(完整版)第十章双线性函数

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第10章+双线性型

第10章+双线性型

非退化双线性型4
定义:设gi: U×V →K, i=1,2, 是非退化双线性 型, φ是V的线性变换, 如果存在U上的线性变 换φ *, 使对任意x∈U, y∈V, 有 g2(φ *(x), y ) = g1(x, φ(y)) 则称φ *是φ的关于g1和g2的对偶. 定理:设gi: U×V →K, i=1,2, 是非退化双线性 型, φ是V上的线性变换, 则φ的关于g1与g2的对 偶φ *存在且唯一.
第十章 双线性型
对偶空间1
定义:设V是数域K上n维线性空间,线性空间 V*={线性映射f :V → K} 称为V的对偶空间. 命题:设{e1, …, en}是数域K上n 维线性空间 V的一组基,定义线性映射fi :V → K, ej aδij, 则{f1, …, fn}是V*的一组基,称为{e1, …, en} 的对偶基. 推论:dimV* = dimV.
注:取定U,V的基条件下, 1:1 → {U与V的双线性型} ← Km×n.
双线性型3
设g: U×V →K 是双线性型, {e1, …, em}与{e1’, …, em’} 是U的基, {v1, …, vn}与{v1’, …, vn’}是V的基, 且 (e1’, …, em’) =(e1, …, em) C (v1’, …, vn’) = (v1, …, vn) D 设g在基{e1, …, em}与{v1, …, vn} 下矩阵为A, 在基 {e1’, …, em’}与{v1’, …, vn’}下矩阵为B, 则B = C’AD. 因此,g在不同基下的表示矩阵是相抵的.矩阵A的秩 称为g的秩. 定理:设 g: U×V →K 是双线性型, 则存在U的基 {e1, …, em}与V的基{v1, …, vn},使得 g( ei, vj ) = δij 1≤i, j≤r g( ei, vj ) = 0 其它 其中r = 秩(g).

