第一章 信号与系统概论(3)

2. 系统分类： 系统分类：
• •
计算机控制系统 （包括连续，混合，数字，混合和连续 连续， 连续 混合，数字，混合和连续系统）
A/D
D/A
1.线性系统（Linear System） 线性系统（ 线性系统 ）
• • • • 一个同时 同时满足可加性(additivity) 齐次性 可加性(additivity) 同时 可加性(additivity)和齐次性 scaling)的系统被定义为线性系 (homogeneity or scaling) 统，否则称为非线性系统。 可加性：两输入信号之和的系统响应等于两输入信 可加性 号分别引起的系统响应之和。 这表示系统处理与加法的次序可交换 系统处理与加法的次序可交换，即无论是先 系统处理与加法的次序可交换 加后处理，还是先处理后加，都得相同的结果，如 后一页图 (a)所示。 齐次性：输入信号乘以常数后引起的系统响应等于 齐次性 输入信号引起的系统响应再乘以该常数。 系统处理与常量乘的次序可交换，即无论是 这表示系统处理与常量乘的次序可交换 系统处理与常量乘的次序可交换 先放大后处理，还是先处理后放大，都得相同的结 果，如后一页图(b)所示。
§1.5 信号的分解
•直交流分解 直交流分解 •奇偶分解 奇偶分解 •正交分解 正交分解
1.直流分量和交流分量 直流分量和交流分量
% (t ) f (t ) = f + f
直流分量 交流分量
即信号平均值
1 T f = lim ∫ 2T f ( t ) dt T →∞ T − 2
f
0
% f (t )
2.时不变系统(Time Invariant System) .时不变系统(Time
时不变性：如果输入f(t)引起的系统响应为 时不变性 y(t)，则输入f(t-t0)引起的系统响应为y(t -t0) ，其中，t0为延迟时间。 系统处理与延迟运算的次序可交换， 这表示系统处理与延迟运算的次序可交换 系统处理与延迟运算的次序可交换 即无论是先延迟后处理，还是先处理后延迟， 都得到相同的结果，也就是输入延迟多少时 间，输出也延迟多少时间，如下图所示。
•
时不变系统的判断
平移是时不变的、但翻转和尺度运算都是时变的， 1. 平移是时不变的、但翻转和尺度运算都是时变的，因为 对于翻转而言，输入延迟时，输出延迟，对于尺度而言， 对于翻转而言，输入延迟时，输出延迟，对于尺度而言， 输入延迟时，输出延迟； 输入延迟时，输出延迟； 乘或加常数，即直流偏置或固定增益放大，是时不变的， 2. 乘或加常数，即直流偏置或固定增益放大，是时不变的， 而乘或加与输入无关的变量， 而乘或加与输入无关的变量，即交流偏置或时变增益放 是时变的，因为对后者而言， 大，是时变的，因为对后者而言，所乘或加的与输入无 关的变量并不随输入的延迟而延迟； 关的变量并不随输入的延迟而延迟； 微分和下限为的积分运算是时不变的，但如例1 5f所证 所证， 3. 微分和下限为的积分运算是时不变的，但如例1-5f所证， 下限为零的积分却是时变的； 下限为零的积分却是时变的； 所有即时映射都是时不变的； 4. 所有即时映射都是时不变的； 5. 有零初始状态的常参数电路或常系数微分方程才是时不 变的，而具有非零初始状态的电路或微分方程是时变的， 变的，而具有非零初始状态的电路或微分方程是时变的， 因为初始状态定义于零时刻， 因为初始状态定义于零时刻，它不会随着输入的延迟而 延迟到另一时刻；同样地， 延迟到另一时刻；同样地，变系数微分方程中的变系数 的时间变量并没有因输入的延迟而延迟。 的时间变量并没有因输入的延迟而延迟。
系统定义： 1. 系统定义：
• •
§ 1-6 系统的基本概念
