定积分导数
fx的定积分的导数
fx的定积分的导数在微积分中，定积分是一个重要的概念，它可以用来计算曲线下的面积或者求解一些实际问题。
而定积分的导数则是对定积分进行微分运算，它在数学和物理学中都有广泛的应用。
首先，我们来回顾一下定积分的定义。
对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分可以表示为∫[a, b] f(x) dx。
这个定积分表示了函数f(x)在区间[a, b]上的曲线下的面积。
现在，我们来考虑定积分的导数。
假设函数f(x)在区间[a, b]上是连续的，并且在[a, b]上的每个点都有定义。
那么，我们可以定义一个新的函数F(x)，它表示了在区间[a, x]上的定积分。
即F(x) = ∫[a, x] f(t) dt。
现在，我们来思考一下F(x)的导数。
根据微积分的基本原理，我们可以使用极限的概念来定义F(x)的导数。
即F'(x) = lim(h→0) [F(x+h) -F(x)] / h。
根据定义，我们可以将F(x+h) - F(x)展开为∫[a, x+h] f(t) dt - ∫[a, x] f(t) dt。
然后，我们可以利用定积分的性质进行简化。
根据定积分的加法性质，我们可以将这个式子变为∫[x, x+h] f(t) dt。
接下来，我们可以将这个定积分进行近似。
根据微积分的基本原理，我们可以使用泰勒展开来近似函数f(t)。
即f(t) ≈ f(x) + f'(x)(t-x) + O((t-x)^2)。
将这个近似代入定积分中，我们可以得到∫[x, x+h] [f(x) + f'(x)(t-x) + O((t-x)^2)] dt。
然后，我们可以对这个定积分进行计算。
根据定积分的线性性质，我们可以将这个定积分分解为三个部分：∫[x, x+h] f(x) dt + ∫[x, x+h]f'(x)(t-x) dt + ∫[x, x+h] O((t-x)^2) dt。
根据定积分的性质，第一个定积分∫[x, x+h] f(x) dt可以简化为f(x) * h。
变上限定积分导数的应用
变上限定积分导数的应用变上限定积分导数是微积分中的重要概念，它在许多实际问题的建模和求解中发挥着重要作用。
本文将介绍变上限定积分导数的概念及其应用，并通过实际案例来解释其在实际问题中的作用。
一、变上限定积分导数的概念在微积分中，我们知道定积分是一个函数的积分值，而变上限定积分则是对一个含有参数的积分函数在参数变化时的导数。
设f(x,t)是定义在[a,b]×[c,d]上的一个函数，其中x在[a,b]上连续，t在[c,d]上可微。
如果对于任意的x∈[a,b]，函数φ(t)=∫[a,x]f(t,u)du也是可导的，则称φ(t)在[t∈[c,d]区间上可导。
变上限积分的导数即为φ'(t)=d/dt∫[a,x]f(t,u)du=f(t,x)。
变上限定积分的导数可以用来描述一个函数在参数变化时的变化率，具有重要的理论和实际意义。
1. 物理学中的应用在物理学中，变上限定积分导数的概念经常被用来描述一些动态过程中的变化率。
在物体的运动过程中，速度、加速度等物理量的变化率可以通过变上限定积分导数来描述。
假设一质点在直线上的运动轨迹为f(x,t)，其中x表示时间，t表示位置，我们可以通过求f(t',t)的变上限定积分导数来描述物体在不同位置的速度变化率，从而更加准确地描述运动的特性。
在经济学中，变上限定积分导数同样具有重要的应用价值。
对于一个市场需求函数来说，需求函数随着价格的变化而变化，其对价格的变化率可以通过变上限定积分导数来刻画。
通过分析需求函数的变上限定积分导数，可以更加准确地把握市场需求的变化规律，为市场调控提供更加科学和精准的依据。
生物学中也有许多领域需要用到变上限定积分导数的概念。
对于生物体内的代谢过程，代谢产物的变化率可以通过变上限定积分导数来描述。
通过变上限定积分导数的计算，可以更好地理解生物体内代谢过程的动态变化规律，为疾病诊断和治疗提供理论依据。
三、实例分析接下来，我们通过一个实际举例来说明变上限定积分导数在实际问题中的应用。
变上限定积分导数的应用
变上限定积分导数的应用
上限定积分导数是微积分中的一种重要应用，它能够帮助我们求解一些与变上限定积
分相关的问题。
在这篇文章中，我将介绍一些关于变上限定积分导数的应用。
我们来回顾一下变上限定积分的定义。
对于一个函数f(x)，它在闭区间[a, b]上连续且可导。
那么变上限定积分的定义如下：
F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt
a是一个常数，x是一个变量。
变上限定积分的求导公式是：
这个公式告诉我们，对于变上限定积分的导数，只需将x带入被积函数f(x)中即可。
第一个应用是求解一些特定的积分。
有时候，我们需要求解一个与变上限定积分相关
的问题。
利用变上限定积分导数的公式，我们可以将这个问题转化为求导的问题，然后通
过求导的方法来求解。
求解f(x)=\int_{0}^{x}e^{-t^2}dt在x=1处的导数。
根据变上限定积分导数的公式，我们知道这个导数等于f(x)的被积函数e^{-t^2}在x=1处的函数值。
我们只需要将x=1代入被积函数中，即可得到求解的结果。
变上限定积分导数的应用
变上限定积分导数的应用1. 引言1.1 什么是变上限定积分导数变上限定积分导数是微积分中的一个重要概念，是对定积分上限的函数关于变上限的导数。
在数学上，定积分的上限是一个常数，而变上限定积分导数是将上限看作一个变量，对其求导数的过程。
通常用符号F(x,t)表示，其中x为积分上限，t为变量。
变上限定积分导数的定义为\frac{d}{dt}\left(\int_{a}^{t}f(x)dx\right)=f(t)变上限定积分导数的计算方法上，主要利用导数的性质和积分的换元法。
在应用上，变上限定积分导数具有广泛的应用价值。
在数学分析中，可以用于证明一些定理和推论，如黎曼黎曼积分定理。
在经济学中，变上限定积分导数可以用于求解边际效用，生产函数等问题。
在物理学中，可以用于求解一些变化过程的速率，如速度、加速度等。
变上限定积分导数的应用前景广阔，将会在更多领域得到应用和拓展。
1.2 变上限定积分导数的应用变上限定积分导数是微积分中的一个重要概念，它在数学、经济学和物理学等领域都有着广泛的应用。
通过对变上限定积分导数的研究和运用，我们可以更好地理解和解决实际问题，从而推动这些领域的发展。
在经济学中，变上限定积分导数被广泛应用于描述市场供需关系、生产函数和效用函数等经济模型。
通过对变上限定积分导数的计算，经济学家可以更好地理解经济现象的发展规律，为经济政策的制定提供科学依据。
在物理学中，变上限定积分导数常常被用来描述物体的运动、力的作用和能量的转化等物理现象。
通过运用变上限定积分导数，物理学家可以更精确地描述和预测物体的运动状态，为物理学理论的建立和实验的设计提供重要参考。
