对偶理论与灵敏度分析练习题答案
运筹学第三章 对偶问题和灵敏度分析
线性规划的对偶问题 对偶问题的基本性质 影子价格 对偶单纯形法 灵敏度分析
3.1 线性规划的对偶问题
一、问题的提出 回顾例题1
例1 某工厂在计划期内要安排生产A、B两种产品（假定产
品畅销）。已知生产单位产品的利润与所需的劳动力、设备
台时及原材料的消耗，如表1.1所示
项目
基变量 非基变量
CB XB Cj-Zj
B-1 b
XB Ⅰ 0
表2.5
XN B-1 N CN－CB B-1 N
XS B-1Ⅰ - CB B-1
初始单纯形表:
项目
非基变量
XB
XN
B-1 0 XS
b
B
N
Cj-Zj
CB
CN
B1 p1p2...pn
基变量
XS Ⅰ 0
项目
基变量 非基变量
XB
CB XB B-1 b
x 1 , x 2 , x 3 0
2.
m in Z 3 x1 2 4 x4 0
x2 3 x3 4 x4 5
2
x
1
3 x2
7 x3
4 x4
2
x 1 0 ， x 2 0 , x 3、 x 4 无 约 束
答 案 ：1 . m a x W 2 y 1 3 y 2 5 y 3
2y1 3y 2 y3 2
3 5
y y
1 1
y2 7y2
4y3 6y3
2 4
y 1 0 , y 2 . y 3 0
2 .m ax W 3 y1 5 y 2 2 y3
3对偶理论与灵敏度分析解析
对偶的定义 min W= Y b s.t. ATY ≥ C
Y≥0
min Z’= - CX
max W’ = -Yb
s.t. - AX ≥ - b
s.t. -ATY ≤ -C
X ≥0 对偶的定义
Y≥0
__
__
（2）弱对偶性：设 X和 分Y 别是问题（P）和（D）的
可行解，则必有
__ __
n
m
C X Y b, 即 c j x j yibi
i 1
m
aij yi
c j ( j 1,2,, n)
i1
yi无符号限制（无约束）(i 1,2,, m)
例： 原问题为
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3
x1
x2
7 x3 3
x1 4 x2 6 x3 5
x1 , x2 , x3 0
对偶问题的无界性。
无界
关于无界性有如下结论：
minW 4 y1 2 y2
原问题 问题无界
对偶问题 无可 行解
（D）
y1 y1
y2 y2
2 1
y1
0,
y2
0
无可 行解
问题无界
无可 行解
推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行 （如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的问 题无界。
一、问题的提出
• 对偶是什么：对同一事物（或问题），从不同 的角度（或立场）提出对立的两种不同的表述。 • 在平面内，矩形的面积与其周长之间的关系， 有两种不同的表述方法。 （1）周长一定，面积最大的矩形是正方形。 （2）面积一定，周长最短的矩形是正方形。 • 这种表述有利于加深对事物的认识和理解。 • 线性规划问题也有对偶关系。
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5．已知 Yi 为线性规划的对偶问题的最优解，若 Yi>0，说明（）。[深圳大学 2006 研] A．原问题的最优解 xi=0 B．在最优生产计划中第 i 种资源己完全耗尽 C．在最优生产计划中第 i 种资源有剩余 D．无法判断 【答案】B 【解析】当影子价格为 0 时，表示某种资源未得到充分利用；而当资源的影子价格不为 零时，表明该种资源在生产中已耗费完毕。
【答案】对偶单纯形法
3．某极小化线性规划问题的对偶问题的最优解的第 l 个分量为 yl=-12，则该问题的第 1 个约束条件的右端常数项的对偶价格为：______。[武汉大学 2006 研]
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【答案】-12
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【解析】由对偶问题的经济解释可知，原问题约束条件的右端常数项的对偶价格等于对
4．根据对偶解的经济含义，若天然气资源是我国的一种稀缺能源资源，其影子价格必 然是（）。[北京科技大学 2010 研]
A．不能确定 B．＜0 C．=0 D．＞0 【答案】D 【解析】影子价格是对系统内部资源稀缺程度的一种客观评价，某种资源的影子价格越 高，说明该资源在系统内越稀缺，增加该资源的供应量对系统目标函数值贡献也越大。天然 气是资源是一种稀缺能源资源，其影子价格必然大于 0。
学 2008 研]
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【答案】√
【解析】它的对偶问题可能无解，也可能有无界解。
二、选择题
1．用线性规划制定某一企业的生产计划问题，两种资源的影子价格分别为 y甲=5 ， y乙=8 ，说明这两种资源在该企业中的稀缺程度为（）。[北京交通大学 2010 研]
线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题
第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题1. 写出下列线性规划问题的对偶问题。
(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤++≥++++=无约束321321321321321,0,534332243422min x x x x x x x x x x x x x x x z (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++≥-+-=++++=0,0,837435522365max 321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x z 无约束(3)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=====∑∑∑∑====),,1;,,1(0),,1(),,1(min 1111n j m i x n j b x m i a x x c z ij mi j ij nj i ij mi ijnj ij (4)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥++==<=<=∑∑∑===),,,,1(0),,2,1(),,1(min 1211111n n j x m m m i b x a m m i b x a x c z j n j i j ij nj i j ij nj jj 无约束 2. 