青岛版七年级数学下册第十二章《乘法公式与因式分解》复习课件%28共25张PPT%29
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新青岛版 第12章 乘法公式和因式分解
12章 乘法公式和因式分解一、“乘法公式”的理解（1）一般所说，乘法公式有两个，它们是 和 （2）这两个乘法公式，是特殊的多项式与多项式在相乘运算中总结出来的规律，仍可以用一般规律计算。
二、乘法公式的关系变换()()()()()()()abb a b a ba b a b a b a ab b a b a ab b a 4.42.32.22.1222222222222=--++=-+++=+-+=-+1.（a+3）(a-3)2.( 2a+3b)( -3b+2a)3. (1+2c)(-1+2c)4. (-x+2)(-x-2)5. (4a-1)(-4a-1)6. (2x+12)(2x-12)7、(-3ab+c)(3ab+c) 8、(2x 2+3y)(3y-2x 2) 9. (a-b)（a+b ）(a 2+b 2)(1)a 2-4ab+( )＝(a-2b)2 (2)(a+b)2-( )＝(a-b)2(3)( -2)2＝ -21x+ (4)(3x+2y)2-(3x-2y)2＝(5)(3a 2-2a+1)(3a 2+2a+1)＝ (6)( )-24a 2c 2+( )＝( -4c 2)2 完全平方公式 2222)(b ab a b a +±=±注意：1、不要漏掉2ab ； 2、2ab 项的正负确定：如果a 、b 两项同号则+2ab ，异号则-2ab 。
1、2)(y x +2、2)23(y x -3、2)21(b a +4、2)12(--t5、2)313(c ab +-6、2)2332(y x +7、已知13a a +=，求221a a+的值(a+b)、（a-b ）和ab 三者中，如果已知任意两者，就可以求出剩下的一个。
1、已知a-b=2，ab=1，求(a+b)2的值2、若2210,3,x y xy +==则22()_______,()________.x y x y +=-=巩固练习一、选择1.下列多项式的乘法中能用平方差公式计算的是（ ） A.)4)(3(++a a B.)2)(2(n m n m --- C.)5)(5(++p p D.)34)(43(b a b a +-2.下列等式成立的是（ ）A.24224)2)(2(y x x y y x -=--B.22294)22(y x y x -=-C.2536)56)(56(2+-=---m m mD.24224)3)(2(n m n m n m -=-+ 3.等式)43(22b a --( )44916a b -=中，括号内应填入的是（ ） A.2243b a - B.2234a b - C.2243b a -- D. 2243b a + 4.若2022=-b a ，且4-=+b a ，则b a -的值是（ ）A.4-B.4C.5-D.5 5.若0=+b a ，11=ab ，则22b ab a +-的值是（ ）A.33-B.33C.11-D.11 二、填空6.____________)23)(23(=+-a a .7._________)47)(74(22=---m m .8.__________)2()2(22=-+p p .9.一个正方形的边长是b a 21-，则它的面积是______________.三、解答10.计算：)2)(4)(2(2-++a a a .11.求值：)(91b a +)(b a -)31)(31(b a b a -+-，其中32=a ，3=b .12. 已知5-=+q p ，6=pq ，求下列各式的值. （1）22pq q p +； （2）22q p +.13. 已知甲数为a 2，乙数比甲数的2倍多3，丙数比甲数的2倍少3，求这三个数的积，并求当5.2-=a 时的积.因式分解方法：1.提取公因式2. 公式法3.十字相乘法（1）3p 2﹣6pq （2）2x 2+8x+8 （3）x 3y ﹣xy（4）3a 3﹣6a 2b+3ab 2． （5）a 2（x ﹣y ）+16（y ﹣x ） （6）（x 2+y 2）2﹣4x 2y 2 （7）16x 2﹣1（8）6xy 2﹣9x 2y ﹣y 3 （9）4+12（x ﹣y ）+9（x ﹣y ）2（10）（x 2+y 2）2﹣4x 2y 2 （11）4x 3+4x 2y+xy 2 （12）3x ﹣12x 3（13）x 2y ﹣2xy 2+y 3 （14）（x+2y ）2﹣y 2用十字相乘法分解因式 (1) 276x x -+(2) 21336x x ++ （3）28103x x ++（4）210275x x ++ (5).2x 2－5x －12 (6).3x 2－5x －2(7)、22215a b ab -- (8)、422318a b a b -- (9)、2243a ab b -+分组分解法（了解）1. 按字母特征分组（1）1a b ab +++ （2） a 2－ab ＋ac －bc2. 按系数特征分组（1）27321x y xy x +++ （2）263ac ad bc bd -+-3. 按指数特点分组（1）22926a b a b -+- （2）2242x x y y +--4.按公式特点分组（1）a 2－2ab ＋b 2－c 2 （2）2229124c bc b a -+-。
青岛版七年级数学下册第十二章《用公式法进行因式分解(2)》公开课课件
=2n[25-10(x-y)+(x-y)2] =2n[52-2×5(x-y)+(x-y)2]
=2n[5-(x-y)]2=2n(5-x+y)2
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/7/252021/7/25Sunday, July 25, 2021
12.4 用公式法进行 因式分解(2)
回
顾
思
考
前面两节课我们学习了提公因式法和公式法进行因式
分解，请同学们回忆：
1、提公因式法
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个
公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，
这种分解因式的方法叫做提公因式法
ma+mb+mc= m(a+b+c) 2、公式法： 运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的方法
• 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/7/252021/7/252021/7/257/25/2021 10:34:22 PM
• 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/252021/7/252021/7/25Jul-2125-Jul-21
• 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/252021/7/252021/7/25Sunday, July 25, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/252021/7/252021/7/252021/7/257/25/2021
=2n[5-(x-y)]2=2n(5-x+y)2
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/7/252021/7/25Sunday, July 25, 2021
12.4 用公式法进行 因式分解(2)
回
顾
思
考
前面两节课我们学习了提公因式法和公式法进行因式
分解，请同学们回忆：
1、提公因式法
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个
