第五讲 Ross 的套利定价理论 (APT) 和资产定价基本定理(货币金融学)
第五讲套利定价模型(APT)介绍
2 F
（5-4）
Hale Waihona Puke 单因素模型可以大大简化马科维茨模型中确定切点处投 资组合的麻烦。
在单因素模型中，证券组合的方差等于：
b
2 p 2 p 2 F
2 p
（5-4）
其中，
bp
x i bi
i 1
N
2 p
x i2 2i
i 1
N
（二）两因素模型
两因素模型认为，证券收益率取决于两个因素，其表达 式为：
2 2 2 2 i2 bi2 b 2 b b COV ( F , F ) 1 F1 i2 F 2 i1 i 2 1 2 i
其中COV(F1,F2)表示两个因素F1和F2之间的协方差。 证券i和证券j的协方差为：
2 2 ij bi1b j1 F b b 1 i 2 j 2 F 2 (bi1b j 2 bi 2 b j1 )COV ( F1 , F2 )
i
（5-5）
0
从式(5-5)可以看出 ri 和 b i 必须保持线性关系，否则的 活，投资者就可以通过套利活动来提高投资组合的预期收 益率。式（5-5）可以用下图来表示：
和1是常数。
r
APT资产定价线 B S
bB=bS
bi
式（5-5）中的 0 和1 代表什么意思呢？ 我们知道，无风险资产的收益率等于无风险利率
b 其中
2 i
2 2 2 i F i 2 表示F因素的方差， F
（5-3）
2 i 表示随机变量的方差，
式（5-3）表明，某种证券的风险等于因素风险 2 加上非因素风险 。
i
(b )
金融经济学十讲——史树中
1、一般经济均衡：假定市场上一共有k 种商品，每一种商品的供给和需求都是这k 种商品的价格的函数。
这k 种商品的供需均衡就得到k 个方程。
但是价格需要有一个计量单位，这k 种商品的价格之间只有k-1 种商品的价格是独立的。
瓦尔拉斯又加入了一个财务均衡的关系，即所有商品供给的总价值应该等于所有商品需求的总价值。
这一关系目前就称为“瓦尔拉斯法则”，它被用来消去一个方程。
2、从“华尔街革命”追溯到1900年▪3、对每一固定收益都求出其最小风险，那么在风险－收益平面上，就可画出一条曲线，它称为组合前沿。
马科维茨理论的基本结论是：在证券允许卖空的条件下，组合前沿是一条双曲线的一支；在证券不允许卖空的条件下，组合前沿是若干段双曲线段的拼接。
组合前沿的上半部称为有效前沿。
对于有效前沿上的证券组合来说，不存在收益和风险两方面都优于它的证券组合。
▪4、夏普：假定所有投资者都以马科维茨的准则来决策，而导出全市场的证券组合的收益率是有效的以及所谓资本资产定价模型(Capital Asset Pricing Model, CAPM)。
这一模型认为，每种证券的收益率都只与市场收益率有关。
5、米勒与莫迪利阿尼：探讨“公司的财务政策(分红、债权/股权比等)是否会影响公司的价值”这一主题。
他们的结论是：在理想的市场条件下，公司的价值与财务政策无关。
后来他们的这些结论就被称为莫迪利阿尼－米勒定理(Modigliani-Miller Theorem,MMT▪无套利假设是指在一个完善的金融市场中，不存在套利机会(即确定的低买高卖之类的机会)。
因此，如果两个公司将来的(不确定的) 价值是一样的，那么它们今天的价值也应该一样，而与它们财务政策无关；否则人们就可通过买卖两个公司的股票来获得套利。
‘▪布莱克和肖尔斯先把模型连续动态化。
他们假定模型中有两种证券，一种是债券，它是无风险证券，其收益率是常数；另一种是股票，它是风险证券，沿用马科维茨的传统，它也可用证券收益率的期望和方差来刻划，但是动态化以后，其价格的变化满足一个随机微分方程，其含义是随时间变化的随机收益率，其期望值和方差都与时间间隔成正比。
套利定价理论(APT)
套利定价模型（APT Model） 套利定价模型（APT Model）
套利定价模型的假设。 APT与CAPM相同的假设包括：投资者都有相同的预 期；投资者追求效用最大化；市场是完美的；收益由 一个因素模型产生。 APT的最基本假设就是投资者都相信证券i的收益随意 受k个共同因素影响，证券i的收益与这些因素的关系 可以用下面这个因素模型表示出来：
9
ri = the return on asset i bi1 = the change in the return on asset i per unit change in factor 1 f1 = the value of factor 1 bi2 = the change in the return on asset i per unit change in factor 2 f2 = the value of factor 2 ... = terms of the form bij*fj with j going from 3 to m-1 fm = the value of factor m bim = the change in the return on asset i per unit change in factor m m = the number of factors ei = the portion of the return on asset i not related to the m factors