第十章 双线性函数与正交空间、辛空间

第十章 双线性函数与正交空间、辛空间

课程:高等代数 第10.1.1页第十章 双线性函数与正交空间、辛空间引言本章从线性函数入手,开拓上一章的度量性考察,阐述一般数域上向量空间的度量性方法,在阐述双线性函数的一般概念之后,介绍颇有应用价值的正交空间、辛空间的一些基本结论.§1 对偶空间教学目的 通过2学时讲授,使学生理解线性函数、对偶空间的概念,基本掌握对偶基的概念及其求解.教学内容本节从向量空间一类特殊的线性映射—线性函数入手,阐述对偶空间的概念.1.1 线性函数设V 是数域F 上的一个向量空间.定义1 设f ∈Hom(V ,F ),即∀α,β∈V ,∀k ∈F ,都有f (α+β)=f (α)+f (β),f (k α)=kf (α),则称f 为V 上的一个线性函数,也称为余向量(covectors).由于f ∈Hom(V ,F ),因而第七章§1-§3中关于线性映射的基本结果对于线性函数也成立.线性函数是十分重要的函数类,在数学的各个分支和许多实际问题中都将遇到它.下面举几个例子.例1 定积分使每一个连续函数f (x )对应一个实数,并⎰ba dx x f )(且满足 .⎰⎰⎰⎰⎰=+=+b a b a ba b a b a dx x f k dx x kf dx x g dx x f dx x g x f )())(()()())()((,所以定积分是C [a ,b ]上的一个线性函数.例2 矩阵的迹把数域F 上每一个n 阶矩阵A =(a ij )nn 对应F 中的一个元素,并且有∑=n i ii a 1Tr(A +B )= Tr A + Tr B ,Tr(kA )=k Tr A .所以矩阵的迹是M n (F )上的一个线性函数.例3 在数域F 上的一元多项式环F [x ]中,未定元x 用F 中的一个元素t 代入,它把每一个多项式f (x )对应F 中的元素f (t ).由于未定课程:高等代数第10.1.2页元x 用t 代入保持加法与乘法(从而也保持纯量乘法),所以x 用t (t ∈F )代入是向量空间F [x ]上的一个线性函数.例4 给定F 中的n 个元素a 1,a 2,…,a n ,∀()∈n x x x ,,, 21F n ,规定, (1)n n n x a x a x a x x x f +++= 221121),,,(容易验证f 保持加法与纯量乘法两种运算.因此形如(1)的函数f 是F n 上的一个线性函数.请注意,在数学分析中,把形如++= 1121),,,(x a x x x g n 的n 元函数g 叫做线性函数.若b ≠0,则g 不保持加法运算,b x a n n +也不保持纯量乘法运算,从而g 不是定义1意义上的线性函数.所以,“线性函数”这一术语在分析和代数里有不同的含义.代数课程中讲的线性函数是分析课程中的齐次线性函数.我们来讨论有限维向量空间V 上的线性函数f 的表达式.设V 是数域F 上的n 维向量空间,f 是V 上的一个线性函数.在V 中取一个基.由于f 可以看成是向量空间V 到向量空间F n ααα,,,21 的一个线性映射,因此f 完全被它在V 的一个基上的作n ααα,,,21 用所决定.即只要知道,就可以知道V 中任一)(,),(),(21n f f f ααα 向量在f 作用下的象∑==ni i i x 1αβ. (2)∑==ni i i f x f 1)()(αβ(2)就是线性函数f 在基α1,…,αn 下的表达式.它表明,f 在β上的函数值f (β)是β的坐标x 1,…,x n 的一次齐次多项式.进而考虑数域F 上n 维向量空间V 上的线性函数的构造,由命题7.1.2易见定理10.1.1 设V 是F 上一个n 维向量空间,α1,α2,…,αn 是V 的一个基,a 1,a 2,…,a n 是F 中任意取定的n 个数,则存在V 上唯一确定的线性函数f ,使得f (αi )=a i , i =1,2,…,n . (3)因此,∈V ,则β在f 下的象为.∑==∀n i i i x 1αβ∑==ni i i a x f 1)(β1.2 对偶空间课程:高等代数第10.1.3页设V是F上的一个向量空间,Hom(V,F)是V的所有线性函数组成的集合,我们来讨论Hom(V,F)的结构,以及它与V的关系.从第七章§2知道,Hom(V,F)也是F上的一个向量空间,称它是V上的线性函数空间,也记作T1(V).以下设V是n维向量空间.注意到F看成自身上的向量空间是1维的,因而有dimHom(V,F)=dim F n⨯1=n.这表明Hom(V,F)与V的维数相同,故它们同构,即Hom(V,F)≌V.在V中取一个基α1,α2,…,αn,我们来找Hom(V,F)的一个基.由于Hom(V,F)是n维的,因此只要找出V上的n个线性函数,并且它们线性无关就可以了.由定理10.1.1,给定F中n个元素1,0,…,0,则存在V上唯一的线性函数f1,使得f1(α1)=1,f1(α2)= …=f1(αn)=0;给定F中n个元素0,1,0,…,0,则存在V上唯一的线性函数f2,使得f2(α)=1,f2(αj)=0,j≠2;……;给定F中n个元素0,…,0,1,则存2在V上唯一的线性函数f n,使得f n(αn)=1,f n(αj)=0,j≠n.这样我们找到了V上的n个线性函数f1,f2,…,f n,其中f i(1≤i≤n)在基向量上的函数值为f i(αj)=δij,(4)这里δij是Kronecker记号.现在我们断言f1,f2,…,f n是线性无关的.设k1 f1+k2 f2+…+k n f n=0,(5)并作用αj,则得k1f1(αj)+k2 f2(αj)+…+k n f n(αj)=0.于是由(4)推得k j=0,j=1,…,n.因此f1,f2,…,f n线性无关.综上所述,f1,f2,…,f n是Hom(V,F)的一个基.因此,我们得到定理10.1.2设V是数域F上的n维向量空间,则V上所有线性函数组成的集合Hom(V,F)也是数域F上的n维向量空间,称为V的对偶空间(或共轭空间),记作V*;并且V*≌V.若在V中取一个基α1,α2,…,αn,则由(4)确定的线性函数f1,f2,…,f n是V*的一个基,叫做α1,α2,…,αn的对偶基.设α1,α2,…,αn是V的一个基,f1,f2,…,f n∈V*是α1,α,…,αn的对偶基.我们分别来讨论V中任一向量β在基α1,α2,…,α2下的坐标,以及V*中任一向量f在基f1,f2,…,f nn课程:高等代数第10.1.4页下的坐标.设,由(4)得∑==n j j j x 1αβ, (6)i nj j i j i x f x f ==∑=1)()(αβ即β在基α1,…,αn 下的坐标的第i 个分量等于f i (β).因此. (7)∑==ni i i f 1)(αββV *中任取一个向量,比较左右两边的函数在αj 上的函数值∑==ni i i f c f 1得. (8)j j n i i i j c f c f ==∑=)()(1αα这表明f 在基f 1,f 2,…,f n 下的坐标的第j 个分量等于f (αj ).因此. (9)∑==n j j j f f f 1)(α例5 设V =M 2(F ),在V 中取一个基E 11,E 12,E 21,E 22,求它的对偶基f 11,f 12,f 21,f 22,并求V 上任一线性函数f 的表达式. 解 从(4)得f 11(E 11)=1,f 11(E 12)=f 11(E 21)=f 11(E 22)=0,f 12(E 12)=1,f 12(E 11)=f 12(E 21)=f 12(E 22)=0,f 21(E 21)=1,f 21(E 11)=f 21(E 12)=f 21(E 22)=0,f 22(E 22)=1,f 22(E 11)=f 22(E 12)=f 22(E 21)=0.任取A =(a ij )22∈M 2(F ),由于,所以f 11(A )=a 11,f 12(A )=a 12,∑∑===2121i j ij ij E a A f 21(A )=a 21,f 22(A )=a 22.于是,对于V 上的任意一个线性函数f ,设f (E ij )=c ij ,i ,j =1,2,则由(9)得)()()()()(2222212112121111A f c A f c A f c A f c A f +++=. (10)2222212112121111a c a c a c a c +++=例6 考察实数域R 上的n 维向量空间V =R [x ]n .对任意取定的n 个不同实数a 1,a 2,…,a n ,根据Lagrange 插值公式,得到n 个多项式,i =1,2,…,n . )())(()()())(()()(111111n i i i i i i n i i i a a a a a a a a a x a x a x a x x p --------=+-+- 它们满足p i (a j )=δij ,因此p 1(x ),p 2(x ),…,p n (x )线性无关.因为由c 1 p 1(x )+x 2 p 2(x )+…+c n p n (x )=0,用a i 代入,即得课程:高等代数第10.1.5页 ,i =1,2,…,n . 0)()(1===∑=i nk i i i i k k c a p c a p c 又V 是n 维的,所以p 1(x ),p 2(x ),…,p n (x )是V 的一组基. 设L i ∈V *(i =1,2,…,n )是在a i 点的取值函数:L i (p (x ))=p (a i ) p (x )∈V ,i =1,2,…,n ,则线性函数L i 满足L i ( p j (x ))=p j (a i )=δij .因此,L 1,L 2,…,L n 是的对偶基. )()()(21x p x p x p n ,,, V 中不同基的对偶基之间有什么关系?这就是定理10.1.3 设V 是数域F 上n 维向量空间,α1,…,αn 与β1,…,βn 是V 的两个基.设它们的对偶基分别是f 1,…,f n 与g 1,…,g n .若V 中基α1,…,αn 到基β1,…,βn 的过渡矩阵是A =(a ij )nn ,则V *中基f 1,…,f n 到基g 1,…,g n 的过渡矩阵为.)(1'-A 证 由已知条件,有(β1,…,βn )=(α1,…,αn )A (11)于是 . (12) ∑==nk k ki i a 1αβ设f 1,…,f n 到g 1,…,g n 的过渡矩阵为B =(b ij )nn ,则(g 1,…,g n )=( f 1,…,f n )B (13)于是.将此式的两边作用于βi ,并注意到,∑==n k k kj j f b g 1ki i k a f =)(β则得 . (14)∑∑=====n k n k ki kj i k kj i j ij a b f b g 11)()(ββδ因此,A 'B =I n .故B =( A ')-1=( A -1)'.1.3 双重对偶空间考察V 到V *的一个同构映射.因为V 和V *都是n 维的,所以它们都与F n 同构.我们知道,在数域F 上一个n 维向量空间取定一个基后,让每个向量对应到它在这个基下的坐标就是所给n 维向量空间到F n 的一个同构映射.于是,在V 中取一个基α1,α2,…,αn ,而f 1,f 2,…,f n ∈V *是α1,α2,…,αn 的对偶基,则有V 到F n 的一个同构映射σ1:.),,,()(2111n ni i i a a a a =∑=ασ又有F n 到V *的一个同构映射σ2:课程:高等代数 第10.1.6页.∑==ni i i n f a a a a 1212),,,( σ从而有V 到V *的一个同构映射σ=σ2σ1:. (15)∑∑===ni i i n i i i f a a 11)(ασ设,记σ(α)=,则由(15)得∑==ni i i a 1αααf . (16)∑==ni i i f a f 1α对于V 中任一向量,由(16)、(15)得∑==ni i i b 1αβ. (17)∑∑====ni i i n i i i b a f a f 11)()(ββα因此,α在上述同构映射下的象在β上的函数值(β)等于α与βαf αf 的坐标的对应分量乘积之和.以上的讨论是在F 上任一n 维向量空间进行的.因此对于F 上n 维向量空间V ,我们也可以考虑V *上的所有线性函数组成的向量空间Hom(V *,F )(也记成T 1(V *)),它是V *的对偶空间,简记成V **.据定理10.1.2得,dim V **=dim V *=dim V .因此V ≌V **. (18)V **叫做V 的双重对偶空间.进而求V 到V **的一个同构映射,在V 中取一个基α1,…,αn ,设它的对偶基是f 1,…,f n .任取V 中一个向量,则由上讨∑==ni i i a 1αα论有V 到V *的一个同构映射σ1,它把α映成f α.对V *,有V *到V **的一个同构映射σ2,它把f α映成α**,其中α**( f )等于f α与f 在基f 1,…,f n 下的坐标的对应分量乘积之和.由(16)、(9)两式,有.因此∑∑====ni i i n i i i f f f f a f 11)(αα,. (19)∑∑==**===n i ni i i i i f a f f a f 11)()()()(αααα这样,我们找到了V 到V **的一个同构映射σ=σ2σ1,它把V 中向量α映成V **中元素α**,其中α**( f )=f (α),f ∈V * . (20)∀因此证得定理10.1.4 设V 是F 上的n 维向量空间,V **是V 的双重对偶空课程:高等代数第10.1.7页间,则V ≌V **;并且V 到V **的一个同构映射是σ:αα**,其中α**( f )如(20)所 示.必须指出,V 到V **的上述同构映射不依赖于V 中基的选择.因为上面在V 中取定一个基α1,…,αn ,我们找到了V 至V **的一个同构映射σ:αα**,其中α**( f )=f (α),∀f ∈V *,即σ(α) f =f (α),∀f ∈V *.又在V 中另取一个基β1,…,βn ,设它的对偶基是g 1,…,g n .则类似地有V 到V *的一个同构映射τ1,它把V 中向量映成g α;∑==n i i i b 1βα且有V *到V **的同构映射τ2,它把g α映成τ2(g α),其中τ2(g α) f 等于g α与f 在基g 1,…,g n 下的坐标的对应分量乘积之和.因为,并且f =,所以∑==n i i i g b g 1α∑=n i i i g f 1)(β (21) ∑∑=*=∈∀===n i ni i i i i V f f b f f b f g 112),()()()(αββτα于是得到V 到V **的又一个同构映射τ=τ2τ1,它把V 中向量α映成τ(α),其中τ(α) f =(τ2τ1(α)) f =τ2 (g α) f =f (α),∀f ∈V *. 因此σ(α) f =τ(α) f ,∀f ∈V *.由此得出σ(α)=τ(α),∀α∈V .故σ=τ.这就证明了V 到V **的同构映射:αα**,其中α**( f )=f (α)不依赖于V 中 基的选择.这样的同构映射叫做标准同构或自然同构.由于V 到V **存在自然同构,因此我们可以把V **与V 等同,从而可以把V 看成V *的对偶空间,这样V 与V *就互为对偶空间.这就是为什么把V *称为V 的对偶空间的原因.由于V 可以看成是V *的对偶空间V **,而V **是V *上所有线性函数组成的空间,因此任一n 维向量空间可以看成是某个n 维向量空间上所有线性函数组成的空间.课外作业:P513:2、1);3;4;5。

