张量分析第二章

r3 2 r1 x2
x1
图2－1
投影： 投影： 对a、b ∈V将b的始点平移至a的始点o；由b的终点作与a 矢量线垂直的垂线。且与a矢量交与a点；则a矢量的始点 o指向a点的有向线段长度值称为b在a上的投影。 注意： 注意： a矢量的始点o指向a点与a矢量 方向一致，其投影值为正 。 a矢量的始点o指向a点与a矢量 方向相反，其投影值为负 。
i m × i n = emne ie = eemn ie
eijk eemn ii ⋅ ie = (i j × i k ) ⋅ (i m × i n )
∵ ∴
δi e 只有当 i = e 时为 1 ，其余为零。
eijk eemnδ ie = eijk eimn = (i j × i k ) ⋅ (i m × i n ) = i m ⋅ [i n × (i j × i k )] = −i m ⋅ [(i j × i k ) × i n )]
i2 a2 b2
i3 a3 b3
i3 b3 i1 a1 i2 b2 a2 i3 b3 = −b × a a3 a3 = − b1
2．
i1 a × b = a1 b1
a × a = −a × a ⇒ a × a = 0
3． 4．
a ⋅ (b × c ) = eijk ai b j ck = eijk bi c j ak = b ⋅ (c × a ) = eijk bi c j ak = eijk ci a j bk = c ⋅ (a × b)
例6： 证明e—δ恒等式： eijk eimn = δ jmδ kn − δ jnδ km 证： 由（2.1-12）式有：i j × ik = e jki ii = eijk ii
(eijk ii ) ⋅ (eemnie ) = (i j × ik ) ⋅ (im × in )
eijk eemnδ ie = (i j × i k ) ⋅ (i m × i n )
; i2 × i 1 = e 21k i k = e 213 i 3 = − i 3 ; i 2 × i 2 = e 22 k i k = o
i 1 × i 2 = e 12 k i k = e 123 i 3 = i 3
; i 3 × i 1 = e 31k i k = e 312 i 2 = i 2 ; i3 × i 2 = e 32 k i k = e 321 i1 = − i 1 ; i 3 × i 3 = e 33 k i k = o
(a × b ) × c = [(a1i 1 + a2 i 2 + a3i 3 ) × (b1i 1 + b2 i 2 + b3i 3 )] × (c1i 1 + c2 i 2 + c3i 3 ) = (a1b2 i3 − a1b3 i2 − a2b1i3 + a2b3 i1 + a3b1i2 − a3b2 i1 ) × (c1i 1 + c2 i 2 + c3 i 3 ) = c2 (a2b3 − a3b2 ) i3 − c3 ( a2b3 + a3b2 ) i2 − c1 (a3b1 − a1b3 ) i3 + c3 (a3b1 − a1b3 ) i1 + c1 (a1b2 − a2b1 ) i2 − c2 (a1b2 − a2b1 ) i1 = (b1i1 )a3c3 + (b1i1 )a2 c2 + (b1i1 ) a1c1 − (b1i1 )a1c1 + (b2 i2 )c1a1 + (b2 i2 )c3a3 + (b2 i2 )a2 c2 − (b2 i2 )c2 a2 + (b3i3 )c2 a2 + (b3 i3 )c1a1 + (b3 i3 )c3 a3 − (b3 i3 )c3 a3 −( a1i1 )c3b3 − (a1i1 )c2b2 − ( a1i1 )c1b1 + ( a1i1 )c1b1 −( a2 i2 )c1b1 − (a2 i2 )c3b3 − (a2 i2 )c2b2 + (a2 i2 )c2b2 −( a3 i3 )c2b2 − (a3 i3 )c1b1 − ( a3 i3 )c3b3 + ( a3 i3 )c3b3 = (b1i1 )(a1c1 + a2 c2 + a3c3 ) − a1b1c1i1 + (b2 i2 )( a1c1 + a2 c2 + a3c3 ) − a2b2 c2 i2 + (b3i3 )( a1c1 + a2 c2 + a3c3 ) − a3b3c3 i3 −( a1i1 )(b1c1 + b2 c2 + b3c3 ) + a1b1c1i1 − ( a2 i2 )(b1c1 + b2 c2 + b3c3 ) + a2b2 c2 i2 − (a3 i3 )(b1c1 + b2 c2 + b3c3 ) + a3b3c3 i3 = (a ⋅ c )b − (b ⋅ c )a