信号运算，包括信号的变换、处理、分析和理 解等，都在系统中进行。 称系统的输入信号 激励（Excitation），称 输入信号为激励 输入信号 激励（Excitation） 系统的输出信号 响应（Response）。 输出信号为响应 输出信号 响应（Response） 按输入输出特性分连续 / 离散 / 数字 / 混合 连续/ 离散/数字/混合系统。 连续 按系统特性分，有线性 非线性 线性或非线性 线性 非线性系统、时不变 时不变 或时变 时变系统、因果 非因果 因果或非因果 稳定或不稳 时变 因果 非因果系统、稳定 不稳 稳定 可逆系统和不可逆 不可逆系统。 定系统，可逆 可逆 不可逆
因果系统的判断
向右平移（即延迟）是因果的，而向左平移 1. 向右平移（即延迟）是因果的 （即超前）、翻转（即时间倒转）和尺度运算 都是非因果的，因为超前和时间倒转都会使将 来发生的事情先于现在出现； 乘法和加法运算是因果的； 2. 乘法和加法运算是因果的 3. 微分是非因果的，因为它与将来时刻的信号值 有关；下限为的积分运算是因果的，因为它与 下限为的积分运算是因果的， 下限为的积分运算是因果的 将来时刻的信号值无关；但正如例1-5f所证， 将来时刻的信号值无关 下限为零的积分却是非因果的； 所有即时映射都是因果的； 4. 所有即时映射都是因果的 5. 电路和描述实际物理系统的微分方程都是因果 因为它们都是物理可实现的。 的，因为它们都是物理可实现的。
• 信号正交分解的核心是把信号分解为完备、正交、 把信号分解为完备、正交、 把信号分解为完备 能量归一的基信号集合中的各个基信号的加权和， 能量归一的基信号集合中的各个基信号的加权和 它非常有益于信号分析和理解。 • 原则上有无穷多个 无穷多个这样的正交分解。 无穷多个 • 最常用的是傅里叶级数分解、傅里叶变换和拉普 傅里叶级数分解、 傅里叶级数分解 拉斯变换。 拉斯变换 • 傅里叶级数是把周期信号分解成无穷多个谐波正 弦信号的加权和；傅里叶变换就是把非周期信号 分解成无穷多个频率间隔无穷小的复正弦信号的 加权和；而拉普拉斯变换就是把信号分解成无穷 多个复指数信号的加权和。 • 其它的典型例有小波分解，主分量分析 小波分解， 小波分解 主分量分析等。
1 1 2 2
= a1 f1 ( t ) cos ( 2π t ) + a2 f 2 ( t ) cos ( 2π t ) = a1 y1 ( t ) + a2 y2 ( t )
≠ f (t − τ ) cos(2π (t − τ )) = y(t − τ )
T { f (t − τ )} = f (t − τ ) cos(2πt )
线性系统的判断
微分和积分运算是线性的； 4. 微分和积分运算是线性的； 非正比例的即时映射都是非线性的； 5. 非正比例的即时映射都是非线性的； 6. 有零初始状态的线性电路或线性微分方程都是线 性的； 性的； 任何含非线性运算的系统， 7. 任何含非线性运算的系统，如非线性的微分方程 或电路，都是非线性的。 或电路，都是非线性的。 • 注意，线性性的要求是很严格的，甚至有非零初 始状态的线性电路，或者有非零初始状态的线性 常微分方程都不是上述意义下的线性系统。
任何信号都可以分解 为偶分量和奇分量之和
fe (t) = fe (−t)
偶分量（偶信号） 偶分量（偶信号）
fo(t) =−fo(−t)
奇分量（奇信号） 奇分量（奇信号）
• 直流分量一定属 于偶分量 • 信号的奇偶分解 在分析和理解信 号的傅里叶变换 或傅里叶级数时 很有帮助
1 2
1 2
3.正交分解
a) 系统 y ( t ) = f ( t ) 非线性、 该系统是非线性、时不变、因果、稳定的 非线性 时不变、因果、稳定的。 原因：取绝对值是非线性运算使系统是非线性 非线性的； 非线性 它与运算时刻无关使系统是时不变 时不变的；它是即时 时不变 即时 运算（输出仅取决于当前时刻的输入值）使系统 运算 是因果 因果的；它不改变信号最大模值使系统是稳定 因果 稳定 的。
3.因果系统 (Causal System) .
