全纯函数的正规族
涉及导数和分担值的全纯函数的正规定则
第３ ２卷 第 ５期
２ ０ １ ３年 ９月
许 昌 学 院 学 报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＸＵＣＨＡＮＧ ＵＮＩ ＶＥＲＳ Ｉ ＴＹ
Ｖｏ １ ．３ ２． ＮＯ ．５
Ｓ ｅ ｐ． ２ ０１ ３
文章 编 号 ： １ ６ ７ １— ９ ８ ２ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５—０ ０ ０ ９— ０ ３
（ ｚ ）
ｈ （ ｚ ） ｊ Ｉ ． “”（ ｚ ） ｌ ≤ｃ （ ｃ为正数 ） ， 贝 ４ Ｆ在 Ｄ上 正规 ．
关 键词 ： 全 纯 函数 ； 正规族 ； 导数 ； 分 担 值
中图分 类号 ： ０ １ ７ ４ ． ５ ２
文献标 识 码 ： Ａ
Ｗ． Ｓ ｃ ｈ ｗ ｉ ｃ ｋ首 先 发现 了亚纯 函数 导 函数 和分担 值 与正规 定则 之间 的联 系 ， 证 明 了如 下 的定理 １ ． 定理 １ … 设 Ｆ为 区域 Ｄ 内的一族 亚纯 函数 ， ｏ ． ， Ⅱ ， ０ ， 为 三个 互 相 判别 的复 数 ， 若对任意ｆ （ ｚ ）∈Ｆ， ｚ ） 与 厂（ ｚ ） 在 Ｄ 内 埘 分担 。 ， 。 ： ， 。 ， ， 则 Ｆ在 Ｄ 内正规 ． 后来 ， 庞 学诚 和 Ｚ ａ ｌ ｃ ｍａ ｎ Ｌ改进 了定理 １ ， 证 明 了如下 的定理 ２ ． 定理 ２ ［ ２ 设 Ｆ为 区域 Ｄ 内的一 族亚 纯 函数 ， 。 ， ｂ为两个 互相判 别 的复数 ， 若对 任 意ｆ （ ）∈Ｆ， ｆ （ ） 与 ， ｖ （ ｚ ） 在 Ｄ内 Ｉ Ｍ 分担 ｎ ， ６ ， 则 Ｆ在 Ｄ 内正规． 后来 ， 方 明亮和 Ｚ ａ ｌ ｅ ｍ ａ ｎ Ｌ ， 叶 亚盛 和庞学 诚得 到 了如下 的定 理 ３ ．
关于全纯函数的正规定则
关于全纯函数的正规定则
全纯函数（pure function）是函数式编程中的一个重要概念，也是一种编程范式，它所遵循的正规定则包括：
（1）不可变性（Immutability）：全纯函数的输入变量不可以修改，每个函数都会创建一个新的输出变量。
因此，全纯函数的运算结果仅仅依赖于它的输入变量，对于同一个输入变量，即使在不同的时刻调用，函数的运算结果也是一致的。
（2）幂等性（Idempotence）：全纯函数的输出是确定的，因此调用全纯函数多次，其运行结果和调用一次的结果是一致的，也就是说，全纯函数是幂等的。
（3）同构性（Isomorphism）：全纯函数在任何情况下，其输入和输出都是同构的，即相同的输入总是能够获得相同的输出。
（4）缺省安全（Default Safety）：全纯函数允许使用nil或者空值作为输入，而不会报错或者出现其他异常。
（5）独立性（Independent）：在没有其他函数的辅助作用下，全纯函数是完备的，它可以自行完成它所要实现的功能，也就是说，它只依赖于它的参数输入和自身而不依赖外部状态。
由于全纯函数遵循了上述五个正规定则，诸如保证了程序的正确性，减少了编程时的复杂性、增加了程序的可测试性等等，因此，它在函数式编程中受到了广泛的应用。
分担值与正规族
第 ６期
王晓 晶： 分担值与正规族
４７ ７
（ ）正数列 ， ： 一 ０ 使得 ｄ ， ｎ ， 丛
ｎ
： ｇ （ 一 ｇ ） ） （
，
这里是 在 复 平 面 Ｃ 上 按 球 面 距 离 内 闭 一 致 收 敛 ， ｇ为 复 平 面 Ｃ 上 的 非 常 数 整 函 数 ， ｇ ）≤ 且 （ ｇ ０ （ ）＝ｋ ＋１这 里 ｇ ）＝ Ａ ， （ 引理 ２ ［ 为 ｇ的球 面导数 ．
域 Ｄ上恒 有 厂≠ ０ ” ≠ ｂ 则 在 区域 Ｄ 上正 规 ． ， ，
．
１ 几 个 引 理
引理 １ 设 为单位圆盘 △上的一个全纯函数族 ，ｊ ［ ３ ｜ ｝ 为正整数 ， 族中每个函数 厂 的零点重级至少 为 ｋ 且存在 Ａ ≥ １ 当 ）＝０时 ， Ｉ 曲（ ）Ｉ Ａ． ， ， 有 ≤ 如果 Ｆ在单 位 圆盘 △上不 正规 ， 则对 于 ０≤ ａ≤
ｋ 存 在 ， （ ）实数 ｒ ０＜ ｒ＜ １ ａ ： ；
（ ）点列 ：Ｉ Ｉ ｒ ｂ ｚ ＜ ；
（）函数 列 － ： Ｅ Ｆ； Ｃ 厂 ｎ
收 稿 日期 ： ０００．２ ２ １－９１
作者简介 ： 晓晶（９４ ） 男 ， 王 １７． ， 江苏东台人 ， 讲师 ， 士 ， 硕 研究方向为复分析与微分方程
．
域 Ｄ上 Ｉ Ｍ分担 ａ， ，在 区域 Ｄ上 正规 ． 则 本文 推广 了定理 Ａ和定 理 Ｂ 得 到如下 结果 ． ，
定理 １ 设 Ｆ为 区域 Ｄ 上 的一个 全纯 函数族 ， ａ为非 零 有穷 复 数 ． Ｖ． 存 在 正 数 ， 有 若 厂Ｅ Ｆ， 总 ｚ ）＝口 厂（ ｒ ）＝ ０＝ （）Ｉ 成立 ， Ｆ在 区域 Ｄ上 正规 ． ＝ Ｌｆ ≤ ＞Ｉ 则 注 １ 如 果构 造 函数 族 Ｇ ＝ ｛ ＝ｆ—ａ： ： ｇ ｆ∈ Ｆ｝由定理 １ ， 很容 易推导 定理 Ａ．
关于全纯函数与亚纯函数的正规族
第31卷 第1期河南师范大学学报(自然科学版)V ol .31 N o.1 2003年2月J ou rnal of H enan N or m al U niversity (N atu ral S cience )F eb.2003 文章编号:1000-2367(2003)01-0025-03关于全纯函数与亚纯函数的正规族Ξ范新华(江苏大学工商学院,江苏镇江,212013)摘 要:在亚纯函数上讨论函数及其k 阶导数与其正规族之间的联系,得到关于亚纯函数的一些正规定则:设F 是单位圆盘∃上的亚纯函数族,对一切f ∈F ,f 的零点至少k 级,a 1≠a 2,对f ∈F ,假如存在正数h 1,h 2,当f(k )(z )=a 1或f(k )(z )=a 2时, f (z ) Εh 1,当f (z )=0时, f(k )(z ) Φh 2,则:F 在∃上正规.最后给出了其应用.关键词:亚纯函数;分担值;正规性中图分类号:O 174.52 文献标识码:A设D 是复平面C 上的一个区域,复数a ∈C ,函数f 是D 上的亚纯函数,E f (a )=f -1({a })∩D ={z ∈D :f (z )=a },如果E f (a )=E g (a ),则说f 与g 在D 上同时分担值a ,我们用n (r ,1f)及n (r ,f )分别表示在圆 z Φr (0Φr <R )上的零点个数及极点个数(一个m 级的零点或极点算作m 个零点或极点),m (r ,f )=12Π∫02Πl og + f (re i Υ) d Υ,m (r ,f )也记为m (r ,∞),m (r ,1f -a)也记为m (r ,a ),N (r ,f )=∫rn (t ,f )-n (0,f )t d t +n (0,f )l og r ,N (r ,f )称为f (z )的极点的密指量,也记为N (r ,∞),N (r ,1f -a)称为f (z )的a -值点的密指量,也记为N (r ,a ),T (r ,f )=m (r ,f )+N (r ,f ),T (r ,f )称为函数f (z )的特征函数.N{(r ,f )表示 z Φr 上f (z )的极点的精简密指量(即不计重数),以上记号请看参考书籍[5][6].W .S chw ick [1]首先研究了分担值与正规族之间的联系,得到如下定理.