人教版九年级数学下册33.2.3相似三角形的应用专题练习【含答案】
人教版九年级下册数学《相似三角形》练习题及答案
27.2 相似三角形一、选择题1..下列语句正确的是( )A.△ABC 和△A′B′C′中,∠B=∠B′=90°,∠A=30°,∠C′=60°, 则⊿ABC 和⊿A′B′C′不相似;B.在⊿ABC 和⊿A′B′C′中,AB=5,BC=7,AC=8,A′C′=16,B′C′=14,A′B ′=10,则⊿ABC ∽⊿A′B′C′;C.两个全等三角形不一定相似;D.所有的菱形都相似2.根据图中尺寸（AB ∥A 1B 1）,那么物象长（A 1B 1的长）与物长（AB 的长）之间函数关系的图像大致是（ ）3.如图，在正三角形ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，且AC AD ＝31，AE ＝BE ，则有（ ）（A ）△AED ∽△BED （B ）△AED ∽△CBD（C ）△AED ∽△ABD （D ）△BAD ∽△BCD( 3题 ) (4题)4．已知：如图，∠ADE ＝∠ACD ＝∠ABC ，图中相似三角形共有（ ）（A ）1对 （B ）2对 （C ）3对 （D ）4对5.三角形三边之比为3:5:7,与它相似的三角形的最长边为21cm,则其余两边之和为( )A.32cmB.24cmC.18cmD.16cm6. 已知⊿ABC ∽⊿A ′B ′C ′，且BC ：B ′C ′= AC ：A ′C ′，若AC=3，A ′C ′=1.8，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比是（ ）。
A. 2:3B. 3:2C. 5:3D. 3:57.可以判定∆ABC ∽'''C B A ∆，的条件是 （ ）A 、∠A=∠'C =∠'B B 、''''C A B A AC AB =，且∠A=∠'C C 、''''C A AC B A AB =且∠A=∠'B D 、以上条件都不对8. 已知一次函数y=2x+2与x 轴y 轴交于A 、B 两点，另一直线y=kx+3交x 轴正半轴于E 、交y 轴于F 点，如⊿AOB 与E 、F 、O 三点组成的三角形相似，那么k 值为（ ）A 1.5B 6C 1.5或6D 以上都不对二、填空题9. 已知一个三角形三边长是6cm ，7.5cm ，9cm ，另一个三角形的三边是8cm ，10cm ，12cm ，则这两个三角形 （填相似或不相似）10. 在1:25000000的中国政区图上，量得福州到北京的距离为6cm ，则福州到北京的实际距离为 km 。
初三数学相似三角形典例及练习(含答案)
初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1。
理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割.2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。
3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。
4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。
本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。
相似三角形是平面几何的主要内容之一,在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题,题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题,形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。
（二）重要知识点介绍： 1。
比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC,使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
2. 比例性质: ①基本性质：a b cdad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d=⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()03。
平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
人教新版数学九年级下册《相似》习题含答案
人教版初中数学九年级第二十七章-相似-及习题-含答案第二十七章相似本章小结小结1 本章概述本章内容是对三角形知识的进一步认识，是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形．在全等三角形的基础上，总结出相似三角形的判定方法和性质，使学过的知识得到巩固和提高．在学习过程中，通过大量的实践活动来探索三角形相似的条件，并应用相似三角形的性质及判定方法来研究和解决实际问题．在研究相似三角形的基础上学习位似图形，知道位似变换是特殊的相似变换．小结2 本章学习重难点【本章重点】通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件．【本章难点】通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．【学习本章应注意的问题】通过生活中的实例认识物体和图形的相似，探索并认识相似图形的特征，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例以及面积的比与相似比的关系，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立坐标系描述点的位置，并能表示出点的坐标．小结3 中考透视图形的相似在中考中主要考查：(1)了解比例的基本性质，了解线段的比及成比例线段．(2)认识相似图形，了解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方．(3)了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件，能利用图形的相似解决一些实际问题．(4)了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小．相似是平面几何中重要的内容，在近几年的中考中题量有所增加，分值有所增大，且题型新颖，如阅读题、开放题、探究题等．由于相似图形应用广泛，且与三角形、平行四边形联系紧密，估计在今后中考的填空题、选择题中将会注重相似三角形的判定与性质等基础知识的考查，并在解答题中加大知识的横向与纵向联系．具体考查的知识点有相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用、图形的放大与缩小等．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 比例线段【专题解读】解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解．例1 如图27－96所示，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO．(1)求证CD CE AC CB=；(2)计算CD·CB的值，并指出CB的取值范围．分析利用△CDE∽△CAB，可证明CD CE AC CB=．证明：(1)∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴CD CE AC CB=.解：(2)∵AE＝8，OC＝12，∴AC＝12+4＝16，CE=12－4＝8．又∵CD CE AC CB=，∴CD·CB＝AC·CE＝16×8＝128．连接OB，在△OBC中，OB＝12AE＝4，OC=12，∴8＜BC＜16．【解题策略】将证CD CEAC CB=转化为证明△CDE∽△CAB.专题2 乘积式或比例式的证明【专题解读】证明形如22a cb d=，33a cb d=或abcdef=1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决．如要证22a cb d=，可设法证a cb x=，a xb d=，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x便是证题的关键。
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第27 章相似专项训练专训1 证比例式或等积式的技巧名师点金：证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．构造平行线法1．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E，交BC 的延长线于点F，求证：AE·CF＝BF·EC.( 第1 题)2．如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D，边BC 的延长线上有一点E，且AD ＝CE，DE 交AC 于点F，试证明：AB·DF＝BC·EF.( 第2 题)三点找三角形相似法3．如图，在?ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F.DC CF求证：＝.AE AD( 第3 题)4．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，M 为BC 的中点，DM⊥BC 交CA的延长线于D，交AB 于E.2求证：AM＝MD·ME.( 第4 题)构造相似三角形法5．如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交AB，AC 于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.( 第5 题)等比过渡法6．如图，在△ABC 中，AB＝AC，DE∥BC，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.求证：(1) △DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.( 第6 题)7．如图，CE 是Rt △ABC 斜边上的高，在EC 的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP 于点G，交CE 于点D.2求证：CE＝DE·PE.( 第7 题)两次相似法8．如图，在Rt△ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC于E，交AD 于F.BF AB求证：＝.BE BC( 第8 题)9．如图，在?ABCD 中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证：(1) △AMB∽△AND；AM MN(2) ＝.AB AC( 第9 题)等积代换法10．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于D，DE⊥AB 于E，DF⊥AC 于F.AE AC求证：＝.AF AB( 第10 题)等线段代换法11．如图，等腰△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点D，点P 是AD 上一点，CF ∥AB，延长BP 交AC 于点E，交CF 于点F，2求证：BP＝PE·PF.( 第11 题)12．已知：如图，AD 平分∠BAC，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.2求证：PD＝PB·PC.( 第12 题)专训2 巧用“基本图形”探索相似条件名师点金：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图：1. 平行线型．2．相交线型．3．子母型．4．旋转型．平行线型1．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E，过点E 作ED∥BC 交AB 于点D.(1) 求证：AE·BC＝BD·AC；(2) 如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC 的长．( 第1 题)相交线型EO2．如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且BODO＝，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．CO( 第2 题)子母型3．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点D，E 为AC 的中点，ED AB DF的延长线交AB 的延长线于点 F. 求证：＝.AC AF( 第3 题)旋转型4．如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.求证：(1) △ADE∽△ABC；AD BD(2) ＝.AE CE( 第4 题)专训3 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．证明两线段的数量关系类型1：证明两线段的相等关系1．如图，已知在△ABC 中，DE∥BC，BE 与CD 交于点O，直线AO 与BC 边交于点M，与DE 交于点N.求证：BM＝MC.( 第1 题)2．如图，一直线和△ABC 的边AB，AC 分别交于点D，E，和BC 的延长线交于点F，且AE CE＝BF CF.求证：AD＝DB.( 第2 题)类型2：证明两线段的倍分关系3．如图，在△ABC 中，BD⊥AC 于点D，CE⊥AB 于点E，∠A＝60°，求证：1DE2BC.＝( 第3 题)4．如图，AM 为△ABC 的角平分线，D 为AB 的中点，CE∥AB，CE 交DM 的延长线于E.求证：AC＝2CE.( 第4 题)证明两线段的位置关系类型1：证明两线段平行5．如图，已知点D 为等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上一点，连接CD，DE ⊥CD，DE＝CD，连接CE，AE.求证：AE∥BC.( 第5 题)6．在△ABC 中，D，E，F 分别为BC，AB，AC 上的点，EF∥BC，DF∥AB，连接CE 和AD，分别交DF，EF 于点N，M.(1) 如图①，若E 为AB 的中点，图中与MN 平行的直线有哪几条？请证明你的结论；(2) 如图②，若E 不为AB 的中点，写出与MN 平行的直线，并证明．( 第6 题)类型2：证明两线垂直2 27．如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC＝AB·AD，BC＝BA·BD，求证：CD⊥AB.( 第7 题)18．如图，已知矩形ABCD，AD＝3AB，点E，F 把AB 三等分，DF 交AC 于点G，求证：EG⊥DF.( 第8 题)专训4 相似三角形与函数的综合应用名师点金：解涉及相似三角形与函数的综合题时，由于这类题的综合性强，是中考压轴题重点命题形式之一，因此解题时常结合方程思想、分类讨论思想进行解答．相似三角形与一次函数1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝－x＋3 与x 轴交于点C，与4 5直线AD 交于点A 3，3 ，点D 的坐标为(0 ，1) ．(1) 求直线AD 的解析式；(2) 直线AD 与x 轴交于点B，若点E 是直线AD 上一动点( 不与点B 重合) ，当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．( 第1 题)相似三角形与二次函数2．如图，直线y＝－x＋3 交x 轴于点A，交y 轴于点B，抛物线y＝ax2＋bx ＋c 经过A，B，C(1，0) 三点．(1) 求抛物线对应的函数解析式；(2) 若点D 的坐标为( －1，0) ，在直线y＝－x＋3 上有一点P，使△ABO 与△ADP 相似，求出点P 的坐标．( 第2 题)3．如图，直线y＝2x＋2 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C，过点B 的抛物线y＝－x2＋bx＋c 与直线BC 交于点D(3，－4) ．(1) 求直线BD 和抛物线对应的函数解析式；(2) 在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN 垂直于x 轴，垂足为点N，使得以M，O，N 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．( 第3 题)相似三角形与反比例函数4．如图，矩形OABC 的顶点A，C 分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为(2 ，k3) ，双曲线y＝x(x>0) 经过BC 的中点D，且与AB 交于点E，连接DE.(1) 求k 的值及点E 的坐标；(2) 若点F 是OC 边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB 对应的函数解析式．( 第4 题)专训5 全章热门考点整合应用名师点金：本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为：3 个概念、2 个性质、1 个判定、2 个应用、1 个作图、1 个技巧．3 个概念概念1：成比例线段1．下列各组线段，是成比例线段的是( )A．3 cm，6 cm，7 cm，9 cmB．2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cmC．3 cm，9 cm，1.8 dm，6 cmD．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm2．有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m，在图纸上，这条边的长为5 cm，其他两条边的长都为 4 cm，则其他两边的实际长度都是________m.概念2：相似多边形3．如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，∠D′＝∠D，试判断四边形A′B′C′D′与四边形ABCD 是否相似，并说明理由．( 第3 题)概念3：位似图形4．如图，在△ABC 中，A，B 两个顶点在x 轴的上方，点 C 的坐标是( －1，0) ．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边放大到原来的2 倍，记所得的像是△A′B′C.设点B 的对应点B′的坐标是(a ，b)，求点B 的坐标．( 第4 题)2 个性质性质1：平行线分线段成比例的性质5．如图，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6. 若动点D 从点B 出发，沿线段BA 运动到点A 为止，运动速度为每秒2 个单位长度．过点D 作DE∥BC 交AC 于点E，设动点D 运动的时间为x 秒，AE 的长为y.(1) 求出y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；(2) 当x 为何值时，△BDE 的面积有最大值，最大值为多少？( 第5 题)性质2：相似三角形的性质6．如图，已知D 是BC 边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE 与BA 相交于点E，EC 与AD 相交于点F.(1) 求证：△ABC∽△FCD；(2) 若S△FCD＝5，BC＝10，求DE 的长．( 第6 题)1 个判定——相似三角形的判定7．如图，△ACB 为等腰直角三角形，点 D 为斜边AB 上一点，连接CD，DE ⊥CD，DE＝CD，连接AE，过C 作CO⊥AB 于O.求证：△ACE∽△OCD.( 第7 题)8. 如图，在⊙O 的内接△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过点C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D，垂足为点 E. 设P 是上异于点A，C 的一个动点，射线AP 交l 于点F，连接PC 与PD，PD 交AB 于点G.