变上限定积分导数在各个领域的应用都具有重要意义，它不仅推动了科学技术的发展，也为我们更深入地认识和理解世界提供了重要工具和方法。
随着研究的深入和技术的不断进步，相信变上限定积分导数的应用前景会更加广阔，为我们带来更多的惊喜和启发。
2. 正文2.1 变上限定积分导数的计算方法变上限定积分导数的计算方法是数学分析中的重要内容，它主要涉及对函数的变上限定积分进行求导。
变上限定积分导数的应用
变上限定积分导数的应用在微积分学中，求定积分是一个很重要的部分。
定积分可以用于计算曲线下面的面积、质量、重心等物理问题。
但是，如果定积分的上限是一个函数，则我们需要用到导数的概念来求解这类问题。
一、导数的介绍在微积分学中，导数是描述函数变化率的概念。
导数可以理解为函数的瞬时变化率，即在某一点上函数的斜率。
我们可以用以下的式子来表示一个函数在某一点上的导数：f'(x) = lim(delta x -> 0) (f(x + delta x) - f(x)) / delta x其中，delta x 表示 x 的微小变化量，也就是所谓的极限。
当 delta x 趋向于 0 时，我们可以得到函数 f(x) 在 x 点上的导数。
变上限定积分导数的应用基于微积分学中的勒贝格积分定理。
该定理指出，如果一个函数连续，则其定积分可以视为函数的一个原函数在两个限制值之间的差值。
∫(a, b) f(x) dx = F(b) - F(a)其中，F(x) 是函数 f(x) 的一个原函数，可以理解为 F(x) 的导数即为 f(x)。
在实际应用中，我们可以遇到定积分的上限是一个函数的情况。
此时，我们需要用到导数的概念来求解问题。
例如，我们考虑以下的问题：设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上可导，且 f(a) = 0。
定义函数 g(x) 为：求 g'(x)。
根据定积分的性质，我们可以将 g(x) 表示为：由于 f(x) 在 [a, b] 上可导，我们可以得到：F'(x) = f(x)三、总结变上限定积分导数的应用是微积分学中一个重要的应用。
通过该方法，我们可以计算出定积分上限是一个函数的情况下，函数的导数。
在实际应用中，这种方法可以帮助我们解决一些物理问题，如计算速度、加速度等。
需要注意的是，在使用该方法时，我们需要掌握定积分和导数的概念及其计算方法。
导数定积分
导数定积分是一种非常重要的数学概念，它可以帮助我们研究函数的积分。
它的基本思想是：如果一个函数的导数为另一个函数，那么它们的积分也可以是一个函数。
首先，我们来看看怎么用导数定积分来求函数的积分。
首先，假设我们有一个函数f(x)，它的导数为
g(x)，那么它们的积分就可以表示为：F(x)=∫f(x)dx=∫g(x)dx+C，其中C是一个常数，它取决于求积分的范围。
其次，我们来看看怎么用导数定积分来求极限。
假设我们有一个函数f(x)，它的导数为g(x)，那么求函数f(x)在某点处的极限就可以表示为：limx→af(x)=limx→ag(x)+C，其中C是一个常数，它取决于求极限的点。
第三，我们来看看怎么用导数定积分来求定积分的值。
假设我们有一个函数f(x)，它的导数为g(x)，那么它们的定积分就可以表示为：∫f(x)dx=∫g(x)dx+C，其中C是一个常数，它取决于求积分的范围。
最后，我们来看看怎么用导数定积分来求反函数。
假设我们有一个函数f(x)，它的导数为g(x)，那么它们的反函数就可以表示为：f^(-1)(x)=g^(-1)(x)+C，其中C是一个常数，它取决于求反函数的范围。
总之，导数定积分是一种非常重要的数学概念，它可以帮助我们求解各种类型的函数，如求函数积分、求极限、求定积分、求反函数等。
这种方法有效地利用了导数的性质，使我们能够解决许多复杂的数学难题。
定积分导数
高三数学第一轮复习教案—导数、定积分、极限一．课标要求：1．导数及其应用（1）导数概念及其几何意义①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。
（2）导数的运算①能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的导数；②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数；③会使用导数公式表。
（3）导数在研究函数中的应用①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；②结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
（4）生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
（5）定积分与微积分基本定理①通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；②通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。
（6）数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。
具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。
二．命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。
在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；（2）今年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。
定积分求导求导公式
定积分求导求导公式定积分的求导公式是积分学中的重要内容之一、它们是一些特定函数的导数的规律表达。
下面我将详细介绍定积分求导的常见公式。
1.基本初等函数的导数公式：常数函数：$f(x)=C$的导数为$f'(x)=0$。
幂函数：$f(x) = x^n$ 的导数为 $f'(x) = nx^{n-1}$。
指数函数：$f(x) = a^x (a > 0, a \neq 1)$ 的导数为 $f'(x) = a^x\ln(a)$。
对数函数：$f(x) = \ln(x)$ 的导数为 $f'(x) = \frac{1}{x}$。
三角函数：$f(x) = \sin(x)$ 的导数为 $f'(x) = \cos(x)$；$f(x) = \cos(x)$ 的导数为 $f'(x) = -\sin(x)$；$f(x) = \tan(x)$ 的导数为 $f'(x) = \sec^2(x)$。
反三角函数：$f(x) = \arcsin(x)$ 的导数为 $f'(x) =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$；$f(x) = \arccos(x)$ 的导数为 $f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$；$f(x) = \arctan(x)$ 的导数为 $f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$。
