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小学五六年级奥数学竞赛五大模型——共边模型、鸟头模型

大海传功等积变形五大模型——共边模型、鸟头模型共角模型(鸟头模型)两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

1.两个三角形，如果底边相等，高也相等，那么它们的面积相等。

拓展：夹在一组平行线间的同底三角形面积相等。

2.两个三角形，如果底相等，一个的高是另一个的n倍，那么它的面积也是另一个的n倍；两个三角形，如果高相等，一个的底是另一个的n倍，那么它的面积也是另一个的n倍。

DAE D EADD AE EAB C B C B CB如图,S:S (AB AC):(AD AE)△ABC△ADEC【例1】(★★)【例2】(★★★)如图，在梯形ABCD中，三角形ABE的面积为4.6平方厘米，BE=EF=FD，求三角形ABF、CDF、ABD、ACD的面积。

如图，由面积分别为2、3、5、7的四个三角形拼成一个大三角形，已知：S△ADE 2,S△AEC 5,S△BDF 7,S△BCF 3,那么三角形BEF的面积为___________。

1如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且△OAB、△ABC、△ BCD、△CDE、△DEF的面积都等于1，则△DCF的面积等于。

等腰△ABC中，AB=AC=12cm，BD、DE、EF、FG把它的面积5等分，求AF、FD、DC、AG、GE、EB的长。

【例5】（★★★）【例6】(★★★★)已知四边形ABCD、BEFG、CHIJ为正方形，正方形ABCD边长为10，正方形BEFG边长为6，求阴影部分的面积。

E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若 AD=5， BC=7，AE=5 ， EB=3。

求阴影部分的面积。

2已知△DEF的面积为7 平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC 的面积。

1如图，在△ABC中，延长AB至D，使BD=AB，延长BC至E，使CE BC,2 F是AC的中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？大海点睛大海点睛一、本讲重点知识回顾等积变形边比＝面积比二、本讲经典例题例2，例3，例5，例7，例8共角模型(鸟头模型)如图, △ABC△ADE3。

小学奥数几何五大模型鸟头模型.

