2-1 支路约束方程的矩阵形式《网络分析与综合》课件
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网络的矩阵方程
i3=im2 i4=-im1 i5=im1-im2
…
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支路电流等于流经该支路的网孔电流 的代数和， 两者用M阵联系。
1 2
2、用网孔矩阵M表示的KVL
1 2
4
im 1 5
im 1
3
对每一网孔列写KVL方程： u1-u4+u5=0 写为矩阵形式
u1 u 2 1 u3 0 1 u 4 u 5
-
+ us
Ib=GbUb+Isb-GbUSb
i1 G1 i2 0 i3 0 i4 = 0 i5 0 i6 0 0 G2 0 0 0 0 0 0 G3 0 0 0 0 0 0 G4 0 0 0 0 0 0 G5 0 0 0 0 0 0 G6
is u1 -is u2 0 u3 0 +0 u4 u5 0 u6 0 G1 0 0 0 0 0 0 G2 0 0 0 0 0 0 G3 0 0 0 0 0 0 G4 0 0 0 0 0 0 G5 0 0 0 0 0 0 G6 0 0 0 0 uS 0
1 2 3 4 5
u5=un2
0 0 1 1 1 0 1 0 1 0
1 0 1 0 0
对于任意指定的参考节点，（ n-1） 个节点与参考节点间的电压（节点 电压Un）是一组独立、完备的电压 变量。
u u u
16.2
网络结构的矩阵描述
16.2.1 结点关联矩阵 结点关联矩阵Aa 用矩阵形式描述结点和支路的关联性质 1、Aa的编写规则 Aa=
支路 结点
aik
1 支路k与结点i关联，且方向离开结点i aik= -1 支路k与结点i关联，且方向指向结点i 0 支路k与结点i不关联
网络分析与综合-1.2 关联矩阵及其特性
1, 支路 j与节点 i关联且支路方向离开节 点 a ij 1, 支路 j与节点 i关联且支路方向指向节 点 0，支路 j与节点 i不关联
i 1, 2,, n; j 1, 2,, b
关联矩阵A
1 2 3 4 5 6
1 (1) 4 (4) 6 2 3 (2) 5 (3)
ut u 若 u l
则 B f u Bt
ut 1l Bt ut ul 0 ul
所以 ul Bt ut ——KVL方程的另一种矩阵形式
(2)
Qf i 0 用Qf 表示的KCL方程的矩阵形式为：
(1)
1 2 4 (4)
5 (3) 3 6
§1-2 关联矩阵A、Bf、Qf 及其特性
北京邮电大学
电子工程学院 俎云霄
如果两件事之间发生了关系，则称这两件事有关联。
描述节点、回路、割集与支路之间关系的矩阵称为关联矩阵。
关联矩阵A
描述图的支路与节点的关联性质，又称为节点支路关联矩阵。 如果一条支路连接于某个节点，则称此支路与该节点关联。 对一联性质可用nb阶矩阵Aa表示。其中的元素aij定义如下：
i 1, 2,, n 1; j 1, 2,, b
n-1为独立割集数，b为支路数，所以Q为(n-) b阶矩阵。 描述图的基本割集与支路的关联性质的矩阵称为基本割集矩 阵Qf。
基本割集矩阵Qf
树支
1 2 3 4
连支
5 6
(1)
1
C1
(2) 5 2
C2
(3) 3
1 1 0 0 1 | 0 1 | 1 1 Qf 2 0 1 0 1 | 3 0 0 1 0 1 1 Ql 1t
网络方程的矩阵形式li课件
§2-2 用基本割矩阵Q表示的 基尔霍夫定律的矩阵形式
b1 b2 b3 b4 b5 b6
Q
C1
1
0
0
1
0
1
C2 C3
0 0
1 0
0 1
1 0
1 1 1 1
仍用ib表示对应网络的支路电流向量，并使ib中各支 路电流的排列次序与矩阵Q中各列所对应的支路排 列次序相同。
支路电流向量 ib [i1 i2 i3 i4 i5 i6 ]T
1 1 1 0 1 0 0
B
2
0
1 1 0 1 0
