解析几何-2020年高考数学十年真题精解(全国Ⅰ卷)抛物线(含解析)
【全国1卷】【专题分析】2020年高考全国1卷解析几何试题分析及备考建议_郭施敏
和
Ｐ
Ｂ
、
、
乃
分别 三点 共线
” 代数化 ；
（ ２） 考查考 生能 否 把 几何条 件 “ 直线 ＡＣ７ 和 直 线 ＳＤ 分
别 与 椭 圆 相 交” 代数 化 ；
（３ ） 考 査考 生能 否把 几何 问 题 “ 动 直 线 ＣＤ 过 定点 ” 代 数
化 ．
２ 试题解 析
第 解 法 问 １ （）
易
，
（ １ ＞ 椭 阓几 何 性质 与 向 嫌 的 综 合应 用
中
解 答題 ２ ０
１ ２
２ 直线 与椭 圆 位 置关 系 定点 问题
难
（）
、
年 ２０ ２０
全国
Ｉ 卷 理科解 析几何试题分值 为 ２ ７ 分
题 型
，
设 定 为 三 道 客 观 题 一 道 解 答 题 文 科 解 析 几 何 试 题 分 值 为 ， ；
丨
Ｖ＾ Ｔ 益 ５ 益 益 得 或 Ｉ ， 丨
由 Ｚ ａ ＝ ２
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得 ２
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法 第 解 问 （ １ ）
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【平面解析几何】真题和模拟题理数汇编(含详答)
平面解析几何1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p = A ．2 B ．3C ．6D ．9【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C ．【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为 A ．210x y --= B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【答案】D【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d ==>，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．3.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 A ． 1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ． 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ． (1,0)D ． (2,0)【答案】B【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B ．【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.4．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】11.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a = A ． 1 B ． 2C ． 4D ． 8【答案】A【解析】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.5.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为A BC ．5D ．5【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=. 由题意可得()()22221a a a -+-=， 可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--==圆心到直线230x y --=的距离均为d ==；所以，圆心到直线230x y --=. 故选：B ．【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.6．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】B 【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>， ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±， 直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩， 故(,)D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩， 故(,)E a b -，∴||2ED b =，∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△， 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，∴其焦距为28c =≥==，当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8.故选：B ．【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.7．【2020年高考天津】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -= B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -， 又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1bb a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．8．【2020年高考北京】已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为 A ． 4 B ． 5C ． 6D ． 7【答案】A【解析】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥5==，所以||514OC ≥-=， 当且仅当C 在线段OM 上时取得等号， 故选：A ．【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.9．【2020年高考北京】设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线A ． 经过点OB ． 经过点PC ． 平行于直线OPD ． 垂直于直线OP【答案】B【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P . 故选：B ．【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.10．【2020年高考浙江】已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =图象上的点，则|OP |=A ．2B ．5CD【答案】D【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数y =由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP == 故选：D ．【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．11．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知曲线22:1C mx ny +=. A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C表示圆心在原点，半径为n的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得y =，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确； 故选：ACD ．【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.12．【2020年高考全国I 卷理数】已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 . 【答案】2【解析】联立22222221x cx y a b a b c =⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．13．【2020年高考天津】已知直线80x -+=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________． 【答案】5【解析】因为圆心()0,0到直线80x -+=的距离4d ==，由||AB =6==5r ． 故答案为：5．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．14．【2020年高考北京】已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】()3,0【解析】在双曲线C 中，a =b =则3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x ±=，所以，双曲线C=故答案为：()3,0【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.15．【2020年高考浙江】已知直线(0)y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______，b =_______．【解析】由题意，12,C C 1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得k b ==.【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.16．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y ，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 【答案】32【解析】双曲线22215x y a -=，故b =.由于双曲线的一条渐近线方程为y x =，即22b a a =⇒=，所以3c =，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：32【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.17．【2020年新高考全国Ⅰ卷】C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB=________． 【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F ，∴直线AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.18．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是 ▲ ．【答案】【解析】PA PB PC AB =∴⊥设圆心C 到直线AB 距离为d ，则||1AB PC ==所以11)2PABSd ≤⋅+= 令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负值舍去）当04d ≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PABS取最大值为故答案为：【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.19．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）. 则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3. 由于直线P A 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++= 解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）． 若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.20．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且43CD AB =． （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．【解析】（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12. （2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，设00(,)M x y ，则220022143x y c c +=，2004y cx =，故20024143x x c c+=.①由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而||5MF =，故05x c =-，代入①得22(5)4(5)143c c c c --+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.21．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．【解析】（1=22516m =， 所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ =11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ，故11APQ △的面积为15222⨯=.22||PQ 22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q的距离为26，故22AP Q △的面积为152262⨯=. 综上，APQ △的面积为52. 【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.22．【2020年高考北京】已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅰ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．【解析】 (1)设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩， 故椭圆方程为：22182x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++. 直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++， 令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++， 同理可得：()()222142Q k x y x -++=+. 很明显0P Q y y <，且：PQPB y PQy =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯⎪++++⎝⎭， 而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y PQy ==. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．23．【2020年高考浙江】如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【解析】（Ⅰ）由116p =得2C 的焦点坐标是1(,0)32．（Ⅰ）由题意可设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，点00(,)A x y ．将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得222(2)220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标22M mty m =-+．将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得202(2)p m y m +=，因此22022(2)p m x m+=． 由220012x y +=得2421224()2()160m m p m m =+++≥，所以当m =t =时，p ． 【点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值，考查学生的数学运算能力，是一道有一定难度的题.24．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．【解析】（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=. （2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--， 2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥， 则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -.所以直线:3430.AB x y -+=设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯， 则34120x y -+=或3460x y --=.由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解；由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-.代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据213S S =推出95d =是解答本题的关键. 25．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值． 【解析】（1）由题设得22411a b +=，22212a b a -=，解得26a =，23b =． 所以C 的方程为22163x y +=． （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入22163x y +=得222(12)4260k x kmx m +++-=． 于是2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++．①由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=， 可得221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++--++-+=．将①代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212m kmk km k m k k-+---+-+=++． 整理得(231)(21)0k m k m +++-=．因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故2310k m ++=，1k ≠． 于是MN 的方程为21()(1)33y k x k =--≠.所以直线MN 过点21(,)33P -.若直线MN 与x 轴垂直，可得11(,)N x y -.由0AM AN ⋅=得1111(2)(2)(1)(1)0x x y y --+---=.又2211163x y +=，可得2113840x x -+=.解得12x =（舍去），123x =. 此时直线MN 过点21(,)33P -.令Q 为AP 的中点，即41(,)33Q .若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||2DQ AP ==. 若D 与P 重合，则1||||2DQ AP =. 综上，存在点41(,)33Q ，使得||DQ 为定值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题，关键是第二问中证明直线MN 经过定点，并求得定点的坐标,属综合题，难度较大.26．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值. 【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x -=-，即24-=-x y . 当y =0时，解得4x =-，所以a =4，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点M (2，3)，可得249116b +=， 解得b 2=12.所以C 的方程：2211612x y +=.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=，可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8， 与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=， 直线AM 方程为：24-=-x y ，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d ==，由两点之间距离公式可得||AM ==.所以△AMN 的面积的最大值：1182⨯=. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．1．【2020·河南省高三三模（理）】已知直线1l :sin 210x y α+-=，直线2l :cos 30x y α-+=，若12l l ⊥，则tan2α= A ．23-B ．4 3-C ．2 5D ．4 5【答案】B【解析】因为l 1⊥l 2，所以sin 2cos 0αα-=， 所以tan α=2， 所以22tan 44tan 21tan 143ααα===---. 故选：B ．【点睛】本题考查了两直线的垂直的充要条件，以及正切二倍角公式，属于容易题.2．【2020·湖北省高三其他（理）】已知双曲线E ：()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右顶点分别为A 、B ，M 是E 上一点，且ABM ，则双曲线E 的离心率为A B ．1C ．D ．1【答案】C【解析】由题可知，ABM 为等腰三角形，设M 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左支上，M 在x 轴上的投影为Q ，则2MA AB a ==，设AMB ABM θ∠=∠=，则=2MAQ θ∠，ABM ，∴22sin sin AB aR AMB θ===∠，解得：sin 3θ=，则cos θ=，sin 223θ∴==611cos2933θ=-=， 在Rt MAQ △中，122cos 22,33aAQ a a θ=⋅=⋅=2sin 22MQ a a θ=⋅==，则M 的坐标为2(3a a --，222)a ，即5(3a -)，代入双曲线方程可得222532199a b-=，由222c a b =+， 可得223a c =，即有==ce a． 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，涉及到正弦定理的应用、同角三角函数关系、二倍角以及任意角的三角函数等知识，考查化简计算能力.3．【2020·广东省高三其他（理）】已知双曲线22142x y -=的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A ，则APF ∆周长的最小值为A ．4+B ．4(1+C ．