判断下列说法是否正确，为什么?(1)如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解； (2)如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解； ( 3)在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或极小，原问题可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值；(4)任何线性规划问题具有唯一的对偶问题。
3. 已知某求极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如下表所示，求表中各括弧内未知数的值。
⎪⎩⎪⎨⎧=≥-≤+-+-≥++++++=)4,,1(0322326532min 432143214321 j x x x x x x x x x x x x x z j(1)写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶问题；(3)利用(2)的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优解。
运筹学对偶理论与灵敏度分析作业
作业：问题1：书本P71第7题1、设x1 、x2 、x3分别为A产量，B产量，C产量目标函数：Z=4 x1 +x2 +5x3约束条件：+3x2 + 5x3<=456x3x1 +4x2 +5x3<=30x1 、x2 、x3>02、A的利润在3~6之间，最优计划不变。
3、设x1 、x2 、x3、x4 分别为A产量，B产量，C产量，D产量目标函数：Z=4 x1 +x2 +5x3+2.5x4约束条件：+3x2 + 5x3+3x4<=456x3x1 +4x2 +5x3+2x4<=30x1 、x2 、x3、x4>0利润从35增加到37.5，值得生产。
4、见Excel问题2：某厂拟生产甲、乙、丙三种产品，都需要在A，B两种设备上加工，有关数据如下表所示：（1）如何充分发挥设备能力，使产品总产值最大？设x1 、x2 、x3分别为甲产量，乙产量，丙产量目标函数：Z=3 x1 +2x2 +x3约束条件：+2x2 + 1x3<=400x2x1 +1x2 +2x3<=500x1 、x2 、x3>0最优解甲产量乙产量丙产量200 100 0总产值最大800（2）200个甲产品在A设备上加工1小时，B设备上加工2小时。
100个乙产品在A设备上加工2小时，B设备上加工1小时。
丙产品不生产。
使得总产值最大为80万。
（3）试分别确定甲产品单位产值、B设备供量各自的影响范围。
甲产品的范围是198~201。
B设备供量的范围是200~800。
（4）若每月能以39万元租金租用外厂B设备300台时，则应否租用？为什么？原来的产值为80万，租用外厂之后的产值为120万，则产值增加了40万，而租金要39万，则增加的产值足够支付租金，最后剩余1万，说明能租用。
（5）若每月A设备提供量减少200台时，B设备供量增加100台时，试问最优解与影子价格有何变化？最优解是600影子价格：A设备从0.333~3 ；B设备从1.333~0。
《管理运筹学》第四版 第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶 课后习题解析
《管理运筹学》第四版课后习题解析第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶1．解： （1）c 1≤24 （2）c 2≥6 （3）c s 2≤82．解：（1）c 1≥−0.5 （2）−2≤c 3≤0 （3）c s 2≤0.53．解：（1）b 1≥250 （2）0≤b 2≤50 （3）0≤b 3≤1504．解： （1）b 1≥−4 （2）0≤b 2≤10 （3）b 3≥45. 解：最优基矩阵和其逆矩阵分别为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1401B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-14011B ； 最优解变为130321===x x x ，，最小值变为-78； 最优解没有变化； 最优解变为2140321===x x x ，，，最小值变为-96；6．解：（1）利润变动范围c 1≤3，故当c 1=2时最优解不变。
（2）根据材料的对偶价格为1判断，此做法有利。
（3）0≤b 2≤45。
（4）最优解不变，故不需要修改生产计划。
（5）此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为−3小于零，对原生产计划没有影响。
7. 解：(1)设321,,x x x 为三种食品的实际产量，则该问题的线性规划模型为,, 4005132 4505510 35010168 325.2max 321321321321321≥≤++≤++≤++++=x x x x x x x x x x x x x x x z 约束条件：解得三种食品产量分别为0,75.43321===x x x ，这时厂家获利最大为109.375万元。
(2)如表中所示，工序1对于的对偶价格为0.313万元，由题意每增加10工时可以多获利3.13万元，但是消耗成本为10万元，所以厂家这样做不合算。
（3）B 食品的加工工序改良之后，仍不投产B ，最大利润不变；若是考虑生产甲产品，则厂家最大获利变为169.7519万元，其中667.31110,167.144321====x x x x ，，；（4）若是考虑生产乙产品，则厂家最大获利变为163.1万元，其中382.70,114321====x x x x ，，；所以建议生产乙产品。
运筹学习题解答(chap2)(1)(1)