3 1 1 1 0 0 1
仍用ub表示对应网络的支路电压向量，且ub中各 支路电压的排列次序与矩阵B中各列所对应的支路
排列次序相同。
支路电压向量 ub [u1 u2 u3 u4 u5 u6 ]T
u1
1
Bub
0
1
1 1 1
0 1 1
1 0 0
0
1 1 0
0 1 1
0 1 0
1 0 1
001iiii5432
i1 i2 i5 i2 i3 i4 i3 i5 i6
i6
i1
1
Aib
0
0
1 1 0
0 1 1
0 1 0
1 0 1
001iiii5432
i1 i2 i5 i2 i3 i4 i3 i5 i6
(
s
)
0
0 1
0.2s 0
0 0 2
0 0 0
0 I1(s)
0
I
2
(
s
)
0
I
3
(
s
)
第十二章矩阵方程
16个
树支：构成树的各支路
连支：属于G而不属于T的支路
树不唯一
树支和连支数
4 1 5 7 6
电路理论基础
树支数 bt= n-1 连支数 bl=b-n+1 基本回路（单连支回路） 4
1 3 2
树支数 4
连支数 3
2
3
5
6
单连支回路
独立回路
单连支回路 独立回路 基本回路（单连支回路） L1{1,2,3}, L2{4,3,7,6}, L3{5,3,7},
1 6 4 1 0 1 1 0 1 0 Ql BT 1 1 t 0 1 0 0 1 0
2 3 5 7 8 6 1 0 1 1 0 2 3 5 7 8
电路理论基础
4 0 1 1 0 1
9 0 0 0 1 1
2 1 0 0 0 0
3 0 1 0 0 0
5 7 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
树集T{2,3,7,6} 连支集L{1,4,5}
7
12.1
1. 割集Q
割集（cut set)
电路理论基础
割集Q是连通图G的子图（一组支路的集合），满足： (1) 移去图中的割集，图G被分成两部分 (2）任意少移走集合中的一条支路，图 G还是连通 的。
找割集
② ②
电路理论基础 ②
1
①
2 5 4 3
3 1
（2）基本回路矩阵Bf
电路理论基础
基本回路矩阵与支路的关联矩阵。T= {4,5,6}, 选基本回路为独立回路，则构成基本回路集为 {1,4,5}, {2,4,5,6}, {3,5,6},对应基本回路矩阵Bf 约定：取连支电流方向为回路电流的参考方向。
14.第十四(网络的矩阵分析)
又因为该受控电流源控制所以g31出现在第1列此例中关联矩阵为求结点导纳矩阵结点导纳矩阵只有经过三个矩阵连乘才能得到最终的结点方程313131是否能找到一种简捷清晰的方法避免的连乘其中yn0是假定电路中不存在受控电流源时写出的结点导纳矩阵即为前指的y是可以直接写出的n1阶方阵把式简记为222112112b22211b1211nd应该是与结点电位相关的控制系数组成的n1阶方阵
i1 d 1 i2 i − 1 + 2 + 3 3 = + + =0 i4 3 4 5 − − i5 1 5 6 i6
i i i −i i i i i i
矩阵形式的KCL:[ A ][ i ]= 0 矩阵形式的
[B]=
l ×b
l 矩阵B的每一个元素定义为 的每一个元素定义为： 矩阵 的每一个元素定义为： 1 支路 k 在回路 j中，且方向一致； 中 且方向一致；
bjk
-1 支路 k在回路 j中，且方向相反； 在回路 中 且方向相反； 0 支路 k 不在回路 j中。 中
返 回 上 页 下 页
取网孔为独立回路， 例 取网孔为独立回路，顺时针方向 支1 2 回 3 4 5 6 3 1 [B] = 2 3
② ② ②
1
①
2 5 4 3
④ ③ ①
1 5 4
2
③ ①
1 5 4
2
③
3
④
3
④
6 Q1: { 2 , 3 , 6 }
6 Q2: { 3 , 5 , 4}
6 Q3: { 1 , 5 ,3 , 6 }
单树支割集 单树支割集 1 3
独立割集 独立割集
