应用等价无穷小巧解考研高等数学试题
考研数学(数学一)模拟试卷480(题后含答案及解析)
考研数学（数学一）模拟试卷480(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．已知当χ→0时，f(χ)＝arcsinχ－arctanaχ与g(χ)＝bχ[χ－ln(1＋χ)]是等价无穷小，则( )A．a＝b＝1。
B．a＝1，b＝2。
C．a＝2，b＝1。
D．a＝b≠1。
正确答案：A解析：根据等价无穷小的定义，那么1－a＝0，，则有a＝1，b＝1。
故选A。
2．设函数f(χ)在[0，1]上连续，且＝1。
f(χ)＝bnsinπχ，χ∈R，其中bn＝2∫01f(χ)sinnπχdχ，n＝1，2，3…，测＝( )A．0B．1C．－1D．正确答案：C解析：因为＝1，所以可得f(χ)＝1，又因为函数连续，则题目中把f(χ)展开为正弦级数，可知f(χ)为奇函数，可将函数f(χ)奇延拓，得到T＝2，3．设f(χ)是连续且单调递增的奇函数，设F(χ)＝∫0χ(2u－χ)f(χ－u)du，则F(χ)是( )A．单调递增的奇函数B．单调递减的奇函数C．单调递增的偶函数D．单调递减的偶函数正确答案：B解析：令χ－u＝t，则F(χ)＝∫0χ(χ－2t)f(t)dt，F(－χ)＝∫0－χ(－χ－2t)f(t)dt，令t＝－u，F(－χ)＝∫0χ(－χ＋2u)f(－u)du＝∫0χ(χ－2u)f(－u)du。
因为f(χ)是奇函数，f(χ)＝－f(－χ)，F(－χ)＝∫0χ(χ－2u)f(u)du，则有F(χ)＝－F(－χ)为奇函数。
F′(χ)＝∫0χf(t)dt －χf(χ)，由积分中值定理可得∫0χf(t)dt＝f(ξ)χ，ξ介于0到χ之间，F′(χ)＝f(ξ)χ－χf(χ)＝[f(ξ)－f(χ)]χ，因为f(χ)单调递增，当χ＞0时，ξ∈[0，χ]，f(ξ)－f(χ)＜0，所以F′(χ)＜0，F(χ)单调递减；当χ＜0时，ξ∈[χ，0]，f(ξ)－f(χ)＞0，所以F′(χ)＜0，F(χ)单调递减。
等价无穷小在高等数学中的应用
等价无穷小在高等数学中的应用
侯丽萍;钱小吾
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2024(27)3
【摘要】鉴于职业院校学生数学基础,在求解极限和无穷级数等方面的问题存在较大难度,本文讨论等价无穷小在求复杂函数的极限、判别无穷级数的敛散性这两方面的应用,将帮助学生更好地解决极限和级数方面的一些问题.
【总页数】7页(P18-23)
【作者】侯丽萍;钱小吾
【作者单位】镇江市高等专科学校基础部
【正文语种】中文
【中图分类】O172
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考研数学二(高等数学)模拟试卷41(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）模拟试卷41(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．当x→0时，下列四个无穷小中哪一个是比其它几个更高阶的无穷小量A．x2B．1一cosxC．D．x一sinx正确答案：D 涉及知识点：高等数学2．设f(x)可导，且F(x) =f(x)(1+|sinx|)，则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的( )条件．A．充分且必要．B．充分非必要．C．必要非充分．D．非充分非必要．正确答案：A 涉及知识点：高等数学3．设f(x)在[a，b]上连续，φ(x)=(x一b)∫axf(t)dt，则存在ξ∈(a，b)，使φ’(ξ)等于A．1B．0C．D．2正确答案：B 涉及知识点：高等数学4．已知(axy3一y2cosx)dx+(1+bysinx+3x2 y2)dy为某一函数的全微分，则a，b取值分别为A．一2和2B．2和—2C．一3和3D．3和一3正确答案：B 涉及知识点：高等数学5．设平面域由x=0，y=0，x+y=，x+y=1围成，若I1=[ln(x+y) ]3dxdy，I2=(x+y)3dxdy，I3=[sin( x+y)]3dxdy，则A．I1＜I2＜I3B．I3＜I2＜I1C．I1＜I3 ＜I2D．I3＜I1＜I2正确答案：C 涉及知识点：高等数学填空题6．设f’(3)=2，则=________．正确答案：一3 涉及知识点：高等数学7．已知y=f’(x) = arctanx2，则|x=0=________．正确答案：涉及知识点：高等数学8．设f(lnx)=则∫f(x)dx=________．正确答案：x一(1+ex )ln(1+ ex) +C 涉及知识点：高等数学9．sin(x一t)2dt =________．正确答案：sinx2．涉及知识点：高等数学10．设f(x，y，z)=exyz2，其中z= z(x，y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则fx’(0，1，一1)=________．正确答案：1 涉及知识点：高等数学11．交换积分次序∫02dx∫x2xf(x，y)dy=________．正确答案：涉及知识点：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2005年数学考研真题分类解析
第一部分 高等数学一、函数、极限与连续1．（数二）当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k=43 .【分析】 题设相当于已知1)()(lim=→x x x αβ，由此确定k 即可.【详解】 由题设，2cos arcsin 1lim)()(limkxxx x x x x x -+=→→αβ=)cos arcsin 1(cos 1arcsin lim2x x x kx x x x x ++-+→=k21143cos 1arcsin lim2==-+→kxxx x x ，得.43=k【评注】 无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限的计算. 2．（数二）设函数,11)(1-=-x xe xf 则（ ）(A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.(D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.且 ∞=→)(lim 0x f x ，所以x=0为第二类间断点；0)(l i m 1=+→x f x ，1)(lim 1-=-→x f x ，所以x=1为第一类间断点，故应选(D).【评注】 应特别注意：+∞=-+→1lim1x xx ，.1lim 1-∞=--→x x x 从而+∞=-→+11lim x x x e ，.0lim 11=-→-x xx e3．（数二）设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→xxx dtt x f x dtt f t x【分析】 此类未定式极限，典型方法是用洛必塔法则，但分子分母求导前应先变形. 【详解】 由于⎰⎰⎰=-=-=-00)())(()(xxxut x du u f du u f dt t x f ,于是⎰⎰⎰⎰⎰-=--→→x xxx xxx duu f x dtt tf dt t f x dtt x f x dtt f t x 0)()()(lim)()()(lim=⎰⎰+-+→xxx x xf du u f x xf x xf dt t f 00)()()()()(lim=⎰⎰+→x xx x xf du u f dtt f 0)()()(lim=)()()(limx f xduu f x dtt f xxx +⎰⎰→=.21)0()0()0(=+f f f【评注】 本题容易出现的错误是：在利用一次洛必塔法则后，继续用洛必塔法则⎰⎰+→x xx x xf du u f dtt f 0)()()(lim=.21)()()()(lim='++→x f x x f x f x f x错误的原因：f(x)未必可导. 4．（数三、数四）极限12sinlim 2+∞→x x x x = 2 .【分析】 本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可. 【详解】 12s i nl i m 2+∞→x x x x =.212lim 2=+∞→x x xx【评注】 若在某变化过程下，)(~)(x x αα，则 ).()(lim )()(lim x x f x x f αα=5．（数三、四）求).111(lim 0xe x x x --+-→【分析】 ""∞-∞型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则. 【详解】 )1(1lim)111(lim 20xxx xx ex e x x xex --→-→-+-+=--+=2201limxex x xx -→+-+ =xex xx 221lim-→-+=.2322lim=+-→xx e【评注】 本题属基本题型，在里用罗必塔法则求极限的过程中，应注意利用无穷小量的等价代换进行简化.二、导数与微分1．（数一）设函数nnn xx f 31lim)(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内( )(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点.【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】 当1<x 时，11lim)(3=+=∞→nnn xx f ；当1=x 时，111lim)(=+=∞→nn x f ；当1>x 时，.)11(lim )(3133x xx x f n nn =+=∞→即.1,11,1,,1,)(33>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导，故应选(C).【评注】 本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点. 2．（数二）设xx y )sin 1(+=，则π=x dy= dx π- .【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】 方法一： xx y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e+，于是]s i n 1c o s )s i n 1[l n ()s i n 1l n (xx x x e y x x +⋅++⋅='+，从而 π=x dy=.)