第二章 对偶问题与灵敏度分析一、写出下列线性规划的对偶问题1、P89,(a)321422m in x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤++≥++.,0,;534;332;243321321321321无约束x x x x x x x x x x x x解：原模型可化为321422m in x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≥≥++.,0,;534;3-3--2-;243321321321321321无约束x x x y y y x x x x x x x x x 于是对偶模型为321532m ax y y y W +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤+-≤+-.,0,;4334;243;22321321321321无约束y y y y y y y y y y y y2、P89,(b)321365m ax x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++≥-+-=++.0,0,;8374;35;522321321321321x x x x x x x x x x x x 无约束解：令033≥-='x x 原模型可化为321365m ax x x x Z '-+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥'≥≤'+≤'='+.0,0,;83-74;3--5-;52-2321321321321321x x x y y y x x x x x x x x x 无约束于是对偶模型为321835m in y y y W +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥---≥+-=++.0,,;332;6752;54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≥+-=++.0,,;332;6752;54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束二、灵敏度分析1、P92, 线性规划问题213m ax x x Z += ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,1025;74212121x x x x x x最优单纯形表如下试用灵敏度分析的方法，分析：（1） 目标函数中的系数21,c c 分别在什么范围内变化，最优解不变（2） 约束条件右端常数项21,b b 分别在什么范围内变化，最优基保持不变解：（1） 1c 的分析：要使得最优解不变，则需⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⨯-⨯+=≤⨯+⨯-=034131003513201413c c σσ 即 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥42511c c 所以：4251≤≤c 时可保持最优解不变。
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案
第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题一、思考题1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？2．简述对偶单纯形法的计算步骤。
它与单纯形法的异同之处是什么？3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检验数之间的关系？5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量），其经济意义是什么？7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量的检验数（标准形为求最小值），其经济意义是什么？8．将的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？二、判断下列说法是否正确1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。
2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。
3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。
4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定有最优解。
5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。
6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量，说明在最优生产计划中，第种资源已经完全用尽。
7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量，说明在最优生产计划中，第种资源一定还有剩余。
8．对于来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围之后，线性规划的最优解就会发生变化。
9．若某种资源的影子价格为，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加个单位，相应的目标函数值增加。
10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量，且所在行的所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。
三、写出下列线性规划的对偶问题（1）（2）；；（3）（4）；；（5）（6）；。
四、用对偶单纯形法求解下列线性规划问题（1）（2）；；（３）（４）；；五、对下列问题求最优解、相应的影子价格及保持最优解不变时与的变化范围。
第2章 对偶理论和灵敏度分析-习题
理解原问题与对偶问题的关系. 论述对偶问题的基本性质并证明. 掌握对偶单纯形法. 掌握灵敏度分析及参数线性规划.
应用灵敏度分析原理讨论管理实践中的经 济决策问题.
