概率论与数理统计第五章 大数定律及中心极限定理
概率论与数理统计第五章 大数定律及中心极限定理
在100次炮击中炮弹命中的总颗数
100
X = ∑ Xk k =1
相互独立地服从同一分布，
E(Xk)=2, D(Xk)=1.52 (k=1,2,…,100)
随机变量
∑ 1
100 × 1.5
100 k =1
(
X
k
−
2)
=
1 15
(
X
−
200)
2. 伯努利定理 事件发生的频率依概率收敛于事件的概率
3. 辛钦定理 （随机变量序列独立同分布且数学期望存在）
n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算术 平均值的数学期望。
给出了“频率稳定性”的严格数学解释. 提供了通过试验来确定事件概率的方法. 是数理统计中参数估计的重要理论依据之一.
§5.2 中心极限定理
望 E( Xk ) = µ (k = 1,2,"),则对于任意ε > 0,有
∑ lim
n→∞
P {|
1 n
n k =1
Xk
−
µ
|<
ε
}
=
1
说明
伯努利大数定理是辛钦定理的特殊情
况。n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算
术平均值的数学期望。
三 小结
1、切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情况 算术平均值依概率收敛于数学期望
= 1 − P { V − 100 ≤ 0.387 } (10 12 ) 20
∫ 0.387
≈ 1−
1
e − t 2 dt
−∞ 2π
= 1 −Φ (0.387) = 0.348
所以 P{V > 105} ≈ 0.348
概率论与数理统计第五章 大数定律及中心极限定理
定理五(李雅普诺夫中心极限定理) 李雅普诺夫
设随机变量 X1, X2 ,, Xn ,相互独立, 它 们具有数学期望 和方差：
E( Xk ) k , D( Xk ) k2 0 (k 1,2,),
n
记
Bn2
2 k
,
k 1
若存在正数 , 使得当 n 时,
1
Bn2
n
E{|
k 1
Xk
k
的 即对于任意正数 ,当n充分大时, 不
意 义
等式 | X | 成立的概率很大.
lim P{| X
n
|
}
lim
n
P
1 n
n k 1
Xk
1.
证明
E
1 n
n k 1
Xk
1 n
n k 1
E(Xk )
1 n
n
,
Dn1
n k 1
Xk
1 n2
n k 1
D( Xk
)
1 n2
n
2
2
n
定理二（伯努利大数定理）
伯努利
设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生 的次数, p 是事件 A 在每次试验中发生的概率,
则对于任意正数 0, 有
lim
n
P
nA n
p
1
或
lim
n
P
nA n
p
0.
证明 引入随机变量
0, 若在第k 次试验中 A 不发生,
Xk
1,
若在第k 次试验中 A 发生, k 1,2,.
,
由切比雪夫不等式可得
P
1 n
n k 1
X
k
概率论与数理统计 第五章
Xn ⎯ ⎯→ X 2. 依概率收敛与依分布收敛的关系
依概率收敛 ⇒ 依分布收敛
L
3. 定义：中心极限定理 设随机变量 X ~ N(0,1)，{Xi }，i = 1, 2, … 相互独 立，且数学期望和方差都存在, 若标准化随机变量序列
∑
n
i =1
Xi −
∑ E(X
i =1
n
i
)
∑
n
i =1
D(X i)
所以结论成立。 由此有，若X ~ B( n, p )，对于足够大的n，有 ⎧ m1 − np X − np m2 − np ⎫ ⎪ ⎪ < ≤ P{m1 < X ≤ m2 }= P ⎨ ⎬ np(1 − p) np(1 − p) ⎪ ⎪ np(1 − p) ⎩ ⎭
⎧ Yn − np ⎫ ⎪ ⎪ ≤ x ⎬ = Φ( x ) lim P ⎨ n →∞ ⎪ np(1 − p ) ⎪ ⎩ ⎭
证明：对于任意正整数n，随机变量Yn 可表示为 证明：对于任意正整数n Yn = X1＋ X2＋…＋ Xn X1, X2,…, Xn 相互独立，Xi ~ B( 1, p )，且有 E( Xi ) = p , D( Xi ) = p(1-p) 所以随机变量序列{ Xi }, i =1,2,…满足独立同分布 中心极限定理条件。即有
切比雪夫不等式的应用 1）估计随机变量落在某个区间内的概率 (P125例5.5.2) 2）估计ε的值, 使 P(│X - E(X)│<ε) ≥ a (0<a<1) 3）证明大数定律。
二. 大数定律 定义： 依概率收敛 设{Xn}是一个随机变量序列，X 是一个随机变量 或常数，若对于任意的ε＞ 0，有 lim P{| X n − X |≥ ε } = 0
概率论与数理统计 第5章 大数定律和中心极限定理
5.1 大 数 定 律 作为上述定理得特殊情况，可以得到如下重要定 理： 定理 5.3 （伯努利大数定律）设 nA 是 n 重伯努利试 验中事件 A 发生的次数， p 是事件 A 在每次试验中 发生的概率，则对于任意正数，有
nA P nA 即 (5.4) p ( n ) limP p 1 n n n
第五章 大数定律和中心极限定理 【吸烟率调查问题】 某卫生组织为确定某城市成年男子的吸烟率p，将 被调查的成年男子中吸烟的频率作为p的估计，现在 要保证有 90% 以上的把握，使得调查对象吸烟者的
频率与该城市成年男子的吸烟率p之间的差异不大于
5%，问至少要调查多少对象？
5.1
大 数定 律
对某个随机变量 X进行大量的重复观测，所得到 的大批观测数据的算术平均值也具有稳定性，由于 这类稳定性都是在对随机变量进行大量重复试验的 条件下呈现出来的，历史上把这种试验次数很大时 出现的规律统称为大数定律．
即对于任意正数，有
1 n limP X i 1 n n i 1
1 n P X (n ) 也即 (5.3) i n i 1 n n 1 1 1 证：因为 E ( X i ) E ( X i ) n n n i 1 n i 1 1 n 1 D( X i ) 2 n i 1 n
nA p 实际上几乎是必定要发生的，即对于给 n
用事件发生的频率来近似地代替事件发生的概率．
5.1 大 数 定 律 上 述 契 比 谢 夫 大 数 定 律 中 要 求 随 机 变 量 X1 ， X2 ， … ， Xn ， … 的方差存在，实际上，在高等概率
论中已经证明了在不要求D(Xi)（i = 1，2，…）存在
概率论与数理统计 第二版 第五章 大数定律及中心极限定理
解 设Xi表示 “装运的第i箱的重量”(单位:千克), n为所n求箱数,则X1, X2,
, X n相互独立同分布, n箱的总重量 T n =X1+X2+ +X n = Xi ,且 E(Xi)=50,
D(Xi)=25, 由林德伯格-列维中心极限定理知
n
i 1
n
P{Tn
5000}=P{
n i 1
Xi
5000
}=P
i
1
Xi 50n
5n
5000
50n
=P
i 1
5n
Xi 5
50n
1000
10n
n
n
( 1000 10n) >
0.977=(2) ,
解得 n < 98.0199 ,
n
所以每辆汽车最多装 98 箱 .