定理A 设F ={f (z )}是单位圆盘∃上的亚纯函数族,a 1,a 2,a 3是三个不同复数,如果对每个f ∈F ,f 与f ′同时分担值a 1,a 2,a 3,则:F 在∃上正规.论证过程中采用了N evan linna 理论较繁琐,本文采用一种新方法来讨论亚纯函数的正规族,范新华[2]讨论了亚纯函数族的正规定则,其中有以下结论:定理1 设F 是单位圆盘∃上的亚纯函数族,Πf (z )∈F ,f (z )=0Ζf ′(z )=0,当f ′(z )=1时,f 3(z )= f ′(z ) 1+ f (z ) 2Φh ,(h 为一正数)则:F 在∃上正规.在证明过程中用到了在文献[2],[3]中的引理1:设F ={f (z )}是单位圆盘∃上的亚纯函数族,对一切f ∈F ,f 的零点至少k 级,设有A Ε1,当f (z )=0时, f(k )(z ) ΦA ,则:若F 不正规,对一切0Φ5Φk ,有:a )一个正数r ,0<r <1b )一点列z n , z n <r ,c )函数列f n ∈F ,d )a n →0,使得:g n (Ν)=f n (z n +a n Ν)a nk→g (Ν),这里g 是非常数亚纯函数,且g 3(Ν)Φg 3(0)=kA + 1.但这些结论都是讨论函数及一阶导数取值与其正规族之间的关系,局限性很大,本文采用新方法探讨函Ξ收稿日期:2002-10-04.基金项目:国家自然科学基金资助.作者简介:范新华(1970～),男,江苏扬中人,江苏大学工商学院在读博士.数及其k 阶导数取值与其正规族之间的联系,得到关于亚纯函数族的一些正规定则,推广文献[1][2][3]中的有关结论.1 主要结论定理2 设F 是单位圆盘∃上的亚纯函数族,对一切f ∈F ,f 的零点至少k 级,复数a 1≠a 2,对f ∈F,假如存在正数h 1,h 2,当f (k )(z )=a 1或f (k )(z )=a 2时, f (z ) Εh 1,当f (z )=0时, f (k )(z ) Φh 2,则:F 是∃上的正规族.定理3 设F 是单位圆盘∃上的亚纯函数族,复数a 1≠a 2,复数b 1≠b 2,b 1≠0,b 2≠0,对一切f ∈F ,当f ′(z )=a 1时,f (z )=b 1,当f ′(z )=a 2时,f (z )=b 2,当f (z )=0时, f ′(z ) Φh ,则:F 是∃上的正规族.2 定理证明定理2的证明过程如下:假设F 不正规,由引理1知,存在: a ) 正数r ,0<r <1, b ) 点列z n , z n <r , c ) 函数列f n ∈F , d ) 正数Θn →0,使得:g n (Ν)=f n (z n +Θn Ν)Θnk→g (Ν),(在C 的紧子集上按球面距离一致收敛),且g (Ν)是非常数亚纯函数,g 3(Ν)Φg 3(0)=k ( a 1 + a 2 +h 2+1)+ 1.显然g (Ν)的所有零点至少k 级,下面用反证法证明g (k )(Ν)≠a 1,如果ϖΝ0,使g (k )(Ν0)=a 1,下分两种情况证明:1)如果g (k )(Ν)≡a 1,则g (Ν)是一个其次为k 的多项式函数,g (Ν)的零点级数至少k 级,g (Ν)=a 1k !(Ν-Ν1)k ,则g3(0)=k (k !) a 1 Ν1k -1(k !)2+ a 1 2 Ν12k Φk a 1 Ν1 Φ1k2 Ν1 >1,这样g 3(0)<k ( a 1 + a 2 +h 2+1)+1,得到矛盾.2)如果g(k )(Ν)a 1,则存在点Νn ,使li m n →∞Νn =Ν0,n 充分大后,g n(k )(Νn )=fn(k )(z n +Θn Νn )=a 1,由已知条件知,f n (z n +Θn Νn ) Εh 1,于是li m n →∞g n (Νn ) =li m n →∞f n (z n +Θn Νn ) Θn kΕli m n →∞h 1Θnk =∞,g (Ν0)=∞与g (k )(Ν0)=a 1发生矛盾,故g (k )(Ν)≠a 1,同理g (k )(Ν)≠a 2.文献[4]中有如下定理4:设f (z )是复平面C 上的非常数亚纯函数,令((a ,f )=1-li m r →∞N {(r ,1f -a)T (r ,f ) a ≠∞1-li m r →∞N {(r ,f )T (r ,f ) a =∞则∑z ∈C ((a ,f )+((∞,f )Φ2,对g (k )来说,g (Ν)的零点级数至少k 级,g (Ν)的k 级以上零点,在N (r ,g (k ))中,至少计算k 次以上,但在N {(r ,g (k ))中,只能计算一次,T (r ,g (k ))>N (r ,g (k )),我们有:((∞,g (k ))=1-li m r →∞N {(r ,g (k ))T (r ,g (k ))Εk k +1,再由g (k )(Ν)≠a 1,g (k )(Ν)≠a 2,我们可得到:((a 1,g (k ))+((a 2,g (k ))+((∞,g(k ))=2+k k +1>2,这就与定理4矛盾.因此F 是∃上正规族.在定理2中,取k =1,b 1=h 1,h 2=h ,由定理2成立可知定理3成立.另外,我们还可以得到下列结论:推论1 设F ={f (z )}是单位圆盘∃上的亚纯函数族,f 的所有零点至少k 级,复数a 1≠a 2,Πf ∈F ,f (z )≠0,f (k )(z )≠a 1,f (k )(z )≠a 2,则:F 是∃上的正规族.推论2 设F ={f (z )}是单位圆盘∃上的亚纯函数族,f 的所有零点至少k 级,Πf ∈F ,f (z )≠0,0<f(k )(z )<1,则:F 是∃上的正规族.文献[2]中有推论3:Πf ∈F ,f (z )≠0,0<f ′(z )<1,则:F 是∃上的正规族.显然本文的推论2是推论3的一种推广.62河南师范大学学报(自然科学版) 2003年3 应 用例(1) 设F ={f (z )}={7ne z }是全纯函数族,Πf ∈F ,f (z )≠0,且当f ′(z )=7ne z=1或f ′(z )=2时, f (z ) Ε1,故由定理2知F 在∃上正规例(2) 设F ={f (z )}={e 5z n }是全纯函数族,Πf ∈F 因为f (z )=e 5z n ≠0,且当f ′(z )=e 5z n 5n=1或f ′(z )=2时, f (z ) Ε15,故由定理2可知F 在∃上正规.参 考 文 献1 W ilhel m Schw ick .Sharing values and no r m ality [J ].A rch M ath .1992,59:50～542 范新华.关于亚纯函数族的几个正规定则[J ].青岛大学学报(自然科学版),2002,(1):14～173 Pang Xuecheng ,L aw rance Zalc m an .N o r m al fam ilies and shared values [C ].Bar 2Ilan U n iversity p rep rin t no .B ium cs 98 23.19984 W .K ..H aym an M eromo rph ic functi on s [M ].O xfo rd U n iversity P ress ,L ondon ,19645 顾永兴.