1 写出下列线性规划问题的对偶问题
max Z = 5 x1 + 6 x 2 + 3x 3 x1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 5 x1 + 5 x 2 x3 ≥ 3 s.t. 4 x1 + 7 x 2 + 3x 3 ≤ 8 x1无约束,x 2 ≥ 0, x3 ≤ 0
b
1 2
x1 1 0 0
-3-2+λ -5+-4λ -1+λ-
σ j′ = (c j z j )′ = C j′ C B′ B 1 Pj
= C j ′ C B ′ P j′
3 2 5 + 1 +λ
令=0
+λ
≤0 ≤0
4λ ≤ 0
-5/4≤λ≤1, 故 3/4≤c1≤3
令λ=0 -1≤≤5, 故 2≤c2≤8
b
1/3 2
X 故最优解为: * = (0, 2, 0, 0, 0,1/ 3)
(5) 增添一个新的约束 x1+2x2+x3 ≤4
Cj CB 2 3 0 XB x1 x2 x6 b
1 2 4
2 x1 1 0 1 0
3 x2 0 1 2 0
1 x3 -1 2 1 -3
0 x4 4 -1 0 -5
0 x5 -1 1 0 -1
(1)求线性规划的最优解.(20分) (2)写出对偶问题并求出对偶问题的最优解.( 5分) (3)当△b3=-150时最优基是否发生变化?为什 么?(5分) (4)求c2的灵敏度变化范围.(5分) (5)如果x3的系数由[1,3,5]变化到[1,3,2]最 优基是否改变?若改变求新的最优解.(5分)
对偶理论与灵敏度分析(1)
17
对偶定理
是揭示原始问题的解与对偶问 题的解之间重要关系的一系列定理。
18
2.4.4 对偶单纯形法
什麽是对偶单纯形法？ 对偶单纯形法是应用对偶原理求解原始 线性规划的一种方法——在原始问题的单 纯形表格上进行对偶处理。 注意：不是解对偶问题的单纯形法！
19
2.4.4 对偶单纯形法
1、两种方法的特点 单纯形法特点：在保持基可行解的情况下，
显然：对称形式的对偶问题，若已知其中 一个问题，立即就可以写出相应的对偶问 题。
11
表2.13 对偶变换的规则
原问题 (max)
技术系数矩阵 A 价值系数 C 右端项 b
第 i 行约束条件为 型 第 i 行约束条件为 型 第 i 行约束条件为 = 型
决策变量 xj 0 决策变量 xj 0 决策变量 xj 不限
0 J
1/6 -1/6 0
[-2/3] -1/3 1
1 40
0 -1/4 1/4
1 1/2 -3/2
w
-17/2 15/2 0
0 2/7 3/2 25
原问题的最优解为(0,1/4,1/2),最优值为17/2
由上例得结论：
（1）当约束条件为“≥”时，不必引进人工变量， 使计算简化。
（2）由对偶问题的性质知道：用单纯形法求解L.P 问题时，每一次迭代可得一个基解，这时检验数 行的数是对偶问题的一个基解。原问题的松驰变 量对应着对偶问题的决策变量，对偶问题的松驰 变量对应着原问题的决策变量。在一个问题中是 基变量，则在另一个问题中就是非基变量 ，反之 亦然。
• （一）对称形式的对偶问题 • 比较上述的两个互为对偶问题：
max Z 3x1 5x2 4x3
2x1 3x2 1500 s.t. 2x2 4x3 800
第二章 对偶问题和灵敏度分析1
1
1 2
2
y1 y3
x 2x 2 可直接寫出此問題的對偶問題如下：
1 2
7 x1 6 x2 42 y2
x1 0, x2 0
D：Max y0 32 y1 42 y2 2 y3 可直接寫出此問題的對偶問題如下： ：Max y x 32 s.t. 4 y1 7 y2 y3 D10 1 y 42 y 2 y
W = 30y1 + 60 y2 + 24y3
根据原则2 ，对方能够接受的价格显然是越低越好，因此 此问题可归结为以下数学模型：
目标函数 Min W = 30y1 + 60 y2 + 24y3 y1 + 3y2 约束条件 s.t y1 , y2 , y3 0 原线性规划问题称为原问题，此问题为对偶问题， y1 , y2 , y3 称为影子价格
y,,v v))是 行解， ， ((y 是D D的可行解。 的可行解。 这两个 x,,s s) )是 令 令((x 是P P 的可 的可行解 这两个 可行 且只当 只当 可行解均为 解均为最佳 最佳解当 解当且 0 ii yi sii 0
x jjv jj 0 0 jj
原始问题的变量
极个别（B）
对偶问题