2
4 三个分离部分
i1 d 1 i2 i − 1 + 2 + 3 3 = + + =0 i4 3 4 5 − − i5 1 5 6 i6
i i i −i i i i i i
矩阵形式的KCL:[ A ][ i ]= 0 矩阵形式的
[B]=
l ×b
l 矩阵B的每一个元素定义为 的每一个元素定义为： 矩阵 的每一个元素定义为： 1 支路 k 在回路 j中，且方向一致； 中 且方向一致；
bjk
-1 支路 k在回路 j中，且方向相反； 在回路 中 且方向相反； 0 支路 k 不在回路 j中。 中
返 回 上 页 下 页
取网孔为独立回路， 例 取网孔为独立回路，顺时针方向 支1 2 回 3 4 5 6 3 1 [B] = 2 3
② ② ②
1
①
2 5 4 3
④ ③ ①
1 5 4
2
③ ①
1 5 4
2
③
3
④
3
④
6 Q1: { 2 , 3 , 6 }
6 Q2: { 3 , 5 , 4}
6 Q3: { 1 , 5 ,3 , 6 }
单树支割集 单树支割集 1 3
独立割集 独立割集
2
4 三个分离部分
2-1 支路约束方程的矩阵形式
I I1 I s I s1
I2
Ib
I e2
T T I eb T
T U s U s1 U s2 U sb
I s 2 I sb
支路阻抗矩阵
Z b diagZ1 , Z 2 , , Z b
支路导纳矩阵 Yb diagY1 , Y2 , , Yb 支路约束方程的矩阵形式
U Zb I U s Zb I s BU 0 BZb I BU s BZb I s
U s 0 U s2 0 0 0 0
b R2 L4 M L5 d R6 I s6 U s2 + c
TLeabharlann I s 0 0 0 0 0 I s6
T
R1 a C3
-
I YbU I s YbU s
U Zb I U s Zb I s
§2-1 支路约束方程 的矩阵形式
北京邮电大学
电子工程学院 俎云霄
不含受控源的标准支路
Ik Iek Isk
U k U ek U sk Iek YeU ek 或 U ek Z e Iek
Ik YeU ek Isk Ye (U k U sk ) Isk
I Yb (U U s ) I s YbU I s YbU s
U Zb (I I s ) U s Zb I U s Zb I s
Z b Yb1
当网络中电压源、电流源或无源元件两端的电压或电流的电 压极性或电流方向与标准支路中所示的极性或方向相反时，支 路约束方程的形式不变，只是相应的各项前的正负号发生改变。
I2
Ib
I e2
T T I eb T
T U s U s1 U s2 U sb
I s 2 I sb
支路阻抗矩阵
Z b diagZ1 , Z 2 , , Z b
支路导纳矩阵 Yb diagY1 , Y2 , , Yb 支路约束方程的矩阵形式
U Zb I U s Zb I s BU 0 BZb I BU s BZb I s
U s 0 U s2 0 0 0 0
b R2 L4 M L5 d R6 I s6 U s2 + c
TLeabharlann I s 0 0 0 0 0 I s6
T
R1 a C3
-
I YbU I s YbU s
U Zb I U s Zb I s
§2-1 支路约束方程 的矩阵形式
北京邮电大学
电子工程学院 俎云霄
不含受控源的标准支路
Ik Iek Isk
U k U ek U sk Iek YeU ek 或 U ek Z e Iek
Ik YeU ek Isk Ye (U k U sk ) Isk
I Yb (U U s ) I s YbU I s YbU s
U Zb (I I s ) U s Zb I U s Zb I s
Z b Yb1
当网络中电压源、电流源或无源元件两端的电压或电流的电 压极性或电流方向与标准支路中所示的极性或方向相反时，支 路约束方程的形式不变，只是相应的各项前的正负号发生改变。
网络的矩阵分析
