离散数学(第1次)
离散数学第1章习题答案
#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<malloc.h>#define MAX_STACK_SIZE 100 typedef int ElemType; typedef struct{ElemType data[MAX_STACK_SIZE];int top;} Stack;void lnitStack(Stack *S){S->top=-1;}int Push(Stack *S,ElemType x){if(S->top==MAX_STACK_SIZE-1){printf("\n Stack is full!");return 0;}S->top++;S->data[S->top]=x;return 1;}int Empty(Stack *S){return (S->top==-1);}int Pop(Stack *S,ElemType *x){if(Empty(S)){printf("\n Stack is free!");return 0;}*x=S->data[S->top];S_>top__;return 1;}void conversion(int N){int e;Stack *S=(Stack*)malloc(sizeof(Stack));InitStack(S); while(N){Push(S,N%2);"}while(!Empty(S)){Pop(S, &e);printf("%d ",e);}}void main(){ int n;printf(" 请输入待转换的值n: \n");scanf ("%d",&n);conversion(n);1. 判断下列语句是否是命题，为什么？若是命题，判断是简单命题还是复合命题？(1) 离散数学是计算机专业的一门必修课。
离散数学第一章命题逻辑习题答案
习题一
1.
利用逻辑联结词把下列命题翻译成符号逻辑形式： （7）不识庐山真面目，只缘生在此山中。 令P:身在此山中; Q:识庐山真面目;译为P ~ Q （8）两个三角形相似当且仅当它们对应角相等或者对应边 成比例。 令P:两个三角形相似; Q:对应角相等; R:对应边成比例;译为 P (Q R) （9）如果一个整数能被6整除，那么它就能被2和3整除。 如果一个整数能被3整除，那么它的各位数字之和也能 被3整除。 令P:被6整除; Q:被2整除; R:被3整除; S:各位数字之和被3整 除。译为(P (Q R)) (R S)
习题一 14.
• 从A、B、C、D4人中派2人出差，要求满足下述条件：如 果A去，则必须在C或D中选一人同去；B和C不能同时去； C和D不能同去。用构造范式的方法决定出选派方案。 若X表示“X去出差”, 可得公式 (A (C D)) ~(B C) ~(C D) (~A (C ~D) (~C D) ) (~B ~C ) (~C ~D ) …… (~A ~B ~C ~D) (~A ~B ~C D) (~A ~B C ~D) (~A B ~C ~D) (A ~B ~C D) (A ~B C ~D) (~A B ~C D) (A B ~C D) 可得派法: {B, D} {A, C} {A, D}
离散数学自考第一章(课后习题和答案)
每当Ｐ和Ｑ的真值相同时，则（Ｐ↔Ｑ）的真值 为“Ｔ”，否则（Ｐ↔Ｑ）的真值为“Ｆ”。
（３）举例：
▪ 春天来了当且仅当燕子飞回来了。 ▪平面上二直线平行，当且仅当这二直线不相交。 ▪２＋２＝４当且仅当雪是白色的。 （两者没有关系，但是确实命题）
举例： （a）P：王华的成绩很好 Q：王华的品德很好。 则ＰΛＱ：王华的成绩很好并且品德很好。 （b P：我们去种树 Q：房间里有一台电视机 则ＰΛＱ：我们去种树与房间里有一台电视机。 (c) P：今天下大雨 Q：3+3=6 则ＰΛＱ：今天下大雨和3+3=6
３．析取词（或运算） （１）符号“∨” 设Ｐ、Ｑ为二个命题，则 （Ｐ∨Ｑ）称作Ｐ与Ｑ的“析取”，读作： “Ｐ或Ｑ”。
（a）P：我拿起一本书 Q：我一口气读完了这本书 P→Q：如果我拿起一本书，则我一口气读完了这本书。 （b）P：月亮出来了 Q：3×3=9 P→Q：如果月亮出来了，则 3×3=9。（善意推定）
５．双条件联结词（“等价”词、“同”联结词、 “等同”词） （１）符号“↔”设Ｐ、Ｑ为二个命题，则Ｐ↔ Ｑ读作：“Ｐ当且仅当Ｑ”，“Ｐ等价 Ｑ”,“Ｐ是Ｑ的充分必要条件”。 （２）定义（见真值表）：
（４）Ｐ,Ｑ中，Ｐ、Ｑ的地位是平等的，Ｐ、Ｑ 交换位置不会改变真值表中的值。
６．命题联结词在使用中的优先级 （１）先括号内，后括号外 （２）运算时联结词的优先次序为： ¬ Λ → ↔ （由高到低） （３）联结词按从左到右的次序进行运算
∨
¬Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）可省去括号，因为“Ｖ”运算是可结合的。 （ ¬Ｐ∨Ｑ）∨Ｒ可省去括号，因为符合上述规定 而Ｐ→（Ｑ→Ｒ）中的括号不能省去，因为“→”不满足结合律。
石大远程奥鹏-离散数学-第一次在线作业正确答案
中国石油大学（北京）
石大远程
离散数学-第一次在线作业
参考答案
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离散数学-第一次在线作业
1. 空集不是任何集合的真子集
正确
错误
正确答案：错误
2. 一个集合可以是另一个集合的元素
正确
错误
正确答案：正确
3. 设A、B为集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集正确
错误
正确答案：正确
4. 如果一个集合包含了所要讨论的每一个集合，则称该集合为全集，记为U 正确
错误
正确答案：正确
5. 在笛卡儿坐标系中，平面上点的坐标< 1,2> 与< 2,1> 代表不同的点。
离散数学第一学期习题及答案
第一章部分习题及参考答案1 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)（2）（p↔r）∧(﹁q∨s)（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r)(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q)2．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”3．用真值表判断下列公式的类型：（1）(p→q) →(⌝q→⌝p)（2）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（3）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)4.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)5.用等值演算法证明下面等值式：(1)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(2)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)6.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)7.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(1)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(2)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q8.在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理：前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r9.在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p参考答案:1.（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0 (4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔12.p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s: 6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
离散数学第一第二次作业
第1部分命题逻辑一、单项选择题1. 下列哪个语句是真命题( )。