公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，
这种分解因式的方法叫做提公因式法
ma+mb+mc= m(a+b+c) 2、公式法： 运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的方法
• 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/7/252021/7/252021/7/257/25/2021 10:34:22 PM
• 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/252021/7/252021/7/25Jul-2125-Jul-21
• 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/252021/7/252021/7/25Sunday, July 25, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/252021/7/252021/7/252021/7/257/25/2021
青岛版七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解复习课件
1.-m2n2+4p2
2.(x+z)2-(y+z)2
(a b)2 a2 2ab b2 完全平方公式：
(a b)2 a2 2ab b2
现在我们把完全平方公式反过来，可得：
a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的 积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
2．学习难点： (1)在具体问题中，正确地运用乘法公式； (2)在具体问题中，正确地运用提公因式法和
公式法分解因式。
乘法公式： (a b)(a b) a2 b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数 的平方差。
a2 b2 (a b)(a b)
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数 的差的积。
n _9__ 3.先化简，再求值：
2a bb 2a b2 4a2 ,其中a 1,b 2
原式=16a4-b4 当a=-1 ，b=-2时，原式=0
首2 2 首 尾 尾2
请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．
1 x2 _____ y2； 2 4a2 9b2 （_±__1_2_a_b；) 3 x2 _____ 4 y2；
4 a2 _____ 1 b2；
4
5 x4 2x2 y __y__2 _．
因式分解的基本方法是什么？
1.a b5 3a b3的公因式是(_a_-b_)_3_ 2.2mn 2mx _2_m___n x 3.8m2n 2mn 2mn_4_m_-_1_
基础自测（学生独立完成）
1.5a 1_5_a_-1_ 25a2 1 2. 3a _2_b_ 3a _2_b_ 9a2 4b2 3.x 1-_1_-x_ 1 x2;a b_b_-a_ b2 a2
2.(x+z)2-(y+z)2
(a b)2 a2 2ab b2 完全平方公式：
(a b)2 a2 2ab b2
现在我们把完全平方公式反过来，可得：
a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的 积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
2．学习难点： (1)在具体问题中，正确地运用乘法公式； (2)在具体问题中，正确地运用提公因式法和
公式法分解因式。
乘法公式： (a b)(a b) a2 b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数 的平方差。
a2 b2 (a b)(a b)
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数 的差的积。
n _9__ 3.先化简，再求值：
2a bb 2a b2 4a2 ,其中a 1,b 2
原式=16a4-b4 当a=-1 ，b=-2时，原式=0
首2 2 首 尾 尾2
请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．
1 x2 _____ y2； 2 4a2 9b2 （_±__1_2_a_b；) 3 x2 _____ 4 y2；
4 a2 _____ 1 b2；
4
5 x4 2x2 y __y__2 _．
因式分解的基本方法是什么？
1.a b5 3a b3的公因式是(_a_-b_)_3_ 2.2mn 2mx _2_m___n x 3.8m2n 2mn 2mn_4_m_-_1_
基础自测（学生独立完成）
1.5a 1_5_a_-1_ 25a2 1 2. 3a _2_b_ 3a _2_b_ 9a2 4b2 3.x 1-_1_-x_ 1 x2;a b_b_-a_ b2 a2
12.4.1 用公式法进行因式分解(课件)-2019-2020学年七年级数学下册同步精品课堂(青岛版)(共20张PPT)
的左边和右边分别交换位置，就得到
a2 b2 ＝ (a b)(a b) a2 2ab b2 ＝ (a b)2 a2 2ab b2 ＝ (a b)2
2 课堂活动-巩固概念
a2 b2 ＝ (a b)(a b) a2 2ab b2 ＝ (a b)2 a2 2ab b2 ＝ (a b)2
另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负
4 当堂检测
1.因式分解：
（1）16x2+24x+9； 解： (1)16x2+ 24x +9
= (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2 = (4x + 3)2； 2.计算下列各题：
（2）-x2+4xy-4y2.
(2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2.
把它们作为公式，就可以把具备平方差或完全平方式 形式的多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫 做公式法.
2 课堂活动-知识讲解1
说出下列多项式哪些可用平方差公式进行因式分解？
① x2 y2 ;② 16 b2 ; ③ x2 y2 ; ④ x2 y2 .
①②可用平方差公式进行因式分解， 能否运用平方差公式进行因式分解， 关键在于__能__写__成__某__两__式__平__方__差__的_形__式__.
(2)9m2 6mn n2 (3)x2 x 1 4
解
(1)25x2 20x 4
(2)9m2 6mn n2
5x2 2 5x 2 22 3m2 23m n n2
5x 22
3m n2
(3)x2 x 1 4
x2
2
x
1
1
2
2 2
a2 b2 ＝ (a b)(a b) a2 2ab b2 ＝ (a b)2 a2 2ab b2 ＝ (a b)2
2 课堂活动-巩固概念
a2 b2 ＝ (a b)(a b) a2 2ab b2 ＝ (a b)2 a2 2ab b2 ＝ (a b)2
另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负
4 当堂检测
1.因式分解：
（1）16x2+24x+9； 解： (1)16x2+ 24x +9
= (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2 = (4x + 3)2； 2.计算下列各题：
（2）-x2+4xy-4y2.