E ( ri ) = λ0 + β i1λ1 + β i 2 λ 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + β ik λ k
12
套利定价模型（APT Model） 套利定价模型（APT Model）
第五讲 静态套利定价理论(APT)
第五讲 静态套利定价理论第一节 套利机会考虑一个无摩擦经济，假定投资者在期初进行投资决策，期末的资产回报具有不确定性。
假定该经济中存在2≥N 种可以进行交易的风险资产，其随机回报率向量1~r 、2~r 、…、N r ~线性无关，具有有限方差和期望回报率，其它风险资产和投资组合都是这N 种风险资产的线性组合。
假定风险资产可以无限卖空。
记Z 为这N 种资产的回报率矩阵，即：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ΩΩ)()()()(||||1111ωωωωN N r r r r则对任意一个可行投资组合w ，投资一份该组合的成本为w T1 ，回报率向量为Zw 。
定义：一个投资组合被称为套利组合，如果其成本为零，即01=w T。
定义：一个投资组合（或资产）被称为无风险组合（或资产），如果该组合（或资产）在每个自然状态上具有相同的回报，即1R Zw =，其中R为无风险利率。
定义：一个特定的投资组合1w 被称为可复制的(duplicable)，如果存在其它不同的投资组合12w w ≠，满足21Zw Zw =。
定义：称一个投资组合是第一类套利机会，如果它满足：01≤ηT，0≥ηZ 。
其中第二个不等号至少有一个分量严格大于零。
第一类套利机会代表了一种投资，具有非正的成本，却在将来有可能获得正的收益，获得负的收益的可能为零。
定义：称一个投资组合是第二类套利机会，如果它满足：01<ηT，0)(=>ηZ第二类套利机会代表了一种投资，其成本为负，未来收益非负。
在一个经济中可能只有第二类套利机会，而没有第一类套利机会。
例如：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2525Z 并不存在η，满足01≤ηT ，0≥ηZ ，因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=)25(253121ηηηηηZ 。
但)5,2(-=T η时，满足31-=ηT，但T Z )0,0(=η。
在一个经济中可能只有第一类套利机会，而没有第二类套利机会。
例如：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111101Z 。
对任意投资组合),(21ηηη=T ，其回报率向量为T Z ))(),(,(21211ηηηηηη++-=。
APT套利定价理论
套利定价理论Arbitrage Pricing Theory﹝APT﹞一、套利定价理论的基本机制套利定价理论试图以多个变量去解释资产的预期报酬率。
套利定价理论认为经济体系中，有些风险都是无法经由多元化投资加以分散，例如通货膨胀或国民所得的变动等系统性风险。
二、套利定价理论的意义套利定价理论导出了与资本资产定价模型相似的一种市场关系。
套利定价理论以收益率形成过程的多因子模型为基础，认为证券收益率与一组因子线性相关，这组因子代表证券收益率的一些基本因素。
事实上，当收益率通过单一因子(市场组合)形成时，将会发现套利定价理论形成了一种与资本资产定价模型相同的关系。
因此，套利定价理论可以被认为是一种广义的资本资产定价模型，为投资者提供了一种替代性的方法，来理解市场中的风险与收益率间的均衡关系。
套利定价理论与现代资产组合理论、资本资产定价模型、期权定价模型等一起构成了现代金融学的理论基础。
三、套利定价理论的基本机制套利定价理论的基本机制是：在给定资产收益率计算公式的条件下，根据套利原理推导出资产的价格和均衡关系式。
ＡＰＴ作为描述资本资产价格形成机制的一种新方法，其基础是价格规律：在均衡市场上，两种性质相同的商品不能以不同的价格出售。
套利定价理论是一种均衡模型，用来研究证券价格是如何决定的。
它假设证券的收益是由一系列产业方面和市场方面的因素确定的。
当两种证券的收益受到某种或某些因素的影响时，两种证券收益之间就存在相关性。
四、套利定价理论与资本资产定价模型的异同点1976年，美国学者斯蒂芬·罗斯在《经济理论杂志》上发表了经典论文“资本资产定价的套利理论”，提出了一种新的资产定价模型，此即套利定价理论(APT理论)。
套利定价理论用套利概念定义均衡，不需要市场组合的存在性，而且所需的假设比资本资产定价模型(CAPM模型)更少、更合理。
与资本资产定价模型一样，套利定价理论假设：1、投资者有相同的投资理念；2、投资者是回避风险的，并且要效用最大化；3、市场是完全的。