AT U U n
AI AY U AYb AT U n s b s
——节点导纳矩阵
AI AY U I n s b s
——节点等效电流源电流列向量
Yb是bb阶矩阵，AT是b(n-1)阶矩阵，所以，Yn是(n-1)(n-1) 是(n-1)1阶列 阶方阵。而 U s 和 I s 都是b1阶列向量，因此 I n 向量。
I I 1 I I s s1
I 2
I b
I e2
T T I eb T
U U T U U s s1 s2 sb
I s 2 I sb
支路阻抗矩阵
Z b diagZ1 , Z 2 , , Z b
支路导纳矩阵 Yb diagY1 , Y2 , , Yb 支路约束方程的矩阵形式
Q f I 0
Q f Yb QT f U t Q f I s Q f YbU s
——割集电压方程的矩阵形式
I YqU q q
U U q t
Yq Q f YbQT f
——割集导纳矩阵 Q I I ——割集等效电流源电流列向量 q f s Q f YbU s
支路阻抗矩阵形式为：
0 Z1 0 j Lk Zb 0 jM 0 Zb
I sk
jM j Lh
jL1 j M Zb 0 0
-
U sk
+
+ U
I sk
Z I U Z (I I ) U U k e ek sk e k sk sk
1-3 关联矩阵之间的关系《网络分析与综合》课件
矩阵Bf与Qf之间的关系
1 2 3 4 56
4 1 1 0 | 1 0 0
B f 5 0 1 1 | 0 1 0
6 1 1 1 | 0 0 1
Bt
1l
(2) C1 1
(1) 3 6
C3
123 4 5 6
1 1 0 0 | 1 0 1
Q f 2 0 1 0 | 1 1 1 3 0 0 1 | 0 1 1
§1-3 A、Bf、Qf之间 的关系
矩阵A与Bf之间的关系
定理1－2：如果同一连通图的A和Bf 的列具有相同的支路排 列
次序，AB则Tf ： 0
或
B f AT 0
推论1－1：如果同一连通图的A和Bf 的列均按先树支后连支 的
相同支A路 顺At序排A列l ，即：
(2)
1
5
B f Bt 1l
(1)
2
(3)
则 Bt AlT ( At1)T
4
3
(4) 6
矩阵Bf与Qf之间的关系
定理1－3：如果同一连通图的Bf 和Qf 的列具有相同的支路排 列次序，则：
Q f BTf 0 或
B f QTf 0
推论1－1：如果同一连通图的Bf 和Qf 的列具有相同的支路排 列次序，则：
Bt QlT 或 Ql BtT
—A | Ai 0 |
u AT un
B——f—|| —或—ii— BB—TTff ii—ll ——|| ———或——Bulf—u —B0tu—t
——————————————————
Q | Qfi 0
|
u QTf ut
f
| 或 it Qlil
|
或 ul QlT ut
1t
支路方程的矩阵形式
非对角线上的元素为相应支路间的互感阻抗，且Mjk =Mkj ，称支路阻抗矩阵。
3、电路中第k支路含受控电压源( )、无电感耦合
Z1
U1
Z1
U 2
U
k
Zk Zkj
U
j
Zj
Ub
•
• •
•
•
I
1
•
I
s1
• • I 2 I s2
U
s1
U s2
• •
以及支路导纳矩阵Y ➢ 根据式 AYATUn AIs AYUs 写出结点方程矩阵形式
➢ 解方程求得各结点电压，进而根据式 U ATUn
求出各支路电压
例 写出图示电路的结点电压方程的矩阵形式。
+ 0.5 5V
-
1
2 0.5 3A 5 1
1A
6 ①2
1
②3 ③ 45
④
解：第一步：画出有向图 第二步：写出矩阵A A=
'
/
j
j(Lk
Lk
1
M
2 k
,k
1)
3、电路中第k支路含受控电流源( )、无电感耦合
•
I
1
• I 2
Y1 Y1
U•
1
•
U
s1
•
•
U 2 U s 2
•
I
s1
• I s2
•
I
k
Y1 Ykj
•
U
k
•
U sk
•