(2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2.
把它们作为公式，就可以把具备平方差或完全平方式 形式的多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫 做公式法.
2 课堂活动-知识讲解1
说出下列多项式哪些可用平方差公式进行因式分解？
① x2 y2 ;② 16 b2 ; ③ x2 y2 ; ④ x2 y2 .
①②可用平方差公式进行因式分解， 能否运用平方差公式进行因式分解， 关键在于__能__写__成__某__两__式__平__方__差__的_形__式__.
(2)9m2 6mn n2 (3)x2 x 1 4
解
(1)25x2 20x 4
(2)9m2 6mn n2
5x2 2 5x 2 22 3m2 23m n n2
5x 22
3m n2
(3)x2 x 1 4
x2
2
x
1
1
2
2 2
青岛版七年级数学下册第十二章《乘法公式与因式分解》复习
第十二章 乘法公式与因式分解 总复习
一般题型
升级版题型
平方差公式
乘
法
公
式
与
乘法公式 区 别
公式串题型
一般题型
完全平方公式
升级版题型
综 合
和
公式的变形与应用
联
因
式
分
系 因式分解
定义
提单项式
提公因式法 提多项式
判断
解
方法
平方差公式 一般题型
升级版题型
综合
公式法
判断
解:(1)（x+y+z)2=[(x+y)+z]2 =(x+y)2+2(x+y)z+z2 =x2+2xy+y2+2xz+2yz+z2 =x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz
把所得结果作为推广了的完全平 方公式，试用语言叙述这一公式：
12a b c2
三个数和的完全平方等于 这三个数的平方和， 再加上每两数乘积的2倍。
一般题型
升级版题型
完全平方公式 含参数的完全平方公式
恒为正数的题型
一般题型
平方差公式： a ba b a2 b2
（2a＋3b）（2a－3b）
例1：
平
方
标准型
（-2a＋3b）（-2a－3b）
差
公
（3b＋2a）（2a－3b）
式
非标准型
（-2a－3b）（2a－3b）
例2.(a+b+c)(a+b-c),是否可用平方差 公式计算？怎样应用公式计算？
完全平方有3项，首平方，尾平方， 首尾乘积2倍在中央，中央符号同前方
一般题型
升级版题型
平方差公式
乘
法
公
式
与
乘法公式 区 别
公式串题型
一般题型
完全平方公式
升级版题型
综 合
和
公式的变形与应用
联
因
式
分
系 因式分解
定义
提单项式
提公因式法 提多项式
判断
解
方法
平方差公式 一般题型
升级版题型
综合
公式法
判断
解:(1)（x+y+z)2=[(x+y)+z]2 =(x+y)2+2(x+y)z+z2 =x2+2xy+y2+2xz+2yz+z2 =x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz
把所得结果作为推广了的完全平 方公式，试用语言叙述这一公式：
12a b c2
三个数和的完全平方等于 这三个数的平方和， 再加上每两数乘积的2倍。
一般题型
升级版题型
完全平方公式 含参数的完全平方公式
恒为正数的题型
一般题型
平方差公式： a ba b a2 b2
（2a＋3b）（2a－3b）
例1：
平
方
标准型
（-2a＋3b）（-2a－3b）
差
公
（3b＋2a）（2a－3b）
式
非标准型
（-2a－3b）（2a－3b）
例2.(a+b+c)(a+b-c),是否可用平方差 公式计算？怎样应用公式计算？
完全平方有3项，首平方，尾平方， 首尾乘积2倍在中央，中央符号同前方
青岛版七年级数学下册第十二章《12.3用提公因式法进行因式分解》公开课课件(15张)
错误
1、 当多项式的某一项 和公因式相同时，提公 因式后剩余的项是1。 2、另一个因式的项数与 原多项式的项数一致。
小
1、什么叫因式分解？
2、确定公因式的方法：
结
一看系数 二看字母 三看指数
3、提公因式法分解因式步骤(分三步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式； 第三步，将多项式化成两个因式乘积的形式。
( 2 ) 2 m ( m n ) 2 m 2 2 mn （ ）
（3)4 x 2 4 x 1 (2 x 1) 2 （
（ 4） x 1 x (1 1 ）
（
x
( 5 )18 a 3 bc 3 a 2 b • 6 ac
（
）
）
温馨提示
）
分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是整式的乘积的形式.
问:多项式中的公因式是如何确定的？
定系数：多项式各项系数的最大公约数。 （当 系数是整数时）
定字母：多项式各项中都含有的相同的字母。
定指数： 相同字母的指数取各项中字母的最低 次幂。
练习二
口答：找出下列各多项式中的公因式：
（1）ax+ay+a
a
（2）6a3b2－3a2b2－12a2b3 3a2b2
(3)a(m 6) b(m 6)
(4)3(a b) a(b a)
用提公因式法分解因式的步骤：
第一步 ：找出公因式； 第二步： 确定另一个因式 ； 第三步： 将多项式化成两个因式乘积的形式。
例3：小冬解的有误吗？
把 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab分解因式.
