0.7+加权余量法

Ii S
Bi
dS = 0 式的权平均意
加权余量法对许多非线性问题具有收敛性，当 m → ∞ 时 φ 趋向 φ 。但是至今还缺少在一般情况下 的收敛性和误差界限的研究。 加权余量法对权的选取，有许多不同的形式。若权函数 Wi ( i = 1, 2 , m ) 就取试探函数项 N i ，这 种加权余量法就是熟知的 Galerkin 法。即
= RI L φ − f
()
（在 V 内
）
和
= RB B φ − g
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
()
（在 S 边界）
可见， RI , RB 反映了试函数与真实解之间的误差，即余量。加权余量法就是要选择 m 个参数 ci ，使余 量 RI , RB 在某种权平均意义下为零。在 V 内选择 WIi ( i = 1, 2 , m ) 为 m 个线性独立的权函数，在边界
()
Bi
R dS ∫ W=
S B
0= ( i 1, 2 m )
3、混合法
试函数不满足控制方程和边界条件，此时用式 除余量。
41
∫ W R dV + ∫ W
V Ii I S
Bi
RB dS = 0
1, 2 m ) 消 (i =
显然，混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。对内部法和边界法 必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量 较小。
e
由于试函数 φ 的不同，余量 RI , RB 可能有如下三种情况，依此加权余量法可分为： 1、内部法 试函数满足边界条件，也即 R = B φ −= g 0 ，此种情况下，消除残差的条件为： B
()
R dV ∫ W=
V Ii I
0= ( i 1, 2 m )
2、边界法 试函数满足控制方程，也即 R = L φ −= f 0 ，此时消除残差的条件为: I
V
∫ ( L (φ ) − f ) N dV + ∫ ( B (φ ) − g ) N dS = 0
i S i
( i = 1, 2 m )
(0.7.6)
Galerkin 法是需要在整个求解区域 V 假设试探函数 φ 的。 如果我们把区域 V 分成若干个子域(单元)，在单元 e 上的试探函数为 φ 。若取
e e S
1, 2 m ) (i =
(0.7.8)
式中， f 就是函数 f 在单元 e 中的取值。(0.7.8)式就是离散型伽辽金法的基本公式。 算子 L 中一般具有较高阶的导数，如上面指出，试探函数要直至算子 L 中出现的最高阶的导函数 连续。这是一个比较苛刻的条件，我们可以用分部积分法来降低被积函数中导数的阶数，从而使试探 函数的条件放宽。 在建立试函数时，需注意以下几点： （1）试函数应由完备函数集的子集构成。已被采用过的试函数有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛 尔函数、切比雪夫和勒让德多项式等等。 (2)试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶导数低一阶的导数连续性。 (3)试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。若计算问题具有对称性，应予以充分利用。
φ = ∑ ci N i
i =1
m
(0.7.3)
， ci 为待定参数（也可称为广义坐标） 。试探函数可以满足 其中 N i 为试探函数项（线性无关的基函数） 边界条件，也可以不满足边界条件。 由于 φ 只是待求函数 φ 的近似解，将 φ 代入方程 L (φ ) − f = 0 ，一般不会满足方程，它将产生误 差
[ K ]{c} = {F } ，
其中，系数矩阵 [ K ] 的元素 K ij 为
(0.7.5)
K ij = ∫ WIi L ( N j ) dV + ∫ WBi B ( N j ) dS
V S
1, 2, , m ) ( i, j =
列向量 { F } 的元素 Fi 为
Fi = ∫ WIi fdV + ∫ WBi gdS
V S
1, 2, , m ) ( i, j =
加权余量法的第二个基本步骤便是解这些方程，得出 m 个参数 ci 的值，从而由 φ =
∑ c N 式得到
i =1 i i
m
