浅议古典概型中的抽样问题
随机事件的概率(古典概型、简单的几何概型、抽样方法)
所以该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人， 则该学校阅读过《西游记》的学生人数与
该学校学生总数比值的估计值为：70 0.7．故选C． 100
7.(2018西安八校联考)某班对八校联考成绩进行分析,利用随机 数表法抽取样本时,先将60个同学按01,02,03,…,60进行编号, 然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读,则选出的第6个 个体是 ( )
(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),共4种,
故所求概率P 4 2. 10 5
3.(2018新课标Ⅲ卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为
0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支
第1节 随机事件的概率（古典概型、简单的几何概型、抽样方法）
付的概率为 ( ) 第三组取的数为(10号)36,第四组取的数为(14号)43,
A .2 3
B .3 5
C .2 5
D .1 5
【答案】 B 【解析】由题意，通过列举可知从这5只兔子中随机取出3只的 所有情况数为10， 恰有2只测量过该指标的所有情况数为6．
所以P 6 3．故选B. 10 5
9.(2019新课标Ⅲ卷,文)两位男同学和两位女同学随机排成一列，
则两位女同学相邻的概率是
表第9行第5列的数开始向右读,则选出的第6个个体是 ( )
4.取一根长度为5m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么所得两
段绳子的长度都不小于2m的概率是
()
A .1 5
B .1 3
C .1 4
D .1 2
【 答 案 】 A 【 解 析 】 记 两 段 绳 子 的 长 度 都 不 小 于 2m为 事 件 A, 则 只 能 在 中 间 1m的 绳 子 上 剪 断 ,所 得 两 段 绳 子 的 长 度 才 都 不 小 于 2m,
古典概型题的教学启示
古典概型题的教学启示数学探究是高中新课程中引入的一种新的学习方式，基于“授人以鱼不如授人以渔”的出发点．提倡在教学中培养学生自主发现问题，并通过实验、调查、相互交流等形式最后解决问题，从而获得自身的提升．对于这一观点，笔者虽然早有耳闻，但在实践中却感受不深．直到在一次古典概型例题教学的课堂中、基于学生提出的一个问题、进而和学生共同探究、直至最终解决问题后，才深刻的体会到新课程这一提法的内涵，体会到探究学习对学生了解数学概念、结论产生过程的重要性，体会到探究学习对学生内化所学知识的意义．“古典概型中，若抽样是不放回的，是否考虑顺序，基本事件的发生都是等可能的，因此计算出的概率均不变；若抽样是有放回的（骰子问题可理解成有放回），则必须考虑顺序，否则基本事件的发生就不满足等可能的条件了。
”整个问题根源就在于对古典概型下基本事件的发生必须“等可能”的理解．学生之前的理解应是表层的和浅显的，通过系列探究后，才可谓是真正的理解透彻，进而最终得到“古典概型题目求解，是否需要考虑顺序的关键在于抽样是否放回”这一认识也是水到渠成的事情了．教师要充分挖掘教材使用教材是教师教学活动中重要的组成部分，也是教师备课的一个重要环节．而新课程下的教材具有多样性、思想性、问题性、时代性与应用性等特点，传统的“教教材”已很难适应新课程的需要．这就要求教师要深入研究教材，准确理解教学内容，把握教学要求，把握教材的整体框架．备课时，既要立足教材，细致分析一节课的重、难点和关键，把教材完全化成自己的东西，再深入浅出地讲解给学生；还要不拘泥于教材，对教材进行创造性的再加工，及时的挖掘教材背后的主题和内涵．概率教学中常发现学生具有较多的错误观念，因为学生过去接触主要是确定性事件，对不确定事物的认识非常有限．所以教师要对概率的概念教学中特别注意，尽量领会教材编写意图，洞察可能问题所在．像本节课教材在两个例题的安排上给学生理解可能造成的混乱，教师在备课时要有足够的警觉，而这种“警觉”则一定来自教师对教材深入的研究和挖掘．课堂要重视概念教学前苏联数学教育家斯托利亚尔说过：“数学教学是数学活动（思维活动）的教学，而不仅是数学活动的结果——数学知识的教学．”所以只有当学生自主参与数学活动，探究结果形成过程，在探究中不断经历正确与错误交替出现的体验，形成正反两面的活动经验以提高感悟数的水平．让学生不断经历从“假无疑”到“真无疑”的过程，这样才能纠正错误观念，形成正确的认识．对于古典概型问题下基本事件发生的等可能性，教材用定义的形式直接给出，若教师只是简单的用“一定义二要点三注意”的形式讲解，不让学生通过亲身体验，何谓“等可能”、何谓“不等可能”，学生可能也只是停留在一知半解的层面上．因此教师在教学设计上，就必须重视概念教学，在课堂上安排适当的探究活动，引导学生在探究中交流，在交流中充分暴露思维的过程，让学生在失误的过程中建立起正确的知识结构．教师要具有探究意识、探究精神和探究技能数学探究提倡学生主动获取、应用知识并解决问题．因此，在课堂实践中，有按照教师事先的设计进行的探究，也有教师预设之外的、“突发”的探究（就如前面的案例）．这就要求教师，一是要有敏锐的探究意识，对学生提出的“质疑”、“异类”等信息进行准确的捕捉，并以此为契机引导学生进行探究；二是要尊重教学的“开放性”、“自主性”，要改变“按照教学计划来完成教学目标”的传统教学观念，改变一味的追求“严谨”、“有序”、“完整”教学过程，从而把教学过程真正视为一个“动态的”、“开放的”系统，这样学生才能真正成为教学活动的主体，探究才得以真正实施．像本节课中，若教师对学生质疑置之不理或是轻描淡写的跳过，可能会完成事先设定的教学任务，这个课堂只是老师的课堂，而没能真正成为学生的课堂．也正因为课堂的开放性，探究教学往往需要大量的时间，而教学效果确可能是隐性和长期的，再加上现有评价体系的缺陷，所以，探究教学更需要教师具有超前意识和探究精神，相信在探究活动中学生的素质和能力也一定会大大提升，长期的积累也一定会考出优异的成绩．当然，真正的探究课堂也还需要教师进行大量的探究理论和探究技能的学习，让探究真正成为培养学生思维能力、反思意识等的手段，让探究过程成为真正提升学生数学思维的过程．【参考文献】[1]吴明华．“问题引领，重心前移”之课堂诠释[J]，中小学数学（高中版），2008，1[2]宁连华．数学探究教学中的“滑过现象”及其预防策略[J]，中国教育学刊，2006，9[3]王世伟．论教师使用教科书的原则：基于教学关系的思考[J]，课程·教材·教法，2008，5[4]陈剑飞．论高中新课程改革下如何把握数学教材[J],长春师范学院学报(自然科学版)，2008，5。
古典概型
Classical Probability Model
引例1【抽样概率】
某公司有员工1000人,各年龄段的人数见下表
员工的年龄段 频数 频率
20-24 25-34 35-44
45-54 55-64 65以上
54 366 233
180 125 42
0.054 0.366 0.233
0.18 0.125 0.042
i 1
n
3. 事件的交（或积）:A与B同时发生，记作 AB或AB
n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An
4.差事件：事件A发生而B不发生称为事件A与B的差， 记为A－B
思考：何时A-B=?何时A-B=A？
5.互不相容（互斥）事件：或事件A、B不能同时发生，
即AB＝ ，则称A、B互斥
引例2【产品检验】
100只外型一样的同型号三极管中,按电流放大系数分类,
有60只属于一类,40只属于二类,求下列两种抽样方式下
事件“从100只抽取2只全是二类”发生的概率
(1).每次抽取一只,测试后放回,然后再随机地抽取下一只; (2). 每次抽取一只,测试后不放回,然后再在余下的三极管 中随机地抽取下一只 解：设A=第一次取到的三极管； B＝第二次取到的三极管
A B A B,
k k
AB A B
可推广 Ak Ak ,
A
k
k
Ak .