解：8 a3b2 –12ab3c + ab = ab·8a2b - ab·12b2 c +ab·1 == aabb((88aa22bb -- 1122bb22cc)+1)
最新 公开课课件 青岛版七年级数学下册12.4.1用公式法进行因式分解(上)课件(共16张PPT)
2 2
a 2ab b a b
2
a 2ab b a b
2 2
2
判断能否用完全平方公式应过几关？ （1）项数关： 3项
（2）平方项符号关： 相同 （3）中间项关：中间项为这两项积的2倍或积的2倍的相反数
作业
习题2.4A组
回
顾
思
考
例1、把下列各式分解因式： (1)3a3b2－12ab3 关键确定公因式
(2)x(a+b)+y(a+b)
(3)a(m-2)+b(2-m)
(4)a(x-y)2-b(y-x)2
一看系数 二看字母 三看指数
最大公约数
×
相同字母最低次幂
整式乘法和因式分解是什么关系？
（整式乘法） (a+b)(a-b)=a2-b2
2 2
2
a b
2
a 2ab 尾平方， 首尾乘积2倍在中央，中央符号同前方 2 2 2 2 2 2 a 2ab b a b a 2ab b a b
例2：把下列各式进行因式分解： 1 2 2 (2)9m - 3mn + n (1)25x2+20x+4 4 2 解： 解： 2 1 2 2 1 原式 5 x 2 5 x 2 2 原式 3m 2 3m n n 2 2 1 2 2
9x 24xy 16 y
判断下列各式能否用完全平方公式进行因式分解:
(1) x xy y
2
2
2
2
(2) x 2 5x 25
2
(3) a 2ab b
(4) 4x 12xy 9 y
(6) 9x 4 y
a 2ab b a b
2
a 2ab b a b
2 2
2
判断能否用完全平方公式应过几关？ （1）项数关： 3项
（2）平方项符号关： 相同 （3）中间项关：中间项为这两项积的2倍或积的2倍的相反数
作业
习题2.4A组
回
顾
思
考
例1、把下列各式分解因式： (1)3a3b2－12ab3 关键确定公因式
(2)x(a+b)+y(a+b)
(3)a(m-2)+b(2-m)
(4)a(x-y)2-b(y-x)2
一看系数 二看字母 三看指数
最大公约数
×
相同字母最低次幂
整式乘法和因式分解是什么关系？
（整式乘法） (a+b)(a-b)=a2-b2
2 2
2
a b
2
a 2ab 尾平方， 首尾乘积2倍在中央，中央符号同前方 2 2 2 2 2 2 a 2ab b a b a 2ab b a b
例2：把下列各式进行因式分解： 1 2 2 (2)9m - 3mn + n (1)25x2+20x+4 4 2 解： 解： 2 1 2 2 1 原式 5 x 2 5 x 2 2 原式 3m 2 3m n n 2 2 1 2 2
9x 24xy 16 y
判断下列各式能否用完全平方公式进行因式分解:
(1) x xy y
2
2
2
2
(2) x 2 5x 25
2
(3) a 2ab b
(4) 4x 12xy 9 y
(6) 9x 4 y
乘法公式与因式分解复习ppt 青岛版
差
公
3x4 16
式
的
14a22a3b2 头小尾大
逆
用
升级版题型
2ab21 头大尾小
(3 )3 x 4 y2 x 2 y2 头大尾大
1因式分解： 4a2 2a3b2
2计算：4a2 2a3b2
因式分解（完全平方公式）
a 2 2 a b b 2 a b 2 a 2 2 a b b 2 a b 2
判断能否用完全平方公式应过几关？三关： （1）项数关： 3项 （2）平方项符号关： 相同 （3）中间项关：
•
80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
（2） 4x2y2x2xy
（不是）
（3） x 2 x 5 ( x 2 )x (3 ) 1 （不是）
（4） a 2 b a2 b a(a b b )
（ 是）
5x 2
1 y2
x
1 y
x
1 y
（不是 ）
提公因式法 提单项式
方法：
1.确定公因式的数字因数。当各项系数都是整数 时，它们的最大公约数就是公因式的数字因数。
平
方
公
3x2 1 x
4
式
的 升级版题型 : (a b )2 1(a 0 b ) 25 逆
用
例3：含参数的完全平方公式
（A）求中间项
（1）如果多项式x²+ kx +25是完全平方式，
求k的值 K=±10
（B）求第三项
2如果 9x26xm是一个完全平 m方 1
3 如 果 9 x 2 6 x n 2 是 一 个 完 全 平 方 项 ， 则 n 1
•
17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。
最新青岛版七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解PPT
16a2 49b2
②-x-yx y
解：原式=x2 y2
x2 y2
③
am+
1 5
1 5
am
解：原式=
1 5
am
1 5
am
1 5
2
am2
1 25
a2m2
④ 2b-a2 a2 2b
试用语言表述平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2。
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 应用平方差公式 时要注意一些什么？
运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公
式；
第12章 乘法公式与因式分解
12.2 完全平方公式
探索发现
请用多项式的乘法法则计算：(a+b)2 (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 由此得到完全平方公式，即：
解：
原式= a2 2ba2 2b
a2 2 2b2
a4 4b2
利用平方差公式计算情境导航中提出的问题： 解：803×797= (800 ＋ 3)(800 — 3) =8002—32 =640000-9=639991 所以，这个城市广场的面积为639991平方米。
第12章 乘法公式与因式分解 12.1 平方差公式
探索发现
时代中学计划将一个边长为m米的正方形花坛改 造成长为(m+1)米，宽为(m-1)米的长方形花坛，你 会计算改造后的花坛面积吗？
②-x-yx y
解：原式=x2 y2
x2 y2
③
am+
1 5
1 5
am
解：原式=
1 5
am
1 5
am
1 5
2
am2
1 25
a2m2
④ 2b-a2 a2 2b
试用语言表述平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2。
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 应用平方差公式 时要注意一些什么？
运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公
式；
第12章 乘法公式与因式分解
12.2 完全平方公式
探索发现
请用多项式的乘法法则计算：(a+b)2 (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 由此得到完全平方公式，即：
解：
原式= a2 2ba2 2b
a2 2 2b2
a4 4b2
利用平方差公式计算情境导航中提出的问题： 解：803×797= (800 ＋ 3)(800 — 3) =8002—32 =640000-9=639991 所以，这个城市广场的面积为639991平方米。
第12章 乘法公式与因式分解 12.1 平方差公式
探索发现
时代中学计划将一个边长为m米的正方形花坛改 造成长为(m+1)米，宽为(m-1)米的长方形花坛，你 会计算改造后的花坛面积吗？
第12章乘法公式与因式分解一因式分解复习课件青岛版七年级数学下册
作业
课本126页 第4题
达标检测
a2(a2 16) 2a2(a 4)(a 4)
（2） 2m2n 4mn 2n
2n(m2 2m 1) 2n(m 1)2
（3）（a 1)2 (a 1)2
[(a 1) (a 1)][( a 1) (a 1)] 2a 2 4a
公因式可以是 单项式，也可 以是多项式.