三角形等高模型与鸟头模型模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角 )两夹边的乘积之比．如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图⑴(或D在BA的延伸线上，E在AC上如图2)，则S△ABC:S△ADE(AB AC):(AD AE)ADADEEB C B C图⑴图⑵【例1】如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB2:5，AE:AC4:7，S△ADE16平方厘米，求△ABC的面积．AAD DE EB C B C【分析】连结BE，S△ADE:S△ABE AD:AB2:5(24):(54)，S△ABE:S△ABC AE:AC4:7(45):(75)，所以S△ADE:S△ABC(24):(75)，设S△ADE8份，则△35份，△16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ABC的SABC SADE面积是平方厘米．由此我们获得一个重要的共角定理：共角三角形的面积比等于(相70定理，对应角等角或互补角)两夹边的乘积之比．page1of7【坚固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，假如三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？A ADE D EB CB C【分析】连结BE．∵EC3AE∴S ABC3S ABE又∵AB5AD∴S ADE S ABE5 S ABC 15，∴S ABC15S ADE15．【坚固】如图，三角形ABC被分红了甲(暗影部分)、乙两部分，BD DC 4，BE 3，AE6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？A AEB甲【分析】连结AD．∵BE3，AE6∴AB3BE，SABD乙E乙甲C B CD D3S BDE又∵BD DC4，∴S ABC2S ABD，∴S ABC6S BDE，S乙5S甲．【例2】如图在△ABC中，D在BA的延伸线上，E在AC上，且AB:AD5:2，AE:EC3:2，S△ADE12平方厘米，求△ABC的面积．D DA AEEB C B C【分析】连结BE，S△ADE:S△ABE AD:AB2:5(23):(53)S△ABE:S△ABC AE:AC3:(32)(35):(32)5，所以S△ADE:S△ABC(32):5(32)6:25，设S△ADE6份，则S△ABC25份，S△ADE12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC的面积是50平方厘米．由此我们获得一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例3】以以下图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF2CF，三角形AFE(图中暗影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？page2of7D CFAEB【分析】连结FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的 2倍，而三角形 AFB 面积是三角形 AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形 AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形 ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的（32） 6倍．所以，平行四边形的面积为648(平方厘米)．【例 4】已知△DEF 的面积为7平方厘米，BE CE,AD2BD,CF 3AF ，求△ABC 的面积．AFDBCE【分析】S △BDE :S △ABC(BD BE):(BABC)(1 1):(2 3) 1:6，S△CEF:S△ABC(CE CF):(CBCA)(1 3):(2 4) 3:8S △ADF :S △ABC(AD AF):(AB AC)(21):(3 4)1:6设△ ABC 24份，则 △BDE 4份，△ 4份，△ CEF 9份，△24 4 497份，恰巧是7S S S ADFSS DEF平方厘米，所以S △ABC 24平方厘米【例 5】如图，三角形ABC 的面积为 3平方厘米，此中 AB:BE2:5，BC:CD3:2 ，三角形BDE 的面积是多少？ABEABEC CDD【分析】因为ABC DBE 180，所以能够用共角定理，设 AB2份，BC3份，则BE5份，BD 3 25份，由共角定理 S △ABC :S △BDE (AB BC):(BE BD)(23):(55)6:25，设S△ABC6份，恰巧是 3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.5 12.5平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5 平方厘米【例 6】(2007年”走美”五年级初赛试题)以以下图，正方形ABCD 边长为6厘米，AE1AC ，CF1BC ．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．3 3ADEBF Cpage3of7【分析】由题意知AES △CEF :S △ABC11 2AC ．依据”共角定理”可得，AC 、CFBC ，可得CE333(CFCE):(CB AC)12:(3 3)2:9；而△ABC662 18；所以△CEF4；SS同理得，S △CDE :S △ACD 2:3;，S △CDE 18 3212，S △CDF 6故△ △ △ △4 126 10(平方厘米)．S DEF S CEF S DEC S DFC【例 7】如图，已知三角形 ABC 面积为1 ，延伸AB 至D ，使BDAB ；延伸BC 至E ，使CE2BC ；延伸CA 至F ，使AF 3AC ，求三角形DEF 的面积．FFA EAEBCBCDD【分析】(法1)此题是性质的频频使用．连结AE 、CD ．