k
引例2【产品检验】
100只外型一样的同型号三极管中,按电流放大系数分类,
有6抽取2只全是二类”发生的概率
(1).每次抽取一只,测试后放回,然后再随机地抽取下一只; (2). 每次抽取一只,测试后不放回,然后再在余下的三极管 中随机地抽取下一只 解：设A=第一次取到的三极管是二类的； B＝第二次取到的三极管是二类的
《古典概型的概率计算公式》典型例题剖析
《古典概型的概率计算公式》典型例题剖析题型1 古典概型的判断例1 （1）“在区间[0,10]上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”这个概率模型是古典概型吗？（2）若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验是古典概型吗？解析（1）不是古典概型，因为在区间[0,10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其样本点有无限个，所以不是古典概型.（2）不一定是古典概型.还必须满足每个样本点出现的可能性相等才是古典概型.答案（1）不是古典概型（2）不一定是古典概型方法技巧判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征—有限性和等可能性，二者缺一不可.变式训练1 下列试验是古典概型的为_________（填序号）.①求从5个数学学习小组中选出甲、乙两个小组代表学校参加数学竞赛的概率；②掷一枚均匀的硬币3次，求有2次正面向上的概率；③播下10粒种子，求有5粒发芽的概率；④一周中7人每天值班1天，求甲、乙相邻的概率.答案①②④.点拨①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特征.③不是古典概型，因为不符合等可能性，每一粒种子发芽的概率一般是不相等的.题型2 古典概型概率的计算例2 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为,x y.奖励规则如下：①若3xy，则奖励玩具一个；②若8xy，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由解析写出试验的样本空间，计算随机事件的样本点个数，应用古典概型的概率计算公式计算概率.答案用数对(,)x y表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集{(,),,14,14}S x y x y x y=∈∈N N∣一一对应.因为S中元素的个数是4416⨯=，所以样本点总数16n=.（1）记“3xy”为事件A，则事件A包含的样本点有5个，即{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)}A=.所以5()16P A=，即小亮获得玩具的概率为516.（2）记“8xy”为事件B，“38xy<<”为事件C，则事件B包含的样本点有6个，即{(2,4),(3, 3) ,(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)}B=，所以63 ()168 P B==.事件C包含的样本点有5个，即{(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1)}C=，所以5()16P C=.因为35816>， 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.规律方法 解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特征和其计算公式.但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题：（1）试验必须具有古典概型的两个特征一有限性和等可能性；（2）计算样本点的个数时，须做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有样本点.变式训练2 一个口袋内装有形状、大小相同，编号为123,,a a a 的3个白球和1个黑球b .（1）从中一次性摸出2个球，求摸出2个白球的概率；（2）从中连续取两次，每次取一球后放回，求取出的两个球中恰好有1个黑球的概率.答案 （1）一次性摸出2个球，此试验的样本空间为()()()()()(){}121323123,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b a b Ω=.Ω由6个样本点组成，而且这些样本点的出现是等可能的.用A 表示“摸出2个白球”这一事件，则({)()()}121323,,,,,A a a a a a a =. 事件A 由3个样本点组成，因而31()62P A ==. 有放回地连续取两次，此试验的样本空间为()()()()(){()()()()1112131212223231,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a a a a a a a b a a Ω=()()()()()()}32333123,,,,,,,,,,,,(,)a a a a a b b a b a b a b b .其中小括号左边的字母表示第1次取出的球，右边的字母表示第2次取出的球，Ω由16个样本点组成，而且这些样本点的出现是等可能的.用B 表示“连续取出的两球恰好有1个黑球”这一事件，则()()()()(){)}123123,,,,,,,,,,(,B a b a b a b b a b a b a =，事件B 由6个样本点组成，则63()168P B ==. 规律方法总结1.古典概型是一种最基本的概率模型.判断试验是否为古典概型要紧紧抓住其两个特征：样本点的有限性和等可能性.2.求随机事件A 包含的样本点个数和样本点总数常用的方法是列举法（画树状图和列表），注意要做到不重不漏.3.在应用公式()A m P A n==Ω包含的样本点个数包含的样本点总数时，关键是正确理解样本点与事件A 的关系，从而正确求出m 和n .4.注意“有放回取样”与“不放回取样”对样本点的影响.核心素养园地例 某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示，下表是年龄的频数分布表.（1）求正整数,,a b N 的值；（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层随机抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人年龄在第3组的概率.解析 （1）根据频率分布直方图的意义并结合表格内的已知数据可以求得,,a b N 的值.（2）先求出这三组的总人数，再根据分层抽样的取样方法求得每组取样的人数.（3）利用列举法列出所有的样本点，共有15个，其中满足条件的样本点有8个，利用古典概型的概率计算公式计算得出结果.答案 （1）由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a =.且0.08251000.02b =⨯=.总人数252500.025N ==⨯. （2）因为第1，2，3组共有2525100150++=（人），所以利用分层随机抽样的方法在150名员工中抽取6人，第1组被抽取的人数为2561150⨯=，第2组被抽取的人数为2561150⨯=，第3组被抽取的人数为10064150⨯=. 所以年龄在第1，2，3组的人数分别是1，1，4.（3）由（2）可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1234,,,C C C C ，则从6人中随机抽取人的所有可能结果为()()1,,,,A B A C ())()()()()()()()()2341234121314,,(,,,,,,,,,,,,,,,,,,A C A C A C B C B C B C B C C C C C C C ()()()232434,,,,,C C C C C C ，共有15个样本点.其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为()()()()()()()()12341234,,,,,,,,,,,,,,,A C A C A C A C B C B C B C B C ，共有8个样本点.所以恰有1人年龄在第3组的概率为815. 讲评 概率问题常常与统计问题结合在一起考查.在此类问题中，概率与频率的区别并不是十分明显，通常直接用题目中的频率代替概率进行计算.第（3）题是古典概型问题.解决与古典概型交汇的问题时，应明确相关事件，列举样本点，然后利用古典概型的概率计算公式求解.如果能正确理解题意，分析求解第（1）题与第（2）题，那么可以认为达到数学运算、直观想象、数学建模核心素养水平一的要求；如果能正确求解第（3）题，那么可以认为达到数学建模核心素养水平二与数学运算核心素养水平一的要求.。
简单随机抽样古典概型课件
[再练一题] 4．抛掷两颗骰子，求： (1)点数之和是 4 的倍数的概率； (2)点数之和大于 5 小于 10 的概率． 【解】 如图，基本事件共有 36 种．
(1)记“点数之和是 4 的倍数”的事件为 A，从图中可以看出，事件 A 包含 的基本事件共有 9 个：(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)， 所以 P(A)＝14.
(2)记“点数之和大于 5 小于 10”的事件为 B，从图中可以看出，事件 B 包含 的基本事件共有 20 个．即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)， (4,3)，(5,2)，(6,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)．所 以 P(B)＝59.
【解】 (1)这个试验包含的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正， 反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反， 反)．
(2)这个试验包含的基本事件的总数是 8. (3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下 3 个基本事件：(正，正， 反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
先后抛掷两枚大小相同的骰子． (1)求点数之和出现 7 点的概率； (2)求出现两个 4 点的概率； (3)求点数之和能被 3 整除的概率． 【精彩点拨】 明确先后掷两枚骰子的基本事件总数，然后用古典概型概 率计算公式求解，可借图来确定基本事件情况．
【尝试解答】 如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应， 共 36 种．
古典概型的几类基本问题(1)
