上海市杨浦区2021届新高考第二次适应性考试数学试题含解析

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上海市杨浦区2021届新高考数学模拟试题(1)含解析

上海市杨浦区2021届新高考数学模拟试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．定义,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（） A ．23B ．1C ．43D ．2【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数的定义得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值. 【详解】依题意得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,22222211111()()()[(2sin )(2cos )]2sin 2cos 32sin 2cos f x g x x x x x x x+=+=+-+-----222212cos 2sin 14(2)(232sin 2cos 33x x x x --=++≥+=--(当且仅当222cos 2sin x x --222sin 2cos x x -=-，即221sin cos 2x x ==时“=”成立.此时,2()()3f x g x ==，42()3F x ∴≥，()F x ∴的最小值为23，故选：A. 【点睛】本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出2()()()F x f x g x ≥+，再由基本不等式求得最值，属于中档题.2．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（） A ．14B ．13C ．532D ．316【答案】A 【解析】【分析】首先求出样本空间样本点为5232=个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】样本空间样本点为5232=个，具体分析如下：记正面向上为1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3个“1”，有以下3种位置1__ __，__1__，__ __1．剩下2个空位可是0或1，这三种排列的所有可能分别都是224⨯=，但合并计算时会有重复，重复数量为224+=，事件的样本点数为：444228++--=个．故不同的样本点数为8个，81 324=.故选：A【点睛】本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题3．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）A．72种B．144种C．288种D．360种【答案】B【解析】【分析】利用分步计数原理结合排列求解即可【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有2412A=种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有2412A=种排法，所以不同的排表方法共有1212144⨯=种.选B.【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题4．若θ是第二象限角且sinθ =1213，则tan()4πθ+=A．177-B．717-C．177D．717【答案】B 【解析】由θ是第二象限角且sinθ =1213知：25 cos1sin13θθ=--=-，5t n1a2θ-=．所以tan tan457tan()41tan tan4517πθθθ+︒+==--︒．5．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X，则()E X为（）A．98B．78C．12D．6256【答案】A【解析】【分析】由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X在不同取值下的概率，进而可求得随机变量X的数学期望值.【详解】由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3，则()35381056CP XC===，()21533830156C CP XC===，()12533815256C CP XC===，()33381356CP XC===. 因此，随机变量X的数学期望为()103015190123565656568E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.故选：A.【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.6．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（）A．3?i≤B．4?i≤C．5?i≤D．6?i≤【答案】C【解析】【分析】根据程序框图的运行，循环算出当31S=时，结束运行，总结分析即可得出答案.【详解】由题可知，程序框图的运行结果为31，当1S=时，9i=；当1910S=+=时，8i=；当19818S =++=时，7i =；当198725S =+++=时，6i =；当1987631S =++++=时，5i =. 此时输出31S =. 故选：C. 【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.7．已知定义在R 上的函数()f x ，若函数()2y f x =+为偶函数，且()f x 对任意1x ，[)22,x ∈+∞()12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-，若()()31f a f a ≤+，则实数a 的取值范围是（）A ．13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]2,1--C ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据题意，分析可得函数()f x 的图象关于2x =对称且在[)2,+∞上为减函数，则不等式()()31f a f a ≤+等价于231a a -≥-，解得a 的取值范围，即可得答案. 【详解】解:因为函数()2y f x =+为偶函数，所以函数()f x 的图象关于2x =对称，因为()f x 对任意1x ，[)22,x ∈+∞ ()12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-，所以函数()f x 在[)2,+∞上为减函数，则()()()()312312231f a f a f a f a a a ≤+⇔-≤+-⇔-≥-，解得：1324a -≤≤. 即实数a 的取值范围是13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A. 【点睛】本题考查函数的对称性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于综合题. 8．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则()A B =R I ðA ．{}01x x <≤ B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x <<【答案】B 【解析】分析：由题意首先求得R C B ，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：{}|1R C B x x =<，结合交集的定义可得：(){}01R A C B x ⋂=<<. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 9．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（）A ．234a π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．262a π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．264a π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2364a π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】画出直观图，由球的表面积公式求解即可【详解】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉18个球而形成的，所以它的表面积为2222213346484a S a a a a πππ⎛⎫⎛⎫=+-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C【点睛】本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力.10．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（） A ．2k B ．4k C ．4 D ．2【答案】D 【解析】【分析】分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【详解】当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,224||4kx y k k +==-,可化为22144y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.11．如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln ()g x a x f x '=+的零点所在的区间是（）A ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数图象的对称轴得出b 范围，y 轴截距，求出a 的范围，判断()g x 在区间端点函数值正负，即可求出结论. 【详解】∵2()f x x bx a =-+，结合函数的图象可知，二次函数的对称轴为2bx =，0(0)1<=<f a ，1122<=<bx ，∵()2'=-f x x b ，所以()ln ()ln 2'=+=+-g x a x f x a x x b 在(0,)+∞上单调递增. 又因为11ln 10,(1)ln12022⎛⎫=+-<=+->⎪⎝⎭g a b g a b ，所以函数()g x 的零点所在的区间是1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故选:B. 【点睛】本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题.12．已知曲线11(0x y a a -=+>且1)a ≠过定点(),k b ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n+的最小值为（）. A ．92B ．9C ．5D ．52【答案】A 【解析】【分析】根据指数型函数所过的定点，确定1,2k b ==，再根据条件2m n +=，利用基本不等式求41m n+的最小值. 【详解】Q 定点为(1,2),1,2k b ∴==，2m n ∴+=41141()()2m n m n m n +=++∴149(5+)22m n n m =+… 当且仅当4m nn m =时等号成立，即42,33m n ==时取得最小值92. 故选：A 【点睛】本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年杨浦区数学二模试卷答案最新

y
P
C
A
O
x
Q
G
E
B
D
25.（学而思教研部）
⑴若点 O 在 AB 上，此时 AP ⊥ PQ ,所以圆 O 半= 径 r 1= AP 1 AQ cos∠B= AC 9
22
2
C Q
D
A
O
P
B
⑵①当点 O 在 AB 上方时，如图，构造三垂直相似
3
设 A=E P=E x ，则 PE= 9 − 2x ,由 OE = EP ,可得 4 = x
PF QF
9 − 2x 12
化简得
2x2
−
9x
+
9
=0 ,解得
x1
=
3,
x2
=
3 2
，此时
AP
=
6
或3
C Q
D
O
A E PF
B
②当点 O 在 AB 下方时，同样构造三垂直相似
3
设 A=E P=E y ,则 F=P 2 y − 9 ，由 OE = PE ,可得 4 = y
FP QF
2 y − 9 12
可求得：Q(3,−2) .（此题也可以通过中点坐标公式求解）
⑶易知：△QCB∽△QEC ⇒ QC2 = QE ⋅ QB ⇒ QE = 4 2 ⇒ BE = 5 2
3
3
作 EG ⊥ y 轴于 G , ∠ABO=
45° ⇒ BG=
GE=
5 3
⇒
E
5 3
,
−
10 3
∴l CE: y =−5x + 5 ⇒ D(3,−10) ⇒ DQ =8
一、选择题：
2021 年杨浦区二模解析数学参考答案（答案仅供参考）

2022年上海市杨浦区高考二模数学试题(含答案)

杨浦区2021学年度第二学期高三年级期末调研卷数学学科试卷 2022.6考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。

考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1. 若集合(),1A =-∞，()0,B =+∞，则A B =___________.2. 复数2z i =-，则z =___________.3. 直线l 的参数方程为2,12,x t t y t =+⎧∈⎨=+⎩R ，则直线l 的斜率为___________.4. ()1012x + 的二项展开式中,2x 项的系数为___________.5. 若圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的体积为___________.6. 函数()1lg f x x =+的反函数是1()f x -=___________.7. 设,,,a b c d ∈R ，若行列式12903ab cd =，则行列式a b c d的值为___________.8. 已知集合1112,1,,,,1,2,3232A ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭，从集合A 中任取一个元素a ，使函数ay x =是奇函数且在()0,+∞上递增的概率为___________.9. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57S S =，且238a a +=，则2lim nn S n →∞=__________.10. 已知点P 为正ABC ∆边上或内部的一点，且实数,x y 满足2AP x AB y AC =+，则x y -的取值范围是___________.11. 设点P是曲线y =点(0,F，)A 满足4PF PA +=，则点P 的坐标为___________.12. 函数()()cos 0,Z f x x x ωω=>∈的值域中仅有5个不同的值，则ω的最小值为___________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.FED 1C 1B 1A 1DCBA13. “0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭”是“α 为第一象限角”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 14. 下列不等式恒成立的是（） A. x y x y +≥-0x > C. 12x x+≥ D. x y x y x y ++-≤+ 15. 上海入夏的标准为：立夏之后，连续五天日平均气温不低于22C ︒. 立夏之后，测得连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定上海入夏的是（） A. 总体均值为25C ︒，中位数为23C ︒ B. 总体均值为25C ︒，总体方差大于20C ︒ C. 总体中位数为23C ︒，众数为25C ︒ D. 总体均值为25C ︒，总体方差为21C ︒16. 记函数()11,y f x x D =∈，函数()22,y f x x D =∈，若对任意的x D ∈，总有()()21f x f x ≤成立，则称函数()1f x 包裹函数()2f x . 判断如下两个命题真假① 函数()1f x kx =包裹函数()2cos f x x x = 的充要条件是1k ≥；② 若对于任意0p >， ()()12f x f x p -<对任意x D ∈都成立，则函数()1f x 包裹函数()2f x ；则下列选项正确的是（） A. ①真②假 B. ①假②真 C. ①②全假 D. ①②全真三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图所示，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长1，侧棱长4，1AA 中点为E ，1CC 中点为F .（1）求证：平面BDE ∥平面11B D F ；（2）连结1B D ，求直线1B D 与平面BDE 所成的角的大小.北东18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数()sin cos f x t x x =+，其中常数t R ∈. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）ABC ∆中内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =，b =()2f A =，求当t =,ABC ∆的面积.19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图所示，鸟类观测站需同时观测两处鸟类栖息地.A 地在观测站正北方向，且距离观测站2公里处，B 地在观测站北偏东4arcsin 5方向，且距离观测站5公里. 观测站派出一辆观测车（记为点M ）沿着公路向正东方向行驶进行观测，记AMB ∠为观测角. （1）当观测车行驶至距观测站1公里时，求观测角AMB ∠的大小；（精确到0.1︒）. （2）为了确保观测质量，要求观测角AMB ∠不小于45︒ ，求观测车行驶过程中满足要求的路程有多长.（精确到0.1公里）20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分46分，第3小题满分6分.如图，中心在原点O 的椭圆Γ 的右焦点为()F ，长轴长为8. 椭圆Γ上有两点,P Q ，连结,OP OQ ，记它们的斜率为 , OP OQ k k ，且满足14OP OQ k k ⋅=-. （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）求证：22OP OQ +为一定值，并求出这个定值；（3）设直线OQ 与椭圆Γ的另一个交点为R ，直线RP和PQ 分别与直线x =交于点,M N ，若PQR ∆和PMN ∆的面积相等，求点P 的横坐标.21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列{}n a 满足：11a =，1n n a a +=-或12n n a a +=+，对一切*n ∈N 都成立. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和. 若存在一个非零常数*T ∈N ，对于任意*n ∈N ， n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列， T 是一个周期.（1）求2a 、3a 所有可能的值，并写出2022a 的最小可能值；（不需要说明理由）（2）若0n a >，且存在正整数(),p q p q ≠，使得p a q与q a p均为整数，求p q a +的值；（3）记集合*{0,}n S n S n ==∈N ，求证：数列{}n a 为周期数列的必要非充分条件为“集合S 为无穷集合”.y杨浦区高三期末调研评分参考一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分 1. ()0,12 4. 180 5. 12π 6. 110 x - 7.3 8.389. 12- 10. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11. 44⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 12. 29π 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分13. A 14. B 15. D 16. D三、解答题17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 解：（1）以A 为原点，1,,AB AD AA 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图则()()()()()()111,0,0,0,1,0,0,0,2,1,0,4,0,1,4,1,1,2B D E B D F （2分）()10,1,2DE FB ==-∴DE ∥1FB 同理BD ∥11B D （2分）平面BDE 与平面11B D F 不重合，∴平面BDE 与平面11B D F 平行. （2分）（2）同（1）建系设平面BDE 的一个法向量为(),,n x y z =，则0n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2x y z == 不妨取1z =，则()2,2,1n = （4分）又()11,1,4DB =-设直线1B D 与平面BDE 所成的角为θ北东故11sin 93n DB n DB ⋅θ===（2分）直线1B D 与平面BDE 所成的角为arcsin 9. （2分）18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 解：（1）()sin cos fx t x x=+，x ∈RⅠ 0t =时，()cos fx x =()()()cos cos f x x x fx -=-== ∴偶函数（2分）Ⅱ0t ≠ 时，()010f =≠ ∴不是奇函数（2分）1 , 122f t f t ππ⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22f f ππ⎛⎫⎛⎫≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴不是偶函数（2分） ∴函数()f x 非奇非偶函数；（2）由t =，()2f A=cos 2A A +=，因为2a b =<=，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3A π= （4分）由2222cos a b c bc A =+-，解得12c =（2分） 1sin 2ABC S bc A ∆==. （2分）19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分解：（1）如图，建立平面直角坐标系，则()()()0,2,4,3,1,0A B M ，则()1,2MA =-,()3,3MB = （2分）cos 5MA MB AMB MA MB⋅∠=== （2分）故观测角arccos71.610AMB ∠=≈︒ （2分）（2）设()(),0 0M x x >①4x = 时，tan 2AMB ∠=，arctan245AMB ∠=>︒ （2分） ②4x ≠ 时，2MAk x =-，34MB k x=-2460MA MB x x ⋅=-+>，AMB ∴∠为锐角 ,设tan y AMB =∠()2238464614x x x y x x x x --+-∴==-+-- （2分）当4x =时，2y =符合上式，综上28, 046x y x x x +=>-+ 45AMB ∠≥︒， 1y ∴≥整理得2520x x --≤ （2分）0x <≤所以观测车行进过程中满足要求的路程长度约为5.4公里.（2分） 20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分解：（1）由已知条件，设椭圆Γ ：()222210x y a b a b+=>>，则4c a === （2分）椭圆Γ ：221164x y += （2分）（2）设()()1122,,,P x y Q x y 则121214OP OQ y y k k x x ⋅=-=，整理得121240x x y y +=，由221122224444x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩()22222222121212384OP OQ x x y y x x ∴+=+++=++ （2分） 222222121212444416x x x x y y ⎛⎫⎛⎫=--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得 221216x x += （2分）代入()22221238204OP OQ x x +=++=，为定值. （2分）（3）由椭圆的对称性可知，()22,R x y -- ()211121:PQ y y l y y x x x x --=--，()211121:RP y y l y y x x x x +-=-+，故()211121N y y y y x x x -=+-，()211121M y yy y x x x +=+-+，于是()2122111222112PMN M N x y x y S x y y x x x ∆-=⋅-=- （2分）又11221221121001PQR OPQx y S S x y x y x y ∆∆===- （2分）代入PQR PMN S S ∆∆=，再将222116x x =- 代入得()2211162x x =-.若()2211162x x =-，化简得2113320x -+=，方程无解；若()2211216x x =-，化简得211640x +-=解得：14x =（4-+舍去）∴点P横坐标为4. （2分）(3)法二PQR PMN S S ∆∆= PM PN PQ PR ∴⋅=⋅ PM PQPR PN∴=12= 或者12=()222112x x x =- 或者()222121x x x =-221216x x +=211640x ∴+-= 或者2113320x -+=（舍）解得：14x =∴点P横坐标为421. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）2 1 , 3a =-；3 3 , 1 , 5a =- （2分）()()()20222021min max 1202024041a a =-=-+⨯=-；（2分）（2）首先证明：p a q和q a p中至少一个等于1. （2分）反证法：设p a q和q a p都大于等于2，则212212p q q p-⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩，即212212p q q p -≥⎧⎨-≥⎩，相加得20-≥，矛盾！（2分）所以p a q和q a p中至少一个等于1.不妨设1q a p=，则211q p-=，即21p q =- 那么214334p a p q qq q q--===-，所以83,5,15p q q p a a +====. （2分）（3）非充分：取数列{}n a 如下：11a =，23a =，33a =-，1(1)(4)n n a n -=-≥.数列{}n a 满足条件，且对一切*N ,2n n ∈≥，均有20n S =，但不为周期数列；（3分）必要性：已知数列{}n a 为周期数列，设正整数T 为其一个周期. 分如下三步证明① 下证：若01n a =-，则00n S =；若数列{}n a 满足：11a =，1n n a a +=-或12n n a a +=+由22112()n n n n a a a a ++-=+可得：221144(1)(1)n n n n S S a a ++-=+-+所以2n ≥时：22212111444444(1)(1)4(1)n n n n n S S S S S S a a a -=-++-+=+-++=+ 1n =时，21144(1)S a ==+，即对一切*n N ∈，24(1)n n S a =+ （2分）利用上式可知：0021(1)04n n S a =+=. （1分） ② 下证：若1(3)n a n =≥，则11n a -=-；由条件：1n n a a -=-，或12n n a a -=-可得：11n a -=-. 1分③ 由11a =，21a =-或23a =，可知，周期2T ≥. 由11kT a +=，且13(*)kT k N +≥∈，由②可知1kT a =-，由①可知0kT S =，所以，对一切*k N ∈，kT S ∈，即集合S 为无穷集合. 1分。