D【答案】B【解析】曲线22142x y -=右焦点为F)，APF ∆周长2l AF AP PF AF AP a PF =++=++'+ 要使APF ∆周长最小，只需AP PF +' 最小，如图：当,,A P F '三点共线时取到,故l =2|AF |+2a =(41+ 故选B【点睛】本题考查了双曲线的定义，两条线段之和取得最小值的转化，考查了转化思想，属于中档题. 4．【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为A ．12 B ．13C D 【答案】C【解析】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以1d =≤，解得k ≤≤所以相交的概率22P ==,故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.5．【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为,E F 分别为,BC CD 的中点，P 是线段1A B 上的动点，1C P 与平面1D EF 的交点Q 的轨迹长为 A ．3 BC ．4D．【答案】B【解析】如图所示，连接1,EF A B ，连接1111,AC B D 交于点M ，连接11,B E BC 交于点N ，由11//EF B D ，即11,,,E F B D 共面，由P 是线段1A B 上的动点，当P 合于1A 或B 时，11C A ，1C B 与平面1D EF 的交点分别为,M N ，即Q 的轨迹为MN ，由棱长为111132C M A C ==， 则16BC =，又11112BE BN B C NC ==，则11243NC BC ==, 由1111A B BC AC ==，则1160A C B ∠=︒，则MN ===. 故选：B ．【点睛】本题以正方体为载体，考查了点线面的位置关系、余弦定理，解决本题的关键在于找到点Q 的轨迹，还考查了学生的分析推理能力，运算能力，属于中档题.6．【2020·广西壮族自治区高三其他（理）】已知椭圆22142x y +=的焦点为F ，短轴端点为P ，若直线PF 与圆222:(0)O x y R R +=>相切，则圆O 的半径为AB ．1C D ．2【答案】B【解析】因为椭圆22142x y +=，不妨设F P ，所以PF 的方程为0x y +=，因为直线PF 与圆222:(0)O x y R R +=>相切， 所以圆心到直线的距离等于圆的半径，即1R d ===， 故选：B ．【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7．【2020·南昌市八一中学高三三模（理）】若a ，b 为正实数，直线()42320x a y +-+=与直线210bx y +-=互相垂直，则ab 的最大值为A ．32 B ．916C ．94D 【答案】B【解析】因为直线()42320x a y +-+=与直线210bx y +-=互相垂直， 所以42(23)0b a +-=，化简得32a b +=， 因为a ，b 为正实数，所以32a b =+≥ab ≤916，当且仅当34a b时取等号， 所以ab 的最大值为916， 故选：B ．【点睛】此题考查两直线垂直的性质，利用基本不等式求最值，属于基础题.8．【2020·南昌市八一中学高三三模（理）】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(00,2p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，以点M 为圆心的圆与直线2p x =交于E ，G 两点，若13sin MFG ∠=，则抛物线C 的方程是 A ．2y x = B ．22y x = C ．24y x = D ．28y x =【答案】C【解析】作MD EG ⊥，垂足为点D ．由题意得点(002p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭在抛物线上，则082px =得04px =．① 由抛物线的性质，可知，0||2p DM x =-， 因为1sin 3MFG ∠=，所以011||||332p DM MF x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．所以001232p p x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，解得：0x p =．②． 由①②，解得：02x p ==-（舍去）或02x p ==． 故抛物线C 的方程是24y x =． 故选C ．【点睛】本题考查抛物线的定义与几何性质，属于中档题.9．【2020·湖北省高三其他（理）】已知过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，交圆2220x y x +-=于M ，N 两点，其中P ，M 位于第一象限，则11PM QN+的最小值为_____． 【答案】2【解析】圆2220x y x +-=可化为22(1)1x y -+=，圆心坐标为(1,0)，半径为1， 抛物线C 的焦点(1,0)F ，可设直线PQ 的方程为1x my =+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由214x my y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my --=，所以124y y =-， 又2114y x =，2224y x =，所以222121212()14416y y y y x x =⋅==，因为1212||||(||||)(||||)(11)(11)1PM QN PF MF QF NF x x x x ⋅=--=+-+-==，所以112PM QN +≥=，当且仅当||||1PM QN ==时，等号成立. 所以11PM QN+的最小值为2. 故答案为：2【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，基本不等式求最值，考查基本运算能力，属于中档题.10．【2020·横峰中学高三其他（理）】已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点(00,2p H x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线C 上的一点，以H 为圆心的圆交直线2px =于A 、B 两点（点A 在点B 的上方），若7sin 9HFA ∠=，则抛物线C 的方程是_________. 【答案】24y x =【解析】画出图形如下图所示，作HD AB ⊥，垂足为D ，由题意得点(00,2p H x x ⎛⎫>⎪⎝⎭在抛物线C 上，则0232px =①， 由抛物线的定义，可知02p DH x =-， 因为7sin 9HFA ∠=，所以，077992p DH HF x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以007292p p x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，解得04x p =②， 由①②解得048x p ==-（舍去）或048x p ==，故抛物线C 的方程为24y x =．故答案为：24y x =.【点睛】本题考查抛物线的定义，利用抛物线的定义进行线段的转化是关键，考查方程思想的应用，属于中等题.11．【2020·山东省高三其他】已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，2AF 的中点P 恰好落在y 轴上，若20BP AF ⋅=，则椭圆C 的离心率的值为__________.【解析】由于2AF 的中点P 恰好落在y 轴上，又A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，所以AB 过左焦点1F 且12AB F F ⊥，则22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为P 是2AF 的中点，则20,2b P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又()2,0F c ，则2223,,2,2b b BP c AF c a a ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为20BP AF ⋅=，则4223202b c a -=，即2c =又222b a c =-，则)222ac a c=-220e +=，解得：3e =或e =.【点睛】本题考查椭圆的简单性质离心率，考查运算能力，属于基础题.12．【2020·辽宁省高三三模（理）】在平面直角坐标系xOy 中，F 是双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的右焦点，直线y ＝2b 与双曲线交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该双曲线的离心率为_____．【答案】5【解析】由题意可知，F （c ，0），把y ＝2b 代入双曲线方程可得x =，不妨设B （2b ，），C 2b ，）， 因为∠BFC ＝90°，所以k BF •k CF ＝﹣11=-，化简得4b 2＝5a 2﹣c 2，因为b 2＝c 2﹣a 2，所以2295c a =，所以离心率c e a ===． 【点睛】本题考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线的离心率问题，考查学生计算求解能力，属于中档题.13．【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】已知点O 为坐标原点，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，P 为椭圆C 上一点，椭圆C 上异于P 的两点A ，B 满足AFO BFO ∠=∠，当PF 垂直于x 轴时，32PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线PA ，PB 分别与x 轴交于点(),0M m ，(),0N n ，问：mn 的值是否为定值？若是，请求出mn 的值；若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）是定值；4mn =【解析】（1）设椭圆半焦距为c，根据题意可得1c =当PF 重直于x 轴时，232b PF a ==.因为222a b c =+，由此解得24a =，23b =，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由AFO BFO ∠=∠，可得A ，B 关于x 轴对称.设()11,A x y ，()11,B x y -，()00,P x y ，易知10x x ≠，10y y ≠，0x m ≠. ∵PA PM k k =，∴100100y y y x x x m-=--.∴()100010x x y x m y y --=-，∴()100011001010x x y x y x y m x y y y y --=-=--.同理，得011010x y x y n y y +=+.∴222201100110011022101010x y x y x y x y x y x y mn y y y y y y -+-=⋅=-+-. 又2200143x y +=，2211143x y +=，∴2200413y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2211413y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.∴2222011022220110222210104141334y y y y x y x y mn y y y y ⎛⎫⎛⎫-⋅--⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===--，为定值. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.14．【2020·四川省南充高级中学高三月考（理）】已知直线2:220(1)l x ay a a --=>，椭圆22122:1,,x C y F F a+=分别为椭圆的左、右焦点.(1)当直线l 过右焦点2F 时，求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，O 为坐标原点，且2,2.AG GO BH HO ==，若点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2212x y +=；(2)12a <<．【解析】(1)由已知可得直线l 与x 轴的交点坐标2(,0)2a ，所以22ac =①，又221a c -=②，由①②解得22a =，21c =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=．(2)设()11,A x y ，()22,B x y ，由2222220,1,x ay a x y a ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩得223428440a y a y a a ++-=， 由()()2324264448416+1280aa a a a a ∆=-⨯-⨯=>，又1a >，解得1a <<①，由根与系数关系，得3122482a ay y a +=-=-，4221224488a a a y y a --== 由2AG GO =，2BH HO =可得11,33x y G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33x y H ⎛⎫⎪⎝⎭， ()()2212122||99x x y y GH --=+，设M 是GH 的中点，则1212,66x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭， 由已知可得12MO GH <，即()()222212121212166499x x y y x x y y ++++⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎪⎝⎭⎦⎝⎭， 整理得12120x x y y +<，又()23422121212124222224a y y a y y aay a ay a x x +++++=⋅=， 所以()2341212124204a y y a y y a y y ++++<，所以()()23412124420a y y ay y a ++++<，即()22344442082a a a a a -⎛⎫+⨯+⨯-+< ⎪⎝⎭， 即240a -<，所以22a -<< ②，综上所述，由①②得a 的取值范围为12a <<．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系及点和圆的位置关系，属于中档题．15．【2020·湖北省高三其他（理）】已知222:4)(0E x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）若2m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF 的范围； （2）若l 过点(,)2mm ，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．【答案】（1）[]2,1-；（2）46k ±=.【解析】（1）2m =时，椭圆22:14x E y +=，两个焦点1(F ，)，2F 0)，设(,)K x y ，可得2214x y +=，即2244x y =-，1(F K x =+，)y ，2(F K x =)y ，2221212331KF KF F K F K x y y ==-+=-+，因为11y -，所以12KF KF 的范围是[]2,1-；（2）设A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，可得12(2x x M +，12)2y y +， 则222112222244x y m x y m⎧+=⎨+=⎩，两式相减可得12121212()()4()()0x x x x y y y y +-++-=， 12121212()()140()()y y y y x x x x +-+=+-，即140OM l k k +=，故14OM l k k =-，又设(P P x ，)P y ，直线:()(0,0)2ml y k x m m k =-+≠≠，即直线l 的方程为2my kx km =-+， 从而1:4OM y x k =-，代入椭圆方程可得，2222414P m k x k =+，由()2m y k x m =-+与14y x k=-，联立得224214M k m kmx k -=+， 若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点， 所以2M P x x =，即2222224244()1414k m km m k k k-=++，整理可得2121630k k -+=， 解得k =，经检验满足题意， 所以当46k ±=时，四边形OAPB 为平行四边形． 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意运用点差法，考查向量数量积的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16．【2020·广东省高三其他（理）】已知直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，且与圆22(1)1x y -+=相切.（1）求直线l 在x 轴上截距c 的取值范围；（2）设F 是抛物线的焦点，0FA FB ⋅=，求直线l 的方程. 【答案】（1）()[),02,-∞+∞；（2）310x ++=或310x +=.【解析】（1）设直线l 的方程为x my c =+，22(1)1x y -+=的圆心为(1,0)，半径为1.由直线l1=，化简得222m c c =-，直线l 的方程代入抛物线，消去x 得：2440(*)y my c --=，由直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，得22(4)1600m c m c ∆=-+>⇒+>，将222,mc c =-代入不等式，得20c c ->⇒1c >或0c <，注意到22202m c c c =-≥⇒≥或0c ≤ 综上知，c 的取值范围是()[),02,-∞+∞（2）设1122(,),(,),(1,0)A x y B x y F 由(*)得12124,4y y m y y c +==-2212121212(1)(1)(1)(1)44y y FA FB x x y y y y ⋅=--+=--+22121212311()()12164y y y y y y =+-++ 将12124,4y y m y y c +==-代入上式，由0FA FB ⋅=，得224610c m c --+=， 所以2224(2)6103210cc c c c c ---+=⇒--=，解得13c =-或1c =（舍去），-故m =所以直线l 的方程为310x ++=或310x +=【点睛】本题主要考查了联立直线与抛物线的方程，利用判别式以及直线满足的条件，求解参数的问题.同时也考查了利用韦达定理代入所给条件，求解参数的问题.属于中档题.17．【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知圆()()222:10C x y r r +-=>，设A 为圆C 与y 轴负半轴的交点，过点A 作圆C 的弦AM ，并使弦AM 的中点恰好落在x 轴上. （1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）延长MO 交直线1y =-于点P ，延长MC 交曲线E 于点N ，曲线E 在点N 处的切线与y 轴交于点Q .求证：//MN QP . 【答案】（1）2:40E xy x ；（2）证明见解析.【解析】（1）设(),M x y ，依题意A 为圆C 与y 轴负半轴的交点， 令=0,=1x y r ±，()0,1A r ∴-，又弦AM 的中点恰好落在x 轴上，设(,)M x y ， 故AM 的中点坐标为+1-(,)22x y r故+1-02y r= ()222101y r x y r+-=⎧⎪∴⎨+-=⎪⎩， 消r 得24x y =， 所以2:40E xy x .（2）设()()1122:1,,,,MN y kx M x y N x y =+，将1y kx =+代入24x y =得2440x kx --=，12124,4x x k x x +==-，11:y MO y x x =⋅，令1y =-得11P x x y =-，所以11,1x P y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 因为2xy '=，所以点N 处的切线为()2222x y y x x -=-，即222x y x y =⋅-， 令0x =得2y y =-，所以()20,Q y -.。
解析几何-2020年高考数学十年真题精解(全国Ⅰ卷) 解析几何(原卷版)
十年高考真题精解解析几何十年树木，百年树人，十年磨一剑。
本专辑按照最新2020年考纲，对近十年高考真题精挑细选，去伪存真，挑选符合最新考纲要求的真题，按照考点/考向同类归纳，难度分层精析，对全国卷Ⅰ具有重要的应试性和导向性。
三观指的观三题（观母题、观平行题、观扇形题），一统指的是统一考点/考向，并对十年真题进行标灰（调整不考或低频考点标灰色）。
