江苏省2019高考数学二轮复习专题三解析几何3.3大题考法_椭圆讲义含解析201905231172

第三讲 大题考法——椭圆

题型(一) 直线与椭圆的位置关系

主要考查直线与椭圆的位置关系及椭圆的方

程、直线方程的求法.

[典例感悟]

[例1] 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b

＞0)的离心率为

2

2

，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；

(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，

C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．

[解] (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2

c

＝3，

解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 2

2

＋y 2

＝1. (2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．

当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2

)x 2

－4k 2

x ＋2(k 2

－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2

±21＋k

2

1＋2k

2

，

C 的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪

⎫2k 2

1＋2k 2，－k 1＋2k 2，

且AB ＝x 2－x 1

2

＋y 2－y 1

2

＝

1＋k

2

x 2－x 1

2

＝221＋k 2

1＋2k

2

.

若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k

1＋2k 2

＝－1k ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －2k 2

1＋2k 2，

则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫－2，5k 2

＋2k 1＋2k 2， 从而PC ＝

2

3k 2＋11＋k

2

|k |1＋2k

2

. 因为PC ＝2AB ， 所以

23k 2

＋1 1＋k 2

|k |1＋2k 2＝421＋k

2

1＋2k

2

，

解得k ＝±1.

此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.

[方法技巧]

解决直线与椭圆的位置关系问题的2个注意点

(1)直线方程的求解只需要两个独立条件，但在椭圆背景下，几何条件转化为坐标的难度增加，涉及到长度、面积、向量等．

(2)直线与椭圆的位置关系处理需要通过联立方程组来处理，联立方程组时要关注相关的点是否能够求解，不能求解的可以用根与系数的关系来处理．

[演练冲关]

1．(2018·南通、泰州一调)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已

知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2

2

，两条准线之间的距离为4 2.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2

＝89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且

△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．

解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由题意得c a ＝22，2a

2

c

＝42，

解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝ 2. 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2

2

＝1.

(2)法一：(设点法)因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以M 为AB 的中点． 因为椭圆的方程为x 24＋y 2

2＝1，所以A (－2,0)．

设M (x 0，y 0)(－2

0＝89

，①

2x 0＋22

4

＋

2y 02

2

＝1，②

由①②得9x 2

0－18x 0－16＝0， 解得x 0＝－23或x 0＝8

3(舍去)．

把x 0＝－23代入①得y 0＝±2

3

，

所以k AB ＝±12，因此直线AB 的方程为y ＝±1

2(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.

法二：(设线法)因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以M 为AB 的中点．

由椭圆方程知A (－2,0)，设B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋2)．

由⎩⎪⎨⎪⎧

x 24＋y 2

2＝1，

y ＝k x ＋2，

得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2

－4＝0，

所以(x ＋2)[(1＋2k 2)x ＋4k 2

－2]＝0， 解得x B ＝2－4k 2

1＋2k 2.

所以x M ＝

x B ＋－2

2＝－4k 2

1＋2k

2， y M ＝k (x M ＋2)＝

2k

1＋2k

2， 代入x 2

＋y 2

＝89，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2

1＋2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1＋2k 22＝89，

化简得28k 4

＋k 2

－2＝0，

即(7k 2＋2)(4k 2

－1)＝0，解得k ＝±12，

所以直线AB 的方程为y ＝±1

2(x ＋2)，

即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.

2.(2018·南师附中调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，右准线

l 方程为x ＝4，右焦点F (1,0)，A 为椭圆的左顶点．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设点M 为椭圆在x 轴上方一点，点N 在右准线上且满足AM ―→·MN ―→＝0且5|AM ―→

|＝2|MN ―→

|，求直线AM 的方程．

解：(1)∵a 2

c

＝4，c ＝1，