第五章 大数定律及中心极限定理 §5.2 中心极限定理
μ
|
ε}
1,
1 n
lim
n
P{|
n
i 1
Xi
μ|
ε}
0
.
第五章 大数定律及中心极限定理 §5.1 大数定律
例1 (P149例1)设随机变量X1 , X2 , , X n , 相互独立同服从参
数为 2的指数分布, 则当n∞时, Yn =
1 n
n
i 1
X
2 i
依概率收敛于
____
.
解 因为随机变量 X1 , X2 , , X n 相互独立同分布, 所以
定理1 (伯努利大数定律) 设随机变量序列 X1 , X2 , , X n ,
概率论与数理统计第五章大数定律及中心极限定理
概率论与数理统计第五章大数定律及中心极限定理课前导读概率论是研究大量试验后呈现出的统计规律性的一门理论。
数学中研究大量的工具是极限。
因此这一章学习概率论中的极限定理。
第一节大数定律随着试验次数的增大，事件的频率逐步稳定到事件的概率。
意味着随着试验次数的增多，在其中一种收敛意义下，频率的极限是概率。
大数定律解释了这一结论。
首先介绍切比雪夫不等式。
一、切比雪夫(Chebyshev)不等式随机变量X的取值总是围绕着其期望变动，若X的分布已知时，可以计算事件\{，X-E(X)，\geq \epsilon \}的概率。
切比雪夫不等式：对切比雪夫不等式的直观理解：方差越小，X在其期望附近取值的密集程度越高，原理期望的区域的概率上加越小。
进一步说明了方差的概率意义，方差时随机变量取值与其中心位置的偏离程度的一种度量指标。
当随机变量X的分布未知时，可由X的观测数据估计得到X的期望和方差，然后使用切比雪夫不等式估计X关于E(X)的偏离程度。
二、依概率收敛随机变量序列即由随机变量构成的一个序列。
不能用类似定义数列极限的方式定义随机变量序列的极限，因为序列中的每一个元素X_n是随机变量，取值不确定，不可能和一个常数c的距离任意小。
只能说一些事件A发生的频率f_n(A)收敛到A的概率P(A)。
依概率收敛的定义：定理2：三、大数定律三个大数定律：切比雪夫大数定律、辛钦大数定律和伯努利大数定律。
注意这三个大数定律的条件有何异同。
定理3 切比雪夫大数定律：若随机变量序列相互不相关，方差存在且一致有上界，当n充分大时，随机序列的前n项的算术平均值和自身的期望充分接近几乎总是发生的。
定理4 相互独立同分布的大数定律（辛钦大数定律）：辛钦大数定律为算术平均值法则提供了理论依据。
伯努利大数定律：伯努利大数定律是相互独立同分布大数定律的特例，限定分布为两点分布。
伯努利大数定律体现了：随着试验次数的增大，事件的频率逐步稳定到时间的概率，这里的稳定即为依概率收敛。
大学《概率论与数理统计》课件第五章 大数定律与中心极限定理
例5 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间 要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独 立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以 上的概率保证分机用外线时不等待？ 解 设有X 部分机同时使用外线，则有 其中 设有N 条外线.由题意有 由德莫佛-拉普拉斯定理得
第五章 大数定律与中心极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
§5.1 大数定律 一、切比雪夫Chebyshev不等式 二、几个常见的大数定律
定义1 设随机变量序列
在常数 a ，使得对于任意
有:
则称 依概率收敛于a ，记为
，如果存
注意
以概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛弱 一些，它具有某种不确定性.
且
是独立同分布的随机变量. 且
累计误差即总距离误差为1200 X k 近似 N (0,100) k 1
由定理1可得
下面介绍定理1 的特殊情况.
定理2（棣莫佛-拉普拉斯定理（De Moivre-Laplace）
设随机变量 服从参数为
的二项分布
则对任意的x ，有
即 或
证 因为 所以 其中 相互独立，且都服从（0-1）分布。
定理1（独立同分布的中心极限定理）
设
为一列独立同分布的随机变量，
且具有相同的期望和方差
则对任意实数x,有
即
，或
例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命 是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小 时的概率. 解 设第i 只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 由题给条件知，诸Xi 独立，E( Xi ) =100, D( Xi ) =10000 16只元件的寿命的总和为
第五章 大数定律与中心极限定理 《概率论》PPT课件
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
2）中 心极限 定理表明，若 随 机 变 量 序 列
X 1 , X 2 , , X n 独立同分布，且它们的数学期
望及方差存在，则当n充分大时，其和的分布,
n
即 X k 都近似服从正态分布. (注意:不一定是 k 1
标准正态分布）
3）中心定理还表明：无论每一个随机变量 X k ,
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
定理1（Chebyshev切比雪夫大数定律）
假设{ Xn}是两两不相关的随机
变量序列，EXn , DXn , n 1,2, 存在，
其方差一致有界，即 D(Xi) ≤L，
i=1,2, …， 则对任意的ε>0，
lim P{|
n
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
E(Xi ) | } 1.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
现在我们就来研究独立随机变量之和所 特有的规律性问题.