古典概型中的几类基本问题1 引言对于古典概型问题的求解，首先要做到这三方面的工作67]1[：一是明确分辨问题的性质，即是不是古典概型问题；二是掌握古典概型的公式；三是根据公式要求，确定n （基本事件总数）和k （有利事件总数）的值17]2[，这是解题的关键一步，计算方法灵活多变，没有一个固定的模式，但古典概型的种种解法大体上都是围绕n 和k 展开的．抛硬币、掷骰子、摸球、取数等随机试验，在概率问题的研究中有着十分重要的意义．一方面，这些模型是人们从大量的随机现象中筛选出来的理想化的概率模型，它们的内容生动形象，结构清楚明确，富有直观性和典型性，便于深入浅出地反映事物的本质，揭示事物的规律．另一方面，这种模式化的解决，常常归结为某种简单的模型．因此，有目的地考察并掌握若干常见的概率模型，有助于我们举一反三，触类旁通，丰富解题的技能和技巧，不断提高解题能力．通过对相关资料的查询及老师的指导，本文主要讨论古典概率的三类基本问题：摸球问题、质点入盒问题、随机取数问题，给出它们的一般解法，指出其典型意义，并介绍其推广应用．2 摸球模型摸球模型是指从n 个可分辨的球中按照不同的要求（例如是否放回、是否计序等）一个一个地从中取出m （n m ≤）个，从而得到不同的样本空间，然后在各自的样本空间中计算事件的概率．一般说来，根据摸球的方式不同，可分为四种情况来讨论，得如下表一的四种不同的样本空间26]3[：表一其中mn m m n H C =-+1表示从n 个不同元素中取m 个元素进行元素的可重复的组合时其不同的组合个数，对各种情况先举例及推广应用：如果摸球是从n 个可分辨的球按有放回且计序的方式一个一个地从中取出m 个，这时样本空间的基本事件，总数应按相异元素允许重复的排列公式计算，因而有mn 个,此种情形是我们经常遇到的，下面来看个例子．例1 用1、2两个数字组成3个数，组成多少个数？思考方法 在数字排序的问题中，百位、十位、个位这三个位置上必须找出一个数字，至于每个是否均有位置，则不作要求，所以这是个有放回且计序的摸球问题，从而在各个位置上可以是1、2的任一个．依乘法原理不同的组合数有823==mn个．2.2 有放回且无计序摸球从n 个相异元素每次取出允许重复的m 个元素，不计次序并成一组，叫做从n 个相异元素允许重复的m 元组合，其所有组合的个数为mn m m n H C =-+1，通过下面的这个例子我们也可以看出它的典型性．例2 匣内装颜色分别为红、白、黑的三个球，有放回不按序选取，问匣内任取两个不同颜色的球的概率为多少？思考方法 作为有放回不按序摸球问题，设A 表示从匣内有放回不计序选取两个不同颜色的球的事件．由题设可知，样本空间的基本事件总数为624212323===-+C C H ，事件A 所含的基本事件数为323=C ,故所求概率为21)(2323==H C A P ．2.3 无放回且计序摸球如果摸球是无放回且计序摸球，这时样本空间的基本事件总数等于从n 个不同元素中取出m 个元素的所有不同排列的个数为mn A ，或是n 个互异元素的全排列!n P n =，这种情形也是摸球模型的重要类型．例3 袋中有α个白球，β个黑球，从中陆续取出)3(3βα+≤个球，求这3个球依次为黑白黑的概率．思考方法 每一个样本点对应着βα+个球中依次取出三个球的一种取法，需要考虑先后顺序，属于排列问题．用A 表示事件“取出3个球依次为黑白黑”，从βα+个球中依次任取三个，有3βα+P 种取法，此即样本点总数．对于有利事件，第一个和第三个黑球可在β个黑球中依次取得，有2βP 种取法；第二个白球可在α个白球中取得，有1αP 种取法．因此，A 所包含的样本点总数为12αβP P ，于是312)(φααβ+=P P P A P ．如果摸球是无放回且不计序，其样本空间的基本事件总数是从不同元素中取出若干个元素的所有不同的组合个数．例4 袋中有α个白球，β个黑球，问：从中不放回取出n m +（βα≤≤∈n m N n m ，，、）个球，试求所取出的球恰有m 个白球的概率．思考方法：这些同类球都不加区别，即不计序，又抽取后部返回，因而本例属无放回且不计序的摸球模型，其基本事件总数为nm C ++βα，此事件A 为“取出n m +个球中恰有m 个白球”，而事件A 所包含的样本点数，相当于从α个白球中取出m 个，从另外m -+βα个球中任取n 个取法种数共n m m C C -+βαα，所以nm nmm CC C A P ++-+=βαβαα)(．前面我们对摸球模型的各种类型进行了归纳，如果把白球、黑球换成产品中的正品、次品，或换成甲物、乙物，这样的人、那样的人……就可以得到形形色色的摸球问题．如果能灵活地将这些实际问题与前面的模型类型对号入座，我们就能解决有关的实际问题，为我们的生活带来方便和乐趣，例如灯泡厂检验合格率等这些产品抽样问题；还有可以把全班学生分成两组，求每组中男女生人数相对等的概率；从一副扑克牌中任取6张，求得3张红色的和3张黑色的概率；在安排值班的问题中，也可以按照无放回模型进行分析；在买彩票的过程中，可以把双色球、D 3、36选7等玩法的中奖概率求出，增加自己中奖机会．这样不仅把古典概率的知识应用在了生活中，给生活带来方便，同时也使数学给自己带来了乐趣，激发了对数学应用的动力．3 质点入盒模型该模型是指有n 个可分辨的盒子，m （n m <）个质点，按照质点是否可分辨，每盒可容纳质点的多少等不同情况，把m 个质点放入n 个可分辨的盒子，从而形成不同的样本空间，然后在各自样本空间计算事件的概率，与摸球模型类似，这里也可分四种情况讨论，清晰地可见这种模型的具体分类情况，如表二)37(]3[p ：表二3.1 每盒能容纳任意多个质点且质点可分辨质点需要分辨的问题就是排列问题，盒子能容纳任意多个质点的问题就是重复排列问题． 例1 有5个不同的质点，每个都同样以101的概率落入10个盒子，事件A ={指定的一个盒子中恰有3个质点}的概率．思考方法：由题意知，盒子容纳质点的数目不限，又质点可分辨，故为重复排列问题，其基本事件总数为510=m n ．在指定的一个盒子中恰有3个质点，共有35C 种选法，余下的2个质点可任意放入余下的9个盒中，共有29种不同选法，因而事件A 所包含的基本事件总数为3529C ，故所求概率为008.010*******109)(5352===C A P ． 3.2 每盒可容纳任意多个质点且质点不需分辨m 个质点随机进入n 个盒中，质点不需分辨属组合问题，又每盒能容纳任意多个质点，该组合为元素允许重复的组合，样本空间中含有m n m m n H C =-+1个样本点，即其基本事件总数为mm n C 1-+．例2 将例1中“5个不同的质点”换为“5个相同的质点”．思考方法：质点不需分辨属组合问题，又每个盒子容纳的质点不限，故该组合为元素可重复的组合，其基本事件总数为200251451510510===-+C C H ，因3个质点有35C 种选法，其余两质点可能落入两个盒中，有29C 种选法；也可能落入一个盒中，有19C种选法，故有224.0)()(514192935=+=C C C C A P ． 3.3 每盒最多可容纳一质点且质点需分辨 这样的问题是属于元素不允许重复的排列问题． 例3 将3个不同质点投入5个盒中，每个质点都以51的概率进入每一个盒中，且限定每盒最多只容纳一质点，求：事件A ={指定的一个盒子为空}的概率．思考方法 因质点互异，且每盒最多只容纳一质点，故属元素不允许重复的排列问题，因而其基本事件总数为6035=A ，事件A 所含的基本事件为2434=A ，故4.06024)(35434===A A A P ．3.4 每盒最多只容纳一质点且质点不需分辨 例4 将将3个相同质点投入5个盒中，每个质点都以51的概率进入每一个盒中，且限定每盒最多只容纳一质点，求：事件A ={指定的一个盒子为空}的概率．思考方法：质点不需分辨，属组合问题，又每盒最多只容纳一个质点，该组合为元素不允许重复的组合，因而其基本事件总数为1035=C ，事件A 所包含的基本事件总数为434=C ，故4.0104)(3534===C C A P ．质点入盒模型概括了很多的古典概型问题．如果把盒子看作365天，可研究n 个人的生日问题；如果把盒子看作每周的7天，又可研究值班的安排问题；如果把质点看作人，盒子看作房子，又可研究住房分配问题；如果把粒子看作质点，盒子看作空间的小区域，又可研究统计物理的Boltzmann Maxwell -统计模型；如果把信看作质点，盒子看作邮筒，又可研究投信问题；如果把骰子（硬币）看作质点，骰子（硬币）上的六点（正面和反面）看作)2(6个盒子，又可研究骰子（硬币）问题；如果将旅客视为质点，各个车站看作盒子，又可研究旅客下车问题等．不难看出质点入盒模型可以用来描述很多直观，背景完全不同但实质都完全一样的随机试验，应透过表面抓住本质，把相关问题与相应的模型联系起来，加以转化，这样问题就不难解决了．4 随机取数模型与前面的两种模型相比，此模型分类情况较简单些，分为有放回地随机取数和无放回地随机取数两种情况)44(]3[p ．4.1 有放回地随机取数取出的数字还原时，其样本空间的基本事件总数可按从n 个不同数字里取出m 个的重复排列计算问题．例1 从，，21…10这十个数中任取一个，假定各个数都以同样的概率被取中，然后还原，先后取出7个数，试求下列各事件的概率：)1(1A :7个数全不相同；)2(2A :不含9和2；)3(3A :8至少出现三次；)4(4A :5至少出现两次；)5(6A :取到的最大数恰为6．思考方法 本题所及的随机试验，就取样方法来说，属于返回取样．也就是说，把某数取出后还原，下次仍有同样的可能再取到这个数．注意到这一特点，运用上面介绍的思想方法，此题就不难得解．解 依题设，样本空间就是10个相异元素允许重复的7元排列．所以，样本点总数为710．)1(事件1A ，要求所取的7个数是互不相同的，考虑到各个数取出时有先后顺序之分，所以有利场合相当于从10个相异元素里每次取出7个相异元素的排列．因此，1A 所包含的样本点数为710P ．于是06048.010)(77101≈=P A P ．)2(事件2A ，先后取出的7个数中不含9和2，所以，这7个数只能从108765,3,41，，，，，这8个数中取得．注意到试验属于有返回取样，则2A 的有利场合，相当于8个互异元素允许重复的7元排列．于是2A 所包含的样本点数为78，有2097.0108)(772≈=A P ．)3(事件3A 中出现的三次8，可以是7次取数的任意三次，有37C 种选法；其余的4次，每次可以去剩下的9个数中的任一个，共有49种取法．因此0230.0109)(74373≈=C A P ． )4(事件4A 是六个两两互不相容事件“5恰好出现k 次”)65432(，，，，=k 的和，因此，1497.0109C )P(A 727774≈=∑=-k kk ． 也可以考虑4A 的逆事件．这里4A 是事件“5恰好出现一次或一次也不出现”．显然8503.01099)(776174≈+=C A P所以，1497.08503.01)(-1)P(A 44=-==A P)5(事件5A 的有利场合，就是6个相异元素)654321(，，，，，允许重复的最大数恰好为6的7元排列．这种排列可以分为6出现1次，1次，2次，3次，4次，5次，6次，7次等7类，显然，它们的排列数依次为6175C ,5275C ,4375C ,3475C ,2575C ,567C ,0775C ．于是0202.0105)(771775≈=∑=-k kkCA P事件5A 的有利场合的有利场合数也可以这样来考虑：最大数字不大于6的7元重复排列，有76种，它可以分为两类，一类是最大数恰好是6的7元重复排列；一类是最大数小于6的7元重复排列．注意到第二类重复排列有75种，则第一类重复排列有76-75种．