亚纯函数的正规族[M ].成都:四川教育出版社,19916 杨 乐.值分布论及其新研究[M ].北京:科学出版社,1988Severa l Nor ma l Cr iter i a of M ero m orph i c Functi on sFAN X in 2hua(J iangsu U niversity ,Zhenjiang ,212013,China )Abstract :In th is paper w e discuss the relati on fo r no r m alities betw een functi on s and their k o rder derivative ,and w e obtains om e no r m al criteria of the fam ily of m eromo rph ic functi on s .L et F be the fam ily of theM eromo rph ic functi on s on the un it disc ,Πf ∈F ,all of w ho se zero s on the m ulti p licity at least k ,a 1≠a 2,Πf ∈F .If there ex ist po sitive num bers h 1,h 2such that fo r Πf ∈F , f (z ) Εh 1,w henever f(k )(z )=a 1o r f(k )(z )=a 2, f(k )(z ) Φh 2w henever f (z )=0,then F is no r m al on the un itdisc.Key words :m eromo rph ic functi on s ;shared values ;no r m ality72第1期 范新华:关于全纯函数与亚纯函数的正规族。
全纯函数和整函数的正规族
Ｎｏ ｍ ａ ｍ ｉｉ ｓ ｏ ｌ ｍ ｏ ｐｈ ｃ Ｆｕ ｔｏ ｓ ａ ｉｒ ｒ ｌＦａ ｌｅ ｆ Ｈｏ ｏ ｒ ｉ ｎｃ ｎ ｎｄ Ｅｎｔ ｅ Ｆｕｎ ｔｏ ｉ ｃ ｎｓ ｉ
ＦＡＮ ｎ— ｕａ ｘｉ ｈ
（ ｈｎ ｚｏ ｏｍａ Ｃ ｌ ｇ 。 ｈ ｎ ｚｏ ｉ ｇｕ２ ２ ， ｈｎ ） Ｃ ａ ｇｈ ｕＮ ｒ ｌ ｏｌ ｅ Ｃ ａ ｇｈｕＪ ｎ ｓ ０ ２ Ｃ ｉａ ｅ ａ １ ３
ｇ ） 这 里 ｇ ） Ｃ上 非 常数 亚 纯 函数 ， ｇ ） （ ， （ 是 且 （ ≤ｇ‘ ０ （ ）＝Ａ＋１ 。
此方 法从 反 面 出发 讨论 了亚 纯 函数族 不 正 规 的情 形 ， 具有 一 定新 意 。
郑建 华在 文 献 ［ ］ ３ 中讨论 了全 纯 函数 族 的正 规性 ， 以下 结论 。 有 引理 ２ 在 Ｄ上 ， ｛ ｚ ］ ＥＦ｝ 若 ） Ｉ 正规 ， Ｖ （ ）ＥＦ， （ ） ＜１时 ． Ｆ在 Ｄ上 也 正 规 。 且 ｆｚ Ｉ ０ Ｉ ｆ 则 该结 论 的重 要性 在 于揭 示 了 ｛ ） 和 ｛ ／ ） ｆ∈Ｆ｝ 正 规族 之 间 的关 系 ， 文 献 ［ ］ ｝ （ ］Ｉ 的 且 ３ 中指 出将 条 件
Ａ ｓ ａｔＩ ｉ ｐｐ ｒｔ ｕｈ ｒ ｉ ｕｓｓ ｈ ｌｔ ｎｏ ｏｍａ ｔ ｓ ｅ ｅｎ Ｉ ： ｌａ ｄ Ｉ（（ ） ｌ ａｄｏ ｔ ｎ ｏ ｅ ｂｔ ｃ ： ｔ ｓ ａ ｅ。 ｅａ ｔｏ ｄｓ ｓｅ ｅｒ ａ ｏ ｆ ｒ ｌｉ ｔ ｅ ｒ ｎｈ ｈ ｃ ｔ ｅ ｉ ｎ ｉｅ ｂ ｗ ） ｎ ｆｆ ： ） ，ｎ ｂａ ｓｓｍ ｉ ｎｒ ａ ｃｉ ｒ ｆｈ ｍｉ ｆ ｏ ｍｏｐ ｉ ｆｎｔ ｎ ｎ ｎｉ ｎ ｔ ｎ． ｅ ｏｍ ｌ ｒｅｉ ｏ ｅｆ ｌ ｏ ｌ ｒｈｅ ｕ ｃｏ ｓａｄｅｔｅｆ ｃ ｏｓＬ ｔ ｔ ａ ｔ ａ ｙ ｈｏ ｉ ｒ ｕ ｉ Ｆ＝Ｉ（ ） ｍｉ ｆ ｎｉ ｕｃｉ ｓ ｆ ： ｌｈａｆ ｌ ｏ ｔｅｆｎ ｔｎ ， ａ ｙ ｅ ｒ ｏ
涉及复合函数分担条件的全纯函数正规族
涉及复合函数分担条件的全纯函数正规族1 引言全纯函数在复分析中扮演着重要的角色，其中正规族的概念是一个重要的话题。
正规族指的是满足良好条件的全纯函数的集合，具有很好的性质和应用价值。
本文将介绍一种特殊的正规族，即涉及复合函数分担条件的全纯函数正规族。
2 复合函数分担条件在讨论涉及复合函数分担条件的正规族之前，我们需要先了解什么是复合函数分担条件。
第一个复合函数分担条件是由Osgood于1903年提出的。
具体地说，若f(z)和g(z)是两个互不恒等的整函数（即在复平面上有无限个极点），则称f(z)共享g(z)的值分布，如果存在无限多的z，满足f(z)=f(w)和g(z)=g(w)。
简单来说，这个条件要求两个函数有无限个点具有相同的函数值。
后来，F. Nevanlinna等人进一步研究了该条件，并提出了更深入的理论。
3 复合函数分担条件的应用复合函数分担条件在复分析中有着广泛的应用。
一些经典的定理，如Picard定理和Littlewood定理，都涉及这个条件。
此外，在数论中，类似的条件在L-函数研究中也有应用。
4 复合函数分担条件的正规族基于复合函数分担条件，我们可以定义一种特殊的正规族。
具体地说，我们称一族全纯函数F={f(z)}为满足复合函数分担条件的正规族，如果对于任意两个函数f(z)和g(z)在复平面上有无限个点共享函数值时，它们都属于正规族F中的某一个函数的超越值。
在研究这一正规族的性质之前，我们先来看几个例子。
a) 设f(z)=e^z和g(z)=e^(z^2)，则f(z)和g(z)有无限个点共享函数值。
因此，可以将它们放在同一个正规族中。
b) 设f(z)=sin(z)和g(z)=sin^2(z)+cos^2(z)=1，则f(z)和g(z)没有任意两个点共享函数值。
因此，它们不属于任何一个正规族。
通过以上例子，我们可以看出，该正规族的定义是十分严格的，符合此条件的函数集合非常有限。
5 涉及复合函数分担条件的正规族的性质涉及复合函数分担条件的正规族具有很多有趣的性质。
关于全纯函数的正规定则
每一个 函数 ｆ∈ Ｆ ， ｆ一１＿ ≠ ｂ， Ｆ在 Ｄ 内正 规 ． ＿ 厂（ ） 厂 则 在 同一篇 文 章里 ， 者 进一 步考 虑分 担值 的 正规族 问题 ， 到 ： 作 得 定 理 Ｃ 设 Ｆ为 区域 Ｄ 内的全纯 函数 族 ， （ １ 为 一正 整数 ， ［ 凡 ≥ ） ｂ为一有穷 复 数． 如果 对 Ｆ中的 任 意 ２个 函数 ／和 ｇ， Ｄ内 ｌ ｆ一１厂 与 ｇ （ 在 厂（ ） ｇ一１厂 都 以 ｂ为公共 值 ， Ｆ在 Ｄ 内正规 ． ） 则 本文 考虑 把 ＿ ｆ一１厂 换 成 厂（ 一１厂 的情 形 ， 到 ： 厂（ ） 尸 ） 得 定 理 １ 设 ｚ ）为超越 整 函数 ， （ ２ ， 为 ３个非 负整 数且 厂（ 一１厂 ≠ １， ｆ为常数 ． 凡 ≥ ）ｍ 尸 ） Ｎ
纯 函数族 ， （ １ 、 ≥ １ 凡 ≥ ） ｍ（ ）为 ２个 正整数 ， ｂ为有 限常数 ． 果 对 Ｆ 中的任 意 ２个 函数 ｚ 如 ） 和ｇｚ （ ）有 ＿ 厂 一１厂 与 ｇ （ 一１ ｇ 在 Ｄ 内都 以 ｂ为公共 值 ， Ｆ在 Ｄ 内正 规． 厂（ ） ｇ ） 则 ［ 关键 词 ］ 亚纯 函数 ； 正规 族 ； 分担值 ［ 中图分类 号 ］ １４ ５ ［ ０ ７ ．２ 文献 标识 码 ］ ［ Ａ 文章 编号 ］６ ３～８ １ （ ０ ８ ０ ０ １ ０ １７ ０ ２ ２ ０ ） ３— ０ ９— ３