(A)我正在说谎(B)如果1+2 = 3,则雪是黑色的(C)如果1+2 = 5,则雪是黑色的(D)上网了吗2 .命题公式为P > (Q > P)( )。
(A)重言式(B)可满足式(C)矛盾式(D)等值式3. 设命题公式P (Q厂P),记作G,则使G的真值指派为1的P, Q 的取值是( )。
(A) (0,0) (B) (0,1) (C) (1,0) (D) (1,1)4. 与命题公式P > (Q > R)等值的公式是( )。
(A) (P Q) > R (B)(P Qp R (C)(P > Q) > R (D)P》(Q R)5 .命题公式(P Q) > P是( )。
(A)永真式(B)永假式(C)可满足式(D)合取范式二、填空题1. ____________________________________________ P, Q为两个命题，当且仅当 _________________________________________ 时，P Q的真值为1,当且仅当_______________________ 时，P Q的真值为0。
2. 给定两个命题公式A, B,若 ________________________________ 时，则称A和B是等值的，记为A= B。
3. ________________________________ 任意两个不同极小项的合取为_______ 式。
4 .设P:天下雨，Q:我们去郊游。
贝S⑴命题如果天不下雨，我们就去郊游”可符号化为_______ 。
第1页(共16页)⑵命题只有天不下雨，我们才去郊游”可符号化为_______ 。
⑶命题我们去郊游，仅当天不下雨”可符号化为_________ 。
5 .设命题公式G = P (-Q R),则使G取真值为1的指派6. 已知命题公式为G = (-P Q) > R,则命题公式G的析取范式是三、计算题1.将下列命题符号化：⑴ 李强不是不聪明，而是不用功；⑵ 如果天不下雨，我们就去郊游；⑶ 只有不下雨，我们才去郊游。
离散数学.第1章
例4
设P：我们去看电影。Q：房间里有十张桌子。则
P ∧ Q表示“我们去看电影并且房间里有十张桌子。”
10
3. 析取“∨”（相容或）[讲解教材P3-5关于或]
4. 定义1.3
由命题P和Q利用“∨”组成的复合命题，称 为析取式复合命题，记作“P∨Q”（读作“P或Q”）。 当且仅当P和Q至少有一个取值为真时，P∨Q取值为真。
练习1-1
1. 判断下列语句哪些是命题，若是命题，则指出其真值。
（1） （2） 只有小孩才爱哭。 X+6=Y ( 是 假 ) ( 不是 ) (是 真) ( 不是 )
（3）
银是白的。
（4） 起来吧，我的朋友。 2． 将下列命题符号化
（1） 我看见的既不是小张也不是老李。 解 令P：我看见的是小张；Q：我看见的是老李。 则该命题可表示为¬ P∧¬ Q （2） 如果晚上做完了作业并且没有其它的事，他就会 看电视或听音乐。 解 令 P：他晚上做完了作业；Q：他晚上有其它的事； R：他看电视； S：他听音乐。 则该命题可表示为（P∧¬ Q）→（R∨S）
28
1.3 等值演算
• 定义1.10 设A和B是两个命题公式, 若等价式A↔B 是重言式，则称公式A 和B等值，记为A B,称 AB为等 值式。
• 注意： （1）符号“”与“↔”的区别与联系 “”不是联结词，AB不表示一个公式， 它表示两个公式间的一种关系，即等值关系。 “↔”是联结词，A↔B是一个公式。 AB 当且仅当 A↔B 是永真公式。
1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 0 0 0 1
1 1 0 1 0 0 0 1
离散数学第一次作业
题号:1 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:2设P：天下大雨，Q：他乘公共汽车上班。
命题“只有天下雨，他才乘公共汽车上班”符号化为（）•A、P→Q•B、Q→P•C、P<->Q•D、┑P→Q。
学员答案：b说明：本题得分：2题号:2 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:2设P：我将去镇上，Q：我有时间，命题“我将去镇上，仅当我有时间”，符号化为（）•A、P→Q•B、Q→P•C、P<->Q•D、┑P→┑Q。
学员答案：a说明：本题得分：2题号:3 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:2令P：今天下雪了，Q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（）•A、P→┑Q•B、P∨┑Q•C、P∧Q•D、P∧┑Q学员答案：d说明：本题得分：2题号:4 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:2设P：天下钉子，Q：我去B城。
命题“除非天下钉子，否则我去B城”符号化为（）•A、P→Q•B、Q→P•C、┑P→Q•D、Q→┑P。
学员答案：c说明：本题得分：2题号:5 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:2设P：我们划船，Q：我们跳舞，命题“我们不能计划船又跳舞”符号化为（）•A、P∨Q•B、┑（P∧Q）•C、┑P∧┑Q•D、┑P∧Q。
学员答案：b说明：本题得分：2题号:6 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:2设A，B为集合，A∩B=A∪B成立的充分必要条件是（）•A、A=B=φ•B、A=φ•C、B=φ•D、A=B学员答案：d说明：本题得分：2题号:7 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:2一个公式在等价意义下，下面哪一个写法是唯一的（）•A、析取范式•B、合取范式•C、主析取范式•D、以上答案都不对。
学员答案：c说明：本题得分：2题号:8 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:2 设集合A={1，a}，则A的幂集P（A）=（）•A、{{1}，{a}}•B、{φ，{1]，{a}•C、{φ，{1]，{a}，{1，a}•D、{{1]，{a}，{1，a}学员答案：c说明：本题得分：2题号:9 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:2 设A=φ，B={φ，{φ}}，则B-A是（）•A、{{φ}}•B、{φ}•C、{φ，{φ}}•D、φ学员答案：c说明：本题得分：2题号:10 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:2 下列命题公式是可满足（可真可假）公式的是（）•A、P∧┑P•B、P∨┑P•C、(Q→P)∧(┑P∧Q)•D、（P∧Q）∨（┑P∧R)学员答案：d说明：本题得分：2题号:11 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:2 设A={a，b}，则A的幂集P（A）为（）•A、{a，b}•B、{φ，{a}，{b}}•C、{φ，{a}}•D、{φ，{a}，{b}，{a，b}}学员答案：d说明：本题得分：2题号:12 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:2 下列命题与B-A为同一集合的是（）•A、(A的补集)∪B•B、(A∪B)∩B•C、B∩(A的补集)•D、((A∩B)的补集)∪B学员答案：c说明：本题得分：2题号:13 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:2 下面哪一组命题公式不是等价的（）•A、(P→Q)∧(Q→P)，P<->Q•B、┑(P<->Q),(P∧┑Q)∨(┑P∧Q)•C、P→(Q∨R),┑P∧(Q∨R)•D、P→(Q∨R),(P∧┑Q)→R学员答案：c说明：本题得分：2题号:14 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:2 下列命题公式是主析取范式的是（）•A、P∧(P→Q)→Q)•B、P<->Q•C、P∨Q•D、(P∧Q)∨(P∧┑Q)学员答案：d说明：本题得分：2题号:15 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:2 下面哪个联接词运算不可交换（）•A、∧•B、→•C、∨•D、<->学员答案：b说明：本题得分：2题号:16 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:2 下列语句，哪一个是真命题（）.•A、我正在说谎•B、如果1+1=0，那么雪是黑的•C、9+5>18•D、存在最大的质数。