白国仲《高等代数》§10.3 双线性函数

白国仲《高等代数》§10.3   双线性函数

i 1
i 1
则 g( , ) x1 x2
y1
xn

B

y2

,
yn
是V上的一个双线性函数. 为满射.
§10.3 双线性函数
若双线性函数 f ( , ) g( , ), 但 ( f ) ( g).
设 f ( , ) A f (i , j ) ,
第十章 双线性函数
§10.1 线性函数 §10.2 对偶空间 §10.3 双线性函数 §10.4 对称双线性函数
§10.3 双线性函数
一、双线性函数 二、度量矩阵 三、非退化双线性函数
§10.3 双线性函数
一、双线性函数
定义 设V 是数域 P上的n 维线性空间,映射 f :V V P 为 V上的二元函数. 即对 , V , 根据 f 唯一地对应于P 中一个数 f ( , ) , 如果 f ( , ) 具有性质:
易证 f g, kf 仍为V上双线性函数.
并且 ( f g)(i , j ) f (i , j ) g(i , j )
f g A B f (i , j ) g(i , j ) kf kA k f (i , j )
§10.3 双线性函数
而 A' X 0只有零解 A' 0. 即 A 0, 即 A 非退化.
推论: V , 由 f ( , ) 0 可推出 0,
则 f 非退化.
§10.3 双线性函数
例、设 A P mm , 定义 Pmn 上的一个二元函数 f ( X ,Y ) Tr( X ' AY )nn, X ,Y P mn (1) 证明 f 是 Pmn上得双线性函数; (2) 求 f ( X ,Y ) 在基 E11, , E1n , E21, , E2n , , Em1, , Emn 下的度量矩阵.

北京大学数学系《高等代数》(第3版)(双线性函数与辛空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品

北京大学数学系《高等代数》(第3版)(双线性函数与辛空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品

第10章双线性函数与辛空间10.1复习笔记一、线性函数1.定义设V是数域P上的一个线性空间,f是V到P的一个映射,如果f满足(1)f(α+β)=f(α)+f(β),(2)f(kα)=kf(α),式中α、β是V中任意元素,k是P中任意数,则称f为V上的一个线性函数.2.性质(1)设f是V上的线性函数,则f(0)=0,f(-α)=-f(α).(2)如果β是α1,α2,…,αs的线性组合:β=k1α1+k2α2+…+k sαs.那么f(β)=k1f(α1)+k2f(α2)+…+k s f(αs).3.矩阵的迹A是数域P上一个n级矩阵.设则A的迹Tr(A)=a11+a22+…+a nn是P上全体n级矩阵构成的线性空间P n×n上的一个线性函数.4.定理设V是P上一个n维线性空间,ε1,ε2,…,εn是V的一组基,a1,a2,…,a n是P中任意n个数,存在唯一的V上线性函数f使f(εi)=a i,i=1,2,…,n.二、对偶空间1.L(V,P)的加法和数量乘法(1)设f,g是V的两个线性函数定义函数f+g如下:(f+g)(α)=f(α)+g(α),α∈V,f+g也是线性函数:f+g称为f与g的和.(2)设f是V上线性函数.对P中任意数k,定义函数kf如下:(kf)(α)=k(f(α)),α∈V,kf称为k与f的数量乘积,易证kf也是线性函数.2.L(V,P)的性质(1)对V中任意向量α,有而对L(V,P)中任意向量f,有(2)L(V,P)的维数等于V的维数,而且f1,f2,…,f n是L(V,P)的一组基.3.对偶空间(1)定义L(P,V)称为V的对偶空间.由决定的L(V,P)的基,称为ε1,ε2,…,εn的对偶基.V的对偶空间记作V*.(2)对偶基的性质(1)设ε1,ε2,…,εn及η1,η2,…,ηn是线性空间V的两组基,它们的对偶基分别为f1,f2,…,f n及g1,g2,…,g n.如果由ε1,ε2,…,εn到η1,η2,…,ηn的过渡矩阵为A,那么由f1,f2,…,f n到g1,g2,…,g n的过渡矩阵为(A')-1.(2)设V是P上一个线性空间,V*是其对偶空间.取定V中一个向量x,定义V*的一个函数x**如下:x**(f)=f(x),f∈V*.则x**是V*上的一个线性函数,因此是V*的对偶空间(V*)*=V**中的一个元素.(3)V是一个线性空间,V**是V的对偶空间的对偶空间.V到V**的映射x→x**是一个同构映射.结论:任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间.三、双线性函数1.定义V是数域P上一个线性空间,f(α,β)是V上一个二元函数,即对V中任意两个向量α,β,根据f都唯一地对应于P中一个数f(α,β).如果f(α,β)有下列性质:(1)f(α,k1β1+k2β2)=k1f(α,β1)+k2f(α,β2);(2)f(k1α1+k2α2,β)=k1f(α1,β)+k2f(α2,β).其中α,α1,α2,β,β1,β2是V中任意向量,k1,k2是P中任意数,则称f(α,β)为V 上的一个双线性函数.2.常用结论(1)欧氏空间V的内积是V上双线性函数;(2)设f1(α),f2(α)都是线性空间V上的线性函数,则f(α,β)=f1(α)f2(β),α,β∈V是V上的一个双线性函数.(3)设P n是数域P上n维列向量构成的线性空间X,Y∈P n,再设A是P上一个n 级方阵.令f(X,Y)=X'AY,则f(X,Y)是P n上的一个双线性函数.3.度量矩阵(1)定义设f(α,β)是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数.ε1,ε2,…,εn是V的一组基,则矩阵称为f(α,β)在ε1,ε2,…,εn下的度量矩阵.(2)性质①度量矩阵被双线性函数及基唯一确定.②不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是不同的.③在不同的基下,同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的,但是在不同基下的度量矩阵是合同的.4.非退化设f(α,β)是线性空间V上一个双线性函数,如果f(α,β)=0,对任意β∈V,可推出α=0,f就称为非退化的.双线性函数f(α,β)是非退化的充要条件为其度量矩阵A为非退化矩阵.5.对称双线性函数(1)定义f(α,β)是线性空间V上的一个双线性函数,如果对V中任意两个向量α,β都有f (α,β)=f(β,α),则称f(α,β)为对称双线性函数.如果对V中任意两个向量α,β都有f(α,β)=-f(β,α),则称f(α,β)为反对称双线性函数.这就是说,双线性函数是对称的,当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵.同样地,双线性函数是反对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵.(2)性质(1)设V是数域P上n维线性空间,f(α,β)是V上对称双线性函数,则存在V的一组基ε1,ε2,…,εn,使f(α,β)在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.(2)设V是复数域上n维线性空间,f(α,β)是V上对称双线性函数,则存在V的一组基ε1,ε2,…,εn,对V中任意向量,有(3)设V是实数域上n维线性空间.f(α,β)是V上对称双线性函数.则存在V的一组基ε1,ε2,…,εn,对V中任意向量,有(4)V上的对称双线性函数f(α,β)如果是非退化的.则有V的一组基ε1,ε2,…,εn满足前面的不等式是非退化条件保证的,这样的基称为V的对于f(α,β)的正交基.6.二次齐次函数对称双线性函数与二次齐次函数是1-1对应的.设V是数域P上线性空间,f(α,β)是V上双线性函数.当α=β时,V上函数f(α,β)称为与f(α,β)对应的二次齐次函数.7.反对称双线性函数性质(1)设f(α,β)是n维线性空间V上的反对称线性函数,则存在V的一组基ε1,ε。

高等代数(第三版)10.3双线性函数

高等代数(第三版)10.3双线性函数
i=1 i=1 n n
f ( , ) x1 y1
xr yr (0 r n)
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
推论2 设V为实数域上n维线性空间, f ( , )V上的一个对称双线性函数, 则存在V的一组基1, 2, , n, 对V中任意向量= xi i , = yi i , 有
结论2 V上的反对称双线性函数f ( , ) 如果是非退化的,则存在V的一组基
1, -1 , r , -r使
f ( i , i ) 1 i 1, , r f ( , ) 0 i j 0 i j
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
式中1 , 2 ,1 ,2是V中任意向量, k1 ,k2是P中任意数,则称f ( , ) 为V上的一个双线性函数.
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
例1 欧氏空间V的内积是V上双线性函 数 例2 设 f1 ( ), f 2 ( ) 都是线性空间V上的线性函数,则
f ( , ) f1 ( ) f 2 ( )
i=1 i=1 n n
f ( , ) x1 y1 (0 p r n)
x p y p x p 1 y p 1
xr yr
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
定义7 设V为数域P上线性空间, f ( , )是V上的对称双线性函数, 当= 时,V上函数f ( , )称为 f ( , )对应的二次齐次函数.
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
结论
双线性函数是对称的
当且仅当f ( , )=f ( , ) 当且仅当它在任一组基下的 度量矩阵是对称矩阵. 双线性函数是反对称的 当且仅当f ( , )=-f ( , ) 当且仅当它在任一组基下的 度量矩阵是反对称矩阵.