(1) 求证：△PAC∽△PDF；(2) 若AB＝5，＝，求PD 的长．( 第8 题)2 个应用应用1：测高的应用9．如图，在离某建筑物CE 4 m 处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m 的竹竿FG 垂直地面放置，影子GH 长为2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD 高为 2 m，那么这棵树的高度是多少？( 第9 题)应用2：测宽的应用10．如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔 6 m 有一棵树，在河的对岸每隔60 m 有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m 处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．( 第10 题)1 个作图——作一个图形的位似图形11．如图，在方格纸中( 每个小方格的边长都是1 个单位长度) 有一点O 和△ABC.请以点O 为位似中心，把△ABC 缩小为原来的一半( 不改变方向) ，画出△ABC 的位似图形．( 第11 题)1 个技巧——证明四条线段成比例的技巧12．如图，已知△ABC，∠BAC 的平分线与∠DAC 的平分线分别交BC 及BC 的延长线于点P，Q.(1) 求∠PAQ 的度数；2(2) 若点M 为PQ 的中点，求证：PM＝CM·BM.( 第12 题)答案专训1( 第1 题)1．证明：如图，过点C 作CM∥AB 交DF 于点M.∵CM∥AB，∴△CMF∽△BDF.BF BD∴＝.CF CMAE AD又∵CM∥AD，∴△ADE∽△CME∴. ＝. ∵D 为AB 的中点，EC CMBD AD BF AE∴＝. ∴＝，即AE·CF＝BF·EC.CM CM CF EC2．证明：过点D 作DG∥BC，交AC 于点G，∴△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC.EF CE AB AD∴＝，＝.DF DG BC DGCE AD AB EF∵AD＝CE，∴＝. ∴＝，DG DG BC DF即AB·DF＝BC·EF.点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．3．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形．∴AE∥DC，∠A＝∠C.∴∠CDF＝∠E，DC CF∴△DAE∽△FCD，∴＝.AE AD4．证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°，∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°.∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.又∵M 为BC 的中点，∠BAC＝90°，∴BM＝AM.∴∠B＝∠BAM∴∠. BAM＝∠D.又∵∠AME＝∠DMA∴△. AME∽△DMA.AM ME2∴＝. ∴AM＝MD·ME.MD AM( 第5 题)5．证明：如图，连接PM，PN.∵MN 是AP 的垂直平分线，∴MA＝MP，NA＝NP.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵△ABC 是等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°.又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°.∴∠5＝∠7. ∴△BPM∽△CNP.BP BMBP·CP＝BM·CN.∴＝，即CN CP6．证明：(1) ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，∴∠ABC＋∠BDE＝180°，∠ACB＋∠CED＝180°，∴∠CED＝∠BDE.又∵∠EDF＝∠ABE，∴△DEF ∽△BDE.DE EF 2(2) 由△DEF∽△BDE 得＝，∴DE＝DB·EF.又由△DEF∽△BDE，得∠BD DEDG DE 2 BED＝∠DFE.∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF.∴＝，∴DE＝DG·DF，∴DE DFDG·DF＝DB·EF.7．证明：∵BG⊥AP，PE⊥AB，∴∠AEP＝∠BED＝∠AGB＝90°.∴∠P＋∠PAB＝90°，∠PAB＋∠ABG＝90°.∴∠P＝∠ABG∴△. AEP∽△DEB.AE·BE＝PE·DE.AE PE∴＝，即DE BE又∵CE⊥AB，∴∠CEA＝∠BEC＝90°，∴∠CAB＋∠ACE＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBE＝90°.∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB.AE CE 2 2∴＝，即CE＝AE·BE.∴CE＝DE·PE.CE BE8．证明：易得∠BAC＝∠BDF＝90°.∵BE 平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBF，BD BF ∴△BDF∽△BAE，得＝.AB BE∵∠BAC＝∠BDA＝90°，∠ABC＝∠DBA.AB BD BF AB∴△ABC∽△DBA，得＝，∴＝.BC AB BE BC9．证明：(1) ∵四边形ABCD 为平行四边形．∴∠B＝∠D.∵AM⊥BC，AN⊥CD，∴∠AMB＝∠AND＝90°，∴△AMB∽△AND.AM AB(2) 由△AMB∽△AND 得＝，∠BAM＝∠DAN.AN ADAM AB又AD＝BC，∴＝.AN BC∵AM⊥BC，AD∥BC，∴∠AMB＝∠MAD＝90°.∴∠B＋∠BAM＝∠MAN＋∠NAD＝90°，∴∠B＝∠MAN.AM MN ∴△AMN∽△BAC，∴＝.AB AC10．证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠ADB＝∠AED＝90°.2 又∵∠BAD＝∠DAE，∴△ADE∽△ABD，得AD＝AE·AB，同理可得2 AD＝AE ACAF·AC，∴AE·AB＝AF·AC，∴AF＝AB.11．证明：连接PC，如图．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD 垂直平分BC，∠ABC ＝∠ACB，∴BP＝CP，∴∠1＝∠2，∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4. ∵CF∥AB，∴∠3＝∠F，∴∠4＝∠F. 又∵∠CPF＝∠CPE，∴△CPF∽△EPC，∴CP PF 2 2＝，即CP＝PF·PE.∵BP＝CP，∴BP＝PE·PF.PE CP( 第11 题)( 第12 题)12．证明：如图，连接PA，则PA＝PD，∴∠PDA＝∠PAD.∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP.又∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC∴∠. B＝∠CAP.PA PC又∵∠APC＝∠BPA，∴△PAC∽△PBA，∴＝，PB PA2 2即PA＝PB·PC，∴PD＝PB·PC.专训2AE DE1．(1) 证明：∵ED∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴＝.AC BC∵BE 平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC.∵ED∥BC，∴∠DEB＝∠EBC.AE BD∴∠DBE＝∠DEB.∴DE＝BD.∴＝，AC BC即AE·BC＝BD·AC.(2) 解：设h△ADE 表示△ADE 中DE 边上的高，h△BDE 表示△BDE 中DE 边上的高，h△ABC 表示△ABC 中BC 边上的高．S△ADE h△ADE 3∵S△ADE＝3，S△BDE＝2，∴＝＝.S△BDE h△BDE 2h△ADE 3∴＝.h△ABC 5DE h△ADE 3∵△ADE∽△ABC，∴＝＝.BC h△ABC 5∵DE＝6，∴BC＝10.EO DO2．解：相似．理由如下：因为＝，∠BOE＝∠COD，∠DOE＝∠COB，所BO CO以△BOE∽△COD，△DOE∽△COB 所.以∠EBO＝∠DCO，∠DEO＝∠CBO因.为∠ADE ＝∠DCO＋∠DEO，∠ABC＝∠EBO＋∠CBO 所.以∠ADE＝∠ABC.又因为∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC.3．证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点D，∴∠BAC＝∠ADB＝90°.又∵∠CBA＝∠ABD(公共角) ，AB DB∴△ABC∽△DBA.∴＝，∠BAD＝∠C.AC DA∵AD⊥BC 于点D，E 为AC 的中点，∴DE＝EC.∴∠BDF＝∠CDE＝∠C.∴∠BDF＝∠BAD.又∵∠F＝∠F，DB DF ABDF ∴△DBF∽△ADF.∴＝. ∴＝.AD AF AC AF( 第3 题)点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点D，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F，求证：AE·AB＝AF·AC.可由两组“射影图”2 2得AE·AB＝AD，AF·AC＝AD，∴AE·AB＝AF·AC.4．证明：(1) ∵∠DAB＝∠EAC，∴∠DAE＝∠BAC.又∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC.AD AB(2) ∵△ADE∽△ABC，∴＝.AE ACAD BD∵∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC.∴＝.AE CE专训3NE ON1．证明：∵DE∥BC.∴△NEO∽△MBO∴. ＝.MB OMDN ON DN NE DN MC同理可得＝. ∴＝. ∴＝.MC OM MC BM NE BMAN NE∵DE∥BC，∴△ANE∽△AMC∴. ＝.AM MCAN DN DN NE DN BM同理可得＝，∴＝. ∴＝.AM BM BM MC NE MCMC BM 22∴＝. ∴MC＝BM. ∴BM＝MC.BM MC( 第2 题)2．证明：如图，过C 作CG∥AB 交DF 于G 点．AD AE BD BF∵CG∥AB，∴＝，＝，CG CE CG CFAE BF AD BD ∵＝，∴＝，CE CF CG CG∴AD＝BD.AD 3．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°，∠ABD＝∠ACE＝30°，∴AB＝1 AE 1 AD AE DE AD 1 1 ，＝，∴＝. 又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴DE＝2 AC 2 AB AC BC AB 2 2 BC.4．证明：如图，延长CE，交AM 的延长线于 F. ∵AB∥CF，∴∠BAM＝∠F，BD BM BA BM BD BA△BDM∽△CEM，△BAM∽△CFM，∴＝，＝，∴＝. 又∵BA＝2BD，CE MC CF MC CE CF∴CF＝2CE.又AM 平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM，∴∠CAM＝∠F，∴AC＝CF，∴AC＝2CE.( 第4 题)( 第5 题)5．证明：如图，过点C 作CO⊥AB 于点O.∵DE＝CD，DE⊥CD，∴∠ECD＝∠CED＝45°. ∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠B＝45°.AC EC∴∠CAB＝∠CED 又.∵∠AOC＝∠EDC＝90°，∴△ACO∽△ECD.∴＝.CO CD又∵∠ACE＋∠ECO＝∠OCD＋∠ECO＝45°，∴∠ACE＝∠OCD∴△.ACE∽△OCD∴∠. CAE＝∠COD＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠CAE＋∠ACB＝180°. ∴AE∥BC.6．解：(1)MN∥AC∥ED.证明如下：∵EF∥BC，∴△AEM∽△ABD，△AMF∽EM AM MF△ADC，∴＝＝. ∵E 为AB 的中点，EF∥BC，∴F 为AC 的中点．又∵DF∥BD AD DCAB，∴D 为BC 的中点，∴EM＝MF.∵F 为AC 的中点，FN∥AE，∴N 为EC 的中点，从而MN∥AC.又∵D 为BC 的中点，E 为AB 的中点，∴ED∥AC，∴MN∥AC∥ED.EM(2)MN∥AC.证明如下：∵EF∥BC，∴△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC，∴BDAM MF EM BD BD EN EM EN EM EN ＝＝，∴＝. 又∵DF∥AB，∴＝，∴＝，∴＝. 又∵∠MEN AD DC MF DC DC NC MF NC EF EC ＝∠FEC，∴△MEN∽△FEC.∴∠EMN＝∠EFC.∴MN∥AC.2 AC AB7．证明：∵AC＝AB·AD，∴＝. 又∵∠A＝∠A，AD AC∴△ACD∽△ABC.∴∠ADC＝∠ACB.2 BC BA又∵BC＝BA·BD，∴＝. 又∵∠B＝∠B，BD BC∴△BCD∽△BAC.∴∠BDC＝∠BCA.∴∠ADC＝∠BDC.∵∠BDC＋∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.∴CD⊥AB.18．证明：∵AD＝3AB，点E，F 把AB 三等分，∴设AE＝EF＝FB＝AD＝k，则AB＝CD＝3k.∵CD∥AB，∴∠DCG＝∠FAG，∠CDG＝∠AFG.FG AF 2∴△AFG∽△CDG，∴＝＝.DG CD 3设FG＝2m，则DG＝3m，∴DF＝FG＋DG＝2m＋3m＝5m.Rt△中，2＝2＋2＝2，∴＝在AFD DF AD AF 5k DF 5k.5 2∴5m＝5k. ∴m＝5 k. ∴FG＝5 5k.AF 2k DF 5k AF DF∴＝＝5，＝＝ 5. ∴＝.FG 2 EF k FG EF5 5k又∠AFD＝∠GFE，∴△AFD∽△GFE.∴∠EGF＝∠DAF＝90°. ∴EG⊥DF.专训41．解：(1) 设直线AD 的解析式为y＝kx ＋b(k ≠0)4 5将D(0，1) A 3，3 代入解析式得：b＝1 b＝15 4 解得 13＝3k＋b k＝21∴直线AD 的解析式为y＝2x＋1.(2) 直线AD 的解析式为y＝12x＋1. 令y＝0，得x＝－2. 得B(－2，0) ，即OB＝2.直线AC 为y＝－x＋3.令y＝0，得∴x＝3. 得C(3，0) ，即BC＝51设E x，2x＋1①当E1C⊥BC 时，如图，∠BOD＝∠BCE1＝90°，∠DBO＝∠E1 BC.∴△BOD∽△BCE1.此时点C 和点E1 的横坐标相同．1 5将x＝3 代入y＝2x＋1，解得y＝2.5∴E1 3，2 .②当CE2⊥AD 时，如图，∠BOD＝∠BE2C＝90°，∠DBO＝∠CBE2，∴△BOD∽△BE2C.过点E2 作EF⊥x 轴于点F，则∠E2FC＝∠BFE2＝90°.又∵∠E2BF＋∠BE2F＝90°，∠CE2F＋∠BE2 F＝90°.∴∠E2BF＝∠CE2F.E2F CF∴△E2BF∽△CE2F ，则BF＝E2F.2 1 2即E2 F＝CF·BF. 2x＋1 ＝(3 －x)(x ＋2)解得：x1＝2，x2＝－2( 舍去)∴E2(2 ，2)当∠EBC＝90°时，此情况不存在．5综上所述：E1 3，2 或E2 (2 ，2) ．( 第1 题)( 第2 题)2．解：(1) 由题意得A(3，0) ，B(0，3) ，∵抛物线经过A，B，C 三点，∴把A(3，0) ，B(0，3) ，C(1，0) 三点的坐标分别代入y＝ax2 ＋bx＋c，得方程组9a＋3b＋c＝0，a＝1，c＝3，解得b＝－4，∴抛物线对应的函数解析式为y＝x2－4x＋3. a＋b＋c＝0，c＝3，(2) 如图，由题意可得△ABO 为等腰直角三角形．若△ABO∽△AP1 D，则＝AO ADOB，∴DP1＝AD＝4，∴P1( －1，4) ；若△ABO∽△ADP2，过点P2 作P2M⊥x 轴于M，DP1∵△ABO 为等腰直角三角形，∴△ADP2 是等腰直角三角形，由三线合一可得DM＝AM＝2＝P2M，即点M 与点C 重合，∴P2(1 ，2) ，∴点P 的坐标为( －1，4) 或(1 ，2) ．3．解：(1) 易得A( －1，0) ，B(0，2) ，C(1，0) ．设直线BD 对应的函数解析式为y＝kx＋m.把B(0，2) ，C(1，0) 的坐标分别代入y＝kx＋m，得m＝2，k＋m＝0，解得k＝－2，m＝2.∴直线BD 对应的函数解析式为y＝－2x＋2.2∴把B(0，2) ，D(3，－4) 的坐标分别代入y＝－x2＋bx＋c，c＝2，b＝1，得解得－9＋3b＋c＝－4，c＝2.2ON MN ON MN(2) 存在，①如图①，当△MON∽△BCO 时，＝，即＝，∴MN＝2ON. COBO 1 2设ON＝a，则M(a，2a) ，∴－a2＋a＋2＝2a，解得a1 ＝－2( 不合题意，舍去) ，ON MN ON MNa2＝1，∴M(1，2) ；②如图②，当△MON∽△CBO 时，＝，即＝，∴MNBO CO 2 11 12 n 1－33＝2ON.设ON＝n，则Mn，2n，∴－n＋n＋2＝2，解得n1＝ 4 ( 不合题意，33 1＋33舍去) ，n2 ＝1＋，∴M( 1＋33，) ．∴存在这样的点M(1，2) 或4 4 81＋33 1＋33，.4 8( 第3 题)4．解：(1) 在矩形OABC 中，∵点B 的坐标为(2 ，3) ，∴BC 边的中点D 的坐k k 3标为(1 ，3) ．∵双曲线y＝x 经过点D(1，3) ，∴3＝1，∴k＝3，∴y＝x. ∵点E3在AB 上，∴点E 的横坐标为 2. 又∵双曲线y＝x 经过点E，∴点E 的纵坐标为y3 3＝2，∴点E 的坐标为2，2 .33 BD BE 1 2(2) 易得BD＝1，BE＝，CB＝2. ∵△FBC∽△DEB，∴＝，即＝，∴2 CF CB CF 24 5 5CF＝3，∴OF＝3，即点F 的坐标为0，3 . 设直线FB 对应的函数解析式为y＝k1x2，＝5，∴直线＋，而直线经过0，5 ，∴1＝对应的函数b FB B(2，3)，F 3 k 3 b 3 FB2 5解析式为y＝3x＋3.专训51．C2．203．解：四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似．由已知条件知，∠DAB＝AB∠D′A′B′，∠B＝∠B′，∠BCD＝∠B′C′D′，∠D＝∠D′，且A′B′＝BC CDDA 5B′C′＝C′D′＝D′A′＝6，所以四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似．4．解：如图，过点B 作BM⊥x 轴于点M，过点B′作B′N⊥x 轴于点N，则△CBM∽△CB′N.所以MC NC＝BM B′N＝BC B′C.又由已知条件知NC＝a＋1，B′N＝－b，BC B′C＝1 2，所以MC (a ＋1) ＝BM ( －b) ＝1 2.1 b 1 a＋3所以MC＝2(a ＋1) ，BM＝－2.所以MO＝2(a ＋1) ＋1＝2 . 所以点B 的坐标为a＋3 b－ 2 ，－2 .( 第4 题)AD AE 8－2x y 3 5．解：(1) ∵DE∥BC，∴＝，∴＝，∴y＝－x＋6(0 ≤x≤4) ．AB AC 8 6 21 1 3 32 ∵△BDE＝··＝··6－x ＝时，△(2) S 2 2x y 2 2x 2 ＝－2(x －2) ＋6，∴当x 2 S BDE 有最大值，最大值为 6.6．(1) 证明：如图，∵D 是BC 边上的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC，∴∠B＝∠1.又∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠2，∴△ABC∽△FCD.(2) 解：如图，过点A 作AM⊥CB 于点M. ∵D 是BC 边上的中点，∴BC＝2CD.S△ABC BC 2 4由(1) 知△ABC∽△FCD，∴＝＝.S△FCD CD 1又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20.