练习2： 指出下列多项式中的公因式：
系数
(1)4a2b2 6ab3
字母因式 多项式因式
(2) 49a2 21ab2 7a
(3)7(x y)2 14(x y)
(4)4a(a b) 2b(b a)
2.把下列多项式进行因式分解：
（1） 4x2 y 8x 16 xy2 （2）18a2b2 9ab3 3ab
（1）49 x2 36 y2
（7x)2 (6 y)2 （7x 6y)(7x 6y)
（2）9m2 6mn n2
(3m)2 23m n n2 (3m n)2
（3）25a2 (b c)2 （4）9 （ 6 x y) (x y)2
（5a)2 (b c)2
32 23（ x y) (x y)2
整式的乘法
(a b)(a b)
因式分解
a2 b2
因式分解与整式的乘法是
.
练习1： 下列各式从左到右的变形是因式分解吗
1（. m n)(m n) m2 n2 2.a24a 4 a(a 4) 4 3.m2n 8n n(m 8) 4.x2 25 (x 5)(x 5)
知识点2： 提公因式法 ma mb mc m(a b c)
第12章 乘法公式与因式分解
——因式分解
复习目标：
1.理解因式分解的概念，因式分解与整式乘法的关系； 2.能用提公因式法、公式法进行因式分解； 3.理解因式分解的一般步骤.
青岛版初中七年级下册数学课件 《用公式法进行因式分解》名师优秀课件
a2+2ab+b2=(a+b)2
公式法因式分解：
平方差公式
完全平方公式
当堂检测
(1) x2-36y2 (2)4x2-12xy+9y2 (3)a4-b4 (4)(p+q)2+4(p+q)+4 (5)9m2-6mn+n2
(1)(x+6y)(x-6y) (2)(2x-3y)2 (3)(a2+b2)(a+b)(a-b) (4)(p+q+2)2 (5)(3m-n)2
二看字母三看指数
关键确定公因式
最大公约数
相同字母最低次幂
×
回
顾
思
考
（整式乘法）
(a+b)(a-b)=a2-b2
（因式分解）
a2-b2= (a+b)(a-b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
a2+2ab+b2=(a+b)2
反过来
a2-b2= (a+b)(a-b) a2-2ab+b2=(a-b)2
独立完成第2题，你能行!
练习：把下列各式进行因式分解 (1)a2+8a+16 (2)m2+mn+n2
能力提高 先独立完成，后小组讨论
例3：把下列各式进行因式分解 25a2-4(b+c)2 (x+y)2+6(x+y)+9
课堂小结
a2-b2= (a+b)(a-b) a2-2ab+b2=(a-b)2
a2+2ab+b2=(a+b)2
把它们作为公式，就可以把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。
公式法因式分解：
平方差公式
完全平方公式
当堂检测
(1) x2-36y2 (2)4x2-12xy+9y2 (3)a4-b4 (4)(p+q)2+4(p+q)+4 (5)9m2-6mn+n2
(1)(x+6y)(x-6y) (2)(2x-3y)2 (3)(a2+b2)(a+b)(a-b) (4)(p+q+2)2 (5)(3m-n)2
二看字母三看指数
关键确定公因式
最大公约数
相同字母最低次幂
×
回
顾
思
考
（整式乘法）
(a+b)(a-b)=a2-b2
（因式分解）
a2-b2= (a+b)(a-b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
a2+2ab+b2=(a+b)2
反过来
a2-b2= (a+b)(a-b) a2-2ab+b2=(a-b)2
独立完成第2题，你能行!