2.基本公式和性质：定积分的线性性：如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 可导，则有$\frac{d}{dx}\left(\int_a^b (f(x)+g(x)) dx\right) =\frac{d}{dx}\left(\int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx\right)$。
定积分的常数倍性：如果 $f(x)$ 可导，则有$\frac{d}{dx}\left(\int_a^b kf(x) dx\right) =k\frac{d}{dx}\left(\int_a^b f(x) dx\right)$。
变上限定积分导数的应用
变上限定积分导数的应用定积分的概念：定积分是一种表示函数在一个区间上的面积的方法，通常用符号∫ 表示。
其中，下限是计算积分区间的下限，上限是计算积分区间的上限，f(x) 是被积函数，x 是自变量。
定积分可以用反演求导公式进行求解。
为什么要用上限定积分导数呢？因为通常情况下，实际问题中我们往往是有一个端点的固定值，而另一个端点则是我们需要求解的变量。
例如，我们经常需要确定一根梁的支撑点位置，这个支撑点的位置不确定，但位移、弯矩或扭矩的值是固定的。
又或者我们要计算一个物体受力时的位置和受力大小（如悬挂物体的绳索），其中力是已知的，位置是我们需要求解的变量。
这些问题的解决，便需要上限定积分导数的应用。
1. 定位梁的支撑点：给定一根梁，梁长为 L，弯矩 M(x) 随长度 x 变化而变化，梁在 x=0 处有一个支点，问支点在哪个位置可以产生最小的位移？假设支点位置为 x，支点左侧梁长为 x，支点右侧梁长为 L-x。
则在支点左侧的弯矩为 M(x)，在支点右侧的弯矩为 M(L-x)。
由于支点的位移是形成的弯曲曲率需要消耗，设弯曲曲率为 k，则支点位移如下：w = ∫[0,x] (M(x) - kx)dx + ∫[x,L] (M(L-x) - k(L-x))dx其中，第一个积分为在支点左侧的弯矩所产生的位移，第二个积分为在支点右侧的弯矩所产生的位移。
同时，由于弯曲曲率要求弯曲等价于弹性形变，根据杨氏模量 E 可以推出 k = M/EI，其中 I 为梁截面的惯性矩。
则w = ∫[0,x] (M(x) - M/Lx)dx + ∫[x,L] (M(L-x) - M/L(L-x))dxw = ∫[0,x] Mdx - M/L∫[0,x] xdx + ∫[x,L] M(L-x)dx - M/L∫[x,L] (L-x)dx对 w 求导，去掉常数 M/L，则有：w' = M(x) - M(L-x)因为 w 在弯曲曲率最小（即 w' =0）时取最小值，所以可以得出：这个方程的含义是在一个梁上，如果支点位置从左端移动到右端或从右端移动到左端，产生的弯曲曲率大小是相同的。
变上限定积分导数的应用
变上限定积分导数的应用定积分是微积分中的重要内容之一，它在各个领域都有广泛的应用，例如几何、物理学、经济学等。
不过，在实际问题中，有时候我们需要求解出一个上限随时间变化的定积分的导数，这时候就需要利用变上限定积分的导数的相关知识。
本文将会详细介绍变上限定积分导数的应用。
首先，我们来回顾一下变上限定积分的定义。
对于一个函数$f(t,x)$，如果它的定义域是$t\in[a,b]$，$x\in[c,d]$，那么我们可以定义其变上限定积分为$$F(x)=\int_a^bf(t,x)dt$$其中，$x$是变量，$t$是积分变量。
可以看出，$F(x)$是$x$的函数，而不是$t$的函数。
这里，我们要注意到一个性质：$f(t,x)$一定是一个连续函数。
如果我们在上式两边同时对$x$求导数，那么就可以得到：对于前半部分，我们可以使用求导公式：$$\frac{\partial}{\partialx}\int_a^bf(t,x)dt=\int_a^b\frac{\partial}{\partial x}f(t,x)dt$$这里使用了求导与积分交换的性质。
对于后半部分，我们可以运用导数的定义式：这里引出了一个新的函数：当$h\to0$时，$G(h,x)$的值就是$\frac{dF(x)}{dx}$。
我们可以将$G(h,x)$的分子写成：$$f(t,x+h)-f(t,x)=\int_x^{x+h}\frac{d}{dy}f(t,y)dy=h\frac{d}{dx}f(t,x+kh)+\mat hcal{O}(h^2)$$其中$k\in[0,1]$。
这个关系式可以通过泰勒公式推导出来，我们在这里不再赘述。
代入到$G(h,x)$的定义式中可以得到：这个式子就是变上限定积分的导数公式。
它表明，如果一个函数可以表示为变上限定积分的形式，那么它的导数可以通过对被积函数的偏导数在积分区间上积分得到。
利用变上限定积分导数的公式，我们可以求解很多实际问题。
导数与定积分
第九讲 导数与定积分一、导数的概念与运算1．导数的概念： )(/x f ＝/y ＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim00。
2．求导数的方法：（1）求函数的增量⊿y ；（2）求平均变化率xy ∆∆；（3）求极限x yx ∆∆→∆0lim 。
3．导数的几何意义：函数y=f(x)在x 0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点（x 0，y 0）处的切线的斜率，即斜率为)(0/x f 。
过点P 的切线方程为：y- y 0=)(0/x f (x- x 0).4．几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=；xx 1)'(ln =；e xx a a log 1)'(log =；x x e e =)'(；a a a x x ln )'(=。
5．导数的四则运算法则：)()()]()(['''x v x u x v x u ±=±；[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+；'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭6．复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u )ϕ′(x ).二、导数的应用1． 函数的单调性（1） 设y=f(x)在某个区间内可导，若)(/x f >0，则f(x)为增函数；若)(/x f <0，则f(x)为减函数。
定积分积分上限函数求导
定积分积分上限函数求导在学习微积分的过程中，我们会接触到很多种不同的概念、方法和技巧。
