初二证明(一)
(完整版)初中几何证明题五大经典(含答案)
经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD∴CD COHG GO =∴CDCO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。
求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连接AC ，取AC 的中点G ,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD 并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P. 求证：AP ＝AQ ．证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ，∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ∴DFBGFD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN ， ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ，∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP ∴AP=AQ 在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ，点O 是DF 的中点，OP ⊥BC求证：BC=2OP （初二）证明：分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线，垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ，DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）证明：连接BD 交AC 于O 。
初二勾股定理逆定理证明方法
初二勾股定理逆定理证明方法
初二勾股定理逆定理是指在已知三角形三边长度的情况下，判断该三角形是否为直角三角形。
其逆定理为：若三边的长度满足勾股定理条件，即a+b=c，则该三角形为直角三角形。
为了证明初二勾股定理逆定理，我们可以采用以下方法：
方法一：通过计算
1. 已知三角形的三边边长为a、b、c，且满足a+b=c。
2. 计算a、b和c的值。
3. 判断a+b是否等于c。
- 若等于，说明三角形满足勾股定理，是直角三角形。
- 若不等于，说明三角形不满足勾股定理，不是直角三角形。
方法二：利用勾股定理的性质
1. 已知三角形的三边边长为a、b、c，且满足a+b=c。
2. 假设三角形不是直角三角形。
3. 根据假设，评估三角形的类型：锐角三角形或钝角三角形。
4. 假设三角形是锐角三角形，根据锐角三角形的特点，有a+b>c。
5. 假设三角形是钝角三角形，根据钝角三角形的特点，有a+b<c。
6. 可以看到，无论假设三角形是锐角三角形还是钝角三角形，都与已知条件（a+b=c）相矛盾。
7. 因此，根据反证法，假设不成立，说明三角形必定是直角三角形。
以上是初二勾股定理逆定理的证明方法。
通过计算三边长度或利用勾股定理的性质，我们可以判断一个三角形是否为直角三角形。
这个逆定理的应用可以帮助我们在解决实际问题时，更准确地判断三角形的类型。
整理初二证明题带答案20道
初二证明题带答案20道20 年月日A4打印/ 可编辑初二年级几何证明例题精讲【例1】．已知：如图6，△、△分别是以、为斜边的直角三角形，且，△是等边三角形．求证：△是等边三角形．证明：∵∠BCE=90°∠ACD=90° 在△ECB和△ACD中∠BCE=∠BCA+∠ACE BE=AD∠ACD=∠ACE+∠ECD ∠BCE=∠ACD∴∠ACB=∠ECD EC=CD∵△ECD为等边三角形∴△ECB≌△DCA( HL )∴∠ECD=60° CD=EC ∴BC=AC即ACB==60° ∵∠ACB=60°∴△是等边三角形【例2】、如图，已知BC > AB，AD=DC。
BD平分∠ABC。
求证：证明：在BC上截取BE=BA,连接DE, ∴∠A=∠BED AD= DE∵BD平分∠BAC ∵AD=DC∴∠ABD = ∠EBD ∴DE=DC在∠ABD和∠EBD中得∠DEC=∠CAB=EB ∵∠BED+∠DEC=180°∠ABD = ∠EBD ∴∠A+∠C=180°BD=BD△ABD ≌△EBD（SAS）1、线段的数量关系:通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。
①倍长中线【例. 3】如图，已知在∠中，，，平分，交于图6 E点.求证：证明：延长DC到E，使得CE=CD,联结AE ∵∠ADE=60° AD=AE∵∠C=90° ∴△ADE为等边三角形∴AC⊥CD ∴AD=DE∵CD=CE ∵DB=DA∴AD=AE∴BD=DE∵∠B=30°∠C=90° ∴BD=2DC∴∠BAC=60°∵AD平分∠BAC∴∠BAD=30°∴DB=DA ∠ADE=60°【例4.】如图，是的边上的点，且，，是的中线。
求证：。
证明：延长AE到点F,使得EF=AE 联结DF在∠ABE和∠FDE中∠∠ADC=∠ABD+∠BDABE =DE ∵∠ABE=∠FDE∠AEB=∠FED ∴∠ADC=∠ADB+∠FDEAE=FE 即∠ADC = ∠ADF∴△ABE ≌△FDE （SAS）在∠ADF和∠ADC中∴AB=FD ∠ABE=∠FDE AD=AD∵AB=DC ∠ADF = ∠ADC∴ FD = DC DF =DC∵∠ADC=∠ABD+∠BAD ∴△ ADF≌ ADC(SAS)∵∴AF=AC∴AC=2AE【变式练习】、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.证明：延长AE到点F,使得EF=AE 联结DF在∠ACE和∠FDE中∠∠ADB=∠ACD+∠CDACE =DE ∵∠ACE=∠FDE∠AEC=∠FED ∴∠ADB=∠ADC+∠FDEAE=FE 即∠ADB = ∠ADF∴△ACE ≌△FDE（SAS）在∠ADF和∠ADB中∴AC=FD ∠ACE=∠FDE AD=AD∵DB=AC ∠ADF = ∠ADB∴DB = DF D F =DB EFF∵∠ADB=∠ACD+∠CAD ∴△ ADF≌ ADB(SAS)∵ AC=DC ∴∠FAD=∠BAD∴∠CAD=∠CDA ∴AD平分∠DAE【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。
直角三角形的性质及其证明（含勾股定理）初二
直⾓三⾓形的性质及其证明（含勾股定理）初⼆00锐⾓互余
可能会有⼈说，你这不是凑数吗？直⾓三⾓形有⼀个直⾓，那么其余的两个⾓当然是和为九
⼗度的。
虽然这个道理浅显易懂，但是关键的是，把原本的三个内⾓的关系简化成了两个内⾓
的关系，⽽且互余，也是等量代换常⽤的条件（同⾓或等⾓的余⾓相等）。
所以重要程度可见
⼀斑。
01斜边中线
利⽤之前学的倍长中线模型可以证明。
02 三⼗度的对边
这个只有三⼗度的直⾓三⾓形才有的性质（其实是三⾓⽐的特殊⾓）
可以通过翻折证明，翻折后就是⼀个等边三⾓形。
03勾股定理
勾股定理可以说是最重要的⼀个性质了，⽽且有的教材（好像是⼤多数教材）都单独作为⼀
章来学习，当然它也是直⾓三⾓形的⼀个性质。
它是证明⽅法最多的定理（500多种），也被称
为最美的定理，接下来介绍⼏种有趣的证法
031教材课本
如图⼀般为课本上的证明⽅法，不需要⼏何证明过程也不需要代数过程，属于⽆字证明。
032青朱出⼊图（刘徽）
也是利⽤⾯积的相等填补
033弦图
内弦（斜边称为弦）图，稍稍⽤到了代数式计算
外弦图也是类似
034总统证法
是美国地20任总统加菲尔德的⽅法（其实他证明的时候还没当上总统）利⽤了梯形⾯积公
式。
035欧⼏⾥得
欧⼏⾥得在⼏何上可是响当当，他的证法（⼏何原本中的）是⾮常“⼏何”的⼀种证法。
⽤到了
⼿拉⼿的全等模型，和三⾓形的等积变换（如图底不变⾼不变）。
⼤正⽅形被分割的左边的矩
形⾯积等于，左边的⼩正⽅形⾯积S1.。
初二数学上册证明练习题
初二数学上册证明练习题证明一：直线平分角的性质假设在平面内有一条直线l，它能够将某个角分成两个相等的角。
我们需要证明直线l是这个角的平分线。
证明过程：设直线l与角所在的直线交于点A，角的两个边分别为线段AB和线段AC。
由于直线l平分这个角，所以∠BAC = ∠CAD。
现在我们需要证明∠BAC = ∠CAD = 1/2∠BAD，即直线l是角BAD的平分线。
根据几何定理，若两个角的两边分别与另一条直线相交，并且这两个交点分别是直线上的两个不同点，则这两个角相等，即∠BAC = ∠CAD。
因此，根据几何定理，我们证明了直线l将角BAD平分，即直线l 是角BAD的平分线。
证明二：等腰三角形底角相等的性质假设在平面内有一个等腰三角形ABC，其中AB = AC。
我们需要证明∠B = ∠C。
证明过程：设等腰三角形ABC的顶点为A，底边上的点为D，连接线段BD和线段CD。
由于等腰三角形的定义，我们知道AB = AC，而又根据等腰三角形的性质，BD = CD。
因此，△ABD和△ACD为等腰三角形，并且它们的底边相等。
根据几何定理，等腰三角形的顶角相等，或者说∠BAD = ∠CAD。
又由于直线l平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD = 1/2∠BAC。
将上述两个等式结合起来，我们得到∠B = ∠BAD - ∠BAD =1/2∠BAC - 1/2∠BAC = 0。
因此，我们证明了等腰三角形底角相等，即∠B = ∠C。
通过以上两个证明例子，我们提供了初二数学上册中涉及证明的练习题的解答过程。
证明的过程需要根据给定的条件和已知的几何定理，运用逻辑推理和几何关系展开。
熟练掌握这些证明方法，有助于培养学生的逻辑思维和几何推理能力，提升数学学科素养。
希望以上的解答能够帮助到您。
八年级数学 勾股定理证明方法
勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即abc ab b a 214214222⨯+=⨯++， 整理得 222c b a =+.【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2.∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于(a +∴()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c .又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +. ∴ ()222121221c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD .∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º， BC = BD = a . ∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则,21222ab S b a ⨯+=+ abS c 2122⨯+=,∴ 222c b a =+.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上.过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P . 过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点 F 作FN ⊥PQ ，垂足为N . ∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM ⊥PQ ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L . ∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ， ∵ ΔFAB 的面积等于221aΔGAD 的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a 同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积 ∴ 222b a c += ，即 222c b a =+. 【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB .AD ∶AC = AC ∶AB ， 即 AB AD AC ∙=2.同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC ∙=2.∴ ()222AB AB DB AD BC AC =∙+=+，即 222c b a =+.【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c .再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC .又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，AD = AB = c ，∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA .∴ DH = BC = a ，AH = AC = b . 由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a .∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+∙-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴ 824321S ab b S S --=+= 812S S b -- . ②把②代入①，得98812212S S S S b S S c ++--++== 922S S b ++ = 22a b +.∴ 222c b a =+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE . 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，BT = BE = b ， ∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . ∴ HT = AE = a . ∴ GH = GT ―HT = b ―a .又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠∴ ∠GHF = ∠DBC .∵ DB = EB ―ED = b ―a ， ∠HGF = ∠BDC = 90º，∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ，∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵ 27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c ， 即 222c b a =+.【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得AD AE AC ∙=2=()()BD AB BE AB -+=()()a c a c -+= 22a c -，即222a c b -=，∴ 222c b a =+.【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB ∙+∙=∙，∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ，∴ 222AC BC AB +=，即 222b a c +=， ∴ 222c b a =+.【证法13】在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+= CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+， ∴ c r b a +=+2.∴ ()()222c r b a +=+，即 ()222242c rc r ab b a ++=++，∵ab S ABC 21=∆，∴ ABC S ab ∆=42， 又∵ AOC BOCAOB ABC S S S S ∆∆∆∆++= = br ar cr 212121++ = ()r c b a ++21= ()r c c r ++221= rc r +2，∴()ABC S rc r ∆=+442， ∴ ()ab rc r242=+，∴ 22222c ab ab b a +=++， ∴ 222c b a =+. 【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB ∙=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB ∙+∙可知 AD AB AC ∙≠2，或者 BD AB BC ∙≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠A = ∠A ，∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ， ∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+.【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.【证法16】（陈杰证明）D设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. 在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ， ∠AED = 90º， AE = b ， ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC .∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中，∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=， 732S S a +=，76451S S S S S +===，∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++=2c ∴ 222c b a =+.。
初中数学证明题练习5套(含答案)
初中数学证明题练习5套（含答案）（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD ∴CD CO HG GO = ∴CD CO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。
求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连接AC ，取AC 的中点G,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG∴GN ∥AD ，GN=21AD∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG∴GM ∥BC ，GM=21BC∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB ⌒ =AB⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30°∴BO=2OM由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD 并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P. 求证：AP ＝AQ ．证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ，∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC∴DF BG FD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN ， ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ，∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP ∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ，点O 是DF 的中点，OP ⊥BC 求证：BC=2OP （初二）证明：分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线，垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ，DN ∥OP ∥FL∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形 ∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）证明：连接BD 交AC 于O 。