练习：把下列各式进行因式分解 (1)a2+8a+16 (2)m2+mn+n2
能力提高 先独立完成，后小组讨论
例3：把下列各式进行因式分解 25a2-4(b+c)2 (x+y)2+6(x+y)+9
课堂小结
a2-b2= (a+b)(a-b) a2-2ab+b2=(a-b)2
a2+2ab+b2=(a+b)2
把它们作为公式，就可以把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。
青岛版七年级数学下册12.4用公式法进行因式分解课件
判断下列各式能否用完全平方公式进行因式分解:
(1)
(3)
x 2 xy y 2
a 2 2ab b2
(2)
(4)
x 2 5x 25
4 x2 12 xy 9 y 2
(5)
4 x 2 y 2 4 xy
(6)
9 x2 4 y 2
今天我们学习了什么？
平方差公式与完全平方公式的逆用
a 2ab b a b
2 2
2
其中的a,b不只是单项式，也可以是多项式，例如： 例2 把下列各式进行因式分解： (1)(a-2b)2-(2a+b)2
综合例1和例2，因式分解的步骤是：一提，二套，三检验。
检验什么？主要检验除公因式以外的多项式还能不能继续 分解！
例2
把下列各式进行因式分解：
回
顾
思
考
把下列各式分解因式：
(1)3a3b2－12ab3 (2)x(a+b)+y(a+b) (3)a(m-2)+b(2-m)
关键确定公因式
(4)a(x-y)2-b(y-x)2
一看系数
最大公约数
二看字母
三看指数
×
相同字母最低次幂
整式乘法和因式分解是什么关系？ 互逆
（整式乘法） （因式分解）
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a—b)2=a2—2ab+b2
因式分解（完全平方公式的逆用） 类比平方差公式的逆用
a 2 2ab b 2 a b
2
a 2 2ab b2 a b
2
判断能否用完全平方公式应过几关？三关：
青岛版七年级数学下册《第12章乘法公式与因式分解》PPT课件
注意
1、先把要计算的 式子与公式对照,
2、哪个是 a
简化多项 式的乘法
运算
ab ＝9x2 - 4y2
哪个是 b
(2 )(-7+2m2)(-7-2m2). 解：原式=(-7)2－(2m2)2
ab
= 49－4m4
利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a - 3b)
（2）(3+2a)(－3+2a)
=(a)2－(3b)2
1、找一找、填一填
(a-b)(a+b)
ab
(1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
1x -3 a
(1+a)(-1+a)
a1
(0.3x-1)(1+0.3x) 0.3x 1
a2-b2 12-x2 (-3)2-a2 a2-12 ( 0.3x)2-12
例1、用平方差公式计算
(1)（3x+2y)(3x-2y) 解：原式＝ (3x)2 - (2y)2
=(2a+3)(2a-3)
=a2－9b2 ；
（3）(－2x2－y)(－2x2+y)
=(2a)2－32 =4 a2－9；
=(-2x2 )2－y2
=4x4－y2.
例2 计算: (1) 803×797; (2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 803×797 =（800＋3）(800－3) = 8002-32
注意完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同．
结果不同：
完全平方公式的结果 是三项， 即 (a+b)2＝a2+2ab+b2; 平方差公式的结果 是两项，
青岛版七年级数学下册第十二章《12.3用提公因式法进行因式分解》优课件(15张)
错误
1、 当多项式的某一项 和公因式相同时，提公 因式后剩余的项是1。 2、另一个因式的项数与 原多项式的项数一致。
小
1、什么叫因式分解？
2、确定公因式的方法：
结
一看系数 二看字母 三看指数
3、提公因式法分解因式步骤(分三步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式； 第三步，将多项式化成两个因式乘积的形式。
种因式分解的方法，叫做提取公因式法。
典例探讨
例：把下列各式进行因 式分解 （1）3a 2 12 a (2) 4x 2 y 16 xy 8x 2 (3)a(m 6) b(m 6) (4)3(a b) a(b a)
（2）解: – 4x2y –16xy+8x2 = – (4x2y +16xy – 8x2)
4、用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）多项式的首项取正号 （2）小心漏项
作业 必做题:课本P119第2、3题。 选做题:课本P120 拓展与延伸 第6题。
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月4日星期一2022/4/42022/4/42022/4/4 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/42022/4/42022/4/44/4/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/42022/4/4April 4, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
定系数：多项式各项系数的最大公约数。 （当 系数是整数时）
定字母：多项式各项中都含有的相同的字母。
定指数： 相同字母的指数取各项中字母的最低 次幂。
2020-2021学年下学期青岛版七年级12.4公式法因式分解(1)课件
青岛版 数学七年级下册
第12章 乘法公式与因式分解
§12.3 用公式法进行 ---因式分解
复习导入
1、平方差公式： (a+b)(a−b)= a2−b2
2、完全平方公式
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2 把上述公式逆向书写，可得什么等式？
知识总结
a2−b2 =(a+b)(a−b)
上述等式从左到右的变形能否是因式分解？ 1、因式分解的方法------公式法