2021年上海市杨浦区高考数学二模试卷(解析版)

2021年上海市杨浦区高考数学二模试卷一．填空题（满分54分，共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分）.1．已知复数z满足z＝2﹣i（i为虚数单位），则z•＝．2．已知函数的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（3）＝．3．在行列式D＝中，元素3的代数余子式的值为．4．在的二项展开式中，x6项的系数是．5．已知x，y满足，则z＝x﹣2y的最大值为．6．方程的解为x＝．7．已知一组数据a，3，﹣2，6的中位数为4，则其总体方差为．8．已知函数f（x）＝g（x）+|2x﹣1|为奇函数，若g（﹣1）＝7，则g（1）＝．9．直线l：（n+2）x﹣y+2n﹣1＝0（n∈N*）被圆C：（x﹣1）2+y2＝16所截得的弦长为d n，则＝．10．非空集合A中所有元素乘积记为T（A）．已知集合M＝{1，4，5，7，8}，从集合M 的所有非空子集中任选一个子集A，则T（A）为偶数的概率是．（结果用最简分数表示）11．函数，若有且仅有一个实数m满足：①；②x＝m是函数图象的对称轴，则ω的取值范围是．12．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面ACC1A1上一动点，且满足，则满足条件的所有点P所围成的平面区域的面积是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.13．若m，n∈R，i是虚数单位，则“m＝n”是“（m﹣n）+（m+n）i为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．已知数列{a n}是无穷等比数列，若a1＜a2＜0，则数列{a n}的前n项和S n（）A．无最大值，有最小值B．有最大值，有最小值C．有最大值，无最小值D．无最大值，无最小值15．在四边形ABCD中，，且满足，则＝（）A．2B．6C．D．16．已知函数f（x）的定义域为D，值域为A，函数f（x）具有下列性质：（1）若x，y∈D，则；（2）若x，y∈D，则f（x）+f（y）∈A．下列结论正确的是（）①函数f（x）可能是奇函数；②函数f（x）可能是周期函数；③存在x∈D，使得；④对任意x∈D，都有f2（x）∈A．A．①③④B．②③④C．②④D．②③三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．如图，棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AA1＝2，BB1⊥底面ABC，AB⊥BCD是棱AB 的中点．（1）求证：直线BC与直线DC1为异面直线；（2）求直线DC1与平面A1BC所成角的大小．18．已知，（a为实常数）（1）当a＝1时，求不等式的解集；（2）若函数f（x）在（0，+∞）中有零点，求a的取值范围．19．如图，A，B，C三地在以O为圆心的圆形区域边界上，AB＝30公里，AC＝10公里，∠BAC＝60°，D是圆形区域外一景点，∠DBC＝90°，∠DCB＝60°．（1）O、A相距多少公里？（精确到小数点后两位）（2）若一汽车从A处出发，以每小时50公里的速度沿公路AD行驶到D处，需要多少小时？（精确到小数点后两位）20．（16分）焦点为F的抛物线与圆交于A，B两点，其中A点横坐标为x A，方程的曲线记为Γ，P是曲线Γ上一动点．（1）若P在抛物线上且满足|PF|＝3，求直线PF的斜率；（2）T（m，0）是x轴上一定点．若动点P在Γ上满足x≤x A的范围内运动时，|PT|≤|AT|恒成立，求m的取值范围；（3）Q是曲线Γ上另一动点，且满足FP⊥FQ，若△PFQ的面积为4，求线段PQ的长．21．（18分）已知无穷数列{a n}与无穷数列{b n}满足下列条件：①a n∈{0，1，2}，n∈N*；②＝（﹣1）n•|a n﹣a n+1|，n∈N*．记数列{b n}的前n项积为T n．（1）若a1＝b1＝1，a2＝0，a3＝2，a4＝1，求T4；（2）是否存在a1，a2，a3，a4，使得b1，b2，b3，b4成等差数列？若存在，请写出一组a1，a2，a3，a4；若不存在，请说明理由；（3）若b1＝1，求T2021的最大值．参考答案一．填空题（满分54分，共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分）. 1．已知复数z满足z＝2﹣i（i为虚数单位），则z•＝5．解：因为z＝2﹣i，所以，所以z＝（2﹣i）（2+i）＝4+1＝5，故答案为：5．2．已知函数的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（3）＝5．解：令f（x）＝，解得x＝5，故f﹣1（3）＝5．故答案为：5．3．在行列式D＝中，元素3的代数余子式的值为﹣10．解：在行列式D＝中，元素3的代数余子式的值为：（﹣1）1+2[2×4﹣（﹣2）×1]＝﹣10，故答案为：﹣10．4．在的二项展开式中，x6项的系数是56．解：由已知可得展开式中含x6的项为：C＝2×28x6＝56x6，所以展开式中x6项的系数为56，故答案为：56．5．已知x，y满足，则z＝x﹣2y的最大值为9．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣1，﹣5），由z＝x﹣2y，得y＝，由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为9．故答案为：9．6．方程的解为x＝2．解：∵，∴，解得x＝2．故答案为：2．7．已知一组数据a，3，﹣2，6的中位数为4，则其总体方差为．解：因为数据a，3，﹣2，6的中位数为4，所以，故a＝5，所以这组数据的平均数为，故方差为[（﹣2﹣3）2+（3﹣3）2+（5﹣3）2+（6﹣3）2]＝．故答案为：．8．已知函数f（x）＝g（x）+|2x﹣1|为奇函数，若g（﹣1）＝7，则g（1）＝﹣11．解：根据题意，函数f（x）＝g（x）+|2x﹣1|，则f（1）＝g（1）+1，f（﹣1）＝g（﹣1）+3，又由函数f（x）＝g（x）+|2x﹣1|为奇函数，则f（﹣1）+f（1）＝g（1）+g（﹣1）+4＝0，则g（1）＝﹣11，故答案为：﹣11．9．直线l：（n+2）x﹣y+2n﹣1＝0（n∈N*）被圆C：（x﹣1）2+y2＝16所截得的弦长为d n，则＝．解：圆C：（x﹣1）2+y2＝16的圆心（1，0），半径为4，由点到直线的距离公式可得d n＝2＝＝2，＝2＝＝2．故答案为：2．10．非空集合A中所有元素乘积记为T（A）．已知集合M＝{1，4，5，7，8}，从集合M 的所有非空子集中任选一个子集A，则T（A）为偶数的概率是．（结果用最简分数表示）解：因为集合M＝{1，4，5，7，8}，所以集合M的所有非空子集共有25﹣1＝31种，若T（A）为奇数，则A中元素全部为奇数，又{1，3，5}的非空子集个数，共有23﹣1＝7种，所以T（A）为偶数的共有31﹣7＝24种，故T（A）为偶数的概率是．故答案为：．11．函数，若有且仅有一个实数m满足：①；②x＝m是函数图象的对称轴，则ω的取值范围是[，）．解：∵函数＝2sin（ωx+），若有且仅有一个实数m满足：①；②x＝m是函数图象的对称轴，故函数的图象的对称轴只有一条在[0，]上，∴ω•m+＝kπ+，即x＝（kπ+）•，k∈Z，令k＝0，可得函数的图象的对称轴方程x＝，∴≤，且+＞，求得≤ω＜，故答案为：[，）．12．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面ACC1A1上一动点，且满足，则满足条件的所有点P所围成的平面区域的面积是．解：因为，所以D1P⊥CP，故P在以CD1为直径的球面上，且P在平面ACC1A1上，则P在面ACC1A1截球所得的圆上，设该圆半径r，且正方体棱长为2，则CD＝2，球半径R＝＝，连接B1D1，则B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1，所以B1D1⊥平面ACC1A1，所以D1到平面ACC1A1的距离d1＝＝，因为O为CD1中点，所以O到平面ACC1A1的距离d＝＝，所以圆半径r＝＝，圆面积S＝πr2＝．故答案为：．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.13．若m，n∈R，i是虚数单位，则“m＝n”是“（m﹣n）+（m+n）i为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：复数z＝m﹣n+（m+n）i为纯虚数，可得，解得m＝n≠0．∴“m＝n”是“复数z＝m﹣n+（m+n）i为纯虚数”的必要不充分条件．故选：B．14．已知数列{a n}是无穷等比数列，若a1＜a2＜0，则数列{a n}的前n项和S n（）A．无最大值，有最小值B．有最大值，有最小值C．有最大值，无最小值D．无最大值，无最小值解：根据题意，数列{a n}是无穷等比数列，若a1＜a2＜0，则其公比q＝＞0，数列{a n}所有项为负，则有a2＝S2﹣S1＜0，即有S1＞S2，同理可得S1＞S2＞……＞S n＞……，故数列{a n}的前n项和S n有最大值，无最小值，故选：C．15．在四边形ABCD中，，且满足，则＝（）A．2B．6C．D．解：∵，∴AC为∠BAD的角平分线，∵＝，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠BCA，||＝＝2，故选：D．16．已知函数f（x）的定义域为D，值域为A，函数f（x）具有下列性质：（1）若x，y∈D，则；（2）若x，y∈D，则f（x）+f（y）∈A．下列结论正确的是（）①函数f（x）可能是奇函数；②函数f（x）可能是周期函数；③存在x∈D，使得；④对任意x∈D，都有f2（x）∈A．A．①③④B．②③④C．②④D．②③解：①中，若f（x）为奇函数，则由性质（1）得，f（x）≠0，所以当y＝﹣x时，f（x）+f（y）＝f（x）+f（﹣x）＝0∉A，性质（1）（2）矛盾，①错误；若f（x）为周期函数，则f（x）＝f（x+T），T为周期，当A∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）时，性质（1）（2）均成立，结论②正确；由上述分析可知，当A∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）时f（x）的值域为R，所以一定存在x0使得f（x0）＝，结论③正确；由性质（2）可得当y＝x时，f（x）+f（y）＝2f（x）∈A，故A为无穷集合，故f2（x）∈A，结论④正确．故选：B．三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．如图，棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AA1＝2，BB1⊥底面ABC，AB⊥BCD是棱AB 的中点．（1）求证：直线BC与直线DC1为异面直线；（2）求直线DC1与平面A1BC所成角的大小．【解答】（1）证明：假设直线BC与直线DC1共面，∵点B，C，D∈平面ABC，而过直线BC和直线BC外一点D有且只有一个平面，∴C1∈平面ABC，矛盾！（1分）假设不成立故直线BC与直线DC1为异面直线．（1分）（2）解：如图，以B为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，（1分）则B（0，0，0），C（2，0，0），A1（0，2，2），，，设平面A1BC的一个法向量，则，取，D（0，1，0），C1（2，0，2），，（1分）设直线DC1与平面A1BC所成角所成角为θ，则，（1分）所以θ＝45°．（1分）18．已知，（a为实常数）（1）当a＝1时，求不等式的解集；（2）若函数f（x）在（0，+∞）中有零点，求a的取值范围．解：（1）当a＝1时，不等式，化简可得，所以x（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜0，所以不等式的解集为（﹣1，0）；（2）因为函数f（x）在（0，+∞）中有零点，所以，x∈（0，+∞）有解，则（x＞0），因为的取值范围是[2，+∞），故a的取值范围是．19．如图，A，B，C三地在以O为圆心的圆形区域边界上，AB＝30公里，AC＝10公里，∠BAC＝60°，D是圆形区域外一景点，∠DBC＝90°，∠DCB＝60°．（1）O、A相距多少公里？（精确到小数点后两位）（2）若一汽车从A处出发，以每小时50公里的速度沿公路AD行驶到D处，需要多少小时？（精确到小数点后两位）解：（1）在△ABC中，由余弦定理可得，BC2＝AB2+AC2﹣2AB⋅AC cos∠CAB＝302+102﹣2⋅30⋅10⋅cos60°＝700，∴，则＝≈15.28（公里）．答：O、A相距约15.28公里；（2）在Rt△CBD中，BD＝BC•tan60°＝，在△ABC中，，即，∴，∴，∴AD2＝AB2+BD2﹣2AB⋅BD cos∠ABD＝．∴（公里）．∴所需时间为小时．答：从A行驶到D约需要1.25 小时．20．（16分）焦点为F的抛物线与圆交于A，B两点，其中A点横坐标为x A，方程的曲线记为Γ，P是曲线Γ上一动点．（1）若P在抛物线上且满足|PF|＝3，求直线PF的斜率；（2）T（m，0）是x轴上一定点．若动点P在Γ上满足x≤x A的范围内运动时，|PT|≤|AT|恒成立，求m的取值范围；（3）Q是曲线Γ上另一动点，且满足FP⊥FQ，若△PFQ的面积为4，求线段PQ的长．解：（1）P是抛物线y2＝4x上满足|PF|＝3的点，过点P作PN⊥l于N，由抛物线的定义可知，|PF|＝|PN|，设P（x′，y′），则x′+1＝3，解得x′＝2，又因为点P在抛物线上，所以y′2＝8，得y′＝±2，所以直线PF的斜率为k＝＝±2．（2）设P（x1，y1），由，得，所以A（3，2），B（3，﹣2），x A＝3，由|PT|≤|AT|，得（x1﹣m）2+y12≤（3﹣m）2+12，即x12﹣2mx1+m2+4x1≤21﹣6m+m2，因为x1≤x A＝3，所以m≤＝（x﹣3+6﹣），令f（x）＝（x﹣3+6﹣），则是增函数，且0≤x＜3，当x＝0时，取得最小值，所以m≤，即|PT|≤|AT|恒成立的范围是（﹣∞，]．（3）点P，Q都是Γ上的动点，①当P，Q都在圆弧上时，|FQ|＝|FP|＝4，PF⊥QF，所以S△PFQ＝×4×4＝8，不满足S△PFQ＝4的条件．②当P在抛物线上，Q在圆上，由S△PFQ＝4，得|PF|＝2，在Rt△PFQ中，|PF|2+|PQ|2＝22+42＝20，③当P，Q都在抛物线上，设P（x1，y1），Q（x2，y2），所以|PF|＝x1+1，|QF|＝x2+1，因为FP⊥FQ，所以k PF•k QF＝﹣1，即•＝﹣1，所以＝﹣1，所以y12y22﹣4（y12+y22）+16y1y2+16＝0，①因为△PFQ的面积为4，所以|PF||QF|＝4，所以（x1+1）（x2+1）＝8，所以x1x2+（x1+x2）﹣7＝0，所以•+（+）﹣7＝0，所以y12y22+4（y12+y22）﹣112＝0②，①+②得，2y12y22+16y1y2﹣96＝0，所以y12y22+8y1y2﹣48＝0，令t＝y1y2，则t2+8t﹣48＝0，解得t＝﹣12或t＝4，即y1y2＝﹣12或y1y2＝4，代入②得（舍）或，若y1y2＝4＞0，则y1，y2同号，且y1≠y2，由②可知﹣2≤y1≤2，﹣2≤y2≤2，所以y12+y22＜24矛盾，所以（舍），综上所述，|PQ|＝2．21．（18分）已知无穷数列{a n}与无穷数列{b n}满足下列条件：①a n∈{0，1，2}，n∈N*；②＝（﹣1）n•|a n﹣a n+1|，n∈N*．记数列{b n}的前n项积为T n．（1）若a1＝b1＝1，a2＝0，a3＝2，a4＝1，求T4；（2）是否存在a1，a2，a3，a4，使得b1，b2，b3，b4成等差数列？若存在，请写出一组a1，a2，a3，a4；若不存在，请说明理由；（3）若b1＝1，求T2021的最大值．解：（1）由得，，由得，，由得，，∴；（2）不存在．假设存在，设b1，b2，b3，b4公差为d，若b1＞0，则b2＜0，b3＜0，b4＞0，公差d＝b2﹣b1＜0，d＝b4﹣b3＞0，矛盾；若b1＜0，则b2＞0，b3＞0，b4＜0，公差d＝b2﹣b1＞0，d＝b4﹣b3＜0，矛盾，∴假设不成立，故不存在；（3）由题意，b1＝1＞0，且b4k﹣3＞0，b4k﹣2＜0，b4k﹣1＜0，b4k＞0，设，，得|b n+1|＝q n•|b n|，进一步得到|b n+2|＝q n•q n+1•|b n|，显然q n•q n+1的值从大到小依次为，（i）若q n•q n+1＝1，则，则，不可能；（ii）若，则或，则或，不可能；（iii）若，则，则，不可能；∴，当或取得，∴，∴，，∴|T2021|＝|b1•b2•b3......b2021|＝|b1•b3•b5......b2021|•|b2•b4•b6 (2020)＝，当{a n}：2，0，2，0，2，0……取得，又T2021＞0，∴．。