初二数学第一章全等三角形证明经典例题（含答案）
初⼆数学第⼀章全等三⾓形证明经典例题（含答案）初⼆数学全等三⾓形证明经典例题1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD第1题图第2题图第3题图2、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23、已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC第4题图第5题图第6题图4、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C5、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE6、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD7、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C第7题图第8题图第9题图8、如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
求证：BC=AB+DC 。
9、已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C第10题图第11题图第12题图10、P 是∠BAC 平分线AD 上⼀点，AC>AB ，求证：PC-PB11、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BEF A E D C B PD A CB C D B AD B C B A C D F 2 1E ABC D E F 21 AD B CA B C D A12、已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC第13题图第14题图第15题图第16题图13、如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．14、．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂⾜，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA15、如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．16．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，（1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的⾯积相等的三⾓形．（直接写出结果，不要求证明）：17．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．第17题图第18题图第19题图第20题图18、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。
初二几何证明一(线段垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质)
线段垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质知识点梳理1、 线段垂直平分线性质定理及其逆定理：定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等. 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上.2、 角平分线的性质定理及其逆定理：定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.D21P CABEO1、 等腰三角形的性质等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
三线合一：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合 证明以下推论：等腰三角形的两底角的平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高相等。
等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半4、 等腰三角形的判定：等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形 ◆ 命题、公理、定理命题：判断性的语句 陈述句，一般由题设和结论组成，写成“如果……，那么……”的形式 几个重要的公理（不需证明）： （1） 两点之间线段最短；（2） 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （3） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4） 同位角相等，两直线平行； （5）两直线平行，同位角相等。
1、已知：如图，∠ABC ，∠ACB 的平分线交于F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E 。
求证：BD ＋EC ＝DE 。
2、已知：如图所示△ABC ，∠ACB=90°，D 为BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，EM 垂直平分BD ，M 为垂足，DE 交AC 于F ，求证：E 在AF 的垂直平分线上.3、如图，已知：CD 、CE 分别是AB 边上的高和中线，且ACE ECD DCB ∠=∠=∠。
求证：90o ACB ∠=CA4、如图，已知：在,90,30ooABC C A ∆∠=∠=中，DE 垂直平分AB ，FM 垂直平分AD ，GN 垂直平分BD 。
初二数学证明题
初二数学证明题初二数学中的证明题能比较全面的反映学生的分析问题和解决问题的能力.初二数学证明题有哪些呢?接下来是店铺为大家带来的初二数学d 证明题，供大家参考。
初二数学证明题目1、如图，AB=AC,∠BAC=90°，BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.且BD>CE,证明BD=EC+ED.解答：证明：∵∠BAC=90°，CE⊥AE，BD⊥AE，∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°.∴∠ABD=∠DAC.又∵AB=AC，(∴△ABD≌△CAE(AAS).∴BD=AE，EC=AD.∵AE=AD+DE，∴BD=EC+ED.2、△ABC是等要直角三角形。
∠ACB=90°，AD是BC边上的中线，过C做AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F,求证∠ADC=∠BDE 解：作CH⊥AB于H交AD于P，∵在Rt△ABC中AC=CB，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°.∴∠HCB=90°-∠CBA=45°=∠CBA.又∵中点D，∴CD=BD.又∵CH⊥AB，∴CH=AH=BH.又∵∠PAH+∠APH=90°，∠PCF+∠CPF=90°，∠APH=∠CPF，∴∠PAH=∠PCF.又∵∠APH=∠CEH，在△APH与△CEH中∠PAH=∠ECH，AH=CH，∠PHA=∠EHC，∴△APH≌△CEH(ASA).∴PH=EH，又∵PC=CH-PH，BE=BH-HE，∴CP=EB.在△PDC与△EDB中PC=EB，∠PCD=∠EBD，DC=DB，∴△PDC≌△EDB(SAS).∴∠ADC=∠BDE.2证明：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠3=∠4，∴OE=OF. (问题在这里。
理由是什么埃我有点不懂) ∵∠1=∠2，∴OB=OC.∴Rt△OBE≌Rt△OCF(HL).∴∠5=∠6.∴∠1+∠5=∠2+∠6.即∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形过点O作OD⊥AB于D过点O作OE⊥AC于E再证Rt△AOD≌ Rt△AOE(AAS)得出OD=OE就可以再证Rt△DOB≌ Rt△EOC(HL)得出∠ABO=∠ACO再因为∠OBC=∠OCB得出∠ABC=∠ABC得出等腰△ABC4.1.E是射线AB的一点，正方形ABCD、正方形DEFG有公共顶点D，问当E在移动时，∠FBH的大小是一个定值吗?并验证(过F作FM⊥AH于M，△ADE全等于△MEF证好了)2.三角形ABC，以AB、AC为边作正方形ABMN、正方形ACPQ1)若DE⊥BC，求证：E是NQ的中点2)若D是BC的中点，∠BAC=90°，求证：AE⊥NQ3)若F是MP的中点，FG⊥BC于G，求证：2FG=BC3.已知AD是BC边上的高，BE是∠ABC的平分线，EF⊥BC于F，AD与BE交于G求证：1)AE=AG(这个证好了) 2)四边形AEFG是菱形4.,在四边形ABCD中,AB=DC,∠B=∠C<90 ,求证:四边形ABCD是梯形.证明:5.如图:在大小为6×5的正方形方格中,△ABC的顶点A,B,C在单位正方形的顶点上,请解答下列问题:(1)在图中画一个△DEF ,使△DEF∽△ABC(相似比不为1),要求点D,E,F必须在单位正方形的顶点上(可以使用已用过的顶点);(2)写出它们对应边的比例式;并求△DEF与△A BC的相似比.6. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD。
初二数学证明试题