10.3双线性函数

10.3双线性函数

且不同双线性函数对应的在 1 , 2 , , n 下的 度量矩阵不同. 事实上,若 f , g 在 1 , 2 , , n 下的度量矩阵分别为
A
f (
i
, j ) ,

B
g (
i
, j )

且 f g 时 A B.
f ( i , j ) g ( i , j ),
f g A B
kf kA k
f (
i
i
, j ) g ( i , j )


ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f (
, j )

命题2 n 维线性空间V上同一双线性函数,f ( , )
在V 的不同基下的矩阵是合同的.
证:设 f ( , ) 在V 的基 1 , 2 , , n 与 1 , 2 , , n
若矩阵 A与B合同,则存在一个双线性函数
f ( , )
及V上两组基,使 f ( , ) 在这两组基
下的度量矩阵为 A , B .
三、非退化双线性函数
1、定义
设 f ( , ) 是线性空间V上的一个双线性函数, 如果从 f ( , ) 0 , V 可推出 0. 则称
y1 y2 yn ,

f ( , )
x1
x2 xn
其中
f ( 1 , 1 ) A f ( , ) n 1
f ( 1 , n ) . f ( n , n )
二、度量矩阵
1、定义设 f ( , ) 是数域 P 上任意上的 n 维线性

n

双线性函数

双线性函数

§3 双线性函数定义3 V 是数域P 上一个线性空间,),(βαf 是V 上一个二元函数,即对V 中任意两个向量βα,,根据f 都唯一地对应于P 中一个数),(βαf .如果),(βαf 有下列性质:1)),(),(),(22112211βαβαββαf k f k k k f +=+;2)),(),(),(22112211βαβαβααf k f k k k f +=+,其中2121,,,,,βββααα是V 中任意向量,21,k k 是P 中任意数,则称),(βαf 为V 上的一个双线性函数.这个定义实际上是说对于V 上双线性函数),(βαf ,将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数.例1 欧氏空间V 的内积是V 上双线性函数.例2 设)(),(21ααf f 都是线性空间V 上的线性函数,则V f f f ∈=βαβαβα,,)()(),(21是V 上的一个双线性函数. 例3 设n P 是数域P 上n 维列向量构成的线性空间.n P Y X ∈,再设A 是P 上n 级方阵.令AY X Y X f '=),(, (1)则),(Y X f 是n P 上的一个双线性函数.如果设),,,(,),,,(2121n n y y y Y x x x X ='=',并设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 则∑∑===n i nj j i ij y x a Y X f 11),(. (2)(1)或(2)实际上是数域P 上任意n 维线性空间V 上的双线性函数),(βαf 的一般形式.可以如下地说明这一事实.取V 的一组基n εεε,,,21 .设X x x x n n n ),,,(),,,(212121εεεεεεα =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=, Y y y y n n n ),,,(),,,(212121εεεεεεβ =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=, 则∑∑∑∑======n i nj j i j i n i n j j j i i y x f y x f f 1111),(),(),(εεεεβα. (3)令n j i f a j i ij ,,2,1,,),( ==εε,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 则(3)就成为(1)或(2).定义 4 设),(βαf 是数域P 上n 维线性空间V 上的一个双线性函数. n εεε,,,21 是V 的一组基,则矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111n n n n n n f f f f f f f f f A εεεεεεεεεεεεεεεεεε (4) 叫做),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵.上面的讨论说明,取定V 的一组基n εεε,,,21 后,每个双线性函数都对应于一个n 级矩阵,就是这个双线性函数在基n εεε,,,21 下的度量矩阵.度量矩阵被双线性函数及基唯一确定.而且不同的双线性函数在同一基下的度量矩阵是不同的.反之,任给数域P 上一个n 级矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 对V 中任意向量X n ),,,(21εεεα =及Y n ),,,(21εεεβ =,其中),,,(21n x x x X =',),,,(21n y y y Y ='用∑∑==='=n i nj j i ij y x a AY X f 11),(βα定义的函数是V 上一个双线性函数.容易计算出),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵就是A .因此,在给定的基下,V 上全体双线性函数与P 上全体n 级矩阵之间的一个双射.在不同的基下,同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的,它们之间的什么关系呢?设n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 是线性空间V 的两组基:C n n ),,,(),,,(2121εεεηηη =βα,是V 中两个向量12121),,,(),,,(X X n n ηηηεεεα ==,12121),,,(),,,(Y Y n n ηηηεεεβ ==那么11,CY Y CX X ==如果双线性函数),(βαf 在n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 下的度量矩阵分别为B A ,,则有1111)()()(),(Y AC C X CY A CX AY X f ''='='=βα.又11),(BY X f '=βα.因此AC C B '=这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.定义5 设),(βαf 是线性空间V 上一个双线性函数,如果0),(=βαf对任意V ∈β,可推出0=α,f 就叫做非退化的.可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是不是退化的.设双线性函数),(βαf 在基n εεε,,,21 下的度量矩阵为A ,则对X n ),,,(21εεεα =,Y n ),,,(21εεεβ =,有AY X f '=),(βα如果向量α满足V f ∈∀=ββα,0),(,那么对任意Y 都有0='A Y X因此0='A X而有非零向量X '使上式成立的充要条件为A 是退化的,因此易证双线性函数),(βαf 是非退化的充要条件为其度量矩阵A 为非退化矩阵.对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵化简.但对一般矩阵用合同变换化简是比较复杂的.对于对称矩阵已有较完整的理论.定义6 ),(βαf 是线性空间V 上的一个双线性函数,如果对V 上任意两个向量βα,都有),(),(αββαf f =,则称),(βαf 为对称双线性函数.如果对V 中任意两个向量βα,都有),(),(αββαf f -=则称),(βαf 为反对称双线性函数.设),(βαf 是线性空间V 上的一个对称双线性函数,对V 的任一组基n εεε,,,21 ,由于),(),(i j j i f f εεεε=故其度量矩阵是对称的,另一方面,如果双线性函数),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵是对称的,那么对V 中任意两个向量X n ),,,(21εεεα =及Y n ),,,(21εεεβ =都有),(),(αββαf AX Y X A Y AY X f ='=''='=.因此),(βαf 是对称的,这就是说,双线性函数是对称的,当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称的.同样的,双线性函数是反对称的的充要条件是它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵.我们知道,欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数,而且它在任一基下的度量矩阵是正交矩阵.定理5 设V 是数域P 上n 维线性空间,),(βαf 是V 上对称双线性函数,则存在V 的一组基n εεε,,,21 ,使),(βαf 在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.如果),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵为对角矩阵,那么对∑∑====ni i i n i i i y x 11,εβεα,),(βαf 有表示式n n n y x d y x d y x d f +++= 222111),(βα.这个表示式也是),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵为对角形的充分条件.推论1 设V 是复数上n 维线性空间,),(βαf 是V 上对称双线性函数,则存在V 的一组基n εεε,,,21 ,对V 中任意向量∑∑====ni i i n i i i y x 11,εβεα,有)0(),(2211n r y x y x y x f r r ≤≤+++= βα.推论2 设V 是实数n 上维线性空间,),(βαf 是V 上对称双线性函数,则存在V 的一组基n εεε,,,21 ,对V 中任意向量∑∑====ni i i n i i i y x 11,εβεα,有)0(),(1111n r p y x y x y x y x f rr p p p p ≤≤≤---++=++ βα.对称双线性函数与二次齐次函数是1—1对应的. 定义7 设V 是数域P 上线性空间,),(βαf 是V 上双线性函数.当βα=时,V 上函数),(ααf 称为与),(βαf 对应的二次齐次函数.给定V 上一组基n εεε,,,21 ,设),(βαf 的度量矩阵为()n n ija A ⨯=.对V 中任意向量∑==n i i i x 1εα有∑∑===n i nj j i ij x x a f 11),(αα. (5)式中j i x x 的系数为ji ij a a +.因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为()n n ij a A ⨯= 及()n n ij b B ⨯=只要n j i b b a a ji ij ji ij ,,2,1,, =+=+,那么它们对应的二次齐次函数就相同,因此有很多双线性函数对应于同一个二次齐次函数,但是如果要求A 为对称矩阵,即要求双线性函数为对称的,那么一个二次齐次函数只对应一个对称双线性函数.从(1)式看出二次齐次函数的坐标表达式就是以前学过的二次型.它与对称矩阵是1—1对应的,而这个对称矩阵就是唯一的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数.定理6 设),(βαf 是n 维线性空间V 上的反对称双线性函数,则存在V 的一组基s r r ηηεεεε,,,,,,,111 --使⎪⎩⎪⎨⎧=∈=≠+===-.,,1,,0),(;0,0),(;,,1,1),(s k V f j i f r i f k j i i i αηαεεεε (6) 从定理5可知,V 上的对称双线性函数),(βαf 如果是非退化的则有V 的一组基n εεε,,,21 满足⎩⎨⎧≠==≠.,0),(;,,2,1,0),(i j f n i f j i i i εεεε前面的不等式是非退化条件保证的,这样的基叫做V 的对于),(βαf 的正交基.而从定理6可知,V 上的反对称双线性函数),(βαf 如果是非退化的,则有V的一组基r r --εεεε,,,,11 使⎩⎨⎧≠+===-.0,0),(;,,2,1,1),(j i f r i f j i i i εεεε由于非退化的条件,定理6中的s ηη,,1 不可能出现.因此具有非退化反对称双线性函数的线性空间一定是偶数维的.对于具有非退化对称、反对称双线性函数的线性空间V ,也可以将这些双线性函数看成V 上的一个“内积”,仿照欧氏空间来讨论它的度量性质,一般的长度,角度很难的进去,但是还能讨论“正交性”、“正交基”以及保持这个双线性函数的线性变换等.定义8 设V 是数域P 上的线性空间,在V 上定义一个非退化线性函数,则V 称为一个双线性度量空间.当f 是非退化对称双线性函数时,V 称为P 上的正交空间;当V 是n 维实线性空间,f 是非退化对称双线性函数时,V 称为准欧氏空间;当f 是非退化反对称双线性函数时,称V 为辛空间.有着非退化双线性函数f 的双线性度量空间常记为),(f V .。

