10.1二重积分的概念和性质分解
第一节二重积分的概念与性质
第一节二重积分的概念与性质第一篇：第一节二重积分的概念与性质第九章重积分第一节二重积分的概念与性质与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”.所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域.它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算.内容分布图示★ 曲顶柱体的体积★ 非均匀平面薄片的质量★ 二重积分的概念★ 二重积分的性质★ 例1★ 例4★ 内容小结★习题9-1★ 返回★ 二重积分的中值定理★ 例2★ 例3 ★ 例5 ★ 课堂练习内容要点：一、二重积分的概念引例1 求曲顶柱体的体积；引例2 求非均匀平面薄片的质量二重积分的定义二、二重积分的性质性质1—性质6二重积分与定积分有类似的性质.性质 1 ⎰⎰[αf(x,y)±βg(x,y)]dσ=α⎰⎰f(x,y)dσ±β⎰⎰g(x,y)dσ.DDD性质2 如果闭区域D可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域D1和D2, 则⎰⎰f(x,y)dσ=⎰⎰f(x,y)dσ+⎰⎰f(x,y)dσ.DD1D2这个性质表明二重积分对积分区域具有可加性.性质3 如果在闭区域D上, f(x,y)=1,σ为D的面积, 则⎰⎰1⋅dσ=⎰⎰dσ=σ.DD这个性质的几何意义是: 以D为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积.性质4 如果在闭区域D上, 有f(x,y)≤g(x,y),则⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰g(x,y)dσ.DD特别地, 有⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰|f(x,y)|dσ.DD性质5 设M,m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值, σ为D的面积, 则mσ≤⎰⎰f(x,y)dσ≤Mσ.D这个不等式称为二重积分的估值不等式.例题选讲：二重积分的性质(x例1不作计算，估计I=⎰⎰eD2+y2)dσ的值，其中D是椭圆闭区域：x2a2+y2b2≤1(0<b<a).例2（讲义例1）估计二重积分I=⎰⎰Ddσx+y+2xy+1622的值, 其中积分区域D为矩形闭区域{(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤2}.例3判断r≤x+y≤1ln(x2+y2)dxdy的符号.例4积分⎰⎰D-x2-y2dxdy有怎样的符号, 其中D:x2+y2≤4.例5（讲义例2）比较积分⎰⎰ln(x+y)dσ与⎰⎰[ln(x+y)]2dσ的大小，其中区域D是三DD角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).课堂练习1.将二重积分定义与定积分定义进行比较, 找出它们的相同之处与不同之处.2.试用二重积分表示极限lim∑∑en→+∞n2i=1j=11nni2+j2n2.第二篇：第一节二重积分的概念与性质09-3-30第九章重积分第一节二重积分的概念与性质教学目的:理解并掌握二重积分的概念;几何意义;二重积分存在的条件.熟练掌握二重积分的性质;能正确运用性质进行判断、计算与证明.重点: 二重积分的性质的运用.难点: 运用性质判断与计算.教学方法:直观教学,讲练结合.教学过程:一、二重积分的概念与几何意义1、【定义】: 设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域其中∆σi表示D D任意分成n个小闭区域∆σ1，∆σ2,Λ，∆σn，第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个∆σi上任取一点(ξi,ηi)，作乘积f(ξi,ηi)⋅∆σi，(i=1,2,Λ,n)，并作和n∑f(ξ,η)∆σiii=1i，如果当各小闭区域的直径di中的最大值λ=max{di}→0时，这和 1≤i≤n式limλ→0∑f(ξ,η)∆σ的极限存在，且此极限与小区间∆σiiii=1ni的分法以及点(ξi,ηi)的取法无关，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D 上的二重积分，记为f(x,y)dσ，即D∑f(ξ,η)∆σ.⎰⎰f(x,y)dσ=limλD→0iiii=1n其中：① f(x,y)称为被积函数, ② f(x,y)dσ称为被积表达式,③ x,y称为积分变量, ④ dσ称为面积元素, ⑤ D称为积分区域,⑥n∑f(ξ,η)∆σ称为积分和.iiii=12、面积元素dσ在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D,则面积元素为 dσ=dxdy故二重积分可写为DD⎰⎰f(x,y)dσ3、【二重积分存在定理】设f(x,y)是有界闭区域D上的连续函数,则二重积分⎰⎰f(x,y)dσ存在.D4、二重积分的几何意义≥0时,二重积分(1)当被积函数f(x,y)⎰⎰f(x,y)dσD表示以f(x,y)为顶,以D为底面的曲顶柱体的体积．(2)当被积函数f(x,y)≤0时,二重积分表示曲顶柱体体积的相反数．二、二重积分的性质假设被积函数在有界闭区域D上连续.1．2．⎰⎰kf(x,y)dσ=k⎰⎰f(x,y)dσ,k为常数.DD⎰⎰[f(x,y)±g(x,y)]dσ=⎰⎰f(x,y)dσ±⎰⎰g(x,y)dσ.DDD二重积分的线性性：设α,β为常数则上述两式合并为⎰⎰[αf(x,y)+βg(x,y)]dσD=α⎰⎰f(x,y)dσ+β⎰⎰g(x,y)dσ.DD3．(二重积分对区域可加性)⎰⎰f(x,y)dσ=⎰⎰f(x,y)dσ+⎰⎰f(x,y)dσ,(D=D+DDD1D2).4．