数学公理化方法

他的父亲——数学家鲍耶· 法尔卡
什认为研究第五公设是耗费精力 劳而无功的蠢事，劝他放弃这种 研究。 但鲍耶· 雅诺什坚持为发展新的几 何学而辛勤工作。终于在1832年， 在他的父亲的一本著作里，以附 录的形式发表了研究结果。
高斯也发现第五公设不能证明，并
且研究了非欧几何。 但是高斯害怕这种理论会遭到当时 教会力量的打击和迫害，不敢公开 发表自己的研究成果，只是在书信 中向自己的朋友表示了自己的看法， 也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯 基、鲍耶他们的新理论。
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在总结前人失败教训的基础上， 1826年，俄国年轻的数学家罗巴切 夫斯基（NicolaiLobachevsky）从 问题的反面考虑，大胆地提出了与 前人完全不同的信念：
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首先，他认为第五公设不能以其余
的几何公理作为前提来进行证明， 即第五公设相对于其它公理、公设 是独立的。 ������ 其次，更进一步，他认为除去 第五公设成立的欧几里得几何之外， 还可以有第五公设不成立的新几何 系统存在。
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公理化方法的发展，大致经历了 这样三个阶段：实质（或实体）公 理化阶段、形式公理化阶段和纯形 式公理化阶段，用它们建构起来的 理论体系典范分别是《几何原本》、 《几何基础》和ZFC公理系统。
数学公理化方法的历史演进
——关于几何公理体系
欧几里德几何
历史上第一个用公理化方法去建构数 学理论体系的是欧几里德，他的工 作集中体现在他的《几何原本》中。 Quotations: "The laws of nature are but the mathematical thoughts of God." "There is no royal road to geometry."
展史上树立了一座不朽的丰碑，对 数学乃至科学的发展起了巨大的推 动作用。 它也成为公认的、历史上第一部巨 大的科学典籍。 它奠定了数学这门科学必须依照逻 辑要求论述其规律的基础。
它基本上完善了初等几何的体系，
这正如黑格尔所说：“初等几何 就欧几里得所遗留给我们的内容 而言，已经可以看作相当完备了， 不可能有更多的进展”。
About Elements
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The Elements have been studied for over 20 centuries in many languages starting, in its original Greek form, then in Arabic, Latin, and then to modern languages of the present time.
中文版
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1606年，由意大利传教士利玛 窦口译，明代进士、数学家徐光启 执笔，合作译完欧几里得《几何原 本》前6卷，1607年在北京雕版刊 行．徐光启亲自写了《刻几何原本 序》，手迹至今犹存。
徐光启和利玛窦译的《几何原本》
前6卷，乃是东方的最早译本(不 计阿拉伯文本)。 较俄译本(1739)、瑞典文本 (1744)、丹麦文本(1745)、波兰 文本(1817)都早。
它倡导的公理化方法，为数学家和
物理学家树立了如何建立科学理论 体系的光辉典范。
牛顿采用欧几里德的公理化方法，把
他之前的众多的物理学家（如哥白尼、 伽俐略、开普勒等）研究的力学知识 排列成逻辑的体系，组成一个有机的 整体。他的名著《自然哲学的数学原 理》从力学三大运动定律出发，按照 数学的逻辑推理把力学定理逐个必然 地引申出来。
非欧几何
长期以来，不少数学家就对第五公设
（即平行公设）持保留态度。 若平面上一直线和两直线相交，当同旁 两内角之和小于二直角时，则两直线在 这一侧延长后一定相交。
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因为 它在陈述和内容上显得复杂和累赘。
人们怀疑这条公设是多余的，它可
能能从其它公设、公理中逻辑地推 导出来。
而且进一步认为，欧几里得之所以
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It
is also the world's second most popular book, coming only behind the Holy Bible which is extraordi nary considering how many books there are in the world.
