场论初步课件
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数学分析PPT
从而 r r ∫ a dl = ∫∫ rota dS .
L S
Yunnan University
§3. 场论初步
注：散度与坐标的选择无关. r r r u r 例1. 设a = 3i + 20 j − 15k , 对下列数量场ϕ 分别求出
gradϕ 及div (ϕ a ) , 其中ϕ = ( x 2 + y 2 + z
2 2
3 − 2 2
)
+ 15 z ( x + y + z
2 2
3 − 2 2
)
例 2.
设 u ( x , y , z ) = xyz .
(1)求u ( x , y , z ) 在点P1 ( 0, 0, 0 ) , P2 ( 1,1,1) 及P3 ( 2,1,1) 处 r r r u r 沿b = 2i + 3 j − 4k的方向导数。
( )
( )
( )
∂P ∂Q ∂R = ∫∫∫ + + dV x ∂y ∂z V ∂
r ∂P ∂Q ∂R 向量 + + 称为向量a的散度，它形成一个数量场，记为 ∂x ∂y ∂z r ∂P ∂Q ∂R . diva = + + ∂x ∂y ∂z
Yunnan University
( )
( )
( )
r ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂ Q ∂R , , 称向量 − − − 为向量a的旋度， ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y r 记为rot a .
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§3. 场论初步
即 r i r ∂ rot a = ∂x P r j ∂ ∂y Q r u k ∂ . ∂z R
第03讲预备知识-场论1
e3
顺时针为负
置换符号说明： i、j 、k取值不同值时， εijk取1 或-1（6个），其余分量（21个）为零。即：
e2 e1 逆时针为正
ε 123 = ε 231 = ε 312 = 1
ε 132 = ε 213 = ε 321 = −1
置换法则：任意2个自由指标对换后差一个负号 正负取值规律：按右图中，逆时针取值为正，顺时针取值为负。
a = ax i + a y j + az k
任意一点M的矢径 矢径微分
r = xi + yj + z k
M z y o x
a
dr = dxi + dyj + dzk
dr × a = 0
r
叉积为零：
这就是向量线的微分方程(Differential Equation) 在直角坐标系(System Of Rectangular Coordinates)当中表示为
可以列表表示：
e1
′ e1
e2
e3
α 11 α12 α13 α 21 α22 α23
α 31 α 32 α 33
ei′ = α ij e j ei = α ji e ′j
e′ 2
′ e3
上述关系可简写为：
同理，老坐标的单位向量可用新坐标的单位向量表示：
根据上述单位向量的性质和关系可导出：
ei ⋅ e j = e′ ⋅ e′j i
a ⋅ bc = (a ⋅ b)c = (b ⋅ a )c = c (a ⋅ b)
ab ⋅ cd = a (b ⋅ c )d = (b ⋅ c )ad = ad (c ⋅ b) c ⋅ ab ⋅ d = (c ⋅ a )(b ⋅ d ) = (b ⋅ d )(c ⋅ a )
场论初步
线的方向余弦和向量线上的成比例从而得到向量线应满足的微分方程在向量不为零的条件下由线性微分方程组的理论可知所考虑的整个场被向量线所填满而通过场中每一点由一条且只有一条这样的曲线且过不同的点的两条向量线没有公共点
§4.场论初步
向量场的散度与旋度
1’向量线
如果在空间或某一部分空间的每一点处都确定一个向
曲线积分只与起点和终点有关，而与所沿途径无关， 物理学中称这种场叫保守场。
利用斯托克斯公式，可以推出，一个向量场 a 为空 间保守场的充要条件是
az ay 0, y z
ax az 0, z x
ay ax 0, x y
亦即
rota 0
旋度为零的场称为无旋场，因此保守场也就是无旋场。
az y
ay z
i
ax z
az x
j
ay ax k rota, x y
2 grad div grad
由此可以看出，算子 的作用在于把微分运算化为关于算 子 的向量代数运算。
根据定义，向量场在一给定处的散度是一数量，散度 的全体构成一数量场。
上面所给出的散度的定义好像与坐标的选择有关，其
实不然。为了说明这个事实，我们可给散度另一形式的定 义，设 M 为区域中任一点，在这点周围任取一含有这点 的区域 V ，令 S 为 V 的表面，则有高斯公式
