浅议古典概型中的抽样问题

浅议古典概型中的抽样问题

靖江市第一中学 侯琰

摘 要：古典概型是最基本的一种概率模型。在概率这一章中，古典概型占有很重要的地位。古典概型与实际问题联系紧密，案例千变万化，而解决古典概型最基本的思想是列举。本文针对古典概型中易错的放回与不放回，有序与无序问题进行探讨，从而归纳总结出解决古典概型中抽样问题的思想方法和解题技巧。

关键词：古典概型 抽样方法 列举 放回 不放回 有序 无序

苏教版数学3的古典概型，是在随机事件的概率之后，几何概型之前的情况下教学的。古典概型起着承前启后的作用，所以在概率论中占有相当重要的地位。

在“随机事件的概率”这一节中，已经提出了用频率近似估计概率的这种方法。而这种方法必须依赖大量的重复试验，操作起来并不实际，而古典概型的提出，避免了这个问题，而且得到的是概率精确值。

古典概型（Classical probability model ）必须满足条件：

① 所有基本事件有限个

② 每个基本事件发生的可能性都相等

如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n

1

，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的

基本事件，则事件A 发生的概率为 ()n

m A P =， 由计算公式可以看出解决古典概型的关键是求出基本事件的总数n 和事件A 包含的基本事件个数m ，一般有画韦恩图、列表格、画树形图等列举方法。

古典概型的案例千变万化，列举是基本思想，有的题目看似简单，但因学生概念理解不透、审题不清常常造成错解。因此如能配合分类分步、排列组合的思想，解决问题可事半功倍。

古典概型中的放回与不放回，有序与无序是学生比较出错的问题。数学3的各章知识前后相辅相成，是比较连贯的。“算法”一章主讲完成一件事情的方法与步骤，“概率”则主讲完成一件事情的方法种数；“统计”一章中介绍的三种抽样方法均属于不放回抽样,“概率”这章则更进一步探讨放回与不放回抽样的概率问题。（结构如图）

根据是否放回，抽样方法可以分成两类：①是一类；②③是一类。（是否放回的关键是看“被抽取的个体有无可能被重复抽取”。）

根据是否有序，抽样方法可以分成两类：①②是一类；③是一类。（“有序”问题常出现的字眼：“依次”“逐次”“顺次”。放回抽样，一抽一放，必然有顺序，所以属于“有序”问题。凡“有序”问题，因为关键在于“按步骤完成事情”，所以用分步的思想来求总的基本事件n 、事件A 的基本事件m 。而组合问题，不讲究次序，一般带有放回抽样（有序）① 抽样方法 不放回抽样 排列（有序）②

组合（无序）③

“任取”“一次性抽取×件”等字眼，这类问题配合组合数求解比较方便。）

下面通过一个例题以及变式来说明上述问题：

例1. 在大小相同的6个球中，4个是红球，2个白球，若从中任意

选2个，求两个都是红球的概率。

【分析】关键字眼“任意选2个”，所以它属于不放回抽样的组合问题。

解法一：记事件 A 为“选取两球都是红球”，因为总的基本事件个

数是指从6个球中任选2个，所以是26C ；事件A 的基本事件个数是

从4个红球中任选2个，所以是24C 。

所以两个都是红球的概率()24262 P A 5

C C == 答：所选的2个球都是红球的概率为 25

. 此题还可以用条件概率概率来解题：（此法不推荐，主要是为了说明变式训练1的错解） 解法二：记事件 A 为“选取两球都是红球”，选一个红球的概率是4 6，选另一个红球的概率是35

，所以两个都是红球的概率是432()655

P A =⨯=。 变式训练1：

某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程，从班级中任选两名学生，则他们是选修不同课程的学生的概率是？

【错解】记“任选两名学生，他们是选修不同课程的学生”为事件A, 选一个选修A 的学生概率是1550

，然后选一个选修B 的学生概率是3549， 所以他们是选修不同课程的学生的概率15353()504914

P A =⨯= 【分析】关键字眼“任选两名学生”，属于不放回抽样中的组合问题。学生受初中时代概率知识的影响，喜欢用概率相乘来进行解题，然而学生并不真正理解独立事件、条件概率的含义。

此题和例1的不同之处在于，例1是“两个都是红球”，红球与红球之间无顺序差异；变式训练1中选的两个学生，人与人不同，所以是有顺序差异的，要分类讨论：①先选A 课程的学生，再选B 课程的学生；②先选B 课程的学生，再选A 课程的学生。

所以选修不同课程的学生的概率15353()250497

P A =⨯⨯= 像这类题目不推荐学生用条件概率来做，容易出错。

【正解】记“任选两名学生，他们是选修不同课程的学生”为事件

A, 因为总的基本事件个数是指从50名学生中任选2个，所以是250C ；

事件A 的基本事件个数是从选修A 的学生中任选一个，有15种选法；从选修B 的学生中任选一个，有35种选法。

所以任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率

()25015353 P A 7

C ⨯== 答：任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率为 37

.

变式训练2：

在大小相同的6个球中，4个是红球，2个白球，若从中任意选2个，求所选的2个球至少有一个是红球的概率？

【分析】关键字眼“从中任意选2个”，属于不放回抽样中的组合问

题。题目所给的6个球中有4个红球，2个白球，我们可以根据不同的思路有不同的解法。

解法1：（从正面考虑）由题意知，所有的基本事件有2665152

C ⨯==种， 记事件 A 为“选取2个球至少有1个是红球” ，

则事件A 所含有的基本事件数有4342(11)(2)142⨯⨯+

=红白红 所以()15

14=A P 答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为

1514 . 解法2：（从反面考虑）记事件 A 为“选取2个球至少有1个是红球” ， 则其互斥事件为A 意义为“选取2个球都是白球”

()26111 P A 65152C ===⨯ ()()

114 P A 1 - P A 1 - 1515

∴=== 答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 15

14 . 解法3：（条件概率）记事件 A 为“选取2个球至少有1个是红球” ，事件A 有三种可能的情况：1红1白；1白1红；2红，对应的概率分别为：5364 , 5462 , 5264⨯⨯⨯， 则有 ()15

145

3

64 5462 5264=⨯+⨯+⨯=A P 答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 1514 . 评价：本题重点考察我们对于概率基本知识的理解，综合所学的方法，根据自己的理解用不同的方法。本题推荐解法二，“正难则反”