上海市杨浦区2021届新高考第二次模拟数学试题含解析

上海市杨浦区2021届新高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设,a b r r 为非零向量，则“a b a b +=+r r r r ”是“a r 与b r 共线”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案. 【详解】若a b a b +=+r r r r ，则a r 与b r共线，且方向相同，充分性；当a r 与b r共线，方向相反时，a b a b ≠++r r r r ，故不必要.故选：A . 【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力. 2．已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12minπx x -=，则2ω=；②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中，判断正确的个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】对函数()f x 化简可得π()sin(2)6f x x ω=+，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】因为2π2ππ()12cos ()cos(2)sin(2)336f x x x x ωωω=-+=-+=+，所以周期2ππ2T ωω==. 对于①，因为12min 1π2x x T -==，所以ππ2T ω==，即12ω=，故①错误；对于②，函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的函数为ππsin(2)36y x ωω=-+，其图象关于y 轴对称，则ππππ()362k k ω-+=+∈Z ，解得13()k k ω=--∈Z ，故对任意整数k ，(0,2)ω∉，所以②错误；对于③，令π()sin(2)06f x x ω=+=，可得π2π6x k ω+=()k ∈Z ，则ππ212k x ωω=-，因为π(0)sin 06f =>，所以()f x 在[]0,2π上第1个零点1>0x ，且1ππ212x ωω=-，所以第7个零点7ππππ3π41π321221212x T ωωωωωω=-+=-+=，若存在第8个零点8x ，则8ππ7ππ7π47π2122212212x T ωωωωωω=-+=-+=，所以782πx x ≤<，即2π41π47π1212ωω≤<，解得41472424ω≤<，故③正确；对于④，因为π(0)sin 6f =，且ππ0,64⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以πππ2662πππ2462ωω⎧⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪⨯+≤⎪⎩，解得23ω≤，又0>ω，所以203ω<≤，故④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题. 3．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（） A ．-1 B ．1C ．0D ．2【答案】B 【解析】【分析】化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】为纯虚数，故且，即.故选：. 【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力. 4．设2log 3a =，4log 6b =，0.15c -=，则（） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】【分析】先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较,a b ,再由中间值1可得三者的大小关系. 【详解】()2log 31,2a =∈，()422log 6log 1,log 3b ==，()0.150,1c -=∈，因此a b c >>，故选：A.【点睛】本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题.5．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布3531尺，则这位女子织布的天数是（） A ．2 B ．3C ．4D ．1【答案】B 【解析】【分析】将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题. 【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题，在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，55S =，3531m S =，求m 的值．因为()51512512a S -==-，解得1531a =，()51235311231m mS -==-，解得3m =．故选B ．【点睛】本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助.6．已知x ，y 满足条件0020x y y x x y k ≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，（k 为常数），若目标函数3z x y =+的最大值为9，则k =（）A ．16-B ．6-C ．274-D ．274【答案】B 【解析】【分析】由目标函数3z x y =+的最大值为9，我们可以画出满足条件件0,0(20x y y xk x y k ⎧⎪⎨⎪++⎩厖……为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k 的方程组，消参后即可得到k 的取值．【详解】画出x ，y 满足的0,0(20x y y xk x y k ⎧⎪⎨⎪++⎩厖……为常数）可行域如下图：由于目标函数3z x y =+的最大值为9，可得直线0y =与直线93x y =+的交点(3,0)B ，使目标函数3z x y =+取得最大值，将3x =，0y =代入20x y k ++=得：6k =-．故选：B ．【点睛】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组)，代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值．7．已知函数()f x 满足：当[)2,2x ∈-时，()()22,20log ,02x x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨<<⎩，且对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，则()2019f =（）A ．0B ．1C ．-1D ．2log 3【答案】C 【解析】【分析】由题意可知()()20191f f =-，代入函数表达式即可得解. 【详解】由()()4f x f x +=可知函数()f x 是周期为4的函数，∴()()()()20191450511121f f f =-+⨯=-=-⨯-+=-.故选：C. 【点睛】本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题. 8．已知复数()()2019311i i z i --=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（） A ．z 的虚部为4B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C ．z 的共轭复数42z i =- D．z =【答案】D 【解析】【分析】利用i 的周期性先将复数z 化简为42i z =-+即可得到答案. 【详解】因为2i 1=-，41i =，5i i =，所以i 的周期为4，故4504334i 24i 24i 242i i i iz ⨯++++====-+-，故z 的虚部为2，A 错误；z 在复平面内对应的点为(4,2)-，在第二象限，B 错误；z 的共轭复数为42z i =--，C错误；z ==D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.9．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠，长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（） A ．73斤 B ．72斤 C ．52斤 D ．3斤【答案】B 【解析】【分析】依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，14a =则52a =，由此利用等差数列性质求出结果．【详解】设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为{}n a ，设首项14a =，则52a =，∴公差5124151512a a d --===---，2172a a d ∴=+=. 故选B 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．已知函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42xg x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（）A ．(]01，B ．(]04，C ．[)1+∞，D ．(]0,ln2 【答案】A 【解析】【分析】根据实数0x 满足的等量关系，代入后将方程变形0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，构造函数()ln 5h x x x =+-，并由导函数求得()h x 的最大值；由基本不等式可求得00242x x a a -⋅+⋅的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数a 的取值范围. 【详解】函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42x gx x a -=-⋅，由题意得()()0000002ln 425x x f x g x x a x a --=+⋅-+⋅=，即0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，令()ln 5hx x x =+-，∴()111x h x x x-'=-=， ∴()h x 在()01，上单调递增，在()1+∞，上单调递减，∴()()14max hx h ==，而0024224xx a a a -⋅+⋅≥=，当且仅当00242x x -=⋅，即当01x =时，等号成立， ∴44a ≤， ∴01a <≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.11．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式化简sin cos 2y y π⎛⎫+= ⎪⎝⎭再分析即可. 【详解】因为cos sin cos 2x y y π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,所以q 成立可以推出p 成立,但p 成立得不到q 成立,例如5cos cos33ππ=,而533ππ≠,所以p 是q 的必要而不充分条件. 故选：B 【点睛】本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.12．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A ．2y x =±B ．y =C ．y =D ．y x =±【答案】B 【解析】【分析】先利用对称得2AF OM ⊥，根据11F AO AOF ∠=∠可得1AF c =，由几何性质可得160AFO ∠=o ，即260MOF ∠=o ，从而解得渐近线方程.【详解】如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥，所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF F O c ==，故而由几何性质可得160AFO ∠=o ，即260MOF ∠=o ，故渐近线方程为3y x =，故选B. 【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出260MOF ∠=o是解题的关键，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市杨浦区2021届新高考数学模拟试题(2)含解析

上海市杨浦区2021届新高考数学模拟试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AF BF=（）A ．54B ．43C ．32D ．2【答案】C 【解析】【分析】需结合抛物线第一定义和图形，得AFH V 为等腰三角形，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出()cos 2pBF πα=-，()tan sin 2p AF απα=-，结合比值与正切二倍角公式化简即可【详解】如图，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥.由抛物线定义知AF AH =，所以AHF AFH α∠=∠=，2FAH OFB πα∠=-=∠，()()cos 2cos 2MF pBF παπα==--，()()()tan tan sin 2sin 2sin 2CF CH p AF ααπαπαπα===---，所以()2tan tan tan 13tan 2tan 222AFBF αααπαα-====--.故选：C 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题2．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（）A ．2B ．5C ．13 D．22【答案】D 【解析】【分析】根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积. 【详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥P ABC -.13PAC PAB S S ∆∆==，22PAC S ∆=，2ABC S ∆=，故最大面的面积为22.选D.【点睛】本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.3．已知函数1222,0,()log ,0,x x f x x x +⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程[]2()2()30f x af x a -+=有六个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（） A ．163,5⎛⎫⎪⎝⎭B ．163,5⎛⎤⎥⎝⎦C ．(3,4)D ．(]3,4【答案】B 【解析】【分析】令()f x t =，则2230t at a -+=，由图象分析可知2230t at a -+=在(2,4]上有两个不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解决. 【详解】令()f x t =，则2230t at a -+=，如图y t =与()y f x =顶多只有3个不同交点，要使关于x 的方程[]2()2()30f x af x a -+=有六个不相等的实数根，则2230t at a -+=有两个不同的根12,(2,4]t t ∈，设2()23g t t at a =-+由根的分布可知，24120(2,4)(2)0(4)0a a a g g ⎧∆=->⎪∈⎪⎨>⎪⎪≥⎩，解得1635a <≤. 故选：B. 【点睛】本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中档题. 4．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则M N =I （）A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<【答案】A 【解析】【分析】根据对数性质可知25log 356<<，再根据集合的交集运算即可求解. 【详解】∵25log 356<<，集合{}|26Mx x =-<<，∴由交集运算可得{}2|2log 35M N x x ⋂=-<<.故选：A.【点睛】本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题. 5．若复数z 满足()112i z i -=-+,则||Z =( )A ．2B ．32C ．2D ．12【答案】C 【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：由()112i z i -=-+，得()()()()121123111122i i i z i i i i -++-+===-+--+，∴2z z ===．故选C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．6．已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点，若曲线()y f x =在点A ，B 处的切线重合，则实数a 的最小值是（） A ．1- B ．12-C ．12D ．1【答案】B 【解析】【分析】先根据导数的几何意义写出()f x 在,A B 两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出()122112x a x e =-，令函数()()()22102x g x x e x =-≤ ，结合导数求出最小值，即可选出正确答案. 【详解】解：当0x ≤ 时，()2f x x x a =++，则()'21f x x =+;当0x >时，()ln x x a f x =-则()'ln 1f x x =+.设()()()()1122,,,A x f x B x f x 为函数图像上的两点，当120x x << 或120x x <<时，()()12''f x f x ≠，不符合题意，故120x x <<.则()f x 在A 处的切线方程为()()()2111121y x x a x x x -++=+-；()f x 在B 处的切线方程为()()2222ln ln 1y x x a x x x -+=+-.由两切线重合可知 21221ln 121x x x a a x +=+⎧⎨--=-⎩ ，整理得()()12211102x a x e x =-≤.不妨设()()()22102xg x x e x =-≤ 则()()22',''12xxg x x e g x e =-=- ，由()''0g x = 可得11ln 22x =则当11ln 22x =时，()'g x 的最大值为11111'ln ln 022222g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭. 则()()2212x g x x e =-在(],0-∞ 上单调递减，则()102a g ≥=-. 故选:B. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出a 和x 的函数关系式.本题的易错点是计算. 7．若复数z 满足1z =，则z i -（其中i 为虚数单位）的最大值为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】根据复数的几何意义可知复数z 对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定z i -，即可得z i -的最大值. 【详解】由1z =知，复数z 对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，z i -表示复数z 对应的点与点()0,1间的距离，又复数z 对应的点所在圆的圆心到()0,1的距离为1，所以max 112z i -=+=. 故选：B 【点睛】本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题.8．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（）A ．173B ．32C ．53D ．102【答案】D 【解析】【分析】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，'Rt CBF ∆和'Rt FBF ∆中，利用勾股定理计算得到答案.【详解】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，AF FB ⊥，根据对称性知四边形'AFBF 为矩形，'Rt CBF ∆中：222''CF CB BF =+，即()()()2223242x a x a x +=++，解得x a =； 'Rt FBF ∆中：222''FF BF BF =+，即()()22223c a a =+，故2252c a =，故10e =. 故选：D .【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.9．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A ，B ，C 编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母A ，B ，C 的概率为（） A ．1721B ．1928C ．79D ．2328【答案】B首先求出基本事件总数，则事件“恰好不同时包含字母A，B，C”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A，B，C”，记事件“恰好不同时包含字母A，B，C”为E，利用对立事件的概率公式计算可得；【详解】解：从9个球中摸出3个球，则基本事件总数为3984C=（个），则事件“恰好不同时包含字母A，B，C”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A，B，C”记事件“恰好不同时包含字母A，B，C”为E，则3 3 9 319()128P EC=-=.故选：B【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了排列组合的知识，解答的关键在于正确理解题意，属于基础题．10．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收入完全不平等.记区域A为不平等区域，a表示其面积，S为OKL△的面积，将GiniaS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x=，则对(0,1)x∀∈，均有()1f xx>；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x=∈，则1Gini4=；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x=∈，则1Gini2=.其中正确的是：A．①④B．②③C．①③④D．①②④【分析】【详解】对于①，根据基尼系数公式Gini aS=，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可得()1f x x<，所以②错误.对于③，因为1223100111()d ()|236a x x x x x =-=-=⎰，所以116Gini 132a S ===，所以③错误.对于④，因为1324100111()d ()|244a x x x x x =-=-=⎰，所以114Gini 122a S ===，所以④正确.故选A ．11．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =u u u u v u u u u v ，则AB AM ⋅u u u v u u u u v等于（） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】D 【解析】【分析】利用已知条件，表示出向量AM u u u u r,然后求解向量的数量积．【详解】在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =u u u u v u u u u v，可得12.33AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r则AB AM ⋅u u u v u u u u v =12()33AB AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r =212213347.3332AB AB AC +⋅=+⨯⨯⨯=u u u r u u u r u u u r【点睛】本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量．12．已知双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( ) A．(B．)+∞C．(D．)+∞【答案】C 【解析】【分析】先求得2C 的渐近线方程，根据12,C C 没有公共点，判断出1C 渐近线斜率的取值范围，由此求得1C 离心率双曲线222:14yC x-=的渐近线方程为2y x=±，由于双曲线22122:1x yCa b-=与双曲线222:14yC x-=没有公共点，所以双曲线1C的渐近线的斜率2ba≤，所以双曲线1C的离心率(211,5bea⎛⎫⎤=+∈⎪⎦⎝⎭.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的取值范围的求法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市杨浦区2023届高三下学期高考模拟(二模)数学试题(含解析)

