信号与线性系统分析[总结]

总结
卷积积分的性质
d f 1 (t ) d n f 2 (t ) d f 1 (t ) * f 2 (t ) * f 2 (t ) f 1 (t ) * n n dt dt dtn
n
f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t) ε(t) *ε(t) = tε(t) f(t)*δ(t –t0) = f(t – t0) f(t)*δ’(t) = f’(t) t f(t)*ε(t) f ( ) (t ) d f ( ) d

n


t

[ f 1 ( ) * f 2 ( )] d [ f 1 ( ) d ] * f 2 (t ) f 1 (t ) * [ f 2 ( ) d ]

t
t
在f1(– ∞) = 0或f2(–1)(∞) = 0的前提下， f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t) 若 f(t) = f1(t)* f2(t)， 则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2)

f1 ( ) f 2 (t )d
f1 ( ) f 2 ( t )d
R12 (t ) f1 (t )* f 2 (t )
总结 第三章 离散系统的时域分析
差分与差分方程，时域解法，单位序列响应，阶跃响应 卷积和 f (k ) f1 (i) f 2 (k i)
直观判断方法： 若 f (· )前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。 方程中均为输出、输入序列的一次关系项，则是线性的。输入输出序 列前的系数为常数，且无反转、展缩变换，则为时不变的。
因果，稳定（见第七章）。
总结 第二章 连续系统的时域分析
系统的时域求解，冲激响应，阶跃响应。 时域卷积： f1 (t ) *
总结 信号的时间变换运算
1. 反转
将 f (t) → f (– t) ， f (k) → f (– k) 称为对信号f (· ) 的反转或反折。从图形上看是将f (· )以纵坐标为轴反 转180o。如
f (t) 1 o 1 t 反转 t → - t 1 -1 f (- t )
o
t
总结
2. 平移
f(k)*ε(k) =
i
f (i)
k
[f1(k)* f2(k)] = f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k)
1

2
(2 i )
-2
2
3
k i
（3） f2(–i)右移2得f2(2–i) （4） f1(i)乘f2(2–i) （5）求和，得f(2) = 4.5
f2(–i )
-2
f2(2–i)
2 3
i k
总结
例2 f1(k) ={0， 2 ， 1 ， 5，0} ↑k=1 f2(k) ={0， 3 ， 4，0，6，0} ↑k=0
f1(2-τ)
2 f 2( τt )
τ t
f (2) f 2 ( ) f1 (2 ) d


1 1 3
τ t
（1）换元 （2） f1(τ)得f1(–τ) （3） f1(–τ)右移2得f1(2–τ)
-1 -1 （4） f1(2–τ)乘f2(τ) （5）积分，得f(2) = 0（面积为0）
②两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两 周期序列之和一定是周期序列。
•两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为 有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最 小公倍数。
总结
能量信号与功率信号
将信号f (t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功 率为| f (t) |2，在区间(–∞ , ∞)的能量和平均功率定义为
( t ) d t t
( t ) ( t )



( t ) d t 0
总结
1, k 0 (k ) 0, k 0
def
1, k 0 (k ) 0, k 0
def
f(k)δ(k) = f(0)δ(k) f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0)
(t ) e at (t ) (1 e at ) (t )
f (t ) T (t ) f (t )
1 a
m
(t mT )


f (t mT )
m
总结
卷积和相关
f1 (t ) * f 2 (t ) R12 (t )
δ(k) = ε(k) –ε(k –1)
(k )
k
f (k ) (k )

i
(i)
k
f ( 0)
(k ) (k j )
j 0

总结
系统性质分析
线性性质： af1(· ) +bf2(· ) →ay1(· )+by2(· ) 时不变性：f(t ) → yzs(t ) f(t - td) → yzs(t - td)
信号与线性系统分析
Analysis of Signals and Linear System
总结 第一章 信号与系统
判断信号周期性
连续周期信号f(t)满足 f(t) = f(tຫໍສະໝຸດ Baidu+ mT)，m = 0,±1,±2,… 离散周期信号f(k)满足 f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,…
(t ) (t ) t (t )
e at (t ) e at (t ) te at (t ) 1 a1t a2t e (t ) e (t ) (e a1t e a2t ) (t ) a2 a1 (a1 a2 )
f (t -4)
左移4，得f (t)
1 o 2 4 6 t
总结
阶跃函数和冲激函数
(t ) 0 t 0 (t ) d t 1
(t ) ( ) d

t

( ) d t (t )
t
d (t ) (t ) dt
( t ) f ( t ) f ( 0 ) ( t )
f(t) δ’(t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t)



( t ) f ( t ) d t f (0)
f (t ) (t t 0 ) f (t 0 ) (t t 0 )