自然规律不过是上帝的数学思维
罢了。 在几何里，没有专为国王铺设的 大道 (royal road 有平坦的路的意 思)。
欧几里得
几何原本》受到了毕达哥拉斯学 派和亚里士多德的影响 毕达哥拉斯学派开创了把几何学作 为证明的演绎学科来进行研究的方 向。 亚里士多德首创造公理化思想，提 出了逻辑学的“三段论公理体系”。

于是，他在剔除第五公设而保 留欧氏几何其余公理、公设的前 提下，引进了一个相反于第五公 设的公理：“过平面上一已知直 线外的一点至少可以引两条直线 与该已知直线不相交”。
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这样，罗巴切夫斯基就构造出来
了一个新的几何系统即罗巴切夫 斯基几何系统，它与欧几里得几 何系统相并列。
后来，人们又证明了这两个部分
匈牙利数学家 鲍耶
1804年他把一种
证明寄给高斯，高 斯指出了其中的缺 陷，但他还继续研 究。
在罗氏几何创立28年以后，1854年
黎曼（Georg Riemann，1826— 1866）又建立了另外一种“过直线 外一点不能引出与该直线不相交的 直线”的几何新体系——黎曼几何。
如所众知，黎曼几何在爱因斯坦
Adrien-Marie Legendre （1752—1833），France

但是所有试证第五公设的努力均 归于失败，在这些失败之中唯一引 出的正面结果便是一串与第五公设 等价的命题被发现。
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普雷菲尔（John Playfair）公 设：“在平面上过直线外一点只能 作一条和这直线不相交的直线”。
之一。 罗巴切夫斯基在尝试证明平行公理时发 现以前所有的证明都无法逃脱循环论证 的错误。 于是，他作出假定：过直线外一点，可 以作无数条直线与已知直线平行。 如果这假定被否定，则就证明了平行公 理。

然而，他不仅没有能否定这个命 题，而且用它同其他欧氏几何中与 平行公理无关的命题一起展开推论， 得到了一个逻辑合理的新的几何体 系—非欧几里得几何学，这就是后 来人们所说的罗氏几何。
它所体现的演绎美对数学美学思想
的发展也起到了不可低估的作用， 它让“世界第一次目睹了一个逻辑 体系的奇迹，这个逻辑体系如此精 密地一步一步推进……，推理的这 种可赞叹的胜利，使人类理智获得 了为取得以后的成就所必须的信心。 （爱因斯坦语）。
几何的辉煌之处就在于只用很少的
公理而得到如此之多的结果。
第四讲 构建数学理论的基本方法 ——公理化方法
本讲内容
数学公理化方法的历史演进过程—
—关于几何公理体系 实质公理化与形式公理化 数学公理化方法的逻辑特征
所谓公理化方法，就是指从尽可
能少的原始概念和不加证明的原 始命题（即公理、公设）出发， 按照逻辑规则推导出 其它命题， 建立起一个演绎系统的方法。
1915年创立“广义相对论”后，已 得到了证实和应用。
黎曼
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“我对于把一切与物理规律结合
起来的数学研究非常入迷。” —— 黎曼
黎曼
德国数学家，对数学分析和微分几
何做出了重要贡献，其中一些为广 义相对论的发展铺平了道路。他的 名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分， 黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定 理，黎曼-希尔伯特问题，黎曼思路 回环矩阵和黎曼曲面中。
《
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欧几里德首先指明了几何学的研究
对象，即点、线、面，在对这些对 象进行“定义”（其实只是说明） 以后，引进了关于这些对象的一些 明显的事实作为不加证明而采用的5 个公设，进而又引进了更为一般的5 个断言作为公理，他通过这些公理、 公设，逐步推演出465个命题。
《几何原本》的问世，在数学的发
徐光启和利玛窦合译的《几何原本》
语言通俗，错误很少。
其中的许多数学译名都是从无到有，
源自文库
边译边创造的，而且都十分恰当。
“几何”一词的选用，其他如点、直