于是0202.01056)(7775≈-=A P ． 4.2 无放回地随机取数如取出的数字不还原，其样本空间的事件总数要根据取数是计序或不计序，按不重复的排列或组合计算．例2 从，，10…9这十个数中任取三个不同的数字，试求下列事件的概率：)1(1A :三个数字中不含0或5；)2(2A :三个数字中不含0和5．解 所取三个数不计序，本例属元素不允许重复的组合问题，其基本事件总数为35C n =．)1(有利于1A 的基本事件总数为381C m =,于是所求概率为157)(310381==C C A P ．)2(在所给的十个数字中任取3个不含0的数字共有39C 个，同样任取3个不含5的数字共有39C 个．这些个数中均包含既不含0又不含5的3个数字的个数38C ．于是这样的3个不同数字被算了两次，即多算了一次，造成了重复．因而有利于事件2A 的基本事件数3839392C C C m -+=,故所求概率为1514)2()(31038392=-=C C C A P ． 随机取数模型作为典型的古典概型，解题的思想方法对于同类问题具有指导意义．但绝不能把它作为现成的公式乱套，有些问题表面看机构相仿，实质上差别较大，须斟酌题意灵活运用．随机取数模型在日常生活也可应用在通讯公司计算电话号码，单位票据编号完全不同的概率等实际问题中．作为古典概型在事件生活中的应用，现例举一综合例子：我们在庙会，公园里都可以看到玩这种游戏的，袋中有3种颜色的相同玻璃球，各有3个球，大家可以免费参加摸球游戏，每次从袋中摸出3个球，奖罚规则如下：摸出的3个球若：(1)颜色只有一种奖励玩家5元；(2)有两种颜色的情况罚玩家1元；(3)有三种颜色的情况奖励玩家2元．面对这种情形，我们大多数人都会对其产生诱惑，会高兴地“免费”试试身手，但我们学习完古典概型的知识后，可以看到这种游戏背后的真相．对于(1)、 (2)、)3(其概率利用古典概型的知识可得为843)1(3913==C C P ,8454)2(3913231223==C C C C C P ,8427)3(39131313==C C C C P ．直观地说，就是在84次的摸球中，第一种情况有3次，老板赢得155*3=元，第二种情况有54次，玩家输去541*54=元，第三种情况有27次，老板赢得542*27=元，最终老板赢得15541554=-+元，这个看似比较公平的游戏还是被老板赚了，所以以后大家遇到这种情形就需要考虑了．总之，通过以上几种古典概型问题的分析过程可得，这类问题是一个既有法、有时又无定法的问题．求解这类问题通常有两条基本思路：一条是直接法，对有附加条件的特殊元素或排列中的特殊位置应先处理，直接求出满足题设条件的种数；另一条是间接法，先撇开附加条件求出一个总数，再扣除不合要求的种数．在这两个过程中，均以排列、组合等知识点作为出发点，考虑一切可能出现的结果，既不能将它们遗漏，也不要重复．综合知识间的内在联系，运用多种多样、灵活多变的解题技巧把抽象的内容知识延伸至实际问题中，提高解决实际问题的能力．因此，在解答概率题时没有一个固定的模式，需要扎实的基础知识和灵活的技能技巧，为解决实际问题服务，把古典概型的知识应用在日常生活中．参考文献：[1] 赵振威等．怎样解概率题[M]．北京师范大学出版社，1986[2] 魏宗舒等．概率论与数理统计教程[M ]．高等教育出版社，1983[3] 毛纲源．概率论与数理统计解题方法技巧归纳[M]．华中科技大学出版社，1999[4] 汪仁宫．概率论引论[M]．北京大学出版社，2005[5] 周惠新．概率方法的妙用[J]．高等数学研究，2005[6] 文建新．如何分析计算古典概型习题[J]．武当学刊，1996[7] 曹晓阳．关于古典概率的几种解法[J]．自然科学版，2005．09[8] A. Kolmogorov-Smirnov .Test for Classical Probability Models [J]．自然期刊，2010。
高二数学抽样试题
高二数学抽样试题1.某市有大型超市家、中型超市家、小型超市家.为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为的样本，应抽取中型超市__________家.【答案】16【解析】根据分层抽样的知识，设应抽取中型超市t家，得，解得t=16.【考点】分层抽样.2.某班同学利用五一节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念，则称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（1）请补全频率分布直方图，并求n、a、p的值；（2）在所得样本中，从[40，50）岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．【答案】（1），a=60，；（2）随机变量X的分布列为X0123∴数学期望．【解析】(1)由已知条件求出第二组的频率，从而补全频率分布直方图，由此能求出n、a、p的值．（2）[35，40）岁年龄段的“环保族”人数与[40，45）年龄段的“环保族”人数的比值为100：60=5：3，由题意，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），由此能求出随机变量X的分布列和数学期望EX．试题解析：（Ⅰ）第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，所以高为．频率直方图如下：3第一组的人数为，频率为0.04×5=0.2，所以．由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1000×0.3=300，所以．第四组的频率为0.03×5=0.15，所以第四组的人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60．（Ⅱ）因为[40，45）岁年龄段的“低碳族”与[45，50）岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人．随机变量X服从超几何分布．，，，．所以随机变量X的分布列为∴数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法．3.我校15届高二有名学生, 现采用系统抽样方法, 抽取人做问卷调查, 将人按随机编号, 则抽取的人中, 编号落入区间的人数为（）.A．11B．12C．13D．14【答案】C【解析】由题意得，从840名学生中按系统抽样方法抽取42名，则应把840名学生分成42段，每段20人，从每段20人中抽取1人；编号落入区间的人数是.【考点】系统抽样.4.某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）（1）应收集多少位女生样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.P(K2≥k)0.100.050.0100.005附：K2＝【答案】（1）90（2）0.75（3）有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．【解析】（1）由题知，抽样比例为50：1，根据分层抽样是按比例抽样和女生人数即可计算出女生应抽取的人数；（2）观察频率分布直方图，找出每周平均体育运动不超过4小时的所有小矩形高即为频率/组距，这些小矩形的面积和即为每周平均体育运动不超过4小时的频率，1减去这个频率就是每周运动时间超过4小时的概率；（3）根据频率分布直方图计算出这300位男生和女生中每周运动时超过4小时和不超过4小时的人数，列出2×2列联表，代入K2公式，计算出样本观测值，将该值与表中概率为95%值比较即可得出是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.试题解析：（1）300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据． 3分（2）由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75. 7分（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：男生女生总计结合列联表可算得K2＝＝≈4.762>3.841.所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”． 12分【考点】分层抽样方法，总体估计，独立性检验5.2013年第三季度，国家电网决定对城镇居民民用电计费标准做出调整，并根据用电情况将居民分为三类: 第一类的用电区间在，第二类在，第三类在（单位：千瓦时）．某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示．（1）求该小区居民用电量的中位数与平均数；（2）利用分层抽样的方法从该小区内选出5户居民代表，若从该5户居民代表中任选两户居民，求这两户居民用电资费属于不同类型的概率．【答案】（1）平均数为156.8,中位数为155；（2）.【解析】（1）先利用所给的频率分布直方图求出每一组的频率，再利用频率求出平均数，找出中位数；（2）按照所给题目的意思可知第一类 4户，第二类1户，那么两户居民用电资费属于不同类型的概率为.试题解析：解：（1）第一组频率为20×0.005=0.1第二组频率为20×0.015=0.3第三组频率为20×0.02=0.4第四组频率为20×0.005=0.1第五组频率为20×0.003=0.06第六组频率为20×0.002=0.04 -2分平均数为0.1×120+0.3×140+0.4×160+0.1×180+0.06×200+0.04×220=156.8 -4分中位数为150+20×0.25=155 -6分（2）第一类 4户第二类1户 -8分两户居民用电资费属于不同类型的概率为 -----12分考点:频率分布直方图，中位数，分层抽样.6.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2， (960)分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷，则抽到的人中，做问卷的人数为()A．7B．9C．10D．15【答案】C【解析】由系统抽样方法可知从从960人中抽取32人，则每组人数为960/32 =30,就是每30人中抽取一人做问卷，那么共用有人，中共有人，故选C.【考点】系统抽样.7.某学校共有师生2400人，现用分层抽样方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是。
浅谈古典概型及其解题方法
海南大学毕业论文（设计）题目：浅谈古典概型及其解题方法学号：*************** 姓名：覃怀森年级：12 级学院：信息科学技术学院系别：数学系专业：数学与应用数学专业指导教师：***摘要（是对论文内容的概括总结）古典概型在概率论中占据着极为重要的地位。
它既是概率论的基础入门，又是学习概率论过程的难点所在，因为其直白简洁的概念和计算公式，让我们更难掌握精准的解题方法。