an dS divadV
其中 ， 是任意常数，这个性质可由定义直接验证。
关于各种乘积有以下的计算公式，其中 x, y, z
是函数，a axi ay j azk 和 b bxi by j bzk 是向量，
§4.场论初步
向量场的散度与旋度
1’向量线
如果在空间或某一部分空间的每一点处都确定一个向
曲线积分只与起点和终点有关，而与所沿途径无关， 物理学中称这种场叫保守场。
利用斯托克斯公式，可以推出，一个向量场 a 为空 间保守场的充要条件是
az ay 0, y z
ax az 0, z x
ay ax 0, x y
亦即
rota 0
旋度为零的场称为无旋场，因此保守场也就是无旋场。
az y
ay z
i
ax z
az x
j
ay ax k rota, x y
2 grad div grad
由此可以看出，算子 的作用在于把微分运算化为关于算 子 的向量代数运算。
根据定义，向量场在一给定处的散度是一数量，散度 的全体构成一数量场。
上面所给出的散度的定义好像与坐标的选择有关，其
实不然。为了说明这个事实，我们可给散度另一形式的定 义，设 M 为区域中任一点，在这点周围任取一含有这点 的区域 V ，令 S 为 V 的表面，则有高斯公式
an dS divadV
其中 ， 是任意常数，这个性质可由定义直接验证。
关于各种乘积有以下的计算公式，其中 x, y, z
是函数，a axi ay j azk 和 b bxi by j bzk 是向量，
场论初步
设有向量场 A( x , y , z ) ,在场内作包围点 M 的闭曲面 Σ ,Σ 包围的区域为V ,记体积为V .若 当V 收缩成点 M 时,
限 极 lim
∫∫ A⋅ dS Σ
Σ
V→M
V
在 存 ,
称 极 值 度, 为 则 此 限 为A在 M 处 散 , 记 divA. 点 的 度
散度在直角坐标系下的形式
h ( x , y , z ) = const
（c值不同对应不同等值面） 值不同对应不同等值面
ϕ = c1 ϕ = c2
ϕ = c3
等值线
等值面 等值面
数量场ｕ＝ｕ ｕ＝ｕ(x,y,z)在点Ｍ(x,y,z)处 在点Ｍ 定义 数量场ｕ＝ｕ 在点 处 的梯度是向量
∂u ∂u ∂u gradu = i+ j+ k ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂u 其中, , , 取点M的值。 ∂x ∂y ∂z
由于数量场ｕ＝ｕ(M)中每一点都对应着一个梯度 gradｕ，故gradｕ形成一个向量场，叫做数量场ｕ(M) 的梯度场 梯度场. 梯度场 根据梯度在直角坐标系的表示式，求数量场的梯 度是一种求导运算，有类似于求导运算的一些法则：
∇u = grandu
1、gradC = 0
3、grad（u ± v） gradu ± gradv = 4、grad（uv） vgradu + ugradv = u 1 5、grad（ ） 2 (vgradu − ugradv) = v v 6、gradf（u） f ' (u ) gradu =
c = ∫ A ⋅ dl
称为 A 沿该曲线L的环量或流量。 的环量或流量。
2、旋度： 旋度： 那么 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近， 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，
2.1场
这是一族从原点出发的射线（称为电力线）.
2014年5月11日星期日
华北科技学院基础部
23
《场论初步》
§2.1
场
正点电荷的电场线
2014年5月11日星期日
负点电荷的电场线
华北科技学院基础部 24
《场论初步》
§2.1
场
两等量正点电荷 的电场线分布
2014年5月11日星期日
两等量异号点电荷 的电场线分布
场
例3：已知数量场 u
xy ， 求场中与直线 x 2 y 4 0 c ， 设切点为 ( x , y )
0 0
相切的等值线方程。 解：数量场的等值线为 xy
从而有
x0 y0 c x0 2 y0 4 0 c 1 2 x0 2
解之得 x0 2, y0 1, c 2
《场论初步》
§2.1 《场论初步》
场
第二章
场 论
1
2014年5月11日星期日
华北科技学院基础部
《场论初步》
§2.1
场
教 学 内 容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
2014年5月11日星期日
场 数量场的方向导数和梯度 矢量场的通量及散度 矢量场的环量及旋度 几种重要的矢量场
华北科技学院基础部 2
或者说：场是一定空间范围内连续分布的客体．
Maxwell是第一个使用场的科学家.
场有两个显著特点:
1.场是客观存在的． 2.场可以随时间和空间发生变化.