⎰⎰dσ=σ, σ为D的面积.D．(积分不等式)若f(x,y)≤g(x,y),则⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰g(x,y)dσ.DD注意：若在D上f(x,y)≤g(x,y)但等号不是恒成立，则有⎰⎰f(x,y)dσ<⎰⎰g(x,y)dσ.DD推论:⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰DDf(x,y)dσ.6.【积分估值定理】设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，则 mσ≤⎰⎰f(x,y)dσ≤Mσ.其中σ为D的面积.D7.【积分中值定理】设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则在D上至少存在一点(ξ,η)使得d=⎰⎰f(x,y)σD.σ为D的面积.fξ(η,⋅)σ8．设区域D=D1+D2，且D1与D2关于x轴对称；（1）当f(x,y)关于y是偶函数即 f(x,－y)＝f(x,y)时，有⎰⎰f(x,y)dσ=2⎰⎰f(x,y)dσ.DD1当f(x,y)关于y是奇函数时即f(x,－y)＝-f(x,y)时，有⎰⎰f(x,y)dσ=0.D(2)类似有设区域D=D1+D2，且D1与D2关于y轴对称；当f(x,y)关于x是偶函数时即f(-x,y)＝f(x,y)时，有⎰⎰f(x,y)dσ=2⎰⎰f(x,y)dσ.DD1当f(x,y)关于x是奇函数时即f(-x,y)＝-f(x,y)时，有⎰⎰f(x,y)dσ=0.D三、应用举例例1 比较3与(x+y)dσ(x+y)dσ⎰⎰⎰⎰DD的大小,其中D={(x,y)|(x-2)+(y-1)≤2}.22解：如图,由于点A(1,0)在(x-2)+(y-1)≤2上,过点A的切线为x+y=1,那么在D上有 1≤x+y≤(x+y)≤(x+y),23(x+y)dσ<(x+y)dσ.⎰⎰⎰⎰DD2222cosx+ydσ,I=cos(x+y)dσ, 2⎰⎰⎰⎰D例2(05.4)设I1=I3=⎰⎰cos(x2+y2)2dσ,其中D={(x,y)|x+y2≤1},则DD(A)I3>I2>I1(B)I1>I2>I3(C)I2>I1>I3(D)I3>I1>I2答(A).因为在区域D上，0≤x+y≤1<所以π,且cosz∈[0,π]为减函数，π>1≥x2+y2≥x2+y2≥(x2+y2)2≥0,2222222从而cos(x+y)≤cos(x+y)≤cos(x+y),故I3>I2>I1.例3设D:x2+y2≤a2,当a=()时,(a)1(b)3⎰⎰Da2-x2-y2dxdy=π.331(c)3(d)3 242答(b).根据二重积分的几何意义,此积分表示半径为a的上半球体1433的体积.由⋅aπ=π得a=3⇒选(b).232例4当D是由()围成的区域时,⎰⎰dxdy=1.D(a)x轴,y轴及2x+y-2=0(b)x=1,x=2及y=3,y=1,y=(d)x+y=1,x-y=1 22答(a,b,c).因为⎰⎰dxdy=1表示积分区域的面积为1,故只需考察哪(c)x=D些选项积分区域的面积为1.例5 判断x+y≤1ln(x2+y2)dσ的正负.解：在区域D={(x,y)|x+y≤1 }上有x+y≤1且等号不恒成立，所以ln(x+y)≤ln1=0且等号不能恒成立，故x+y≤1ln(x2+y2)dσ<x+y1(ln1)dσ=0.例6估计积分值I=⎰⎰xy(x+y)dσ,D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤2}.D解：0≤xy(x2+y2)≤6⇒0≤I≤12.（注意：积分区域为矩形SD=2）例7D1={(x,y)|x+y≤1,x,y≥0}D2={(x,y)|(x-2)+(y-1)≤2}I1=⎰⎰(x+y)2dσ,I2=⎰⎰(x+y)3dσ,D1D1I3=⎰⎰(x+y)2dσ,I4=⎰⎰(x+y)3dσD2D2试用适当符号连接I1,I2,I3,I4.解：在D1上有I1>I2(0≤x+y≤1),在D2上I4>I3(x+y≥1).又由(x+y)2≤1⇒I1≤由(x+y)2≥1⇒I3≥故I4>I3>I1>I2.22例8 设D={(x,y)|1≤x+y≤4}，证明 3πe≤xe⎰⎰D⎰⎰dσ=D1，2>I1，2+y2⎰⎰dσ=2π>D2dσ≤3πe4.证明因为SD=σ=4π-π=3π，又因为e≤e由积分的估值性质得 3πe≤xe⎰⎰Dx+y2≤e4，+y2dσ≤3πe4.例9设D={(x,y)|x+y≤R}（1）若f(x,y)在D上有界且可积，则limR→0⎰⎰f(x,y)dσ=0.Df(x,y)dσ=πf(0,0).R→0R2⎰⎰D（1）证明：设m,M分别为函数f(x,y)在D上的最小值与最大值，则（2）若f(x,y)在D上连续，则limm≤f(x,y)≤M，由积分估值定理知⎰⎰mdσ≤⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰Mdσ又D={(x,y)|x+y≤R}所以πmR≤D2D⎰⎰f(x,y)dσ≤πMRDD2，limR→0⎰⎰f(x,y)dσ=0.DD（2）解：由积分中值定理知f(x,y)在D上连续⇒∃(ξ,η)∈D,s..t⎰⎰f(x,y)dσ=πR2⋅f(ξ,η)，所以lim112f(x,y)dσ=lim⋅πRf(ξ,η)R→0R2⎰⎰R→0R2D=πlimf(ξ,η)=πlimf(ξ,η)=πf(0,0).R→0(ξ,η)→(0,0)小结：1.定义∑f(ξ,η)∆σ为二重积分.⎰⎰f(x,y)dσ=limλD→0iiii=1n2.二重积分几何意义:表示曲顶柱体的体积.3.正确运用各条性质进行判断、计算、证明.课后记：比较大小与证明问题下手较困难.第三篇：6.7 二重积分的概念与性质第6章多元函数微积分6.7二重积分的概念与性质习题解1．利用二重积分定义证明：⎰⎰kf(x,y)dσ=k⎰⎰f(x,y)dσ。
二重积分的概念和性质
D x2(y)
d
x1(y) D
c
x2(y)
[Y—型区域的特点]穿过区域且平行于x 轴的直线与区 域边界相交不多于两个交点.