△ABC 1 2S 2×20△ABC∵S ＝2BC·AM，∴AM＝BC ＝10 ＝4.∵DE⊥BC，AM⊥BC，∴DE∥AM，DE BD∴△BDE∽△BMA∴. ＝.AM BM1 1 5由AD＝AC，AM⊥BC，知DM＝2CD＝4BC＝2.DE 5 8∴4 ＝5，∴DE＝3.5＋2点拨：从复杂的图形中分析线段的特点和联系，找到切入点是解较复杂问题的关键．( 第6 题)7．证明：∵△ACB 为等腰直角三角形，AB 为斜边，∴∠CAB＝45°.∵CO⊥AB.∴∠AOC＝90°.又∵DE⊥CD，DE＝CD，∴∠CED＝45°，∠CDE＝90°.∴∠CAO＝∠CED，∠AOC＝∠EDC.AC CE∴△ACO∽△ECD.∴∠ACO＝∠ECD，＝.CO CD∴∠ACE＝∠OCD∴△. ACE∽△OCD.8．(1) 证明：由四边形APCB 内接于圆O，得∠FPC＝∠B.又∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，所以∠APD＝∠FPC，所以∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.又∠PAC＝∠PDC，所以△PAC∽△PDF.(2) 解：由(1) 知△PAC∽△PDF，所以∠PCA＝∠PFD. 又∠PAC＝∠CAF，所以△PAC∽△CAF，所以△CAF∽△PDF，PD DF所以＝，则PD·AF＝AC·DF.AC AF由AB＝5，AC＝2BC，∠ACB＝90°，知BC＝5，AC＝2 5.2由OE⊥CD，∠ACB＝90°知CB＝BE·AB，CE＝DE.2CB 5所以BE＝AB＝5＝1.2 2所以AE＝4，CE＝CB－BE＝5－1＝2，所以DE＝2.又＝，∠AFD＝∠PCA，所以∠AFD＝∠PCA＝45°.所以FE＝AE＝4，AF＝42，AC·DF 2 5×（4＋2） 3 10＝所以PD＝AF 4 2 ＝2 .9．解：( 方法一：作延长线) 延长AD，与地面交于点M，如图①.( 第9 题)由AM∥FH 知∠AMB＝∠FHG.又因为AB⊥BG，FG⊥BG，DC⊥BG，AB CD FG所以△ABM∽△DCM∽△FGH，所以＝＝.BM CM GHm m m因为CD＝2 ，FG＝1.2 ，GH＝2 ，2 1.2 ，解得＝10 m所以＝CM .CM 2 3因为＝m，所以＝＋＝＋10 22 m ．BC 4 BM BC CM 4 3 ＝3 ( )AB 1.2 m所以22＝2，解得AB＝4.4 .3故这棵树的高度是 4.4 m.( 方法二：作垂线) 过点D 作DM⊥AB 于点M，如图②.AM FG所以＝.DM GH而DM＝BC＝4 m，AM＝AB－CD＝AB－2( m) ，FG＝1.2 m，GH＝2 m，AB－2 1.2所以 4 ＝2 ，解得AB＝4.4 m.故这棵树的高度是 4.4 m.10．解：如图，过点 A 作AF⊥DE，垂足为F，并延长交BC 于点G.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.AF DE 30 24∵AF⊥DE，DE∥BC，∴AG⊥BC，∴＝，∴＝.AG BC AG 60解得AG＝75，∴FG＝AG－AF＝75－30＝45，即河的宽度为45 m.( 第10 题)( 第11 题)11．思路导引：本题位似中心为O，先连接CO，因为要把原三角形缩小为1原来的一半，可确定C′O＝2CO，由其确定出C′的位置，再根据同样的方法确定出另外两个点．解：画出图形，如图中的△A′B′C′即为所求作的图形．点拨：抓住位似图形的性质，根据位似中心与三角形对应点的关系及位似比的大小确定所画位似图形的对应点，再画出图形．12．思路导引：(1) 由角平分线的定义及∠BAD 为平角直接可得．(2) 由于线段PM，CM，BM 在同一条直线上，所以必须把某条线段转化为另一相等的线段，构造相似三角形，因此可证PM＝AM，从而证明△ACM 与△ABM 相似即可．1(1)解：∵AP平分∠BAC，∴∠PAC＝2∠BAC.1又∵AQ平分∠CAD，∴∠CAQ＝2∠CAD.1 1 1∴∠PAC＋∠CAQ＝2∠BAC＋2∠CAD＝2( ∠BAC＋∠CAD)．又∵∠BAC＋∠CAD＝180°，∴∠PAC＋∠CAQ＝90°，即∠PAQ＝90°.(2) 证明：由(1) 知∠PAQ＝90°，又∵M 是线段PQ 的中点，∴PM＝AM，∴∠APM＝∠PAM.∵∠APM＝∠B＋∠BAP，∠PAM＝∠CAM＋∠PAC，∠BAP＝∠PAC，∴∠B＝∠CAM.又∵∠AMC＝∠BMA，∴△ACM∽△BAM.CM AM 2 2∴＝，∴AM＝CM·BM，即PM＝CM·BM.点拨：本题运用了转化思想，在证明等积式时，常把它转化成比例式，寻找相似三角形进行求解．。
九年级下数学相似三角形经典习题(含答案)
九年级下数学相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求A E F ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求C D F S ∆． 例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法． 例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ．（2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ． 例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2． 解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆， 又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3． 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CDF S ． 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆，则C A E B A D ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AE CA AD BA =，则问题得证．证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠，∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEAC AD AB =． 在ABC ∆和ADE ∆中，∵AE AC AD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同．（3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、， 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,， ∴a a c c b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆． （4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆． 答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确．例5．解：画法略．例6．分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GF EC DF =，从而可以求出BC 的长．解 EC DF EC AE //,⊥ ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAF EC DF =． 又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//， ∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGF EC DF =． 又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米．例7．分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了． 解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆．所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）． 说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦． 例8．分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ，又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆． 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解 （1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆； （2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆． 例10．解 （1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等； （2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等； （4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等；（5）ABD ∆∽ACB ∆两边成比例夹角相等； （6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等． 例11．分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系． 证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ．又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且A B C ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2． 说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b d c a =，或c a a b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解 设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB += ，∴︒=∠90C ． 又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ， 又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ． 例13．分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求．解 这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆． 因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ． 由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米） 所以旗杆的高为21.5米．说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行．例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米． 例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FE FH KE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．） 例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长． 解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4． 如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB ，162=BC ，∴222BC AC AB =+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ，∵G F ∥AB ，∴AC FC AB GF =，即2232x x -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEGF S 正方形． 如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ， 在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1，∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵x x x-=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形 因此，正方形的面积为3612-或121348156-．。
九年级数学下册知识讲义-27相似三角形的应用(附练习及答案)-人教版
一、考点突破1. 进一步巩固相似三角形的知识，掌握相似三角形和相似多边形的性质，能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题。
2. 通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力。
二、重难点提示重点：运用三角形相似的知识，计算不能直接测量的物体的长度和高度。
难点：灵活运用三角形相似的知识，解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）。
考点精讲一、相似三角形的应用 在实际生活中，面对不能直接测量出长度和宽度的物体及盲区问题，我们可以应用相似三角形的知识来测量，只要将实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用线段成比例来求解。
测量物体的高度（1）利用阳光下的影子A B C A'B'C'人的影长（可测）人被测物体的影长（可测）被测物体（2）利用标杆A BCDEFM N旗杆标杆（3）利用镜子的反射A BCDE人旗杆【重要提示】（1）视点：观察者眼睛的位置称为视点；（2）视线：由视点出发的线称为视线；（3）仰角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；（4）盲区：人眼看不到的地方称为盲区。
二、相似三角形和相似多边形的性质1. 相似三角形的性质两个相似三角形周长的比等于它们的相似比；对应高的比等于它们的相似比；面积的比等于它们相似比的平方。
A1B C1D1A2B2C2D22. 相似多边形对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做它们的相似比。
B1C1BC23. 相似多边形的性质相似多边形周长的比等于它们的相似比；相似多边形面积的比等于它们相似比的平方。
【核心归纳】相似三角形对应边成比例，回答了相似三角形中所有对应线段都构成比例的问题，这个性质为我们今后证明线段的比例式提供了极大的方便。
相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，揭示了相似三角形的周长、面积与相似比的关系，利用它可以解决相似三角形中有关周长和面积的问题。
九年级数学《相似三角形》练习参考答案
【考点】比例的性质． 菁优网版 权所有
【分析】根据比的性质，可得答案．
【解答】解：A、 = ⇒ab=cd，故 A 正确；
B、 = ⇒ab=cd，故 B 正确；
C、 = ⇒ab=cd，故 C 正确；
1
D、 = ⇒ad=bc，故 D 错误；
故选：D． 【点评】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质：分子分母交叉相乘，乘积相等． 5．若 = ，则 的值为（ ）
A． ﹣1 B． C．1 D． 【考点】相似三角形的判定与性质；平移的性质．
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【专题】压轴题． 【分析】利用相似三角形面积的比等于相似比的平方先求出 AʹB，再求 AAʹ就可以了． 【解答】解：设 BC 与 AʹCʹ交于点 E，
由平移的性质知，AC∥AʹCʹ ∴△BEAʹ∽△BCA
4
∴S△BEAʹ：S△BCA=AʹB2：AB2=1：2 ∵AB= ∴AʹB=1 ∴AAʹ=AB﹣AʹB= ﹣1 故选 A． 【点评】本题利用了相似三角形的判定和性质及平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移， 对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 12．如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥BC 交 AC 与 E，已知 AD=AB，连接 BE 交 AD 于 F，下列结论： ①BE=CE；②∠CAD=∠ABE；③AF=DF；④S△ABF=3S△DEF；⑤△DEF∽△DAE，其中正确的有（ ）个．
AF=DF，S△ABF=3S△DEF，利用角的关系代替证明∠5≠∠4，从而得出△DEF 与△DAE 不相似．根据以上的分析 可以得出正确的选项答案． 【解答】解：∵D 是 BC 的中点，且 DE⊥BC， ∴DE 是 BC 的垂直平分线，CD=BD， ∴CE=BE，故本答案正确； ∴∠C=∠7， ∵AD=AB， ∴∠8=∠ABC=∠6+∠7， ∵∠8=∠C+∠4， ∴∠C+∠4=∠6+∠7， ∴∠4=∠6，即∠CAD=∠ABE，故本答案正确； 作 AG⊥BD 于点 G，交 BE 于点 H， ∵AD=AB，DE⊥BC， ∴∠2=∠3，DG=BG= BD，DE∥AG，
部编数学九年级下册专项32相似三角形射影定理综合应用(2种类型)(解析版)含答案
专项32 相似三角形-射影定理综合应用（2种类型） 一、射影定理 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。
（证明略）二、变式推广 １．逆用 如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。
２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。
（后文简称：射影定理变式（2）） 如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。