其中，对于定积分而言，计算积分的过程中就经常会涉及到函数求导的问题。
本文将围绕“定积分积分上限函数求导”这一主题，为大家详细阐述其相关原理和计算方法，帮助大家更好地理解和运用这种求导方法。
首先，我们来了解一下定积分的含义和性质。
定积分是区间上函数值之和的极限，用来计算曲线围成的面积和曲线与x轴之间的有限区域的面积。
如果我们需要计算一个函数f(x)在a到b区间内的定积分，可以采用下面的公式进行计算：∫b^af(x)dx = lim[n→∞][Σ(i=1→n)f(xi)*Δx]其中，xi表示区间[a,b]划分成n个小区间后每个小区间的端点，Δx表示每个小区间的长度，Σ为求和符号，代表对每个小区间的面积进行加和。
在这个公式中，f(xi)是每个小区间内的函数值，将其与小区间的长度相乘，就可以得到每个小区间的面积。
将所有小区间的面积加和，就可以得到整个区间上的函数值之和，也就是定积分的值。
接下来，我们来探讨如何求一个定积分的积分上限函数的导数。
如果一个定积分的上限函数为u(x)，如何计算它的导数呢？具体的步骤如下：1. 定义积分上限的增量Δx，设新的积分上限为x+Δx，即u(x+Δx)。
2. 利用微积分的一阶泰勒展开式，将u(x+Δx)展开成u(x)的多项式形式：u(x+Δx)=u(x)+u'(x)Δx+o(Δx)，其中o(Δx)表示高阶无穷小，可忽略不计。
3. 根据定积分的定义，设积分上限为x时的积分值为I(x)，当积分上限为x+Δx时，积分的值为I(x+Δx)。
根据定积分求导的链式法则，有：I(x+Δx)-I(x)=[∫x+Δx^xf(t)dt]-[∫b^xf(t)dt]将定积分的定义代入，得到：I(x+Δx)-I(x)=[F(x+Δx)-F(x)]-[F(x)-F(b)]其中，F(x)为f(x)的原函数。
将u(x+Δx)展开的式子代入，得到：I(x+Δx)-I(x)=∫x+Δx^xf(t)dt=u(x+Δx)∙f(x+Δx)Δx+o(Δx)通过移项和除以Δx的操作，可以得到：[Lim(Δx→0)(I(x+Δx)-I(x))/Δx]=lim(Δx→0)(u(x+Δx)∙f(x+Δx)-u(x)∙f(x))/Δx 当Δx趋于0时，上式右边的部分即为u(x)∙f(x)的导数，因此我们可以得到：d[I(x)]/dx=u(x)∙f(x)也就是说，如果我们需要求一个定积分的积分上限函数u(x)的导数，只需要将u(x)与被积函数f(x)的乘积计算即可。
定积分的导数公式
定积分的导数公式
定积分的导数公式是一个有用的数学工具, 它可以帮助我们求解一个函数的极限值, 也就是说, 它可以求出被积函数f(x)在x=a处的极限值。
它的公式如下：
∫f(x)dx = F(a)+F'(a)(x-a)+1/2F''(a)(x-a)^2+…
这里的F(a)表示的是函数f(x)在x=a处的定积分，而F'(a)、F''(a)分别表示函数f(x)在x=a处的一阶导数和二阶导数。
由于定积分的导数公式会让我们更方便地求解极限值，因此，在计算函数极限值时，我们可以使用定积分的导数公式来求解。
例如，假设我们要求函数f(x)在x=a处的极限值，我们可以先求出f(x)的定积分F(a)，然后再求出f(x)在x=a处的一阶导数F'(a)和二阶导数F''(a)，最后将它们代入到定积分的导数公式中，即可求得函数极限值。
此外，定积分的导数公式还可以帮助我们求解相关数学问题，例如，根据定积分的导数公式，我们可以求出函数f(x)在x=a处的极限值。
同样，我们也可以用定积分的导数公式来解决更复杂的问题，比如求出函数f(x)在某一区间上的定积分，只要把函数f(x)的定积分和它在某一区
间上的一阶导数、二阶导数分别代入定积分的导数公式即可求出函数在该区间上的定积分。
总之，定积分的导数公式是一个非常有用的数学工具，它不仅可以帮助我们求解函数极限值，而且还可以帮助我们求解许多复杂的数学问题。
导数、定积分
普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]导数、定积分一．课标要求：1．导数及其应用（1）导数概念及其几何意义①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。
（2）导数的运算①能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的导数；②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b））的导数；③会使用导数公式表。
（3）导数在研究函数中的应用①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；②结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
（4）生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
（5）定积分与微积分基本定理①通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；②通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。
（6）数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。
具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。
二．命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。
在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计优质试题年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；（2）07年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。
导数与定积分