上海市杨浦区2023届高三下学期高考模拟（二模）数学试题一、单选题1．（2023·上海杨浦·统考二模）已知a 、b ∈R ，则“a b >”是“33a b >”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要2．（2023·上海杨浦·统考二模）对成对数据()11,x y 、()22,x y 、…、(),n n x y 用最小二乘法求回归方程是为了使（）A ．()10ni i y y =-=∑B ．µ()10ni i i y y =-=∑C ．µ()1n i i i y y =-∑最小D ．µ()21ni i i y y =-∑最小3．（2023·上海杨浦·统考二模）下列函数中，既是偶函数，又在区间(),0∞-上严格递减的是（）A ．2xy =B ．()ln y x =-C ．23y x-=D．y =4．（2023·上海杨浦·统考二模）如图，一个由四根细铁杆PA 、PB 、PC 、PD 组成的支架（PA 、PB 、PC 、PD 按照逆时针排布），若π3APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=，一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心O 到点P 的距离是（）ABC ．2D ．32二、填空题5．（2023·上海杨浦·统考二模）集合{}2230A x x x =--=，{}24,B x x x =≤≤∈R ，则A B =I______6．（2023·上海杨浦·统考二模）复数34i34i+-的虚部是______7．（2023·上海杨浦·统考二模）已知等差数列{}n a 中，377,3a a ==，则数列{}n a 的通项公式是___________.8．（2023·上海杨浦·统考二模）设()55435431021x a x a x a x a x a +=+++++L ，则3a =______9．（2023·上海杨浦·统考二模）函数()ln 23y x =-的导数是y '=______10．（2023·上海杨浦·统考二模）若圆锥的侧面积为15π，高为4，则圆锥的体积为______11．（2023·上海杨浦·统考二模）由函数的观点，不等式3lg 3x x +≤的解集是______12．（2023·上海杨浦·统考二模）某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图（如图），估计学生的平均成绩为______分13．（2023·上海杨浦·统考二模）ABC V 内角A 、B 、C 的对边是a 、b 、c ，若3a =，b ，π3A ∠=，则B ∠=______14．（2023·上海杨浦·统考二模）若1F ､2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于A ，B 两点.若2ABF △为等边三角形，则双曲线的离心率为________.15．（2023·上海杨浦·统考二模）若存在实数ϕ，使函数()()()1cos 02f x x ωϕω=+->在[]π,3πx ∈上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为______16．（2023·上海杨浦·统考二模）已知非零平面向量a r 、b r 、c r满足5a =r ，2b c =r r ，且()()0b a c a -⋅-=r r r r ，则b r的最小值是______三、解答题17．（2023·上海杨浦·统考二模）已知一个随机变量X 的分布为：6789100.10.20.3a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)已知()435E X =，求a 、b 的值；(2)记事件A ：X 为偶数；事件B ：8X ≤.已知()12P A =，求()P B ，()P A B ⋂，并判断A 、B 是否相互独立？18．（2023·上海杨浦·统考二模）四边形ABCD 是边长为1的正方形，AC 与BD 交于O 点，PA ⊥平面ABCD ，且二面角P BC A --的大小为45︒.(1)求点A 到平面PBD 的距离；(2)求直线AC 与平面PCD 所成的角.19．（2023·上海杨浦·统考二模）如图，某国家森林公园的一区域OAB 为人工湖，其中射线OA 、OB 为公园边界.已知OA OB ⊥，以点O 为坐标原点，以OB 为x 轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：千米）.曲线AB 的轨迹方程为：()2402y x x =-+≤≤.计划修一条与湖边AB 相切于点P 的直路l （宽度不计），直路l 与公园边界交于点C 、D 两点，把人工湖围成一片景区OCD V .(1)若P 点坐标为()1,3，计算直路CD 的长度；（精确到0.1千米）(2)若P 为曲线AB （不含端点）上的任意一点，求景区OCD V 面积的最小值.（精确到0.1平方千米）20．（2023·上海杨浦·统考二模）已知椭圆()2222:1043x y C a a a +=>的右焦点为F ，直线:40l x y +-=.(1)若F 到直线l 的距离为a ；(2)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且ABO V 的面积为487，求a ；(3)若椭圆C 上存在点P ，过P 作直线l 的垂线1l ，垂足为H ，满足直线1l 和直线FH 的夹角为π4，求a 的取值范围.21．（2023·上海杨浦·统考二模）已知数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，满足13a =，27a =，12n n n a a a ++=-，*n ∈N .(1)写出数列{}n a 前4项的所有可能取法；(2)判断：是否存在正整数k ，满足1k a =，并说明理由；(3)n c 为数列{}n a 的前n 项中不同取值的个数，求100c 的最小值.参考答案：1．C【分析】利用函数3()f x x =在R 上单调递增即可判断出结论.【详解】()3,f x x x =∈R Q 是奇函数且为递增函数，所以a b >，则()()f a f b >，即33a b >，同理，33a b >，则()()f a f b >，函数单调递增，得a b >；∴ “a b >”是“33a b >”的充要条件.故选：C.2．D【分析】由最小二乘法的求解即可知.【详解】根据最小二乘法的求解可知：回归方程是为了使得每个数据与估计值之间的差的平方和最小，故选：D 3．A【分析】利用奇偶性定义判断各函数的奇偶性，再由指对幂函数的性质判断区间单调性，即可得答案.【详解】由22x x -=且x ∈R ，故2x y =为偶函数，在(),0∞-上2xy -=递减，A 符合；由()ln y x =-的定义域为(),0∞-，故为非奇非偶函数，B 不符合；由23y x -==(,0)(0,)-∞+∞U ，=，故23y x -=为偶函数，在(),0∞-上递增，C 不符合；由y =R ，=，故为偶函数，在(),0∞-上递增，D 不符合.故选：A 4．B【分析】将支架看作一个正四棱锥，根据已知及相切关系得到三角形相似，利用相似比求球心O 到点P 的距离.【详解】如上图正四棱锥P ABCD -，H 为底面中心，O 为球心，E 为球体与PD 的切点，又π3APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=，故P ABCD -各侧面均为等边三角形，若侧面三角形边长为a，则HD =，PD a =，1OE =，显然Rt △PHD ~Rt △PEO，故HD OE PD OP ==OP =.故选：B.5．{}3【分析】根据一元二次方程化简集合A ,由集合的交运算即可求解.【详解】由{}2230A x x x =--=得{}3,1A =-，所以{}3A B ⋂=，故答案为：{}36．2425##0.96【分析】根据复数除法法则化简即得结果.【详解】因为()()()()34i 34i 34i 34i 34i 347+24i 25i -==+++--+，所以虚部为2425.故答案为：24257．10n a n =-##10n a n =-+【分析】设公差为d ，由基本量代换列方程组，解出1a d 、，即可得到通项公式.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得：31712763a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得：191a d =⎧⎨=-⎩，所以()1110n a a n d n =+-=-.故答案为：10n a n =-.8．80【分析】先写出()521x +的二项展开式的通项，再求出3a 即可.【详解】()521x +的二项展开式的通项：()()555155C 22C 0,1,2,3,,145rr rr r rr T x x r ---+===，故33522C 81080a ==⨯=．故答案为：80.9．332x -【分析】根据复合函数求导法则进行求导即可.【详解】因为()ln 23y x =-，所以()()113233232332y x x x x ''=⨯-=⨯-=---.故答案为：332x -.10．12π【分析】圆锥的半径为r ，母线长为l ，高为h ，则侧面积为12ππ15π2S r l rl =⨯⨯==，再结合2216l r =+，可得r 的值.然后根据椎体体积公式13V Sh =计算即可.【详解】设圆锥的半径为r ，母线长为l ，高为h ，有22π15π16rl l r =⎧⎨=+⎩，解得：35r l =⎧⎨=⎩.211π12π,33V Sh r h ==⨯⨯=故答案为： 12π.11．(]0,1【分析】构造()3lg 3xf x x =+-可得()f x 为单调递增函数，有()10f =即可求解.【详解】令()3lg 3xf x x =+-，由于3,lg x y y x ==均为单调递增函数，因此()f x 为()0,∞+上的单调递增函数，又()10f =，故()0f x ≤的解为(]0,1，故答案为：(]0,112．107【分析】利用直方图求学生的平均成绩即可.【详解】由直方图知：平均成绩为(950.031050.041150.0151250.011350.005)10107⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=分.故答案为：10713．π4##45o 【分析】利用正弦定理及大边对大角即可求解.【详解】因为3a =，b π3A ∠=，由正弦定理得sin sin b AB a∠∠===所以π4B ∠=或3π4B ∠=.由b a <，得B A ∠<∠,所以0π3B <∠<，所以π4B ∠=.故答案为：π4.14【分析】根据双曲线的定义算出△AF 1F 2中，|AF1|=2a ，|AF2|=4a ，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C 的离心率.【详解】因为△ABF2为等边三角形，可知22||||||AB BF AF ==，A 为双曲线上一点，21||||2AF AF a ∴-=，B 为双曲线上一点，则 12||||2BF BF a -=，即11||||||2BF AB AF a -==，∴21||||24,AF AF a a =+=由0260ABF ∠=，则12120F AF ︒∠=，已知12||2F F c =，在△F 1AF 2中应用余弦定理得：2224416224cos120c a a a a ︒=+-⋅⋅⋅，得c 2=7a 2，则e 2＝7⇒e【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常常不能经过条件直接得到a ，c 的值，这时可将ca或b a 视为一个整体，把关系式转化为关于c a 或ba的方程，从而得到离心率的值.15．15,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】利用cos y x =的图像与性质，直接求出函数()f x 的零点，再利用题设条件建立不等关系ππ2π2π332πk k ϕϕωω-+--+-≤且11ππ2π2π332πk k ϕϕωω-+-+->，从而求出结果.【详解】因为()()()1cos 02f x x ωϕω=+->，由()0f x =，得到()1cos 2x ωϕ+=，所以π2π(Z)3x k k ωϕ+=+∈或π2π(Z)3x k k ωϕ+=-+∈，所以π2π3(Z)k x k ϕω-+=∈或π2π3(Z)k x k ϕω--+=∈，又因为存在实数ϕ，使函数()f x 在[]π,3πx ∈上有且仅有2个零点，所以7π5π2π2π332πk k ϕϕωω-+-+-≤且11ππ2π2π332πk k ϕϕωω-+-+->，即2π32πω≤且10π32πω>，解得1533ω≤<.故答案为：1533ω≤<16【分析】由向量的运算，数量积与模长的关系，利用三角函数的性质求最值即可.【详解】解：如图AC a =u u u r r ，AD b u u u r r =，AB c =u u u r r ，则b a CD -=u u u r r r ，c a CB -=u u rr r ，已知()()0b a c a -⋅-=r r r r ，即0CD CB ⋅=u u u r u u r，所以CD CB ⊥，取BD 的中点O ，则有1122OC BD b c ==-r r，而12OA b c =+r r，根据三角形的三边关系可知OA OC AC+≥则11522b c b c a ++-≥=r r r rr ，所以10b c b c ++-≥r r r r ，当A ，O ，C 三点共线时取等号，记,b c r r向量的夹角为θ，则b +=r ，同理b -r ，由10b c b c ++-≥r r r r10≥，则225b ≥==r ，当cos 0θ=，即b c ⊥r r时取等号，，即b r的最小值是【点睛】本题考查平面向量的综合运用，关键点在于利用三角形的三边关系得到不等式10b c b c ++-≥r r r r，进而利用数量积求模长.17．(1)0.1a =，0.3b =；(2)()0.5P B =，()0.3P A B ⋂=，事件A 与B 不相互独立.【分析】（1）根据分布的性质及数学期望列方程直接求解即可；（2）由()12P A =及分布列的性质求出a 、b ，进一步求出()P B ，()P A B ⋂，利用两个事件相互独立的定义判断即可.【详解】（1）由随机变量的分布的性质有0.10.20.31a b ++++=，得0.4a b +=，又()60.1780.290.310E X a b=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯60.17(0.4)80.290.310b b =⨯+⨯-+⨯+⨯+⨯437.738.65b =+==，解得0.3b =，所以0.40.1a b =-=，即0.1a =，0.3b =；（2）由题意，()10P X b ==，又事件A ：X 为偶数，所以()()()()168100.10.22P A P X P X P X b ===+=+==++，所以0.2b =，由随机变量的分布的性质有0.10.20.31a b ++++=，得0.2a =，又事件B 为8X ≤，所以()()()()6780.10.20.20.5P B P X P X P X ==+=+==++=，所以()()()680.10.20.3P A B P X P X ⋂==+==+=，因为()()()P A B P A P B ⋂≠，所以A 与B 不相互独立.18．(2)π6【分析】（1）建立空间直角坐标系，设PA a =，利用空间向量法及二面角P BC A --的大小求出a 的值，再求平面PBD 的法向量n r ，根据点A 到平面PBD 的距离AP n d n⋅=u u u r r r 求解即可；（2）先求出平面PCD 的法向量，利用空间向量法求解即可.【详解】（1）因为四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以,,AP AB AD 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示坐标系，设PA a =，0a >，则()0,0,P a ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,0,0A ，()0,1,0D ，所以()1,0,PB a =-u u u r ，()0,1,0BC =u u u r ，()1,0,0AB =u u u r ，设平面PBC 的法向量()1111,,n x y z =u r ，则1111100n PB x az n BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，取()1,0,1n a =u r ，取平面BCA 的法向量()20,0,1n =u u r ，因为二面角P BC A --的大小为45︒，所以12cos ,n n =u r u u r ，解得1a =，即()0,0,1P ，所以()1,0,1PB =-u u u r ，()0,1,1PD =-u u u r ，()0,0,1AP =u u u r ，设平面PBD 的法向量()000,,n x y z =r ，则000000n PB x z n PD y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u r r u u u r r ，取()1,1,1n =r ，所以点A 到平面PBD的距离d =（2）由（1）得()()()1,1,1,0,1,1,1,1,0PC PD AC =-=-=u u u r u u u r u u u r ，设平面PCD 的法向量(),,m x y z =u r ，则00m PC x y z m PD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u r r u u u r r ，取()0,1,1m =u r ，设直线AC 与平面PCD 所成的角为θ，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin cos ,2m AC m AC m ACθ⋅====u r u u u r u r u u u r u r u u u r ，所以直线AC 与平面PCD 所成的角为π6.19．(1)5.6km(2)26.2km 【分析】（1）根据导数与切线的关系求解即可；（2）利用切线方程与导数的关系求出点P 处的切线方程，从而表示出OCD V 的面积，再利用导数与单调性和最值的关系即可求解.【详解】（1）因为()2402y x x =-+≤≤，所以2y x '=-，所以1|2x y ='=-，所以由点斜式可得32(1)y x -=--，即25y x =-+，令0x =，解得5y =，令0y =，解得52x =，所以5(0,5),(,0)2C D5.6km =≈.（2）设2(,4),02P t t t -+<<，则由（1）可知|2x t y t ='=-，所以CD 的直线方程为242()y t t x t +-=--，整理得224y tx t =-++，令0x =，解得24y t =+，令0y =，解得242t x t +=，所以22314116(4)(8224OCD t S t t t t t+=⨯+⨯=++△，设3116()(8),024f t t t t t=++<<，4222222211613816(34)(4)()(38)444t t t t f t t t t t+--+'=+-=⨯=，令()0f t '>，即2340t ->2t <<，令()0f t '<，即2340t -<，解得0t <<所以函数()f t在⎛ ⎝单调递减，2⎫⎪⎪⎭单调递增，所以32min1()8 6.2km4f t f⎡⎤⎢==+=≈⎢⎢⎢⎣.所以景区OCDV面积的最小值为26.2km.20．(1)8a=(2)2a=(3)a≥4a≠【分析】（1）由椭圆方程得右焦点为(,0)F a，再根据已知条件及点到直线的距离公式求解即可；（2）联立直线与椭圆方程，先由韦达定理及弦长公式求AB，点到直线的距离公式求O到直线l的距离h，再根据三角形面积公式求解即可；（3）分4a=和4a≠两种情况讨论，易知4a=不合题意，当4a≠时，根据题意可得直线FH 的方程为0y=或x a=，代入l方程可求H点坐标，从而可求直线1l的方程，联立1l与椭圆方程，利用0∆≥即可求出a的取值范围．【详解】（1）因为()2222:1043x yC aa a+=>，所以右焦点为(,0)F a，又因为:40l x y+-=，所以F到直线l的距离d8a=；（2）设11(,)A x y，22(,)B x y，由22221434x ya ax y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得2273264120x x a-+-=，所以223228(6412)0a∆=-->，即2167a>，且1221232764127x xax x⎧+=⎪⎪⎨-⎪⋅=⎪⎩，==，又因为O 到直线l 的距离为h 所以ABO V 的面积为118482277ABO S AB h =⋅=⨯==V ，解得2a =满足2167a >，所以2a =；（3）若4a =，则直线l 经过点F ，此时直线1l 和直线FH 的夹角为π2（舍去），若4a ≠，由直线1l 和直线FH 的夹角为π4，且11l k =得，直线FH 的方程为0y =或x a =代入:40l x y +-=得(4,0)H 或(,4)H a a -，所以直线1l 的方程为4y x =-或(4)y a x a --=-代入椭圆方程得2273264120x x a -+-=或()()2273216464640x a x a a +-+-+=，由2148(716)0a ∆=-≥或2248(3+1616)0a a ∆=-≥解得a ≥a ≥，综上得的取值范围为a ≥4a ≠．21．(1)答案见解析；(2)不存在，理由见解析；(3)51【分析】（1）根据题意得21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，再直接求解即可；（2）根据21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，再证明3n n a a +≥，*n ∈N 即可证明结论‘；（3）根据21n n n a a a ++=+①或21n n n a a a ++=-②得对于任意的1,n n a a +，均可以使用①递推，②不能连续使用，进而记记{}212max ,(N k k k b a a k -=∈且1)k ≥，{}12122max ,k k k b a a +++=可得1k k b b +>(N k ∈且1)k ≥，进而得10051c ≥，再根据特例说明10051c =即可得答案.【详解】（1）解：由12n n n a a a ++=-得12n n n a a a ++-=-或12n n n a a a ++=-，所以21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，因为足13a =，27a =，所以310a =或34a =，所以，当310a =时，417a =或43a =；当34a =时，411a =或43a =-因为数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，所以43a =-舍，所以，数列{}n a 前4项的所有可能取法有13a =，27a =，310a =，417a =或13a =，27a =，310a =，43a =或13a =，27a =，34a =，411a =.（2）解：不存在，下面证明：因为12n n n a a a ++=-，*n ∈N 所以，21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，当21n n n a a a ++=+时，因为数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，所以32121n n n n n n n a a a a a a a +++++=+>=+>，即3n n a a +>或321n n n n a a a a +++=-=，所以3n n a a +≥；当21n n n a a a ++=-时，因为数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，所以210n n n a a a ++=->，即1n na a +>所以3211n n n n n a a a a a ++++=+>>或3210n n n n a a a a +++=-=-<（舍），综上，3n n a a +≥，*n ∈N 所以3213k a a -≥=，3127k a a -≥=，334k a a ≥=.综上，不存在正整数k ，满足1k a =.（3）解：由12n n n a a a ++=-，*n ∈N 所以，21n n n a a a ++=+①或21n n n a a a ++=-②，对于任意的1,n n a a +，均可以使用①递推，只有满足1n n a a +>时，才可以使用②递推；若21n n n a a a ++=-，显然21n n a a ++<，下次只能用①递推，即321n n n a a a +++=+所以，②不能连续使用.记{}212max ,(N k k k b a a k -=∈且1)k ≥，{}12122max ,k k k b a a +++=若21221k k k a a a +-=+，则1k k b b +>；若21221k k k a a a +-=-，则22212221k k k k k a a a a a ++-=+>>，所以1k k b b +>，所以1k k b b +>(N k ∈且1)k ≥，所以，12100,,,a a a L 中至少有122350,,,,,a a b b b L 共51项，即10051c ≥.举例如下：1212,(,(n n n n n a a n a a a n ----+⎧=⎨-⎩为奇数）为偶数）所以{}:3,7,10,3,13,10,23,13,36,23n a L L ，此时10051c =，所以，100c 的最小值为51.【点睛】关键的点睛：本题第三问解题的关键在于构造{}212max ,(N k k k b a a k -=∈且1)k ≥，{}12122max ,k k k b a a +++=推理得到1k k b b +>(N k ∈且1)k ≥，10051c ≥，进而结合题意说明最小值可以取到51即可.。