【类型1：直角三角形中射影定理】【典例1】（2021秋•南京期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．【解答】（1）证明：∵＝，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴∠ACD＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠BDC，∵∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∴＝，∴CD＝．【变式1-1】（2022•义乌市校级开学）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AD＝4，BD＝8，则CD的长为（ ）A．4B．4C．4D．【答案】A【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠B＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝，即＝，解得：CD＝4，故选：A．【变式1-2】（2021秋•漳州期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，AD＝3，CD＝4，则BD的长为（ ）A．B．C．D．2【答案】A【解答】解：∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C＝90°，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠B＝∠DAC，∴△BDA∽△ADC，∴＝，∵AD＝3，CD＝4，∴＝，解得：BD＝，故选：A．【变式1-3】（2020秋•梁平区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（ ）A．AC2＝AD•AB B．CD2＝CA•CB C．CD2＝AD•DB D．BC2＝BD•BA 【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∴AC2＝AD•AB，CD2＝DA•DB，BC2＝BD•BA．故选：B．【变式1-4】（2015•黄冈中学自主招生）将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（ ）A．3B．8C．D．2【答案】A【解答】解：连接CA、CD；根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，又∵所对的圆周角是∠CBA，∵∠CBD＝∠CBA，∴AC＝CD（相等的圆周角所对的弦相等）；∴△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E．∵AD＝4，则AE＝DE＝2；∴BE＝BD+DE＝7；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：BC2＝BE•AB＝7×9＝63；故BC＝3．故选：A．【类型2：非直角三角形中射影定理】【典例2】如图，已知∠A＝70°，∠APC＝65°，AC2＝AP•AB，则∠B的度数为（ ）A．45°B．50°C．55°D．60°【答案】A【解答】解：∵∠A＝70°，∠APC＝65°，∴∠ACP＝180°﹣70°﹣65°＝45°．∵AC2＝AP•AB，∴＝．∵∠B＝∠B，∴△BAC∽△CPA．∴∠B＝∠ACP＝45°．故选：A．【变式2-1】如图，在△ABC中，点D在边AB上，若∠ACD＝∠B，AD＝3，BD＝4，则AC的长为（ ）A．2B．C．5D．2【答案】B【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，∵AD＝3，BD＝4，∴AB＝AD+BD＝3+4＝7，∴，∴AC＝或﹣（舍去），故选：B．【变式2-2】如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AD＝2，AB＝6．求AC的长．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴，∴AC2＝2×6＝12，∴AC＝2．【典例3】如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC边上，BD＝CD＝2DE，且∠C+∠CDE＝45°，若AD＝6，则BC的长为 ．【答案】8【解答】解：∵∠A＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠C，∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝2∠C，∵∠C+∠CDE＝45°∴2∠C+∠CDE＝90°，∴∠ADB+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，作DF⊥BC于F，如图所示：则BF＝CF，△DEF∽△BED∽△BDF，∴＝＝＝，设EF＝x，则DF＝2x，BF＝CF＝4x，∴BC＝8x，DE＝x，∴CD＝BD＝2x，AC＝6+2x，∵∠DFC＝∠A＝90°，∠C＝∠C，∴△CDF∽△CBA，∴＝，即＝，解得：x＝，∴BC＝8；故答案为：8．【变式3】如图，在锐角△ABC中，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，AB＝14，AD＝4，BE：EC＝9：2，则CD＝ ．【答案】2【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∴BD2＝AB2﹣AD2＝142﹣42＝180，设BE＝9x，EC＝2x，∵DE⊥BC，∴BD2＝BE•BC，即180＝9x（9x+2x），解得x2＝，∵CD2＝CE•CB＝2x•11x＝22×＝40，∴CD＝2．1.（2022秋•义乌市月考）如图，小明在A时测得某树的影长为3m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）m．A．B．C．6D．【答案】B【解答】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝2m，FD＝3m；∵∠E+∠F＝90°，∠E+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠F，∴△EDC∽△CDF，∴＝，即DC2＝ED•FD＝2×3＝6，解得CD＝m．故选：B．2．（2012•麻城市校级自主招生）如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC．已知AE＝2，AC＝3，BC＝6，则⊙O的半径是（ ）A．3B．4C．4D．2【答案】D【解答】解：延长EC交圆于点F，连接DF．则根据90°的圆周角所对的弦是直径，得DF是直径．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．则DE＝4．在直角△ADF中，根据射影定理，得EF＝＝4．根据勾股定理，得DF＝＝4，则圆的半径是2．故选：D．3．（2022春•周村区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝12，则AD的长为 ．【答案】6【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AD2＝CD•BD＝36，∴AD＝6，故答案为：6．4．（2021春•汉阴县期中）如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC，BD 交于O，且BE：ED＝1：3，AD＝6cm，则AE＝ cm．【答案】3【解答】解：设BE＝x，因为BE：ED＝1：3，故ED＝3x，根据射影定理，AD2＝3x （3x+x），即36＝12x2，x2＝3；由AE2＝BE•ED，AE2＝x•3x；即AE2＝3x2＝3×3＝9；AE＝3．5．（2022•武汉模拟）在矩形ABCD中，BE⊥AC交AD于点E，G为垂足．若CG＝CD＝1，则AC的长是 ．【答案】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，∠ABC＝90°，∵BE⊥AC，∴∠AGB＝90°＝∠ABC，∵∠BAG＝∠CAB，∴△ABG∽△ACB，∴＝，∴AG•AC＝AB2（射影定理），即（AC﹣1）•AC＝12，解得：AC＝或AC＝（不合题意舍去），即AC的长为，故答案为：．6．（2021秋•滦州市期中）已知关于x的方程x2﹣2（a+b）x+c2+2ab＝0有两个相等的实数根，其中a、b、c为△ABC的三边长．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若CD是AB边上的高，AC＝2，AD＝1，求BD的长．【解答】解：（1）∵两根相等，∴可得：4（a+b）2﹣4（c2+2ab）＝0，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形；（2）由（1）可得：AC2＝AD×AB，∵AC＝2，AD＝1，∴AB＝4，∴BD＝AB﹣AD＝3．7．如图，点D在△ABC的边BC上，∠ADC+∠BAC＝180°，AB＝4，BC＝8，求BD的长．【解答】解：∵∠ADC+∠BAC＝180°，∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝∠BAC，又∵∠B＝∠B，∴△BAD∽△BCA，∴＝，∴BA2＝BD•BC，∵AB＝4，BC＝8，∴BD＝2．即AC⋅CF＝CB⋅DF．8．（盐城校级模拟）【问题情境】如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2＝AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E 在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；（2）若DE＝2CE，求OF的长．【解答】【问题情境】证明：如图1，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，而∠CAD＝∠BAC，∴Rt△ACD∽Rt△ABC，∴AC：AB＝AD：AC，∴AC2＝AD•AB；【结论运用】（1）证明：如图2，∵四边形ABCD为正方形，∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，∴BC2＝BO•BD，∵CF⊥BE，∴BC2＝BF•BE，∴BO•BD＝BF•BE，即＝，而∠OBF＝∠EBD，∴△BOF∽△BED；（2）方法一：∵BC＝CD＝6，而DE＝2CE，∴DE＝4，CE＝2，在Rt△BCE中，BE＝＝2，在Rt△OBC中，OB＝BC＝3，∵△BOF∽△BED，∴＝，即＝，∴OF＝．方法二：将△OFC绕O顺时针旋转90度得到△OGB，如图3，由△BOF∽△BED得到∠OFB＝45°，∴∠OGB＝∠OFC＝45°+90°＝135°，∵OG＝OF，∴△OGF为等腰直角三角形，∴∠OGF＝45°，∴G点在BE上，∵BG＝CF＝，∴GF＝，∴OF＝GF＝．。
九年级数学下册相似三角形同步练习新人教版
九年级数学下册相似三角形同步练习新人教版专题一相似形中的开放题1．如图,在正方形网2．格中,点A·B·C·D都是格点,点E是线段AC上任意一点．如果AD=1,那么当AE= 时,以点A·D·E为顶点的三角形与△ABC相似．1．已知：如图,△ABC中,点D·E分别在边AB·AC上.连接DE并延长交BC的延长线于点F,连接DC·BE,∠BDE+∠BCE=180°.(1)写出图中三对相似三角形[注意：不得添加字母和线]；(2)请你在所找出的相似三角形中选取一对,说明它们相似的理由.专题二相似形中的实际应用题3．如图,已知零件的外径为a,要求它的厚度x,需先求出内孔的直径AB,现用一个交叉卡钳[两条尺长AC和BD相等]去量,若OA:OC=OB:OD=n,且量得CD=b,求厚度x.专题三相似形中的探究规律题4．某班在布置新年联欢晚会会场时,需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条,如图在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝30 cm,AB＝50 cm,依次裁下宽为1 cm的矩形纸条a1·a2·a2…若使裁得的矩形纸条的长都不小于5 cm,则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A．24 B．25 C．26 D．275．如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3．[1]如图①,四边形DEFG为△ABC的内接正方形,求正方形的边长；[2]如图②,正方形DKHG,EKHF组成的矩形内接于△ABC,求正方形的边长；[3]如图③,三个正方形组成的矩形内接于△ABC,求正方形的边长；[4]如图④,n个正方形组成的矩形内接于△ABC,求正方形的边长．专题四相似形中的阅读理解题6．某校研究性学习小组在研究相似图形时,发现相似三角形的定义·判定及其性质,可以拓展到扇形的相似中去,例如,可以定义：圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫相似扇形；相似扇形有性质：弧长比等于半径比,面积比等于半径比的平方…,请你协助他们探索下列问题：〔1)写出判定扇形相似的一种方法：若 ,则两个扇形相似；(2)有两个圆心角相同的扇形,其中一个半径为a,弧长为m,另一个半径为2a,则它的弧长为；(3)如图1,是—完全打开的纸扇,外侧两竹条AB和AC的夹角为120°,AB为30cm,现要做一个和它形状相同,面积是它的一半的纸扇[如图2],求新做纸扇[扇形]的圆心角和半径.图1 图2专题五相似形中的操作题7．宽与长的比是215的矩形叫黄金矩形,心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调·匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中,折叠黄金矩形的方法归纳如下[如图所示]：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD,BC的中点M,N,连接MN；第三步：以N为圆心,ND长为半径画弧,交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD,交AD的延长线于F．请你根据以上作法,证明矩形DCEF为黄金矩形．8．如图①,将菱形纸片AB[E]CD[F]沿对角线BD[EF]剪开,得到△ABD和△ECF,固定△ABD,并把△ABD与△ECF叠放在一起．[1]操作：如图②,将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处,△ECF绕点F在BD边上方左右旋转,设旋转时FC交BA于点H[H点不与B点重合],FE交DA于点G[G点不与D点重合]．求证：BH•GD=BF2；[2]操作：如图③,△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动[F点不与B·D点重合], 且CF始终经过点A,过点A作AG∥CE,交FE于点G,连接DG．探究：FD+DG= DB,请给予证明．专题六相似形中的综合题9．正方形ABCD的边长为4,M·N分别是BC·CD上的两个动点,且始终保持AM⊥MN．当BM= 时,四边形ABCN的面积最大．10．如图,在锐角△ABC 中,AC 是最短边,以AC 的中点O 为圆心,21AC 长为半径作⊙O,交BC 于E ,过O 作OD ∥BC 交⊙O 于D ,连接AE ·AD ·DC ．[1]求证：D 是 ⌒AE 的中点；[2]求证：∠DAO =∠B +∠BAD ；[3]若21=∆∆OCD CEF S S ,且AC =4,求CF 的长.【知识要点】1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线,所得对应线段成比例.2．平行于三角形一边的直线截其他两边[或两边的延长线],所得的对应线段的比相等.3．平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.4．如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.5．如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.6．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.7．相似三角形周长的比等于相似比.相似多边形周长的比等于相似比.8．相似三角形对应高的比等于相似比.9．相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.【温馨提示】1．平行线分线段成比例时,一定找准对应线段.2．当已知两个三角形有一组对应角相等,利用夹这个角的两边对应成比例来判定它们相似时,比例式常有两种情况,考虑不全面是遗漏解的主要原因.3．数学猜想需要严密的推理论证说明其正确性,规律的发现与提出需要从特殊到一般的数学归纳思想,平时要养成观察·分析问题的习惯.【方法技巧】1．相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形对应中线的比等于相似比.2．在平面几何中,求图形中等积式或等比式时,一般地首先通过观察找出图形中相似的三角形,再从理论上证明观察结论的正确性,最后运用相似形的性质来解决问题.参考答案1．22或42 【解析】根据题意得AD =1,AB=3,AC =2266+=26,∵∠A=∠A ,∴若△ADE∽△ABC 时,ACAE AB AD =,即2631AE =,解得AE =22. 若△ADE∽△ACB 时,AB AE AC AD =,362AE =,解得AE=42. ∴当AE =22或42时,以点A ·D ·E 为顶点的三角形与△ABC 相似． 2．解：[1]△ADE∽△ACB ,△CEF∽△DBF,△EF B∽△CFD 〔不唯一).[2]由∠BDE+∠BCE =180°,可得∠ADE=∠BCE . ∵∠A=∠A ,∴△ADE∽△ACB ; ∴AC AD =ABAE .∵ ∠A=∠A , ∴△AEB∽△ADC ;∵∠BDE+∠BC E =180°,∠BCE+∠ECF =180°,∴∠ECF=∠BDF ,又∠F=∠F ,∴△CEF∽△DBF ;∴BF EF =DFCF ,而∠F=∠F ,∴△EFB∽△CFD . 3．解：∵ OA :OC ＝OB :OD ＝n 且∠AOB＝∠COD,∴△AOB∽△COD .∵ OA:OC ＝AB:CD ＝n ,又∵CD ＝b,∴AB=CD ·n ＝nb,∴x ＝a －AB 2 ＝a －nb 2 . 4．C 【解析】设裁成的矩形纸条的总数为n,且每条纸条的长度都不小于5cm,2240(cm)BC AB AC =-=．设矩形纸条的长边分别与AC ·AB 交于点M ·N ,因为 △AMN ∽△ACB,所以BC MN AC AM =．又因为AM=AC-1·n=30-n,MN ≥5 cm,所以4053030≥-n ,得n ≤26.25,所以n 最多取整数26．5．解：[1]在题图①中过点C 作CN ⊥AB 于点N,交GF 于点M ．因为∠C =90°,AC =4,BC =3,所以AB =5． 因为21×5CN=21×3×4,所以CN=512． 因为GF∥AB ,所以∠CGF=∠A ,∠CFG=∠B ,所以△CGF∽△CAB ,所以AB GF CN CM =．设正方形的边长为x ,则1251255x x -=,解得3760=x ．所以正方形的边长为3760． [2]同[1],有12251255x x -=,解得4960=x ． [3]同[1],有12351255x x -=,解得6160=x ． [4]同[1],有1251255x nx -=,解得nx 122560+=． 6．解：(1)答案不唯一,如“圆心角相等” “半径和弧长对应成比例”(2)由相似扇形的性质知半径和弧长对应成比例,设另一个扇形的弧长为x ,则a a 2=x m ,∴x =2m.(3)∵两个扇形相似,∴新做扇形的圆心角与原来扇形的圆心角相等,等于120°.设新做扇形的半径为γ,则230γ⎛⎫ ⎪⎝⎭=21,γ=152,即新做扇形的半径为152㎝. 7．证明：在正方形ABCD 中,取AB=2a ,∵N 为BC 的中点,∴12NC BC a ==. 在Rt△DNC 中,2222(2)5.ND NC CD a a a =+=+=∵NE=ND,∴(51)CE NE CN a =-=-. ∴2152)15(-=-=a a CD CE ,故矩形DCEF 为黄金矩形. 8．解：[1]证明：∵将菱形纸片AB [E ]CD [F ]沿对角线BD [EF ]剪开,∴∠B =∠D .∵将△ECF 的顶点F 固定在△ABD 的BD 边上的中点处,△ECF 绕点F 在BD 边上方左右旋转,∴BF =DF .∵∠HFG =∠B ,∴∠GFD =∠BHF ,∴△BFH∽△DGF ,∴BF BH DG DF =, ∴BH•GD =BF 2.[2]证明：∵AG∥CE ,∴∠FAG∥∠C .∵∠CFE=∠CEF ,∴∠AGF=∠CFE ,∴AF=AG . ∵∠BAD=∠C ,∴∠BAF=∠DAG ,△ABF≌△ADG ,∴FB=DG ,∴FD+DG=DB ,9．210．解：[1]证明：∵AC 是⊙O 的直径,∴AE ⊥BC. ∵OD ∥BC,∴AE ⊥OD,∴D 是 ⌒AE 的中点.[2]方法一：证明：如图,延长OD 交AB 于G ,则OG ∥BC .∴∠AGD=∠B.∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO. ∵∠ADO=∠BAD+∠AGD ,∴∠DAO=∠B +∠BAD.方法二：证明：如图,延长AD交BC于H ,则∠ADO=∠AHC.∵∠AHC=∠B +∠BAD,∴∠ADO =∠B +∠BAD. ∵OA=OD,∴∠DAO=∠B +∠BAD.[3] ∵AO=OC,∴12OCD ACDS S∆∆=.∵12CEFOCDSS∆∆=,∴14CEFACDSS∆∆=.∵∠ACD=∠FCE,∠ADC=∠FEC=90°,∴△ACD∽△FCE.∴2CEFACDS CFS AC∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭,即2144CF⎛⎫= ⎪⎝⎭,∴CF=2.。