（一）2020考纲（二）本节考向题型研究汇总一、考向题型研究一： 圆锥曲线的基础性质（2019新课标I 卷T10理科）．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=(2013新课标Ⅰ卷T4理科)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x(2013新课标Ⅰ卷T10理科)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y + D ．22=1189x y +（2015新课标I 卷T14理科）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .(2014新课标Ⅰ卷T4理科)已知F 为双曲线C ：x 2﹣my 2=3m （m ＞0）的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ） A. B. 3 C.m D.3m（2011新课标I 卷T14理科）在平面直角坐标系xoy ，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1F 2在x 轴上，离心率为．过F l 的直线交于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C的方程为．（2012新课标I 卷T10文科）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点，||AB =C 的实轴长为（A （B ） （C ）4 （D ）8轨迹条件点集：({M ｜｜MF 1+｜MF 2｜=2a,｜F 1F 2｜＜2a ＝点集：{M ｜｜MF 1｜-｜MF 2｜. =±2a,｜F 2F 2｜＞2a}.点集{M ｜ ｜MF ｜=点M 到直线l 的距离}.图形方程标准方程 (>0) (a>0,b>0) px y 22=参数方程(t 为参数) 范围 ─a x a ，─b y b |x| a ，y R x 0中心原点O （0，0） 原点O （0，0）顶点(a,0), (─a,0), (0,b) ,(0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0)对称轴x 轴，y 轴；长轴长2a,短轴长2bx 轴，y 轴;实轴长2a, 虚轴长2b.x 轴焦点 F 1(c,0), F 2(─c,0) F 1(c,0), F 2(─c,0)12222=+b y a x b a >12222=-by a x 为离心角）参数θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==b y a x 为离心角）参数θθθ(tan sec ⎩⎨⎧==b y a x ⎩⎨⎧==pt y pt x 222)0,2(p F双曲线：（1）等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率. （2）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：. （3）共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为. 抛物线：（1）抛物线2y =2px(p>0)的焦点坐标是(2p ,0)，准线方程x=-2p，开口向右；抛物线2y =-2px(p>0)的焦点坐标是(-2p ,0)，准线方程x=2p ，开口向左；抛物线2x =2py(p>0)的焦点坐标是(0,2p )，准线方程y=-2p，开口向上；抛物线2x =-2py （p>0）的焦点坐标是（0,-2p ），准线方程y=2p，开口向下. （2）抛物线2y =2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离20p x MF +=；抛物线2y =-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离02x pMF -=（3）设抛物线的标准方程为2y =2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p ，顶点到准线的距离2p ，焦点到准线的距离为p.（4）已知过抛物线2y =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，则线段AB 称为焦点弦，设222a y x ±=-x y ±=2=e λ=-2222b y a x λ-=-2222b y a x 02222=-by a x )0(2222≠=-λλb y a x 02222=-b y a x 0=±b y a x )0(2222≠=-λλby a xA(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB =21x x ++p 或α2sin 2pAB =(α为直线AB 的倾斜角)，221p y y -=，2,41221p x AF p x x +==(AF 叫做焦半径).二、考向题型研究二： 简单的离心率求解问题（2019新课标I 卷T10文科）双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（ ） A ．2sin40° B ．2cos40°C ．D ．（2016新课标I 卷T5文科）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．34（2011新课标I 卷T7理科）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A ，B 两点，|AB|为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ） A ．B ．C ．2D ．3（2012新课标I 卷T4文科）设1F ,2F 是椭圆E ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，△21F PF 是底角为030的等腰三角形，则E 的离心率为（A ）12 （B ）23 （C ）34 D .45一、直接求出或求出a 与b 的比值，以求解。
抛物线 高考数学真题分类题库2020解析版 考点39
考点39抛物线一、选择题1.(2020·全国卷Ⅰ高考理科·T4)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()A.2B.3C.6D.9【命题意图】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径,考查学生转化与化归思想,是一道容易题.【解析】选C.设抛物线的焦点为F,由抛物线的定义知|AF|=x A+2=12,即12=9+2,解得p=6.2.(2020·全国卷Ⅲ文科·T7理科·T5)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为()00 C.(1,0) D.(2,0)【命题意图】该题考查的是有关圆锥曲线的问题,涉及的知识点有直线与抛物线的交点,抛物线的对称性,点在抛物线上,抛物线的焦点坐标,属于简单题目.【解析】选B.因为直线x=2与抛物线y2=2px(p>0)交于D,E两点,且OD⊥OE,根据抛物线的对称性可以确定∠DOx=∠EOx=π4,所以D2,2,代入抛物线方程4=4p,求得p=1,0.3.(2020·北京高考·T7)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP【命题意图】考查抛物线的定义.【解析】选B.因为点P在抛物线上,所以|PQ|=|PF|,所以FQ的垂直平分线经过点P.4.(2020·天津高考·T7)设双曲线C的方程为22-22=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为()A.24-24=1B.x2-24=1C.24-y2=1D.x2-y2=1【命题意图】本题主要考查抛物线的简单几何性质,双曲线的几何性质,以及直线与直线的位置关系的应用,属于基础题.【解题指南】由抛物线的焦点(1,0)可求得直线l的方程为x+=1,即得直线的斜率为-b,再根据双曲线的渐近线的方程为y=±x,可得-b=-,-b×=-1,即可求出a,b,得到双曲线的方程.【解析】选D.由题可知,抛物线的焦点为(1,0),所以直线l的方程为x+=1,即直线的斜率为-b,又双曲线的渐近线的方程为y=±x,所以-b=-,-b×=-1,因为a>0,b>0,解得a=1,b=1.所以双曲线C的方程为x2-y2=1.二.无三.解答题5.(2020·全国卷Ⅱ文科·T19)已知椭圆C1:22+22=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴重直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=43|AB|.(1)求C1的离心率;(2)若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12,求C1与C2的标准方程.【命题意图】本题考查椭圆离心率、抛物线的定义、抛物线和椭圆的标准方程,意在考查学生逻辑推理能力、的运算求解能力.【解析】(1)因为椭圆C1的右焦点坐标为F(c,0),所以抛物线C2的方程为y2=4cx,其中c=2-2.不妨设A,C在第一象限,因为椭圆C1的方程为:22+22=1(a>b>o),所以当x=c时,有22+22=1⇒y=±2,因此A,B的纵坐标分别为2,-2;又因为抛物线C2的方程为y2=4cx,所以当x=c时,有y2=4c·c⇒y=±2c,所以C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=22,|CD|=4c.由|CD|=43|AB|得4c=823,即3·=2-2,=-2(舍去),或=12.所以C1的离心率为12.(2)由(1)知a=2c,b=3c,故C1:242+232=1,所以C1的四个顶点坐标分别为ΔABC,(-2c,0),(0,3c),(0,-3c),C2的准线为x=-c.由已知得3c+c+c+c=12,即c=2.所以C1的标准方程为216+212=1,C2的标准方程为y2=8x.6.(2020·全国卷Ⅱ理科·T19)已知椭圆C1:22+22=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=43|AB|.(1)求C1的离心率;(2)设M是C1与C2的公共点,若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.【命题意图】本题考查椭圆离心率、抛物线的定义、抛物线和椭圆的标准方程,意在考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力.【解析】(1)因为F 是椭圆C 1的右焦点,且AB ⊥x 轴,所以F (c ,0),直线AB 的方程为x =c ,22=1,得22=1-22=2-22,又因为a 2=b 2+c 2,所以y 2,解得y =±2,则|AB |=22,因为点F (c ,0)是抛物线C 2的焦点,所以抛物线C 2的方程为y 2=4cx ,联立=2=4B ,解得==±2,所以|CD |=4c ,因为|CD |=43|AB |,即4c =823,2b 2=3ac ,即2c 2+3ac -2a 2=0,即2e 2+3e -2=0,因为0<e <1,解得e =12,因此,椭圆C 1的离心率为12.(2)由(1)知a =2c ,b =3c ,椭圆C 1的方程为242+232=1,4B 232=1,消去y 并整理得3x 2+16cx -12c 2=0,解得x =23c 或x =-6c (舍去),由抛物线的定义可得|MF |=23c +c =53=5,解得c =3.因此,曲线C 1的标准方程为236+227=1,曲线C 2的标准方程为y 2=12x.。
抛物线高考经典真题和解析
抛物线高考经典真题和解析1. (2020·新高考卷Ⅰ)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.2. (2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.3. (2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．94. (2020·全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0C ．(1,0)D ．(2,0)5. (2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．86.(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．7.(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.答案解析1.解析 ∵抛物线的方程为y 2＝4x ，∴抛物线的焦点为F (1,0)，又直线AB 过焦点F 且斜率为3，∴直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程消去y 并化简得3x 2－10x ＋3＝0，解法一：解得x 1＝13，x 2＝3，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋3×|13－3|＝163. 解法二：Δ＝100－36＝64>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝103，过A ，B 分别作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为C ，D ，如图所示，|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝163.2.解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4x 1－4x 2，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′.因为∠AMB ＝90°，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．因为M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴．因为M (－1，1)，所以y 0＝1，则y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.3.解析 设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知|AF |＝x A ＋p 2＝12，即9＋p2＝12，解得p ＝6.故选C ．4.解析 因为直线x ＝2与抛物线y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，且OD ⊥OE ，不妨设点D 在第一象限，根据抛物线的对称性可得∠DOx ＝∠EOx ＝π4，所以D (2,2)，代入y 2＝2px ，得4＝4p ，解得p ＝1，所以其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.故选B.答案 D5.解析 根据题意，得过点(－2,0)且斜率为23的直线方程为y ＝23(x ＋2)，与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，消去x 并整理，得y 2－6y ＋8＝0，解得y 1＝2，y 2＝4，所以x 1＝1，x 2＝4，令M (1,2)，N (4,4)，又因为F (1,0)，所以FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)，从而可以求得FM→·FN →＝0×3＋2×4＝8.故选D.6.解 (1)证明：设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1. 因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0. 所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1， y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝1＋t 2|x 1－x 2| ＝1＋t 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2(t 2＋1)．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1. 因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12. 因为EM →⊥AB →，而EM→＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行， 所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1. 当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2. 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.7.解 设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32. 又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－4(t －1)3. 从而－4(t －1)3＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78. (2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0，所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，即A (3,3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1.故|AB |＝4133.。
2020年高考数学十年真题精解(全国Ⅰ卷)专题01 集合、复数、算法、命题与简易逻辑(word档含答案)
2020年高考数学十年高考真题精解（全国卷I）专题1 集合、复数、算法、命题与简易逻辑十年树木，百年树人，十年磨一剑。
本专辑按照最新2020年考纲，对近十年高考真题精挑细选，去伪存真，挑选符合最新考纲要求的真题，按照考点/考向同类归纳，难度分层精析，对全国卷Ⅰ具有重要的应试性和导向性。
三观指的观三题（观母题、观平行题、观扇形题），一统指的是统一考点/考向，并对十年真题进行标灰（调整不考或低频考点标灰色）。
（一）2020考纲（二）本节考向题型研究汇总一、考向题型研究一：集合（2019新课标I 卷T1理科）已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【解析】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．（2019新课标I 卷T2文科）已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，4，5}，B ＝{2，3，6，7}，则B ∩∁U A ＝（ ）A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}【答案】C【分析】先求出∁U A，然后再求B∩∁U A即可求解【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，∴∁U A＝{1，6，7}，则B∩∁U A＝{6，7}故选：C．【点评】本题主要考查集合的交集与补集的求解，属于基础试题．（2018新课标I卷T2理科）已知集合A={x|x2−x−2>0}，则∁R A=A. {x|−1<x<2}B. {x|−1≤x≤2}C. {x|x<−1}∪{x|x>2}D. {x|x≤−1}∪{x|x≥2}【答案】B【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出x2−x−2>0的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.详解：解不等式x2−x−2>0得x<−1或x>2，所以A={x|x<−1或x>2}，所以可以求得C R A={x|−1≤x≤2}，故选B.【点睛】该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.（2017新课标I卷T1文科）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（）A．A∩B={x|x＜} B．A∩B=∅C．A∪B={x|x＜} D．A∪B=R【答案】A【分析】解不等式求出集合B ，结合集合交集和并集的定义，可得结论． 【解析】解：∵集合A={x|x ＜2}，B={x|3﹣2x ＞0}={x|x ＜}，∴A∩B={x|x ＜}，故A 正确，B 错误；A ∪B={x||x ＜2}，故C ，D 错误； 故选：A ．【点睛】本题考查的知识点集合的交集和并集运算，难度不大，属于基础题．（2016新课标I 卷T1理科）设集合{}2430A x x x =-+<，{}230x x ->,则A B =I（A ）33,2⎛⎫--⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】，． 故．故选D ．（2017新课标I 卷T1理科）已知集合A={x|x ＜1}，B={x|3x ＜1}，则（ ） A ．A∩B={x|x ＜0} B ．A ∪B=R C ．A ∪B={x|x ＞1} D ．A∩B=∅【答案】 A{}{}243013A x x x x x =-+<=<<{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭332A B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭I【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．【解析】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．【点睛】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用（2016新课标I卷T1文科）设集合A={1,3,5,7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=( ) A．{1,3}B．{3,5} C．{5,7} D．{1,7}【答案】B【解析】取A，B中共有的元素是{3,5}，故选B（2015新课标I卷T1文科）已知集合{|32==+，}A x x n∈，{6B=，8，10，12，14}，则集合n NI中元素的个数为()A BA．5B．4C．3D．2【答案】D【解析】解：{|32∈=，5，8，11，14，17，}n NA x x n==+，}{2⋯，I，14}，则{8A B=I中元素的个数为2个，故集合A B故选：D．(2014新课标Ⅰ卷T1理科)已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A ．[﹣2，﹣1] B ．[﹣1，2） C ．[﹣1，1] D ．[1，2）【答案】A【解析】A={x|x 2﹣2x ﹣3≥0}={x|x≥3或x≤﹣1}，B={x|﹣2≤x ＜2}， 则A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}， 故选：A(2013新课标Ⅰ卷T1理科)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )．A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B【答案】B【解析】：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2. ∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.(2013新课标I 卷T1文科)已知集合A ＝{1,2,3,4}}4,3,2,1{=A ，},|{2A n n x xB ∈==，则=B A I ( )．A ．}4,1{B ．}3,2{C ．}16,9{D ．}2,1{ 【答案】A【解析】∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}， ∴A ∩B ＝{1,4}．（2012新课标I 卷T1文科）已知集合A={x |x 2−x −2<0}，B={x |−1<x <1}，则（A ）A ̹B （B ）B ̹A （C ）A=B （D ）A∩B=【答案】B【解析】A=（−1,2），故B ̹A ，故选B. （2011新课标I 卷T1文科）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N ，则P 的子集共有（ ） A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【答案】B【分析】利用集合的交集的定义求出集合P ；利用集合的子集的个数公式求出P 的子集个数． 【解答】解：∵M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}， ∴P=M∩N={1，3} ∴P 的子集共有22=4 故选：B ．【点睛】本题考查利用集合的交集的定义求交集、考查一个集合含n 个元素，则其子集的个数是2n（2010新课标I 卷T2文科）设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ð A.{}1,3 B. {}1,5 C. {}3,5 D. {}4,5 【答案】C【分析】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识【解析】{}2,3,5U M =ð，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ð{}1,3,5{}2,3,5⋂={}3,5一、集合的基本概念1．元素与集合的关系：a A a A∈⎧⎨∉⎩属于，记为不属于，记为.2．集合中元素的特征：一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同3．集合的分类：有限集与无限集，特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅. 4．常用数集及其记法：注意：实数集R 不能表示为{x |x 为所有实数}或{R }，因为“{ }”包含“所有”“全体”的含义. 5．集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示法. 二、集合间的基本关系集合A ，B 中元素相同或集合A ，B 互为子集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集注意：（1）若集合A 中含有n 个元素，则有2n 个子集，有21n -个非空子集，有21n -个真子集，有22n -个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即,A B B C A C ⊆⊆⇒⊆.三、集合的基本运算 1．集合的基本运算}B}B}2．集合运算的相关结论 AAU*集合间的基本关系在高考中时有出现，常考查求子集、真子集的个数及利用集合关系求参数的取值范围问题，主要以选择题的形式出现，且主要有以下几种命题角度： （1）求子集的个数；（2）由集合间的关系求参数的取值范围.在此题型中，我们常通过数轴来表示集合之间的关系，那么如何利用数轴来求解集合间的关系？涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域。