I
sk
• I j
I
k
I
sk
U
sk
•
I
j
11.4.1 支路方程矩阵形式
广义(generalized branch)支路广义支路的支路方程可以表示()k U s =)()()()()()()]()()[()(s I s U s Y s U s Y s I s U s U s Y s I Sk Sk k k k Sk Sk k k k +-=+-=或 ()[()()]()()()()()()k k Sk Sk k k k Sk Sk Z s I s I s U s Z s I s Z s I s U s -+=-++-)(s U sk )(s I sk )(s I k )(s Z k +-)(s U k )a ()(s I (s ),U k k )b (S S U ZI ZI U +-=S S I YU YU I +-=全部支路方程 TS 12[,,]S S Sb U U U =U T S 12[,,]S S Sb I I I =I ]diag[Z 21b Z Z =Z ][diag 21b Y Y Y =Y 1-=Y Z 1-=Z Y U 、I 分别为支路电压列矢量与支路电流列矢量；支路源电压与源电流列矢量； 分别称为支路阻抗矩阵与支路导纳矩阵。
若逆矩阵存在，则 或 +-)(s U sk )(s I sk )(s I k )(s Z k +-)(s U k )(s I (s ),U k k电路中含有受控源 1Y 2Y 3Y +-1U 1gU 1S I +-2U 2I 1I 123(a)(b)3I VCCS 支路方程1222gU U Y I += 与其它支路方程合写成矩阵形式 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00000001321321321S I U U U Y Y g Y I I I 支路导纳矩阵将其全部等效成VCCS 推广：设支路i 是VCCS 的被控支路，受支路 j 导纳上的电压控制，控制系数为。
当控制电压、被控电流分别与支路 j 和支路 i 方向一致时， 前面取＋ 号；否则，每改变一个方向，的前面变号一次。
§2-4 用支路阻抗矩阵表示的支路方程的矩阵形式
s
例2 R1 = 1，R3 = 2，C2 = 0.2F，L4 = 1H， L5 = 2H， M45= 0.1H, i4(0_) = 1A， i5(0_) = 0.5A，uC2(0_) = 1V。 写出支路方程的矩阵形式。
解：
作出复频域模型
uC 2 (0 _) U s ( s ) [0 U s 2 ( s ) 0 L4 i4 (0 _) M 45i5 (0 _) s L5 i5 (0 _) M 45i4 (0 _)]T
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
U 4 ( s ) sL4 I 4 ( s ) Us4 ( s ) L4i4 (0 _) U 5 ( s ) sL5 I 5 ( s ) L5i L5 (0 _) sL5 Is5 ( s )
0 0 0 I ( s) U1 ( s ) R1 0 1 0 R2 0 0 0 I ( s ) U ( s ) 2 2 1 U 3 ( s ) 0 0 0 0 I 3 ( s ) sC 3 U ( s ) I ( s ) 4 0 0 0 sL4 0 4 U ( s ) I 5 ( s ) 5 0 0 0 0 sL 5 I ( s) Ub ( s) Z ( s) b
b
0 0 0 U s1 ( s ) R1 0 0 0 0 0 I ( s) 0 0 R2 s2 1 u3 (0 _) 0 0 0 0 Is3 ( s) sC 3 s 0 0 0 0 sL 0 4 U s4 ( s ) L4 i4 (0 _) I s5 ( s ) 0 0 0 0 sL 5 L5 i L5 (0 _) Is ( s) Z ( s) b U ( s)