高等代数【北大版】10-4

高等代数【北大版】10-4
f (α , β ) = f ( β ,α )
对称双线性函数. 则称 f (α , β ) 为对称双线性函数
§10.4 对称双线性函数
2. 对称双线性函数的有关性质 命题1 数域 P上n 维线性空间 V上双线性函数 命题 上 上双线性函数 是对称的(反对称的) 是对称的(反对称的) f (α , β ) 在V的任意 的任意 一组基下的度量矩阵是对称的(反对称的) 一组基下的度量矩阵是对称的(反对称的). 证:任取V的一组基 ε 1 , ε 2 , , ε n , 任取 的一组基
" " f (α + β ,α + β )
α ∈ V
= f (α , β ) + f ( β ,α ) + f (α ,α ) + f ( β , β )
f (α , β ) + f ( β ,α ) = 0
f (α , β ) = f ( β ,α )
§10.4 对称双线性函数
二, 反对称双线性函数
§10.4 对称双线性函数
2. 反对称双线性函数的有关性质 定理6 维线性空间V上反对称 定理 设 f (α , β ) 为 n 维线性空间 上反对称 双线性函数( 双线性函数(即 α , β ∈ V , f (α , β ) = f ( β ,α ) ) 则存在V的一组基 则存在 的一组基 ε 1 , ε 1 , , ε r , ε r ,η1 , ,η s 使
α = (ε 1 , ε 2 , , ε n ) X , β = (ε 1 , ε 2 , , ε n )Y .
f (ε i , ε j ) = aij ,

A = (aij )
f (α , β ) = X ' AY .

(完整版)高等代数(北大版)第10章习题参考答案

(完整版)高等代数(北大版)第10章习题参考答案

第十章双线性函数与辛空间1、设V是数域P上的一个三维线性空间,ε1,ε2,ε3是它的一组基,f是V上的一个线性函数,已知f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3求f (X1ε1+X2ε2+X3ε3).解因为f是V上线性函数,所以有f (ε1)+ f (ε3)=1f (ε2)-2 f (ε3)=-1f (ε1)+f (ε2)=-3解此方程组可得f (ε1)=4,f (ε2)=-7,f (ε3)=-3 于是f (X1ε1+X2ε2+X3ε3).=X1f (ε1)+X2 f (ε2)+X3 f (ε3)=4 X1-7 X2-3 X32、设V及ε1,ε2,ε3同上题,试找出一个线性函数f ,使f (ε1+ε3)=f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1解设f为所求V上的线性函数,则由题设有f (ε1)+ f (ε3)=0f (ε2)-2 f (ε3)=0f (ε1)+f (ε2)=1解此方程组可得f (ε1)=-1,f (ε2)=2,f (ε3)=1于是∀a∈V,当a在V的给定基ε1,ε2,ε3下的坐标表示为a= X1ε1+X2ε2+X3ε3时,就有f (a)=f (X1ε1+X2ε2+X3ε3)= X 1 f (ε1)+X 2 f (ε2)+X 3 f (ε3)=-X 1+2 X 2+ X 3 3、 设ε1,ε2,ε3是线性空间V 的一组基,f1,f2,f3是它的对偶基,令α1=ε1-ε3,α2=ε1+ε2-ε3,α3=ε2+ε3试证:α1,α2,α3是V 的一组基,并求它的对偶基。

证: 设(α1,α2,α3)=(ε1,ε2,ε3)A由已知,得A =110011111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦因为A ≠0,所以α1,α2,α3是V 的一组基。

设g1,g2,g3是α1,α2,α3得对偶基,则 (g1,g2,g3)=(f1,f2,f3)(A ˊ)1-=(f1,f2,f3)011112111-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦因此g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f34.设V 是一个线性空间,f1,f2,…fs 是V *中非零向量,试证:∃α∈V ,使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证:对s 采用数学归纳法。

高等代数(第三版)10.4 辛空间.

高等代数(第三版)10.4 辛空间.
辛子空间的概念及性质
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
辛子空间的概念
定义8 设V为数域P上线性空间,在V 上定义了一个非退化双线性函数,则 V称为一个双线性度量空间. 当f 是非退化对称双线性函数时,V称 为P上的正交空间;当V是n维实线性 空间时,f 是非退化对称双线性函数时, V称为准欧氏空间;当f 是非退化反对称 双线性函数时,V称为辛空间.
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
定义 两个辛空间(V1 , f1 )及(V 2, f 2),若 有V1到V2的作为线性空间的同构,满足 f1 ( , ) f 2 ( , ), 则称 是(V1 , f1 )到(V 2, f 2)的辛同构
两个辛空间是辛同构当且仅当 它们有相同的维数
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
小 结
辛空间的概念及性质
作业:P423:15,17
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
第十章 双线性函数与辛空间ห้องสมุดไป่ตู้10.4 辛空间
定理11 设 是2n维辛空间中的 则它的特征多项式f ( ) | I K | 满足 f ( ) f ( ).若设
2n
辛变换,K是 在某辛正交基下的矩阵, 1

f ( ) a0
2n
a1
2 n 1

a2 n 1 a2 n
则ai a2 n i , i 0,1,
,n
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
定理12 设i , j 是数域P上辛空间(V , f ) 上的辛变换 在P中的特征值,且i j 1, 设Vi ,V j 是V中对应于特征值i 及 j的特征 子空间,则u Vi , v V j , 有f (u , v) 0, 即Vi 与V j 是辛正交的特别地,当 . i 1时, Vi 是迷向子空间.

(完整版)第十章双线性函数

(完整版)第十章双线性函数

第十章 双线性函数一 内容概述 1 线性函数ⅰ)线性函数 设V 是数域P 上线性空间,映射f :V →P 满足 ①f (α+β)=f (α)+f (β) ∈∀βα,V② f (α)=k f (α) ∀∈αV ,k ∈P 则f 是V 上的一个线性函数 ⅱ)线性函数的简单性质: (1) 设f 是V 上的线性函数,则f (0)=0,()()ααf f -=-(2)如果是βs αααΛ,,21的线性组合:s s k k k αααβ++=Λ2211 ,那么 s s k k k f αααβ+++=Λ2211)(定理 设V 是P 上一个n 维线性空间,n εεε,,,21Λ是V 的一组基,而n a a a ,,,21Λ是P 中任意n 个数,存在唯一的V 上线性函数f 使f (i ε)=i a n i ,,2,1Λ= 2线性函数空间设V 是数域上P 线性空间,V 上的全体线性函数的集合记为L(V , P), 定义 ⅰ)加法 (g f +)(α)=f (α)+g (α) g f ,∀∈L(V , P) ∀α∈V ⅱ)数乘()()()()ααkf kf =,()p k p V f ∈∈∀,,τ则()p V ,τ 也是一个 p 上的线性空间。