全国名校高考数学复习优质学案汇编（附经典详解）导数与定积分本章知识结构图第一节导数的概念与运算考纲解读1、了解导数概念的实际背景.2、能理解导数的几何意义.3、能根据导数的定义，求函数y=c （c为常数），y = X, y = X2, y =x3, y =丄,y = T X 的导数.x4、能利用常见基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则，求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限形如f（ax + b ）的复合函数）的导数.命题趋势探究预测今年高考依然以考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线斜率为主，可能出选择题、填空题，也可能在解答题中出现，较容易.o图3-1Xo知识点精讲 一、基本概念 1、导数的概念设函数y = f (x 在x = xo 附近有定义，如果 心X T o 时，心y 与心x 的比 型(也叫函数的平均变化率)有极限，即 空无限趋近于某个常数，ZA x我们把这个极限值做函数y =f (x ) 在x=x o 处的导数，记作f '(x o )或y [x 仝.即 …也y ・■f (Xo +A x )— f (Xo ) ■■ f (x )—f (Xo )f(x oT im 瓦x —xo2、导数的几何意义函数y = f (x 在x o 处的导数f '(x0)，表示曲线y=f(x )在点P (x o ,f (xo )) 处的切线PT 的斜率，即tana = f'(x0 )，其中a 为切线的倾斜角，如图 3— 1所示，过点P 的切线方程为y-y o =「(x o )(x -x o )同样，可以定义 曲线y = f (X 在X =X o 的法线为过点P (x o , f (xo )与曲线y = f (x )在x= x o 的 切线垂直的直线.过点P 的法线方程为y-y o =1亦x-x 叫)“)理意义:车从某点出发，在t 时刻车走了一定的距离S = S (t)在t o ~t i 时刻，车接近时，该平均速度近似于t o 时刻的瞬时速度.若令t i ~t o ，则可以认lim St^St o［即s(to )就是t o 时刻的瞬时速度.t<tot1— o二、基本初等函数的导数公式 基本初等函数的导数公式如表 3—13、导数的物走了 S(t i )-S(t o ,这一段时间里车的平均速度为 殂止如,当t i 与t o 很t i -t o全国名校高考数学复习优质学案汇编（附经典详解）表3 —1注：(cf (x )) =cf '(x l c 亡 R. 四、复合函数的导数有关系y x 二y u u x ,该关系用语言表述就是“ y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积”，也就是先把g(x )当作一个整体，把y=flg(x)］对g (x )求导，再把g (x )对x 求导，这两者的乘积就是复合函数y= 4(x )1对x 的导数，即(f l g (x 卩)=「g (x )]&(x ).题型归纳及思路提示 题型39导数的定义注：(低)1斗2jx (x 丿 ， 1 (in X ) =— • x三、导数的运算法则(和、差、 积、商) 设u =u(x)v=v(x )均可导，贝y (1) (u ±v )(ku ) = ku '(k 亡 R )(3) (uv ) = u V + uv ；(4)f u 、 u v -uv\ 二c 、 匕厂复合函数y = fg(x)I 的导数与函数 y = f(u )u = g(x )的导数之间具相同，然后根据导数定义直接写出. 例3.1设f \x0存在，求下列各极限 (1)f (Xo +3"f (Xo ).4导数的定义中，增量A x 的形式是多样的，但不论从选择哪种形式，A y 必须选择相应的形式.利用函数f(X 在点X o 处可导的条件，可以将已知极限变形转化为导数定义的结构形式. O) ■■ f (x o +3A x )—f (xo )f (x o 中 3 也 X )—f (xo )3 3f 丫、，I⑴ to —仏—— --------------------------------- 3=3f (Xo)..f (Xo —h )— f (Xo )f (xo — h )— f (Xo )—、…、|im —h —Fm -------------------- (-i A-f (xo)… kf (x )—f (Xo ) ■■ f (Xo +h )—f (Xo ) ■■ f (Xo )—f (xo — h )奉fg Ai x m x-xoFm h =也 等.侬+23俶)=1,则 f ・(xo )=()A 、思路提示：对所给函数式经过添项、 拆项等恒等变形与导数定义结构解析-h评注 「(xo mj m f gM x A f g )的几种等价形式:变式2设f (x )在X o 处可导，则f (X o +心X )— f (X o -3心x )_ ( 、to A x =()A 、2 f '(x 0 )B 、f '(x 0)C 、3f '(Xo )D 、4f '(Xo )全国名校高考数学复习优质学案汇编（附经典详解）题型40求函数的导数 思路提示：对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合 函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题 例3.2求下列函数的导数.y =V7;(4) y = 10X; (5) y = log 2X ；变式1求下列函数的导数.例3.3求下列函数的导数按照导数的运算法则计算即可，注意常用导数公式的正确使(1)y=x 5；⑵⑴解析 (1) y ，=5x 5-* =5x 4;(2)Z 3 > rLC 2 "(3) y '= X 53 -5 3--X （、55Vx 2(5) y =- 1 ; (6)p y =xln评注 对于基本初等函数（指数函数、y ，=(X 鼻)=Yx 丄」=Vx"5 =——对数函数、幕函数、三角函数）， 这是整个导数运算的基础，一定 要熟练掌握基本初等函数的导数公式 .根式一般化成分数指数幕求n丫 12(1) y =V X; ( 2) y =—(3) y = log 3X ； (4) y = cos X.(3) y=log 3X ；(4) y =cosx . (1)43X 2丹 X；（ 2）^ln ^；（小©*1）…4）y = ^分析 可以直接根据导数公式求解其导数, y =10Xl n10;(6) y =sin .(sin X ) = cosx.2全国名校高考数学复习优质学案汇编（附经典详解）⑵ 八右“十财迸卜珂—卜1—y = 0 +1) e x] =(2x +i y e x+(2x +1) ■(e xy = 2e x+(2x + 1) e^ (2x + 3) ^e x；(cosx) ‘ e X -cosx (e X )’ -sinx^X —cosx e X sin x + cosx/ X\ 2(e )步，熟练以后可适当简化运算过程例3.4求下列函数的导数.分析 设出中间变量，按照复合函数求导法则进行 解析 （1）设u=3x+2，则y = e u，由复合函数求导法则，有y' = (e u)'(3x+2)'=3e u，再把 u =3x+2代入得 /=3e3x^(2)设 u，则 y =log 2u ，所以 y = (log 2 u ) (2x+ 1)=「^，再把u l n 2u=2x+l 代入，可得y =(2x+l)ln 2「X 4) f x 3) f x 2)解析（八丁⑺+㈢⑷r 3 2+ (x )=x + X -x +/ X\ 2(e )评注 利用导数的运算法则求导数时,要根据法则逐步进行, 不要跳变式 1求下列函数的导数.y=x 4-丄；（2）y=xl nx ；（ 3）xy=e X sinx ； (5) y=sin2x ； (6)Xr ；2x-3 y = x +1变式 2求下列函数的导数.