元胞自动机方法及其在材料介观模拟中的应用

1元胞自动机方法及其在材料介观模拟中的应用何燕，张立文，牛静大连理工大学材料系（１１６０２３）　E-mail ：　commat ＠ 摘　要：元胞自动机（ＣＡ）是复杂体系的一种理想化模型，适合于处理难以用数学公式定量描述的复杂动态物理体系问题，如材料的组织演变等。

本文概述了元胞自动机方法的基本思想及原理，介绍了ＣＡ的基本组成及特征，综述了ＣＡ方法在材料介观模拟研究中的应用。

研究表明ＣＡ法在对金属凝固结晶、再结晶、及相变现象等材料介观尺度的组织模拟中表现出特有的优越性。

　关键词：元胞自动机，组织演变，介观模拟，动态再结晶１．　引　言　自２０世纪计算机问世以来，用计算机建立模型来模拟材料行为的方法在材料设计中的应用越来越广泛，此方法既可节省大量的人力物力和实验资金，又能为实验提供巨大的灵活性和方便性，因而已经引起了各界科学家的高度重视和极大兴趣。

计算机对材料行为的模拟主要有三个方面：材料微观行为、介观行为和宏观行为的模拟。

材料的微观行为是指在电子、原子尺度上的材料行为，如模拟离子实（原子）体系行为，在这方面主要应用分子动力学、分子力学等理论方法；材料的介观行为是指材料显微组织结构的转变，包括金属凝固结晶、再结晶及相变过程，在这方面的模拟主要应用Ｍｏｎｔｅ　Ｃａｒｌｏ（ＭＣ）方法和Ｃｅｌｌｕｌａｒ　Ａｕｔｏｍａｔａ（ＣＡ）方法；材料的宏观行为主要指材料加工方面，如材料加工中的塑性变形，应力应变场及温度场的变化等，在这方面的模拟工作主要应用大型有限元软件Ｍａｒｃ，　Ａｎｓｙｓ等。

大量实验研究表明，材料的微观组织结构决定了其宏观行为及特征。

因此，对材料介观行为的模拟显得尤为重要。

传统的数学建模方法是建立描述体系行为的偏微分方程，它依赖于对体系的成熟定量理论，而对大多数体系来说这种理论是缺乏的；从微观入手的Ｍｏｎｔｅ　Ｃａｒｌｏ方法主要依赖于体系内部自由能的计算，由于其运算量大，需要大量的数据，运算速度慢，为模拟工作带来了诸多不便；而ＣＡ方法则另辟蹊径，通过直接考察体系的局部相互作用，再借助计算机模拟这种作用导致的总体行为，从而得到其组态变化，并体现出宏观上的金属性能。

由于ＣＡ的结构简单，便于计算，允许考虑数量极大的元胞，并且在空间和时间的尺度上都不受限制，出于以上特点，元胞自动机方法已经受到越来越多研究工作者的青睐。

本文概述了元胞自动机方法的基本思想及原理，介绍了ＣＡ的基本组成及特征，对ＣＡ法在模拟介观组织行为方面的应用进行了综述。

　２．　ＣＡ法的基本思想及原理　元胞自动机是一种用来描述复杂系统在离散空间－时间上演化规律的数学算法［１］。

它是由大量简单的，具有局域相互作用的“元件”所构成。

利用ＣＡ很容易描写单元间的相互作用，不需要建立和求解复杂的微分方程（只要确定简单的单元演化规则即可）。

在一个元胞自动机模型中，体系被分解成有限个元胞，同时把时间离散化为一定间隔的步，每个元胞的所有可能的状态也划分为有限个分立的状态。

元胞在某一时间步的状态转变由一定的演化规则来决定，并且这种转变是随时间不断地对体系各元胞同步进行的。

元胞的状态受其邻居元胞状态的影响，同时也影响着邻居元胞的状态。

局部之间相互作用，相互影响，通过一定的规则变化而整合成一总体行为。

以简单离散的元胞来考察复杂体系，这是很有用的思想方法。

　３．　ＣＡ方法的产生和发展　元胞自动机（Ｃｅｌｌｕｌａｒ　Ａｕｔｏｍａｔａ）是一种时间、空间、状态都离散，空间上相互作用及时间上的因果关系皆局部的网格动力学模型。