并称()p V ,τ 为V 的对偶空间。

3对偶基设n εεε,,,21Λ为V 的一组基,定义 )(j i f ε=⎩⎨⎧≠=ij i j 01,则n f f f ,,,21Λ是()P V ,τ的一组基。

称n f f f ,,,21Λ 为n εεε,,,21Λ的对偶基。

定理 ()P V ,τ的维数等于V 的维数,而且n f f f ,,,21Λ是()P V ,τ 的一组基定理 设 n εεε,,,21Λ及 1η,2η,K n η是线性空间V 的两组基,它们的对偶基分别与n f f f ,,,21Λ及n g g g ,,,21Λ。

如果由n εεε,,,21Λ到1η,2η,K n η的过渡矩阵为 A ,那么由n f f f ,,,21Λ到n g g g ,,,21Λ的过渡矩阵为1')(-A4. 双线性函数设V 是数域 P 上一个线性空间。

第十部分双线函数与二次型教学课件

第十部分双线函数与二次型教学课件
个线性函数.
例1.线性空间 V 上的内积即为一个双线性函数.
f :V V P, f (, ) (, ),, V
例2. V上两个线性函数 f1, f2 :V P, 定义 f :V V P, f ( , ) f1( ) f2( ) 证明: f 是V上的一个双线性函数.
证: f ( , k11 k22 ) f1( ) f2(k11 k22 ) k1 f ( , 1 ) k2 f ( , 2 ),
②一个对称双线性函数只能导出一个二次型.
n
此时, f ( , ) X ' AX aij xi x j .
i , j1
aij a ji
此即为以前学过的二次型.
而二次型与对称矩阵1-1对应.
(2) f (k11 k22 , ) k1 f (1, ) k2 f (2 , ) 其中 ,1,2 , , 1, 2 V , k1, k2 P 则 f ( , ) 称为 V上的一个双线性函数.

对于线性空间V上的一个双线性函数 f ( , ) 当固定一个向量 (或 )不变时,可以得出一
f ( , ) f ( , ) 则称 f ( , )为对称双线性函数.
定义2.
设 f ( , ) 为数域P上线性空间V上的一个双线 性函数,如果对V中任意向量 , 均有
( f ( , ) f ( , )) 则称 f ( , )为反对称双线性函数.
定理1 数域 P上n 维线性空间 V上双线性函数
空间 V 上双线性函数 f ( , ) 的一般形式.
设 1, 2 , , n 为数域 P上线性空间V的一组基,
设 x11 x2 2 xn n (1 2 (1 2 n )X
x1
n
)
x2
xn

高等代数(第三版)10.2对偶空间

高等代数(第三版)10.2对偶空间

, gn
的过渡矩阵为 ( AT )1
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
证明: 设A (aij )nn,设由f1 , f 2 , , f n到 g1 , g 2 , , g n的过渡矩阵为B (bij ) nn , 则 (1 ,2 , ,n ) (1 , 2 , , n ) A ( g1 , g 2 , , g n ) ( f1 , f 2 , , f n ) B
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
小 结
线性函数运算的定义 对偶空间的定义及性质
作业:P420:3,4
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
, f n线性表示,
, f 是V *的一组基, divV * n.
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
定义2
设n维线性空间V的基为1 , 2 , 由上面定理所确定V 的基f1 , f 2 , 称为1 , 2 , , n的对偶基.
*
, n, , fn
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
n
kj
f k (i )
b
k 1 n
n
kj
f k ( ali l )
l 1
n
b ( a
k 1
li
f k ( l ))
b
k 1
kj
aki , n)
1 又g j (i ) 0 从而, b1 j a1i b2 j a2 i
j i ji
(i, j 1, 2,
*
第十章 双线性函数与辛空间 10.2 对偶空间
定理2
n维线性空间V的对偶空间V 的维数也是n维的.

第十章 双线性函数

第十章 双线性函数

第十章 双线性函数§10.1 线性函数1.设V 是数域F 上的一个线性空间, f 是V 到F 的一个映射, 若f 满足:(1)()()();(2)()(),f f f f k kf αβαβαα+=+=式中,αβ是V 中任意元素, k 是F 中任意数, 则称f 为V 上的一个线性函数.2.简单性质:设f 是V 上的线性函数 (1) (0)0,()().f f f αα=−=−(2)11221122()()()()t t t t f k k k k f k f k f αααααα+++=++L L例1 对数域F 上的任意方阵()ijn nA a ×=, 我们已定义1122()nn tr A a a a =+++L为A 的对角元之和, 称为A 的迹. 容易验证映射 :,()n n tr A tr A ×→→F F满足条件:(1)()()(),,;(2)()(),,.n n n ntr A B tr A tr B A B tr kA k tr A A k ××+=+∀∈=∀∈∈ F F F因此tr 是n n×F的线性函数.例2 设[]V F x =, a 是F 中一个取定的数. 定义[]F x 上的函数a L 为: (())(),()[],a L f x f a f x F x =∈即(())a L f x 为()f x 在a 点的值, (())a L f x 是[]F x 上的线性函数.如果V 是数域F 上的一个n 维线性空间, 取定V 的一组基12,,,n εεεL . 对V 上任意线性函数f 及V 中任意向量α:1122n n x x x αεεε=+++L都有1122()()()()n n f x f x f x f αεεε=+++L因此, ()f α由12(),(),,()n f f f εεεL 的值唯一确定. 反之, 任给F 中n 个数12,,,n a a a L , 用下式定义V 上一个函数f :11()n ni ii ii i f x a x ε===∑∑这是一个线性函数, 而且(),1,2,,i i f a i n ε==L我们有:3. 设V 是数域F 上的一个n 维线性空间, 取定V 的一组基12,,,n εεεL , 对于任给F 中n 个数12,,,n a a a L , 存在唯一的V 上线性函数f 使(),1,2,,i i f a i n ε==L .§10.2 对偶空间1.对偶空间定义设V 是数域F 上的n 维线性空间. V 上全体线性函数组成的集合记为*V .*V 上定义加法与数乘:()()()(),f g f g V αααα+=+∈.()()(()),.kf k f V ααα=∈则,f g kf +都是线性函数, 故*V 成为F 上的线性空间. *V 称为V 的对偶空间3.对偶基取定V 的一组基12,,,n εεεL ,定义V 上的n 个线性函数(1,2,,)i f i n =L 如下: ()i j ij f εδ= 则12,,,n f f f L 是*V 中线性无关的向量组, 构成*V 的一组基. 我们称之为12,,,n εεεL 的对偶基.4.对偶空间的维数*dim dim V V n ==.5.对偶基之间的关系 设12,,,n εεεL 及12,,,n ηηηL 是线性空间V 的两组基, 它们的对偶基分别是12,,,n f f f L 及12,,,n g g g L . 再设由12,,,n εεεL 到12,,,n ηηηL 的过渡矩阵为A , 那么由12,,,n f f f L 到12,,,n g g g L 的过渡矩阵为1()T A −.6.V 到**V 的同构(1)取定V 中一个向量x , 定义*V 的一个函数**x 如下: ***()(),x f f x f V =∈.(2)函数**x 具有下列性质 z****x V ∈z 若**()0x f =对一切x V ∈成立, 则0f =;z 若**()0x f =对一切*f V ∈成立的充分必要条件是0x =. (3)同构V 是一个线性空间, **V 是V 的对偶空间的对偶空间. V 到**V 的映射 **x x → 是一个同构映射.如果把V 与**V 在这个同构下等同起来, 则V 可以看成*V 的对偶空间. 这样V 与**V 具有同等的地位, 它们互为对偶.§10.3 双线性函数一、 双线性函数的定义与矩阵1.定义设V 是数域F 上一个线性空间, (,)f αβ是V 上一个二元函数, 即将V 中任意两个向量,αβ对应于F 中一个数(,)f αβ, 并且满足如下条件:1122112211221122(1)(,)(,)(,);(2)(,)(,)(,)f k k k f k f f k k k f k f αββαβαβααβαβαβ+=++=+这里121212,,,,,;,V k k αααβββ∈∈F . 我们称(,)f αβ是V 上一个双线性函数.注:将V 中一个变元固定时的映射 :,(,)f V f αβαβ→a F 和:,(,)V αϕβϕβα→a F都是V 上的线性函数, 就是说,f ααϕ都是V 的对偶空间*V 中的向量.2. 定理(双线性函数的形式)设在数域F 上的线性空间V 上定义了双线性函数f ,12,,,n εεεL 是V 的任意一组基.则任意,V αβ∈在f 下的值(,)f αβ可以由,αβ在该基下的坐标,X Y 按下列公式计算: (,)Tf X AY αβ=,其中()ij n n A a ×=由(,)ij i j a f εε=组成, 称为双线性函数f 在12,,,n εεεL 下的度量矩阵.3.简单性质设,f g 在12,,,n εεεL 下的度量矩阵分别是,A B , 则 (1)f g +在12,,,n εεεL 下的矩阵分别是A B +; (2)kf 在12,,,n εεεL 下的矩阵分别是kA 。