(dx dx y ππ-='方法二： 两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得xx x x y ys i n 1c o s )s i n 1l n (1+++='，于是 ]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(xx x x x y x +⋅++⋅+='，故π=x dy=.)(dx dx y ππ-='【评注】 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式.3．（数二）设函数y=y(x)由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是( )(A)32ln 81+. (B) 32ln 81+-.(C) 32ln 8+-. (D) 32ln 8+.【分析】 先由x=3确定t 的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标.【详解】 当x=3时，有322=+t t ，得3,1-==t t （舍去，此时y 无意义），于是81221111=++===t t t t dxdy ，可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为：)3(82ln --=-x y ，令y=0, 得其与x 轴交点的横坐标为：32ln 81+, 故应(A).【评注】注意本题法线的斜率应为-8. 此类问题没有本质困难，但在计算过程中应特别小心，稍不注意答案就可能出错.三、中值定理与导数的应用 1．（数一）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】 （I ） 令x x f x F +-=1)()(，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f .（II ） 在],0[ξ和]1,[ξ上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得0)0()()(--='ξξηf f f ，ξξζ--='1)()1()(f f f于是 .1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=''ξξξξξξξξζηf f f f 【评注】 中值定理的证明问题是历年出题频率最高的部分，而将中值定理与介值定理或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式. 2．（数一）曲线122+=x xy 的斜渐近线方程为 .4121-=x y【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】 因为a=212lim)(lim22=+=∞→∞→xx xxx f x x ，[]41)12(2lim)(lim -=+-=-=∞→∞→x x ax x f b x x ，于是所求斜渐近线方程为.4121-=x y【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。
考研数学一(高等数学)模拟试卷22(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷22(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)，g(x)是连续函数，当x→0时，f(x)与g(x)是等价无穷小，令F(x)＝，G(x)＝，则当x→0时，F(x)是G(x)的( )．A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶但非等价无穷小D．等价无穷小正确答案：D解析：知识模块：高等数学部分2．设F(x)＝，则F(x)( )．A．为正常数B．为负常数C．为零D．取值与x有关正确答案：A解析：知识模块：高等数学部分3．设，则当x→0时，两个无穷小的关系是( )．A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶非等价无穷小D．等价无穷小正确答案：C解析：因为，所以两无穷小同阶但非等价，选知识模块：高等数学部分4．A．单调减少B．无界C．连续D．有第一类间断点正确答案：C解析：因为f(x)在(0，2)内只有第一类间断点，所以g(x)在(0，2)内连续，选（C）。
知识模块：高等数学部分5．设f(x)在R上是以T为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：知识模块：高等数学部分6．设函数f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：知识模块：高等数学部分7．A．等于0B．大于0C．小于0D．不能确定正确答案：B解析：知识模块：高等数学部分8．若由曲线y＝，曲线上某点处的切线以及x＝1，x＝3围成的平面区域的面积最小，则该切线是( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：知识模块：高等数学部分填空题9．正确答案：解析：知识模块：高等数学部分10．正确答案：解析：知识模块：高等数学部分11．正确答案：4－π解析：知识模块：高等数学部分12．设f(x)满足等式xf’(x)一f(x)＝，且f(1)＝4，则＝____________。
高等数学考研复习题及答案
高等数学考研复习题及答案一、填空题1．设2)(xx a a x f -+=，则函数的图形关于 对称。
2．若⎩⎨⎧<≤+<<-=20102sin 2x x x x y ，则=)2(πy .3． 极限limsinsin x x x x→=021。
4.已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则=a _____, =b _____。
5.已知0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数a = 6.设)(22y z y z x ϕ=+，其中ϕ可微，则yz∂∂= 。
7.设2e yz u x=，其中),(y x z z =由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则=∂∂)1,0(xu 。
8.设ϕϕ,),()(1f y x y xy f xz ++=具有二阶连续导数，则=∂∂∂yx z2 。
9.函数y x xy xy y x f 22),(--=的可能极值点为 和 。
10.设||)1(sin ),(22xy x y x y x f -+=则_____________)0,1('=y f . 11.=⎰xdx x 2sin 2.12.之间所围图形的面积为上曲线在区间x y x y sin ,cos ],0[==π .13．若21d e 0=⎰∞+-x kx ，则_________=k 。
14.设Ｄ：122≤+y x ,则由估值不等式得 ⎰⎰≤++≤Ddxdy y x )14(2215.设D 由22,2,1,2y x y x y y ====围成（0x ≥），则(),Df x y d σ⎰⎰在直角坐标系下的两种积分次序为_______________和_______________. 16.设D 为01,01y x x ≤≤-≤≤，则()22Df x y dxdy +⎰⎰的极坐标形式的二次积分为____. 17.设级数∑∞=+121n pn收敛，则常数p 的最大取值范围是 .18.=+-+-⎰10 642)!3!2!11(dx x x x x . 19. 方程01122=-+-ydy xdx 的通解为20．微分方程025204=+'-''y y 的通解为 .21.当n=_________时，方程ny x q y x p y )()('=+ 为一阶线性微分方程。
考研数学一-高等数学(五)
考研数学一-高等数学(五)(总分：99.99，做题时间：90分钟) 一、填空题(总题数：10，分数：40.00)（分数：4.00）解析： [解析] 先作如下变形：解法一：用洛必达法则求这个极限其中解法二：用泰勒公式求这个极限相减得因此（分数：4.00）解析： [解析] 因为故则所以3.极限（分数：4.00）解析： [解析] 将分子变形为又，当x→0时，则（分数：4.00）解析： [解析] 所求极限为“∞-∞”型未定式，应首先通分化为“ ”型未定式后，再进行求解．（分数：4.00）解析： [解析] 解法一：属1 ∞型利用等价无穷小因子替换得即解法二：属1 ∞型，用求指数型极限的一般方法而即（分数：4.00）解析：1 [解析] 因故所求极限是“ ”型未定式，用分项求极限法可得(后一项的分子为有界变量，分母是无穷大量，故其极限为0)．7.设，则（分数：4.00）解析： [解析]因为，所以8.设f(x)在x=0处可导且f(0)=1，f"(0)=3，则数列极限（分数：4.00）解析：e 6 [解析] 这是指数型的数列极限，一般先进行变形，并转化为函数极限求解．又故I=e 6．（分数：4.00）解析： [解析]把看作函数在处的函数值，其中正好是将区间[0，1]n等分所得的第k个分点(k=1，2，…，n)，这时每个小区间的长度为．于是可看作定积分对应的和式极限其中又因为在[0，1]上连续，于是在[0，1]上可积，故10.设f(x)连续，且当x→0时，x 3等价的无穷小量，则f(0)= 1．（分数：4.00）解析： [解析] 由无穷小量的定义及洛必达法则，可得所以，二、解答题(总题数：15，分数：60.00)11.设f(x)在(x 0 -δ，x 0 +δ)有n阶连续导数，且f k (x 0 )=0，k=2，3，…，n-1；f (n) (x 0)≠0，当0＜|h|＜δ时，f(x 0 +h)-f(x 0 )=hf"(x 0 +θh)(0＜θ＜1)，求的值．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：将f"(x 0 +θh)在x=x 0处展开成泰勒公式得代入原式得令h→0得所以12.设函数f(x)在(-∞，+∞)三阶可导，且存在正数M，使得|f(x)|≤M，|f"(x)|≤M对-∞，+∞)成立，求证：f"(x)，f"(x)在(-∞，+∞)有界．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：将f(x+1)与f"(x-1)分别在点x展开成带拉格朗日余项的二阶泰勒公式得为估计|f"(x)|的大小，将上面两式相减并除以2即得于是即f"(x)在(-∞，+∞)有界．为估计|f"(x)|的大小，由式①+式②得于是即f"(x)在(-∞，+∞)有界．13.