例2 R1 = 1，R3 = 2，C2 = 0.2F，L4 = 1H， L5 = 2H， M45= 0.1H, i4(0_) = 1A， i5(0_) = 0.5A，uC2(0_) = 1V。 写出支路方程的矩阵形式。
解：
作出复频域模型
uC 2 (0 _) U s ( s ) [0 U s 2 ( s ) 0 L4 i4 (0 _) M 45i5 (0 _) s L5 i5 (0 _) M 45i4 (0 _)]T
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
U 4 ( s ) sL4 I 4 ( s ) Us4 ( s ) L4i4 (0 _) U 5 ( s ) sL5 I 5 ( s ) L5i L5 (0 _) sL5 Is5 ( s )
0 0 0 I ( s) U1 ( s ) R1 0 1 0 R2 0 0 0 I ( s ) U ( s ) 2 2 1 U 3 ( s ) 0 0 0 0 I 3 ( s ) sC 3 U ( s ) I ( s ) 4 0 0 0 sL4 0 4 U ( s ) I 5 ( s ) 5 0 0 0 0 sL 5 I ( s) Ub ( s) Z ( s) b
b
0 0 0 U s1 ( s ) R1 0 0 0 0 0 I ( s) 0 0 R2 s2 1 u3 (0 _) 0 0 0 0 Is3 ( s) sC 3 s 0 0 0 0 sL 0 4 U s4 ( s ) L4 i4 (0 _) I s5 ( s ) 0 0 0 0 sL 5 L5 i L5 (0 _) Is ( s) Z ( s) b U ( s)
2.3.1标准支路及其方程的矩阵形式
Y diag[Y1(s),Y2(s),,Yb(s)] I [I1(s), I2 (s),, Ib (s)]T U [U1(s),U2 (s),,Ub (s)]T IS [IS1(s), IS2 (s), , ISb (s)]T US [US1(s), US2(s), ,USb (s)]T
(s)
ISb
(s)
USb (s)
U
Z
I
IS
US
j、k支路电流都从标记端到 非标记端，或都从非标记端 到标记端时，sM前取“+” 否则取“﹣”
标准支路方程的矩阵形式
Z diag[Z1(s), Z2 (s),, Zb (s)] Y diag[Y1(s),Y2 (s),,Yb (s)] I [I1(s), I2 (s),, Ib (s)]T U [U1(s),U2 (s),,Ub (s)]T IS [IS1(s), IS2(s), , ISb (s)]T US [US1(s), US2(s), ,USb (s)]T Un [Un1(s), Un2(s), ,Un(n1) (s)]T Il [Il1(s), Il2 (s), , Il(b-n+1) (s)]T Ut [Ut1(s), Ut2(s), ,Ut(n1) (s)]T
Il1(s) I1(s)
l2
il1
il
2
Il1(s) Il1(s) Il2 (s)
Il 2 (s)
I
2
(s
)
I3(s) I(s) I5 (s)
基尔霍夫定律方程的矩阵形式
KCL AI 0
BfT Il I Qf I 0
KVL
Ub (s) 0
0 0 Zb (s) Ib(s) 0
00
(s)
ISb
(s)
USb (s)
U
Z
I
IS
US
j、k支路电流都从标记端到 非标记端，或都从非标记端 到标记端时，sM前取“+” 否则取“﹣”
标准支路方程的矩阵形式
Z diag[Z1(s), Z2 (s),, Zb (s)] Y diag[Y1(s),Y2 (s),,Yb (s)] I [I1(s), I2 (s),, Ib (s)]T U [U1(s),U2 (s),,Ub (s)]T IS [IS1(s), IS2(s), , ISb (s)]T US [US1(s), US2(s), ,USb (s)]T Un [Un1(s), Un2(s), ,Un(n1) (s)]T Il [Il1(s), Il2 (s), , Il(b-n+1) (s)]T Ut [Ut1(s), Ut2(s), ,Ut(n1) (s)]T