人教版九年级数学下册相似三角形的判定同步练习及答案【新改】
相似三角形的判定
1．已知△MNP如图所示，则下列四个三角形中与△MNP相似的是（）
2. 如图，不等长的两对角线AC、BD相交于O点，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若
OA﹕OC＝OB﹕OD＝1﹕2，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（）
A．甲、丙相似，乙、丁相似
B．甲、丙相似，乙、丁不相似
C．甲、丙不相似，乙、丁相似
D．甲、丙不相似，乙、丁不相似
3. 如图，在正方形网格上的三角形①②③中，与△ABC相似的三角形有．(填写序号)
4. 在△ABC中，AB＝12，AC＝15，D是BA延长线上的一点，且AD＝8．在CA的延长线上取一点E，
要使得以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长为．
5. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，求证：△DEF∽△CBA．
参考答案 1．C 2．B 3．①② 4．10或6.4
5． 证明：∵点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，∴12DE BC =，12DF AC =，1
2
EF AB =， ∴DE DF EF
BC AC AB
==
，∴△DEF ∽△CBA ．。
部编数学九年级下册专项33相似三角形一线三等角模型综合应用(解析版)含答案
专项33 相似三角形-一线三等角模型综合应用1.如图1，BDE EDF C B ∆⇒∠=∠=∠∽CFD ∆（一线三等角）如图2，ABD ADE C B ∆⇒∠=∠=∠∽DCE ∆（一线三直角）如图3，特别地，当D 是BC 中点时：BDE ∆∽DFE ∆∽CFD ∆⇒ED 平分BEF ∠，FD 平分EFC ∠。
2.一线三等角辅助线添加：一般情况下，已知一条直线上有两个等角（直角）或一个直角时，可构造“一线三等角”型相似。
【类型1：标准“K ”型图】【典例1】已知矩形ABCD 的一条边AD ＝8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．如图，已知折痕与边BC 交于点O ，连接AP 、OP 、OA ．（1）求证：＝；（2）若OP 与PA 的比为1：2，求边AB 的长．【解答】（1）证明：由折叠的性质可知，∠APO ＝∠B ＝90°，∴∠APD +∠OPC ＝90°，CB BC A A∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠POC+∠OPC＝90°，∴∠APD＝∠POC，∴△OCP∽△PDA，∴＝；（2）解：∵△OCP∽△PDA，∴，∵OP与PA的比为1：2，AD＝8，∴，∴PC＝4，设AB＝x，则DC＝x，AP＝x，DP＝x﹣4，在Rt△APD中，AP2＝AD2+PD2，∴x2＝82+（x﹣4）2，解得：x＝10，∴AB＝10．【变式1-1】如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，且AE⊥EF，若BE＝2，CF＝，求正方形ABCD的边长．【解答】解：∵∠AEB+∠CEF＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，又∵∠B＝∠C＝90°，∴△BAE∽△CEF，∴＝，∵AB＝BC，∴，∴，∴CE＝4，∴BC＝CE+BE＝4+2＝6，∴正方形ABCD的边长为6．【变式1-2】如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于F，交AD的延长线于点E．（1）求证：△ABM∽△MCF；（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝90°，BC∥AD，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∵ME⊥AM，∴∠AME＝90°，∴∠AMB+∠FMC＝90°，∴∠BAM＝∠FMC，∴△ABM∽△MCF；（2）解：∵AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4，∵BM＝2，∴MC＝BC﹣BM＝4﹣2＝2，由（1）得：△ABM∽△MCF，∴＝，∴＝，∴CF＝1，∴DF＝CD﹣CF＝4﹣1＝3，∵BC∥AD，∴∠EDF＝∠MCF，∠E＝∠EMC，∴△DEF∽△CMF，∴＝，∴＝，∴DE＝6，∴△DEF的面积＝DE•DF＝×6×3＝9，答：△DEF的面积为9【类型2：做辅助线构造“K”型图】【典例2】已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上．（1）如图1，填空：当点G在CD上，且DG＝1，AE＝2，则EG＝ ；（2）如图2，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：∠AEF＝∠FEN；（3）如图3，若AE＝AD，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2＝MN•MD．【解答】（1）解：∵∠EFG＝90°，∴∠AFE+∠DFG＝90°，∵∠AEF+∠AFE＝90°，∴∠AEF＝∠DFG，又∵∠A＝∠D＝90°，EF＝FG，∴△AEF≌△DFG（AAS），∴AE＝FD＝2，∴FG＝，∴EG＝FG＝，故答案为：；（2）证明：延长EA、NF交于点M，∵点F为AD的中点，∴AF＝DF，∵AM∥CD，∴∠M＝∠DNF，∠MAD＝∠D，∴△MAF≌△NDF（AAS），∴MF＝FN，∵EF⊥MG，∴ME＝GE，∴∠MEF＝∠FEN；（3）证明：如图，过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，∴∠P＝90°，同（1）同理得，△AEF≌△PFG（AAS），∴AF＝PG，PF＝AE，∵AE＝AD，∴PF＝AD，∴AF＝PD，∴PG＝PD，∵∠P＝90°，∴∠PDG＝45°，∴∠MDG＝45°，在Rt△EFG中，EF＝FG，∴∠FGE＝45°，∴∠FGE＝∠GDM，∵∠GMN＝∠DMG，∴△MGN∽△MDG，∴，∴MG2＝MN•MD．【变式2-1】（2021春•永川区期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E为BC上一点，CE＝2BE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接DF，则线段DF的长为 ．【解答】解：过点F作FN⊥BC，垂足为N，延长NF交AD于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝90°，AD∥BC，∴FM⊥AD，∴∠AMF＝∠FNE＝∠DMF＝90°，∴四边形ABNM是矩形，∴AM＝BN，∵CE＝2BE，∴BE＝BC＝2，由折叠得：BE＝FE＝2，AB＝AF＝6，∠B＝∠AFE＝90°，∴∠AFM+∠EFN＝90°，∵∠FEN+∠EFN＝90°，∴∠FEN＝∠AFM，∴△ENF∽△FMA，∴＝＝＝，设EN＝x，则FM＝3x，∴AM＝BN＝BE+EN＝2+x，在Rt△AFM中，AM2+FM2＝AF2，∴（2+x）2+（3x）2＝36，∴x＝或x＝﹣2（舍去），∴AM＝2+x＝，FM＝3x＝，∴DM＝AD﹣AM＝，在Rt△DMF中，DF＝＝＝，故答案为：．【变式2-2】（2022秋•皇姑区校级月考）已知，如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E是射线BC上一动点，将矩形ABCD沿直线AE翻折，点B落在点F处．（1）若点F恰好落在CD边上，如图1，求线段BE的长；（2）若BE＝1，如图2，直接写出点F到BC边的距离；（3）若△CEF为直角三角形，直接写出CE所有值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝5，BC＝AD＝3，∠B＝∠C＝∠D＝90°，由折叠的性质得：BE＝FE，AF＝AB＝5，∴DF＝＝＝4，∴CF＝CD﹣DF＝5﹣4＝1，设BE＝FE＝x，则CE＝BC﹣BE＝3﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：CF2+CE2＝FE2，即12+（3﹣x）2＝x2，解得：x＝，即线段BE的长为；（2）如图2，过F作FG⊥BC于G，延长GF交AD于H，则∠FGE＝90°，四边形ABGH是矩形，∴HG＝AB＝5，BG＝AH，∠AHF＝90°＝∠FGE，由折叠的性质得：AF＝AB＝5，∠AFE＝∠B＝90°，FE＝BE＝1，∴∠AFH+∠EFG＝90°，∵∠AFH+∠FAH＝90°，∴∠EFG＝∠FAH，∴△EFG∽△FAH，∴＝＝，∴AH＝5FG，设FG＝x，则BG＝AH＝5x，∴EG＝BG﹣BE＝5x﹣1，在Rt△EFG中，由勾股定理得：x2+（5x﹣1）2＝12，解得：x＝或x＝0（不符合题意舍去），∴FG＝，即点F到BC边的距离为；（3）分三种情况：①∠CFE＝90°时，如图3，∵∠AFE＝90°，∴∠AFE+∠CFE＝180°，∴A、F、C三点共线，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝5，∠B＝∠D＝90°，AD∥BC，∴∠ECF＝∠CAD，AC＝＝＝，由折叠的性质得：AF＝AB＝5，FE＝BE，∠AFE＝∠B＝90°，∴∠CFE＝90°＝∠D，CF＝AC﹣AF＝﹣5，∴△CEF∽△ACD，∴＝，即＝，解得：CE＝；②点F在CD上，∠ECF＝90°时，如图4，由（1）可知，BE＝，∴CE＝BC﹣BE＝3﹣＝；③∠CEF＝90°时，如图5，由折叠的性质得：∠AEB＝∠AEF＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE＝AB＝5，∴CE＝BE﹣BC＝5﹣3＝2；④点F在CD延长线上，∠ECF＝90°时，如图6，由折叠的性质得：AF＝AB＝5，∠AFE＝∠B＝90°，∵∠ADF＝180°﹣∠ADC＝90°，∴DF＝＝＝4，∴CF＝CD+DF＝5+4＝9，∵∠CFE+∠CEF＝90°，∠CFE+∠DFA＝90°，∴∠CEF＝∠DFA，∵∠ECF＝∠ADF＝90°，∴△CEF∽△DFA，∴＝＝＝3，∴CE＝3DF＝12；综上所述，若△CEF为直角三角形，则CE的值为或或2或12．【类型2：特殊“K”型图】【典例3】（2021秋•通许县期中）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，∠BAD＝∠ACB＝∠AED＝90°，由∠1+∠2+∠BAD＝180°，∠2+∠D+∠AED＝180°，可得∠1＝∠D；又因为∠ACB＝∠AED ＝90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到＝ ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA＝DE，∠B＝∠ADE＝∠C．若BC＝a，AB＝b，求CE的长度（用含a，b的代数式表示）．拓展：（3）创新组突发奇想，将此模型迁移到平行四边形中，如图3，在▱ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若∠DEF＝∠B．求证：AB•FE＝BE•DE．【解答】（1）解：∵△ABC∽△DAE，∴，故答案为：；（2）解：∵∠B＝∠ADE＝∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠EDC，∴∠EDC＝∠BAD，∵DA＝DE，在△ADB与△DEC中，，∴△ADB≌△DEC（AAS），∴EC＝BD，AB＝DC＝b，∴BD＝BC﹣DC＝a﹣b，即CE＝a﹣b；（3）解：∵∠DEF＝∠B，∴∠BFE+∠BEF＝∠BEF+∠DEC，∴∠BFE＝∠DEC，作CG∥FE交DE于点G，如图：∴∠DEF＝∠EGC，∴∠B＝∠EGC，∴△FBE∽△EGC，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠EGC+∠DGC＝180°，∵∠B＝∠EGC，∴∠DGC＝∠BCD，∵∠EDC＝∠CDG，∴△DGC∽△DCE，∴，∴，∴DC•FE＝BE•DE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∴AB•FE＝•BE•DE．解法二：延长BC到M，使得DC＝DM．∵DC＝DM，∵DC∥AB，∴∠DCM＝∠B，∴∠B＝∠M，∵∠BFE＝∠DEM，∴△BFE∽△MED．∴＝，∵AB＝CD＝DM，∴AB•FE＝•BE•DE．【变式3-1】如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD．（1）若AP＝3，求BD的长；（2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD．【解答】（1）解：∵AB＝9，AC＝3，∴BP＝AB﹣AP＝9﹣3＝6，∵∠A＝∠CPD，∠ACP+∠APC＝180°﹣∠A，∠APC+∠BPD＝180°﹣∠CPD，∴∠ACP＝∠BPD，∵∠A＝∠B，∴△ACP∽△BPD，∴＝，∴＝，∴BD＝，∴BD的长为；（2）证明：∵CP平分∠ACD，∴∠PCD＝∠ACP，∴∠PCD＝∠DPB，∵∠CPD＝∠B，∴△CPD∽△PBD，∴＝，∴PD2＝CD•BD．【变式3-2】（2022春•定海区校级月考）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C，分别过A、B两点作AE⊥l，BD⊥l，垂足分别为E、D．求证：△BDC∽△CEA．【尝试应用】（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一点，过D作AD的垂线交AB 于点E．若BE＝DE，，AC＝20，求BD的长．【拓展提高】（3）如图3，在平行四边形ABCD中，在BC上取点E，使得∠AED＝90°，若AE＝AB，，CD＝，求平行四边形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACE＝90°，∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°，∴ACE+∠CAE＝90°．∴∠BCD＝∠CAE．∵BD⊥DE，∴∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠AEC．∴△BDC∽△CEA．（2）解：过点E作EF⊥BC于点F．由（1）得△EDF∽△DAC．∴．∵AD⊥DE，，AC＝20，∴，∴DF＝16．∵BE＝DE，∴BF＝DF．∴BD＝2DF＝32．（3）解：过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC的延长线于点N．∴∠AMB＝∠DNC＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴∠B＝∠DCN．∴△ABM≌△DCN（AAS）．∴BM＝CN，AM＝DN．∵AB＝AE，AM⊥BC，∴BM＝ME，∵，设AM＝b，BE＝4a，EC＝3a．∴BM＝ME＝CN＝2a，EN＝5a．∵∠AED＝90°，由（1）得△AEM∽△EDN．∴，∴，∴，∵，∴（2a）2+b2＝14，∴a＝1，．∴平行四边形ABCD的面积＝．1．（2021秋•南京期末）如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE ⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（ ）A．4B．C．D．5【答案】B【解答】解：∵EF⊥FG，∴∠EFB+∠GFC＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，∴∠GFC+∠FGC＝90°，∴∠EFB＝∠FGC，∴△EFB∽△FGC，∴，∵BE＝3，BF＝2，FC＝6，∴，∴CG＝4，同理可得△DAE∽△EBF，∴，∴，∴AE＝，∴BA＝AE+BE＝+3＝，∴DG＝CD﹣CG＝﹣4＝．故选：B．2．（2022秋•二道区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝12，D，E分别是BC，AB上的动点（点D与B，C不重合），且2∠ADE+∠BAC＝180°，若BE＝4，则CD 的长为 ．【答案】6【解答】解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠C+∠B+∠BAC＝2∠C+∠BAC＝180°，又∵2∠ADE+∠BAC＝180°，∴∠C＝∠ADE，又∵∠BDE+∠ADC＝180°﹣∠ADE，∠CAD+∠ADC＝180°﹣∠C，∴∠BDE＝∠CAD，∴△BDE∽△CAD，∴＝，即＝，解得CD＝6．故答案为：6．3．（2022•杭州模拟）如图，点E是矩形ABCD边BC上一点，沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点F处．设＝x（x＞1），（1）若点F恰为CD边的中点，则x＝ ．（2）设＝y，则y关于x的函数表达式是 ．【解答】解：（1）∵点F为CD边的中点，∴DC＝2DF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴∠FEC+∠EFC＝90°，由折叠得：BE＝EF，AB＝AF，∠B＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF＝DC＝2DF，∵∠EFC+∠AFD＝90°，∴∠AFD＝∠FEC，∴△AFD∽△FEC，∴＝＝2，∴＝2，∴x＝2，故答案为：2；（2）由（1）可得AB＝AF＝DC＝DF+CF，∵△AFD∽△FEC，∴＝，∴＝，∴x＝，∴x＝1+，∴x＝1+，∴y＝，故答案为：y＝．4．（2021•海州区校级二模）如图，△DEF的三个顶点分别在等边△ABC的三条边上，BC ＝4，∠EDF＝90°，＝，则DF长度的最小值是 ．【答案】【解答】解：过点F作FH⊥BC，垂足为H，∵∠EDF＝90°，tan∠EFD＝＝，∴∠EFD＝60°，∴∠AFE+∠DFC＝120°，∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠A＝60°，AC＝BC＝4，∴∠AFE+∠AEF＝120°，∴∠AEF＝∠DFC，∴△AEF∽△CFD，∴＝，∵∠EDF＝90°，∠EFD＝60°，∴cos∠EFD＝＝，∴＝2，∴设CD＝a，则AF＝2a，∴CF＝AC﹣AF＝4﹣2a，在Rt△CFH中，∠C＝60°，∴CH＝CF＝2﹣a，∴FH＝CH＝2﹣a，∴DH＝CD﹣CH＝a﹣（2﹣a）＝2a﹣2，在Rt△DFH中，DF2＝DH2+FH2＝（2a﹣2）2+（2﹣a）2＝7a2﹣20a+16＝7（a﹣）2+，∴DF2的最小值为，∴DF的最小值为：．5.如图，在等边三角形ABC中，点E，D分别在BC，AB上，且∠AED＝60°，求证：△AEC∽△EDB．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠EDB+∠BED＝120°，∠CAE+∠AEC＝120°∵∠AED＝60°，∴∠BED+∠AEC＝180°﹣60°＝120°，∴∠BED＝∠CAE，∴△AEC∽△EDB．6.如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，有∠ADE＝45°．（1）证明：△BDA∽△CED．