• • • • • • 因果系统：如果t<t0时输入f(t)＝0，则一定 因果系统 有t<t0时系统响应y(t)＝0。 这表示无输入之前系统不会有响应； 同样地输出一定要在输入变化之后发生变化； 物理可实现系统，反之 一个因果系统一定是物理可实现 物理可实现 亦然； 因果信号指t=0时接入系统的信号（t<0时信 因果信号 号为零），也称有始信号 有始信号； 有始信号 即时系统一定是因果系统； 即时系统 根据此定义，可知一个因果系统对因果激励 一个因果系统对因果激励 信号的响应一定是因果的。 信号的响应一定是因果的
b)
系统 f ( t ) cos ( 2π t ) 该系统是线性、时变、因果、稳定的 线性、 线性 时变、因果、稳定的。 原因：系统输出仅取决于当前时刻的输入值使系 统是因果 因果的；由于乘的是一个幅值不大于1的量， 因果 使系统是稳定 稳定的；并且 稳定
( a f ( t ) + a f ( t ) ) cos ( 2π t )
1. 2. 3. 4.
系统稳定性
• 一般的稳定性判断相当复杂，它与所讨论 问题有关，往往需使用特定领域中的特定 判断方法。 • 本书仅限于讨论其中最简单系统的，尤其 是LTIV LTIV系统的稳定性。 LTIV • 我们将在第二章和第四章分别证明，LTIV LTIV 系统稳定的充要条件是： 系统稳定的充要条件是：系统冲激响应绝 对可积， 对可积，或等价地，系统传递函数的极点 系统传递函数的极点 都在左半S平面。 都在左半S平面
例1-5：判断下述系统是不是线性、 ： 时不变、因果、稳定的
(a) y(t) = f (t) (c) y(t) = f (2t)
( (b) y(t) = f (t) cos2πt)
(d) y(t) = 3 f (t + 2) + 4
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(e) y(t) = f (t) − f (t − 2) (f) y(t) = ∫ f (x)dx
c) 系统 y (t ) = f (2t ) 该系统是线性、时变、非因果、稳定的 线性、 线性 时变、非因果、稳定的。原因：
线性系统叠加性（ ）和齐次性（ ） 线性系统叠加性（a）和齐次性（b）
线性系统的判断
• 系统线性的判断可以使用可加性判断接着 齐次性判断的两步法 两步法，也可以使用线性性 两步法 判断的一步法 一步法。注意，只要违反了可加性 一步法 只要违反了可加性 或齐次性，就是非线性的。 或齐次性，就是非线性的 • 使用上述判断准则，容易得出如下结论： 平移、翻转和尺度运算都是线性的； 1. 平移、翻转和尺度运算都是线性的； 乘常数或与输入无关的变量， 2. 乘常数或与输入无关的变量，即恒增益或 变增益放大，是线性的； 变增益放大，是线性的； 加常数或与输入无关的变量， 3. 加常数或与输入无关的变量，即固定电平 或可变电平偏置，是非线性的； 或可变电平偏置，是非线性的；
4.稳定系统(Stable System) .稳定系统(Stable
• • 一个能实际应用的系统必须是稳定的 能实际应用的系统必须是稳定的，因此稳定性 能实际应用的系统必须是稳定的 的讨论具有特别重要的地位。 一般系统的稳定性 稳定性讨论需建立在有界输入-有界输出 有界输入稳定性 有界输入 （BIBO BIBO）意义上，即：如果系统能对任何有界输入 BIBO 如果系统能对任何有界输入 信号产生有界的输出响应信号，则该系统是稳定的。 信号产生有界的输出响应信号，则该系统是稳定的。 平移、翻转和尺度运算都是稳定的； 平移、翻转和尺度运算都是稳定的； 加取值有限的常量或变量的运算是稳定的； 乘/加取值有限的常量或变量的运算是稳定的； 微分运算是稳定的， 微分运算是稳定的，而积分运算却是不稳定的，因 为有界函数的积分可能无界； 即时映射在映射函数有界时才是稳定的； 即时映射在映射函数有界时才是稳定的；
t
f (t )
信号的平均功率等于直 流功率和交流功率之和
f
0
t
2.偶分量与奇分量 偶分量与奇分量
f (t ) = f e (t ) + f o (t )
1 f e (t ) = ( f (t ) + f (− t )) 2 1 f o (t ) = ( f (t ) − f (− t )) 2