在概率论中，习惯于把和的分布 收敛于正态分布这一类定理都叫做中心 极限定理.
下面给出的独立同分布随机变量序 列的中心极限定理, 也称列维——林德 伯格（Levy－Lindberg）定理.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
大量的随机现象平均结果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
一、大数定律
阐明大量的随机现象平均结果的稳定性的一系
列定理统称为大数定律。
定义1 如果对于任意 0, 当n趋向无穷时，事件
" Xn X " 的概率收敛到1，即
概率论与数理统计第五章大数定律与中心极限定理
由独立同分布中心极限定理
100
P{
i 1
Xi
300}
1
300 100 10 35
7 2
12
精品资料
1 (2.93)
0.9983
2. 德莫佛-拉普拉斯中心极限(jíxiàn)定理(De MoivreLaplace)
设随机变量 n (n=1, 2, ...) 服从(fúcóng)参数为 n, p
由切比雪夫大数定理
n
Xi P
fn
i 1
n
p
精品资料
3. 辛钦大数(dà shù)定律(P108)
若{Xk, k=1.2,...}为独立同分布随机变量序列, EXk= < , k=1, 2, … 则
Yn
1 n
n k 1
Xk
P
推论: 若{Xi, i=1.2,...}为独立同分布随机变量(suí jī biàn liànɡ)序列, E(X1k) < , 则
lim
n
P{|
Xn
X
|
}
1
则称{Xn}依概率收敛于X. 可记为 Xn P X.
精品资料
P
例如 X n a 意思(yì sī) n 时, Xn落在
(lìrú
是: 当
)(:a , a ) 内的概率越来越大. N , n N
Xn
a a a
而 X n a 意思是: 0, N , 当 n N | X n a |
1
n
n i 1
X
k i
P
E
(
X
k 1
)
精品资料
三. 几个(jǐ ɡè)常用的中心极限定理
1. 独立同分布中心极限(jíxiàn)定理(P109)
概率论与数理统计----第五章大数定律及中心极限定理
= 1 − Φ(3.54)
=0.0002
一箱味精净重大于20500的概率为 的概率为0.0002. 一箱味精净重大于 的概率为
推论:
特别，若X～Ｂ（n，p）,则当n充分大时， 特别， ～Ｂ（n 则当n充分大时，
Ｘ～Ｎ（np，npq） Ｘ～Ｎ（np，npq） np
若随机变量Ｘ～Ｂ（ Ｘ～Ｂ（n， ），则对任意实数x有 ），则对任意实数 即 若随机变量Ｘ～Ｂ（ ，p），则对任意实数 有
不等式证明 P{-1<X<2n+1}≥(2n+1)/(n+1)(n+1)
3. 设P{|X-E(X)|<ε}不小于 不小于0.9,D(X)=0.009.则用 不小于 则用
切比绍夫不等式估计ε的 最小值是( 切比绍夫不等式估计 的 最小值是
0.3 ).
4.(894) 设随机变量 的数学期望为 设随机变量X的数学期望为 的数学期望为µ, 标准差为σ,则由切比绍夫不等式 标准差为 则由切比绍夫不等式 P{|X-µ|≥3σ}≤( ). 1/9 5. 设随机变量X的分布律为 设随机变量 的分布律为 P{X=0.3}=0.2, P{X=0.6}=0.8, 用切比绍夫不等式估计 |X-E(X)|<0.2的概率 的概率. 的概率
1 n lim P ∑ Xi − µ < ε = 1 n→∞ n i =1
定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A发生的概率 定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A 为p，n次重复独立实验中事件A发生的次数为nA，则对任 次重复独立实验中事件A发生的次数为n 意的ε>0 意的ε>0 ，事件的频率 nA ，有 ε>
∫
+∞
−∞
概率论与数理统计图文课件最新版-第5章-大数定律及中心极限定理
0
p 是事件 A 在每次试验 中发生的概率
其中: nA X1 X2 L Xn
概率统计
其中: nA X1 X2 L Xn
p 是事件 A 在每次试验中 发生的概率。
证明: Q Xk 服从 (0 1 ) 分布
n 次独立 重复试验 中事件A 发生的次
数
E(Xk ) p n
令:
Xk
k 1
指的是：对任意正数 , P
lim
n
P(
Yn
a
)1
记为：Yn a
由此，定理2 的结论可叙述为：序列
依概率收敛于常数
Xn
1 n
n k 1
Xk
▲ 依概率收敛的序列具有如下性质:
P
P
设 Xn a , Yn b, 又设函数 g ( x, y ) 在点
( a, b ) 处连续，则有：
P
g( Xn , Yn ) g(a, b)
概率统计
第一节 大数定律
大数定律的客观背景 大量的随机现象中平均结果的稳定性：
大量抛掷硬币 正面出现频率
概率统计
生产过程中 的废品率
……
字母使用频率
一. 切比雪夫大数定律
定理1（切比雪夫大数定律）
设 X1 , X2, … 是相互独立的随机变 量序列，它们都有有限的方差，并且方
差有共同的上界，即 D( Xi ) ≤ K， i=1,
k 1, 2,L , 作前 n 个随机变量的算术平均值：
概率统计
1 n
Xn n k1 Xk ,
1 n
Xn n k1 Xk ,
则对任意的 0有：
lim P
n
Xn
lim P
n
东华大学《概率论与数理统计》课件 第五章 大数定律与中心极限定理
7 8.75E-06 6.2863E-05 7.19381E-05 7.28862E-05 7.2992E-05
8 3.65E-07 7.3817E-06 8.93826E-06 9.1053E-06 9.124E-06
4 0.01116 0.01494171 0.015289955 0.015324478 0.01532831
5 0.001488 0.00289779 0.003048808 0.003063976 0.00306566
6 0.000138 0.00046345 0.0005061 0.000510458 0.00051094
ln n) + 1 ( 2
ln n) = 0
Dn
=
E
2 n
=
1 2
(ln n) +
1 2
(ln n)
=
ln n
→
但 1
n2
n
D( i ) =
i =1
1 n2
n i =1
Di
=
1 n2
n
ln i
i =1
1 n2
n
ln n =
i =1
ln n n
→0
满足马尔可夫条件，{
｝服从大数定律
n
注意: 辛钦大数定律只要求一阶矩存在,但是 随机变量序列是独立同分布的. 若所讨论的 随机变量序列是不服从同分布的要求或不独 立可应用切比雪夫大数定律 或者马尔可夫大 数定律 .