2014年5月11日星期日
华北科技学院基础部
4
《场论初步》
§2.1
场
根据物理量的性质，分为数量场和矢量场。 数量场（标量场）：物理量是数量。如温度场，电 位场，密度场等。 矢量场：物理量是矢量。比如力场，速度场，电磁
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场
正点电荷的电场线
2014年5月11日星期日
负点电荷的电场线
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§2.1
场
两等量正点电荷 的电场线分布
2014年5月11日星期日
两等量异号点电荷 的电场线分布
场
例3：已知数量场 u
xy ， 求场中与直线 x 2 y 4 0 c ， 设切点为 ( x , y )
0 0
相切的等值线方程。 解：数量场的等值线为 xy
从而有
x0 y0 c x0 2 y0 4 0 c 1 2 x0 2
解之得 x0 2, y0 1, c 2
《场论初步》
§2.1 《场论初步》
场
第二章
场 论
1
2014年5月11日星期日
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《场论初步》
§2.1
场
教 学 内 容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
2014年5月11日星期日
场 数量场的方向导数和梯度 矢量场的通量及散度 矢量场的环量及旋度 几种重要的矢量场
华北科技学院基础部 2
或者说：场是一定空间范围内连续分布的客体．
Maxwell是第一个使用场的科学家.
场有两个显著特点:
1.场是客观存在的． 2.场可以随时间和空间发生变化.
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4
《场论初步》
§2.1
场
根据物理量的性质，分为数量场和矢量场。 数量场（标量场）：物理量是数量。如温度场，电 位场，密度场等。 矢量场：物理量是矢量。比如力场，速度场，电磁
矢量分析与场论基础课件
A yˆ = Ay
A zˆ = Az
直角坐标分量的求法
A的 方 向 与xˆ、yˆ、zˆ的 夹 角 分 别 为、、
Az
A
Ax
A cos
Ay
A cos
o Ay
Ax
Az A cos
y
、、
称
为A的
方向角
cos、cos 、cos
称
为A的
方向余弦
x
直角坐标系中 A矢量的模值计算公式：
A =A=
• 矢量（vector） （又称向量）：
既有大小又有方向的量，如力、速度、动量。 电磁理论中的矢量：电场强度、磁场强度等。
二、矢量的表示方法： • 图示法：一定长短的有向箭头
矢量的方向
矢量的大小（称为模值、模）
• 写法上：手写带箭头上标的字母，如 A、 a
印刷黑体（仅印刷品中采用）
• 矢量的模值表示为：A 或 A
第一章 矢量分析与场论基础
主要内容：
1.1 矢量的基本运算 1.2 矢量函数 1.3 场论基础 1.4 常用正交曲线坐标系
1.1 矢量的基本运算
1.1.1 矢量的概念
一、标量和矢量：
• 标量（scalar）：
只有大小没有方向的量， 用数值表示，如温度、 质量、体积。电磁理论中的标量：电量、电位、 电阻等等
B
A
二、矢量与标量的乘法和除法
• 模值： pA = p A
• 方向：
p>0 p <0
A pA pA
例子： F=ma
• 规则：
设 p , q均为实数
pqA pqA
p
qA
pA
qA
p A B pA pB
22_4 场论初步
第3节
第22章
场论初步
一、场的概念 二、梯度场 三、散度场 四、旋度场 五、管量场与有势场
一、场的概念
•若对全空间或其中某一区域V 中每一点M，都有
一个数量（或向量）与之对应，则称在V上给定了一 个数量场（或向量场）。
数量场 (数性函数) 函数 场
如: 温度场, 电位场等
向量场(矢性函数) 如: 力场,速度场等
( P cos Q cos R cos ) d s
数学分析
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12
令 A ( P, Q, R) , 引进一个向量
记作
rot A
x y z P Q R
i
j
k
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
或
rot A n d S A d s (rot A) n d S A d s P d x Q d y R d z A d s 称为向量场A
13
定义:
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度 .
数学分析
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旋度的力学意义: 设某刚体绕定轴 l 转动, 角速度为 , M为刚体上任一 点, 建立坐标系如图,则 z
(0, 0, ), r ( x, y, z )
点 M 的线速度为
在场中点 M(x, y, z) 处
A n d S 为向量场 A 通过
P Q R 记作 div A x y z
称为向量场 A 在点 M 的散度.