离散数学
1. 设|A | = 5, |B | = 2, 则可定义A 到B 的函数( )个，其中有( )单射，( )个满射.2. 令G (x ): x 是金子，F (x ): x 是闪光的，则命题“金子都是闪光的，但闪光的未必是金子”符号化为( ).3. 设X 是非空集合，则X 的幂集P (X )关于集合的⋃运算的单位元是( )，零元是( )，P (X )关于集合的⋂运算的单位元是( ).4. 6阶非Abel 群的2阶子群共有( )个，3阶子群共有( )个，4阶子群共有( )个.5. 对于n 阶完全无向图K n , 当n 为( )时是Euler 图，当n ≥ ( )时是Hamilton 图，当n ( )时是平面图. 二、单选题1. 幂集P (P (P (∅))) 为( )(A){{∅}, {∅, {∅}}}. (B){∅, {∅, {∅}}, {∅}}. (C){ ∅, {∅, {∅}}, {{∅}}, {∅}} (D){ ∅, {∅, {∅}}}. 2. 设R 是集合A 上的偏序关系，则1-⋃RR 是( ).(A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上答案都不对 3. 下列( )组命题公式是不等值的.(A))(B A →⌝与B A ⌝∧. (B) )(B A ↔⌝与)()(B A B A ∧⌝∨⌝∧. (C))(C B A ∨→与C B A →⌝∧)(. (D))(C B A ∨→与)(C B A ∨∧⌝. 4.下列代数结构(G , *)中，( )是群.(A)G = {0, 1, 3, 5}, “*”是模7加法. (B) G = Q , “*”是数的乘法.(C)G = Z , “*”是数的减法. (D) G = {1, 3, 4, 5, 9}, “*”是模11乘法. 5.4阶完全无向图4K 中含3条边的不同构的生成子图有 (A)3 (B)4 (C)5 (D)2三、设A 和B 是集合，使B B A =-成立的充要条件是什么，并给出理由.四、设R 和S 是集合A 上的对称关系，证明S R 对称的充要条件是R S S R =. 五、分别利用(1)等值演算法和(2)真值表求命题公式))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝=的主析取范式和主合取范式.六、设G 是(n , m )无向图，若n m ≥，证明G 中必存在圈.1.设A = {2, {3}, 4, a }, B = {1, 3, 4, {a }}, 则{3}( )A ，{a }( )B ，{{a }}( )B .2. 设A = {1, 2, 3, 4, 5}上的关系R = {(1, 2), (3, 4), (2, 2)}, S = {(4, 2), (2, 5), (3, 1), (1, 3)}, 则=S R { }, =R S { }, =R R { }.3. 在同构意义下，3阶群有( )个，4阶群有( )个，5阶群有( )个.4.任意有限布尔代数)1,0,,,,(⋅+B 均与集合代数( )同构，其元素个数为( ), 其中( )是B 的所有原子组成的集合.5. 不同构的5阶无向树有( )棵，不同构的5阶根树有( )棵. 二、单选题1. 在有理数集合Q 上定义运算“*”如下：对于任意x , y ∈ Q ，y x * = x + y – xy ，则Q 关于*的单位元是( ).(A)x . (B)y . (C)1. (D)0.2. 设A = {1, 2, 3}, 下图分别给出了A 上的两个关系R 和S ，则S R 是( )关系.(A)自反. (B)对称. (C)传递. (D)等价.3.令T (x ): x 是火车，B (x ): x 是汽车，F (x , y ): x 比y 快，则“某些汽车比所有的火车慢”符号化为( ). (A)()()),()()(y x H x T x y B y →∀∧∃. (B)()()),()()(y x H x T x y B y ∧∀→∃. (C)()()),()()(y x H x T y B y x ∧→∃∀. (D)()()),()()(y x H x T x y B y →∀→∃.4. 整数集合Z 关于数的加法“+”和数的乘法“⋅”构成的代数结构(Z, +, ⋅)是( ). (A)域 (B)域和整环 (C)整环 (D) 有零因子环5.设G 是简单图，G 是G 的补图，若G G ≅，则称G 为自补图. 5阶不同构的自补图个数为( ). (A)0. (B)1. (C)2. (D)3.三、设C B g B A f →→:,:, 若g f 是单射，证明f 是单射，并举例说明g 不一定是单射. 四、设A = {a , b , c , d }上的关系R = {(a , b ), (b , d ), (c , c ), (a , c )}, 画出R 的关系图，并求出R 的自反闭包r (R )、对称闭包s (R )和传递闭包t (R ).五、设G 是(6，12) 的简单连通平面图，则G 的面由多少条边围成，为什么？ 六、任意6个人中，一定有3个人彼此认识或有3个人彼此不认识.G SG R1. 设A = {1, 2, 3, {1, 2}, {3}}, B = {2, {2,3}, {1}} , 则A – B = { }, B – A = { }, A ⊕ B = { }.2. 实数集合R 关于加法运算“+”的单位元为( ), 关于乘法运算“⋅”的单位元为( ), 关于乘法运算“⋅”的零元为( ).3. 令Z (x ): x 是整数，O (x ): x 是奇数，则“不是所有整数都是奇数”符号化为( ).4. 有限域的元素个数为( ), 其中( )且( ).5. 设G 是(7, 15)简单平面图，则G 一定 ( )连通图，其每个面恰由( )条边围成，G 的面数为( ). 二、单选题1. 函数的复合运算“ ”满足( )(A)交换律. (B)结合律. (C)幂等律. (D)消去律. 2. 设集合A 中有4个元素，则A 上的等价关系共有( )个. (A)13 (B)14 (C)15 (D)16 3.下列代数结构(G , *)中，( )是群.(A)G = {0, 1, 3, 5}, “*”是模7加法. (B) G = Q , “*”是数的乘法.(C)G = Z , “*”是数的减法. (D) G = {1, 3, 4, 5, 9}, “*”是模11乘法. 4. 下列偏序集，( )是格.5. 不同构的(5, 3)简单图有( )个.(A)4 (B)5 (C)3 (D)2三、设C B g B A f →→:,:, 若g f 是满射，证明g 是满射，并举例说明f 不一定是满射. 四、在整数集合Z 上定义关系R 如下：对于任意∈y x , Z ，y yx xR y x +=+⇔∈22),(.判断R 是否具有自反性、反自反性、对称性、反对称性及传递性. 五、利用真值表求命题公式)())(q p q p A ⌝→↔→⌝=的主析取范式和主合取范式.六、将6阶完全无向图K 6的边随意地涂上红色或蓝色，证明：无论如何涂法，总存在红色的K 3或蓝色的K 3.1. 集合A 上的等价关系R 必满足( 、 、 ).2. 任意6阶群的平凡子群一定是( )群.3. 设集合A = {1, 2, 3}，则A 上的置换共有( )个.4. 设集合A 关于*满足( 、 )，则(A , *)构成独异点.5. ( )无向图称为无向树. 二、单选题1. 设集合A 中有99个元素，则A 的子集有( )个. (A)299. (B)99. (C) 2100. (D)100.2. 设集合A 中有4个元素，则A 上的划分共有( )个. (A)13 (B)14 (C)15 (D)163.设集合A = {1, 2, 3, 4, 5}上的关系R = {(x , y )|x , y ∈ A 且x + y = 6}，则R 的性质是( ). (A) 自反的. (B) 对称的. (C) 对称的、传递的. (D) 反自反的、传递的.4.下列联结词中，不满足交换律的是( ).(A)∧. (B)∨. (C)⊕. (D) →.5.谓词公式)())()((x R y yQ x P x →∃∨∀中，x ∀的辖域为( ).(A)))()((y yQ x P x ∃∨∀. (B))(x P . (C))()(y yQ x P ∃∨. (D))(x P 和)(x R . 三、设),(≤A 是偏序集，定义函数)(:A P A f →如下：对于任意A a ∈，},|{)(a x A x x a f ≤∈=.证明f 是单射，且当b a ≤时有)()(b f a f ⊆.四、(1)列出与非联结词“↑”的运算表.(2)仅使用与非联结词“↑”分别表示∨∧⌝,,.五、求))),(),((),,((v y vQ u x uQ z y x zP y x ∃→∃∧∃∀∀的前束范式. 