(3) [既非X－型域也非Y－型域]
则必须分割.
在分割后的三个区域上分别都 是X－型域(或Y—型域)
1
解 I1, I2, I3 被积函数相同, 且非负, 由它们的积分域范围可知
o 1x
I2I1I3
21
2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则
I1 yx3d, I2 y2x3d,
D
D
的大小顺序为 ( D)
I3 y12x3d
D
提示
(A )I1I2I3 ; (B )I2I1I3; (C )I3I2I1; (D )I3I1I2.
f(x,y)df(,)
D
二重积分中值定理
几何意义 曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积
16
以下仅证性质7（中值定理）
证明
f(x,y)是有D 上 界的 闭连 域续
必有最大、最 M、 小 m值
由估值性质得
由于 0
m f(x,y)dM m1Df(x,y)dM
[二重积分的比较大小] 1.若区域D相同，则比较被积函数的大小； 2.若被积函数相同，则比较区域D的大小.
25
26
§10.2 二重积分的计算法（一）
一 利用直角坐标计算二重积分 二 小结 思考题
27
复习与回顾
n
(1)二重积分 Df(x,y)dl i0m i 1f(i,i) i
10
(1)积分存在时，其值与区域的分法和点 (i,的i) 取法无关
二重积分的概念及性质
二重积分的概念及性质前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。
下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。
二重积分的定义设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数：(1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）；(2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积；(3)把所有这些乘积相加,即作出和数(4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作:即：=其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域.关于二重积分的问题对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。
上述就是二重积分的几何意义。
如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分必定存在。
二重积分的性质(1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去.(2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和.(3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末:(4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末:≤(5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使其中σ是区域(σ)的面积.二重积分的计算法直角坐标系中的计算方法这里我们采取的方法是累次积分法。
也就是先把x看成常量，对y进行积分，然后在对x进行积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。
为此我们有积分公式，如下：或在这里我们可能会有这个问题：累次积分的上下限是怎么确定的呢？累次积分上下限的确定方法我们先来对区域作些补充说明：如果经过区域(σ)内任意一点(即不是区域边界上的点)作平行于y轴(或x 轴)的直线,且此直线交(σ)的边界不超过两点，那末称(σ)为沿y轴(x轴)方向的正规区域.如果(σ)即是沿y轴方向也是沿x轴方向的正规区域,那末(σ)就称为正规区域.下图所示的即为正规区域:关于累次积分上下限的取法如下所述:(1).如果(σ)为沿y轴方向的正规区域，那末二重积分可化为先对y再对x的累次积分.其中对y的积分下限是(σ)的下部边界曲线所对应的函数y1(x)，积分上限是上部边界曲线所对应的函数y2(x).对x的积分下限与上限分别是(σ)的最左与最右点的横坐标a与b.(2).如果(σ)为沿x轴方向的正规区域,那末二重积分可化为先对x再对y的累次积分.其中对x的积分下限是(σ)的左部边界曲线所对应的函数x1(y)，积分上限是右部边界曲线所对应的函数x2(y).对y的积分下限与上限分别是(σ)的最低与最高点的横坐标c与d.(3).如果(σ)为正规区域，那末累次积分可以交换积分次序。
二重积分的概念和计算
n
D
f (x, y) d
lim
0 i1
f (i ,i ) i
(d dxdy)
2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)
3. 曲顶柱体体积的计算
二次积分法
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思考与练习
1. 比较下列积分值的大小关系:
I2 xy d x d y
x y 1
11
M
若
非常数 , 仍可用
y D
“大化小, 常代变,近似和, 求 极限”
解决.
1)“大化小”
x
用任意曲线网分D 为 n 个小区域 1, 2, , n ,
相应把薄片也分为小区域 .
