最优控制变分法

x1
x0
[ Fyy Fy 'y ' ]dx 0
对式中第二项利用分部积分，得 x1 x1 d Fy 'y ' dx Fy ' (y ) dx x0 x0 dx



x1
x0
Fy ' d (y )
Fy 'y
F y ' y
x1 x0
x1 x0


x1 x0
x1 x0
若 F(x, y, y)对 x 的一阶偏导数 Fx , F ( x, y , y ) 对 y 的一阶偏导数
Fy , F ( x, y , y ) 对 y 的一阶偏导数 Fy 存在且连续，则
| Fy Fy || Fy ( x, y 2 , y 3 ) Fy ( x, y , y ) | 1
(y )d ( Fy ' )
d ( F y ' ) ydx dx

代入，得泛函极值存在的必要条件为
式中， 0 1 1, 0 2 1, 0 3 1 利用多元函数的中值定理，
F ( x, y , y ) F ( x, y , y ') Fy ( x, y 2 , y 3 ) ' Fy ' ( x, y 2 , y 3 )
| Fy ' Fy ' || Fy ' ( x, y 2 , y 3 ) Fy ' ( x, y , y ) | 2
其中，=max( 1, 2)。上两式无非说明对于连续函数，自 变量的增量为无穷小时，函数的增量也为无穷小。 由于和的绝对值小于等于绝对值的和，故
注意x无增量，故缺一项。书写为方便起见，令
Fy Fy ( x, y 2 , y 3 ), Fy Fy( x, y 2 , y 3 )
代入，
x1 ˆ ) J ( y ) [ F ( x, y , y ) F ( x, y, y ')]dx J(y x0 x1 [ Fy ( x, y 2 , y 3 ) Fy( x, y 2 , y 3 )]dx x0 x1 [ Fy Fy]dx x0 x1 x1 [ Fy Fy ' ]dx [ ( Fy Fy ) ( Fy Fy)]dx x0 x0
J [ x ( t f ), t f ]

tf
t0
( x ( t ), u ( t ), t ) dt
x(t) 为状态向量， t f 为终时， 式中，t为时间， t0为开始时间，
和 都是标量函数。 u(t ) 为控制向量， x(tf ) 为状态向量终态。
上式中，第一项

把向量 x(t f ) 及 t f 变换为标量，的确为泛函
d max(d 0, d1)
d max(d 0, d1, d 2)
………………
dn
max | F(n) (x) G(n) (x) |, x [a,b]
d max( d 0, d 1, d 2., dn )
称 为 n级 距 离
该定义说明在闭区间[a,b]内，两条曲线纵坐标的差取绝 对值（因距离总为正），并从所有绝对值中找出最大的作 为零级距离。如果零级距离很小，表示两条曲线很靠近。 但是零级距离小并不能保证两条曲线形状相同，因此还要 看一阶导数，二阶导数……，n阶导数是否接近。由于一 级距离是从d0，d1取出最大的一个形成的，所以一级距离 小就表示两条曲线的距离很近。对于二级距离，……，n 阶距离的解释可以类推。
x1 ˆ )J ( y) [ F ( x, y ˆ ( x), y ˆ ' ( x)) F ( x, y( x), y' ( x))]dx J(y x0 x1 [ F ( x, y , y ) F ( x, y, y' )]dx x0
回顾多元函数的中值定理，若有函数 F ( x, y , z ), 而一阶偏导数
第一章

变分法
1.1 泛函 1.2变分的推演 1.3Euler方程 1.4向量情形 1.5有约束的情形 1.6端点可变情形 1.7变分的另一种定义
1.1 泛函
（1）定义（泛函）
泛函是一映射L : J K , J Y , Y为一向量空间， K 一般为实数 域R或复数域C。 这说明泛函是一种变换，它把向量空间Y中某一子集J 映射为 K的某个子集。 例：曲线的弧长 在xy平面上过A（x1 ,y1）,B(x2,y2)两点之间的曲线弧长公式为
因此，定义泛函的一次变分为
J

