全纯函数的正规族

全纯函数的正规族
1、 来自百度文库言与结果 设D为复平面C上的一个区域，设£是区域D内一族亚纯函数。在
Montel的意义下，如果任意函数列，存在一个子序列在D内按照球距一 致收敛到一个亚纯函数或者∞，我们称函数£在D内是正规的。
设f和g表示非常数的亚纯函数，我们称f和g分担一个值bIM(CM)当 且仅当f-b=0g-b=0（f-b=0g-b=0），忽略重数（计算重数）。
在2000年，庞学诚和Zalcman证明了下述结果： 定理A 设£是区域D上的亚纯函数，所有零点重数至少k重；并设b 是一非零常数，h是一正数。若对任意和<,则£在D上正规。 2005年，张国明，孙伟和庞学诚得到了一个相关的结果： 定理B 设£是区域D内的全纯函数族；设在D上全纯且只有单零 点。若对每一个，有 （a） ,这里M是一个正常数； （b） f和h没有公共零点，则£在D内正规。 本文，我们来证明下面的结果，它改进了定理B。 定理1 设£是区域D内全纯函数族；设在区域D内全纯，且h的零点 重数至多m重；设是一个正整数，若对任意，有 （a） ,这里M是一个正常数； （b） f和h没有公共零点，则£在D内正规。
注1 当h没有零点，定理1就是文[12，定理4]的一个结果。 …… 引理3 设是D中的全纯函数；是一个正整数；设是D中的全纯函 数，且在D内满足一致地趋于h，这里在D内全纯。假设对每一个n， 对所有的，这里是一个正数，那么在D内正规。 证明 否则，假设在D内的一个圆盘（这里我们可以假设为Δ）不 正规。注意到D内，当n充分大时，我们得到于Δ内，这里M是一个正 数。对n充分大，有 那么，取一个适当的子序列，通过重排序仍然为。由引理1（取和 A=M）,存在点列和数列，使得
（1） 局部一致收敛，这里g是一个非常数整函数满足和 我们断言 由（1）式，可得
（2）
和 （3）
由假设可得进而，通过（2）式可得 （4）
假设，由Hurwitz定理，存在序列，使得（对充分的大n）。由引理的假 设条件，我们有。因而
这意味着 假设，那么。否则，b是一个常数。因而
矛盾。由于但是，故由Hurwite定理和（4）。存在序列，使得（对n充 分大） 再由（3）式，可得 这就证明了 从而完成了断言的证明。 由引理2，我们知道，这里b是一个常数。因此 矛盾。故引理得证。