江苏省洪泽中学2020-2021学年上学期高二第三次六校联考数学试卷
2021-2022学年江苏省淮安市洪泽中学高二数学理联考试题含解析
2021-2022学年江苏省淮安市洪泽中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 编号为1，2，3，4，5的5人，入座编号也为1，2，3，4，5的5个座位，至多有2人对号入座的坐法种数为（）A．120 B．130 C．90 D．109参考答案：D【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意分析可得，“至多有两人对号入座”的对立为“至少三人对号入座”，包括“有三人对号入座”与“五人全部对号入座”两种情况，先求得5人坐5个座位的情况数目，再分别求得“有三人对号入座”与“五人全部对号入座”的情况数目，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，“至多有两人对号入座”包括“没有人对号入座”、“只有一人对号入座”和“只有二人对号入座”三种情况，分析可得，其对立事件为“至少三人对号入座”，包括“有三人对号入座”与“五人全部对号入座”两种情况，（不存在四人对号入座的情况）5人坐5个座位，有A55=120种情况，“有三人对号入座”的情况有C53=10种，“五人全部对号入座”的情况有1种，故至多有两人对号入座的情况有120﹣10﹣1=109种，故选：D．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意要明确事件间的相互关系，利用事件的对立事件的性质解题．2. 已知集合，，则A∩B=（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据题意，直接求交集，即可得出结果. 【详解】因为集合，，所以.故选B【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.3. 过双曲线的右焦点作直线与双曲线交A、B于两点，若，这样的直线有（）A.一条B.两条C. 三条D. 四条参考答案：C略4. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为(A) (B) (C) (D)参考答案：D略5. 已知命题α：如果x＜3，那么x＜5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的（）A. 否命题B. 逆命题C. 逆否命题D. 否定形式参考答案：A命题α：如果x＜3，那么x＜5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的否命题．故选：A．6. 已知a，b都是实数，那么“”是“”的（）A.充要条件B．必要不充分条件C.充分不必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：D由可得a>b，但a,b的具体值不知道，当a=1，b=-2时成立，但无法得到故充分性不成立，再由，例如a=-2，b=-1，但得不到，故必要性也不成立，所以综合得：既不充分也不必要7. 曲线y=在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y﹣5=0参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：y=的对数为y′==﹣，可得在点（1，1）处的切线斜率为﹣1，则所求切线的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即为x+y﹣2=0．故选：B．8. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）⑴ ，；⑵ ，；⑶ ，；⑷，；⑸ ，A ⑴、⑵B ⑵、⑶C ⑷D ⑶、⑸参考答案：C9. 一个长、宽分别为和1的长方形内接于圆（如下图），质地均匀的粒子落入图中（不计边界），则落在长方形内的概率等于A. B. C. D.参考答案：A10. 函数的单调递增区间为( )A. (0,+∞)B. (－∞,0)C. (2,+∞)D. (－∞,－2)参考答案：D【分析】先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性满足“同增异减”的结论求解即可．【详解】由可得或，∴函数的定义域为．设，则在上单调递减，又函数为减函数，∴函数在上单调递增，∴函数的单调递增区间为．故选D．【点睛】（1）复合函数单调性满足“同增异减”的结论，即对于函数来讲，它的单调性依赖于函数和函数的单调性，当两个函数的单调性相同时，则函数为增函数；否则函数为减函数．（2）解答本题容易出现的错误是忽视函数的定义域，误认为函数的单调递增区间为．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 二项式的展开式中常数项为；参考答案：2812. 已知，，若，或，则m 的取值范围是_________参考答案：首先看没有参数，从入手，显然时，；时，。
江苏省淮安市六校联盟2020届高三数学第三次学情调查试题
江苏省淮安市六校联盟2020届高三数学第三次学情调查试题 理试卷满分：160分考试时长：120分钟注意事项：1.试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题•第20题）两部 分.本试卷满分为160分，考试时间为120分钟.2.答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答题卡上对应 题目的答案空格内.考试结束后，交回答题卡.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填在答題卡相应位置上. 1. 已知集合{}{}12,1,2,3,4A x x B =≤≤=，则A B =I ▲ . 2. 已知复数z,满()22z i =+（i 为虚数单位），则z 的实部为 ▲ . 3. 函数3sin 46y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是 ▲ .4. 已知数列{}n a 是等差数列，且515a =,则9S 的值为 ▲ •5. 已知0(2,F ）是双曲线22122x y m -=的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ▲ • 6. 定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()22x f x x =-，则()()10f f -+的值为 ▲ 7. 若命题“存在2,40x R ax x a ∈++≤”为假命题，则实数a 的取值范围是 ▲. 8.若函数()x x af x e-=在区间()0,2上有极值，则实数a 的取值范围为 ▲ . 9. 已知等比数列{}n a 的前"项和为n S ，若396,,S S S 成等差数列，且83a =，则5a 的值为▲ .10. 若()0,0,lg lg lg 2a b a b a b >>+=+，则2 a b +的最小值为 ▲ .11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点为"A ，左焦点为F ,上顶点为B ,若，则椭圆的离心率是 ▲ .12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知是圆()()22:345C x y -+-=上的两个动点，且2AB =，则OA OB ⋅u u u r u u u r的取值范围为 ▲ .13. 已知.均为锐角，且()sin cos sin ααββ+=，则的最大值是 ▲ .14. 已知函数()3,3,x x af x x x x a≥⎧=⎨-<⎩'若函数()()2g x f x ax =-恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)已知向量()sin ,cos 2sin a ααα=-r ,()1,3b =r⑴若a b r rP ，求的tan α值；(2)若a b a b +=-r r r r，求cos2α的值.16.(本小題满分14分)如图.在ABC ∆中，边上的中线AD 长为3,且101cos ,cos 84B ADC =∠=. ⑴求sin BAD ∠的值； (2)求AC 边的长.17.（本小题满分14分）如图，射线OA 和OB 均为笔直的公路，扇形OPQ 区域（含边界）是一蔬菜种植园， 其中P 、Q 分别在射线OA 和OB 上。
2020-2021学年江苏省淮安市六校(金湖中学、洪泽中学等)高二上第二次联考(期中)数学(解析版)
2020-2021学年江苏省淮安市六校（金湖中学、洪泽中学等）高二上学期第二次联考（期中）数学试题一、单选题1．下列命题中的假命题是（ ） A ．x R ∀∈，120x -> B ．*∀∈x N ，()210x -> C ．x R ∃∈，lg 1x < D ．x R ∃∈，tan 2x =【答案】B【详解】试题分析：当x=1时，（x-1）2=0,显然选项B 中的命题为假命题，故选B ． 【解析】特称命题与存在命题的真假判断．2．若方程22153x y m m +=-+表示椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．()3,5-B ．()5,3-C ．()()3,11,5-D ．()()5,11,3-【答案】C【分析】由方程22153x ym m +=-+表示椭圆可得503053m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，解出即可. 【详解】若方程22153x y m m +=-+表示椭圆，则503053m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，解得31m -<<或15m <<. 故选：C.【点睛】本题考查对椭圆标准方程的理解，属于基础题. 3．不等式211x <+的解集是（ ）． A ．(),1-∞- B ．()1,+∞C ．()(),11,-∞-+∞D ．()1,1-【答案】C【分析】化简不等式为101x x ->+，结合分式不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意，不等式211x <+，可化为211011x x x --=<++，即101x x ->+， 解得1x <-或1x >，即不等式211x <+的解集是()(),11,-∞-+∞. 故选：C.4．“2a <”是“10,x a x x∀>≤+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】若10,x a x x ∀>≤+，则min 1()a x x ≤+，利用均值定理可得min 1()2x x +=，则2a ≤，进而判断命题之间的关系．【详解】若10,x a x x ∀>≤+，则min 1()a x x≤+， 因为12x x +≥，当且仅当1x x=时等号成立，所以2a ≤， 因为{}{2}2a a a a <⊆≤，所以“2a <”是“10,x a x x∀>≤+”的充分不必要条件， 故选:A【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定，考查利用均值定理求最值．5．若正数,x y 满足35x y xy +=，当34x y +取得最小值时，2x y +的值为（ ） A ．245B ．2C ．285D ．5【答案】B【分析】将方程变形13155y x += 代入可得3x+4y=（3x+4y ）（1355y x+）=1334+555x yy x+×3，然后利用基本不等式即可求解． 【详解】∵x+3y=5xy ，x ＞0，y ＞0∴13155y x+=∴3x+4y=（3x+4y ）（1355y x+）=1334+555x yy x +×31355≥=当且仅当312=55x yy x即x=2y=1时取等号,2x y +的值为2.故答案为B.【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.6．已知正项数列{}n a 中，()()1212n n n a a a n *++++=∈N ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）． A ．n a n = B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a = 【答案】B【分析】根据已知条件可得121(1)...2n n n a a a --+++=，()2n ≥，与已知条件相减即可求出2n a n =()2n ≥，检验11a =满足2n a n =，即可求解.【详解】∵12(1)...2n n n a a a ++++=， ∴121(1)...2n n n a a a --+++=()2n ≥，两式相减得(1)(1)22n n n n n a n +-=-= ∴2n a n =()2n ≥，①又当1n =时，11212a ⨯==，11a =，适合①式， ∴2n a n =.故选：B7．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．(0,0)2a bab a b +≥>> B ．222(0,0)a b ab a b +≥>>C ．20,0)aba b a b≤>>+ D ．0,0)2a b a b +≤>>【答案】D【分析】由题意，可得圆O 的半径r ＝2a b+，根据勾股定理，可求得FC 的表达式，根据FO ≤FC ，即可求出答案.【详解】由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝2a b+， 又OC ＝OB －BC ＝2a b+－b ＝2a b -， 则FC 2＝OC 2＋OF 2＝2()4a b -＋2()4a b +＝222a b +，再根据题图知FO ≤FC ，即2a b +a ＝b 时取等号． 故选：D .8．椭圆 2212516x y += 的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，弦 AB 过 1F ，若 2ABF的内切圆周长为 π，A 、 B 两点的坐标分别为 ()11,x y 和 ()22,x y ，则21y y -∣∣ 的值是()A ．B ．103C ．203D ．53【答案】D【分析】解：椭圆：2212516x y +=，a=5，b=4，∴c=3， 左、右焦点F 1（-3，0）、F 2（ 3，0），△ABF2的内切圆面积为π，则内切圆的半径为r=12， 而△ABF 2的面积=△A F 1F 2的面积+△BF1F2的面积=12 ×|y 1|×|F 1F 2|+12×|y 2|×|F 1F 2|=12×（|y 1|+|y 2|）×|F 1F 2|=3|y 2-y 1|（A 、B 在x 轴的上下两侧） 又△ABF2的面积═12 ×|r （|AB|+|BF 2|+|F 2A|=12 ×12（2a+2a ）=a=5． 