古典概型之所以难以理解是因为:首先,古典概型涉及到的实际问题千变万化,需要敏锐的洞察力和深人细致的分析,才能解决古典概型问题;其次,古典概型的计算涉及到诸如加法原理、乘法原理、排列、组合等数学知识,特别是加法原理、乘法原理的应用很容易混淆,而排列与组合则更难,都可能导致错误的计算结果。
古典概型本身尽管复杂有关,但更重要的是:对古典概型的理解不深、不透彻,从而思考问题不得要领。
（第二段可以简写）对古典概型及其解题方法的研究，能系统地加深对概率论的理解和应用。
本文通过系统的学习古典概型的概念和解题方法，达到更深层次对古典概型的的理解和更好的运用。
（对论文干了什么工作可以写更详细点）在概率论中我们最先学到的知识就是古典概型，古概型是概率论的起源，是一切概率问题的基础，如何看清古典概型的本质是需要研究的问题，我们要让让古典概型这个既熟悉又陌生的名字，努力使之成为懂的人爱之越深，不懂的人不再一脸茫茫然。
在此，需要我们系统的去深入学习和理解。
关键词：古典概型，样本空间，基本事件，解题方法Abstract做相应修改Classical probability plays a very important role in the theory of probability. It is not only the basis of probability theory, but also is learning probability on the process difficulty, because the concept and formula of the straightforward and simple, let us have more difficulty to grasp accurate method of solving problems.Classical probability type because it is difficult to understand .the reasons: first, classical probability relates to a kaleidoscope of practical problems and need keen insight and deep and careful analysis, in order to solve the classical type of probability; secondly, the classical probability calculations related to such as the addition principle, the principle of multiplication, permutation and combination, mathematical knowledge, especially it is easy to get confused about the application of the principle addition and multiplication, and arranged and combination is more difficult and may lead to incorrect results. , classical probability itself although complex, but more important is: on the classical probability type understanding is not deep, not thorough and think to no avail.The understanding and application of the theory of probability can be systematically studied by the research of the classical model and its solution method. In this paper, through the systematic study of the concept of classical concept and problem-solving methods, to achieve a deeper understanding of the classical model and better use of. In probability theory, we first learn the knowledge is the classical type of probability, the ancient probability is probability theory origin, is the basis of all probability problems, how to see the essence of classical probability is a need to study the problem, we must let the classical type of probability that both familiar and unfamiliar names, efforts to become people who understand the love more deep, do not understand the people no longer look blankly. Here, we need to go deep into the system to learn and understand.keywords:Classical probability model, Sample space, Basic event, Symmetry .目录1.古典概型的基本概念 (1)1.1古典概型的意义 (1)1.2古典概型的特点 (1)1.3古典概型的运用 (1)1.3.1博彩领域的运用 (1)1.3.2保险赔偿问题的运用 (2)1.3.3生活中概率问题的运用 (3)1.3.4抽签的公平性运用 (4)1.4古典概型的基本解题思想 (4)2.古典概型的解题方法和分类 (5)2.1古典概型题型的分类 (5)2.2古典概型的解题方法 (5)2.2.1选取不同的样本空间解题 (6)2.2.2利用排除（间接）法解题 (7)2.2.3利用对立事件解题 (7)2.2.4利用对称性解题 (8)2.2.5利用化归思想方法解题 (8)3.总结 (10)4.致谢 (11)参考文献 (12)1、古典概型的基本概念和解题方法1.1古典概型的基本概念如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型。
第1节 随机事件的概率(古典概型、简单的几何概型、抽样方法)
6.(2009广东卷文)某单位200名职工的年龄分布情况如下图,现要从中抽取40名职工作
样本,用系统抽样的方法,将全体职工随机按1-200编号,并按编号顺序平均分为40组(1-5
号,6-10号,…,196-200号).若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是
.若用
分层抽样的方法,则40岁以下年龄段应抽取
【例2】 (2015广东)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,先从这5件产品中任取2
件,恰有一件为次品的概率为
()
A.0.4
B.0.6
C.0.8
D.1
【答案】 B 【解析】 从5件产品中任取2件,共有10种可能,设三件正品为 a1,a2,a3,2件次品为b1,b2,恰有一件次品的有(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1), (a3,b2),共六种可能,所以
第十章 概率与统计
第1节 随机事件的概率（古典概型、简 单的几何概型、抽样方法）
1.抽样方法: (1)简单随机抽样(包括随机数表法,抽签法); (2)分层抽样(用于个体有明显差异时); (3)系统抽样(步骤:①编号;②分段;③确定起始编号;④抽取样本.).
【例1】 在一个袋子中装有分别标注数字1、2、3、4、5的五个小球,这些小球除标注
.
【答案】 200 【解析】 学生人数共1000人,如果每个被抽到的概率为0.2,则应该 抽取1000×0.2=200人.
8.在5件产品中,有3件是一级品,2件是二级品,从中任取2件,其中至少有一件为二级品 的概率是 .
【答案】
【解析】 在5件产品中任取2件共有10种可能,设3件一级品为
a1,a2,a3,如果任取2件都是一级品的有(a1,a2),(a1,a3)(a2,a3)三种可能.所以至少有一件
322古典概型
⑴问共有多少个基本事件；
解： ⑴分别对红球编号为1、2、3、4、5号，对黄球编号6、7、 8号，从中任取两球，有如下等可能基本事件，枚举如下：
（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8） 7
（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（2，8） 6 （3，4）、（3，5）、（3，6）、（3，7）、（3，8） 5 （4，5）、（4，6）、（4，7）、（4，8） 4
求古典概型概率的步骤:
⑴求基本事件的总数; ⑵求事件A包含的基本事件的个数; ⑶代入计算公式：P(A) m
n
在解决古典概型问题过程中，要注意利用枚举法、数 形结合、建立模型、符号化、形式化等数学思想解题 课后思考：
1.若基本事件很多的时候,还能用枚举法吗?是否还有其他方法呢?
2.基本事件的个数是有限的时候是古典概型,那是否还有基本事件是 无限的呢?
想
一
想
？
求古典概型概率的步骤:
⑴求基本事件的总数; ⑵求事件A包含的基本事件的个数; ⑶代入计算公式：P( A) m
n
例2（掷骰子问题）：将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数。
问：⑴两数之和是3的倍数的结果有多少种？
两数之和是3的倍数的概率是多少？
⑵两数之和不低于10的结果有多少种？
两数之和不低于10的的概率是多少？
1 2 34 5 6
第一次抛掷后向上的点数 变式1：点数之和为质数的概率为多少？ P(C) 15 5
36 12
变式2：点数之和为多少时，概率最大且概率是多少？ 点数之和为7时，概率最大， 且概率为：P(D) 6 1
36 6
生物与概率
豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其 中决定高的基因记为Ｄ，决定矮的基因记为ｄ，则 杂交所得第一子代的一对基因为Ｄｄ．若第二子代 的Ｄ，ｄ基因的遗传是等可能的，求第二子代为高 茎的概率（只要有基因Ｄ 则其就是高茎，只有两个 基因全是ｄ时，才显现矮茎）
概率综合(古典概型)
知识点之三：分房问题
例三、有n个人，每个人都以同样的概率1/N 被分配在N（n间房间中的每一间，试求下 列各事件的概率： （1）指定的n间房中各有一人 (2)恰有n间房中各有一个; (3)指定的某间房中恰有r（r≤N)个人; （4)第一间房、第二间房…第n间房中分别有 r1,r2,…rN个人，（ r1+r2+…+rN=n，0≤r≤n)
有放回的抽样问题练习
4、袋中装有编号为1，2……N的球各一只, 采用有放回方式摸球,试求在第k次摸 球 时首次摸到1号球的概率.
