高中数学椭圆的常见题型

高中数学重难点 椭圆

一、考点、热点回顾

1.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹

（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离

间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点)0,22(Q 及抛物线4

2

x y =上一动

点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b

y a x （0a b >>）⇔

{

cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为

参数），焦点在y 轴上时2222b

x a y +＝1（0a b >>）。方程22

Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？

（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。如（1）已知方程1232

2=-++k

y k x 表示椭圆，则k 的取值

范围为____（答：11

(3,)(,2)22

---）；（2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，

22y x +的最小值是___2）

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x

2

,y

2

分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程

1212

2=-+-m

y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：)23,1()1,( --∞）

(2)方程()

22

2

211x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的取值范围。 4.圆锥曲线的几何性质：

（1）椭圆（以122

22=+b

y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：

两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，

椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。如（1）若椭圆1522=+m

y x 的离心率510

=

e ，则m 的值是__（答：3或3

25

）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长

轴的最小值为__（答：22）

二、典型例题

椭圆方程的求解

1、已知椭圆的长半轴长为5，离心率3

5

e =，求其标准方程。

2、一直椭圆过点()5,4A ，3

5

e =，求椭圆的标准方程。

3、求经过点((M N -和的椭圆的标准方程。

4、已知动圆P 过定点()03，

-A ，且在定圆()64322

=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程

椭圆的离心率

1、求下列椭圆的离心率：()22112516x y +=；（2）22

9436x y +=；（3）设F 是椭圆的一个焦点，1B B 是短轴，160B FB ∠=。

2、过椭圆左焦点F 且倾斜角为

60的直线交椭圆于A 、B 两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心

率为________________

3、若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 和圆c c b y x (,)2

(2

22+=+为椭圆的半焦距),有四个不同的

交点,则椭圆的离心率e 的取值范围是_____________.

4、平面直角坐标系xoy 中，12A A 12、、B 、B 是椭圆22

221(0)x x a b a b

+=>>长轴和短轴的顶点，

F 为其右焦点，直线11A B 与直线2B F 相交于点T, 线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为_______________

对称问题

1、已知椭圆13

42

2=+

y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．

中点弦问题

1、已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭

⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过()12，

A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足2

1-

=⋅OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．

课堂练习

设椭圆E:22

22

11x x a a

+=-的焦点在x 轴上。 （1） 若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；

（2） 设12,F F 分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线2F P 交y 轴于点Q ，

并且11.F P F Q ⊥证明：当a 变化时，点P 在某定直线上。

平面直角坐标系xoy 中，过椭圆M ：22

221(0)x x a b a b

+=>>右焦点的直线0x y +-=交M 于A 、B

两点，P 为AB 的重点，且OP 的斜率为

1

2

。 （1） 求M 的方程；

（2） C,D 为M 上两点，若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值。