所以 3|y 2-y 1|=5， |y 2-y 1|=53． 故选D ．二、多选题9．若数列{}n a 满足11a =，23a =，()213n n n a a a n --=≥，记数列{}n a 的前n 项积为n T ，则下列说法正确的是（ ）．A ．n T 无最大值B ．n a 有最大值C ．20209T =D ．20203a =【答案】BC【分析】根据数列的递推关系式，分别求得123456,,,,,,a a a a a a ，得出数列{}n a 是周期为6的数列，且1234561a a a a a a =，结合选项，即可求解.【详解】由题意，数列{}n a 满足11a =，23a =，()213n n n a a a n --=≥， 所以3234123,1a a a a a a ====， 同理可得567811,,1,3,33a a a a ====，可得6n n a a +=，所以数列{}n a 是周期为6的数列，且1234561a a a a a a =， 所以n T 有最大值，最大值为9，n a 有最大值，最大值为3，又由3362020123456123()9T a a a a a a a a a =⋅=，202041==a a ，所以选项BC 正确. 故选：BC.【点睛】方法点睛：对于难以化简的数列的递推关系式，可求出数列的前几项，寻找数列的构成规律，如：周期性，单调性等，结合数列的性质进行求解. 10．下列选项中，不是．．{}n a 成等比数列的充要条件是（ ）． A ．1n n a a q +=⋅（q 为常数）B ．11n n a a q -=（q 为常数）C ．2120n n n a a a ++=⋅≠D ．1n a +【答案】ABD【分析】根据等比数列定义、等比数列中项公式判定即可.【详解】解：对于A. 1n n a a q +=⋅当,00n q a ==时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于B. 11n n a a q -=当100,q a ==时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于C. 根据等比数列等比中项可以判定此数列为等比数列，故正确；对于D. 1n a +=120,0,0n n n a a a ++===时，等式成立，此时不是等比数列，故错误； 故选：ABD.【点睛】等比数列的有关概念：（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为1n na q a +=； （2）等比中项：如果,,a Gb 成等比数列，那么G 是a 与b 的等比中项.即G 是a 与b 的等比中项,,a G b ⇔成等比数列2G ab ⇒=.注意：每一项不能为0.11．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*12n n a S n N +=∈，则有（ ） A ．13n n S -=B ．{}n S 为等比数列C ．123n n a -=⋅D ．21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩ 【答案】ABD【分析】根据,n n a S 的关系，求得n a ，结合等比数列的定义，以及已知条件，即可对每个选项进行逐一分析，即可判断选择.【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和满足()*12n n a S n N +=∈，当2n ≥时，12n n a S -=，两式相减，可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-， 可得13n n a a +=，即13,(2)n na a n +=≥， 又由11a =，当1n =时，211222a S a ===，所以212a a =， 所以数列的通项公式为21,1232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩；当2n ≥时，11123322n n n n a S --+⋅===，又由1n =时，111S a ==，适合上式，所以数列的{}n a 的前n 项和为13n n S -=；又由11333nn n n S S +-==，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列， 综上可得选项,,A B D 是正确的. 故选：ABD.【点睛】本题考查利用,n n a S 关系求数列的通项公式，以及等比数列的证明和判断，属综合基础题.12．下列结论中，正确的结论有（ ）．A ．如果01x <<，那么()43x x -取得最大值时x 的值为23B ．如果0x >，0y >，39x y xy ++=，那么3x y +的最小值为6C ．函数()2f x =的最小值为2D ．如果0a >，0b >，且11121a b b +=++，那么2+a b 的最小值为2【答案】AB【分析】A.将其配成顶点坐标式即可得出答案；B.将其配成21332x y xy +⎛⎫≤⋅ ⎪⎝⎭代入39x y xy ++=即可得其最小值；C. 函数()f x =1=此时x 无解D.根据题意构造()()1223(1)32a b a b b +=+++-，将“1”替换为1121a b b +++，代入用基本不等式.【详解】解：对于A. 如果01x <<，那么()22433433y x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭=-，当23x =时取得最大值，故正确；对于B.如果0x >，0y >，39x y xy ++=则21393332x y x y xy x y +⎛⎫=++≤++⋅ ⎪⎝⎭整理得()()231231080x y x y +++-≥，所以36x y +≥或318x y +≤-（舍去），当且仅当1,3y x ==时取得最小值，故正确；对于C. 函数()22f x ==≥1=此时x无解，不能取得最小值2，故错误； 对于D. 如果0a >，0b >，且11121a b b +=++，那么()()112(24)23(1)3122a b a b a b b +=+=+++-⨯ ()()111313(1)2323(1)1322122212b a b a b b a b b a b b ++⎛⎫⎛⎫=+++⨯+-=+++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭1112222≥⨯=当且仅当23(1)a b b +=+即1,2a b =+=. 故选：AB【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、填空题13．命题“1x ∀≥，2340x x --<”的否定是______． 【答案】1x ∃≥，有2340x x --≥【分析】全称命题的否定：改变量词，否定结论.【详解】解：根据全称命题的否定可得：命题“1x ∀≥，2340x x --<”的否定是1x ∃≥，有2340x x --≥.14．若()22f x x x =-，()()20g x ax a =+>，[]11,2x ∀∈-，[]01,2x ∃∈-，使()()10g x f x =，则实数a 的取值范围是______．【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】由于()g x 在定义域内任意取值，必存在[]01,2x ∈-使()()10g x f x =成立，所以函数()g x 的值域为函数()f x 值域的子集，分别求得函数()g x 和函数()f x 的值域，根据集合的包含关系，即可求得答案.【详解】由题意得：函数()g x 的值域为函数()f x 值域的子集， 因为()22f x x x =-，[]1,2x ∈-，根据二次函数的性质，所以()f x 的值域为[-1,3]，因为a >0，所以()g x 的值域为[2,22]a a -+，所以22321a a +≤⎧⎨-≥-⎩，解得12a ≤，所以102a <≤，故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦15．三个同学对问题“已知,R m n +∈，且1m n +=，求11m n+的最小值”提出各自的解题思路： 甲：112m n m n n m m n m n m n +++=+=++，可用基本不等式求解； 乙：1111(1)m n m n mm mn m m ++===-，可用二次函数配方法求解； 丙：1111()()2n mm n m n m n m n+=++=++，可用基本不等式求解； 参考上述解题思路，可求得当x =________时，2221100a y x x=+-（010x <<，0a >）有最小值【分析】由22(100)100x x +-=得，221001100100x x -+=，然后利用丙的思路求解即可【详解】解：因为22(100)100x x +-=，010x <<，0a >所以221001100100x x -+=所以222221100100100100a x x y x x ⎛⎫⎛⎫-=++ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 2222221(100)100100100(100)a x a x x x +-=++-21100a +≥+212100100a a+=+当且仅当22222(100)100100(100)x a x x x -=-时，取等号即当x =221100a a ++【点睛】此题考查的是利用基本不等式求最值，属于中档题四、双空题16．意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，即()()121F F ==，()()()()123,F n F n F n n n *=-+-≥∈N ，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则2020b =______，若其前n 项和是n S ，则2020S =______．【答案】1 1347【分析】由题意可得数列从第三项起，后一项为前两项的和，再分别除以2后的余数构成一个新数列{}n b ，可知该数列具有周期性，即可求解.【详解】1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987…， 此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n b ， 则{}n b 为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0…，该数列是以3为周期的数列，每个周期三项之和等于2， 因为202036731=⨯+所以202011b b ==，2020673211347S =⨯+=，故答案为：1；1347【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是根据题意列出数列{}n b 的各项，得出数列具有周期性，问题即可解决.五、解答题17．已知命题:11p x ∀-≤≤“，不等式2x x m --<0成立”是真命题． (I)求实数m 的取值范围；(II)若:44q m a -<-<是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（I ）()2,+∞（II ）[)6,+∞【分析】(Ⅰ)根据命题P 是真命题,得不等式恒成立,将不等式恒成立转化为最大值成立,即可得到;(Ⅱ)先化简命题:44q a m a -<<+,再根据q 是p 的充分不必要条件列式可解得.【详解】（I ）由题意2m x x >-在11x -≤≤恒成立，所以2max ()m x x >-(11)x -≤≤,因为221124x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以2124x x -≤-≤，即2max ()2x x -=, 2m >，所以实数m 的取值范围是()2,+∞ （II ）由q 得44a m a -<<+， 因为q p ⇒，所以42a -≥，，即6a ≥ 所以实数a 的取值范围是[)6,+∞【点睛】本题考查了不等式恒成立转化为最值成立以及充分不必要条件的应用,属于中档题.18．在①4516a a +=；②39S =；③2n S n r =+（r 为常数）这3个条件中选择1个条件，补全下列试题后完成解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项均为正整数，且满足公差1d >，______．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令12n n n b a a +=，前n 项和是n T ．若2221n T m m <--恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）3m ≥或1m ≤-．【分析】（1）若选①，利用等差数列的通项公式以及2d ≥，d *∈N 可解得结果；若选②，根据等差数列的求和公式以及2d ≥，d *∈N 可解得结果；若选③，根据1(2)n n n a S S n -=-≥可求得结果；（2）利用()()21121212121n b n n n n ==--+-+裂项求和得到11121n T n =-<+，将不等式恒成立化为2212m m --≥，解得结果即可.【详解】（1）由等差数列{}n a 各项均为正整数，且公差1d >，知2d ≥，d *∈N ， 若选①，由4516a a +=得12716a d +=，由2d ≥，d *∈N ，得11a =，2d =，∴21n a n =-． 若选②，由39S =得1339a d +=，13a d +=， 由2d ≥，d *∈N ，得11a =，2d =，∴21n a n =-．若选③，由2n S n r =+得()()2112n S n r n -=-+≥，∴()()2211212n n n a S S n r n r n n -=-=+---=-≥， ∴23a =，35a =，又因为{}n a 是等差数列，∴2d =，11a =，∴21n a n =-． （2）由（1）知21n a n =-，()()21121212121n b n n n n ==--+-+， 所以11111111335572121n T n n =-+-+-++--+1121n =-+，∴11121n T n =-<+， 因为2221n T m m <--恒成立，∴2212m m --≥，解得3m ≥或1m ≤-．