解题分析：
从N个球中有放回地摸出k个球的所有各种可 能的结果为Nk个,把它们作为全体基本事件,有 利场合数为(N-1)k-1,故所求概率为:
(N 1) P K N
知识点练习一(不放回抽样练习)
1、甲袋中有3只白球，7只红球，15只， 黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9 只黑球，现从两袋中各取一球 ，求两球颜
色相同的概率。
解答： 从两袋中各取一球的所有可能作为基本事 件，总数有252，有利场合数 为3×10+7×6+15×9,故所求的概率 P=207/625
知识点练习一(不放回抽样练习)
3、从52张扑克牌中任取5张，求下列事件的 概率：①、4张A集中在一个人的手中。 ②、 以K打头的同花顺次五张牌； ③ 、同花顺 次五张牌；④ 、有四张牌同点数； ⑤ 、三 张同点数且另两张取其它同点数； ⑥、同 花五张； ⑦ 、异花顺次五张； ⑧ 、三张 同点数，另两张不同； ⑨ 、五张中 有两对； ⑩ 、五张中有一对。 说明：扑克牌的顺次为：A2345678910JKA
分析：这n个人在N间房中的所有不同的分配 ，相当于从N个元素中选取n个进行有重复的排列
浅析古典概型解题--毕业论文
【标题】浅析古典概型解题【作者】谭冰玲【关键词】古典概型随机取样方式样本空间选取【指导老师】简大权【专业】数学与应用数学【正文】1.引言古典概型是概率论发展初期的主要研究对象，在概率论中占有相当重要的地位，是各类概率模型中最基本的一种，起着奠基性的作用。
古典概型概括了产品质量抽样检验等许多实际问题，并在理论物理的研究中有重要作用。
古典概型是初等概率论中最基本的内容之一，其习题历来是初等概率论的习题中的重点部分。
设一个随机试验的全部基本事件（样本点）只有有限个：其中每一个基本事件的出现可能性都相同（等可能性），即。
一个随机事件可表示为样本空间的一个子集，且它的概率为，其中是所包含的样本点的个数（有利场合的个数）。
这就是古典概型。
古典概型的习题大多是求某个随机事件的概率。
求古典型随机试验中事件的概率主要有两个步骤：第一步是选取适当的样本空间，使它满足有限、等可能的要求，且把表示为的某个子集；第二步则是计算（样本点总数）及（有利场合的个数）。
虽然说古典概型的概念直观，计算公式简单，但是往往因不得要领而发生计算错误。
这是因为：首先，古典概型涉及到的问题千变万化，需要敏锐的洞察力和细致的分析，才能抽象成古典概型问题；其次，古典概型的计算涉及到加法原理、乘法原理、排列、组合等数学知识，特别是加法原理、乘法原理的应用很容易混淆，而排列与组合更难区别。
因而古典概型习题难解，思想方法独特，技巧性强，不易掌握规律。
因此，本文对古典概型题所涉及到的随机取样的方式，样本空间的选取及思考方法进行初步探究，得出解古典概型习题的一些有用的方法。
2.古典概型解题2.1随机取样的方式假设有个元素：。
若简记为，则，称为总体。
现从总体中一个一个地接连取出个元素，称此过程为次随机取样。
随机取样的方式有返回和不返回、有次序和无次序之分。
返回取样：每次从总体中任意取出一个元素，并在下次取样之前又放回总体。
不返回取样：每次从总体中任意取出一个元素，取出的元素均不再放回总体。
关于古典概型问题的几点思考
总之， 在古典概型中， 同一问题从不同的角度考 虑会得到不同的样本空间和不同的解法， 而样本空 间的适当选取和对立事件、 加法公式的合理运用会 简化古典概率的计算， 可以避免复杂的排列组合的 计算而易于理解， 同时可以提高学生的学习兴趣和 课堂教学效率。
参考文献 ［"］ ! 盛骤， 谢式千， 潘承毅 编1 概率论与数理统计 （ 第三 版） 1 高等教育出版社， *$$*1 )1
万方数据
第! 期
吐尔洪江： 关于古典概型问题的几点思考
*)
数来确定， 也就是说样本空间 ! 怎么选取， 则随机 事件 " 包含的基本事件随它而变， 所以样本空间的 选取不适当， 就会问题复杂化， 计算量过大， 容易造 成学生觉得难做。 下面看几个例子。 例 #： ! 个朋友随机地围绕圆桌而坐， 求其中 甲、 乙两人坐在一起 （ 座位相邻）的概率。 解： 我们很自然地会把这个问题看作圆周排列 的一个简单应用， 但是在这里我们不用这种办法。 设 甲已先坐好， 考虑乙怎么坐法。 显然乙总共有 （! " # ）个位置可坐， 这 （ ! " # ）个位置都是等可能的， 而 乙坐 在 甲 的 边 上 有 两 种 坐 法，因 此 所 求 概 率 为 ! 。 ! "# 如果把上述解法作细致的分析， 那就是我们取 样本空间 ! # ｛"# ， …， ， "! ， " ! "# ｝ " $ 表示乙坐在甲 它满足有限与等可能的要求， 我 左边第 $ 个位置上， 们要求概率的事件 % 表示为 ! 的子集｛"# ， 。 显 " ! "# ｝ 然， 对例 # 这样选取的样本空间 ! （ 有限并等可能） “ 装”不进去， 或 是最小的了， 在要小的话， 事件 % 就 者就无法保证等可能性了。 用其它办法做这道题目 选取的样本空间只会更大， 比上述解法复杂。 值得指 出的是在我们的解法中用不到排列组合。 例 !： 袋中有 & 只白球， ’ 只红球。 ( 个人依次在 袋中取一只球 （ 不放回） 。 求第（ $ $ # #， !， …， (） 人取 。 到白球的概率 （ ( % & ) ’）
关于古典概型的计算(摸球问题)
关于古典概率的计算（抽签问题）1.两种抽样方法在古典概率的计算中，将涉及到两种不同的抽取方法，我们以例子来说明：设袋内装有n个不同的球，现从中依次摸球，每次摸一只，就产生两种摸球的方法。
（1）每次摸出一只后，仍放回原袋中，然后再摸下一只，这种摸球的方法称为有放回的抽样。
显然，对于有放回的抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去。
（2）每次摸出一球后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球的方法称为无放回的抽样。
显然，对于无放回的抽样，依次摸出的球不出现重复，且摸球只能进行有限次。
2.计算古典概型的基本原则初学者往往对于一些古典概率的计算望而生畏，究其原因，大都是没有掌握好计算古典概率的基本原则。
拿到一个问题，首先应该分清问题是否与顺序有关？元素是否允许重复？如问题与顺序有关，元素不允许重复，那么应考虑用排列的工具，如此等等，计算工具选准了，一般地说问题也就好解决了，现在把考虑的基本原则列表如下：顺序抽样方法无放回抽样（元素不重复）有放回抽样（元素可重复）工具考虑顺序排列（全排列，选排列…）有重复的排列不考虑顺序组合有重复的组合当然，我们并不排除对于某些问题用特殊的方法去解决。
3．例1（抽签问题）袋中有a根红签，b根白签，它们除颜色不同外，其它方面没有差别，现有a+b个人依次无放回的去抽签，求第k个人抽到红签的概率。
解：这是一个古典概型问题，问题相当于把一根一根抽出来，求第k次抽到红签的概率。
如考虑把签一一抽排成一列，问题与顺序有关，是一个排列问题，就产生以下几种解法：记A k=“第k个人抽到一根红签”。
（1）把a根红签和b根白签看作是不同的（例如设想把它们编号），若把抽出的签依次排成一列，则每个排列就是试验的一个基本事件，基本事件总数就等于a+b根不同签的所有全排列的总数为（a+b）！事件A k包含的基本事件的特点是：在第k个位置上排列的一定是红签，有a种排法；在其它a+b-1个位置上的签的排列种数为（a+b-1）！，所以A k包含的基本事件数为a.（a+b-1）！，所求概率为：（1（2）把a根红签、b根白签均看作是没有区别的，仍把抽出的签依次排列成一列，这是一个含有相同元素的全排列，每一个这样的全排列就是一个基本事件，基本事件总数就等于（a+b）根含有相同签的全排列总数为。
古典概型中的抽奖问题
古典概型中的抽奖问题古典概型中的抽奖问题抽奖问题是古典概型中的一个典型问题，有时很难处理，笔者提供两种解法与大家共勉。
例1：在8张不同的彩票中有一张是奖票，8人依次从中各抽取一张，求每人中奖的概率。
分析1：若第k个人抽到奖票，那么前k 1个人就没有抽到奖票，故可以按抽奖顺序计算。
1A11解法1：第1个人抽到奖票的概率是P，求第2个人抽到奖票的概率：我们 11A88对前两个抽奖者作为一个整体考虑：从8张彩票中先抽取2张，可以看作从8张中抽取221张的一个排列，共有A8种，其中第2个人抽到奖票的抽法有A7种，故第2个人抽到奖票的12A7A711概率有P2 2 ，同样第3个人抽中的概率是P3 3 。
依次有P4 P5=P6 P7 A88A88=P7 P8=11。
即在抽奖中每个人抽到奖票的概率都相等为。
88 评注：一般地，如果在n张彩票中有m张奖票，n个人依次从中各抽取一张，且后抽的人不知道自己抽出的结果，那么第i个抽票者i 1,2,3, ,n 抽到奖票的概率就是Pi 1i 1AmAnm 1。
inAn8 分析2：把8张彩票做排列有A8种，每个人依次抽奖时，某人抽中的抽法就相当把奖票8放在对应位置上的做法。
因此，第1个位置上放置奖票的做法有A1种，总的排法有A8种，。
7A71 解法2：第1个人抽中的概率是P，依次第2个人抽中的概率是： 18A8817A1A711，同理可以得到===。
P PP PP PP 4567781888A81 评注：第一种方法立足与先后顺序，通俗易懂，第二种方法立足于整体考虑，简明扼要，容易接受。
该题也可以进一步推广：任意n 张彩票，有m张奖票 m n ，现在有n个人依次1n 1AmAnm 1从中抽奖，第i个抽奖者 i 1,2,3, ,n 抽到奖票的概率为Pi 。
nnAn。
正确理解古典概型
正确理解古典概型古典概型是各种概率模型中最基本的一种，在实质问题中常常会碰到，所以，它向来是概率论教课中的要点部分。
可是，在实质教课工作中，我们会发现很多学生在用古典概型公式解题时，不是无从下手，就是不得要领而发生计算错误。
为此，本文就怎样正确理解古典概型，谈以下几点见解。
1.古典概型概率计算的条件我们知道，古典概型在概率论中据有相当重要的地位，在产质量量抽样查验等实质问题以及理论物理的研究中都有重要的作用。
与古典概型相关的事件的概率可依据其特色直接计算出来，无需进行大批试验。
古典概型有两大特色 :一是随机试验基本领件的总数是有限的 ;二是每一基本领件发生的可能性相等。