（2）若BC＝6，当AE＝ED时，求BD的长．【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠C+∠EDC＝45°+∠EDC，而∠ADC＝∠ADE+∠EDC．∵∠ADE＝45°，∴∠ADC＝45°+∠EDC，∴∠AED＝∠ADC．∴∠DEC＝∠ADB（等角的补角相等）．而∠B＝∠C＝45°，∴△ABD∽△DCE．故△ABD∽△DCE得证．（2）解：当AE＝DE时，∴∠ADE＝∠DAE，∵∠ADE＝45°，∴∠ADE＝∠DAE＝45°，∵∠BAC＝90°，∠BAD＝∠EAD＝45°，∴AD平分BAC，∴AD垂直平分BC，∴BD＝3．7．（2022•安徽三模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝AB，以BC为直径的半⊙O与边AD相切于点E．（1）求证：∠BCE＝∠DCE；（2）若，求DE的长．【解答】（1）证明：连接OE，∵半⊙O与边AD相切于点E，∴∠OEA＝90°，∵∠D＝90°，∴∠D＝∠OEA＝90°，∴OE∥CD，∴∠ECD＝∠OEC，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∴∠BCE＝∠DCE；（2）解：连接BE，∵BA⊥AD，OE⊥AD，CD⊥AD，∴AB∥CD∥OE，∵OB＝OC，∴AE＝DE，设DE＝AE＝x，则AD＝AB＝2x，∵BC为⊙O的直径，∴∠BEC＝90°，∴∠DEC+∠AEB＝180°﹣∠BEC＝90°，∵∠A＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠ABE＝∠DEC，∴△ABE∽△DEC，∴，∴，解得：，∴DE的长为．8．（2022•钦州一模）已知下列各图中，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°．【基本模型感知】如图1，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N．求证：△ABM∽△BCN；【基本模型应用】如图2，点P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，，求tan C的值；【灵活运用】如图3，点D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，，，请直接写出tan∠BEC的值．【解答】（1）证明：∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠AMB＝∠BNC＝90°．∴∠BAM+∠ABM＝90°．∵∠ABC＝90°，∴∠ABM+∠CBN＝90°．∴∠BAM＝∠CBN．又∵∠AMB＝∠CNB，∴△ABM∽△BCN．（2）解：如图2，过点P作PF⊥AP交AC于点F，过点F作FQ⊥BC交BC于点Q，在Rt△AFP中，tan∠PAC＝＝＝，与（1）同理得，△ABP∽△PQF．∴＝＝＝．设AB＝a，PQ＝2a（a＞0），∵∠BAP＝∠C＝∠FPQ，∴PF＝CF，且FQ⊥BC．∴PQ＝CQ＝2a．∴BC＝BP+PQ+CQ＝BP+2a+2a＝4a+BP．∵∠BAP＝∠C，∠B＝∠B＝90°，∴△ABP∽△CBA．∴＝．∴BP⋅BC＝AB2，即BP⋅（4a+BP）＝．∴BP＝a，BC＝5a，在Rt△ABC中，tan C＝＝．（3）解：在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝，如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于点H，∵∠DEB ＝90°，∴CH ∥AG ∥DE ．∴＝＝．与（1）同理得，△ABG ∽△BCH∴＝＝＝．设BG ＝4m ，CH ＝3m ，AG ＝4n ，BH ＝3n ，∵AB ＝AE ，AG ⊥BE ，∴EG ＝BG ＝4m ．∴GH ＝BG +BH ＝4m +3n ．∴＝．∴n ＝2m ．∴EH ＝EG +GH ＝4m +4m +3n ＝8m +3n ＝8m +6m ＝14m ．在Rt △CEH 中，tan ∠BEC ＝＝．9．（2021•坪山区一模）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣3，0）、B ，与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点P ，使S △BCP ＝2S △BCO ，求点P 的坐标；（3）如图2，直线y ＝x +3交抛物线于第一象限的点M ，若N 是抛物线y ＝x 2+bx +c 上一点，且∠MAN ＝∠OCB ，求点N 的坐标．【解答】解：（1）将C （0，﹣3）代入到抛物线解析式中得，c ＝﹣3，将B （﹣3，0）代入到抛物线解析式中得，9﹣3b ﹣3＝0，∴b ＝2，∴抛物线解析式为：y ＝x 2+2x ﹣3；（2）令y ＝0，则x 2+2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣3，x 2＝1，∴B （1，0），∴，∵S △BCP ＝2S △BCO ，∴S △BCP ＝3，如图1，过P 作PM ∥BC 交x 轴于M ，连接MC ，则S △MBC ＝S △BCP ＝3，∴，∴MB ＝2，∴M （﹣1，0），设直线BC 为y ＝k 1x ﹣3，代入点B （1，0）得，k 1＝3，∴直线BC 为：y ＝3x ﹣3，则直线PM 设为：y ＝3x +b ，代入点M （﹣1，0）得，b ＝3，∴直线PM 为：y ＝3x +3，联立，解得，，∴P（3，12）或（﹣2，﹣3）；（3）∵直线y＝x+3交抛物线于第一象限的点M，∴联立，解得，，∴A（﹣3，0），M（2，5），在Rt△OBC中，tan∠OCB＝，∴，①如图2，当N在AM下方时，过A作y轴平行线，过M作x轴平行线，两线交于点G过M作MQ⊥AM交AN于Q，过Q作y轴平行线交GM于H，∴∠AGM＝∠MHQ＝90°，∴∠AMG+∠GAM＝90°，又AM⊥MQ，∴∠AMQ＝90°，∴∠AMG+∠HMQ＝90°，∴∠GAM＝∠HMQ，又∠AGM＝∠MHQ＝90°，∴△AGM∽△MHQ，∴＝，∵A（﹣3，0），M（2，5），∴AG＝5，GM＝5，∴MH＝HQ＝，∴Q（），设直线AQ为：y＝k2（x+3），代入点Q，得，∴直线AQ为，联立，化简得，2x2+3x﹣9＝0，解得x＝或﹣3，当x＝时，y＝，∴N（），②当N在AM上方时，同理可得，N（3，12），∴N（）或（3，12）．。
2020—2021年人教版初中数学九年级下册相似专项练习检测及答案(精品试题).docx
第27章相似专项训练专训1 巧用位似解三角形中的内接多边形问题名师点金：位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相似图形的所有性质．位似图形必须具备三个条件：(1)两个图形相似；(2)对应点的连线相交于一点；(3)对应边互相平行或在同一直线上．三角形的内接正三角形问题1．如图，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应问题．画法：①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形．求证：△C′D′E′是等边三角形．(第1题)三角形的内接矩形问题2．如图，求作：内接于已知△ABC的矩形DEFG，使它的边EF在BC上，顶点D，G分别在AB，AC上，并且有DE EF＝1 2.(第2题)三角形的内接正方形问题(方程思想)3．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N 分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是多少？(第3题)4．(1)如图①，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P.求证：DPBQ＝PEQC.(2)在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF，分别交DE于M，N两点．①如图②，若AB＝AC＝1，直接写出MN的长；②如图③，求证：MN2＝DM·EN.(第4题)专训2 图形的相似中五种热门考点名师点金：相似是初中数学的重要内容，也是中考重点考查内容之一，而针对成比例线段、相似三角形的判定与性质、位似图形等都是命题的热点．成比例线段及性质1．下列各组长度的线段，成比例线段的是( ) A ．2 cm ，4 cm ，4 cm ，8 cmB ．2 cm ，4 cm ，6 cm ，8 cmC ．1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmD ．2.1 cm ，3.1 cm ，4.3 cm ，5.2 cm2．若a 2＝b 3＝c 4＝d 7≠0，则a ＋b ＋c ＋d c＝________. 3．如图，乐器上的一根弦AB ＝80 cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，则支撑点C 到端点A 的距离约为________(5≈2.236，结果精确到0.01)．(第3题)平行线分线段成比例4．如图，若AB ∥CD ∥EF ，则下列结论中，与AD AF相等的是( ) A .AB EF B .CD EF C .BO OE D .BC BE(第4题)(第5题) 5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，以AC 为边向三角形外作正方形ACDE ，连接BE 交AC 于F ，若BF ＝ 3 cm ，则EF ＝________.6．如图，在△ABC 中，AM MD ＝4，BD DC ＝23，求AE EC的值．(第6题)相似三角形的性质与判定7．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE ED＝31，CE 的延长线与BA的延长线交于点F，则S△AEF S四边形ABCE为( )A．3 4 B．4 3 C．79 D．97(第7题)(第9题)8．若两个相似多边形的面积之比为14，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是________．9．将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝6，BC＝8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是________．10．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.(1)求证：FD2＝FB·FC；(2)若FB＝5，BC＝4，求FD的长．(第10题)11．如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，点F是BC的延长线上一点，且CE＝CF，BE的延长线交DF于点M.(1)求证：BM⊥DF；(2)若正方形ABCD的边长为2，求ME·MB.(第11题)相似三角形的应用12．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立(BN)时的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高度CD(结果精确到0.1 m)．(第12题)13．某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA ＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm、8 cm.为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF的长应为多少？(材质及其厚度等忽略不计)(第13题)位似(第14题)14．如图，已知正方形ABCD，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形AB′C′D′，则点C′的坐标为________．15．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC 的顶点均是小正方形的顶点．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为1 2；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长(结果保留根号)．(第15题)答案专训11．证明：∵E′C′∥EC，∴∠C′E′O＝∠CEO，CEC′E′＝OEOE′.又∵E′D′∥ED，∴∠D′E′O＝∠DEO，DED′E′＝OEOE′.∴∠CED＝∠C′E′D′，CEC′E′＝DED′E′.∴△CED∽△C′E′D′.又∵△CDE是等边三角形，∴△C′D′E′是等边三角形．(第2题)2．解：如图，在AB边上任取一点D′，过点D′作D′E′⊥BC于点E′，在BC 上截取E′F′，使E′F′＝2D′E′，过点F′作F′G′⊥BC，过点D′作D′G′∥BC交F′G′于点G′，作射线BG′交AC于点G，过点G作GF∥G′F′，DG∥D′G′，GF交BC于点F，DG交AB于点D，过点D作DE∥D′E′交BC于点E，则四边形DEFG为△ABC的内接矩形，且DE EF ＝1 2.3．解：设符合要求的正方形PQMN 的边PN 与△ABC 的高AD 相交于点E. 设正方形PQMN 的边长为x mm ，∵PN ∥BC ，∴△APN ∽△ABC.∵△APN 与△ABC 的对应点都经过点A ，∴△APN 与△ABC 是以点A 为位似中心的位似图形．∴AE AD ＝PN BC .∴80－x 80＝x 120.解得x ＝48. 即这个正方形零件的边长是48 mm .点拨：利用位似图形的性质“位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比”，构造方程，利用方程思想解决问题．4．(1)证明：在△ABQ 和△ADP 中，∵DP ∥BQ ，∴△ADP ∽△ABQ ，∴DP BQ ＝AP AQ. 同理△ACQ ∽△AEP ，∴PE QC ＝AP AQ .∴DP BQ ＝PE QC. (2)①解：MN ＝29. ②证明：∵∠B ＋∠C ＝90°，∠CEF ＋∠C ＝90°.∴∠B ＝∠CEF.又∵∠BGD ＝∠EFC ＝90°，∴△BGD ∽△EFC.∴DG CF ＝BG EF. ∴DG ·EF ＝CF ·BG.又∵DG ＝GF ＝EF ，∴GF 2＝CF ·BG.由(1)得DM BG ＝MN GF ＝EN CF .∴⎝ ⎛⎭⎪⎫MN GF 2＝ DM BG ·EN CF ，即MN 2FG 2＝DM ·EN BG ·CF ，∴MN 2＝DM ·EN.专训21．A 2.4 3.49.44 cm 4.D 5.3 cm(第6题)6．解：过D 点作DN ∥AC ，交BE 于N ，如图．易知△DMN ∽△AME ，△BDN ∽△BCE.∵BD DC ＝23，∴BD BC ＝25. ∴DN CE ＝BD BC ＝25. ∵AM MD ＝4，∴AE DN ＝AM MD＝4. ∴AE EC ＝DN EC ·AE DN ＝25×4＝85. 7．D 8.6，129．4或247点拨：∵△ABC 沿EF 折叠，B 和B ′重合，∴BF ＝B ′F.设BF ＝x ，则CF ＝8－x ，当△B ′FC ∽△ABC 时，B ′F AB ＝CF BC .∵AB ＝6，BC ＝8，∴x 6＝8－x 8，解得：x ＝247，即BF ＝247；当△FB ′C ∽△ABC 时，FB ′AB ＝FC AC ，则x 6＝8－x 6，解得：x ＝4.故BF ＝4或247. 10．(1)证明：∵E 是Rt △ACD 的斜边的中点，∴DE ＝EA.∴∠A ＝∠1.∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A.∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A＝90°＋∠A ，∴∠FDC ＝∠FBD.又∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC.∴FB FD ＝FD FC.∴FD 2＝FB ·FC.(2)解：∵FB ＝5，BC ＝4，∴FC ＝9.∵FD 2＝FB ·FC ，∴FD 2＝45.∴FD ＝3 5.11．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCF ＝90°.又∵CE ＝CF ，∴△BCE ≌△DCF.∴∠CBE ＝∠CDF.∴∠CBE ＋∠BEC ＝∠CDF ＋∠DEM ＝90°.∴BM ⊥DF.(2)解：易知∠CBD ＝45°.∵BE 平分∠DBC ，∴∠DBM ＝∠FBM ＝22.5°.由(1)知∠BMD ＝∠BMF ＝90°，∴∠BDM ＝∠F ＝67.5°.∴BD ＝BF.∴DM ＝FM ＝12DF. ∵正方形ABCD 的边长为2，∴BD ＝BF ＝22，∴CF ＝22－2.在Rt △DCF 中，DF 2＝DC 2＋CF 2＝4＋(22－2)2＝16－8 2.∴DM 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DF 22＝4－2 2. ∵∠CDF ＝∠DBM ，∠DME ＝∠BMD ，∴△DME ∽△BMD.∴DM MB ＝ME DM，即DM 2＝ME ·MB.∴ME ·MB ＝4－2 2. 12．解：设CD ＝x m ．∵AM ⊥EC ，BN ⊥EC ，CD ⊥EC ，∴MA ∥CD ∥BN.又MA ＝EA ，∴EC ＝CD ＝x m ．易知△ABN ∽△ACD ，∴BN CD ＝AB AC ，即1.75x ＝ 1.25x －1.75，解得x ＝6.125≈6.1，即路灯的高度CD 约为6.1 m .13．解：如图，过点C 作CM ∥AB ，分别交EF ，AD 于点N ，M ，作CP ⊥AD ，分别交EF ，AD 于点Q ，P.由题意得四边形ABCM 是平行四边形，∴EN ＝AM ＝BC ＝20 cm .∴MD ＝AD －AM ＝50－20＝30(cm )．由题意知CP ＝40 cm ，PQ＝8 cm .∴CQ ＝32 cm .∵EF ∥AD ，∴△CNF ∽△CMD.∴NF MD ＝CQ CP ，即NF 30＝3240，解得NF ＝24 cm .∴EF ＝EN ＋NF ＝20＋24＝44(cm )．即横梁EF 的长应为44 cm .(第13题)(第15题)14．(2，1)或(0，－1)15．解：(1)△A′B′C′如图所示．(2)如图，四边形AA′C′C的周长为AA′＋A′C′＋CC′＋AC＝2＋22＋2＋42＝4＋6 2.。
人教版九年级下册数学《相似三角形应用举例》教学设计与同步练习(含答案)
相似三角形的应用举例教学目标1．进一步巩固相似三角形的知识．2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．重点、难点1．重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．2．难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．3．难点的突破方法（1）本节主要探索的是应用相似三角形的判定、性质等知识去解决某些简单的实际问题（计算不能直接测量物体的长度和高度及盲区问题），学生已经学过了相似三角形的概念、判定方法及性质，在此基础上通过本课的学习将对前面所学知识进行全面应用．初三学生在思维上已具备了初步的应用数学的意识，在心理特点上则更依赖于直观形象的认识．（2）在实际生活中，面对不能直接测量出长度和宽度的物体及盲区问题，我们可以应用相似三角形的知识来测量，只要将实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用线段成比例来求解．在教学中，要通过这些知识的教学，帮助学生从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题。