x1
x0
[ F y y F y ' y ' ] dx
定义泛函的二次变分定义为
1 x1 J [ F yy ( y ) 2 2 F yy ' y y ' F y ' y ' ( y ' ) 2 ]dx 2 x0
2
注意，泛函的二次变分并不等于对泛函的一次变分再取 一次变分。
| [ ( Fy Fy ) ' (F y ' Fy ' )]dx | | |dx
x0 x0
x1
x1
[| (Fy Fy ) | | ' ( F y ' Fy ' ) |]dx
x0
x1
2 ( x1 x0 )
说明这一项为高阶无穷小。代入
则称泛函有极小值。 该定义说明泛函极小值存在的充分条件为
ˆ )J ( y ) 0. J(y
同样泛函极大值存在的充分条件为：
ˆ )J ( y ) 0; J(y
1.2 变分的推演
考虑如下泛函求极值问题 x1 J ( y ) F ( x, y ( x), y( x))dx x0 式中，F 为 x, y ( x), 及 y ( x ) 的函数。 虽然以下的推演可以推广到目标函数中具有高阶导数的情 况，但在自动控制中都是用一阶的状态向量方程描写系统 的，因此目标函数中通常不出现二阶以上的高阶导数 。 设极值曲线为 y ˆy ˆ ( x), 可取曲线为 y y ( x ).
（3）定义（n级ε邻区和泛函求极值）
ˆ ( x) 为中心，由 ( x ) 和 ( x ) 以函数 y
ˆ ( x) 构成的带状 （ε为无穷小量），称为函数 y
的ε邻区。若有另一个函数 y F ( x),
ˆ 和 y 的零级距离落入ε邻区内，称该邻区为零级 y
ˆ 和 y 的差用 表示，则 若 y
ˆ ( x) y ( x) ( x), y
ˆ 和 y 的差是不同的 显然 是x的函数，因为不同 x 时 y ˆ ( x) ( x), 最后结果是一样的）。 （当然也可以令 y ( x) y
移项，得 求导，得
ˆ y y
ˆ y y
J 0
为局部极值存在的必要条件；而
2 J 0 为局部极值存在极小的充分条件，
2 J 0 为局部极值存在极大的充分条件。
1.3 EULER方程
泛函求极值
min J ( y )
y
x1
x0
F ( x , y ( x ), y ' ( x )) dx
泛函极值存在的必要条件为 J 0 由式（1—1），得泛函极值存在的必要条件为
ˆ) J ( y) J(y
x1
F
x1 x0
y来自百度文库
F y dx
( F y F y ) '( F y' F y ' ) dx x0
F
x1 x0
y
F y dx o ( y , y ')
max( d 0 , d 1 )
必有 所以
ˆ y | , | y ˆ ' y ' | |y
ˆ y | | ( y 2 ) y || ( y ) y || y
ˆ ' y ' | | ( y ' 3 ' ) y ' || ( y ' ) y ' || y
邻区。N 级
邻区的定义可以类推。
所谓泛函求极值就是：
ˆ ( x), 寻找 y F ( x) 使 y 落入 设存在极值曲线 y
ˆ的n级 y

邻区内，则 y F ( x ) 就是所求的极值曲线。
（4）定义（泛函的极值）
设 J ( y ) 为泛函，y为规定的区域内可以取的曲线
ˆ 为极值曲线。若 J ( y ˆ ) J ( y ) （简称可取曲线），y

x1 x0
F y y F y ' y ' dx o ( y , y ')
式中，采用了变分记号。
y 的一次变分
y 的一次变分
ˆ y y y
ˆ ' y ' y ' ' y
受上式的启发，看到 F y y F y ' y ' 是 F ( x, y, y' ) 用Taylor
C [ a , b ] 空间中两点间的距离定义为
d0
d1
d2
max x [ a, b]
| F ( x) G ( x) | d
称为零级距离 称为第一级距离。 称为第二级距离。
max | F ( x) G ( x) |, x [ a, b]
max | F ( x) G ( x) |, x [ a, b]
级数展开后的线性主部，而 o(y ) 就是Taylor级数 展开的各高阶项之和。即
ˆ ) J ( y ) [ Fyy Fy 'y ']dx J(y
x0
x1
（1—1）
1 x1 [ Fyy (y ) 2 2 Fyy 'yy ' Fy ' y ' (y ' ) 2 ]dx 2 x0
以下计算第二个积分，实际上是估计余项。 按泛函求极值的
ˆ 与 y 的一级距离应落入ε邻区内（由于本节的泛函 定义， y
只对 y 与 y’提出要求，故只用到一级距离），即令
ˆ y| d 0 max | y
x [ x 0 , x1 ]
ˆ ' y ' | d 1 max | y
x [ x 0 , x1 ]
因此
ˆ) J 2 J 3J J ( y) J ( y
从全局极值看， 当 J ( y ) J ( y ˆ ) 0 时有全局最小，当
ˆ ) 0 时有全局最大。从局部极值看，y 落入 y J ( y) J ( y ˆ
的n级

ˆ )与J ( y ) 十分接近，因此， 邻区内， J ( y
（此外， 也只不过是普通的标量函数）；第二项定积分把 t 及向量 x(t ) 和向量 u(t) 构成的标量函数 变换为标量， 也为泛函。泛函之和仍为泛函。 因此，目标函数也有目标泛函之称。
（2）定义（函数空间中的距离）
连续函数空间 C[ a, b] 是一种抽象空间，其中每一点表示一条 连续曲线，（C为continuous的第一个字母；闭区间[ａ,ｂ］表 示函数的定义域）。
AB



x2 x1
1 y ' 2 dx
通过A，B两点的函数若为 y f (x) ，则不同的函数有不同的 弧长，即弧长是 y 的函数，记为 J ( y ) ，即
x2 1 y 2 dx J ( y ) AB x1

因此，求弧长的定积分是一种变换，它把x1与x2之间各点相应 的y变换为标量（弧长）。由此例可以看出定积分为泛函。 以下是各章经常要用到下列形式的目标函数
Fx , Fy ,Fz 存在且连续，当自变量x、y、z各有增量h、k、l
时，函数的增量为
F(x h, y k, z l) F(x, y, z) hFx(x 1h, y 2k, z 3l) kFy(x 1h, y 2k, z 3l) lFz(x 1h, y 2k, z 3l)