第二章.对偶理论与灵敏度分析1. 已知线性规划问题：332211m a xx c x c x c z ++= ⎪⎩⎪⎨⎧=≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡)5,,1(01001.2154323132221212111 j x b b x x x a a x a a x a a st j 用单纯形法求解得最终单纯形表如下表所示： （a ） 求232221131211,,,,,a a a a a a 和21,b b321,,c c c 8,4,7,5,8,2,4,1,1,2/5,2/932121231322122111===========c c c b b a a a a a a2. 已知矩阵A 及其逆矩阵1-A 如下：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=104020012A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-11202/1004/12/11A试根据改进单纯形法中求逆矩阵的方法原理求下述矩阵B 的逆矩阵1-B，已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=144210152B答：先设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=144010052C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-∙-72/14/114151A∴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=∙⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=--16201002/52/1114002002/11111A C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=144210152B 有 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∙-1322/111211C∴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=∙⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=--26/226/1226/426/426/226/826/1126/126/913/10013/21026/110111C B3. 已知线性规划的原问题与对偶问题分别为：（P ）原问题：CX z =max (D)对偶问题：Yb w =min⎩⎨⎧≥≤0.X b AX st ⎩⎨⎧≥≥0Y C YA st若*Y 为对偶问题最优解，又原问题约束条件右端项用b 替换之后其最优解为X ，试证明有b Y X C *≤证明：原问题右端项b 用b 替换后，新的原问题'P 及对偶问题'D 为：:'P ⎩⎨⎧≥≤=0.'m a x Z b AZ st CZz :'D ⎩⎨⎧≥≤=0.min 'Y C YA st bY w设'D 的最优解为Y ，因有b Y Z C =，有*Y 是'D 的可行解，故有b Y b Y *≤，由此b Y Z C *≤4. 已知下表为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中54,x x 为松弛变量，问题的约束(b) 直接由表写出对偶问题的最优解。
运筹学：对偶理论与灵敏度分析习题与答案
一、填空题1、对偶问题的对偶问题是（）。
正确答案：原问题2、若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡（）Y﹡b。
正确答案：=3、若X、Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的可行解，则有CX（）Yb。
正确答案：<=4、若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡（）Y*b。
正确答案：=5、设线性规划的原问题为maxZ=CX，Ax≤b，X≥0，则其对偶问题为（）。
正确答案：min=Yb YA>=c Y>=06、影子价格实际上是与原问题各约束条件相联系的（）的数量表现。
正确答案：对偶变量7、线性规划的原问题的约束条件系数矩阵为A，则其对偶问题的约束条件系数矩阵为（）。
正确答案：AT8、在对偶单纯形法迭代中，若某bi<0，且所有的aij≥0(j=1，2，…n)，则原问题（）。
正确答案：无解二、选择题1、线性规划原问题的目标函数为求极小值型，若其某个变量小于等于0，则其对偶问题约束条件为（）形式。
A. “≥”B. “≤”C. “>”D. “=”正确答案：A2、如果z*是某标准型线性规划问题的最优目标函数值，则其对偶问题的最优目标函数值w﹡满足（）。
A.W﹡=Z﹡B.W﹡≠Z﹡C.W﹡≤Z﹡D.W﹡≥Z﹡正确答案：A3、如果某种资源的影子价格大于其市场价格，则说明（）。
A.该资源过剩B.该资源稀缺C.企业应尽快处理该资源D.企业应充分利用该资源，开辟新的生产途径正确答案：B4、线性规划原问题的目标函数为求极小值型，若其某个变量小于等于0，则其对偶问题约束条件为（）形式。
A.≥B.≤C. >D. =正确答案：A5、对偶单纯形法的迭代是从（）开始的。
A.正则解B.最优解C.可行解D.可行解正确答案：A6、如果某种资源的影子价格大于其市场价格，则说明（）。