金融经济学(APT-套利定价)
j
=均值为零的第 j 个因子，
e i =证券 i 的随机项。
因子模型说明，所有具有等因子敏感度的证券 或证券组合，除去非因子风险外，其行为是一 致的。因此，所有具有等因子敏感度的证券或 者证券组合的期望回报率是一样的。 否则就存在第二类套利机会，投资者就会 利用它们，直到消除这些套利机会为止。 这就是APT的实质。
多因子模型
对于n种证券相关的m（m<n)个因子，证券i的 收益可以表示为
ri = a +
∑b
j =1
m
ij
f j + ei
其中，i = 1,..., n; j = 1,..., m
E [ ei ] = 0 , c o v ( ei , f j ) = 0 c o v ( ei , ek ) = 0 , i ≠ k
用数学表示就是
⎧ ⎪∑ wi = 0 （I） ⎪ i =1 ⎪ n ⎨∑ bi wi = 0 （II） ⎪ i =1 ⎪ n ⎪∑ wi ri > 0 （III） ⎩ i =1
n
D(∑ wi ri ) = D(∑ wi [ri + bi f + ei ]
i =1 i =1 n
n
n
=D(∑ wi bi f )
σ ij = cov(ri , rj ) = cov(ai + bi1 f1 + bi 2 f 2 + ei ,
a j + b j1 f1 + b j 2 f 2 + e j )
= bi1b j1σ 21 + bi 2b j 2σ 2 2 + (bi1b j 2 + bi 2b j1 ) cov( f1 , f 2 ) f f
第五讲 Ross 的套利定价理论 (APT) 和资产定价基本定理(货币金融学)
APT 开始时作为 CAPM 的替代物出现 的。
《金融经济学》第五讲 2
Stephen Ross (1944-)
《金融经济学》第五讲
3
摘 自 Levy 《 投 资 学 》 3 2 5 页
《金融经济学》第五讲
4
Markowitz 理论和 CAPM
Markowitz 理论指出，对于固定的收益（期望 收益率)，怎样选取适当的证券组合，使得风 险 (收益率方差) 最小。 CAPM 则指出，任何证券和证券组合的收益 (期望收益率) 怎样通过两个均值－方差有效 的收益率的期望值来估计。 两者通过“系统风险”、“非系统风险”之 说联系在一起。
《金融经济学》第五讲 36
Ross 1978 年的经典论文
《金融经济学》第五讲
37
Ross 论文的引言
《金融经济学》第五讲
38
引言的译文
“在一个没有未被开发的套利机会的资产市场中，存 在一个线性估值算子，它可以毫不含糊地以完善的 市场替代来为收益流定价，或者对通过市场组合界 定的现金流来界定其值。用不到进一步假定，只要 预计的收益可以通过购买一个市场资产组合的确定 的跨时规划来复制(或界定)，这是可能的。这些结 果已被证明，并且被用来简化和统一许多金融经济 学中的论述，其中包括项目估值，Modigliani-Miller 理论，远期定价，封闭式互助基金悖论以及有效市 场理论。”
《金融经济学》第五讲 51
资产定价基本定理的数学困难
最后形成一个能张成 S 维空间的基本证券集， 使问题归结为完全市场情形。 在不完全市场情形下，对一种证券确定其定 价范围是问题的关键。解决这一问题有本质 的数学困难。它需要凸集分离定理或者其他 定价命题。
APT模型 资本资产定价的套利理论
原理1.考虑一个生活在一个这样的世界的代理，即满足假设一并且相信回报产生的模型是按照15的模式。（17）（18）
证明，结果与特定财富序列相独立，而且我们必须证明它是套利序列。假设R不等于1.我们将通过构造一个这样的组合来证明这个定理，这个这将打败 当18不再持有的时候。首先，从17式可以知道凹度和单调性
然而在罗斯看来，研究结果表明如果持有（5）然后它代表一个 或准均衡。那么本文的目的就是提供在更强的稳定性基础上的严格的分析。在第二部分，我们将提供一些相对较弱充分条件来排除以上的例外（和第一部分中的例子）而且我们将证明一个一般版本的套利结果。第二部分还包括在实证结果实用性方面的一个简短的论点。附加数学方面包含一些支持结果有一些技术和切线的东西。
我们将假设如果一个随机变量序列收敛于一个二次均值退化的定律，那么预期效用也会收敛，且推迟严格审查会指向一个附录，由此可见，肯定不会有任何满足下面的子序列
如果这样的子列存在，那么
而且因为G是凸性的，那么将存在一个n把所有的财富都投资于有限责任的资产并且买套利资产导致如下
如果R=1，财富可以分解效用函数的增加并且证明几乎是相同的。
现在，考虑到解决相关的最小化的无系统风险二次方程套利组合序列服从于这样一个约束条件，即没有系统性风险并且包含一个比m+t更大的回报率（式子）
其中V是协方差矩阵，t是最大化的关联到一个有限责任单位投资的资产的责任损失。假设1保证t是有界的。我们还假设，除了损失的通用性，V还是所有n的满秩。
如果这个限制无法解决所有的n，而且E又必须线性的依赖于e、 列和我们已经做过的。那么假设约束在不考虑损失的通用性时为了使所有的n足够大是可以解决的。使X是满秩.