2022年上海市杨浦区高考数学二模试卷+答案解析(附后)

2022年上海市杨浦区高考数学二模试卷1. 若集合，，则______.2. 复数，则______.3. 直线l的参数方程为，，则直线l的斜率为______.4. 的二项展开式中，项的系数为______.5. 若圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的体积为______.6. 函数的反函数是______.7. 设a，b，c，，若行列式，则行列式的值为______.8. 已知集合，从集合A中任取一个元素a，使函数是奇函数且在上递增的概率为______.9.等差数列的前n项和为，若，且，则______. 10. 已知点P为正边上或内部的一点，且实数x，y满足，则的取值范围是__________.11. 设点P是曲线上的动点，点，满足，则点P的坐标为______.12. 函数的值域中仅有5个不同的值，则的最小值为______.13. “”是“为第一象限角”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件14. 下列不等式恒成立的是( )A. B.C. D.15. 上海入夏的标准为：立夏之后，连续五天日平均气温不低于立夏之后，测得连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定上海入夏的是( )A. 总体均值为，中位数为B. 总体均值为，总体方差大于C. 总体中位数为，众数为D. 总体均值为，总体方差为16. 记函数，，函数，，若对任意的，总有成立，则称函数包裹函数判断如下两个命题真假．①函数包裹函数的充要条件是；②若对于任意，对任意都成立，则函数包裹函数则下列选项正确的是( )A. ①真②假B. ①假②真C. ①②全假D. ①②全真17. 如图所示，正四棱柱的底面边长1，侧棱长4，中点为E，中点为求证：平面平面；连结，求直线与平面BDE所成的角的正弦值．18. 已知函数，其中常数讨论函数的奇偶性，并说明理由；中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，求当时，的面积．19. 如图所示，鸟类观测站需同时观测两处鸟类栖息地．A地在观测站正北方向，且距离观测站2公里处，B地在观测站北偏东方向，且距离观测站5公里．观测站派出一辆观测车记为点沿着公路向正东方向行驶进行观测，记为观测角．当观测车行驶至距观测站1公里时，求观测角的大小；精确到为了确保观测质量，要求观测角不小于，求观测车行驶过程中满足要求的路程有多长．精确到公里20. 如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为，长轴长为椭圆上有两点P ，Q ，连结OP ，OQ ，记它们的斜率为，，且满足求椭圆的标准方程；求证：为一定值，并求出这个定值；设直线OQ 与椭圆的另一个交点为R ，直线RP 和PQ 分别与直线交于点M ，N ，若和的面积相等，求点P 的横坐标．21. 已知数列满足：，或，对一切都成立．记为数列的前n 项和．若存在一个非零常数，对于任意，成立，则称数列为周期数列，T 是一个周期．求、所有可能的值，并写出的最小可能值；不需要说明理由若，且存在正整数p ，，使得与均为整数，求的值；记集合，求证：数列为周期数列的必要非充分条件为“集合S为无穷集合”．答案和解析1.【答案】【解析】解：，，故答案为：直接利用交集运算的概念得答案．本题考查交集及其运算，是基础题．2.【答案】【解析】解：，故答案为：根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．本题主要考查复数模公式，属于基础题．3.【答案】2【解析】解：直线l的参数方程为，消去参数t可得，，即，直线l的斜率为故答案为：消去参数t可得，，即，再结合斜率的定义，即可求解．本题主要考查直线的参数方程，属于基础题．4.【答案】180【解析】解：的二项展开式的通项为，取，可得项的系数为故答案为：写出二项展开式的通项，取x的指数为2，求得r值，进一步得答案．本题考查二项式定理的应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．5.【答案】【解析】解：圆锥的母线长为5，底面半径为3，圆锥的高，该圆锥的体积故答案为：由圆锥的母线长为5，底面半径为3，求出圆锥的高，由此能求出该圆锥的体积．本题考查直圆锥的结构特征、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】【解析】解：，，故答案为：根据反函数的定义求出的反函数的解析式即可．本题考查了反函数的定义，是基础题．7.【答案】3【解析】解：，，解得故答案为：根据已知条件，结合行列式公式，即可求解．本题主要考查行列式的公式，属于基础题．8.【答案】【解析】解：从集合中任取一个元素a，使函数是奇函数且在上递增，则，1，3，所以，其概率为故答案为：利用古典概型公式计算即可．本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．9.【答案】【解析】解：设等差数列的首项为，公差为d，由，且，得，解得，则故答案为：设等差数列的首项为，公差为d，由已知列方程组求得首项与公差，再求数列的极限得答案．本题考查等差数列的通项公式与前n项和，训练了数列极限的求法，是基础题．10.【答案】【解析】解：是三角形ABC内含边界的一点，且向量足，当P点在BC上时，，特别地，当点P与点B重合时有，，即，；当点P与点C重合时有，，即，；又点P在三角形ABC内含边界，，，；，即的取值范围是故答案为：根据题意，利用平面向量基本定理，结合特殊点的位置P与点B重合以及P与点C重合时对应的x、y值，即可求出的取值范围．本题考查了平面向量的基本定理的应用问题，也考查了平面向量的几何意义的应用问题，属中档题．11.【答案】【解析】解：因曲线在双曲线在x轴上方的部分，故是双曲线的下焦点，则双曲线的上焦点为，由，又，，又，故P，A，共线，又的直线方程为，联立，解得，，故点P的坐标为故答案为：设双曲线的上焦点为，由已知可得，又，可示点P的坐标．本题考查双曲线的几何性质，属中档题．12.【答案】【解析】解：的图象，只是将的图象变成原来的倍，结合的对称性，当，，……，时，即最小正周期为9时，满足题意的最小正周期最大，此时故答案为：先求得余弦函数的周期最大值，进而求得的最小值，易知，则在一个周期内，结合对称性，只要，此时恰好有，，，，恰好满足题意，此时周期最大，则的最小值可求．本题考查三角函数的图像和性质，属于中档题．13.【答案】A【解析】解：，则一定为第一象限角；若为第一象限角，设，在第一象限，所以“”是“为第一象限角”的充分不必要条件．故选：利用第一象限角的定义，结合充分条件、必要条件的定义进行分析即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．14.【答案】B【解析】解：当，时，不成立，故选项A错误；当时，不成立，故选项C错误；当，时，不成立，故选项D错误；，故，故选项B正确；故选：举反例判断选项A、C、D，再通过不等式的性质判断选项B即可．本题考查了不等式的性质及其应用，属于基础题．15.【答案】D【解析】解：对于A，总体均值为，中位数为，可能出现低于的情况，故A不正确；对于B，当总体方差大于，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，故B不正确；对于C，中位数和众数也不能确定，故C不正确：对于D，当总体均值为，总体方差为，平均气温会大概会不低于，故D正确．故选：根据总体均值，中位数，众数，总体方差的定义判断即可．本题考查总体均值，中位数，众数，总体方差，属于基础题．16.【答案】D【解析】解：①因数函数包裹函数，所以，又因为，所以，所以函数包裹函数的充要条件是，故①正确；②由，又因为，当且仅当时，等号成立，又因为，故对于任意，，可得，即函数包裹函数，所以②正确．故选：①根据包裹函数的定义可以得到，由，可得，即①正确；②根据包裹函数的定义可以得到，可得函数包裹函数，即②正确．本题属于新概念题，考查了学生的推理能力，理解定义是解答本题的关键，属于中档题．17.【答案】解：以A为原点，AB，AD，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图则，，，，，，，，DE不在平面内，在平面内，可得DE与平面平行同理平面，又BD与DE为平面BDE内两条相交直线，可得平面BDE与平面平行．同建系，设平面BDE的一个法向量为，则，得，不妨取，则，又，设直线与平面BDE所成的角为，故，直线与平面BDE所成的角的正弦值为【解析】本题考查面面平行的证明，考查线面角的大小的求法，属中档题．以A为原点，AB，AD，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图利用向量法证，同理平面，可证平面平面；利用向量法可求直线与平面BDE所成的角的正弦值．18.【答案】解：，，①时，，偶函数．②时，，不是奇函数，，不是偶函数．函数非奇非偶函数；由，，得，因为，所以，则，，由，解得，【解析】利用函数的奇偶性的定义，通过t是否为0，判断函数的奇偶性即可．利用已知条件求解A的大小，然后求解三角形的面积即可．本题考查三角形的解法，函数奇偶性的判断，余弦定理的应用，是中档题．19.【答案】解：根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示：则，，，则，，所以，所以观测角设，①时，，所以，②时，直线MA的斜率为，直线MB的斜率为，因为，，所以，所以为锐角，设，则函数，当时，符合上式，又，且，所以，整理得，解得，且，所以观测车行进过程中满足要求的路程长度约为公里．【解析】根据题意建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，利用数量积计算夹角的大小；设点M，利用坐标表示向量和直线的斜率，求出的正切值，从而求出对应的结果．本题考查了平面向量的坐标表示和直线方程的应用问题，是中档题．20.【答案】解：由已知条件，设椭圆：，则，椭圆：证明：设，，则，整理得，由，，，解得，代入，为定值．法一：设直线OQ与椭圆的另一个交点为R，直线RP和PQ分别与直线交于点M，N，设，，由椭圆的对称性可知，，，，故，，于是，又，若和的面积相等，代入，再将代入，得若，化简得，方程无解；若，化简得解得：舍去，点P横坐标为法二：设，，由椭圆的对称性可知，，，，，，或者，，或者，，或者舍，解得：，点P横坐标为【解析】利用椭圆的长轴长以及焦点坐标，求解a，c，然后求解b，得到椭圆方程．设，，通过结合得到坐标满足方程，转化求解为一定值即可．法一：推出，转化求解M、N的纵坐标，通过，转化求解点P 横坐标．法二通过，推出，转化求解点P横坐标即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：，3；，1，5，；首先证明：和中至少一个等于反证法：设和都大于等于2，则，即，相加得，矛盾！所以和中至少一个等于不妨设，则，即那么，所以，，证明：非充分：取数列如下：，，，数列满足条件，且对一切，，均有，但不为周期数列；必要性：已知数列为周期数列，设正整数T为其一个周期．分如下三步证明：①下证：若，则；若数列满足：，或由可得：所以时：时，，即对一切，，利用上式可知：②下证：若，则；由条件：，或可得：③由，或，可知，周期由，且，由②可知，由①可知，所以，对一切，，即集合S为无穷集合．【解析】由题意，直接写出、所有可能的值，写出的值即可，利用反证法，设和都大于等于2，得出矛盾，在求值，从充分性与必要性分别进行证明即可．本题考查数列的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．。

上海市杨浦区2021届新第二次高考模拟考试数学试卷含解析

上海市杨浦区2021届新第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】D 【解析】【分析】【详解】试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,剩余部分体积是正方体体积的56,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D. 考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算. 2．复数12iz i=+的共轭复数在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】【分析】由复数除法运算求出z ，再写出其共轭复数，得共轭复数对应点的坐标．得结论．【详解】【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的几何意义．掌握复数的运算法则是解题关键． 3．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x e f x +=-（其中 2.71828e =L ），且在区间[,2]e e 上是减函数，令ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系（用不等号连接）为（）A ．()()()f b f a f c >>B ．()()()f b f c f a >>C ．()()()f a f b f c >>D ．()()()f a f c f b >>【答案】A 【解析】因为()()2f x e f x +=-，所以()()f x e f x +=４，即周期为４，因为()f x 为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]示意图，如图()f x 在（０，１）单调递增，因为1111253253225252,232301c a b <∴<<∴<∴<<<<，因此()()()f b f a f c >>，选Ａ．点睛：函数对称性代数表示（1）函数()f x 为奇函数()()f x f x ⇔=-- ，函数()f x 为偶函数()()f x f x ⇔=-（定义域关于原点对称）；（2）函数()f x 关于点(,)a b 对称()(2)2f x f x a b ⇔+-+=，函数()f x 关于直线x m =对称()(2)f x f x m ⇔=-+，（3）函数周期为T,则()()f x f x T =+4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( )A ．()12n n + B ．12n + C ．21n - D ．121n ++根据已知条件判断出数列{}1n S +是等比数列，求得其通项公式，由此求得n S . 【详解】由于()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，所以数列{}1n S +是等比数列，其首项为11112S a +=+=，第二项为212114S a a +=++=，所以公比为422=.所以12n n S +=，所以21n n S =-. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题. 5．已知01021:1,log ;:,2x p x x q x R e x ∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是（） A ．p q ∨是假命题 B ．p q ∧是真命题 C ．()p q ∨⌝是真命题 D ．()p q ∧⌝是假命题【答案】D 【解析】【分析】举例判断命题p 与q 的真假，再由复合命题的真假判断得答案．【详解】当01x >时，102log 0,x <故p 命题为假命题；记f （x ）＝e x ﹣x 的导数为f′（x ）＝e x -１，易知f （x ）＝e x ﹣x 在（﹣∞，0）上递减，在（0，＋∞）上递增， ∴f （x ）＞f （0）＝１＞0，即,x x R e x ∀∈>，故q 命题为真命题； ∴()p q ∧⌝是假命题故选D 【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题．6．已知向量(1,2)a =r ，(4,1)b λ=-r ，且a b ⊥r r，则λ=（）A ．12B ．14C ．1D ．2根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得λ的值. 【详解】由于向量(1,2)a =r ，(4,1)b λ=-r ，且a b ⊥r r，所以()14210λ⨯+⨯-=解得λ=12. 故选：A 【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.7．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）A ．1B ．2C ．3D ．22【答案】B 【解析】【分析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论．【详解】正方体的面对角线长为22，又水的体积是正方体体积的一半，且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，即最大水面高度为2，故选B. 【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．8．如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为（）A ．3B ．C ．D 【答案】D 【解析】【分析】设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=，从而求得CD ，再由由正弦定理得sin sin120AB ACα=︒，求得sin α，然后在BCD ∆中，用余弦定理求解. 【详解】设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=，则AC =CD =由正弦定理得sin sin120AB AC α=︒，即sin α=，从而()cos cos 90sin BCD αα∠=︒+=-=，在BCD ∆中，由余弦定理得：2134992333BD =++⨯=，则BD =. 故选：D 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.9．设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若12F F =12PF PF +=（）A ．4B ．8C ．D ．【答案】B 【解析】∵122F F c ==∴c =∵222c a b =-，24b = ∴4a =∴1228PF PF a +== 故选B点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 10．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-；（4）“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定．【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R⌝∀∈都有210x ->，是错误的；（2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确；“12x x+≥”成立的充分不必要条件．【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．11．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF V 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（）A ．12B ．C ．2D 【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的性质设出2BF ，AB ，2AF ，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得21BF a BF ==.再利用勾股定理建立,a c 的关系式，化简后求得离心率.【详解】由已知2BF ，AB ，2AF 成等差数列，设2BF x =，AB x d =+，22AF x d =+.由于290ABF ∠=︒，据勾股定理有22222BF AB AF +=，即()()2222x x d x d ++=+，化简得3x d =；由椭圆定义知2ABF V 的周长为233124x x d x d x d d a ++++=+==，有3a d =，所以x a =，所以21BF a BF ==；在直角21BF F V 中，由勾股定理，2224a c =，∴离心率e =. 故选：C 【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题. 12．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T ?（）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 【答案】D集合S T ，是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可【详解】{}1210|2S x x x x ⎧⎫=+=>-⎨⎬⎩⎭Q ，{}5|350|3T x x x x ⎧⎫=-<=<⎨⎬⎩⎭，则15|23S T x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭故选D 【点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市浦东新区2021届新高考数学二模试卷含解析