（2）设 n 为 n 次独立重复试验中 A 出现的次数， p 是事件 A 在每次试验中出现的概率， 0 ，
则
lim
n→
P{
n
n
−
p
概率论与数理统计 第五章
贝努里定理. 它的叙述如下:设是n次重复独立 对于任意给定的ε>0,有
lim P{| nA p | } 1
n
n
lim P{| nA p | } 1
n
n
其中nA/n是频率,p是概率,即次数多
时事件发生的频率收敛于概率.表示频率的稳定性.
定理3
lim P{|
n
1 n
n i 1
Xi
| } 1
数理统计的方法属于归纳法,由大量的资料作依据,而不
是从根据某种事实进行假设,按一定的逻辑推理得到的.例
如统计学家通过大量观察资料得出吸烟和肺癌有关,吸烟
者得肺癌的人比不吸烟的多好几倍.因此得到这个结论.
数理统计的应用范围很广泛.在政府部门要求有关的资
料给政府制定政策提供参考.由局部推断整体,学生的假期
第五章 大 数 定 律 与 中 心 极 限 定 律
§ 5.1大 数 定 律
定理1(切比雪夫定理) 设X1,X2,...,Xn,...是相互独立的随机变
量序列若存在常数C,使得D(Xi)≤C. (i=1,2,...n),则对任意给
定的ε>0,有
lim P{|
n
1 n
n i 1
[Xi
E( X i )] |
7200 6800 2
200 1
D 2
1
2100 2002
0.95
可见虽有10000盏灯,只要电力供应7200盏灯即有相当大的保 证率切贝谢夫不等式对这类问题的计算有较大价值,但它的精度 不高.为此我们研究下面的内容.
2021/9/5
10
§ 5.2 中 心 极 限 定 理
在随机变量的一切可能性的分布律中，正态分布占有特殊的
《概率论与数理统计》课件第五章大数定律及中心极限定理
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为
概率论与数理统计第5章-大数定律和中心极限定理
DX } 1
(2
DX DX
)2
3 4
．
例 1.2 设随机变量 X ~ P(9) ，试根据切比雪夫不等式 估计概率 P{X 19}． 解 由于 X ~ P(9) ，所以 EX DX 9 ，且
P{X 9 10} P{X 1} 0 ， 故有 P{X 19} P{X 9 10}
P{ X 9 10} 9 0.09 ． 102
例 1.3 设随机变量 X ,Y 独立同分布，且 D(X ) 2 ，
试根据切比雪夫不等式估计概率 P{ X Y 2} ．
解 由于 X ,Y 独立同分布，所以 E( X Y ) 0 ，且
D(X Y ) DX DY 4
lim
n
FYn
(
x)
(
x)
1
2
x
e
t2 2
dt
，
x
(,
)
．
【注 1】定理 2.1 称为列维—林德伯格中心极限定理，也 称为独立同分布随机变量序列的中心极限定理．
【注 2】由定理 2.1 表明，当 n 充分大时， FYn (x) (x) ，
近似
n
近似
即得Yn ~ N (0,1) ，从而有 Xi ~ N (n, n 2 ) ．
P{ X Y 2} 1 D(X Y ) 1 ，
22
2
二、大数定律（了解） 1.相关概念
定义 1.1 设有随机变量序列 X1, X 2 ,L , X n ,L ，如果
存在常数 a ，使得对任意的 0 ，有
lim P{
n
Xn
a
}1，
概率论与数理统计第五章大数定律与中心极限定理
第五章 大数定律与中心极限定理第一节 大数定律在第一章中我们已经指出，人们经过长期实践认识到，虽然个别随机事件在某次试验中可能发生也可能不发生，但是在大量重复试验中却呈现明显的规律性，即随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率在某一固定值附近摆动.这就是所谓的频率具有稳定性.同时，人们通过实践发现大量测量值的算术平均值也具有稳定性.而这些稳定性如何从理论上给以证明就是本节介绍的大数定律所要回答的问题.在引入大数定律之前，我们先证一个重要的不等式——契比雪夫（Chebyshev ）不等式. 设随机变量X 存在有限方差D （X ），则有对任意ε＞0，P {｜X -E （X ）｜≥ε}≤2)(εX D . (5.1)证 如果X 是连续型随机变量，设X 的概率密度为f (x ),则有P {|X -E （X ）|≥ε}=⎰⎰≥-≥--≤εεε)(22)()()()(X E x X E x x x f X E x x x f d d ≤[].)()()(1222⎰+∞∞-=-εεX D x x f X E x d 请读者自己证明X 是离散型随机变量的情况.契比雪夫不等式也可表示成P {｜X -E （X ）｜＜ε}≥1-2)(εX D . （5.2）这个不等式给出了在随机变量X 的分布未知的情况下事件{｜X -E （X ）｜＜ε}的概率的下限估计，例如，在契比雪夫不等式中，令ε=3)(X D ，4)(X D 分别可得到P {｜X -E （X ）｜＜3)(X D }≥0.8889,P {｜X -E (X )｜＜4)(X D }≥0.9375.例5.1 设X 是掷一颗骰子所出现的点数，若给定ε=1,2，实际计算P {|X -E （X ）|≥ε}，并验证契比雪夫不等式成立.解 因为X 的概率函数是P {X =k }=1/6（k =1，2，…，6），所以E （X ）=7/2, D （X ）=35/12,P {|X -7/2|≥1=P {X =1}+P {X =2}+P {X =5}+P {X =6}=2/3;P {|X -7/2|}≥2}=P {X =1}+P {X =6}=1/3.ε=1：2)(εX D =35/12>2/3, ε=2：2)(εX D =1/4×35/12=35/48>1/3.可见契比雪夫不等式成立.例5.2 设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定开、关时间彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率.解 设X 表示在夜晚同时开着的灯的数目，它服从参数为n =10000,p =0.7的二项分布.若要准确计算，应该用贝努里公式：P {6800<X <7200}=∑=-⨯⨯7199680110000100003.07.0k k k k C .如果用契比雪夫不等式估计： E （X ）=np =10000×0.7=7000,D （X ）=npq =10000×0.7×0.3=2100,P {6800<X <7200}=P {|X -7000|<200}≥1-22002100≈0.95. 可见，虽然有10000盏灯，但是只要有供应7200盏灯的电力就能够以相当大的概率保证够用.事实上，契比雪夫不等式的估计只说明概率大于0.95，后面将具体求出这个概率约为0.99999.契比雪夫不等式在理论上具有重大意义，但估计的精确度不高.契比雪夫不等式作为一个理论工具，在大数定律证明中，可使证明非常简洁.定义5.1 设Y 1，Y 2，…，Y n ，…是一个随机变量序列，a 是一个常数，若对于任意正数ε有{}1lim =<-∞→εa YP n n ，则称序列Y 1，Y 2，…，Y n ，…依概率收敛于a ,记为Y n P a .定理5.1（契比雪夫（Chebyshev ）大数定律） 设X 1，X 2，…是相互独立的随机变量序列，各有数学期望E （X1），E （X2），…及方差D （X 1），D （X 2），…，并且对于所有i =1,2,…都有D （X i ）<l ，其中l 是与i 无关的常数，则对任给ε>0，有1)(1111lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑∑==∞→εn i n i i i n X E n X n P . （5.3） 证因X 1，X 2，…相互独立，所以n l nl n X D n X n D n i i n i i =⋅<=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==21211)(11. 