(1) y =xX 2+]+AI ( 2) y = x 2cosx ； I X X 丿（3）厂沁；（4） （1）y=e 3x七；（2） y=log 2（2x+1）； （3）y =sin 〔2x +工 \ ；(4)1yPU =2x +工3y=(f兀、)u=2 i x +二(2 c o sI 3/评注设U =1—X，则y J，所以y・=u1](1-X)・=--12%(-1)=A=^1^l u 丿U U (1 — X) 新课标的考试大纲只要求掌握对复合函数y = f (ax + b)型的求导.这里设中间变量u=ax+b，按照复合函数求导法贝y.y' = f '(ax +b)>q ax +b)' = af (ax +b)，只要理解并记住这个公式，在解题时直接套用即可.变式1求下列函数的导数.(1) y=l n(2x +1) ; ( 2) y=si n f2x--〕I 4丿(3) y=22x十+1 n(3x+5); (4) y = (x2+2x-"e2」.题型41导数的几何意义思路提示函数y=f(x)在点x o处的导数，就是曲线y= f(x)在点P(x o,f(x o))处的切线的斜率•这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别.(1)已知f(x)在点(X0,f(X0))处的切线方程为y-y o = f (X0)(x-X o).(2)若求曲线y = f(x)过点(a,b)的切线方程，应先设切点坐标为(x o, f (x o))，由y-y o=f x( o x x J过点(a, b)，求得x o的值，从而求得切线方程.另外，要注意切点既在曲线上又在切线上例3.5设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为〔0,-],则点P横坐标的取值范围为([4」A •卜1，£B.[—1,0] C.〔0,1] D. U,』[2」分析根据曲线的倾斜角和斜率的关系可得，曲线C在P处切线的斜率的范围是0,1],根据导数的几何意义，只要函数y = x2+2x + 3的导数在这个范围即可.解析厂=2x+2，由于曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为〔0二I所以其切线的斜率的范围为[0,1],根据导数的几何意义，得L 4」1 0<2x+2<1，即一1<x<--.故选 A.评注函数y = f(x)在某点处的导数、曲线y = f(x)在某点处的切线的斜率和倾斜角这三者之间是相互关联的，可以相互转化，在解题时要善于在这三者之间转化.变式1设f(x)是偶函数，若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的斜率为1 , 则该曲线在点(-1,f(-1))处的切线的斜率为例3.6 (1)曲线y=x在点(1,1)处的切线方程为；过点(1,1) 的切线方程为(2)过点(-1,1)的直线I与曲线y = x3-x2-2x + 1 相切，且(-1,1)不是切点，则直线I的斜率是(A. 2B. 1C. —1分析若求曲线在点(X0,f(X0))处的切线方程，则点(X0,f(X0))为切点;若求曲线过点(X0,f(X0))处的切线方程，则该点不一定为切点，应先设切点坐标，求其切线方程，代入(X0,f(X0))，求其切点坐标.解析 (1)曲线y=x3在点(1,1)处的切线的斜率为y2=3，切线方程为y_1=3(x_1)，即3x_y_2=0.设过点(1, 1)的切线的切点坐标为(X o'X；),则切线方程为y_x0 ^^(x — X o),代入点(1,1)得,1 —X； =3玮(1一％0)，即(1-X o)(1 +Xo+ x：)-13x o(1—X o)，得"-1)2(2x o+1) =o，解得X o=1 或x^--，所以切线方程为y -1 =3(x-1)或y -(-1) =?(x +1)，即3x -y -2 = o 或3x-4y +1 = o .8 4 2(2)依题意，设切点坐标为，则切线方程为y-(X -x O -2x o +1)= (3x o -2x o -2)(x —X o) 代入点(- 11 - X o ( -X o -2X o +1 X，(即0 ~3X o +1) (-X o 光1) =~02, 得) X o 丰-1或)X o =1，又X o工-1，所以X o =1，直线I的斜率为y'h4 = -1，故选C. 变式1 (优质试题安徽理19)设函数f (x)=ae X +丄+ b(a>0)，设曲ae线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为"手，求a,b的值.变式2 (优质试题北京理18)已知函数f(X)=ax2+1(aA0)，g(x) =x3+bx，若曲线y = f(x)与曲线y = g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值.变式 3 已知函数f(x) =ax3+3x2-6ax-11，g(x) =3x2+6x+12 和直线m: y =kx+9，又f'(-1)=0.(1)求a的值;(2)是否存在k，使直线m既是曲线y=f(x)的切线，又是曲线y = g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.例3.7在平面直线坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)=e x(xA0)的图像上的动点，该图像在P处的切线I交y轴于点M，过点P作I的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值分析 先设切点坐标(X 0,e*)，根据导数的几何意义求出切线的斜率， 写出切线方程，从而求出M 的纵坐标，同理可求出N 的纵坐标，将t 表示成X 0的函数，最后借助导数的方法求出函数的最大值解析 设 P(x 0,e X0) , k = f Zx) I x^ yX 0, l 的方程为 y —e*=e"(x —X 0)，令1x =0，得 M0e X 1 为0 .PN 的方程为 y-e^ =-K(x-X 0)，令 x = 0，得 eN 仏冷 + 身］，故 t 二耳“②―X 0)+40r ］，设 g(x) =(2 —x)e X + xe 」(x>0), I e 丿 2 I e 」则 g(x) =(^x)(e X+e^), 令 g'(x )= 0, 得 x =1 ,当 0<x<1 时，g(x)> 0 g (在(0,1)上单调递增；当 X"时，gYx)cO=g(x)在(1,垃)上单调递减’故g(x)max=g(i)=W ，所以的最大值是W 评注 利用切点横坐标X o 可以表示曲线上任一点处切线的方程为:y —f(X o ) =f '(X o )(x —X)).线y =ln(2x)上,则PQ 的最小值为( )A . 1-1 n2B .72(1-1 n2)C . 1+1 n2最有效训练题14 (限时45分钟)1 .设 f(x) =xlnx ，若 f'(x 。