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥； ②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤； ③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥； ④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤； 19．函数2(3)f x x ax =++（1）当[2,2]x ∈-时()f x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当[4,6]a ∈时()0f x ≥恒成立，求实数x 的取值范围；【答案】(1) [7,2]-- (2) (,3[3)x ∈-∞--⋃-++∞ 【分析】（1）根据函数的对称性2ax =-与区间[]22-,的位置关系对函数()f x 的最小值进行分类讨论，由此解不等式，求得a 的取值范围.（2）构造一次函数()23h a x a x =⋅++，由不等式组()()4060h h ⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，求解出x 的取值范围.【详解】解：（1）①当22a-<-，即4a >时 ()()min 2423f x f a a =-=-+≥，所以73a ≤,此时a 不存在； ②当222a-≤-≤，即44a -≤≤时 ()22min3242a aa f x f a ⎛⎫=-=-+≥ ⎪⎝⎭，所以24120a a +-≤，解得62a -≤≤此时[]4,2a ∈- ③当22a->，即4a <-时 ()()min 2423f x f a a ==++≥，所以7a ≥-．此时[)7,4a ∈--综上所述：实数a 的取值范围是[]7,2-- （2）令()23h a x a x =⋅++所以()()2244306630h x x h x x ⎧=++≥⎪⎨=++≥⎪⎩解得3133x x x x 或≤-≥-⎧⎪⎨≤-≥-⎪⎩所以[(),33x ∈-∞-⋃-++∞【点睛】本小题主要考查二次函数的最值问题，考查一元二次不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.20．已知等差数列{}n a 的公差为2，其前n 项和22n S pn n =+（*n N ∈，p R ∈）.（1）求p 的值及{}n a 的通项公式；（2）在等比数列{}n b 中，21b a =，324b a =+，令(21)(2)nn na n k cb n k =-⎧=⎨=⎩（*k N ∈），求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）1,p =21n a n =+；（2）**(1)3(31);2,28(1)(2)33;21,28n n nn n n k k N T n n n k k N ⎧+-+=∈⎪⎪=⎨++-⎪+=-∈⎪⎩. 【解析】试题分析：（1）由22n S pn n =+求得p 的值及{}n a 的通项公式；（2）由题意可得：13n n b -=，分奇偶项讨论，分组求和即可. 试题解析： （1）22n S pn n =+*2,22,2n p a n N pn p n +⎧∴=∈⎨-+≥⎩，*22,n a pn p n N ∴=-+∈，122n n a a p +∴-==，1p ∴=， ()31221n a n n =+-=+（2）∵21323,49b a b a ===+=，∴3q =，2212333n n n n b b q---==⨯=， 当*2,n k k N =∈时，1234212n k k T a b a b a b -=++++++()()1321242+k k a a a b b b -=++++++()21(37+4-1)3273k k -=++++++，()()()()319391341212198k kk k k k --+-=+=++-，()()331128n n n -+=+，当*21,n k k N =-∈时，1n +是偶数，()()()11133112T T 328n n n n n n n b +++-++=-=+- ()()123328nn n ++-=+ ()()()()**3311;2,281233;21,28n n nn n n k k N T n n n k k N ⎧-+⎪+=∈⎪∴=⎨++-⎪+=-∈⎪⎩.21．已知点M 是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且124F F =，1260F MF ∠=，12F MF △． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆C 上的动点，求12PF PF ⋅取值范围； （3）设点Q 为椭圆C 上与焦点1F ，2F 不共线点，若12QF F面积小于求点Q 横坐标的取值范围．【答案】（1）22184x y +=；（2）[]0,4；（3）((2,22-.【分析】（1）由三角形的面积公式可得12163MF MF =，由余弦定理可得12MF MF +=，进而可得a =，再由2c =，222b a c =-可得b 的值，即可得椭圆C 的方程；（2）设()00,P x y ，则2212004PF PF x y ⋅=+-，利用点P 为椭圆C 上的动点2200184x y += 可得220042x y =-代入数量积，再利用0x -≤≤即可求解；（3）设()11,Q x y ，且1x -<<利用12QF F 面积小于可得1y <且10y ≠，再利用点()11,Q x y 在椭圆上，可用1y 表示1x 即可求解. 【详解】（1）在12F MF △中，由1212143sin 602F MF SMF MF ==，得12163MF MF =． 由余弦定理，得2221212122cos60F F MF MF MF MF =+-⋅()()212121621cos60MF MF MF MF =+-+，解得：12MF MF +=．从而122a MF MF =+=a = 由124F F =得2c =，从而2b =，故椭圆C 的方程为：22184x y +=．（2）设()00,P x y ，则()()22120000002,2,4PF PF x y x y x y ⋅=---⋅--=+-，因为2200184x y +=可得220042x y =-， 所以221000224224PF PF x x x ⋅=+-=-，因为0x -≤≤2008x ≤≤，所以20042x ≤≤，（3）设()11,Q x y ，且1x -<<因为12QF F 面积小于所以1212111114222QF F SF F y y y =⨯=⨯⨯=<1y <10y ≠， 又因为点()11,Q x y 在椭圆上，所以2211184x y +=，所以22211181824y x y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由1y <10y ≠，可得2103y <<，所以()22112,288x y ∈=-，1x <<或1x -<<所以点Q 横坐标的取值范围为((2,22-.【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．圆锥曲线中求直线过定点的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，运算量较大.22．在数列{}n a 中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{}n a 为“等比源数列”． （1）已知数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，求数列{}n a 的通项公式； （2）在（1）的结论下，试判断数列{}n a 是否为“等比源数列”，并证明你的结论；（3）已知数列{}n a 为等差数列，且1a ≠0，()n a n *∈∈Z N ，求证：{}n a 为“等比源数列”．【答案】（1）121n n a -=+；（2）不是，证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）由121n n a a +=-，可得出()1121n n a a +-=-，则数列{}1n a -为等比数列，然后利用等比数列的通项公式可间接求出n a ；（2）假设数列{}n a 为“等比源数列”，则此数列中存在三项()k m n a a a k m n <<<<成等比数列，可得出2m k n a a a =，展开后得出()121221221m k m n n k -+---+=++，然后利用数的奇偶性即可得出结论；（3）设等差数列{}n a 的公差为d ，假设存在三项使得()2m k n a a a k m n =<<，展开得出()()()2k k m k a m k d n k a -+-=-⎡⎤⎣⎦，从而可得知，当k m k a =+，2k k n a a d k =++时，原命题成立.【详解】（1）121n n a a +=-，得()1121n n a a +-=-，且111a -=， 所以数列{}1n a -是首项为1，公比为2的等比数列，所以112n n a --=，所以，数列{}n a 的通项公式为121n n a -=+．（2）数列{}n a 不是“等比源数列”，用反证法证明如下： 假设数列{}n a 是“等比源数列”，则存在三项m a ，n a ，()k a m n k <<按一定次序排列构成等比数列，因为121n n a -=+，所以m n k a a a <<，所以2m n k a a a =⋅，得()()()2111212121n m k ---+=++，即211122221k n m k m n m ---+--+--=， 又m n k <<，,,m n k *∈N ，所以211n m --≥，11n m -+≥，11k -≥，1k m -≥，所以21112222n m n m k k m ---+--+--为偶数，与211122221k n m k m n m ---+--+--=矛盾， 所以，数列{}n a 中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列， 综上可得，数列{}n a 不是“等比源数列”． （3）不妨设等差数列{}n a 的公差0d ≥，当0d =时，等差数列{}n a 为非零常数数列，数列{}n a 为“等比源数列”； 当0d >时，因为n a ∈Z ，则1d ≥，且d ∈Z ， 所以数列{}n a 中必有一项0m a >， 为了使得{}n a 为“等比源数列”，只需要{}n a 中存在第n 项，第k 项()m n k <<，使得2n m k a a a =成立，即()()2m m m a n m d a a k m d +-=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()()2m m n m a n m d a k m -+-=-⎡⎤⎣⎦成立， 当m n a m =+，2m m k a a d m =++时，上式成立， 所以{}n a 中存在m a ，n a ，k a 成等比数列， 所以，数列{}n a 为“等比源数列”．【点睛】关键点点睛：根据数列新定义“等比源数列”的定义，利用反证法，找出矛盾21112222n m n m k k m ---+--+--为偶数，211122221k n m k m n m ---+--+--=，是证明数列{}n a 不是“等比源数列”的关键，考查计算能力与推理能力，属于难题.。
江苏省淮安市六校(金湖中学、洪泽中学等)2020-2021学年高二上学期第二次联考(期中)数学试题
2020-2021学年度高二年级第一学期第二次六校联考数学试卷本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、下列命题是假命题的( ) A ．02,1>∈∀-x R x B ．0)1(,2*>-∈∀x N xC ．1lg ,<∈∃x R xD ．2tan ,=∈∃x R x2、若方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围是( )A ．(－3,5)B ．(－5,3)C ．(－3,1)∪(1,5)D ．(－5,1)∪(1,3)3、不等式112<+x 的解集是 （ ） A.），（1--∞B.），（∞+1C.），（），（∞+⋃∞11-- D.（-1,1）4、“2a <”是“10,x a x x∀>≤+”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5、若正数x ，y 满足35x y xy +=，当34x y +取得最小值时，2x y +的值为（ ）A.245B.2C.285D.56、已知正项数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2)1(+n n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝nB ．a n ＝n 2C ．a n ＝n2D ．a n ＝n 227、《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)8、椭圆 2212516x y += 的左、右焦点分别为 12,F F ，弦AB 过点1F ，若2ABF ∆的内切圆周长为 π，,A B 两点的坐标分别为 ()11,x y 和 ()22,x y ，则 21y y -∣∣ 的值是 （ ） A.5B.103C. 203D.53二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省淮安市洪泽外国语中学2021-2022学年高二数学理模拟试卷含解析