设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，f(0)=0，且x，t∈(-∞，+∞)满足试求f(x)在(-∞，+∞)内的导函数f"(x)．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：当x≠0时，令xt=μ，可得于是，当x≠0时，，即由f(x)的连续性知可导，从而xf(x)可导，于是f(x)当x≠0时可导，且f(x)=xf"(x)+f(x)+2xsinx+x 2 cosx．由此可得f"(x)=-2sinx-xcosx，x≠0，求积分知，当x≠0时，利用f(x)在(-∞，+∞)内的连续性及f(0)=0，可得，得C=-1．于是f(x)=cosx-xsinx-1，不仅当x≠0时成立，而且对x=0也成立，即 f(x)=cosx-xsinx-1，x∈(-∞，+∞)，故 f"(x)=-2sinx-xcosx，x∈(-∞，+∞)．证明：（分数：4.00）(1).若f(x)在[a，b]上连续，则存在ξ∈(a，b) 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设M和m分别是连续函数f(x)在区间[a，b](b＞a)上的最大值和最小值，则有不等式两边同时除以(b-a)得到显然，介于函数f(x)的最大值和最小值之间．根据闭区间上连续函数的介值定理可知．在区间[a，b]上至少存在一点ξ，使得函数f(x)在该点处的函数值与相等，即等式两边同时乘以(b-a)可得结论得证．(2).若φ(x)有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)ξ∈(1，3)，使得φ"(ξ)＜0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由第一小题知，至少存在一点η∈(2，3)，使得，又，所以有φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞φ(η)．因为φ(x)有二阶导数，所以由拉格朗日微分中值定理可知，至少存在一点ξ1∈(1，2)，使得且至少存在一点ξ2∈(2，η)，使得再由拉格朗日微分中值定理可知，至少存在一点ξ∈(ξ1，ξ2 )，使得14.设函数f(x)可导，且有f"(x)+xf"(x-1)=4，又求（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：对变限积分，需经过两次求导，方可得到f(x)的导数形式，而中含有x，需先换元再求导．可设u=xt，则所以即两边同时对x求导得再次对x求导得f"(x)+xf"(x-1)+2f(x-1)=24x 2 +6x，将f"(x)+xf"(x-1)=4代入得f(x-1)=12x 2 +3x-2，故15.设f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且满足求（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：∫[f"(x)-f"(x)]e -x dx=∫f"(x)e -x dx-∫f"(x)e -x dx．由于∫f"(x)e -x dx=f"(x)e -x+∫f"(x)e -x dx，所以∫[f"(x)-f"(x)]e -x dx=f"(x)e -x +C．对于方程令x=0得f"(0)=f"(0)=1．对两边求导，有(1+x)f"(x)+f"(x)-(1+x)f"(x)-f(x)+f(x)=0，即 (1+x)f"(x)-xf"(x)=0．令p=f"(x)，有即 lnp=x-ln(1+x)+lnC，所以，即又f"(0)=1，于是C=1，即，所以16.设质点P所受的作用力为F，其大小反比于点P到坐标原点O的距离，比例系数为k；其方向垂直于P、O的连线，指向如下图所示，试求质点P由点经曲线到点时，力F所做的功．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设点P坐标为P(x，y)，∠POB=θ，则故其中L为从点沿到点的一段．设，因故曲线积分①在第一象限与路径无关，可选择从A到B的直线段积分．所在的直线方程为，故17.求直线在平面π：x-y+2x-1=0上的投影直线L 0的方程，并求L 0绕y轴旋转一周所成曲面的方程．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：经过L作平面π1与π垂直，则π1与π的交线就是L在π上的投影，L的方向向量s={1，1，-1}，π的法向量n={1，-1，2}是平面π1上的两个不共线向量，点p 0 (1，0，1)是L上一定点，设p 1(x，y，z)是平面π1上任一点，则共面，即即x-3y-2z+1=0．故L在π上的投影是为求L 0绕Y轴的旋转面，先把L 0表示为以Y为参数的形式，则旋转面的参数方程为消去θ得即旋转曲面的方程为4x 2 -17y 2 +4z 2 +2y-1=0．18.已知f(x，y)的2阶偏导存在且连续，且f(x，0)=1，f" yy(x，y)=x 2+2x+4，f" y(1，0)=-cos1，求f(x，y)的表达式．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：f" yy (x，y)=x 2 +2x+4两边对y积分得f" y (x，y)=(x 2 +2x+4)y+φ(x)，①式①两边对x求偏导得则对φ"(x)取积分得所以(C为任意常数)．代入点(1，0)得则，故对式②两边求积分：代入点(x，0)，f(x，0)=C 1 =1，所以f(x，y)在点(0，0)处的连续性以及可微性．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(1)因为sin(x 2 +y 2)≤x 2 +y 2，所以0≤|f(x，y)|≤|x+y|，且所以所以f(x，y)在点(0，0)处连续．(2)同理f" y (0，0)=1，因为所以式①为0，即f(x，y)在点(0，0)处可微．综上f(x，y)在点(0,0)处连续可微．4.00）(1). 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(x，y)≠(0，0)时，(2).f(x，y)在点(0，0)处是否可微?为什么? 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：因为又因此在点(0，0)处连续，故f(x，y)在点(0，0)处可微，且微分为零．设u=u(x，t)有二阶连续偏导数，并满足其中a＞0为常数．（分数：3.99）(1).作自变量代换ξ=x-at u对x，t的一、二阶偏导数与u对ξ，η的一、二阶偏导数的关系式．（分数：1.33）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由复合函数求导法求导得(2).导出u作为ξ，η的函数的二阶偏导数所满足的方程．（分数：1.33）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由第一小题中的式①、②及题设条件得即(3).求u(x，t)．（分数：1.33）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：把式③写成，即与η无关，h(ξ)是连续可微的任意函数，再对ξ积分一次，并注意到积分常数可依赖η，于是将u=f(ξ)+g(η)用变量x，t表示得u(x，t)=f(x-at)+g(x+at)，其中，f(ξ)，g(η)是任意二阶连续可微的函数．20.已知一个三角形的周长为16，求使它绕自己的一边旋转时所构成旋转体体积最大时的三角形。
谈谈应用等价无穷小巧解考研高等数学试题
谈谈应用等价无穷小巧解考研高等数学试题在数学分析，特别是求解考研高等数学试题的过程当中，等价无穷小是比较常用的概念与方法之一。
实践研究结果证实：借助于对等价无穷小相关方法的合理应用，能够在很大程度上实现对计算流程的简化。
特别是在高等数学考研试题当中，近年来，涉及到应用等价无穷小方法进行计算的题目越来越多，且所占分值也越来越多。
如何在遇到这部分题型的过程当中，合理应用等价无穷小方法进行作答，在确保计算精确性的同时，实现对解题时间的合理控制，这一问题备受考生、以及教师的特别关注与重视。
本文试针对以上相关问题做详细分析与说明。
1 等价无穷小基本概念分析[1]数学分析研究的最核心对象为函数，而在有关函数研究的过程当中，最主要的方法是极限。
通过对极限方法的应用，能够达到研究函数连续性、可微性、可积性的目的。
从而极限在分析数学试题中有着至关重要的地位。
在相关数学题，特别是极限问题的求解过程当中，借助于对等价无穷小方法的应用，能够通过代换方式使问题变得更加的简单化，从而使极限值更加容易求出。
常规意义上来说，在x→0的状态下，常见的等价无穷小定理包括以下几项内容：（1）sin x～x；（2）arc sin x～x（3）tan x～x（4）In（1+x）～x（5）（1+x）1/n-1～x/n（6）ex-1～x2 等价无穷小方法在考研高等数学试题中的应用分析（1）以2010年度，全国硕士研究生入学考试中“數学三”中的某选择题题目为例：若定义[1/x-（1/x-a）ex]=1。
则可以计算得出a取值为（）。
该选择题当中给出了如下四个基本选项：A选项为0；B选项为1；C选项为2；D选项为3。
考生在求解该题目的过程当中，就可以应用等价无穷小方法完成对该题目的解答。
具体的求解方式为：对于该等式：[1/x-（1/x-a）ex]=1而言，可以通过拆分“a”数值的方式，将整个等级进行拓展。
拓展后的等式为：[1/x（1-ex）+aex]=1。
考研高数经典题目(最新)
§1 高等数学部分
第一部分 函数、极限
1．1）若
x
→
0
时，(1
−
ax2
()
由于
n
→
∞
等价于
xn
→
0,
所以
lim
n→∞
xn+1 xn
sin
1 xn 2
a 故，a (
= lim
x→0
= 0; sin x )
x
1 x2
=
e−
1 6
第二部分 导数、微分
{
17．设 f (x) =
xλ
cos
1 x
,
0,
取值范围.
x ̸= 0 x=0
, 其导函数在 x = 0 处连续, 求 λ 的
(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点.
【解】(C) 分别是：1，-1
25．设函数 f (u) 可导, y = f (x2) 当自变量 x 在 x = −1 处取得增量
∆x = −0.1 时, 相应的函数增量 ∆y 的线性主部为 0.1, 则 f ′(1) = .
(A) − 1，(B) 0.1，(C) 1，(D) 0.5
(cos
x
−
b)
=
5，则
a
=
,b=
.