六、 (1)给出(n , m )连通平面图的面数r 计算公式.(2)若(n , m )连通平面图的每个面至少由5条边围成，给出n 和m 所满足的关系式. (3)证明：Petersen 图不是平面图.1. 对于任意集合A , 若|A | = n , 则A 的幂集合P (A )有( )个元素.2. 整数集合Z 上的小于关系“<”具有( ).3. 联结词集合},{→⌝( )功能完备的.4. 设Q 是有理数集合，Q 关于数的乘法运算“⋅”能构成( ).5. 设≤是非空集合L 上的偏序，若L 中的任意两个元素均存在( )，则称(L ,≤)是格. 二、单选题1. 设A = ∅，B = {∅, {∅}}，则B – A 为( ).(A){{∅}}. (B){∅}. (C) {∅, {∅}}. (D) ∅. 2. 设R 和S 是集合A 上的关系，则下述命题成立的有( ). (A)若R 和S 是自反的，则S R ⋂是自反的. (B)若R 和S 是对称的，则S R 是对称的. (C)若R 和S 是反对称的，则S R 是反对称的. (D)若R 和S 是传递的，则S R ⋃是传递的. 3.设R 是集合A 上的偏序关系，则1-⋃RR 是( )关系.(A) 偏序. (B) 等价. (C) 相容. (D) 线性序.4.令A (x ): x 是人，B (x ): x 犯错误，则“没有不犯错误的人”符号化为( ). (A)))()((x B x A x ∧∀. (B)))()((x B x A x ⌝→⌝∃. (C)))()((x B x A x ∧⌝∃. (D)))()((x B x A x ⌝∧⌝∃.5.在任意n 阶连通图中，其边数( ).(A)至多n – 1条. (B)至少n – 1条. (C)至多n 条. (D) 至少n 条. 三、设R 为实数集合，定义f : R ⨯ R → R ⨯ R 为),()),((y x y x y x f -+=.(1)证明f 是双射. (2)求f 的逆函数1-f .(3)计算f f1-及f f .四、设集合},,{c b a A =，在A 上的关系)},(),,(),,{(c b b a a a R =，求)(),(),(R t R s R r . 五、用构造法证明：)))()(()((x R y Q x P x ∧→∀，⇒∀)(x xP ))()(()(x R x P x y Q ∧∀∧.六、证明：阶数2≥的任意无向树中的最长路径的端点都是树叶，即度数为1.一、填空题1. 设全集为整数集合Z ，且}30|{2<=xx A ，}20,|{<=x x x B 是素数，}5,3,1{=C ，则=⋃-C A B )({ }.2. 设集合A 为同一平面内的所有直线组成的集合，R 表示两直线的垂直关系，则R 2表示( )关系.3. 命题公式)(r q p ⌝∧∨的成真赋值(p , q , r )为( ).4. 设G = {1, 5, 7, 11}, “12⋅”为模12的乘法运算，则群),(12⋅G 中元素5的阶为( ).5. 图1所示的图G 的色数=)(G χ().二、单选题1. 设集合X ≠ ∅，则P (X )关于集合的⋃运算的单位元为( ). (A)X . (B) ∅. (C) P (X ). (D)以上答案均不成立.2. 令Z (x ): x 是整数，N (x ): x 是负数，S (x , y ): y 是x 的平方，则“任何整数的平方均非负”可符号化为( ).(A)())(),()(y N y x S x Z y x ⌝→∧∀∀.(B)())(),()(y N y x S x Z y x ⌝→∧∃∀.(C)())(),()(y N y x S x Z y x ⌝∧→∀∀ . (D)())(),()(y N y x S x Z x ⌝→∧∀. 3.设),(≤L 是格，G 为),(≤L 到自身的格同态映射组成的集合，则G 关于映射的复合“ ”运算构成( ).(A) 群. (B) 环. (C) 格. (D) 独异点. 4.给定下列序列，可构成简单无向图的节点度数序列的为( ). (A)(1, 3, 4, 4, 5). (B)(0, 1, 3, 3, 3). (C)(1, 1, 2, 2, 2). (D) (1, 1, 2, 2, 3). 5.设G 是n 阶简单无向图，则其最大度)(G ∆( ). (A) < n . (B) ≤ n . (C) > n . (D) ≥ n .三、设R 是实数集合，f : R ×R → R ×R , f (x , y ) = (x + y , x - y ).(1) 证明f 是双射. (2) 求出f 的逆函数f -1、f f1-和f f .四、图2给出的是集合A = {1，2，3，4，5，6}上关系R 的关系图，试画出R 的传递闭包t (R )的关系图,并用集合表示.五、利用真值表求命题公式()())()(p q r r q p →→↔→→的主析取范式和主合取范式.六、求赋权分别为2, 3, 5, 7, 8的最优2叉树.图2一、1. 32，0，30.2.))()(())()((x G x F x x F x G x ⌝∧∃∧→∀.3.∅，X ，X .4. 3，1，0.5.n 为奇数，3，4≤n .二、1(C); 2(B); 3(D); 4(D); 5(A). 三、证 ==⇔=-B A B B A ∅. (⇐)显然.(⇒)因为B A B A ⋂=-，根据B B A =-得B B B B A ⋂=⋂⋂)(，于是B = ∅，进而A = ∅. 四、解 由于R 和S 是对称的，所以S SR R==--11,.(⇐)因为R S S R =，两边取逆得11)()(--=R S S R ，而S R SRR S ==---111)(.所以S R S R =-1)(，因此S R 是对称关系.(⇒)由于S R 对称，所以S R S R =-1)(. 而R S RSS R ==---111)(，因而R S S R =. 五、解 (1)等值演算法 A 的主合取范式:))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝= = ))(())((r q p p q r ∨∨⌝→∨⌝∨⌝= )())((r q p p q r ∨∨⌝∨∨⌝∨⌝⌝ = )()(r q p p q r ∨∨⌝∨⌝∧∧ = r q p ∨∨⌝(由吸收律得到). 于是，A 的主析取范式为))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝== ∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝)()()()(r q p r q p r q p r q p )()()(r q p r q p r q p ∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧.(2)真值表法由表可知，))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝=的主合取范式为r q p A ∨∨⌝=.A 的主析取范式为A = ∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝)()()()(r q p r q p r q p r q p )()()(r q p r q p r q p ∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧.七、证(反证)假设G 中不含圈. 设G 有k (k ≥ 1)个连通分支k G G G ,...,,21，其节点个数分别为k n n n ,...,,21，其边数分别为k m m m ,...,,21. 这时，iG为树，根据树的基本性质有1-=i i n m )1(k i i ≤≤. 进而n k n n m m ki i ki i <-=-==∑∑==)1(11，与已知n m ≥矛盾. 证毕.一、1. ∈，∈，⊆.2.{(1,5), (3, 2), (2, 5)}, {(4, 2), (3, 2), (1, 4)}, {(1, 2), (2, 2)}.3. 1, 2, 1.4. ,,,),((⋂⋃X P ∅, X ), 2n , n .5. 3, 9.二、1(D); 2(B); 3(A); 4(C); 5(C).三、证 对于任意A x x ∈21,，若)()(21x f x f =，则))(())((21x f g x f g =，于是))(())((21x f g x g f =. 由于g f 是单射，所以21x x =，因此f 是单射.例如，A = {a , b }, B = {1, 2, 3}, C = {α, β, γ}, f = {(a , 1), (b , 2)}, g = {(a , α), (b , β), (c , β)}, 这时)},2(),,1{(βα=g f ，它是A 到C 的单射，但g 不是单射.