Page 5
2)“常代变”
在每个 k 中任取一点 (k ,k ),则第 k 小块的质量
y
解：当 x y 1 时，
1
D
0 x2 y2 ( x y)2 1 1 o 1 x
故
ln(x2 y2 ) 0
1
又当 x y 1时，ln(x2 y2 ) 0
于是 ln(x2 y2 ) d x d y 0
x y 1
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
R
其曲顶柱体的顶为 z R2 x2
oR
(x,
y)
D
:
00
y x
R
R2
x2
则所求体积为
x
y
R
8
R2 x2 d x
R2 x2
dy
0
0
8 R (R2 x2 ) d x 16 R3
0
二重积分的概念及几何意义
若函数$f(x,y)$和$g(x,y)$在区域$D$ 上均可积，则有 $iint_{D}[f(x,y)+g(x,y)]dsigma=iint_ {D}f(x,y)dsigma+iint_{D}g(x,y)dsig ma$。
积分区域的可加性
简单区域的叠加
若复杂区域$D$可以划分为有限个简单区域（如矩形、三角形等）的并集，且函数在每个简单区域上 均可积，则二重积分可以通过在这些简单区域上分别进行积分并求和得到。
复杂区域的分解
对于复杂的不规则区域，可以通过引入辅助线将其划分为几个较简单的子区域，然后在每个子区域上 分别进行积分，最后将结果相加。这种方法在处理具有复杂边界或包含多个不同部分的积分区域时特 别有用。
03
二重积分的计算
直角坐标系下的二重积分
积分区域为矩形区域
通过对矩形区域进行划分，将二重积分转化为累次积分进行计算。
对于环形区域，可以通过对内外圆的极径 进行划分，将环形区域划分为若干个小扇 形区域，然后对每个小扇形区域进行积分 ，最后将结果相加得到二重积分的值。
二重积分的换元法
直角坐标与极坐标的互化
通过直角坐标与极坐标之间的互化公式，可以将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标 系下的二重积分进行计算。
一般变换
对于一般的二重积分，可以通过变量代换的方法将其转化为更简单的形式进行计算。常 用的变量代换方法有极坐标代换、广义极坐标代换等。
积分的数乘性质
若函数$f(x,y)$在区域$D$上可积，则对于任意常数$k$，有 $iint_{D}kf(x,y)dsigma=kiint_{D}f(x,y)dsigma$。
可加性质
积分区域的可加性
若区域$D$可分成两个不相交的区域$D_1$和 $D_2$，且函数$f(x,y)$在$D_1$和$D_2$上均 可积，则有 $iint_{D}f(x,y)dsigma=iint_{D_1}f(x,y)dsigm a+iint_{D_2}f(x,y)dsigma$。
二重积分知识点
二重积分知识点一、引言二重积分是高等数学中的重要内容，是对二元函数在有限区域上的积分运算。
二重积分的概念与求解技巧是深入理解、掌握多元函数的必备工具，也为解决实际问题提供了数学方法。
本文将从二重积分的概念、性质、计算方法和应用等方面，全面详细地介绍二重积分的知识点。
二、概念1. 二重积分的定义设f (x,y )在闭区域D 上有定义，D 由有向闭曲线C 围成，且f (x,y )在D 上有界。
若存在数I ，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得对于D 内任意满足Δσ<δ的任意分割σ，对应的任意代点ξij ，总有|∑∑f mj=1n i=1(ξij )Δσij −I|<ε则称I 为函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分，记作I =∬f D(x,y )dσ其中，Δσij 表示第(i,j )个小区域的面积，Δσ表示整个区域D 的面积。
2. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义是对二元函数在闭区域上的面积进行逐点求和，即将闭区域D 分割成无穷多个小面积区域，并对每个小面积区域上的函数值进行乘积再求和，最终得到二重积分。
三、性质1. 线性性质设闭区域D上有二重积分∬fD(x,y)dσ，若c为常数，则有∬(cf(x,y)) D dσ=c∬fD(x,y)dσ∬(f(x,y)±g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ±∬gD(x,y)dσ2. 区域可加性设闭区域D可分为非重叠的两部分D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ3. Fubini定理（累次积分）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则有∬f D (x,y)dσ=∫(∫fβ(x)α(x)(x,y)dy)badx=∫(∫fδ(y)γ(y)(x,y)dx)dcdy其中，(x,y)∈D,α(x)≤y≤β(x),γ(y)≤x≤δ(y)。
4. 值定理设函数f(x,y)在闭区域D上一致连续，则存在(ξ,η)∈D，使得∬fD (x,y)dσ=f(ξ,η)∬dDσ=f(ξ,η)σ(D)其中，σ(D)表示闭区域D的面积。
二重积分的概念及性质
∬_D [af(x,y)+bg(x,y)]dxdy = a∬_D f(x,y)dxdy + b∬_D g(x,y)dxdy
2
面积加法
∬_D [f(x,y)+g(x,y)]dxdy = ∬_D f(x,y)dxdy+∬_D g(x,y)dxdy
3
积分可交换
与积分上下限无关：
∬_D[f(x,y)+g(x,y)]dxdy = ∬_D f(x,y)dxdy + ∬_D g(x,y)dxdy
极坐标下的二重积分
轮换对称性
交换二重积分中的积分极限 和被积函数中的变量，可得 到相同的结果。
转化公式
从直角坐标系转化为极坐标 系的公式为：
∬_D f(x,y)dxdy = ∬_D f(r*co sθ, r*sinθ)rd rd θ
相关例题
可以将某个区域在直角坐标 系中的极坐标方程转换成在 极坐标系下的积分形式。
对二重积分的符号化表示
累加表示
二重积分可以通过累加的方式求 解即：
∬_D f(x,y)dxdy = ∆ x ∆ y Σ f(x_i, y_j)
积分表示
二重积分可以用积分符号表示如 下：
∬_D f(x,y)dxdy = ∫ ∫ _D f(x,y)d A
计算方法
按照累加或积分的方式计算。
基本性质
1
线性性
总结
本次讲座全面介绍了二重积分的定义及性质、极坐标下的二重积分，坐标变 换下的二重积分，以及应用。相信我们的学生已经得到了充分的掌握。
极坐标与直角坐标之间的 转换
常用在圆、椭圆、其他轮换面 上等的二重积分中转换。
弧坐标与直角坐标之间的 转换
用于圆周上对于弧长的积分的 计算及二重积分的变换。
10.1二重积分的概念与性质
24
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似 分割、 代替、求和、取极限”的方法， 代替、求和、取极限”的方法，如下动 画演示． 画演示．
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求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似 分割、 代替、求和、取极限”的方法， 代替、求和、取极限”的方法，如下动 画演示． 画演示．
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求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似 分割、 代替、求和、取极限”的方法， 代替、求和、取极限”的方法，如下动 画演示． 画演示．
∴
∫∫ f (x, y)dσ ≤ ∫∫ D
D
f ( x, y) dσ
17
性质5 性质5 估值性质
设f ( x , y )在有界闭区域D上的最大值为M，最小值
为m，σ 是D的面积，则有
mσ ≤ ∫∫ f ( x , y )dσ ≤ Mσ .