又因,)(1111∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i X E n X n E 由(5.2)式，对于任意ε>0，有2111)(11εεn l X E n X n P n i i n i i -≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑∑==, 但是任何事件的概率都不超过1，即1)(111112≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-≤-∑∑==εεni i n i i X E n X n P n l,因此1)(1111lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑∑==∞→εn i n i i i n X E n X n P . 契比雪夫大数定律说明：在定理的条件下，当n 充分大时，n 个独立随机变量的平均数这个随机变量的离散程度是很小的.这意味，经过算术平均以后得到的随机变量n Xn i i∑=1将比较密的聚集在它的数学期望n X E ni i ∑=1)(的附近，它与数学期望之差依概率收敛到0.定理5.2（契比雪夫大数定律的特殊情况） 设随机变量X 1，X 2，…，X n ，…相互独立，且具有相同的数学期望和方差:E （X k ）=μ，D （X k ）=σ2（k =1，2，…）.作前n 个随机变量的算术平均∑==nk k n X n Y 11则对于任意正数ε有 {}1lim =<-∞→εμn n Y P . (5.4)定理5.3（贝努里（Bernoulli ）大数定律） 设n A 是n 次独立重复试验中事件A 发生的次数.p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意正数ε>0，有1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞→εp n n P A n ， （5.5） 或 0lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∞→εp n n P A n . 证 引入随机变量X k =⎩⎨⎧=,,2,1,1,0 k ，A k ，A k 发生次试验中若在第不发生次试验中若在第,显然 n A =∑=n k k X1.由于X k 只依赖于第k 次试验，而各次试验是独立的.于是X 1，X 2，…，是相互独立的；又由于X k 服从（0-1）分布，故有E （X k ）=p ， D (X k )=p (1-p ), k =1,2,….由定理5.2有111lim n i n k P X p n ε→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑, 即 1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞→εp n n P A n .贝努里大数定律告诉我们，事件A 发生的频率nn A 依概率收敛于事件A 发生的概率p ，因此，本定律从理论上证明了大量重复独立试验中，事件A 发生的频率具有稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有实际意义.贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件的概率的方法，即既然频率nn A 与概率p 有较大偏差的可能性很小，于是我们就可以通过做试验确定某事件发生的频率，并把它作为相应概率的估计.因此，在实际应用中，如果试验的次数很大时，就可以用事件发生的频率代替事件发生的概率.定理5.2中要求随机变量X k （k =1,2,…,n ）的方差存在.但在随机变量服从同一分布的场合，并不需要这一要求，我们有以下定理.定理5.4（辛钦（Khinchin ）大数定律）设随机变量X 1，X 2，…，X n ，…相互独立，服从同一分布，且具有数学期望E （X k ）=μ (k =1,2,…)，则对于任意正数ε，有111lim n i n k P X n με→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑. （5.6） 显然，贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况，辛钦大数定律在实际中应用很广泛. 这一定律使算术平均值的法则有了理论根据.如要测定某一物理量a ，在不变的条件下重复测量n 次，得观测值X 1，X 2，…，X n ，求得实测值的算术平均值∑=ni i X n 11，根据此定理，当n 足够大时，取∑=ni i X n 11作为a 的近似值，可以认为所发生的误差是很小的，所以实用上往往用某物体的某一指标值的一系列实测值的算术平均值来作为该指标值的近似值.第二节 中心极限定理在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量相互独立的偶然因素的综合影响所形成的，而每一个因素在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景.概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理（Central limit theorem)，现介绍几个常用的中心极限定理.定理5.5（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量X 1，X 2，…，X n ，…相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差E （X k ）=μ,D (X k )=σ2≠0(k =1,2,…).则随机变量σμn n X X D X E X Y n k k n k k n k k n k k n -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑∑====1111)( 的分布函数F n （x ）对于任意x 满足⎰∑∞--=∞→∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=x t n k k n n n t x n n X P x F .21lim )(lim 212d e πσμ （5.7） 从定理5.5的结论可知，当n 充分大时，近似地有Y n =21σμn n Xn k k -∑=~N (0,1).或者说，当n 充分大时，近似地有 ().,~21σμn n N Xn k k ∑= (5.8) 如果用X 1，X 2，…，X n 表示相互独立的各随机因素.假定它们都服从相同的分布（不论服从什么分布），且都有有限的期望与方差（每个因素的影响有一定限度）.则（5.8）式说明，作为总和∑=n k k X1这个随机变量，当n 充分大时，便近似地服从正态分布.例5.3 一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是1两，标准差是0.1两.求一盒（100个）同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率.解 设一盒重量为X ，盒中第i 个螺丝钉的重量为X i (i =1,2,…,100).X 1，X 2，…，X 100相互独立，E （X i ）=1，)(i X D =0.1，则有X =∑=1001i i X，且E （X ）=100·E （X i ）=100（两），)(i X D =1（两）.根据定理5.5，有P {X >102}=}2100{111001021100≤--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-X P X P ≈1-Φ(2)=1-0.977250=0.022750.例5.4 对敌人的防御地进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量，其期望值是2，方差是1.69.求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率. 