上海市浦东新区2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()()()sin cos sin cos k k A k παπααα++=+∈Z ，则A 的值构成的集合是（）A ．{1,1,2,2}--B ．{1,1}-C ．{2,2}-D ．{}1,1,0,2,2--【答案】C 【解析】【分析】对k 分奇数、偶数进行讨论，利用诱导公式化简可得. 【详解】k 为偶数时，sin cos 2sin cos A αααα=+=；k 为奇数时，sin cos 2sin cos A αααα=--=-，则A 的值构成的集合为{}2,2-.【点睛】本题考查三角式的化简，诱导公式，分类讨论，属于基本题.2．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=u u u r u u u r，则()2AE AC +u u u r u u u r 的最小值为（） A ．232B ．12C ．252D ．13【答案】C 【解析】【分析】分别以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)E x y ，根据2AE AC ⋅=u u u r u u u r，可求1x y +=，而222()(2)(2)AE AC x y u u u r u u u r +=+++，化简求解.【详解】解：建立以A 为原点，以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴的平面直角坐标系.设(,)E x y ，(0,2)x ∈，(0,2)y ∈，则(,)AE x y =u u u r ，(2,2)AC =u u u r ，由2AE AC ⋅=u u u r u u u r，即222x y +=，得1x y +=.所以222()(2)(2)AE AC x y u u u r u u u r +=+++224()8x y x y =++++22213x x =-+=21252()22x -+，所以当12x =时，2()AE AC +u u u r u u u r 的最小值为252. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题. 3．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】将整理为，根据的范围可求得；根据，结合的值域和的图象，可知，解不等式求得结果.【详解】当时，又，，由在上的值域为解得：本题正确选项：【点睛】本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题，关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限，从而得到关于参数的不等式.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（） A ．2 B ．32C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的求和公式即可得出．【详解】 ∵a 1=12，S 5=90， ∴5×12+542⨯ d=90，解得d=1．故选C ．【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知a b r r ，满足a =r 3b =r ，6a b ⋅=-r r ,则a r 在b r 上的投影为（）A ．2-B ．1-C ．3-D ．2【答案】A 【解析】【分析】根据向量投影的定义，即可求解. 【详解】a r 在b r 上的投影为6cos 23a b a bθ⋅-===-rr r r . 故选:A 【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题.6．已知数列{}n a 满足：12125 1,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨-⎩L …()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得2221212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，则k =（）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】B 【解析】【分析】计算2226716...5n n a a a a a n ++++=-+-，故2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，解得答案.【详解】当6n ≥时，()1211111n n n n n a a a a a a a +--==+-L ，即211n n n a a a +=-+，且631a =.故()()()222677687116......55n n n n a a a a a a a a a n a a n +++++=-+-++-+-=-+-，2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，故17k =.故选：B . 【点睛】本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用. 7．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．()x e xf x x+=B ．()21x f x x -=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x +=【答案】A 【解析】【分析】由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果. 【详解】对于选项B, ()21x f x x -=为奇函数可判断B 错误;对于选项C,当1x <-时, ()0x e xf x x-=<,可判断C 错误;对于选项D, ()22111=+x f x x x x+=,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D 错误; 故选:A. 【点睛】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.8．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（） A ．26B ．13C ．23D ．1【答案】B【解析】【分析】过点E 作EH CD ⊥，垂足为H ，过H 作HF AB ⊥，垂足为F ，连接EF.因为//CD 平面ABE ，所以点C 到平面ABE 的距离等于点H 到平面ABE 的距离h .设(0)2CDE πθθ∠=<≤，将h 表示成关于θ的函数，再求函数的最值，即可得答案. 【详解】过点E 作EH CD ⊥，垂足为H ，过H 作HF AB ⊥，垂足为F ，连接EF. 因为平面ECD ⊥平面ABCD ，所以EH ⊥平面ABCD ，所以EH HF ⊥.因为底面ABCD 是边长为1的正方形，//HF AD ，所以1HFAD ==.因为//CD 平面ABE ，所以点C 到平面ABE 的距离等于点H 到平面ABE 的距离. 易证平面EFH⊥平面ABE ，所以点H 到平面ABE 的距离，即为H 到EF 的距离h . 不妨设(0)2CDE πθθ∠=<≤，则sin EH θ=，21sin EF θ=+.因为1122EHF S EF h EH FH =⋅⋅=⋅⋅V ，所以21sin sin h θθ⋅+=，所以222211sin 1sin h θθ==≤++，当2πθ=时，等号成立. 此时EH 与ED 重合，所以1EH =，2111133E ABCD V -=⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意辅助线及面面垂直的应用.9．如图，平面α与平面β相交于BC ，AB α⊂，CD β⊂，点A BC ∉，点D BC ∉，则下列叙述错误的是（）A ．直线AD 与BC 异面B ．过AD 只有唯一平面与BC 平行 C ．过点D 只能作唯一平面与BC 垂直 D ．过AD 一定能作一平面与BC 垂直【答案】D 【解析】【分析】根据异面直线的判定定理、定义和性质，结合线面垂直的关系，对选项中的命题判断. 【详解】A.假设直线AD 与BC 共面，则A ，D ，B ，C 共面，则AB ，CD 共面，与AB α⊂，CD β⊂矛盾，故正确.B. 根据异面直线的性质知，过AD 只有唯一平面与BC 平行，故正确.C. 根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知，故正确.D. 根据异面直线的性质知，过AD 不一定能作一平面与BC 垂直，故错误. 故选：D 【点睛】本题主要考查异面直线的定义，性质以及线面关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题. 10．复数2(1)i i +的模为（）． A ．12B ．1C ．2D ．2【答案】D 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：2(1)22i i i +=-+Q ，∴复数2(1)i i +22(2)222-+=【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．11．若x ∈（0，1），a ＝lnx ，b ＝ln 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝e lnx ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b ＞c ＞aB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【详解】 ∵x ∈（0，1）， ∴a ＝lnx ＜0， b ＝（12）lnx ＞（12）0＝1， 0＜c ＝e lnx ＜e 0＝1，∴a ，b ，c 的大小关系为b ＞c ＞a ．故选：A ．【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．已知复数(2)1ai iz i+=-是纯虚数，其中a 是实数，则z 等于（）A ．2iB ．2i -C ．iD ．i -【答案】A 【解析】【分析】对复数z 进行化简，由于z 为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为0，得到a 的值，从而得到复数z . 【详解】()()()()()221222111122ai i a i i a i a a z i i i i i +-+--+-+====+-++- 因为z 为纯虚数，所以202a-=，得2a = 所以2z i =. 故选A 项本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市杨浦区2021届新高考数学考前模拟卷(1)含解析

上海市杨浦区2021届新高考数学考前模拟卷（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线1y kx =+与抛物线C ：24x y =交于A ，B 两点，直线//l AB ，且l 与C 相切，切点为P ，记PABV 的面积为S ，则S AB -的最小值为( ) A ．94-B ．274-C ．3227-D ．6427-【答案】D 【解析】【分析】设出,A B 坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得AB ，再由点到直线的距离公式求得P 到AB 的距离，得到PAB ∆的面积为S ，作差后利用导数求最值．【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --= 则124x x k +=，()21212242y y k x x k +=++=+则21244AB y y p k =++=+由24x y =，得24x y =12y x ⇒'= 设()00,P x y ，则012x k = 02x k ⇒=，20y k =则点P 到直线1y kx =+的距离1d =≥从而()21212S AB d k =⋅=+()()()22322141241S AB k k d d d -=++=-≥．令()3224f x x x =- ()()2681f x x x x ⇒-'=≥当413x ≤≤时，()0f x '<；当43x >时，()0f x '>故()min 464327f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭，即S AB -的最小值为6427- 本题正确选项：D 【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题．解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.2．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为22，当P ，A，B 不共线时，PAB ∆的面积的最大值是（） A ．22 B ．2C ．223D ．23【答案】A 【解析】【分析】根据平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为2，利用直接法求得轨迹，然后利用数形结合求解. 【详解】如图所示：设()1,0A -，()10B ,，(),P x y ()()22221221x y x y ++=-+，化简得()2238x y ++=，当点P 到AB （x 轴）距离最大时，PAB ∆的面积最大， ∴PAB ∆面积的最大值是1222222⨯⨯=故选：A. 【点睛】本题主要考查轨迹的求法和圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.3．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点为1F ，2F ，且C 上点P 满足120PF PF ⋅=u u u v u u u u v ，13PF =u u u v ，24PF =u u u u v，则双曲线C 的离心率为A ．102B ．5C ．52D ．5【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线定义可以直接求出a ，利用勾股定理可以求出c ，最后求出离心率. 【详解】依题意得，2121a PF PF =-=，2212215F F PF PF =+=，因此该双曲线的离心率12215F F e PF PF ==-.【点睛】本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率，考查了运算能力. 4．已知三棱锥,2,1,P ABC AC BC AC BC -==⊥且2,PA PB PB =⊥平面ABC ，其外接球体积为（） A ．43π B ．4π C ．323πD ．43π【答案】A 【解析】【分析】由AC BC ⊥,PB ⊥平面ABC ,可将三棱锥P ABC -还原成长方体,则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球,进而求解. 【详解】由题,因为2,1,AC BC AC BC ==⊥,所以223AB AC BC =+=,设PB h =,则由2PA PB =,可得232h h +=,解得1h =, 可将三棱锥P ABC -还原成如图所示的长方体,则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为R ,则22221(2)12R =++=,所以1R =,所以外接球的体积34433V R ππ==. 故选:A 【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.5．已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（） A ．2 B ．5 C ．1 D ．3【答案】B 【解析】【分析】由函数2()(2)g x f x x =+为奇函数,则有(1)(1)0(2)1(2)10g g f f -+=⇒-+++=,代入已知即可求得.【详解】(1)(1)0(2)1(2)10(2)5g g f f f -+=⇒-+++=⇒-=-.故选:B . 【点睛】本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易. 6．已知复数21z i =+　，其中i 为虚数单位，则z =（）A BC ．2D【答案】D 【解析】【分析】把已知等式变形，然后利用数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案. 【详解】解：()()()2121111i z i i i i -===-++- ，则z ==故选：D. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题. 7．已知0a >，若对任意()0,m ∈+∞，关于x 的不等式()()1e ln 11exaxx m m --<-+-（e 为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．3e e,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．3e ,2e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭ C ．3e 0,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦ D ．3e ,2e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】构造函数()()ln 11f m m m =-+-（0m >），求导可得()f m 在()0,+?上单调递增,则()()01f m f >=-,问题转化为()1e 1e x ax x --<-,即()1e 1ex axx -≤-至少有2个正整数解,构造函数()()1e x g x x =-,()1eaxh x =-,通过导数研究单调性,由()0(0)g h =可知，要使得()()g x h x ≤至少有2个正整数解,只需()()22g h ≤即可,代入可求得结果. 【详解】构造函数()()ln 11f m m m =-+-（0m >），则()1111mf m m m '=-=++（0m >），所以()f m 在()0,+?上单调递增，所以()()01f m f >=-，故问题转化为至少存在两个正整数x ，使得()1e 1e x ax x -≤-成立，设()()1e x g x x =-，()1eaxh x =-，则()e x g x x '=，当0x >时()0g x ¢>，()g x 单调递增；当0x >时，()h x 单调递增.()()22g h ≤，整理得3e e2a +≥.故选:B. 【点睛】本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难.8．过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，(1,2)Q ，若111||||4AB CD +=，则||||PF PQ +的最小值是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】设直线AB 的方程为2p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=，由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，从而得到()2||21AB p k =+，同理可得21||2(1)CD p k =+，再利用111||||4AB CD +=求得p 的值，当Q ，P ，M 三点共线时，即可得答案. 【详解】根据题意，可知抛物线的焦点为(0,)2p，则直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为2p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=. 由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，所以()2||21AB p k=+.又直线CD 的方程为12p y x k =-+，同理21||2(1)CD p k=+，所以221111111||||2(1)242(1)AB C p k p kD p +=+==++，所以24p =.故24x y =.过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得||||PF PM =.所以||||||||||3PF PQ PM PQ MQ +=+≥=，当Q ，P ，M 三点共线时，等号成立. 故选：C. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件.9． “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（）A ．165B ．325C ．10D ．185【答案】D 【解析】【分析】直接根据几何概型公式计算得到答案.根据几何概型：809200S p ==，故185S =. 故选：D . 【点睛】本题考查了根据几何概型求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力. 10．下列不等式正确的是（）A ．3sin130sin 40log 4>>o oB ．tan 226ln 0.4tan 48<<o oC ．()cos 20sin 65lg11-<<ooD ．5tan 410sin 80log 2>>o o【答案】D 【解析】【分析】根据3sin 40log 4,ln 0.40tan 226,cos(20)sin 70sin 65<1<<<-=>o o o o o，利用排除法，即可求解．【详解】由3sin 40log 4,ln 0.40tan 226,cos(20)cos 20sin 70sin 65<1<<<-==>o o o o o o，可排除A 、B 、C 选项，又由551tan 410tan 501sin80log log 22=>>>=>o o o，所以5tan 410sin 80log 2>>o o．故选D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 11．若复数211iz i=++（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的模为（）A B ．4C ．2D 【答案】D 【解析】【分析】由复数的综合运算求出z ，再写出其共轭复数，然后由模的定义计算模．【详解】()()()212112111i i iz i i i i -=+=+=+++-Q ，2,z i z ∴=-∴=【点睛】本题考查复数的运算，考查共轭复数与模的定义，属于基础题． 12．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简z ，求得z 对应的坐标，由此判断对应点所在象限. 【详解】()()()2121111i z i i i i +===+--+Q ，∴对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限.故选：A. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市杨浦区2021届新高考数学二月模拟试卷含解析