S ABC 11 ，∵，S ABCS DBC 1∴S DBC1．同理可得其他，最后三角形 DEF 的面积18．(法2)用共角定理∵在 ABC 和CFE 中，ACB 与FCE 互补，S ABC AC BC 1 11∴FC CE 4 2．SFCE8又S ABC1，所以S FCE 8 ．同理可得S ADF 6，S BDE3．所以S DEF S ABCSFCESADFSBDE 186318．【例 8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB ，CF 2CB ，GD 3DC ，HA 4AD ，平行四边形ABCD 的面积是2，求平行四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的面积比．HHA B EABEGDCGDCFF【分析】连结AC 、BD ．依据共角定理∵在△ABC 和△BFE 中， ABC 与 FBE 互补，S△ABC AB BC 1 1 1．∴BE BF 1 3 3S△FBE又S △ABC 1，所以S △FBE 3．同理可得S△GCF8，S △DHG 15，S △AEH 8．page4of7所以S EFGH S△AEH S△CFG S△DHG S△BEF S ABCD8815+3+236．SABCD21所以36．SEFGH18【例9】如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EAAB，CB BF，DC CG，HD DA，求四边形ABCD 的面积．H HD C GDC GA BF A BFE E【分析】连结BD．由共角定理得S△BCD:S△CGF(CDCB):(CG CF)1:2，即S△CGF2S△CDB同理S△ABD:S△AHE1:2，即S△AHE2S△ABD所以S△AHE S△CGF2(S△CBDS△ADB)2S四边形ABCD连结AC，同理能够获得S△DHG S△BEF2S四边形ABCDS四边形EFGH S△AHES△CGFS△HDGS△BEFS四边形ABCD5S四边形ABCD所以S四边形ABCD66513.2平方米【例10】如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延伸两倍至点E、F、G、H，若四边形ABCD的面积为5，则四边形EFGH的面积是．F FE B A E B AG C GCD DH H【分析】连结AC、BD．因为BE2AB，BF2BC，于是S BEF4S ABC，同理S HDG4S ADC．于是S BEF S HDG4S ABC4S ADC4S ABCD．再因为AE3AB，AH3AD，于是S AEH9S ABD，同理S CFG9S CBD．于是S AEH S CFG9S ABD9S CBD9S ABCD．那么S EFGH S BEF S HDG S AEH S CFG S ABCD4S ABCD9S ABCD S ABCD12S ABCD60．【例11】如图，在△ABC中，延伸AB至D，使BD AB，延伸BC至E，使CE 1，F是AC的BC中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？2AFB C ED【分析】∵在△ABC和△CFE中，ACB与FCE互补，page5of7∴S△ABC AC BC224．S△FCE FC CE111又S ABC2，所以S FCE0.5．同理可得S△ADF2，S△BDE3．所以S△DEF S△ABC S△CEF S△DEB S△ADF20.5323.5【例12】如图，S△ABC1，BC5BD，AC4EC，DG GS SE，AF FG．求S FGS．AFG SEB CD【分析】此题题目自己很简单，但它把本讲的两个重要知识点交融到一同，既能够看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的频频运用，也能够看作是找点，最妙的是此中包括了找点的3种状况．最后求得S△432111．FGS的面积为△S FGS4322105【例13】以以下图，正方形ABCD边长为8厘米，E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中点，三角形ABG的面积是多少平方厘米？A ED AEDF FB GC BGC【分析】连结AF、EG．因为S△BCF1216，依据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积S△CDE84比等于夹这个角的两边长度的乘积比”SAEF8，S EFG8，再依据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，获得S BFC16，S ABFE32，SABF24，所以S ABG12平方厘米．【例14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求暗影三角形的面积．F HA EBG CD【分析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF，则AGF与CEH都是正三角形．假定正六边形的边长为为a，则AGF与CEH的边长都是4a，所以大正三角形DEF的边长为4 2 1 7，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角page6of7形构成的，所以一个单位小正三角形的面积为1，三角形DEF 的面积为49．66因为FA 4a ，FB3a ，所以AFB 与三角形DEF 的面积之比为4 3 12．77 49同理可知BDC 、AEC 与三角形DEF 的面积之比都为12，所以ABC 的面积占三角形DEF 面积49的112 313，所以ABC 的面积的面积为 49 13 13．49 49649 6【坚固】已知图中每个正六边形的面积都是 1，则图中虚线围成的五边形 ABCDE 的面积是．EA DB C【分析】从图中能够看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE 外的图形是两个三角形，从右图中能够看出，每个三角形都是一个正六边形面积的 1，所以虚线外图形的面积等于 1 3 1 2 31，所以五边形的面积是10 3162．6 6 333精选文档page7of7。