四、解 R 的关系图如下：}),(),,(),,(),,(),,(),,(),,{()(d d b b a a c a c c d b b a R r =, }),(),,(),,(),,(),,(),,(),,{()(a c b d a b c a c c d b b a R s =. }),(),,(),,(),,(),,{()(d a c a c c d b b a R t =.五、证 根据Euler 公式，G 的面数为r = 12 – 6 +2 = 8. 由握手定理知，∑=⋅=vv 24122)deg(，而简单连通平面图的每个面至少由3条边围成，所以G 的每个面恰由3条边围成.六、证 用6个节点分别表示这6个人，可得6阶完全无向图6K . 若两个人认识，则在相应的两个节点所在的边上涂上红色，若两个人不认识，则在相应的两个节点所在的边上涂上蓝色.对于任意的6K 的节点v ，因为5)deg(=v ，与v 邻接的边有5条，当用红、蓝颜色去涂时，至少3条边涂的是同一种颜色，不妨设321,,vv vv vv 是红色. 若3条边21v v ，32v v ，31v v 是红色，则存在红色3K，这意味着有3个人相互认识; 若21v v ，32v v ，31v v 都是蓝色，则存在蓝色3K，这意味着有3个人相互不认识. 结论成立.abd一、1.{1, 3, {1, 2}, {3}}；{{2, 3}, {1}}；{1, 3, {1, 2}, {3}, {2, 3}, {1}}.2.0，1，0.3. ))()((x O x Z x →⌝∀.4. p n , p 为素数，n 为正整数.5. 是，3，10.二、1(B); 2(C); 3(D); 4(C); 5(A).三、证 对于任意C z ∈，由于g f 是满射，必存在A x ∈，使得z x f g x g f ==))(())(( . 令B x f y ∈=)(，有z y g =)(，因此，g 是满射.设},,{c b a A =，}3,2,1{=B ，},{βα=C ，令B A f →:，,:C B g → 3)(,3)(,2)(===c f b f a f ,βαβ===)3(,)2(,)1(g g g .这时，α==))(())((a f g a g f ，β==))(())((b f g b g f ，显然有},{)(ran βα=g f ，g f 是满射. 而ran f = {2, 3}，f 不是满射. 四、证 (1)对于任意x ∈ Z , 由于x xx x+=+22, 所以(x , x ) ∈ R , 即R 是自反的.(2)因为(0, 0) ∈ R , 因此R 不是反自反的. (3)对于任意x , y ∈ Z , 若(x , y ) ∈ R , 则y yx x +=+22, 于是x xy y+=+22, 进而(y , x ) ∈ R , 即R是对称的.(4)因为(2, -3) ∈ R 且(-3, 2) ∈ R ，因此R 不是反对称的. (5)对于任意x , y , z ∈ Z , 若(x , y ) ∈ R 且(y , z ) ∈ R , 则y yx x +=+22且z zy y+=+22，于是z zx x+=+22，所以(x , z ) ∈ R , 即R 是传递的.综上所述，知R 是自反的、对称的和传递的.五、解 命题公式)())(q p q p A ⌝→↔→⌝=的真值表如下：A 的主析取范式为：)()(q p q p A ⌝∧∨∧=.A 的主合取范式为：)()(q p q p A ∨∧⌝∨=.六、证 对于任意的6K 的节点v ，因为5)deg(=v ，与v 邻接的边有5条，当用红、蓝颜色去涂时，至少3条边涂的是同一种颜色，不妨设321,,vv vv vv 是红色. 若3条边21v v ，32v v ，31v v 是红色，则存在红色3K ; 若21v v ，32v v ，31v v 都是蓝色，则存在蓝色.一、1.自反性、对称性和传递性.2. Abel.3. 6.4. 封闭性和结合性.5. 不含圈的连通.二、1(A); 2(C); 3(B); 4(D); 5(C).三、证 对于任意A b a ∈,，假定)()(b f a f =. 由于≤是偏序，于是a a ≤，所以)(a f a ∈，进而)(b f a ∈，根据定义知b a ≤. 同理可证，a b ≤. 根据偏序的反对称性有b a =，因此f 是单射.当b a ≤时，对于任意)(a f x ∈，于是a x ≤. 根据偏序的传递性有b x ≤，即)(b f x ∈，故)()(b f a f ⊆.四、证 (1) 与非联结词“↑”的运算表如下：(2)p p p p p ↑=∧⌝=⌝)(.)()()())((q p q p q p q p q p ↑↑↑=↑⌝=∧⌝⌝=∧. )()()()()(q q p p q p q p q p ↑↑↑=⌝↑⌝=⌝∧⌝⌝=∨.五、解 ))),(),((),,((v y vQ u x uQ z y x zP y x ∃→∃∧∃∀∀=))),(),((),,((v y vQ u x uQ z y x zP y x ∃∨⌝∃∧∃∀∀ =))),(),((),,((v y vQ u x Q u z y x zP y x ∃∨⌝∀∧∃∀∀ =))),(),((),,((v y Q u x Q v u z y x zP y x ∨⌝∃∀∧∃∀∀ =))),(),((),,((v y Q u x Q z y x P v u z y x ∨⌝∧∃∀∃∀∀ 六、证 (1)根据Euler 公式，有2+-=n m r . (2)31052)2(5-≤⇒≤+-n m m n m .(3) 若Petersen 图是平面图，由于其每个面至少5条边围成，于是由(2)知3105-≤n m . 因为在Petersen图中，m = 15, n = 10, 于是31010515-⋅≤，矛盾.一、1. 2n 2. 反自反、反对称、传递 3. 是 4. 独异点 5. 上确界和下确界.二、1(C); 2(A); 3(B); 4 (D); 5(B).三、(1)证 对于任意∈),(),,(2211y x y x R ⨯ R ，若)),(()),((2211y x f y x f =，于是),(),(22221111y x y x y x y x -+=-+，进而2211y x y x +=+且2211y x y x -=-. 由此可得，2121,y y x x ==，因而),(),(2211y x y x =，故f 是单射.对于任意∈),(q p R ⨯ R ，取2,2q p y q p x -=+=，容易得知),(),()),((q p y x y x y x f =-+=.由上可知，f 是双射. (2)解 由上的证明过程知，⎪⎭⎫⎝⎛-+=-2,2)),((1y x y x y x f.(3)解 很显然If f=- 1R ⨯R ，即),()),)(((1y x y x f f=- .)2,2())()(),()(()),(()),)(((y x y x y x y x y x y x y x f y x f f =--+-++=-+= .四、解 }),(),,(),,(),,(),,{()(c c b b c b b a a a I R R r A=⋃=.}),(),,(),,(),,(),,{()(1b c a b c b b a a a RR R s =⋃=-.}),(),,(),,(),,{()(c a c b b a a a R t =. 五、证(1))(x xP ∀ P (2)P (c ) US(1) (3))))()(()((x R y Q x P x ∧→∀ P (4)))()(()(c R y Q c P ∧→ US(3) (5))()(c R y Q ∧ T(2)(4)I (6)Q (y ) T(5)I (7)R (c ) T(5)I (8))()(c R c P ∧ T(2)(7)I (9)))()((x R x P x ∧∀ UG(8) (10)))()(()(x R x P x y Q ∧∀∧ T(6)(9)I六、证 设G 是一棵阶数2≥的无向树，k k v v v v L 121...:-是G 中的最长路径. `若1v 和k v 至少有一个不是树叶，不妨设k v 不是树叶，即2)deg(≥k v ，则k v 除与1-k v 邻接外，还存在1+k v 与k v 邻接. 若1+k v 在L 上，则G 中存在圈，不可能. 若1+k v 不在L 上，则G 中存在一条比L 长1的路径1121...+-k k k v v v v v ，与L 是G 中最长路径矛盾.一、1. 1,3,5,7,11,13,17,19.2. 平行.3. 010, 100, 101, 110, 111.4. 2.5. 3.二、1(B); 2(A); 3(D); 4(C); 5(A). 