江苏省淮安市洪泽外国语中学2021-2022学年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为( )A. B. C. D.参考答案：C略2. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果的值为A. 2B.1C.0D.-1参考答案：C3. 已知集合，，则（）A. B.C. D. 参考答案：C【分析】根据指数不等式求得集合，再由集合的交、并、补运算求解.【详解】∵集合，，∴，，，．故选C．【点睛】本题考查指数不等式和集合的交、并、补运算，属于基础题.4. 已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点P(x,-1,3)在平面ABC内，则x的值为（）A. –4B. 1C. 10D. 11参考答案：D略5. 已知等比数列中，，且，则A．12 B．10 C．8 D．参考答案：B6. 已知，若直线xcosθ+2y+1=0与直线x﹣ysin2θ﹣3=0垂直，则sinθ等于（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用直线与直线垂直的性质求解．【解答】解：由题意可得﹣?=﹣1，即sinθ=，故选：D【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线垂直的性质的合理运用．7. 下列说法正确的是（）A．“若，则”的否命题是“若，则”B．命题“对?x∈R，恒有x2+1＞0”的否定是“?x0∈R，使得”C．?m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）是奇函数D．设p，q是简单命题，若p∨q是真命题，则p∧q也是真命题参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用；四种命题；复合命题的真假；全称命题；特称命题．【分析】逐项分析各项正误即可判断．【解答】解：A、命题的否命题应把条件和结论同时否定，故A错误；B、根据全称命题的否定形式可知B项正确；C、因为函数f（x）=x2+mx是一二次函数，其图象不可能关于原点对称，故不论m取何值函数都不可能为奇函数，故C错误；D、当p∨q为真时，p，q中至少一个为真，即有可能一真一假，此时p∧q为假，故D错误．综上可知，只有B正确．故选：B．8. 已知函数f（x）=2ln（3x）+8x，则的值为（）A．10 B．﹣10 C．﹣20 D．20参考答案：C【考点】62：导数的几何意义；61：变化的快慢与变化率．【分析】利用导数的定义与运算法则即可得出．【解答】解：函数f（x）=2ln（3x）+8x，∴f′（x）=+8，∴f′（1）=10，∴=﹣2=﹣2f′（1）=﹣20，故选：C9. 已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】抛物线的应用．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），圆x2+（y﹣4）2=1的圆心为C（0，4），根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：，故选C．【点评】本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．10. 某几何体的三视图如图所示，它的表面积为（A）（B）（C）（D）参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在中，，分别为中点，为线段EF上任意一点，实数满足，设的面积分别为，取得最大值时，的值为．参考答案：略12. 底面直径和高都是4cm 的圆柱的侧面积为 cm 2。
【数学】江苏省淮安市洪泽中学2020-2021学年高二上学期第三次六校联考试题
江苏省淮安市洪泽中学2020-2021学年高二上学期第三次六校联考数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）111的等比中项是（ ）A ．1B ．1-C ．1-或1D ．122.设,,a b c 为实数,且0a b <<,则下列不等式正确的是( ) A. 11a b < B. 22ac bc < C. b a a b > D. 22a ab b >>3. 抛物线2=y ax 的准线方程是=-2y ，则a 的值为（ ）A. 4B. 8C. 18D. 144．已知等差数列{}n a 满足24354,10a a a a +=+=,则它的前10项的和10S =（ ） A ．23 B ．85 C ．95 D ．1355. 若双曲线1C 以椭圆222:11625x y C +=的焦点为顶点，以椭圆2C 长轴的端点为焦点，则双曲线1C 的方程为（ ） A. 221916x y -= B. 2211625x y -= C. 221916y x -= D. 2211625y x -=6．不等式20ax bx c ++>的解集为{24}x x <<,则不等式20cx bx a ++< 的解集为（ ） A ．11{}24x x x ><或 B ．1{}4x x < C ．1{}2x x > D ．11{}24x x << 7．设1,02a b >>，若2a b +=，则1221a b +-的最小值为（ ）。
2020-2021学年江苏省淮安市金湖中学、洪泽中学等六校高二下期中考试(第二次联考)数学
江苏省淮安市金湖中学、洪泽中学等六校2020-2021学年高二下学期期中考试（第二次联考）数学试题一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1.复数 ,则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ） A ． B ．()0,1 C ． D ． 【答案】C 2.曲线在x=-1处的切线如图所示,则 （ ）A. 0B.C.D.选A .3.在 的展开式中x 的系数为（ ）A. 80B. 240C. -80D. 160选项为C4.为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一湖岸边修建一段道路（如图中虚线处），要求该道路与两条直线道路平滑连接（注：两直线道路：y 1＝-2x ，y 2＝3x -6分别与该曲线相切于（0，0），（2，0）），已知该弯曲路段为三次函数图象的一部分，则该函数解析式为（ ）A. B.C. D. 选B ．5.要从甲、乙等7人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有（ ）A. 80种B. 120种C. 60种D. 240种选A ．6.已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为⎪⎭⎫⎝⎛23,21⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23()1,2()()=---'11f f ()522--x x ()x x x x f 2214123--=()x x x x f 2214123-+=()x x x x f 2319123-+=()xx x x f 2214123-+-=A. B. C. D.选D .7.设复数是虚数单位），则 （ ） A.-2B. -iC. 2D. 0选：A ．8.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，有下列四个结论：① ；② ；③ix ix e e x i -+=cos 2；④ix ix e e x i --=sin 2.其中所有正确结论的编号是（ ）A. ①②③B. ②④C. ①②④D. ①③选:C .二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．9.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ） A. 由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：B.C. 第34行中从左到右第14与第15个数的比为2:3D.由“第行所有数之和为”猜想：选:ACD .10.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排照相，下列说法正确的是（ ）A. 如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法有24种B. 甲不站在排头，乙不站在正中间，则不同的排法共有78种=++++20222022202233202222202212022xC x C x C x C 121232022-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+i 02=-i e iπ165210252423=+⋅⋅⋅+++C C C CC. 甲乙不相邻且乙在甲的右边，则不同的排法共有36种D. 若五人已站好，后来情况有变，需加上2人，但不能改变原来五人的相对顺序，则不同的排法共有42种 选BCD . 11.定义在区间上的连续函数的导函数为，若使得，则称为区间上的“中值点”.下列在区间上“中值点”多于一个的函数是（ ） A. B.C.D. 选A BD .12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L .E . J . Brouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.依据不动点理论，下列说法正确的是（ ）A.函数f (x )=lnx+1有1个不动点B. 函数有2个不动点 C. 若定义在R 上的奇函数，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D. 若函数 在区间上存在不动点，则实数a 满足 （e 为自然对数的底数）选ACD .三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.设,且0≤a <13,若能被13整除，则a 的值为 ． 答案：a ＝1.14. 若函数x x x f sin 2)(+-=，则满足不等式()2f 2mm 12ππ-+-≤-的m 的取值范围为 ．答案：[)1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦15.将7名支教教师安排到3所学校任教，每校至少2人的分配方法总数为a ，则二项式 的展开式中含x 项的系数为_________（用数字作答）.[]ππ,-()3x x f =()x x f sin =()x x f cos =()a x e x f x --=21231-≤≤e a a +20215153163⎪⎭⎫⎝⎛-x ax答案:101-16.若()1ln ,(),0x exf x x a xg x a e=--=<，且对任意[]()1212,3,4,x x x x ∈≠ ()()()()121211f x f xg x g x ->-恒成立，则实数a 的取值范围为 ． 答案：.33,4e 4⎛⎤-∞-⎥⎝⎦四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知复数z =a+i （a ∈R ），且z （1+i ）是纯虚数． （Ⅰ）求复数z 及|z |；（Ⅱ）在复平面内，若复数（z -mi ）2（m ∈R ）对应点在第二象限，求实数m 的取值范围． 解：（Ⅰ）∵z =a+i （a ∈R ），且z （1+i ）是纯虚数， ∴（a+i ）（1+i ）=（a-1）+（a+1）i 是纯虚数， 则{101=-≠+a a ，即a =1． ……2分∴z =1+i ， ……4分|z |=2； ……6分（Ⅱ）（z -mi ）2=[1+（1-m ）i ]2=1-（1-m ）2+2（1-m ）i ， 由题意可得 ，解得m <0． ……10分18. 在①的一个极值点为0，②为奇函数，③若曲线在点处的切线与直线垂直这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答下列问题． 已知函数，且________，求在[-1，1]上的最大值与最小值．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分． 解：选①，得解得a =1；选②，得a =1,选③，得a =1； ……4分以下相同，()()x x e x f e x x f -='+-=1,1当时，，函数f (x )单调递增；当时，，函数f (x )单调递减， ……8分(){020122<->-m m m ()011=--+y e x ()1+-=xe ax x f()()()e f ef f -=-=-=21,11,00 ……10分∴函数的最大值为0，最小值为2-e . ……12分19.已知 的展开式中，求0123...(1)nn a a a a a -+-+-；展开式中系数最大的项为第几项？（3）求12323...n a a a na ++++( 注： )解：n=8;令1x =-,0123...(1)n n a a a a a -+-+-=256 ……4分{6,427423,118811883333=∴≤≤--++≥≥r r r r r r r r r r C C C C 得∴展开式中系数最大的项为第7项. ……8分,()()78217823124x a x a a x x f +++=+='12323...na a a na ++++= ……12分20.已知函数. (1)若函数在上是增函数,求实数a 的取值范围; (2)若函数在上的最小值为2,求实数a 的值.解：(1)∵ ,∴∵在上是增函数, ∴ 在上恒成立,即≤x 在上恒成立.∴≤2. ……4分()n n nx a x a x a a x ++++=+ 221031241=a ()()882210831x a x a x a a x x f ++++=+= 设1310722,6553621716==()3932164241827821=⋅='=+++f a a a ()R a xa x x f ∈+=,2ln ()x ax x f +=2ln ()012≥-='x ax x f ()21xa x x f -='(2)由(1)得,. ①若 1≤a ,在上恒成立,此时在上是增函数. 所以f(1)=ln2+a=2,解得a=2-ln2(舍去).②若1<a<e 时,,在(1,a)上是减函数,在(a,e)上是增函数.所以f(a)=ln2a+1=2,解得 ③若e a ≥,在上恒成立,此时在上是减函数. 所以f(e)=2,所以a=e(1-ln2)(舍去).综上，得 ……12分21.淮安市白马湖生态旅游景区升级改造，有一块半圆形土地打算种植花草供人游玩欣赏，如图所示，其中AB 长为4 km ，C ，D 两点在半圆弧上，满足BC ＝CD ，设∠COB ＝θ.(1)现要在景区内铺设一条观光道路，由线段BC ，CD 和DA 组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求l 最大值；(2)若在△AOD 和△BOC 内种满向日葵，在扇形COD 内种满薰衣草，已知向日葵利润是每平方千米2a 元，薰衣草的利润是每平方千米a 元，则当θ为何值时，才能使总利润最大?(1)由题∠COB ＝θ，∠AOD ＝π－2θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，取BC 中点M ，连接OM ，则OM ⊥BC ，∠BOM ＝θ2， 所以BC ＝2BM ＝4sin θ2. 