古典概型概率的计算公式是P（A）=m/n ，此中n 是基本领件总数，m 是事件 A 所含的基本领件数，各个基本领件拥有等可能性。
利用此公式求解问题时要特别注意两点： (1)求 n 时结果一定是有限的； (2)每个基本领件都是等可能的。
只有同时知足以上两点，才属古典概型问题。
比如，单位时间内，电话总机接到呼喊的次数，这一随机现象的基本领件可列无穷多个，故不属古典概型问题。
再如，“一次射击命中的环数”，这一随机现象基本领件固然是有限的，但一般说来射击中各环的可能性不全同样，这一随机1 / 5现象的各基本领件非等可能，它也不属于古典概型。
它们都不可以用古典概型公式计算。
关于事件的等可能性，在实质问题中，常常只好“近似地”出现等可能，“完整的”等可能是很难见到的。
以掷硬币为例，严格地说，出现正、反二面也不可以以为完整部是等可能的，因为两面的花纹不一样、凸凹的散布不一样样，可是这些要素对出现正反面的影响很小，因此能够把它们忽视而仍旧以为是等可能的。
2.古典概型的基本领件空间在古典概型问题中，有时对同一个古典概型问题因为试验的条件和目的不一样，所研究的基本领件空间就不一样。
比如，求掷三枚硬币的基本领件空间。
假如我们只研究三枚硬币正 (H)、反(T)两面出现的次序时，有{HHH},{HHT}、{HTH}、{HTT}、{THH}、{THT}、{TTH}、{TTT}这八种结果，故基本领件空间共有八个基本领件。
高中数学总结归纳 多角度认识古典概型
多角度认识古典概型古典概型是高考考查的重点和热点之一，考查的主要内容是事件发生概率的求解，考试多以解答题为主，有少数选择题、填空题，难度为中低档题和较易题，对于该部分内容的计算，关键是分清基本事件总数n 与事件A 包含的基本事件数m ，有时需用列举法把基本事件——列举出来，再利用公式()nm A P =求出事件的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏．一、重要知识点讲解1.一个事件是否为古典概型,在于这个事件是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.并不是所有事件都是古典概型.例如,在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”,这个试验的基本时间空间为{}不发芽发芽,,而“发芽”与“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的.又如,从规格直径为300mm ±0.6mm 的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径为d ，测量值可能是从299.4mm 到300.6mm 之间的任何一个值，所有可能的结果有无限多个．这两个试验都不属于古典概型．2.()nm A P =是求古典概型的概率的基本公式． 求P(A)时，要首先判断是否是古典概型．若是，则应按以下步骤计算：(1)算出基本事件的总个数n ;(2)算出事件A 中包含的基本事件的个数m ;(3)算出事件A 的概率，即()nm A P =． 可见在运用公式计算时，关键在于求出n m ,．在求n 时，应注意这n 种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错．例如，先后抛掷两枚均匀的硬币，共出现“正，正”，“正，反”，“反，正”，“反，反”这四种等可能的结果．如果认为只有“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”这三种结果，那么显然这三种结果不是等可能的．在求m 时，可利用列举法或者结合图形采取列举的方法，数出事件A 发生的结果数．二、重点难点突破古典概型的重点及难点为古典概型的定义及概率公式的应用．因为古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，因此，必须分清事件是否为等可能性事件，以免与后面学习的其他事件及其概率混淆．求古典概型概率的计算公式为()nm A P =．根据这个公式计算概率时，关键在于求出n m ,，因此，首先要正确理解基本事件与事件A 的相互关系．特别要强调指出，一个基本事件是某一次试验出现的结果，千万不可以把几次试验的结果混为一个结果．三、易错点和易忽略点导析古典概型的易错点和易忽略点是对题意理解不清，搞错对象，以致于出错.例1、有1号、2号、3号3个信箱和A 、B 、C 、D 4个信封，若4封信可以任意投入信箱，投完为止，其中A 信封恰好投入1号或2号信箱的概率是多少?错解：每封信投人1号信箱的机会均等，而且所有结果数为4，故A 信封投入l 号或2号信箱的概率为214141=+. 错解分析：应该考虑A 信封投入各个信箱的概率，而错解考虑成了四封信投入某一倌箱的概率．正确解法：由于每封信可以任意投入信箱，对于A 信封投入各个信箱的可能性是相等的，一共有3种不同的结果．投入1号信箱或2号信箱有2种结果，所以所求概率为32. 四、常见题型展示与解析1.例举法求概率例2、箱中有3个正品，2个次品，从箱中随机连续抽取三次，每次只抽取一个，在以下两种抽样方式下3次抽取的均为正品的概率各为多少?(1)每次抽样后不放回；(2)每次抽样后放回．解，(1)若不放回抽样三次可看作有顺序地抽取，则从5个产品中不放回抽样三次共60个基本事件，从3个正品中不放回抽样三次包含6个基本事件，所以可以取出3个正品的概率为101606==p . (2)从5个产品中有放回地抽取三次，每次都有5种方法，所以共有125种不同的方法，而3个全是正品的抽法共有27种，所以3个全是正品的概率是12527=P ． 点拨：基本事件的个数可通过列举法获得．2.“排数”型概率问题例3、某城市的电话号码是8位数，如果从电话号码本中任取一个电话号码，求：(1)头两位数字都是8的概率;(2)头两位数字都不超过8的概率。
3.3浅议古典概型中的抽样问题
例谈古典概型中的抽样问题苏教版数学3的古典概型，是在随机事件的概率之后，几何概型之前的情况下教学的。
古典概型起着承前启后的作用，所以在概率论中占有相当重要的地位。
在随机事件的概率这一节中，已经提出了用频率近似估计概率的这种方法。
而这种方法必须依赖大量的重复试验，操作起来并不实际，而古典概型的提出，避免了这个问题，而且得到的是概率精确值。
古典概率（Classical probability model ）：如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，某事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为()n m A P =，由公式可看出解决古典概型的关键是求m 和n 。
古典概型的案例千变万化，有的题目看似简单，但因学生概念理解不透、审题不清常常造成错解。
列举是基本思想，再能配合分类分步、排列组合的思想，解决问题可如虎添翼。
古典概型中的放回与不放回，有序与无序是学生比较出错的问题。
（结构如图）根据是否放回，抽样方法可以分成两类：①是一类；②③是一类。
（是否放回的关键是被抽取的个体有无可能被重复抽取。
）根据是否有序，抽样方法可以分成两类：①②是一类；③是一类。
（“有序”问题常出现的字眼：“依次”“逐次”“顺次”。
放回抽样，一抽一放，必然有顺序，所以肯定有序。
凡有序问题，因为本质是讲究次序问题，所以用分步的思想来求总的基本事件、事件A 的基本事件。
而组合问题，配合组合数，求解问题更方便。
）下面通过一个例题以及变式来说明上述问题：例1. 在大小相同的6个球中，4个是红球，2个白球，若从中任意选2个，求两个都是红球的概率。
【分析】关键字眼“任意选2个”，所以它属于问题③。
记事件 A 为“选取两球都是红球”，因为总的基本事件个数是从6个球中任选2个，所以是26C ；事件A 的基本事件个数是从4个红球中任选2个，所以是24C 。
∴()24262 P A 5C C == 变式1：某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程，从班级中放回抽样（有序）① 抽样方法不放回抽样排列（有序）② 组合（无序）③任选两名学生，则他们是选修不同课程的学生的概率是？【错解】记“任选两名学生，他们是选修不同课程的学生”为事件A,选一个选修A 的学生概率是1550，选一个选修B 的学生概率是3549， ∴15353()504914P A =⨯= 【分析】关键字眼“任选两名学生”，属于问题③。
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浅议古典概型中的抽样问题靖江市第一中学 侯琰摘 要：古典概型是最基本的一种概率模型。
在概率这一章中，古典概型占有很重要的地位。
古典概型与实际问题联系紧密，案例千变万化，而解决古典概型最基本的思想是列举。
本文针对古典概型中易错的放回与不放回，有序与无序问题进行探讨，从而归纳总结出解决古典概型中抽样问题的思想方法和解题技巧。
关键词：古典概型 抽样方法 列举 放回 不放回 有序 无序苏教版数学3的古典概型，是在随机事件的概率之后，几何概型之前的情况下教学的。
古典概型起着承前启后的作用，所以在概率论中占有相当重要的地位。
在“随机事件的概率”这一节中，已经提出了用频率近似估计概率的这种方法。
而这种方法必须依赖大量的重复试验，操作起来并不实际，而古典概型的提出，避免了这个问题，而且得到的是概率精确值。
古典概型（Classical probability model ）必须满足条件：① 所有基本事件有限个② 每个基本事件发生的可能性都相等如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()nm A P =， 由计算公式可以看出解决古典概型的关键是求出基本事件的总数n 和事件A 包含的基本事件个数m ，一般有画韦恩图、列表格、画树形图等列举方法。
古典概型的案例千变万化，列举是基本思想，有的题目看似简单，但因学生概念理解不透、审题不清常常造成错解。
因此如能配合分类分步、排列组合的思想，解决问题可事半功倍。