A.该资源过剩B.该资源稀缺C.企业应尽快处理该资源D.企业应充分利用该资源，开辟新的生产途径正确答案：B7、线性规划灵敏度分析的主要功能是分析线性规划参数变化对（）的影响。
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-对偶理论与灵敏度分析(圣才出品)
( ) N0 = CN0 − CB0 B0−1N0 = 6, −2,3 ，则 x1 为换入变量。
( ) ( ) x
=
min
( )
B0−1b i B0−1P1 i
B0−1P1
i
0
=
min
2 2
,
4 1
=
1，所以对应的换出变量为
4。
由此得到新的基 B1 、基变量 XB1 及系数 CB1 、非基变量 XN1 及系数 CN1 分别为：
0 0 1 1 1
−1/ 3
1/ 3 0 0 1 0 0 1/ 3 0 0 B1−1 = E1B0−1 = −4 / 3 1 0 0 1 0 = −4 / 3 1 0
−1/ 3 0 1 0 0 1 −1/ 3 0 1
计算非基变量的检验数为：
1 / 3 0 0 1 1 0
N1 = CN1 − CB1 B1−1N1 = ( M ,1, 0) − (2, M , 0) −1 / 4
量 x4, x5 ，在第三个约束条件中加入松弛变量 x6 ，得该线性规划的标准型：
min z = 2x1 + x2 + Mx4 + Mx5 3x1 + x2 + x4 = 3 4x1x+1 +23x2x2+−x6x3=+3x5 = 6 x1, x2,L , x6 0
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B1
=
( P1,
P5
)
=
2 1
0 1 , X B1
=
x1 x5
,
CB1
= (6,0) ，
X N1 = ( x4, x2, x3 )T ,CN1 = (0, −2,3)
运筹学-02对偶理论与灵敏度分析
Yao Yuan School of Business Administration
Operations Research
原问题和对偶问题的对应关系
原问题（对偶问题） 对偶问题（原问题） 约束系数矩阵的转置 目标函数中的价值系数向量 约束系数矩阵 约束条件的右端向量
A b C
min W Y T b A Y C s.t. Y 0
T T
X n1，Ym1 C1n，Amn，bm1
对偶问题 约束系数矩阵的转置 目标函数中的价值系数向量 约束条件的右端向量 Min W=YTb ATY≥CT
Yao Yuan School of Business Administration
目标函数
目标函数中的价值系数向量
max Z c j x j
j 1 n
约束条件的右端向量
min W bi y i
有n个 ( j 1,..., n) m a y c 约 ij i j i 1 束 m aij y i c j 条 i 1 件 m a ij y i c j i 1
0 6 1 2
5 2 1 1
15 24 5
max Z 2 x1 x2 5 x2 15 6 x 2 x 24 1 2 s.t. x1 x2 5 x1 , x2 0
min W 15 y1 24 y 2 5 y 3 6 y 2 y3 2 s.t.5 y1 2 y 2 y 3 1 y ,y ,y 0 1 2 3
page 3 Sep.2009
min W 24 y1 26 y 2 2 y1 3 y 2 4 s.t.3 y1 2 y 2 3 y ,y 0 1 2
对偶理论及灵敏度分析习题
对偶理论及灵敏度分析习题1. 什么是对偶理论？对偶理论是线性规划中的一种方法，它是将一个线性规划问题转化为另一个等价的线性规划问题。
这个等价问题被称为原问题的对偶问题，原问题和对偶问题之间存在着一种对偶关系。
2. 什么是灵敏度分析？灵敏度分析是一种方法，用于评估一个线性规划问题的解对输入数据的变化的敏感程度。
它涉及到对线性规划问题的目标函数系数、约束条件常数、以及右手边向量的变化进行分析，以确定线性规划问题在输入数据变化下的解的变化情况。
3. 对偶问题和原问题之间有什么关系？对偶问题和原问题之间存在着一种对偶关系，即两个问题中的变量和约束条件互相对应。
对原问题的对偶问题的目标函数系数就是原问题的约束条件系数，而对原问题的每个变量的约束条件对应着对偶问题的每个变量的目标函数系数。
4. 什么是原问题？原问题是一个线性规划问题，它包括在一组约束条件下最大化或最小化一个线性目标函数的问题。
原问题通常表示为标准形式或规范形式。
5. 什么是对偶问题？对偶问题是一个等价的线性规划问题，它与原问题共享相同的约束条件，但目标函数和约束条件的系数经过了转换。
对偶问题可以用来评估原问题的最优解并提供其他信息，如原问题的灵敏度分析和可行性分析。
6. 什么是灵敏度分析中的“影响范围”？灵敏度分析中的“影响范围”指输入参数发生变化时，该变化对解决方案的影响的程度范围。
影响范围可以用来确定哪些输入参数对问题的解决非常敏感，以及如何调整这些参数以最大程度地减少对解决方案的影响。
7. 在灵敏度分析中，什么是“松弛变量”的作用？在灵敏度分析中，“松弛变量”用于评估一个约束条件的“松弛度”，即约束条件与等式相差多少。
