全国中考数学试题精选300题

（2）证明：当-1≤x≤1时，|g(x)|≤2；

（3）设a＞0，有-1≤x≤1时，g(x)的最大值为2，求f(x)．

（1）证明：由条件当=1≤x≤1时，

|f（x）|≤1，

取x=0得：|c|=|f（0）|≤1，

即|c|≤1．

（2）证法一：依题设|f（0）|≤1而f（0）=c，

所以|c|≤1．

当a＞0时，g（x）=ax+b在[-1，1]上是增函数，

于是g（-1）≤g（x）≤g（1），（-1≤x≤1）．

∵|f（x）|≤1，（-1≤x≤1），|c|≤1，

∴g（1）=a+b=f（1）-c≤|f（1）|+|c|=2，

g（-1）=-a+b=-f（-1）+c≥-（|f（-1）|+|c|）=-2，

因此得|g（x）|≤2 （-1≤x≤1）；

当a＜0时，g（x）=ax+b在[-1，1]上是减函数，

于是g（-1）≥g（x）≥g（1），（-1≤x≤1），

∵|f（x）|≤1 （-1≤x≤1），|c|≤1

∴|g（x）|=|f（1）-c|≤|f（1）|+|c|≤2．

当a=0时，g（x）=b，f（x）=bx+c．

∵-1≤x≤1，

∴|g（x）|=|f（1）-c|≤|f（1）|+|c|≤2．

综合以上结果，当-1≤x≤1时，

都有|g（x）|≤2．

（3）因为a＞0，g（x）在[-1，1]上是增函数，

当x=1时取得最大值2，

即g（1）=a+b=f（1）-f（0）=2．①

∵-1≤f（0）=f（1）-2≤1-2=-1，

∴c=f（0）=-1．

因为当-1≤x≤1时，f（x）≥-1，

即f（x）≥f（0），

根据二次函数的性质，直线x=0为f（x）的图象的对称轴，

由此得-

b

2a

=0，

即b=0．

由①得a=2，

所以f（x）=2x2-1．（14分）