（2.1-3）
在矢量的加法和减法运算中定义单位元素为：
o = 0 i1 + 0 i2 + 0 i3
同时长度为1的矢量称为单位矢量。 应当注意单位矢量元素和单位矢量的区别。 应当注意单位矢量元素和单位矢量的区别
例2： 图 2－4 所示具有坐标系的矢空间 V 中 矢量a、 b。试求 2a +1.5b在{o；i1， i2 }中的表示。 a = (3 − 1) i 1 + (1 − 0) i 2 = 2 i 1+ i 2 解：
δ 21 = i 2 ⋅ i 1 = 0 ; δ 22 = i 2 ⋅ i 2 = 1; δ 23 = i 2 ⋅ i 3 = 0
（2.1-9） （2.1-10） （2.1-11）
但应当特别注意的是：δ ii = δ 11 + δ 22 + δ 33 = 3 Ricci置换符号三维矢量空间 取值表：
设r1，r2，r3是V的一组基底，由（1.3-2）式可知x ∈V可 在r1，r2，r3的基底上唯一地线性表示为：
x = xi ri
x3
其系数xi (i =1, 2, 3 )称为x在基底r1，r2， r3上的坐标。且记为（x1，x2，x3）。x 在r1，r2，r3上的线性表示实质上是x的 加法分解表示。即x是矢量 x1r1，x2r2， x3r3 ∈ V 的矢量和。由平行四边形法则 ，x1，x2，x3是由平行性所确定（如图 2－1）。
（2.1-4） （2.1-5）
1 ; i = j i i ⋅ i j = δ ij = 0 ; i ≠ j
其中δij称为Kronecker符号。 定义矢量积 矢量积
a × b = (ai i i ) × (b j i j ) = eijk ai b j i k ; a, b ∈V
（2.1-6） （2.1-7）
X2
x2
x r2 o r1 x1 (a) X1
x2 i2 x i1 x1 X1
X2
(b)
图2－3
设V的坐标系为{o；i1，i2，i3}，V中矢量的加法和矢量与 数量的标量积按（1.1-3）和（1.1-4）定义，即对x，y ∈ V；α，β ∈F有 x+ y = xi + yi
i i i i
= ( xi + yi ) ii
b = (1 − 2) i 1 + (3 − 1) i 2 = − i 1+ 2i 2 2a = 4 i 1 + 2 i 2 1.5b = −1.5 i 1 + 3i 2 2a + 1.5b = (4i 1 + 2 i 2 ) + (−1.5 i 1+ 3i 2 ) = 2.5 i 1+ 5i 2
x2 3 2 1 a o 1 图2－4 x2 b a x1 (a) 2 3 x1
第二章 矢量代数和矢量分析
在第一章中给出了Euclid矢量空间V。V中的元素是除度量 大小的数量外还具有方向的量。这些量被称为矢量（按张 量空间的一般叙述，矢量也被称为一阶张量）。这一章主 要对具有给定标准正交坐标系 {o；i1，i2，i3}的Euclid矢量 空间进行讨论。
2.1 矢量集合的运算
由(2.1-16)式： 最后得：
( i j × ik ) × in = ( i j ⋅ in ) ik − (ik ⋅ in ) i j = δ jn ik − δ kn i j
eijk eimn = −im ⋅ (δ jn ik − δ kn i j ) = δ kn im ⋅ i j − δ jn im ⋅ ik = δ jmδ kn − δ jnδ km
eijk
1 ; i ≠ j ≠ k , i、 j、 k偶置换 = − 1 ; i ≠ j ≠ k , i、 j、 k奇置换 0 ; 其它情况
其中eijk称为Ricci置换符号。 定义混合积 混合积
a ⋅ (b × c ) = (ai i i ) ⋅ (b j i j ) × (c k i k ) = eijk ai b j c k ;
o b
b a a
图2－2
例1： 给定二维矢量空间矢量x。试求在 给定基底r1，r2（非正交）和i1，i2 中的坐标和投影。 解： 在r1，r2基底上按平行四边形法则 ，可确定x的坐标为（x1， x2）。 按投影法则可的x在r1， r2上的投 影为X1，X2。或形式上记为（X1 ，X2）。如图2－3（a）所示。 在i1，i2基底上，因 i1⊥ i2，所以平行 四边形法则所得四边形与投影法则所 得四边形重合。显然x的坐标（x1，x2 ）和x在i1，i2上的投影（ X1，X2）形 式上相同。如图2－3（b）所示。
i 1 × i 3 = e 13 k i k = e 132 i 2 = − i 2 ; i 2 × i 3 = e 23 k i k = e 231 i 1 = i 1