数学分析
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9
说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且
第22章
场论初步
一、场的概念 二、梯度场 三、散度场 四、旋度场 五、管量场与有势场
一、场的概念
•若对全空间或其中某一区域V 中每一点M，都有
一个数量（或向量）与之对应，则称在V上给定了一 个数量场（或向量场）。
数量场 (数性函数) 函数 场
如: 温度场, 电位场等
向量场(矢性函数) 如: 力场,速度场等
( P cos Q cos R cos ) d s
数学分析
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12
令 A ( P, Q, R) , 引进一个向量
记作
rot A
x y z P Q R
i
j
k
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
或
rot A n d S A d s (rot A) n d S A d s P d x Q d y R d z A d s 称为向量场A
13
定义:
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度 .
数学分析
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旋度的力学意义: 设某刚体绕定轴 l 转动, 角速度为 , M为刚体上任一 点, 建立坐标系如图,则 z
(0, 0, ), r ( x, y, z )
点 M 的线速度为
在场中点 M(x, y, z) 处
A n d S 为向量场 A 通过
P Q R 记作 div A x y z
称为向量场 A 在点 M 的散度.
数学分析
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9
说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且
电磁场与微波技术01场论.ppt
A B xˆ(Ax Bx ) yˆ( Ay By ) zˆ( Az Bz )
4
1.1 矢量的基本运算公式 1.1.2 矢量的基本公式
(3) 标量积和矢量积
矢量的相乘有两种定义-标量积(点乘)和矢量积(叉乘)。
标量积A·B A B AB cosaAB
A B B A
并有 xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ xˆ 0, xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 1
例如,在直角坐标下,
如温度场,电位场,高度场等;
如流速场,电场,涡流场等。
标量场 矢量场
3
1.1 矢量的基本运算公式 1.1.2 矢量的基本公式
设 A xˆAx yˆAy zˆAz
B xˆBx yˆBy zˆBz
(1) 矢量的数乘
aA xˆaAx yˆaAy zˆaAz
(2) 矢量的加法和减法
M
l3 3 3
r 1 1 0 2 1 2 1
所以
l M 2 3 2 3 2 3 226
1.3.3 梯度的物理意义
• 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数;
• 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最
大方向导数; • 梯度的方向为该点最大方向 导数的方向,即与等值线（面）
相垂直的方向，它指向函数的
dz y2z
解得矢量方程 xz2c1yx2 c2
c1和c2是积分常数。
16
1.2.3 场图
形象描绘场分布的工具--场线 标量场--等值线(面)。 其方程为 h (x, y, z) const
矢量场--矢量线
其方程为 Adl 0
在直角坐标下:
Ax Ay dx dy
在某一温度上沿什么方向温度变化最快？
4
1.1 矢量的基本运算公式 1.1.2 矢量的基本公式
(3) 标量积和矢量积
矢量的相乘有两种定义-标量积(点乘)和矢量积(叉乘)。
标量积A·B A B AB cosaAB
A B B A
并有 xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ xˆ 0, xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 1
例如,在直角坐标下,
如温度场,电位场,高度场等;
如流速场,电场,涡流场等。
标量场 矢量场
3
1.1 矢量的基本运算公式 1.1.2 矢量的基本公式
设 A xˆAx yˆAy zˆAz
B xˆBx yˆBy zˆBz
(1) 矢量的数乘
aA xˆaAx yˆaAy zˆaAz
(2) 矢量的加法和减法
M
l3 3 3
r 1 1 0 2 1 2 1
所以
l M 2 3 2 3 2 3 226
1.3.3 梯度的物理意义
• 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数;
• 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最
大方向导数; • 梯度的方向为该点最大方向 导数的方向,即与等值线（面）
相垂直的方向，它指向函数的
dz y2z
解得矢量方程 xz2c1yx2 c2
c1和c2是积分常数。
16
1.2.3 场图
形象描绘场分布的工具--场线 标量场--等值线(面)。 其方程为 h (x, y, z) const
矢量场--矢量线
其方程为 Adl 0
在直角坐标下:
Ax Ay dx dy
在某一温度上沿什么方向温度变化最快？
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m r
为引力势.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
散度场 ur 设 A( x, y, z) P( x, y, z) i Q( x, y, z) j R( x, y, z) k
为 V 上的一个向量场. 称如下数量函数:
D( x, y, z) P Q R
则同时有 M M0 , 对上式取极限, 得到
Ò ur
div A(M0 )
lim V M0
1 V
ur uur A dS .
S
(2)
这个等式可以看作是散度的另一种定义形式.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
ur 散度的物理意义 联系本章§2中提到的, 流速为 A
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§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
相对应. 这里 P, Q, R 为所定义区域上的数量函数,
并假定它们有一阶连续偏导数.