把平方差或完全平方公式作为公式，就可以把 具备该特点的多项式利用公式进行因式分解，这种 因式分解的方法叫做公式法。
知识总结
2、各公式的特点 （1）平方差公式： a2−b2 =(a+b)(a−b)
特点：左边 ①二项式；②两数的平方差。
右边 等于左边两底数的和与这两底数
的差的积。
知识总结
（2）完全平方公式
特点：左边 ①三项式； ②其中两项平方项，且符号相同； ③另一项为两底数乘积的2倍。
右边 等于左边两底数的和（或差）的平方， 且符号与2ab的符号一致。
例题讲解
例1.把下列各式进行因式分解
解：(1)4x2 25
(2x)2 52
作业布置
课本 P124
再见
(3m n)2
(3)x2 x 1 4
x2 2• x 1 (1 )2 22
(x 1 )2 2
(4)m2 1 m 1 2 16
m2 2 • m 1 (1 )2 4下列各式进行因式分解
(1)x2 1 9
(x 1)(x 1)
3
3
(2)49x2 36 y 2 (7x 6 y)(7x 6 y)
第12章 乘法公式与因式分解
§12.3 用公式法进行 ---因式分解
复习导入
1、平方差公式： (a+b)(a−b)= a2−b2
2、完全平方公式
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2 把上述公式逆向书写，可得什么等式？
知识总结
a2−b2 =(a+b)(a−b)
上述等式从左到右的变形能否是因式分解？ 1、因式分解的方法------公式法
把平方差或完全平方公式作为公式，就可以把 具备该特点的多项式利用公式进行因式分解，这种 因式分解的方法叫做公式法。
知识总结
2、各公式的特点 （1）平方差公式： a2−b2 =(a+b)(a−b)
特点：左边 ①二项式；②两数的平方差。
右边 等于左边两底数的和与这两底数
的差的积。
知识总结
（2）完全平方公式
特点：左边 ①三项式； ②其中两项平方项，且符号相同； ③另一项为两底数乘积的2倍。
右边 等于左边两底数的和（或差）的平方， 且符号与2ab的符号一致。
例题讲解
例1.把下列各式进行因式分解
解：(1)4x2 25
(2x)2 52
作业布置
课本 P124
再见
(3m n)2
(3)x2 x 1 4
x2 2• x 1 (1 )2 22
(x 1 )2 2
(4)m2 1 m 1 2 16
m2 2 • m 1 (1 )2 4下列各式进行因式分解
(1)x2 1 9
(x 1)(x 1)
3
3
(2)49x2 36 y 2 (7x 6 y)(7x 6 y)
青岛版七年级数学下册第十二章《12.3用提公因式法进行因式分解》课件
– (4x ·xy +4x ·4y – 4x ·2x)
= –4x( xy + 4y – 2x)
当多项式第一项系 数是负数，通常先
提出“ ”号，使
括号内第一项系数 变为正数，注意括 号内各项都要变号。
典例探讨
例1、例2把下列各式进行因式分解
（1）3a 2 12a
(2) 4x2 y 16xy 8x2
这种变形叫做把这个多项式因式分解
整式乘法
积
和
因式分解
整式乘法与因式分解互为逆运算。
分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是整式的乘积的形式.
练习一 理解概念
下列变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
(1) x 2 3 x 1 x ( x 3 ) 1 （ ）
(a+b)y
提示：公因式可以是单项式，也可 以是多项式。
探索发现
因式分解：m am bm c
解: m a m b m c m (a b c )
公因式
提公因式法
多项式中各项都含有的相同因式,称之为公因式
把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可 以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积。像这
(3)a(m 6) b(m 6)
(4)3(a b) a(b a)
用提公因式法分解因式的步骤：
第一步 ：找出公因式； 第二步： 确定另一个因式 ； 第三步： 将多项式化成两个因式乘积的形式。
例3：小冬解的有误吗？
把 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab分解因式.
解：8 a3b2 –12ab3c + ab = ab·8a2b - ab·12b2 c +ab·1 == aabb((88aa22bb -- 1122bb22cc)+1)
= –4x( xy + 4y – 2x)
当多项式第一项系 数是负数，通常先
提出“ ”号，使
括号内第一项系数 变为正数，注意括 号内各项都要变号。
典例探讨
例1、例2把下列各式进行因式分解
（1）3a 2 12a
(2) 4x2 y 16xy 8x2
这种变形叫做把这个多项式因式分解
整式乘法
积
和
因式分解
整式乘法与因式分解互为逆运算。
分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是整式的乘积的形式.
练习一 理解概念
下列变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
(1) x 2 3 x 1 x ( x 3 ) 1 （ ）
(a+b)y
提示：公因式可以是单项式，也可 以是多项式。
探索发现
因式分解：m am bm c
解: m a m b m c m (a b c )
公因式
提公因式法
多项式中各项都含有的相同因式,称之为公因式
把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可 以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积。像这
(3)a(m 6) b(m 6)
(4)3(a b) a(b a)
用提公因式法分解因式的步骤：
第一步 ：找出公因式； 第二步： 确定另一个因式 ； 第三步： 将多项式化成两个因式乘积的形式。
例3：小冬解的有误吗？
把 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab分解因式.