这个信息可以用来确定输入参数值的变化可以多少，以使某个约束条件的松弛度保持不变。
8. 什么是敏感性分析？敏感性分析是一种评估线性规划问题解决方案的稳定性的方法。
它涉及到对输入参数的变化进行分析，以确定对线性规划问题最优解的影响程度。
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案一、填空题1. 在线性规划问题中，若原问题存在最优解，则其对偶问题也一定存在最优解，这是线性规划的基本性质之一，称为______。
答案：对偶性2. 在线性规划问题中，若原问题与对偶问题均存在可行解，则它们均有______。
答案：最优解3. 对于线性规划问题，若原问题约束条件系数矩阵为A，目标函数系数向量为c，则其对偶问题的目标函数系数向量是______。
答案：c的转置（c^T）二、选择题1. 线性规划的原问题与对偶问题之间的关系是：A. 原问题的最优解和对偶问题的最优解相同B. 原问题的最优解是对偶问题的最优解的负数C. 原问题的最优解与对偶问题的最优解互为对偶D. 原问题的最优解和对偶问题的最优解没有关系答案：C2. 在线性规划中，若原问题不可行，则其对应的对偶问题：A. 可行B. 不可行C. 无界D. 无法确定答案：B三、判断题1. 线性规划的原问题和对偶问题具有相同的可行解。
（）答案：错误2. 若线性规划的原问题存在唯一最优解，则其对偶问题也一定存在唯一最优解。
（）答案：正确四、计算题1. 已知线性规划问题：max z = 3x1 + 2x2s.t.x1 + 2x2 ≤ 42x1 + x2 ≤ 5x1, x2 ≥ 0求该问题的对偶问题，并求解原问题和对偶问题的最优解。
答案：对偶问题为：min w = 4y1 + 5y2s.t.y1 + 2y2 ≥ 32y1 + y2 ≥ 2y1, y2 ≥ 0原问题和对偶问题的最优解如下：原问题最优解：x1 = 2, x2 = 1，最大利润z = 8对偶问题最优解：y1 = 2, y2 = 1，最小成本w = 82. 某工厂生产甲、乙两种产品，生产一件甲产品需要2小时的机器时间和3小时的工人劳动时间，生产一件乙产品需要1小时的机器时间和1小时的工人劳动时间。
工厂每周最多能使用12小时的机器时间和9小时的工人劳动时间。
运筹学2对偶理论与灵敏度分析
三、增加新变量的灵敏度分析
在管理中经常遇到的问题：已知一 种新产品的技术经济指标，在原有最优 生产计划的基础上，怎样最方便地决定 该产品是否值得投入生产，可在原线性 规划中引入新的变量 ； 无论增加什么样的新变量，新问题 的目标函数只能向好的方向变化。
例2.16 （续例2.14）
设企业研制了一种新产品，对三种资源的消耗系数 列向量以P6表示。试问它的价值系数c6符合什么条件， 才必须安排它的生产？设c6=3，新的最优生产计划是 什么？
1. 强制生产30件A x1 必须等于30 目 标值下降; 下降程度可用 x1 的检验数进行 计算：
cj CB 0 5 4 0 XB x3 x1 x2 x6 σ
j
5 b 25 35 10 150 x1 0 1 0 4 0
4 x2 0 0 1 2 0
0 x3 1 0 0 0 0
0 x4 2 1 -1 0 -1
0 x5 -5 -1 2 0 -3
0 x6 0 0 0 1 0
0 5 4 0
0 5 4 0
90 1 = 80 0 b 0 3
250 - 5b3 - 5 90 80 = 80 b 3 ≥0 1 1 80 2b b3 -1 2 3
2
解得40≤b3≤50，即当3∈[40，50]时，最优基B不变， 最优解为： * x3 250- 5b3 * x1 80 b 3 * = x2 80 2b 3
x4*=x5*=0, z*=5×(80－b3)+4×(－80+2b3)=80+3b3
例2.14 某企业利用三种资源生产两种产品 的最优计划问题归结为下列线性规划
第三章 对偶理论与灵敏度分析习题课
x 3 2 yy1 3 y 22 y5 5 2 1 3y 5 y y y 2 x 4 y1 y2 2 2 6 1 x 5 3 y11 y22 y7 3 3y y 3 y ，y 0 y1，y2 0 1 2
例4：
m in z 2 x1 3 x 2 4 x 3 x1 2 x 2 x 3 3 2 x1 x 2 3 x 3 4 x ，x ，x 0 1 2 3 m ax z 2 x1 3 x 2 4 x 3 3 x1 2 x 2 x 3 x4 x 5 4 2 x1 x 2 3 x 3 x ，x ，x ，x ，x 0 1 2 3 4 5
1 0 1 / 2 1 0 N 3 (0，) ( 2， 3) 4 1 0 0， 2 0 0 ( 2，/ 4) 1 0 0 1 / 4 0 1 换入变量x51 换入变量x 1 / 2 1 00 1 / 2 88 1 1 B3 2 (bb，P1 ) 4 11 02 16 B ( ，P5 ) 0 16 0 00 11 / 4 12 12 / 4 10 2 [ 1]1 / 2 2 / 40 8 4[ 2] 4 16 12 01 3 01 / 4 3