套利定价理论
套利定价理论套利定价理论（Arbitrage Pricing Theory, APT）套利定价理论是由斯蒂夫?罗斯于1976年提出的。
他试图提出一种比传统CAPM更好的解释资产定价的理论模型。
经过十几年的发展，APT在资产定价理论中的地位已不亚于CAPM。
其基本思想是从套利的角度来考察套利与市场均衡的关系，应用套利原理得出在投资市场均衡状态下资本资产的定价关系。
由于套利定价理论具有同资本资产定价模型一样的经济解释功能，而且所涉及的假设条件较少，与现实生活更加接近，因此该理论日益受到理论界与实际工作者的重视。
一、套利的含义所谓套利，是指利用一个或多个市场上所存在的各种价格差异，在不冒任何风险或冒很小风险的情况下赚取较高收益的一种交易活动。
也就是说，套利是利用资产定价的错误、价格联系的失常，以及资本市场缺乏有效性等机会，通过买进价格被低估的资产，同时卖出价格被高估的资产来获取无风险利润的一种行为。
一种简单而又明显的套利机会是，某相同资产在两个市场上的价格不同且价格差高于交易成本，此时，投资者只需在价格高的投资市场上将该资产卖空并同时在价格低的市场上买入该资产，这样就可以从一买一卖中获取一个正的价差收益，而且这种套利没有风险。
很明显，在一个高度竞争的、流动性很强的市场体系中，上述的套利机会一旦被发现，所有理性的投资者都会利用它进行套利，这会立即引起市场的反应，但是机会稍纵即逝。
这种套利行为直接改变着这两个市场上该种货币的供求，最终导致二者供求实现均衡，同类资产在不同市场上的价格也会很快趋同。
价格同一意味着套利机会的消失。
这也意味着有效均衡市场的形成。
二、套利定价理论的主要观点套利定价理论认为，如果市场未达到均衡状态的话，市场上就会存在无风险的套利机会。
由于理性投资者具有厌恶风险和追求收益最大化的行为特征，因此，投资者一旦发现有套利机会就会设法利用他们，随着套利者的买进和卖出，有价证券的供求状况将随之改变，套利空间逐渐减少直至消失，有价证券的均衡价格得以实现，因此，这种理论实际上也隐含了对一价定律的认同。
套利定价理论APT
套利定价理论APT套利定价理论（APT）是金融学领域中的一种定价模型，旨在解释不同金融资产价格之间的关系。
它采用了套利思想，即通过买入低估的资产并卖出高估的资产，从市场的价格差异中获得利润。
APT模型的基本假设是，资本市场是有效市场，并且所有的投资者都是理性的。
它认为，资本市场的价格决定因素不仅仅是资产本身的特性，还包括宏观经济因素、行业因素以及特定的个股风险。
根据APT的理论框架，资本资产定价模型（CAPM）可以被看作是APT模型的一个特例。
CAPM假设只有一个因素（即市场风险），而APT则认为市场因子可能不止一个。
根据APT模型，资产的期望收益率可以通过以下公式计算：E(Ri) = RF + β1 * λ1 + β2 * λ2 + ... + βn * λn其中，E(Ri)是资产i的期望收益率，RF是无风险利率，β是资产i对各个因子的敏感度，λ是各个因子的预期收益率。
APT模型的基本原理是，资产的价格应该与各个因子的预期收益率和资产对这些因子的敏感度相关。
如果市场对某个因子的预期收益率发生变化，这将影响到资产的定价，从而为套利提供机会。
套利定价理论的重要性在于它提供了一种解释和预测资产价格变动的工具。
通过分析和估计各个因子的预期收益率和资产对这些因子的敏感度，投资者可以找到被低估或高估的资产，并利用市场的定价差异获得套利机会。
然而，APT模型也存在一些限制。
首先，它的有效性依赖于投资者对各个因子的预期收益率和资产对这些因子的敏感度的准确估计。
如果估计出现误差，那么套利机会可能会有所降低或消失。
其次，APT模型假设资本市场是完全有效的，但实际市场中存在信息不对称的情况，这可能导致价格的波动和套利机会的减少。
综上所述，套利定价理论（APT）是一种理论框架，用于解释金融资产价格之间的关系，并提供了一种套利的思路。
虽然APT模型有其局限性，但它仍然为金融学研究提供了有价值的理论基础。