意 ２个 函数厂和 ｇ， Ｄ 内＿ 厂 一１厂 与 ｇ （ 一１ ｇ 都 以 ｂ为公共 值 ， Ｆ在 Ｄ 内正规 ． 在 厂（ ） ｇ ） 则 显然 ， 当点集 Ｓ ＝ ｛ ＿ 厂 一１厂 一ｂ＝０ ∈ Ｆ， ｚ 厂（ ｌ ） ｚ∈Ｄ｝＝ 时 ， 理 ３即为定理 ２ 定 ．
２ 主要 引理
根 据 Ｂｏｈ原理 有 ： ｌ ｃ 定 理 ２ 设 Ｆ为 区域 Ｄ 内的全纯 函数族 ， （ １ 凡 ≥ ）为一 正 整数 ， ｂ为一 有穷 复数 ． 如果 在 Ｄ 内对 每
涉及分担函数的全纯函数的正规族
涉及分担函数的全纯函数的正规族李运通;尚海涛;黄小杰【摘要】主要研究了涉及分担函数的全纯函数的正规定则.雷春林,杨德贵和方明亮等证明了在亚纯函数族中,函数的零点至少为k+1重,且对任意一个函数与其k(≥2)阶导数分担一个全纯函数,则该函数族正规.本文利用Zalcman-Pang方法,证明了全纯函数在k=1的情况.设a(z)(≠0),b(z)(≠0)为区域D内的两个全纯函数,F是区域D内的全纯函数族,其若对族中每一个函数f,f的零点均为重级,且f=a(z)(→)f'=b(z),则F在D内正规.【期刊名称】《西华师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(040)003【总页数】4页(P292-295)【关键词】正规族;全纯函数;亚纯函数;分担函数;零点【作者】李运通;尚海涛;黄小杰【作者单位】陕西铁路工程职业技术学院基础课部,陕西渭南714000;华东交通大学理工学院基础学科部,南昌330100;南昌工程学院理学院,南昌330099【正文语种】中文【中图分类】O174.520 引言设F为区域D内的亚纯函数族。
如果从F中任一函数序列{fn(z)}(n=1,2,…)均可以选出一个子序列{fnk(z)}在区域D上按球面距离一致收敛为一个亚纯函数或者恒为无穷，则称F在区域D内正规。
设f与g为平面区域D上两个非常数的亚纯函数，a,b为有穷复数，当f(z)=a时，必有g(z)=b，记为f(z)=a ⟹g(z)=b。
如果f(z)=a ⟹g(z)=b和g(z)=b ⟹f(z)=a，则记为f(z)=a ⟹ g(z)=b，即表示f-a与g-b的零点相同[1-2]。
方明亮和Zalcman L.在文献[3]中证明了：定理1[3] 设F是区域D内的亚纯函数族，a,b是两个非零有穷复数，k是一个正整数。
若对于F中的任意函数f，f的零点的重数至少为k+1， f(z)=a ⟹ f(k)(z)=b，则F在D内正规。
全纯函数和它的线性微分多项式分担有穷值的正规族
第 ２期
刘 志宏 ， 李迎春 ： 全纯 函数和 它的线性微 分 多项式分担有 穷值的正规族
１ １
［ ６ ］ ， ［ ７ ］ 等） ．
定义 １ 设 ｋ １２ ＞ 是 一正整 数 ， ． 厂 是 一亚 纯 函数 ， 我们称 Ｌ ［ ｆ ］ ＝ ０ ” ＋ …＋ ｎ ＋ ｎ （ １ ）
１ 引 言及 主 要 结果
设 ） 和ｇ （ ｚ ） 是 亚 纯 函数 ， ａ ， ｂ是 两
） ＝ ａ Ｃ ： ￣ ｇ （ ｚ ） ＝ａ ， 我们就说 ） 和ｇ （ ｚ ） 分
担 ａ ．
个 复数 ， 若ｆ （ ｚ ） ＝ａ ， 则ｇ （ ） ＝ｂ ， 我 们记 作 ） Ｗ － ａ ｇ （ ） ＝ｂ ． 若ｆ （ ） ＝ａ当且 仅 当 ｇ （ ｚ ） ＝ｂ ， 则 记作 ｆ （ ） ＝ａ ｃ ＝ ￣ ｇ （ ） ＝ｂ ． 如 果
亚纯 函数族 的正规 性是 复分 析 的重要
课题之 一 ， 国 内外 许 多学 者 对 这方 面 的 问
题进 行 了深 入 地研 究 （ 见文献 ［ ３ ］ ， ［ ４ ］ ，
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ — ０ ３ — １ ０
基金项 目： 云南省科技厅科研基金资助项 目（ ２ ０ １ ０ Ｚ Ｃ １ ５ ０ ） ； 红河学 院一类重点课程建设项 目（ Ｚ Ｄ Ｋ Ｃ １ ０ ０ ３ ） 作者简介 ： 刘志宏 （ １ ９ ７ ８ 一） ， 男， 湖南邵 阳人 ， 讲师． 研究方 向： 亚纯函数值分布论 ， 单叶调和映射．
我们举 例来说 明．
例： 设 Ｆ＝｛ ｉ ｎ ｝ 是单 位 圆盘 △ 内全 纯 函
数族 ， 考虑 函数
（ ） ＝￣ ｌ ｚ （ ｅ ＋ ｅ － ｎ Ｚ ＿ ２ ） ＝ １ ｅ 一 （ ｅ 一 １ ）
与分担值相关的全纯函数的正规性
定理 １ 设 Ｆ是 区域 Ｄ上的全纯函数族 ， 若对于任意 的
厂ＥＦ 的零 点重级 ≥ ＋ ， 有 Ｌ ）ｚ １且 ０ ＿ ） １则 Ｆ在 Ｄ内 ＝，
Ｐ
收 稿 时 间 ：０ ２ ０ — ０ ２ １—３２
作者简介 ： 克笑（ ９ ３ ）男 ， 刘 １７ 一 ， 湖南辰 溪人 ， 怀化学院预科部讲师 ， 士 ， 硕 主要研究方向为复分析
这里 ｇ（） ＿ ＿ ＝ 点＿ ［
１ （ ＋ｌ ）Ｉ ｇ
称为 甙 ） 的球面导数 。
定理 Ｂｎ 设 Ｆ是 区域 Ｄ上的一族 亚纯函数 ， ，， ， ｒ ａ ｂ Ｃｄ
引理 ２ 设 厂 旧 是一个有穷级超越亚纯 函数， 是正整 Ｊ ｝ 数 ，（ ） ≠０ 是多项式， ． Ｐｚ（ ） 若厂 的零点重级均大于等于 ｋ ｌ ＋， 则 厂 （ ）Ｐ 有无穷多个零点． ｚ一 （） 引理 ３ 设 ｋ是正整 数， 是零 点重级 ≥ ＋ ． 厂 １的有 穷级
第 ３ ３卷 第 ３期
２１ ０ ２年 ５月
喀 什 师 范 学 院报
Ｊ ｕ ａ ｆ ｓ ｇ ｒＴ ａ ｈ ｒ ｏ ｅ ｅ ｏ ｒ ｌｏ ｈ ａ ｅ ｃ ｅｓＣ Ｈ ｇ ｎ Ｋａ
Ｖｏ ．３ ＮＯ３ １３ ． Ｍ ａ ０１ ｖ２ ２
与分担值相关的全纯函数的正规性
刘 克 笑 ，张 华 云
全 纯 函 数 ， 厂 （） １ 解 ． 则 ∞ ＝ 有
是有穷复数且满足 ａ ， ≠ｄ 若对 于任意 的， Ｆ ＝ ＃ｃ ｂ ， ∈ √ ）ｎ
）６ ）ｃ ： ＝ ＝ Ｇ ： ， Ｆ在 Ｄ内正规 ． ）ｄ 则 后来 ， 张国明、 孙伟 和庞 学诚 在［】 明了： ３中证 定理 Ｃ 设 ｋ１２是一个整数 ， 区域 Ｄ上 的亚 纯函 ＞ Ｆ是 数族 ， 若对于 Ｆ中的任 意函数 厂．的极点 重级 和零点重级均 ， 厂
关于全纯函数分担值的正规族一点注记
关于全纯函数分担值的正规族一点注记刘礼培*1（重庆文理学院数学与统计学院,重庆永川,402160）摘要：研究了全纯函数分担值时的正规族问题，得到了：设F 是区域D 内全纯函数族,()2n ≥是正整数,()()0,,a b ≠∞≠∞为复常数, 对任意的f F ∈，f 的零点重级至少为3，如任意的,f g F ∈有()'nf a f+和()'ng a g+分担值b ，则F 在区域D 内正规．关键词：全纯函数；正规族；分担值[中图分类号] O174.52, [文献标识码] A设D 是复平面上一区域，F 是区域D 的函数族，如果对任意的函数列n f F ∈，存在子列j n f F ∈内闭一致收敛到一亚纯函数或∞，则称F 在区域D 上正规。