另外，还可以根据学生实情，选择一些实际问题，引导学生加以解决，提高他们应用知识解决问题的能力．（3）课上可以通过著名的科学家名句和如何测量神秘的金字塔的高度来激发学生学数学的兴趣，使学生积极参与探索，体验成功的喜悦．（4）运用三角形相似的知识解决实际问题对于学生来说难度较大，可以适当增加课时．教学过程一、例题的意图相似三角形的应用主要有如下两个方面：（1）测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)；（2）测距(不能直接测量的两点间的距离) ．本节课通过教材P49的例3——P50的例5（教材P49例3——是测量金字塔高度问题；P50例4——是测量河宽问题；P50例5——是盲区问题）的讲解，使学生掌握测高和测距的方法．知道在实际测量物体的高度、宽度时，关键是要构造和实物所在三角形相似的三角形，而且要能测量已知三角形的各条线段的长，运用相似三角形的性质列出比例式求解．讲课时，可以让学生思考用不同的方法解这几个实际问题，以提高从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题的能力．应让学生多见些不同类型的有关相似三角形的应用问题，便于学生理解：世上许多实际问题都可以用数学问题来解决，而本节的应用实质是：运用相似三角形相似比的相关知识解决问题，并让学生掌握运用这方面的知识解决在自己生活中的一些实际问题的计算方法．其中P50的例5出现了几个概念，在讲此例题时可以给学生介绍．（1）视点：观察者眼睛的位置称为视点；（2）视线：由视点出发的线称为视线；（3）仰角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；（4）盲区：人眼看不到的地方称为盲区．二、课堂引入问：世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？五、例题讲解例1（教材P49例3——测量金字塔高度问题）分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．解：略（见教材P49）问：你还可以用什么方法来测量金字塔的高度？（如用身高等）解法二：用镜面反射（如图，点A是个小镜子，根据光的反射定律：由入射角等于反射角构造相似三角形）．（解法略）例2（教材P50例4——测量河宽问题）分析：设河宽PQ 长为x m ，由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得到相似三角形，因此有ST QR PS PQ =，即906045x x =+．再解x 的方程可求出河宽．解：略（见教材P50）问：你还可以用什么方法来测量河的宽度？解法二：如图构造相似三角形（解法略）．例3（教材P50例5——盲区问题）分析：略（见教材P50）解：略（见教材P51）三、课堂练习1． 在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米?2． 小明要测量一座古塔的高度，从距他2米的一小块积水处C 看到塔顶的倒影，已知小明的眼部离地面的高度DE 是1.5米，塔底中心B 到积水处C 的距离是40米.求塔高?四、课后练习1． 教材P51.练习1和练习2．2． 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h ．(设网球是直线运动)3． 小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m 的竹竿影长0.9m ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m ，又测得地面部分的影长2.7m ，他求得的树高是多少？教学反思相似三角形应用举例同步练习一、基础练习1．如图1，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离1.6m，梯上点D距墙1.4m，•BD•长0.55m，则梯子的长为_______m．（1）（2）（3）2．•要做甲、•乙两个形状相似的三角形框架，•已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm．那么，•符合条件的三角形框架乙共有_____种，这种框架乙的其余两边分别为________．3．在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，•现将它折叠，•使点B•与点C•重合，•则折痕长是______．4．如图2，矩形ABCD，AD=a，AB=b，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP，•△DPA，•△PCD两两相似，则a，b间的关系一定满足（）A．a≥12b B．a≥b C．a≥32b D．a≥2b5．如图3，已知三角形铁皮ABC的边BC=acm，BC边上的高AM=hcm•要剪出一个正方形铁片DEFG，使D、E在BC上，G、F分别在AB、AC上，则正方形DEFG的边长=_______．6．如图4，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，•长臂端点升高______m（杆的宽度忽略不计）．（4）（5）（6）7．如图5，设在小孔口前24cm处有一枝长21cm的蜡烛AB，AB经小孔O形成的像A•′B′恰好浇在距小孔后面16cm处的屏幕上，则像A′B′的长是______cm．8．如图6所示，一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠，使A、C两点重合，•折线MN=________．9．如图7所示，ABCD为正方形，A、E、F、G在同一条直线上，并且AE=5cm，EF=3cm，•那么FG=_______cm．（7）（8）10．如图8，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，DE为Rt△CDB的斜边BC上的高，若BE=6，CE=4，则AD=_______．二、整合练习1．如图，现有两个边长比为1：2的正方形ABCD与A′B′C′D′，已知点B、C、B′、C ′在同一直线上，且点C与B′重合，请你利用这两个正方形，通过截割、平移、旋转等方法，拼出两个相似比为1：3的三角形，要求：（1）借助原图拼图；（2）简要说明方法；（3）注明相似的两个三角形．2．如图，运河边上移栽了两棵老树AB、CD，它们相距20m，分别自两树上高出地面3m、4m的A、C处，向两侧地面上的点E和D、B和F处用绳索拉紧，以固定老树，那么绳索AD与BC的交点P离地面的高度为多少米？3．小R、小D、小H在一起研究相似三角形，分别得到三个命题：（1）两个相似三角形，如果它们的周长相等，那么这两个三角形全等；（2）两个相似三角形，如果有两组边长相等，那么这两个三角形全等；（3）不等边△ABC的边长为a、b、c，那么以a、b、c为边长的△A′B•′C•一定不能与△ABC相似．请你判定一下，这三个命题中，哪些是真命题？说说你的理由．答案：一、基础练习1．4.42．3 若20与50对应，则另两边分别为24cm 、32cm ；若20与60对应，则另两边分别为5080,33cm cm ；若20与80对应，则另两边分别为252cm 、15cm ． 3．因△ABC 为Rt △，B 与C 重合，折痕DE 为BC 的中垂线交BC 于D 、AC 于E 、Rt △CDE ∽Rt △CAB ，53152,48DE CD DE AB CA ⨯===． 4．△ABP 、△DPA 、△PCD 两两相似，即∠APD=90°，即以AD 为直径的圆与BC•至少有一个交点P ，所以a ≥2b ，选D ．5．设正方形DEFG 的边长为x ，由FG ∥BC ，所以△AGF ∽△ABC ，设AM 交GF 于N ，,,AN GF h x x ah x AM BC h a a h -===+即解得（cm ）．6．8m 7．148．设MN 与AC 交于点O ，MN 垂直平分AC ，AD=9，AB=12，AC=22AB AC +=15， △CON ∽△CDA ，91545,,21224NO AD NO MN ON OC DC ==⨯==． 9．设FG=xcm ，由△AFD ∽△GAB 和△AED ∽△GEB ，得8516,833AD AE x BG EG x ====++解得FG ． 10．由DE ∥AC ，△BDE ∽△BAC ，BE BC BD AB =，CE=4，BE=6，DE 为Rt △CDB 斜边BC 上的高，△DEB ∽△CED ，DE 2=CE ·BE=24，BD 2=24+36=60，BD=215，AD=4153． 二、整合练习1．连结BD 并延长交A ′D ′于点E ，交C ′D ′的延长线于点F ，将△DA ′E 绕点E 旋转至△FD ′E 位置，则△BAD ∽△FC ′B ，且相似比为1：3．2．过P 作PH ⊥BD 于H ，由于AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，所以AB ∥CD ，PH ∥CD ，△ABP ∽△DCP ，BP ：PC=AB ：CD=3：4，BP ：BC=3：7，又△BPH ∽△BCD ，PH BP CD BC ==37， 所以PH=37×4=127，即点P 离地面的高度为127m ． （这里AB 、CD 相距20m 为多余条件）．3．真命题为（1）、（3）．理由是（1）若△ABC ∽△A ′B ′C ′，它们的相似比为k ，（•k ≠0）则''''''AB BC CA A B B C C A ===k ， △ABC 的周长为AB+BC+CA ，△A ′B ′C ′的周长为A ′B+B ′C ′+C ′A ′，• 又AB=A ′B ′k ，BC=B ′C ′k ，CA=C ′A ′k ．由周长相等，得k=1， 所以AB=A ′B ′，BC=B•′C ′，CA=C ′A ′，所以△ABC ≌△A ′B ′C ′．（2）是假命题，可举反例 若△ABC ∽△A ′B ′C ′，设AB=1，BC=2，，A ′B ′B ′C ′，C ′A ′=2， 虽然有两组边长相等，但它们显然不全等．（3）不等边△ABC 中，不妨设a>b>c ，若△A ′B ′C ′与△ABC 相似，则a 、b 、c==a=b=c 与△ABC 是不等边三角形矛盾，A ′B ′C ′一定不能与△ABC 相似． （如果△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，A ′B ′C ′由,,.a b c b c a c a b +>⎧⎪+>⎨⎪+>⎩可证,,.a b c b c a c a b ⎧++>⎪⎪++>⎨⎪++>⎪⎩即>>>）。
2021年人教版数学九年级下册《相似三角形的应用》同步精选卷(含答案)
2021年人教版数学九年级下册《相似三角形的应用》同步精选卷一、选择题1.下列各组图形可能不相似的是( )A.两个等边三角形B.各有一个角是45°的两个等腰三角形C.各有一个角是105°的两个等腰三角形D.两个等腰直角三角形2.有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，2，5，乙三角形木框的三边长分别为5，5，10，则甲、乙两个三角形( )A.一定相似B.一定不相似C.不一定相似D.无法判断3.小刚身高为1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶( )A.0.5 mB.0.55 mC.0.6 mD.2.2 m4.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若OA∶OC = OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( )A.①和②相似B.①和③相似C.①和④相似D.③和④相似5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( )A.1对B.2对C.3对D.4对6.如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为( )A.1B.2C.3D.47.一个钢筋三角架的三边长分别为20 cm，50 cm，60 cm，现在要做一个和它相似的钢筋三角架，而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段(允许有余料)作为另两边，则不同的截法有( )A.一种B.两种C.三种D.四种或四种以上8.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上.若测得BE=20 m，CE=10 m，CD=20 m，则河的宽度AB等于( )A.60 mB.40 mC.30 mD.20 m9.如图，小明(身高忽略不计)站在C处看甲、乙两楼楼顶上的点A和点E.C，E，A三点在同一条直线上，点B，D分别在点E，A的正下方且D，B，C三点在同一条直线上.B，C两点相距20 m，D，C两点相距40 m，乙楼高BE为15 m，甲楼高AD为( )A.40 mB.20 mC.15 mD.30 m10.如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE=BC=0.5米，A，B，C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG=15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG=3米，小明身高EF=1.6米，则凉亭的高度AB约为( )A.8.5米B.9米C.9.5米D.10米二、填空题11.若△ABC∽△A′B′C′，BC=18 cm，CA=15 cm，AB=21 cm，△A′B′C′的最短边长为5 cm，则△A′B′C′的周长为________.12.如图，已知零件的外径为25 mm ，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC 和BD 相等，OC=OD)测量零件的内孔直径AB.若OC ∶OA=1∶2，量得CD=10 mm ，则零件的厚度x=_____mm. 13.如图所示，D 是∠ABC 平分线上的一点，AB=15 cm ，BD=12 cm ，要使△ABD ∽△DBC ， 则BC 的长为________cm.14.如图，D 是等边三角形ABC 的边AB 上一点，AD=2，BD=4.现将△ABC 折叠，使得点C 与点D重合，折痕为EF ，且点E ，F 分别在边AC 和BC 上，则CF CE=________.15.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40 cm ，EF=20 cm ，测得边DF 离地面的高度AC=1.5 m ，CD=8 m ，则树高AB=______m.16.如图，一等腰三角形，底边长是18厘米，底边上的高是18厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第________个.三、解答题17.如图，在△ABC中，已知AB=AC，点D，E，B，C在同一条直线上，且AB2=BD·CE.求证：△ABD∽△ECA.18.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB，相似比为AD∶AC=2∶3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F.求AG与GF的比.19.如图，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF.求证：(1)△DAE≌△DCF；(2)△ABG∽△CFG.20.如图，一条东西走向的笔直公路，点A，B表示公路北侧间隔150米的两棵树所在的位置，点C表示电视塔所在的位置.小王在公路南侧所在直线PQ上行走，当他到达点P的位置时，观察到树A恰好挡住电视塔，即点P，A，C在一条直线上，当他继续走180米到达点Q的位置时，观察到树B也恰好挡住电视塔.假设公路两侧AB∥PQ，且公路的宽为60米，求电视塔C到公路南侧所在直线PQ的距离.21.周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B 点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线.已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1 m，DE=1.5 m，BD=8.5 m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽AB.22.一天晚上,身高1.6米的小明站在路灯下,发现自己的影子恰好是4块地砖的长（每块地砖为边长0.5米的正方形）．当他沿着影子的方向走了4块地砖时,发现自己的影子恰好是5块地砖的长,根据这个发现,他就算出了路灯的高度,你知道他是怎么算的吗？参考答案1.答案为：B.2.答案为：A.3.答案为：A.4.答案为：B.5.答案为：C.6.答案为：C.7.答案为：B.8.答案为：B.9.答案为：D.10.答案为：A.11.答案为：18 cm.12.答案为：2.5.13.答案为：485. 14.答案为：54. 15.答案为：5.5.16.答案为：517.证明：∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∴∠ABD=∠ACE.∵AB 2=BD ·CE ，∴AB CE =BD AB ，即AB EC =BD CA， ∴△ABD ∽△ECA.18.解：∵△ADE ∽△ACB ，∴∠ADG=∠C.∵AF 是△ABC 的角平分线，∴∠DAG=∠FAC ，∴△ADG ∽△ACF ，∴AD AC =AG AF. ∵AD AC =23，∴AG AF =23，∴AG ∶GF=2∶1.19.证明：(1)∵△DEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形， ∴DE=DF ，DA=DC ，∠B=∠EDF=∠ADC=90°，∠EFD=∠DEF=45°，∴∠CDF ＋∠ADF=∠ADE ＋∠ADF=90°，∴∠CDF=∠ADE.在△DAE 与△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧DA ＝DC ，∠ADE ＝∠CDF ，DE ＝DF ，∴△DAE ≌△DCF.(2)由(1)知∠DFC=∠DEF=45°.∵∠EFD=45°，∠DFC=45°，∴∠CFG=∠DFC ＋∠EFD=90°，∴∠CFG=∠B.又∵∠CGF=∠AGB ，∴△ABG ∽△CFG.20.解：如图所示，过点C 作CE ⊥PQ 于点E ，交AB 于点D.设CD 的长为x ，则CE 的长为x ＋60.∵AB ∥PQ ，∴△ABC ∽△PQC ，∴CD CE =AB PQ ，∴CD AB =CE PQ ，即x 150=x ＋60180， 解得x=300，∴x ＋60=360.答：电视塔C 到公路南侧所在直线PQ 的距离是360米.21.解：∵CB ⊥AD ，ED ⊥AD ，∴BC ∥DE ，∴△ABC ∽△ADE ，∴BC DE =AB AD ，即11.5=AB AB ＋8.5， 解得AB=17(m).经检验，AB=17是原分式方程的解.答：河宽AB 的长为17 m.22.解：如图，AC=4×0.5m=2m，CE=5×0.5m=2.5m，AB=CD=1.6m，∵AB∥OP，∴△CAB∽△COP，∴=，即=①，∵CD∥OP，∴△ECD∽△EOP，∴=，即=②，由①②得=，解得AO=8，∴=，解得OP=8．答：路灯的高度为8m．。