同理可得CD ＝4sin θ2，AD ＝4sin π－2θ2＝4cos θ，所以l ＝4sin θ2＋4sin θ2＋4cos θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2θ2＋8sin θ2，即l ＝－8⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－122＋6，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.所以当sin θ2＝12，即θ＝π3时，有l max ＝6 ……5分(2)S △BOC ＝2sin θ，S △AOD ＝2sin(π－2θ)＝4sin θcos θ，S 扇形COD ＝2θ. 所以W ＝2a(2sin θ＋4sin θcos θ)＋2a θ=2a(2sin θ+2sin2θ+θ)，令f(θ)=2sin θ+2sin2θ+θ所以f ′(θ)＝2cos θ＋4cos2θ+1 ＝(4cos θ＋3)(2cos θ－1)，()2xax x f -='2e a =2ea =因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，由S ′＝0得θ＝π3，列表得所以当θ＝π3时，总利润最大. ……12分22.已知函数()2ln f x x x =，)()(12-=x x g λ（λ为常数）．（1）若函数)(x f y =与函数)(x g y =在1=x 处有相同的切线，求实数λ的值； （2）若1λ=，且1≥x ，证明：)()(x g x f ≤；（3）若对任意),[+∞∈1x ，不等式)()(x g x f ≤恒成立，求实数λ的取值范围． 【解析】（1）()2ln 2f x x '=+，则()12f '=且()10f =.所以函数()y f x =在1x =处的切线方程为：22y x =-，从而(1)22g λ'==，即1λ=. ……2分（2）由题意知：设函数()()22ln 1h x x x x =--，则()()2ln 1h x x x '=+-.设()ln 1p x x x =+-，从而()011≤-='xx p 对任意[)1x ∈+∞，恒成立， 所以()()011ln =≤-+=p x x x p ，即()0≤'x h ，因此函数()()22ln 1h x x x x =--在[)1+∞，上单调递减， 即()()01=≤h x h ，所以当1≥x 时，()()x g x f ≤成立. ……6分（3）设函数()()22ln 1H x x x x λ=--，从而对任意[)1x ∈+∞，，不等式()()10H x H =≤恒成立. 又()2ln 22H x x x λ'=+-，当()022ln 2≤-+='x x x H λ，即λ≤+xx 1ln 恒成立时， 函数()H x 单调递减.设()ln 1x r x x +=，则()0ln 2≤-='xx x r ， 所以()()max 11r x r ==，即1≥λ，符合题意；当0≤λ时，()022ln 2≥-+='x x x H λ恒成立，此时函数()H x 单调递增.于是，不等式()()01=≥H x H 对任意[)1x ∈+∞，恒成立，不符合题意； 当01λ<<时，设()()2ln 22q x H x x x λ'==+-，则()21201q x x x λλ'=-=⇒=>当11,x λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()220q x x λ'=->，此时()()2ln 22q x H x x x λ'==+-单调递增，所以()()2ln 221220H x x x H λλ''=+->=->，故当11,x λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()H x 单调递增.于是当11,x λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0H x >成立，不符合题意；综上所述，实数的取值范围为：1λ≥. ……12分。
2020-2021学年江苏省淮安市六校联盟高一上学期第三次学情调查数学试题
2020-2021学年江苏省淮安市六校联盟高一上学期第三次学情调查数学试题试卷满分：150分 考试时长：120分钟一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共60分.）1．已知集合{1,2,3,4}M =，{2,2}N =-，下列结论成立的是（ ）A ．N M ⊆B ．M N M =C ．MN N = D ．{2}M N = 2.设命题p ：n N ∃∈，22n n >，则p ⌝为A ．2,2n n N n ∀∈>B ．2,2nn N n ∃∈≤C ．2,2n n N n ∀∈≤D ．2,2n n N n ∃∈=3.函数的定义域是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞ 4.已知21log 2a =，0.112b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，225c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.b a c << B.c a b << C.a b c << D.a c b <<5.已知α为第二象限角,其终边上一点为P ()x ，5,且cosα＝24x ，则x 为 ( ) A. 3 B. 3± C. 2- D. 3-6.已知曲线11(0x y a a -=+>且1)a ≠过定点(,)k b ，若m n b +=，且0,0m n >>， 则41m n+的最小值为（ ） A ．92 B ．9 C ．5 D ．52 7．函数241x y x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8.函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,3)C ．(1,3]D ．[3，＋∞)二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，每题给出的四个选项中，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.)9.下列命题中，真命题的是（ ）A ．“x 2－2x －3＝0”是“x ＝3”的必要条件B ．022,2<--∈∃x x R xC ．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等D ．若0>>a b ，0<<c d ，则<a b d c10.下列函数存在零点的是 ( )A.y=x 2-x+1B.y=3x 2-3x-1C. y=x 2+ax-2D.y=x 2-4x+411.关于函数f(x)＝x |x|＋1(x∈R )，下面结论正确的是( ) A. 函数f(x)是奇函数 B. 函数f(x)的值域为(－1，1)C. 函数f(x)在R 上是增函数D. 函数f(x)在R 上是减函数 12.已知定义域为D 的函数)(x f ,若对任意D x ∈,存在正数M ,都有M x f ≤|)(| 成立，则称函数)(x f 是定义域D 上的“有界函数”，已知下列函数,其中为“有界函数”的是（ ）A. 24)(x x f -=B. x x x f -+=43)( C. )32(212log )(+-=x x x f D. x x x f 42210)(+--=三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13. lg 5lg 20+的值是____________．14.幂函数f (x )的图象过点（4，21），那么f (8) =______ ． 15．已知扇形的圆心角为3π，弧长为π，则该扇形的面积=S ． 16.定义在R 上的偶函数，当0≤x 时，1)21()(+=x x f ，若不等式1)(lg >x f ，则x 的取值范围为_____ ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.全集U =R ，集合{}{}32,13A x x B x x =-<<=≤≤，{}21C x x a =>-.（1）（5分）求U C B ，()U A C B ⋂；（2）（5分）若A C A ⋂=，求实数a 的取值范围.18.已知函数)1,0)(4(log )(),4(log )(≠>-=+=a a x x g x x f a a（1）当2=a 时，求函数)()(x g x f y +=的定义域和值域.（2）求使0)()(>-x g x f 成立的x 的取值范围19. （1）若ααcos 2sin =，求ααααα2cos cos sin cos sin +-+的值； （2）已知137cos sin =+αα，),0(πα∈，求ααcos sin -的值. 20.2015年10月，屠呦呦获得诺贝尔生理学或医学奖，理由是她发现了青蒿素，这种药品可以有效降低疟疾患者的死亡率，她成为首获科学类诺贝尔奖的中国人．从青篙中提取的青篙素抗疟性超强，几乎达到100％，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线．（1）写出第一服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f （t ）；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗有效，求服药一次后治疗有效的时间是多长？21.已知定义在区间()1,1-上的函数()21x a f x x +=+为奇函数． （1）求实数a 的值；（2）判断并证明函数()f x 在区间()1,1-上的单调性；（3）解关于t 的不等式0))21(()1)21((<+-t t f f .22.设函数x x p x f -⋅-+=2)1(2)(是定义域为R 的偶函数.（1）求p 的值； （2）若)22(2)2()(xx k x f x g --⋅-=在[)∞+，1上最小值为4-，求k 的值； （3）若不等式4)()2(-⋅>x f m x f 对任意实数x 都成立，求实数m 的范围.六校联盟2020级高一年级第一学期第三次学情调查数学试题（12月22日）试卷满分：150分 考试时长：120分钟一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共60分.）1．已知集合{1,2,3,4}M =，{2,2}N =-，下列结论成立的是（ ）A ．N M ⊆B ．MN M = C ．M N N = D ．{2}M N =【答案】D2.设命题p ：n N ∃∈，22n n >，则p ⌝为A ．2,2n n N n ∀∈>B ．2,2n n N n ∃∈≤C ．2,2n n N n ∀∈≤D ．2,2n n N n ∃∈=【答案】C3.函数的定义域是（ ）A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞【答案】C 4.已知21log 2a =，0.112b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，225c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.b a c <<B.c a b <<C.a b c <<D.a c b << 【答案】C5.已知α为第二象限角,其终边上一点为P ()x ，5,且cos α＝24x ，则x 值为 ( )A. 3B. 3±C. 2-D. 3-【答案】D6.已知曲线11(0x y aa -=+>且1)a ≠过定点(,)kb ，若m n b +=，且0,0m n >>， 则41m n+的最小值为（ ） A ．92 B ．9 C ．5 D ．52【答案】A7．函数241x y x =+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A8.函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,3)C ．(1,3]D ．[3，＋∞)【答案】B二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，每题给出的四个选项中，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.)9.下列命题中，真命题的是（ ）A ．“x 2－2x －3＝0”是“x ＝3”的必要条件B ．022,2<--∈∃x x R xC ．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等D ．若0>>a b ，0<<c d ，则<a b d c 【答案】ABD10.下列函数存在零点的是 ( )A.y=x 2-x+1B.y=3x 2-3x-1C. y=x 2+ax-2D.y=x 2-4x+4 【答案】BCD.11.关于函数f(x)＝x |x|＋1(x ∈R )，下面结论正确的是( ) A. 函数f(x)是奇函数 B. 函数f(x)的值域为(－1，1)C. 函数f(x)在R 上是增函数D. 函数f(x)在R 上是减函数【答案】ABC12.已知定义域为D 的函数)(x f ,若对任意D x ∈,存在正数M ,都有M x f ≤|)(| 成立，则称函数)(x f 是定义域D 上的“有界函数”，已知下列函数,其中为“有界函数”的是（ ） A. 24)(x x f -= B. x x x f -+=43)( C. )32(212log )(+-=x x x f D. x x x f 42210)(+--=【答案】AD 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13. lg lg ____________．【答案】114.幂函数f (x )的图象过点（4，21），那么f (8) =__________ 【答案】42 15．已知扇形的圆心角为3π，弧长为π，则该扇形的面积=S ． 【答案】23π 16.定义在R 上的偶函数，当0≤x 时，1)21()(+=x x f ，若不等式1)(lg >x f ， 则x 的取值范围为________ 【答案】),10()101,0(+∞ 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.全集U =R ，集合{}{}32,13A x x B x x =-<<=≤≤，{}21C x x a =>-. （1）（5分）求U C B ，()U A C B ⋂；（2）（5分）若A C A ⋂=，求实数a 的取值范围.【答案】17.（1）{|1U C B x x =<或}3x >， ……………………… 3分 (){}31U A C B x x ⋂=-<< …………………………… 5分（2）A C A A C ⋂=⇔⊆， …………………………… 6分所以2131a a -≤-⇒≤-，故(,1]a ∈-∞- …………… 10分18.