(完整word版)几何五大模型之二(鸟头定理)

三角形之鸟头模型共角定理（鸟头模型）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角 ( 相等角或互补角 ) 两夹边的乘积之比．如图在△ ABC 中， D,E 分别是 AB,AC 上的点如图 ( 或D 、 E 分别在 BA 、CA 延伸线上 ) ，则S S ADEABCAD AE AD AE(夹角两边：小小AB AC AB AC)大大即，共角三角形的面积比等于对应角 ( 相等角或互补角 ) 两夹边的乘积之比率题解说：1、如图， BD 长 12 厘米， DC 长 4 厘米， B、C 和 D 在同一条直线上。

求三角形ABD 的面积是三角形 ADC 面积的多少倍？2、如右图，已知在△ ABC中， BE=3AE，CD=2AD．若△ ADE的面积为 1 平方厘米．求三角形ABC 的面积．、如图在△ ABC 中， D 在 BA 的延伸线上， E 在AC 上，且 AB:AD= 5 : 2，AE:EC= 3: 2，3S ADE12平方厘米，求△ABC的面积．4、如图在△ABC中， D , E 分别是 AB, AC 上的点，且AD : AB2:5 ， AE : AC4:7 ，S△ADE16 平方厘米，求△ ABC 的面积．ADEB C【坚固】如图，三角形ABC 中， AB 是 AD 的5倍， AC 是 AE 的3倍，假如三角形ADE 的面积等于1，那么三角形 ABC 的面积是多少？A ADE D EB CB C【坚固】如图，三角形ABC 被分红了甲 ( 暗影部分 ) 、乙两部分，BD DC 4 ， BE 3 ， AE 6 ，乙部分面积是甲部分面积的几倍？A AE乙E乙甲甲B C CD B D5、如图在△ABC中，D在BA的延伸线上， E 在 AC 上，且 AB : AD5: 2 ，AE : EC 3: 2 ，S△ADE12 平方厘米，求△ABC的面积．D DA AEEB C B C6、以以以下列图，在平行四边形ABCD 中， E 为 AB 的中点，AF 2CF ，三角形AFE(图中暗影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？D CFA E B7、已知△DEF的面积为7平方厘米，BE CE, AD 2BD , CF 3 AF ，求△ABC的面积．AFDBEC8、如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，此中AB : BE 2:5 ， BC :CD 3: 2，三角形 BDE 的面积是多少？ABE ABEC CD D9、 ( 2007 年”走美”五年级初赛试题) 以以以下列图，正方形ABCD 边长为6厘米，11AE AC ， CF BC ．三角形 DEF 的面积为_______平方厘米．33A DEBF C10、如图，在三角形 ABC中，D为 BC的中点， E 为 AB上的一点，且BE1 AB ，已知四边形EDAC3的面积是 35，求三角形 ABC的面积。

几何五大模型之二：鸟头定理（共角定理）模型

几何五大模型之二：鸟头定理（共角定理）模型<2>几何五大模型之二：鸟头定理（共角定理）模型鸟头定理（共角定理）模型’两个三舀葩中有一个角相同或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面和出等于对应角（相同角或互补角）两夹边的乘积之比。

如下图在A A BC 中* D, E 分别是基禺AC 上的点（或D 在的延长线上，E 在盘C 上人则 S^BC ：S^ADE =（AB X AQ:（AD X AEJ 证明:最后我们会发现两种情况的证明方迭完全一样°卑头定理（共角定理）辺難逹接BE*在ZiAEB 申「吕_ ADSiABE AB 在A ABC中I_ 竺S A AEC AC 将（1> x（?）有*s 込呼_理EXAD5 A ABC ACi<ab< p="">证毕.⑴例题1:如上图，在△ABC 中，D,卫分别是AE AC 卜的点，賞中：ECEAE, AD=2DB, S MEC =1，求△ ADE 的面积?题_ 解法利用鸟头定理有：严匹S^ABC所 fA SiADE~ 7AE AD12 1__ x ___ = _ V _ ——_ AC X AB 4 X 3 6本題也可以不用鸟头定理，而用等积变换。

连接BE 在AAEF 中，S AAED ' S AAEB =AD : AB=2:3 S AAED ^CJ^S ZIAEF 在△ABC 中,S AAEB ：S AABC =AE: AC=1:4 E △血 EB =（1/4）￡_ABU由（“（2）式可得S ^D=；x|xS_kB c=;题_解法二AEXAD ACxAB诵过观察题一的解袪二我们可以找到一个证明如模型图一中鸟头定理的方例题2:如上图「在A ABC 中，E 是AC 上的点，D 县BA 証萇线卜的一占? EC=2AE, AB=2AD, S_AEC =1 ,求 A ADE的面憩连接BE 在中，SUDE _ 空S 4iABE AS 1SAA&C中，SgEE ； _ AE S ￡I AB 匚 AC 将(1)X (2)有'S 企ADE ；” AEX血D S ^AEC ACXAB 证毕。

六年级奥数专题几何五大模型——鸟头模型

几何五大模型——鸟头模型本讲要点一两点都在边上：鸟头定理：（现出“鸟头模型”。

然后按一下出现一个鸟头，勾勒出鸟头的轮廓，出现如图的鸟头几何模型。

最后真实的鸟头隐去，只留下几何模型。

最后按一下，出公式。

）二一点在边上，一点在边的延长线上：如图，AD=DB ，AE=EF=FC ，已知阴影部分面积为5平方厘米，△ ABC 的面积是平方厘米．例2 （1）如图在△ABC 中，D 、E 分别是AB ，AC 上的点，且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7,△ABC 的面积是16平方厘米，求△ABC 的面积。

（2）如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2,△ADE 的面积是12平方厘米，求△ABC 的面积。