【解】a = 1; b = −{4 6. 设函数 f (x) =
, 1−etan x
arcsin
考研数学二(函数、极限与连续)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)
考研数学二（函数、极限与连续）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2011年] 已知当x→0时，函数f(x)=3sinx—sin3x与cxk是等价无穷小，则( )．A．k=1，c=4B．k=1，c=一4C．k=3，c=4D．k=3，c=一4正确答案：C解析：利用等价无穷小定义、等价无穷小代换及泰勒展开式求之．解一由题设有=1．即=1.因而k=3．当k=3时，由上式得到27／(6c)一1／(2c)=1，即c=4．仅(C)入选.解二当k一2=1即k=3时，=1，即c=4．仅(C)入选．知识模块：函数、极限与连续2．[2014年] 当x→0+时，若lnα(1+2x)，(1一cosx)1/α均是比x高阶的无穷小，则α的取值范围是( )．A．(2，+∞)B．(1，2)C．(1／2，1)D．(0，1／2)正确答案：B解析：由lnα(1+2x)，(1一cosx)1/α均是比x高阶的无穷小，分别求出α的取值范围即可．a＞0时，显然有lnα(1+2x)～(2x)α=2αxα(x→0-)，(1一cosx)1/α～(x→0+)因它们均是比x高阶的无穷小，由分别得到α一1＞0，一l ＞0，即1＜α＜2，因而α的取值范围为(1，2)．仅(B)入选．知识模块：函数、极限与连续3．[2000年] 若=0，则为( )．A．0B．6C．36D．∞正确答案：C解析：消去未知函数f(x)，或求出其表达式，代入极限式求之．解一或=36．解二用带皮亚诺型余项的泰勒公式求之．题设相当于sin6x+xf(x)=o(x3)，将sin6x=6x一(6x)3／3!+o(x3)代入，得到6+f(x)=36x2+o(x2)，[6+f(x)]／x2=36+o(1)，于是{[6+f(x)]／x2}=36．仅(C)入选．知识模块：函数、极限与连续4．[2017年] 设数列{xn}收敛，则( )．A．当sinxn=0时，xn=0B．当=0时，xn=0C．当(xn+xn2)=0时，xn=0D．当(xn+sinxn)=0时，xn=0正确答案：D解析：取特殊值法或反推法求之．解一对于选项(A)，(B)，(C)分别取xn=π,xn=一1，xn=一l，可排除(A)，(B)，(C)．仅(D)入选．解二令xn=A，由(xn+sinxn)=A+sinA=0得A=0．仅(D)入选．知识模块：函数、极限与连续5．[2017年] 若函数f(x)=在x=0处连续，则( )．A．ab=B．ab=一C．ab=0D．ab=2正确答案：A解析：所给函数为分段函数，因其在分段点连续，可先求出其左右极限，然后利用函数在分段点处左右极限相等的性质求之．f(0+0)=f(0)一f(0—0)=b，因f(x)在x=0处连续，故f(0+0)=f(0一0)=f(0)，从而=b，即ab=仅(A) 入选．知识模块：函数、极限与连续6．[2018年] 设函数f(x)=若f(x)+g(x)在R上连续，则( )．A．a=3，b=1B．a=3，b=2C．a=一3，b=1D．a=一3，b=2正确答案：D解析：由函数表达式易得分段点为x=一1，x=0．在x=一1点处，f(x)为连续函数，故只需考虑g(x)的连续性，而g(x)=g(一1)=2+a，g(x)=一1，所以2+a=一1，解得a=一3；在x=0点处，有[f(x)+g(x)]=f(0)+g(0)=1一b，[f(x)+g(x)]=一l+0=一1，从而1一b=一1，得b=2．故选(D)．知识模块：函数、极限与连续7．[2015年] 函数f(x)=在(一∞，+∞)内( )．A．连续B．有可去间断点C．有跳跃间断点D．有无穷间断点正确答案：B解析：f(x)显然在x=0处无定义，因而x=0为其不连续点，至于是哪一类的不连续点，首先需考查其极限是否存在．因f(x)==ex(x≠0)，而=1，又因f(x)在x=0处无定义，故x=0为其可去间断点．仅(B)入选．知识模块：函数、极限与连续8．[2005年] 设函数f(x)=，则( )．A．x=0，x=1都是f(x)的第一类间断点B．x=0，x=1都是f(x)的第二类间断点C．x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点D．x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点正确答案：D解析：找出间断点，让x趋向这些间断点时考察f(x)的左、右极限或其极限的存在情况．由于函数f(x)在x=0，x=1处无定义，这些点为f(x)的间断点，因=0，故f(x)=∞，因而x=0为f(x)的第二类间断点(无穷间断点)．又因，所以=一1．因而x=1为f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)．仅(D)入选．知识模块：函数、极限与连续9．[2007年] 函数f(x)=在[一π，π]上的第一类间断点是x=( )．A．0B．1C．一π／2D．π／2正确答案：A解析：根据定义，应考察f(x)在上述诸点的左、右极限是否都存在．左、右极限都存在的点为第一类间断点，否则不是第一类间断点．解一函数f(x)虽不是分段函数，但因其含e1/x，需分f(0+0)及f(0—0)考察．f(0+0)==1，f(0一0)=×1=一1．因f(0+0)，f(0—0)都存在，故x=0为第一类间断点．仅(A)入选．解二函数e1/x在x=l，x=±π／2处的极限存在，不必分左、右极限讨论，但需注意tanx=±∞．因故x=1，±π／2是f(x)的第二类间断点．由排除法可知，仅(A)入选．知识模块：函数、极限与连续10．[2009年] 函数f(x)=的可去间断点的个数为( )．A．1B．2C．3D．无穷多个正确答案：C解析：先求出f(x)的所有间断点，然后求x趋近这些点时哪些有极限，有极限的点即为可去间断点．f(x)的间断点为x=0，x=±1，x=±2，…，故f(x)的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点．而分子中x—x3=0的点只有x=0，x=±1，极限存在的点只可能在这些点中去寻找．因则x=0，x=±1为f(x)的可去间断点，其余均为无穷间断点．仅(C)入选．知识模块：函数、极限与连续11．[2008年] 设函数f(x)=sinx，则f(x)有( )．A．1个可去间断点，1个跳跃间断点B．2个跳跃间断点C．1个可去间断点，1个无穷间断点D．2个无穷间断点正确答案：A解析：先求f(x)的间断点，再用f(x)在这些间断处的极限确定正确选项．f(x)的间断点为x=0，1，其中x=0为可去间断点．这是因为可见，x=1为f(x)的跳跃间断点．仅(A)入选．知识模块：函数、极限与连续12．[2010年] 函数f(x)=的无穷间断点的个数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：B解析：先找出f(x)无定义的点．再进一步找出极限为无穷间断点．由题设已看出，f(x)除在x=0，x=1，x=一1处外处处有定义，因而f(x)只有3个间断点．而故x=1为f(x)的第一类间断点，且为可去间断点．而所以x=0为f(x)的第一类间断点，且为跳跃间断点．而故x=一1是f(x)的无穷间断点．仅(B)入选．知识模块：函数、极限与连续填空题13．[2004年] 设f(x)=，则f(x)的间断点为x=__________.正确答案：先求得f(x)的表达式，再求间断点．当x=0时，f(x)=0；当x ≠0时，f(x)=(n为自变量，x是常数)，或f(x)=因(1/x)=∞≠f(0)，故x=0为f(x)的第二类间断点．涉及知识点：函数、极限与连续14．[2008年] 已知函数f(x)连续，且=1，则f(0)=___________．正确答案：利用等价无穷小代换将所给极限用f(0)表示出来，由此求得f(0)．当x→0时，xf(x)→0，故1一cos[xf(x)]～[xf(x)]2／2．由1=,得到f(0)／2=l，即f(0)=2．涉及知识点：函数、极限与连续15．[2002年] 设函数f(x)=在x=0处连续，则a=________．正确答案：f(x)为分段函数，先求出f(x)在分段点x=0处的左、右极限f(0—0)，f(0+0)，再根据f(0—0)=f(0+0)或f(0+0)=f(0)确定常数a．解一因f(x)=f(0+0)==—2．f(x)=f(0—0)==a，由f(x)在x=0处连续，有f(0+0)=f(0—0)．因而一2=a，即a=一2．解二由题设有f(0)=ae2x∣x-0=a.又由解一知f(0+0)=一2，再由f(x)在x=0处连续得到f(0+0)=f(0)，即a=一2．涉及知识点：函数、极限与连续16．[2006年] 设函数f(x)=在x=0处连续，则a=________．正确答案：利用函数在一点连续的定义求之．因，故a=f(x)=1／3．涉及知识点：函数、极限与连续解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
等价无穷小在考研数学中的应用
等价无穷小在考研数学中的应用极限问题是整个微积分学的基础，是高等数学基础概念与核心内容之一。
在考研数学中，极限问题的分值大约是4～10分，而高数在考研数学的分值大约是84分，因此极限问题是不容忽视的一部分。
通常，大家是利用一阶等价无穷小解极限问题，然而，等价无穷小并不只有一阶无穷小，如何获取更多的等价无穷小并应用到实例中是大家更想知道的。
本文在第二部分给出了由泰勒公式得到的常见的高阶无穷小及实例，并对此问题作了进一步说明，希望对大家有所帮助。
一、常见的等价无穷小当x→0时，有灵活地使用这些等价无穷小，我们可以快速地求解极限问题。
例1 (2016)已知函数f(x)满足则解：因为所以利用以上等价无穷小，可以处理一些相对简单的极限问题，就而言，直接做就会出错。
一些书说加减不能用等价无穷小，只有乘除可以使用等价无穷小，这句话是正确的。
若可以找到分子部分整体的等价无穷小，则这个问题就会转变为乘除问题，就可以直接计算。
下面本文将在第二部分给出高阶等价无穷小，可以运用它使一些加减式的问题转化为乘除式的。
二、泰勒公式及高阶等价无穷小(一) 泰勒公式在各种试题中常用到以下泰勒公式。
(二) 高阶等价无穷小通过移项可以把泰勒公式转化为任意阶的等价无穷小。
如下：当x→0时，有下面我们将运用这些高阶等价无穷小解历年真题。
例2设函数f(x)=x+a ln(1+x)+bx sin x，g(x)=c=kx3。
若f(x)与g(x)在x→0时是等价无穷小，求a，b，k的值。
解：(法一)因为则由得所以有(法二)由已知可得：由可得所以代入a，b，得通过上面的例题及解法我们可以看出，高阶等价无穷小运算量较小，且计算方便；而其他的方法较为复杂，计算量较大。
三、总结等价无穷小在求解极限问题时有着广泛的应用，但要选择恰当的方法进行求解。
本文着重介绍了由泰勒公式获取的高阶等价无穷小并运用它解决了一些相对复杂的极限问题。
那么，如何获取并使用高阶等价无穷小是值得我们去研究，思索的问题。
考研高等数学真题归纳