套利定价理论（APT）是金融学中一种定价模型，旨在解释不同金融资产价格之间的关系以及利用价格差异进行套利交易。
套利定价理论Arbitrage Pricing Theory
套利定价理论套利定价理论(Arbitrage Pricing Theory，简称APT)[编辑]套利定价理论概述套利定价理论APT(Arbitrage Pricing Theory) 是CAPM的拓广,由APT给出的定价模型与CAPM一样,都是均衡状态下的模型,不同的是APT的基础是因素模型。
套利定价理论认为，套利行为是现代有效率市场（即市场均衡价格）形成的一个决定因素。
如果市场未达到均衡状态的话，市场上就会存在无风险套利机会. 并且用多个因素来解释风险资产收益，并根据无套利原则，得到风险资产均衡收益与多个因素之间存在(近似的)线性关系. 而前面的CAPM模型预测所有证券的收益率都与唯一的公共因子(市场证券组合)的收益率存在着线性关系。
[编辑]套利定价理论与资本资产定价模型的异同点1976年，美国学者斯蒂芬·罗斯在《经济理论杂志》上发表了经典论文“资本资产定价的套利理论”，提出了一种新的资产定价模型，此即套利定价理论(APT理论)。
套利定价理论用套利概念定义均衡，不需要市场组合的存在性，而且所需的假设比资本资产定价模型(CAPM模型)更少、更合理。
与资本资产定价模型一样，套利定价理论假设：1.投资者有相同的投资理念；2.投资者是回避风险的，并且要效用最大化；3.市场是完全的。
与资本资产定价模型不同的是，套利定价理论不包括以下假设：1.单一投资期；2.不存在税收；3.投资者能以无风险利率自由借贷；4.投资者以收益率的均值和方差为基础选择投资组合。
[编辑]套利定价理论的意义套利定价理论导出了与资本资产定价模型相似的一种市场关系。
套利定价理论以收益率形成过程的多因子模型为基础，认为证券收益率与一组因子线性相关，这组因子代表证券收益率的一些基本因素。
事实上，当收益率通过单一因子(市场组合)形成时，将会发现套利定价理论形成了一种与资本资产定价模型相同的关系。
因此，套利定价理论可以被认为是一种广义的资本资产定价模型，为投资者提供了一种替代性的方法，来理解市场中的风险与收益率间的均衡关系。
金融经济学--Ross 的套利定价理论 (APT) 和资产定价基本定理 ppt课件
Arrow-Debreu 证券。相应的“未定权益空
间”常称为“未定市场 (Contingent
Market)。
ppt课件
18
完全市场的资产定价基本定理
金融经济学考虑的问题是：如何用基本 证券的价格来为所有的未定权益定价。
如果任何未定权益都是基本证券的未来 价值的线性组合，这样的“市场”就称 为“完全市场”。
如果假定未来只有有限种状态，那么所有 “未定权益”都可以用有限维向量来表示。
ppt课件
16
S 维向量空间上的正线性函数
对于 S 维向量空间来说，其上的正线性 函数一定可以通过一个 S 维正向量来表 示，其分量是这个函数在 S 个单位向量 上所取的值。每个 S 维向量的正线性函 数都可表示为这个正向量与自变向量的 内积。
但是如果要求“误差项” 可能是所有
“非系统风险”，即所有与“收益率前 沿”所在平面正交的元素，那么它将要 求所有“风险因素”都“均值－方差有 效” 。
因此，结论是“误差项” 不能是所有
“非系统风险”。ppt课件
8
APT 能否提高“收益估计质 量”？
如果 APT 的目的是为了提高“收益估计”的
第五讲 Ross 的套利定价 理论 (APT) 和资产定价基本定理
ppt课件
1
CAPM 和 APT 的表达形式
CAPM: APT:
E[r] rf (E[rm ] rf )
Cov[r, rm ] /Var[rm ]
E[r] rf w1(E[r1] rf ) wk (E[rk ] rf )
风险” (的长度) 为零。
对于 CAPM 来说，任何证券或证券组合的 “收益”可用“收益率前沿”直线上的两点来
第五章 因素模型—套利定价理论APT(金融数学-李向科)
新旧组合的比较