已知函数)1,0)(4(log )(),4(log )(≠>-=+=a a x x g x x f a a（3）当2=a 时，求函数)()(x g x f y +=的定义域和值域.（4）求使0)()(>-x g x f 成立的x 的取值范围【答案】18.（1）当a=2时，)16(log )4(log )4(log 2222x x x y -=-++=，由04,04>->+x x 得44<<-x ，所以定义域为)4,4(-……………3分令)4,4(,162-∈+-=x x t ，所以(]16,0∈t ，又t y 2log =为增函数， 所以416log 2=≤y ，所以函数值域为(]4,∞-……………………6分（2）由0)()(>-x g x f 得)()(x g x f >，即)4(log )4(log x x a a ->+当1>a 时，满足⎪⎩⎪⎨⎧>->+->+040444x x x x 解得40<<x ……………………9分 当10<<a 时，满足⎪⎩⎪⎨⎧>->+-<+040444x x x x 解得04<<-x所以，当1>a 时，x 的取值范围为)4,0(，当10<<a 时，x 的取值范围为)0,4(-……………………12分 19. （1）若ααcos 2sin =，求ααααα2cos cos sin cos sin +-+的值； （2）已知137cos sin =+αα，),0(πα∈，求ααcos sin -的值. 【答案】19.（1）因为ααcos 2sin =，所以2tan =α. 2分原式=5165131tan 11tan 1tan 2=+=++-+ααα 4分 （2）因为137sin cos =+αα，即16949)sin (cos 2=+αα，…… 6分 得016960cos sin <-=⋅αα，所以),2(ππ∈x ， …………………… 8分 169289)16960(21cos sin 2cos sin )cos (sin 222=-⋅-=⋅-+=-αααααα 10分又),2(ππα∈，所以0cos <α，即0cos sin >-αα， 所以1317cos sin =-αα……………………………………………12分 20.2015年10月，屠呦呦获得诺贝尔生理学或医学奖，理由是她发现了青蒿素，这种药品可以有效降低疟疾患者的死亡率，她成为首获科学类诺贝尔奖的中国人．从青篙中提取的青篙素抗疟性超强，几乎达到100％，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线．（1）写出第一服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f （t ）；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗有效，求服药一次后治疗有效的时间是多长？ 【答案】20.解：（1）设，…………… 2分当t =1时，由y =9得k =9，由得a =3；……………4分∴； ……………6分（2）由得，……………8分 或；……………10分 解得；∴服药一次后治疗有效的时间长是小时。
江苏省淮安市洪泽中学2020年高二数学文下学期期末试卷含解析
江苏省淮安市洪泽中学2020年高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知为实数集，={x|x2-2x<0},N={x|y=},则∩= （）A． B． C． D．参考答案：A略2. 的展开式中的系数是（）A．-35 B．-5 C. 5 D．35参考答案：B3. 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2．给出以下结论：①+++=；②+﹣﹣=；③﹣+﹣=；④?=?；⑤?=0，其中正确结论是（）A．①②③B．④⑤C．②④D．③④参考答案：D【考点】空间向量的数量积运算；空间向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；空间向量及应用．【分析】由已知得﹣+﹣==；=2×2×cos∠ASB，=2×2×cos∠CSD，又∠ASB=∠CSD，从而?=?．【解答】解：∵在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2．∴﹣+﹣==，故③正确，排除选项B，C；∵=2×2×cos∠ASB，=2×2×cos∠CSD，又∠ASB=∠CSD，∴?=?，故④正确，排除选项A．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量运算法则的合理运用．4. 若三个数成等差数列，则直线必经过定点（）A．(－1，－4) B．(1,3) C．(1,2) D．(1，4)参考答案：D略5. 设x∈R，则“x=1”是“复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由于复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，故可得到x的值，再与“x=1”比较范围大小即可．【解答】解：由于复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数，则，解得x=1，故“x=1”是“复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的充要条件．故答案为 C．6. 已知椭圆的离心率为，短轴一个端到右焦点的距离为。
江苏省淮安市六校联盟2020-2021学年高一上学期第三次学情调查数学试题
六校联盟2020级高一年级第一学期第三次学情调查数学试题（12月22日）试卷满分：150分 考试时长：120分钟一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共60分.） 1. 已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是 A. N ⊆M B. M ∪N=M C. M ∩N=N D. M ∩N={2}D试题分析：由M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，则可知，﹣2∈N ，但是﹣2∉M ，则N ⊄M ，M ∪N={1，2，3，4，﹣2}≠M ，M∩N={2}≠N ，从而可判断．解：A 、由M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，可知﹣2∈N ，但是﹣2∉M ，则N ⊄M ，故A 错误； B 、M ∪N={1，2，3，4，﹣2}≠M ，故B 错误； C 、M∩N={2}≠N ，故C 错误； D 、M∩N={2}，故D 正确．故选D ． 考点：集合的包含关系判断及应用． 2. 设命题2:,2n P n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A. 2,2n n N n ∀∈> B. 2,2n n N n ∃∈≤ C. 2,2n n N n ∀∈≤ D. 2,2n n N n ∃∈=C特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2n n N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C. 3. ()lg 11x y x +=-的定义域为（ ） A. (1,)-+∞ B. [1,)-+∞ C. (1,1)(1,)-+∞ D. [1,1)(1,)-⋃+∞C由对数函数的性质及分式的性质解不等式即可得解.由题意得1010x x +>⎧⎨-≠⎩，解得(1,1)(1,)x ∈-⋃+∞，所以()lg 11x y x +=- 的定义域为(1,1)(1,)-+∞.故选：C. 本题考查了具体函数定义域的求解，属于基础题.4. 已知21log 2a =，0.112b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，225c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. b a c << B. c a b << C. a c b << D. a b c <<D由已知得21log 02<，0.11012⎛⎫<< ⎪⎝⎭，2215-⎛⎫> ⎪⎝⎭，可得选项.∵221log log 102<=，0.1110122⎛⎫⎛⎫<<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，222155-⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴a b c <<.故选：D . 思路点睛：（1）利用指数函数，对数函数单调性进行比较；（2）借助于中间值0和1进行比较.5. 已知α是第二象限角，(P x 为其终边上一点，且cos 4x α=，则x 等于（ ）A. B. C. D. D由三角函数的定义得cos 4α==，解得x =又点(P x 在第二象限内，所以x =选D ．6. 已知曲线11(0x y a a -=+>且1)a ≠过定点(),k b ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n+的最小值为（ ）. A. 92B. 9C. 5D.52A根据指数型函数所过的定点，确定1,2k b ==，再根据条件2m n +=，利用基本不等式求41m n +的最小值.定点为(1,2),1,2k b ∴==，2m n ∴+=41141()()2m n m n m n +=++∴149(5+)22m n n m =+ 当且仅当4m nn m =时等号成立，即42,33m n ==时取得最小值92.故选A本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型. 7. 函数241xy x =+的图象大致为（ ） A. B.C. D.A由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A. 函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．8. 函数()()log 6a f x ax =-在[]0,2上为减函数，则 a 的取值范围是（ ） A. 0,1 B. ()1,3 C. (]1,3 D. [)3,+∞B试题分析：若函数在上为减函数,则，计算得出，所以B 选项是正确的.考点：函数的单调性，对数函数的定义域.【方法点睛】本题考查了复合函数单调性相关知识，同时也考查了对数函数定义域的要求，而同学们在做题时常常丢掉定义域的限制条件，属于易错题型.考虑复合函数的单调性需遵循原则“同增异减”，即内层函数和外层函数单调性相异时，符合函数才会单减，作为对数的底，所以有，所以内层函数单减，所以外层函数必须单增，故，还需保证真数在定义域上恒大与，只需保证正数部分最小值大于即可.二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，每题给出的四个选项中，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.） 9. 下列命题中，真命题的是（ ） A. “2302x x --=”是“3x =”的必要条件 B. x R ∃∈，2220x x --<C. 所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等D. 若0a b >>，0c d <<，则a b d c< ABD解方程2302x x --=，再结合充分必要条件的定义，即可判断A ；由判别式可知函数222y x x -=-与x 轴有两个交点，且开口向上，即可判断B ；根据弧长公式l r α=，知弧长由圆心角的弧度和半径共同决定，可判断C ；由不等式的性质判断D.对于A ，2302x x --=3x ⇒=或1x =-，故“2302x x --=”是“3x =”的必要不充分条件，故A 正确；对于B ，令2220x x --=，则120∆=>，则函数222y x x -=-与x 轴有两个交点，且开口向上，所以x R ∃∈，2220x x --<，故B 正确；对于C ，由弧长公式l r α=，得弧长由圆心角的弧度和半径共同决定，故C 错误； 对于D ，0c d <<，110d c ∴<<，110d c ∴->->，又0a b >>，a b d c ∴->-，即a bd c<，故D 正确；故选：ABD10. 下列函数存在零点的是（ ）A. 21y x =+B. 2331y x x =--C. 22y x ax =+-D. 244y x x =-+BCD【分析】利用判别式即可分别判断. 对A ，(2420∆=-=-<，故21y x =+没有零点，故A 错误；对B ，()()23431210∆=--⨯⨯-=>，故2331y x x =--有2个零点，故B 正确；对C ，()224280a a ∆=-⨯-=+>，故22y x ax =+-有2个零点，故C 正确；对D ，()24440∆=--⨯=，故244y x x =-+有1个零点，故D 正确.故选：BCD. 11. 关于函数()()1xf x x R x =∈+，下面结论正确的是（ ） A. 函数()f x 是奇函数 B. 函数()f x 的值域为(1,1)-C. 函数()f x 在R 上是增函数D. 函数()f x 在R 上是减函数ABC根据奇偶性定义，即可判断A 的正误；当0x >时，1()1+11x f x x x ==-+，根据x 的范围，可求得()f x 的范围，可判断B 的正误；当0x >时，根据1()11f x x =-+，可得随着x 的增大，()f x 逐渐增大，根据奇偶性，可得()f x 在R 的单调性，即可判断C 、D 的正误，即可得答案. 对于A ：因为()()11x xf x f x x x ---===--++，所以()f x 在R 上为奇函数，故A 正确； 对于B ：当0x >时，1()1+11x f x x x ==-+，因为0x >，所以11x +>，1011x <<+，所以1101x -<-<+，所以10111x <-<+， 又()f x 为奇函数，所以当0x <时，()(1,0)1xf x x=∈--，且(0)0f =， 所以函数()f x 的值域为(1,1)-，故B 正确. 对于C ：当0x >时，1()1+11x f x x x ==-+，所以()f x 在(0,)+∞上为增函数， 又()f x 为奇函数，左右两侧单调性相同，所以函数()f x 在R 上是增函数，故C 正确，D 错误故选：ABC12. 已知定义域为D 的函数()f x ，若对任意x D ∈，存在正数M ，都有|()|f x M ≤成立，则称函数()f x 是定义域D 上的“有界函数”.