专题一:极限与连续1、极限计算（等价无穷小替换，两个重要极限）()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦= 0ln(1)lim1cos x x x x→+=-.142e sin lim().1exx xxx→∞+++= )1ln(12)(cos lim x x x +→ = .2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦= 110))1ln((lim -→+e x xx = 例、求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+例、当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小,则(A)11,6a b ==-(B)11,6a b ==(C)11,6a b =-=-(D)11,6a b =-=例、设函数)(x f 在0x =的某邻域具有一阶连续导数,且0)0()0(≠'f f ,当0→h 时,若)()0()2()(h o f h bf h af =-+,试求b a ,的值.例、已知两曲线)(x f y =与2arctan 0e x t y dt -=⎰在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→.例、当0x +→时,(A)1-(B)1(D)1-例、把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===302sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,,(D)αγβ,,例、已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，(I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.2、两个极限收敛准则（夹逼准则，单调有界准则） 夹逼准则例、设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A)n n b a <对任意n 成立 (B)n n c b <对任意n 成立 (C)极限n n n c a ∞→lim 不存在(D)极限n n n c b ∞→lim 不存在例、①证明：对任意的正整数n ，都有nn n 1)11ln(11<+<+成立； ②设......)2,1(ln 1............211=-+++=n n na n ，证明数列{}n a 收敛.单调有界准则例、设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==.求:(1)证明lim n x x →∞存在,并求之.(2)计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 例、设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要例、设函数()f x 在(0, +∞)上具有二阶导数,且"()0f x >, 令()1,2,,,n u f n n ==则下列结论正确的是(A)若12u u >,则{n u }必收敛(B)若12u u >,则{n u }必发散 (C)若12u u <,则{n u }必收敛(D)若12u u <,则{n u }必发散例、设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界,{}n x 为数列,下列命题正确的是(A)若{}n x 收敛,则{}()n f x 收敛 (B)若{}n x 单调,则{}()n f x 收敛 (C)若{}()n f x 收敛,则{}n x 收敛(D)若{}()n f x 单调,则{}n x 收敛例、(I)证明方程1x x x ++=n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.3、含极限的函数例、设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点4、函数的连续与间断点例、设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示"M 的充分必要条件是",N 则必有(A)()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数 (B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数 (C)()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数 (D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数例、函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.5、函数图象的渐近线例、曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.例、曲线1ln(1e)xyx=++,渐近线的条数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3例、曲线221x xyx+=-渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3专题二：导数与可微1、可导、可微定义与几何意义例、设0)0(=f 则)(x f 在x =0处可导⇔(A)20(1cos )lim h f h h→-存在(B) 0(1e )lim h h f h→-存在(C)2(sin )limh f h h h→-存在(D)hh f h f h )()2(lim-→存在例、设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是(A)若0()limx f x x →存在,则(0)0f = (B)若0()()lim x f x f x x→+- 存在,则(0)0f =(C)若0()lim x f x x → 存在,则(0)0f '= (D)若0()()lim x f x f x x→-- 存在,则(0)0f '=例、设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A)0dx y <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<<(D)0dy y <∆<例、设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f =（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n -例、已知2e 610yxy x ++-=,则(0)y ''=_____________.例、设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数，则2x=0d y=dx2例、设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d ydx== .例、设20e ,ln(1),ttx y u du -==+⎰求220t d ydx == .2、导数的应用应用一：切线，法线，曲率例、曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ .例、曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 .例、曲线2221-x=0ln(2)u t e duy t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为 例、曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是 . 例、若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.应用二：判断单调性、凹凸性例、函数2x y x =在区间(]01，上的最小值为例、设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为(A) (B)(C) (D)例、设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为(A)(B)(C)(D)例、设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有(A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点例、设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a x b <<时,有(A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x >(C)()()()()f x g x f b g b >(D)()()()()f x g x f a g a >例、曲线432)4()3()2)(1(----=x x x x x y 的拐点是（ ）A （1，0）B （2，0）C （3，0）D （4，0） 例、设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得(A)()f x 在(0,)δ内单调增加(B)()f x 在)0,(δ-内单调减少(C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f > 例、设函数)(x f 在+R 上有界且可导,则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x(B)当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时,必有0)(lim 0='+→x f x(D) 当)(lim 0x f x '+→存在时,必有0)(lim 0='+→x f x .应用三：判断不等式例、证明：21ln cos 1,1112x x x x x x ++≥+-<<-应用四：讨论零点的个数例、设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰则()f x '的零点个数(A)0 (B)1(C)2(D)3例、求方程0arctan =-x x k 的不同实根的个数，其中k 为参数。
考研数学1.1利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题
2、利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题．考研数学每年必考有关求极限的问题，利用等价无穷小代换求极限一般可以简化计算，但我们一定要明确，在求极限时，什么时候能用等价无穷小代换，什么时候不能用等价无穷小代换，这也是部分学员，尤其基础比较薄弱的学员开始复习的时候比较容易犯错的地方。
下面通过给出几个例子来进行讲述，注意错误的解法，谨防自己犯同样的错误。
例1：求极限30tan sin limx x x x →- 解：3300tan sin lim lim 0x x x x x x x x →→--== 利用等价无穷小代换．这样计算对吗？计算的错误在于在运算过程中利用了未加证明的命题．若~',~'ααββ,则~''αβαβ--.考察这个命题，lim lim lim αβααβαβββαββαα''''-⋅-''-==，当lim 1α≠时,这个命题是真命题；当lim 1α=时,命题是假命000x x x →→→错误的原因在于在运算中错误的运用了等价无穷小代换：而根据无穷小的比较的定义，当1()x n Z n π∈取时，21sin(sin )x x 和21sin x x均为0， 所以不能用等价无穷小的代换．正确解答：当0x ≠时， 22211sin(sin sin x x x x x ≤≤，2211sin(sin )sin x x x x x x x≤≤0(0)x →→ 所以，由夹逼准则知原函数极限为0．例3：求极限sin limx x xπ→ 解：本题切忌将sin x 用x 等价代换，导致结果为1．应该为：sin sin lim 0x x x πππ→==.注意：①乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用．这时，一般可以用泰勒公式、洛必达法则等方法来求极限．②注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换，如例2.3．巩固相应知识点①无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.(1)若()lim 0()x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)()lim,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)()lim (0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量.,记为()()x x αβ~. )x k 的阶无穷小量。
高等数学历年考研真题十二套含答案
1. 求 lim
x ® 0
10. 设 f ( x ) = lim
n ® ¥
( n - 1 ) x , 则 f ( x ) 的间断点为 x = _________ . 04数二考研题 2 nx + 1 cos x 是等价无
05数二考研题
[
2 + e 1/ x sin x + . x 1 + e 4/ x
5. 设 f ( 0 ) = 0 , 则 f ( x ) 在点 x = 0 可导的充要条件为 : (A) lim
0 h ®
15. 设函数 y = y ( x ) 由方程 y = 1 - xe y 确定 , 则 dy dx
1
h 2
1
1 f ( - cos h ) 存在 ;
x ) g ( x ) - f ( x ) g ¢( x ) < 0 , 3. 设 f ( x ) , g ( x ) 是恒大于零的可导函数 , 且 f ¢(
则当 a < x < b 时有 ( ).
00数二考研题
a , b 的值 .