初二数学证明试题1.如图，电路中有4个电阻和一个电流表A，若没有电流通过电流表A，问电阻器断路的可能情况共有种．【答案】8+3=11种【解析】要使没有电流通过电流表A，则若总路上的电阻是断开的，其它的三个电阻无论是断开，还是通的都可以，共有23=8种情况；若总路上的电阻是通的，则每一个支路都不能是通的，所以下面的电阻一定是断开的，上面的两个电阻只要有一个是断开的即可，有3种情况．故共有11种情况．解：本题分两种情况：①若主路的电阻不通，那么这个电路必为断路．因此共有2×2×2=8种可能；②若主路的电阻通电，那么两条支路必须同时为断路，因此共有3种可能．故电阻器断路的可能情况共有8+3=11种．点评：此题的学科综合性较强，能够结合物理中的知识进行分析求解是解答本题的关键．2.有一地球同步卫星A与地面四个科研机构B、C、D、E，它们两两之间可以互相接发信息，由于功率有限，卫星及每个科研机构都不能同时向两处发送信息（如A不能同时给B、C发信息，它可先发给B，再发给C），它们彼此之间一次接发信息的所需时间如右图所示．则一个信息由卫星发出到四个科研机构都接到该信息时所需的最短时间为．【答案】4【解析】首先卫星A传递信息给B用时1（秒），然后B传给C（3秒）；同时卫星传给E（1秒），信息传给D和C的时候同时进行，所有动作在4秒钟内结束．解：开始的时候，时间0秒，卫星传给B（1秒）第1秒钟时候，B传给C（3秒）；同时卫星传给E（1秒），第2秒钟的时候，E传给D，所有动作在4秒钟内结束，故接到该信息时所需的最短时间为4秒，故答案为4．点评：本题主要考查推理与论证的知识点，解答本题的关键是注意卫星传递信息的同时性，此题难度不大．3.暑假期间，小丽、小杰决定定期到敬老院打扫卫生，小丽每4天去一次，小杰每6天去一次，如果8月1日他们俩都在敬老院打扫卫生，那么，他们下一次同时在敬老院打扫卫生的时间是几月几日？【答案】8月13日【解析】根据4、6的最小公倍数是12，则他们每隔12天相遇一次，所以他们应在12天以后，即第13日再相遇．解：4、6的最小公倍数是12，所以他们应在12天以后，即第13日再相遇．答：他们下一次同时在敬老院打扫卫生的时间是8月13日．点评：本题主要是利用最小公倍数进行求解．4.有人认为数学没有多少使用价值，我们只要能数得清钞票，到菜场算得出价钱这点数学知识就够了．根据你学习数学的体会，谈谈你对数学这门学科的看法．【答案】见解析【解析】可以从数学的基础性，应用的广泛性，培养严密的逻辑思维能力，人文素养，科学精神等各方面价值作简单说明．解：答案不唯一，如：数学是思维的体操，可以培养自己的逻辑思维能力、发散思维能力等． 点评：此题为开放性试题，主要是考查学生对数学的认识．5. 推理能力都很强的甲、乙、丙站成一列，丙可以看见甲、乙，乙可以看见甲但看不见丙，甲看不见乙、丙．现有5顶帽子，3顶白色，2顶黑色．老师分别给每人戴上一顶帽子（在各自不知道的情况下）．老师先问丙是否知道头上的帽子颜色，丙回答说不知道；老师再问乙是否知道头上的帽子颜色，乙也回答说不知道；老师最后问甲是否知道头上的帽子颜色，甲回答说知道．请你说出甲戴了什么颜色的帽子，并写出推理过程． 【答案】见解析【解析】如果甲、乙都戴黑帽子，丙马上知道自己戴的是白帽子，如果甲戴黑帽子，甲、乙中至少有一个人戴白帽子，则乙马上知道自己戴的是白帽子． 解：甲戴的是白帽子．理由如下：因为丙说不知道，说明甲、乙中至少有一个人戴白帽子（如果甲、乙都戴黑帽子，丙马上知道自己戴的是白帽子）．因为乙也说不知道，说明甲戴的是白帽子（如果甲戴黑帽子，甲、乙中至少有一个人戴白帽子，则乙马上知道自己戴的是白帽子）．点评：本题主要考查了论证与推理的一些基础知识，能够找出题中的内在联系，从而求解．6. 10名棋手参加比赛，规定：每两名棋手间都要比赛一次，胜者得2分，下和各得1分，输者得0分．比赛结果表明：棋手们所得分数各不相同，前两名棋手没输过，前两名的总分之和比第三名多20分，第四名得分与后四名得分总和相等，那么前六名得分分别是多少？ 【答案】17，16，13，12，11，9【解析】先设第k 名选手的得分为a k （1≤k≤10），得出a 1、a 2的值，再根据得出a 4≥12，求出a 3，再根据a 1≤a 3﹣1=12，求出a 4，最后根据a 1+a 2+a 3+…a 8+a 9+a 10=90分别求出a 5、a 6的值．解：设第k 名选手的得分为a k （1≤k≤10），依题意得：a 1＞a 2＞a 3＞…a 9＞a 10a 1≤1+2×（9﹣1）=17，a 2≤a 1﹣1=16，a 3+20=a 1+a 2，∴a 3≤13 ①，又后四名棋手相互之间要比赛=6场，每场比赛双方的得分总和为2分，∴a 7+a 8+a 9+a 10≥12，∴a 4≥12而a 3≥a 4+1≥13，②∴由①②得：a 3=13，∴a 1+a 2=33，∴a 1=17，a 2=16，又∵a 1≤a 3﹣1=12，∴a 4=12， ∵a 1+a 2+a 3+…a 8+a 9+a 10=×2=90，∴17+16+13+12+a 5+a 6+12=90，而a 5+a 6≤a 5+a 5﹣1，即：a 5≥10\frac{1}{2}，又a5＜a 4=12， ∴a 5=11，a 6=9，故前六名得分分别是：17，16，13，12，11，9．点评：本题考查了推理与论证；解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系是解题的关键．7. 图中小圆圈表示网络的结点，结点之间的连接表示它们有网线相连，相连标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，若信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）A ．11B ．10C ．8D ．7【答案】C【解析】先找出从结点A 向结点B 传递信息可沿A ﹣C ﹣B 和A ﹣D ﹣B 路线同时传递，再找出每条路线通过的最大信息量，然后相加即可得到答案．解：由于信息可以分开沿不同路线同时传递，所以从结点A 向结点B 传递信息可经过结点D 和结点B ；又因为从结点A 到结点D 的最大信息量为5，从结点C 到结点B 的最大信息量为3，所以从结点A 向结点B 传递信息，若信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为5+3=8． 故选C ．点评：本题考查了推理与论证的方法：先分析题目所给的条件或要求，然后通过推理得到相关的结论．8. 如果甲的身高或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙．在100个小伙子中，若某人不亚于其他99人，我们就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中，棒小伙子最多可能有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．50个 D ．100个【答案】D【解析】因为求得最多是多少人，且如果甲的身高或体重数至少有一项比乙大，我们可把这一百个小伙子用A 1～A 100来表示，然后根据体重和身高两个条件找出答案． 解：先退到两个小伙子的情形，如果 甲的身高数＞乙的身高数，且 乙的体重数＞甲的体重数 可知棒小伙子最多有2人． 再考虑三个小伙子的情形，如果甲的身高数＞乙的身高数＞丙的身高数，且 丙的体重数＞乙的体重数＞甲的体重数 可知棒小伙子最多有3人．这时就会体会出小伙子中的豆芽菜与胖墩现象．由此可以设想，当有100个小伙子时，设每个小伙子为A i ，（i=1，2，…，100），其身高数为x i ，体重数为y i ，当y 100＞y 99＞…＞y i ＞y i ﹣1＞…＞y 1且 x 1＞x 2＞…＞x i ＞x i+1＞…＞x 100时，由身高看，A i 不亚于A i+1，A i+2，…，A 100； 由体重看，A i 不亚于A i ﹣1，A i ﹣2，…，A 1所以，A i 不亚于其他99人（i=1，2，...，100） 所以，A i 为棒小伙子（i=1，2， (100)因此，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有 100个． 故选D ．点评：本题考查推理和论证，关键注意本题有身高和体重两种情况，少有一项大，就称作不亚于，从而可求出解．9. 用1，2，3，4共可以写成不同的四位数（ ） A ．4个 B ．12个 C ．18个 D ．24个【答案】D【解析】当1作千位时，可得1234，1243，1324，1342，1423，1432，6个不同的四位数．同理可得其余3个数字当千位上的数字也会有6个不同的四位数，那么可以写成24个不同的四位数．解：当1作千位上的数字时，四位数可写成1234，1243，1324，1342，1423，1432共6个； 同理，当2、3、4作千位上的数字时，也分别可写成6个不同的四位数． 因此用1、2、3、4共可写成的不同四位数的个数为4×6=24．故选D ． 点评：解决本题应先找到确定一个数位上数的四位数的情况，进而得解．10.用锯锯木，锯会发热；用锉锉物，锉会发热；在石头上磨刀，刀会发热，所以物体摩擦会发热．此结论的得出运用的方法是（）A．观察B．实验C．归纳D．类比【答案】C【解析】由多种现象得到一个规律属于归纳．解：由多种现象得到一个规律属于归纳．故选C．点评：本题考查归纳的形成．所谓归纳，是指通过对特例的分析来引出普遍结论的一种推理形式．它由推理的前提和结论两部分构成：前提是若干已知的个别事实，是个别或特殊的判断、陈述，结论是从前提中通过推理而获得的猜想，是普遍性的陈述、判断．。
初二数学证明题(精选多篇)
初二数学证明题(精选多篇)第一篇：初二数学证明题初二数学证明题1、如图，ab=ac,∠bac=90°，bd⊥ae于d,ce⊥ae于e.且bd>ce,证明bd=ec+ed.解答：证明：∵∠bac=90°，ce⊥ae，bd⊥ae，∴∠abd+∠bad=90°，∠bad+∠dac=90°，∠adb=∠aec=90°.∴∠abd=∠dac.又∵ab=ac，∴△abd≌△cae(aas).∴bd=ae，ec=ad.∵ae=ad+de，∴bd=ec+ed.2、△abc是等要直角三角形。
∠acb=90°，ad是bc边上的中线，过c 做ad的垂线，交ab于点e，交ad于点f,求证∠adc=∠bde解：作ch⊥ab于h交ad于p，∵在rt△abc中ac=cb，∠acb=90°，∴∠cab=∠cba=45°.∴∠hcb=90°-∠cba=45°=∠cba.又∵中点d，∴cd=bd.又∵ch⊥ab，∴ch=ah=bh.又∵∠pah+∠aph=90°，∠pcf+∠cpf=90°，∠aph=∠cpf，∴∠pah=∠pcf.又∵∠aph=∠ceh，在△aph与△ceh中∠pah=∠ech，ah=ch，∠pha=∠ehc，∴△aph≌△ceh(asa).∴ph=eh，又∵pc=ch-ph，be=bh-he，∴cp=eb.在△pdc与△edb中pc=eb，∠pcd=∠ebd，dc=db，∴△pdc≌△edb(sas).∴∠adc=∠bde.2证明：作oe⊥ab于e，of⊥ac于f，∵∠3=∠4，∴oe=of.(问题在这里。