则下列函数中为“有界函数”的是（ ）A. ()f x =B. 3()4xf x x+=- C. 2(23)12()log xx f x -+=D. 24()102xxf x -+=-AD本题是函数新定义的考查，根据题目求出函数在定义域内的值域，判定|()|f x M ≤是否成立即可.解：对于A. ()f x =[2,2]-，其值域为[0,2]，所以()2f x ≤，符合题意正确；对于B. 37()144x f x x x+==---的定义域为{|4}x x ≠，其值域为{|1}y y ≠-，所以不符合题意； 对于C. 22(23)((1)2)1122()log log xx x f x -+-+==的定义域为R ，其值域为(,1]-∞-，所以不符合题意；对于D. ()()22244102102x xxf x --+-+=-=-的定义域为R ，其值域为[6,10)-，所以()10f x <，符合题意正确；故选：AD. 求函数最值的五种常用方法：（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性结合端点值求最值； （2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；（4）导数法：先求出导函数，然后求出给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； （5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13. lg 的值是________. 1由对数的运算公式进行化简，即可求解结果.由对数的运算公式，可得lg lg101===. 故答案为：1.本题主要考查了对数的运算法则的应用，其中解答中熟记对数的运算法则是解答的关键，意在考查运算与求解能力，属于容易题.14. 已知幂函数()f x 的图象过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()8f = ______.4设出幂函数()y f x =的解析式，根据图象过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，求出()f x 的解析式，再代入8x =求()8f .解：设幂函数()a y f x x ，其图象过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴142a =； ∴12a =-，∴12()f x x -=，()12884f -∴==，故答案为：4. 本题考查了用图象上的点求幂函数解析式的问题，是基础题目. 15. 已知一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π，则扇形的面积是__________2cm ．32π 先由弧长公式求出扇形所在圆的半径，再根据扇形面积公式，即可得出结果.因为一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π， 所以其所在圆的半径为33r ππ==，因此该扇形的面积是1133222S lr ππ==⨯⨯=. 故答案为：32π.16. 定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，11()2x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭，若不等式(lg )1f x >，则x 的取值范围为______.10,(10,)10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭由()11f -=，知(lg )1f x >转化为()()lg 1f x f >-，利用函数的奇偶性得lg 1x >-，再利用对数函数的单调性解不等式，即可得解.由已知，当0x ≤时，11()()2x f x +=，1(211)f ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭=，()f x 在(],0-∞递减，又()f x 定义在R 上的偶函数，()()111f f =-= 所以()f x 在[)0,+∞递增，不等式()lg 1f x >等价于()()lg 1f x f > 所以lg 1x >，所以lg 1x 或lg 1x ，解得10x >或1010x则不等式()lg 1f x >的解集为1(0,)(10,)10⋃+∞ 故答案为：10,(10,)10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.结论点睛：本题考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式，常用两个结论，（1）()f x 为偶函数()()||f x f x ⇔＝． （2）若奇函数在0x =处有意义，则()00.f =四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知全集U =R ，集合{}{}32,13A x x B x x =-<<=≤≤，{}|21C x x a =>-. （1）求U C B ，()U A C B ⋂；（2）若A C A =，求实数a 的取值范围.（1）{|1U C B x x =<或}3x >，(){}31U A C B x x ⋂=-<<；（2）(,1]a ∈-∞-. （1）先根据全集U =R ，求得U C B ，再利用交集运算求解. （2）根据A C A A C ⋂=⇔⊆求解.（1）因为全集U =R ，集合{}13B x x =≤≤， 所以{|1U C B x x =<或}3x >，(){}31U A C B x x ⋂=-<< （2）因为A C A A C ⋂=⇔⊆， 所以2131a a -≤-⇒≤-， 所以实数a 的取值范围是(,1]-∞-18. 已知函数()log (4)a f x x =+，()log (4)(0,1)a g x x a a =->≠ （1）当2a =时，求函数()()y f x g x =+的定义域和值域. （2）求使()()0f x g x ->成立的x 的取值范围（1）定义域为(4,4)-；值域为(],4-∞；（2）答案见解析.（1）2a =时函数2()log (4)f x x =+，2()log (4)g x x =-，求出函数()()y f x g x =+的定义域和值域即可．（2）由题意得log (2)log (4)a a x x +>-，讨论1a >和01a <<时，分别求出对应不等式的解集即可．解：（1）当2a =时，2222log (4)log (4)log (16)y x x x =++-=-，由40x +>，40x ->得44x -<<，所以定义域(4,4)-令216t x =-+，(4,4)∈-x ，所以(]0,16t ∈，又2log y t =为增函数， 所以2log 164y ≤=，所以函数值域为(],4-∞（2）由()()0f x g x ->得()()f x g x >，即log (4)log (4)a a x x +>-当1a >时，满足444040x x x x +>-⎧⎪+>⎨⎪->⎩解得04x <<当01a <<时，满足444040x x x x +<-⎧⎪+>⎨⎪->⎩解得40x -<<所以，当1a >时，x 的取值范围为(0,4)， 当01a <<时，x 的取值范围为(4,0)-本题考查了求函数的定义域和值域的应用问题，也考查了利用分类讨论法解不等式的应用问题．19. （1）若sin 2cos αα=，求2sin cos cos sin cos ααααα++-的值；（2）已知7sin cos 13αα+=，(0,)απ∈，求sin cos αα-的值. （1）165；（2）1713. （1）根据题意，可得tan α的值，将原式变形为222sin cos cos sin cos sin cos ααααααα++-+，上下同除cos α和2cos α，可得关于tan α的方程，即可求得答案.（2）根据题意，根据左右同时平方，利用sin cos ,sin cos αααα±的关系，结合α的范围，即可求得sin cos αα-的值.（1）因为sin 2cos αα=，所以tan 2α=.原式=222sin cos cos sin cos sin cos ααααααα++-+=2tan 111163tan 1tan 155ααα++=+=-+. （2）因为7cos sin 13x x +=， 左右同时平方得249(cos sin )12sin cos 169αααα+=+=， 所以1202sin cos 0169αα=-<，所以,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以222120289(sin cos)sin cos 2sin cos 1()169169αααααα-=+-=--=， 又(,)2παπ∈，所以cos 0α<，即sin cos 0αα->， 所以17sin cos 13αα-= 20. 2015年10月，屠呦呦获得诺贝尔生理学或医学奖，理由是她发现了青蒿素，这种药品可以有效降低疟疾患者的死亡率，她成为首获科学类诺贝尔奖的中国人．从青篙中提取的青篙素抗疟性超强，几乎达到100％，据监测：服药后每毫升血液中的含药量(y 微克)与时间(t 小时)之间近似满足如图所示的曲线．（1）写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式()y f t =；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于19微克时，治疗有效，求服药一次后治疗有效的时间是多长？（1）39,011,13t t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）40481小时. （1）由图象，结合一次函数和指数函数的解析式，利用待定系数法求得参数，即得结果； （2）解分段不等式19y ≥，得到t 的取值范围，计算区间长度即得结果. 解：（1）依题意，设,011,13t a kt t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，当1t =时，9y =，得9k =；由1t =时，1193a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，得3a =； ∴39,011,13t t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）由19y ≥，得01199t t ≤≤⎧⎪⎨≥⎪⎩，或311139t t ->⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1181t ≤≤或15t <≤， 故1581t ≤≤， ∴服药一次后治疗有效的时间长是140458181-=小时. 21. 已知定义在区间()1,1-上的函数2()1x a f x x +=+为奇函数. （1）求实数a 的值；（2）判断并证明函数()f x 在区间()1,1-上的单调性；（3）解关于t 的不等式111022t t f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （1）0a =；（2）函数()f x 在区间()1,1-上是增函数；证明见解析；（3）{}1t t >.（1）根据函数奇偶性，得到()00f =，求出a ，再验证，即可得出结果；（2）任取1211x x -<<<，作差比较()1f x 与()2f x ，根据函数单调性的定义，即可得出结果；（3）根据函数奇偶性，化所求不等式为11122t t f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再根据其单调性，列出不等式组求解，即可得出结果.（1）∵()f x 是在区间()1,1-上的奇函数，∴()00f a ==，∴0a =，此时2()1x f x x =+，所以2()()1x f x f x x --==-+， 因此2()1x f x x =+为奇函数，满足题意； 故0a =；（2）函数()f x 在区间()1,1-上是增函数，证明如下：由（1）可知2()1x f x x =+，设1211x x -<<<，则()()1212221211x x f x f x x x -=-++，()()()()12122212111x x x x x x --=++1211x x -<<<，则()()221212120,10,110x x x x x x -<->++>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴函数()f x 在区间()1,1-上是增函数.（3）∵111022t t f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()f x 为奇函数， ∴11111222t t t f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又∵函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数，11122111211112t t t t ⎧⎛⎫⎛⎫<-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫∴-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪-<-< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得11022t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以1t >； 故关于t 的不等式的解集为{}1t t >.方法点睛：用定义法判断函数()f x 在区间D 上单调性的一般步骤：（1）取值：任取12,x x D ∈，且12x x <；（2）作差：计算()()12f x f x -；（3）定号：通过化简整理，得到()()12f x f x -的正负；（4）得出结论：根据函数单调性的定义，得出结论.22. 设函数()2(1)2x x f x p -=+-⋅是定义域为R 的偶函数.（1）求p 的值；（2）若()(2)2(22)x x g x f x k -=-⋅-在[)1,+∞上最小值为4-，求k 值；（3）若不等式(2)()4f x m f x >⋅-对任意实数x 都成立，求实数m 的范围.（1）2；（2；（3）(,3)-∞.（1）根据偶函数的定义，即可求得答案.（2）由（1）可得()f x 解析式，代入所求，即可得()g x 解析式，令22x x t -=-，可得2()22g t t kt =-+，根据x 的范围，可得t 的范围，利用二次函数的性质，分别讨论32k ≤和32k >两种情况，结合题意，即可求得答案.