解析几何-2020年高考数学十年真题精解(全国Ⅰ卷)直线与圆(含解析)
专题09 解析几何第二十一讲 直线与圆2019年1.（2019北京文8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β （B ）4β+4sin β （C ）2β+2cos β （D ）2β+2sin β 2.（2019北京文11）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．3.（2019浙江12）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.4.（2019全国1文21）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │－│MP │为定值？并说明理由．2015-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅲ)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2,32]D ．[22,32] 2．（2016年北京）圆22(1)2x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为A ．1B ．2CD ．3．（2016年山东）已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是M 与圆N ：22(1)1x y +-=（-1）的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离4．（2016年全国II 卷）圆x 2+y 2−2x −8y +13=0的圆心到直线ax +y −1=0的距离为1，则a =A ．−43B ．−34C D ．2 5．（2015北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是 A ．22(1)(1)1x y -+-= B ．22(1)(1)1x y +++=C ．22(1)(1)2x y +++=D ．22(1)(1)2x y -+-=6．（2015安徽）直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=相切，则b 的值是A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或127．（2015新课标2）已知三点)0,1(A ，)3,0(B ，)3,2(C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为A ．35B ．321C ．352D ．34 二、填空题8．(2018全国卷Ⅰ)直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A ，B 两点，则||AB =__． 9．(2018天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为__．10．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r ，则点A 的横坐标为 ．11．（2017天津）设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 ．12．（2017山东）若直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为 ． 13．（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅u u u r u u u r ≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ．14．（2016年天津）已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点(0,5)M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -= 的距离为45，则圆C 的方程为__________ 15．（2016年全国I 卷）设直线2y x a =+与圆C ：22220x y ay +--=相交于,A B 两点，若||23AB =，则圆C 的面积为 .16．（2016年全国III 卷）已知直线l ：360x y -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_____________.17．（2015重庆）若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．18．（2015湖南）若直线3450x y -+=与圆()2220x y r r +=>相交于,A B 两点，且120o AOB ∠=（O 为坐标原点），则r =_____．19．（2015湖北）如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B在A 的上方），且||2AB =．（1）圆C 的标准方程为 ．（2）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为 ．20．（2015江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线2mx y m ---10=()m ∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．三、解答题21．（2018全国卷Ⅰ）设抛物线C ：22=y x ，点(2,0)A ，(2,0)-B ，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：ABM ABN =∠∠．22．（2017新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC BC ⊥的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．23．（2016江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点(2,4)A ．（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=u u r u u r u u u r 求实数t 的取值范围．24．（2015新课标1）已知过点(0,1)A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：22(2)(3)1x y -+-=交于,M N 两点．（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）若12OM ON ⋅=u u u u r u u u r ，其中O 为坐标原点，求MN ．专题09 解析几何第二十一讲 直线与圆答案部分2019年1.【解析】由题意和题图可知，当P 为优弧»AB 的中点时，阴影部分的面积取最大值，如图所示，设圆心为O ，2AOB β∠=，()1222BOP AOP ββ∠=∠=π-=π-. 此时阴影部分面积 211222222AOP BOP AOB S S S S β=++=⨯⨯+⨯⨯⨯△△扇形()sin 44sin βββπ-=+.故选B.2.【解析】 24y x =的焦点为()1,0，准线为1x =-，故符合条件的圆为()2214x y -+=. 3.【解析】解法一：如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得1122m +=-，解得2m =-． 所以圆心为（0，-2），则半径22(20)(12)5r =--+-+=解法二：由22034(1)41m r m ⨯-+==+++，得2m =-，所以55r ==4.【解析】（1）因为M e 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且,A B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a .因为M e 与直线x +2=0相切，所以M e 的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥uuu r uuu r ，故可得2224(2)a a +=+，解得=0a 或=4a .故M e 的半径=2r 或=6r .（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值.理由如下：设(, )M x y ，由已知得M e 的半径为=|+2|,||=2r x AO .由于MO AO ⊥uuu r uuu r ，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x .因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .2015-2018年1．A 【解析】圆心(2,0)到直线的距离d ==所以点P 到直线的距离1d ∈．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(2,0)A -，(0,2)B -，所以||AB =所以ABP ∆的面积111||2S AB d ==．因为1d ∈，所以[2,6]S ∈，即ABP ∆面积的取值范围是[2,6]．故选A ．2．C 【解析】圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知d ==，故选C.3．B 【解析】由2220x y ay +-=（0a >）得()222x y a a +-=（0a >），所以圆M 的圆心为()0,a ，半径为1r a =，因为圆M 截直线0x y +=所得线段的长度是，所=2a =，圆N 的圆心为()1,1，半径为21r =，所以MN ==123r r +=，121r r -=，因为1212r r r r -<MN <+，所以圆M 与圆N 相交，故选B ．4．A 【解析】由题意知圆心为(1,4)，1=，解得43a =-，故选A ．5．D 【解析】由题意可得圆的半径为r =()()22112x y -+-=． 6．D 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)1x y -+-=，圆心(1,1)到直线34x y b +=的距离|7|15b -=，所以2b =或12b =． 7．B 【解析】由题意可得，2AB BC AC ===，∴ΔABC 为等边三角形，故ΔABC 的外接圆圆心时ΔABC 的中心，又等边ΔABC，故中心为，故ΔABC3=． 8．【解析】由题意知22(1)4x y ++=，所以圆心坐标为(0,1)-，半径为2，则圆心到直线1y x =+的距离d ==，所以||AB == 9．2220x y x +-=【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->，则0110420F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩，解得2D =-，0E =，0F =，故圆的方程为2220x y x +-=．10．3【解析】因为0AB CD ⋅=u u u r u u u r ，所以AB CD ⊥，又点C 为AB 的中点，所以45BAD ∠=o ，设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tan 2θ=，tan()34k πθ=+=-．又(5,0)B ，所以直线AB 的方程为3(5)y x =--，又A 为直线l ：2y x =上在第一象限内的点，联立直线AB 与直线l 的方程，得3(5)2y x y x =--⎧⎨=⎩，解得36x y =⎧⎨=⎩，所以点A 的横坐标为3．11．22(1)(1x y ++-= 【解析】设圆心为(1,)C m -，由题意(0,)A m ，(1,0)F ，所以(1,0)AC =-u u u r ，(1,)AF m =-u u u r ，所以1cos 2||||AC AF CAF AC AF ⋅∠===-⋅u u u r u u u u u r，解得m = 因为以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ，所以0m >，取m =所求圆的方程为22(1)(1x y ++-=．12．8【解析】由题意有121a b+=，所以1242(2)()448b a a b a b a b a b +=++=+++=≥． 当且仅当4b a a b =，即4b =，2a =时等号成立． 13．[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅u u u r u u u r ≤，得250x y -+≤，x如图由250x y -+≤可知，P 在¼MN上， 由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得(1,7)M ，(5,5)N --， 所以P 点横坐标的取值范围为[-．14．22(2)9.x y -+=【解析】设(,0),(0)C a a >2,3a r ===，故圆C 的方程为22(2)9.x y -+=15．4π【解析】圆C 的方程可化为222()2x y a a +-=+，可得圆心的坐标为(0,)C a ，半径r =，所以圆心到直线20x y a -+=的距离为=，所以222+=，解得22a =，所以圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π．16．4【解析】设112234(,),(,),(,0),(,0)A x y B x x C x D x，由60x -+=，得6x =-，代入圆的方程，并整理，得260y -+=，解得1y =2y =，所以10x =，23x =-，所以直线AC的方程为y -=，令0y =得32x =，直线BD的方程为3)y x -=+，令0y =得42x =-， 则34||||4CD x x =-=．17．250x y +-=【解析】由点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：225x y +=，所以该圆在点P 处的切线方程为125x y ⨯+⨯=即250x y +-=．18．2 【解析】如图直线3450x y -+=与圆2220x y r r +=（＞） 交于,A B 两点，O 为坐标原点，且120o AOB ∠=，则圆心(0,0)到直线3450x y -+=的距离为2r ，2r =，∴2r =． 19．（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）1-【解析】（Ⅰ）设点C 的坐标为00(,)x y ，则由圆C 与x 轴相切于点(1,0)T 知，点C 的横坐标为1，即01x =，半径0r y =．又因为2AB =，所以222011y +=，即0y r ==，所以圆C的标准方程为22(1)(2x y -+=．（Ⅱ）令0x =得：1)B +.设圆C 在点B处的切线方程为1)kx y -=，则圆心C到其距离为：d =1k =．即圆C 在点B处的切线方程为1)y x =+，于是令0y =可得1x =，即圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为1--22(1)(2x y -+-=和1-20．22(1)2x y -+=【解析】因为直线210()mx y m m R ---=∈恒过点(2,1)-，所以当点(2,1)-为切点时，半径最大，此时半径r =，故所求圆的标准方程为22(1)2x y -+=．21．【解析】(1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为2=x ，可得M 的坐标为(2,2)或(2,2)-．所以直线BM 的方程为112=+y x 或112y x =--． (2)当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠=∠ABM ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则10>x ，20>x ．由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得2240--=ky y k ，可知122+=y y k ，124=-y y ． 直线BM ，BN 的斜率之和为1221121212122()22(2)(2)++++=+=++++BM BN y y x y x y y y k k x x x x ．① 将112y x k =+，222y x k=+及12+y y ，12y y 的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0++-++++===y y k y y x y x y y y k k． 所以0+=BM BN k k ，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠=∠ABM ABN ． 综上，∠=∠ABM ABN ．22．【解析】（1）不能出现AC BC ⊥的情况，理由如下：设1(,0)A x ，2(,0)B x ，则1x ，2x 满足220x mx +-=，所以122x x =-．又C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-， 所以不能出现AC BC ⊥的情况. （2）BC 的中点坐标为21(,)22x ，可得BC 的中垂线方程为221()22x y x x -=-． 由（1）可得12x x m +=-，所以AB 的中垂线方程为2m x =-． 联立2221()22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，又22220x mx +-=，可得212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以过A 、B 、C 三点的圆的圆心坐标为1(,)22m --，半径r = 故圆在y轴上截得的弦长为3=，即过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上的截得的弦长为定值．23．【解析】圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心M(6，7)，半径为5,（1）由圆心N 在直线6x =上，可设()06,N y .因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =.因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为2y x m =+，即20x y m -+=，则圆心M 到直线l的距离d因为BC OA === 而222,2BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()252555m +=+，解得5m =或15m =-. 故直线l 的方程为250x y -+=或2150x y --=.(3)设()()1122,,Q ,.P x y x y 因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=u u r u u r u u u r ,所以212124x x t y y =+-⎧⎨=+⎩ ……① 因为点Q 在圆M 上，所以()()22226725.x y -+-= …….②将①代入②，得()()22114325x t y --+-=.于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上，从而圆()()226725x y -+-=与圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦有公共点， 所以5555,-≤≤+解得22t -≤≤+. 因此，实数t的取值范围是22⎡-+⎣. 24．【解析】（Ⅰ）由题设，可知直线l 的方程为1y kx =+．因为l 与C1<．解得4433k -<<．所以k的取值范围是4433⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． （Ⅱ）设1122(,y ),(,y )M x N x ．将1y kx =+代入方程()()22231x y -+-=，整理得22(1)4(1)70k x k x +-++=， 所以1224(1)1k x x k ++=+，12271x x k =+． 21212121224(1)1181k k OM ON x x y y k x x kx x k +⋅=+=++++=++u u u u r u u u u r ， 由题设可得24(1)8=121k k k +++，解得=1k ，所以l 的方程为1y x =+． 故圆心在直线l 上，所以||2MN =．。
高考数学专题《抛物线》习题含答案解析