理由是什么埃我有点不懂)∵∠1=∠2，∴ob=oc.∴rt△obe≌rt△ocf(hl).∴∠5=∠6.∴∠1+∠5=∠2+∠6.即∠abc=∠acb.∴ab=ac.∴△abc是等腰三角形过点o作od⊥ab于d过点o作oe⊥ac于e再证rt△aod≌rt△aoe(aas)得出od=oe就可以再证rt△dob≌rt△eoc(hl)得出∠abo=∠aco再因为∠obc=∠ocb得出∠abc=∠abc得出等腰△abc41.e是射线ab的一点，正方形abcd、正方形defg有公共顶点d，问当e在移动时，∠fbh的大小是一个定值吗?并验证(过f作fm⊥ah于m，△ade全等于△mef证好了)2.三角形abc，以ab、ac为边作正方形abmn、正方形acpq1)若de⊥bc，求证：e是nq的中点2)若d是bc的中点，∠bac=90°，求证：ae⊥nq3)若f是mp的中点，fg⊥bc于g，求证：2fg=bc3.已知ad是bc边上的高，be是∠abc的平分线，ef⊥bc于f，ad与be交于g求证：1)ae=ag(这个证好了)2)四边形aefg是菱形第二篇：初二数学证明题测试例1、如图，ab∥cd，且∠abe=120°，∠cde=110°，求∠bed的度数。
初二数学证明(含答案_证明题有过程)
18-9AB E FC D23．〔此题8分〕.如图,:△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,AD 的垂直平分线交AD 于E,交BC 的延长线于F.求证:FD 2=FB.FC.24．〔此题8分〕ABC △，延长BC 到D ，使CD BC =．取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E ．〔1〕求AE AC的值； 〔2〕假设AB a FB EC ==，，求AC 的长．25.〔此题8分〕如图：△ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上(与A 、C 不重合)，Q 在BC 上．(1) 当△PQC 的面积等于四边形PABQ 面积的31，求CP 的长． (2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长．(3)试问：在AB 上是否存在一点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形，假设不存在，请简要说明理由：假设存在，请求出PQ 的长．23、连接FA,证明FAC Δ∽FBA Δ,由于FD FA ,命题获证。
24、法一：连接AD FC ,;法二：过F E 或者 做平行线，命题获证，在命题获证的根底上第二问求出。
25、(1)用相似CPQ Δ∽CAB Δ(2)设出x PC 表示出CQ ,利用周长列出方程，求出PC 〔3〕当∠PQM=90°时〔画图〕过P 作PN ⊥AB 于N设PQ=QM=PN=MN=a∠QMB=∠ANP=90°∠B=90°-∠A=∠APN∴△MQB ∽△NAP ∽△CAB∴AN:PN=AC:BC ，BM:QM=BC:BC∴MB=3/4a ，AN=4/3a∵AB=AN+NM+MB∴3/4a+4/3a+a=5∴PQ=a=60/37当∠QPM=90°时同理有PQ=60/37当∠PMQ=90°时过P 作PN ⊥AB 于N,过Q 作QR ⊥AB 于R,过M 作MS ⊥PQ 于S 设PN=QR=a那么PQ=MN=2a类似前两种情况可得△RQB ∽△NAP ∽△CAB∴RB=3/4a,AN=4/3a∵AB=AN+NM+MB∴3/4a+4/3a+2a=5∴a=60/49 ∴PQ=2a=120/49 26、。
初二几何证明题
初二上证明题0011．如图，DE ∥BC ，∠D +∠B ＝180°．求证：AB ∥CD ．2．如图，AB ∥CD ，GH 分别与AB 、CD 相交于点E 、F ，EM 平分∠AEG ，FN 平分∠CFG ． 求证：EM ∥FN ．3．如图，OB ＝BC ，OC 平分∠AOB ．求证：AO ∥BC ．4．B 如图，AB ∥CD ，∠A +∠E ＝∠AME ．求证：AB ∥EF ．5．B 如图，E 为AC 上的一点，∠1＝∠B ，∠2＝∠D ，BE ⊥DE ．求证：AB ∥CD ．6．B ：在图中，∠A =∠F ，∠C =∠D = 65°试求∠CBD 和∠CED 的度数．初二上几何证明0027．B 如图：在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥CD ，∠B 是∠A 的5倍。
求∠C 和∠D 的度数． 8．B 如图：AB ∥CD ，问∠B +∠E +∠D 等于多少度？9．B 如图，AB ∥CD ，∠B ＝130°，∠BPC ＝65°.试求∠C 的度数．10．B 如图，AB ∥CD ∥EF ，且∠ABC ＝50°，∠CEF ＝150°，求∠BCE 的度数．11．B 如图，AB ∥EF ，AB ⊥AC ，AB ⊥BD ，∠E ＝∠F ＝120°，求∠DBF 与∠CAE 的度数．12．B 如图，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点O ，DE 过点O ，且DE ∥BC ， 求证：DE = BD + CE ．初二上几何证明题00313．B 如图：在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥CD ，∠B 是∠A 的5倍。
求∠C 和∠D 的度数． 14．B 如图：AB ∥CD ，问∠B +∠E +∠D 等于多少度？F E D C B ABCD EA H GC D E A BNM FA B C OA BC DE F M A B C DE12O ED A BC ED C B A A B CD A B CD P A BCD E F FE D CB AB A A B CD15．B 如图，AB ∥CD ，∠B ＝130°，∠BPC ＝65°.试求∠C 的度数．16．B 如图，AB ∥CD ∥EF ，且∠ABC ＝50°，∠CEF ＝150°，求∠BCE 的度数．17．B 如图，AB ∥EF ，AB ⊥AC ，AB ⊥BD ，∠E ＝∠F ＝120°，求∠DBF 与∠CAE 的度数．18．B 如图，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点O ，DE 过点O ，且DE ∥BC ， 求证：DE = BD + CE ．初二上几何证明题00419．C 如图，BD 是△ABC 的一条角平分线，AE ∥BD ，交CB 的延长线于点E ，F 为AE 的中点．求证：BD ⊥BF ．20．C 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BC ＝DC ．求证：AC 垂直平分BD ．21．C 如图，AE ∥BF ，AE ＝BF ，AC ＝BD ．你能判断ED 与CF 相等吗？请说明你的理由．22．C 如图，AB ＝CD ，AE ＝FD ，BF ＝EC ．求证：AF ＝ED ． 23．C 如图，PA ＝PB ，PC 是△PAB 的中线，∠A ＝55°，求：∠B 的度数．24．C 如图：在△ABC 中，AD = AE ，点D 、E 在BC 上，CE = BD ，写出AB = AC 的说理过程． 初二上几何证明题00525．如图，∠1 =∠2，∠3 =∠4，求证：〔1〕△ADE ≌△ABE ； 〔2〕∠DCA =∠BCA ． 26．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：EA 平分∠DEC ．27．如图：△ABC 是等腰三角形，AB = AC ，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ， 求证：BD = CE ．28．如图，在等腰△ABC 中，两条腰上的高BD 和CE 相交于O ，求证：△BOC 是等腰三角形．O ED A B C A B CD P A BCD E F FE D CB AD E B C AA B C P A B CD E FA B C DFEAB C DAB C DEF 4321E D C BA E OA D A 34A B C D E1229．如图在△ABC 中，AB = AC ，BD 、CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，写出△ABD ≌△ACE 的理由．30．如图，在△ABC 中，BE ＝CD ，∠1＝∠2．求证：AB ＝AC ．初二上几何证明题00631．C 如图，在△ABC 中，BF 、CE 相交于点O ，AE ＝AF ，AO 平分∠BAC ．求证：AB ＝AC ．32．C 如图，AD ＝AE ，∠D ＝∠E ，∠1＝∠2，BE 、CD 相交于点O ．求证：OB ＝OC ．33．C 如图，AC 、BD 相交于点O ，AB = CD ，∠BAD =∠ADC ，求证：△ABO ≌△DCO．34．C 如图，B 、C 是线段AD 上的两点，AB ＝CD ，∠A ＝∠D ，AE ＝DF ．求证：⑴∠E ＝∠F ；⑵OB ＝OC ．35．C 如图：AD = BC ，AC = BD ，求证：∠1 =∠2．36．C 如图：AC 、BD 的交点O 平分AC 、BD ，过点O 引直线EF 交AB 、DC 于点E 、F ，求证：OE = OF ．初二上几何证明题007 37．如图，AB ＝AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC 于E ，ED 的延长线交CA 的延长线于F ，求证：△ADF 是等腰三角形．38．C ：如图DC ⊥CA ，EA ⊥CA ，CD ＝AB ，CB ＝AE ，说明BD ⊥BE 的理由．39．C ：如图，在△ABC 中，∠ABC =45°，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ．求证：BH =AC ．EA B C D 21A BC D E O F E DC B A21OD C BAO D C B A A BC D E F OABC F OE AB C D O E 12D EF AD B EC40．C 如图，△ABC 的两条高AD 、BE 相交于H ，且AD ＝BD ．试说明以下结论成立的理由．⑴∠DBH ＝∠DAC ； ⑵△BDH ≌△ADC ．41．C ，如图，△ABC 的两条高BD 和CE 相交于F ，CF = AB ，求证：DB = DC ．42．C 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，CE ⊥BD 交BD 延长线于点E ． 求证：BD ＝2CE ．初二上几何证明题008 43．C ：如图，在△ABC 中，BE 、CF 分别是边AC 、AB 上的高，BP = AC ，CQ = AB ，求证：AP = AQ ．44．C 如图，∠BDA =∠CEA ，CE 与BD 交于点P ，PB = PC ，求证：AB = AC ．45．C 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 与CE 相交于点O ，BO ＝CO ．求证：∠B ＝∠C ．46．