解：8 a3b2 –12ab3c + ab = ab·8a2b - ab·12b2 c +ab·1 == aabb((88aa22bb -- 1122bb22cc)+1)
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例1：下列各式能否用平方差公式分解？
1 x2 4x 4 4 4x2 9y2
2 0.012 0.09a2 5 1 x2 y2
3 4a2 3b2
4
1 4x2 y2
平 方
一般题型 （2）—9x2+4y2 4 y2 9 x2
差
公
3x4 16
式
的
14a2 2a 3b2 头小尾大
逆
用
刚才2个是什么题型？ 升级版题型
符号相同为a 适当交换
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
符号相反为b 合理加括
练习：将下列各式变形为可利用平方差 公式计算的形式：（说出公式中的a和b） 1) (a+2b+3)(a+2b-3) [(a+2b)+3][(a+2b)-3] 2) (a+2b-3)(a-2b+3) [a+(2b-3)] [a-(2b-3)] 3) (a-2b+3)(a-2b-3) [(a-2b)+3] [(a-2b)-3] 4) (3a-5b-2c)(-3a-5b+2c)
一般题型
升级版题型
完全平方公式 含参数的完全平方公式
恒为正数的题型
一般题型
平方差公式： a ba b a2 b2
（2a＋3b）（2a－3b）
例1：
平
方
标准型
（-2a＋3b）（-2a－3b）
差
公
（3b＋2a）（2a－3b）
式
非标准型
（-2a－3b）（2a－3b）
例2.(a+b+c)(a+b-c),是否可用平方差 公式计算？怎样应用公式计算？
第三项为这两项积的2倍或积的2倍的相反数
例1：
判断下列各式能否用完全平方公式进行 因式分解:
(1) x2 xy y2
(2) x2 5x 25
(3) a2 2ab b2
(4) x2 2ab y2
(5) 4x2 y2 4xy
(6) x2 4 y2
例2：
(1)x2+6x+9
完
全 一般题型 236a2 12ab b2
升级版题型
2a b2 1 头大尾小
(3)3x 4 y2 x 2 y2 头大尾大
1因式分解：4a2 2a 3b2
2计算： 4a2 2a 3b2
因式分解（完全平方公式）
a 2 2ab b2 a b2 a2 2ab b2 a b2
判断能否用完全平方公式应过几关？三关： （1）项数关： 3项 （2）平方项符号关： 相同 （3）中间项关：
（不是）
（3） x2 x 5 (x 2)(x 3) 1 （不是）
（4） a2b ab2 ab(a b)
（ 是）
5x2
1 y2
x
1 y
x
1 y
（不是 ）
提公因式法 提单项式
方法：
1.确定公因式的数字因数。当各项系数都是整数 时，它们的最大公约数就是公因式的数字因数。
2.确定公因式的字母及其指数。公因式的字母应是 多项式各项都含有的字母，其指数取最低的。
平
方
公
3x2 1 x
4
式
的 升级版题型 : (a b)2 10(a b) 25
逆
用
例3：含参数的完全平方公式
（A）求中间项
（1）如果多项式x²+ kx +25是完全平方式，
求k的值 K=±10
（B）求第三项
2如果9x2 6x m是一个完全平方项，则 m 1
3如果9x2 6x n2是一个完全平方项，则n 1
[(-5b)+(3a-2c)] [(-5b)-(3a-2c)]
平方差公式
公式串题型
例3： 1、（x－1）(x2 +1)(x+1) 2、(2a－5b)(2a+5b)(4a2+25b2)
完全平方公式
公式1: (a b)2 a2 2ab b2 公式2 : (a b)2 a2 2ab b2 记忆口诀：
第十二章 乘法公式与因式分解 总复习
一般题型
升级版题型
平方差公式
乘
法
公
式
与
乘法公式 区 别
公式串题型
一般题型
完全平方公式
升级版题型
综 合
和
公式的变形与应用
联
因
式
分
系 因式分解
定义
提单项式
提公因式法 提多项式
判断
解
方法
平方差公式 一般题型
升级版题型
综合
公式法
判断
例1、把下列各式分解因式：
(1)3x2-6xy+x
(2)-4m3+16m2-26m
答案：
（1)3x2-6xy+x=x(3x-6y+1)
(2)-4m3+16m2-26m=-2m(2m2-8m+13)
提公因式法 提多项式
例2、把下列各式分解因式：
(1) 4q(1-p)3+2(p-1)2
23m2n x y2 6m y x3
例4： 恒为正数的题型
已知a2 b2 c2 50 6a 8b 10c, 求a, b, c的值
因式分解综合题型
x2 9 2 36x2
答案：(1)2(1-q)2(2q-2pq+1)
23m x y2 mn 2x 2y
因式分解——平方差公式
a2 b2 (a b)(a b)
判断能否用平方差公式应过几关？ 三关： （1）项数关： 2项 （2）符号关： 相反 （3）平方关：
每一项的平方差公式分解？如果能分 解，分解成什么？如不能说明理由。
完全平方有3项，首平方，尾平方， 首尾乘积2倍在中央，中央符号同前方
一般题型
例1 利用完全平方公式计算：
(1).(2x＋3)2
(2). (4x－5y)2
(3) (-2s+t)2
t 2s2
(4) (-3x-4y)2
3x 4 y2
升级版题型
例2 下列题目可以运用完全平方公式计算吗?
(1)(x+y+z)2
x
求x2 1 和( x 1 )2的值。
x2
x
乘法公式综合题
x 3y2 x 3y2
指数相同底数乘
因式分解的定义
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式叫因式分解.
例1：判断：下列变形是不是因式分解？为什么？
（1） (x 3)(x 3) x2 9
（不是）
（2） 4x2 y 2x 2xy
解:(1)（x+y+z)2=[(x+y)+z]2 =(x+y)2+2(x+y)z+z2 =x2+2xy+y2+2xz+2yz+z2 =x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz
把所得结果作为推广了的完全平 方公式，试用语言叙述这一公式：
12a b c2
三个数和的完全平方等于 这三个数的平方和， 再加上每两数乘积的2倍。
解： (a+b+c) (a+b-c) = [(a+b)+c] [(a+b)-c] = (a+b)2 - c2 = a2+2ab+b2 – c2
下列各式哪些能用平方差公式计算？ 怎样用？
2) (a+2b-3)(a-2b+3)
解：2) (a+2b-3)(a-2b+3) = [ a+(2b-3) ] [ a-(2b-3)] = a2- (2b-3)2 = a2- (4b2-12b+9) = a2- 4b2+12b-9
例3： 完全平方公式的变形与应用
1.若(a b)2 25，(a b)2 16，则a2 b2 ______
ab ______
2.1若(a b)2 25，ab 3，则a2 b2 ______
a2 ab b2 ______ (a b)2 ______
2已知x 1 3