专题9.5 抛物线1.（2020·全国高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ）A ．2B ．3C ．6D ．9【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p =.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ ）A ．x 2＝4yB ．y 2＝4xC ．x 2＝8yD ．y 2＝8x【答案】D 【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，设其标准方程为22(0)y px p =>，又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4，故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ，故选：D.3.（全国高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D.4．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ）A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)练基础【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（ ）A.216y x =- B.28y x=- C.216y x= D.24y x=【答案】C 【解析】∵抛物线22y px =的准线方程为x=2p-，垂直于x 轴．而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-，则42p=，即8p =．故抛物线的方程为216y x =．故选：C ．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】(x -1)2+y 2=4.【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线l 与抛物线22x y =相交于A ，B 两点，当AB 4=时，则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______.【答案】32【解析】由题意，抛物线22x y =的焦点坐标为（0，12），根据抛物线的定义如图，所求d=111A B AF BF 113M 2222A B AB M ++--==≥=故答案为：32．8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且直线AB 的倾斜角为4π，则线段AB 的长是____，焦点F 到A ，B 两点的距离之积为_________.【答案】8 8【分析】由题意可得直线AB 的方程为1y x =-，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y 后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案【详解】解：由题意得(1,0)F ，则直线AB 的方程为1y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2610x x -+=，所以12126,1x x x x +==，所以12628AB x x p =++=+=，因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x ，所以()()1212121116118AF BF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++=++=，故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5，则m 的值为__________；抛物线方程为__________.【答案】答案见解析 答案见解析【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点(),3A m -在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得p 的值，根据点(),3A m -在抛物线上可得m 的值.【详解】根据点(),3A m -在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能，当抛物线开口向下时，设抛物线方程为22x py =-（0p >），此时准线方程为2p y =，由抛物线定义知(3)52p--=，解得4p =.所以抛物线方程为28x y =-，这时将(),3A m -代入方程得m =±当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为22y ax =（0a ≠），从p a =知准线方程为2ax =-，由题意知()25232am am⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解此方程组得11192a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，22192a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，33912a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，44912a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，综合（1）、（2）得92m =，22y x =；92m =-，22y x =-；12m =，218y x =；12m =-，218y x =-；m =±28x y =-.故答案为：92，92-，12，12-，±22y x =，22y x =-，218y x =，218y x =-，28x y =-.10.（2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-=【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()3.3FC =-- ，由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC=又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC = g g ，整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-，所以直线l 的方程为3240x y +-=.1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=o ，则FM 等于（ ）A ．2BC．D ．4【答案】D 【分析】练提升设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取()1,0a = ，可得1cos ,2FM a <>= ，求出20y 的值，利用抛物线的定义可求得FM 的值.【详解】设点()00,M x y ，其中2004y x =，则()1,0F ，2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,0a =，则21cos ,2FM a <= ，可得4200340480y y -+=，因为20104y ->，可得204y >，解得2012y =，则20034y x ==，因此，014MF x =+=.故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线2:4C y x =的焦点F ，C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（ ）A.B.D.【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠= ，所以||4,||2QF QM m ==，所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=，所以03x =，0y =，所以sin sin NP MNF NFP NF ∠=∠===所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠=⋅=3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=【答案】B 【解析】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--，即20x y +-=，故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x 由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ，同理2=CD x ，所以12cos 01︒⋅=⋅⋅== AB CD AB CD x x .故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（ ）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线为y x =C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为4【答案】ACD 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A 、B 、C 的正误，根据所得抛物线方程求0y ，即知D 的正误.【详解】双曲线2C 的离心率为2e =，故A 正确；双曲线2C 的渐近线为y =，故B 错误；由12,C C 有相同焦点，即24m=，即8m =，故C 正确；抛物线28y x =焦点为()2,0，点()02,P y 在1C 上，则04y =±，故()2,4P 或()2,4P -，所以P 到1C 的焦点的距离为4，故D 正确．故选：ACD ．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（）A ．当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x -y =0，则双曲线的标准方程为221205x y -=C ．抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D ．已知双曲线2214x y m+=，其离心率()1,2e ∈，则m 的取值范围(-12，0)【答案】ACD 【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A ；根据渐近线方程与焦点坐标求出,a b 即可判断B ；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C ；利用双曲线离心率公式即可判断D ．【详解】对A 选项，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点为()2,3P -，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程设为22x py =，将点()2,3P -代入可得23p =，所以243x y =，故A 正确；对B 选项，知5,2bc a==，又22225a b c +==，解得225,20a b ==，所以双曲线的标准方程为221520x y -=，故B 错；对C 选项，得21x y a =，所以准线方程14y a=-，正确；对D 选项，化双曲线方程为2214x y m-=-，所以()1,2e =，解得()12,0m ∈-，故正确．故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，若点M 到两定点(,)A p p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小，则点M 的坐标为______．【答案】,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，根据抛物线的定义可得||||MF MB =，易知当A ，B ，M 三点共线时||MB MA +取得最小值且为||AB ，进而可得结果.【详解】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，由抛物线的定义，知点M 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点M 到准线的距离相等，即||||MF MB =，所以||||||||MF MA MB MA +=+，易知当A ，B ，M 三点共线时，||MB MA +取得最小值，所以min 3(||||)||2p MF MA AB +==，此时点M 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭．故答案为：2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2021·全国高二课时练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.【分析】设=AF a ，=BF b ，根据中位线定理以及抛物线定义可得()12MN a b =+，在AFB △中，)a b +，即可求得MN AB 的最大值．【详解】设=AF a ，=BF b ，作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ，BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义，知AF AQ =，BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，当且仅当a b =时，等号成立，∴)a b +=，即MN AB的最大值为9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭9【解析】抛物线C ：22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭．过A 作AM ⊥准线交准线于M ，过B 作BN ⊥准线交准线于N ，过P 作PK ⊥准线交准线 于K ，则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+．再根据P 为线段AB 的中点，119(||||)||4222AM BN PK +==+=，∴9AF BF +=，故答案为：焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，9AF BF +=．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-.（Ⅱ）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得，2440x kx --=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得，1'2y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相加，得()()2212121148y x x x x x =+-+，化简，得()221y kx k =-+，即()21y k x k =--，所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上.1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+p =（ ）A ．1B ．2C．D ．4【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值.【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d 解得：2p =(6p =-舍去).故选：B.2．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D|AB ．则双曲线的离心率为（ ）ABC ．2D ．3练真题【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22bAB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B 【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.4.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果.【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±,不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧，又||6FQ = ，(6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=-u u u r 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅= 2602p p ⨯-=,0,3p p >∴=Q ，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.5．（2020·山东海南省高考真题）C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =-代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-=解法二：10036640∆=-=>设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=,过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1636．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；【解析】（Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩，1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++，由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++，又22222()220y pxy p y m y p y pm x y m λλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩，012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142, 22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-+222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤，所以，p，此时A .法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m x m+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…，所以当m t ==时，p .。
专题19 抛物线(解析版)
专题19抛物线命题规律内 容典 型１ 抛物线的定义的实际应用 2020年高考北京卷7２ 抛物线简单性质的应用 2020年高考全国Ⅲ卷理数5 ３直线与抛物线的位置关系2020年高考山东卷13命题规律一 抛物线的定义的实际应用【解决之道】对过抛物线焦点的焦半径或弦问题，应根据定义转换为直线与抛物线交点到抛物线的准线距离问题，结合平面几何知识解决. 【三年高考】1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数4】已知A 为抛物线()2:20C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ）A ．2B ．3C ．6D ．9【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p，故选C ．2.【2020年高考北京卷7】设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ；P 是抛物线异己O 的一点，过P 做PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP的垂直平分线经过点P ，故选B ．(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算． 【三年高考】1.【2020年高考全国Ⅲ卷理数5】设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线()2:20C y px p =>交于,D E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 （ ）A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,0D ．()2,0 【答案】B【解析】解法一：∵直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,C D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx π∠=∠=，∴(2,2)C ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，∴其焦点坐标为1(,0)2，故选B ． 解法二：将2=x 代入)0(22>=p px y 得p y 2±=．由OD ⊥OE 得1-=⋅OE OD k k ，即12222-=-⋅p p ，得1=p ，∴抛物线x y C 2:2=的焦点坐标为)0,21(F ，故选B ． 命题规律三 直线与抛物线的位置关系【解决之道】直线与抛物线的位置关系问题，常用设而不求思想，即设点、设直线、代入抛物线，化为关于x 的一元二次方程，利用韦达定理列出坐标与参数的关系，将所求结果用点的坐标表示出来，化为关于参数的关系式，再求解. 【三年高考】1.【2020年高考山东卷13】2:4C y x =的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =__________． 【答案】163【解析】由题抛物线2:4C y x =，可知其焦点为(1,0)F ，准线为:1l x =-，如图所示．作AA l '⊥，BB l '⊥，直线AB 准线交于点H ，由AB k =60θ=，∴30A HA '∠=，由抛物线定义知：||||AA AF '=，||||BB BF '=，又∵||2||AH AA '=，∴F 为AH 中点，∵||2MF =，∴||||4HF AF ==，∵1||||||2BB BF HB '==，∴3||4BF =，∴4||3BF =，∴416||||||433AB AF BF =+=+=．2.【2018年高考全国I 理数】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（ ） A ．5 B ．6 C ．7D ．8【答案】D【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为23的直线方程为()223y x =+，与抛物线方程联立得()22234y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消元整理得：2680y y -+=，解得()()1,2,4,4M N ，又()1,0F ，所以()()0,2,3,4FM FN ==，从而可以求得03248FM FN ⋅=⨯+⨯=，故选D.3.【2018年高考全国Ⅲ理数】已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________． 【答案】2【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以22121244y y x x -=-，所以1212124y y k x x y y -==-+. 取AB 中点()00M x y ',,分别过点A ,B 作抛物线准线1x =-的垂线，垂足分别为,A B ''，设F 为C 的焦点. 因为90AMB ︒∠=,所以()()111222MM AB AF BF AA BB ''==++'=，因为M '为AB 中点，所以MM '平行于x 轴，因为M (−1,1)，所以01y =，则122y y +=，即2k =.。
2020年高考数学【真题母题解密】抛物线及其性质（理）（全国Ⅰ卷）（解析版）