定积分导数
定积分求导公式：[∫(a，c)f(x)dx]=0。
定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。
通常分为定积分和不定积分两种。
直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。
变限积分和定积分的求导公式
变限积分和定积分的求导公式下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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下限为零的定积分求导
下限为零的定积分求导下限为零的定积分求导是微积分中的一个重要概念。
在这个过程中，我们需要使用到一些特定的规则和技巧。
本文将以清晰的语言解释这个过程，并提供一些实例进行说明。
在数学中，定积分是一个将函数与自变量进行关联的工具。
它将函数的变化率转化为区间上面的面积，从而帮助我们解决各种实际问题。
而求导是计算一个函数在某一点的变化率，即函数的导数。
下限为零的定积分求导实际上是求解定积分的导数。
为了理解这个概念，我们首先需要回顾一下定积分的定义。
定积分可以用一个导数逆运算的形式来表示：如果函数F是连续的，并且在区间[a, b]上的导数为f(x)，那么区间[a, x]上的定积分可以表示为：∫[a, x] f(u) du = F(x) - F(a)其中，F(x)称为f(x)的不定积分。
现在我们考虑下限为零的情况，即a=0。
那么上述公式可以简化为：∫[0, x] f(u) du = F(x) - F(0) = F(x)根据这个简化后的公式，我们可以将下限为零的定积分求导问题转化为求不定积分F(x)的导数。
这个导数就是我们所求的下限为零的定积分的导数。
接下来，我们将通过一个具体的例子来展示下限为零的定积分求导的过程。
假设我们有一个函数f(x) = x^2，我们要求解下限为零的定积分的导数。
根据上述的转化，我们需要先求解不定积分F(x)。
对于函数f(x) = x^2，不定积分F(x)可以表示为：F(x) = ∫x^2 dx = (1/3)x^3 + C其中C是常数。
现在我们已经找到了F(x)，下一步是求F(x)的导数。
导数的计算相对简单，对于F(x) = (1/3)x^3 + C，它的导数为：F'(x) = d/dx ((1/3)x^3 + C) = x^2我们已经找到了F(x)的导数，即下限为零的定积分的导数。
根据前面的推导，我们可以得出结论：d/dx ∫[0, x] x^2 dx = x^2这个例子展示了下限为零的定积分求导的过程。
定积分求导的意义
定积分求导的意义定积分是微积分中的重要概念之一，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
而通过对定积分进行求导，我们可以得到一些重要的结果和应用。
本文将探讨以定积分求导的意义。
我们来回顾一下定积分的定义。
定积分是对函数在某个区间上的积分，它的符号是∫。
对于函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分可以表示为：∫[a, b] f(x) dx通过求导来探讨定积分的意义，实际上是在求解函数的导数。
对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，我们可以考虑将积分区间的上限b视为变量，即将定积分表示为关于b的函数：F(b) = ∫[a, b] f(x) dx接下来，我们可以使用微积分中的基本定理来求解这个函数的导数。
根据基本定理，对于一个连续函数f(x)，如果存在一个原函数F(x)使得F'(x) = f(x)，那么对于任意一个区间[a, b]，有：∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)这就意味着函数F(b)是定积分F(b) = ∫[a, b] f(x) dx 的一个原函数。
根据求导的定义，我们可以得到：F'(b) = d/dx (∫[a, b] f(x) dx) = f(b)这就是说，通过对定积分进行求导，我们可以得到函数f(x)在积分区间上的值。
通过上述推导，我们可以看出，以定积分求导的意义在于求解原函数和确定函数在积分区间上的值。
这对于理解函数的变化趋势和计算一些重要的物理量具有重要的意义。
在物理学中，以定积分求导的意义更加明显。
例如，对于一个运动的物体，我们可以根据物体的速度函数来求解其位移函数。
设物体在时刻t的速度为v(t)，则物体在时刻t的位移可以表示为：s(t) = ∫[t0, t] v(t) dt其中，t0是初始时刻。
如果我们对位移函数s(t)进行求导，就可以得到物体在时刻t的速度：v'(t) = d/dt (∫[t0, t] v(t) dt) = v(t)这就意味着物体的速度函数v(t)是位移函数的导数。
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高三数学第一轮复习教案—导数、定积分、极限一．课标要求：1．导数及其应用（1）导数概念及其几何意义①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。
（2）导数的运算①能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的导数；②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数；③会使用导数公式表。
（3）导数在研究函数中的应用①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；②结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
（4）生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
（5）定积分与微积分基本定理①通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；②通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。
（6）数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。
具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。
二．命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。