古典概型中的放回与不放回，有序与无序是学生比较出错的问题。
数学3的各章知识前后相辅相成，是比较连贯的。
“算法”一章主讲完成一件事情的方法与步骤，“概率”则主讲完成一件事情的方法种数；“统计”一章中介绍的三种抽样方法均属于不放回抽样,“概率”这章则更进一步探讨放回与不放回抽样的概率问题。
（结构如图）根据是否放回，抽样方法可以分成两类：①是一类；②③是一类。
（是否放回的关键是看“被抽取的个体有无可能被重复抽取”。
）根据是否有序，抽样方法可以分成两类：①②是一类；③是一类。
（“有序”问题常出现的字眼：“依次”“逐次”“顺次”。
放回抽样，一抽一放，必然有顺序，所以属于“有序”问题。
凡“有序”问题，因为关键在于“按步骤完成事情”，所以用分步的思想来求总的基本事件n 、事件A 的基本事件m 。
而组合问题，不讲究次序，一般带有放回抽样（有序）① 抽样方法 不放回抽样 排列（有序）②组合（无序）③“任取”“一次性抽取×件”等字眼，这类问题配合组合数求解比较方便。
）下面通过一个例题以及变式来说明上述问题：例1. 在大小相同的6个球中，4个是红球，2个白球，若从中任意选2个，求两个都是红球的概率。
【分析】关键字眼“任意选2个”，所以它属于不放回抽样的组合问题。
解法一：记事件 A 为“选取两球都是红球”，因为总的基本事件个数是指从6个球中任选2个，所以是26C ；事件A 的基本事件个数是从4个红球中任选2个，所以是24C 。
所以两个都是红球的概率()24262 P A 5C C == 答：所选的2个球都是红球的概率为 25. 此题还可以用条件概率概率来解题：（此法不推荐，主要是为了说明变式训练1的错解） 解法二：记事件 A 为“选取两球都是红球”，选一个红球的概率是4 6，选另一个红球的概率是35，所以两个都是红球的概率是432()655P A =⨯=。
变式训练1：某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程，从班级中任选两名学生，则他们是选修不同课程的学生的概率是？【错解】记“任选两名学生，他们是选修不同课程的学生”为事件A, 选一个选修A 的学生概率是1550，然后选一个选修B 的学生概率是3549， 所以他们是选修不同课程的学生的概率15353()504914P A =⨯= 【分析】关键字眼“任选两名学生”，属于不放回抽样中的组合问题。
学生受初中时代概率知识的影响，喜欢用概率相乘来进行解题，然而学生并不真正理解独立事件、条件概率的含义。
此题和例1的不同之处在于，例1是“两个都是红球”，红球与红球之间无顺序差异；变式训练1中选的两个学生，人与人不同，所以是有顺序差异的，要分类讨论：①先选A 课程的学生，再选B 课程的学生；②先选B 课程的学生，再选A 课程的学生。
所以选修不同课程的学生的概率15353()250497P A =⨯⨯= 像这类题目不推荐学生用条件概率来做，容易出错。
【正解】记“任选两名学生，他们是选修不同课程的学生”为事件A, 因为总的基本事件个数是指从50名学生中任选2个，所以是250C ；事件A 的基本事件个数是从选修A 的学生中任选一个，有15种选法；从选修B 的学生中任选一个，有35种选法。
所以任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率()25015353 P A 7C ⨯== 答：任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率为 37.变式训练2：在大小相同的6个球中，4个是红球，2个白球，若从中任意选2个，求所选的2个球至少有一个是红球的概率？【分析】关键字眼“从中任意选2个”，属于不放回抽样中的组合问题。
题目所给的6个球中有4个红球，2个白球，我们可以根据不同的思路有不同的解法。
解法1：（从正面考虑）由题意知，所有的基本事件有2665152C ⨯==种， 记事件 A 为“选取2个球至少有1个是红球” ，则事件A 所含有的基本事件数有4342(11)(2)142⨯⨯+=红白红 所以()1514=A P 答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为1514 . 解法2：（从反面考虑）记事件 A 为“选取2个球至少有1个是红球” ， 则其互斥事件为A 意义为“选取2个球都是白球”()26111 P A 65152C ===⨯ ()()114 P A 1 - P A 1 - 1515∴=== 答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 1514 . 解法3：（条件概率）记事件 A 为“选取2个球至少有1个是红球” ，事件A 有三种可能的情况：1红1白；1白1红；2红，对应的概率分别为：5364 , 5462 , 5264⨯⨯⨯， 则有 ()15145364 5462 5264=⨯+⨯+⨯=A P 答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 1514 . 评价：本题重点考察我们对于概率基本知识的理解，综合所学的方法，根据自己的理解用不同的方法。
本题推荐解法二，“正难则反”是概率这章中的常用思想。
变式训练3： 在大小相同的6个球中，2个是红球，4 个是白球，若从中任意选取3个，求至少有1个是红球的概率？【分析】关键字眼“从中任意选2个”，属于不放回抽样中的组合问题。
解法1：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有2012345636=⨯⨯⨯⨯=C 种， 记事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球” ，而事件A 所含有的基本事件数有2421416C ⨯+⨯=（1红）（2红）， 所以 ()542016==A P 答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 54.解法2：（互斥事件）记事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球”，则其互斥事件为A ， 意义为“选取3个球都是白球” ()34364321321 P A (654)5321C C ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯()()14 P A 1 - P A 1 - 55∴=== 答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 54 .解法3：（条件概率）记事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球” ，则事件A 的情况如下：红 白 白 51435462=⨯⨯1红2白 白 白 红 51425364=⨯⨯ 白 红 白 51435264=⨯⨯ 红 红 白 151445162=⨯⨯ 2红1白 红 白 红 151415462=⨯⨯ 白 红 红 151415264=⨯⨯ 所以 ()541513513=⨯+⨯=A P 答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 54 .变式训练4：在大小相同的6个球中，2个是红球，4个白球，有放回的从中任抽2次，每次抽取1只，试求下列事件的概率：（1）第1次抽到的是红球（2）抽到的2次中，红球、白球各一次【分析】关键字眼“有放回的从中任抽2次”，属于放回抽样中的问题，要注意顺序。
尤其是（2）学生容易在分子上犯错，抽红球、白球各一次，要分类：①先红后白②先白后红。
解：（1）记事件A 为“第1次抽到的是红球”，则 ()3162==A P ， （2）记事件B 为“抽到的2次中，红球、白球各一次”则()94664224=⨯⨯+⨯=B P 答：第1次抽到的是红球的概率为31，抽到的2次中，红球、白球各一次的概率为94变式训练5：一只口袋里装有5个大小形状相同的球，其中3个红球，2 个黄球，从中不放回依次摸出2个球，球两个球颜色不同的概率？【分析】关键字眼“依次”，属于不放回抽样中的排列问题，要注意顺序。
先后抽出两个球颜色不同要么是1红1黄，要么是1黄1红解:()32+233545P A ⨯⨯==⨯变式训练6：甲乙两人参加一次考试共有3道选择题，3道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回，求（1）甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？（2）求至少1人抽到选择题的概率？【分析】（1）由于是不放回的抽，且只抽两道题，甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的，所以可以用独立事件的概率（2）事件“至少1人抽到选择题”和事件“两人都抽到填空题”时互斥事件，所以可以用互斥事件的概率来【分析】关键字眼“每人抽一道题”，人不同，所以要注意顺序，属于不放回抽样中的排列问题，解：记事件A 为“甲抽到选择题而乙抽到填空题”，事件B 为“至少1人抽到选择题”，则B 为“两人都抽到填空题”（1）()3336510P A ⨯==⨯ （2）()321655P B ⨯==⨯ 则 ()()545111=-=-=B P B P3，少1人抽到选择题答：甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为104 .的概率为5本文所探讨的古典概型的抽样问题只是复杂多变的古典概型问题思想方法的一部分，也是比较容易混淆，易错的一部分。
有些题目有多种解法，我们可以看到同一随机现象可以用不同的模型来描述，有时不同解法的难易程度相差较大，通过对一题多解的研究，最后我们可以选择最优，最简单的方法来求解古典概率的计算问题。
古典概型虽然概念直观，但因其涉及的具体问题多样化，使得它不仅具有独特的思想方法，同时也具有很高的数学思维性，所以很有必要对其进行深入的研究。
参考文献：[1]普通高中课程标准实验教科书《数学3》江苏教育出版社2007[2]普通高中课程标准实验教科书《数学选修2-3》江苏教育出版社2007。