已知△DEF 的面积为12平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC 的面积。

三角形ABC 面积为1，AB 边延长一倍到D ，BC 延长2倍到E ，CA 延长3倍到F ，问三角形DEF 的面积为多少？长方形ABCD 面积为120，EF 为AD 上的三等分点，G 、H 、I 为DC 上的四等分点，阴影面积是多大？如图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边AD 、BC 的平行线EF 、GH ，若PBD 的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？1. 如下左图，在ABC △中，D 、E 分别是BC 、AB 的三等分点，且ABC △的面积是54，求CDE △的面积。

家庭作业例6 例5 例4 例3例2例1 ACE2. 如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且12AN BN =．那么，阴影部分的面积等于． 3. 如图以ABC △的三边分别向外做三个正方形ABIH 、ACFG 、BCED ,连接HG 、EF 、ID ，又得到三个三角形，已知六边形DEFGHI 的面积是77平方厘米，三个正方形的面积分别是9、16、36平方厘米，则三角形ABC 的面积是多少？ 4. 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积。

六年级奥数专题几何五大模型——鸟头模型

几何五大模型——鸟头模型本讲要点一两点都在边上：鸟头定理：（现出“鸟头模型”。

然后按一下出现一个鸟头，勾勒出鸟头的轮廓，出现如图的鸟头几何模型。

最后真实的鸟头隐去，只留下几何模型。

最后按一下，出公式。

（2）如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2,△ADE 的面积是12平方厘米，求△ABC 的面积。

已知△DEF 的面积为12平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC 的面积。

三角形ABC 面积为1，AB 边延长一倍到D ，BC 延长2倍到E ，CA 延长3倍到F ，问三角形DEF 的面积为多少？长方形ABCD 面积为120，EF 为AD 上的三等分点，G 、H 、I 为DC 上的四等分点，阴影面积是多大？如图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边AD 、BC 的平行线EF 、GH ，若PBD ∆的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？1. 如下左图，在ABC △中，D 、E 分别是BC 、AB 的三等分点，且ABC △的面积是54，求CDE △的面积。

2. 如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且12AN BN =．那么，阴影部分的面积等于． 3. 如图以ABC △的三边分别向外做三个正方形ABIH 、ACFG 、BCED ,连接HG 、EF 、ID ，又得到三个三角形，已知六边形DEFGHI 的面积是77平方厘米，三个正方形的面积分别是9、16、36平方厘米，则三角形ABC 的面积是多少？ 4. 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积。

几何五大模型之二[鸟头定理]

三角形之鸟头模型共角定理（鸟头模型）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在△ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图(或D 、E 分别在BA 、CA 延长线上)，则ACAB AEAD AC AE AB AD S S ABC ADE ⨯⨯=⨯=∆∆ (夹角两边：大大小小⨯⨯) 即，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比例题讲解：1、如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。

求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？2、如右图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．3、如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB : AD = 5 : 2，AE :EC = 3: 2，平方厘米12=∆ADE S ，求△ABC 的面积．4、如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？E D CB A A BCD E【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙5、如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA6、如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？7、已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA8、如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB ECDC EB A9、 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．A10、如图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且13BE AB =，已知四边形EDAC 的面积是35，求三角形ABC 的面积。

六年级奥数专题几何五大模型鸟头模型

几何五大模型——鸟头模型一两点都在边上：鸟头定理：（现出“鸟头模型” 。

然后按一下出现一个鸟头，勾勒出鸟头的轮廓，出现如图的鸟头几何模型。

最后真实的鸟头隐去，只留下几何模型。

最后按一下，出公式。

）S △ADE = AD×AE S △ ABC AB ×AC一点在边上，一点在边的延长线上：S △ CDE = CD×CE S △ ABC BC ×AC如图，AD=DB，AE=EF=FC，已知阴影部分面积为5 平方厘米，△ ABC的面积是方厘米．例2例2 （1）如图在△ ABC中，D、E 分别是AB，AC上的点，且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7, △ABC 的面积是16 平方厘米，求△ ABC的面积。

2）如图在△ ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2, △ADE 的面积是12 平方厘米，求△ ABC的面积。

例3例4三角形ABC面积为1，AB边延长一倍到D，BC延长2 倍到E，CA延长3 倍到F，问三角形DEF的面积为多少BE=CE,AD=2BD,CF=3AF求, △ ABC的面积。