旧组合
权数 X1 X2 X3 0.333 0.333 0.333 16.000% 1.900 11.000%
套利组合
0.100 0.075 -0.175 0.975% 0.000 很小
新组合
0.433 0.408 0.158 16.975% 1.900 约11.000%
性质 r b ζ
第二节 多因素定价模型的推导
因素模型的5个假设条件 假设1：市场是完全竞争、无摩擦、无限可分 假设2：存在K个共同因素影响整个证券市场 假设3：所有投资者对同种证券的收益具有的预期是 一致的，因而，对资产收益的预期就是对因素荷载 bik（k＝1,2,…,K）的预期。这里因素荷载bik表示证 券i对因素Fk的敏感系数 假设4：市场中存在充分多的资产。这个假设为下面 的渐进套利的概念提供了基础。 假设5：证券市场不存在渐近套利机会（asymptotic arbitrage opportunity）
多因素模型下证券或组合的 期望方差协方差计算
期望收
益率 K 2 2 2 2 方差或 i bij Fj ( i ) j 1 因素风 险 2 j s bij bis cov(F j , Fs )
E (ri ) ai k 1 bik E ( Fk )
近似套利的定义
用因素模型说明“近似套利机会” 如果不同的证券或组合对各个因素的敏感性相同，那 么，除了非因素风险之外，不同的证券或组合应该提 供相同的期望收益率 如果两种证券组合所提供的收益率不同，便提供了 “近似套利机会” 卖出收益率低的，同时买进收益率高的证券或组合， 就肯定可以获得正利益 利用这些套利的机会后，原来的套利机会消失 近似＝除了非因素风险之外 如果组合完全分散化，非因素风险将“消失”
套利定价理论(APT)
其中: I 是影响各证券收益率的因子的收益率; AJ是因子 I 收益率为零时证券 J 的预期收益率; J是因子 I 收益率变化对证券 J 收益率的影响程度;
J是证券 J 的收益率为与因子 I 无关的残差。
并假设有：
E( J ) 0
J 1
J 1
2 X
2
(I
)
2
(
X
)
其中
n
A.X xJ AJ J 1
n
X xJ J J 1
n
2 ( X ) xJ2 2 ( J ) J 1
根据套利定价思想， 在出现套利机会时，投资者 将构造套利组合，来增加已有投资组合的预期收益 率。
度的因子i1, i2, i 1, 2,3 的客观统计估计值：
证券 i 的收益率 E(ri )
i1
i2
r1
11%
0.5
2.0
r2
25%
1.0
1.5
r3
23%
1.5
1.0
以及E(I1) 20%,E(I 2) 8% ，如果无风险收益率为
rf 10%
k
rJ rF Ji (Ii rF ) i 1
K
rJ AJ Ji Ii J , J 1, , N
其中：
i 1
I1 , Ik 是影响各证券收益率的因子(或称指数)的收益率 Aj ,是多因子收益率为0时证券J的预期收益率
Ji (i 1, , k),是因子Ii收益率变化对证券J收益率的影响程度 J ,是证券J的收益率与各因子Ii无关的残差
数理金融学ROSS套利定价模型课件
对于证券i，由（8.2）其回报率的均值（期望值）为
ri ai bi f
（8.3）
其回报率的方差
因子风险
2 i
bi
2
2 f
2 ei
非因子风险
对于证券i和j而言，它们之间的协方差为
ij cov(ri , rj ) cov(ai bi f ei , a j bj f ej )
无风险套利 只要投资者发现这种机会，他就会力图通过在两 个市场上不断地低买高卖，以实现套利收益的巨 额增加。但另一方面，在套利者进行买卖的同时， 两个市场上对同种证券的供需会发生变化，当何 等的上升与下降调整到使套利机会不再存在时，
套利者就会结束其套利行为。
价格同一律