D
性质6 (二重积分的中值定理 性质6 (二重积分的中值定理) 二重积分的中值定理)
若f ( x , y )在闭区域D上连续，σ 是D的面积，则在
D上至少存在一点(ξ ,η )，使得
∫∫ f ( x , y )dσ =
D
f (ξ ,η )σ .
18
∫∫ f ( x , y )dσ =
D
f (ξ ,η )σ .
由性质6 可知, 证明 由性质6 可知, 1 m ≤ ∫∫ f (x, y)dσ ≤ M
V = lim∑ f (ξi , ηi )∆σi
λ→0
i =1
n
平面薄片的质量: 平面薄片的质量:
M = lim∑µ(ξi , ηi )∆σi
λ→0
i =1
11
n
2. 二重积分的定义 定义 设 (x, y) 是定义在有界区域 D上的有界函数 , f 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点
§10.1二重积分的概念与性质
n
i
．
记 λ = max{λi } ，若当 λ → 0 时，这和的极限总存在，则称此极限为函数 f ( x, y ) 在闭区域 D 上的
1≤ i ≤ n
二重积分，记作
∫∫ f ( x, y) dσ ．即
D
∫∫
D
f ( x, y ) dσ = lim ∑ f (ξi ,ηi ) ∆σ i .
λ →0
i =1
∫∫ f ( x, y)dσ =∫∫ f ( x, y)dσ + ∫∫ f ( x, y)dσ ．
D D1 D2
3. 若在 D 上， f ( x, y ) ≡ 1 ， 记 σ 为区域 D 的面积，则
σ = ∫∫ 1⋅ dσ = ∫∫ dσ ．
D D
几何意义: 高为 1 的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积． 4.保号性：若在 D 上， f ( x, y ) ≤ g ( x, y ) ，则有不等式
（3）求和：
M ≈ ∑ f (ξi ,ηi )∆σ i ；
i =1
n
（4）取极限，得精确值：记 λi 为 ∆σ i 的直径，令 λ = max {λi } → 0 ，
1≤ i ≤ n
可得所求的质量为
M = lim ∑ f ( ξi , ηi )∆σ i
λ →0
i =1
n
2
以上两种实际意义完全不同的问题， 最终都归结同一形式的和的极限问题． 今后在物理、 力学、 几何和工程技术中，有许多物理量或几何量都可归结为这一形式的和的极限．因此，有必要撇开这 类极限问题的实际背景， 对这种和的极限，给出一个更广泛、更抽象的数学概念，即二重积分． 2. 二重积分的概念 定义 设 f ( x, y ) 是有界闭区域 D 上的有界函数． 将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域
二重积分的概念及性质
积分区域的可加性
该性质可以用于简 化复杂的积分区域， 将复杂区域分解为 简单区域进行计算。
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则 它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二 重积分。即，如果D=D1∪D2，则 ∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
二重积分的概念
二重积分的计算方法是通过将区域划分为一系列小的矩形或平行四边 形，然后计算每个小区域的面积并求和。 二重积分是定积分的一种扩展，它涉及到两个自变量的积分。在二维 平面中，二重积分表示一个函数在某个区域上的面积。
二重积分的几何意义
如果函数在某个区域上取负值，那么二重积分表示该函数与该区 域围成的区域的面积的负值。 二重积分的几何意义是二维平面上的面积。具体来说，如果一个 函数在某个区域上非负，那么二重积分表示该函数与该区域围成 的面积。
得出结果
将所有小矩形的积分结果相加，得到整个矩形区 域上的二重积分值。
转换坐标 将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。 分层积分 将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。 逐个计算 对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。 得出结果 将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。 极坐标下的二重积分计算
任意形状区域
对于任意形状的平面区域，可以通过分割成若干 个小区域，对每个小区域进行积分，然后将结果 相加得到总面积。
平面曲线段的长度计算
直线段
对于直线段，其长度即为该直线的方程在给定区间上的积分。
圆弧
高等数学：第一讲 二重积分的定义与性质
o
x
D
•
y
(i ,i )
则称 f ( x, y) 可积 , 称 I 为 f ( x, y) 在D上的二重积分.
i
积分和
二重积分的定义
被积函数 积分区域
积分表达式
x , y 称为积分变量
面积元素
二重积分的定义
注1： 若用平行坐标轴的直线来划分区域 D ，则有 y
因此，面积元素 常记作 d x d y, 二重积分记作
D f ( x, y)dxd y.