如图，：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，C 、D 是垂足，连接CD ，求证：⑴OD ＝OC ；⑵∠ECD ＝∠EDC ；⑶OE 是CD 的中垂线．47．C 如图，在∠MON 的两边分别截取OA = OB ，OC = OD ，如果连结AD 、BC 相交于点P ；求证：OP 平分∠MON ．48．C 如图：，AB = AD ，∠ABC =∠ADC ，求证：△ABC ≌△ADC ．初二上几何证明题00949．C 如图，AB ＝AC ，DB ＝DC ．说明∠B ＝∠C 的理由．FA BD EAB C D E H A B C DEP E D C B A PON M C DBAQ FA BC PE D C BAB C E DO A B C D EOA50．C 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ．求证：∠B ＝∠D ．51．C 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，D 为AB 上一点，AD ＝AC ，ED ⊥AB 于点D ，求证：BD ＝DE ＝CE ．52．C 如图，在△ABC中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，DE ⊥DF ，E 、F 分别在AB 、AC 上，求证：DE ＝DF ．53．C 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE ⊥BE 于点E ，AE ＝12BD ．求证：BD 平分∠ABC ．54．C 如上图，在上题其他条件不变的情况下，即在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE ⊥BE 于点E ，能否由条件“BD 平分∠ABC 〞得到结论“AE ＝12BD 〞？初二上几何证明题01055．C 如图，在△ABC 中，AB ＝2AC ，AD 平分∠BAC ，AD ＝BD ．求证：CD ⊥AC ．56．C 如图，D 为等边△ABC 一点，P 为等边△ABC 外一点，BD ＝DA ，BP ＝AB ，∠DBP ＝∠DBC ．求证：∠P ＝30°．57．C 如图：AD ∥BC ，∠1 =∠2，∠3 =∠4，直线DC 过点E 交AD 于点D ，交BC 于点C ，求证：AD + BC = AB ．58．C 如图，点E 在△ABC 外部，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ，假设∠1＝∠2＝∠3，AC ＝AE ，试说明，△ABC ≌△ADE 的理由．59．C 如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且AD ＝BE ．求证：∠A ＝∠1．60．C 如图，△ABC 是等边三角形，D 是AC 上的一点，∠1＝∠2，BD ＝CE ．求证：△ADE 是等边三角形A B C D A B C D E FAB CD E A B CDE 4321ED CBA 123A B C D FE A D E 1A B D C AB C D P初二上几何证明题01161．C 如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，点B 、C 、D 在一直线上，试说明：(1) ∠ECD ＝60°；(2)CE＝AC +DC ． 62．C 如下图，在等边三角形ABC 的边BC 上任取一点D ，以CD 为边向外作等边三角形CDE ，连结AD 、BE ．求∠BAD +∠CBE 的度数〔要有说理的过程〕．63．如图，C 为AB上的一点，△ACD 和△BCE 都是等边三角形，AE 交DC 于点M ，BD 交EC 于点N ． 求证：⑴AE ＝BD ；⑵CM ＝．64．C 如图，C 是线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为边在AB 同侧作等边△ACD 和等边△BCE ，AE 交CD 于点G ，BD 交CE 于点H ．求证：GH ∥AB ．65．C 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 边上的一点，AE 平分∠BAD ，BE 平分∠ABC ．求证：DE ＝EC ．66．C 如上图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 的中点，AD ＋BC ＝AB ．求证：〔1〕BE 平分∠ABC ；〔2〕AE ⊥BE ．初二上几何证明题01267．D 如图，△ABC 中，AB =AC ，D 是AC 上一点，E 是AB 延长线上一点，CD = BE ，连结DE 交BC于点P ，求证：DP = EP ．68．D 如图，在△ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边的延长线上，CE ＝BD ，DG ＝GE ．求证：AB ＝AC ． 69．D 如图：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE = AC ，延长BE 交AC 于点F ，求证：AF = EF ．A B C DE AB C D E A B C D EM N C B D A EH G E D C B A A P EDC B A A DC70．D 如图，在△ABC 中，M 为BC 的中点，过点M 作∠BAC 的平分线AD 的平行线交AB 于点E ，交CA 的延长线于点F ．求证：BE ＝CF ．71．D 如图：EC 与AD 相交于点B ，∠AEC = ∠A +∠C ，EB = BC ．求证：AB = BD+DC ．72．C 如图：在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，∠B =2∠C ，求证：AB + BD = DC ． 初二几何证明题013 73．C 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AB +BD ＝DC ．求证：∠B ＝2∠C ．74．C 如图：AP 是∠BAC 的平分线，AB ＋BP = AC ，求证：∠B = 2∠C ．75．C 如图，在△ABC 中，∠A = 2∠B ，CD 平分∠ACB ，试猜测BC 、AD 、AC 三线段之间有着怎样的数量关系，并加以证明．76．C 如图，在△ABC 中，BE ＝CE ，AD ＝2AE ，AC 平分∠EAD ．求证：CD ＝AB ．77．C 如图，在△ABC 中，BC ＝2AB ，AD 为BC 边上的中线，AE 为△ABD 的中线．求证：AC ＝2AE ．78．D 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是CB 延长线上的一点，∠D ＝60°，E 是AD 上的一点，DE ＝DB ．求证：AE ＝BE +BC ．初二上几何证明题014 79．C 如图，点D 在∠BAC ，求证：∠BDC =∠BAC +∠B +∠C ．80．D 如图，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD ，D 为垂足，AB ＞AC ， 求证：∠2 = ∠1 +∠B ．81．C 如图，在△ABC 中，BC = 10，D 是BC 上的一点，且BD = 4，求ABDS ∶A D C S的值．EDCBA DC BA AF C D E BM A B C D PA B C A B D C AB CD EA D BE C A B EC D DCBA 2ABC D 1A82．C 如图：点D 是△ABC 的边BC 上的一点，且23BD DC ∶∶，假设ABD S= 8㎝2，求：△ADC 的面积．83．C 如图，点D 是△ABC 的边BC 的中点，点E 是AD 的中点，当△ABE 的面积是4㎝2时，求：〔1〕△ABD 的面积，〔2〕△ABC 的面积．84．D 如图，△ABC 是等腰三角形，AB = AC ，把△ABC 绕着点B 旋转后得△A ′BC ′，假设旋转角的度数正好是底角度数的一半，且C ′在腰AC 上，AC ′= BC ′，求证：△A ′MB 是等腰三角形．初二上几何证明题01585．D 如下图：∠ABC 的平分线BF 与△ABC 中∠ACB 的相邻外角的平分线CF 相交于点F ，过F 作DF ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，那么： 〔1〕 图中有几个等腰三角形？为什么？ 〔2〕 BD 、CE 、DE 之间存在着什么关系？请说明理由． 86．如图，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 是△ABC 的外角平分线，求证：2∠P ＝∠A ．87．C 如下图，在△ABC 中，∠A ＝α，△ABC 的角平分线或外角平分线交于点P ，且∠P ＝β，试探求下各图中α与β的关系，并对图〔2〕〔3〕加以说明． 88．C 我们知道：平面图形的运动有 ________、_______、_______等三种形式；如图：△ABD 和△BCE都是等边三角形，试用运动的思想说明AE 等于DC ，且它们的夹角为60°． 89．D 如图中的①，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 为BD 上的一点，AB ＝CD ，BC ＝DE ． (1)求证：AC ⊥CE ．(2)假设将CD 沿CB 方向平移得到图②、③、④、⑤的情形，其余条件不变，结论AC ⊥CE 还成立吗？请说明理由．初二上几何证明题01690．D ，在△ABC 中，AB ＝AC ．〔此题9分〕D C B A AB CD EMC 'A 'C B A A BFD E C A B C DPO G F E C DBA ABC P E F (2)(1)A B C E (3)PA B C PB(C')C'A C D E A B C D E E D C B A ③②①C C'C'A BDE A BC D E ⑤④-.(1)如图⑴，如果∠BAD ＝40°，AD 是△ABC 的中线，AD ＝AE ，那么∠EDC ＝； (2)如图⑵，如果∠BAD ＝70°，AD 是△ABC 的中线，AD ＝AE ，那么∠EDC ＝；(3)思考，通过以上两题，你发现∠BAD 与∠EDC 数量之间有什么关系？请用式子表示； (4)如图⑶，如果AD 不是△ABC 的中线，AD ＝AE ，是否仍有上述关系？请说明理由．〔1〕 〔2〕 〔3〕91．D 如图〔1〕，∠BAC = 90°，AB = AC ，AE 是过点A 的一条直线，且B 、C 在AE 的异侧，BD ⊥AE于点D ，CE ⊥AE 于点E ，求证：〔1〕BD = DE + CE ； 〔2〕假设直线AE 绕点A 旋转到图〔2〕位置时，其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何？请予以证明； 〔3〕假设直线AE 绕点A 旋转到图〔3〕位置时，其余条件不变，那么BD 与DE 、CE 的关系如何？请予以证明．〔1〕 〔2〕 〔3〕 92．D 如图，点C 是AB 上一点，△ACM 、△CBN 都是等边三角形． (1)说明AN ＝MB ；(2)将△ACM 绕点C 按逆时针旋转180°，使A 点落在CB 上，请对照原题图在备用图上画出符合要求的图形；(3)在〔2〕所得到的图形中，结论“AN ＝BM 〞是否成立？假设成立，请说明理由；假设不成立，也请说明理由；(4)在〔2〕所得到的图形中，设MA 的延长线与BN 相交于点D ，请你判断△ABD 的形状，并说明你的理由．A B C DE A DE C B A B CD E AB C D EA B C D EN M C B A A BC M N A CD EB。