2 ln b - ln a 1 a < < 11. 设 0 < a < b , 证明不等式 2 . a + b 2 b - a ab
01数二考研题
(A) x = 0 , x = 1 都是 f ( x ) 的第一类间断点 ; (B) x = 0 , x = 1 都是 f ( x ) 的第二类间断点 ; (C) x = 0 是 f ( x ) 的第一类间断点 , x = 1 是 f ( x ) 的第二类间断点 ; (D) x = 0 是 f ( x ) 的第二类间断点 , x = 1 是 f ( x ) 的第一类间断点 . 13. lim
考研数学一(解答题)模拟试卷133(题后含答案及解析)
考研数学一（解答题）模拟试卷133(题后含答案及解析)题型有：1.1．求下列极限：正确答案：(Ⅰ)本题是求“”型未定式的极限，可先用等价无穷小因子替换：，然后利用洛必达法则，得(Ⅱ)本题也是求“”型未定式的极限．从分子和分母的表达式不难发现，若直接利用洛必达法则会碰到复杂的计算．为简化计算过程，应当在分子和分母中分别利用等价无穷小因子代换．当χ→0时，有e χ－esinχ＝esinχ(eχ－sinχ－1)．又因eχ－sinχ－1～χ－sinχ，esin χ＝1，于是，分子可用χ－sinχ代换．当χ→0时，丽是无穷小量，于是分母可作等价无穷小因子代换，即涉及知识点：高等数学2．求极限正确答案：为了在使用洛必达法则时使求导变得简单，先做变量代换，令从而涉及知识点：函数、极限、连续3．求函数f(x)=(1-x)/(1+x)在x=0点处带拉格朗口余项的n阶泰勒展开式．正确答案：由f(x)=2/(1+x)=2(1+x)-1-1，f’(z)=2(-1)(1+x)-2，f”(x)=2(-1)(-2)(1+x)-3，不难看出f(n)(x)=2(-1)nn!(1+x)-(n+1)，f(n)(0)=2(-1)nn!(n=1，2，…)，(1-x)/(1+x)=1-2x+2x2正确答案：涉及知识点：无穷级数5．求极限正确答案：方法一原极限等价于求涉及知识点：函数、极限、连续6．设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，求曲线积分的值.正确答案：原积分涉及知识点：多元函数积分学7．求y=∫0x(1一t)arctantdt的极值．正确答案：令y’=(1一x)arctanx=0，得x=0或x=1，y’’=一arctanx+，因为y’’(0)=1＞0，y’’(1)=一＜0，所以x=0为极小值点，极小值为y=0；x=1为极大值点，极大值为y(1)=∫01(1一t)arctantdt=∫01arctantdt—∫01tarctantdt=tarctant｜01－∫01=(1一ln2)．涉及知识点：高等数学8．已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x22+bx32一4x1x2+4x1x3+2ax2x3(a＞0)经正交变换(x1，x2，x3)T=P(y1，y2，y3)T化成了标准形f=2y12+2y22—7y32，求a、b的值和正交矩阵P．正确答案：a=4，b=一2；P= 涉及知识点：线性代数9．设一抛物线y=ax2+bx+C过点(0，0)与(1，2)，且a＜0，确定a，b，c，使得抛物线与x轴所围图形的面积最小．正确答案：因为曲线过原点，所以c=0，又曲线过点(1，2)，所以a+b=2，b=2—a．因为a＜0，所以b＞0，抛物线与x轴的两个交点为0，一，所以令S’(a)=0，得a=一4，从而b=6，所以当a=一4，b=6，c=0时，抛物线与x轴所围成的面积最小．涉及知识点：高等数学10．求极限正确答案：涉及知识点：一元函数积分学11．设z=f(x，y)在点(1，1)处可微，f(1，1)=1，f1’(1，1)=a，f2’(1，1)=b，又μf[x，f(x，x)]，求｜x=1．正确答案：由=f1’[x，f(x，x)]+f2’[x，f(x，x)]．[f1’(x，x)+f2’(x，x)]，得=f1’[1，f(1，1)]+f2’[1，f(1，1)1]．[f1’(1，1)+f2’(1，1)]=a+b(a+b)=a+ab+b2．涉及知识点：高等数学12．正确答案：涉及知识点：高等数学部分13．在过点O(0，0)和A(π，0)的曲线族y=asin x(a＞0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小．正确答案：令I’(a)=4(a2-1)=0，得a=1(a=-1舍去)，且a=1是I(a)在(0，+∞)内的唯一驻点，又由于I’’(1)=8＞0，所以I(a)在a=1处取到最小值，因此所求曲线是y=sinx(0≤x≤π)．涉及知识点：多元函数积分学14．设y=y(x)由y=tan(x+y)所确定，试求y’，y”．正确答案：涉及知识点：高等数学15．袋中有n张卡片，分别记有号码1，2，…，n，从中有放回地抽取k 次，每次抽取1张，以X表示所得号码之和，求EX，DX．正确答案：设Xi为“第i张的号码”，i=1，2，…，k，则Xi的分布律为涉及知识点：概率论与数理统计16．设方阵A1与B1合同，A2与B2合同，证明：合同．正确答案：因为A1与B1合同，所以存在可逆矩阵C1，使因为A2与B2合同，所以存在可逆矩阵C2，使令涉及知识点：线性代数假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域G={(x，y)｜0≤x≤2,0≤y≤1}上服从均匀分布，记17．求U和V的联合分布。
高数极限等价无穷小替换题目
极限等价无穷小替换是高等数学中的一个重要概念，它对于解决极限问题至关重要。
通过等价无穷小替换，我们可以将复杂的极限问题转化为更容易处理的形式，从而加快解题速度。
下面我将通过一些具体的题目，展示如何运用极限等价无穷小替换来解决问题。
题目：求极限lim(x→0) (1 + x - 1)(2 + x^2 - 1)(1 + x^3 - 1)...(1 + x^n - 1)，其中n为正整数。
分析：本题是一个复杂的极限问题，涉及到多个乘积项，而且每一项都包含变量x的幂次。
为了简化计算，我们可以利用极限等价无穷小替换，将每一项中的x用泰勒级数展开式替换为无穷小量ε，再利用ε的无穷小性进行计算。
解：设x为自变量，ε为无穷小量。
将每一项中的x用泰勒级数展开式替换为ε，可得：原式= (1 + ε- 1)(2 + 2ε^2 - 1)(3 + 3ε^3 - 1)...(n + nε^n - 1)= (nε^(n-1) + ε^(n-2) -ε^n) / (ε^(n-1) -ε^2)= ε^(n-2) / (ε^(n-2) -ε^2)= ε^(-2) / (ε^(-2) -ε^0)= ε^(-2) / (ε^(-2) - 1)当x→0时，ε→0，因此原式= ε^(-2) / (ε^(-2) - 1) = 1。
结论：通过极限等价无穷小替换，可以将复杂的极限问题转化为易于处理的形式，从而加快解题速度。
在本题中，我们巧妙地利用了泰勒级数展开式，将每一项中的x替换为无穷小量ε，再利用ε的无穷小性进行计算。
最终得到了一个易于求值的极限结果。
总结：极限等价无穷小替换是高等数学中的一个重要技巧，它可以帮助我们简化复杂的极限问题，提高解题效率。
通过灵活运用这一技巧，我们可以更好地掌握高等数学的精髓，为今后的学习和工作打下坚实的基础。
应用等价无穷小巧解考研高等数学试题
； Ｄ 选 项 为３ 。 考 生 在求 解 该 题 目的 过 程 当 学 试题的过程 当 中， 等价 无 穷 小 是 比 较 常 ２ 用 的概 念 与 方 法 之 一 。 实践研究结果证实 ： 借 助 干 对 等 价 无 穷 小 相 关 方 法 的 合 理 应 题 目的 解 答 。 具 体 的求 解 方 式 为 ：
１等价 无穷小基本概念分析［ １ １
数学分 析研 究 的最 核心对 象为 函数 ，
１ ／ ｘ ‘ （ 一 Ｘ ） － Ｉ － ａ
（ 进 一步推 定 可直接 简 化为有 基 本 性 质 ， 能 够 使 大 量 复 杂 的题 目变 得 更
而在有关 函数研 究的过程 当中 ， 最 主 要 的 方 法 是极 限 。 通过 对极 限 方 法 的应 用 ， 能 够
【 １ ／ ｘ 价 无 穷 小 基本 定 理 “ 在 一 ０ 的状态 下， 的计算 出结果。
算 的 题 目越 来 越 多 ， 且 所 占 分 值 也 越 来 越 （ １ 一 ｅ ） － Ｉ － ａ ｅ 】 ＝ｌ 。 进 一步 拆 分该 等 式 ， 可按 照 ｓ ｉ ｎ ２ ｘ ／ ｘ ＋ｌ ２ ｘ ／ ｘ － ｔ － ｌ ” 的应 用 ， 能够 更简 便 多。 如 何 在遇 到 这 部 分 题 型 的过 程 当 中 ， 合 如 下 步 骤 ， 得 出 有关 ａ 取值的等式。 理应 用等价无 穷小方 法进行作 答 ， 在 确 保 计算精 确性的 同时 ， 实 现 对 解 题 时 间 的 合
２ ｘ ／ ｘ ＋ｌ
通 过上述分 析不 难发 现 ： 对 于 待 求 解
中， 就 可 以 应 用 等 价 无 穷 小 方 法 完 成 对 该 式： ！ ａＸ ｒ ｉ ｓ ｉ ｎ ２ ｘ ／ ｘ ＋ｌ 而言， 在借助于等价 无穷小方法对该 式进行转化 的基础之 上 ， 对 于该 等式 ： ［ １ ／ ｘ 一（ １ ／ ｘ —ａ ） ｅ １ ＝１ 而 原 式 等价 为 ： ２ ｘ ／ ｘ 。 ＋ｌ ， 即最 终计 算 结 果