Il1(s) I1(s)
l2
il1
il
2
Il1(s) Il1(s) Il2 (s)
Il 2 (s)
I
2
(s
)
I3(s) I(s) I5 (s)
基尔霍夫定律方程的矩阵形式
KCL AI 0
BfT Il I Qf I 0
KVL
Ub (s) 0
0 0 Zb (s) Ib(s) 0
00
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b
R1
a C3
R2
-
U +
s
2
L4
c
M
L5
d R6 Is6
1 a
3
b 2
4
c
5 d
6
解 （1）电感L1、L2 之间无耦合的情况
பைடு நூலகம்
Zb
diag[R1,
R2
,
j1 C
,
jL4 ,
jL5 ,
R6 ]
Yb
diag[ 1 R1
,
1 R2
,
jC,
j1
L4
,
j1
L5
,
1 R6
]
U s 0 U s2 0 0 0 0 T
Is 0 0 0 0 0 Is6 T
I YbU Is YbU s
R1
a C3
U ZbI U s ZbIs
b
R2
-
U +
s
2
L4
c
M
L5
d
R6
Is6
（2）电感L1、L2 之间有耦合的情况
R1
R2
Zb
j 1 C
jL4 jM
jM jL5
R6
1
R1
1
Yb
R2
jC
L5 M
M L4
1
R6
b
R1
a C3
R2
-
U +
s
2
L4
c
M
L5
d R6 Is6
支路电压方程的矩阵形式 I YbU Is YbU s AI 0 AYbU AIs AYbU s
支路电流方程的矩阵形式 U ZbI U s ZbIs BU 0 BZb I BU s BZb Is
U U1 U 2 Ub T
U e U e1 U e2 U eb T
I I1 I2 Ib T Ie Ie1 Ie2 Ieb T
U s U s1 U s2 U sb T
Is Is1 Is2 Isb T
支路阻抗矩阵 Zb diagZ1, Z2 , , Zb
支路导纳矩阵 Yb diagY1, Y2 ,
支路约束方程的矩阵形式
I Yb (U U s ) Is YbU Is YbU s
U Zb (I Is ) U s Zb I U s Zb Is
, Yb
Z b Yb1
当网络中电压源、电流源或无源元件两端的电压或电流的电 压极性或电流方向与标准支路中所示的极性或方向相反时，支 路约束方程的形式不变，只是相应的各项前的正负号发生改变。
§2-1 支路约束方程 的矩阵形式
不含受控源的标准支路
+
Ik
Iek Zk Uk - Usk +
-
Ik Iek Isk
+ Uek -
U k U ek U sk
Isk
Iek YeU ek 或 U ek Ze Iek
Ik YeU ek Isk Ye (U k U sk ) Isk U k ZeIek U sk Ze (Ik Isk ) U sk
0
jM jLh
Z b
jL1
jM
Zb
0
0
jM jL2
0
0 0
0
Z3
Zb
支路导纳矩阵形式为：
L2
M
M L1
0
0
0
Yb
Z
1 b
0
0 Y3
0
Yb
j(L1L2 M 2 )
例2－1 写出如图所示电路的支路电压、电流的约束方程。
（1）电感L1、L2 之间无耦合。 （2）电感L1、L2 之间有耦合。
电感之间有耦合的情况
电感元件上的电压、电流关系为：
Ish
U ek jLk Iek jMIeh U eh jLh Ieh jMIek 支路阻抗矩阵形式为：
Ih
Ik
Ieh + Ueh -
.. M
Lh Lk
- Ush +
Iek + Uek - - Us+k
Z1 0 0
Isk
0
Zb
jLk jM