自从W.Schick 证明函数与其一阶导数分担三个不同复常值时函数族正规的结论以来，已经得到了一系列的关于函数分担值的正规定则[2，4，6，7]．在1959年,文献[1]证明了：定理A [1]：()f z 为一超越亚纯函数，a 为一非零复数，()5n ≥为一正整数，则'nf af +取任意有限复数无穷多次．相应于定理A,文献[2]证明了如下定理．定理B [2]：设F 是区域D 内一亚纯函数族，()4n ≥是正整数，()()0,,a b ≠∞≠∞是两个复常数，如果对任意,f g F ∈有'n f af -和'ng ag -分担b ，则F 在区域D 内正规．考虑与定理A 类似的问题，在2008年,文献[3]证明了：定理C [3]：()f z 为一超越亚纯函数,a 为一非零复数，()2n ≥为一正整数,则()'nf a f+取任意有限复数无穷多次．一个很自然的问题，是否有与定理C 相对应的分担值时的正规定则？这里，我们就全纯函数讨论了这个问题，得到了：定理1：设F 是区域D 内的全纯函数族，()2n ≥是正整数，()()0,,a b ≠∞≠∞对任意的f F ∈，f 的零点重级至少为3，如任意的,f g F ∈有()'nf a f +和()'ng a g+分担值b ，则F 在区域D 内正规．例1：设{}n F f =，这里的()3n f z nz =，显然F 在单位圆∆内不正规，但对任意的z ∈∆，有()'m m f a f +=()23mzz a +，所以有()'nf a f +和()'ng a g+分担0（这里取1/3a <）．说明2n ≥是必要的． 1、引理为了证明我们的结论，我们需要下述引理．*基金项目：重庆市教育委员会科学技术研究项目（KJ101201）； 作者简介：刘礼培（1980—），男，江西萍乡人，副教授，主要从事复分析研究引理1[4]：设F 是单位圆盘∆上的亚纯函数族，k 是正整数，对于每个f F ∈，()f z 的所有零点的重数至少为k ．存在一个数1A ≥，使得f F ∈且0f =时，()()k f z A ≤．如果F 在∆不正规，则对0k α≤≤，存在（１）一个数()0,1r ∈；（２）复数列,n n z z r <；（３）函数列n f F ∈；（４）正数列0n ρ+→使得()()()n nn n n g f z g αζρρζζ-=+→关于按球面度量局部一致收敛于C 上的非常数的亚纯函数，其零点的重数至少为k ，且()()##01g g kA ζ≤=+．注：在引理１中，如果0k α≤<，则对()kf 的假设可以取消．引理2[5]：设()f z 是复平面上的超越亚纯函数，k 是一正整数，如果()f z 的零点重级至少为３，则()()kf z 取任一非零常数无穷多次．2、定理的证明定理的证明：假设F 在区域D 内不正规，则至少存在0z D ∈使得F 在0z 不正规，不失一般性，不妨设00z =．分两种情况讨论情形１：0b =．令1nn α=-，由引理１，存在实数()1r r <，点列()0m m z z r →<，正数列0m ρ+→和函数列m f F ∈使得()()1n n m mm m m g f z ξρρξ--=+按球面距离一致收敛于复平面上的非常数整函数g ，其级至多为１且零点重级至少是３．分三种子情形来讨论： 情形1.1：()'0ng a g+≡．由定理３知道，g 不可能为超越整函数，否则()'ng a g +取其他任意非零有限复数无穷多次．则g 为多项式函数，又g 的零点重级至少是３，设deg g l =，则3l ≥．又因为()'0ng a g+≡，则有()1l n l -=，得到111l n =+-，即2l ≤，矛盾．情形1.2：()'0ng a g +≠．所以0g ≠．由于g 是整函数，所以有h g e =，h 为整函数．则()'0nhnh e a he +≡，从而()()1'nn h h e -为常数，考虑这与2n ≥，()()1'nn h h e -不可能为常数，矛盾．情形1.3：至少存在一点使得()'0ng a g+=．我们可以断定()'0ng a g+=只有一个零点．否则，假设存在两个不同的零点0ξ和*ξ，且当()0δ>充分小时，有()()*00,,D D ξδξδ=∅，这里(){}00,|D ξδξξξδ=-<和(){}**00,|D ξδξξξδ=-<． 因为()()()''1n n nn m mmm m g a gf a f ρ--+=+一致收敛到()'ng a g +，由Hurwitz ’s 定理，存在点列()()**00,,,j j D D ξξδξξδ∈∈，当j 充分大时有()()()'0nj j j j jj j j f z a f z ρξρξ+++= ()()()*'*0njjj jjjj jf z a f zρξρξ+++=又由条件函数族中的任意函数对()'nf a f+和()'nh a h+分担b ，知对任意的正整数l 有：()()()'0nl j j j l j j j f z a f z ρξρξ+++= ()()()*'*0nljj jljj jf z a f zρξρξ+++=固定l ，令j →∞，有0j j j z ρξ+→，*0j j j z ρξ+→，则()()()'000nl l f a f +=，由于()'nl l f a f +的零点没有聚点，所以0j j j z ρξ+=，*0j j j z ρξ+=，从而jj jz ξρ=-，*jj jz ξρ=-．由()()**00,,,j j D D ξξδξξδ∈∈，得到()()*00,,D D ξδξδ≠∅，矛盾．所以()'ng a g+有且仅有一个零点，不妨设为0ξ，由于g 零点重级至少是３，则g 也至多有一个零点．由定理C 知，g 为非常数多项式函数，所以g 存在零点．得到()()03lg A l ξξ=-≥．代入得()()()()'1001nlnl n ln n g a g A aA l ξξξξ---+=-+-由1nl n l --≥，显然()'ng a g+至少有两个零点，矛盾．情形２：0b ≠．由引理１，存在函数列m f F ∈，实数()1r r <，点列()0m m z z r →<，正数列0m ρ+→使得()()1m m m m m g f z ξρρξ-=+按球面距离一致收敛于复平面上的非常数整函数g ，其级至多为１且零点重级至少是３．分三种子情形来讨论：情形2.1：()'0na gb -≡．则g 为多项式函数且次数至多为１，与g 零点重级至少是３，矛盾．情形2.2：()'0na gb -≠．设12,n c c c 是n bw a=()2n ≥的不同根，所以有'i g c ≠ ，由Picard 定理，'g 为常数，则g 为多项式函数且次数至多为１，与g 零点重级至少是３，矛盾．情形2.3:()'0na gb -=有解．我们可以断定()'na gb -有且只有一个零点．否则，假设存在两个不同的零点0ξ和*0ξ，且当()0δ>充分小时，有()()*00,,D D ξδξδ=∅，这(){}00,|D ξδξξξδ=-<和(){}**00,|D ξδξξξδ=-<．由于()()()'nm m m m m m f z a f z b ρξρξ+++-()()()'nm m mg a gρξξ=+一致收敛到()'na g．