解令第i 次轰炸命中目标的炸弹数为X i ，100次轰炸中命中目标炸弹数X =∑=1001i i X，应用定理5.5，X 渐近服从正态分布，期望值为200，方差为169，标准差为13.所以P {180≤X ≤220}=P {|X -200|≤20}=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-132013200X P ≈2Φ(1.54)-1=0.87644.定理5.6(李雅普诺夫（Liapunov ）定理) 设随机变量X 1，X 2，…相互独立，它们具有数学期望和方差：E （X k ）=μk , D (X k )=σk 2≠0 (k =1,2,…).记∑==n k k n B 122σ，若存在正数δ，使得当n →∞时， {}∑=++→-n k k k nX E B 12201δδμ, 则随机变量Z n =n nk k nk k n k k n k n k k k B X X D X E X∑∑∑∑∑=====-=-11111)()(μ的分布函数F n （x ）对于任意x ，满足⎰∑∑∞--==∞←∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=x t n n k k n k k n n n t x B X P x F d e π211221lim )(lim μ. (5.9) 这个定理说明，随机变量Z n =n n k kn k k B X ∑∑==-11μ当n 很大时，近似地服从正态分布N （0，1）.因此，当n 很大时,∑∑==+=nk k n n n k k Z B X11μ 近似地服从正态分布⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=21,n n k k B N μ.这表明无论随机变量X k （k =1，2，…）具有怎样的分布，只要满足定理条件，则它们的和∑=n k k X1当n 很大时，就近似地服从正态分布.而在许多实际问题中，所考虑的随机变量往往可以表示为多个独立的随机变量之和，因而它们常常近似服从正态分布.这就是为什么正态随机变量在概率论与数理统计中占有重要地位的主要原因.在数理统计中我们将看到，中心极限定理是大样本统计推断的理论基础.下面介绍另一个中心极限定理.定理5.7 设随机变量X 服从参数为n ，p （0＜p ＜1）的二项分布，则（1） （拉普拉斯(Laplace)定理） 局部极限定理：当n →∞时P {X =k }≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--npq np k npq npq npq np k ϕ1212)(2e π， (5.10)其中p +q =1,k =0,1,2,…,n ，2221)(x x -=e πϕ. (2) （德莫佛-拉普拉斯(De MoivreLaplace)定理） 积分极限定理：对于任意的x ，恒有 ⎰∞--∞→=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--x t n t x p np np X P d e π2221)1(lim . （5.11） 这个定理表明，二项分布以正态分布为极限.当n 充分大时，我们可以利用上两式来计算二项分布的概率.例5.5 10部机器独立工作，每部停机的概率为0.2，求3部机器同时停机的概率. 解 10部机器中同时停机的数目X 服从二项分布，n =10,p =0.2,np =2,npq ≈1.265.(1) 直接计算：P {X =3}=310C ×0.23×0.87≈0.2013; (2) 若用局部极限定理近似计算：P {X =3}=)79.0(265.11265.123265.111ϕϕϕ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-npq np k npq =0.2308. (2)的计算结果与（1）相差较大，这是由于n 不够大.例5.6 应用定理5.7计算§5.1中例5.2的概率.解 np =7000,npq ≈45.83.P {6800<X <7200}=P {|X -7000|<200}=1)36.4(236.483.457000-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-ΦX P =0.99999.例5.7 产品为废品的概率为p =0.005，求10000件产品中废品数不大于70的概率. 解 10000件产品中的废品数X 服从二项分布，n =10000,p =0.005,np =50,npq ≈7.053.P {X ≤70}=)84.2(053.75070ΦΦ=⎪⎭⎫ ⎝⎛- =0.9977. 正态分布和泊松分布虽然都是二项分布的极限分布，但后者以n →∞，同时p →0，np →λ为条件，而前者则只要求n →∞这一条件.一般说来，对于n 很大，p (或q )很小的二项分布（n p ≤5）用正态分布来近似计算不如用泊松分布计算精确.例5.8 每颗炮弹命中飞机的概率为0.01，求500发炮弹中命中5发的概率.解 500发炮弹中命中飞机的炮弹数目X 服从二项分布，n =500,p =0.01,np =5,npq ≈2.2.下面用三种方法计算并加以比较：（1） 用二项分布公式计算：P {X =5}=5500C ×0.015×0.99495=0.17635.(2) 用泊松公式计算，直接查表可得：np =λ=5,k =5,P 5(5)≈0.175467.(3) 用拉普拉斯局部极限定理计算：P {X =5}=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-npq np npq 51ϕ≈0.1793. 可见后者不如前者精确.小 结本章介绍了契比雪夫不等式、四个大数定律和三个中心极限定理.契比雪夫不等式给出了随机变量X 的分布未知，只知道E （X ）和D （X ）的情况下，对事件{|X -E （X ）|≤ε}概率的下限估计.人们在长期实践中认识到频率具有稳定性，即当试验次数增大时，频率稳定在一个数的附近.这一事实显示了可以用一个数来表征事件发生的可能性的大小.这使人们认识到概率是客观存在的，进而由频率的三条性质的启发和抽象给出了概率的定义，因而频率的稳定性是概率定义的客观基础.贝努里大数定律则以严密的数学形式论证了频率的稳定性.中心极限定理表明，在相当一般的条件下，当独立随机变量的个数增加时，其和的分布趋于正态分布.这一事实阐明了正态分布的重要性.中心极限定理也揭示了为什么在实际应用中会经常遇到正态分布，也就是揭示了产生正态分布变量的源泉.另一方面，它提供了独立同分布随机变量之和∑=n k k X1（其中X k 的方差存在）的近似分布，只要和式中加项的个数充分大，就可以不必考虑和式中的随机变量服从什么分布，都可以用正态分布来近似，这在应用上是有效和重要的.中心极限定理的内容包含极限，因而称它为极限定理是很自然的.又由于它在统计中的重要性，称它为中心极限定理，这是Polya 在1920年取的名字.本章要求读者理解大数定律和中心极限定理的概率意义，并要求会使用中心极限定理估算有关事件的概率.重要术语及主题契比雪夫不等式 依概率收敛契比雪夫大数定律及特殊情况 贝努里大数定律辛钦大数定律 独立同分布中心极限定律李雅普诺夫中心极限定理 德莫佛拉普拉斯中心极限定理.习 题 五1. 一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10<X <18}.2. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.4. 一加法器同时收到20个噪声电压V k （k =1，2，…，20），设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V =∑=201k k V，求P {V ＞105}的近似值.5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m 的概率是多少？