三、(1)证任意∈),(),,(2211y x y x R ×R , 若),(),(2211y x f y x f =，则),(),(22221111y x y x y x y x -+=-+，进而2211y x y x +=+且2211y x y x -=-，于是21x x =且21y y =，从而f 是单射.任意∈),(q p R ×R , 取⎪⎩⎪⎨⎧-=+=22qp y q p x , 通过计算易知),(),(q p y x f =，因此f 是满射. 故f 是双射.(2) 解 由上面的证明知，f 存在逆函数且⎪⎭⎫⎝⎛-+=-2,2),(1y x y x y x f.又()()),(2,2,1y x y x y x f y x ff=⎪⎭⎫⎝⎛-+=- ，即If f=- 1R ×R ,而()()())2,2())()(),()((,,y x y x y x y x y x y x y x f y x ff=--+-++=++= .四、解 R 的传递闭包t (R )的关系图如下：于是，有t (R ) = {(1, 3), (3, 1), (2, 3), (4, 3), (4, 5), (6, 5), (1, 1), (3, 3)，(2,1)，(4,1)}. 五、解 首先写出命题公式()())()(p q rr q p A →→↔→→=的真值表如下：从真值表可得命题公式A 的主析取范式为：∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧∨∧∧=)()()(r q p r q p r q p A)()()(r q p r q p r q p ⌝∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝.命题公式A 的主合取范式为：)()(r q p r q p A ∨⌝∨⌝∧⌝∨⌝∨=.七、解 对于2, 3, 5, 7, 8，先组合两个最小的权2+3 = 5, 得5, 5, 7, 8；在所得到的序列中再组合5+5 = 10, 重新排列后为7, 8, 10；再组合7+8 =15, 得10, 15；最后组合10+15 = 25.2515108710875587532所求的最优2叉树树如下：。
离散数学思维导图第一章
重言式
矛盾式可满足式非重言式的可满足式直接应用规则推理附加前提证明法
归谬法命题
命题变项和命题常项
简单命题（原子命题）、复合命题
联接词：否定、合取、析取、异或、蕴含、等价、与非、或非
什么是命题公式？
分类
真值表简单合取式、简单析取式
合取范式和析取范式
极小项和极大项
用途：
联接词可以等价替换
联接词全功能集
联接词的极小全功能集构造证明法真值表法
主合取范式和主析取范式
命题符号化及联接词命题公式及分类等值演算范式联接词及其全功能集推理理论第一章：命题逻辑。
离散数学第1章答案
解： （1）P：王皓球打得好，Q：王皓歌唱得好。原命题可符号化：P∧Q。 （2）P：我看书，Q：我听音乐。原命题可符号化：P∧Q。 （3）P：老张是球迷，Q：老李是球迷。原命题可符号化：P∧Q。 （4）P：努力学习，Q：成绩会好。原命题可符号化：P→Q。 （5）P：休息好，Q：工作好。原命题可符号化：Q→P。 （6）P：a 是偶数，Q：b 是偶数，R：a+b 是偶数。原命题可符号化：（P∧Q）→R。 （7）P：我们游泳，Q：我们跑步。原命题可符号化：┐（P∧Q）。 （8）P：我反悔，Q：太阳从西边出来。原命题可符号化：P→Q。 （9）P：f(x)在点x0处可导， Q：f(x)在点x0处可微。原命题可符号化：P→ ←Q。 （10）P：张老师讲这门课，Q：李老师讲这门课，R：王老师讲这门课。原命题可符号化： （┐P∧┐Q）→R。 （11）P：四边形 ABCD 是平行四边形，Q：四边形 ABCD 的对边平行。原命题可符号化： P→ ←Q。 （12）P：你给我写信，Q：信在途中丢失了。原命题可符号化：┐P← ∣ →（P∧Q）。 4. 判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。 （1）(Q→R∧S) （2）(P→←(R→S)) （3）((┐P→Q) →(Q→P))) （4）(RS→F) （5）((P→(Q→R))→((P→Q) →(P→R))) 解： （1）、（2）、（5）是合式公式，（3）、（4）不是合式公式。 5. 否定下列命题： （1） 桂林处处山清水秀。 （2） 每一个自然数都是偶数。 解： （1）桂林并非处处山清水秀。 （2）并不是每一个自然数都是偶数。或：有些自然数不是偶数。 6. 给出下述每一个命题的逆命题、否命题和逆否命题。 （1） 如果天下雨，我将不去。 （2） 仅当你去我才不去。 （3） 如果Δ=b2−4ac<0，则方程ax2+bx+c=0无实数解。 （4） 如果我不获得奖学金，我就不能完成学业。 解： （1）逆命题：如果我不去，那么天下雨。
离散数学第一章
例2： “派小王或小李中的一人去开会” 不能符号化为形式P∨Q ，因为这里的“或”表示 的是排斥或。它表示非此即彼，不可兼得。 运算符 ∨表示可兼或，排斥或以后用另一符号表达。也可
以借助于联结词
或。
┒、∧ 、∨共同来表达这种排斥
课堂练习： 将下列命题符号化: (1) 王东梅学过日语或俄语。 (2) 张小燕生于1977年或1978年。 (3) 小元元只能拿一个苹果或一个梨。
常称为“非”运算，所有可能的运算结果可用下表
（真值表）表示。
P
┒P
T F
F T
例: (a) P: 3是偶数。
则┑P： 3不是偶数。
(b)
的”。 (c) (d)
Q: 4 是质数。
则┑Q： 4 不是质数。或 “说4 是质数是不对 R: 我们都是汉族人。 则┒R: 我们不都是汉族人。 S: 今天下雨并且今天下雪。 则 ┒S:今天不下雨或者今天不下雪。
Q：明天下雨
是两个命题，利用联结词“不”、“并且”、 “或” 等可分别构成新命题： “明天不下雪”； “明天下雪并且明天下雨”； “明天下雪或者明天下雨”等。
即 ： “非P”；
“P并且Q”；
“P或Q”等。 在代数式x+3 中， x 、 3 叫运算对象， +叫运 算符，x+3 表示运算结果。在命题演算中， 也用同样术语。 联结词就是命题演算中的运算符，叫逻辑运算符或叫命题联 结词。常用的命题联结主要有 5 个。
2.常用命题联结词 1）. 否定词┑ 定义：设P为任一命题。复合命题“非P”(或“P的 否定”)称为P的否定，记作 ┑P，读作“非P”。┒ 为否定联结词。┑P为真当且仅当P为假。 由定义可知， ┑P 的逻辑关系为P不成立，因而P
离散数学课件 第一章
主讲教师 李红军 北京林业大学 理学院
BEIJING FOREST UNIVERSITY
教材及参考资料
教材：
1耿素云，屈婉玲，张立昂编著，离散数学，清华大学出版 社, 2008年3月（第4版） 2耿素云,屈婉玲编著.离散数学(修订版).高等教育出版社, 2004年
参考资料：
1 左孝凌编著，离散数学，上海科学技术出版社
1.1 命题与联结词 命题：能判断真假而不是可真可假的陈述句。 命题的真值：命题为真或者假的判断。 真命题：真值为真的命题。 假命题：真值为假的命题。 注：任何命题的真值都是惟一的；
用“1”表示真，用“0”表示假。
例 1.1 ：判断下列句子哪些是命题.
(1)
3 是有理数。
(2) 2是素数。 (3) X＋Y>10。
1 3
m z 1 r m 1
z m 1
1 2
1
3
比赛结束，三位观众各猜对了一半，并且没有并列名次.问：中 国、美国、日本的各排名第几？ 设z1:中国第一;z2 :中国第三；r1:日本第一； m1:美国第一；m2:美国第二； m3:美国第三.
例1的参考答案 m1 z3 1 r1 m3 1 z1 m2 1
对偶原理
A和A*是互为对偶式，P1， P2 ，……Pn是出现在A和A*的原子变元，则 A（P1，…，Pn） A*（ P1，…， Pn） A（ P1，…， Pn） A*（P1，…，Pn）
即公式的否定等值于其变元否定的对偶式。 例：A为PQ，则A*为PQ， 则（PQ） PQ
真值表
将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表
试考虑求公式A的真值表的步骤？ 例1 求下列公式的真值表，并求出成真赋值和成假赋值. 1) p(¬ r∧q) 2) (p∨q)(¬ p q)
离散数学题型梳理-第1章