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九年级下数学相似三角形经典习题例1从下面这些三角形中，选出相似的三角形.例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似.（2）所有的等腰三角形都相似.（3）所有的等腰直角三角形都相似.（4）所有的等边三角形都相似.例5如图，D 点是 ABC 的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在 ABC 的边上，并且点D 、点E 和 ABC 的一个顶点组成的小三角形与ABC 相似•尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法.例6如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约 30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高.已知：如图， 匸ABCD 中,如图，已知 ABD s AE: EB 1:2，求 AEF 与 CDF 的周长的比，如果 S AEF2 、6cm ，求 S CDF •ACE ，求证: ABC s ADE •B初三(下)相似三角形例7如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若AC 1.5m，小明的眼睛离地面的高度为 1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度(精确到0.1m).例8格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由.例9根据下列各组条件，判定ABC和ABC是否相似，并说明理由：(1)AB 3.5cm, BC 2.5cm, CA 4cm, A B 24.5cm, B C 17.5cm,C A 28cm .(2) A 35 , B 104 , C 44 , A 35 .(3)AB 3, BC 2.6, B 48 , A B 1.5,BC 1.3, B 48 .例10如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据.例11已知：如图，在ABC中，AB AC, A 36 ,BD是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AD2 DC AC .初三（下）相似三角形例12已知ABC的三边长分别为5、12、13,与其相似的ABC的最大边长为26，求ABC的面积S.例13在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法•小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高.你认为这种测量方法是否可行？请说明理由.AGEHB C D例14•如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C,使AB BC , 然后再选点E,使EC BC，确定BC与AE的交点为D,测得BD 120米，DC 60米，EC 50米，你能求出两岸之间AB的大致距离吗？例15.如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上.求山峰的高度AB及它和标杆CD 的水平距离BD各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ ABC的边AB = 2.3 , AC= 2, BC边上的高AD = .3 .（1）求BC的长；（2）如果有一个正方形的边在AB上，另外两个顶点分别在AC , BC上，求这个正方形的面积.初三(下)相似三角形AC第4页共6页因此ABC s ABC本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形, CE 30 米，求 BC .由于 ADF s AEC ,-DF J AF，又 EC ACACFDF 60厘米DFs ABC,•——EC0.6米,GF 12厘米 ，从而可以求出 解 AE EC, DF // EC ,• ADF AEC,DAF ADF sBCAEC . •匹 jAFEC AC又GFEC,BC EC , • GF // BC, AFGACB, AGFABC ,0.12米,BC 的长.AF• AGF s ABC ,• jAFGF BC ，DF EC GF BC 相似三角形经典习题答案例1. 解①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例 2. 解 ABCD 是平行四边形，••• AB//CD, AB CD ,二 AEF s CDF ,又 AE: EB 1:2 ,• AE:CD 1:3 ,AEF 与 CDF 的周长的比是1: 3.S1又(—)2，S AEF 6(cm 2) ,••• S CDF 54(cm 2).S CDF 3BA CA例3分析 由于 ABD s ACE ，贝U BAD CAE ，因此 BAC DAE ，如果再进一步证明，则AD AE问题得证.证明■/ ABD s ACE , • BAD CAE . 又BA BADDAC ,•DAEDACCAE ,• BACDAE.AB ACABD s ACEAD AE在ABC 和ADE中,BACABADE,- AC • ABC s ADEAD AE例4 .分析 (1) 不正确，因 困为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同 (2 )也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同.(3)正确.设有等腰直角三角形 ABC 和ABC ，其中 C C 90 ,则 A A 45 , B B 45 ,设 ABC 的三边为a 、b 、c , ABC 的边为a 、b 、c , 贝y a b, c , 2a, a b , c , 2a ,ABC s ABC .(4)也正确，如 ABC 与 ABC 都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例,答：(1)、(2)不正确.(3)、(4)正确.画法略. 例6 .分析初三(下)相似三角形 121121初三(下)相似三角形又DF 60厘米 0.6米，GF 12厘米 0.12米，EC 30米，二BC 6米•即电线杆的高为 6米. 例7•分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA 与 MNA 的相似关系就明确了.解因为 BC CA,MN AN, BACMAN ，所以 BCA s MNA •所以 MN:BC AN: AC ，即 MN :1.6 20:1.5 •所以 MN 1.6 20 1.5 21.3 (m ). 说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦.例&分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的•实际上格点无形中给图形增添了条件一一长度和角度.解 在格点中DE EF, AB BC ，所以 E B 90 , 又EF 1,DE 2, BC 2, AB 4 •所以 史 兰 -•所以AB BC 2说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏.ABC 不相似;(3)因为B B , AB BC 2，所以 AB BC 1ABC 相似于ABC例 10.解(1) ADE s ABC 两角相等；(2)ADE s ACB 两角相等；(3)CDE s CAB 两角相等；(4) EAB s ECD 两边成比例夹角相等；(5) ABD s ACB 两边成比例夹角相等；(6)ABD s ACB 两边成比例夹角相等. 例 11 .分析有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°, 而BD 是底角的平分线，••• CBD 36，则可推出ABC s BCD ，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系.证明 A 36 , AB AC , • ABC C 72 .又 BD 平分ABC ,•• ABD CBD 36 .•- AD BDBC ，且 ABC s BCD ,• B C:AB CD:BC , •• BC 2 AB CD , •• AD 2 AC CD说明(1)有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等 的角的位置，可以确定哪些边是对应边.adha(2)要说明线段的乘积式 ab cd ，或平方式a 2 be ，—般都是证明比例式，，或 ，再根据c b a c比例的基本性质推出乘积式或平方式.例12分析 由 ABC 的三边长可以判断出 ABC 为直角三角形，又因为 ABC s ABC ，所以 ABC 也是直角 三角形，那么由 ABC 的最大边长为26,可以求出相似比，从而求出 AB C 的两条直角边长，再求得 ABC 的 面积. 解设ABC 的三边依次为，BC 5, AC 12, AB13，则 AB 2 BC 2 AC 2, •• C 90BCACAB 13 1又ABC s ABC , •CC 90 .BCACA B 26 2又BC5, AC 12 ,• BC10, AC 24.•- S 1 AC1B C 24 10120 .22例13•分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高•按这种测量方法，过 F作FG AB 于G ,交CE 于H ，可知 AGF s EHF ，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得 AG ,故旗杆AB 可求.解 这种测量方法可行•理由如下：DEF s ABC •例9 .解(1)因为AB AB(2)因为 C 1803.5cm 1 BC 2.5cm 1 CA 24.5cm 7 , BC17.5cmT CAA B 41，两个三角形中只有A 4cm 1，所以 ABC s ABC ；28cm 7A ，另外两个角都不相等，所以ABC 与设旗杆高AB x •过F作FG AB于G,交CE于H (如图)•所以AGF s EHF •因为FD 1.5,GF 27 3 30,HF 3，所以EH 3.5 1.5 2,AG x 1.5 •初三(下)相似三角形121121AG GF x 1.5 由 AGF s EHF ，得，即-EH HF所以旗杆的高为21.5米.说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行.以厶ABC 是直角三角形.由AEGF 是正方形，设 GF = x ,贝U FC = 2 — x .AC = 2,^ ABC 是等腰三角形，作 CP 丄AB 于P ,「. AP = 1AB 、3 ,2x•/ GH // AB ,「.A CGH CBA , v ——2』3 2 32 3、2―…SiE 方形 GFEH ( _) 1 2,3 1 2、3- 156因此，正方形的面积为 126-.3或15614.解:ADB EDC,ABC ECD 90 ABD sECD, AB翌AB CD BD CDEC15.答案：AB1506米，BD 30750步，(注意:120 5060KC 匹 CD100 (米)，答：两岸间AB大致相距100米.AK,KE 岸 AK.) 那么有两种情况存在，即点16.分析：要求 BC 的延长线上，所以求 BC 的长时要分两种情况讨论•求正方形的面积，关键是求正方形的边长. 解：(1)如上图，由 AD 丄BC ,由勾股定理得 BD = 3, DC = 1，所以 如下图，同理可求 BD = 3, DC = 1，所以BC = BD — CD = 3— 1 = 2.BC 的长，需画图来解，因 AB 、AC 都大于高AD ,D 在BC 上或点D 在BC = BD + DC = 3 + 1 = 4.(2)如下图，由题目中的图知 16 , BC 2 16 , ••• AB 2 AC 2 BC 2 •所GF •/ GF // AB ,「.-AB AC ，即 ^3 宁S正方形AEGF12 63 .在Rt △ APC 中，由勾股定理得30，所以 x 1.520，解得 x 21.53(米) 如下图，当BC = 2, 156 48 348. 3。
2022年人教版九年级下《相似三角形的应用举例》同步练习(附答案)
27.2.3 相似三角形的应用举例1.如图，慢慢将电线杆竖起，如果所用力F的方向始终竖直向上，那么电线杆竖起过程中所用力的大小将〔〕2．小华做小孔成像实验〔如下图〕，蜡烛与成像板之间的距离为15cm，那么蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛__________cm的地方时，蜡烛焰AB是像'B'A的一半.3．如图，铁道口的栏杆短臂长1米，长臂长16米，当短臂的端点下降0。
5米时，长臂端点应升高_________.4.有点光源S在平面镜上方，假设在P点初看到点光源的反⊥AC,且PC=24cm,试求点光源S到平面镜的距离即SA的长度.5．冬至时是一年中太阳相对于地球位置最低的时刻，只要此时能采到阳光，一年四季就均能受到阳光照射。
此时竖一根a米长的竹杆，其影长为b米，某单位方案想建m米高的南北两幢宿舍楼〔如下图〕。
试问两幢楼相距多少米时，后楼的采光一年四季不受影响〔用m,a,b表示〕.6．一位同学想利用树影测出树高，他在某时刻测得直立的标杆高1米，影长是0.9米，但他去测树影时，发现树影的上半局部落在墙CD上，〔如下图〕他测得BC=2．7米，CD=1.2米。
你能帮他求出树高为多少米吗？7．我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住。
假设此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm,你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思路。
8．如图，阳光透过窗口照到室内，在地面上留下2.7米宽的亮区，亮区一边到窗下的墙脚距离CE=8.7米，窗口高AB=1.8 米，试求窗口下底与地面之间的距离B C的大小。
答案：.12,201024cm SA SA BC AB PC SA ===故知 5．由米故a bm ,==BC BC AB b a 。
6．由7.22.19.01-=-=AB BC CD AB 得AB-1.2=3，故AB=4.2米即树高为4.2米. ⊥BC 于G 交DE 于F 。
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人教版九年级数学下册33.2.3 相似三角形的应用专题练习
一、基础练习
1．如图1，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离1.6m，梯上点D距墙1.4m，•BD•长0.55m，则梯子的长为_______m．
（1）（2）（3）
2．•要做甲、•乙两个形状相似的三角形框架，•已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm．那么，•符合条件的三角形框架乙共有_____种，这种框架乙的其余两边分别为________．
3．在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，•现将它折叠，•使点B•与点C•重合，•则折痕长是______．
4．如图2，矩形ABCD，AD=a，AB=b，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP，•△DPA，•△PCD两两相似，则a，b间的关系一定满足（）
A．a≥1
2
b B．a≥b C．a≥
3
2
b D．a≥2b
5．如图3，已知三角形铁皮ABC的边BC=acm，BC边上的高AM=hcm•要剪出一个正方形铁片DEFG，使D、E在BC上，G、F分别在AB、AC上，则正方形DEFG的边长=_______．
6．如图4，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，•长臂端点升高______m（杆的宽度忽略不计）．
（4）（5）（6）
7．如图5，设在小孔口前24cm处有一枝长21cm的蜡烛AB，AB经小孔O形成的像A•′B′恰好浇在距小孔后面16cm处的屏幕上，则像A′B′的长是______cm．
8．如图6所示，一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠，使A、C两点重合，•折线MN=________．
9．如图7所示，ABCD为正方形，A、E、F、G在同一条直线上，并且AE=5cm，EF=3cm，•那么FG=_______cm．
（7）（8）
10．如图8，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，DE为Rt△CDB的斜边BC上的高，若BE=6，CE=4，则AD=_______．
二、整合练习
1．如图，现有两个边长比为1：2的正方形ABCD与A′B′C′D′，已知点B、
C、B′、C ′在同一直线上，且点C与B′重合，请你利用这两个正方形，
通过截割、平移、旋转等方法，拼出两个相似比为1：3的三角形，要求：
（1）借助原图拼图；（2）简要说明方法；（3）注明相似的两个三角形．
2．如图，运河边上移栽了两棵老树AB、CD，它们相距20m，分别自两树上高出地面3m、4m 的A、C处，向两侧地面上的点E和D、B和F处用绳索拉紧，以固定老树，那么绳索AD 与BC的交点P离地面的高度为多少米？
3．小R、小D、小H在一起研究相似三角形，分别得到三个命题：
（1）两个相似三角形，如果它们的周长相等，那么这两个三角形全等；
（2）两个相似三角形，如果有两组边长相等，那么这两个三角形全等；
（3）不等边△ABC的边长为a、b、c，那么以a、b、c为边长的△A′B•′C•一定不能与△ABC相似．
请你判定一下，这三个命题中，哪些是真命题？说说你的理由．
答案： 一、基础练习 1．4.4
2．3 若20与50对应，则另两边分别为24cm 、32cm ；若20与60对应，则另两边分别为
5080,33cm cm ；若20与80对应，则另两边分别为25
2
cm 、15cm ． 3．因△ABC 为Rt △，B 与C 重合，折痕DE 为BC 的中垂线交BC 于D 、AC 于E 、
Rt △CDE ∽Rt △CAB ，5
3152,48
DE CD DE AB CA ⨯
===． 4．△ABP 、△DPA 、△PCD 两两相似，即∠APD=90°，
即以AD 为直径的圆与BC•至少有一个交点P ，所以a ≥2b ，选D ． 5．设正方形DEFG 的边长为x ，由FG ∥BC ， 所以△AGF ∽△ABC ，设AM 交GF 于N ，,,AN GF h x x ah
x AM BC h a a h
-===
+即解得（cm ）． 6．8m 7．14
8．设MN 与AC 交于点O ，MN 垂直平分AC ，AD=9，AB=12，AC=22AB AC +=15，
△CON ∽△CDA ，
91545
,,21224
NO AD NO MN ON OC DC ==⨯==
． 9．设FG=xcm ，由△AFD ∽△GAB 和△AED ∽△GEB ， 得
8516
,833
AD AE x BG EG x ====++解得FG ． 10．由DE ∥AC ，△BDE ∽△BAC ，
BE BC
BD AB
=
，CE=4，BE=6，DE 为Rt △CDB 斜边BC 上的高，△DEB ∽△CED ，DE 2=CE ·BE=24，BD 2
=24+36=60，BD=215，AD=4153
．
二、整合练习
1．连结BD 并延长交A ′D ′于点E ，交C ′D ′的延长线于点F ， 将△DA ′E 绕点E 旋转至△FD ′E 位置，则△BAD ∽△FC ′B ， 且相似比为1：3．
2．过P 作PH ⊥BD 于H ，由于AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，
所以AB ∥CD ，PH ∥CD ，△ABP ∽△DCP ，BP ：PC=AB ：CD=3：4， BP ：BC=3：7，又△BPH ∽△BCD ，
PH BP CD BC =
=3
7
， 所以PH=
37×4=127，即点P 离地面的高度为127
m ． （这里AB 、CD 相距20m 为多余条件）． 3．真命题为（1）、（3）．
理由是（1）若△ABC ∽△A ′B ′C ′， 它们的相似比为k ，（•k ≠0）则
''''''
AB BC CA
A B B C C A ==
=k ， △ABC 的周长为AB+BC+CA ，△A ′B ′C ′的周长为A ′B+B ′C ′+C ′A ′，• 又AB=A ′B ′k ，BC=B ′C ′k ，CA=C ′A ′k ．由周长相等，得k=1， 所以AB=A ′B ′，BC=B•′C ′，CA=C ′A ′， 所以△ABC ≌△A ′B ′C ′．
（2）是假命题，可举反例 若△ABC ∽△A ′B ′C ′，
设AB=1，BC=2，
A ′
B ′
B ′
C ′
C ′A ′=2， 虽然有两组边长相等，但它们显然不全等． （3）不等边△ABC 中，不妨设a>b>c ，
若△A ′B ′C ′与△ABC 相似，则a 、b 、c
==
a=b=c 与△ABC 是不等边三角形矛盾，
A ′
B ′
C ′一定不能与△ABC 相似． （如果△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，
A ′
B ′
C ′由,
,.a b c b c a c a b +>⎧⎪
+>⎨⎪+>⎩
可证,,.a b c b c a c a b ⎧++>⎪⎪++>⎨⎪++>⎪⎩
即>>>）。