§10.3 双线性函数

§10.3   双线性函数
§10.3 双线性函数
§10.3 双线性函数
一,双线性函数 二,度量矩阵 三,非退化双线性函数
第十章 双线性函数
一,双线性函数 定义1 设V是数域F上的一个线性空间,f (α , β ) 是V上一个二 元函数,即对 α , β ∈ V , f 确定F中唯一的数 f (α , β ) 与之对应. 若对 α , α 1 , α 2 , β , β 1 , β 2 ∈ V , k1 , k2 ∈ F , f (α , β ) 满足以下两点: (1) f (α , k1 β 1 + k2 β 2 ) = k1 f (α , β 1 ) + k2 f (α , β 2 ); (2) f ( k1α 1 + k2α 2 , β ) = k1 f (α 1 , β ) + k2 f (α 2 , β ) . 则称 f (α , β ) 为V上的一个双线性函数. 由定义知:双线性函数是这样一个二元函数 f (α , β ) :对每 个变元,它都是线性函数.
f (α , k1 β 1 + k2 β 2 ) = f1 (α ) f 2 ( k1 β 1 + k2 β 2 )
= f1 (α )[k1 f 2 ( β 1 ) + k2 f 2 ( β )] = k1 f1 (α ) f 2 ( β 1 ) + k2 f1 (α ) f 2 ( β 2 ) = k1 f (α , β 1 ) + k2 f (α , β 2 ) f ( k1α 1 + k2α 2 , β ) = f1 ( k1α 1 + k2α 2 ) f 2 ( β ) = [ k1 f1 (α 1 ) + k2 f1 (α 2 )] f 2 ( β )= k1 f1 (α 1 ) f 2 ( β ) + k2 f1 (α 2 ) f 2 ( β ) = k1 f (α 1 , β ) + k2 f (α 2 , β )

第10章 双线性函数

第10章 双线性函数

第十章双线性函数一、线性函数与双线性函数定义:V K ,:f V K →,若f 满足:(1)()()(),,f f f V αβαβαβ+=+∀∈,(2)()(),,f k kf V k K ααα=∀∈∈,称f 是V 上的线性函数。

定义:V K ,1,,n εε⋯为V 的一组基,则(1)V 上的任一双线性函数(,)f αβ完全由其在基1,,n εε⋯上的作用决定。

(,)(,)(,)i j i j g f g αβεεεε∃=,,则(,)(,)f g αβαβ=。

(2)()(,)n A M K f αβ∀∈∃存在唯一,!,使得(,)i j ij f a εε=。

证明:(1)1111,(,,),(,,),,n n n n x y V X Y X Y x y αβαεεβεε⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟∀∈====⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⋯⋯⋮⋮,(,)(,)(,)(,)(,)i i i i i j i j i j i j f f x y f x y g x y g αβεεεεεεαβ====∑∑∑∑∑∑(2)设'(,)f X AYαβ='''1122112211221122(,)()(,)(,)f k k k X k X AY k X AY k X AY k f k f ααβαβαβ+=+=+=+0(,)(0,,1,,0)10i j ijif A a j εε⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⋮⋯⋯⋮注:1称()((,))ij i j A a f εε==为(,)f αβ在基1,,n εε⋯下的矩阵2内积是特殊的双线性函数3线性函数(,)f Hom V K ∈4(,)f A αβ↔5'(,)f X AYαβ=推论:设,()n A B M K ∈,对任两个n 维列向量,X Y ,若''X AY X BY =,则A B =。

证明:''(,),(,)f X AY g X BY A B αβαβ==⇒=二、双线性函数在不同基下的矩阵11(,),,,,n n f αβεεηη⋯⋯,,,11(,,)(,,)n n Tηηεε=⋯⋯1,,(,)((,))n i j f A f εεαβεε⎯⎯⎯→=⋯,1,,(,)((,))ni j f B f ηηαβηη⎯⎯⎯→=⋯11(,,)(,,)n n X X αεεαηη==⋯⋯,,11(,,)(,,)n n Y Y βεεβηη==⋯⋯,X T X Y TY ==,,'''(,)f X AY X T ATY X BYαβ==='B T AT∴=三、对称双线性函数1、定义:设(,)f αβ为V 上的双线性函数,,V αβ∀∈,(,)(,)f f αββα=,称(,)f αβ为对称双线性函数。

高等代数第十章双线性代数

高等代数第十章双线性代数
一组基,f 是 V 上的一个线性函数,已知
f ( 1 3 ) 1, f ( 2 2 3 ) 1, f ( 1 2 ) 3
求 f ( x1 1 x2 2 x3 3 ). 解: f ( ) f ( ) 1 f ( ) 4 1 3 1 f ( 2 ) 2 f ( 3 ) 1 f ( 2 ) 7 f ( 3 ) 3 f ( 1 ) f ( 2 ) 3
n g( i ) f i ( ) i 1
g g ( i ) f i g ( 1 ) f1 g( 2 ) f 2 g( n ) f n
i 1 n
综合②与③即得
定理2 取定线性空间V的一组基 1 , 2 ,, n ,
b1 j a1i b2 j a2 i bnj ani 1, i j . 0, i j
所以, B ' A E .
1 1 1 B ' A B ( A )' ( A ') . 即 或

因此有下述定理
定理3 设 1 , 2 ,, n 与 1 ,2 ,,n 为线性
i 1,2,, n

pi (a j ) 1, 0,

ji ji
i 1,2,, n
且 p1 ( x ), p2 ( x ),, pn ( x ) 为 P[ x ]n 的一组基.
这是因为:
① p1 ( x ) p2 ( x ) pn ( x ) 线性无关. 事实上,若有
c1 p1 ( x ) c2 p2 ( x ) cn pn ( x ) 0.
(1) f ( ) f ( ) f ( ) (2) f ( k ) kf ( )
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第十章 双线性函数一 内容概述 1 线性函数ⅰ)线性函数 设V 是数域P 上线性空间,映射f :V →P 满足 ①f (α+β)=f (α)+f (β) ∈∀βα,V② f (α)=k f (α) ∀∈αV ,k ∈P 则f 是V 上的一个线性函数 ⅱ)线性函数的简单性质: (1) 设f 是V 上的线性函数,则f (0)=0,()()ααf f -=-(2)如果是βs αααΛ,,21的线性组合:s s k k k αααβ++=Λ2211 ,那么 s s k k k f αααβ+++=Λ2211)(定理 设V 是P 上一个n 维线性空间,n εεε,,,21Λ是V 的一组基,而n a a a ,,,21Λ是P 中任意n 个数,存在唯一的V 上线性函数f 使f (i ε)=i a n i ,,2,1Λ= 2线性函数空间设V 是数域上P 线性空间,V 上的全体线性函数的集合记为L(V , P), 定义 ⅰ)加法 (g f +)(α)=f (α)+g (α) g f ,∀∈L(V , P) ∀α∈V ⅱ)数乘()()()()ααkf kf =,()p k p V f ∈∈∀,,τ则()p V ,τ 也是一个 p 上的线性空间。

并称()p V ,τ 为V 的对偶空间。

3对偶基设n εεε,,,21Λ为V 的一组基,定义 )(j i f ε=⎩⎨⎧≠=ij i j 01,则n f f f ,,,21Λ是()P V ,τ的一组基。

称n f f f ,,,21Λ 为n εεε,,,21Λ的对偶基。

定理 ()P V ,τ的维数等于V 的维数,而且n f f f ,,,21Λ是()P V ,τ 的一组基定理 设 n εεε,,,21Λ及 1η,2η,K n η是线性空间V 的两组基,它们的对偶基分别与n f f f ,,,21Λ及n g g g ,,,21Λ。

如果由n εεε,,,21Λ到1η,2η,K n η的过渡矩阵为 A ,那么由n f f f ,,,21Λ到n g g g ,,,21Λ的过渡矩阵为1')(-A4. 双线性函数设V 是数域 P 上一个线性空间。