『高考真题·母题解密』『分项汇编·逐一击破』专题04抛物线及其性质【母题来源一】【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 为抛物线C ：y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．9【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知，即，解得.||122A p AF x =+=1292p =+6p =故选C.【名师点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则=23FM FN ⋅A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，23()223y x =+与抛物线方程联立得，消元整理得：，解得，又，()22234y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩2680y y -+=()()1,2,4,4M N ()1,0F 所以，()()0,2,3,4FM FN ==从而可以求得，故选D.03248FM FN ⋅=⨯+⨯=【名师点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程，消元化简求解，从而确定出，之()()1,2,4,4M N 后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积()1,0F 坐标公式求得结果，也可以不求点M 、N 的坐标，应用根与系数的关系得到结果.【母题来源三】【2017年高考全国Ⅰ卷理数】已知F 为抛物线C ：的焦点，过F 作两条互相垂直24y x =的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A 【解析】设，直线的方程为，11223344(,),(,),(,),(,)A x yB x y D x y E x y 1l1(1)y k x =-联立方程，得，∴，214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩2222111240k x k x x k --+=21122124k x x k --+=-212124k k +=同理直线与抛物线的交点满足，2l 22342224k x x k ++=由抛物线定义可知2112342124||||2k AB DE x x x x p k ++=++++=+2222244k k ++=2212448k k ++≥，当且仅当（或）时，取等号．816+=121k k =-=1-故选A ．【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，将到定点的距离转化到准线上；另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握．考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决．此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则α，则，所以22||sin pAB α=2222||πcos sin (+)2p p DE αα==222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+．222222222111sin cos 4()(cos sin )4(24(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=【命题意图】通过考查抛物线的标准方程和简单几何性质，考查数形结合思想的运用和运算求解能力.重点考查方向：（1）了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.（3）了解圆锥曲线的简单应用.（4）理解数形结合的思想.【命题规律】抛物线问题一般以选择题或填空题的形式考查，主要以抛物线的定义、标准方程和焦点弦问题为主，考查数形结合的思想．【答题模板】1．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即或，使问题简化．2PF p x =+2PF py =+2．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论．特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程．3．与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p 与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键．【方法总结】1．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．p 2．确定及应用抛物线性质的关键与技巧：（1）关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．（2）技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．3．抛物线中经常根据定义把点到焦点的距离和点到准线的距离进行互相转化，从而求解．4．有关抛物线上一点M 到抛物线焦点F 和到已知点E （E 在抛物线内）的距离之和的最小值问题，可依据抛物线的图形，过点E 作准线l 的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F 和到已知点E 的距离之和是最小值．5．直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.1．【新疆乌鲁木齐市第八中学2019-2020学年高三第二次月考数学试题】抛物线上的动22(0)y px p =>点到其焦点的距离的最小值为1，则（）Q p =A ．B ．112C ．2D ．4【答案】C【解析】抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值，22(0)y px p =>Q 很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知：.1,22pp =∴=本题选择C 选项.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 由题意结合抛物线的定义确定点的位置，然后求解p 的值即可.2．【2020届甘肃省天水市第一中学高三下学期诊断考试数学试题】已知抛物线上的点到其y 2=ax M(1,m)焦点的距离为，则该抛物线的标准方程为（）2A ．B ．y 2=4xy 2=2xC ．D ．y 2=5xy 2=3x【答案】A【解析】抛物线的准线方程，y 2=ax x =‒a 4∵抛物线上的点到其焦点的距离为，y 2=ax M (1,m )2∴，1+a 4=2∴，即该抛物线的标准方程为，a =4y 2=4x 故选A.【名师点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，是基本知识的考查．利用抛物线的定义，转化列出方程求出a ，即可得到抛物线方程．3．【2020届陕西省西安中学高三下学期第六次模拟数学试题】一动圆的圆心在抛物线上，且动28y x =圆恒与直线相切，则此动圆必过定点（ ）20x +=A ．B ．(4,0)(2,0)C ．D ．(0,2)(0,0)【答案】B 【解析】圆心C 在抛物线上，设与直线相切的切点为A ，与x 轴交点为M ，由抛物线的定义可知，20x +=CA ＝CM ＝R ，直线为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦20x +=点．()2,0故选B.【名师点睛】这个题目考查了抛物线的定义的应用以及圆的定义的应用，一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．设圆和x 轴相交于M 点，根据圆的定义得到CA ＝CM ＝R ，因为x =-2,是抛物线的准线，结合抛物线的定义得到M 点为焦点.4．【2020届广东省惠州市高三6月模拟数学试题】已知是抛物线的焦点，过焦点的直线交抛F y 2=4x F l 物线的准线于点，点在抛物线上且，则直线的斜率为（ ）P A |AP|=|AF|=3l A ．±l B ．2C ．D ．±222【答案】C【解析】因为点在抛物线上，且，点在抛物线的准线上，A y 2=4x |AP|=|AF|=3P 由抛物线的定义可知，直线，设，AP ⊥l A(x,y)则，解得，所以，故，|AP |=x +p2=x +1=3x =2y 2=8A(2,±22)故，又，P(‒1,±22)F(1,0)所以直线的斜率为.l k PF =±22‒2=±2故选C.【名师点睛】本题主要考查求抛物线中直线的斜率，熟记抛物线的定义即可，属于常考题型. 先根据，结合抛物线的定义，求出点坐标，得到点坐标，进而可得直线斜率.|AP|=|AF|=3A P 5．【安徽省滁州市定远县重点中学2020届高三下学期5月模拟数学试题】已知抛物线的焦点为，y 2=2x F 点在抛物线上，以为边作一个等边三角形，若点在抛物线的准线上，则=（ ）P PF PFQ Q |PF |A ．B ．12C ．D ．2223【答案】B【解析】抛物线的焦点坐标，1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭由抛物线的定义可得等于到准线的距离，PF P 因为在准线上，所以与准线垂直与轴平行，,PF PQ Q =PQ x 因为三角形为正三角形，PFQ 所以33QFO PFx ππ∠=⇒∠=可得直线，1:2PF y x ⎫=-⎪⎭可得，2212y xy x ⎧=⎪⎨⎫=-⎪⎪⎭⎩可得，则，32x=y =3,2P ⎛ ⎝等于到准线的距离，故选B.PF P 31222+=【名师点睛】本题考查抛物线的定义与简单性质的应用，属于难题. 求出抛物线的焦点坐标，利用(12,0)抛物线的定义求出直线的倾斜角，可得直线方程，直线方程与抛物线方程联立求得点坐标，再利用抛P 物线的定义求解即可.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.6．【河北省保定市七校2019-2020学年高三上学期第三次联考数学试题】已知是抛物线上一M 24x y =点，为其焦点，为圆的圆心，则的最小值为（ ）F C 22(1)(2)1x y ++-=||||MF MC +A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】设抛物线的准线方程为，为圆的圆心，所以的24x y =:1l y =-C 22(1)(2)1x y ++-=C 坐标为，过作的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可知，所以问题求(1,2)-M l E ||||MF ME =的最小值，就转化为求的最小值，由平面几何的知识可知，当，，||||MF MC +||||MF MC +C M 在一条直线上时，此时，有最小值，最小值为，E CE l ⊥||||ME MC +2(1)3CE =--=故选：B ．【名师点睛】本题考查了抛物线的定义，以及动点到两点定点距离之和最小问题．解决本题的关键是利用抛物线的定义把问题进行转化，属于中档题．设出抛物线的准线方程，问题求的最小||||MF MC +值，结合抛物线的定义，就转化为，在抛物线上找一点，使到点、到抛物线准线距离之和最M M C 小，利用平面几何的知识可以求解出来．7．【2020届河南省濮阳市高三摸底考试数学试题】已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA |﹣|FB ||的值等于（ ）A ．B ．8C ．D ．4【答案】C【解析】F （1，0），故直线AB 的方程为y ＝x ﹣1，联立方程组，可得x 2﹣6x +1＝0，241y x y x ⎧=⎨=-⎩设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系可知x 1+x 2＝6，x 1x 2＝1．由抛物线的定义可知：|FA |＝x 1+1，|FB |＝x 2+1，∴||FA |﹣|FB ||＝|x 1﹣x 2|．==故选C ．【名师点睛】本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．将直线方程代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出的值．1y x =-FA FB -8．【2020届四川省棠湖中学高三下学期第一次在线月考数学试题】若抛物线y 2=4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为（）A ．B ．112C ．D ．232【答案】B【解析】由抛物线的方程，知其准线为，，设，则由抛物线的定义，有1x =-(1,0)F (,)P P P x y ，所以，所以，所以，故选B ．12p x +=1p x =2p y =±1112122OFP P S OF y ∆=⨯⨯=⨯⨯=9．【江西省南昌市2019届高三二模考试数学试题】已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，28y x =F P 且在轴上的投影为点，则的值为（ ）P y E ||||PF PE -A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】因为抛物线，28y x =所以抛物线的准线方程为，2x =-因为在轴上的投影为点，P y E 所以即为点到的距离减去2，PE ||P 2x =-因为点在该抛物线上，P 故点到的距离等于，P 2x =-||PF 所以,PE PF 2=-||||故，||||PF PE 2-=故选B.【名师点睛】本题考查了抛物线的定义，解决问题的关键是要利用抛物线的定义将进行转化.||PE 在轴上的投影为点，由抛物线的定义可得，，故可得结果.P y E PE PF 2=-||||10．【河北省石家庄一中2019-2020学年高三下学期3月质检数学试题】已知抛物线的焦点为，24y x =F 过点和抛物线上一点的直线交抛物线于另一点，则等于（ ）F (2,M l N ||:||NF FM A ．B ．1:3C ．D．1:2【答案】D【解析】抛物线y 2＝4x 的焦点F 为（1，0），则直线MF，=则有，)1l y x =-：联立方程组，)241y x yx ⎧=⎪⎨=-⎪⎩解得，12N ⎛ ⎝由于抛物线的准线方程为x ．1=-∴由抛物线的定义可得，，13122NF =+=∴，213MF =+=∴|NF |：|FM |＝1：2，故选D ．【名师点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，求解交点，考查运算能力，属于基础题．求出抛物线的焦点和准线方程，设出直线l 的方程，联立抛物线方程求得点N ，再由抛物线的定义可得NF ，MF 的长，计算即可得到所求值．11．【2020届辽宁省锦州市渤大附中、育明高中高三下学期开学摸底考试数学试题】已知抛物线：C 的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，若，22(0)y px p =>F F 120︒C A B AF 的中点在轴上的射影分别为，，且的准线方程为（ ）BF y M N MN =C A ．B ．32x =-2x =-C ．D ．3x =-4x =-【答案】C【解析】设AF,FB 的中点分别为D,E,则|AB |=2|DE |,由题得|DE所以|DE |=8,所以|AB |=16，8,=设，则，1122(,),(,)A x y B x y 1212++16,+16x x p x x p=∴=-联立直线和抛物线的方程得，22223,3504)2y pxx px p py x ⎧=⎪∴-+=⎨=-⎪⎩所以，516-,63pp p =∴=所以抛物线的准线方程为x =-3.故选C.【名师点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线的定义和准线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 设AF,FB 的中点分别为D,E,求出|AB |=16，再利用直线和抛物线的方程利用韦达定理求出p 的值，即得抛物线的准线方程.12．【广东省惠州市2019-2020学年高三第三次调研考试数学试题】已知是抛物线的焦点，点，F 2y x =A 在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积B x 2OA OB ⋅=O ABO ∆AFO ∆之和的最小值是（ ）A ．B ．23C D 【答案】B【解析】据题意得，设，则，1(,0)4F 1122(,),(,)A x y B x y 221122,x y x y ==或，因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为221212122,2y y y y y y +==-121y y =,A B x 122y y =-12211111224S x y x y y =-+⨯⨯221221121111112248y y y y y y y y =-+⨯⨯=-+⨯111218y y y =++⨯.11298y y =+112938y y =+≥13．【江西省新余市2019届高三第二次模拟考试数学试题】已知抛物线，过其焦点2:2(0)C y px p =>的直线交抛物线于两点，若，且抛物线上存在点与轴上一点关于F l ,A B 3AF FB =C P x (7,0)Q 直线对称，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）l A ．4B ．5C ．D ．6112【答案】D【解析】设抛物线与的准线为，()220y px p =>':2p l x =-不妨设A 在第一象限，如图所示，分别过点作，垂足为，,A B ','AM l BM l ⊥⊥,M N 过点作交于点，B BC AM ⊥C 则，，,AM AF BN BF==334AF BF AB ==，12AM BN AC AF BF AB ∴-==-=在中，由，可得，Rt ABC ∆12AC AB =60BAC ∠= 轴，，，//AM x 60BAC AFx ∴∠=∠=tan 60ABk ∴==直线方程，由可得2p y x ⎫=-⎪⎭77222P P P P y x y x p ⎧=⎪-⎪⎨+⎫⎪=-⎪⎪⎭⎩点的坐标：,，P 3742P x p =-)2P p y =-代入抛物线的方程化简可得：（负值舍去），234840p p --=6p ⇒=该抛物线的焦点到准线的距离为，6故选D.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于难题.抛物线中与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.14．【2020届湖南师范大学附属中学高三上学期第五次月考数学试题】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设点F 是抛物线y 2=2px 的焦点，l 是该抛物线的准线，过抛物线上一点A 作准线的垂线AB ，垂足为B ，射线AF 交准线l 于点C ，若的“勾”Rt ABC A 、“股”，则抛物线方程为（）3AB =CB =A ．B ．22y x =23y x =C ．D ．24y x =26y x =【答案】B【解析】由题意可知，抛物线的图形如图：，AB 3=BC =可得，AC 6==所以，是正三角形，并且是的中点，所以，则，CAB 60∠=︒ABF A F AC AB 3=3P 2=所以抛物线方程为：．2y 3x =故选B ．【名师点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中合理应用抛物线的定义，合理计算是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．画出抛物线的图形，利用已知条件转化求解，即可得到抛物线的标准方程，得到答P 案．15．【山东省日照五莲县丶潍坊安丘市、潍坊诸城市、临沂兰山区2020届高三6月模拟数学试题】如图，点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆的实线部分上F 28y x =A B 28y x =22(2)16x y -+=运动，且始终平行于轴，则的周长的取值范围是（）AB x ABF ∆A ．B ．(2,6)(6,8)C ．D ．(8,12)(10,14)【答案】C【解析】抛物线的准线，焦点，2l x =-：20F（，）由抛物线定义可得，2A AF x =+圆的圆心为，半径为4，()22216x y -+=20（，）∴的周长，FAB △()246A B A BAF AB BF x x x x =++=++-+=+由抛物线及圆可得交点的横坐标为2，28y x =()22216x y -+=∴，∴，故选C.26B x ∈（，）()6812B x +∈，【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定点横坐标的范围是关B 键，属于中档题. 由抛物线定义可得，从而的周长2A AF x =+FAB A ，确定点横坐标的范围，即可得到结论．()246A B A BAF AB BF x x x x =++=++-+=+B。
2010-2020全国高考数学卷1(理)解析几何题(含答案)
10年高考数学卷1(理) 解析几何试题(附答案)1.(2020全国卷1理4) 已知A 为抛物线2:2(0)C ypx p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．92.(2020全国卷1理15)已知F为双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 斜率为3，则C 的离心率为_______．3.(2020全国卷1理20)已知,A B 分别为椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E的上顶点，8AG GB ⋅=．P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．4.(2019全国卷1理10)已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=5.(2019全国卷1理16)已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．6.(2019全国卷1理20)已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．7.(2018全国卷1理8)设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →= A ．5B ．6C ．7D ．88.(2018全国卷1理11)已知双曲线C ：x 23 - y 2=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N.若ΔOMN 为直角三角形，则|MN|= A ．32B ．3C ．2 3D ．49.(2018全国卷1理19)设椭圆C: x 22 + y 2=1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A,B两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.10.已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，AB DE+的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．1011.(2017全国卷1理15) 已知双曲线2222:x y C a b -，（0a >，0b >）的右顶点为A ，以A为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为_______．12.(2017全国卷1理20)已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，，31P ⎛- ⎝⎭，41P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．13.(2016全国卷1理5)已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值围是（A ）()1,3- （B ）(- （C ）()0,3 （D ）(14.(2016全国卷1理10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=DE|=则C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 15.(2016全国卷1理20)设圆222150xy x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ,D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值围.16.(2015全国卷1理5)已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF •2MF ＜0，则y 0的取值范围是（A ）（） （B ）（，）（C ）（） （D ）（） 17.(2015全国卷1理14)一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 。
2020年高考全国I卷理科数学解析几何解答题评析
查， 在难度设计上， 不仅有层次性， 而且在思维的灵活性和 深刻性， 方法的综合性和创新性等方面给学生提供了多种分 析问题和解决问题的途径.试题难度适中， 区分度好， 发挥数 学学科高考的选拔性功能.