原方程的近似解 φ 。这近似解的误差，在 义下为零。
V
∫ ( L (φ ) − f )W dV + ∫ ( B (φ ) − g )W
e
0 式，便有 φ = ∑ ci N ei 式代入 ∫ L φ − f N i dV + ∫ B φ − g N i dS =
e i =1
V S
m
( () )
e ne
( () )
e e i
∑ ∫ ( L (φ
ne
e
i e 1= e 1 V
0 ) − f ) N dV + ∑ ∫ ( B (φ ) − g ) N dS =
e
40
φ = ∑ ci N ei
e i =1
m
(0.7.7)
e
式中，ci 为单元 e 的未知参数，N ie 为单元 e 的试探函数项。假如 φ 的选择， 能使得 φ 在整个区域 V 上 连续：亦即当在单元 e 中时 φ = φ 、 N ie = N i ，并且直至算子 L 中出现的最高阶微商也连续，则将
例、如图所示等截面悬臂梁，受均布荷载作用，求悬臂端 B 的竖向位移。
解：图示梁的控制方程为:
d4y EI 4 − q = 0 dx
其边界条件为:
dy y = 0 = dx 2 y d3y d = = 0 dx 2 dx 3
( x 0) = (x l) =
设满足边界条件的试函数为:
0.7 加权余量法
加权余量法是一种应用广泛的求解线性或非线性微分方程(常微分方程或偏微分方程) 的近似办 法。它直接从微分方程出发，把微分方程(及边界条件)化成代数方程组或常微分方程组进行求解。 加权余量法假定一族带有待定参数的定义在全域上的近似函数,该近似解不能精确满足微分方程 和边界条件,即存在残差；取权函数，强迫残差在加权平均的意义下为零；这种采用使残差的加权积分 为零的等效积分的“弱”形式，来求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。由于权函数定义在全 域上,所得方程的系数矩阵一般为满阵。选取不同的权函数,可得到不同的加权余量法。该方法可用于 各种受控于微分方程的物理问题的近似求解。 加权余量法分为两个基本步骤： 1、首先假设一个函数作为近似解，该函数称为试探函数。这个近似解不一定满足微分方程和边界 条件，由此产生的误差称为余量，用 R 表示。这些剩余要求包括边界的整个区域(包括边界)在某种加 权平均的意义下为零，最后得出一组代数方程或常微分方程。第二步是求解这些方程，得出原问题的 近似解。现具体叙述于下。 设有一个场问题，其定解微分方程为
= c( x5 + lx 4 − 14l 2 x3 + 26l 3 x 2 ) y
。 本问题属于内部法，现用伽辽金法解。
则： = RI EIc(120 x + 24l ) − q, = RB 0 此时，权函数即为其试函数 消除余量的条件为: 为简便，取 m=1,则
N1 = x 5 + lx 4 − 14l 2 x3 + 26l 3 x 2
L (φ ) − f = 0 B (φ ) − g = 0
在V 内 在 S 边界
(0.7.1) （0.7.2）
定解区域为 V ，边界为 S ， f 和 g 为已知函数， L 和 B 为微分算子， φ 为所要求的函数，即场问题的 解。 首先，在求解域上用试函数 φ 来近以精确解 φ 。取 φ 的形式为一族函数的线性组合
也可写为
m m − + − L c N f W dV B c N g W dS = 0 ∑ ∑ j j Ii j j ∫ ∫ Bi S j j = 1 1 V
1, 2 m ) (i =
(0.7.4)
∫
l
0
N1 RI dx = 0
c=
0.00908q EIl
竖向位移 ∆ B =
( 4)
0.1262ql 4 。 EI
42
S 上选择 WBi ( i = 1, 2 , m ) 为 m 个线性独立的权函数，加权余量法要求：
39
∫ W R dV + ∫ W
V Ii I S
Bi
RB dS =∫ L φ − f WIi dV + ∫ B φ − g WBi dS =0
V S
( () )
( () )
( i =1, 2 m )
显然， 误差的分配与权函数的选择有关。 事实上， 如果(0.7.4)式对一切 V 和 S 都成立， 就等价于(3.1.3) 式成立， 式(0.7.4)称为加权余量方程。 当选定了 m 个线性独立的权函数 WIi 和 WBi 以及试函数 N i 之后， 从上式便得到求 m 个待定系数 ci 的代数方程组或常微分方程组：