),(βαf 是V 上一个二元函数,即对V 中任意两个向量βα,都唯一地对应P 中的一个数。

记为),(βαf 。

如果),(βαf 有以下性质: ①f ()2211,ββαk k +=k 1f ()1,βα+k 2f ()2,βα②),(),(),(22112211βαβαβααf k f k k k f +=+ V ∈∀2121,,,,,βββααα p k k ∈∀21,则称 f ()βα, 为 V 上的双线性函数。

设 f ()βα, 是数域 上 维线性空间V 上的一个双线性函数,n εεε,,,21Λ是V 的一组基,则矩阵A=()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n n n f f f f f f f f f εεεεεεεεεεεεεεεεεε,,,,,,,,,212221212111ΛΛΛΛΛΛΛ叫做f ()βα,在n εεε,,,21Λ下的度量矩阵。

5 对称双线性函数f ()βα,是线性空间 V 上一个双线性函数,如果对V 中任意两个向量 都有f ()βα,=f ()αβ,则称f ()βα,为对称双线性函数。

如果对V 中任意两个向量βα,都有f ()βα,=━f ()αβ,则称 f ()βα, 为反对称双线性函数。

定理 设V 是数域P 上维线性空间。

f ()βα,是V 上对称双线性函数,则存在V 的一组基n εεε,,,21Λ使f ()βα,在这组基下的度量矩阵为对角阵。

推论1 设 V 是复数域上n 维线性空间,f ()βα,是 V 上对称双线性函数,则存在V 的一组基n εεε,,,21Λ,对V 中任意向量α=∑=ni ii x 1ε,β=∑=ni ii y 1ε,有f ()βα,=∑=ri i i y x 1(0n r ≤≤)推论2 设 V 是实数域上 维线性空间,f ()βα, 是V 上对称双线性函数,则存在V 的一组基n εεε,,,21Λ,对V 中任意向量 α=∑=ni ii x 1ε,β=∑=ni ii y 1ε,有r r p p p p y x y x y x y x f ---++=++ΛΛ1111),(βα )0(n r p ≤≤≤定理 设 f ()βα, 是 维线性空间V 上的反对称双线性函数,则存在V 的一组基s r r ηηεεεε,,,,,,,111ΛΛ--,使⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∈=≠+===--sk V f j i f r i f k j i i i ΛΛ2,1,0),(00),(2,11),(αηαεεεε 设V 是数域 P 上的一个线性空间,在上V 定义了一个非退化的双线性函数,则V 称为一个双线性度量空间。

特别地当V 为 维实线性空间,f ()βα,是V 上非退化对称双线性函数时, V 称为伪欧氏空间。

二 例题选讲例 1 设V 是一个线性空间,s f f f ,,,21Λ 是*-V 中非零向量,试证:存在∈αV 使f()0≠αi,i =1,2,K S证 对 S 用数学归纳法 当 S=1 时f10≠ 所以存在∈αV 使f()01≠α 即 S=1 使命题成立假定当 S=K 时命题成立。

即存在∈αV 使 f ()0≠=iia α i=1,2,K K下证S=K+1时,命题成立 若f ()01≠+αK 则命题得证。

若f ()01=+αK 但由01≠+k f 知存在V ∈β使b f k =+)(1β设i i d f =)(β()K i Λ,2,1= 总可取数C使a,i =1,2,K K 令V c d ∈+=γβαγ, 且0)(≠+=i i i cd a f γ()K i Λ,2,1=0)(1≠=+cb f k γ归纳法完成例2设sααα,,,21Λ是数域 P 上的线性空间V 的非零向量,证明:有*_V f ∈使0)(≠i f α s i ,,2,1Λ= 证 因为 V **_V ≅,s ααα,,,21Λ是V 中的非零向量,所以**,*,**,*21s αααΛ是*_V 的对偶空间*__*)(**V V =中的非零向量。

由例1知,存在*_V f ∈ 使 **i α()0≠fs i ,,2,1Λ=即f (i α)0≠,s i ,,2,1Λ=例3 设V 是一个n 维欧氏空间,对V 中确定的向量 定义一个函数*α :()()βαβα,*=(1) 证明:*α是V 上的线性函数;(2)证明:V 到*_V 的映射:*αα→ 是V 到*_V 的同构映射(在同构的定义下,欧氏空间可看成自身的对偶空间)。

证 )(*)(*),(),(),()(*)1(21212121βαβαβαβαββαββα+=+=+=+Θ )(*),(),()(*βαβαβαβαk k k k ===),()(*βαβα=∴k 是V 上的线性函数。

(2)先证*αα→ 是单射。

事实上,设 21αα≠ 而 **21αα≠所以β∀有()()βαβα**2= ,即 ()()βαβα,,21=得到 ()0,21=-βαα 。

对于β ,从而 21αα= 矛盾。

又 *1αα→,*2αα→ 而**)(*)(*),(),(),()(*)(212121212121ααβαβαβαβαβααβαααα+=+=+=+=+→+ *)(*),(),()(*)(αβαβαβαβααk k k k k k ====→ *__V V 与∴同构。

例4 设σ是数域P 上n 维线性空间 V 的一个线性变换(1)证明:对V 上的线性函数f ,f σ仍为V 上的线性函数;(2)定义 v *到自身的映射*σ为:σf f → 证明*σ是v *上的线形变换;(3)1ε,2ε, K n ε是V 的一组基,n f f f ,,,21Λ是其对偶基,并设σ在n εεε,,,21Λ下的矩阵为∆。

证明:*σ在n f f f ,,,21Λ下的矩阵为A T (*σ称σ的转置映射)。

证 (1)令g(α)=f (σ(α))) ∀α,β∈V k ∈Pg(α+β)=f (σ(α+β))=f (σ(α)+σ(β))=f (σ(α))+f (σ(β)) =g(α)+g(β), g(k α)=f (σ(k α))=f (k σ(α))=k f (σ(α))=kg(α) ∴f σ是V 上的线性函数。

(2)∀ h 1,h 2∈V *, k,l ∈P ∀α∈V *σ(kh 1+l h 2)(α)=kh 1σ(α)+l h 2σ(α)=(k σ*h 1+l *σh 2)(α)∴f σ是V *的线性函数。

(3)由条件σ(n εεε,,,21Λ)=(n εεε,,,21Λ)A A=(ij a )nn ⨯*σ(n f f f ,,,21Λ)=(n f f f ,,,21Λ)B B=n n ij b ⨯)(有 n ni i i i a a a εεεσεΛ++=2211n nj j j j b b b f εσ+++=Λ21**σfj(i ε)=fjσ(i ε)=fj(n ni i i a a a εεεΛ++2211)=a ji(n nj j j b b b ε+++Λ21)(i ε)=ij b故ji ij b a = 有 'A B =例5 设1ε,2ε,K n ε是线性空间V 的一个基,321,,f f f 是它的对偶基,今给出V 中向量1α=1ε–2ε 2α=1ε+2ε+3ε 3α=2ε+3ε试证1α,2α,3α是V 的一个基,并求它的对偶基。

解 因为(1α 2α 3α)=(1ε 2ε 3ε)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-111110011=(1ε 2ε 3ε)A 而A ≠0所以1α,2α,3α线性无关,故它是 V 的一个基。

因此A 是1ε,2ε,3ε到1α,2α,3α的过渡矩阵。

用g1,g2,g3表示1α,2α,3α的对偶基。

我们求出(A')1-。

那么(g 1,g 2,g 3)=(321,,f f f )( A ')1-=(321,,f f f )⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----111211110 即 321f f g -= 3212f f f g +-= 32132f f f g ++-= 就是1α,2α,3α的对偶基。

例6在F 3中给出两个基1ε=(1,0,0), 2ε=(0,1,0), 3ε=(0,0,1) 及1η=(1,1,-1), 2η=(1,1,0), 3η=(1,0,0)试求这两个基各自的对偶基。

并写出它们作用在F 3中任意向量X=(x 1,x 2,x 3)上的表达式。

解 设321,,f f f 是1ε,2ε,3ε的对偶基,那么依定义应有 f i (j ε)=⎩⎨⎧≠=ij i j 01i=1, 2, 3于是对任意X=(x 1,x 2,x 3)∈F 3由X=x 11ε+x 22ε+x 33ε得f1(X)=f 1(( x 1,x 2,x 3))=x 12f (X)=f2(( x 1,x 2,x 3))=x 2f 3(X)=f 3((x 1,x 2,x 3))=x 3由于从321,,εεε到321,,ηηη的过渡矩阵是(321,,ηηη)=(321,,εεε)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-001011111=(321,,εεε)A所以(321,,g g g )= (321,,f f f )(A ')1-=(321,,f f f )⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--011110100为1η,2η,3η的对偶基。

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