当套利机会出现时，投资者会通过低买高卖赚取 差价，这时，使套利机会存在的那些证券，它的 定价是不合理的。由于套利者利用他们进行套利， 因此市场上对这些证券的需求与供给就处于非均 衡状态。相应地，这些证券的价格就为非均衡价 格。在套利者不断套利的过程中，这些证券的价 格 会随供需的变化而发生上升或下跌。当达到某 种水平使套利机会不再存在时，套利者的套利行 为就会终止，市场将处于均衡状态，各种证券的 定价就处于合理水平。当市场经过一系列调整达 到均衡时，各种证券交易的价格都处于合理水平， 在这种状态下，不存在任何套利机会。这就是套 利与均衡的关系，它是资本市场理论的一个基本 论点。
ij cov(ri , rj ) cov(ai bi1 f1 bi2 f2 ei ,
a j bj1 f1 bj2 f2 ej )
bi1bj1
2 f1
bi2bj2
2 f2
(bi1bj 2
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《金融经济学》第五讲
48
一种最简单的情形
举一个最简单的例子，看这样的过程是怎样 进行的。 假设 S=2。而证券只有一种无风险证券，并 且它的当前价格是 1，未来价格是 (1,1)。即 只有一种没有时间价值的货币。这时我们能 对其他证券定价吗？显然，除了与它完全成 比例的证券外，别的都定不了。
《金融经济学》第五讲
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资产定价基本定理的一般提法
资产定价基本定理说到底就是正线性定价法 则在数学上怎样表达。 对于“未定权益 Hilbert 空间” 来说，问题 可以这样来提：一个连续正线性定价函数是 否一定有这样的性质：
这里
是“最大的未定权益空间”。
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资产定价基本定理的经济含义
关于 CAPM 和 APT 的结论
CAPM:
它对任何收益率 r 都成立。不可能被“证实”。 APT:
它对“一些”收益率 r 成立，有可能被“证实”。
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5.1 渐近无套利假设和 Ross 的 APT 方法
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最近出版 (2003) 的新书
Table of Contents Arbitrage, State Prices and Portfolio Theory (P.H. Dybvig, S. Ross). Intertemporal Asset Pricing Theory (D. Duffie). Tests of Multi-Factor Pricing Models, Volatility, and Portfolio Performance (W.E. Ferson). Consumption-Based Asset Pricing (J.Y. Campbell). The Equity Premium in Retrospect (R. Mehra, E.C. Prescott). Anomalies and Market Efficiency (G.W. Schwert). Are financial assets priced locally or globally? (G.A. Karolyi, R. Stulz). Microstructure and Asset Pricing (D. Easley, M. O'Hara). A Survey of Behavioral Finance (N.C. Barberis, R.H. Thaler). Finance, Optimization, and the Irreducibly Irrational Component of Human Behavior (R.J. Shiller). Derivatives (R.E Whaley). Fixed Income Pricing (Q. Dai, K.Singleton).