初二数学证明题
初二数学证明题假设我们要证明以下命题：命题：一元二次方程 ax²+bx+c=0 的两个根的和等于 -b/a，两个根的乘积等于 c/a。
证明：首先，假设一元二次方程 ax²+bx+c=0 的两个根为 x₁和 x₂。
我们可以用求根公式来表示 x₁和 x₂：x₁ = (-b + √(b² - 4ac)) / (2a) (1)x₂ = (-b - √(b² - 4ac)) / (2a) (2)我们将 x₁和 x₂代入到等式中，得到：x₁ + x₂ = (-b + √(b² - 4ac)) / (2a) + (-b - √(b² - 4ac)) / (2a) ...........(3)我们可以将分数相加，得到：x₁ + x₂ = (-2b / (2a)) (4)我们可以将 (-2b) 化简为 -b，我们得到：x₁ + x₂ = -b/a (5)这证明了一元二次方程的两个根的和等于 -b/a。
接下来，我们将 x₁和 x₂代入到等式中，得到：x₁ * x₂ = [(-b + √(b² - 4ac)) / (2a)] * [(-b - √(b² - 4ac)) /(2a)] (6)我们可以将分数相乘，得到：x₁ * x₂ = (b² - (b² - 4ac)) / (4a²) (7)我们可以将 (b² - (b² - 4ac)) 化简为 4ac，我们得到：x₁ * x₂ = c/a (8)这证明了一元二次方程的两个根的乘积等于 c/a。
综上所述，我们证明了一元二次方程 ax²+bx+c=0 的两个根的和等于 -b/a，两个根的乘积等于 c/a。
初二下四边形证明题含答案
一：解答题1、已知：如图7，E、F是平行四边行ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF。
求证：∠CDF＝∠ABE2、如图8，把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H．求证：HC=HF.3、已知：如图9，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△AB外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，猜想四边形ADCE的形状，并给予证明.4、如图10，在梯形纸片ABCD中，AD//BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结C′E．求证：四边形CDC′E是菱形．答案：1、证明：(1)∵ ABCD 是平行四边形，∴DC=AB ，DC ∥AB,∴∠DCF=∠BAE ,∵ AE=CF ， ∴△ADF ≌△CBE ，∴∠CDF ＝∠ABE2、如图8，把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H ．求证：HC=HF.解：证明：连结AH ，∵四边形ABCD ，AEFG 都是正方形．∴90B G ∠=∠=°，AG AB =，BC=GF ，又AH AH =．Rt Rt ()AGH ABH HL ∴△≌△，HG HB =∴，∴HC=HF.3、解：猜想四边形ADCE 是矩形。
证明：在△A BC 中， AB =AC ，AD ⊥BC ． ∴ ∠BAD =∠DA C ．∵ AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，∴ MAE CAE ∠=∠．∴ ∠DAE =∠DAC +∠CAE =⨯21180°=90°．又 ∵ AD ⊥BC ，CE ⊥AN ，∴ ADC CEA ∠=∠=90°，∴ 四边形ADCE 为矩形．4、证明：根据题意可知 DE C CDE 'ΔΔ≅则 '''CD C D C DE CDE CE C E =∠=∠=，，∵AD//BC ∴∠C ′DE=∠CED ，∴∠CDE=∠CED ∴CD=CE ∴CD=C ′D=C ′E=CE ∴四边形CDC ′E 为菱形1．如图，正方形ABCD 和正方形A ′OB ′C ′是全等图形，则当正方形A•′OB ′C ′绕正方 形ABCD 的中心O 顺时针旋转的过程中． （1）四边形OECF 的面积如何变化．（2）若正方形ABCD 的面积是4，求四边形OECF 的面积．解：在梯形ABCD 中由题设易得到：△ABD 是等腰三角形，且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°．过点D 作DE ⊥BC ，则DE=12BD=23，BE=6。
初二几何证明题(共3篇)
初二几何证明题（共3篇）第1篇：初二几何证明题1如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DCCF．（1）求证：D是BC的中点；（2）如果AB=ACADCF的形状，并证明你的结论AEB第2篇：初二几何证明题初二几何证明题1.已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E。
M为AB中点，联结ME,MD、ED求证：角EMD=2角DAC证明：∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，∴MD=ME=MA=MB(斜边上的中线=斜边的一半)∴△MED为等腰三角形∵ME=MA∴∠MAE=∠MEA∴∠BME=2∠MAE∵MD=MA∴∠MAD=∠MDA,∴∠BMD=2∠MAD,∵∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC2.如图，已知四边形ABCD中，AD=BC,E、F分别是AB、CD中点，AD、BC的延长线和EF的延长线交于点H、D求证：∠AHE=∠BGE证明：连接AC，作EM‖AD交AC于M，连接MF.如下图：∵E是CD的中点，且EM‖AD，∴EM=1/2AD，M是AC的中点，又因为F是AB的中点∴MF‖BC，且MF=1/2BC.∵AD=BC，∴EM=MF，三角形MEF为等腰三角形，即∠MEF=∠MFE.∵EM‖AH，∴∠MEF=∠AHF∵FM‖BG，∴∠MFE=∠BGF∴∠AHF=∠BGF.3.写出“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题，并证明它是一次真命题这是经典问题,证明方法有很多种,对于初二而言,接下来的反证法应该可以接受如图,已知BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,BD=CE,求证:AB=AC证明:BD平分∠ABC==>BE/AE=BC/AC==>BE/AB=BC/(BC+AC)==>BE=AB*BC/(BC+AC)同理:CD=AC*BC/(BC+AB)假设AB≠AC,不妨设AB>AC.....(*)AB>AC==>BC+ACAC*BC==>AB*AB/(BC+AC)>AC*BC/(BC+AB)==>BE>CDAB>AC==>∠ACB>∠ABC∠BEC=∠A+∠ACB/2,∠BDC=∠A+∠ABC/2==>∠BEC>∠BDC过B作CE平行线,过C作AB平行线,交于F,连DF则BECF为平行四边形==>∠BFC=∠BEC>∠BDC (1)BF=CE=BD==>∠BDF=∠BFDCF=BE>CD==>∠CDF>∠CFD==>∠BDF+∠CDF>∠BFD+∠CFD==>∠BDC>∠BFC (2)(1)(2)矛盾,从而假设(*)不成立所以AB=AC。
初中经典几何证明练习题(含答案)
初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD ∴CD CO HG GO = ∴CD CO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。
求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连接AC ，取AC 的中点G,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG∴GN ∥AD ，GN=21AD∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG∴GM ∥BC ，GM=21BC∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30°∴BO=2OM由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD 并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P. 求证：AP ＝AQ ．证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ，∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC∴DF BG FD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN ， ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ，∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ，点O 是DF 的中点，OP ⊥BC 求证：BC=2OP （初二）证明：分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线，垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ，DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）证明：连接BD 交AC 于O 。
