第五讲 Ross 的套利定价理论 (APT) 和资产定价基本定理(货币金融学)

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“未定权益空间”上的正交分解
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正交分解的含义
对于 Markowitz 理论来说，为求“风险”最小， 应取“收益率前沿”直线上的点，使“非系统 风险” (的长度) 为零。 对于 CAPM 来说，任何证券或证券组合的 “收益”可用“收益率前沿”直线上的两点来 计算，它并不关心“非系统风险” (的长度) 有多大。 就这两点来说，增加“风险因素”的 APT 不 可能有任何新作为。
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完全市场的资产定价基本定理
金融经济学考虑的问题是：如何用基本证券 的价格来为所有的未定权益定价。 如果任何未定权益都是基本证券的未来价值 的线性组合，这样的“市场”就称为“完全 市场”。 在“未定市场”情形下，即“未定权益空间” 是有限维空间时，完全市场就是说基本证券 组的未来价值构成空间的“基”。
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最近出版 (2003)来自百度文库的新书
Table of Contents Arbitrage, State Prices and Portfolio Theory (P.H. Dybvig, S. Ross). Intertemporal Asset Pricing Theory (D. Duffie). Tests of Multi-Factor Pricing Models, Volatility, and Portfolio Performance (W.E. Ferson). Consumption-Based Asset Pricing (J.Y. Campbell). The Equity Premium in Retrospect (R. Mehra, E.C. Prescott). Anomalies and Market Efficiency (G.W. Schwert). Are financial assets priced locally or globally? (G.A. Karolyi, R. Stulz). Microstructure and Asset Pricing (D. Easley, M. O'Hara). A Survey of Behavioral Finance (N.C. Barberis, R.H. Thaler). Finance, Optimization, and the Irreducibly Irrational Component of Human Behavior (R.J. Shiller). Derivatives (R.E Whaley). Fixed Income Pricing (Q. Dai, K.Singleton).
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APT 能否提高“收益估计质 量”？
如果 APT 的目的是为了提高“收益估计”的 “质量”，即要求“误差项” “很小”，这 对于个别证券或证券组合是可能做到的，它可 通过对 继续进行对“更大的风险因素空间” 进行正交分解来做到。 但是不可能有一个对所有证券或证券组合都是 “高质量”的 APT! 因为对于任何确定的“风 险因素空间”，总存在“误差项很大”的证券 组合。
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APT 的出发点、终点与根据
为此，APT 的出发点与以前有很大不同：多 “风险因素”，被估计收益的是一系列无限多 种证券，“误差项”不是“非系统风险” (不 一定与“前沿平面”正交)，它们的方差是有 界的。 APT 的终点是： “误差项”的“总体”“较 小”。 理论根据是“渐进无套利假设”，即线性定价 函数是连续的。 《金融经济学》第五讲 11
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资产定价基本定理的数学困难
最后形成一个能张成 S 维空间的基本证券集， 使问题归结为完全市场情形。 在不完全市场情形下，对一种证券确定其定 价范围是问题的关键。解决这一问题有本质 的数学困难。它需要凸集分离定理或者其他 定价命题。
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凸集分离定理
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资产定价基本定理的一般提法
资产定价基本定理说到底就是正线性定价法 则在数学上怎样表达。 对于“未定权益 Hilbert 空间” 来说，问题 可以这样来提：一个连续正线性定价函数是 否一定有这样的性质：
这里
是“最大的未定权益空间”。
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资产定价基本定理的经济含义
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S 维向量空间上的正线性函数
对于 S 维向量空间来说，其上的正线性函数 一定可以通过一个 S 维正向量来表示，其分 量是这个函数在 S 个单位向量上所取的值。 每个 S 维向量的正线性函数都可表示为这个 正向量与自变向量的内积。
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S 维向量空间的经济学对应物
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完全市场的资产定价基本定理
基的数学性质翻译成经济语言为：每一种资 产 (未定权益、衍生证券等) 都可以通过基本 证券的组合来“复制”，或者叫“重构”。 在这种情况下，尤其是 S 种 Arrow-Debreu 证 券也能被复制。而 Arrow-Debreu 证券的价值 一定是正的。由此我们就得到这种情形的资 产定价基本定理。
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问题在于不完全市场情形
困难的是，基本证券集不能构成向量空间的 不完全市场情形。在这种情况下，我们要证 明资产定价基本定理，可以通过对证券集不 断加入证券来使其成为完全市场。被加入的 证券的定价当然要求仍然满足无套利假设。 被加入的证券显然可以是 Arrow-Debreu 证券。
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APT 能取代 CAPM 吗？