这一思想最早由计算机创始人，著名数学家Ｖ．　Ｎｅｕｍａｎｎ提出，应用于生物体发育中细胞的自我复制［２］。

１９７０年，剑桥大学的Ｊ．　Ｈ．　Ｃｏｎｗａｙ［３］利用元胞自动机法编制了一个名为“生命”的游戏程序，并由Ｍ．　Ｇａｒｄｎｅｒ通过《科学美国人》介绍到全世界。

该游戏通过几条简单“生死”规则的组合，细胞在网格中就可以出现无法预测的延伸、变形、停止和周期性变化的复杂模式。

这种意想不到的结果吸引了大批计算机科学家研究“生命”程序的特点，最终证明这个程序与Ｔｕｒｉｎｇ机等价，也就是说给定适当的初始条件，“生命”模型可以模拟任何一种计算机。

　２０世纪８０年代，物理学家、计算机科学家对元胞自动机模型的兴趣大增。

Ｓ．　Ｗｏｌｆｒａｍ［４，５］对ＣＡ的贡献很大，他引入动力系统的思想理论和研究方法，对元胞自动机进行了系统的研究，用熵来描述其演化行为，并将元胞自动机按动力学行为分为平稳型、周期型、混沌型和复杂型，分别对应于人们已经熟悉的不动点、周期行为、混沌状态和自组织现象。

　１９８６年，Ｕ．　Ｆｒｉｓｈ［６］等人发表了《代替Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｃｋｓ方程的格子气自动机》，这种计算机比常见的Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｃｋｓ　（Ｎ－Ｓ）方程数值法快得多，开辟了流体力学的一个全新领域。

随后Ｌ．　Ｏ．　Ｃｈｕａｎ［７，８］将ＣＡ引入神经网络，建立细胞神经网络模型。

另外，由于元胞自动机的运算每次不涉及全局的状态，专家们正在考虑按照这种思想设计新一代的计算机，采用大规模并行结构（ｍａｓｓｉｖｅｌｙ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ａｒｃｈｉｔｅｃｈｔｕｒｅ），最终目的是以较小的代价达到超级计算机的能力。

　近十几年来，ＣＡ法引起了各界科学家的极大兴趣，在许多领域得到应用，如：生物学、人口学、地理学、交通学、金属材料学等。

ＣＡ法在金属学中的应用将在本文后面部分详细阐述。

　23４．　ＣＡ的基本组成及特征　元胞自动机的类型按维数可以分为一维、二维、三维或高维，但对于大多数实际问题的模拟，应用最多的是二维和三维，下面以二维元胞自动机为例来介绍ＣＡ的基本组成。

　二维元胞自动机中，点阵网格可划分为三角形、四方形和六边形。

四方形网格由于易于描述和显示并很容易推广到三维甚至更高的维数上去而被大多数人采用。

在四方形网格中一般应用两种邻居关系：ａ）．　Ｖ．　Ｎｅｕｍａｎｎ型邻居（如图１ａ），包括４个最近邻元胞；ｂ）．　Ｍｏｏｒｅ型邻居（如图１ｂ），除了最近邻的４个元胞还包括４个对角位置的次近邻元胞。

各个元胞状态的确定相应于Ｖ．　Ｎｅｕｍａｎｎ　型邻居可以由下式描述：　),,,,(1,1,,,1,1,t j i t j i t j i t j i t j i t t j i X X X X X f X −−+−∆+=　其中t j i,X 代表元胞ｉ，　ｊ在ｔ时刻的状态，式中f 是状态转变函数即演化规则。

自动机世界之所以多种多样，根源在于作用于元胞邻域的决定元胞状态转变的演化规则多种多样。

它的确定依赖于对系统宏观过程和真实物理机制的定性了解。

　 元胞自动机的边界条件有三种定义：定值型边界、映射型边界和周期型边界。

当要模拟无限大的区域时，采用周期型边界。

其初始条件可以是确定的也可以是随机产生的，根据所模拟的物理体系而确定。

元胞自动机的局部规则中没有规定一个元胞或一个时间步的标度，因此其在空间和时间的尺度上都是任意的。

在微观层次上，元胞自动机可看成为一个离散的动力学系统，具有以下基本特征：　（１）　齐性：元胞均匀排列于离散的格点上，元胞的分布、大小、形状均相同；　（２）　离散性：空间离散、时间离散、元胞的状态值也是离散的，并且元胞的状态值只能取有限个离散值；　（３）　同质性：每个元胞的变化都服从相同的规则，即转换函数；　（４）　计算的同步性（并行性）：各个元胞在ｔ＋１时刻状态的变化是独立行为，特别适合于并行计算；　a) V. Neumann 型邻居 b) Moore 型邻居图1 元胞自动机的邻居类型（５）　相互作用的局部性：每个元胞状态的演化规则是局部的，仅同周围的邻居元胞状态有关。