' (t ) f (t ) d t f ' ( 0 )
满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。 不具有周期性的信号称为非周期信号。
总结
①连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不 一定是周期序列。
•sin2t是周期信号，其角频率和周期为ω1= 2 rad/s，T1= 2π/ ω1= πs •仅当2π/ β为整数时，正弦序列才具有周期N = 2π/ β。 •当2π/ β为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周期为N= M(2π/ β)，M取使N为整数的最小整数。 •当2π/ β为无理数时，正弦序列为非周期序列。
1 o t
总结
3. 尺度变换（横坐标展缩）
将 f (t) → f (a t) ， 称为对信号f (t)的尺度变换。 若a >1 ，则波形沿横坐标压缩；若0< a < 1 ，则展开 。 f (2 t ) 如 1 t → 2t 压缩
f(t) 1 -2 o 2 t
-1 o 1
1 -4 o 4 t
t
f (0.5 t )
将 f (t) → f (t – t0) ， f (k) → f (k – k0)称为对信号f (· )的 平移或移位。若t0 (或k0) >0，则将f (· )右移；否则左移。 如 f (t-1)
f (t) 1 o 1 t
右移t → t – 1
o 1 2
1 t
f (t+1)
左移t → t + 1
-1
( t ) (t )
1 at t a

(n)
1 1 (n) ( at ) n (t ) |a| a




(n)
(t ) f (t ) d t ( 1) n f
(n)
(0)
t

( t t 0 ) f ( t ) d t f ( t 0 )
f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d


图解法一般比较繁琐，但若只求某一 2 f1(-τ) 时刻卷积值时还是比较方便的。确定 积分的上下限是关键。 f1(t)、 f2(t)如图所示，已知f(t) = f2(t)* f1(t)， -2 求f(2) =？ 解：
f 1( τt )
总结
常见的卷积公式
K f (t ) K [ f (t )波形的净面积值] f (t ) (t ) f (t ) f (t ) (t ) f (t ) (t ) f (t ) f (t ) ( n ) (t ) f ( n ) (t ) f (t ) (t ) f (t ) ( 1) (t ) f ( 1) (t ) (t ) f ( 1) (t )
解: 3 ， 4， 0， 6 求f(k) = f1(k)* f2(k)
2，1，5 ×———————— 15 ，20， 0， 30 3 ， 4， 0， 6 6 ，8， 0， 12 + ———————————— 6 ，11，19，32，6，30
f(k) = {0，6 ，11，19，32，6，30} ↑k=1 注：教材中提到的列表法与 这里介绍的不进位乘法本质 是一样的。
总结
常用卷积和公式
(1) f (k ) * (k ) f (k );
(2) f (k ) * (k k0 ) f (k k0 );
(3) (k ) * (k ) (k );
(4) (k k1 ) * (k k 2 ) (k k1 k 2 ); (5) f1 (k k1 ) * f 2 (k ) f1 (k ) * f 2 (k k1 ); (6) f1 (k k1 ) * f 2 (k k 2 ) f1 (k k 2 ) * f 2 (k k1 ) f1 (k ) * f 2 (k k1 k 2 ) f1 (k k1 k 2 ) * f 2 (k )
压缩，得f (2t – 4)
反转，得f (– 2t – 4)
o f (2t -4) 1 1 2 3 t
总结
若已知f (– 4 – 2t) ，画出 f (t) 。
f (-2t -4) 1 -3 -1 o t
f (2t -4)
反转，得f (2t –4)
o
1 1 2 3 t
展开，得f (t – 4)
f(t) 1 -2 o 2 t
（1）信号的能量E
（2）信号的功率P
E
def
def


f (t ) d t
2
1 P lim T T

T 2 T 2
f (t ) d t
2
若信号f (t)的能量有界，即 E <∞ ,则称其为能量 有限信号，简称能量信号。此时 P = 0 若信号f (t)的功率有界，即 P <∞ ,则称其为功率有 限信号，简称功率信号。此时 E = ∞
i
例1：f1(k)、 f2(k)如图所示，已知f(k) = f1(k)* f2(k)，求f(2) =？
解： f (2) （1）换元 （2） f2(i)反转得f2(– i)
i
f1( k i ) 1.5 1 -1 0 1 -1 0 1 1 f2( k i ) 1.5
2
f (i) f
t → 0.5t 展开
总结
平移、反转、尺度变换相结合
例1 已知f (t)，画出 f (– 4 – 2t)。
f(t) 1 -2 o
f (-2t -4) 1 -3 -1 o t
三种运算的次序可任意。但 一定要注意始终对时间 t 进 行。
f (t -4)
右移4，得f (t – 4)
2 t
o
1 2 4 6 t