二象限角，求的值．
22、(本题12分)若函数f（x）=A sin（）（A＞0，）的部分图象如右图所示。
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设的值。
昆明黄冈实验学校2017-2018学年上学期期末考试卷
高一数学；考试时间：120分钟；总分：150分
评卷人得分
一、选择题（共60分）<br>
1、(本题5分)设全集，集合，，则
（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题，则.故选B
2、(本题5分)函数y=+的定义域为（）
A．[，+∞） B．（-∞，3）∪（3，+∞）
C．[，3）∪（3，+∞） D．（3，+∞）
【答案】C
【解析】要使函数有意义，需满足，解得，故函数的定义
域为，故选C.
点睛：本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的定义域包括以下几种：
1、分式分母不能为0；
2、偶次根式下大于等于0；
3、对数函数真数部分大于0；
4、0的0
次方无意义；5、对于，必须有等.
3、(本题5分)已知，则（）
A．3 B．-3 C． D．
【答案】B
【解析】，选B.
4、(本题5分)（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，选A
5、(本题5分)函数的周期为,则（）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据周期公式，选B.
6、(本题5分)下列函数，既有偶函数，又是上的减函数的是（）A． B． C． D．【答案】C
【解析】选项A中，函数为奇函数，不合题意，故A不正确；
选项B中，函数没有奇偶性，故B不正确；
选项C中，函数为偶函数，且在上单调递减，符合题意；
选项D中，函数为偶函数，但在上单调递增，不合题意，故D不正确。
选C。
7、(本题5分)若，且为锐角，则的值等于（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，且为锐角，，故选
C.
8、(本题5分)三个数的大小顺序为（）
A．B．
C． D．
【答案】C
【解析】，则，故选C。
9、(本题5分)为了得到函数的图像,可以将函数的图像（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】D
【解析】∵，
∴将函数的图像向右平移个单位，便可得到函数的图像。
选D。
10、(本题5分)化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为
A． B． C．－ D．－
【答案】A
【解析】
.
府谷县A.
11、(本题5分)已知点，向量，则向量（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设
，代入坐标值得到= .
故答案选则A.
12、(本题5分)下列函数中，既是偶函数又有零点的是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为是非奇非偶函数、为奇函数，故排除选项A、B，
为偶函数，但无零点，故排除选项C，为偶函数，且存在零点1；故选D.
评卷人得分
二、填空题（共20分）
13、(本题5分)已知集合，则的子集个数为__________．
【答案】8
【解析】由题意，集合中有三个元素，则集合的子集个数为.
14、(本题5分)函数的最小正周期为________.
【答案】
【解析】
函数的周期
故答案为
15、(本题5分)化简:__________．
【答案】11
【解析】
故答案为：11.
16、(本题5分)已知向量，，若向量，的夹角为，则实数
__________．
【答案】
【解析】，，根据数量积定义，解
得.
评卷人得分
三、解答题（共70分，解题时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17、(本题10分)已知集合，.
求，，.
【答案】见解析
【解析】试题分析：题中直接给了每一个集合的条件，元素满足的特点，按照集合的交集，
并集，补集的概念，直接求出来即可。
；
18、（本小题满分12分）已知幂函数为偶函数.
⑴求的值；
⑵若，求实数的值．
【答案】⑴；⑵或.
【解析】
试题分析：解：⑴由得或， (2)
当时，是奇函数，∴不满足。
当时，∴，满足题意, (4)
∴函数的解析式，所以 (6)
⑵由和可得， (8)
即或，∴或. (12)
考点：幂函数的定义；幂函数的性质；函数的奇偶性。
点评：充分理解幂函数的形式。
幂函数的图像和性质情况较多，是难点，我们应熟练掌握并能灵活应用。
此题是基础题型。
19、(本题12分)（10分）已知函数f（x=．
（1）求f（﹣4）、f（3）、f（f（﹣2））的值；
（2）若f（a）=10，求a的值．
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）见解析；（2）分三种情况求解。
试题解析：
（1）f（﹣4）=﹣2，f（3）=6，f（f（﹣2））=f（0）=0
（2）当a≤﹣1时，a+2=10，得：a=8，不符合
当﹣1＜a＜2时，a2=10，得：a=，不符合；
a≥2时，2a=10，得a=5，
所以a=5
20、(本题12分)已知.
（1）求的坐标；
（2）当为何值时，与共线.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）根据向量坐标运算公式计算；（2）求出的坐标，根据向量共线与坐标的关系列方程解出k;
试题解析：
（1）
（2），
∵与共线，
∴
∴
21、(本题12分)已知．
（1）化简；
（2）若，且是第二象限角，求的值．
【答案】（1）;（2）.
【解析】试题分析：(1)运用诱导公式,同角三角函数的基本关系式,即可化简;
(2)运用二倍角的正弦和余弦公式和两角和的余弦公式,即可得到.
试题解析：
（1）
（2）
又∵为第二象限角，∴，
，
∴
22、(本题12分)若函数f（x）=A sin（）（A＞0，）的部分图象如右图所示。
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设的值。
【答案】(1) ;(2).
【解析】试题分析：（1）由图象得到A的值及函数的周期，进而求得；由点在图象上可得，即，结合的范围可得，求出；（2）由可得，进而求得
，最后根据求解即可。
试题解析：
（Ⅰ）由图得，．，
解得，
∴．
,
∵点在函数图象上,
∴，即，
∴，k∈Z，
∴，k∈Z，
又，所以，
∴．
(Ⅱ) 由已知，即，
因为，
所以，
∴．
∴
=．。