上海市杨浦区2021届新高考数学二月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（）A．1112- B ．31- C ．221-D ．32【答案】C 【解析】【分析】求出点()1,2关于直线10x y --=的对称点C 的坐标，进而可得出圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆C 的方程，利用二次函数的基本性质求出MC 的最小值，由此可得出min min 1MN MC =-，即可得解.【详解】如下图所示：设点()1,2关于直线10x y --=的对称点为点(),C a b ，则121022211a b b a ++⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，整理得3030a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得30a b =⎧⎨=⎩，即点()3,0C ，所以，圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆C 的方程为()2231x y -+=，设点2,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则MC === 当2y =±时，MC 取最小值min min 11MN MC =-=. 故选：C. 【点睛】本题考查抛物线上一点到圆上一点最值的计算，同时也考查了两圆关于直线对称性的应用，考查计算能力，属于中等题. 2．已知()4sin 5πα+=，且sin 20α<，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A ．7B ．7-C ．17D ．17-【答案】A 【解析】【分析】由()4sin 5πα+=及sin 20α<得到sin α、cos α，进一步得到tan α，再利用两角差的正切公式计算即可. 【详解】因为()4sin 5πα+=，所以4sin 5α=-，又sin 22sin cos 0ααα=<，所以3cos 5α=，4tan 3α=-，所以41tan 13tan 7441tan 13πααα---⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭-. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.3．已知随机变量X 的分布列是则()2E X a +=（） A ．53B ．73C ．72D ．236【答案】C 【解析】【分析】利用分布列求出a ，求出期望()E X ，再利用期望的性质可求得结果. 【详解】由分布列的性质可得11123a ++=，得16a =，所以，()11151232363E X =⨯+⨯+⨯=，因此，()()11517222266362E X a E X E X ⎛⎫+=+=+=⨯+= ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查．4．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（）A B ．32C ．53D 【答案】D 【解析】【分析】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，'Rt CBF ∆和'Rt FBF ∆中，利用勾股定理计算得到答案.【详解】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，AF FB ⊥，根据对称性知四边形'AFBF 为矩形，'Rt CBF ∆中：222''CF CB BF =+，即()()()2223242x a x a x +=++，解得x a =；'Rt FBF ∆中：222''FF BF BF =+，即()()22223c a a =+，故2252c a =，故e =. 故选：D .【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.5．设复数z 满足(1)21z i i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】【分析】先把(1)21z i i ⋅+=+变形为211i z i+=+，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z ，得到其坐标可得答案. 【详解】解：由(1)21z i i ⋅+=+，得21(21)(1)3311(1)(1)222i i i i z i i i i ++-+====+++-，所以3122z i =-，其在复平面内对应的点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限故选：D 【点睛】此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题. 6．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（）A ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．B ．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．C ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元．【答案】C 【解析】【分析】利用图表中的数据进行分析即可求解. 【详解】对于A 选项：2017年第一季度5省的GDP 增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A 正确；对于B 选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP 均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B 正确；对于C 选项：2017年第一季度GDP 总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP 增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C 错误；对于D 选项：去年同期河南省的GDP 总量14067.43815.5740001 6.6%⨯≈<+，故D 正确.故选：C. 【点睛】本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题. 7．若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（） A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -【答案】A 【解析】【分析】由()1i z i +=得1z ii=+,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数z ,从而可得z的虚部. 【详解】因为(1)i z i +=,所以22(1)1111(1)(1)11221i i i i i i z i i i i i --+=====+++-+-, 所以复数z 的虚部为12. 故选A. 【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.8．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S S S h =++下下上上•）.A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸【答案】B 【解析】试题分析：根据题意可得平地降雨量2222219(101066)3314πππππ⨯⨯+⨯+==，故选B.考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.9．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A ．12B ．13C ．23D ．56【答案】C 【解析】【分析】根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积.【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：由图可知，该几何体是在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中截去四棱锥1B ABCD -所形成的几何体，该几何体的体积为321211133V =-⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.10．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为( ) A ．15B ．25C ．35D ．110【答案】B 【解析】【分析】推导出基本事件总数，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出6和28恰好在同一组的概率．【详解】解：将五个“完全数”6，28，496，8128，33550336，随机分为两组，一组2个，另一组3个，基本事件总数2353C 10n C ==，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数22123234m C C C C =+=， ∴6和28恰好在同一组的概率42105m p n ===．故选：B ．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．y =B ．y =±C ．2y x =± D ．2y x =±【答案】A 【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a ，b 关系，即可得到双曲线的渐近线方程．【详解】抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点坐标为（1，0），则p ＝2，又e ＝p ，所以e ca==2，可得c 2＝4a 2＝a 2+b 2，可得：b =，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝．故选：A ．【点睛】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用．12．著名的斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，…，满足121a a ==，21n n n a a a ++=+，*N n ∈，若2020211n n k a a-==∑，则k =( )A ．2020B ．4038C ．4039D ．4040【答案】D 【解析】【分析】计算134a a a +=，代入等式，根据21n n n a a a ++=+化简得到答案. 【详解】11a =，32a =，43a =，故134a a a +=，202021134039457403967403940401............n n aa a a a a a a a a a a -==+++=++++=+++==∑，故4040k =. 故选：D . 【点睛】本题考查了斐波那契数列，意在考查学生的计算能力和应用能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市杨浦区2021届新高考数学模拟试题含解析

上海市杨浦区2021届新高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P．若1PF =，则C 的离心率为（）ABC ．2D ．3【答案】B【解析】【分析】设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b =--，联立方程，求得2a x c=，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由1PF =，列出相应方程，求出离心率. 【详解】解：不妨设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b=--，由()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得2a x c =，ab yc =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由1PF OP =，所以有22224222226a b a a a b c c c cc ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得223a c =，所以离心率==c e a．故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题． 2．函数2sin cos ()20x x x f x x =+在[2,0)(0,2]ππ-⋃上的图象大致为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得；【详解】解：依题意，22sin()()cos()sin cos()()2020x x x x x xf x f xx x----=+=+=-，故函数()f x为偶函数，图象关于y轴对称，排除C；而2()020fππ=-<，排除B；2(2)05fππ=>，排除D.故选：A.【点睛】本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题.3．已知函数2()ln(1)f xx x-=+-,则函数(1)=-y f x的图象大致为（）A．B．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断，找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为此函数的图像.【详解】设2()(1)ln 1g x f x x x -=-=-+，由于120112ln 22g -⎛⎫=> ⎪⎝⎭+，排除B 选项；由于()2222(e),e 2e 3e g g --==--，所以()g e >()2e g ，排除C 选项；由于当x →+∞时，()0>g x ，排除D 选项.故A 选项正确.故选：A【点睛】本题考查了函数图像的性质，属于中档题.4．8x x ⎛- ⎝的二项展开式中，2x 的系数是（） A ．70B ．-70C ．28D ．-28 【答案】A【解析】试题分析：由题意得，二项展开式的通项为3882188((1)r r r r r r r T C xC x x--+==-，令38242r r -=⇒=，所以2x 的系数是448(1)70C -=，故选A ．考点：二项式定理的应用．5．已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（）A 3B ．5C ．2D 3+1【答案】B【解析】【分析】以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222x y c +=，联立22222221x y c x ya b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，可求出点222,a c b b A c ⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭，则22243b c a c b c=+，整理计算可得离心率. 【详解】解：以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222x y c +=，联立22222221x y c x y a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取第一象限的解得222a c b x c b y c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即222,a c b b A c ⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭，则22243b c a c b c=+，整理得()()22229550c a c a --=，则22519c a =<（舍去），225c a=， 5c e a∴==. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．84【答案】B【解析】【分析】画出几何体的直观图，计算表面积得到答案.【详解】该几何体的直观图如图所示：故()2422626246622641222S +⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+.故选：B .【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.7．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN V 的面积为（）A ．2B ．32C ．42D ．322【答案】A【解析】【分析】根据||1OF =可知24y x =,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.【详解】由题意可知抛物线方程为24y x =,设点()11,M x y 点()22,N x y ,则由抛物线定义知,12|||||2MN MF NF x x =+=++,||8MN =则126x x +=.由24y x =得2114y x =,2224y x =则221224y y +=.又MN 为过焦点的弦,所以124y y =-,则22211212242y y y y y y -=+-=,所以211||222OMN S OF y y =⋅-=V . 故选：A 【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．83π3B ．4π1633C 16343π+D ．43π163 【答案】D【解析】【分析】结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.【详解】由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积11143π4π23233V =⨯⨯⨯=,下半部分的正三棱柱的体积2142342V =⨯⨯=163故该几何体的体积1243π3V V V =+=故选:D.【点睛】本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.9．曲线312ln y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（）A ．3B ．2C ．32D ．1 【答案】A【解析】【分析】根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率3k ≥，即可得出答案.【详解】解：由于312ln 3y x x =+，根据导数的几何意义得： ()()222321111330k f x x x x x x x x x x '==+=++≥⋅⋅=>，即切线斜率3k ≥，当且仅当1x =等号成立，所以312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.10．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，11A D 的中点分别为E ，F ，则直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为（）A ．55B ．306C ．66D ．55【答案】C【解析】【分析】以D 为原点，DA ，DC ，DD 1 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，由向量法求出直线EF 与平面AA 1D 1D所成角的正弦值．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则()2,1,0E ，()1,0,2F ，()1,1,2EF =--u u u v ，取平面11AA D D 的法向量为()0,1,0n =r，设直线EF 与平面AA 1D 1D 所成角为θ，则sinθ＝|6cos,|EF n EF n EF n⋅==⋅u u u v r u u u v r u u u v r ， ∴直线EF 与平面11AA DD 所成角的正弦值为66. 故选C ．【点睛】本题考查了线面角的正弦值的求法，也考查数形结合思想和向量法的应用，属于中档题．11．如图，点E 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（）A ．在点F 的运动过程中，存在EF//BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值【答案】C【解析】【分析】采用逐一验证法，根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结果.A 错误由EF ⊂平面AEC ，1BC //1AD而1AD 与平面AEC 相交，故可知1BC 与平面AEC 相交，所以不存在EF//BC 1B 错误，如图，作11B M BD ⊥由11,,AC BD AC BB BD BB B ⊥⊥⋂=又1,BD BB ⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D又1B M ⊂平面11BB D D ，所以1B M AC ⊥由OE //1BD ，所以1B M OE ⊥AC OE O =I ，,AC OE ⊂平面AEC所以1B M ⊥平面AEC ，又AE ⊂平面AEC所以1B M AE ⊥，所以存在C 正确四面体EMAC 的体积为13M AEC AEC V S h -∆=⋅⋅ 其中h 为点M 到平面AEC 的距离，由OE //1BD ，OE ⊂平面AEC ，1BD ⊄平面AEC所以1BD //平面AEC ，则点M 到平面AEC 的距离即点B 到平面AEC 的距离，所以h 为定值，故四面体EMAC 的体积为定值D 错误由AC //11A C ，11A C ⊂平面11A C B ，AC ⊄平面11A C B所以AC //平面11A C B ，则点F 到平面11A C B 的距离1h 即为点A 到平面11A C B 的距离，所以1h 为定值所以四面体FA 1C 1B 的体积1111113F A C B A C B V S h -∆=⋅⋅为定值故选：C【点睛】本题考查线面、线线之间的关系，考验分析能力以及逻辑推理能力，熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理，中档题.12．将函数()sin(2)3f x x π=-()x R ∈的图象分别向右平移3π个单位长度与向左平移n (n >0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n 的最小值为( )A ．3πB ．23πC ．2πD ．π【答案】B【解析】【分析】首先根据函数()f x 的图象分别向左与向右平移m,n 个单位长度后，所得的两个图像重合，那么m n k T +=⋅，利用()f x 的最小正周期为π，从而求得结果.【详解】()f x 的最小正周期为π，那么3n k ππ+=(k ∈Z )，于是3n k ππ=-，于是当1k =时，n 最小值为23π，故选B.【点睛】该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年上海市杨浦区高考数学二模试卷-教师用卷