由Hurwitz ’s 定理，存在点列()()**00,,,jj D D ξξδξξδ∈∈，当j 充分大时有()()()'0nj j j j jj j j f z a f z b ρξρξ+++-=()()()*'*0njjj jjjj jf z a f zb ρξρξ+++-=又由条件函数族中的任意函数对()'nf a f+和()'nh a h+分担b ，知对任意的正整数l 有：()()()'nl j j j l j j j f z a f z b ρξρξ+++= ()()()*'*nljj jljj jf z a f zb ρξρξ+++=固定l ，令j →∞，有0j j j z ρξ+→，*0j j j z ρξ+→，则()()()'00nl l f a f b +=，由于()'nl lf a f b +-的零点没有聚点，所以0j j j z ρξ+=，*0j j jz ρξ+=，从而jj jz ξρ=-，*jj jz ξρ=-．由()()**00,,,j j D D ξξδξξδ∈∈，得到()()*00,,D D ξδξδ≠∅，矛盾．因此()'0na gb -=只有一个零点．由引理2知，g 为多项式函数，且g 不为常值函数．又g零点重级至少是３，g 也只有一个零点，不妨设()()03lg A l ξξ=-≥．代入得()()'0nnl ln n a gb aA l b ξξ--=--显然()'0na gb -=有()14n l -≥个根，矛盾．所以F 在区域D 内正规．参考文献：[1] W.K.Hayman.Picard values of meromorphic functions and their derivatives[J].Ann. of Math ，1959,70:9-42.[2] Zhang Qingcai. Normal families of meromorphic functions concerning shared values [J].J.Math.Anal.Appl,2008,338:545-55. [3] Fang Mingliang. Lawrence Zalcman,On the value distributions of ()'nf a f+[J].Science inChina Series A:Mathematics,2008,vol 51(7):1196-1202.[4] Pang Xuecheng. Zalcman L. Normal families and shared values[J].Bull London Math Soc, 2000,32(3):325-331.[5] Wang Yuefei. and Fang Mingliang. Picard values and normal families of meromorphicfunctions with multiple zeros[J].Acta Math.Sinica, 1998 ,14:17-26.[6] 胡中伟, 亚纯函数的分担值与正规族[J].西南大学学报(自然科学版),2008, 30 (8):42-44. [7] Li Yuntong and Gu Yongxing.On normal families of meromorphic functions[J].J.Math.Anal.Appl.(2009), doi:10.1016/j.jmaa.2009.01.011.[8] 张鹤琼. 分担值与亚纯函数的正规性[J].西南师范大学学报(自然科学版),2009, 34(5):29-31.[9] 阮杰昌,李琰. 与分担值相关的亚纯函数的正规性[J]. 西南大学学报(自然科学版),2008,30 (10):41-43.[10] 蒋剑平,敬政雄. 一类亚纯函数的正规定则[J]. 西南大学学报(自然科学版),2008, 30(10):48-50Note on normal families of holomorphic functions cocerning shared valueLIU LipeiSchool of Mathematics and Statistics, Chongqing University of Arts and Sciences, Chongqing402160, P.R.ChinaAbstract ：The problem of normal families of holomorphic functions concerning shared values was studied. Let F be a family of holomorphic functions in a domain D C ∈ such that each f F ∈ has only zeros of multiplicity at least 3. if for each pair of functions f and gin F ,()'nf a f +and ()'ng a g +share a value b in D where n is a positive integerand ,a b are two finite constants such that 2n ≥ and 0a ≠, then F is normal in DKey word ：holomorphic function;sharing values;normal family。
分担线性多项式的全纯函数的正规族
维普资讯
ａ 为ｆ ３ 砒
Ｄ中的 埘 分担值 ，其 中． 族 Ｆ中 厂 为
的任 意一 个 函数 ， Ｆ在 Ｄ内 正规 ． 则
设 厂 复平 面上 的 亚纯 函数 ， 为一 正 整 数 ， 为 肘 若 对 任 意 的 ∈Ｃ， 有 厂 Ｊ 都 ≤肘， 称 厂为 复 平 则
．
最近 ， 徐炎１ ２ １ 得到全纯 函数ｆ和厂Ｃ Ｍ分担不
面 导数 局 部一 致 收敛 到 一个 全 纯 函数或 ∞．
族 ，（ ） ｋ ≥２是一 正整数 ， 为一正数． 若对 于任意
的ｆ∈ ， ） Ｄ时 ， Ｆ当 ＝， ∈ 有 （ Ｉ ≤Ｋ， 和 ） 且厂
收稿 日期 ： ２０ － ９ ２ ０６０－ ５ 基金项 目： 湖南省 自然科学基金资助项 目（ 编号：５ｊ０ １）湖南省教育厅资助项目（ ０ｊ３０ ３： 编号；５２８ ０ Ｃ６） 作者简介 ： 刘志宏 （９ ８ ） 男， １ ７ 一 ， 湖南邵阳人， 硕士， 主要从事 亚纯 函数唯一性理论研究 ．
ｃｎ ａｔＩｆ ｅ ｈ Ｅ ， ｄ ｈｎ ＋ ， Ｄ ｈｖｆ ＝ ｏｓ ｓｆ ｏ ａ ｆ ａ ｅ ∈ ，ａｅ ）） ｔ ．，ｒ ｅ ｎ Ｆｎ ｗ
Ｋｅ ｗｏ ｄ ： ｈ ｌ ｍｏｐ ｉ ｎ ｔ ｎ ；ｏ ｍａｉ ；ｈ ｒ ｄ ｖ ｌｅ ． ｙ ｒｓ ｏｏ ｒ ｈ ｅｆ ｃ ｏ ｓｎ ｒ ｌ ｙｓ ａｅ ａｕ ｓ ｕ ｉ ｔ
ｗ ｅ ｆ ｎｆ ｈ ｅ ＋ ， ｅ ｉｎｒａｉＤ ｈｒ ａｄ ｓ ｒ Ａ ／ ｔ ｎ ｏ ｌ ． ｅ ａ ｄ ｚ ｘ ｈ Ｆｓ ｍ ｎ
１ 引 言与 主 要结 果
设 厂 ｇ为 Ｄ 内 两个 非 常 数 的 亚 纯 函数 ， 与 ａ 为一 有 穷 复 数 ， ．与 ｇ以 ａ为 埘 分 担 值 ， 指 称厂 是 ｆ ａ与 ｇ ａ的 零 点相 同 ， 级 零 点按 重 数计 算 ； － — 重 称 ，与 ａ以 Ｃ 为分 担 值 ， 指 ｆ ａ与 ｇ ａ的零 点 相 Ｍ 是 － －
全纯函数的正规族
全纯函数的正规族1、引言与结果设D 为复平面C 上的一个区域，设£是区域D 内一族亚纯函数。