在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；（2）今年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。
定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用，由于定积分在实际问题中非常广泛，因而07年的高考预测会在这方面考察，预测高考呈现以下几个特点：（1）新课标第1年考察，难度不会很大，注意基本概念、基本性质、基本公式的考察及简单的应用；高考中本讲的题目一般为选择题、填空题，考查定积分的基本概念及简单运算，属于中低档题；（2）定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型。
三．要点精讲1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f（x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim→∆x xy∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim 。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0）） 处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3．常见函数的导出公式．（１）0)(='C （C 为常数） （２）1)(-⋅='n nx n x（３）x x cos )(sin =' （４）x x sin )(cos -='4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。
形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数。
复合函数求导步骤：分解——求导——回代。
法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X5．导数的应用（1）一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数；如果'f 0)(<x ，则)(x f 为减函数；如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常数；（2）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；（3）一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。
①求函数ƒ)(x 在(a ，b)内的极值； ②求函数ƒ)(x 在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)； ③将函数ƒ )(x 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
6．定积分 （1）概念设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式I n ＝∑ni f1＝(ξi )△x （其中△x为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：⎰badx x f )(，即⎰badx x f )(＝∑=∞→ni n f 1lim (ξi )△x 。
这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式。
基本的积分公式：⎰dx 0＝C ；⎰dx x m＝111++m x m ＋C （m ∈Q ， m ≠－1）；⎰x1dx ＝ln x ＋C ；⎰dx e x＝xe ＋C ；⎰dx a x＝aa xln ＋C ；⎰xdx cos ＝sin x ＋C ；⎰xdx sin ＝－cos x ＋C （表中C均为常数）。
（2）定积分的性质①⎰⎰=ba badx x f k dx x kf )()(（k 为常数）；②⎰⎰⎰±=±ba b abadx x g dx x f dx x g x f )()()()(；③⎰⎰⎰+=bac abcdx x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。
（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线x ＝a ，x ＝b （a <b ），x 轴及一条曲线y ＝f （x ）(f (x )≥0)围成的曲边梯的面积⎰=badx x f S )(。
如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a<b ）围成，那么所求图形的面积S ＝S 曲边梯形AMNB－S 曲边梯形DMNC ＝⎰⎰-babadx x f dx x f )()(21。
四．典例解析题型1：导数的概念例1．已知s=221gt ，（1）计算t 从3秒到3.1秒 、3.001秒 、3.0001秒….各段内平均速度；（2）求t=3秒是瞬时速度。
解析：（1）[]t t ∆=-=∆,1.031.3,1.3,3指时间改变量； .3059.03211.321)3()1.3(22=-=-=∆g g s s s s ∆指时间改变量。
059.313059.0==∆∆=t s v 。
其余各段时间内的平均速度，事先刻在光盘上，待学生回答完第一时间内的平均速度后，即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。
（2）从（1）可见某段时间内的平均速度t s ∆∆随t ∆变化而变化，t ∆越小，t s ∆∆越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是0→∆t 时，t s∆∆的极限，V=0lim →∆x t s ∆∆=0lim →∆x =∆-∆+t s t s )3()3(0lim →∆x t g t g ∆-∆+22321)3(21 =g 21lim →∆x （6+)t ∆=3g=29.4(米/秒)。
例2．求函数y=24x 的导数。
解析：2222)()2(44)(4x x x x x x x x x y ∆+∆+∆-=-∆+=∆， 22)(24x x x x x x y ∆+∆+⋅-=∆∆， ∴00limlim→∆→∆=∆∆x x x y⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+∆+⋅-22)(24x x x x x =-38x 。
点评：掌握切的斜率、 瞬时速度，它门都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础。