长方形ABCD面积为120，EF 为AD上的三等分点，G、H、I 为DC上的四等分点，阴影面积是多大例6如图，过平行四边形ABCD内的一点 P作边 AD、BC的平行线 EF、GH ，若 PBD的面积为8 平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米H C1. 如下左图，在 △ ABC 中， D 、E 分别是 BC 、AB 的三等分点，且 △ ABC 的面积是 54，求△CDE 的面积。

12. 如图，长方形 ABCD 的面积是 1，M 是 AD 边的中点， N 在 AB 边上，且AN 1BN ．那 2 么，阴影部分的面积等于．B图1 C3. 如图以 △ABC 的三边分别向外做三个正方形 ABIH 、 ACFG 、 BCED ,连接 HG 、EF 、 ID ，又得到三个三角形，已知六边形 DEFGHI 的面积是 77 平方厘米，三个正方形的面积分别是 9、 16、 36 平方厘米，则三角形 ABC 的面积是多少4. 如图，已知三角形 ABC 面积为 1，延长 AB 至 D ，使BD AB ；延长 BC 至 E ，使 CE 2BC ；延长 CA 至F ，使 AF 3AC ，求三角形 DEF 的面积。

几何第21讲鸟头模型

几何第21讲_鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比．我们把这样的图形，称为鸟头模型．如图所示，△ADE 的面积比△ABC 的面积是：AD AE AB AC⨯．AEDCB 重难点：复杂图形如何构造鸟头模型，进而利用鸟头模型的结论简单化复杂问题，进而解决它们．题模一：三角形中的鸟头例1.1.1如图，:2:5AD AB =，:3:4AE AC =，那么三角形ADE 占三角形ABC 面积的________．AEDCB 例1.1.2在三角形ABC 中，已知AF FB =，2BD DC =，3CE EA =，已知三角形ABC 面积是24，那么三角形DEF的面积是_______．例1.1.3如图，在△ABC 中，BD =2AD ，AG=2CG，13BE EF FC BC ===，求阴影部分的面积占△ABC面积的几分之几？题模二：四边形中的鸟头例1.2.1如图，长方形ABCD 的面积是48，:3:5BE CE =，:1:2DF CF =．三角形CEF 的面积是__________．A FEDC B 例1.2.2如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且12AN BN =．那么，阴影部分的面积为____．例1.2.3如图，正方形ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边DC 上，2AE ED =，3DF FC =，则BFE △的面积与正方形ABCD的面积的比值是_____．例1.2.4如图所示，长方形ABCD 的面积是60，E 是CD 边上的中点，14BF FC =，那么三角形AEF 的面积是__________．A FED C B 例1.2.5如图在长方形ABCD 中，△ABE 、△ADF 、四边形AECF 的面积相等．△AEF 的面积是长方形ABCD面积的几分之几？例1.2.6如图，长方形面积为35平方厘米，左边直角三角形的面积为5平方厘米，右上角例1.2.7如图，ABCDEF 为正六边形．G ，H ，I ，J ，K ，L 分别为AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，FA 边上的三等分点，形成了正六边形GHIJKL ．请问：小正六边形占大正六边形面积的几分之几？A B CDE F G H IJ KL随练1.1如图，在三角形ABC 中，AD 的长度是BD 的3倍，AC 的长度是EC 的3倍．三角形AED 的面积是10，那么三角形ABC 的面积是__________．AB D EC随练1.2在右图的三角形ABC 中， :2:3AD DC =， AE EB =，甲乙两个图形面积的比是_________．A BED C甲乙随练1.3如图所示，12BF AF =，12AE CE =，12CD BD =．已知△DEF 的面积是12，那么△ABC 的面积是多少？A FEDC B 随练1.4如图，已知长方形ADEF 的面积是16，3BE BD =，CE CF =．请问：三角形BCE的面积是__________．B C D EFA 随练1.5如图所示，在长方形ABCD 中，DE CE =，2CF BF =，如果阴影的面积是6，那么长方形ABCD 的面积是__________．A FEDC B 随练1.6如图，在长方形ABCD 中， 2BE EC CF FD ===，长方形ABCD 的面积是48，那么三角形AEF 的面积是________．FA B CDE 作业1如图所示，已知:3:2AD BD =，:1:2AE EC =，而且△ABC 的面积是60．那么△ADE 的面积是__________．ADEC B作业2如图，在△ABC 中，AB 的长度是BD 的4倍，AC 的长度是EC 的3倍．如果△ABC 的面积为20平方厘米，那么△ADE 的面积是多少平方厘米？AB CED作业3如右图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且12BE AE =，已知四边形EDCA 的面积是35，则三角形ABC的面积为_____．作业4如图，已知13AE AC =，14CD BC =，15BF AB =，试求DEF ABC 三角形的面积三角形的面积的值？AB CD EF作业5如图所示，D 是AB 边上靠近A 点的三等分点，E 是AC 边上靠近A 点的四等分点，F是BC 边上靠近C 点的五等分点．如果三角形ABC 的面积是24，那么三角形DEF 的面积是__________．AF EDCB 作业6如图，三角形ABC 中，D 是AB 边的中点，E 是AC 边靠近C 的三等分点，F 是BC 边靠近B 的四等分点，三角形ABC 的面积为1．三角形DEF 的面积是多少？AF EDCB 作业7如图，在平行四边形ABCD 中，AF 的长度是FD 的2倍，CE 的长度等于ED ．如果平行四边形ABCD 的面积为120平方厘米，那么△FDE 的面积是多少平方厘米？AB C E DF作业8如图，长方形ABCD的面积是96平方厘米，E是AD边上靠近D点的三等分点，F是CD边上靠近C点的四等分点．阴影部分的面积是__________平方厘米．作业9如图，已知长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是2，三角形ACF的面积是4．请问：三角形ABC的面积是多少？CAEBDF。