在Montel 的意义下，如果任意函数列{}£n f ⊂，存在一个子序列{}j n f 在D 内按照球距一致收敛到一个亚纯函数或者∞，我们称函数£在D 内是正规的[]1。
设f 和g 表示非常数的亚纯函数，我们称f 和g 分担一个值bIM(CM)当且仅当f-b=0⇔g-b=0（f-b=0g-b=0），忽略重数（计算重数）[]2。
在2000年，庞学诚和Zalcman []3证明了下述结果：定理A 设£是区域D 上的亚纯函数，所有零点重数至少k 重；并设b 是一非零常数，h 是一正数。
若对任意()()()£,0k f f z f z b∈=⇒=和()00f z =⇒<(1)()k f z h +≤,则£在D 上正规。
2005年，张国明，孙伟和庞学诚[]4得到了一个相关的结果： 定理B 设£是区域D 内的全纯函数族；设()h z 在D 上全纯且()h z 只有单零点。
若对每一个£f ∈，有（a ）()0'()()''()f z f z h z f z M =⇔=⇒≤,这里M 是一个正常数； （b ）f 和h 没有公共零点，则£在D 内正规。
本文，我们来证明下面的结果，它改进了定理B 。
定理1 设£是区域D 内全纯函数族；设(0)h ≠在区域D 内全纯，且h 的零点重数至多m 重；设1k m ≥+是一个正整数，若对任意£f ∈，有（a ）()()()()()()0','()k f z f z h z f z h z f z M =⇒==⇒≤,这里M是一个正常数；（b ）f 和h 没有公共零点，则£在D 内正规。
注1 当h 没有零点，定理1就是文[12，定理4]的一个结果。
全纯函数的定义
全纯函数的定义在数学中，函数是一种将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素的关系。
在复数域中，全纯函数是一种具有复变数的函数，它在其定义域内是全纯的。
全纯函数在数学中具有重要的应用，特别是在复分析中，是一种重要的研究对象。
全纯函数的定义全纯函数的定义是指在复平面上取一个点，如果在该点处的导数存在，那么该函数在该点处是全纯的。
如果在该点处导数不存在，那么该函数在该点处不是全纯的。
全纯函数是一种光滑的函数，它在其定义域内处处可导，也就是说，它在每个点处都有导数存在。
全纯函数的性质全纯函数具有一些重要的性质，这些性质使得它在数学中具有广泛的应用。
下面是全纯函数的一些性质：1. 全纯函数是光滑的，也就是说，它在其定义域内处处可导。
2. 全纯函数的导数也是全纯函数，因此，全纯函数具有无限阶导数。
3. 全纯函数具有局部性质，也就是说，如果一个函数在某一点处是全纯的，那么在该点的某个邻域内，它也是全纯的。
4. 全纯函数是解析函数的一种特殊情况，它在复平面上的任何一点都可以表示为一个幂级数的形式。
5. 全纯函数是一种保角映射，也就是说，它可以保持角度不变。
应用全纯函数在数学中具有广泛的应用，特别是在复分析中。
它在解析几何、微分方程、调和分析、数论等领域中都有重要的应用。
下面是全纯函数在一些具体领域中的应用：1. 解析几何：全纯函数可以用来描述复平面上的曲线和曲面，它在解析几何中具有重要的应用。
2. 微分方程：全纯函数可以用来求解复变函数的微分方程，它在微分方程中具有重要的应用。
3. 调和分析：全纯函数可以用来定义调和函数，它在调和分析中具有重要的应用。
4. 数论：全纯函数可以用来研究数论中的一些问题，例如黎曼猜想等。
结论全纯函数是一种重要的数学对象，在数学中具有广泛的应用。
它具有光滑、无限阶可导、局部性质、解析、保角等性质，这些性质使得它在数学中具有重要的应用。
全纯函数在解析几何、微分方程、调和分析、数论等领域中都有重要的应用。
与分担值相关的全纯函数的正规性
亳州
２６０ ） ３８０
摘
要 ：运 用 Ｎ ｖｎｉ ａ 论 研 究 了与 分 担 值 相 关 的 全 纯 函数 的 正规 性 问题 ，得 到 了两 个定 理 。 ｅａｌ ｎ 理 ｎ
关 键 词 ：Ｎ ｖｎｉｎ 论 ；全 纯 函数 ；正规 族 ； 分担 值 ｅａｌ ａ理 ｎ 中 图分 类 号 ：０ ７ ．２ 文 献ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１７ — ８ Ｘ （０ ０ ８— ０ ６— ２ １４ ５ ６ １ ３ ０ ２ １ ）０ ００ ０
定 理 ２ 设 Ｆ是 区 域 Ｄ 内 的 全 纯 函 数 族 ， ， 为 正 整 ｎｍ
≠ ｂ， Ｆ在 Ｄ内正规 。 则
定 理 Ｅ 设 Ｆ为区域 Ｄ内的亚纯 函数族 ， （ ３ ｎ ≥ ）为一
正整数 ， 为非零有穷复数 ， ６ 若对 Ｖ ， ｆ ｇ∈ Ｆ， Ｄ内，（ 在 ，一
１厂 与 ｇ （ ） ｇ一１ ｇ Ｉ ） Ｍ分担 ｂ， ，在 Ｄ内正规 。 则
一
则 Ｆ在 Ｄ 内正 规 。
定理 Ｃ 设 Ｆ为区域 Ｄ上 的全纯 函数族 ，１ ≥ １ ｒ ． （ ）为一 正整 数 ， ｂ为有穷复数 。若对 Ｖ ， Ｆ， Ｄ内厂（ ｇ 在 ｆ一１厂 ） 与ｇ（ ｇ一１ ｇ Ｉ 分担 ｂ， Ｆ在 Ｄ内正规 。 ） Ｍ 则 ２０ ０ ８年 ， 谢东等 将 上述 定理 Ｂ Ｃ中 ｂ≠０的情形推广 ， 到亚纯 函数族 ， 得到如下定理。 定理 Ｄ 设 Ｆ是区域 Ｄ内的亚纯函数族 ， （ ３ ｎ ≥ ）为 一 正整数 ， 为非零有穷复数 ， ｂ 若对 Ｖ 在 Ｄ内厂（ ，ｅ Ｆ， ｆ一１ ）
方明亮与 Ｈ ｎ ｉ ２０ 年在文献 …得到以下结果。 ｏ ｇＷｅ 于 ０ １ 定理 Ａ 设，为整 函数 ， （ ２ ｎ ≥ ）为正整数。如果厂（ 一 厂 １厂 ≠ １， ｒ 常数 。 ） 则Ｊ为 ２０ ０ ６年 ， 张庆彩 证 明了下述定理 。 定理 Ｂ 设 Ｆ是区域 Ｄ内的全纯 函数族 ， （ １ 一 ｎ ≥ ）为 正整 数 ， ｂ为有穷 复数 ， 若对 Ｖ Ｆ， Ｄ内厂（ ／ 在 ｆ一１厂 ≠ｂ ）
复变函数中的全纯函数与调和函数
复变函数中的全纯函数与调和函数全纯函数和调和函数是复变函数中两个重要的概念。
它们在数学和物理学等领域扮演着重要的角色。
本文将详细介绍全纯函数和调和函数的定义、性质以及它们之间的关系。
一、全纯函数的定义和性质1. 全纯函数的定义在复变函数理论中，全纯函数是指在其定义域上处处可导的复变函数。
具体而言，设$f(z)$是定义在区域$D$上的复变函数，如果$f'(z)$在$D$中的每一个点上存在，则称$f(z)$是$D$上的全纯函数。
2. 全纯函数的性质全纯函数具有以下几个重要性质：（1）全纯函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程，即实部和虚部的一阶偏导数满足一定的关系。
（2）全纯函数的导函数也是全纯函数。
（3）全纯函数在其定义域上无奇点，即没有极点和本性奇点。
（4）全纯函数在闭合曲线上的积分为0。
二、调和函数的定义和性质1. 调和函数的定义在复变函数理论中，调和函数是指在其定义域上满足拉普拉斯方程的函数。
具体而言，设$u(x,y)$是定义在区域$D$上的实函数，如果$u(x,y)$满足拉普拉斯方程$\Delta u=0$，则称$u(x,y)$是$D$上的调和函数。
2. 调和函数的性质调和函数具有以下几个重要性质：（1）调和函数的导函数是调和函数。
（2）调和函数的实部和虚部构成调和函数。
（3）调和函数在区域$D$的边界上的限制称为调和函数的边界值。
