人教版九年级数学下册33.2.3相似三角形的应用专题练习【含答案】

人教版九年级数学下册33.2.3 相似三角形的应用专题练习

一、基础练习

1．如图1，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离1.6m，梯上点D距墙1.4m，•BD•长0.55m，则梯子的长为_______m．

（1）（2）（3）

2．•要做甲、•乙两个形状相似的三角形框架，•已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm．那么，•符合条件的三角形框架乙共有_____种，这种框架乙的其余两边分别为________．

3．在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，•现将它折叠，•使点B•与点C•重合，•则折痕长是______．

4．如图2，矩形ABCD，AD=a，AB=b，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP，•△DPA，•△PCD两两相似，则a，b间的关系一定满足（）

A．a≥1

2

b B．a≥b C．a≥

3

2

b D．a≥2b

5．如图3，已知三角形铁皮ABC的边BC=acm，BC边上的高AM=hcm•要剪出一个正方形铁片DEFG，使D、E在BC上，G、F分别在AB、AC上，则正方形DEFG的边长=_______．

6．如图4，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，•长臂端点升高______m（杆的宽度忽略不计）．

（4）（5）（6）

7．如图5，设在小孔口前24cm处有一枝长21cm的蜡烛AB，AB经小孔O形成的像A•′B′恰好浇在距小孔后面16cm处的屏幕上，则像A′B′的长是______cm．

8．如图6所示，一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠，使A、C两点重合，•折线MN=________．

9．如图7所示，ABCD为正方形，A、E、F、G在同一条直线上，并且AE=5cm，EF=3cm，•那么FG=_______cm．

（7）（8）

10．如图8，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，DE为Rt△CDB的斜边BC上的高，若BE=6，CE=4，则AD=_______．

二、整合练习

1．如图，现有两个边长比为1：2的正方形ABCD与A′B′C′D′，已知点B、

C、B′、C ′在同一直线上，且点C与B′重合，请你利用这两个正方形，

通过截割、平移、旋转等方法，拼出两个相似比为1：3的三角形，要求：

（1）借助原图拼图；（2）简要说明方法；（3）注明相似的两个三角形．

2．如图，运河边上移栽了两棵老树AB、CD，它们相距20m，分别自两树上高出地面3m、4m 的A、C处，向两侧地面上的点E和D、B和F处用绳索拉紧，以固定老树，那么绳索AD 与BC的交点P离地面的高度为多少米？

3．小R、小D、小H在一起研究相似三角形，分别得到三个命题：

（1）两个相似三角形，如果它们的周长相等，那么这两个三角形全等；

（2）两个相似三角形，如果有两组边长相等，那么这两个三角形全等；

（3）不等边△ABC的边长为a、b、c，那么以a、b、c为边长的△A′B•′C•一定不能与△ABC相似．

请你判定一下，这三个命题中，哪些是真命题？说说你的理由．

答案： 一、基础练习 1．4.4

2．3 若20与50对应，则另两边分别为24cm 、32cm ；若20与60对应，则另两边分别为

5080,33cm cm ；若20与80对应，则另两边分别为25

2

cm 、15cm ． 3．因△ABC 为Rt △，B 与C 重合，折痕DE 为BC 的中垂线交BC 于D 、AC 于E 、

Rt △CDE ∽Rt △CAB ，5

3152,48

DE CD DE AB CA ⨯

===． 4．△ABP 、△DPA 、△PCD 两两相似，即∠APD=90°，

即以AD 为直径的圆与BC•至少有一个交点P ，所以a ≥2b ，选D ． 5．设正方形DEFG 的边长为x ，由FG ∥BC ， 所以△AGF ∽△ABC ，设AM 交GF 于N ，,,AN GF h x x ah

x AM BC h a a h

-===

+即解得（cm ）． 6．8m 7．14

8．设MN 与AC 交于点O ，MN 垂直平分AC ，AD=9，AB=12，AC=22AB AC +=15，

△CON ∽△CDA ，

91545

,,21224

NO AD NO MN ON OC DC ==⨯==

． 9．设FG=xcm ，由△AFD ∽△GAB 和△AED ∽△GEB ， 得

8516

,833

AD AE x BG EG x ====++解得FG ． 10．由DE ∥AC ，△BDE ∽△BAC ，

BE BC

BD AB

=

，CE=4，BE=6，DE 为Rt △CDB 斜边BC 上的高，△DEB ∽△CED ，DE 2=CE ·BE=24，BD 2

=24+36=60，BD=215，AD=4153

．

二、整合练习

1．连结BD 并延长交A ′D ′于点E ，交C ′D ′的延长线于点F ， 将△DA ′E 绕点E 旋转至△FD ′E 位置，则△BAD ∽△FC ′B ， 且相似比为1：3．

2．过P 作PH ⊥BD 于H ，由于AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，

所以AB ∥CD ，PH ∥CD ，△ABP ∽△DCP ，BP ：PC=AB ：CD=3：4， BP ：BC=3：7，又△BPH ∽△BCD ，

PH BP CD BC =

=3

7

， 所以PH=

37×4=127，即点P 离地面的高度为127

m ． （这里AB 、CD 相距20m 为多余条件）． 3．真命题为（1）、（3）．

理由是（1）若△ABC ∽△A ′B ′C ′， 它们的相似比为k ，（•k ≠0）则

''''''

AB BC CA

A B B C C A ==

=k ， △ABC 的周长为AB+BC+CA ，△A ′B ′C ′的周长为A ′B+B ′C ′+C ′A ′，• 又AB=A ′B ′k ，BC=B ′C ′k ，CA=C ′A ′k ．由周长相等，得k=1， 所以AB=A ′B ′，BC=B•′C ′，CA=C ′A ′， 所以△ABC ≌△A ′B ′C ′．

（2）是假命题，可举反例 若△ABC ∽△A ′B ′C ′，

设AB=1，BC=2，

A ′

B ′

B ′

C ′

C ′A ′=2， 虽然有两组边长相等，但它们显然不全等． （3）不等边△ABC 中，不妨设a>b>c ，

若△A ′B ′C ′与△ABC 相似，则a 、b 、c

==

a=b=c 与△ABC 是不等边三角形矛盾，

A ′

B ′

C ′一定不能与△ABC 相似． （如果△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，

A ′

B ′

C ′由,

,.a b c b c a c a b +>⎧⎪

+>⎨⎪+>⎩

可证,,.a b c b c a c a b ⎧++>⎪⎪++>⎨⎪++>⎪⎩

即>>>）