线、平行线、角、三角形、四边形、 有理数，无理数等都是这个译本首 先定下来的。
这些名词在我国一直沿用至今，而
且还影响到日本、朝鲜等邻国。
只有少数名词后来有所改动。 1857年，清代数学家李善兰与英国
“三角形的内角和等于两直角”。
“存在着相似三角形”等。 由于普雷菲尔公设形式最为简明，
因此受到普遍采用，现在的教科书 中也常用这一叙述形式来替代第五 公设。
其实，普雷菲尔公设由于包含了平
行线的存在性，其与其它欧几里得 公理、公设并不独立，更确切的等 价命题应为：“通过不在已知直线 上一点，至多可引一条与该已知直 线平行的直线”（它被希尔伯特公 理系统所采用，称为“平行公 理”）。
地互相矛盾的几何系统竟然是相 对相容的，亦即假定其中之一无 矛盾，则另一个必定无矛盾。 这样，罗氏几何的地位就得到了 确立。
几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几
何学的同时，匈牙利数学家鲍 耶· 雅诺什也发现了第五公设不可 证明和非欧几何学的存在。 鲍耶在研究非欧几何学的过程中 也遭到了家庭、社会的冷漠对待。
Founders of Non-Euclidean Geometry
NikolaiIvanovich Lobachevsky (1793-1856) Russia
Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Germany
罗巴切夫斯基
俄罗斯数学家，非欧几何的早期发现人
他初次登台作了题为“论作为几何
基础的假设”的演讲，开创了黎曼 几何，并为爱因斯坦的广义相对论 提供了数学基础。 他在1857年升为格丁根大学的编外 教授，并在1859年狄利克雷去世后 成为正教授。
罗氏几何的创立对几何学和整个数
学的发展起了巨大的作用，但一开 始并没有引起重视，直到罗巴切夫 斯基去世后12年才逐渐被广泛认同。
罗巴切夫斯基在数学分析和代数学
方面也有一定成就。
匈牙利数学家 鲍耶
以毕生时间试图证明欧几里德关于
平行线不相交的第五公设。 在格丁根大学学习时成了著名数学 家高斯的密友，保持通信直到1855 年高斯逝世。 他几乎与科学界完全隔绝，但仍然 不倦地研究平行线的公理。
把它当作公设，只是因为他未能给 出这一命题的证明。
因而数学家们纷纷致力于证明第
五公设，据说在欧几里得以后的 两千多年时间里，几乎难以发现 一个没有试证过第五公设的大数 学家。
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ProclusDiadochus 普罗克洛斯 （411—485）, Greece
John Playfair（1748—1819）, Scotland
数学上的所谓公理，是数学需要
用作自己出发点的少数思想上的 规定 ——恩 格斯
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公理化方法能系统地总结数 学知识、清楚地揭示数学的理论 基础，有利于比较各个数学分支 的本质异同，促进新数学理论的 建立和发展。
现代科学发展的基本特点之一，就
是科学理论的数学化，而公理化是 科学理论成熟和数学化的一个主要 特征。
Greek version(888)
Latin Version (1482)
English Version
“此书有四不必：不必疑、不必
揣、不必试、不必改．有四不可 得：欲脱之不可得，欲驳之不可 得，欲减之不可得，欲前后更置 之不可得。
有三至三能：似至晦，实至明，故
能以其明明他物之至晦；似至繁， 实至简，故能以其简简他物之至繁； 似至难，实至易，故能以其易易他 物之难。易生于简，简生于明，综 其妙在明而已”。 ——徐光启《几何原本杂议》
传教士伟烈亚力合作续译的《几何 原本》后9卷正式刊行。
非欧几何
非欧几里得几何是一门大的数学分支，
一般来讲 ，它有广义、狭义、通常意义 这三个方面的不同含义。 所谓广义式泛指一切和欧几里得几何不 同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗 氏几何来说的，至于通常意义的非欧几 何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种 几何。