APT 声称它要取代 CAPM, 并认为它所取的 “风险因素”不需要“均值－方差有效”。 但是如果要求“误差项” 可能是所有“非 系统风险”，即所有与“收益率前沿”所在 平面正交的元素，那么它将要求所有“风险 因素”都“均值－方差有效” 。 因此，结论是“误差项” 不能是所有“非 系统风险”。
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一种最简单的情形
举一个最简单的例子，看这样的过程是怎样 进行的。 假设 S=2。而证券只有一种无风险证券，并 且它的当前价格是 1，未来价格是 (1,1)。即 只有一种没有时间价值的货币。这时我们能 对其他证券定价吗？显然，除了与它完全成 比例的证券外，别的都定不了。
第五讲 Ross 的套利定价 理论 (APT) 和资产定价基本定理
CAPM 和 APT 的表达形式
CAPM:
APT:
E[r ] rf w1 ( E[r1 ] rf ) wk ( E[rk ] rf )
E[r ] rf ( E[rM ] rf )
Cov[r , rM ] / Var[rM ]
关于 CAPM 和 APT 的结论
CAPM:
它对任何收益率 r 都成立。不可能被“证实”。 APT:
它对“一些”收益率 r 成立，有可能被“证实”。
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5.1 渐近无套利假设和 Ross 的 APT 方法
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5.2 多因子模型与随机折现因子
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资产定价基本定理
Ross 在提出他的 APT 理论以后， 1978 年又 提出一条很一般的定理。这条定理后来被人 们称为“资产定价基本定理”。甚至“金融 学基本定理”。 它指出完整的无套利假设等价于正线性定价 法则。 这条资产定价基本定理对金融经济学框架的 形成，实际上起了决定性的作用。
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资产定价基本定理
所谓资产定价基本定理实际上是一条数学定 理，它是指一个正线性 (定价) 函数应该有什 么形式。 资产定价基本定理的讨论是从“有限维未定 权益空间”开始的。这时所有“未定权益” 都可以用有限维向量来表示。 对于一般的“未定权益 Hilbert 空间”，至今 似还没有明确的“资产定价基本定理”。
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Ross 1978 年的经典论文
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Ross 论文的引言
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引言的译文
“在一个没有未被开发的套利机会的资产市场中，存 在一个线性估值算子，它可以毫不含糊地以完善的 市场替代来为收益流定价，或者对通过市场组合界 定的现金流来界定其值。用不到进一步假定，只要 预计的收益可以通过购买一个市场资产组合的确定 的跨时规划来复制(或界定)，这是可能的。这些结 果已被证明，并且被用来简化和统一许多金融经济 学中的论述，其中包括项目估值，Modigliani-Miller 理论，远期定价，封闭式互助基金悖论以及有效市 场理论。”
APT 开始时作为 CAPM 的替代物出现 的。
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Stephen Ross (1944-)
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摘 自 Levy 《 投 资 学 》 3 2 5 页
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Markowitz 理论和 CAPM
Markowitz 理论指出，对于固定的收益（期望 收益率)，怎样选取适当的证券组合，使得风 险 (收益率方差) 最小。 CAPM 则指出，任何证券和证券组合的收益 (期望收益率) 怎样通过两个均值－方差有效 的收益率的期望值来估计。 两者通过“系统风险”、“非系统风险”之 说联系在一起。
Arrow-Debreu 在把不确定性引进一般经济 均衡模型时，没有用概率论，而是用一个 有限 (S) 维向量来对应一个“未定权益”。 这样，Arrow-Debreu 意义下的“未定权益 空间”就是一个 S 维向量空间。在这个空 间中的 S 个单位向量，后人把它们称为 Arrow-Debreu 证券。相应的“未定权益空 间”常称为“未定市场 (Contingent Market)。
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一般情形的讨论
这个简单的例子说明，在不完全市场中也能 利用无套利假设来定价，但是所定出的价不 是唯一的。 一般情况下，对一组不构成完全市场的基本 证券集，我们都可通过它们对另一个与它们 线性无关的证券定出其当前价格的范围。任 取该范围中的一个价格，形成一个新的证券 集。继续这一过程。
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无套利 (正线性) 定价
但是由于无套利假设的约束，我们仍然可以 对任何证券的价格定出其可能的范围。我们 在最初的例子中实际上已经指出，如果有一 种证券的未来价格是 (a,b)，那么其当前价格 只可能在 a 和 b 之间。否则就有套利机会。 因此，对于 Arrow-Debreu 证券例如 (1,0),其 当前价格只可能是 0 和 1 之间的数。
这条定理的经济含义可叙述为：一个“小市 场”中的正线性定价法则是否可以扩充到 “大市场”？或者说，我们能否通过“已定 价商品”的价格来为“未定价商品” 定价， 使得正线性定价法则仍然保持？ 整个衍生证券定价理论，即 Black-ScholesMerton 理论就是这样的基本思想，即“相对 定价”思想。
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APT 理论的真正意图
APT 理论试图回答的问题其实与 Markowitz 理论－CAPM 试图回答的问题有很大不同。 它回避“均值－方差有效”的概念，也不仅 仅是要得到“收益估计”，而是对“部分” (但是有无限个！) 证券希望得到“相对较好” 的“收益估计”，并且认为只要互相独立的 “风险因素”越来越多，个别的“收益估计” 就会越来越好 （“渐近无套利假设”)。