考研数学二(解答题)模拟试卷274(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷274(题后含答案及解析)题型有：1.1．求正确答案：x→0时，t=(1+x)x-1→0，则(1+x)x-1=t～ln(1+t)=ln(1+x)x=xln(1+x)，于是用等价无穷小因子替换得涉及知识点：极限、连续与求极限的方法2．求极限。
正确答案：由麦克劳林展开式ln(1+x)=x一+o(x2)，cosx=1一+o(x2)，tanx=x+x3+o(x3)，故可得涉及知识点：函数、极限、连续3．设f(χ)在[a，b]连续，且χ∈[a，b]，总y∈[a，b]，使得｜f(y)｜≤｜f(χ)｜．试证：ξ∈[a，b]，使得f(ξ)＝0．正确答案：若在[a，b]上f(χ)处处不为零，则f(χ)在[a，b]上或恒正或恒负．不失一般性，设f(χ)＞0，χ∈[a，b]，则χ0∈[a，b]，f(χ0)＝f(χ)＞0．由题设，对此χ，y∈[a，b]，使得f(y)＝｜y(y)｜≤f(χ0)＜f(χ0) 与f(χ0)是最小值矛盾．因此，ξ∈[a，b]，使f(ξ)＝0．涉及知识点：极限、连续与求极限的方法4．确定常数a和b，使得函数f(χ)＝处处可导．正确答案：由f(χ)在χ＝0处可导，得f(χ)在χ＝0处连续．由表达式知，f(χ)在χ＝0右连续．于是，f(χ)在χ＝0连续(sinχ＋2aeχ)＝2a＝f(0)2a＝－2b，即a＋b＝0．又f(χ)在χ＝0可导f′+(0)＝f′-(0)．在a＋b＝0条件下，f(χ)可改写成于是f′+(0)＝[9arctanχ＋2b(χ－1)3]′｜χ＝0＝[＋6b(χ－1)2]｜χ＝0＝9＋6b，f′-(0)＝(sinχ＋2aeχ)′｜χ＝0＝1＋2a．因此f(χ)在χ＝0可导故仅当a＝1，b＝－1时f(χ)处处可导．涉及知识点：一元函数的导数与微分概念及其计算5．设f(x)=g(a+bx)-g(a-bx)，其中g’(a)存在，求f’(0)．正确答案：涉及知识点：高等数学部分6．计算定积分正确答案：涉及知识点：高等数学7．求下列积分。
考研数学一(解答题)模拟试卷129(题后含答案及解析)
考研数学一（解答题）模拟试卷129(题后含答案及解析)题型有：1.1．求极限。
正确答案：设函数f(x)=，n=1，2，3，…，则涉及知识点：函数、极限、连续2．若x→0时，与xsinx是等价无穷小量，试求常数a。
正确答案：方法一：因为x→0时，因此由等价无穷小的定义知，即a=－4。
方法二：即a=－4。
涉及知识点：函数、极限、连续3．设函数f(x)在(一∞，＋∞)内满足f(x)＝f(x一π)＋sinx且f(x)＝x，x∈[0，π)，求f(x)dx．正确答案：解析：由于题目只给出了f(x)在区间[0，π)上的具体表达式，为计算在[π，3一π]上的积，就应该通过换元法使其积分区间落到[0，π)上．另外，也可以通过f(x)＝f(x—π)＋sinx及f(x)在[0，π)上的表达式，求出f(x)在[π，3π)上的表达式，然后再求积．这里所采用的是第一种方法，读者可采用第二种方法计算．知识模块：高等数学4．讨论函数f(x)=(x＞0)的连续性．正确答案：当x∈(0，e)时，f(x)==1，当x=e时，f(e)=1，当x＞e时，f(x)==lnx，故f(x)=因为f(e一0)=f(e)=f(e+0)=1，所以f(x)在x＞0处处连续．涉及知识点：高等数学5．求曲线的全长．正确答案：涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用6．设一电路装有3个同种电气元件，它们工作状态相互独立，且无故障工作时间均服从参数为λ的指数分布(λ＞0)，当3个元件都无故障时，电路正常工作，否则电路不能正常工作，求电路正常工作的时间T的密度f(t)。
正确答案：记X1，X2，X3为这3个元件的无故障工作的时间，则T=min(X1，X2，X3)的分布函数为FT(t)=P(T≤t)=1-P{min(X1，X2，X3)＞t}=1-[P(X1＞t)]3=1-[1-P(X1≤t)]3 涉及知识点：概率论与数理统计7．设曲线y＝y(x)上点(x，y)处的切线垂直于此点与原点的连线，求曲线y ＝y(x)的方程．正确答案：(I)列方程．曲线y＝y(x)在点(x，y)处的切线斜率为，与原点连线的斜率为(II)解方程．将方程改写为ydy＋xdx＝0，即d(x2＋y2)＝0．于是通解为x2＋y2＝C(C＞0为常数)．涉及知识点：高等数学8．设f(x)在[a，b]上连续可导，证明：正确答案：因为f(x)在[a，b]上连续，所以｜f(x)｜在[a，b]上连续，令｜f(c)｜=｜f(x)｜．根据积分中值定理，∫abf(x)dx=f(ξ)，其中ξ∈[a，b]．由积分基本定理，f(c)=f(ξ)+∫ξcf’(x)dx，取绝对值得｜f(c)｜≤｜f(ξ)｜+｜∫ξcf’(x)dx｜≤｜f(ξ)｜+∫ab｜f’(x)｜dx，即涉及知识点：高等数学9．设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为其中λ＞0为常数，求：(I)P{X ≤λ，Y≤2λ}；(Ⅱ)P{X+Y≤λ}．正确答案：(I)利用(X，Y)的概率密度，可得涉及知识点：概率论与数理统计10．设f(t)为连续函数，常数a>0，区域正确答案：因为解析：因被积函数是复合的抽象函数，故应先作变量代换，再将二重积分化为累次积分．在计算二重积分时，要注意积分区域．11．设X1，X2，…，Xn是来自标准正态总体N(0，1)的简单随机样本，其均值和方差分别为X和S2，记T＝＋S2．试求：E(T)与E(T2)的值．正确答案：由正态总体的性质知，与S2相互独立；由样本数字特征的性质知，E()＝E(X)＝0，E(S2)＝D(X)＝1；由正态总体的样本方差的分布知，(n－1)S2～χ2(n－1)；由χ2分布的性质知，D[χ2(n－1)]＝2(n－1)，从而D[(n－1)S2]＝(n－1)2D(S2)＝2(n－1)，即D(S2)＝．于是E(T)＝E(＋S2)＝E()＋E(S2)＝0＋1＝1，E(T2)＝E[(＋S2)2]＝D(＋S2)＋[E(＋S2)]2 ＝涉及知识点：概率论与数理统计12．计算∫Lxdy一(2y+1)dx，其中(1)L从原点经过直线y=x到点(2，2)；(2)L从原点经过抛物线y=到点(2，2)．正确答案：(1)∫Lxdy一(2y+1)dx=∫02xdx一(2x+1)dx=一∫02(x+1)dx=一4 (2)∫Lxdy一(2y+1)dx=∫02x×dxd一(x2+1)dx=一2 涉及知识点：高等数学13．设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。
03真题二答案
全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分．把答案填在题中横线上．） （1）若x →0时，.1)1(412--ax 与x sin x 是等价无穷小，则a ＝______．（2）设函数y ＝f （x ）由方程xy ＋2ln x ＝y 4所确定，则曲线y ＝f （x ）在点（1，1）处的切线方程是______． （3）y ＝2x 的麦克劳林公式中x n 项的系数是______． （4）设曲线的极坐标方程为ρ＝e a θ（a ＞0），则该曲线上相应于θ从0变到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积为______．（5）设α为3维列向量，αT 是α的转置．若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111Tαα，则α T α＝______．（6）设三阶方阵A ，B 满足A 2B －A －B ＝E ，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则｜B ｜＝______．二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．） （1）设{a n }，{b n }，{c n }均为非负数列，且∞===∞→∞→∞→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ，则必有（ ）（A ）a n ＜b n 对任意n 成立． （B ）b n ＜c n 对任意n 成立． （C ）极限n n n c a ∞→lim不存在．（D ）极限n n n c b ∞→lim 不存在．（2）设x x xa n n n n n d 123110+=-+⎰，则极限n n na ∞→lim 等于（ ） （A ）.1)e 1(23++ （B ）.1)e 1(231-+- （C ）.1)e 1(231++-（D ）.1)e 1(23-+（3）已知xx yln =是微分方程)(y xx y y φ+='的解，则)(y x φ的表达式为（ ）（A ）.22x y -（B ）.22x y（C ）.22y x -（D ）.22yx（4）设函数f （x ）在（－∞，＋∞）内连续，其导函数的图形如图所示，则f （x ）有（ ）（A ）一个极小值点和两个极大值点． （B ）两个极小值点和一个极大值点． （C ）两个极小值点和两个极大值点． （D ）三个极小值点和一个极大值点． （5）设x xx I d tan 4π01⎰=，x x xI d tan 4π02⎰=，则（ ）（A ）I 1＞I 2＞1． （B ）1＞I 1＞I 2． （C ）I 2＞I 1＞1． （D ）1＞I 2＞I 1．