8 x1 2 x 2 x 3 1 0 0 8 2 8 2 x4 16 1 4 x1 B1 b，P2 ) 0 1 0 16 0 16 0 ( 4 x x5 12 2 ] 0 0 1 12 4 12 [4 x1，x 2，x 3，x4，x5 0 换出变量x
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第二章 对偶理论与灵敏度分析练习题答案
1．判断下列说法是否正确：
(1) 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题；()
(2) 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；()
(3) 设j ˆ
x ，i ˆy 分别为标准形式的原问题与对偶问题的可行解，*
j x ，*i y 分别为其最优解，则恒有n n m m
**j j j j i i i i j 1j 1i 1i 1ˆˆc x c x b y b y ====≤=≤∑∑∑∑；()
(4) 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解；()
(5) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0>，说明在最优生产计划中第i 种资源已完全耗尽；()
(6) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0=，说明在最优生产计划中第i 种资源一定有剩余；()
(7) 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ；()
(8) 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量i x 0<，又x i 所在行的元素全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解；()
(9) 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；()
(10) 在线性规划问题的最优解中，如某一变量x j 为非基变量，则在原来问题中，无论改变它在目标函数中的系数c j 或在各约束中的相应系数a ij ，反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其他列数字的变化。
()
2．下表是某一约束条件用“≤”连接的线性规划问题最优单纯形表格，其中x 4、x 5为松弛变量。
要求：(1)
(3)其它条件不变时，约束条件右端项b 1在何范围内变化，上述最优基不变。
(4)若以单价购入第一种资源是否值得，为什么若有人愿意购买第二种资源应要价多少，为什么
答案：
(1)注：该问题得解法非唯一，以下解法只是其中一种（各解法原理相同）。
由题意已知原线性规划问题目标函数为Max （因σj ≤0为最优），且c 4、c 5为0（松弛变量目标函数系数为0）。
根据1j j B j c C B P σ-=-知：23131111c c c 422110c c 42610c 23⎧⎛⎫-⋅-⋅=- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-⋅-⋅=-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-⋅=-⎪ ⎪⎝⎭⎩
，得：123c 6c 2c 10=⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 根据()511222
151112632010B A|b 10-⎛⎫= ⎪--⎝⎭，得：()012105A|b 3110110⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 则原线性规划问题的数学模型为： 123
23123123MaxZ 6x 2x 10x x 2x 53x x x 10
s.t.x ,x ,x 0=-++≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩ 其对偶问题的数学模型为：
122121212Min 5y 10y 3y 6y y 2s.t.2y y 10
y ,y 0
ω=+≥⎧⎪-≥-⎪⎨+≥⎪⎪≥⎩ (2)直接由表写出对偶问题得最优解为：()*Y 4,2=
(3)令原解()()-1i B i i i x X B b b ===，得b r 的变化范围为：
{}{}i ir ir r i ir ir i i Max b /a |a 0b Min b /a |a 0∆->≤≤-<，其中：()1ir ir
a B -=。
则： {}{()}15151Max
b Min 2226
∆-÷≤≤-÷-，即15b 15∆-≤≤，则10b 20≤≤ (4)以单价购入第一种资源是值得的，因其小于该资源“影子价格”（即<4），可盈利；第二种资源应要价至少为2（影子价格），否则不如自己组织生产。