6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.（1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？7. 用Laplace 中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率.8. 设有30个电子器件.它们的使用寿命T 1，…，T 30服从参数λ=0.1[单位：（小时）-1]的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T 为30个器件使用的总计时间，求T 超过350小时的概率.9. 上题中的电子器件若每件为a 元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用（假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时）.10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.（1） 求参加会议的家长数X 超过450的概率？（2） 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.11. 设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？12. 设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9.以95%概率估计，在一次行动中：（1）至少有多少个人能够进入？（2）至多有多少人能够进入？13. 在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求：（1） 保险公司没有利润的概率为多大；（2） 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？14. 设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5试根据契比雪夫不等式给出P {|X -Y |≥6}的估计. （2001研考）15. 某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.（1） 写出X 的概率分布；（2） 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值.（1988研考）16. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克，标准差为h5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977. (2001研考)资料仅供参考!!!资料仅供参考!!!h。
概率论与数理统计第5章
i 1
22
例1 设有30个电子元件,它们的寿命均服从参数为 0.1的指数分布(单位:小时),每个元件工作相互 独立,求他们的寿命之和超过350小时的概率.
解 设Ti为第i个元件的寿命, i 1,2,,30,T为寿命之和
显 然T1 ,T2 ,,T30相 互 独 立
30
且 Ti ~ E(0.1), i 1,2,.30 T Ti
且EX i , DXi 2 0,则x R,有
n
lim
P
i 1
Xi
n
x
x
n
n
1
t2
e 2 dt ( x)
2
莱 维n 中心 极 限 定 理表 明
记量 即Y的Yn n分当~•i布1NnX 函(ni 0数,1n,)收随敛机则于n变YX标量准ni为~序正 • Ni列 态 n1(inXn分1iX,的 布ni 的的标2标)分准准布化化函随随数. 机 机 变变 量
1
t2
e 2 dt ( x)
n np(1 p) 2
n
证明 由于 X n ~ B(n, p) 则X n X k , k 1
其中 X1, X2 ,, Xn 是相互独立的、服从同一
(0－1) 分布的随机变量, 分布律为
P{ Xk i} pi (1 p)1i , i 0, 1.
30
分nll设布ii其 (mm0X，随－P中Pn1则机)Xin分对X变k11n,nX1布任X量Xni 2n的意k,Xpn, n随x服,，X机从xn有x变是参量相数x,x互分n,1独布21p(立e律0et2的2为t2d2 dtp、t服1()从 x的) 同二一项
20
服从均匀分布。记 V Vk 求P{V>105}的近似值 k 1
第5章 大数定律及中心极限定理
辛钦
1 n lim P{| X i | } 1 n n i 1
注
1、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值 提供了一条实际可行的途径.
2、切比雪夫大数定律是辛钦定理的特殊情况. 3、辛钦定理具有广泛的适用性.
例1 在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样 的球,从罐中有放回地抽取若干次, 每次抽一个, 并记下号码. 1 第k次取到号码 0 设 Xk = ，k=1,2, … 0 否则 问对序列{Xk}能否应用辛钦大数定律？
即有
n X k
k 1
n
其中X k ( k 1,2,, n)的分布律为 PX k i p i (1 p)1 i , i 0,1
由于E ( X k ) p, D( X k ) p(1 p) k 1,2,, n)，
由定理 4得 n X k np n np lim P{ x } lim P{ k 1 x} n n np(1 p) np(1 p )
V 20 5 105 20 5 PV 105 p 100 12 20 100 12 20
V 20 5 p 0.387 100 12 20
V 20 5 1 p 0.387 100 12 20
n 1 P Xk 1 2 n k 1 上式中令 n 得 1 n lim P{| X i | } 1 n n i 1
n 2
说明
1 n 1、定理中{| X i | }是指一个随机事件， n i 1 当n 时，这个事件的概率趋于1.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
概率论与数理统计作业
班级 姓名 学号 任课教师
第五章 大数定律及中心极限定理
教学要求：
一、了解大数定律的直观意义； 二、掌握Chebyshev 不等式；
三、了解Chebyshev 大数定理和贝努里大数定理； 四、会用中心极限定理估算有关事件的概率．
重点：中心极限定理．
难点：切比雪夫不等式、大数定律、中心极限定理．
综合练习题
一、选择题
1.设12,,,n X X X 是独立同分布的随机变量序列，且
1,2,,i n = .令∑==n
i i n X Y 1
，1,2,,i n = ，()x Φ为标准正态分布函数，则
()=⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--∞
→11lim p np np Y P n n （B ）. （A ）0 ； （B ）()1Φ； （C ）()11Φ-； （D ）1.6 . 2.设()x Φ为标准正态分布函数，0,1,i A X A ⎧=⎨
⎩事件不发生，
事件发生，
()100,,2,1 =i ，且
()8.0=A P ，10021,,,X X X 相互独立.令∑==100
1
i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函
数()y F 近似于（B ）. （A ）()y Φ； （B ）⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ480y ； （C ）()8016+Φy ； （D ）()804+Φy .
3.设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立，且i X () ,,,2,1n i =都服从参数为
2
1
的指数分布，则当n 充分大时，随机变量∑==n
i i n X n Z 1
1的概率分布近似服从（B ）.
