第三章 刚体动力学基础4..

可以证明，此式也适用于在物体转动过程中，J发生变 说明： 化的过程，而M = J 仅适用于转动惯量不变的过程。
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积分形式的角动量定理
M
d( J ) dt
J2 J1
Mdt d( J ) ( Mdt为元冲量矩)
d(J ) J2 J1
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例1：一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直 平面内转动，初始时它在水平位置 求：它由此下摆 角时的 解：用机械能守恒定律方便求解 O

m
l
x

1 1 2 mg lsin J 2 2 1 2 J ml 3
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二、刚体绕定轴转动的角动量定理 将刚体的角动量对时间求导
dL d ( J ) dt dt 刚体对确定轴的转动惯量不变，则 dL d J J dt dt d M ( J ) （刚体定轴转动的角动量定理） dt
作用在绕定轴转动刚体上的合外力矩等于刚体对该轴 的角动量对时间的导数。
此题也可用机械能守恒定律方便求解
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3-4-4刚体定轴转动的功能原理 1 1 1 2 2 2 2 一、转动动能 E K J J C ml 2 2 2 1 1 2 EK JC mvC 2 J J ml2 z C 2 2

O
i
z
v ri mi
Li miv i ri mi ri 2
2 L Li miv i ri ( mi ri )
P
i
i
L J

(刚体绕定轴转动的角动量)
刚体的角动量是描述刚体绕定轴转动状态的物理量； 角动量 L=J 与质点动量 p=mv 相对应。
对于一有限过程
A dA
12Leabharlann 211 2 2 1 2 1 J J d( J ) 2 1 Ek 2 2 2
绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过
程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定 轴转动刚体的——动能定理 讨论： 当 2 1 力矩作正功 A > 0 当 2 1 力矩作负功 A < 0
机械能守恒
mgh v (mr J Z ) / (2r ) 0
2 2 2
2 v mgh 2 (mr 2 J Z ) 2r
2 d h d v 1 mg 2v 2 ( mr J Z ) dt dt 2r
dh v， dv a dt dt mgr 2 a 2 常量 mr J Z
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例：一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置 求：它由此下摆 角时的
1 解：M mglcos 2
由动能定理

O

m
l
x

C
mg
l A Md mgcosd 0 0 2 1 2 lmg 1 2 sin 0 J 0 J ml 3 2 2 3gsin 3gsin 1 / 2 2 ( ) l l
求：物体A对Z 轴的转动惯量Jz。设绳子
不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴 处的摩擦力矩忽略不计。 解：分析(机械能)
EP 2 mgh
2 2
EP1 0 Ek 1 0
Ek 2 mv 2 / 2 J Z 2 / 2
v (mr J Z ) / (2r )
2
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C
mg
3gsin l
2
3gsin 1 / 2 ( ) l
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例2：图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转
动架上，转轴Z上装一半径为r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕 在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。 重物下落时，由绳带动被测物体 A 绕 Z 轴转动。今测得 重物由静止下落一段距离 h，所用时间为t，
• 刚体绕质心转动的动能 • 质心携带总质量绕定轴作圆运动的动能 二、刚体重力势能 —— 各质元重力势能之和 取任意质元 E Pi mi gyi Δ mi
C×
质心
E P mi gyi
m
m y mg
i
yc
yi
i
mgyC
Ep=0
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2 mgr h 1 at 2 1 2 t2 2 2 mr J Z
2 gt J Z mr 2 ( 1) 2h
若滑轮质量不可忽略，怎样？
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3-5 刚体的角动量定理与角动量守恒定律
3-5-1 刚体绕定轴转动的角动量定理
一、刚体绕定轴转动的角动量 在刚体上任取一质点P 质点P对z轴的角动量为
三、刚体的机械能
1 E E K E P J 2 mgyC 2
四、定轴转动的功能原理 当 A外 + A非保内 = 0 时，有
E Ek E p 恒量
（系统的机械能守恒定律） 对含有刚体的力学系统，若在运动过程中，只有保 守内力作功，而外力和非保守内力都不作功，或作功 的总和始终为零，则该系统的机械能守恒。
Xi’an Jiaotong University
Aiping Fang
apfang@ 3 / 31 / 2012
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3-4-3 刚体绕定轴转动的动能定理 —— 力矩功的效果 1 2 d )d Jd d( J ) dA Md ( J 2 dt

t2
t1
Mdt
(
t2
t1
Mdt 为冲量矩）
（定轴转动角动量定理的积分形式） 定轴转动刚体在某段时间内所受合外力矩的冲量矩等 于刚体在同一时间内角动量的增量。