离散数学常考题型梳理第1章 集合及其运算一、题型分析本章主要介绍集合论的基本概念和结论，集合的运算及其性质，以及利用运算性质进行集合表达式的化简和集合恒等式的证明等内容．经常涉及到的题型有：1-1集合与集合之间的包含、元素与集合之间的属于关系1-2幂集的计算1-3集合之间的运算1-4利用集合运算性质证明集合恒等式因此，在本章学习过程中希望大家要清楚地知道：1．集合与集合之间存在一种包含关系，当两个集合A 和B 存在关系A 包含B ，用A ⊇B 表示，或存在关系B 被A 包含，用B ⊆A 表示，这时称B 为A 的子集．注意空集∅是任意一个集合的子集，集合A 也是自己的子集．当B ⊆A 且B ≠A ，也就是说，只有B ⊂A 或A ⊃B 成立，则称B 为A 的真子集．若B 不是A 的子集，即B ⊆A 不成立时，则称A 不包含B ，记作B ⊆A ．然而，元素与集合之间存在一种从属关系，当a 是集合A 中的元素，则称a 属于A ，记作a∈A ；若a 不是集合A 中的元素，则称a 不属于A ，记作a ∉A ．因此，这两种关系一定不要混淆．2．由集合A 的所有子集组成的集合，称为A 的幂集，记作P (A )或2A ．若集合A 是由n 个元素所组成的集合，则A 的幂集由2n 元素组成．当n =3时，A 的幂集由23=8个元素组成．例如，设集合A = {0, 1, 2 }，则A 的全部子集由以下子集组成：0元子集（即空集）：∅；1元子集：{0}，{1}，{2}；2元子集：{0, 1}，{0, 2}，{1, 2}；3元子集（即集合A ）：{0, 1, 2}．因此，计算集合A 的幂集时，首先要按照上述方法写出集合A 的全部子集，然后检验写出的子集个数是否等于2n 个，其中n 是集合A 的元素个数．3．集合之间的运算有并（⋃）、交（⋂）、差（-）、补（~）和对称差（⊕）等五种运算，在做集合运算的题目时，一定要按照它们的定义进行计算．(1) 集合A 和B 的并集A B x x A ⋃=∈{或 x B ∈} 特点：由集合A 和B 的所有元素组成的集合．见图1 图1 图2(2) 集合A 和B 的交集A B x x A ⋂=∈{ 且 x B ∈}特点：由集合A 和B 的公共元素组成的集合．见图2(3) 集合A 与B 的差集A B -=∈∉{}x x A x B 且 特点：由属于A ，而不属于B 的所有元素组成的集合．见图3(4) 集合A 的补集~A ={}x x E x A ∈∉且特点：由属于全集E 但不属于集合A 的元素组成的集合．见图4补集总相对于一个全集而言，可以看作是全集E 与集合A 的差集．(5) 集合A 与B 的对称差A ⊕B ＝(A －B )⋃(B －A )或 A ⊕B ＝(A ⋃B )－(A ⋂B )特点：由分别属于集合A 与B 的元素但不属于它们公共元素组成的集合．见图5(6) 把集合A ，B 合成集合A ×B 叫做笛卡儿积，规定A ×B ＝{<x , y >∣x ∈A 且y ∈B }注意：由于有序对<x , y >中x ，y 的位置是确定的，因此A ×B 的记法也是确定的，不能写成B ×A.．笛卡儿积的运算一般不能交换.．虽然，笛卡儿积的内容是第2章2.1.1目的内容，是二元关系的预备知识，但我们认为把它作为集合的一种运算考虑更好些。
离散数学(第二版) (1)
所示。
表1.1.4
第1章 命题逻辑
第1章 命题逻辑 5. 双条件联结词
定义1.1.6 如果 P和Q是命题， 那么“P当且仅当 Q” 是一个复合命题， 记做 P Q， 称为P和Q的双条件命题
表1.1.1
第1章 命题逻辑
第1章 命题逻辑
2. 合取联结词
定义1.1.3 如果 P和Q是命题， 那么“P并且Q”是一个 复合命题， 记做P∧Q， 称为P和Q 的合取(conjunction)。 符号∧用于表示合取联结词。 P∧Q 为T， 当且仅当P、 Q
均为T。 “∧”是一个二元运算符。 合取联结词∧的定义如表
第1章 命题逻辑
定义1.1.1 一个具有真或假但不能两者都是的断言称为 命题。
如果一个命题所表达的判断为真， 则称其真值(truth value)为“真”， 用大写字母T或数字1表示； 如果一个命题 所表达的判断为假， 则称其真值为“假”， 用大写字母F或 数字0表示。 为简便起见， 本书在构建真值表时一般用0表示 “假”， 用1表示“真”。
(biconditional proposition)。
词。 P Q为T， 当且仅当 P和Q 的真值相同。
1.1.5所示。
表1.1.5
第1章 命题逻辑
第1章 命题逻辑
1.2 命 题 公 式
1.2.1 命题公式及其符号化
定义1.2.1 用于代表取值为真(T、 1)或假(F、 0)之一 的变量， 称为命题变元， 通常用大写字母或带下标或上标的
大写字母表示， 如 P、 Q、 R、 P1、 P2等。 将T和F称为命
离散数学第一章
第一部分数理逻辑先看著名物理学家爱因斯坦出过的一道题：一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商，有两人前来应聘，这个商人为了试试哪个更聪明些，就把两个人带进一间漆黑的屋子里，他打开灯后说：“这张桌子上有五顶帽子，两顶是红色的，三顶是黑色的，现在，我把灯关掉，而且把帽子摆的位置弄乱，然后我们三个人每人摸一顶帽子戴在自己头上，在我开灯后，请你们尽快说出自己头上戴的帽子是什么颜色的。
”说完后，商人将电灯关掉，然后三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下的两顶帽子藏了起来，接着把灯打开。
这时，那两个应试者看到商人头上戴的是一顶红帽子，其中一个人便喊道：“我戴的是黑帽子。
”请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的呢？要回答这样的问题，实际上就是看由一些诸如“商人戴的是红帽子”这样的前提能否推出“猜出答案的应试者戴的是黑帽子”这样的结论来。
这又需要经历如下过程：(1) 什么是前提？有哪些前提？(2) 结论是什么？(3) 根据什么进行推理？(4) 怎么进行推理？下面的第一章，第二章回答第一个问题。
第三章回答第二、三个问题。
下图给出了逻辑部分的知识体系。
1.1 命题与联结词一、命题的概念引言中的例子就是要对“我戴的是黑帽子”进行判断。
这样的陈述句称为命题。
作为命题的陈述句所表达的判断结果称为命题的真值，真值只取两个值：真或假。
真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。
真命题表达的判断正确，假命题表达的判断错误。
任何命题的真值都是唯一的。
判断给定句子是否为命题，应该分两步：首先判定它是否为陈述句，其次判断它是否有唯一的真值。
例1.1 判断下列句子是否为命题。
(1) 4是素数。
(2) 是无理数。
(3) x大于y。
(4) 月球上有冰。
(5) 2100年元旦是晴天。
(6) π大于吗？ (7) 请不要吸烟！ (8)这朵花真美丽啊！ (9) 我正在说假话。
解:本题的(9)个句子中，(6)是疑问句，(7)是祈使句，(8)是感叹句，因而这3个句子都不是命题。
离散数学(第1次)
第1次作业一、单项选择题（本大题共30分，共15小题，每小题2分）1.A.4B.5C.6D.32.在完全m叉树中，若树叶数为t，分枝点数为i，则有（）A.（m-1）i<t-1B.(m-1)i>t-12C.(m-1)i=t-1D.（m-1）i <t -13.命题a）：如果天下雨，我不去。
写出命题a）的逆换式______________A.如果我不去，天下雨。
B.如果我去，天下雨。
C.如果天下雨，我去。
D.如果天不下雨，我去。
4. 设无向图中有6条边，3度与5度顶点各1个，其余顶点都是2度点, 问该图有多少个顶点（）A.B.C.42D.65. 假设A={a,b,c,d}, 考虑子集S={{a,b},{b,c},{d}} ，则下列选项正确的是( )。
A.S 是A 的覆盖B.S是A的划分C.S既不是划分也不是覆盖D.以上选项都不正确6. 没有不犯错误的人。
M(x): x为人。
F(x): x犯错误。
则命题可表示为( )。
A.(? x)(M(x) —F(x)B.(? x)(M(x) ? F(x)C.(? x) (M(x) ? F(x))D.(? x)(M(x) —F(x)7. 命题逻辑演绎的CP规则为()A.在推演过程中可随便使用前提B.在推演过程中可随便使用前面演绎出的某些公式的逻辑结果C.如果要演绎出的公式为B—C形式，那么将B作为前提，演绎出CD.设？ (A)是含公式A的命题公式，B<=>A则可以用B替换？ (A)中的A8. 设G是有6个结点的完全图，从G中删去()条边，则得到树。
A.6B.9C.159. 设A B两个集合，当（）时A-B=B10A.A=BB.A? BC.B? AD.A=B=?10. 设U={1，2，3，4，5} ，A={2，4} ，B={4，3，5} ，C={2，5，3} ，确定集合（A-C）-B = （）。
A.{1,4}B.{2,3,4,5}C.{4}D.11.下图的最小生成树的权为（）A.40B.44C.48D.5212.对偶式为P T Q表达式是_______________A.P A QB.P J QC.P V QD.i Q13. 下列语句是命题，并且真值为0 的是()A. 雪式白的。