（6）设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr 可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs 线性表示，则（ ） （A ）当r ＜s 时，向量组Ⅱ必线性相关． （B ）当r ＞s 时，向量组Ⅱ必线性相关． （C ）当r ＜s 时，向量组Ⅰ必线性相关． （D ）当r ＞s 时，向量组Ⅰ必线性相关． 三、（本题满分10分）设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--+=<-+=,0,4sin1e ,0,6,0,arcsin )1ln()(23x xx ax x x x xx ax x f ax 问a 为何值时，f （x ）在x ＝0处连续；a为何值时，x ＝0是f （x ）的可去间断点？四、（本题满分9分）设函数y ＝y （x ）由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+u u y t x t u d e ,21ln 2112（t ＞1）所确定，求⋅=922|d d x x y 五、（本题满分9分）计算不定积分.d )1(e 2/32arctan x x x x+⎰ 六、（本题满分12分）设函数y ＝y （x ）在（－∞，＋∞）内具有二阶导数，且y ′≠0，x ＝x （y ）是y ＝y （x ）的反函数．（1）试将x ＝x （y ）所满足的微分方程0)d d )(sin (d d 322=++yx x y y x 变换为y ＝y （x）满足的（2）求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解． 七、（本题满分12分）讨论曲线y ＝4ln x ＋k 与y ＝4x ＋ln 4x 的交点个数． 八、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y ＝f （x ）过点)21,22(，其上任一点P （x ，y ）处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分． （1）求曲线y ＝f （x ）的方程；（2）已知曲线y ＝sin x 在[0，π]上的弧长为l ，试用l 表示曲线y ＝f （x ）的弧长s ．九、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线x ＝ϕ（y ）（y ≥0）绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2m ．根据设计要求，当以3m 3/min 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm 2/min 的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）．（1）根据t 时刻液面的面积，写出t 与ϕ（y ）之间的关系式； （2）求曲线x ＝ϕ（y ）的方程．（注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分．） 十、（本题满分10分）设函数f （x ）在闭区间[a ，b ]上连续，在开区间（a ，b ）内可导，且f ′（x ）＞0．若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：（1）在（a ，b ）内f （x ）＞0； （2）在（a ，b ）内存在点ξ，使;)(2d )(22ξξf xx f a b ba=⎰-（3）在（a ，b ）内存在与（2）中ξ相异的点η，使.d )(2))((22x x f a a b f ba⎰-=-'ξξη十一、（本题满分10分）若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角矩阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使十二、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为l1：ax＋2by＋3c＝0，l2：bx＋2cy＋3α＝0，l3：cx＋2ay＋3b＝0．试证这三条直线交于一点的充分必要条件为α＋b＋c＝0．。
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应用等价无穷小巧解考研高等数学试题
作者：黄英芬龙红兰
来源：《中国科教创新导刊》2013年第16期
摘要：在考研高等数学试题当中，“极限”知识点所占考核比重逐年提升，对考生考试成绩有着决定性的影响。
掌握“极限”知识点的相关计算方法，备受考生的关注与重视。
在现阶段，等价无穷小被证实能够达到合理提高“极限”知识点相关题目解题精确性与速度的目的。
本文在简要分析等价无穷小解题方法的基础之上，结合考研高等数学试题，就如何应用等价无穷小解考研高等数学试题这一问题展开了较为详细的分析与阐述，希望能够引起各方人员的参考与关注，从而为考生解答相关试题题目提供一定的参考与借鉴。
关键词：等价无穷小考研高等数学解题方法分析
中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）06（a）-0047-01
在数学分析，特别是求解考研高等数学试题的过程当中，等价无穷小是比较常用的概念与方法之一。
实践研究结果证实：借助于对等价无穷小相关方法的合理应用，能够在很大程度上实现对计算流程的简化。
特别是在高等数学考研试题当中，近年来，涉及到应用等价无穷小方法进行计算的题目越来越多，且所占分值也越来越多。
如何在遇到这部分题型的过程当中，合理应用等价无穷小方法进行作答，在确保计算精确性的同时，实现对解题时间的合理控制，这一问题备受考生、以及教师的特别关注与重视。
本文试针对以上相关问题做详细分析与说明。
1 等价无穷小基本概念分析[1]
数学分析研究的最核心对象为函数，而在有关函数研究的过程当中，最主要的方法是极限。
通过对极限方法的应用，能够达到研究函数连续性、可微性、可积性的目的。
从而极限在分析数学试题中有着至关重要的地位。
在相关数学题，特别是极限问题的求解过程当中，借助于对等价无穷小方法的应用，能够通过代换方式使问题变得更加的简单化，从而使极限值更加容易求出。
常规意义上来说，在x→0的状态下，常见的等价无穷小定理包括以下几项内容：
（1）sin x～ x；
（2）arc sin x～ x
（3）tan x～ x
（4）In（1+x）～ x
（5）（1+x）1/n-1～ x/n
（6）ex-1～ x
2 等价无穷小方法在考研高等数学试题中的应用分析
（1）以2010年度，全国硕士研究生入学考试中“数学三”中的某选择题题目为例：若定义[1/x-（1/x-a）ex]=1。
则可以计算得出a取值为（）。
该选择题当中给出了如下四个基本选项：A选项为0；B选项为1；C选项为2；D选项为3。
考生在求解该题目的过程当中，就可以应用等价无穷小方法完成对该题目的解答。
具体的求解方式为：
对于该等式：[1/x-（1/x-a）ex]=1而言，可以通过拆分“a”数值的方式，将整个等级进行拓展。
拓展后的等式为：[1/x（1-ex）+aex]=1。
进一步拆分该等式，可按照如下步骤，得出有关a取值的等式。
[1/x（1-ex）+aex]=1
（拆分中括号中未知数，构建两个联立lim式）
1/x（1-ex）+aex
（前半部分为lim式保持不变，对后半部分式进行拓展处理）
1/x·（-x）+a
（进一步推定可直接简化为有关a取值的等式）
-1+a=1
由此可以推定a取值应当为2。
故在此过程当中，选择C答案为正确答案。
在上述解题过程当中不难发现：之所以能够仅通过五次操作步骤，得出正确的答案，就在于解题过程当中充分应用了等价无穷小的基本定理：即在x→0的状态下，ex-1～x。
由此达到了简化解题步骤的目的。
（2）以2005年度，全国硕士研究生入学考试中“数学三”中的某选择题题目为例：求解极限x sin2x/x2+1的具体数值。
考生在求解该题目的过程当中，就可以通过应用等价无穷小基本定义的方式，完成对该式最终答案的计算。
具体的解题思路，以及计算方式如下所示。
对于该式x sin2x/x2+1而言，为更加简便的实现对其取值数值的计算，则需要按照拆分式中未知数的方式完成解题。
首先，可以通过对sin的简化，将原式转化成为：x 2x/x2+1。
进一步解题方式为：
x 2x/x2+1
（变化该表达式当中x的求解位置，可构建如下式）
2 x/x2+1
通过上述分析不难发现：对于待求解式：x sin2 x/x2+1而言，在借助于等价无穷小方法对该式进行转化的基础之上，原式等价为：2 x/x2+1，即最终计算结果应当为2。
显然：在解题过程当中，通过对等价无穷小基本定理“在x→0的状态下，sin2 x/x2+1～2 x/x2+1”的应用，能够更简便的计算出结果。
3 结语
在考研高等数学解题作答的过程当中，应用等价无穷小方法进行相关题目的解题，直接关系着考生考试成绩的高低。
等价无穷小解题方法中的替换有着极为突出的优势，充分认识，并掌握此种解题方法的基本性质，能够使大量复杂的题目变得更加的简单化，在保障解题精确性的同时，确保解题时间的最短化。
总而言之，本文针对有关应用等价无穷小解答考研高等数学试题过程中所涉及到的相关问题做出了简要分析与说明，希望能够引起各方特别关注与重视。
参考文献
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