设 L 为向量场中一条曲线. 若 L 上每点 M 处的切线 ur
方向都与向量函数 A 在该点的方向一致, 即
dx dy dz ,
方向上的方向导数.
数学分析 第二十二章 曲面积分
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§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
因为数量场 u( x, y, z) 的等值面 u( x, y, z) c 的法线
方向为
u x
,
u y
,
u z
,
所以
grad
u
恒与
u
的等值面
正交.
引进符号向量
x
, y
数学分析 第二十二章 曲面积分
§4 *场论初步
在物理学中, 曲线积 分和曲面积分有着广泛的
一、场的概念
应用. 物理学家为了既能形 二、梯度场
象地表达有关的物理量, 又 能方便地使用数学工具进 行逻辑表达和数据计算, 使 用了一些特殊的术语和记
三、散度场 四、旋度场 五、管量场与有势场
号, 在此基础上产生了场论. *点击以上标题可直接前往对应内容
m f
f i1 ui ui . 这些公式读者可利用定义来直接验证.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
例1 设质量为 m 的质点位uuu于ur 原点, 质量为 1 的质点 位于 M( x, y, z), 记 r OM x2 y2 z2 ,
试求 m 的梯度 . r
解
ur
m r
uuuur
m r2
x r
,
y r
,
z r
.
若以 r0 表示 OM 上的单位向量, 则有
m r
m r2量的
乘积成正比, 与两点间距离的平方成反比. 这说明了引
力场是数量场
m r
的梯度场,
因此常称
则称曲线
P uQr R L 为向量场 A 的向量场线.
例如电力线、
磁力线等都是向量场线.
注 场的性质是它本身的属性, 和坐标系的引进无关.
引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来
进行计算和研究它的性质.
数学分析 第二十二章 曲面积分
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§4 场论初步 场的概念 梯度场
梯度场
散度场
旋度场
,
z
,
当把它作为运算符号来看待时, 梯度可写作
grad u u .
注 通常称为哈密顿 (Hamilton) 算符(或算子), 读
作 “Nabla”.
数学分析 第二十二章 曲面积分
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§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
梯度有以下一些用 表示的基本性质:
1. 若 u, v 是数量函数, 则 (u v) u v .
§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
高斯公式可写成如下向量形式:
ur
ur uur
div AdV Ò AdS .
(1)
V
S
对上式中的三重积分应用中值定理, M V , 使得
ur
ur
ur uur
div A dV div A(M )V Ò AdS,
V
S
在 V 中任取一点M0. 令 V 收缩到 M0 (记作 V M0 ),
ur uur
的不可压缩流体, 经过封闭曲面 S 的流量是Ò AdS.
等于给定了一个数量函数 u( x, y, z), 在以下讨论中 总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数.
同u理r , 每个向量场都与某个向量函数 A( x, y, z) P( x, y, z) i Q( x, y, z) j R( x, y, z) k
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
x y z
ur
ur
为 A 的散度. 这是由向量场 A 派生出来的一个数量
场, 也称散度场, 记作
div
ur A
P
Q
R
.
uur
x y z
设法向no量 ,(记cosduuSr ,conusurodS,
cos ) 为曲面 S 在各点的单位
, 称为 S 的面积元素向量. 于是
数学分析 第二十二章 曲面积分
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2. 若 u, v 是数量函数, 则
(u v) u(v) (u)v .
特别地有
(u2 ) 2u(u) .
3. 若 r ( x, y, z) , ( x, y, z) , 则 d dr .
4. 若 f f (u) , u u( x, y, z) , 则 f f (u)u .
5. 若 f f (u1 , u2 ,L , um ) , ui ui ( x, y, z) , 则
§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
场的概念
若对全空间或其中某一区域 V 中每一点 M, 都有一
个数量 (或向量) 与之对应, 则称在 V 上给定了一个
数量场 (或向量场). 例如: 温度和密度都是数量场,
重力和速度都是向量场. 在引进了直角坐标系后, 点
M 的位置可由坐标确定. 因此给定了某个数量场就
管量场与有势场
在第十七章§3 中我们已经介绍了梯度的概念, 它
是由数量函数 u( x, y, z) 所定义的向量函数 grad u u i u j u k . x y z
grad u 是由数量场 u 派生出来的一个向量场, 称为 梯度场. 由前文知道, grad u 的方向就是使方向导 数 u l 达到最大值的方向, grad u 就是在这个方