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第1次作业一、单项选择题（本大题共30分，共 15 小题，每小题 2 分）1.图G所示平面图deg(R3)为A.4B.5C.6D.32. 在完全m叉树中，若树叶数为t，分枝点数为i，则有（）。
A.(m-1)i<t-1B.(m-1)i>t-1C.(m-1)i=t-1D.(m-1)i≤t-13.命题a）：如果天下雨，我不去。
写出命题a）的逆换式。
A.如果我不去，天下雨。
B.如果我去，天下雨。
C.如果天下雨，我去。
D.如果天不下雨，我去。
4. 设无向图中有6条边，3度与5度顶点各1个，其余顶点都是2度点，问该图有多少个顶点（）A.5B.4C.2D.65. 假设A={a,b,c,d},考虑子集S={{a,b},{b,c},{d}}，则下列选项正确的是（）。
A.S是A的覆盖B.S是A的划分C.S既不是划分也不是覆盖D.以上选项都不正确6. 没有不犯错误的人。
M(x)：x为人。
F（x）：x犯错误。
则命题可表示为（）。
A.(∀x)(M(x)→F(x)B.(∃x)(M(x)⋀F(x)C.（∀x）(M(x)⋀F(x))D.(∃x)(M(x)→F(x)7. 命题逻辑演绎的CP规则为（）A.在推演过程中可随便使用前提B.在推演过程中可随便使用前面演绎出的某些公式的逻辑结果C.如果要演绎出的公式为B→C形式，那么将B作为前提，演绎出CD.设∅(A)是含公式A的命题公式，B<=>A，则可以用B替换∅(A)中的A8. 设G是有6个结点的完全图，从G中删去（）条边，则得到树。
A.6B.9C.10D.159. 设A、B两个集合，当（）时A-B=B。
A.A=BB.A⊆BC.B⊆AD.A=B=ϕ10. 设U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={4，3，5}，C={2，5，3}，确定集合(A-C)-B = （）。
A.{1,4}B.{2,3,4,5}C.{4}D.ϕ11. 下图的最小生成树的权为（）。
A.40B.44C.48D.5212.对偶式为P↑Q表达式是。
A.P∧QB.P↓QC.P∨QD.P→Q13. 下列语句是命题，并且真值为0的是（）A. 雪式白的。
B.1+2>4。
C.天气真好啊！D.我正在说谎。
14. 如果有限个数的乘积为零，那么至少有一个因子等于零。
N(x)：x是有限个数的乘积。
Z(y)：y为0。
P（x）：x的乘积为0 。
F（y）：y为乘积中的一个因子则命题可表示为（）。
A.(∃x)(N(x)→P(x)∧(∃y)(F(y)⋀(Z(y)))B.(∃x)(N(x)⋀P(x))→(∃y)(F(y)⋀(Z(y)))C.(∃x)(N(x)→P(x)∧(∃y)(F(y)→(Z(y)))D.(∀x)(N(x)→P(x)∧(∃y)(F(y)⋀(Z(y)))15. 设A、B、C是任意集合，判断下述论断是否正确，并将正确的题号填入括号内（）。
A.若A∪B=A∪C，则 B=CB.若A∩B=A∩C ，则 B=CC.若A-B=A-C，则 B=CD.若∼A=∼B，则 A=B二、多项选择题（本大题共20分，共 5 小题，每小题 4 分）1.两个命题变元P和Q生成的4个小项为：。
A.P∧QB.┐P∧QC.P∧┐QD.┐P∧┐Q2.下图是（）。
A.是强连通的B.是弱连通的C.是单侧连通的D.是不连通的3.下列说法正确的是（）A.设<Z,+>是整数加法群，令f: n→-n,∀ n∈Z，则f是Z的一个自同构映射。
B.设G是一个Abel群，令 f: a〖→a〗^(-1) (∀ a∈G)，则f是G的一个自同构映射。
C.设<R^ ,∙>是实数乘法群，<R,+>是实数加法群，令f: x→5x，则f是R 的一个满同态映射D.A、B、C都是正确的。
4.函数f：R×R→R×R,f(<x，y>)=<x+y，x-y>是( )函数。
A.入射B.满射C.双射D.以上答案都不对5.设A={1,2,3}，则集合A上的关系R={<1,1>,<1,3>,<2,1>,<2,3>}是（）关系；A.自反B.反自反C.不是自反D.不是反自反三、判断题（本大题共20分，共 10 小题，每小题 2 分）1. 判断对错：集合{2,3,4，•••}是无限集（）。
2. 设G是一个联结词的集合，若任意一个命题公式都可用G中联结词构成的公式来表示，则称G为最小联结词组。
3. 公式∀xP(x)→∃yQ(x,y)的前束范式是∀x∀y(P(x)→Q(x,y)。
4. 判断对错。
一个谓词公式wff A,如果在一种赋值下为假，则称该wff A 为不可满足的。
5. 下图中（c）和（d）是根树6. 设f∶{x,y}→{1,3,5} 定义为f(x)=1,f(y)=5，则这个函数是入射函数。
7. 设集合A={216，243，357，648}.定义A上的关系 R={〈x,y〉|x,y∈A，且x与y中至少有一个相同数字}。
则R是A上的一个相容关系，R 不是等价关系。
8. 自反（对称、传递）闭包是包含R的最小自反（对称、传递）关系。
（）9. 设X={1,2,3,4},Y={1,2,3,4,5},Z={1,2,3}, f:X→Y,f={,,,},g:Y→Z,g={,,,,}，则g°f={,,,}。
10. 设R是由A={1,2,3,4} 到B={2,3,4} 的关系，S是由B到C={3,5,6}的关系，分别定义为：R={│a+b=6}={,,} S={│b整除c}={,,} 于是复合关系R°S={,,}。
四、计算题（本大题共20分，共 4 小题，每小题 5 分）1.设f,g均为实函数，f(x)=2x+1 , g(x)=x^2+1。
求f°g , g°f , f°f , g°g 。
2.设集合A={1,2,3,4}，A上的二元关系R={(x,y)|x,y∈A,且x≥y},求R的关系图与关系矩阵3.试将公式P∧（P→Q）化为析取范式和合取范式：4.设全集合E={a，b，c，d，e}，A={a，d}，B={a，b，e}，C={b，d}，求下列集合：(1)A∩～B；（2）（A∩B）∪～C；（3）～A∪（B－C）；（4）ρ(A)∩ρ(B)五、证明题（本大题共10分，共 2 小题，每小题 5 分）1.符号化下列命题并推证其结论：科学家都是勤奋的。
每个勤奋又身体健康的人在事业中都会获得成功。
存在着身体健康的科学家。
所以存在着事业获得成功的人或事业半途而废的人。
2.设整数集Z上的二元关系R定义如下：R={<x,y>|x,y∈Z,(x-y)/2是整数，证明R在Z上是自反的。
答案：一、单项选择题（30分，共 15 题，每小题 2 分）1. B2. C3. A4. B5. A6. A7. C8. C9. D 10. D 11. C 12. B 13.B 14. B 15. D二、多项选择题（20分，共 5 题，每小题 4 分）1. ABCD2. BC3. AB4. ABC5. CD三、判断题（20分，共 10 题，每小题 2 分）1. √2. ×3. ×4. ×5. √6. √7. √8. √9. √ 10. √四、计算题（20分，共 4 题，每小题 5 分）1.参考答案：f°g(x)=2(x^2+1)=2x^2+3g°f(x)=〖(x^2+1)〗^2+1=4x^2+4x+2f°f(x)=2(2x+1)+1=4x+3g°g(x)=〖(x^2+1)〗^2+1=x^4+2x^2+2所以f°g={<x,2x^2+3>|x∈R}g°f={<x,4x^2+4x+2>|x∈Rf°f={<x,4x+3>│x∈R}g°g={<x,x^4+2x^2+2>|x∈R}解题方案：评分标准：2.参考答案：R={(x,y)│x,y∈A,且x≥y}={(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(2,2),(3,2),(4,2),(3,3),(4,3),(4,4) R的关系图如图3-1所示。
解题方案：评分标准：3.参考答案：┐（P∨Q）↔（P∧Q）=(﹁（P∨Q）→（P∧Q）)∧(（P∧Q）→┐（P∨Q）)(等值律)=(（P∨Q）∨（P∧Q）) ∧(┐（P∧Q）∨┐（P∨Q）) (蕴涵律) =（P∨Q）∧(┐P∨┐Q) (分配律) 合取范式=(┐P∨P) ∨(┐P∨Q)∨(┐Q∧P)∨(┐Q∧Q) (分配律)析取范式解题方案：评分标准：4.参考答案：（1）A∩～B={a，d}∩{c，d}={d}.(2) （A∩B）∪～C={a}∪{a,c,e}={a,c,e}.（3）～A∪（B－C）={b,c,e}∪{a,e}={a,b,c,e}.（4）ρ(A)={ϕ,{a},{d},{a,d}}.ρ(B)={ϕ,{a},{b},{e},{a,b},{a,e},{b,e},{a,b,e}}故ρ(A)∩ρ(B)={ϕ,{a}}解题方案：评分标准：五、证明题（10分，共 2 题，每小题 5 分）1.参考答案：解题方案：评分标准：2.参考答案：证明: ∀x∈Z,(x-x)/2=0,，即<x,x>∈R，故R是自反的。
解题方案：评分标准：。