O
注2： 对比曲顶柱体体积的求法和二重积分的定义可知
V D f ( x, y)d D f ( x, y)d x d y
D i
x
二、二重积分的性质
性质1
k f (x, y)d k f (x, y) d ( k 为常数)．
D
D
性质2
[ f (x, y) g(x, y)]d
例1
利用二重积分的性质，比较下列二重积分的大小：
I1 x y2 d x d y, I2 x y3 d x d y
D
D
其中D是由 x 轴，y 轴以及直线 x y 1 围成，
则 I1 _____ I2 . y 1 x y 1
D
O
1x
二重积分的保号性
0 x y1
( x y)2 ( x y)3
二重积分的 定义与性质
一、二重积分的定义
定义: z f ( x, y)是定义在有界闭区域 D上的有界函数 ，将区域 D 任意
z
分成 n 个小闭区域
f (i ,i ) •
z f (x, y)
任取一点 (i ,i ) i
记
ห้องสมุดไป่ตู้
二重积分的概念与性质知识点与题型解析
二重积分的概念与性质知识点与题型解析1、曲顶柱体曲顶柱体：是以一个有界的平面区域D为底，以区域的边界∂D为准线，垂直于底的直线为母线的柱面为侧面，曲面为顶的柱体。
一般取底面Ｄ所在平面为xOy坐标面，母线指向曲顶一侧的方向为z轴正西构建空间直角坐标系。
2、二重积分的建模思想与模型构建步骤(1) 建模思想：微元法(2) 建模步骤：“大化小, 常代变, 近似和，取极限”(3) 模型转换：公式中△σk表示小区域面积，括号中△σk表示区域。
3、定积分的几何意义与物理意义几何意义：(1) 当f(x,y)=1，则表示积分区域D的面积；(2) 当f(x,y)≥0，则表示以积分区域D，以D的边界为准线，母线平行于z轴的柱面为侧面，顶为z=f(x,y)的曲顶柱体的体积.物理意义：当f(x,y)>0，则表示面密度为ρ=f(x,y)的，占有平面区域D的平面薄片的质量.4、二重积分存在定理定理1：若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上可积。
定理2：若函数f(x,y)在有界闭区域D上除去有限个点或有限条光滑曲线外都连续，则f(x,y)在D上可积。
5、二重积分的积分性质性质1 (线性运算性质)设函数f(x,y),g(x,y)在有界闭区域D上可积，α,β为实常数，则有【注】在应用中，利用线性运算性质可以拆分积分；利用逆运算，也可以将多个积分合并为一个积分。
即同一区域上的两个不同函数的积分和，可以合并为被积函数的和在该积分区域上的积分。
性质2 (对积分区域的可加性)将有界闭区域D分成除边界外互不重叠的两个闭子区域D1和D2，若函数f(x,y)在区域D上可积，则有性质3 (保序性) (1) 若函数f(x,y)在有界闭区域D上可积且非负，则(2) 若函数f(x,y),g(x,y)在有界闭区域D上可积，且在D上有f(x,y)≤g(x,y)，则特别有绝对值不等式性质4 (估值定理)若函数f(x,y)在有界闭区域D上可积，且存在常数m和M使得在D上成立m≤f(x,y)≤M，则有其中A为区域D的面积．若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续且非负，D1为D的闭子区域，则有性质5(积分中值定理)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，则至少存在一点(ξ,η)∈D，使得其中A为区域D的面积．性质6(偶倍奇零)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续.●如果D关于x轴对称，记其x轴上方区域为D1，则有●如果D关于y轴对称，记其y轴右侧区域为D1，则有即积分区域关于x轴对称，被积函数关于y变量有奇偶性；积分区域关于y轴对称，被积函数关于x变量有奇偶性，则积分偶倍奇零。
10-1 二重积分的概念与性质
i =1
n
i =1
n
å å 4) 取极限.V
= lim l ®0
i =1
f
(x
i取,h极i )D限s
i4)
取极限.m
=
lim
l ®0
µ(xi ,hi )Ds i
i =1
不同点：背景不同
相同点：方法相同
（一）引例
1．曲顶柱体的体积
2．平面薄片的质量
1) 分割.
1) 分割.
用一组曲线网把D分成n个小区域 用一组曲线网把D分成n个小块
i =1
n
i =1
n
å å 4) 取极限.V
= lim l ®0
i =1f(x来自i,hi)Ds
i4)
取极限.m
=
lim
l ®0
µ(xi ,hi )Ds i
i =1
不同点：背景不同
n
å 相同点：方法相同
数学形式相同
lim
l ®0
i =1
f (xi ,hi )Ds i
一、二重积分的概念 （一）引例 （二）定义
Ds1, D几s 2 ,!何, Ds问i ,!题 , Ds n
2) 取近似. DVi » f (xi ,hi )Ds i
2D) s取物 1近, D似s.2理,D!m,iD问»sµi ,(!x题i ,,hDis)Dn s i
n
n
å å 3) 求和. V » f (xi ,hi )Ds i 3) 求和. m » µ(xi ,hi )Ds i
i=1
当各小闭区域的直径中的最大值l ® 0时,这和的极限总存在,
且与闭区域D的分法及点(xi ,hi )的取法无关，那么称此极限为
高等数学同济第六版第10章公式总结
高等数学同济第六版（下册）（第10章）第10章重积分10.1 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念二、二重积分的性质1 性质 1 设、为常数，则2 性质 2 如果闭区域被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。
(可加性)3 性质 3 如果在上，，为的面积，则4 性质 4 如果在上，，则有特殊地，由于又有5 性质 5 设、为分别是在闭区域上的最大值和最小值，是的面积，则有6 性质 6(二重积分的中值定理) 设函数在闭区域上连续，是的面积，则在上至少存在一点，使得10.2 二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分7 型(先后)型(先后)例 4 求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积。
解设这两个圆柱面的方程分别为及由对称性，将其分为8部分在第一卦限中，所求立体的顶为柱面又积分区域则即所求立体的体积为二、利用极坐标计算二重积分8例 5 计算其中是由中心在原点、半径为的圆周所围成的闭区域。
解在极坐标系中，闭区域则例 6 求球体被圆柱面所截得的(含在圆柱面内的部分) 立体的体积。
解由对称性，有在极坐标系中，闭区域则*三、二重积分的换元法10.3 三重积分一、三重积分的概念二、三重积分的计算1 利用直角坐标计算三重积分9 (先一后二)其中，例 1 计算三重积分其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域。
解闭区域则(先二后一)其中，是竖坐标为的平面截闭区域所得到的一个平面闭区域。
例 2 计算三重积分其中是由椭球面所围成的空间闭区域。
解闭区域则2 利用柱面坐标计算三重积分10 点的直角坐标与柱面坐标的关系为例 3 利用柱面坐标计算三重积分其中是由曲面与平面所围成的闭区域。
解闭区域则*3 利用球面坐标计算三重积分11 点的直角坐标与球面坐标的关系为例 4 求半径为的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积。
解设球面通过原点，球心在轴上，又内接锥面的顶点在原点，其轴与轴重合，则球面方程为，锥面方程为。
二重积分的概念和性质
f (x, y)dxdy 即
R
f (x, y)d f (x, y)dxdy
R
R
⑵根据二重积分的定义，曲顶柱体的体积是：
V f (x, y)d
R
⑶函数 f (x, y) 在闭区域 R 上连续，则 f (x, y) 在 R 上
的二重积分必定存在.