小学几何五大模型

鸟头模型，是平面图形中常用的五个模型之一，其特点是通过边与面积的关系来解决问题。

对于初学者来说，最重要的是理解什么是鸟头模型并熟记它的特征。

一、鸟头模型的相关知识1.定义：两个三角形中有一个角相等或互补（相加等于180度），这两个三角形就叫共角三角形。

这个模型就叫鸟头模型。

其中存在的比例关系就叫做共角定理。

2.核心：比例模型有：S/1ABC ABx ACSAADE ADxAE、鸟头模型的原理剖析证明：在三角形ABC 中，连接BE,S/XABE _ AE S/\ABC~Hc r利用等式的性质，左右两边分别相乘得:S 厶 ADE SAABE AD AE______ X ______ = ___ x ___SHABE SiXABC - AB AC5 SHADE ADxAES/\ABC ~ ABx AC三、鸟头模型的方法运用鸟头模型解题四部曲：第一步：观察：图中是否有鸟头模型第二步：构造：鸟头模型第三步：假设：线段长度或图形面积第四步：转化：将假设的未知数转化到鸟头模型中计算例1:如图，已知 AD:BD=2:3 ，AE:EC=3:1，三角形ADE 的面积是6平方厘米，求三角形 ABC 的面积？则有SAADE _ AD S/XABE 一AB第一步：标条件第二步：确定等角位置A小夹边AD X AE（小夹边指的是：小三角形夹着等角A的两边）大夹边AB X AC第三步：利用鸟头模型结论SA\DE: S A ABC=小夹边乘积：大夹边乘积=(2 X3):(5 X4)=6:20=3:10 3:10的意思是：三角形ADE的面积是3份，三角形ABC的面积是10份。

第四步：先除后乘算面积三角形ADE的面积是6平方厘米，对应3份，6 +3=2平方厘米/份;所求三角形ABC的面积是10份，2 X 10=20平方厘米。

例2 :如图，已知BC: CD=5:2 , AE:EC=1:1，三角形ABC的面积是20平方厘米，求三角形的面积？第一步：标条件第二步：确定补角位置C小夹边CD X CE(小夹边指的是：小三角形夹着补角C的两边)大夹边CA X CBSMDE:SA\BC=小夹边乘积：大夹边乘积=(2 X1)：(2 X5)=2:10=1:5CDE第三步：利用鸟头模型结论1:5的意思是：三角形 CDE 的面积是1份，三角形ABC 的面积是5份。