（3）根据222x x -≥=+，原不等式可化为2(22)22x x x x m --<+++，令22x x t -=+，可得t 的范围，根据对勾函数的性质，即可求得()g t 的最小值，即可得答案.解：（1）()f x 是偶函数，∴()()f x f x -=恒成立，即2(1)22(1)2x x x x p p --+-⋅=+-⋅恒成立，即(2)(22)0x x p ---=，∴2p =（2）由（1）知()22x x f x -=+，222()222(22)(22)2(22)2x x x x x x x x g x k k ----∴=+-⋅-=---+，[)1x ∈+∞， 令22x xt -=-，为增函数，[)1x ∈+∞，，则3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭， ∴2()22g t t kt =-+，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭， 为对称轴为直线t k =，开口向上的抛物线， ①当32k ≤时，()g t 在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭递增，所以min 317()324g t g k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， ∴17344k -=-，3312k =（不合题意）， ②当32k >时，2min ()()2g t g k k ==-+，∴224k -+=-，解得k =k =∴()g x 的最小值为-4时，k .（3）不等式(2)()4f x m f x >⋅-，即2222(22)4x x x x m --+>+-222x x -+≥=，当且仅当x =1时等号成立22224(22)22(22)222222x x x x x x x x x x x xm ------++++∴<==+++++， 令22x x t -=+，[)2,t ∈+∞，则2()g t t t=+，[)2,t ∈+∞， 又()g t 在[)2,+∞上递增，∴min ()(2)3g t g ==，∴3m <故实数m 的取值范围为(,3)-∞解题的关键是熟练掌握函数奇偶性、二次函数性质、对勾函数性质等知识，并灵活应用，利用对勾函数求解函数最值时，要注意自变量范围，结合单调性求解，综合性较强，属中档题.。
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江苏省洪泽中学2020至2021学年高二年级第一学期第三次六校联考数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．两数21+与21-的等比中项是（ ）A ．1B ．1-C ．1-或1D ．122.设,,a b c 为实数,且0a b <<,则下列不等式正确的是( ) A.11a b< B. 22ac bc <C.b aa b> D. 22a ab b >> 3. 抛物线2=y ax 的准线方程是=-2y ，则a 的值为（ ） A. 4B. 8C.18D.144．已知等差数列{}n a 满足24354,10a a a a +=+=,则它的前10项的和10S =（ ） A ．23B ．85C ．95D ．1355. 若双曲线1C 以椭圆222:11625x y C +=的焦点为顶点，以椭圆2C 长轴的端点为焦点，则双曲线1C 的方程为（ ） A. 221916x y -=B. 2211625x y -=C. 221916y x -= D. 2211625y x -=6．不等式20ax bx c ++>的解集为{24}x x <<,则不等式20cx bx a ++< 的解集为（ ）A ．11{}24x x x ><或B ．1{}4x x <C ．1{}2x x >D ．11{}24x x << 7．设1,02a b >>，若2a b +=，则1221a b+-的最小值为（ ） A ．322+ B ．6 C ．9 D ．38.已知P 是椭圆上的一点，F 1、F 2是该椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的内切圆半径为12，则21PF PF ⋅的值为（ ）A ．32B ．94C ．94-D ．0二、多项选择题（本大题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）． 9．下列判断中正确的是（ ） A ．在ABC ∆中，“60B =︒”的充要条件是“A ，B ，C 成等差数列” B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件 C ．命题p ：“0x ∃>，使得210x x ++<”，则p 的否定：“0x ∀≤，都有210x x ++≥” D ．若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该动点的轨迹是一条抛物线 10．设*{}()n a n N ∈是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n K 是其前n 项的积，且56K K <，678K K K =>，则下列选项中成立的（ ）A ．01q <<B ．71a =C ．95K K >D ．6K 与7K 均为n K 的最大值11．下列说法正确的是（ ）A ．若x ，y >0，x +y =2，则22x y +的最大值为4B ．若12x <，则函数y=1221x x +-的最大值为-1C ．若x,y >0，x +y +xy =3，则xy 的最小值为1D ．函数2214sin cos y x x=+的最小值为9 12.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ，椭圆1C 的上顶点为M ，且120MF MF ⋅=，双曲线2C 和椭圆1C 有相同焦点，且双曲线2C 的离心率为2e ，P 为曲线1C 与2C 的一个公共点，若123F PF π∠=，则（ ）A ．212e e = B ．122e e ⋅=C ．221252e e +=D ．22211e e -=三、填空题（每小题5分，共4小题20分，16题第一空2分，第二空3分.）13．若命题“02,2<--∈∃a t t R t ”是假命题，则实数a 的取值范围是____________. 14．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”，如果墙厚316432尺，__________天后两只老鼠打穿城墙．15. 已知双曲线2219x y a-=的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为________. 16．数列{}n a 中，如果存在k a ，使得“1k k a a -<且1k k a a +<”成立（其中2k ≥，*k ∈N ），则称k a 的值为数列{}n a 的一个谷值．若37n a n =-，则{}n a 的谷值为__________；若2,24,2n n tn n a tn n ⎧-+≤=⎨->⎩，且数列{}n a 不存在谷值，则实数t 的取值范围是__________．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分10分） 命题p:()f x =R ；命题q :方程2212x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆.若命题P 为真，命题q 为假，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分12分）在①过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221，；②一条准线方程为x=2；③长轴长为条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上,离心率2e =,且_______________________. （1）求椭圆的方程；（2）过右焦点F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点．当直线l 的倾斜角为4π时，求POQ ∆的面积．19.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 前n 项和n S ，点()()*,n n S n N∈在函数21122y x x =+的图象上． (1)求{}n a 的通项公式； (2)设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n n a a 的前n 项和为n T ，不等式)22(432--<a a T n对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围．20.（本小题满分12分）由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱，1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度y 与时间x 的关系，可近似地表示为168,0224,24x x y x x x ⎧--+≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用.（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？（2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度是两次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值.21.（本小题满分12分）已知椭圆()222210y x a b a b +=>>过点3,32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝，离心率为12 （1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的上顶点作直线l 交抛物线22x y =于A 、B 两点，O 为原点.①求证：OA OB ⊥；②设OA 、OB 分别与椭圆相交于C 、D 两点，过原点O 作直线CD 的垂线OH ，垂足为H ，证明：OH 为定值.22．（本小题满分12分）对于数列{}n a ，定义12231n n n T a a a a a a +=+++，*n N ∈．(1) 若,16,31-==nn T a 求4a 和数列{}n a 的通项公式；(2) 令21*1121{22,n n n nT T n b T T T n n N +--==+-≥∈，求证：若{}n a 为等差数列，则{}n b 为等差数列．江苏省洪泽中学2020至2021学年高二年级第一学期第三次六校联考数学试卷参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1-4.CDCC 5-8. CADB二、多项选择题（本大题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）． 9．AB 10．ABD 11．BD 12.BD三、填空题（每小题5分，共4小题20分，16题第一空2分，第二空3分.） 13．(],1-∞- 14．6 15. 23y x=±16．1； (][)∞+⋃∞，，30- 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分10分）解：命题p :2,10x R x mx ∀∈++≥ 为真，∴ 240m ∆=-≤ ⇒ 22m -≤≤…………………………………………2分命题q 为真，即方程2212x ym +=是焦点在y 轴上的椭圆，02m ∴<< …………………………………………4分又 命题P 为真，命题q 为假∴ 02{-22m m m ≤≥≤≤或 …………………………………………8分∴ m 的取值范围是[]{}2,02-⋃.…………………………………………10分18.（本小题满分12分） 解：（1）由题得：选①)0(12222>>=+b a b y a x 设椭圆的标准方程为代入方程，得，将点⎪⎪⎭⎫⎝⎛221121122=+ba ，又222,22c b a e +==2=∴a ∴==∴1,1b c 椭圆的方程为2212x y += 选②22,22==a c c a 且 2=∴a ∴==∴1,1b c 椭圆的方程为2212x y +=选③22222ca ab ca===+………………………………………………………2分解得1a b==，………………………………………………………………4分椭圆的方程为2212xy+=.……………………………………………………………5分选择多个条件并分别解答的按照第一个给分。
（2）(1,0)F，直线l的方程是tan(1)14y x y xπ=-⇒=-…………………………………………………6分由2222232101x yy yx y⎧+=⇒+-=⎨=+⎩（*）…………………………………………7分设1122(,),(,)P x y Q x y，（*）2243(1)160∆=-⨯⨯-=>………………………………………………………8分124||3y y∴-===……………………………10分121142||||12233OPQS OF y y∆∴=-=⨯⨯=POQ∆的面积是23………………………………………………………12分19.（本小题满分12分）解：（1）点(),nn S在函数()21122f x x x=+的图象上，21122nS n n∴=+.①当2n≥时，()()21111122nS n n-=-+-，②①-②得n a n=………………………………………………2分当1n=时，111a S==，符合上式.()*na n n N∴=∈．………………………………………………4分（2）由（1）得()2112n na a n n+=+11122n n⎛⎫=-⎪+⎝⎭，………………………………………………6分13242111nn nTa a a a a a+∴=+++111111123242n n⎛⎫=-+-++-⎪+⎝⎭31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭． ………………………………………………8分 ()()1113n n T T n n +-=>++，∴数列{}n T 单调递增，且 43<n T ………………………………10分要使不等式)22(432--<a a T n 对任意正整数n 恒成立，只要4322432≥--）（a a ，即1222≥--a a解得31≥-≤a a 或，即实数a 的取值范围31≥-≤a a 或. …………………………………12分 注：等号没考虑扣2分。