⑷二重积分仅与积分区域R 和 f (x, y) 有关，而与对 区域 R 的分法和(i ,i ) 的取法无关.
平顶柱 体的体积
=底面积（区域 D的面积）×高（ z f (x, y) 为常数）
请回忆在微积分上册解决曲边梯形面积的思想分析方法
z
z
x
D
y
x
i
D
y
(i ,i )
曲顶柱体体积 V ：
⑴分割：D 1 2 n
V V1 V2 Vn
i 为 Vi 的窄条曲顶柱体的底，d i 为 i 的直径
R
R {(x, y) 0 x 2,0 y 4}
解：⑴在区域R上有：0 xy 2 （此处严格的找法
应该按照二元函数在有界闭区域上最值的找法 去做），根据积分性质
0 SR 2xyd 4 SR
R
而 SR 2 ，所以：
0 xyd 8
R
⑵的解法同⑴
例3：试将下列区域 R 用 x, y 的不等式组形式表示 出来，并写成集合形式
⑴
y 2x yx
R
R (x, y) 0 x 2, x y 2x
⑵
y x2 / 4 1
y 2x
R
6
2
2
x2
R
二重积分的定义和基本概念
二重积分的定义和基本概念对于工程领域的许多问题，数学中的二重积分都可以提供有力的支持。
二重积分是多重积分的一种，它将一个平面区域上的函数值进行求和。
下面，让我们来一探二重积分的定义和基本概念。
一、二重积分定义为了更加深入地了解二重积分的定义，我们可以首先看一下一重积分。
一重积分即为定积分，它的计算方法是从区间的左端点到右端点逐步地进行积分。
相比之下，二重积分则需要在二维平面上使用一个小矩形，将需要积分的函数垂直投影，最后进行累计。
而在二重积分中，使用的是两个变量，我们会遍历整个区域，并计算在小矩形中的函数值。
因此，二重积分的定义为：$$\iint\limits_{D}f(x,y)dA$$其中，$D$ 代表平面区域，$f(x, y)$ 代表我们要在区域上求和的函数，$dA$ 代表小矩形的元素面积。
换句话说，在区域 $D$ 上，$f(x, y)$ 乘以小矩形的面积，最后求和得到的结果就是二重积分。
需要注意的是，由于小矩形非常小，它的面积可以看作是$dA$ 。
而由于我们要遍历整个区域，因此二重积分一般使用两个累计求和符号，其标记如下：$$\iint\limits_{D}f(x,y)dA =\lim_{n,m\to\infty}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m f(x_i,y_j)\Delta A$$二、二重积分的基本概念我们已经知道二重积分的定义，然后我们来看看它的基本概念。
这里我们着重介绍三个基本概念：积分上限、积分下限和被积函数。
1. 积分上限积分上限是指二重积分中小矩形的右上角顶点，也就是变量$x$ 的上线 $x_1$ 和变量 $y$ 的上限 $y_1$。
下同。
2. 积分下限积分下限是指二重积分中小矩形的左下角顶点，也就是变量$x$ 的下线 $x_0$ 和变量 $y$ 的下线 $y_0$。
3. 被积函数被积函数是指在积分符号中的要被积分的函数。
在二重积分中，被积函数要依次带入两个变量，如 $f(x, y)$。
11二重积分的概念及性质
因此
f ( x, y )dxdy c S ( y )dy
D
d
d c
x2 ( y) x1 ( y )
f ( x, y )dx dy f ( x, y )dx.
d x2 ( y) dy x ( y ) c 1
(4)
即化成先对变元x积分，后对变元y积分的二次积分.
x2 ( y ) 先对x积分时，x ( y ) 1
其中任意两小块 i和 j (i j ) 除边界外无公共点. 其中 i 既表示第i个小块，也表示第i个小块的面积. 近似、求和 记 i为 i的直径(即 i表示 i 中任 意两点间距离的最大值)，在 中任取一点(i ,i ), i 以 f (i ,i ) 为高而底为 i的平顶柱体体积为
f ( x, y )dx中的y应视为常量，
按定积分的计算方法解之.
在上述讨论中，我们假定f(x,y)≥0，但是实际上，
上述结论并不受此限制.