５．　ＣＡ法在介观组织模拟中的应用　材料科学的基本问题之一便是材料的显微组织形态及其演变规律。

对于这类复杂的，动态的，带有随机性的问题一直都缺乏定量的数学描述，元胞自动机方法在这方面的长处显得尤为突出。

从８０年代开始Ｒａｐｐａｚ和Ｂｒｏｗｎ等人相继对金属凝固中结晶组织的形成用元胞自动机方法进行了模拟研究，随后涌现了更多的材料组织演变模型，所涉及的过程包括凝固，共晶生长，再结晶，晶粒长大和相沉淀析出等，这类元胞自动机中一般都在其状态演变规则中引入随机性以便更真实的反映材料的内部过程，它们常常被称为随机元胞自动机。

　5.1 凝固结晶元胞自动机方法在材料领域的应用最早出现在凝固结晶方面，这也是目前元胞自动机应用最为广泛的一个方面。

Ｐａｃｋａｒｄ［９］建立了第一个枝晶生长的二维元胞自动机模型，并由此引出了许多对凝固枝晶的元胞自动机模拟研究［１０￣１３］。

这些枝晶生长的模型，同时考虑了曲率、热扩散和潜热等效应，并从不同的侧面反映出枝晶生长的一些现象及不同因素对它的影响，第一次考察了枝晶生长的动力学特征。

Ｂｒｏｗｎ进一步考察了不同过冷度对枝晶形态的影响［１２，１３］，结果观察到随过冷度的降低，生长形态变得更加球形化，枝晶的尖端出现明显的分叉，过冷度继续降低，则侧枝的形成数目减少且朝主轴方向生长。

　这类元胞自动机模型也运用到凝固中的耦合生长现象，如共晶生长［１４］，Ｂｒｏｗｎ在这里考虑了过程中不同组元的再分布，尽管没有考虑潜热和热传导等效应，模拟结果仍再现了共晶生长产生的层状共晶组织特征，在偏共晶成分合金凝固生长中，仍可发现枝晶结构。

Ｂｒｏｗｎ还进一步地把元胞自动机与有限差分法结合起来，建立了三维的元胞自动机有限差分模型来模拟两相的耦合生长［１５］，它用有限差分法来描述溶质在界面处的扩散行为，用元胞自动机规则来描述晶粒生长，他把此模型应用到真实的共晶系Ｐｂ－Ｓｎ的凝固中，得到了固液界面移动的距离随时间的变化及相的片间距等定量的结果。

　瑞士联邦工学院的Ｒａｐｐａｚ教授和Ｇａｎｄｉｎ等人［１６，１７］建立了另一类随机元胞自动机模型来模拟凝固结晶中晶粒结构的形成，他们把晶粒的形核与长大的物理机制引入到模型中，考察了晶粒在模具壁或晶体的体积中的不均匀连续形核、晶核的晶体学位向关系以及枝晶尖端生长的动力学，成功地预测从柱状晶到等轴晶的转变并得到了实验验证。

随后，他们把这类元胞自动机模型与有限元方法耦合起来建立了宏观—微观的元胞自动机模型（ＦＥ－ＣＡ偶合模型），通过有限元方法来计算宏观的热流量，从而实现了对不均匀的二维温度场中凝固过程的晶粒组织的模拟研究。

　李殿中等人用元胞自动机方法模拟了金属成型过程中的组织演变［１８］，他们结合金属凝固45过程和热成形过程的温度场、浓度场、应力应变场的数值模拟和金属结晶、再结晶过程中的热力学、动力学条件，建立了金属成型过程组织演变的宏—微观耦合模型。

魏秀琴，周浪针对电渣熔铸过程建立了一种特殊边界条件的元胞自动机模型，在此基础上实现了凝固结晶的元胞自动机模拟［１９］。

随后张林［２０］等建立了Ｎｉ基耐热合金凝固的元胞自动机模型，并利用这个模型模拟了凝固过程中不同冷却速率下晶粒微观结构的演化。