一、 近 5 年高考全国 I 卷理科数学解析几何解答题回顾
类别 2016 年
2017 年
题目
考点
思想方法
应考方略 数学有数
2020 年高考全国 I 卷理科数学解析几何解答题评析
文/广东省江门市教育局教育研究院 钟烙华
2020 年高考全国 I 卷理科数学第 20 题 （文科第 21 题） 是解析几何解答题， 第 1 问是用平面向量数量积包装， 确定 参数的值， 从而确定椭圆的方程， 解法简单直接； 第 2 问是 证明动直线经过定点， 入口宽， 方法多.本题重视数学运算、 直观想象和逻辑推理等数学核心素养， 突出对运算能力的考
线 C1， 直线 l 交 C1 于 M， N 两点， 过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 点 到 直 线 的 距 离 、 入、 分类讨论
P， Q 两点， 求四边形 MPNQ 面积的取值范围.
弦长公式
20. 已知椭圆 C：
ｘ２ ａ２
＋
ｙ２ ｂ２＝１（aFra bibliotekb>0），
四点 P1
（1, 1）， P2
整体代
C， PB 与 E 的另一个交点为 D. （1） 求 E 的方程； （2） 证明： 直线 CD 程、 动直线过定点 入、 分类讨论
过定点.
从上表可以得出， 近 5 年高考全国 I 卷理科数学解析几 何解答题不仅题型稳定， 而且难度也稳定， 为平稳过渡新高 考奠定基础.5 年第 1 问都是求曲线方程， 2016、 2017、 2020 这三年都是求椭圆的标准方程， 2018、 2019 这两年都是求直 线方程. 第 2 问中 2017、 2020 这两年都是证明动直线经过定
专题05 2020版平面解析几何(原卷版)
x
p 交于 E，G 两点，若
2
sinMFG 1 ，则抛物线 C 的方程是 3
A． y2 x
B． y2 2x
C． y2 4x
D． y2 8x
9．【2020·湖北省高三其他（理）】已知过抛物线 C : y2 4x 焦点 F 的直线交抛物线 C 于 P ， Q 两点，交圆
x2 y2 2x 0 于 M ， N 两点，其中 P ， M 位于第一象限，则
,
0
B．
1 2
,
0
C． (1, 0)
D． (2, 0)
x2
4．【2020 年高考全国Ⅲ卷理数】11.设双曲线 C：
a2
y2 b2
1 （a>0，b>0）的左、右焦点分别为 F1，F2，
离心率为 5 ．P 是 C 上一点，且 F1P⊥F2P．若△PF1F2 的面积为 4，则 a=
A． 1 C． 4
14．【2020 年高考北京】已知双曲线 C : x2 y2 1，则 C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐 63
近线的距离是_________．
15．【2020 年高考浙江】已知直线 y kx b(k 0) 与圆 x2 y2 1 和圆 (x 4)2 y2 1均相切，则 k _______，
21．【2020
x2 年高考全国Ⅲ卷理数】已知椭圆 C :
25
y2 m2
1(0 m 5) 的离心率为
15 ， A ， B 分别为 C 的 4
左、右顶点．
（1）求 C 的方程； （2）若点 P 在 C 上，点 Q 在直线 x 6 上，且 | BP || BQ | ， BP BQ ，求 △APQ 的面积．
1 PM
2020全国1卷高考数学试题(解析版+试卷版)
2020全国1卷高考数学试题（试卷版+解析版）1．若1z i =+，则2|2|(z z -= )A ．0B ．1C ．2D ．22．设集合}04|{2≤-=x x A ，}02|{≤+=a x x B 且}12|{≤≤-=x x B A ,则(a = )A ．4-B ．2-C ．2D ．43．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A 51-B 51-C 51+D 51+ 4．已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则(p = )A ．2B ．3C ．6D ．95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C)︒的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(i x ，)(1i y i =，2，⋯，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C ︒至40C ︒之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．xy a be =+D ．y a blnx =+6．函数43()2f x x x =-的图象在点(1，f （1）)处的切线方程为( ) A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+7．设函数()cos()6f x x πω=+在[π-，]π的图象大致如图，则()f x 的最小正周期为( )A ．109πB ．76π C ．43π D ．32π 8．25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为( )A ．5B ．10C ．15D ．209．已知(0,)απ∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin (α= )A 5B ．23C ．13D 510．已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC ∆的外接圆．若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为( )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π11．已知22:2220M x y x y +---=，直线:220l x y ++=，P 为l 上的动点．过点P 作M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当||||PM AB 最小时，直线AB 的方程为( )A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=12．若242log 42log aba b +=+，则( ) A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考数学(理)之高频考点解密21 抛物线(解析版)
解密21抛物线考点1 抛物线的定义及方程题组一抛物线的定义的应用调研1 已知抛物线y2=4x的焦点为F，抛物线上一点P，若|PF|=5，则ΔPOF的面积为A．2 B．3C．4 D．5【答案】A【解析】由抛物线y2=4x知F（1，0），准线方程为x=﹣1，设P （x 0，y 0），则|PF |=x 0+1=5，即x 0=4， 不妨设P 在第一象限，则P （4，4）， ∴POF S =△12×|FO |×|y 0|=12×1×4=2． 故选A ．☆技巧点拨☆抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即2PF px =+或2PF py =+，使问题简化． 抛物线的定义常在高考中作为转为问题的工具，需熟练掌握.题组二 求抛物线的方程调研2 已知抛物线y 2=24ax(a >0)上的点M(3,y 0)到焦点的距离是5，则抛物线的方程为 A ．y 2=8x B ．y 2=12x C ．y 2=16x D ．y 2=20x【答案】A【解析】由题意知，3+6a =5，则a =13，∴抛物线的方程为y 2=8x ． 故选A.调研3 已知直线:10l x y -+=与焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>相切. （1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值. 【解析】（1）将:10l x y -+=与抛物线2:2C y px =联立，得2220y py p -+=，l Q 与C 相切，2480p p ∆∴=-=，解得：2p =，∴抛物线C 的方程为24y x =.（2）由题意知，直线m 的斜率不为0，可设直线m 的方程为1x ty =+，联立241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，得2440y ty --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，212121142x x ty ty t ∴+=+++=+，∴线段AB 的中点()221,2M t t +，设,,A B M 到直线l 的距离分别为,,A B M d d d ，则221322124A B M d d d t t ⎫+===-+=-+⎪⎭，2133244t ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭Q ，∴当12t =时，2min 133244t ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， ,A B ∴两点到直线l的距离之和的最小值为342=.☆技巧点拨☆高考中常求抛物线的方程，一般会与其他知识相结合，求抛物线方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.考点2 抛物线的性质题组一 焦点弦问题调研 1 已知点()()121,,9,A y B y 是抛物线22(0)y px p =>上的两点，210y y >>，点F 是它的焦点，若5BF AF =，则212y y +的值为__________．【答案】10【解析】由抛物线的定义可得1,922p p AF BF =+=+， 依据题设可得595222p pp +=+⇒=， 则22122414,49366y y y =⨯==⨯=⇒=（舍去负值），故21210y y +=，应填10.调研2 已知点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，M ，N 是该抛物线上两点，|MF |+|NF |=6，则线段MN 的中点的横坐标为__________． 【答案】2【解析】∵抛物线y 2=4x,∴准线方程为x =−1， 由|MF |+|NF |=6，可得x M +1+x N +1=6， 即x M +x N =4， ∴MN 的中点的横坐标为22M Nx x +=. 题组二 最值问题调研3 已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，点A 的坐标为()2,6，点P 是C 上的任意一点，当P 在点1P 时，PF PA -取得最大值；当P 在点2P 时，PF PA -取得最小值，则1P ，2P 两点间的距离为__________．【答案】2【解析】由抛物线的方程为28y x =，得点F 的坐标为()20，， 当PA 平行于x 轴时，PF PA -取得最大值，则1P 的坐标为962⎛⎫ ⎪⎝⎭，； 当P F A ，，三点共线，且点F 在P A ，之间时，PF PA -取得最小值，由点A 的坐标为()26，，得2P 的坐标为()24-，，所以122PP =． 调研4 设P 为抛物线28y x =上的动点，P 在y 轴的投影为点M ，点(4,6)A ，则||||PA PM +的最小值是________.【答案】2【解析】由题得焦点(2,0)F ，准线2x =-，延长PM 交准线于H 点，则有||||PF PH =，||||2||2PM PH PF ∴=-=-，||||||||2PM PA PF PA ∴+=+-，即求出||||PF PA +的最小值即可．已知点A 在抛物线外，由三角形两边之和大于第三边可知||||||PF PA FA +≥，当点P 是线段F A 和抛物线的交点时，||||PF PA +可取得最小值为||FA ，由两点之间距离公式计算求得||FA =则||||PA PM +的最小值是2．☆技巧点拨☆有关抛物线上一点M 到抛物线焦点F 和到已知点E （E 在抛物线内）的距离之和的最小值问题，可依据抛物线的图形，过点E 作准线l 的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F 和到已知点E 的距离之和是最小值.1．（四川省凉山州2019-2020学年高三第一次诊断性检测数学）抛物线230x y +=的准线方程为A ．34x = B ．32x =-C ．34y =D ．32y =-【答案】C【解析】由抛物线230x y +=有23x y =-，根据抛物线的标准方程可得32p =. 则其准线方程为：34y =. 故选C.2．（重庆市第八中学2019-2020学年高三第四次月考（12月）数学）抛物线24y x =上一点()11,M x y 到其焦点的距离为3，则点M 到坐标原点的距离为A ．2 BC ．D 【答案】C【解析】由24y x =可知，抛物线的准线方程为1x =-，则113x +=，解得12x =，代入24y x =可得，1y =±，则点M =故选C ．3．（山西省晋城市2019-2020学年高三第一次模拟考试数学）已知P 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的一点，F 是抛物线C 的焦点，O 为坐标原点，若||2PF =，π3∠=PFO ，则抛物线C 的方程为 A ．26y x = B ．22y x = C ．2y x =D ．24y x =【答案】A【解析】过P 向x 轴作垂线，设垂足为Q ，∵π3∠=PFO ，||2PF =，∴||PQ =||1QF =，(1,2pP -， 将P 点的坐标代入22y px =，得3p =，故C 的方程为26y x =. 故选A.4．（广东省潮州市2019-2020学年高三上学期期末数学）已知双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为 A ．2√5 B ．2√3 C ．4√3 D ．4√5【答案】A【解析】根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1）， 即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为2=-px ，则p =4， 则抛物线的焦点为（2，0），则双曲线的左顶点为（-2，0），即a =2，点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为12=±y x ， 由双曲线的性质，可得b =1，则c 2c =2√5. 故选A ．5．（山西省晋城市2019-2020学年高三第一次模拟数学）斜率为3的直线l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，若l 与圆22:(2)4M x y -+=相切，则p =A ．12B ．8C ．10D ．6【答案】A30°，即30MFA ∠=︒ 结合题意作图，由图可得||2||4MF AM ==，2242pr ∴-==，解得12p =. 故选A.6．（河北省保定七校2019-2020学年高三上学期第三次联考）已知M 是抛物线x 2=4y 上一点，F 为其焦点，C 为圆(x +1)2+(y −2)2=1的圆心，则|MF |+|MC |的最小值为A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】设抛物线x 2=4y 的准线方程为l:y =−1，C 为圆(x +1)2+(y −2)2=1的圆心，所以C 的坐标为(−1,2)，过M 作l 的垂线，垂足为E ,根据抛物线的定义可知|MF |=|ME |,所以问题求|MF |+|MC |的最小值，就转化为求|MC |+|ME |的最小值，由平面几何的知识可知，当C,M,E 在一条直线上时，此时CE ⊥l ，|MC |+|ME |有最小值，最小值为CE =2−(−1)=3，故本题选B ．7．（广东省佛山市2019-2020学年高三教学质量检测（一)数学）已知抛物线22y px =上不同三点A ，B ，C 的横坐标成等差数列，那么下列说法正确的是A ．A ，B ，C 的纵坐标成等差数列B ．A ，B ，C 到x 轴的距离成等差数列 C ．A ，B ，C 到点()0,0O 的距离成等差数列D ．A ，B ，C 到点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离成等差数列 【答案】D【解析】设抛物线上三点A ，B ，C 的坐标分别为(),a a x y ，(),b b x y ，(),c c x y ， 则A ，B ，C 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离分别为2a p AF x =+，2b p BF x =+，2c p CF x =+，Q a x 、b x 、c x 成等差数列，AF ∴，BF ，CF 也成等差数列.故选D.8．（2019年12月四川省成都市双流区棠湖中学一模数学）已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .若点F 是AC 的中点，则线段BC 的长为 A ．83B ．3C ．163D ．6【答案】C【解析】如图，A 在准线上的射影为E ，B 在准线上的射影为H ，由抛物线y 2=8x ，得焦点F （2，0），∵点F 是的AC 中点，∴AE =2p =8，则AF =8，∴A 点横坐标为6，代入抛物线方程，可得(6,A .62AF k ∴==-AF 所在直线方程为)2y x =-.联立方程：)228y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩可得：2320120x x -+=， 264,3B B x x ∴==，则28||||233==+=BF BH . 故816||||||||||833=-=-=-=BC CF BF AF BF . 故选C ．9．（河南省新乡市2019届高三第一次模拟考试）已知点M(x,y)是抛物线y 2=4x 上的动点，则√(x −2)2+(y −1)2+√(x −1)2+y 2的最小值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】A【解析】因为√(x −1)2+y 2表示点M(x,y)到点F(1,0)的距离，即点M(x,y)到抛物线y 2=4x 的准线x =−1的距离，因为√(x −2)2+(y −1)2表示点M(x,y)到点A(2,1)的距离，所以√(x −2)2+(y −1)2+√(x −1)2+y 2的最小值为点A(2,1)到抛物线y 2=4x 的准线x =−1的距离3，即(√(x −2)2+(y −1)2+√(x −1)2+y 2)min =3. 故选A.10．（辽宁省沈阳市五校协作体2019-2020学年高三上学期期中考试数学）已知O 为坐标原点，抛物线2:8C y x =上一点A 到焦点F 的距离为4，若点P 为抛物线C 准线上的动点，则OP AP +的最小值为A ．B ．8C ．D ．【答案】A【解析】抛物线28y x =的准线方程为2x =-，如图，∵4AF =，∴A 到准线的距离为4，即A 点的横坐标为2， ∵点A 在抛物线上，∴A 的坐标()2,4A ， ∵坐标原点关于准线的对称点的坐标为()4,0B -， ∴PO PB =，∴PA PO +的最小值为AB ==故选A ．11．（江苏省盐城中学2019-2020学年高三年级第二次阶段性质量检测（12月）数学）在平面直角坐标系xOy中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为__________． 【答案】4【解析】因为抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，即1+2p =3，所以2p=2，则焦点到准线的距离为p =4.12．（甘肃省兰州市城关区第一中学2019-2020学年高三上学期期中数学）已知点F 是抛物线2:4C y x =的焦点，点M 为抛物线C 上任意一点，过点M 向圆221(1)2x y -+=作切线，切点分别为,A B ，则四边形AFBM 面积的最小值为_________． 【答案】12【解析】如下图所示：圆的圆心与抛物线的焦点重合，若四边形AFBM 的面积最小，则MF 最小， 即M 距离准线最近，故满足条件时，M 与原点重合，此时||1,||||===MF BF BM ，此时四边形AFBM 面积11222222△==⨯⨯⨯=BMF S S ， 故答案为12． 13．（陕西省宝鸡市宝鸡中学、西安三中等五校2020届高三上学期第一次联考数学）已知抛物线2C :2(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，且直线l 与圆222304x px y p -+-=交于,C D 两点，若3AB CD =,则直线l 的斜率为__________．