12019年上海市杨浦区高考数学二模试卷副标题题号一二三总分得分1. 若x 、y 满足{x −y ≥0x +y ≤2y ≥0，则目标函数f =x +2y 的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，由z =x +2y ，得y =−12x +z2，平移直线y =−12x +z2，由图象可知当直线经过点A 时，直线y =−12x +z2的截距最小，此时z 最小，由{x =y x+y=2，得A(1,1)此时z =1+2×1=3．故选：C ．作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．2. 已知命题α：“双曲线的方程为x 2−y 2=a 2(a >0)”和命题β：“双曲线的两条渐近线夹角为π2”，则α是β的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】解：若双曲线的方程为x 2−y 2=a 2(a >0)，则双曲线为等轴双曲线，则双曲线的渐近线为y =±x ，双曲线渐近线的夹角为π2，即充分性成立，双曲线y 2−x 2=1的渐近线为y =±x ，满足双曲线渐近线的夹角为π2，但双曲线的方程为x 2−y 2=a 2(a >0)不成立，即必要性不成立，即α是β的充分不必要条件，故选：A ．根据等轴双曲线渐近线的夹角关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件判断，结合等轴双曲线的渐近线的夹角关系是解决本题的关键．3. 对于正三角形T ，挖去以三边中点为顶点的小正三角形，得到一个新的图形，这样的过程称为一次“镂空操作“，设T 是一个边长为1的正三角形，第一次“镂空操2作”后得到图1，对剩下的3个小正三角形各进行一次“镂空操作”后得到图2，对剩下的小三角形重复进行上述操作，设A n 是第n 次挖去的小三角形面积之和(如A 1是第1次挖去的中间小三角形面积，A 2是第2次挖去的三个小三角形面积之和)，S n 是前n 次挖去的所有三角形的面积之和，则n →∞limS n =( )A. √34 B. √33 C. √32D. 12【答案】A【解析】解：依题意，A 1=√312，当n ≥2时，A n+1=2A n×13=23A n−1，所以{A n }是以√312为首项，以23为公比的等比数列，有因为公比不为1，所以S n =√312[1−(23)n ]1−23=√34[1−(23)n ]，所以：n →∞limS n =n →∞lim√34[1−(23)n ]=√34．故选：A ．A 1=√312，当n ≥2时，A n+1=2A n ×13=23A n−1，故数列{A n }是等比数列，求其前n 项和的极限即可．本题考查了等比数列的定义，前n 项和公式，数列极限等知识，属于基础题．4. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cosA =78，I 为△ABC 内部的一点，且a IA ⃗⃗⃗⃗ +b IB ⃗⃗⃗⃗ +c IC ⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，若AI ⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y 的最大值为( ) A. 54B. 12C. 56D. 45【答案】D【解析】解：∵a IA ⃗⃗⃗⃗ +b IB ⃗⃗⃗⃗ +c IC⃗⃗⃗⃗ =0， ∴a AI ⃗⃗⃗⃗ =b IB ⃗⃗⃗⃗ +IC ⃗⃗⃗⃗ ， ∴AI ⃗⃗⃗⃗ =b a (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AI ⃗⃗⃗⃗ )+c a (AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AI ⃗⃗⃗⃗ )， ∴a+b+c aAI ⃗⃗⃗⃗ =b a AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +ca AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AI ⃗⃗⃗⃗ =ba+b+c AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +ca+b+c AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， {x =ba+b+c y =c a+b+c.∴x +y =b+ca+b+c =1ab+c+1．又∵a 2=b 2+c 2−2bccosA 且cosA =78．∴a 2=b 2+c 2−74bc =(b +c)2−154bc3又∵(a b+c)2=a 2(b+c)2=(b+c)2−154bc(b+c)2≥(b+c)2−154×14(b+c)2(b+c)2=116．∴a b+c≥14.∴x +y =1ab+c+1≤114+1=45．故选：D ．利用平面向量基本定理，向量的线性运算可求出x ，y 与a ，b ，c 的数量关系；再利用整体思想及基本不等式就能求出x +y 的最大值．本题考查了向量的线性运算，基本不等式求最值，注意整体代换的运用．二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 函数f(x)=1−2sin 2x 的最小正周期是______．【答案】π【解析】解：f(x)=1−2sin 2x =cos2x ∴函数最小正周期T =2π2=π故答案为：π．先利用二倍角公式对函数解析式进行化简整理，进而利用三角函数最小正周期的公式求得函数的最小正周期．本题主要考查了二倍角的化简求值和三角函数的周期性及其求法.考查了三角函数的基础的知识的应用．6. 方程组{2x +5y −4=0x−3y+1=0的增广矩阵为______．【答案】(1−3−1254)【解析】解：由题意，可将题中方程组转化为下面的形式： {2x +5y =4x−3y=−1，∴方程组的增广矩阵为(1−3−1254)，故答案为：(1−3−1254)．本题可以先将方程组转化成常数在等于号右边的形式，然后即可根据增广矩阵的定义写出这个方程组的增广矩阵．本题主要考查增广矩阵的定义，属基础题．7. 若幂函数f(x)=x k 的图象过点(4,2)，则f(9)=______．【答案】3【解析】解：∵幂函数f(x)=x k 的图象经过点(4,2)， ∴4k =2；解得k =12．故f(x)=√x ，则f(9)=3，故答案为：3．求出幂函数的解析式，从而求出f(9)的值即可．本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．8. 若(1+3x)n 的二项展开式中x 2项的系数是54，则n =______．4【答案】4【解析】解：(1+3x)n 的二项展开式中，x 2项的系数是C n 2⋅32=54，化简得n 2−n −12=0，解得n =4或n =−3(不合题意，舍去)， ∴n =4．故答案为：4．根据二项展开式定理求得x 2项的系数，列方程求得n 的值．本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题．9. 若复数z 满足(a +bi)2=3+4i(i 为虚数单位，a ，b ∈R)，则a 2+b 2=______．【答案】5【解析】解：由(a +bi)2=a 2−b 2+2abi =3+4i ，得{2ab =4a 2−b 2=3，解得{b =1a=2或{b =−1a=−2．∴a 2+b 2=5．故答案为：5．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a ，b 的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．10. 函数y =−1+log a (x +3)(a >0且a ≠1)的反函数为f −1(x)，则f −1(−1)=______．【答案】−2【解析】解：由互为反函数的函数定义域值域互换知，y =−1+log a (x +3)=−1，得x +3=1，x =−2．故答案为：x =−2．由题意知y =−1+log a (x +3)=−1，得x =−2即为所求．本题考查反函数性质属于简单题．11. 函数y =∣∣∣arcsinx 2x −11∣∣∣的值域是______．【答案】[1−π2,π+42]【解析】解：∵函数y =∣∣∣arcsinx2x −11∣∣∣=arcsinx +2x ， ∵x ∈[−1,1]， ∴函数y =∣∣∣arcsinx2x −11∣∣∣的值域为[1−π2,π+42]．故答案为：[1−π2,π+42]．由二阶行列式展开式先展开二阶行列式，再由反正弦弦数的性质能求出函数的值域．本题考查函数的值域的求法，考查二阶行列式展开式、反正弦弦数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如8=3+5，在不超过13的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是______(用分数表示)．5【答案】23【解析】解：设A ={两素数和为偶数}．不超过13的素数有2，3，5，7，11，13.从中任取两个，共包含(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)，(5,7)，(5,11)，(5,13)，(7,11)，(7,13)，(11,13)共15个．事件A 包含(3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)，(5,7)，(5,11)，(5,13)，(7,11)，(7,13)，(11,13)共10个基本事件．故p(A)=1015=23．本题也可用组合数计算.p(A)=C 52C 62=1015=23．故填：23．本题可以列举出从不超过13的素数中取两个的所有和的情况，以及和为偶数的情况，代入概率公式即可．本题考查了古典概型的概率计算，得到事件A 包含的基本事件个数和基本事件的总数是计算的关键，属于基础题．13. 若定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)的函数f(x)={1−2−xx >02x+m x <0是奇函数，则实数m 的值为______．【答案】−1【解析】解：根据题意，函数f(x)={1−2−xx >02x+mx <0，当x >0时，f(x)=1−2−x ，此时−x <0，有f(−x)=2−x +m ，又由f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)，即2−x +m =−(1−2−x )，变形可得：m =−1；故答案为：−1根据题意，结合函数的解析式可得当x >0时，f(x)=1−2−x ，此时−x <0，有f(−x)=2−x +m ，结合函数的奇偶性可得f(−x)=−f(x)，即2−x +m =−(1−2−x )，变形可得m 的值，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的定义以及判定，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．14. 古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A(−a,0)，B(a,0)，动点P 满足|PA||PB|=λ(其中a 和λ是正常数，且λ≠1)，则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为______．【答案】2aλ|λ2−1|【解析】解：设P(x,y)，由动点P 满足|PA||PB|=λ(其中a 和λ是正常数，且λ≠1)， ∴√(x +a)2+y 2=λ√(x −a)2+y 2．平方化为：x 2+2a(1+λ2)1−λ2x +a 2+y 2=0． ∴该圆的半径r =√a (1+λ)(1−λ2)2−a 2=2aλ|1−λ2|．6故答案为：2aλ|1−λ2|．设P(x,y)，由动点P 满足|PA||PB|=λ(其中a 和λ是正常数，且λ≠1)，可得√(x +a)2+y 2=λ√(x −a)2+y 2.化简整理即可得出．本题考查了圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15. 若△ABC 的内角A 、B 、C ，其中G 为△ABC 的重心，且GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则cosC 的最小值为______．【答案】45【解析】解：因为G 为△ABC 的重心，所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )； BG⃗⃗⃗⃗⃗ =13(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，因为GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即19(2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，整理得5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0，所以5|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC =2(|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2)≥4|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，所以cosC ≥45，故答案为45．将向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 分表表示AG ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用垂直关系建立方程，最后借助重要不等式求解．本题考查了平面向量的数量积和向量的线性运算，属于中档题目，有一定难度．16. 定义域为集合{1,2，3，…，12}上的函数f(x)满足：①f(1)=1；②|f(x +1)−f(x)|=1(x =1,2，…，11)；③f(1)、f(6)、f(12)成等比数列；这样的不同函数f(x)的个数为______．【答案】155【解析】解：经分析，f(x)的取值的最大值为x ，最小值为2−x ，并且成以2为公差的等差数列，故f(6)的取值为6，4，2，0，−2，−4．f(12)的取值为12，10，8，6，4，2，0，−2，−4，−6，−8，−10，所以能使f(x)中的f(1)、f(6)、f(12)成等比数列时，f(1)、f(6)、f(12)的取值只有两种情况：①f(1)=1、f(6)=2、f(12)=4；②f(1)=1、f(6)=−2、f(12)=4． |f(x +1)−f(x)|=1(x =1,2，…，11)，f(x +1)=f(x)+1，或者f(x +1)=f(x)−1，即得到后项时，把前项加1或者把前项减1．(1)当f(1)=1、f(6)=2、f(12)=4时；将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f(1)变化到f(6)，第二步：从f(6)变化的f(12)．从f(1)变化到f(6)时有5次变化，函数值从1变化到2，故应从5次中选择3步加1，剩余的两次减1.对应的方法数为C 53=10种．从f(6)变化到f(12)时有6次变化，函数值从2变化到4，故应从6次变化中选择4次增加1，剩余两次减少1，对应的方法数为C 64=15种．根据分步乘法原理，共有10×15=150种方法．(2)当f(1)=1、f(6)=−2、f(12)=4时，将要构造满足条件的等比数列分为两步，第7一步：从f(1)变化到f(6)，第二步：从f(6)变化的f(12)．从f(1)变化到f(6)时有5次变化，函数值从1变化到−2，故应从5次中选择1步加1，剩余的4次减1.对应的方法数为C 51=5种．从f(6)变化到f(12)时有6次变化，函数值从−2变化到4，故应从6次变化中选择6次增加1，对应的方法数为C 66=1种．根据分步乘法原理，共有5×1=5种方法．综上，满足条件的f(x)共有：150+5=155种．故填：155．分析出f(x)的所有可能的取值，得到使f(x)中f(1)、f(6)、f(12)成等比数列时对应的项，再运用计数原理求出这样的不同函数f(x)的个数即可．解决本题的难点在于发现f(x)的取值规律，并找到使f(1)、f(6)、f(12)成等比数列所对应的三项.然后用计数原理计算种类.本题属于难题．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分） 17. 已知函数f(x)=(1+tanx)⋅sin2x ．(1)求f(x)的定义域；(2)求函数F(x)=f(x)−2在区间(0,π)内的零点．【答案】(本题满分为14分)解：(1)由正切函数的性质可求f(x)的定义域为：{x|x ∈R,x ≠π2+kπ,k ∈Z}；…4分 (2)∵f(x)=(1+sinx cosx)⋅2sinxcosx =sin2x +2sin 2x =sin2x −cos2x +1=√2sin(2x −π4)+1，∴F(x)=f(x)−2=√2sin(2x −π4)−1=0，解得：2x −π4=2kπ+π4，或2x −π4=2kπ+3π4，k ∈Z ，即：x =kπ+π4，或x =kπ+π2，k ∈Z ，又x ∈(0,π)，∴k =0时，x =π4.或x =π2，故F (x)在(0,π)内的零点为π4，或x =π2.…10分【解析】(1)由正切函数的性质可求f(x)的定义域；(2)利用三角函数恒等变换的应用可求F(x)=√2sin(2x −π4)−1=0，解得x =kπ+π4，或x =kπ+π2，k ∈Z ，又x ∈(0,π)，即可解得F(x)在(0,π)内的零点．本题主要考查了正切函数的图象和性质，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18. 上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔t(单位：分钟)满足：2≤t ≤20，t ∈N ，经测算，地铁载客量p(t)与发车时间间隔t 满足p(t)={1200−10(10−t)22≤t <10120010≤t ≤20，其中t ∈N ．(1)请你说明p(5)的实际意义；(2)若该线路每分钟的净收益为Q=6p(t)−3360t−360(元)，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益．【答案】解：(1)由分段函数的表达式得p(5)的实际意义，发车间隔为5，载客量为950；(2)当2≤x<10时，p(t)=−10t2+200t+200，Q=6p(t)−3360t−360=−60t2+1200t+1200−3360t−360=840−60(t+36t)≤840−60×2√t⋅36t=840−60×12=120，当且仅当t=36t，即t=6时取等号．当10≤t≤20，Q=6p(t)−3360t−360=6×1200−3360t−360=3840t−360≤384010−360= 384−360=24．则当t=6，Q max=120．即发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益为120元．【解析】(1)根据分段函数的表达式进行判断即可．(2)求出Q的表达式，结合基本不等式以及函数单调性的性质进行求最值即可．本题主要考查函数的应用问题，利用基本不等式以及函数的单调性求最大值是解决本题的关键．19.我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，堑堵指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱．(1)某堑堵的三视图，如图1，网格中的每个小正方形的边长为1，求该堑堵的体积；(2)在堑堵ABC−A1B1C1中，如图2，AC⊥BC，若A1A=AB=2，当阳马B−AA1C1C的体积最大时，求二面角C−A1B−C1的大小．【答案】解：(1)由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为直三棱柱，底面是等腰直角三角形，直角边长为√2，直三棱柱的高为2，89则其体积为V =12×√2×√2×2=2；(2)解：∵A 1A =AB =2，阳马B −A 1ACC 1的体积：V =13S 矩形A 1ACC 1⋅BC 13×A 1A ×AC ×BC =23AC ×BC ≤13(AC 2+BC 2)=13×AB 2=43，当且仅当AC =BC =√2时，V max =43，以C 为原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A 1(0,√2,2)，B(√2,0，0)，C 1(0,0，2)，∴CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,2)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0，0)，C 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,0)，C 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0，−2)，设平面CA 1B 的法向量n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y +2z =0n⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x =0，取y =√2，得n ⃗ =(0,√2,−1)，设平面C 1A 1B 的法向量m⃗⃗⃗ =(a,b ，c)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅C 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2b =0m ⃗⃗⃗ ⋅C 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2a −2c =0，取a =√2，得m ⃗⃗⃗ =(√2,0，1)，设当阳马B −A 1ACC 1体积最大时，二面角C −A 1B −C 1的平面角为θ，则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3×√3=13，∴当阳马B −A 1ACC 1体积最大时，二面角C −A 1B −C 1的大小为arccos 13．【解析】(1)由三视图还原原几何体，再由棱柱体积公式求解；(2)阳马B −A 1ACC 1的体积V =13S 矩形A 1ACC 1⋅BC 13×A 1A ×AC ×BC =23AC ×BC ≤13(AC 2+BC 2)=13×AB 2=43，当且仅当AC =BC =√2时，V max =43，以C 为原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解空间角．本题考查由三视图求面积、体积，考查二面角的余弦值的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20. 已知椭圆Ω：x 24+y 23=1的左右两焦点分别为F 1、F 2．(1)若矩形ABCD 的边AB 在y 轴上，点C 、D 均在Ω上，求该矩形绕y 轴旋转一周所得圆柱侧面积S 的取值范围；(2)设斜率为k 的直线l 与Ω交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为M(1,m)(m >0)，求证：k <−12；(3)过Ω上一动点E(x 0,y 0)作直线l ：x 0x 4+y 0y 3=1，其中y 0≠0，过E 作直线l 的垂线交x 轴于点R ，问是否存在实数λ，使得|EF 1|⋅|RF 2|=λ|EF 2|⋅|RF 1|恒成立，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．【答案】(1)解：设D(x,y)，由D 在椭圆Ω：x 24+y 23=1上，得1=x 24+y 23≥2√x 24⋅y 23=√3，得|xy|≤√3，当且仅当x 24=y 23=12，即|x|=√62，|y|=√2时取“=”．10 矩形绕y 轴旋转一周后所得圆柱体侧面积为S 侧=2π⋅|BC|⋅|AB|=4π|xy|， ∴S 侧=4π|xy|≤4√3π； (2)证明：设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则x 124+y 123=1，x 224+y 223=1，两式作差可得：k =y 1−y 2x 1−x 2=−34⋅x 1+x2y 1+y 2=−34⋅1m ，由M(1,m)在椭圆内部，得14+m 23=1，即m 2<94，又m >0，∴0<m <32，得k =−34m <−12； (3)解：直线l ：x 0x 4+y 0y 3=1的斜率为−3x 04y 0，则k ER =4y3x 0，又k EF 1=y0x 0+1，k EF 2=yx 0−1，设直线EF 1到直线ER 的角为α，直线ER 到直线EF 2的角为β，则tanα=4y 03x 0−y0x 0+11+4y 03x 0⋅y 0x 0+1=x 0y 0+4y 012+3x 0=y 03，tanβ=y 0x 0−1−4y03x 01+y 0x 0−1⋅4y 03x 0=4y 0−x 0y 012−3x 0=y 03．∴tanα=tanβ，则α=β，即ER 为∠F 1EF 2的角分线， ∴|EF 1||EF 2|=|RF 1||RF 2|，即|EF 1|⋅|RF 2|=λ|EF 2|⋅|RF 1|，∴存在实数λ=1，使得|EF 1|⋅|RF 2|=λ|EF 2|⋅|RF 1|恒成立．【解析】(1)设D(x,y)，由D 在椭圆Ω：x 24+y 23=1上，可得|xy|≤√3，再由矩形绕y轴旋转一周后所得圆柱体侧面积为S 侧=2π⋅|BC|⋅|AB|=4π|xy|求解；(2)设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，利用点差法可得k =y 1−y 2x 1−x 2=−34⋅x 1+x 2y 1+y 2=−34⋅1m ，再由M(1,m)在椭圆内部，得m 2<94，即0<m <32，由此证明结论； (3)直线l ：x 0x 4+y 0y 3=1的斜率为−3x 04y 0，则k ER =4y3x 0，求出k EF 1=y 0x0+1，k EF 2=yx 0−1，再由到角公式可得ER 为∠F 1EF 2的角分线，得到|EF 1||EF 2|=|RF 1||RF 2|，即|EF 1|⋅|RF 2|=λ|EF 2|⋅|RF 1|，可知存在实数λ=1，使得|EF 1|⋅|RF 2|=λ|EF 2|⋅|RF 1|恒成立．本题是直线与椭圆的综合题，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了到角公式的应用，是中档题．21. 已知数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=18a n2+m ，其中n ∈N ∗，m ∈R ． (1)若a 1、m 、a 2成等差数列，求m 的值；(2)若m =0，求数列{a n }的通项a n ；(3)若对任意正整数n ，都有a n <4，求m 的最大值．【答案】解：(1)a1=1，a2=18×a1+m=18+m，若a1、m、a2成等差数列，则a1+a2=2m，即1+18+m=2m，得m=98；(2)若m=0，则a n+1=18×a n2，两边取2为底的对数，得log2a n+1=log2(18×a n2)=2log2a n−3，即log2(a n+1−3)=2(log2a n−3)，即数列{log2a n−3}是以−3为首项，2为公比的等比数列，则log2a n−3=−3⋅2n−1，得a n=23−3⋅2n−1，即a n=8(1−2n−1)；(3)①当m=2时，a n+1=18×a n2+2，由a1=1，则由a n+1=18×a n2+2得当n≥2时，a n>2，则4+a n>0，若a n<4，则必有a n+1−4=18×(a n2−16)=18×(a n−4)(a n+4)<0，即a n+1−4<0，即m=2满足条件．②下证m>2时，不符合题意，假设存在m>2，则a n+1−a n=18a n2+m−a n=18×(a n−4)2+m−2≥m−2>0，应用累加法得a n+1−a1≥(n−1)(m−2)，即a n≥1+(n−1)(m−2)，取N=[3m−2]+2，([x]表示不超过x的最大整数)，则当n≥N，n∈N⋅，a n≥4与题设条件a n<4矛盾，即m>2时，不符合题意，综上m的最大值为2．【解析】(1)根据等差数列的定义建立方程进行求解即可．(2)当m=0时，利用取对数法结合数列的递推关系构造等比数列进行求解．(3)讨论当m=2时，结合数列的递推关系证明成立，然后当m>2时，不等式不成立即可．本题主要考查递推数列的应用，结合等差数列的定义，以及数列递推关系，利用取对数法以及构造法是解决本题的关键．11。

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