如果积分区域D的边界曲线与平行于坐标轴的直
线相交，其交点多于两个，则先将区域D划分为几个
子区域，其中每个子区域的边界曲线与平行于坐标
轴的直线相交时，交点不多于两个，用前述方法及
记为
lim f (i ,i )d 0 f (i ,i ).
D i 1
n
(2)
称f(x,y)为被积函数，D为积分区域，x，y为积分变
元， 为面积微元(或面积元素). d 由这个定义可知，质量非均匀分布的薄板D的质
量等于其面密度 ( x, y )在D上的二重积分.因此二重积
重积分的可加性可求区域D上的二重积分.
为了便于确定积分区域D的不等式表达式，通常 可以采用下述步骤：
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(4) 若 f ( x, y)d 存在，称f ( x, y)在D上可积.
(5) 面积元素为 d
D
dxdy
D
y
二重积分可写为 f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
(6)v f ( x, y )d
D
m ( x , y )d
D
D
D
x
o
二、二重积分的性质
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，如下动画演示．
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，如下动画演示．
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，如下动画演示．
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、取 极限”的方法，如下动画演示．
D 任意分成 n个小闭区域 1 ， 其中 i 2 , ， n，
表示第 i 个小闭区域，也表示它的面积，在每个 i 上任 取一点( i ,i ) ，作乘积 f ( i ,i ) i ， ( i 1,2,, n) ， 并作和
f ( i , i ) i ，
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１ 当k为常数时，
kf ( x , y )d k f ( x , y )d .
D D
性质２
[ f ( x, y ) g( x, y )]d
D
f ( x , y )d g ( x , y )d .
D D
性质３ 对区域具有可加性 ( D D1 D2 )
引入：
1．平顶柱体的体积 =底面积×高
特点：平顶.
2．曲顶柱体的体积 =？ 特点：曲顶.
一、二重积分的概念
1．曲顶柱体的体积
z
o x 以 xoy 平面的有界闭区域D为底、 侧面是以D的边界曲线C作准线而母线 平行于Z轴的柱面，顶是曲面 z f x, y ( f ( x, y) 0)
i 1
n
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零时，这和 式的极限存在， 则称此极限为函数 f ( x , y )在闭区域 D 上的 二重积分，记为 f ( x , y )d ，即
D
f ( i , i ) i . f ( x, y )d lim 0 i 1
f ( x, y )d f ( x, y )d f ( x, y )d .
将薄片分割成若干小块， y 取典型小块，将其近似
( i ,i )
i
看作均匀薄片，
所有小块质量之和
o x n M lim ( i ,i ) i . 近似等于薄片总质量（极限） 0
i 1
3.二重积分的定义
定义 设 f ( x , y )在有界闭区域 D 上有定义， 将闭区域
i 的小平顶柱体体积为 f (i ,i ) i (i 1, 2, , n) 这n个平顶柱体体积之和 f ( , )
为高而底为
n i 1 i i
P i (i ,i )(i 1, 2,
, n).以f (i ,i )
zz f ( x, y)
i
o
可作为整个曲顶柱体体积的近似值.令n个 D x 小闭区域的直径中的最大值（记作λ） 趋于零，取上述和的极限，所得的极限就 定义为所论曲顶柱体的体积
D
n
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被 积 表 达 式
面积 积分 元和 素
注： (1) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.
(2)当 f ( x , y ) 在闭区域上连续时，或分片连续且有界，定 义中和式的极限必存在，即二重积分必存在 . (3)几何意义：当被积函数大于零时，二重积分是柱 体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负值．
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、取 极限”的方法，如下动画演示．
解决办法：
用一组曲线网将xoy面上的区域D划分为n个小区域
1 , 2 ,
, n.
(也同时记为它们的面积.)
分别以各小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行 于z轴的柱面，这些柱面把原曲顶柱体分为n个小曲 顶柱体．当这些小闭区域的直径很小时，连续函数 f ( x, y)的变化不大，这时小曲顶柱体可近似看作平 顶柱体．在每个 i (i 1, 2, , n) 中各任取 一 P , n) i (i ,i )(i 1, 2, 点
y
( i ,i )
i
n
x
v vi f (i ,i ) i
i 1 i 1
(4)取极限：曲顶柱体的体积 V lim f (i ,i ) i .其中 max i1i n 0
i 1
２．求非均匀平面薄片的质量
D ，在 设有一平面薄片，占有xoy 面上的闭区域 D 上 点( x , y ) 处的面密度为 ( x , y ) ，假定 ( x , y ) 在 连续，平面薄片的质量为多少？
y
且在D上连续所形成的立体称为曲顶柱体（如上图）。
显然，平顶柱体的体积=底面积×高，而曲顶柱体 的体积不能直接用上式计算，那么怎样来计算呢？
由求曲边梯形面积的方法就不难想到下面的解决办法：
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限” 的方法，如下动画演示．
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，如下动画演示．
综合起来，即所谓“分割、近似、作 和、取极限”四步。
(i ,i )
i
具体步骤如下：
(1)先分割曲顶柱体的 底，并取典型小区域 i
z
z f ( x, y)
(2)近似:vi f (i ,i ) i
(3)用若干个小平顶柱体 体积之和近似表示曲顶 柱体的体积，
n n
o
D
重 积 分
一元函数积分学 重积分 多元函数积分学 曲线积分 曲面积分
第十章 重 积 分
主 要 内 容
1. 2. 3. 4. 5. 二重积分的概念与性质 二重积分的计算法 二重积分的应用 三重积分的概念及其计算法 利用柱面坐标和球面坐标计算 三重积分
第一节 二重积分的概念与性 质
• 二重积分的引入 • 二重积分的概念 • 二重积分的性质