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Ross 1978 年的经典论文
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Ross 论文的引言
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引言的译文
“在一个没有未被开发的套利机会的资产市场中，存 在一个线性估值算子，它可以毫不含糊地以完善的 市场替代来为收益流定价，或者对通过市场组合界 定的现金流来界定其值。用不到进一步假定，只要 预计的收益可以通过购买一个市场资产组合的确定 的跨时规划来复制(或界定)，这是可能的。这些结 果已被证明，并且被用来简化和统一许多金融经济 学中的论述，其中包括项目估值，Modigliani-Miller 理论，远期定价，封闭式互助基金悖论以及有效市 场理论。”
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APT 能否提高“收益估计质 量”？
如果 APT 的目的是为了提高“收益估计”的 “质量”，即要求“误差项” “很小”，这 对于个别证券或证券组合是可能做到的，它可 通过对 继续进行对“更大的风险因素空间” 进行正交分解来做到。 但是不可能有一个对所有证券或证券组合都是 “高质量”的 APT! 因为对于任何确定的“风 险因素空间”，总存在“误差项很大”的证券 组合。
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S 维向量空间上的正线性函数
对于 S 维向量空间来说，其上的正线性函数 一定可以通过一个 S 维正向量来表示，其分 量是这个函数在 S 个单位向量上所取的值。 每个 S 维向量的正线性函数都可表示为这个 正向量与自变向量的内积。
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S 维向量空间的经济学对应物
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一般情形的讨论
这个简单的例子说明，在不完全市场中也能 利用无套利假设来定价，但是所定出的价不 是唯一的。 一般情况下，对一组不构成完全市场的基本 证券集，我们都可通过它们对另一个与它们 线性无关的证券定出其当前价格的范围。任 取该范围中的一个价格，形成一个新的证券 集。继续这一过程。
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无套利 (正线性) 定价
但是由于无套利假设的约束，我们仍然可以 对任何证券的价格定出其可能的范围。我们 在最初的例子中实际上已经指出，如果有一 种证券的未来价格是 (a,b)，那么其当前价格 只可能在 a 和 b 之间。否则就有套利机会。 因此，对于 Arrow-Debreu 证券例如 (1,0),其 当前价格只可能是 0 和 1 之间的数。
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问题在于不完全市场情形
困难的是，基本证券集不能构成向量空间的 不完全市场情形。在这种情况下，我们要证 明资产定价基本定理，可以通过对证券集不 断加入证券来使其成为完全市场。被加入的 证券的定价当然要求仍然满足无套利假设。 被加入的证券显然可以是 Arrow-Debreu 证券。
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APT 能取代 CAPM 吗？
APT 声称它要取代 CAPM, 并认为它所取的 “风险因素”不需要“均值－方差有效”。 但是如果要求“误差项” 可能是所有“非 系统风险”，即所有与“收益率前沿”所在 平面正交的元素，那么它将要求所有“风险 因素”都“均值－方差有效” 。 因此，结论是“误差项” 不能是所有“非 系统风险”。
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5.2 多因子模型与随机折现因子
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资产定价基本定理
Ross 在提出他的 APT 理论以后， 1978 年又 提出一条很一般的定理。这条定理后来被人 们称为“资产定价基本定理”。甚至“金融 学基本定理”。 它指出完整的无套利假设等价于正线性定价 法则。 这条资产定价基本定理对金融经济学框架的 形成，实际上起了决定性的作用。
第五讲 Ross 的套利定价 理论 (APT) 和资产定价基本定理
CAPM 和 APT 的表达形式
CAPM:
APT:
E[r ] rf w1 ( E[r1 ] rf ) wk ( E[rk ] rf )
E[r ] rf ( E[rM ] rf )
Cov[r , rM ] / Var[rM ]
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资产定价基本定理的数学困难
最后形成一个能张成 S 维空间的基本证券集， 使问题归结为完全市场情形。 在不完全市场情形下，对一种证券确定其定 价范围是问题的关键。解决这一问题有本质 的数学困难。它需要凸集分离定理或者其他 定价命题。15
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这条定理的经济含义可叙述为：一个“小市 场”中的正线性定价法则是否可以扩充到 “大市场”？或者说，我们能否通过“已定 价商品”的价格来为“未定价商品” 定价， 使得正线性定价法则仍然保持？ 整个衍生证券定价理论，即 Black-ScholesMerton 理论就是这样的基本思想，即“相对 定价”思想。
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完全市场的资产定价基本定理
基的数学性质翻译成经济语言为：每一种资 产 (未定权益、衍生证券等) 都可以通过基本 证券的组合来“复制”，或者叫“重构”。 在这种情况下，尤其是 S 种 Arrow-Debreu 证 券也能被复制。而 Arrow-Debreu 证券的价值 一定是正的。由此我们就得到这种情形的资 产定价基本定理。
Arrow-Debreu 在把不确定性引进一般经济 均衡模型时，没有用概率论，而是用一个 有限 (S) 维向量来对应一个“未定权益”。 这样，Arrow-Debreu 意义下的“未定权益 空间”就是一个 S 维向量空间。在这个空 间中的 S 个单位向量，后人把它们称为 Arrow-Debreu 证券。相应的“未定权益空 间”常称为“未定市场 (Contingent Market)。
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APT 的出发点、终点与根据
为此，APT 的出发点与以前有很大不同：多 “风险因素”，被估计收益的是一系列无限多 种证券，“误差项”不是“非系统风险” (不 一定与“前沿平面”正交)，它们的方差是有 界的。 APT 的终点是： “误差项”的“总体”“较 小”。 理论根据是“渐进无套利假设”，即线性定价 函数是连续的。 《金融经济学》第五讲 11