（A ）()4,2N ； （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛n N 4,2； （C ）⎪⎭
⎫
⎝⎛n N 41,21； （D ）()n n N 4,2. 二、填空题
1.设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立且同分布，它们的期望为μ，方差为2
σ，
令∑==n
i i n X n Z 1
1，则对任意正数ε，有{}=≤-∞→εμn n Z P lim 1 .
2.设 ,,,,21n X X X 是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差
()μ=i X E ，()02>=σi X D ，() ,2,1=i ， 则对任意实数x ， =⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞
→x n n X P n i i n σμ1lim ()x Φ. 3.设()1-=X E ，()4=X D ，则由切比雪夫不等式估计概率{}42P X -<<≥
9
5
. 4.设随机变量[]1,0~U X ，由切比雪夫不等式可得≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-
3121X P 4
1. 5.设随机变量()
2.0,100~B X ，应用中心极限定理可得{}≈≥30X P 0062.0.（其中
()()9938.05.2=Φ）
三、应用题
1. 100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%， 求任一时刻有70至86台车床在工作的概率.
解：设⎩⎨
⎧=台车床没有工作
第台车床正在工作
第i i X i .0.1（100,,2,1 =i ），且()8.0,1~B X i ，
则100台车床中在任一时刻正在工作的机床台数为10021X X X X +++= ，且()80=X E ，()16=X D ，（其中10021,,,X X X 独立同分布），于是由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理近似可得
()⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-≤-≤-=≤≤168086168016
80708670X P X P
()()()()927.015.25.15.25.1=-Φ+Φ=-Φ-Φ≈.
2. 某计算机系统有120个终端，每个终端在1小时内平均有3分钟使用打印机，假定各终端使用打印机与否是相互独立的，求至少有10个终端同时使用打印机的概率.
解：设
,,0,1⎩
⎨⎧=个终端没有使用打印机第个终端正在使用打印机第i i X i （120,,2,1 =i ），且
()05.0,1~B X i ，
则120个终端中同时使用打印机的台数为12021X X X X +++= ，且()6=X E ，()7.5=X D （其中12021,,,X X X 独立同分布），于是由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理近似可得:
()()⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-<--=<-=≥7.56107
.56110110X P X P X P
()0465.09535.0168.11=-=Φ-≈.
３.设某产品的废品率为0.005，从这批产品中任取1000件，求其中废品率不大于0.007的概率.
解：设1000件设产品的废品数为
n μ，易知()005.0,1000~B n μ，则
()()(),975.41,5=-===p np D np E n n μμ 相应的废品率为
n
n
μ，()1000
=n 由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理知：当n 充分大时n μ近似地服从正态分布，于是由中心极限定理近似可得
()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤=⎪⎭⎫
⎝⎛≤975.457975
.457007.0n n n P P n P μμμ
()8159.09.0=Φ≈.
４.在掷硬币的试验中，至少掷多少次，才能使正面出现的频率落在（0.4，0.6）区间
的概率不小于0.9？
解：设A n 表示n 次试验中正面出现的次数，;
.0.1⎩
⎨
⎧=次试验中出现反面第次试验中出现正面
第i i X i （n i ,,2,1 =），显然()5.0,~21n B X X X n n A +++= （其中n X X X ,,,21 独立同
分布），()(),25.0,5.0n n D n n E A A ==于是正面出现的频率
n
n A
应满足9.06.04.0≥⎪⎭
⎫
⎝⎛<<n n P A .从而由中心极限定理知：
()
n n n P n n P A A 6.04.06.04.0<<=⎪⎭
⎫
⎝⎛<<
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-<-<-=n n n n n n n n n P A 25.05.06.025.05.025.05.04.0
()()()
12.022.02.0-Φ=-Φ-Φ≈n n n , 要使9.06.04.0≥⎪⎭
⎫
⎝⎛<<
n n P A ，只要(
)9.012.02≥-Φn ，即()
95.02.0≥Φn .反查表可得65.12.0≥n ，即06.68≥n ，所以至少掷69次，才能使正面出现的频率落在（0.4，0.6）区间的概率不小于0.9.
５.设一个系统由100个相互独立起作用的部件组成，每个部件损坏的概率为0.1，必须有85个以上的部件正常工作，才能保证系统正常运行，求整个系统正常工作的概率.
解：设X 为100个相互独立的部件中正常工作的部件数，则()9.0,100~B X ，
()()(),91.09.01001,909.0100=⨯⨯=-==⨯==p np X D np X E 整个系统正常工
作的概率为()85>X P .由中心极限定理知：
()()⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-≤--=≤-=>99085990185185X P X P X P
9525.035351=⎪⎭
⎫
⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-
Φ-≈. ６.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3米，现从这批木材中随机抽取
100根，问其中至少有30根短于3米的概率是多少？
解：设X 为100根木柱中长度小于3米的根数，易知()2.0,100~B X ，
()(),16,20==X D X E 则所求问题为()30≥X P ，由中心极限定理知：
()()⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-<--=<-=≥16203016
20130130X P X P X P
()0062.09938.015.21=-=Φ-≈.
7.某车间有同型号机床200台，它们独立地工作着，每台开动的概率均为0.7，开动时耗电均为1.5千瓦，问电厂至少要供给该车间多少电力，才能以99..5%的概率保证用电需要？
解：设⎩
⎨
⎧=台机床没有工作第台机床正在工作
第i i X i .0.1（200,,2,1 =i ），且()7.0,1~B X i ，
记X 某时刻正在工作的机床数，则20021X X X X +++= ，()(),42,140==X D X E 于是某时刻该车间的耗电数为X Y 5.1=千瓦.
设供给该车间的电力数为α千瓦，则问题要求是()995.0=≤αY P ，由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理知：
()()⎪⎭⎫ ⎝
⎛≤=≤=≤5.15.1αααX P X P Y P
995.0421405.1421405.142140=⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ≈⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-≤-=ααX P , 查标准正态分布表，得58.242
1405
.1=-α
，即 235=α.所以电厂至少要供给该车间235千
瓦的电力，才能以%5.99的概率保证用电需要.。