初中经典几何证明练习题集(含答案解析)
初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD∴CD COHG GO =∴CDCO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。
求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连接AC ，取AC 的中点G,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD 并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P. 求证：AP ＝AQ ．证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ，∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ∴DFBGFD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN ， ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ，∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ，点O 是DF 的中点，OP ⊥BC求证：BC=2OP （初二）证明：分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线，垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ，DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形 ∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）证明：连接BD 交AC 于O 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如何证明存在一种不能表示为两个整数之比的数？
古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“大自然的一切皆为整数之比”的思想统治了古希腊数学相当长的一段时间，许多几何命题都是根据这一点来证明的。
当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表示为整数之比”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。
直到有一天，毕达哥拉斯的学生Hippasus告诉他，单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。
被人们公认的假设被推翻了，大半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学大厦轰然倒塌，数学陷入了历史上的第一次危机。
最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。
今天我们要看的是，为什么单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。
单位正方形的对角线长度怎么算呢？从上面的这个图中我们可以看到，如果小正方形的面积是1的话，大正方形的面积就是2。
于是单位正方形的对角线是面积为2的正方形的边长。
换句话说，Hippasus认为不可能存在某个整数与整数之比，它的平方等于2。
中学课程中安排了一段反证法。
当时有个题目叫我们证根号2是无理数，当时很多人打死了也想不明白这个怎么可能证得到，这种感觉正如前文所说。
直到看了答案后才恍然大悟，数学上竟然有这等诡异的证明。
当然，我们要证明的不是“根号2是无理数”。
那个时候还没有根号、无理数之类的说法。
我们只能说，我们要证明不存在一个数p/q使得它的平方等于2。
证明过程地球人都知道：假设p/q已经不能再约分了，那么p^2=2*q^2，等式右边是偶数，于是p必须是偶数。
p是偶数的话，p^2就可以被4整除，约掉等式右边的一个2，可以看出q^2也是偶数，即q是偶数。
这样，p也是偶数，q也是偶数，那么p和q就还可以继续约分，与我们的假设矛盾。
根号2是无理数，我们证明到了。
根号3呢？根号5呢？你可能偶尔看到过，Theodorus 曾证明它们也是无理数。
但Theodorus企图证明17的平方根是无理数时却没有继续证下去了。
你可以在网上看到，Theodorus对数学的贡献之一就是“证明了3到17的非平方数的根是无理数”。
这给后人留下了一个疑问：怪了，为什么证到17就不证了呢？一个俄国的数学历史家“猜”到了原因。
他猜测，当时Theodorus就是用类似上面的方法证明的。
比如，要证明根号x不是有理数，于是p^2=x*q^2。
我们已经证过x=2的情况了，剩下来的质数都是奇数。
如果x是奇数且p/q已经不能再约分，那么显然p和q都是奇数。
一个奇数2n+1的平方应该等于4(n^2+n)+1，也即8 * n(n+1)/2 + 1，其中n(n+1)/2肯定是一个整数。
如果p=2k+1，q=2m+1，把它们代进p^2=x*q^2，有8[k(k+1)/2 - x*m(m+1)/2] = x-1。
于是x-1必须是8的倍数。
如果当时Theodorus 是这么证明的，那么他可以得到这样一个结论，如果x-1不能被8整除，那么它不可能被表示成(p/q)^2。
好了，现在3、5、7、11、13减去1后都不是8的倍数，它们的平方根一定不是有理数。
在x=9时发生了一次例外，但9是一个平方数。
而当x=17时这种证明方法没办
法解释了，于是Theodorus就此打住。
实际上，我们上面说的这么多，在古希腊当时的数学体系中是根本不可能出现的。
毕达哥拉斯时代根本没有发展出代数这门学科来，它们掌握的只是纯粹的几何。
因此，Hippasus 当时的证明不可能像我们现在这样搞点什么奇数x偶数y之类的高科技东西。
事实上，Hippasus当时完全运用的平面几何知识来证明他的结论。
有人觉得奇怪了，既然当时没有代数，古希腊人是怎么提出“所有数都可以表示为整数之比”的呢？其实古希腊人根本没有提出什么整数之比，这是后人的一个误解。
当时毕达哥拉斯学派提出的，叫做“公度单位”。
两条线段的公度单位，简单的说就是找一个公度量，使得两条线段的长度都是这个公度量的整倍数（于是这个公度量就可以同时作为两条线段的单位长度并用于测量）。
寻找公度量的方法相当直观，就是不断把较长的那个线段减去短的那个线段，直到两个线段一样长。
熟悉数论的同学一下就明白了这就是欧几里德的辗转相除算法求最大公约数。
第一次数学危机的根结就在于，古希腊人理所当然地相信不断地截取线段，总有一个时候会截到两个线段一样长。
后来，Hippasus画了这么一张图，告诉大家了一个反例：有可能这个操作会无穷尽地进行下去。
现在看他怎么解释，在图中的BC和BD之间进行辗转相除为什么永远不能停止。
把BD 减去BC，剩下一段DE。
以DE为边做一个新的小正方形DEFG，那么显然DE=EF=FC（∵△EDF为等腰直角且△BEF≌△BCF）。
接下来我们应该在BC和DE间辗转相除。
BC就等于CD，CD减去一个DE相当于减去一个FC，就只剩下一段DF了。
现在轮到DE和DF 之间辗转相除，而它们是一个新的正方形的边和对角线，其比例正好与最初的BC和BD相当。
于是，这个操作再次回到原问题，并且无限递归下去。
最后的结论用我们的话说就是，不存在一个数x使得BC和BD的长度都是x的整倍数。
于是，BD/BC不能表示为两个整数之比p/q（否则BD/p=BC/q，这就成为了那个x）。
有发现上面的代数证明和几何证明之间的共同点吗？它们都是这样的一个思路：假设我已经是满足这个性质的最小的那个了，那么我就可以用一种方法找出更小的一个来，让你无限循环下去，数目越来越小，永无止境。
严格的数学证明中你或许会看到这样一句话：“不失一般性，设n为最小的满足……”
这种证明方法应用很广。
比如，证明3^n不能表示为两个正整数的平方和。
我假设存在一个最小的n使得x^2+y^2=3^n，那么x^2+y^2可以被3整除，于是x和y也应该能被3整除（一个正整数的平方除以3，要么除尽，要么余1）。
假如x=3p，y=3q，那么(3p)^2+(3q)^2=3^n，即9(p^2+q^2)=3^n，那么。
p^2+q^2=3^(n-2)，这和n最小的假设矛盾。
换句话说，你永远找不到最小的，你必须一直递归下去。
对于根号2是无理数的问题，下面一个证明使用了与上例几乎相同的解决方法。
如果√N不是整数的话，假设√N=A/B（化到最简），那么NB/A=A/B。
化成带分数后，NB/A 和A/B的分数部分是形如a/A和b/B的形式，其中a<A且b<B。
如果两个数相同，那它们的小数部分也应该相同，于是a/A=b/B。
我们发现，a/b = A/B =√N，即我们找到了√N的更简的表达形式a/b。
接下来的两个证明才是我佩服的，真正的Very Simple & Very Tricky。
下面的这个证明曾经是我最喜欢的关于无理数的存在性的证明，它实在是太神奇了。
假设(p/q)^2=2，那么p^2=2q^2。
我们将要证明，一个数的平方等于另一个数的平方的两倍是根本不可能的。
如果对一个平方数分解质因数，它必然有偶数个因子（x^2的所有质因子就是把x的质因子复制成两份）。
于是，p^2有偶数个质因子，q^2有偶数个质因子，2q^2有奇数个质因子。
等号左边的数有偶数个质因子，等号右边的数有奇数个质因子，大家都知道这是不可能的，因为同一个数只有一种分解质因数的方法（唯一分解定理）。
这个证明还有一种更加神奇的变化。
p^2和2q^2的质因子中，因子2的个数肯定是一奇一偶。
那么它们转化成二进制后，末尾0的个数肯定也是一奇一偶。
因此，这两个数不可能相等。
今天，我见到了一个更加简洁的证明。
它就来源于哲牛介绍的那篇文章。
这个证明虽然与前面的证明有些类似，但它的简洁性足以让我打算写下今天这篇4000字的文章。
看后我大为折服，这真的叫做the power of simple ideas in mathematics。
同样是证明不存在整数p, q使得p^2=2q^2，这个证明只需要一句话。
假如p、q是最小的正整数使得p^2=2q^2，看图，两个边长为q的小正方形放在一个边长为p的大正方形里，那么图中深灰色正方形的面积就等于两个白色正方形面积之和（面积守恒），于是我们就找到了具有同样性质的更小的整数p和q。
仔细体会一下这个“面积守恒”，如果A+B=C，那么A和B重复计算了的必然是C里还没有算过的。
很有意思。