（4）如若调和函数在$D$的每一点处为0，则调和函数在$D$内为恒为0的常数函数。
三、全纯函数与调和函数的关系在复变函数理论中，全纯函数和调和函数有着密切的联系：（1）全纯函数的实部和虚部都是调和函数。
这是因为实部和虚部满足柯西-黎曼方程和拉普拉斯方程。
（2）设$f(z)$是定义在区域$D$上的全纯函数，则$f(z)$的实部和虚部都是$D$上的调和函数。
这是因为全纯函数的实部和虚部都满足拉普拉斯方程。
（3）函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$是全纯函数的充要条件是$u(x,y)$和$v(x,y)$满足柯西-黎曼方程和拉普拉斯方程。
全纯函数族的一些正规定则
１５ ９９年 ， ｙ ｎ１ 出 了下 述猜 想 Ｈａｍａ ＿提 设 为 区域 Ｄ 内 的 一 族 全 纯 函 数 ， 对 任 意 若
关键词 ： 全纯函数 ； 正规族 ； ａ ｍａ Ｚ ｌ ｎ引理 ｃ 中图分类号 ： ７ ．２ ０１４５ 文献标识码 ： Ａ 文章编 号 ：０ １４ １ ２ ０ ）４ ０ １ —４ １０ — １Ｘ（ ０ ８ ０ — １３０
Ｓ ｍｅ Ｎｏ ｍａ ｉ ｉ ｒａ ｆ ｒ Ｆａ ｉ ｅ ｆＨｏｏ ｒ ｈ ｅ Ｆ ｎ ｔｏ ｓ ｏ ｒ ｌ ｙ Ｃｒｔ ｉ ｏ ｍ ｌ ｓ ｏ ｌ ｍｏ ｐ ｉ ｕ ｃ ｉｎ ｔ ｅ ｉ
定 理 １ 设
区域 Ｄ 内的一族 全纯 函数 ， ｋ为
定理 ｃ 设 为 区域 Ｄ 内的一族 全纯函数 ， 、 ｋ
１ ７ ． １
（ （） ｎ≠１则 在 Ｄ内正规． ｚ ）ｋ ， ｍ、 为正整数．若对 任意 ｆ 。 （ ） １ １ ， （ ）∈ 的零点重 例 １ 设 ｛ ｝ 区 域 Ｄ 单 位 圆 △ ， 任 意 ， 对 数 ≥ｍ （）一１ ｚ 的零 点 重 数 ≥ 且 ＋ ， ＜１ ， ＿ ） ｆ， ｚ 的零 点 重数 为 ｋ且 （ ≠１ 但 在 厂 ∈ｆｆ ） （ （ ， ”） ，
Ａｂｓｒ ｃ Ｌｅ ｔ ａ ｔ： ｔ
ｂ ａ ｌ ｆｈ ｌｍｏ ｐｈ ｃ ｆｎｃｉｎｓｉ ｏ ｉ ，ｎｄ ｏ … ， ｂｅｋ ｎｏ ｎ ｇ ｔ ｅ ｉ — ｅ ａ ｆ ｍｉｙｏ ｏ ｏ ｒ ｉ ｕ ｔｏ ｎ ａ ｄ ｍａ ｎ Ｄ ａ ， ｎ ｎ— ｅ ａ ｉ ｎ ｖ
一族全纯函数的正规性
么 因为 ｇ ） Ｏ 所 以存 在 点 列 ， 一 ０ 使 得 （ ≠ ， ， 当 充 分大 时有
那 么 在 Ｄ 内正 规 ．
在 ［ ］ ， 建 明 、 明亮 和 Ｌ Ｚ ｌ ｎ证 明 了 ６中 常 方 ． ａ ｍａ ｃ
如下结 果 ：
定 理 Ｄ 设 是 一族定 义在 区域 Ｄ 上 的全纯
收 稿 日 期 ：０ ００ ． ６ ２ １ ．９０
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关 键 词 ： 纯 函数 ； 规性 ； 点 ； 分 多项 式 全 正 零 微 中 图 分 类号 ： ７ ，２ Ｏ１ ４ ５
０ 引 言
平 面区域 Ｄ 内的一 族 亚 纯 函数 在 Ｄ 内正 规， 如果 内的任 一 函数列 都 含 有在 Ｄ 内按球 面
距 离 内 闭 一 致 收 敛 的 子 列 ．卜 ． １ 关 于 在 区 域 正 规 和 在 一 点 正 规 的 关 系 有 以 下
．
是 常 数 ． 么 在 Ｄ 内正 规 ． 那 定 理 Ｅ 设 是 一 族 定 义 在 区 域 Ｄ 上 的 全 纯 函 数 ， ＾ ｚ ≠Ｏ在 Ｄ 内 解 析 ， 于 任 意 的 ｆＥ ， 而 （） 对
有：
定理 Ａ …
设 是 定 义 在 区 域 Ｄ 上 族 的 一 个
亚 纯 函 数 ， 在 Ｄ 内 正 规 的 充 要 条 件 是 在 Ｄ 内 的每一 点都 正规 ．
作 者 简 介 ： 克 笑 （９ ３ ， ， 刘 １ ７ ） 男 湖南 辰 溪 人 ， 化 学 院 预 科 部讲 师 ， 士 ， 怀 硕 主要 从 事 复 分 析研 究
第 ６期
刘 克笑 ： 一族全纯 函数的正规性
・９ ・
涉及复合函数分担条件的全纯函数正规族
涉及复合函数分担条件的全纯函数正规族
黄小杰;刘芝秀;李运通
【期刊名称】《杭州师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2018(017)006
【摘要】讨论了涉及复合函数分担条件的全纯函数正规族,提出了\"局部度\"的概念,利用Pang-Zalcman方法和Nevanlinna理论证明了:对于区域D上的全纯函数族F,若P(z)是次数为n的多项式,φ(z)是局部度小于n的解析函数,且对任意
f,g∈F,满足P(f)和P(g)在D上IM分担φ(z),则F是D上的正规族.并举例说明了该结论中局部度条件不能减弱,在特定意义下是最优的.
【总页数】6页(P641-645,672)
【作者】黄小杰;刘芝秀;李运通
【作者单位】复旦大学计算机科学技术学院,上海 200433;南昌工程学院理学院,江西南昌 330099;南昌工程学院理学院,江西南昌 330099;陕西铁路工程职业技术学院教务处,陕西渭南 714000
【正文语种】中文
【中图分类】O174.52
【相关文献】
1.全纯函数和它的线性微分多项式分担有穷值的正规族 [J], 刘志宏;李迎春
2.全纯函数的正规族与分担集 [J], 徐俊峰
3.涉及分担函数的全纯函数的正规族 [J], 李运通;尚海涛;黄小杰
4.与分担全纯函数相关的正规族 [J], 李三华
5.分担连续函数的全纯函数正规族 [J], 刘芝秀;李运通;黄小杰
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在2000年，庞学诚和Zalcman证明了下述结果： 定理A 设£是区域D上的亚纯函数，所有零点重数至少k重；并设b 是一非零常数，h是一正数。若对任意和<,则£在D上正规。 2005年，张国明，孙伟和庞学诚得到了一个相关的结果： 定理B 设£是区域D内的全纯函数族；设在D上全纯且只有单零 点。若对每一个，有 （a） ,这里M是一个正常数； （b） f和h没有公共零点，则£在D内正规。 本文，我们来证明下面的结果，它改进了定理B。 定理1 设£是区域D内全纯函数族；设在区域D内全纯，且h的零点 重数至多m重；设是一个正整数，若对任意，有 （a） ,这里M是一个正常数； （b） f和h没有公共零点，则£在D内正规。
（1） 局部一致收敛，这里g是一个非常数整函数满足和 我们断言 由（1）式，可得
（2）
和 （3）
由假设可得进而，通过（2）式可得 （4）
假设，由Hurwitz定理，存在序列，使得（对充分的大n）。由引理的假 设条件，我们有。因而
这意味着 假设，那么。否则，b是一个常数。因而
矛盾。由于但是，故由Hurwite定理和（4）。存在序列，使得（对n充 分大） 再由（3）式，可得 这就证明了 从而完成了断言的证明。 由引理2，我们知道，这里b是一个常数。因此 矛盾。故引理得证。
全纯函数的正规族
1、 引言与结果 设D为复平面C上的一个区域，设£是区域D内一族亚纯函数。在
Montel的意义下，如果任意函数列，存在一个子序列在D内按照球距一 致收敛到一个亚纯函数或者∞，我们称函数£在D内是正规的。
设f和g表示非常数的亚纯函数，我们称f和g分担一个值bIM(CM)当 且仅当f-b=0g-b=0（f-b=0g-b=0），忽略重数（计算重数）。