【答案】【解析】由题意得，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由222304x px y p -+-=，配方为2222p x y p ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，可得2CD p =，所以直线l 过圆心,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，可设直线l 的方程为()()1122,,,,2p y k x A x y B x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，化为222204p p x p x k ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，1222p x x p k ∴+=+， 12222p AB x x p p k∴=++=+， 由223,26p AB CD p p k =∴+=，可得212k k =⇒±，故答案为2±. 14．（四川省泸县泸州市第四中学2019-2020学年高三上学期期末考试数学）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，AF BF ⊥，线段AB 的中点为M ，过点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为N ，则ABMN的最小值为____．【解析】如图所示，设抛物线的准线为l ，作AQ l ⊥于点Q ，BP l ⊥于点P ，由抛物线的定义可设：,AF AQ a BF BP b ====，由勾股定理可知：AB ==由梯形中位线的性质可得：2a bMN +=，则22AB a b MN=≥=+ 当且仅当a b =时等号成立.即ABMN. 15．（福建省高三毕业班第三次质量检查）已知抛物线C:y 2=2px(p >0)上的点M(x 0,y 0)到点N(2,0)距离的最小值为√3. (1)求抛物线C 的方程;(2)若x 0>2,圆E:(x −1)2+y 2=1,过M 作圆E 的两条切线分别交y 轴于A(0,a),B(0,b)两点,求MAB △面积的最小值.【解析】(1)|MN|=√(x 0−2)2+(y 0−0)2,∵y 02=2px 0,∴|MN|2=x 02−4x 0+4+2px 0=x 02−2(2−p)x 0+4=[x 0−(2−p)]2+4−(2−p)2. ∵x 0≥0,∴当2−p ≤0即p ≥2时,|MN|min =2， 不符合题意,舍去；则2−p >0，即0<p <2时,|MN|min =√4−(2−p)2=√3, ∴(2−p)2=1,得p =1或p =3(舍去), ∴y 2=2x .(2)由题意可知,00MA y ak x -=, 所以直线MA 的方程为00y ay x a x -=+,即(y 0−a)x −x 0y +ax 0=0, 则1=,∴(y 0−a)2+x 02=|y 0−a +ax 0|2,整理得()2000220a x ay x -+-=, 同理，()2000220bx by x -+-=,∴a,b 为方程(x 0−2)x 2+2y 0x −x 0=0的两根,则00002,22y xa b ab x x +=-=---, 则022x a b x -==-, ∵x 0>2,∴2200000000044144224822222x x S a b x x x x x x x -+=-⋅===++=-++≥----， 当且仅当x 0=4时,取得最小值. 故MAB △面积的最小值为8.16．（湖北省荆门市两校2019-2020学年高三9月月考）已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q（0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r ，求证：11λμ+为定值．【解析】（1）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2）， 所以4=2p ，解得p =2， 所以抛物线的方程为y 2=4x ．由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）．由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩得()222410k x k x +-+=． 依题意()2224410=--⨯⨯>k k ∆，解得k <0或0<k <1． 又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2），从而k ≠-3． 所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 由（1）知12224k x x k -+=-，1221x x k =． 直线P A 的方程为()112211y y x x --=--．令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--． 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-．由=QM QO λu u u u v u u u v ，=QN QO μu u u v u u u v得=1M y λ-，1N y μ=-．所以()()()2212121212122224211111111=21111111M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+-+--+=+=+=⋅=⋅------． 所以11λμ+为定值．1．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y p p +=的一个焦点， 所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ． 2．（2016新课标全国I 理科）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB|=|DE|=C 的焦点到准线的距离为 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】B【解析】如图，设抛物线方程为22y px =(p >0)，圆的半径为r ,,AB DE 分别交x 轴于,C F 点，则||AC =即A 点纵坐标为，则A 点横坐标为4p ，即4||OC p=，由勾股定理知2222||||||DF OF DO r +==，2222||||||AC OC AO r +==，即222()2p+=+24()p，解得4p =， 即C 的焦点到准线的距离为4，故选B ．【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.3．（2017新课标全国II 理科）已知F 是抛物线:C 28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =_______________． 【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l ⊥于点B ，NA l ⊥于点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-， 则||2,||4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线||||||32AN FF'BM +==，由抛物线的定义有：||||3MF MB ==，结合题意，有||||3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．4．（2016新课标全国III 理科）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ P ；（2）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． 【解析】由题可知)0,21(F ．设1:l y a =，2:l y b =，则0≠ab ，且2(,)2a A a ，2(,)2b B b ，1(,)2P a -，1(,)2Q b -，1(,)22a b R +-． 记过A ，B 两点的直线为l ，则直线l 的方程为0)(2=++-ab y b a x ． （1）由于F 在线段AB 上，故01=+ab ．记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ， 则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以AR FQ P ． （2）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则1111||||||||222ABF S b a FD b a x =-=--△，||2PQF a b S -=△．由题设可得11||||||22a b b a x ---=，所以01=x (舍去)或11=x ． 设满足条件的AB 的中点为),(y x E ． 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =，可得)1(12≠-=+x x y b a ， 而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y ． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以所求轨迹方程为12-=x y ．。
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专题09 解析几何第二十四讲 抛物线2019年1.（2019全国II 文9）若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3C ．4D ．82.（2019浙江21）如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S . （1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标.3.(2019全国III 文21）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.2015-2018年一、选择题1．（2017新课标Ⅱ）过抛物线C ：24y x =的焦点F ，3的直线交C 于点M (M在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为A B ． C ． D ．2．（2016年全国II 卷）设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = A ．12 B ．1 C ．32D ．23．（2015陕西）已知抛物线22y px =(0p >)的准线经过点(1,1)-，则该抛物线的焦点坐标为A ．(－1，0)B ．(1，0)C ．(0，－1)D ．(0，1)4．（2015四川）设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆222(5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 A ．()13， B ．()14， C ．()23， D ．()24， 二、填空题5．(2018北京)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________．6．（2015陕西）若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p = 三、解答题7．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线24=：C y x 的焦点为F ，过F 且斜率为(0)>k k 的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8=AB ．(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．8．（2018浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：24y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆2214y x +=(0x <)上的动点，求PAB ∆面积的取值范围． 9．（2017新课标Ⅰ）设A ，B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程．10．（2017浙江）如图，已知抛物线2x y =．点11(,)24A -，39(,)24B ，抛物线上的点(,)P x y 13()22x -<<，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．x（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求||||PA PQ ⋅的最大值．11．（2016年全国I 卷）在直角坐标系xOy 中，直线l ：(0)y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C于点H ． （I ）求||||OH ON ； （II ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．12．（2016年全国III 卷）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ P ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．13．（2016年浙江）如图，设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于||1AF -． （I ）求p 的值；（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围．14．（2015浙江）如图，已知抛物线1C ：214y x =，圆2C ：22(1)1x y +-=，过点(,0)(>0)P t t 作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，,A B 为切点．（Ⅰ）求点,A B 的坐标； （Ⅱ）求PAB ∆的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．15．（2015福建）已知点F 为抛物线:E 22y px =（0p >）的焦点，点()2,m A 在抛物线E 上，且3ΑF =．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点()1,0G -，延长ΑF 交抛物线E 于点Β，证明：以点F 为圆心且与直线G Α相切的圆，必与直线G Β相切．专题09 解析几何第二十四讲 抛物线答案部分2019年1.【解析】由题意可得：232p p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得8p =．故选D ．2.【解析】（I ）由题意得12p=，即p =2. 所以，抛物线的准线方程为x =−1.（Ⅱ）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得 ()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故220c t y t-+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t -=-，得()21,0Q t -. 由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23Ac t t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-. 令22m t =-，则m >0，1221222134324S m S m m m m =-=-=+++++….当m =12S S取得最小值1+，此时G （2，0）.3.【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- ，整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，||EM u u u u r =2，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||EM =u u u u r 22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.2015-2018年1．C 【解析】由题意可知，如图60MFx ∠=o，又抛物线的定义得MF MN =，所以MNF ∆为等边三角形，在三角形NFH 中，2FH =，cos 60FHNF=o ，得4NF =，所以M 到NF 的距离为等边三角形MNF ∆中NFNF =C ．x2．D 【解析】易知抛物线的焦点为(1,0)F ，设(,)P P P x y ，由PF x ⊥轴得1P x =，代入抛物线方程得2P y =(2-舍去)，把(1,2)P 代入曲线(0)ky k x=>的2k =，故选D ． 3．B 【解析】因为抛物线的准线方程为12px =-=-，∴2p =，∴焦点坐标为(1,0)． 4．D 【解析】当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰好有2条，即5x r =±，所以05r <<；所以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有2条即可．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，则12012022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩．又21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，121212042AB y y k x x y y y -===-+．设圆心为(5,0)C ，则005CM y k x =-，因为直线l 与圆相切， 所以000215y y x ⋅=--，解得03x =，于是2204y r =-，2r >，又2004y x <， 即2412r -<，所以04r <<，又05r <<，2r >所以24r <<，选D ．5．(1,0)【解析】由题意知0a >，对于24y ax =，当1x =时，y =±l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，所以4=，所以1a =，所以抛物线的焦点坐标为(1.0)．6．22y px =的准线方程为2p x =-，又0p >，所以2px =-必经过双曲线221x y -=的左焦点(，所以2p-=，p = 7．【解析】(1)由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+>，故122224k x k x ++=．所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=．由题设知22448k k+=，解得1k =-（舍去），1k =． 因此l 的方程为1y x =-．(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--， 即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．8．【解析】(1)设00(,)P x y ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程221014()422y x y y ++=⋅即2210100280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴．(2)由(1)可知1202120028y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB ∆的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x ∆=⋅-=-． 因为220014y x +=0(0)x <，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈． 因此，PAB ∆面积的取值范围是． 9．【解析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x ≠，2114x y =，2224x y =，x 1+x 2=4，于是直线AB 的斜率12121214y y x x k x x -+===-． （2）由24x y =，得2xy'=．设33(,)M x y ，由题设知312x =，解得32x =，于是(2,1)M ． 设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为(2,2)N m +，|||1|MN m =+．将y x m =+代入24x y =得2440x x m --=．当16(1)0m ∆=+>，即1m >-时，1,22x =±从而12||AB x x -=．由题设知||2||AB MN =，即2(1)m =+，解得7m =． 所以直线AB 的方程为7y x =+． 10．【解析】（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-。